DOÇ.DR. İBRAHİM SERKAN MISIR GÜZ

Transkript

1 DİNAMİK 1

2 DİNAMİK DOÇ.DR. İBRAHİM SERKAN MISIR Ders notları için: GÜZ 2

3 Değerlendirme 1. Ara sınav (%25) 2. Ara sınav (%25) Final (%50) Dönem:26 Eylül Aralık 2016 Final : 09 Ocak Ocak 2017 Devam zorunluluğu var: %70 3

4 KİTAPLAR Mühendislik Mekaniği Dinamik, R.C. HIBBELER, S.C. FAN,LiteratürYayıncılık(MetrikBaskı) ISBN: , İstanbul, bl 2014 Mühendisler için Vektör Mekaniği Dinamik F. Beer, E.R. Johnston, PJ P.J. Cornwell, Literatür Yayıncılık, 10. Baskı (ve sonrası), ISBN: , İstanbul, 2014 Mechanics for Engineers: Dynamics 10 th Edition (and later), F. Beer, E.R. Johnston, P.J. Cornwell, McGraw Hill Education, ISBN: ,

5 Konular 1 3. hf hafta Parçacık Kinematiği ğ hareketin geometrisi (Doğrusal, ğ eğrisel, ğ silindirik koordinatlar) 4. hafta Parçacık Kinetiği (+) kuvvet ve ivme (kartezyen ve silindirik koord.) 5 ve 6. hafta Parçacık Kinetiği iş ve enerji 7. hafta Parçacık Kinetiği impuls ve momentum 8. hafta 1. Arasınav 9 ve 10. hafta Rijit Cisimlerin Düzlemsel Kinematiği 11. hafta Rijit Cismin Düzlemsel Kinetiği ivme 12. hafta Rijit Cismin Düzlemsel Kinetiği sabit eksen etrafında dönme, genel düzlemsel hareket, sürtünmeli yuvarlanma 13. Hafta 2. Arasınav 14. hafta Rijit Cismin Düzlemsel Kinetiği iş ve enerji 16. Hafta FİNAL 5

6 Genel Yaklaşım Dinamik problemleri Statik problemlerine göre daha fazla katılım gerektirir. Çünkü hem cisme etkiyen kuvvetler hem de cismin hareketi dikkate alınır. Dinamikte, problemlerin çözümü için sadece trigonometri, cebir ve analitik geometri değil kalkülüs de (fonksiyon, limit, türev, integral vs) kullanılmak zorundadır. Dinamiği öğrenmenin en iyi yolu soru çözmektir. Bunun için şunlara dikkat etmek faydalı olur: 6

7 Genel Yaklaşım 1 Soruyu dikkatli okuyun ve öğrendiğiniz teori ile fiziksel durum arasında ilişki kurun, 2 Gerekli diyagramları çizin ve problem verisini kağıda özetleyin, 3 Koordinat sistemi oluşturun ve matematik formda ilgili prensipleri uygulayın, 4 İlgili denklemleri mümkün olduğunca cebirsel olarak ilerletin, 5 Sonucun mantıklı olup olmadığını mutlaka irdeleyin, birimleri kontrol edin, 6 Çözüm bittiğinde çözümü baştan sona kontrol edin ve ayrıca problemin başka bir şekilde çözülüp çözülemeyeceğini düşünün. 7

8 Amaçlar: Konum, yerdeğiştirme, hız ve ivme kavramları üzerinde durulacak, Maddesel noktanın doğrusal hareketi, Maddesel noktanın eğrisel hareketi farklı koordinat eksenlerinde incelenecek. (kartezyen, silindirik koordinatlar) Dinamik Kinematik (Yalnızca geometri) Kinetik (Geometri + Kuvvetler) Dinamik bu aşamada iki kısımda incelenecek: 1) Kinematik (hareketin geometrik yönü incelenecek), 2) Kinetik (harekete sebep olan kuvvetler de dikkate alınacak) Bu prensiplerin geliştirilmesi için de önce maddesel nokta sonra da rijit cismin dinamiği incelenecek. 8

9 Sürat ttk tekneleri görece büyük ük olmalarına l rağmen, ğ blilibi belirli bir mesafeden fd herbirinin hareketi birer parçacık olarak analiz edilebilir. 9

10 Dinamikle ilgili konulara bir parçacığın doğrusal hareketini inceleyerek başlayacağız, Hatırlanırsa parçacık (nokta cisim, partikül partical),kütlesi olan fakat geometrisi ihmal edilebilir bir cisimdir. Birçok problemde sonlu boyutlu cisimlerle karşılaşırız, örneğin: roketler, araçlar vs. Hareket, eğer sadece kütle merkezinin hareketiyle karakterize edilebilirse (tanımlanabilirse) ve cismin dönmesi de ihmal edilebiliyorsa, bu cisim parçacık nokta cisim olarak kabul edilebilir. 10

11 Doğrusal Kinematik: Tek Boyutlu Tek Eksenli Hareket Konum (Position): Seçilen bir orijine göre uzaktıktır, Tek boyutlu harekette tek bir s koordinat ekseni ile tanımlanır pozisyonun koordinatı s ile ve yönü s in işareti ile tanımlıdır(+s ve/veya s) s s (kalın harf) veya diğer gösterimi ile s vektörel bir büyüklüktür, fakatkonumvektörüyerinekonumkoordinatını gösteren s cebirsel skaleri ileifade edilmesi yeterlidir çünkü yönü O nun sağında veya solunda olmasına göre otomatik olarak belirlenir, Çeşitli kaynaklarda s yerine xveyargibifarklı karakterler de kullanılır. 11

12 Yerdeğiştirme (Displacement): s Yerdeğiştirme ( ), parçacığın konumundaki (pozisyonundaki) değişimdir. s Yerdeğiştirme ğ ş de vektörel bir büyüklüktür, fakat O noktasının konumundan bağımsız olarak s nin artış yönündeyse pozitif aksi halde negatiftir. Yerdeğiştirme ve parçacığın aldığı mesafe (distance) arasındaki fark iyi anlaşılmadır. Parçacığın aldığı mesafe (s T) pozitif skaler bir niceliktir ve katedilen toplam uzunluğun ölçüsüdür. 12

13 Burada doğrusal olarak hareket eden bir cismin Hız (Velocity): hareketi sözkonusu tek boyutlu hareket, Verilen zamanlar için s konumlarını görmektesiniz, görülen okun yönünü s nin artan yönü olarak seçelim, bu yönü seçmek tamamiyle keyfidir, Şimdi ortalama hız olarak adlandırılan tanıma bakalım, örneğin t 1 ve t 2 zamanları arasındaki ortalama hız; sekseni üzerindeki hangi noktayı sıfır noktası olarak kabül ettiğimiz bu aşamada tamamiyle önemsizdir, ortalama hız için hiç bir fark y s in artış yönü, gösterilen yön olarak tanımlandığı için bu değer sıfırdan büyüktür, Ancak t 1 ve t 5 arasındaki ortalama hız alınırsa bu değer sıfır olcaktır, çünkü her iki durumda da aynı konumdalar ve pay sıfır, olmayacaktır. y py, Fakat eğer diğer yönü s nin artış yönü olarak seçersek, bu durumda işaretler ters dönecektir, o halde seçmekte özgür olduğunuz yön işaretleri belirlemektedir. Sıfır olarak seçtiğiniz yer önemli değildir fakat mekanikte işaretler oldukça önemlidir. Ref: Prof. Walter Lewin Eğer t 2 ve t 4 zamanları seçilirse, bu zamanlar arasındaki ortalama hız negatif olacaktır, 13

14 Sadece belirli zamanlardaki s konumları değil, aynı zamanda her bir an için ii cismin i tam olarak nerede olacağı biliniyorsa cismin konum zaman grafiği çizilebilir. Düşey eksen (s ekseni) cismin aldığı yolu göstermektedir, bu grafik daha fazla bilgi i içerir, i zamanın bütün değerleri ğ iii için konum bilgisi bulunmaktadır. Bu aşamada s=0 (s 0 ) noktası grafiğin çizebilmesi için gereklidir (fakat istenirse başka bir nokta da seçebilirdi). Şmdi ortalama hıza tekrar bakılacak olursa, örneğin t 2 ve t 3 zamanları için, bu zamanlara karşılık gelen noktalar bir çizgi ile birleştirilirse, düşey kol Δs, yatay kol Δt ve yatayla arasındaki açı α olarak alındığında, ortalama hız; Burada t ekseninden s eksenine doğru taranan açı pozitiftir, eğer açı pozitifse ortalama hız pozitiftir. Açı negatifse ortalama hız negatif olur. Eğer ğ sıfır noktası değiştirilirse ğ ş ortalama hız için yine aynı değerler bulunur, tek fark bu grafikteki eğrinin konumu olur. 14

15 Hız ve sürat arasında oldukça büyük bir fark vardır. t 1 ve t 5 arasındaki dkiortalama tl hız sıfır fakat fkt ortalama sürat sıfır değildir. Ortalama sürat = (alınan yol) / (bu yolu almak için geçen süre) dir. Cismin t 1 ve t 5 arasında aldığı mesafe yi (yolu) bulmak için hareketin şekli çizilirse, ortalama sürati bulabilmek için şekildeki mesafelerin toplamlarınındoğru ğ olarak bulunması gerekir. s T Örneğin bu mesafelerin toplamı 300 metre t 1 ve t 5 arasındaki zaman 3 s ise bu durumda ortalama sürat 100 m/s olur, fakat ortalama hız sıfırdır. 15

16 Örneğin eğer grafikteki t 2 ve t 3 zamanları göz önüne alınırsa ve t 3 konumu t 2 konumuna yaklaştırılacak olursa, bu durumda alfa açısı artacaktır. t 3 ü t 2 ye iyice yaklaştırırsak bu durumda α açısı bu konum zaman eğrisine teğet olacaktır. t zamanındaki anlık hız (bu iki zaman aralığındaki ortalama hızdan farklıdır), bu da konumun zamana göre birinci türevidir. (1) α açısı sıfırsa hız sıfırdır. Eğer grafikte hızın sıfır olduğu noktalar yani türevin sıfır olduğu noktaları araştıracak olursak, bu noktalarda α açısı sıfırdır, bu noktalarda hız sıfırdır. Şimdi grafikten hızın pozitif olduğu zamanlara bakalım, t 1 den itibaren tepe noktasına kadar pozitif, sonra çukur noktaya kadar negatif, tepeye kadar pozitif ve sonra tekrar negatif bu anlık hız v nin tanımıdır. 16

17 Anlık sürat ise işarete bağlı değildir, Çıkış kolundaki bir noktada anlık hız v1 = +30 m/s olsun, iniş kolu üzerindeki bir hızı da v2 = 100 m/s olarak varsayalım, hangi hızın diğerinden küçük olduğu belirtilmek istenirse 100 m/s, +30 m/s den daha küçüktür, Fakat ikinci durumda sürat daha büyüktür. Çünkü sürat hızın büyüklüğüne eşittir ve işarete bağlı değildir. Ikinci durum daha düşük bir hıza fakat daha yüksek bir sürate sahiptir. Hesaplamalara girişildiğinde bu oldukça önemli bir farktır. 17

18 Ortalama ivme, ortalama hız gibi çıkarılabilir, İvme (Acceleration): Dikkat edilecek olursa grafikteki eğri boyunca hız zamanla değişmektedir, (ivmenin boyutu) = (uzunluk)/(zaman) 2 Burada t 1 durumunda hız başlangıçta sıfır iken α açısı artmaya başladığı ş ğ için hız da artmaya başlamıştır, burada açının değişim yönü önemlidir, t 1 den t 2 ye giderken ortalama ivme sıfırdan daha büyüktür, Hız ve ivmenin işaretleri s nin (konumun) artış yönüne bağlıdır. Sıfır noktasının nerede seçildiğine bağlı değildir. Eğer s nin artış yönü değiştirilirse bütün işaretler tersine dönecektir. Burada dikkatli olunmalıdır ld çünkü küδv işarete bağımlıdır, 18

19 Anlık ivme, ortalama ivmeden biraz farklıdır, Δt giderek küçültülürse, ültülü Δv de küçülür ülü ve limitteitt (2) Anlık ivme hız zaman grafiğinin eğimidir, konumzaman grafiğinde ise eğiminin değişimidir. Burada eğimin dolayısıyla açının değişim yönü önemlidir. Grafiğin doğrusallaştığı (açının değişmediği) veya eğriliğin işaret değiştirdiği noktada (büküm noktası) ivme sıfırdır. 19

20 Ortalama veya anlık ivme pozitif veya negatif olabilir, Pozitif yönde ilerlerken parçacık hızlanıyorsa ivmesi pozitif, (a) durumu hızı azalıyorsa ivmesi negatiftir, (c) durumu Negatif yönde ilerlerken parçacık yavaşlıyorsa (hızı azalıyorsa) ivmesi pozitif, (b) hızı artıyorsa ivmesi negatiftir, (d) durumu s s s s Örn. (b) durumu için Δv = v v >0, dolayısıyla a > 0 dır ve sağa doğru etkir Hız sabitse, Δv = v v = 0 ve bu durumda ivme sıfırdır! 20

21 Önemli bir ilişki (1) ve (2) nolu denklemlerde dt yi sadeleştirerek elde edilebilir; (1) (2) => (3) Dikkat edilirse üç kinematik denklemimiz var fakat (3). denklem (1) ve (2) den bağımsız değil!!! 21

22 Bu roket zamanla doğrusal bir hareket yapacaktır. Çıktığı yükseklik zamanın fonksiyonu olarak ölçülebilir ve s = s(t) olarak ifade edilebilir. Dolayısıyla hızı v=ds/dt ve ivmesi de a = dv/dt ile hesaplanabilir. 22

23 23

24 Örnek 1: 24

25 Örnek 1.. Üç hareket eğrisinin incelenmesi sonucu, parçacığın t = 0 dan t = a kadarki hareketi dört evreye bölünebilir: 25

26 Sabit ivme durumu (a = a c, constant acceleration) İvmenin sabit olması durumunda daha önce verilen üç kinematik denklem (1),(2),(3)(2) (3) integre edilerek a c, v, s arasında ilişkiler kuran denklemler elde edilebilir; (2) 26

27 27

28 28

29 29

30 Örnek 2: 30

31 Örnek

32 Örnek

33 Örnek 3: 33

34 Örnek

35 Örnek

36 Ödev 1: Düz bir çizgi üzerinde hareket eden parçacığın hızı v = 12 3t 2 fonksiyonu ile tanımlıdır (t sn cinsindendir). t=1snikenparçacık başladığı noktanın 10 m solunda ise, t = 4 sn deki ivmesinivet = 0vet = 10snarasında yaptığı toplam yer değiştirmeyi ve parçacığın ğ katettiğiğ toplam mesafeyi bulunuz. İpucu: t = 1 sn 36

37 Ödev 2: Ödev 3: Ödev 4: 37

38

39

40

41

42 Yukarıdaki ivme, yerdeğiştirme ve hız arasındaki ilişkiyi veren ifade nasıl bulundu?

43 a * ds = v * dv

44 Örnek 4:

45 Örnek 4.. a t a = dv/dt veya a*dt = dv

46 Örnek 4..

47 Örnek 4..

48 Ödev 5: Noktasal parçacık doğrusal bir yörüngede şekildeki gibi hareket etmektedir. a sgrafiğini oluşturunuz. a(ds) = v(dv)