Transkript

1 Konuları anlamakta güçlük çekenler, Soru çözerken nereden başlayacağını bilemeyenler, Problemlerin çözümünde yorum gücünü artırmak isteyenler için ANTRENMANLARLA MATEMATİK İkinci Kitap Halil İbrahim KÜÇÜKKAYA Bire Bir Öğretim Uzmanı Ahmet KARAKOÇ Mehmet GİRGİÇ

2 Bu kitabın tamamı veya bir kısmının, yazarının önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi veya herhangi bir kayıt sistemi ile çoğaltılması, yayımlanması ve depolanması yasaktır. Buna uymayanlar kitabın hazırlanmasındaki mali külfeti ve tüm cezai müeyyideleri kabullenmiş ve kul hakkına girmiş olurlar. ISBN: ANTRENMAN YAYINCILIK Sertifika No : 07 Antrenmanlarla MATEMATİK şipariş için Tel: (0505) (050) e mail: antrenmanlarmatematik@gmail.com Haziran 06 İstanbul Baskı Cilt Neşe Matbaacılık Sertifika No : 86

3 Bu yolculuğun sonunda hedefine varmış olacaksın, Yola çıkarken, Bu öyle bir yolculuk ki sonunda matematiği anlamak ve öğrenmek var. Eğer siz de matematiği öğrenme zamanınızın geldiğine inanıyorsanız buyurun. diyerek çıkmıştık. Geçen zamanda yüzbinlerce öğrenci ilk defa Antrenmanlarla Matematik setinin birinci kitabıyla matematiği anlayabiliyor olmanın ve matematik yapabiliyor olmanın keyfini yaşadılar. Ve daha önce kendileri için bir fobi olan matematiği tutkuya dönüştürdüler. Antrenmanlarla Matematik setinin ikinci kitabıyla ise kesinlikle matematiği daha da sevecek ve matematikten keyif alacaksınız. Daha önce anlamadığınız pek çok şeyi belki de ilk defa bu kadar kolay anlayacaksınız. İşte ikinci kitap bunun için ve özellikle de Sorular önüme gelince nereden nasıl başlayacağımı bilemiyorum, Soruları çözerken sistematik düşünemediğim için çok zaman harcıyorum, Bazı soruları sanki ezbermiş gibi yapıyorum, Şu OBEB - OKEK in mantığını tam anlayamıyorum, Mutlak Değer konusu ne sinir şey Problemler konusu benim için tam bir kâbus, problemleri anlayıp yorumlayamadığım için denklem kurarak değil de deneyerek çözmeye çalışıyorum. diyenler için yazıldı. Yani, sizin için. Ama yeter ki kararlı ve sabırlı olun. Ve Antrenmanlarla Matematik setinin birinci kitabını da adam gibi bitirin. Şunu da unutmayın ki sizden önce bu setle matematiği sevip öğrenen ve mükemmel sonuçlar elde eden o kadar çok öğrenci oldu ki. Siz de daha öncekilerin ifadesiyle sıfırdan başlayıp inanılmaz sonuçlar elde edenlerden biri olabilir ve onların arasına katılabilirsiniz. Matematik probleminizi hallettiğinizde de küçük bir teşekkür edersiniz artık. Ve çok iyi biliyorum ki Kesinlikle başaracaksınız. Tıpkı sizden öncekiler gibi. Bundan o kadar eminim ki. Halil İbrahim KÜÇÜKKAYA Halil İbrahim KÜÇÜKKAYA

4 Ümitli Kurbağa Bir kurbağa sürüsü ormanda yürürken, içlerinden ikisi bir çukura düştü. Diğer bütün kurbağalar çukurun etrafında toplandılar. Çukur bir hayli derindi ve arkadaşlarının zıplayıp dışarı çıkması mümkün görünmüyordu. Yukarıdaki kurbağalar, boşuna uğraşmamalarını söylediler arkadaşlarına: Çukur çok derin, dışarı çıkmanız imkânsız. Ancak, çukura düşen kurbağalar onların söylediklerine aldırmayıp çukurdan çıkmak için mücadeleye devam ettiler. Yukarıdakiler ise hala boşuna çırpınıp durmamalarını, ölümün onlar için kurtuluş olduğunu söylüyorlardı. Sonunda kurbağalardan birisi söylenenlerden etkilendi ve mücadeleyi bıraktı. Diğeri ise çabalamaya devam etti. Yukarıdakiler de, çırpınıp durarak daha çok acı çektiğini söylemeyi sürdürdüler. Ne var ki, çukurdaki kurbağa son bir hamle daha yaptı, bu kez daha yükseğe sıçramayı başardı ve çukurdan çıktı. Çünkü bu kurbağa sağırdı. O yüzden, arkadaşlarının ümit kırıcı sözlerine kulak asmamıştı. Etrafınızdakilerin olumsuz düşüncelerine kulaklarınızı kapatın. Ümidinizi kaybetmeyin ve bilin ki ümidini kaybeden insanın kaybedeceği başka şeyi kalmamıştır. Kararlı olun ve başarı kapısını sabırla çalın. Sizden öncekilere nasıl açılmışsa size de öyle açılacaktır. Emin olun.

5 İkinci Kitapta Neler Var?. Sayılar (Temel Kavramlar)...7. Sayı Basamakları Bölen Kalan İlişkisi Bölünebilme Kuralları Asal Çarpanlar ve Pozitif Tam Bölen Sayısı OBEB - OKEK Rasyonel - Ondalık Sayılar Basit Eşitsizlikler Mutlak Değer Üslü İfadeler Köklü İfadeler...8. Çarpanlara Ayırma...0. Oran Orantı Ortalamalar Denklem Çözme Sayı Problemleri Kesir Problemleri Yaş Problemleri İşçi Havuz problemleri.... Hız Problemleri...4. Yüzde problemleri Karışım problemleri Faiz problemleri Grafikler...40

6 Üstelemek başarının temel unsurudur. Kapıyı yeterince uzun süre ve yüksek sesle çalarsanız, birilerini uyandıracağınızdan emin olabilirsiniz. H. W. Longfellow Matematikte zekâdan önce sabır gelir. Cahit Arf

7 En uzun yolculuklara bile küçük bir adımla başlanır.. hafta Doğal Sayılar ve Tam Sayılar Pozitif ve Negatif Sayılar Tek ve Çift Sayılar Ardışık Sayılar Asal Sayılar Faktöriyel

8 Yapabileceğini düşünen yapabilir, yapamayacağını düşünen yapamaz. Bu değişmez ve tartışılmaz bir kuraldır. Pablo Picasso En yükseğe erişmek isterseniz, en aşağıdan başlayın. S.Pyrus

9 . Hafta Tam Sayılar - Doğal Sayılar. Antrenman SAYILAR Rakam, Tam sayı, Doğal sayı Konu bilgisinin çok az olduğu önemli bir konu. Rakam deyince aklınıza 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gelmesi lâzım. Doğal Sayılar 0,,,, 4, 5, Gördüğünüz gibi en küçük doğal sayı sıfırdır. Ve ilginç olanı bunu bildiği halde doğal sayı sorularında sıfırı unutup da yamulanlar hiç de az değil. Onun için doğal sayı sorularını çözerken lütfen sıfırı unutmayalım. Tam Sayılar,,,, 0,,,, Ve tam sayı sorularını çözerken de negatif tam sayıları unutmayın. Bir de sıfır pozitif ya da negatif filan değildir. Aklınızda olsun. Aslında buradaki tam sayı ve doğal sayı sorularının çoğunun çözümünü harflere uygun değerler vererek yapacaksınız. Yalnız harflere değer vermenin de bir mantığı var elbette. Öyle rastgele değerler verilmez. İşte siz asıl bu değerlerin hangi mantığa göre verildiğini öğrenin. Ama sakın ola ki bu konuda vereceğim hiç bir şeyi ezberlemeye çalışmayın. Olayın mantığını anlamaya çalışın. Yoksa yamulursunuz walla. Ama baştan söyleyeyim. Sayılar konusu biraz dağınıktır. Onun için ilk etapta biraz sıkıcı gelebilir. Yol yöntem bilmiyorsanız siz soruya bakarsınız soruda size. Belki konu bilgisi olarak çok uzun bir konu değil sayılar konusu. Ama çok değişik sorular yazılabilir burada. Onun için ben kafanızı fazla karıştırmadan size çok önemli belli başlı birkaç temel mantığı vereyim. Gerisi size kalacak artık. Biraz kafayı çalıştırır ve adam gibi de çalışırsanız bu konunun üstesinden de rahatlıkla gelebilirsiniz. Ve unutmayın ki ortalama zekâya sahip her insan matematiği yapabilir. Ama yeter ki sabırlı ve kararlı olsun. Bilmem ki derdimi anlatabildim mi? Bir de antrenmanlarlamatematik.com da konuları hayalet bir adam sıradışı bir tarzda sesli olarak anlatıyor. Haberiniz olsun. Her gün binlerce kişi öyle yapıyor. Ona göre. Örnek a ve b pozitif tam sayı ve a + b = 7 olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? Çözelim:) Bu ifadenin en büyük değeri b nin en büyük değeri almasıyla mümkün olur. Çünkü bir toplamda kat sayısı büyük olan harf büyük seçilince toplamın sonucu daha büyük çıkar. Yani, b ye en çok 6 verebilirsiniz. a da olur doğal olarak. Bu durumda da a + b =. +.6 = 0 olur. Söyledim aslında. Ama yine de bazılarınızın aklına şu gelebilir. Niye en büyük değeri b ye veriyoruz da a ya vermiyoruz. a nın ne suçu var? Söyleyeyim. a nın suçu kat sayısının (önündeki sayı) küçük olması. Çünkü bir ifadenin toplamının büyük olmasını istiyorsanız kat sayısı büyük olana büyük değer vereceksiniz. Küçük olmasını istiyorsanız da küçük değer vereceksiniz. Yani, bir toplamda kat sayısı büyük olana büyük değer verince sonuç büyük, küçük verince de küçük çıkıyor. Örnek a, b, c farklı rakamlar olmak üzere, a + b + 7c toplamının alabileceği en büyük ve en küçük değeri bulalım. Çözelim Önce en büyük değerini bulalım. En büyük değeri bulmak için kat sayısı en büyük olan c ye 9, ondan sonra kat sayısı en büyük olan b ye 8, sonra da a ya 7 vermek lâzım. Bu değerler için, a + b + 7c = = 0 olur. Şimdi de en küçük değerini bulalım. En küçük olması için kat sayısı en büyük olan c ye 0, ondan sonra b ye ve a ya da vermek lâzım. Bu değerler için, a + b + 7c = = 7olur. Ok. Canlar, bu konuda şunu unutmayın. Tam sayı ve doğal sayı sorularının çoğunda bu iki soruda olduğu gibi harflere uygun değerler vererek çözüm yapacaksınız. 9

10 . Antrenman. Hafta Tam Sayılar - Doğal Sayılar. a ve b farklı iki rakam olduğuna göre, a + b toplamı en çok kaç olabilir? 6. a ve b birer rakam olduğuna göre, b 4a farkı en çok kaçtır?. a, b, c farklı rakamlardır. Buna göre, ab + c toplamı en çok kaçtır? 7. A = {,,, 4, 5} kümesinin farklı iki elemanı a ve b olduğuna göre, a) a + 5b toplamının değeri en çok kaçtır? b) a b farkı en çok kaçtır? c) a b farkı en az kaçtır?. a, b sıfırdan farklı birer rakam olmak üzere, 4a = 5b olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? 8. A = {,,, 4, 5, 6} kümesinin farklı üç elemanı a, b ve c olduğuna göre, a) a + b + 4c toplamının değeri en çok kaçtır? b) a + 5b 7c ifadesinin değeri en çok kaçtır? 4. x, y pozitif tam sayıdır. 5x + y = 6 olduğuna göre, x kaçtır? 5. a, b doğal sayılardır. 5a + 6b = olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? 9. a, b, c farklı pozitif tam sayılar olmak üzere, a + b + c = olduğuna göre, a + 5b + c toplamı en çok kaçtır? a) b) 7 c) _ 8. a) 47 b)

11 . Hafta Tam Sayılar - Doğal Sayılar. Antrenman Birazdan tam sayı sorularını çözeceksiniz. Başlamadan önce size acayip önemli bir şey söyleyeyim. Tam sayı sorularının çözümü genelde harflere uygun değerler verilerek yapılır. Yalnız harflerden birine değer verdiğiniz zaman bu değer için diğer harfin de tam sayı olup olmadığını muhakkak kontrol edin. Yoksa... Meselâ, ilk soruda a ya den başlayarak değerler verin. Yalnız her değerden sonra b nin tam sayı olup olmadığına da bakın lütfen. Şu soruda b ne kadar küçük olursa a ve dolayısıyla da a + b toplamı o kadar küçük olur. Bakın isterseniz.. a ve b pozitif tam sayıları için aşağıdaki eşitliklerde a + b toplamının alabileceği en küçük değeri bulunuz. a) a b = b) 5a b =. a ve b pozitif tam sayıları için aşağıdaki eşitliklerde a nın alabileceği en küçük değer kaçtır? a) a + b = 9 b) 4a + b = 47 Hatırlayın Toplamı belli olan iki sayıdan birinin en büyük olması için diğerini küçük almak lâzım.. a ve b pozitif tam sayıları için aşağıdaki eşitliklerde a nın alabileceği en büyük değer kaçtır? a) a + 9b = 5 b) a + b = 6 Şu soruda kafayı çalıştırın bakalım. En küçük değeri a ya mı verelim yoksa b ye mi? 4. a ve b pozitif tam sayıları için aşağıdaki eşitliklerde a + b toplamının alabileceği en küçük değeri bulunuz. a) 5a + b = b) a + 5b = 5

12 . Antrenman. Hafta Tam Sayılar - Doğal Sayılar Hatırlayın. İki sayının farkının en çok olması için çıkarılan sayı(sağdaki sayı ) mümkün olan en küçük değer seçilmeliydi. 5. a ve b pozitif tam sayıları için aşağıdaki eşitliklerde a b farkının alabileceği en büyük değeri bulunuz. a) a + b = 0 b) a + b = 6 Toplam biçimindeki bir eşitlikte a kaç farklı değer alabilir? Ya da a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? gibi sorularda daima kat sayısı büyük olan harfe değer vererek işlem yapın. Daha hızlı çözersiniz. Tecrübeyle sabit 7. a ve b pozitif tam sayıları için aşağıdaki eşitliklerde a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? a) a + 5b = 8 b) 4a + b = Peki, şu soru da hangisini küçük seçelim? Ne dersiniz? 6. a ve b pozitif tam sayıları için aşağıdaki eşitliklerde a + b toplamının alabileceği en büyük değeri bulunuz. a) a + 5b = 4 b) a + b = 6 8. a ve b pozitif tam sayı olduğuna göre aşağıdaki eşitliklerde a kaç farklı değer alabilir? a) a + 9b = 75 b) a + 5b = 8. a) b). a) 6 b) 8. a) 5 b) 9 4. a) 5 b) 5. a) 8 b) 7 6. a) 7 b) 0 7. a) 4 b) 5 8. a) 8 b) 8

13 . Hafta Tam Sayılar - Doğal Sayılar. Antrenman Ne demiştik? Toplamı verilen sayılardan birinin en büyük olması için diğerlerinin en küçük seçilmesi lâzım.. a, b, c birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, aşağıdaki eşitliklerde a nın alabileceği en küçük değer kaçtır?. x, y, z birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, aşağıdaki eşitliklerde x in alabileceği en büyük değer kaçtır? a) a b 4c = 5 b) a (b + 5c) = 0 a) x + y + 5z = 48 b) x + y + z = 4. x, y, z pozitif tam sayılar olduğuna göre, aşağıdaki eşitliklerde x in alabileceği en büyük değer kaçtır? a) x + y + 7z = 00 b) x + 4y + z = a, b, c pozitif tam sayılar olduğuna göre, aşağıdaki eşitliklerde a nın alabileceği en küçük değer kaçtır? a) a 5b 4c = 4 b) a + b + c =

14 . Antrenman. Hafta Tam Sayılar - Doğal Sayılar 5. a ve b pozitif tam sayılar olduğuna göre, aşağıdaki eşitlikleri sağlayan a ve b değerleri için a.b çarpımı en az kaçtır? a) a b = 5 b) a b = 6 7. a, b, c birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, aşağıdaki eşitliklerde a + b + c toplamı en az kaçtır? a) 4a + b + c = 67 b) 5a + b + c = 79 6., 7. ve 8. sorulara dikkat edin. a, b, c li bir toplam verilmiş. a + b + c nin en büyük ya da en küçük değerinin kaç olduğu soruluyor. a + b + c toplamının en büyük değerini alması için kat sayısı en büyük olan harfe en küçük değeri vermek lâzım. a + b + c nin en küçük değerini alması için ise kat sayısı en küçük olan harfe en küçük değeri vermek lâzım. 8. x, y, z birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, aşağıdaki eşitliklerde x + y + z toplamı en çok kaçtır? a) x + 4y + 5z = 45 b) x + y + z = 7 6. a, b, c pozitif tam sayılar olduğuna göre, aşağıdaki eşitliklerde a + b + c toplamı en az kaçtır? a) 4a + b + c = 64 b) 5a + b + c = 79. a) 7 b). a) 90 b) 4. a) 8 b) a) 5 b) 5. a) 7 b) 6 6. a) 7 b) 9 7. a) 8 b) 9 8. a) 5 b) 4

15 . Hafta Tam Sayılar - Doğal Sayılar 4. Antrenman Toplamı verilen iki doğal sayının çarpımının en büyük olmasını istiyorsanız sayları birbirine çok yakın (mümkünse eşit) seçin. Yani, farkı en az olan sayıları seçin. Ama çarpımın en küçük olmasını istiyorsanız o zaman birbirine en uzak sayıları seçin. Yani, aralarındaki fark en çok olan sayıları. Anladınız mı?. x, y farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, aşağıdaki eşitliklerde x.y çarpımının alabileceği en küçük ve en büyük değer toplamı kaçtır? a) x + y = b) x + y = 0. a, b pozitif tam sayılar olduğuna göre, aşağıdaki eşitliklerde a.b çarpımının alabileceği en küçük değer kaçtır? a) a + b = 0 b) a + b = 9. a, b pozitif tam sayılar olduğuna göre, aşağıdaki eşitliklerde a.b çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır? a) a + b = 0 b) a + b = 6 Doğal sayı soruları çözülürken genelde sıfır unutulur. En küçük doğal sayı sıfırdır. Unutmayın 4. x ve y birer doğal sayı olduğuna göre, aşağıdaki eşitliklerde x.y çarpımının alabileceği en küçük değer kaçtır? a) x + y = 8 b) x + y = 0 5

16 4. Antrenman. Hafta Tam Sayılar - Doğal Sayılar 5. x, y farklı doğal sayılar olduğuna göre, aşağıdaki eşitliklerde x.y çarpımının alabileceği en küçük ve en büyük değer toplamı kaçtır? a) x + y = 4 b) x + y = 0 9. a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere, a = c + 7 b = 9 c olduğuna göre, a.b çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır? 6. a, b, c doğal sayılar ve a + b + c = 6 olduğuna göre, a.b.c çarpımının alabileceği en küçük değer kaçtır? 0. a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere, a = 5 x b = 5 + x olduğuna göre, a.b çarpımı en çok kaçtır? 7. a, b, c negatif olmayan tamsayılar ve a + b + c = 6 olduğuna göre, a.b.c çarpımının alabileceği en küçük değer kaçtır?. a, b, c, d pozitif tam sayılar ve a + b = 7 c + d = 7 olduğuna göre, a.b c.d oranı en çok kaçtır? 8. a ve b birbirinden farklı pozitif tam sayılar ve a + b = olduğuna göre, a.b çarpımının alabileceği en büyük ve en küçük değerin farkı kaçtır?. a, b, c, d pozitif tam sayılar ve a + b = 0 c + d = olduğuna göre, a: b c: d farkı en çok kaçtır?. a) 9 b) 8. a) 5 b) 64. a) 40 b) 8 4. a) 0 b) 0 5. a) 48 b)

17 . Hafta Tam Sayılar - Doğal Sayılar 5. Antrenman Çarpımı verilen pozitif iki tam sayının toplamının en büyük değerini bulmak için sayılardan birini seçin. (Daha doğrusu mümkün olan en küçük sayıyı seçin.) Toplamlarının en küçük değerini bulmak istiyorsanız o zaman da birbirine yakın sayılar seçin.. a, b pozitif tam sayılar olduğuna göre, aşağıdaki eşitliklerde a + b toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? a) a.b = 8 b) a.b = 4 Ama sorunun başında a ve b nin tam sayı olduğundan bahsetmişse negatif tam sayıları da unutmayın. Yoksa yamulursunuz walla. a, b tam sayıları için aşağıdaki eşitliklerde a + b toplamının alabileceği en büyük ve en küçük değerleri bulunuz. a) a.b = 0 b) a.b = 8. a, b pozitif tam sayılar olduğuna göre, aşağıdaki eşitliklerde a + b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? a) a.b = 6 4. a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere, a.b = 48 olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en büyük ve en küçük değerin toplamı kaçtır? b) a.b = 4 5. a ve b tam sayılar olmak üzere, a.b = 48 olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en büyük ve en küçük değerin toplamı kaçtır? 7

18 5. Antrenman. Hafta Tam Sayılar - Doğal Sayılar Üç sayının ikili ikili çarpımları verilmişse çözüme ortak olan harfin alabileceği en büyük değeri bularak başlayın. (Bu değer iki sayıyı da tam bölen en büyük sayıdır.) Ortak harfin diğer değerleri de en büyük değerinin tam bölenleri olacaktır doğal olarak. Örneğin,. soruda ortak harf b dir. Ve b en çok 6 ve 4 ü bölen en büyük sayı olan 8 dir. b nin diğer değerleri de 8 in tam bölenleri olan 4, ve dir. Başka da yok. Anladıysanız çözün bakalım. 9. a, b, c pozitif tam sayılardır. ab = 4 ac = 8 lduğuna göre, a + b + c toplamı en çok kaçtır? 6. a, b, c pozitif tam sayılardır. ab = 6 bc = 4 olduğuna göre, b en çok kaçtır? 0. a, b, c pozitif tam sayılar olmak üzere, ab = 8 bc = 7 olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği en büyük ve en küçük değer toplamı kaçtır? 7. a, b, c pozitif tam sayılardır. ab = 8 bc = 4 olduğuna göre, b kaç farklı değer alabilir? Unutmayın. Tam sayı sorularında genellikle negatif sayılar unutulduğu için hata yapılır.. a, b, c tam sayılardır. ab = 4 bc = 6 olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? 8. a, b, c pozitif tam sayılardır. ab = 6 ac = 4 olduğuna göre, a + b + c toplamı en az kaçtır?. a, b, c birer tam sayı olmak üzere, ab = 8 bc = 0 olduğuna göre, a + b + c toplamı en çok kaçtır?. a) 9 b) 5. a) 8 b) 0. a), _ b) 9, _ _

19 . Hafta Tam Sayılar - Doğal Sayılar 6. Antrenman. a, b, c tam sayıları için ab = bc = 6 olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? 5. x, y, z pozitif tam sayılardır. x y = 5 x z = olduğuna göre, x + y + z toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?. x, y, z tam sayılar olmak üzere, xy = 8 xz = 7 olduğuna göre, x + y + z toplamı en çok kaçtır? 6. a, b ve c birbirinden farklı pozitif tam sayılar ve a + b + c = 0 a b = olduğuna göre, c nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?. a, b, c pozitif tam sayılar, a > b olmak üzere ab = 0 ac = 45 olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? 7. x, y, z pozitif tam sayılar olmak üzere, xy = 6 x + z = 5 olduğuna göre, y + z toplamı en az kaçtır? 4. a, b, c birbirinden farklı pozitif tam sayılar ve a + b = 7 b c = olduğuna göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? 8. a, b, c pozitif tam sayıları için ab = 48 a + c = 0 olduğuna göre, b + c toplamı en çok kaç olabilir? 9

20 6. Antrenman. Hafta Tam Sayılar - Doğal Sayılar 9. a, b ve c farklı pozitif tam sayılar ve a + b = ac = 8 olduğuna göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?. a, b tam sayı olmak üzere, 6 a = + b olduğuna göre, a kaç farklı değer alabilir? 0. a, b, c farklı pozitif tam sayılar olmak üzere, a + b = bc = 0 olduğuna göre, a kaç farklı değer alabilir? 4. a, b tam sayılardır. a = 8 b + olduğuna göre, b nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?. a, b pozitif tam sayılardır. 5. a, b birbirinden farklı pozitif tamsayılardır. olduğuna göre, a kaç farklı değer alabilir? olduğuna göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?. a, b pozitif tam sayılar ve a+ = 5 b olduğuna göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? 6. x, y pozitif tam sayılar ve 5x 8 y = x olduğuna göre, y kaç farklı değer alabilir?. _ _

21 . Hafta Tam Sayılar - Doğal Sayılar 7. Antrenman. x, y ve z pozitif tam sayı olmak üzere, z > 5 x + y = z olduğuna göre, x + y + z toplamı en az kaç olabilir? 5. a, b ve c pozitif tam sayılardır. c < 6 a + b = 4c olduğuna göre, a.b çarpımı en çok kaç olabilir?. x, y ve z pozitif tam sayılar ve x > y + 4 y > z + 6 olduğuna göre, x + y + z toplamı en az kaçtır? 6. a, b, c pozitif tam sayılar ve a = 4b, b < c olduğuna göre, a + b + c toplamı en az kaçtır?. a, b pozitif tam sayılar ve a + 5b = 00 a > 7 olduğuna göre, b en çok kaçtır? 7. x, y, z pozitif tam sayılar olmak üzere, < x < y z = x + y olduğuna göre, z en az kaçtır? 4. x, y pozitif tam sayılar ve x + y = 9 x < 0 olduğuna göre, y en az kaçtır? 8. a, b doğal sayılar ve a < b b = 8a 5 olduğuna göre, a + b toplamı en az kaçtır?

22 7. Antrenman. Hafta Tam Sayılar - Doğal Sayılar 9. x, y, z pozitif tam sayılar olmak üzere,. a, b, c ve d pozitif tam sayılar olmak üzere, x > 5y x + y + z = 0 olduğuna göre, z en çok kaçtır? a + b = 49 c + d = 8 olduğuna göre, a : d c b küçük değer kaçtır? ifadesinin alabileceği en 0. a, b doğal sayılar ve a + < b c = a + b olduğuna göre, a + b + c toplamı en az kaçtır? 4. a, b, c pozitif tam sayılar ve a + b = 8 c = ab + a + b + olduğuna göre, a + b + c toplamı en çok kaçtır?. a ve b doğal sayılardır. a < 5 5 < b olduğuna göre, b a farkı en az kaçtır? 5. x, y ve z farklı doğal sayılar olmak üzere, x + y = 8 xy + z = 5 olduğuna göre, z en az kaçtır?. x ve y pozitif tam sayılardır. x(y 5) = 8 olduğuna göre, x in hangi değeri için y en küçük değerini alır? 6. a, b, c, d pozitif tam sayılardır. olduğuna göre, d en az kaçtır?

23 . Hafta Tam Sayılar - Doğal Sayılar 8. Antrenman. a, b pozitif tam sayılar olmak üzere, a = b(b + ) olduğuna göre, a + b toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir? 5. a, b, c doğal sayılar ve a = + b c = 0 a olduğuna göre, c en çok kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4. x ve y tam sayı olmak üzere, x = 7y olduğuna göre, x + y toplamı aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir? 6. a, b, c pozitif tam sayıları için a = 5 b c = b 8 olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? A) B) C)6 D) E) 6. x, y, z pozitif tam sayılardır. x: y = z olduğuna göre, x.y.z çarpımının sonucu aşağıdakilerden hangisi olabilir? 7. a, b, c pozitif tamsayılar ve a b = 5 b c = 4 olduğuna göre, a + b + c toplamı en az kaçtır? A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) x, y, z pozitif tam sayılardır. x = 4y y = z olduğuna göre, x + y + z toplamı en az kaçtır? 8. a, b, c pozitif tam sayılar ve ab = 0 ac = 6 bc = 45 olduğuna göre, c b farkı kaçtır?

24 8. Antrenman. Hafta Tam Sayılar - Doğal Sayılar 9. a, b, c birbirinden farklı pozitif tam sayılardır. a + b = 8 b c = olduğuna göre, b nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?. a, b ve c birbirinden farklı pozitif tam sayılar ve a < b < 9 b c = a olduğuna göre, c kaç farklı değer alabilir? 0. x, y, z farklı pozitif tam sayılar olmak üzere, x + y = z x + y + z = olduğuna göre, x in alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4. x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere, x(y + 4) y(x ) = 76 olduğuna göre, x in en büyük değeri kaçtır?. a, b ve c birbirinden farklı pozitif tam sayılar ve a + b = a c b = olduğuna göre, b kaç farklı değer alabilir? 5. x, y, z pozitif tam sayılar ve 8 y = = z x 5 olduğuna göre, z nin en büyük değeri için x + y + z toplamı kaçtır?. a, b, c birbirinden farklı pozitif tam sayılar ve a + b = 8 a c = + b olduğuna göre, c nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 6. a, b, c pozitif tam sayıları için, a 8 = = c 4 b+ olduğuna göre, b nin en büyük değeri için a + b + c toplamı kaçtır?. C. C. E

25 . Hafta Pozitif ve Negatif Sayılar Pozitif ve Negatif Sayılar Sıfırdan büyük sayılara pozitif sayı, sıfırdan küçük sayılara da negatif sayı dendiğini biliyorsunuzdur. Ayrıca sıfır pozitif ya da negatif değildir. Pozitif negatif olma olayında basit ama önemli olan husus şudur. ( + ) ( ) ( + ):( + ) = ( ) :( ) = = = ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ):( ) = ( ):( + ) = = = ( ) ( ) ( + ) Aynı işaretli iki sayının çarpımı veya bölümünde sonuç pozitif (+ işaretli), ters işaretli iki sayının çarpımı veya bölümünde ise sonuç negatif işaretlidir.) Bu söylediğim şeyi biliyor olmanız lâzım. Bilmiyorsanız da öğrendiniz şimdi:) Sayısal örnek isterseniz bir iki örnek yazayım. ( + ).( + 4) =+ 8 ( ).( 5) = 0 _ 5i.( + ) = 5 + = =+ 4 + Ama bunu harfli marfli verilen sorularda da kullanmanız gerekecek bazen. Onun için ona bi da örnek vereyim isterseniz. Örneğin diyelim ki a < b < 0 < c olsun. Bu durumda ab, bc, ab + c, a + bc ce a + c nin işaretlerini bulalım. Sıryala gideyim. ab > 0 (negatif iki sayıyı çarpmışız.) bc < 0 (ters işaretli iki sayıyı çarpmışız.) abc > 0 ab + c > 0 (ab pozitif, c de pozitif) a + bc < 0 (a negatif, bc de negatif) a + c =? (bilinemez) Aslında bu olayı en güzel antrenmanları yapınca anlayacaksınız. Onun için çok da uzatmaya gerek yok. Peki, iki sayının toplamı veya farkında durum nasıl olur sizce? Pozitif iki sayının toplamı pozitif, Negatif iki sayının toplamı negatif, Biri pozitif biri negatif iki sayının toplamında sonuç büyük olan sayının işaretiyle aynı işaretli olur. Yani, ( + ) + ( + ) = ( + ) ( ) + ( ) = ( ) ( + ) + ( ) = büyük sayının işareti. Ve hata yapılan bir nokta. Eğer a > b olduğunu biliyorsanız, a b daima pozitiftir. (Yani, a b > 0 dır.) b a daima negatiftir. (Yani, b a < 0 dır. ) Bu tür durumlarda a ya b ye değer verilebilir. Ama şunu bilin ki burada a ve b nin işaretlerinin ne olduğunun hiçbir önemi yok. Türkçesi şu: Büyük olan sayıdan küçüğünü çıkarırsanız sonuç daima pozitif, küçüğünden büyüğünü çıkarırsanız ise negatif olur. Anladınız mı burayı? Örneğin, a < b < 0 < c olmak üzere, a b < 0 dır. (Çünkü a sayısı b den küçük.) c b > 0 dır. (c sayısı b den büyük) Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir. Negatif sayıların ise çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. Sıfırdan farklı bir a sayısı için a n daima pozitiftir. a 4, b, c 6 gibi ifadeler daima pozitiftirler Burada a, b ve c nin işaretleri ile ilgili kesin bir şey söylenemez. Hımm Demek ki üs çift olduğu zaman tabanda bulunan sayının işareti hakkında bi şey diyemiyoruz. a n in işareti a ile aynıdır. Yani, a pozitif ise a, a, a 5, a 7 pozitiftir. Fakat a negatif ise bu ifadeler negatif olur. x > 0 ise x kesinlikle pozitiftir. x < 0 ise x kesinlikle negatiftir. Örneğin, a b 5 < 0 ise burada b kesinlikle negatiftir. Ama a nın işareti hakkında bir şey söyleyemezsiniz. Çünkü üssü çift. Ama tabanı negatif olan sayının tek kuvveti daima negatiftir. Kısacası çift kuvvetlerde tabanın işareti hakkında yorum yapamazsınız. Sadece tek kuvvetlerde yapabilirsiniz. 5

26 . Hafta Pozitif ve Negatif Sayılar. Aşağıdaki ifadelerin işaretlerini belirleyiniz. (Kaça eşit olduklarını bulmanıza gerek yok. ) a) ( ) 7 b) ( 5) 0 c) ( ) 7 ( ) 6 d) ( )( 9) e) ( 6)( 7)( 99) f) 7 8. a < 0 < b < c olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerin işaretlerini belirleyiniz. a) ab c c) a b d) e) ab c- a b) a + bc a + b c f) a b c. a < b < 0 < c olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerin işaretlerini belirleyiniz. a) a + b b) a b c) c b d) ab + c e) a + bc f) c(a b) 4. a < 0 < b < c olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangilerinin sonucu sıfıra eşit olabilir? a) a + b + c b) a + b + c c) a b d) a + b c a e) c(a b) f) ab c. a) _ b) + c) _ d) + e) _ f) _. a) _ b) _ c) + d) + e) _ f) _. a) _ b) + c) _ d) + e) _ f) belirsiz 4. b ve c 6

27 . Hafta Pozitif ve Negatif Sayılar. Antrenman. a < b < c < 0 4. a < 0 < b olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangilerinin sonucu pozitiftir? I. a: b: c II. a b: c III. a b IV. c a olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman negatiftir? A) a + b B) a + b C) a + b D) a b E) a + b V. a: b c VI. ab ( c). a < b < 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima pozitiftir? A) a + b B) a.b C) a b D) a E) b 5. a < 0 < b < c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri kesinlikle negatiftir? I. a bc II. a b c a a + b c III. IV. b c b + c V. a + b + c a.b.c VI. a + b + c. a < b < 0 < c olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangileri kesinlikle pozitiftir? I. III. a b b c a + c b c II. IV. a b c a(b c) a c 6. a < b < c < 0 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle pozitiftir? A) abc B) (a b)c C) ab + c V. a + b + c b a VI. a c D) b a b+ c E) a b bc 7

28 . Antrenman. Hafta Pozitif ve Negatif Sayılar 7. a < b < 0 < c. a < b < 0 < c olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle pozitiftir? A) a + b + c B) a b + c C) ac b olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima pozitiftir? A) bc ac B) b + c C) a + b a b D) b c a b E) b + c D) a + b + c E) a b + c 8. a < 0 < b < c olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle pozitiftir? A) a + b + c B) a b + c C) ab + bc D) a + b bc E) ab b c. ab < 0 bc < 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman pozitiftir? A) b a B) ac C) a c D) a + c E) b + c 9. a < 0 < b < c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi sıfıra eşit olabilir? A) a b B) a + b C) a b D) a + c E) b + c. a > b ve a.b < 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur? A) a > B) a + b > 0 C) b < 0 D) b < E) a 0 b > 0. a < b < 0 < c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi negatiftir? A) b a B) b a + c C) abc D) a + bc E) ab c 4. x, y sıfırdan farklı reel sayılar ve x 4y = 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman pozitiftir? A) x B) x.y C) x + y D) x y E) x + 4. IV, V, VI. B. I, II 4. D 5. I, II, IV 6. B 7. D 8. E 9. D 0. D. A. B. C 4. B 8

29 . Hafta Pozitif ve Negatif Sayılar. Antrenman. Aşağıda verilen ifadelere göre, a, b ve c nin işaretlerini belirleyiniz. a) a 4 b c > 0, a bc < 0, a.b.c > 0 b) ab > 0, a c < 0, abc > 0 c) ab 4 c > 0, abc < 0, a bc > 0 4. x y > 0 y z > 0 xyz < 0 olduğuna göre, x, y, z nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir? A) +, _, + B) +, +, _ C) _, +, + D) _, _, _ E) +, +, +. ab c < 0 a bc 4 < 0 abc < 0 olduğuna göre, a, b, c nin işaretleri sırasıyla nedir? 5. ac a b c > 0, < 0 b olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima negatiftir? A) a + c B) a + b C) a.c D) b.c E) b + c 6. a b > 0. xy z > 0 xy z < 0 xz < 0 olduğuna göre, x, y, z nin işaretleri sırasıyla nedir? ac < 0 ab c < 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima pozitiftir? A) b.c B) a + c C) b c D) a + b E) a c 9

30 . Antrenman. Hafta Pozitif ve Negatif Sayılar 7. n tam sayı olmak üzere, 0. a < b < 0 < c n+ n ab a b < 0 > 0 ac < 0 c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) c > a B) a > b C) b > c olduğuna göre aşağıdakilerden hangileri sıfıra eşit olabilir? I. a b + c II. a + b c III. ab + c IV. a + b + c D) c < a E) a < b V. a+ b+ c abc VI. a + b + c 8. a, b, c reel sayılardır. a: b: c < 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur? A) a + b + c < 0 B) a + b c < 0. a < ab < abc < 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima pozitiftir? A) a + b B) b + c C) a + b D) a.c E) a + c C) a.b c < 0 D) a b.c < 0 a.b E) < 0 c 9. abc < 0 ab > c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) a < 0 B) a > b C) c < 0 D) a + c > 0 E) c > 0. a b = 6 b c = 9 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima pozitiftir? A) a - b B) a - c C) a + b b- c b- a D) b + c E) a + b + c. a) _, _, + b) +, _, _ c) _, _, _. _, +, +. _, +, _ 4. C 5. D 6. A 7. A 8. E 9. C 0. I,II, III, IV, V. B. B 0

31 . Hafta Tek - Çift Sayılar Tek ve Çift Sayılar Tek ve çift sayının ne demek olduğunu bilmeyen yoktur. Ama yine de söyleyeyim. ile tam bölünen tam sayılara çift sayı, ile tam bölünmeyen tam sayılara da tek sayı denir. T = Tek sayıları, Ç = Çift sayıları göstermek üzere, T ± T = Ç T: T = T Ç ± Ç = Ç ve T: Ç = Ç T ± Ç = T Ç: Ç = Ç Tek sayıların pozitif tam kuvvetleri tek, çift sayıların ise çifttir. + n Z olmak üzere, n n T = T, Ç = Ç Örneğin,, (5) 4, 7 56 gibi tabanı tek olan sayıların tek olduğunu, 4, 6, gibi tabanı çift olan sayıların da çift olduğunu hemencecik söyleyebiliriz. Canlar dikkat ettiniz mi hiç? Üslerin tek veya çift olmaya hiçbir etkisi olmadı. Hımm... Demek ki Tek - Çift sorularında pozitif tam sayı olan üsler silinerek çözüm yapılabilir. Pozitif tam sayı olan üslerin tek veya çift olma durumuna etkisi yoktur. Yani, üsleri silin ve sadece tabanlara bakın demek oluyor bu da. Bu bilgi sorularda acayip kolaylık sağlıyor. Ona göre Örneğin, bir tek - çift sorusunda x + x + x toplamı yerine direkt x + x + x = x almakta, Veya a + b toplamını a + b olarak almakta hiç bir sakınca yok. Yani üsleri sallıyoruz. Bu kadar basit. Anladınız mı? İkinci bir husus da şu Bir çarpımın sonucu tek sayı ise çarpılan bütün sayılar kesinlikle tektir. Örneğin, a: b: cçarpımı tek ise hem a, hem b, hem de c tektir. Eğer, (a + ). (b + ) ifadesi tek ise hem a +, hem de b + tektir. Bunun başka bir olasılığı yok. Şimdi söyleyeceğim şeye dikkat edin. Bu da önemli. a tam sayı iken, a +, a +, a, a, a +, 5 a ifadelerinin sonuçlarının tek veya çift olduğu ile ilgili kesin bir şey diyemezsiniz. Çünkü bunların sonucunun tek veya çift olması a nın tek veya çift olmasına göre değişir. Ama a tam sayı iken, a, 4 a, 6a + 4, a, 4a ifadeleri ise kesinlikle çifttir. Çünkü kat sayıları çift de ondan. (Çok önemli) a +, a, 7 4a, a 5 ifadeleri de kesinlikle tektir. Bunun nedenini anladınız mı? (Ve ilginç olanı bunlarda a nın tek veya çift olmasının önemi yok.) Karışmadı değil mi? Minik bir özet ister misiniz? Tek - çift sorularında Kesir halindeki eşitliklerde yorum yapmayın. Önce ifadeleri çarpma, toplama biçimine getirin. Ve öyle yorumlayın. Eğer verilen ifadede kat sayısı çift olan bir terim varsa çözüme oradan başlarsanız işiniz daha kolay olur. Ne de olsa kat sayısı çift olan terim kesinlikle çift olacaktır. Öyle di mi? Eğer terimlerde pozitif tam sayı üsler varsa onları da silin. Çünkü bilmek lâzım ki pozitif tam sayı olan üslerin tek çift olmaya etkisi yoktu. Özetin de özeti. Pozitif üsleri sallayın, Eşitlik varken bölme biçiminde yorum yapmayın, Kat sayısı çift olan yerden başlayın. Ve antrenmanlara başlayın artık. Ha! Bu arada bu tek çift muhabbetini ÖSYM deki amcalar çok sıklıkla hatırlamasalar bile hiç unutmadıklarından emin olabilirsiniz. Gerçi neyi unuttuklarını bilirseniz işiniz çok kolay. Ama işte...

32 . Hafta Tek - Çift Sayılar. Aşağıdaki sayılardan hangileri çifttir? 4. Aşağıdaki sayılardan hangisi çifttir? I II III IV A) B) C) D) E) V VI a + çift ise aşağıdakilerden hangileri tektir? 5. Aşağıdakilerden hangisi tektir? I. a + 4 II. a III. 5a + 4 IV. a 6 A) B) 9 : 8 C) D) E) 5 : V. a VI. a VII. a + a VIII. a. a tam sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri daima tek sayıdır? I. a + II. a + III. a IV. a V. 6a + 5 VI. 5 a 6. x + 4 tek sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi çifttir? A) x B) x C) x + 5 D) x + E) 5x VII. a + VIII. a. III, IV, V, VI. I, III, VI. IV, V, VI 4. C 5. D 6. D

33 . Hafta Tek - Çift Sayılar. Antrenman Tekrar hatırlatayım. Tek çift sorularında pozitif üsleri siliyor, bölüm biçiminde yorum yapmıyor ve kat sayısı çift olan terimden başlıyorduk. Ok. Hadi bakalım antrenman başlıyor. 4. a + ve b çift olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi tektir? A) ab + B) ab C) a.b D) a + b E) a b. x tam sayı ve x + çift sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi çifttir? A) x B) x + C) x + D) x E) x 5. a ve b + tek sayılardır. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi çift sayıdır? A) ab + B) a + b C) a(b + ) D) a + a.b E) b + a. a tam sayı ve 5a + çift sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi tek sayıdır? A) a + B) 4a C) 6a D) a + E) a + 6. x pozitif tam sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima tek sayıdır? A) x + x + B) 5x + C) 4 x + x D) 7x + E) x + 5. a ve b + pozitif çift sayılar olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi tektir? A) a B) a+b C) a +b D) a. b E) a + b 7. a tam sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır? A) a + B) a + a C) a D) a E) a

34 . Antrenman. Hafta Tek - Çift Sayılar 8. x pozitif tam sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çifttir? A) + x B) x C) x D) x E) x + x. x pozitif tam sayı olmak üzere, x + x + 5x + ifadesi tek sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi tektir? A) x + B) x + C) x D) x E) x + 9. a + tek sayı olmak üzere, b = a + olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi çifttir? A) a B) a b C) b D) 5b+ E) a. a pozitif tek sayı, b negatif çift sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima pozitif tek sayıdır? A) ab + B) a + b C) a b D) a 5b E) ab 5 0. a pozitif çift, b pozitif tek sayı olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi tek sayıdır? A) a B) a b C) a b + b a C) a + b + D) a.b 4. x = y = 5 x olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi tektir? A) x B) x + y C) x + y D) y + E) xy. a, b pozitif tam sayılardır. a = b + 4 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çifttir? A) a B) a + C) b + D) a + b E) a.b 5. a = b = olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi çifttir? A) a + b B) a C) b D) ab E) a b. B. D. C 4. A 5. E 6. A 7. B 8. E 9. B 0. C. D. A. D 4. E 5. A 4

35 . Hafta Tek - Çift Sayılar. Antrenman Eşitlik durumundaki sorularda tek çift yorumu yapacaksanız önce eşitliği düzenleyin ve kat sayısı çift olan terimlere muhakkak dikkat edin. Çünkü kat sayısı çift olan terim kesinlikle çift oluyor. 4. a, b, c pozitif tam sayıları için, a + b = 4c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman çifttir? A) a.b B) a b C) b.c D) a + c E) c. x, y ve z tam sayıları için x + y = z olduğuna göre, x + y + z toplamı aşağıdakilerden hangisine eşit olamaz? A) B) 4 C) 0 D) 4 E) 6 5. a, b ve c pozitif tam sayılar olmak üzere, ab + = ac olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi her zaman çifttir? A) a. b B) a b C) b.c D) a.c E) c +. a, b, c tam sayılar olmak üzere, a + b = c + olduğuna göre, a + b + c toplamı aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir? A) B) C) 44 D) 66 E) 7 6. a, b, c tam sayılar olmak üzere, ab 8c = olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) a + c çifttir B) b + c çifttir C) b.c tektir D) a b çifttir E) a + b + c tektir. x, y, z pozitif tam sayılar olmak üzere, x + y = z + olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima tektir? A) x + y + z B) x y C) x.z D) x + y E) x + z 7. a, b, c tam sayılar olmak üzere, a + 5 = b c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) a + b tektir B) a çifttir C) b c çifttir D) a.b tektir E) b.c çifttir 5

36 . Antrenman. Hafta Tek - Çift Sayılar 8. a, b ve c pozitif tam sayı ve a b = c + olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur? A) a, b ve c tektir. B) a ve b tektir. C) b ve c çifttir. D) a b tektir. E) b + c tektir.. a b, c tamsayılar olmak üzere, b + c = a + 4 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman çifttir? A) a + b + c B) ab c C) b c D) a.c b E) a + c 9. a, b ve c tam sayıları için a + b = c + olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır? A) a + b B) b c C) b.c D) a + c E) a.c. a, b ve c pozitif tamsayılar ve 5b c = a olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır? A) a.b B) b.c C) c a D) a.c E) b + c 0. a ve b tam sayılar olmak üzere, a b farkı tek sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima tek sayıdır? A) a + b B) a b C) a + b D) a b E) a.b + 4. a, b, c tam sayılar olmak üzere, abc = 6(a + b) + 7 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) a + b tektir B) c çifttir C) b.c çifttir D) a + b + c tektir E) a + b c çifttir. x, y, z pozitif tam sayılar olmak üzere, x + y + = 4z olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çifttir? A) x.y B) y.z C) y + z D) x + y E) x + z 5. a, b ve c tam sayıları için (a + )(b + ) = 4c + olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima tektir? A) a.c B) b c C) a + b D) a.b E) a + b.c. A. B. B 4. A 5. B 6. D 7. C 8. B 9. C 0. E. A. C. E 4. D 5. C 6

37 . Hafta Tek - Çift Sayılar. Antrenman. a, b ve c pozitif tam sayılar olmak üzere, a + = c b olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çifttir? A) a + b B) b c C) a.c 4. x, y, z pozitif tam sayılar ve 4 = x y z + olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) x, y, z tektir. B) y + z tektir. C) x + y çifttir D) a.b E) a c. D) x + z tektir. E) x + y + z çifttir. a, b, c pozitif tam sayılar olmak üzere, 4a + b = b + 4 c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur? A) a çifttir. B) b tektir C) b çifttir D) c tektir E) c çifttir 5. a, b, c ve d tam sayılar olmak üzere, 7a+ 4b c = d + olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) a + b çifttir B) c a tektir C) b + d tektir D) d c çifttir E) a + c çifttir. a, b, c ve d tam sayılar olmak üzere, a + = d + bc olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman çifttir? A) b + d B) a d C) b + c D) c + d E) a + c 6. a, b, c tam sayılar olmak üzere, a + c = b + olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) a tektir B) b tektir C) b + c çifttir D) b c tektir E) a b çifttir 7

38 . Antrenman. Hafta Tek - Çift Sayılar 7. Aşağıdaki ifadelerde a, b, c tam sayı olduğuna göre, hangilerinde hem a, hem de b kesinlikle tektir? I. ab = c II. a + b = c 0. a, b, c çift sayılar olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangileri her zaman çifttir? I. a + b c II. III. a+ b+ c a+ b+ c IV. a : b : c III. 6a c = b IV. 4c 5a = b V. a: b: c 4 VI. a b + 5 a + b V. = c VI. a b c = - 8. a, b, c pozitif tam sayılar ve a+ 5b = 4 c + olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) a.b tektir B) a.b çifttir C) b c tektir D) b a çifttir E) a + c tektir. a, b, c pozitif tam sayılardır. a b = = c 4 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır? A) a + b + c D) a B) a + b E) a + c C) c 9. a, b, c tek sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangilerinin sonucu daima tektir? I. a + b c II. ab + c III. a: b: c IV. a + b + 4c V. a b c 4 VI. a b + 4. x, y, z çift sayılar olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır? A) x + y + z D) x : y : z 4 B) x + y + z x+ y C) + z E) x y + z. B. C. C 4. C 5. E 6. D 7. I, IV, VI 8. D 9. I, IV, V, VI 0. I, IV, V. D. D 8

39 . Hafta Ardışık Sayılar Ardışık Sayılar Bu sayılar belli bir kurala göre art arda gelen sayılardır. a) Ardışık Tam Sayılar Adından belli zaten. Bunlar art arda gelen tam sayılar....,,,, 0,,,, Ardışık her iki tam sayı arasındaki fark (artma ya da azalma miktarı. Her neyse işte. ) olduğundan bunları x, x, x, x +, x +, biçiminde gösterebiliriz. (Burada x herhangi bir tam sayıdır.) b) Ardışık Çift Sayılar Bunlar da art arda gelen çift sayılardır.... 4,, 0,, 4, Ardışık her iki çift sayının arasındaki fark (artma ya da azalma miktarı) olduğundan, bunları genel olarak..,, x 4, x, x, x +, x + 4, gibi ifade edebiliriz.(burada x in çift sayı olduğunu söylemeye gerek var mı?) c) Ardışık Tek Sayılar Eeee... Artık bunların art arda gelen tek sayılar olduğunu söylemeye gerek yok herhalde., 5,,,,, 5, Ardışık tek sayıların da artış miktarı (yani, ardışık her iki tek sayının farkı) olduğundan bunları da;, x -, x, x +, x + 4, x + 6,... Biçiminde ifade edebiliriz. (Burada x tek sayıdır tabii ki.) Göreceksiniz. Ama yine de söyliim. Ardışık sayı soruları acayip derecede:) kolay. (Genellikle tabii. Yoksa kastıktan sonra en basit konudan bile en baba soru sorulabilir. Biliyorsunuz. Neyse Çok fazla soru türü yok zaten. En sık karşılaşacağınız bir kaçını göstereyim. Birinci soru tipi şu Örnek Ardışık beş tam sayının toplamı 5 olduğuna göre, bu sayıların en küçüğü kaçtır? Bu tipteki sorularda sayıların en küçüğüne x, diğerlerine de sırasıyla x +, x +, x + ve x + 4 diyebilirsiniz. İşte bunların toplamı verilmiş. Artık şunu yazarsınız. Ve soruyu çözersiniz. x + (x + ) + (x + ) + (x + ) + (x + 4) = 5 5x + 0 = 5 x = 5 Oldu mu? Tabii ki daha başka türlü de çözülebilir. Ama önce bunu bi halledin bakalım. Diğer bi çözüm yolu da ortanca sayıyı bularak çözmek. Bu çözüm yolunu da sonra anlatcam. Acele etmeyin hele. Zaten sayı adedi fazla değilse x li çözümler çoğu zaman daha kolaydır. Bilginiz olsun. İkinci soru tipi Örnek a, b, c ardışık üç çift sayı ve a < b < c 5a + b = 7c _ 6 olduğuna göre, a kaçtır? Bu tip soruların çözümünde bilinmeyenlerin (harflerin) hepsini tek bir bilinmeyen (harf) türünden yazmak lazım. Yoksa rastgele değer verip deneyerek bulmak biraz zor. Zaten a yı b yi c yi bilseydiniz niye değer veresiniz ki? Mantıklı mı sizce? Burada b ve c yi a türünden yazın önce. b = a + dir. (öyle ya b a dan fazla olmalı) ve c = a + 4 tür. Dolayısıyla da 5a + b = 7c 6 5a + (a + ) = 7(a + 4) 6 8a + 6 = 7a + a = 6 bulur ve mutlu olursunuz. 9

40 . Hafta Ardışık Sayılar Hımm Demek ki bu tipteki (yani harflerin sorulduğu) ardışık sayı sorularında sayıları aynı değişken (harf) türünden yazınca soru acayip kolaylaşıyor. Artık bundan sonra yazarsınız. Şunu da çözün. Ya da ardışık 7 çift sayının toplamı 70 ise ortanca sayı kaç olur? 0 buldunuz mu? Peki, son olarak bir de şuna bakın bakalım. Üçüncü soru tipi ise şu Örnek x, y, z ardışık üç tek sayı ve x < y < z olduğuna göre, (x z) ifadesinin değeri kaçtır? (z y) Bu tür sorularda (Yani, sayılardan herhangi birini bulmaya gerek olmayan sorularda) sayıları uygun şekilde seçerek sonuca gidebiliriz. x =, y = ve z = 5 alabiliriz. Tabii ki gidip de saçma sapan değerler alırsanız yamulma olasılığınız doğal olarak yüksek olabilir. Deneyin isterseniz. Neyse Bu değerler için istenen ifadenin değeri ( 5) ( 5 ) 64 = = 6 olur. 4 Var mı anlamadığınız bir yer? Cık. Bak ne diycem. Aslında bu soruda da y ve z yi x türünden yazsaydık aynı sonucu yine de bulabilirdik. Ama bir de böyle çözelim canım. Ne olacak ki? Bunu da görmüş olun. Daha pratik bir çözüm görseniz ne kaybedersiniz sanki. Ve son olarak da şu Önce mantığını anlatayım. Ardışık üç tam sayının toplamı 4 ise ortanca sayı kaçtır? Buldunuz mu 8 i? Başka bi soru daha.. Ardışık 5 tam sayının toplamı 55 ise ortanca sayı kaç oluyor? Bu kaç çıktı? mi? Ardışık 5 tek sayının toplamı 56 ise en büyüğü kaçtır? Bu soruda sayılara x, x +, x + 4,, deyince çözüm tam bir amele işi oluyor. Öyle değil mi? Onun için bu tür sorularda sayıların en küçüğüne değil de ortanca sayıya x derseniz, Sayılar ;, x 4, x, x, x +, x + 4, (sağlı sollu, + ler, 4, + 4 ler birbirini yer. şeklinde olur. Ve toplamları da 5x olur. Buradan da 5x = 56 eşitliğinden x = (yani ortanca sayı, 6. sayı) ve en büyüğü de x + 50 = 6olur. O halde şöyle diyebiliriz. Sayı adedi tek olduğunda (yani sayı, 9 sayı filan olduğunda) sayıların toplamını sayı adedine bölünce ortanca sayı bulunmuş oluyor. Anladınız mı? Ama bunu her zaman kullanmaya gerek yok tabii ki. Sayı adedi çok fazla olursa kullanmak daha mantıklı. Şimdilik bu kadarıyla idare edin. Son bi soru daha çözeyim. 5 ardışık çift sayını toplamı 000 olduğuna göre, bu sayılardan en küçüğü kaçtır? Çözüm belli artık. Sayıların toplamını sayı adedine böleceksiniz. Yani, 000 i 5 e bölceksiniz. Bölün bakalım. Kaç çıktı? 40 mı? Evet. Demek ki bu 5 sayın küçükten büyüğe doğru yazılınca en ortaya gelen sayı (Yani,. sayı öyle di mi?) 40 oluyomuş. Sorulan en küçüğü. Ortanca sayıdan sayı geri geleceksiniz demek ki. Yani, tane. Bu da 4 ettiğine göre. 40 tan 4 ü çıkarıp en küçük sayıyı 6 olarak bulacaksınız. En küçük sayı 6 ymış.geçtim. 40

41 . Hafta Ardışık Sayılar. Antrenman Ardışık sayılarla denklem kurma Ardışık sayılarla denklem kurarken önemli olan sayıların hepsini aynı harf türünden yazmaktır. Gerisi zaten kolay. Göreceksiniz 5. Ardışık tam sayının toplamı en küçüğünün iki katından 6 fazladır. Buna göre, en büyüğü kaçtır?. Ardışık üç tam sayının toplamı 7 olduğuna göre, en küçüğü kaçtır?. Yaşları ardışık çift sayı olan üç kardeşin yaşlarının toplamı 48 dir. 6. Ardışık 7 çift sayıdan ilk dördünün toplamı 9 olduğuna göre, son üçünün toplamı kaçtır? Buna göre, en küçük kardeşin yaşı kaçtır?. Ardışık üç tek sayının toplamı olduğuna göre, en büyüğünün rakamları toplamı kaçtır? 7. Ardışık iki pozitif tek sayının çarpımı 6 olduğuna göre, bu sayıların toplamı kaçtır? 4. Ardışık çift sayının toplamı 50 olduğuna göre, bu sayıların arasındaki tek sayıların toplamı kaçtır? 8. Ardışık üç pozitif tam sayının çarpımı bu sayıların en büyüğünün 0 katına eşittir. Buna göre, en büyük sayı kaçtır? 4

42 . Antrenman. Hafta Ardışık Sayılar Ardışık sayıların farkını biliyorsunuz. Dolayısıyla farkı söz konusuysa sayıların kaç olduğunun herhangi bir önemi yoktur. Yani, ardışık sayıların farkı ile ilgili sorularda değer verebilirsiniz. Zaten bu tür sorularda sayıların kaç olduğu ile ilgili bir şey de sorulmaz. Eğer sayıların kaç olduğu ile ilgili bir şeyler sorulmuşsa zaten değer veremezsiniz.. a, b ve c ardışık çift sayılar olmak üzere, ifade- a < b < c olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? _ a c+ i + ( b c+ 7) 9. a, b ardışık tek sayılardır. a < b olduğuna göre, (a b) + (b a) toplamı kaçtır?. a, b, c, d ardışık çift sayılar ve a < b < c < d olduğuna göre, ( a d ).( c b ) oranı kaçtır? a c 0. a, b, c ardışık çift sayılardır. a < b < c olduğuna göre, (a c) + (c b) kaçtır? 4. a, b ve c ardışık tek sayılar ve a > b > c (a b) c = olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?. a, b, c ardışık tam sayılardır. a < b < c 5 (a c) olduğuna göre, kaçtır? 4 (b c) 5. a, b, c ardışık tam sayılar olmak üzere, a < b < c (a c) 4 x(b c) = 48 olduğuna göre x kaçtır?

43 . Hafta Ardışık Sayılar. Antrenman Eğer ardışık sayı sorularında sayılardan (harflerden) birini veya bunların toplamı, çarpımı gibi sayıları bilmeden bulamayacağınız şeyler soruluyorsa sayıların hepsini aynı türden yazın. Yani, a, b, c ardışık üç tam sayı ise bu sayılara a, a +, a + deyin. Ardışık üç çift sayı (veya tek sayı) demiş ise a, a +, a + 4 deyin ve bir bilinmeyenli bir denklem kurarak öyle çözün. Gerçekten çok kolay. Dediklerimi anladınız mı? 4. a, b, c ardışık tam sayılar ve a < b < c olmak üzere, 7a = 4b + c + olduğuna göre, a kaçtır?. a ve b ardışık tam sayılar olmak üzere, a < b 5a + b = 67 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? 5. a, b, c ardışık tam sayılardır. a < b < c a + b 4c = olduğuna göre, a kaçtır?. a, b, c, d ardışık doğal sayılar ve a < b < c < d a + d = 5 olduğuna göre, b.c çarpımı kaçtır? 6. a, b, c ardışık pozitif tam sayılardır. a < b < c a.c = 99 olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?. a, b, c ardışık tek sayılar ve a < b < c a + b = 6c olduğuna göre, a kaçtır? 7. a, b, c ardışık tam sayılar ve a < b < c olmak üzere, a 9 d + n : d + n : d + n b c = 8 olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? 4