KISITLAMALI OPTİMİZASYON

Transkript

1 KISITLAMALI OPTİMİZASYON

2 Kısıtsız optimizason konusunda, seçim değişkenlerinden hiç birinin, diğer seçim değişkenleri üzerinde bir sınırlaıcı etki 2 oluşturmadan optimali belirlediğini gördük. Ancak, örneğin firmalar bir üretim kotası (kısıtı), toplam harcama kısıtı gibi kısıtlar altında a da bir tüketici bütçe (gelir) kısıtı altında optimal seçimi gerçekleştirmek durumunda kalabilirler. Böle bir durumda seçim değişkenleri arasında, birbirlerini kısıtlaıcı bir bağ oluşur. Bütçe (gelir) kısıtı altında, fadasını maksimize etmee çalışan bir tüketicii şöle düşünebiliriz.

3 U = Fada Fonksionu (Amaç Fonksionu) = Bütçe Kısıtı (Kısıt Fonksionu) Şekil 3.1, hem serbest (kısıtsız) durumda oluşan maksimum ile kısıtlama konulması durumunda oluşan maksimumu göstermektedir. Kısıtlamalı maksimum, hiçbir zaman serbest maksimumdan büük değer alamaz. Yukarıda verdiğimiz bütçe kısıtı altında fadaı maksimize edecek olan tüketim düzelerinin belirlenmesini basit bir olla çözelim.

4 Şekil 3.1. Serbest ve KısıtlK tlı Uçdeğerer 4 Serbest Maksimu m z Kısıtlamalı Maksimum 0

5 5 U = = 60 = ( ) U = + = U 1 * * = 32 4 = 0 = 8, = 14

6 Kısıt fonksionu daha karmaşık bir hal alırsa a da kısıt saısı 6 artarsa, ukarıdaki öntemin kullanımı giderek zorlaşır. Bu nedenle, analitik açıdan daha üstün olan Lagrange Çarpanı öntemine bakacağız. Lagrange çarpanının özü, kısıtlamalı bir uçdeğer problemini, serbest uçdeğer probleminin birinci sıra koşulunun ugulanabileceği bir biçime dönüştürmektir. Yukarıdaki fada maksimizasonu problemine Lagrange çarpanı öntemile aklaşalım. Lagrange fonksionu şöle oluşacaktır:

7 7 ( ) Z = + 2 +λ λ, değeri önceden bilinmeen bir parametredir ve Lagrange çarpanı olarak ifade edilmektedir. Kısıtı tamamen erine getirirsek, λ ortadan kalkar ve Z ile U eşitlenir. Bölece U nun kısıtlamalı maksimizasonu erine, Z nin serbest maksimizasonunu çözer duruma geliriz. Buna göre, parantez içindeki ifadenin ok olmasını nasıl sağlarız? Bunun olu, Lagrange fonksionunda λ ı ek bir değişken gibi dikkate almaktır.

8 Yani, Z=Z(λ, 1, 2 ). Bu durumda birinci sıra koşullar şöle azılır: 8 Z Z Z = + 2 4λ = Z = 2λ = = 8, = 14 * * 1 2 λ= = * 4, Z 128 Z Zλ = = 0 λ

9 9 Lagrange fonksionunu, aşağıdaki gibi bir amaç ve kısıt fonksionu için genel olarak azalım. z = f(, ) Amaç Fonksionu g(, ) = c Kısıt Fonksionu Lagrange Fonksionu: [ ] Z = f(, ) +λ c g(, )

10 Z nin durgunluk değerlerini belirlemek için birinci sıra koşulları şöle oluştururuz. 10 Birinci Sıra S Koşullar: Z = f λ g = Z = f λ g = 0 0 Z = c g(, ) = 0 λ

11 Örnek 1: z= fonksionunun, +=6 kısıtı altında uçdeğerlerini bulalım. 11 Lagrange Fonksionu: Z = +λ[ 6 ] Birinci Sıra S Koşullar: Z Z = λ = 0 = λ = 0 Z = 6 = 0 λ Z = 3, = 3, λ = 3 * * = z = * * 9

12 Lagrange çarpanı (λ), kısıttaki değişme karşısında Z nin (ve 12 z nin) duarlılığını ölçmektedir. Bunu görebilmek için, Lagrange fonksionundan elde ettiğimiz birinci sıra koşulları kullanarak bir karşılaştırmalı durağanlık analizi aparız. Öncelikle birinci koşuldaki her bir fonksionu, birer örtük fonksion olarak tanımlaalım ve Jacobian determinantı elde edelim. 1 F c g = (, ) = 0 2 F f g = λ = 3 F f g = λ = 0 0

13 1 1 1 F F F λ 0 g g F F F J = = g f λg f λg λ g f λg f λg F F F λ 13 Jacobian determinantın sıfırdan farklı olduğunu kabul edelim ve kısıttaki (c) bir değişmenin,, ve λ optimal değerlerini nasıl etkilediğini inceleelim. * λ =λ * ( c) * = * ( c) * = * ( c)

14 Birinci sıra koşulları, optimal, ve λ değerleri için eniden azalım. 14 * * c g(, ) 0 * * λ * * f (, ) g (, ) 0 * * λ * * f (, ) g (, ) 0 Benzer şekilde Lagrange fonksionunu da optimal, ve λ değerleri için eniden azalım (Z nin bu durumda dolalı olarak c nin de fonksionu olduğuna dikkat edelim).

15 15 ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( )) * * * * * * Z f c c c c g c c = +λ Z nin c e göre toplam türevini alalım. dz d d dλ d d dc dc dc dc dc dc * * * * * * ( * * ) * = f + f + c g ( c), ( c) +λ 1 g g dz d d dλ dc dc dc dc 0 * * * * ( * ) ( * ) ( * * ) * = f λ g + f λ g + c g ( c), ( c) +λ dz * dc = λ *

16 z f 1 2 n = (,,..., ) Amaç Fonksionu 16 g(,,..., ) c 1 2 Lagrange Fonksionu: n = Kısıt Fonksionu Z = f( 1, 2,..., n) +λ c g( 1, 2,..., n) Birinci Sıra S Koşullar: Z c g(,,..., ) 0 = = λ 1 2 n Z = f λ g = Z = f λ g = Z = f λ g = n n n 0 0

17 z = f(,,..., ) g (,,..., ) = c h (,,..., ) = d n n n Amaç Fonksionu Kısıt Fonksionları 17 Lagrange Fonksionu: Z = f( 1, 2,..., n) +λ c g( 1, 2,..., n) +µ d h( 1, 2,..., n) Birinci Sıra S Koşullar: Z = c g(, ) = 0 λ Z = d h(, ) = 0 µ Z = f λ g = 0, ( i = 1,2,..., n) i i i

18 18 Yukarıda, kısıtlamalı optimizasonda birinci sıra koşulları kısıtsız optimizasondakine benzer biçimde elde ettik. Şimdi ikinci sıra koşulu da elde etmek için, d 2 z ifadesinin işaret belirliliğini elde etmemiz gereklidir. Bunun için dz nin toplam diferansielinden hareket edelim. ( dz) ( dz) = = + 2 ddz ( ) dz d d ( fd+ fd) ( fd+ fd) 2 d z = d+ d ( d) ( d) 2 d z = f d f d+ f d + f d f d+ f d

19 2 2 ( d) d z = f d + f dd + f d 19 2 ( d) + f dd+ fd + f d Kısıtlı optimizasonda seçim değişkenleri (,) birbirlerine bağlı olduğundan d=f(,) durumunu göz önünde bulundurarak, bu fonksionun toplam diferansielinden hareketle üçüncü ve altıncı terimleri eniden şöle azabiliriz: ( d) ( d) ( ) 2 f d + d = f d d = f d

20 Bunu dikkate alarak, d 2 z ifadesini eniden düzenleerek azalım: d z = f d + 2f dd + f d + f d Daha önce kısıtsız optimizasonda d 2 z şöledi: d z = f d + 2f dd + f d 2 2 2

21 Dikkat edilebileceği gibi, kısıtlı ve kısıtsız optimizasonda d 2 z 21 ifadeleri arasındaki fark, alnızca f d 2 teriminden kanaklanmaktadır. Bu terim birinci dereceden olduğundan, kısıtlı optimizasondaki d 2 z ifadesi karesel biçim olamaz. Ancak g(,)=c kısıtına daanarak, d 2 z karesel biçime dönüştürülebilir. dg = 0 d( dg) = d g = 0 2

22 Yukarıda d 2 z ifadesini elde etme öntemini kullanarak, d 2 g ifadesinde elde edebiliriz. d g = g d + 2g dd + g d + g d = Yukarıdaki son denklemi d 2 için çözüp, d 2 z deki erine koarsak, karesel biçimi elde ederiz: f f f d z f g d f g dd f g d = g g g

23 Arıca birinci sıra koşullardan şunu da azabiliriz: λ= f g 23 ( ) 2( ) ( ) d z = f λ g d + f λ g dd + f λg d Birinci sıra koşullardaki denklemlerin eniden kısmi türevleri alınırsa; Z = f λ g = Z = f λ g = 0 0 Z = c g(, ) = 0 λ Z = f λg Z = f λg Z = Z = f λg

24 Buna göre d 2 z ifadesini eniden azalım: 24 d z = Z d + 2Z dd + Z d a da d z = Z d + Z dd + Z dd + Z d Yukarıda ulaştığımız d 2 z ifadesini kullanarak, iki seçim değişkenli ve tek kısıt denklemli bir optimizason probleminde uçdeğerleri bulmak için gereken ve eterli olan işaret belirlemesini apabiliriz ve uçdeğere ilişkin genel koşulları söleebiliriz.

25 İkinci Sıra S Gerekli Koşullar: 25 Maksimum z için: in: dg=0 kısıtı altında d 2 z negatif arı belirli Minimum z için: in: dg=0 kısıtı altında d 2 z pozitif arı belirli İkinci Sıra S Yeterli Koşullar: Maksimum z için: in: dg=0 kısıtı altında d 2 z negatif belirli Minimum z için: in: dg=0 kısıtı altında d 2 z pozitif belirli

26 İkinci sıra koşulu determinant biçiminde ifade edebilmek için 26 çitlenmiş kavramı Hessian dan ararlanacağız. Şimdi aşağıda bu geliştirelim. Bunun için ine q karesel biçiminden hareket edelim. Ancak burada ek olarak bir de kısıt denklemimiz er almaktadır. α = + 2 +, α +β = 0 = β 2 2 q au huv bv u v v u α α q= au h u + b u β β ( ) q= αβ hαβ+ ba u β 2 2

27 q ancak ve ancak parantezdeki ifade pozitif ise pozitif, negatif ise negatif belirli olacaktır. Arıca parantezdeki ifadenin simetrik determinantının da negatif olduğunu dikkate alarak şu sonucu azabiliriz: 27 α u+β v = 0 kısıtı altında, 0 α β α a h = 2hαβ aβ bα β h b 2 2 < 0 q > 0 > 0 q < 0

28 Şimdi bu genellemei, q karesel biçiminden d 2 z biçimine aktaralım. 28 gd + gd= 0 kısıtı altında, ( α= g, ) β= g 0 g g H = g Z Z g Z Z < > 2 0 dz 0 > < 2 0 dz 0 z minimumdur. z maksimumdur. H Burada, çitlenmiş (kısıtl tlı) ) Hessian anlamına gelmektedir.

29 29 Kısıtlı uçdeğer probleminin Hessian determinantı ile, Jacobian determinantın da eşit olduğuna dikkat edelim. 0 g g H = g Z Z = J g Z Z

30 Örnek 2: z= fonksionunun, +=6 30 =6 kısıtı altında uçdeğerlerini Örnek 1 de incelemiştik. Şimdi bu problemi ikinci sıra koşullar açısından inceleelim. Daha önce şunları bulmuştuk: Z Z = λ = 0 = λ = 0 Z = 6 = 0 λ = 3, = 3 * * * * 3, Z z 9 λ = = = Buna göre, ikinci derece kısmi türevleri bularak, Hessian determinantı oluşturalım.

31 Buna göre, ikinci derece kısmi türevleri bularak, Hessian determinantı oluşturalım. 31 Z Z Z g = 0 = 0 = Z = = g = H = = 2> 0 z * = 9 bir maksimumdur

32 32 z f 1 2 n = (,,..., ) Amaç Fonksionu g(,,..., ) c 1 2 n = Kısıt Fonksionu H = 0 g1 g2 gn g Z Z Z n g Z Z Z n g Z Z Z n n1 n2 nn

33 33 Hessian determinantın ana minörleri: 0 g 1 2 H = g Z Z, H = g g Z Z g g g g Z Z Z g Z Z Z g Z Z Z Sonuncu ana minör: H n = H

34 34 z nin minimum olması için: in: H, H,..., H < 0 d z> n 2 z nin maksimum olması için: in: H H H H d z n 2 2 > 0, 3 < 0, 4 > 0,...,( 1) n > 0 < 0

35 m Z = f(,,..., ) + c g (,,..., ) 1 2 n j j 1 2 n j= 1 35 H = g g g n n g g g g g g m m m 1 2 n 1 2 m n 1 2 m n g g g Z Z Z g g g Z Z Z g g g Z Z Z 1 2 m n n n n1 n2 nn

36 36 n seçim değişkeni ve bir kısıtı er alan bir problemin genel uçdeğer koşulları şöledir: Koşul Maksimum Minimum Birinci Sıra Koşul İkinci Sıra Koşul Z = Z = 1 Z = λ 2... = Z = n 0 H H > 0, H < 0, n > 0,...,( 1) H > 0 n Z = Z = 1 Z = λ 2... = Z = n 0 H, H,..., H < n

37 37 n seçim değişkeni ve m kısıtı er alan bir problemde; Maksimum için in eterli koşul ul: ( 1) m+ 1 H m + 1 çitlenmiş ana minörün işareti olmak üzere, çitlenmiş ana minörler işaret değiştirmelidir. Minimum için i in eterli koşul ul: ( 1) m Tüm ana minörler anı işareti, ani işaretini almalıdır.

38 Örnek 3: 38 Z = f(,, w) = + + 2w 100 = w 80 = 2+ + w Lagrange Fonksionu: ( 2 2 2w 2) ( w) = + + +λ ( 80 2 w) +µ

39 Birinci sıra s koşular: 39 w λ µ = 2 λ 2µ = 0 = 2 2λ µ = 0 = 4w 3λ µ = 0 = w = 0 = 80 2 w = w = λ µ 80 * 265 * 215 * 135 * * 210 =, =, w =, λ = 10, µ =

40 H İkinci sıra s koşular: H 3 = 9> g g gw h h h w = g h f f f w = g h f f f w g w hw fw fw f ww H4 = H = 88 > 0 40 Kısıt saısı: m=2 m 2 ( 1) = ( 1) = 1> 0 Bu nedenle bir minimizason vardır.

41 Aşağıdaki gibi bir fada fonksionuna ve bütçe kısıtına sahip bir birein fada maksimizasonunu inceleelim. 41 U = U(, ), ( U, U > 0), P + P = M Z = U(, ) +λ M P P Birinci Sıra S Koşullar: Z M P P = = λ Z = U λ P = Z = U λ P = U λ= = a U U P P U P = ve P da * U λ = M

42 U U = P P Tüketici Denge Koşulu 42 İkinci Sıra S Koşullar: 0 P P H = P U U = P PU P U P U > P U U ise, U nun * ve * daki durgunluk değeri (U * ) maksimum olacaktır.

43 Şekil 3.2. Bütçe B e Doğrusu 43 M P Bütçe Doğrusu d d = P P M P

44 Şekil 3.3. Tüketici T Dengesi 44 U U = P P * E Kaıtsızlık Eğrileri * U 1 U 2 U 3 U* Tüketicinin Bütçe Doğrusu (Kısıtı)

45 45 İkinci derece kısmi türevler (U, U, U ), fada fonksionu ve dolaısıla kaıtsızlık eğrisi üzerinde çeşitli sınırla-malar getirmektedir. d/d= U /U kaıtsızlık eğrisinin negatif eğimli, d 2 /d 2 >0 kesin dışbüke olmasını sağlar. Bunu görelim.

46 d U U p = U = d U P d U d 2 d d d U 1 du du = = = U 2 2 U d d d U d d 46 du d du d = U + U, = U + U d d d d d d = p p

47 47 2 2PPU PU 2 PU 2 d H = = d PU PU H > 0 Fada maksimizasonu ikinci sıra koşulu sağlanırsa ( ), d 2 /d 2 >0 olur, ani kaıtsızlık eğrisi orijine göre kesin dışbüke (konveks) biçimdedir diebiliriz. Bu nedenle, Şekil 3.3 de kesikli eşil çizgile gösterilen kaıtsızlık eğrisi, bu seçim noktalarında fada maksimizasonu sağlanamadığından, fada teorisinden dışlanan bir kısımdır.

48 48 Eğer kaıtsızlık eğrisi, bütçe doğrusuna tek noktada değil de, iki ve daha çok noktada teğet olacak şekilde bir doğru kısma H = 0 sahipse, d 2 /d 2 =0 olacağından, dır. Ancak ikinci sıra koşul ortadan kalkmakla birlikte, fada maksimizasonu sağlanabilmektedir. Buna göre, fada fonksionu bu bölümde içbükeimsidir deriz.

49 49 Cobb-Douglas Fada ve Talep Fonksionları: 1. Genel Talep Fonksionunun TüretilmesiT U =,, 0 ma α β M P P 0 α β ( ) Z = +λ M P P

50 50 αm = Z P P α β 1 βm Z =β λ P = 0 = ( α+β) P Z = M P P = 0 α 1 β 0 ( ) =α λ = α+β λ α 1 β λ = α ( ) ( ) P Genel Talep Fonksionları

51 2. Gelir-Tüketim EğrisiE 51 Birinci sıra koşulların ilk denkleminde λ ları çekerek, denklemleri eşitleelim. α 1 β α β 1 ( ) ( ) ( ) ( β ) α λ = = P P βp = Gelir-Tüketim Eğrisi α P

52 Şekil 3.4. Slutsk Teoremi: Normal Mal 52 A 1-2 : İkame Etkisi (İE) 2-3 : Gelir Etkisi (GE) 1-3 : Toplam Etki (TE) 1 e 1 e 3 e 2 İE GE TE U U 2 1 B B B Tazmin Edilmiş Bütçe Doğrusu

53 53 Slutsk Teoremini Şekil 3.4 ü kullanarak açıklaalım. X malının fiatı (P ) düştüğünde, bütçe doğrusu toplam olarak doğrudan AB den AB e kaar. X malından satın alınan miktar 1 den 2 e ükselir. Bunun iki nedeni vardır: İkame Etkisi Gelir Etkisi

54 İkame etkisine göre tüketici, göreli anlamda daha ucuz olan X 54 malı tüketimini artırmıştır. Bunu ifade edebilmenin olu şudur: Bire anı fada düzeindeken, eni fiatları gösteren bütçe doğrusunu U 1 e teğet olacak şekilde çizeriz. Teğet noktasında, geçici denge noktası oluşur (e 2 ). e 2 denge noktasına karşılık gelen tüketim düzei 2 kadardır. i malına ikame etmemizden dolaı, 1-2 kadar bir ikame etkisi oluşur.

55 etkisidir. 55 Diğer andan, P in düşmesi nedenile birein reel gelirinde bir artış olur. Yani bire her iki maldan da daha fazla tüketebilme olanağına kavuşur. Bu nedenle birein fada düzei, daha ukarıda er alan U 2 e çıkar. Bu durumda bütçe doğrusunun eğimi, eni göreli mal fiatlarını ve eni dengei ansıtacak şekilde U 2 e teğet biçimde sağa kaar. malı tüketim düzei, 2 den 3 e artmış olmaktadır. Bu kısım gelir

56 Bu örneğimizde malının normal mal olduğu varsaılmıştır. Bu 56 nedenle, P deki azalma, in satın alınan miktarını artırmıştır. Yani talep asası gerçekleşmiştir. Talep asası, gelir etkisinin ters önde işlediği durumlarda geçerliliğini itirir. Bu türden mallar, Giffen malı olarak tanımlanmaktadır. Giffen malları aşırı baağıdır ve pozitif eğimli talep eğrisine sahiptir. Aşağıdaki şekillerde baağı ve Giffen malı durumları için ikame ve gelir etkileri gösterilmiştir.

57 Şekil 3.5. Slutsk Teoremi: Baağı Mal 57 A 1-2 : İkame Etkisi (İE) 2-3 : Gelir Etkisi (GE) 1-3 : Toplam Etki (TE) 1 e 3 e 1 GE İE TE e 2 Tazmin Edilmiş Bütçe Doğrusu B B B

58 Şekil 3.6. Slutsk Teoremi: Giffen Malı 58 A e : İkame Etkisi (İE) 2-3 : Gelir Etkisi (GE) 1-3 : Toplam Etki (TE) 1 e 1 U 2 3 GE İE TE( ) 1 2 e 2 U 1 Tazmin Edilmiş Bütçe Doğrusu B B B

59 Fada maksimizasonunu incelerken birein gelirini (M), mal 59 fiatlarını (P,P ) veri (dışsal) olarak aldık. Birinci ve ikinci sıra koşullar sağlandığında, denge değerlerini ( *, *, l * ), dışsal değişkenlerin bir fonksionu olarak azabiliriz (çünkü bu H = J durumda ) ve gelirdeki a da fiatlardaki değişmelerin, birein optimal dengesi üzerine etkilerini inceleebiliriz. Buna karşılaştırmalı durağanlık analizi dioruz. Bunu dikkate alarak, denge değerlerini tanımlaalım:

60 * * λ =λ ( P, P, M) 60 * * = ( P, P, M) * * = ( P, P, M) Şimdi de birinci sıra koşulları, denge değerlerini dikkate alarak azalım. * * M P P 0 * * * U (, ) λ P 0 * * * U (, ) λ P 0

61 Her bir özdeşliğin toplam diferansielini bulalım. 61 P d P d = dp + dp dm * * * * Pdλ + U d + U d = λ dp * * * * Pdλ + U d + U d = λ dp * * * * Tüketicinin gelirindeki bir değişmenin, optimal tüketici dengesine nasıl etki edebileceğini inceleelim. Dolaısıla dp =dp =0, dm 0 varsaımlarını apalım. Yukarıdaki birinci sıra koşulların toplam diferansielleri soldaki biçime dönüşür. Eşitliklerin her iki anını dm terimile bölelim (sağdaki biçim).

62 0dλ P d P d = dm * * * Pdλ + U d + U d = * * * Pdλ + U d + U d = * * * * * * λ 0 P P = 1 M M M * * * λ P + U + U = M M M * * * λ P + U + U = M M M 0 0

63 63 Yukarıdaki (sağdaki) son ifadei matris biçimile azalım. 0 P * P λ dm 1 * P U U dm 0 = * P dm 0 U U H = J Şimdi Cramer çözüm öntemini kullanarak, karşılaştırmalı durağanlıkları ifade edelim.

64 P * 1 1 P U = P 0 U = M J J P U P 0 U 0 P 1 * 1 1 = P U 0 = M J J P U 0 P P U U

65 65 Şimdi de P deki değişimin etkilerine bakalım. 0 P * * P λ dp * * P U U dp = λ * P dp 0 U U

66 malı için karşılaştırmalı durağanlık şöle olacaktır: 66 0 P λ P J P 0 U J P U J P U * * * * 1 0 * P U P = P λ U = + * * 0 * λ P = ( ) + M J P U Gelir Etkisi İkame Etkisi Gelir etkisi terimindeki *, ağırlık görevi görür. Toplam bütçede malının önemi ne kadar büükse, gelir etkisi de o denli büük olacaktır.

67 P de medana gelen değişimin ol açacağı gelir kabını şu diferansielle gösterebiliriz: 67 dm dp * = = dm dp Bunu, karşılaştırmalı durağanlıktaki erine azalım. 0 P dm λ P J M dp J P U P 0 U * * * * 1 0 * P = P λ U = + Gelir Etkisi İkame Etkisi

68 Şimdi P deki artışın ol açtığı gelir kabının, biree ek bir gelir verilerek telafi edildiğini varsaalım. Bu durumda gelir etkisini ortadan kaldırmaktaız, telafi sonrası alnızca ikame etkisini görmüş olmaktaız. Gelir kabının telafi edilmesi, birinci sıra koşulların toplam diferansielinde er alan ilk denklemdeki 68 dm= dp teriminin sıfır olması anlamına gelir. dp 0 iken, bu terimin sıfır olabilmesi için, * ın P e göre karşılaştırmalı durağanlığını oluşturduğumuz matris eşitliklerinin sağındaki vektörün ilk terimi ( * ) sıfır olmalıdır.

69 0 P P λ * dp 0 P U U * dp * = λ * P U U dp 0 * = P * 1 λ * 0 P * = P λ U = Tazmin Edilmiş 0 P J J P U P U

70 Buna, göre P deki artışın ol açtığı gelir ve ikame etkilerini birlikte eniden azalım. 70 * * * * = + P M P Tazmin Edilmiş Gelir Etkisi İkame Etkisi Gelir ve ikame etkisini iki bileşene aıran bu sonuca, Slutsk denklemi dioruz.

71 P deki artışın sonucunda gelir etkisi ve ikame etkisinin işaretleri konusunda ne söleebiliriz? 71 * * λ 0 P = < P J P U Tazmin Edilmiş ( + ) ( ) 0 * 1 P U > 0 = M J P U < 0 ( + ) (?) (?) İşaretin belirliliği, malın normal mal mı, oksa baağı mal mı olduğuna bağlıdır. Normal mallarda pozitif, baağı mallarda negatif olur.

72 Slutsk teoremini anlatırken, Lagrange fonksionunu bütçe kısıtı altında fadanın maksimizasonuna göre oluşturduk ve 72 problemi çözdük. Bu problemin duali (ikincili) fada kısıtı altında toplam harcamanın minimize edilmesidir. Bu durumda Lagrange fonksionunu şöle oluştururuz: P + P,, 0 min U α β 0 ( α β ) Z = P + P +µ U

73 73 Her iki problemin çözümünden elde edilecek olan optimal * ve * değerleri anıdır. Aşağıdaki örnek ile bunu görelim. ma ( ) U = U, =,, 0 M = P + P

74 74 ( ) Z = +λ M P P Z = λ P = Z = λ P = 0 0 Z = M P P = λ 0 M M =, = 2P 2P

75 Dolalı Fada Fonksionu: 75 U M M M 2 = = = 2P 2P 4P P Şimdi de ukarıdaki problemin dualini azalım: P + P,, 0 min (, ) U U = U

76 76 ( ) Z = P + P +µ U Z = P µ = Z = P µ = Z = U = µ M c =, = 2P c M c =, = 2P c P P P µ= = = P

77 77 P P P = = = = P P P 2 U P = U P 1 2 malının Tazmin Edilmiş Genel Talep Fonksionu P = P U 1 2 malının Tazmin Edilmiş Genel Talep Fonksionu

78 78 Harcama Fonksionu: = + c c M P P P 1 2 M = U P + U P P P P 1 2 M = 2 ( P P U) 1 2

79 Fiat değişimleri karşısında tazmin edilmiş talep 79 fonksionlarına ulaşabilmek için, veri bir fada düzeini sabit olarak kabul edip, birein buna ulaşmasını sağlaacak optimal miktarları belirleriz. Bulacağımız tazmin edilmiş talep fonksionlarını da kullanarak, birein anı (veri) fada düzeinde kalmasını sağlaacak olan minimum gelir düzeini belirlemiş oluruz. Veri fada düzei: U = M 2 4P P

80 80 Veri fadaı, tazmin edilmiş genel fada fonksionlarındaki erlerine azalım ve düzenleelim. c P P M M 1 = U = = P P 4PP 2 PP c P P M M P = U = = P P 4PP 2P P

81 Veri fada düzei için elde ettiğimiz talep fonksionlarını dual problemin amaç fonksionundaki erlerine azarak, minimum gelir düzeini belirlemiş oluruz. 81 M = P + P c c M 1 M P M = P + P 2 PP 2P P P M M P = 1 2

82 Bu minimum gelirin gerçekleştirilebilmesi için, tüketicie optimal ( ) ve gerçek gelir ( M ) düzeleri arasındaki fark M kadar bir sübvansion sağlanmalıdır. Bu sübvansionu şöle 82 belirleriz: P = = P S M M M M 1 2 P S M P 1 2 = 1

83 83 Örnek 4: Aşağıdaki fada fonksionunu, veri gelir ve fiatları dikkate alalım. Buna göre optimal tüketim düzelerini (, ), toplam fadaı ( ), telafi edilmiş (düzeltilmiş) talep c, c U fonksionlarını ( ), minimum gelir ve sübvansion M, S düzelerini ( ) belirleelim. 2 M U =, M = 100, P = 4, P = 5 4PP

84 M 100 M 100 = = = 12.5, = = = 10 2P 2(4) 2P 2(5) 84 U ( 100) 2 M = = = 4PP 4(4)(5) c M = = = 2 PP 2 4P 25 ( P ) 1 2 c M P 100 P = = = 2P P 2(5) 4 5 ( P ) 1 2

85 85 ( ( ) ) ( ) ( ) M = P + P = 25 P P + 5 P (5) c c M = 50 ( P ) 1 2 ( ) S = M M = 50 P

86 Şimdi malı fiatının 5 e ükseldiğini varsaarak, ukarıda bulduklarımızı eniden inceleelim, ikame ve gelir etkilerini belirleelim. 86 c c ( P ) ( ) = 25 = 25 5 = ( P ) ( ) = 5 = 5 5 = Buna göre ikame etkisi: = = 1.32 c = = 1.18 c

87 Şekil 3.7. Slutsk Teoremi 87 M P M P 2 Gelir Etkisi 1 2c 2u 1 İkame Etkisi U 2 U 1 Gelir Etkisi : İkame Etkisi : 2c 2u 1 2c 2u 2c 1 M P 1 2 M P 2 2 M P 1 1

88 88 Birein, malı fiatının değişmesinden önceki fada düzeini U 1 ( ) sağlaabilmek için öncekinden daha üksek bir parasal gelire ihtiacı vardır. Bu gelir: ( ) ( ) M = 50 P = 50 5 = 112 Anı fada düzeini elde edebilmek için sağlanacak sübvansion: ( ) 1 2 S = M M = 50 P 100 = = 12

89 89 Sübvanse edilmemiş tüketim düzelerini de ( u, u ) şöle buluruz: u M 100 M 100 = = = 10, u = = = 10 2P 2(5) 2P 2(5) Buna göre gelir etkisi: c c = = 1.18 u = = 1.18 u

90 90 Slutsk Denklemi: Slutsk denklemini türetmek için, harcama minimizasonu a da bunun duali olan fada maksimizasonu problemi ile işe başlarız. Her iki şekilde oluşturulan problemin birinci sıra koşullarının çözümünden elde edilecek optimal ve tüketim düzeleri ( =, = c c ) anıdır: ( ) (,, ) =,, (,, ) P P U P P M P P U c

91 91 Yukarıdaki eşitliğin her iki anının P e göre türevini alalım: c M = + P P M P a da d d d dm c = + dp dp dm dp du = 0 dm = 0 dp = 0 du = 0 dp = 0 dp = 0 dp = 0 dp = 0

92 Son ifadei eniden düzenleerek Slutsk denklemine ulaşırız: 92 d dc d dm = dp dp dm dp dm = 0 du = 0 dp = 0 du = 0 dp = 0 dp = 0 dp = 0 dp = 0 Slutsk denkleminin sağındaki son terim * a eşittir. Bunu görelim.

93 93 = + M P P M P = d d d c = dp dm 0 dp = dm du = 0 dp = 0 dp = 0 dp dp = 0 = 0

94 HOMOJEN VE HOMOTETİK FONKSİYONLAR

95 95 Homojen (Türde rdeş) ) Fonksionlar Eğer bir fonksionun tüm bağımsız değişkenleri j gibi bir sabitle çarpıldığında fonksionun değeri j r oranında artıorsa, bu tür bir fonksiona r. dereceden türdet rdeş (homojen) fonksion deriz. r 1 2 n 1 2 f ( j, j,..., j ) = j f (,,..., ) n

96 Örnek 5: fonksionunu, türdeşlik açısından inceleelim. f(,, w) = + 2w 3 96 f ( j, j, jw) ( j) 2( jw) = + ( j) 3( j) = + 2w 3 = f (,, w) = j f(,, w) 0

97 Örnek 6: fonksionunu, türdeşlik açısından inceleelim. f(,, w) = + 2w f ( j, j, jw) ( j) 2( jw) j j 2w = + = + ( j) ( j) j j = j + 2w 2 2 = jf w = j f w 1 (,, ) (,, )

98 98 f (,, w) = 2 + 3w w Örnek 7: fonksionunu, türdeşlik açısından inceleelim f( j, j, jw) = 2( j) + 3( j)( jw) ( jw) ( 2 3 ) = j + w w = 2 j f(,, w)

99 Doğrusal türdeş fonksionlarda, tüm bağımsız değişkenler j 99 gibi bir oranda artırıldığında, fonksionun değeri de j oranında artar. Bunun iktisat teorisindeki en ii örneği, üretim fonksionlarıdır. Şimdi doğrusal türdeş bir üretim fonksionunu dikkate alalım: Q = f( K, L) Bu doğrusal türdeş üretim fonksionuna ilişkin aşağıdaki özellikleri söleebiliriz.

100 ÖZELLİK K I: Q=f(K,L) doğrusal türdeş üretim fonksionunda ser-mae ve işgücünün ortalama fiziksel ürünleri (APP K, APP L ) alnızca K/L nin bir fonksionudur. 100 Q K L K Q = f( K, L) = f, = f,1 L L L L Q APP = = q =φ( k) L L APP K Q Q L φ( k) = = = K L K k

101 101 Üretim fonksionu birinci dereceden türdeş ise (doğrusal türdeş), sermae ve işgücünün ortalama fizik ürünleri sıfırıncı dereceden türdeştir. Yani K ve L deki anı oranlı değişiklikler, ortalama fizik ürünleri etkilemeecektir.

102 ÖZELLİK K II : Q=f(K,L) doğrusal türdeş üretim fonksionunda ser-mae ve işgücünün marjinal fiziksel ürünleri (MPP K, MPP L ) alnızca K/L nin bir fonksionudur. Q = f( K, L) Q = Lφ( k) K k L 1 = = K K L K k L K = = 2 L L L 102

103 MPP K [ Lφ k ] Q ( ) φ( k) = = L K K K dφ( k) k 1 = L = Lφ ( k) =φ ( k) dk K L 103 [ Lφ k ] Q ( ) φ( k) MPPL = =φ ( k) + L L L L =φ ( k) + Lφ ( k) k K K =φ ( k) + Lφ ( k) =φ( k) kφ ( k) 2 L

104 104 Üretim fonksionu birinci dereceden türdeş ise (doğrusal türdeş), sermae ve işgücünün marjinal fizik ürünleri sıfırıncı dereceden türdeştir. Yani K ve L deki anı oranlı değişiklikler, marjinal fizik ürünleri etkilemeecektir. ÖZELLİK K III : Q=f(K,L) doğrusal türdeş üretim fonksionusa, şunu azabiliriz: Q Q K + L Q K L

105 Kanıt: 105 Q Q K + L = Kφ ( k) + L φ ( k) + kφ ( k) K L [ ] = Kφ ( k) + Lφ( k) Kφ ( k) = Lφ ( k) = Q Euler Teoremi olarak adlandırılan bu sonuca göre, doğrusal türdeş üretim fonksionula üretim apılan bir erde, girdilere marjinal ürünleri ölçüsünde ödeme apıldığında, ortadan ne dağıtılmaan, ne de fazla ürün kalmaacağını sölemektedir.

106 Cobb-Douglas Üretim Fonksionu 106 Q α β = AK L, α> 0, β> 0 Burada A, teknolojik düze indeksi; α, sermaenin toplam üründen aldığı pa (a da üretim-sermae esnekliği); β, işgücünün toplam üründen aldığı padır (a da üretim-işgücü esnekliği). Fonksionun bazı özellikleri şöledir: 1. (α+β) derecesinden homojendir. 2.Eşürün eğrileri negatif eğimli ve kesin dışbükedir. 3.Üretim fonksionu kesin içbükeimsidir.

107 Türdeşliğini inceleelim: 107 α β α+β α β α+β A( jk ) ( jl) = j AK L = j Q α+β=1 durumunda Cobb-Douglas üretim fonksionu doğrusal türdeştir. Şimdi de eşürün eğrisi ile ilgili özelliklere bakalım. Bunun için Cobb-Douglas üretim fonksionundan hareketle, üretim düzeini veri (Q 0 ) kabul ederek aşağıdaki işlemleri apalım. α β = AK L Q 0 ln A+α ln K +βln L lnq = 0 0

108 Yukarıdaki son ifade bir örtük fonksiondur. Yalnızca K ve L nin değişimine izin vererek, toplam diferansieli azalım. 108 F F F F dk + dl = 0 dk = dl K L K L dk dl F β L L βk = = = F α αl K K Eşürün n eğrisi e negatif eğimlidir. e

109 109 dk βk K d d d dl d 2 K αl β L = = = = dl dl 2 dl α dl 2 d K β 1 dk = L K dl 2 L 2 > α dl 0 Eşürün n eğrisi e dışd ışbükedir.

110 α+β=1 durumunda Cobb-Douglas üretim fonksionu doğrusal türdeştir: 110 Q = α AK L 1 α Şimdi bu fonksionu, doğrusal türdeş fonksionun özellikleri açısından inceleelim. İlk olarak, fonksionu oğunlaştırılmış biçimde azalım. α 1 α α α Q = AK L = AK LL α K K Q = A L= LA LAk α L = L α α

111 Ortalama Fizik Ürünler: 111 Q = LAk α APP K Q Q L LAk 1 Ak = = = = = K L K L k k α α Ak α 1 APP L α Q LAk = = = L L Ak α

112 Marjinal Fizik Ürünler: 112 Q MPPK = = AαK L K α 1 1 α Q α MPPL = = A(1 α) K L L α 1 α 1 ( α 1) K α 1 = Aα K L = Aα = Aαk L α K = A(1 α ) = A(1 α) k L α α

113 EULER Teoremi: 113 Q Q K + L = K Aα k + L A α k K L ( α 1 ) ( (1 ) α) Kα = LAk α + 1 α Lk α [ 1 ] = LAk α+ α = LAk = Q α

114 α ve β parametrelerinin anlamları: Sermae ve işgücünün üretimdeki göreli palarıdır: Sermaenin göreli paı: α 1 K( Q K) KAαk = =α Q LAk α İşgücünün göreli paı: α L( Q L) LA(1 α) k = = 1 α α Q LAk

115 Sermae ve işgücünün üretime göre esneklikleridir: α 1 ( Q K) Aαk ε QK = = =α α ( QK) ( LAk) K α ( Q L) A(1 α) k ε QL = = = 1 α α ( QL) ( LAk) L

116 Endüşük Malietli Girdi Bileşimi imi 116 Bir firmanın üretim kotası (üretim kısıtı) koarak, toplam malietlerini minimize etmei amaçladığını varsaalım. Bu tür bir problem, kısıtlamalı optimizason konusula ilgilidir. Önce genel bir üretim fonksionu ile çalışalım, daha sonra Cobb- Douglas üretim fonksionunu kullanalım. Q = Q( K, L), Q > 0, Q > 0 K L Amaç Fonksionu: TC = rk + wl Kısıt t Fonksionu: QKL (, ) = Q 0

117 Lagrange Fonksionu: 117 Z = rk + wl+µ Q0 Q( K, L) Birinci Sıra S Koşullar: Z Q Q( K, L) 0 µ = 0 = Z = r µ Q = K L K Z = w µ Q = L 0 0 Üretici Denge Koşulu: r Q K w = =µ Q L

118 Denge koşuluna göre, her iki girdinin birim marjinal ürünü başına apılan harcamaların eşitlendiği durumda, firma 118 malietlerini minimize etmektedir. Lagrange çarpanı (µ), optimal durumdaki marjinal maliettir. Denge koşulunu şöle de azabiliriz: r w Q w = L = Q Q Q r K L K

119 Bu durumda denge koşulu, eşürün eğrisinin eğimile, bütçe doğrusunun (toplam harcama doğrusunun) eğimi birbirine eşit olmakta a da her iki eğri denge noktasında teğet olmaktadırlar. Q Q Q( K, L) = Q0 dq0 = dk + dk = 0 K K dk Q L Q = = dl Q K Q TC w TC = rk + wl K = L r r dk dl = w r L K 119

120 Şekil 3.8a. Üretim Kısıtı Altında Malietin Minimizasonu: DışD ışbüke Eşürün E n EğrisiE 120 K 2 dk dl = QKKQL 2QKLQKQL + QLLQK > 0 Q 2 3 L A A D Q Q L K = w r K * E 0 Q 0 * L B B L

121 Şekil 3.8b. Üretim Kısıtı Altında Malietin Minimizasonu: İçbüke Eşürün E n EğrisiE 121 K A A K * D 2 dk dl = QKKQL 2QKLQKQL + QLLQK < 0 Q 2 3 L E Q Q L K w = r 0 Q 0 * L B B L

122 İkinci Sıra S Koşullar: 122 Minimum malietin garanti edilebilmesi için, sağlanmalıdır: H < 0 0 Q K Q H = Q µ Q µ Q K KK KL Q µ Q µ Q L LK LL L 2 2 =µ QQ L KK 2QKLQQ K L + QQ K LL < 0 µ> + < 2 2 0, QQ L KK 2QKLQQ K L QQ K LL 0

123 Eşürün eğrisinin eğimini inceleelim: dk dl = QKKQL 2QKLQKQL + QLLQK > 0 Q 2 3 L Bu sonuç, denge noktasında eşürün eğrisinin kesin dışbüke olacağını sölemektedir. Ancak ve ancak, birinci ve burada elde ettiğimiz ikinci sıra koşullar sağlandığında, belirli üretim kısıtı altında toplam malieti minimize eden üretim düzeini belirleebiliriz (Şekil 3.8a). Şekil 3.8b durumunda ise, birinci sıra koşul sağlanmakla birlikte, ikinci sıra koşul erine getirilememektedir.

124 Bu modelde, Q 0 daki değişmelerin üretici dengesi üzerine 124 etkilerine, karşılaştırmalı durağanlık analizlerile bakalım. Üretim kısıtındaki her değişme, üreticinin eni bir denge noktasına geçmesine neden olacaktır. Bu noktaları birleştirirsek, üretim genişleme çizgisini elde ederiz. Eşürün eğrisinin kesin dışbüke olduğunu kabul ederek,genişleme çizgisini birinci sıra koşullardan hareketle elde ederiz. Cobb-Douglas ile bunu görelim. Birinci sıra koşulundan, denge tanımını elde etmiştik:

125 Q α β 1 w L AβK L βk = = = α 1 β K α α r Q A K L L 125 α ve β ile girdi fiatları sabitken, bu oranı eniden şöle azabiliriz: K L * * αw = Üretim Genişleme Çizgisi β r α ve β ile Cobb-Douglas üretim fonksionunda α ve β toplamının bire eşit, büük a da küçük olmasından bağımsız olarak üretim genişleme çizgisi Şekil 3.9b deki gibi her zaman doğrusaldır. Genel olarak, her hangi bir türdeş üretim fonksionu, doğrusal üretim genişleme çizgisine ol açar.

126 Şekil 3.9. Üretim Genişleme Çizgisi 126 K Üretim Genişleme Çizgisi K Üretim Genişleme Çizgisi e3 e 2 e 1 e e3 2 e 1 0 L 0 L (a) (b)

127 α ve β ile Cobb-Douglas üretim fonksionunda α ve β toplamının bire eşit, büük a da küçük olmasından bağımsız olarak üretim genişleme çizgisi Şekil 15b deki gibi her zaman doğrusaldır. Genel olarak, her hangi bir türdeş üretim fonksionu, doğrusal üretim genişleme çizgisine ol açar. 127 Çünkü eğer üretim fonksionu r derecesinden türdeş ise, Q K ve Q L, K ve L girdilerine göre (r 1) derecesinden türdeştir. Bu durumda her bir girdi j kat arttığında, Q K ve Q L de j ( r 1) kat artacağından, Q K /Q L oranında hiçbir değişme olmaz.

128 128 Homotetik Fonksionlar Yukarıda genel olarak, homojen üretim fonksionlarının doğrusal bir genişleme çizgisine ol açtığını gördük. Homotetik fonksionlar da anı özelliğe sahiptir. Bir homotetik fonksion, anı zamanda türdeş olmaı içerir. Ancak bunun tersi doğru değildir. Q(K,L), r. derecen homojen bir fonksion ise, bir homotetik fonksionu şöle azabiliriz: ( ) ( ) ( ) H Q = h Q K, L, h Q 0

129 129 H homotetik fonksionu, h gibi homojen bir fonksiondan türetilmesine rağmen, K ve L e göre homojen olmaabilir. Buna karşın H nin genişleme çizgisi, h ninki gibi doğrusaldır. Bunun nedeni, H eşürün eğrisinin, Q eşürün eğrisile anı eğime sahip olmasıdır. H h Q Q Q H h Q Q Q ( ) ( ) L L = = K K K L

130 Şekil Homotetik Üretim Fonksionu 130 K 0e 0 2 e 1 j Üretim Genişleme Çizgisi jk 0 K 0 e 1 e 2 Q 0 0 L0 jl0 Q 0 L

131 Örnek 8: 131 ( ) 2 α β H Q = Q, Q = AK L Hem Q hem de H homojen h Q = 2Q> 0 ( ) ( ) ( ) 2 α β 2 2α 2β H Q = AK L = A K L 2 2α 2β 1 H L 2βA K L βk 2 2α 1 2β H K 2 α AK L = = α L Doğrusal Genişleme Patikası

132 Örnek 9: 132 ( ) Q α H Q = e, Q = AK L β Q homojen, H ise homojen değil Q = e > ( ) h Q 0 ( ) H Q = e α AK L β α β α β 1 AK L H L βak L e βk = α β = α 1 β AK L H K αak L e α L Doğrusal Genişleme Patikası

133 CES Üretim Fonksionu 133 CES (Constant Elasticit of Substitution, Sabit İkame Esnekliği) üretim fonksionu şöledir: 1 ρ ρ ρ Q= A δ K + (1 δ ) L, A> 0, 0 <δ< 1, 1 <ρ 0 Cobb-Douglas üretim fonksionu, CES üretim fonksionunun (ρæ0 iken) özel bir biçimidir. Bunu daha sonra göreceğiz. CES deki bir çok parametre ve değişken, Cobb-Douglas daki gibidir. A, etkenlik parametresidir (teknoloji endeksi); δ, üretimin girdiler arasındaki dağılımını; ρ parametresi, ikame esnekliğinin derecesini belirler.

134 İlk olarak CES in türdeşliğini inceleelim: ρ ρ ρ = A δ ( jk) + (1 δ)( jl) 1 ρ ρ ρ = ja δ K + (1 δ ) L = jq Bu sonuca göre CES, birinci dereceden (doğrusal) türdeştir. Yani ölçeğe göre sabit getirie sahiptir. Ortalama ve marjinal fizik ürünler sıfırıncı dereceden türdeştir, Euler teoremini sağlar ve kesin içbükeimsidir (kaıtsızlık eğrileri kesin dışbükedir). Bu son özelliği görelim. Bunun için aşağıda sırasıla işgücü ve sermae için marjinal fizik ürünleri belirleelim.

135 Q 1 QL = = A δ K + (1 δ) L (1 δ)( ρ) L L ρ 1 ρ ρ 1 ρ ρ 1 1+ρ ρ ρ ρ (1 +ρ) = (1 δ) A δ K + (1 δ) L L 1+ρ 1 ρ ρ +ρ ρ (1 +ρ) K L L ρ ( 1 ) A = (1 δ) δ + (1 δ) A ρ (1 δ) Q = ρ A > L 0 Q K 1+ρ Q δ Q = = > ρ K A K 0

136 Eşürün eğrisinin eğimi: 136 dk 1+ρ (1 δ) Q 1 Q A L +ρ (1 δ) K = = = < δ A K ρ L 1+ρ dl Q K δ Q L ρ 0 Şimdi de d 2 K/dL 2 e bakalım: 2 1+ρ ρ d K d( dk / dl) (1 δ )(1 +ρ) K L 2 2 dl dl δ L = = > ( (1 +ρ) ) 0

137 İkame esnekliği, göreli faktör fiatlarındaki üzde değişimin, sermae ve işgücü ikamesinde üzde olarak nasıl bir değişme olabileceğini, bir başka ifadele veri faktör fiatlarında K ve L nin birbirini ne ölçüde ikame ettiklerini gösterir. Bunu CES için görelim: 137 d( K L) d( K L) ( K L) d( w r) σ= = Genel olarak ikame esnekliği dwr ( ) ( KL) ( wr) ( wr)

138 Optimal girdi bileşimi sağlandığında, şu denge koşulunun geçerli olacağından hareket edelim: 138 Q w (1 δ) K L = = Q r δ L K 1+ρ Buradan optimal girdi oranını azabiliriz: K L * * 1 1+ρ (1 δ) w = δ r 1 1+ρ

139 139 Her iki anın önce logaritmasını, sonra da (w/r) e göre türevini alırsak, ikame esnekliğini elde ederiz. * * * * * * dln( K L ) d( K L ) ( K L ) 1 σ= = = dln( wr) dwr ( ) ( wr) 1 + ρ

140 Cobb-Douglas üretim fonksionu, CES üretim fonksionunun (ρæ0 iken) özel bir biçimidir. Aşağıdaki işlemleri aparak, bunu görelim: ρ ρ ρ Q = A δ K + (1 δ) L 1 ( ) ρ ρ lim Q = lim A K (1 ) L ρ δ + δ = ρ 0 ρ Belirsizliğini ortadan kaldırmak için, her iki anın doğal logaritmasını alıp, L Hopital kuralını kullanalım.

141 ln Q A = ρ ln δ K + (1 δ) L ρ ρ 141 ( ρ ρ ln δ + (1 δ) ) d K L Q dρ lim ln lim ρ 0 A = ρ 0 d ρ dρ L Hopital kuralı ugulandı. Q δ ln K + (1 δ)ln L lim ln lim ln ρ 0 A = = ρ 0 1 ( δ K L 1 δ ) limq = lim A δ K + (1 δ ) L = AK L ρ 0 ρ 0 1 ρ ρ ρ δ 1 δ