ÜN TE II. I. KOMB NASYON Kombinasyon ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST II-I. II. OLASILIK Olas l k Çeflitleri Olay Çeflitleri ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST II-II

Transkript

1 ÜN TE II I. KOMB NASYON Kombinasyon ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST II-I II. OLASILIK Olas l k Çeflitleri Olay Çeflitleri ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST II-II III. KAREKÖKLÜ SAYILAR Kareköklü Say lar Kareköklü Say larla Toplama ve Ç karma fllemleri Kareköklü Say larla Çarpma ve Bölme fllemleri Gerçek Say lar ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST II-III IV. STANDART SAPMA ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST II-IV 47

2 BU ÜN TEN N AMAÇLARI Bu bölümü çal flt n zda; * Kombinasyon kavram n aç klayabilecek ve hesaplayabilecek, * Permütasyon ve kombinasyon aras ndaki fark aç klayabilecek, * Ba ml ve ba ms z olaylar aç klayabilecek, * Ba ml ve ba ms z olaylar n olma olas l klar n hesaplayabilecek, * Deneysel, teorik ve öznel olas l aç klayabilecek, * Tam kare do al say larla bu say lar n karekökleri aras ndaki iliflkiyi modelleriyle aç klayabilecek ve kareköklerini belirleyebilecek, * Tam kare olmayan say lar n kareköklerini strateji kullanarak tahmin edebilecek, * Kareköklü bir say y a b fleklinde yazabilecek ve a b fleklindeki ifadede kat say y kök içine alabilecek, * Kareköklü say larla toplama ve ç karma ifllemlerini yapabilecek, * Kareköklü say larla çarpma ve bölme ifllemlerini yapabilecek, * Ondal k kesirlerin kareköklerini belirleyebilecek, * Rasyonel say lar ile irrasyonel say lar aras ndaki fark aç klayabilecek, * Rasyonel say lar kümesini oluflturan say kümelerini belirtebilecek, * Standart sapmay hesaplayabilecek, * Uygun istatisiksel temsil biçimlerini, merkezi e ilim ölçülerini ve standart sapmay kullanarak gerçek yaflam durumlar için görüfl oluflturabileceksiniz. NASIL ÇALIfiMALIYIZ? Bu bölümü kavrayabilmek için; * Aç klamalar dikkatle okuyunuz * Örnekleri dikkatlice inceleyiniz ve 8. s n f matematik ders kitaplar ndan çözülmüfl örnekleri anlamaya çal fl n z. * Uyar lar dikkate al n z. * Konularla ilgili de iflik kaynaklardan sorular çözünüz. * Çözemedi iniz sorular için çevrenizdeki bilenlerden yard m al n z. 48

3 KOMB NASYON ÜN TE II Hale, k rtasiyeden dört farkl renkteki kartonlardan üçünü seçip alacak r. Karton renkleri, k rm z, sar, yeflil ve mavi oldu una göre bu seçim kaç farkl flekilde yap labilir? ÇÖZÜM Karton renkleri K, M, S, Y harfleri ile gösterelim. K, M, S ve Y çeflitlerinden üçü ile oluflturulabilecek bütün gruplar yazal m KMS KMY MSY KSY KSM KYM MYS KYS MKS MKY SMY SKY MSK MYK SYM SYK SMK YMK YMS YKS SKM YKM YSM YSK Seçme s ras önemli oldu unda K, M, S ve Y çeflitlerinden üçü ile 24 grup oluflturulabilir. Bu say ya 4 ün 3 lü permütasyonu bulunarak da ulafl labilir. P 4, 3 = 4! 4-3! = = 24 1! Bu kartonlar n seçiminde s ra önemli olmad ndan 1., 2., 3. ve 4. gruptakiler kendi içinde ayn durumu belirtmektedir. Bu nedenle dört renk kartondan oluflturulabilecek üçlü gruplar; KMS, KMY, MSY ve KSY fleklindedir. Bu sonucu permütasyondan yola ç karak, afla daki gibi elde edebiliriz. P 4, 3 3! = = 24 6 = 4 n elemanl bir kümenin elemanlar ile oluflturulacak r elemanl farkl grup-lar n say s n nin r li kombinasyonu olarak adland r l r. n nin r li kombinasyonu C (n, r) veya n r fleklinde gösterilir. C n, r = n r = P n, r r! = n! n - r! r! 49

4 MATEMAT K 8 Beril, yukar daki üç foto raftan ikisini albümüne yanyana koyacakt r. Seçilecek iki foto raf n yanyana kaç de iflik flekilde s ralanabilece ini bulal m. Yukar da görüldü ü gibi bu üç foto raf ikiflerli yanyana 6 de iflik flekilde s rala nabilir. 3 ün 2 li permütasyonlar n n say s P (3, 2) dir. P 3, 2 = 3! = = 6 olur. 3-2! 1 Bu üç foto raf aras ndan 2 foto raf kaç farkl flekilde seçilebilir bulal m. Seçimde s ra önemli de ildir. 1 2 Bu sonucu kombinasyonla bulal m. C 3, 2 = 50 3! = 3! = = 3 olur. 3-2!2! 1! 2! 2 3

5 n elemanl bir kümenin r li permütasyonlar nda elemanlar n kendi aralar nda s ralan fl önemlidir. Oysa n elemanl bir kümenin r li kombinasyonunda r tane eleman n kendi aras ndaki s ralan fl önemli de ildir. Bir dondurmac da 5 farkl dondurma çeflidi bulunmaktad r. Al nacak 3 çeflit dondurma için kaç farkl seçim yap labilir? ÇÖZÜM Seçilecek 3 çeflit dondurman n s ralamas önemli de ildir. Önemli olan 3 çeflit dondurma seçmektir. O halde 5 in 3 lü kombinasyonunu hesaplamal y z. 2 C 5, 2 = 5! 5-3!3! = 5! = ! 2! 3! 2. 3! = 10 farkl seçim yap labilir. Bir çember üzerindeki 5 farkl noktadan herhangi ikisi ile belirlenen kaç do ru parças çizilebilir? Bulal m. Çember üzerindeki 5 nokta; A, B, C, D ve E olsun. A, B noktalar ile AB do ru parças A, C noktalar ile AC do ru parças A, D noktalar ile AD do ru parças A, E noktalar ile AE do ru parças D, E noktalar ile DE do ru parçalar oluflacakt r. 51

6 Buna göre; çizilebilecek do ru parças say s, bu noktalar n kendi aralar nda oluflturabilece i ikili kombinasyonlar n say s na eflittir. Çember üzerinde 5 farkl nokta oldu una göre, bu noktalar n herhangi ikisiyle, C 5,2 = 5! 5-2!2! = 5! = ! 3! 2! 3. 2! = tane do ru parças çizilebilir. ALIfiTIRMALAR 1. 9 kiflilik bir gruptan 5 kiflilik kaç farkl tak m kurulabilir? 2. Afla da verilen permütasyon ve kombinasyonlar hesaplayan z. C (6, 3) C (12, 2) C (8, 7) C (4, 2) C (5, 3) P (6, 3) P (12, 2) P (8, 7) P (4, 2) P (5, 3) 3. Afla daki problemlerin hangisinin permütasyon, hangisinin kombinasyonla çözülmesi gerekti ini belirterek nedenini aç klay n z ve çözümünü yap n z. a) {0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanlar ile üç basamakl kaç farkl say yaz labilir? b) 15 kiflkilik bir gruptan 3 kifli kaç farkl flekilde seçilebilir? c) Befl arkadafl yanyana kaç farkl biçimde foto raf çektirebilir? d) 8 voleybolcu aras ndan iki voleybolcu kaç farkl flekilde seçilebilir? 4. Yukar daki flekilde yer alan noktalar n birlefltirilmesiyle kaç farkl üçgen oluflturulabilir? kiflinin bulundu u bir toplant da herkes birbiriyle tokalaflm flt r. Toplam kaç tokalaflma olmufltur? kiflkilik bir s n ftan s ras yla bir baflkan ve bir baflkan yard mc s kaç farkl flekildes eçilebilir. 52

7 7. Bir çember üzerindeki 4 farkl noktadan herhangi ikisi ile belirlenen kaç do ru parças çizilebilir? 8. C (6, 0) + C (6, 6) + C (6, 3) iflleminin sonucu kaçt r? 9. P (7, 3) - C (7, 3) iflleminin sonucu kaçt r? 10. C (9, 0). P (9, 9) iflleminin sonucu kaçt r? 53

8 ÖZET n elemanl bir kümenin elemanlar ile oluflturulacak r elemanl farkl gruplar n say s n nin r li kombinasyonu olarak adland r l r n nin r li kombinasyonu C (n, r) veya fleklinde gösterilir. n elemanl bir kümenin r li permütasyonlar nda elemanlar n kendi aralar nda s ralan fl önemlidir. Oysa n elemanl bir kümenin r li kombinasyonunda r tane eleman n kendi aras ndaki s ralan fl önemli de ildir. 54

9 TEST II-I 1. C (9, 3) ifadesi afla dakilerden hangisine eflittir? A) C (9, 4) B) C (9, 5) C) C (9, 6) D) C (9, 7) 2. 5 elemanl bir kümenin üçlü permütasyonlar say s, üçlü kombinasyonundan kaç fazlad r? A) 60 B) 50 C) 30 D) soruluk bir s navda ö rencilerden 8 soruya cevap vermeleri isteniyor. Bu s nava giren bir ö renci kaç farkl seçim yapabilir? A) 120 B) 90 C) 60 D) soruluk bir s navda ö rencilerden 10 soruya cevap vermeleri isteniyor. S navda 1.ve 15. soru cevaplanmak zorunda oldu una göre bir ö renci cevaplayaca sorular kaç farkl flekilde seçebilir? A) 546 B) 715 C) 1001 D) ö renci aras ndan bilgi yar flmas için 4 ö renci seçilecektir. Bu seçim kaç farkl flekilde yap labilir? A) 1365 B) 910 C) 890 D)

10 6. 12 basketbolcu aras ndan 5 basketbolcu kaç farkl flekilde seçilebilir? A) 1584 B) 792 C) 396 D) kiflinin bulundu u bir toplant da herkes birbiriyle tokalafl yor. Buna göre bu toplant da kaç tokalaflma olur? A) 220 B) 210 C) 105 D) Asiye, dondurmac daki 20 farkl dondurma çeflidinden 2 çeflit dondurmay kaç farkl flekilde seçebilir? A) 380 B) 190 C) 95 D) Yukar daki flekilde ayn renkteki do rular birbirine paralel oldu una göre flekil üzerinde kaç tane paralelkenar vard r? 56 A) 150 B) 120 C) 60 D) 30

11 OLASILIK VE OLAY ÇEfi TLER Olas l k Çeflitleri Hilesiz bir zar at ld nda üst yüzünde 4 gelme olas l n hesaplayal m. E = 1, 2, 3, 4, 5, 6 s E = 6 D = 4 s D = 1 O 6 = s D s E = 1 6 Buldu umuz olas l n de eri 1 6 d r. Hesaplayarak buldu umuz bu olas l k Teorik Olas l k olarak adland r l r. Bir deneydeki veya olaydaki ç kt lar n oluflma s kl ndan yararlan larak bulunan olas l k deneysel olas l kt r. Bir olay n deneysel olas l, olay say s n n, toplam deneme ya da ç kt say s na oran d r. Bu zar 50 defa at l yor ve 20 defas nda üst yüzünde 4 geliyor. Deneysel olas l k = Olay n Olma Say s Toplam Deneme Say s oldu undan, 4 gelme olay n n deneysel olas l = 2 5 'tir. Hilesiz bir zar at ld nda üst yüzünde 4 gelme olas l n n Semiha %60, Yalç n ise %50 oldu unu söylüyor. Yap lan bu kiflisel olas l k de erleri Öznel Olas l k olarak adland r l r. Olay Çeflitleri Ba ml ve Ba ms z Olaylar ki veya daha fazla olay n gerçekleflmesi birbirine ba l ysa yani bir olay n sonucu di er olay n sonucunu etkiliyorsa böyle olaylara ba ml olaylar denir. ki veya daha fazla olay n gerçekleflmesi birbirine ba l de ilse yani bir olay n sonucu di er olay n sonucunu etkilemiyorsa böyle olaylara ba ms z olaylar denir. 57

12 Bir torbada 7 k rm z, 5 mavi ve 3 sar renkte bilye vard r. Torbaya geri at lmamak flart yla arka arkaya rastgele çekilen iki bilyeden birincisinin mavi, ikincisinin sar renkli gelme olaylar ba ml olaylard r. Bir zar ve bir madeni para birlikte at ld nda, paran n üst yüzüne tura ve zar n üst yüzüne 3 gelme olaylar ba ms z olaylard r. A ve B olaylar ; Ba ms z ise P (A ve B) = P (A). P (B) Ba ml ise (B, A ya ba l ) P (A ve B) = P (A). (A ya ba l B) Bir torbada 6 yeflil, 4 k rm z bilye vard r. Torbadan rastgele iki bilye çekiliyor. Bilyelerin çekilifli iki farkl durumda yap labilir. Yeflil bilyeleri A, K rm z bilyeleri B ile gösterelim. 1. Durum (Ba ms z olay) Birinci bilye çekildikten sonra ç kan bilye tekrar torbaya at lacak ve ikinci bilye çekilecek, buna göre birinci bilyenin yeflil ve ikinci bilyenin de k rm z olma olas l nedir? E = K1, K2, K3, K4, Y1, Y2, Y3, Y4, Y5, Y6 Yeflil A = Y 1, Y 2, Y 3, Y 4, Y 5, Y 6 K rm z B = K 1, K 2, K 3, K 4, P A = s A s E = 6 10 P B = s B s E = 4 10 P (A ve B) = P (A). P (B) = = = 6 25 olur. 58

13 2. Durum (Ba ml olay) Birinci bilye çekildikten sonra ç kan bilye tekrar torbaya at lmadan ikinci bilye çekilecektir. Buna göre birinci bilyenin yeflil ve ikinci bilyenin k rm z renkte olma olas l nedir? E = K1, K2, K3, K4, Y1, Y2, Y3, Y4, Y5, Y6 Yeflil A = Y 1, Y 2, Y 3, Y 4, Y 5, Y 6 K rm z B = K 1, K 2, K 3, K 4, Ba ml (B olay A ya ba l ) olay n olma olas l, P B = 6 10 (10 bilyenin 6's yeflil) P B = 4 (Torbada kalan 9 bilyenin 4'ü k rm z ) 9 P A ve B = P A. P B = = = 4 15 olur. Bir zar ve bir madenî para birlikte at ld nda, paran n tura ve zar n üst yüzünde 2 gelme olas l n bulal m. ÇÖZÜM Paran n tura gelme olay A Zar n üst yüzünde 2 gelme olay B olsun. Bu olaylar ba ms z olaylar oldu una göre, paran n tura ve zar n 3 gelme olas l, P (A ve B) = P (A). P (B) = = 1 12 olur. 59

14 Efl bölmelerden oluflan çark çevriliyor ve bir zar at l yor. Çark durdu unda okun k rm z bölmeyi göstermesi, zar n üst yüzüne gelen say n n 2 den büyük say gelmesi olas l nedir? Zar n üst yüzünde 2 den büyük say gelmesi A = {3, 4, 5, 6} d r. Zar n üst yüzünde 2 den büyük say gelme olay A, Çarkta okun k rm z bölmeyi göstermesi olay B, P (A ve B) = P (A). P (B) = = 1 12 olur. P A = 4 6 P B = 1 8 Yalç n Kaya lkö retim Okulundaki 8-A s n f nda 10 k z, 8 erkek, 8- B s n f nda ise 8 k z, 12 erkek, ö renci vard r. Her iki s n ftan bilgi yar flmas için birer ö renci seçiliyor. Seçilen ö rencilerin ikisininde k z olma olas l kaçt r? ÇÖZÜM 8- A s n f nda toplam = 18 ö renci vard r. 8 - A s n f ndan seçilen bir ö rencinin k z ö renci olmas olay A, 60 P A = = 5 9 olur. 8- B s n f nda toplam = 20 ö renci vard r. 8 - B s n f ndan seçilen bir ö rencinin k z ö renci olmas olay B, P B = 8 20 = 2 5 olur.

15 Her iki s n ftan seçilecek birer ö rencinin k z ö renci olmas olas l, P A ve B = P A. P B = = 2 9 olur. ki zar ayn anda at ld nda her iki zar n üst yüzüne 1 gelme olas l n bulal m. ÇÖZÜM Birinci zar n üst yüzünde 1 gelme olay A, kinci zar n üst yüzünde 1 gelme olay B olsun. Bu olaylar ba ms z olaylar oldu una göre, P (A ve B) = P (A). P (B) = = 1 36 olur. Bir torbaya 1 den 10 a kadar (1 ve 10 dahil) say lar kartlara yaz larak at lm flt r. Torbaya geri at lmamak flart yla arka arkaya çekilen iki karttan birincisinin çift say, ikincisinin tek say gelme olas l nedir? ÇÖZÜM Torbadan çekilen; Birinci kart n çift say gelme olay A, A = {2, 4, 6, 8, 10} kinci kart n tek say gelme olay B, B = {1, 3, 5, 7, 9} Bu olaylar ba ml olaylar oldu undan P (A ve B) = P (A). P (B) = = 5 18 olur. 61

16 ALIfiTIRMALAR 1. Bir kavanozda 10 mavi, 5 k rm z, 15 yeflil, 20 sar boncuk vard r. Bu kavanozdan rastgele bir boncuk çekildi inde; a) Sar gelmesi b) K rm z gelmesi c) Mavi gelmemesi olas l klar n teorik olarak hesaplay n z. 2. Yukar daki efl bölmelerden oluflan çark bir kez çevrildi inde afla daki olaylar n olma olas l n teorik olarak hesaplay n z. a) K rm z gelme olas l nedir? b) Sar gelmeme olas l nedir? c) Sar yada yeflil gelme olas l nedir? 3. Bir zar ve bir madenî para ayn anda at l yor. Zar n üst yüzündeki say n n 2 den büyük, madenî paran n ise tura gelme olas l n hesaplay n z. 4. ki zar ayn anda at ld nda her iki zar n üst yüzündeki say n n 4 gelme olas l n hesaplay n z. 5. Bir kutuda renkleri d fl nda ayn özelli e sahip 8 k rm z, 6 mavi ve 3 yeflil kalem vard r. Kutuya geri at lmamak flart yla arka arkaya rastgele kalemler çekiliyor. a) Çekilen 2 kalemin k rm z renkte olmas olas l n bulunuz. b) Çekilen 2 kalemden, birincisinin mavi, ikincisinin k rm z renkte olmas olas l n bulunuz. c) Çekilen 3 kalemin mavi renkte olmas olas l n bulunuz. d) Çekilen 3 kalemden birincinin mavi, ikincinin k rm z ve üçüncünün yeflil renktee olmas olas l n bulunuz. 62

17 ÖZET Hesaplayarak buldu umuz olas l k teorik olas l k olarak adland r l r. Bir deneydeki veya olaydaki ç kt lar n oluflma s kl ndan yararlan larak bulunan olas l k deneysel olas l kt r. Bu olay n deneysel olas l, olay say s n n toplam deneme ya da ç kt say s na oran d r. Yap lan kiflisel olas l k de erleri öznel olas l k olarak adland r l r. ki veya daha fazla olay n gerçekleflmesi birbirine ba l ysa yani bir olay n sonucu di er olay n sonucunu etkiliyorsa böyle olaylara ba ml olaylar denir. ki veya daha fazla olay n gerçekleflmesi birbirine ba l de ilse yani bir olay n sonucu di er olay n sonucunu etkilemiyorsa böyle olaylara ba ms z olaylar denir. A ve B olaylar ; Ba ms z ise P (A ve B) = P (A). P (B) Ba ml ise (B, A ya ba l ) P(A ve B) = P (A). P (A ya ba l B) 63

18 TEST II-II 1. Bir çift zar at ld nda üst yüze gelen say lar n toplam n n teorik olarak 7 olma olas l nedir? A) 7 36 B) 1 7 C) 1 6 D) Bir madenî para arka arkaya iki defa at ld nda ikisinin de yaz gelme olas l kaçt r? A) 1 B) 3 4 C) 1 2 D) ki zar ayn anda at ld nda her iki zar n üst yüzüne 4 gelme olas l afla da kilerden hangisidir? A) B) C) D) Bir torbada 6 mavi, 3 k rm z bilye vard r. Torbaya geri at lmamak kofluluyla arka arkaya iki bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerden birincisinin mavi, ikincisinin k rm z gelme olas l nedir? A) 1 2 B) 1 4 C) 5 24 D) Bir kutuda 1 den 15 e kadar numaraland r lm fl 15 tane kart vard r. Torbaya geri at lmak flart yla arka arkaya çekilen iki karttan birincinin numaras n n tek say, i k i n c i n i n numaras n n çift say olma olas l nedir? A) B) C) D) Bir zar ile bir madenî para ayn anda at l yor. Zar n üst yüzündeki say n n asal say, madenî paran n ise tura gelme olas l nedir? A) 1 2 B) 1 3 C) 1 4 D)

19 KAREKÖKLÜ SAYILAR Alan 100 cm 2 olan kare fleklindeki ka d n bir kenar n n uzunlu unu bulal m. Karenin alan, bir kenar uzunlu unun kendisi ile çarp m na eflittir. Bu nedenle Hangi say n n kendisiyle çarp m 100 e eflittir? Sorusunun cevab n bulmam z gerekir. Buna göre; 100 = 10 2 = 10 x 10 eflitli ini yazabiliriz. Alan 100 cm 2 olan bir karenin bir kenar uzunlu u için 100 ün karekökü bulunur. 100= 10 Verilen say n n, hangi say n n karesi oldu unu bulma ifllemi, karekök almakt r. Karekök " " sembolü ile gösterilir. 4 ifadesi "karekök dört" olarak okunur. 4 ifadesi, karesi 4 olan pozitif say y bulma ifllemidir. Kendisi ile çarp ld nda 100 elde edilen baflka say var m d r? 100 = 10 2 = 10 x = (-10) 2 = (-10) x (-10) (-10) say s, alan 100 cm 2 olan bir karenin bir kenar uzunlu u olamaz. " " sembolünü, bir say n n pozitif karekökünü bulmak için kullan r z. Yani bir say n n karekökü pozitif bir say d r. 65

20 Afla daki noktal ka t üzerinde oluflturulan kare modellerinin alanlar ve kenarlar aras ndaki iliflkiyi bulal m. Alan n bildi imiz bir karenin bir kenar uzunlu unu bulabilmek için alan n n karekökünü almal y z. Alan 1 br 2 olan bir karenin bir kenar n n uzunlu u Alan 4 br 2 olan bir karenin bir kenar n n uzunlu u Alan 9 br 2 olan bir karenin bir kenar n n uzunlu u Alan 16 br 2 olan bir karenin bir kenar n n uzunlu u Alan 25 br 2 olan bir karenin bir kenar n n uzunlu u Buldu umuz sonuçlar tam say d r. 1 = 1 br 4 = 2 br 9 = 3 br 16 = 4 br 25 = 5 br Afla daki tabloda alanlar br 2 olarak verilen karelerin bir kenar uzunlu unun kaç br oldu u verilmifltir. Alanlar (br 2 ) Kenarlar (br) Karekökleri tam say olan do al say lar tam kare say lar olarak adland r l r. 66

21 19 say s n en yak n onda birli e kadar tahmin edip say do rusunda gösterelim. ÇÖZÜM 19 say s na en yak n tam kare say lar 16 ve 25'tir. Bu say lar 16 < 19 < 25 fleklinde s ralayabiliriz. S ralad m z say lar n kareköklerini alal m. 16 < 19 < 25 olur. Buradan 4 < 19 < 5 yazabiliriz. 19 say s n n 4 ile 5 aras nda bir say oldu unu söyleyebiliriz. 19 a en yak n onda birli e kadar tahmin edebilmek için 19'un, 16 ve 25 say lar na olan uzakl na bakal m = 3 19 say s 16'ya 25'ten daha yak n oldu undan = 6 19 u 4,3 veya 4,4 olarak tahmin edebiliriz. 4,3 2 = 18,49 4,4 2 = 19,36 oldu undan 19 4,4 olur. 19 ' u say do rusunda gösterelim Yapt m z tahmini, hesap makinesi kullanarak kontrol edelim. Bunun için hesap makinesine 19 yaz p tufluna basmam z yeterlidir. 19 4, olarak buluruz. 67

22 ALIfiTIRMALAR 1. Afla daki say lar n kareköklerini bulunuz. a) 9 b) 36 c) 81 d) Afla da verilen say lar n tam kare olup, olmad n aç klay n z. a) 1 b) 65 c) 169 d) Afla daki say lar n kareköklerini en yak n onda birli e kadar tahmin ediniz. a) 24 b) 40 c) 50 d) Hesap makinesi kullanarak afla daki kareköklü say lar n de erini bulunuz. a) 10 b) 21 c) 47 d) , 64, - 4, 25 say lar n say do rusunda gösteriniz. 6. Afla da verilen tam kare say lar karekökleri ile efllefltiriniz. Tam kare say lar Karekökler Afla daki say lar n karelerini hesaplay n z. a) 1 b) 18 c) (-20) d) 25 68

23 Kareköklü Bir Say y a b fieklinde Yazma Alan 50 cm 2 olan karenin bir kenar uzunlu unu bulal m. Alan 50 cm 2 olan bir karenin bir kenar uzunlu u 50 cm'dir. 50 say s n çarpanlar na ay ral m = = = 5 2 cm olur. 1 Afla da verilen kareköklü say lar a b biçiminde yazal m. a) 12 =? 12 = 4.3 = = 2 3 b) 48 =? 48 = 16.3 = = 4 3 c) 72 =? 72 = 36.2 = = 6 2 d) 360 =? 360 = = = 6 10 Karekök içindeki bir say y a b fleklinde yazmak için; karekök içindeki say, çarpanlar ndan birisi tam kare olacak flekilde yaz l r. Tam kare olan say, karekökü al narak kök d fl na ç kar l r ve kök içindeki say ile çarp m biçiminde yaz l r. 69

24 a b fieklindeki Karaköklü Bir Say n n Kat Say s n Kök çine Alma 3 5, 4 7, 10 3 kareköklü say lar nda katsay lar kök içine alal m, 3 5 = = 9.5 = = = 16.7 = = = = 300 Kareköklü bir say n n kat say s kök içine al n rken, kat say n n karesi al n r ve kök içindeki say ile çarp l r. ALIfiTIRMALAR 1. Afla daki kareköklü say lar a b fleklinde yaz n z. a) 24 b) 80 c) 150 d) Afla daki kareköklü say lar a fleklinde yaz n z. a) 5 7 b) 3 6 c) 7 3 d) Alan 108 cm 2 olan bir karenin bir kenar n n uzunlu u kaç santimetredir? 70

25 Kareköklü Say larla fllemler Kareköklü Say larla Toplama ve Ç karma fllemi Kenar uzunlu u bulal m. 3 cm olan afla daki düzgün beflgenin çevresinin uzunlu unu Düzgün beflgenin çevresi, efl uzunluktaki befl kenar n n toplam na eflittir. Ç = = 5 3 cm'dir. Kenar uzunluklar bulal m. 2 cm ve 5 cm olan dikdörtgenin çevresinin uzunlu unu Dikdörtgenin çevresi, Ç = = = cm olur ifllemini yapal m = = 8 2 bulunur. 71

26 ifllemini yapal m = = 12 7 bulunur ifllemini yapal m = = bulunur. Kareköklü say larla toplama ifllemi yap l rken, terimlerin katsay lar toplam, ortak kareköke katsay olarak yaz l r. a x +b x = a + b x ifllemini yapal m = = = bulunur ifllemini yapal m = 7-3 3= 4 3 bulunur ifllemini yapal m = = -6 2 bulunur. K a reköklü say larla ç karma ifllemi yap l rken, katsay lar n fark ortak kareköke katsay olarak yaz l r. a x - b x = a - b x 72

27 ifllemini yapal m = = 7 5 bulunur ifllemini yapal m = = 8 7 bulunur ifllemini yapal m = = = bulunur ifllemini yapal m. 72 = 36.2 = = = 25.2 = = = 16.2 = = 4 2 oldu undan = = = 7 2 bulunur. ALIfiTIRMALAR 1. Afla daki toplama ve ç karma ifllemlerini yap n z. a) b) c) d) Afla daki toplama ve ç karma ifllemlerini yap n z. a) b) c) d)

28 Kareköklü Say larla Çarpma fllemi Kenar uzunluklar 3 m ve 5 m olan dikdörtgenin alan n bulal m. ÇÖZÜM Dikdörtgenin alan iki farkl kenar uzunluklar n n çarp m na eflittir = 3.5 = 15 m 2 olur. Afla daki çarpma ifllemlerini yapal m. a) 3. 2 b) c) d) ÇÖZÜM a) 3. 2 = 3. 2 = 6 b) = = 4 21 c) = = 3 10 d) = = Kareköklü say lar çarp l rken varsa katsay lar çarp larak çarp ma katsay olarak yaz l r. Kareköklü iki say ise tek bir karekök içine yaz larak çarp l r ve çarp ma yaz l r. a x. b y = a.b x.y dir. 74

29 Kakeköklü Say larla Bölme fllemi 8 : 2 ifllemini yapal m. 8 : 2 = 8 2 = 8 2 = 4 = 2 bulunur ifllemini yapal m. Karekök sembolünü pay ve paydaya ayr ayr uygulayal m = = 5 8 dir. Pay ve paydalar n n karekökünü al p, sonucu bulal m 0,36 ifllemini yapal m. 0,36 = = = 6 10 = 0,6 olarak bulunur. ALIfiTIRMALAR 1. Afla daki çarpma ifllemlerini yap n z. a) 7. 6 b) c) d) Afla daki bölme ifllemlerini yap n z. a) 21 3 b) 75 5 c) 63 7 d) Afla daki bölme ifllemlerini yap n z. a) 9 b) c) d) Afla daki kareköklü say lar en sade biçimde yaz n z. a) 20 b) 1,44 c) 0,036 d)

30 GERÇEK SAYILAR ki tam say n n oran fleklinde yaz labilen say ya rasyonel say denir. Bu say lar n oluflturdu gu kümeye rasyonel say lar kümesi denir ki tam say n n oran fleklinde yaz lamayan say irrasyonel say olarak adland r l r. Bu say lar n oluflturdu u küme irrasyonel say lar kümesidir. Afla daki say lardan hangilerinin irrasyonel say oldu unu belirleyelim. a) 7, devirli ondal k kesrini iki tam say n n oran olarak yazabiliriz. Arad m z oran x olsun x = 7, olur. (1) Devreden 2 say s n yok edebilmek için eflitli in her iki taraf n 10 ile çarpal m. 10x = 72, (2) 2 eflitli inden 1 eflitli ini taraf tarafa ç karal m. 10 x = 72, x = 7, x = 65 x = , devirli ondal k kesri, iki tam say n n oran olarak 65 fleklinde yaz labildi inden rasyonel say d r. 9 b) 1, fleklinde sonsuza kadar düzensiz bir flekilde devam eden say lar iki tam say n n oran fleklinde yaz lamaz. Dolay s yla bu say irrasyonel say d r. c) 13 = 3, say s devirli say fleklinde yaz lamaz. Yani iki tam say n n oran biçiminde gösterilemez. Bu sebeple 13 say s irrasyonel say d r. Rasyonel say lar kümesi Q, irrasyonel say lar kümesi I sembolü ile gösterilir. rrasyonel say lar ile rasyonel say lar kümesinin birleflimine gerçek (reel) say lar kümesi denir. Gerçek say lar kümesi R ile gösterilir. Q Ι = R 76

31 Say do rusundaki her noktaya bir gerçek say karfl l k gelir. Gerçek say lar kümesi say do rusunu tam olarak doldurur. Gerçek say lar (R), do al say lar (N), tam say lar (Z), rasyonel say lar (Q) ve irrasyonel say lar (I) aras ndaki iliflki afla daki flemadaki gibidir. rrasyonel say lar (I), rasyonel say lar kapsamaz. Dolay s yla bu kümeler ayr kt r. I Q = { } ALIfiTIRMALAR 1. Afla daki ondal k aç l mlardan hangileri bir irrasyonel say gösterir? Sebebini aç klay n z. a) 0,4273 b) 3, c) 5, d) π = 3, e) -1, Afla daki say lardan hangileri irrasyonel bir say de ildir? a) 5 b) 9 c) 14 d) Afla daki boflluklara veya sembollerini yerlefltiriniz. a) N... R b) Z... R c) R... I d) Q... N 77

32 ÖZET Verilen say n n, hangi say n n karesi oldu unu bulma ifllemi, karekök almakt r. Karekök " " sembolü ile gösterilir. Karekökleri tam say olan do al say lar tam kare say lar olarak adland r l r. Karekök içindeki bir say y a b fleklinde yazmak için; karekök içindeki say, çarpanlar ndan birisi tam kare olacak flekilde yaz l r. Tam kare olan say, karekökü al narak kök d fl na ç kar l r ve kök içindeki say ile çarp m biçiminde yaz l r.. 80 = 16.5 = = 4 5 Kareköklü bir say n n katsay s kök içine al n rken, katsay n n karesi al n r ve kök içindeki say ile çarp l r. 5 7 = = 175 Kareköklü say larla toplama ifllemi yap l rken terimlerin katsay lar toplam ortak kareköke katsay olarak yaz l r. a x +b x = a + b x Kareköklü say larla ç karma ifllemi yap l rken, katsay lar n fark ortak kareköke katsay olarak yaz l r. a x - b x = a - b x Kareköklü say lar çarp l rken varsa katsay lar çarp larak çarp ma katsay olarak yaz l r. Kareköklü iki say ise tek bir karekök içine yaz larak çarp l r ve çarp ma yaz l r. a x. b y = a. b x.y dir. rrasyonel say lar ile rasyonel say lar kümesinin birleflimine gerçek (reel) say lar kümesi denir. 78

33 1. 0,49 say s n n karekökü kaçt r? TEST II-III A) 0,07 B) 0,7 C) 1 2 D) say s n n karekökünün karesi kaçt r? A) 3 B) 9 C) 18 D) n n karesi kaçt r? A) 4 B) 8 C) 32 D) Afla daki say lardan hangisi tam kare bir say de ildir? A) 64 B) 120 C) 144 D) Afla daki eflitliklerden hangisi do rudur? A) = 8 B) = 6 C) 2. 2 = 2 D) = : iflleminin sonucu afla dakilerden hangisidir? A) 1 2 B) 2 C) 5 2 D) 4 79

34 7. 4 5, 5 3, 6 2 say lar n n küçükten büyü e do ru s ralan fl afla dakilerden hangisidir? A) 4 5 < 5 3 < 6 2 B) 6 2 < 5 3 < 4 5 C) 5 3 < 6 2 < 4 5 D) 5 3 < 4 3 < x = 2, y = 3 ve z = 5 ise hangisidir? 270 'in x, y ve z cinsinden de eri afla dakilerden A) x.y. z B) 3x. y.z C) 3 x.y.z D) x.y.z say s n n en yak n onda birli e kadar tahmini de eri afla dakilerden hangisidir? A) 6,1 B) 6,3 C) 6,4 D) 6, irrasyonel say s, afla dakilerden hangisi ile çarp l rsa sonuç rasyonel say olur? A) 3 B) 2 C) 6 D) Alan 360 cm 2, bir kenar n n uzunlu u 40 cm olan dikdörtgenin di er kenar n n uzunlu u kaç santimetredir? A) 3 B) 9 C) 2 10 D) Bir kenar n n uzunlu u 3 7 cm olan karenin alan kaç santimetrekaredir? A) 63 B) 12 7 C) 21 D)

35 A) -7 B) 3 C) 7 D) 49 iflleminin sonucu kaçt r? 14. Afla daki say lardan hangisinin yaklafl k de eri bilinirse say s n n yaklafl k de eri bulunabilir? 600 A) 2 B) 3 C) 6 D) iflleminin sonucu afla dakilerden hangisidir? A) B) -2 6 C) 3 5 D) iflleminin sonucu afla dakilerden hangisidir? A) 5 3 B) 9 3 C) 11 3 D) ,25 + 0,81-0,09 iflleminin sonucu kaçt r? A) 2,6 B) 1,37 C) 1,1 D) 0, Afla dakilerden hangisi rasyonel bir say ya eflittir? say s n n yaklafl k de eri 3,87 oldu una göre sonucunun yaklafl k de eri afla dakilerden hangisidir? A) 19,35 B) 38,7 C) 40 A) B) C) 3 36 D) 64 8 D) 77, iflleminin 81

36 Standart Sapma Standart sapma istatistiksel analizde büyük önemi olan bir da lma ölçüsüdür. ki veri grubunun aritmetik ortalamalar n n eflit veya birbirine yak n olmas durumunda veri gruplar nda yer alan çok küçük çok büyük de erler, verilerin da l m n etkiler. Bu durumda verilerin düzgün bir da l m gösterip göstermedi ini belirlemek için aç kl k, çeyrekler aç kl gibi merkezi yay lma ölçülerine bak l r. Aç kl k ve çeyrekler aç kl de erleri veri gruplar n n üst ve alt bölgelerinde yer alan verilerin yay l m n etkileyen de erler hakk nda yeterli bilgi vermeyebilir. Bu durumda merkezi yay lma ölçüsü olan standart sapma hesaplan r. Standart sapma verilerin aritmetik ortalamaya göre nas l bir yay l m gösterdi ini anlat r. Standart sapma, ortalamadan uzakl klar n karelerinin aritmetik ortalamas n n karekökü al narak bulunan bir da l m ve yay l m ölçüsüdür. Bir veri grubunun standart sapmas n bulmak için afla daki aflamalar uygulan r. - Veri grubunun aritmetik ortalamas bulunur. - Her bir verinin aritmetik ortalama ile fark n n kareleri bulunur. - Bulunan toplam, veri say s n n bir eksi ine bölünerek bölümün karekökü al n r. - Bulunan sonuç veri grubunun standart sapmas n belirler. n tane verinin de erleri x 1, x 2, x 3,..., x n ve aritmetik ortalama x olmak üzere, bu verilerin standart sapmas S = x 1 - x 2 + x 2 - x 2 + x 3 - x x n - x 2 n - 1 dir. 8 / A ve 8 / B s n flar ndaki ö rencilerin matematik s nav ndan ald klar notlar afla da verilmifltir. 8 /A /B Bu verilerin aritmetik ortalamas n ve standart sapmas n bularak hangi s n f n Matematik s nav nda daha baflar l oldu unu bulal m. 8 /A s n f ndaki ö rencilerin notlar n n aritmetik ortalamas A.O = = 80 82

37 8 /B s n f ndaki ö rencilerin notlar n n aritmetik ortalamas A.O = = 80 8 / A ve 8/B s n f ndaki ö rencilerin notlar n n aritmetik ortalamalar ayn oldu undan hangi s n f n matematik s nav nda daha baflar l oldu unu bilemeyiz. Bu nedenle iki s n ftaki notlar n standart sapmas n bulal m. 8/A s n f ndaki ö rencilerin notlar n n standart sapmas n bulal m. Al nan notlar ile aritmetik ortalama aras ndaki farklar n kareleri toplam n bulal m. (70-80) 2 + (95-80) 2 + (85-80) 2 + (90-80) 2 + (90-80) 2 + (95-80) 2 + (95-80) 2 + (70-80) 2 + (70-80) 2 + (40-80) 2 = (-10) 2 + (15) (15) 2 + (10) 2 + (15) 2 + (15) 2 + (-10) 2 + (-10) 2 + (-40) 2 = = 3025 Buldu umuz toplam veri say s n n 1 eksi ine bölelim ,11 Bölümün karekökünü alarak 8/A s n f ndaki ö rencilerin notlar n n standart sapma s n bulal m. 8/A s n f ndaki ö rencilerin notlar n n standart sapmas = 336,11 = 18,33 Ayn yöntemle 8/B s n f ndaki ö rencilerin notlar n n standart sapmas n bulal m. = (80-80) 2 + (100-80) 2 + (90-80) 2 + (85-80) 2 + (85-80) 2 + (90-80) 2 + (80-80) 2 + (50-80) 2 + (50-80) 2 + (90-80) 2 = (20) 2 + (10) (10) (-30) 2 + (30) 2 + (10) 2 = = 2050 Buldu umuz toplam veri say s n n 1 eksi ine bölelim ,33 83

38 Bölümün karekökünü alarak 8/B s n f ndaki ö rencilerin notlar n n standart sapma s n bulal m. 8/B s nf ndaki ö rencilerin notlar n n standart sapmas = 283,33 16,832 8/A s n f ndaki ö rencilerin notlar n n standart sapmas daha büyük oldu undan, 8/A s n f ndaki ö renciler daha baflar l d r. 15, 10, 25, 35, 45, 20 say lar ndan oluflan veri grubunun standart sapmas n hesaplayal m. Aritmetik ortalama = = 25 Standart sapma = = = = = ,09 40, 60, 30, 80, 30, 30, 80 verilerini kullanarak merkezi e ilim ve yay lma ölçülerini bulal m. Verileri küçükten büyü e do ru s ralayal m. 30, 30, 30, 40, 60, 80, 80 Verilerin ortas ndaki de er ortanca (medyan) 40 d r. En fazla tekrar eden de er 30 oldu undan tepe de er (mod) 30 dur. Aritmetik ortalama = = 50 84

39 Standart sapma = = = = ,33 23,09 6 Standart sapman n veri grubundaki en küçük de ere yak n olmas aç kl n büyük oldu unu göstermektedir. Aritmetik ortalama, ortanca (medyan), tepe de eri (mod) merkezi e ilim aç kl k ve standart sapma ise merkezi yay lma ölçüleridir. Bir veri grubunun aç kl ne kadar küçükse, standart sapmas o oranda küçük olur. 85

40 ALIfiTIRMALAR 1. 20, 60, 40, 30, 70, 15, 45 say lar ndan oluflan veri grubunun standart sapmas n hesaplay n z. 2. Hangi durumlarda standart sapma 0 a eflit olur? Örnekler vererek aç klay n z. 3. Afla daki veri gruplar ndan standart sapmas eflit olanlar ifllem yapmadan bulunuz. I. grup 50, 70, 60, 40, 70, 30 II. grup 50, 50, 50, 50, 50, 50 III. grup 70, 70, 70, 70, 70, 70 IV. grup 25, 85, 30, 80, 50, Aritmetik ortalama, standart sapma, aç kl k, mod, medyan terimlerinden hangileri merkezi yay lma ölçüsü, hangileri merkezi e ilim ölçüsüdür? 5. S navlara haz rlanan Elif ve Yeliz in bir haftada çözdükleri matematik sorular n n say s afla da verilmifltir. Elif ve Yeliz in çözdükleri soru say lar n n standart sapmas n hesaplay n z. Pazartesi Sal Çarflamba Perflembe Cuma Cumartesi Pazar Elif Yeliz

41 ÖZET Bir veri grubunun standart sapmas n bulmak için afla daki aflamalar uygulan r: - Veri grubunun aritmetik ortalamas bulunur. - Her bir verinin aritmetik ortalamas ile fark n n kareleri bulunur. - Bulunan toplam, veri say s n n bir eksi ine bölünerek bölümün karekökü al n r. - Bulunan sonuç veri grubunun standart sapmas n belirler. n tane verinin de erleri x 1,x 2, x 3,..., x n ve aritmetik ortalama x olmak üzere, bu verilerin standart sapmas S = x 1 - x 2 + x 2 - x 2 + x 3 - x x n - x 2 n - 1 dir. Aritmetik ortalama, ortanca (medyan), tepe de eri (mod) merkezi e ilim ; aç kl k ve standart sapma ise merkezi yay lma ölçüleridir. 87

42 TEST II-IV 1. 10, 10, 5, 30, 20, 15 say lar ndan oluflan veri grubunun standart sapmas afla da kilerden hangisidir? A) 4 B) 5 C) 4 5 D) Afla da verilen say gruplar ndan hangisinin standart sapmas s f rd r? A) 3, 9, 12, 11, 15, 15, 1, 20 B) 13, 15, 15, 15, 15, 16, 18, 20 C) 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14 D) 15, 15, 17, 17, 25, 25, 25, Afla dakilerden hangisi merkezi yay l m ölçüsü de ildir? A) Aritmetik ortalama B) Standart sapma C) Aç kl k D) Çeyrekler aç kl 4. Afla dakilerden hangisi merkezi e ilim ölçüsü de ildir? A) Aritmetik ortalama B) Standart sapma C) Mod D) Medyan 5. Afla dakilerden hangisi yanl flt r? A) Standart sapmay hesaplayabilmek için verilerin aritmetik ortalamas bulunur. B) Standart sapma bir merkezi yay lma ölçüsüdür. C) Tüm terimleri ayn olan bir dizinin standart sapmas 0 d r. D) Aç kl k azald kça verilerin standart sapmas büyür. 6. 3, 5, 7, 8, 7, 6, 4 say dizisinin modu kaçt r? A) 3 B) 6 C) 7 D) 8 88

43 7. Afla daki veri gruplar ndan hangisinin standart sapmas en düflüktür? A) 8, 7, 6, 15, 11, 12 B) 11, 16, 24, 15, 14, 31 C) 30, 31, 29, 29, 30, 31 D) 14, 10, 18, 24, 18, Günler Pazartesi Sal Çarflamba Perflembe Cuma Cumartesi Pazar Saatler SBS ye haz rlanan Gülcan n 7 günlük çal flma saatleri yukar da verilmifltir. Buna göre, Gülcan n çal flma saatlerinin standart sapmas kaçt r? A) 2 B) 3 C) 3 2 D)

44 90