ABSOLUTE HAUSDORFF SUMMABILITY OF THE FOURIER SERIES

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ABSOLUTE HAUSDORFF SUMMABILITY OF THE FOURIER SERIES"

Savas Pamuk
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Fourier Serilerii Mul Husdor Toplbilmesi C.B.Ü. Fe Bilimleri ergisi ISSN C.B.U. Jourl o Sciece 7. ( ( 3 9 FOURĐER SERĐLERĐNĐN MUTLAK HAUSORFF TOPLANABĐLMESĐ Abdullh SÖNMEZOĞLU Bozo Üiersiesi, Fe-Edebiy Fülesi, Memi Bölümü, 66 Yozg Öze Bu çlışmd, ( dizisi içi (, periyolu osiyouu Fourier serisii rlığıd Lebesgue lmıd iegrlleebile H, oplbilmesi ile ilgili ii eorem isplmışır. Ahr Kelimeler: Fourier serisi, Toplbilme, Mul Husdor oplbilme. ABSOLUTE HAUSORFF SUMMABILITY OF THE FOURIER SERIES Absrc I his sudy, wo heorems wih respec o ucio which hs sequece (, re proed. H, summbiliy o Fourier series o, or period d iegrble i he me o Lebesgue i he ierl ( Key Words Fourier series, Summbiliy, Absolue Husdor summbiliy,. *Abdullh SÖNMEZOĞLU bdullh.somezoglu@bozo.edu.r

2 C.B.Ü. Fe Bil. ergisi (3 9, /Abdullh SÖNMEZOĞLU. GĐRĐŞ Bu çlışmd ess olr (, rlığıd Lebesgue lmıd iegrlleebile periyolu bir osiyou Fourier serisii H, mul Husdor oplbilmesi ele lımışır. Mul Husdor oplbilme de ele lı Fourier serilerii meodu, [ ] mul Ces ro oplbilmesii bir geellemesi olr dldırılmdır. de C 97 de Hurwiz e Silerm [ ] Ces ro mrisi ile değişmeli ol üçgesel mrisleri sıııı ımlmışlrdır. Bu değişim problemi, operör eorii bilie değişim problemlerii çoğud öce reel gelmeedir. Hurwiz e Silerm, ( ey omples bir dizi e, (, + + ile ımlı ileri r operörü olm üzere, h ormu ship mris sıııı bulmuşlrdır. 9 de Husdor [ 3 ] de yı değişim problemii çözmüşür e Husdor mrislerii regülerliği e oseriliği içi gereli e yeerli oşullr ermişir. Bu oplbilme meoduu dizide diziye ıml döüşüm olduğu [ 4 ] e belirilmişir. Fourier serilerii mul Husdor oplbilmesii özel durumu ol mul Hölder oplbilme ımı ise [ 5 ] e erilmişir. Bu çlışmd bhsedile e [ ] 6 d ıml Mul Husdor oplbilme, Husdor oplbilme yrdımıyl oluşurul bir iegrl serisii yıslığıdır. Çlışm boyuc ; i L(, b ile osiyouu (, b de Lebesgue lmıd iegrlleebilirliği, φ BV, ile φ osiyouu ii ( ( (, rlığıd sıırlı slıımlı olduğu, iii yıslığı, i < ile serisii mul ile i m değeri göserileceir. reel ey omples değerli bir dizi ( olm üzere p. merebede leri rı; p içi, p p p p içi + şelide göserileceir. Bulrı dışıd K, her durumd yı olmsı geremeye pozii bir sbii gösereceir. Tım. osiyou (, rlığıd Lebesgue lmıd iegrlleebile periyolu bir osiyo olsu. Burd e b olm üzere + cos d si d ( cos + b si rigoomeri osiyo serisie osiyouu Fourier serisi ey osiyou rşılı geirile Fourier serisi deir e 4

3 Fourier Serilerii Mul Husdor Toplbilmesi + ( cos + b si ( şelide göserilir [4]. Tım. A ( sosuz mris olm üzere A mrisie rşılı geirile döüşüm, ( b diziside ( c dizisie ıml c, b ( ile ımlır. Eğer bu döüşüm yıslığı oruyors, yi b b c c ise bu döüşüm oseri döüşüm olr dldırılır [ 4 ]. Tım 3. ( reel ey omples değerli bir dizi olsu. iğer r serisii ısmi oplmlr dizisi ( s olm üzere, ( s diziside ( dizisie s (3 ile ıml döüşüme ( dizisie rşılı geirile Husdor döüşümü deir e ısc ( H, ile göserilir. Ayrıc bu ımdi ( dizisie, ( s dizisii Husdor döüşüm dizisi deir. Eğer lim s ise, serisie ey ( s dizisie s değerie Husdor oplbilirdir deir e s s( H, ile göserilir [ 4 ]. Tım 4. göre, ( 3 dei gibi ımlsı. Bu ( 4 ise serisie mul Husdor oplbilir ey deir[ 6 ]. H, oplbilirdir.esas SONUÇLAR Teoremlerimizi ide e isp emede öce eoremleri ispıd ullılc ol bzı lemmlrı erelim. Lemm.. ( H, döüşümüü oseri olmsı içi gere e yeer şr; içi i ii dχ χ sıırlı slıımlı,,,... şrlrıı sğly χ mome osiyouu mecu olmsıdır [ 7 ]. Lemm.. m e, m olc şeilde pozii msyılr olsulr. < içi düzgü olr m si olc şeilde K syısı rdır[ 8 ]. Lemm.3. Kbul edelim i i ii < si şrlrı sğlsı. Bu durumd ( H, oplbile her sıırlı slıımlı osiyou Fourier serisii H, oplbilmesi içi gere e yeer şr; içi 5

4 C.B.Ü. Fe Bil. ergisi (3 9, /Abdullh SÖNMEZOĞLU olmsıdır [ 6 ]. si Lemm.4. < < e z omples syı olm üzere z olsu. Bu durumd içi düzgü olr ( ( z Lemm.5. Teorem.6. ( d K ( z [ 9 ]. dır dır [ 6 ]. ( L(, e ( + ( olm üzere i ( ( + + ( φ BV (,, oseri döüşüm ii ( H iii > e z de z şrıı sğly bir omples syı olm üzere ( Im( z χ d. şrlrı sğlsı. Bu durumd osiyouu ( dei Fourier serisi H, oplbilirdir. Đsp. ( s, ( dizisi olm üzere serisii ısmı oplmlr s ( cos + b si ( cos d φ dır. Amcımız < olduğuu gösermeir. Öcelile olduğuu die lr, Abel ısmi oplm ormülü, oplmı sırsıı değişirme meodu e ısmi iegrsyo meodu ullılr + s s s ( s s+ + s ( cos( + φ ( d si( + dφ( + si( + dφ( + elde edilir. Böylece Lemm., eoremi i e ii hipoezleri ullılr dφ ( 6

5 Fourier Serilerii Mul Husdor Toplbilmesi ( (!!! ( ( dχ yzılbilir. Böylece ısmi iegrsyol ( ( dχ ( ( + χd olup içi iii hipoezi e Lemm.4 de (! (! χ χ χ! ( Im( z d (! K elde edilir. Buu soucu olr! ( z serisi yıs olduğud rşılşırm eoremide serisi de yısır. Bu ise eoremi ispıı mmlr. Teorem.7. L, + ( ( e ( ( olm üzere i ( ( + + ( φ BV (,, oseri döüşüm ii ( H e g L(, olm üzere iii > mome osiyou y χ ey ( + ( + ( g( d ( g( d χ. χ, şrlrı sğlsı. Bu durumd osiyouu ( dei Fourier serisi H, oplbilirdir. Đsp. Đl olr ( de, geel ormu değişirmesizi seçilirse A e φ cos + b si φ( cos d ( A cos elde edilir. Böylece seride seriye döüşüm ile A Fourier serisii ( döüşümü C A şelide olup ısmi iegrsyo ile C φ ( cosd ( dφ( si dφ H, seri ( bğıısı elde edilir. i hipoezide φ ( osiyou sıırlı slıımlı e Lemm.3 de ( ımlı olduğud C ımlıdır. 7

6 C.B.Ü. Fe Bil. ergisi (3 9, /Abdullh SÖNMEZOĞLU Ayrıc dizide diziye bir döüşüm, seride seriye döüşüm olr ide edilebileceğide ( si si yzılbilir. Lemm. e bu bğlı olr ii hipoezi ullılr si ( ( dχ bğıısı elde edilir. Lemm.3 de yrrlr eoremimizi isplm içi ( olduğuu gösermeliyiz. < < içi ( ( + ( + olsu. Đl olr Lemm.5 de elde edilir. So olr + ( ( dχ ( dχ olduğuu göserelim. Buu içi iii hipoezide mome osiyouu, χ ( + şelide seçelim. ( χ ( g( d ( + ( g( d seçimi de ypılbilir. i z e olm üzere ( si Im Im( z olduğud ( + g + i ( e ( Im( z dır. iii hipoezi e Lemm.4 ü ullr + ( g d i ( e + z dd + elde ederiz. Böylece, Lemm.3 de sıırlı slıımlı osiyouu ( dei Fourier serisii H, oplbilir olduğu isplmışır. 8

7 Fourier Serilerii Mul Husdor Toplbilmesi Kylr [] Bosque. L.S., Noe o he Absolue summbiliy (C o Fourier series, J. Lodo Mh. +Soc., : -5 (936. [] Hurwiz, W.A. d Silerm, L.L.O he cosisecy d equilece o ceri deiiios o summbiliy, Trs. Am. Mh. Soc. 8:- (97. [3] F. Husdor.; Summiomehode ud Momeolge I., Mh. Z., 9: 74-9 (9. [4] Hrdy. G.H., ierge series, Oord, (949. [5] Morley, H., A heorem o Husdor rsormios d is pplicios o Ces ro d Hölder mes, J. Lodo Mh. Soc., 5: (95. [6] Triphy, N., O he Absolue Husdor summbiliy o Fourier series, J. Lodo Mh. Soc., 44: 5-5 (969. [7] Kopp, K. d Lorez, G.G., Beirge zur bsolue Limiierug, Arch. Mh., : -6 (95. [8] Tichmrsh, E. C. Theory o Fucios, Oord Uiersiy Pres, (949. [9] Widder,.V., The Lplce Trsorm, 5, Priceo, (946. Geliş Trihi: 6/4/ Kbul Trihi: /8/ 9

Benzer belgeler

... SERİLER Tanım: 2 3 toplamı kaçtır? Çözüm: serisinde 10. kısmi terimler. Ör: bir reel sayı dizisi olmak üzere

... SERİLER Tanım: 2 3 toplamı kaçtır? Çözüm: serisinde 10. kısmi terimler. Ör: bir reel sayı dizisi olmak üzere SERİLER Tım: bir reel syı dizisi olm üzere...... 3 toplmı SERİ deir. gerçel syısı serii geel terimi deir. S 3... toplmı SERİNİN N. KISMİ (PARÇA) TOPLAMI deir. S dizisie SERİNİN N. KISMİ TOPLAMLAR DİZİSİ