ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Abdullah MADEN İÇİNDEKİLER HEDEFLER DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİK UYGULAMALARI

Transkript

1 HEDEFLER İÇİNDEKİLER DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİK UYGULAMALARI Denklem Uygulamaları Sayı Problemleri Kar-Zarar ve Yüzde Hesapları Eşitsizlik Uygulamaları Mutlak Değerli Eşitsizlikler MATEMATİK-1 Prof.Dr.Abdullah MADEN Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Matematiksel denklem kurmayı anlayabilecek, Denklemlerin problem çözümlerinde nasıl kullanıldığını kavrayabilecek, Günlük hayatta zor görünen konuları matematiksel modelleyerek kolayca çözebilecek, Eşitsizliklerin anlamlarını kavrayabileceksiniz. ÜNİTE 4

2 GİRİŞ İnsanlar günlük hayatlarında farkında olsun veya olmasın birçok problemin çözümü için zihninden denklem kurar ve çözüm yapar. Çoğu zaman problemleri çözmek için problemde verilen duruma uygun düşen bir matematiksel ifade oluşturur. Bu ise matematiksel modelleme demektir. Birçoğunuz şu bilmeceyi duymuşsunuzdur: Bir kaz yukarıdan geçen bir kaz sürüsü görmüş ve sürünün başına sormuş: Hey! Yüz kazlar nereye böyle? Sürünün başı cevaplamış: Biz yüz kaz değiliz bizim yüz kaz olabilmemiz için bizim kadar bir sürü daha olacak, bizim yarımız kadar daha olacak, bizim yarımızın yarısı kadar daha olacak ve bir de sen geleceksin. Sürüde kaç kaz vardır? Bu ve bunun gibi soruların çözümlerini kolay bir matematiksel denkleme dönüştürerek bulabilirsiniz. Bu bölümün amacı denklemleri ve eşitsizlikleri günlük hayattaki durumlara uygulamaktır. DENKLEM UYGULAMALARI Denklem kurma problemlerine geçmeden önce oluşturulacak olan matematiksel model için sıkça kullanılan bazı ifadeleri hatırlayalım: Herhangi bir sayı : Bir sayının 5 fazlası : Bir sayının 7 eksiği : Bir sayının i : Bir sayının 3 katının, 2 eksiğinin, beşte biri : Bir sayının 5 eksiğinin, karesinin, katı: Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 2

3 Sayı Problemleri Bu kısımda sayı problemlerinin nasıl çözüldüğüne ait örnekler vereceğiz Bir kumaşçı, bir top kumaşın önce ini daha sonra kalan kumaşın ini satıyor. Sonunda 40 metre kumaş kaldığına göre, ilk satılan kumaş kaç metredir? Çözüm: Kumaşın tamamı 5 birim olsun. 1 birim 40 m olup kumaşın tamamı, (5 birim olduğundan) m olarak bulunur. İlk satılan kumaş 40 m olur. Şimdi bunu denklem kurarak çözelim: Kumaşın tamamı metre olsun. İlk satılan kumaş, kalan kumaş metre olur. İkinci satılan kumaş kalan kumaşın ü olduğuna göre olarak bulunur. Kalan kumaş göre, m bulunur. metre metredir. En son 40 m kumaş kaldığına 4.2. Bir işletmeci parasının ünü bir bankaya, kalanın ünü başka bir bankaya yatırmıştır. Elinde TL kaldığına göre işletmecinin tüm parası ne kadardır? Çözüm: Paranın tamamına diyelim. Buna göre bir bankaya yatırılan miktar, ikinci bankaya yatırılan miktar ise olur. O halde kalan miktar TL dir. Buna göre işletmecinin tüm parası TL dir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 3

4 4.3. Bir şirket, ürünleri için paket tasarlamaktadır. Paket, her köşesinden alanlı kareler kesilip çıkarılan, daha sonra katlanarak elde edilen, kare biçimindeki alüminyum parçadan elde edilen üstü açık bir kutu olacaktır. Kutunun hacminin ise olması isteniyor. Kullanılması gereken alüminyum parçanın boyutları ne olmalıdır? Çözüm: Kare biçimindeki alüminyum parçanın bir kenarının uzunluğunu ile gösterelim. Yapılacak olan kutunun taban kenar uzunlukları olur. Buna göre, yapılacak kutunun hacmi, taban alanı (karenin alanı) ile yüksekliğinin çarpımına eşit olduğundan olarak elde edilir Bir miktar para üç kişi arasında eşit paylaşılacaktır. Eğer aynı para beş kişi arasında paylaşılsa idi her biri 5000 TL daha az para alacaktır. Buna göre paylaşılan para kaç liradır? Çözüm: Paylaşılan para kişinin alacağı para lira olsun. Para üç kişi arasında paylaşılırsa bir lira olur. Eğer 5 kişi arasında paylaştırılsa idi bir kişinin alacağı miktar olacaktı. Beş kişi arasındaki paylaşımda her kişi, üç kişi arasındaki paylaşıma göre 5000 TL daha az alacağına göre Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 4

5 eşitliği yazılır. Bu eşitlik düzenlenirse, yani paylaşılan para TL olarak elde edilir Bir sayının 2 fazlasının ü, aynı sayının ünün 1 eksiğine eşittir. Buna göre, bu sayı kaçtır? sorusunun çözümünü veren matematiksel modeli kurunuz. Çözüm: Aranan sayı olsun. Bu sayının 2 fazlasının 1/4 ü olur. Aynı sayının 1/3 ünün 1 eksiği biçimindedir. Bu iki değer eşit olduklarından sorunun çözümünü veren matematiksel ifade biçiminde bulunur Bir bidondaki su eş hacimli dört sürahiye eşit olarak paylaştırılınca her sürahide beş litrelik boşluk kalıyor. Bu sürahilerden üç tanesi tamamen doldurulunca bidonda sekiz litre su kalıyor. Buna göre bir sürahi kaç litre su alır? Çözüm: Soruyu çözebilmek için, her iki durumdaki toplam su miktarlarını eşitlemeliyiz. Aradığımız sayıya, yani bir sürahinin aldığı su miktarına litre diyelim. İlk durumda her bir sürahide 5 litrelik boşluk olduğundan, her sürahide litre su bulunmaktadır. Dört sürahideki (dolayısıyla bidondaki) toplam su miktarı litre olur. İkinci durumda ise tamamen doldurulan 3 sürahide litre su vardır. 8 litre su arttığına göre toplam su miktarı litredir. Buna göre, litre olarak elde edilir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 5

6 4.7. Bir tekstil firması gömlek ve kravat üretmektedir. Gömlek üretmenin birim maliyeti kravatınkinden 4 TL daha fazladır. Gömlek ve kravatların toplam üretim maliyetleri sırasıyla 1500 TL ve 1000 TL dir. Ayrıca, kravatın gömlekten 250 adet daha fazla üretildiği bilinmektedir. Buna göre her bir üründen kaçar adet üretilmiştir? Çözüm: Ürün adetlerini bulabilmek için verilen bilgileri kullanarak birim maliyetler arasında bir denklem kurabiliriz. Kravattan adet üretilmiş olsun. Dolayısıyla bu ürünün birim maliyeti olur. Aynı şekilde gömleğin de maliyetini bulalım. Üretilen kravat sayısı gömlekten 250 fazla olduğuna göre olacaktır. Birim maliyet ise toplam maliyet 1500 TL olduğu için olarak bulunur. Şimdi birim maliyetler arasında soruda verilen ilişkiyi kullanarak bir denklem kurabiliriz. Gömleğin birim maliyeti kravatınkinden 4 TL fazla olduğuna göre denklemi elde edilir. Bu denklem düzenlenirse elde edilir. Bu ikinci derece denklemin kökleri ise, ifadesinden veya olarak bulunur. Kar Zarar ve Yüzde Problemleri Toplam Maliyet: Bir ürünün pazara sunulmasına kadar geçen süre içindeki ürün için harcanan para. Toplam Hasılat: Bir üründen elde edilen tüm gelir. Buna göre, Kar = Toplam Hasılat Toplam Maliyet Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 6

7 ile bulunur. Ayrıca bir ürünün satış fiyatı ise biçiminde ifade edebiliriz. Satış Fiyatı = Alış Fiyatı + Kar 4.8. %35 karla 270 TL ye satılan bir ürünün maliyetini bulunuz. Çözüm: Ürünün maliyetini ürünün satış fiyatı 270 TL olup ile gösterlim. Buna göre %35 karla satılan eşitliği yazılır. Bu eşitlik düzenlenerek TL olarak bulunur Bir boyacı100 kg duvar boyasına 15 kg su katıp maliyetinin %10 fazlasına satmak istiyor. Buna göre boyacının elde edeceği kar oranı % kaçtır? Çözüm: 100 kg boyaya 15 kg su katıldığında 115 kg boya elde edilmiş olur. 1 kg boyanın maliyeti TL olsun. Buna gore, 1 kg boyanın satış fiyatı olur. 115 kg boyanın satış fiyatı ise TL dir. olur. ( ) %25 karla TL ye satılan bir otomobilin alış fiyatı kaç TL dir? Çözüm: Alış fiyatı x TL olsun. Kar eşitliğinden, alış fiyatı 25 Kar x 100 olup Satış Fiyatı = Alış Fiyatı x x x TL olarak bulunur. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 7

8 Bireysel Etkinlik Denklemler ve Eşitsizlik Uygulamaları Bir firma birim başına 6 TL değişken maliyetli ve TL sabit maliyetli bir mal üretmektedir. Ürünün birim satış fiyatı 10 TL dir. Firmanın TL kar edebilmesi için satması gereken ürün miktarı ne olmalıdır? Çözüm: Satılması gereken birim sayısı x olsun. Buna göre değişken maliyet 6x olur. Firma için toplam maliyet 6x olur. x birimin satışından ortaya çıkacak olan toplam gelir 10x dir. Buna göre, olduğundan Kar = Toplam Hasılat Toplam Maliyet x (6x ) olup bu denklem çözülürse, x elde edilir. Yani TL kar için adet satılmalıdır. A ve B gibi iki yatırıma toplam TL paylaştırılmaktadır. İlk yıl sonunda orijinal yatırımlar üzerinden A ve B den sırasıyla %6 ve %5,75 civarında kar sağlanmıştır. Kazanılan toplam miktar TL ise iki yatırıma ayrılan miktarlar ne kadardır? Çözüm: A ya yatırılan miktar x olsun. Buna göre x ise B ye yatırılan miktar olur. Toplamı A dan ve B den gelir elde edilmiştir. Buna göre elde edilir. Böylece %6 karla 5500 TL ve %5,75 karla 4500 TL yatırılmıştır. Üretilen bir ürünün maliyeti ve satış fiyatı dir. Bu ürünün satış fiyatının hesaplanması için I. II. biçiminde iki bağıntı önerilmiştir. Üretilen ürünün tümü satılabildiğine ve satış fiyatının hesaplanmasında I. Bağıntıyı kullanmak daha kârlı olduğuna göre x maliyeti için ne söyleyebilirsiniz? Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 8

9 EŞİTSİZLİK UYGULAMALARI a,b ve x reel sayılar olmak üzere ax b 0, ax b 0, ax b 0 ve ax b 0 biçimindeki ifadelere doğrusal eşitsizlikler (birinci dereceden 2 eşitsizlikler), a, b, c ve x reel sayılar olmak üzere ax bx c 0, ax bx c 0, ax bx c 0 ve ax bx c 0 biçimindeki ifadelere de ikinci dereceden eşitsizlikler dendiğini ve özelliklerini geçen bölümden hatırlayacaksınız. Benzer olarak, mutlak değerli eşitsizlikler için olduklarını biliyoruz. Bu bölümde eşitsizlikler kullanarak çözülebilen örnekler vereceğiz Çözüm: eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz. bulunur. Aralık gösterimiyle çözüm kümesi kullanılarak çözüm kümesi şekildeki gibi gösterilir. biçiminde yazılır. Sayı doğrusu İki oto kiralama firması kiralama bedellerini şöyle belirliyorlar: I.Firma, günlük 40 TL ve kilometre başı 3,5 TL, II.Firma, günlük 45 TL ve kilometre başı 3 TL Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 9

10 Buna göre I. firmadan 1 haftalığına araba kiralayan bir kişinin birinci firmaya ödeyeceği paranın ikinci firmaya ödemesi gereken paradan az olması için bu kişinin arabayı en fazla kaç kilometre kullanması gerekir? Çözüm: Kullanılan kilometreyi ile gösterelim. Buna gore, bulunur. O halde kullanacağı en fazla kilometre 69,9 km olmalıdır Bir firma iş makinesi kiralama (bir yıl için) ya da satın alma konusunda bir tercih yapacaktır. Eğer makineyi kiralarsa, kira ücreti olarak aylık 3000 TL ve makinenin kullanıldığı her gün için günlük maliyet (dizel, sürücü ücreti, bakım ücreti vs.) 180 TL olacaktır. Eğer satın alınırsa, sabit yıllık maaliyet TL ve makinenin kullanıldığı her gün için bakım maaliyetleri 230 TL olacaktır. Firmanın en yüksek faydayı elde etme düşüncesiyle, makineyi satın almak yerine kiralarsa, makineyi en az kaç gün kullanmalıdır? Çözüm: Kiralamanın yıllık maaliyeti ile satınalmanın yıllık maaliyetlerini bulup karşılaştırma yapacağız. Makinenin kullanıldığı gün sayısı olsun. Buna göre, kiralama için, ve satınalma için yıllık maliyetler yazılır. O halde bulunur. O halde en büyük faydayı sağlamak için kazı makinesi 321 gün kullanılmalıdır Hareket halinde geçen saat sonunda, bir otomobilin deposunda bulunan yakıt miktarı litre olarak bağıntısıyla belirlidir. Depodaki yakıt miktarı 10 litrenin altına düştüğünde otomobilin yakıt alması gerekmektedir. Harekat Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 10

11 halinde bulunan otomobilin en erken kaçıncı saat içinde yakıt alması gerekmektedir? Çözüm: yakıt miktarını göstermek üzere yakıtın 10 litrenin altına düşmesi durumunda yakıt alması gerektiği durumu ile ifade edilir. Buna göre elde edilir. Buna göre, en az 12 olmalıdır. Yani, 12. saat içinde yakıt alması gerekmektedir. Mutlak Değerli Eşitsizlikler Reel sayı doğrusu üzerinde bir sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığı in mutlak değeri olarak adlandırıldığını geçen bölümlerden biliyorsunuz. Burada mutlak değerli eşitsizlikler ile ilgili örnekler verilecektir eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: sayısı 0 dan 5 birim daha küçük olmalıdır. Buna göre, yazılır. İki eşitsizlik ayrı ayrı düşünülerek elde edilir. Yani çözüm kümesi doğrusunda gösterirsek aralığı olarak bulunur. Bu kümeyi sayı biçiminde çizilir. 2. eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Mutlak değerin özelliklerine gore, Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 11

12 elde edilir. O halde çözüm kümesi üzerinde aşağıdaki gibidir:, ] kapalı aralığı olarak yazılır. Sayı doğrusu 3. eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Eşitsizlik özelliklerine göre ya da olmalıdır. Gerekli düzenlemeler yapılırsa ya da bulunur. O halde çözüm kümesi ] biçimindedir. Yine sayı doğrusu üzerinde gösterirsek, biçiminde çizilir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 12

13 Özet Denklemler ve Eşitsizlik Uygulamaları Günlük hayatta birçok problemin çözümü matematik modelleme ile yapılır. Bu bölümde uygulama alanı en çok olan sayı problemleri, kar zarar problemleri yüzde problemleri örnekleri ile incelenmiş ve denklem kurmanın yani matematik model kurmanın kısa bir modeli verilmiştir. Ayrıca eşitsizliklerin uygulama alanlarında nasıl kullanıldıklarına dair örnekler verilmiştir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 13

14 Ödev Denklemler ve Eşitsizlik Uygulamaları Açık Öğretim Fakültesinin sırasıyla 1, 2, 3 ve 4. Sınıflardaki öğrenci sayılarını göstermektedir. Bu sayılar arasında bağıntıları bulunduğuna göre 3. Sınıftaki öğrenci sayısı kaçtır? Hazırladığınız ödevi sistemde ilgili ünite başlığı altında yer alan ödev bölümüne yükleyebilirsiniz. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 14

15 DEĞERLENDİRME SORULARI Değerlendirme sorularını sistemde ilgili ünite başlığı altında yer alan bölüm sonu testi bölümünde etkileşimli olarak cevaplayabilirsiniz yanlışın 1 doğru soruyu götürdüğü 52 soruluk bir sınavda her sorunun değeri 4 puandır. Tüm soruları cevaplayan bir öğrenci 148 puan aldığına göre kaç soruyu doğru cevaplamıştır? a) 39 b) 40 c) 41 d) 42 e) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? a) b) c) d) ] ] e) ] ] 3. Üretilen bir ürünün maliyeti ve satış fiyatı TL dir. Bu ürünün satış fiyatının hesaplanması için: I. II. biçiminde iki bağıntı önerilmiştir. Üretilen ürünün tümü satılabildiğine ve satış fiyatının hesaplanmasında I. bağıntıyı kullanmak daha karlı olduğuna göre, maliyeti için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a) b) c) d) e) 4. İki şehir arasında gidiş geliş iki farklı yoldan yapılmaktadır. 1. Yol km 2. Yol ise km dir. İkinci yol daha kısa olduğuna göre için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a) b) c) d) e) Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 15

16 5. Bir üretici pazara bir sandık elma getiriyor. Bunun yarısını satıyor. Sonra bir müşteriye 10 tane elma veriyor. Geriye bütün elmaların u kalıyor. Başlangıçta sandıkta kaç elma vardır? a) 180 b) 160 c) 150 d) 140 e) 130 Cevap Anahtarı 1.B, 2.E, 3.E, 4.E, 5.A Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 16

17 YARARLANILAN VE BAŞVURULABİLECEK DİĞER KAYNAKLAR Glass C.J., (1997). İktisatta Matematiksel Yöntemlere Giriş. (Çeviri). İstanbul: Der Yayınları Brown R.G., (1997). Advanced Mathematics. Boston: McDougal Littell Inc. Kobu B., (1997). İşletme Matematiği. İstanbul: Avcıol Basın Yayın. Haeussler E.F. (2010). Temel Matematiksel Analiz. (Çeviri). New Jersey: Prentice Hall. Özer O., (2009). Genel Matematik. Eskişehir: Anadolu Üniversitesi Yayınları. Dowling E.T., (1993). İşletme ve İktisat için Matematiksel Yöntemler(Çeviri). Scham s Outline Series, New York: McGraw-Hill Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 17