8. Sunum: Değişken Frekanslı Devrelerin Performansı. Kaynak: Temel Mühendislik Devre Analizi, J. David IRWIN-R. Mark NELMS, Nobel Akademik Yayıncılık

Transkript

1 8. Sunum: Değişken Frekanslı Devrelerin Performansı Kaynak: Temel Mühendislik Devre Analizi, J. David IRWIN-R. Mark NELMS, Nobel Akademik Yayıncılık 1

2 Değişken Frekans Tepki Analizi Bu bölümde direnç, indüktör ve kapasitörden oluşturulan devrelerin değişken frekans tepkileri incelenecektr. Bu amaçla giriş işaretnin frekansının değiştği düşünülecek ve devre performansının değişimi incelenecektr. Başlangıç olarak direncin frekansla değişimi ele alınabilir. Direncin frekans düzlemindeki empedansı aşağıdaki gibi ifade edilebilir. Burada görüldüğü gibi direncin hem fazı hem de genliği sabiwr ve frekanstan bağımsızdır. 2

3 Değişken Frekans Tepki Analizi Aşağıdaki grafiklerden direncin genliğinin ve fazının frekansla değişmediği görülebilir. İndüktörün frekans tanım bölgesindeki empedansı Z L aşağıdaki gibidir. 3

4 Değişken Frekans Tepki Analizi Bu ifadeden görüldüğü gibi indüktörün fazı 90 de sabit kalırken, genliği frekansla doğru oranalıdır. Yukarıdaki ifadeden DC çalışmada (0 Hz) Z L değerinin sıfr olduğu ve indüktörün kısa devre olduğu görülür. Aşağıdaki grafikler indüktörün davranışının frekansla değişimi göstermektedir. 4

5 Değişken Frekans Tepki Analizi Kapasitör empedansı için ise aşağıdaki ifade yazılabilir. Bu ifadeden kapasitör fazının -90 de sabit olduğu ve genliğinin frekansla ters oranalı olduğu görülür. DC çalışmada empedans sonsuza gitmekte yani kapasitör açık devre olmaktadır. Frekans sonsuza giderken kapasitör empedansı sıfra yaklaşmaktadır. 5

6 Değişken Frekans Tepki Analizi Kapasitör empedansının genliğinin ve fazının frekansa bağlı çizimi aşağıda gösterilmektedir. Daha karmaşık bir yapı olan aşağıdaki RLC devresinin ele alalım bu devrenin eşdeğer empedansı aşağıdaki gibi yazılır. 6

7 Değişken Frekans Tepki Analizi Bu fonksiyonun faz ve genliğinin frekansla çizimi aşağıdaki gibidir. 7

8 Değişken Frekans Tepki Analizi Dikkat edilirse düşük frekanslarda kapasitör açık devre gibi çalışır bu nedenle empedans bu bölgede çok yüksektr. Yüksek frekanslara çıkıldıkça kapasitörün etkisi önemsiz olmaya başlar ve indüktör empedansı belirleyici olur. Devreler daha karmaşık oluğunda denklerde daha karmaşık olarak elde edilecektr ve denklemleri basitleştrmek için jω=s yazılabilir. Bu değişim yapıldığında seri RLC devresinin eşdeğer empedansı için aşağıdaki ifade elde edilir. 8

9 Değişken Frekans Tepki Analizi Yukarıdaki ifadelerden anlaşıldığı gibi her durumda empedans s değişkenine bağlı iki polinomun oranı olarak yazılabilir. Bu ifadede N(s) ve D(s) m. ve n. dereceden polinomlardır. Bu denklem yalnızca empedans için değil tüm gerilim, akım, iletkenlik ve kazanç için de geçerlidir. Tek kısıt tüm devre elemanlarının gerçel sayı olmasının gerekmesidir. 9

10 Değişken Frekans Tepki Analizi Örnek: Aşağıdaki devreyi ele alarak çıkış geriliminin frekansa bağlı değişimini 0-1kHz aralığında yarı logaritmik diyagramda gösteriniz. 10

11 Değişken Frekans Tepki Analizi 11

12 Değişken Frekans Tepki Analizi 12

13 Değişken Frekans Tepki Analizi Açıklama: Yukarıda görüldüğü gibi genlik ve faz grafikleri yarı logaritmik diyagramlarla gösterilir. Bu grafiklerde frekans ekseni logaritmik ölçekli olarak verilir. Aşağıdaki yükselteç eşdeğer devresinin değişken frekans tepkisini ele alalım. 13

14 Değişken Frekans Tepki Analizi Girişin sabit frekanslı bir sinüzoidalse V o /V s olarak tanımlanan gerilim kazancı G v (jω) aşağıdaki gibi elde edilir. Bu eşitliği elde etmek için yukarıdaki devrenin frekans bölgesi eşdeğeri olan aşağıdaki devre kullanılabilir. 14

15 Değişken Frekans Tepki Analizi Devrede verilen değerler kullanılarak denklem aşağıdaki gibi elde edilir. 15

16 Değişken Frekans Tepki Analizi Bu ifadenin çizimi basitçe aşağıdaki gibi yapılabilir. ise olur ve bu şartlar alanda devre fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilir. R in C in =1/1000π olduğundan C in düşük frekanslarda kazançta düşmeye neden olur. Aynı şekilde, frekans f HI değerine yaklaşağında C o değeri nedeniyle kazanç düşer. 16

17 Değişken Frekans Tepki Analizi Aşağı sonuç olarak elde edilen çizimin yaklaşık ve tam çizimi gösterilmektedir. 17

18 Değişken Frekans Tepki Analizi Devre Fonksiyonları: Devrenin bir noktasına uygulanan bir işarete devrenin başka bir noktasında verilen tepki devre fonksiyonları ile tanımlanabilir. Devre fonksiyonu transfer fonksiyonu olarak da adlandırılır. Transfer fonksiyonları sadece gerilim ya da akımların oranı olarak tanımlanmak zorunda değildir. Aşağıdaki çizelgede olası dört devre fonksiyonu gösterilmektedir. 18

19 Değişken Frekans Tepki Analizi Transfer fonksiyonlarının dışında devredeki iki uç arasındaki empedans veya admitansa eşit olan sürme noktası fonksiyonları vardır. Örneğin bir devrenin giriş empedansı sürme noktası fonksiyonudur. 19

20 Değişken Frekans Tepki Analizi Örnek: Aşağıda gösterilen devrenin I 2 (s)/v 1 (s) aktarım iletkenliği (transadmitansı) ve V 2 (s)/v 1 (s) gerilim kazancını bulunuz. 20

21 Değişken Frekans Tepki Analizi 21

22 Değişken Frekans Tepki Analizi Kutuplar ve Sı:rlar: Devre fonksiyonları s nin polinomları şeklinde ifade edilirler. Dahası devre elemanları ve bağımlı kaynakların değeri gerçel değerlerdir ve dolayısıyla bu polinomlarının katsayıları da gerçel olur. H(s) ile gösterilen aşağıdaki fonksiyonu ele alalım. 22

23 Değişken Frekans Tepki Analizi Bu denklem düzenlenerek aşağıdaki gibi yazılabilir. Burada K 0 bir sabit, z 1...z m ise N(s) polinomunun kökleri ve p 1...p n D(s) polinomunun kökleridir. Burada z değerleri transfer fonksiyonunu sıfr yapan değerlerdir ve transfer fonksiyonunun sıfrları olarak adlandırılırlar. p değerleri ise fonsiyonu sonzuz yapan değerlerdir ve transfer fonksiyonunun kutupları olarak adlandırılırlar. 23

24 Değişken Frekans Tepki Analizi Kutup ve sıfrlar karmaşık sayı olabilirler ancak polinom katsayıları gerçel olduğu için polinom köklerinin karmaşık eşlenik sayılar olması gerekir. Doğrusal, zamanla değişmeyen sistemlerin gösterimde genellikle yukarıdaki formda yapılır. Bu gösterim sistem dinamiklerinin, sistem kutuplarının incelenmesi ile elde edilebilmesini sağlar. 24

25 Sinüzoidal Frekans Analizi Sinüzoidal kararlı hal analizinde devre fonksiyonu aşağıdaki gibi ifade edilir. Bu ifadede M(ω), H(jω) nın büyüklüğünü ve φ(ω), H(jω) nın fazıdır. Bu iki fonksiyonun çizimi ile devrenin tepkisinin giriş frekansı ile değişimi gözlemlenebilir. 25

26 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi Devre fonksiyonlarının yarı logaritmik ölçekte gösterilmesiyle elde edilen grafiklere Bode Diyagramı denir. Yarı logaritmik çizimler y- ekseninin normal, x ekseninin ise logaritmik olduğu çizimlerdir. Bu grafikler süzgeçler (filtreler), akort devreleri, yükselteçler gibi frekansa bağımlı sistemlerin tasarımında ve analizinde çok kullanılışlıdırlar. 26

27 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi Bode diyagramları çizilirken M(ω) nın ω ile değişimini çizmek yerine 20log[M(ω)] değerinin, log 10 (ω) a karşılık çizimi yapılır. Böylelikle nokta nokta çizim yapmak yerine, belli bölgelerde geçerli sabit eğimli doğrular elde edilip birleştrilerek, işlemler kolaylaşarılmış olur. M(ω) nın yani genliğin çiziminde y ekseni desibel (db) dir. Gerçekte db güçlerin oranlarını ölçmek için kullanılırlar. 27

28 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Yani, Tepkisinin İncelenmesi şeklindedir. İki direnç üzerindeki güç tanımı kullanılarak gerilim ve akım için aşağıdaki desibel tanımları elde edilir. 28

29 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi Herhangi bir transfer fonksiyon aşağıdaki gibi yazılarak sürekli durum kararlı hal analizi gerçekleştrilebilir. Bu denklem aşağıdaki gibi terimlere sahiptr. 1- Frekanstan bağımsız bir bileşen K 0 >0, 2- jω şeklindeki kutup ve sıfrlar (sıfrlar için (jω) +N ve kutuplar için (jω) -N şeklinde). 29

30 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi 3- (1+jωτ) şeklinde kutup ve sıfrlar ζ(jωτ)+(jωτ) 2 şeklinde karesel (kuadratk) kutup ve sıfrlar. Yukardaki H(jω) fonksiyonunun genliğinin logaritması alındığında aşağıdaki sonuç elde edilir. 30

31 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi H(jω) fonksiyonunun faz açısı ise aşağıdaki gibi elde edilir. Bu ifadelerdeki her bir terim aynı grafik üzerine ayrı ayrı çizilip daha sonra toplanabilirler. Aşağıda bu ifadelerden Bode diyagramlarının hızlıca elde edilişi anlaalmaktadır. 31

32 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi Sabit Terim: 20logK 0 terimi aşağıda gösterildiği gibi sıfr faz kaymasına sahip, sabit bir genlik ifade eder. 32

33 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi Orjinde bulunan kutup ve sı:rlar: Orjinde bulunan sıfrlar (jω) +N ve kutuplar (jω) -N formundadır. Bu Tp fonksiyonun genliği ±20Nlog 10 (ω) olur ve bu yarı logaritmik ölçekte ±20NdB/decade eğimine sahip bir doğrudur. Yani frekansın 10 kat artması ile genlik 20N desibel lik bir değişim gösterir. Bu Tp fonksiyonların fazı ise ±N(90 ) değerine sahiptr. 33

34 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi Bunların çizimleri aşağıda gösterilmektedir. 34

35 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi Basit kutup ve sı:rlar: Devre transfer fonksiyonunda (1+jωτ) yapısında basit bir kutup veya sıfr varsa doğrusallaşarma yaklaşımı kullanılarak çizim gerçekleştrilebilir. ωτ<<1 oluğunda (1+jωτ) 1 olur ve 20log(1)=0 dır. ωτ>>1 oluğunda ise I1+jωτI ωτ olduğundan bu durumda 20log(ωτ) elde edilir. Kısacası ωτ<<1 için tepki 0dB ve ωτ>>1 için tepki orjinde bulunan basit bir kutup veya sıfrla aynıdır. ωτ=1 noktası kesim ya da kırılma noktası olarak adlandırılır. Bu noktada I1+jωτI=2 olur ve 20log(2)=3dB dir. Yani kesim frekansında gerçek değer asimto~an 3dB sapma gösterir. 35

36 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi Ayrıca kesim frekansının yarısında ve iki kaanda bu kaymanın 1dB olduğu görülür. Basit bir kutup veya sıfr için ilgili faz açısı φ=tan -1 ωτ olur. ωτ=1 iken (yani kesim frekansında) φ=45 ve kesim frekansının yarısında φ=26 dir. Kesim frekansının iki kaanda ise φ=63.4 olur. Bu şekildeki bir basit sıfr için ωτ>>1 için genlik ve asimptot pozitf eğime sahiptr ve faz eğrisi 0 den 90 ye doğru ilerler. 36

37 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi Basit bir kutup için genlik ve faz çizimleri aşağıdaki gibidir. 37

38 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi Basit bir sıfr için genlik ve faz çizimleri aşağıdaki gibidir. 38

39 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi Eğer (1+jωτ) N şeklinde birden fazla kutup ve sıfr mevcutsa yüksek frekanslı asimtotun eğimi N ile çarpılır. Bu durumda gerçek eğri ile asimtotun kesişme frekansındaki sapma 3N db olur. Faz eğrisi 0 den N(90 ) ye ilerler ve kesim frekansındaki değeri N(45 ) olur. 39

40 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi Karesel kutup ve sı:rlar: Karesel kutuplar 1+2ζ(jωτ)+(jωτ) 2 yapısındadır. Bu terim yalnızca ω ya değil boyutsuz ζ ya da bağımlıdır. Haarlanacağı gibi ζ sönüm katsayısı olarak isimlendirilir. ζ>1 olması durumunda kökler gerçel ve birbirinden farklı, ζ=1 ise kökler gerçel ve eşit ζ<1 olması durumunda ise kökler kompleks ve eşleniktr. Bu ifade ωτ<<1 durumu için 20log 10 (1)=0 olurken ωτ>>1 için ise aşağıdaki gibi ifade edilir. 40

41 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi Dolayısıyla ωτ>>1 için genlik eğrisinin eğimi karesel sıfr için +40dB/decade ve karesel kutup için -40dB/decade olur. ωτ nin yukardaki değerlerin arasında olması durumunda, fonksiyonun davranışı sönüm katsayısına (ζ) bağlıdır. Yukarıdaki karesel ifade için faz kayması tan -1 2ζωτ/[1-(ωτ) 2 ] biçiminde ifade edilir. Bu şekildeki karesel kutuplar için faz eğrisi ωτ<<1 için 0 den ωτ>>1 için -180 ye değişir. Karesel sıfrlar için faz eğrisi ωτ<<1 için 0 den ωτ>>1 için 180 ye değişir Aşağıdaki şekilde karesel bir kutup için genlik ve faz çizimleri gösterilmektedir. 41

42 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi 42

43 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi 43

44 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi Örnek: Aşağıdaki transfer fonksiyonunun genlik ve faz eğrisini oluşturunuz. 44

45 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi 45

46 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi 46

47 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi Örnek: Aşağıdaki transfer fonksiyonunun genlik ve faz eğrisini oluşturunuz. 47

48 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi 48

49 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi 49

50 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi Açıklama: K 0 /(jω) N şeklindeki terimlerin doğrudan çizimi yapılabilir. Bu terimin eğimi -20N db/ decade değerindedir ve 0db eksenini K 0 /(jω) N =1 yani ω=k 0 1/N rad/s değerinde keser. Benzer şekilde K 0 (jω) N şeklindeki terimlerin doğrudan çizimini de gerçekleştrilebiliriz. Bu terim +20N db/decade eğimine sahiptr ve bu eğri 0dB eksenini, K 0 (jω) N =1 ifadesine göre ω=(1/k 0 ) 1/ N rad/s değerinde keser. Bu şekilde fonksiyonların çizimleri daha hızlı gerçekleştrilebilir. 50

51 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi Örnek: Aşağıdaki transfer fonksiyonunun genlik eğrisini oluşturunuz. 51

52 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi Örnek: Aşağıdaki transfer fonksiyonunun genlik eğrisini oluşturunuz. 52

53 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi Örnek: Aşağıdaki transfer fonksiyonu için Bode diyagramını çiziniz. 53

54 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi 54

55 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi Açıklama: Yukarıdaki örneklerde izlenen işlem basamakları tersine yürütülerek Bode diyagramlarından transfer fonksiyonları üretlebilir. Aşağıdaki örneklerde transfer fonksiyonun, Bode diyagramlarından elde edilmesi gösterilmektedir. 55

56 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi Örnek: Aşağıdaki genlik karakteristğini kullanarak G ν (jω) transfer fonksiyonunu elde ediniz. 56

57 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi 57

58 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi Örnek: Aşağıdaki genlik karakteristğini kullanarak G(jω) transfer fonksiyonunu belirleyiniz. 58

59 Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans Tepkisinin İncelenmesi Örnek: Aşağıdaki genlik karakteristğini H(jω) fonksiyonunu bulunuz. 59

60 Rezonans Devreleri Seri Rezonans Devreleri: Aşağıda gösterilen seri RLC devresi önemli bir frekans yanıana sahiptr. Bu devrenin giriş empedansı aşağıda gösterildiği gibidir. Eğer, şaranı sağlanırsa giriş empedansındaki karmaşık terim sıfr olur. 60

61 Rezonans Devreleri Bu denklemi sağlayan frekans değeri aşağıdaki gibidir. Bu frekans değerindeki giriş empedansı ise Z(jω)=R şeklindedir. Devrenin empedansının tamamen omik olduğu bu frekans değeri rezonans frekansı olarak adlandırılır. Bu frekansda devre rezonansta çalışıyor denir. Rezonans durumunda genlik ve akım aynı fazdadır. Bu durumda faz açısı sıfrdır ve güç katsayısı birdir. 61

62 Rezonans Devreleri Aşağıda seri RLC devresinin frekans tepkisi gösterilmektedir. 62

63 Rezonans Devreleri Bu şekilden görüldüğü gibi seri RLC devresi rezonan durumunda minimum empedansa sahiptr ve dolayısıyla akım verilen gerilim değeri için maksimumdur. Ayrıca rezonans frekansından düşük frekanslarda seri devrenin empedansında kapasitf terim baskınken, rezonans frekansından yüksek frekanslarda indüktf terim baskındır. Rezonans durumu fazör gösterimle aşağıdaki gibi incelenebilir. 63

64 Rezonans Devreleri Bu çizimler farklı frekans değerleri için akım ve gerilim fazörlerini göstermektedir. Seri devrede tüm elemanlar üzerinden aynı akım geçtği için fazör çizimde akım referans alınmışar. 64

65 Rezonans Devreleri Kalite faktörü olarak bilinen ve Q ile gösterilen değişken seri RLC devresi için aşağıdaki gibi tanımlanır. 65

66 Rezonans Devreleri Örnek: Aşağıdaki devre için rezonans frekansını belirleyiniz ve her bir elaman üzerindeki gerilimi ve kalite faktörünü hesaplayınız. 66

67 Rezonans Devreleri 67

68 Rezonans Devreleri Örnek: Aşağıdaki gösterilen RLC devresinde L=0.02H seçilmiş ve kalite faktörü Q=200 ve rezonans frekansı f=1000hz olan bir devre oluşturulması istenmektedir. Rezonans devresi için uygun kapasitörü dayanma gerilimini de dikkate alarak hesaplayınız. 68

69 Rezonans Devreleri 69

70 Rezonans Devreleri Açıklama: Seri RLC devresi için V R /V 1 oranı için Q, ω ve ω o cinsinden genel bir ifade yazılabilir. Bu amaçla aşağıdaki admitans ifadesi inceleyelim. Q=ω o L/R=1/ω o CR olduğu için admitans aşağıdaki gibi elde edilir. 70

71 Rezonans Devreleri Seri RLC devresinden geçen akım I=YV 1 olduğu için direnç üzerindeki gerilim V R =RI olarak elde edilir ve V R /V 1 transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilir. Bu transfer fonksiyonunun genlik ve fazı aşağıdaki gibi elde edilir. 71

72 Rezonans Devreleri Bu transfer fonksiyonlarının çizimleri ise yandaki gibidir. Bu grafikler bant geçiren filtre yapısındadır ve bant genişliği (BG) yarımgüç frekansları arasındaki fark olarak tanımlanır. 72

73 Rezonans Devreleri Adından da anlaşılacağı gibi yarım-güç noktaları direnç üzerindeki gücün yarıya düştüğü yani M=1/ 2 olduğu frekans değerleridir. Desibel cinsinden ise M nin bu değeri, 20log(1/ 2)=-3dB olarak elde edilir. Dolayısıyla kalite faktörü ve rezonans frekansı (ω o ) için aşağıdaki bağınalar elde edilir. 73

74 Rezonans Devreleri ω ifadesinde yalnızca pozitf değerler alınarak ω LO ve ω HI olarak gösterilen ve sırasıyla alt ve üst kesim frekanları olarak adlandırılan frekans ifadeleri elde edilir. Bu frekans değerleri daha önce anlaalan yarımgüç noktalarındaki frekans değerleridir. Bu ifadelerden yararlanılarak bant genişliği ve rezonans frekansı (merkez frekans) ω o aşağıdaki gibi elde edilir. 74

75 Rezonans Devreleri Açıklama: Kalite faktörü Q, R ye bağlı bir parametredir ve yüksek Q lu bir seri devrede R küçük bir değere sahiptr. Ayrıca daha önce elde edilen ifadeye göre bant genişliği Q ile ters oranalıdır. Yüksek Q lu bir devrenin bant genişliği küçüktür. Bu Tp devrelerin seçiciliğinin yüksek olduğu yani dar bir frekans bölgesini geçirdikleri söylenebilir. Aşağıda Q ya bağlı olarak devrenin frekans tepkisi gösterilmektedir. 75

76 Rezonans Devreleri Aşağıdaki, rezonansta çalışan, seri RLC devresinin enerji analizi yapılarak Q nun diğer bir önemli etkisi görülebilir. Bu devrede rezonans durumunda depolanan maksimum enerji W S ve her bir döngüde harcanan enerji W D ise Q için aşağıdaki bağınanın olduğu gösterilebilir. 76

77 Rezonans Devreleri Devrenin toplam enerjisi ω L +ω C olduğuna göre aşağıdaki ifade elde edilir. Bu durumda depolanan maksimum enerji olur. 77

78 Rezonans Devreleri Yukarıdaki ifadelere göre rezonans anında indüktör ve kapasitör enerjileri aşağıdaki gibi çizilebilir. 78

79 Rezonans Devreleri Bu çizimden kapasitör ve indüktörde enerjinin sürekli yer değiştği ve devreki toplam enerjinin sabit kaldığı görülür. Yukarıdaki ifadelere göre bir döngüde harcanan enerji, ω D ise aşağıdaki gibi elde edilir. ω D ve ω S oranlanarak ve Q=ω o L/R eşitliği kullanılarak aşağıdaki ifade elde edilir. 79

80 Rezonans Devreleri Örnek: Şekildeki devrede çıkış gerilimi direnç üzerinden alınmaktadır. Bu devrede C=1μF için rezonans frekansının 1000rad/s ve bant genişliğinin 100rad/s olması için gerekli R ve L değerlerini hesaplayınız. 80

81 Rezonans Devreleri 81

82 Rezonans Devreleri Açıklama: Aşağıdaki devrede çıkış gerilimini hesaplayalım. 82

83 Rezonans Devreleri Bu ifade kullanılarak V o çıkış geriliminin maksimum olduğu frekans değeri (ω max ) bulunabilir. Bunun için gerilim ifadesinin frekansa göre türevi alınarak sonuç sıfra eşitlenir. V o kalite faktörü cinsinden aşağıdaki gibi bulunur. Q yeterince yüksekse; olur. 83

84 Rezonans Devreleri Örnek: Aşağıdaki devrede L=50mH, C=5μm ve R=1Ω ve R=50Ω için ω o rezonans frekansını ve çıkış geriliminin maksimum olduğu ω max değerini belirleyiniz. 84

85 Rezonans Devreleri 85

86 Rezonans Devreleri R=50Ω için V o /V s ninfrekansla değişimi 86

87 Rezonans Devreleri R=1Ω için V o /V s ninfrekansla değişimi 87

88 Rezonans Devreleri Paralel Rezonans Devreleri: RLC elemanlarının paralel bağlanması durumunda da rezonans meydana gelebilir. Örneğin aşağıdaki devreyi ele alalım. 88

89 Rezonans Devreleri Bu devredeki I S akımı; şeklindedir. Rezonans frekansında I S =GV S şeklindedir. Paralel rezonans devrelerinde giriş empedansı aşağıdaki yazılır. Rezonans durumunda çalışan devre için Y(jω)=G olur. Yani tüm kaynak akımı dirençten geçecektr. 89

90 Rezonans Devreleri RLC devresinin paralel rezonans frekansında kondansatör ve indüktör üzerindeki akımlar eşit genlikte ancak fazları arasında 180 faz farkı vardır (ters yönlüdür). Dolayısıyla şekilde gösterilen I X akımı sıfrdır. G=0 olması durumunda kaynak akımı sıfr olacakar yani sürekli olarak kondansatörün elektrik alanı ve indüktörün manyetk alanı arasında enerji değişimi olacak, biri azalırken diğeri artacakar. 90

91 Rezonans Devreleri Paralel rezonans devresinde admitansın değişimi yandaki gibidir. Rezonans frekansından düşük frekanslar için admitansta indüktf iken, rezonans frekansının üstündeki frekanslarda admitans kapasitf olur. 91

92 Rezonans Devreleri Paralel rezonans devreleri için fazör diyagramı aşağıdaki gibidir. Paralel elamanlar üzerindeki gerilim aynı olacağından, fazör gösterim yapılırken gerilim refrerans olarak kullanılmışar. 92

93 Rezonans Devreleri Fazör gösterimlerden anlaşıldığı gibi ω<ωo için empedans faz açısı pozit ir ve bu devrenin indüktf olarak çalışağının göstergesidir. ω>ω 0 durumunda ise empedansın faz açısı negat ir yani devre kapasitf olarak çalışır. Kalite faktörü Q paralel rezonans devreleri için aşağıdaki gibi tanımlanır. Bu ifadeler seri rezonans devreleri için verilen Q ifadesinin tersidir. RLC akımları seri durumdaki gerilimlere benzerdir ve aşağıdaki bağınalar yazılabilir. ve 93

94 Rezonans Devreleri Örnek: Şekildeki devrenin aşağıdaki parametreleri için devrenin rezonans frekansında tüm kol akımlarını hesaplayınız. 94

95 Rezonans Devreleri 95

96 Rezonans Devreleri Örnek: Şekildeki devrede R=1Ω, L10mH ve C=100μF için, V out /V in transfer fonksiyonu için rezonans frekansı, yarım-güç frekansı, bant genişliğini ve kalite faktörü Q yu hesaplayınız. 96

97 Rezonans Devreleri 97

98 Rezonans Devreleri Açıklama: Genel olarak bir indüktörün satgı direnci ihmal edilemez. Bu nedenle gerçekçi bir rezonans devresi aşağıdaki gibidir. Bu devrenin giriş empedansı aşağıdaki gibidir. 98

99 Rezonans Devreleri Bu ifradeler incelendiğinde admitansın tamamen gerçel olduğu frekans (ω r ) aşağıdaki gibi bulunur. 99

100 Rezonans Devreleri Örnek: Aşağıdaki devrede R=5Ω ve R=50Ω için ω o ve ω r değerlerini hesaplayınız. 100

101 Rezonans Devreleri 101

102 Rezonans Devreleri Açıklama: Bode diyagramları ile rezonans devreleri arasındaki ilişki aşağıdaki gibi elde edilebilir. Seri rezonans devresi için admitans aşağıdaki gibi yazılır. Karesel terim için standart form ile aşağıdaki gibidir. Burada τ=1/ω o olduğudan karesel terim aşağıdaki gibi bulunur. 102

103 Rezonans Devreleri Bu iki ifade karşılaşarıldığında aşağıdaki ifadeler elde edilir. Dolayısıyla; elde edilir. Q için daha önce elde edilen aşağıdaki ifade ile yukarıdaki ifadeyi karşılaşaralım. 103

104 Rezonans Devreleri Karşılaşarma sonucunda Q ve ζ arasındaki ilişki aşağıdaki gibi elde edilir. 0<ζ<1 için frekans tepkisinde bir pik (zirve) olduğu görülür. Bu pikin keskinliği ζ tarafndan belirlenir. ζ küçükken, Q yüksek değer alır ve dar bir pik oluşur. Q yüksek olduğundan devre giriş işaretlerini filtrelerken oldukça seçici davranacakar. 104

105 Ölçekleme Genlik veya empedans ve frekans ölçeklemesi olmak üzere iki tür ölçekleme vardır. Genlik ölçeklemesi için her bir elemanın empedansı bir K M sayısı ile çarpılır. Dolayısıyla R, L ve C için aşağıdaki değerler elde edilir. 105

106 Ölçekleme Sonuç olarak devrenin yeni rezonans frekansı ve yeni kalite faktörü aşağıdaki gibi bulunur. Yukarıdaki ifadelerden görüldüğü gibi genlik ölçeklemesi durumunda rezonans frekansı ve kalite faktörü değişmeyecektr. Frekans ölçeklemesi durumunda ise R, L ve C değerleri aşağıdaki gibi değişir. 106

107 Ölçekleme Benzer şekilde R ve C de incelenebilir. Elde edilen sonuçlar aşağıdaki gibidir. 107

108 Ölçekleme Frekans ölçeklemesi durumunda kesim frekansı ve kalite faktörü aşağıdaki gibi değişir. Sonuç olarak elde edilir. 108

109 Ölçekleme Örnek: R=2Ω, L=1H ve C=0.5μF ise K M =10 2 ile genlik ölçeklemesi ve K f =10 2 frekans ölçeklemesi sonucunda R, L ve C değerlerini hesaplayınız. 109

110 Pasif Filtreler Filtre (süzgeç) devreleri belirli frekans aralığındaki sinyalleri çıkışa aktaran, bu aralık dışındaki sinyalleri ise yok eden devrelerdir. En yaygın filtre türleri alçak geçiren, yüksek geçiren, bant geçiren ve bant durduran filtrelerdir. Alçak geçiren filtreler, filtrenin kesim frekansından daha düşük frekanslı sinyalleri geçiren, daha yüksek frekanslı sinyalleri ise çıkışa aktarmayan filtrelerdir. 110

111 Pasif Filtreler Yüksek geçiren filtreler ise filtrenin kesim frekansından daha yüksek frekansa sahip sinyalleri geçirip, daha düşük frekanslı sinyalleri ise durduran filtrelerdir. Bant geçiren filtreler belirli bir frekans aralığındaki sinyalleri geçirirken, bu aralıkta yer almayan sinyalleri ise çıkışa aktarmayacakar. Bant durduran filtreler ise belirli bir frekans aralığındaki sinyalleri yok eden, bu aralıkta yer almayan sinyalleri ise çıkışa aktaran filtrelerdir. 111

112 Pasif Filtreler Aşağıdaki şekilde ideal bir alçak geçiren filtrenin ve R, L, C elamanlarından kurulabilecek basit bir filtrenin Tpik frekans tepkisi gösterilmektedir. Bu şekilden ideal ve Tpik frekans tepkileri arasındaki büyük farklılık rahatlıkla görülebilir. 112

113 Pasif Filtreler Aşağıdaki şekilde basit bir alçak geçiren filtre gösterilmektedir. Bu devrenin gerilim kazancı ise aşağıdaki gibi ifade edilir. Bu ifadede τ=rc yazılarak aşağıdaki bağına elde edilir. Sonuç olarak genlik ve faz karakteristği aşağıdaki gibi elde edilir. 113

114 Pasif Filtreler Bu ifadelerin çizimleri ise aşağıdaki gibidir. Bu çizimler incelendiğinde ω o frekansından yüksek frekanslarda genliğin eğiminin -20dB/decade olduğu görülmektedir. 114

115 Pasif Filtreler Dikkat edilirse ω=1/τ kesim frekansında genlik 1/ 2 (-3dB) ve faz açısı -45 olmaktadır. Bu frekans yarı-güç frekansı olarak adlandırılır. Yarı-güç frekansı gerilim ya da akımın 1/ 2 kaana yani gücün yarıya düştüğü frekans değeridir. Aşağıda ise basit bir yüksek geçiren filtre devresi gösterilmektedir. Bu devrenin alçak geçiren filtreden tek farkı çıkışın direnç üzerinden alınmış olmasıdır. 115

116 Pasif Filtreler İdeal yüksek geçiren filtrenin frekans karakteristği ve doğrusal devre elemanları ile gerçekleştrilebilecek Tpik karakteristği aşağıdaki gibi elde edilir. 116

117 Pasif Filtreler Yukarıdaki yüksek geçiren filtre için τ=rc ifadesi kullanılarak gerilim kazancı aşağıdaki gibi yazılır. Bu fonksiyonun genliği ve fazı aşağıdaki gibi elde edilir. Bu ifadelerin çizimleri aşağıdaki gibidir. 117

118 Pasif Filtreler Bu ifadelerin çizimleri aşağıdaki gibidir. 118

119 Pasif Filtreler Bu çizimler incelendiğinde genliğin ω=1/τ frekansında 1/ 2 (-3dB) değerine ulaşağı ve faz açısının 45 olduğu görülür. Dahası kesim frekansı ω o dan düşük frekanslar için genlik 20dB/ decade lık eğim ile artmaktadır. Aşağıdaki şekilde ise basit bir bant geçiren filtre devresi ve karakteristği gösterilmektedir. 119

120 Pasif Filtreler Bant geçiren filtrede rezonans frekansı ω o geçirme bandının merkezidir ve maksimum genlik bu frekans için elde edilir. ω LO ve ω HI ise alt ve üst kesim frekanslarını ifade eder ve bu frekans değerinde genlik maksimum değerinin 1/ 2 kaadır. Bu iki frekans arasındaki fark bant genişliği olarak adlandırılır ve bant genişliği BW=ω HI -ω LO şeklinde hesaplanır. Bant geçiren filtrenin gerilim transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilir. 120

121 Pasif Filtreler Dolayısıyla bu devrenin genlik ifadesi aşağıdaki gibi yazılır. Bu ifade alçak frekanslarda; ve yüksek frekanslarda; olur. Bandın ortasında (RCω) 2 >>(ω 2 LC-1) olacağından M(ω) 1 olur. Merkez frekansı, rezonans frekansına eşiwr ve aşağıdaki gibi yazılır. 121

122 Pasif Filtreler Genlik karakteristği 1/ 2 ye eşitlenerek ω LO ve ω HI için aşağıdaki bağınalar elde edilir. Dolayısıyla bant genişliği için aşağıdaki ifade ele edilir. 122

123 Pasif Filtreler Basit bir bant durduran filtre ve karakteristği aşağıdaki gibidir. Bu filtre için gerekli karakteristkler bant geçiren filtreye benzer şekilde elde edilebilir. 123

124 Pasif Filtreler Örnek: Bir telefon haberleşme sistemi yakınında bulunan elektrik dağıam haˆndan kaynaklanan 60Hz lik girişimden etkilenmektedir. Bu girişimden kurtulmak için aşağıdaki devreyi kullanarak bir bant durduran filtre tasarlayınız (tasarım için C=100μF seçiniz). 124

125 Pasif Filtreler Cevap: Aşağıdaki şekilde filtre girişine uygulanacak ve çıkışından elde edilecek sinyal şekli basit olarak gösterilmektedir. 125

126 Pasif Filtreler 126