Kuadratik Yüzeyler Uzayda İkinci Dereceden Yüzeyler

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Kuadratik Yüzeyler Uzayda İkinci Dereceden Yüzeyler"

Ediz Nalci
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 İÇİNDEKİLER Kuadratik Yüeler Uada İkinci Dereceden Yüeler Elipsoid Hiperboloid Tek Kanatlı Hiperboloid Çift Kanatlı Hiperboloid Paraboloid Eliptik Paraboloid Hipebolik Paraboloid Koni Yüeleri Silindirik Yüeler Dairesel Silindirik Yüe Eliptik Silindirik Yüe Parbolik Silindirik Yüe Hipebolik Silindirik Yüe 8 DİZİN 9 i

2 Kuadratik Yüeler Uada İkinci Dereceden Yüeler Yüei, 3 boutlu Öklid uaında (,, ) koordinatları arasında bir F(,, ) := 0 eşitliğini sağlaan noktaların kümesi olarak ele almıştık. Eğer üei tanımlaan F bağıntısı(,, ) değişkenlerine göre ikinci dereceden bir denklem ise, diğer bir ifadele, F(,,) := A 2 +B 2 +C 2 +A 1 +B 1 +C 1 +A 2 +B 2 +C 2 +D = 0 ise elde edilen üee kuadratik üe adı verilir. Silindirik üeler, elipsoidler ve bunların bir öel hali olan küre üei, koni üeleri, paraboloidler ve hiperboloidler temel kuadratik üe örnekleridir. Koniklerde olduğu gibi kuadratik üelerde de 1.derecen olan terimler üein merke noktasının (eğer mevcut ise) seçilen koordinat sisteminin başlangıç noktasından farklı bir nokta olmasından kanaklanan terimler olup verilen koordinat sistemine bir öteme hareketi ugulanarak bu terimler ok edilir. Çapra terimler ise eksenlerin koordinat eksenlerinden farklı doğrultularda olmasından kanaklanan terimler olup mevcut koordinat sistemine bir dönme hareketi ugulanarak bu terimler ok edilirse üein standart denkleminin ifade edildiği eni bir koordinat sistemi alınabilir. Bi bu dersimide standart denklemi ani (0.0.1) F(,,) = A 2 +B 2 +C 2 +D = 0 1

3 2 Analitik Geometri denklemi ile verilen üeleri ele alacağı. Bu denklemde gerekli işlemler ugulaıp a, b ve c saıları bulunarak (0.0.1) denklemi (0.0.2) 2 a 2 2 b 2 2 c 2 = 1 eşitliğine dönüştürülerek üein standart denklemi elde edilir. Burada katsaıların büüklüğüne ve işaretlerine bakılarak çeşitli üeler tanımlanabilir. * Kuadratik Yüe Örnekleri 0.1. Elipsoid (0.0.2) denkleminde katsaılar poitif ani 2 b c 2 = 1 eşitliği ile tanımlanan üede a,b ve c saılarının birbirinden farklı saılar olması durumunda üee elipsoid adı verilir. Bu durumda üein herhangi bir dülem ile arakesit eğrisi bir elips olduğundan üee bu isim verilmiştir. Elipsoidin koordinat dülemleri ile arakesit eğrilerini bulmak için (0.0.2) eşitliğinde = 0 alınırsa O düleminde 2 b c 2 = 1 elipsi, = 0 alınırsa O düleminde 2 a c 2 = 1 elipsi ve = 0 alınırsa O düleminde 2 = 1 elipsi elde edilir. b2 Elipsoidin Öelikleri, * Bir elipsoid merke noktasına, koordinat eksenlerine ve koordinat dülemlerine göre simetriktir.

4 Elipsoid 3 * Bir elipsoidde a,b ve c saılarından ikisi eşit ve üçüncüsü bunlardan farklı ise üee dönel elipsoid vea spheroid adı verilir. Bu üe bir elipsi uunluğu farklı olan ekseni etrafında döndürerek elde edilir. * Bir elipsoidde a = b = c = r ise üe bir küre üeidir. Spheroid ve küre üei anı amanda birer dönel üedir. Örnek 1: = 0 eşitliği ile verilen üein cisini belirtip şeklini çielim: Verilen denklemin standat hali ( )2 2 ( 2 )2 = 1 dir. Burada a = 1, b = 1 2 ve c = 2 2 olup bu saılar birbirinden farklı olduğundan üe bir elipsoiddir. *Elipsoidin Parametrik İfadesi 2 b = 1... (1) c2 eşitliği ile tanım lanan bir elipsoid için üe üerinde bir P(,,) noktası alalım. P = 0 için (1) eşitliği 2 b 2 = 1 olup bir elips göterir. Buna göre, OP doğrusunun eğim açısına u dersek P noktasının koordinatları P(a cosu,b sinu,0) olur. 0 ise OP doğrusunun O dülemi ile apmış olduğu açıı v dersek = c sin v olup P noktasının koordinatları, diğer bir ifadele elipsoidin

5 4 Analitik Geometri parametrik ifadesi (0.1.1) φ(u,v) = (acosucosv,bsinucosv,c sinv) olarak bulunur. Buna göre Örnek 1 de verilen elipsoidin parametrik ifadesi, φ(u,v) = (cosucosv, 1 2 sinucosv, 2 2 sinv) dir Hiperboloid Tek Kanatlı Hiperboloid. (0.0.2) denkleminde katsaılardan biri negatif ani 2 b 2 2 = 1 eşitliği ile tanımlanan üedir. c2 Bu eşitlikte = 0 alınırsa O düleminde 2 b 2 2 c 2 = 1 hiperbolü, = 0 alınırsa O düleminde 2 a 2 2 c 2 = 1 hiperbolü ve = 0 alınırsa O düleminde 2 b 2 = 1 elipsi elde edilir. Burada a b için üe eliptik, a = b ise dönel üedir Çift Kanatlı Hiperboloid. (0.0.2) denkleminde katsaılardan ikisi negatif ani 2 b 2 2 = 1 eşitliği ile tanımlanan üedir. c2 Bu eşitlikte = 0 alınırsa O düleminde 2 c 2 2 b 2 = 1 hiperbolü ve = 0 alınırsa O düleminde 2 c 2 2 a 2 = 1 hiperbolü elde edilir. 0 olmak orundadır (neden?) Burada b c için üe eliptik, b = c ise dönel üedir.

6 Hiperboloid Paraboloid Eliptik Paraboloid. (0.0.2) denkleminde değişkenlerden biri 1.dereceden ani = 2 eşitliği ile tanımlanan üedir. b2 Bu eşitlikte = 0 alınırsa O düleminde = 2 b 2 parabolü, = 0 alınırsa O düleminde = 2 a 2 parabolü ve = c > 0 alınırsa 2 = c elipsi, ani O dülemine paralel olan bir b2 dülemde atan ve orijine = c br uaklıkta bir elips elde edilir. Bu nedenle üee eliptik paraboloid adı verilir. Parabolodin Öelikleri, * eksenine, O ve O dülemlerine göre simetriktir. * a = b ise bir dönel üedir. Bu üe bir parabolü asal ekseni etrafında döndürerek elde edilir Hipebolik Paraboloid. (0.0.2) denkleminde değişkenlerden biri 1.dereceden ve bir diğerinin katsaısı negatif ani = 2 a 2 2 b 2 eşitliği ile tanımlanan üedir. Bu eşitlikte = 0 alınırsa O düleminde = 2 b 2 parabolü, = 0 alınırsa O düleminde = 2 parabolü elde edilir. a2

7 6 Analitik Geometri 0.4. Koni Yüeleri Koni üei (0.0.2) denkleminde sabit terimin sıfır ve değişkenlerden birinin 2 katsaısı negatif (örnğin nin katsaısı negatif ise) b 2 = 2 c 2 eşitliği ile tanımlanan üedir. Bu eşitlikte = 0 alınırsa O düleminde = c b doğruları, = 0 alınırsa O düleminde = c a doğruları ve = c alınırsa 2 = c elipsi, ani b2 O dülemine paralel olan bir dülemde atan ve orijine = c br uaklıkta bir elips elde edilir. Konin Yüeinin Öelikleri, * Orijin noktasına, koordinat eksenlerine ve koordinat dülemlerine göre simetriktir. * a b ise üe eliptik koni, * a = b ise dik dairesel koni üei (vea dönel koni) adı verilir. Bu üe orijinden geçen bir doğruu ekseni etrafında döndürerek elde edilir Silindirik Yüeler Uada verilen bir doğrua paralel olan ve dülemsel bir eğriden geçen doğruların oluşturduğu üelerdir Dairesel Silindirik Yüe. (0.0.2) denkleminde değişkenlerden ikisinin katsaısı eşit ve üçüncü değişkenin katsaısı sıfır olan örneğin

8 Silindirik Yüeler 7 a = b = r için = r 2 eşitliği ile tanımlanan üedir. Bu eşitlikte = 0 alınırsa O düleminde = r doğruları ve = 0 alınırsa O düleminde = r doğruları elde edilir. Bu doğrular eksenine paralel doğrulardır Eliptik Silindirik Yüe. (0.0.2) denkleminde değişkenlerden birinin katsaısı sıfır olan örneğin nin katsaısı sıfır için 2 b 2 = 1 eşitliği ile tanımlanan üedir. Bu eşitlikte = 0 alınırsa O düleminde = b doğruları ve = 0 alınırsa O düleminde = a doğruları elde edilir. Bu doğrular eksenine paralel doğrulardır Parbolik Silindirik Yüe. (0.0.2) denkleminde değişkenlerden birinin katsaısı sıfır ve biri 1.dereceden olan örneğin nin katsaısı sıfır için = 2 eşitliği ile a2 tanımlanan üedir.

9 8 Analitik Geometri Hipebolik Silindirik Yüe. (0.0.2) denkleminde değişkenlerden birinin katsaısı sıfır ve diğerinin negatif olan örneğin nin katsaısı sıfır için 2 a 2 2 b 2 = 1 eşitliği ile tanımlanan üedir.

10 DİZİN Dönel Elipsoid: Spheroid, 3 Dönel Koni (DDKY), 6 Dönel Paraboloid, 5 Elipsoid, 3 Eliptik Koni Yüei, 6 Hiperboloid (Çift Kanatlı), 4 Hiperboloid (Tek Kanatlı), 4 Kuadratik Yüe, 1 Paraboloid (Eliptik), 5 Paraboloid (Hiperbolik), 5 Silindirik Yüe (Dairesel), 7 Silindirik Yüe (Eliptik), 7 Silindirik Yüe (Hiperbolik), 8 Silindirik Yüe (Parabolik), 7 9

Benzer belgeler

12. SINIF. Uzayda Vektörler-1 TEST. 1. Uzaydaki doğru parçaları için aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?

12. SINIF. Uzayda Vektörler-1 TEST. 1. Uzaydaki doğru parçaları için aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır? 1. SINIF Uada Vektörler-1 1. Uadaki doğru parçaları için aşağıdaki önermelerden hangisi anlıştır? Akırı doğru parçaları farklı dülemlerdedir. Akırı doğru parçaları farklı doğrultudadır. İki doğru parçasının