BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,"

Transkript

1 BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı n doğal sayı olmak üzere, (x+y) n ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar; (x+y) n ifadesi 1. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar 2. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar (x+y) 0 1 æ0ö ç = 1 0 (x+y) æ1ö ç = 1 0 æö 1 ç = 1 1 (x+y) æ2ö ç = 1 0 æ 2ö ç = 2 1 æ 2ö ç = 1 2 (x+y) æ3ö ç = 1 0 æ3ö ç = 3 1 æ3ö ç = 3 2 æ3ö ç = 1 3 Yukarıdaki tablo (x+y) 4, (x+y) 5,... kuvvetleri için devam ettirildiğinde birinci sütun da elde edilen katsayılar ile ikinci sütunda elde edilen katsayıların aynı olduğu görülür. O halde; (x+y) n ifadesinin açılımındaki katsayıları pascal üçgeni yerine, æ nö ænö ænö æ n ö ænö,,..., ç0 1 2 n 1 n è ø çè ø çè ø çè - ø çè ifadeleri ile bulabiliriz. Birinci terim x in kuvvetin den başlayıp azalarak, ikinci terim ø y nin kuvveti sıfırdan başlayıp artarak yukarıda yerleştirildiğinde, ænö ænö ænö æ n ö ænö (x + y) = x.y x y x y... x y x y n 1 n èç ø èç ø èç ø èç - ø èç ø n n o n-1 1 n n-1 o n elde edilir. (x+y) 2 açılımını bulunuz. (x+y) 2 ifadesinde n=2 dir. æ2 2 2 (x+y) 2 açılımında ö æ ö æ ö,, èç ø èç ø èç ø katsayılardır. x ve y nin kuvvetleri yukarıdaki ifadede yerlerine yerleştirildiğinde, æ 2 2ö æ 2 o 2ö æ 1 1 2ö o 2 (x + y) = x y x y + + x y ç0 1 2 è ø çè ø çè ø =1.x 2 y o +2.xy+1.x o y 2 =x 2 +2xy+y 2 Cevap: x 2 +2xy+y 2 (2x 3y) 3 açılımını bulunuz. (2x 3y) 3 ifadesinde n=3 tür. æ (2x 3y) açılımında ö æ ö æ ö æ ö,,, èç ø èç ø èç ø èç ø işareti belirlenmemiş katsayılardır. 2x ve 3y nin kuvvetlerini açılımda yerleştirelim. æ 0 3ö æ 3 0 3ö 2 1 (2x - 3y) = (2x) ( 3y) - + (2x) (-3y) ç0 1 è ç ø è ø æ3ö æ3ö + (2x).( 3y) - + (2x) (-3y) ç2 3 è ç ø è ø =1.8x x 2 ( 3y) x.9y ( 27y 3 ) =8x 3 36x 2 y+54xy 2 27y 3 Cevap: 8x 3 36x 2 y+54xy 2 27y 3

2 Binom Açılımı soru 1 (x+y) 4 ifadesinin açılımında katsayılar aşağıdakilerden hangisidir? æ4ö æ4ö æ4ö æ4ö æ4ö æ4ö æ4ö A),, B),,, çè 1ø èç 2ø èç 3ø çè 1ø èç 2ø è ç3ø è ç4ø æ4ö æ4ö æ4ö æ4ö æ C),, D) 4ö æ4ö æ4ö,,, çè0 ø è ç1ø è ç2ø çè0 ø çè1 ø è ç2ø è ç3ø æ 4ö æ4ö æ4ö æ4ö æ4ö E),,,, çè0 ø è ç1ø è ç2ø è ç3ø è ç4ø soru 5 (3x+1) 3 ifadesinin açılımı aşağıdakilerden hangisidir? A) x 3 +3x 2 +3x+1 B) 9x 3 +9x 2 +3x+1 C) 27x 3 +9x 2 +3x+1 D) 27x 3 +27x 2 +3x+1 E) 27x 3 +27x 2 +9x+1 soru 2 soru 6 (a+b) 5 ifadesinin açılımında katsayılar aşağıdakilerden (a 2b) 3 ifadesinin açılımı aşağıdakilerden hangisidir? hangisidir? A) a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 B) a 3 +6a 2 b+6ab 2 +8b 3 æ 5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö A),,,, B),,,,, çè0 ø è ç1ø è ç2ø è ç3ø è ç4ø è ç0ø è ç1ø è ç2ø è ç3ø è ç4ø è ç5ø æ 5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö C),,,, D),,, çè1 ø è ç2ø è ç3ø è ç4ø è ç5ø è ç1ø è ç2ø è ç3ø è ç4ø æ 5ö æ5ö E), çè0 ø è ç5ø soru 3 æ 6ö æ6ö æ6ö æ6ö æ6ö æ6ö æ6ö,,,,,, çè0 ø çè1 ø çè2 ø çè3 ø è ç4 ø çè5 ø è ç6ø Açılımındaki katsayıları yukarıdaki gibi olan ifade aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) (a+b) 6 B) (x+y) 5 C) (a b) 4 D)(x y) 7 E) (x+y) 3 soru 4 (x+y) n açılımındaki katsayıları æ 8ö æ8ö æ8ö æ8ö æ8ö æ8ö æ8ö æ8ö æ8ö,,,,,,,, è ç0ø è ç1ø è ç2ø è ç3ø è ç4ø è ç5ø è ç6ø è ç7ø è ç8ø olduğuna göre, n kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 5KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI C) a 3 +6a 2 b+12ab 2 +8b 3 D) a 3 6a 2 b+12ab 2 8b 3 E) a 3 6a 2 b 12ab 2 8b 3 soru 7 (2x 1) 4 ifadesinin açılımı aşağıdakilerden hangisidir? A) 16x 4 +32x 3 +24x 2 +8x+1 B) 16x 4 32x 3 +24x 2 8x+1 C) 16x 4 32x 3 24x 2 8x 1 D) 16x 4 +4x 3 +6x 2 +4x+1 E) x 4 4x 3 +6x 2 4x+1 soru 8 (5x+2y) 8 ifadesinin açılımındaki son terim aşağıdakilerden hangisi olabilir? æ 8ö æ8ö æ8ö A) (5x) (2y) B) (5x) (2y) C) (5x) (2y) è ç8ø è ç8ø è ç8ø æ8ö æ8ö D) (5x) (2y) E) (5x) (2y) çè8ø çè8ø E 2 B 3 A 4 C 5 E 6 D 7 B 8 C

3 Binom Açılımı æ n n ö æ n 0 n ö n n n-1 1 æ ö 1 n-1 æ ö 0 n (x + y) = x y x y... x y x y çè0 ø çè1 ø çèn- 1 ø çènø n+ 1 tane Yukarıdaki açılımda görüldüğü gibi (x+y) n ifadesinin açılımında n+1 tane terim vardır. Ayrıca açılımdaki x ve y nin kuvvetleri sırasıyla incelendiğinde, æ nö xy n 0 kuvvetler toplamı n+0=n ç çè0 ø ænö x ç çè1 ø ænö x ç çè2 ø... ç n-1 1 y ç n-2 y 2 kuvvetler toplamı n 1+1=n kuvvetler toplamı n 2+2=n ænö x y ç çèn ø ç 0 n kuvvetler toplamı 0+n=n olduğu görülür. (x+y) n açılımında her terimdeki x ve y nin kuvvetleri toplamı n dir. (x+y) 7 ifadesinin açılımında kaç terim olduğunu bulunuz. (x+y) n ifadesinin açılımında n+1 terim olduğundan (x+y) 7 ifadesinin açılımında, 7+1=8 terim vardır. Cevap: 8 (2x 3y) 6 ifadesinin açılımında kaç terim olduğunu bulunuz. (2x 3y) 6 ifadesinde n=6 dır. 6+1=7 terim vardır. Cevap: 7 (x+y) n =...+A.x 4.y olduğuna göre, n kaçtır bulunuz. (x+y) n açılımındaki her terimdeki x ve y nin kuvvetleri toplamı n olduğundan, Ax 4 y 3 den n=4+3=7 Cevap: 7 (a+2b) 10 =...+K.a 5.b m +... olduğuna göre, m kaçtır bulunuz. (a+b) 10 açılımında her terimdeki a ve b nin kuvvetleri toplamı 10 olduğundan, K.a 5 b m den 5+m=10 m=5 Cevap: 5 6

4 Binom Açılımı soru 1 (x y) 4 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 soru 5 (2a+10b) n2 1 ifadesinin açılımında 9 terim olduğuna göre, n kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 9 soru 2 (a+b) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? soru 6 (x+y) n =...+Ax 5 y olduğuna göre, n kaçtır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 soru 3 æx y ö ç + çè3 4 ø 12 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 soru 4 (5x+7y) m ifadesinin açılımında 11 terim olduğuna göre, m kaçtır? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 7KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 (4a+3b) n =...+B.a 4 b olduğuna göre, n kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 soru 8 (6x+y) n =...+K.x 5 m.y m olduğuna göre, n kaçtır? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 1 C 2 B 3 D 4 B 5 A 6 E 7 D 8 B

5 Binom Açılımı (ax+by) n gibi ikili ifadelerin açılımında katsayılar toplamını bulmak için x ve y ye 1 değerleri verilip (ax+by) n ifadesinin aldığı değer bulunur. Bu yöntem ikili, üçlü ifadelerin tümünde uygulanabilir. æn ö æ (x y) x y n ö æ x y... n ö æ x y nö + = x y èç 0ø èç 1ø èç n-1ø èç nø n n 0 n n-1 0 n olduğundan, x=1 ve y=1 için (1+1) n =2 n katsayılar toplamını verir. Polinom tipindeki ifadelerin n. kuvvetlerinin açılımlarındaki sabit terimi bulmak için ise değişkenlere sıfır(0) değeri verilir. (2x+3y) 7 ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bulunuz. æ 7 ö æ 7ö æ 7ö (2x + 3y) = (2x).(3y) (2x) (3y) (2x) (3y) è ç0ø è ç1ø è ç7ø açılımından katsayıları bulup toplamlarını hesaplamak güç olduğundan, x=1 ve y=1 değerlerini ifadede yerlerine yazalım. ( ) 7 =5 7 katsayılar toplamıdır. Cevap: æ ö ç 3x ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bu- çè y ø lunuz. x=1, y=1 için, æ ç ö = (3-5) = (- 2) =-2 çè 1 ø Katsayılar toplamı 2 9 dur. Cevap: 2 9 (2x 2 +3y z) 5 ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bulunuz. x=1, y=1 ve z=1 için, ( ) 5 =(2+3 1) 5 =4 5 Katsayılar toplamı 4 5 dir. Cevap: 4 5 (5x 2) 6 ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulunuz. x=0 için, (5.0 2) 6 =( 2) 6 =2 6 Sabit terim 2 6 dır. Cevap: 2 6 8

6 Binom Açılımı soru 1 (x+2y) 5 ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır? A) 1 B) 2 5 C) 3 5 D) 4 5 E) 5 5 soru 5 (x+y 3z) 7 ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır? A) 1 B) 0 C) 1 D) 2 7 E) 3 7 soru 2 (5a+3b) 6 ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır? A) 2 6 B) 2 12 C) 2 15 D) 2 16 E) 2 18 soru 6 (2x+y+6z) 5 ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır? A) 3 12 B) 3 10 C) 3 9 D) 3 8 E) 3 6 soru 3 (4x 3y) 10 ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır? A) 1 B) 3 10 C) 4 10 D) 7 10 E) 8 10 soru 4 9 æ 2 5ö ç 5a - ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır? çè bø A) 5 9 B) C) 1 D) 0 E) 1 9KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 (5x 2y) 15 ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır? A) 0 B) 2 15 C) 3 15 D) 5 15 E) 1 soru 8 (5x+3y 4) 8 ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır? A) 4 8 B) 0 C) 1 D) 3 8 E) C 2 E 3 A 4 D 5 A 6 B 7 A 8 E

7 Binom Açılımı æ nö æ (x y) x y nö æ x y... n ö æ x y nö + = x y è ç0 ø çè1 ø çèn- 1 ø çènø n n 0 n n-1 0 n açılımında, Baştan 1. terim Baştan 2. terim Baştan 3. terim Baştan n+1. terim æ nö ç x y 0 æ nö ç x 1 æ nö ç x 2... n 0 n-1 1 n-2 2 æ nö ç x y n 0 n y y Terimlerin katsayıları ile kuvvetleri arasındaki ilişki dikkatle incelendiğinde, æn n r r Baştan r+1. terimin ö x - ç.y r ifadesi ile bulunduğu görülür. (x+y) 7 ifadesinin açılımında baştan 3. terimi bulunuz. (x+y) 7 ifadesinde n=7 dir. Baştan 3. terim istendiğinden, r+1=3 ise r=2 bulunur. æ nö x n-r y r ç r ifadesinde n=7 ve r=2 değerleri yerlerine konulduğunda, æ7ö 7! x.y =. x.y = 21x y ç2 è ø (7-2)!.2! Cevap: 21x 5 y 2 (x y) 6 ifadesinin açılımında baştan 4. terimi bulunuz. (x y) 6 ifadesinde n=6 dır. Baştan 4. terim istendiğinden, r+1=4 ise r=3 bulunur. ænö æ n r r 6ö ! 3 3 x.( y) - = x.(- y ) = x.(-y ) çr 3 è ø è ç ø (6-3)!. 3! 3 3 =-20x y Cevap: 20x 3 y 3 (2a+3b) 8 ifadesinin açılımında baştan 3. terimi bulunuz. (2a+3b) 8 ifadesinde n=8 dir. r+1=3 ise r=2 bulunur. ænö æ8ö (2a).(3b) = (2a).(3b) ç r 2 è ø èç ø n-r r ! =.(2a).(3b) = 28.2.a.3.b (8-2)!. 2! = a.b Cevap: a 6.b 2 10

8 Binom Açılımı soru 1 soru 5 (x+y) 5 ifadesinin açılımındaki baştan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? (x+3y) 6 ifadesinin açılımındaki baştan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? A) 5x 2 y 3 B) 5x 4 y C) 5x 3 y 2 D) 5x 2 y 3 E) 5xy 4 A) 540x 2 y 4 B) 540x 3 y 3 C) 540x 4 y 2 D) 135x 3 y 3 E) 135x 4 y 2 soru 2 soru 6 (a+b) 7 ifadesinin açılımındaki baştan 4. terim aşağıdakilerden hangisidir? (x 2y) 7 ifadesinin açılımındaki baştan 5. terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 21a 3 b 4 B) 21a 4 b 3 C) 28a 3 b 4 D) 35a 4 b 3 E) 35a 3 b 4 A) B) C) D) E) soru 3 (x y) 8 ifadesinin açılımındaki baştan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? A) 8x 7 y B) 28x 7 y C) 8x 7 y D) 28x 7 y E) 56x 6 y 2 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 (5a+2b) 8 ifadesinin açılımındaki baştan 3. terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? æ8 8 8 A) ö æ ö æ ö 5.2 B).5.2 C) èç ø èç ø èç ø æ8ö æ8ö D) 5.2 E) èç ø èç ø soru 4 soru 8 (a b) 9 ifadesinin açılımındaki baştan 9. terim aşağıdakilerden hangisidir? (3a+4b) 10 ifadesinin açılımındaki baştan 5. terim aşağıdakilerden hangisidir? A) 9ab 8 B) 9a 2 b 7 C) 36ab 8 D) 36ab 8 E) 9ab A) æ ö æ ö 3 4 a.b B) 3 4 a.b ç 4 4 è ø æ10ö æ10ö C) 3 4 a.b D) 3 4 a.b ç 4 5 è ø æ10 E) ö 3 4 a.b ç B 2 D 3 C 4 A 5 E 6 E 7 C 8 B 11

9 Binom Açılımı (x 2 +y) 5 ifadesinin açılımındaki baştan 3. terimi bulunuz. (x 2 +y) 5 ifadesinde n=5 dir. r+1=3 ise r=2 æ nö æ5ö (x ).(y) = (x ).y ç r 2 è ø 2 n-r r ! =.(x ).y (5-2)!.2! 6 2 = 10x.y Baştan 3. terim 10x 6 y 2 dir. Cevap: 10x 6 y 2 (x 3 y 2 ) 6 ifadesinin açılımındaki baştan 4. terimi bulunuz. (x 3 y 2 ) 6 ifadesinde n=6 dır. r+1=4 ise r=3 æ nö æ6ö (x ).( y ) - = (x ).(-y ) ç r 3 è ø 3 n-r 2 r ! =.(x ).(-y ) (6-3)!.3! 9 6 =- 20x y Baştan 4. terim 20.x 9.y 6 tür. Cevap: 20.x 9.y 6 (2x 2 +5y 3 ) 7 ifadesinin açılımındaki baştan 6. terimin katsayısını bulunuz. (2x 2 +5y 3 ) 7 ifadesinde n=7 dir. r+1=6 ise r=5 æ nö æ7ö (2x ).(5y ) =.(2x ).(5y ) ç r 5 è ø 2 n-r 3 r ! =.(2x ).(5y ) (7-5)!.5! = 21.2.x.5.y = x.y Baştan 6. terimin katsayısı tir. Cevap: (x 3 3y 2 ) 8 ifadesinin açılımındaki baştan 4. terimin katsayısını bulunuz. (x 3 3y 2 ) 8 ifadesinde n=8 dir. r+1=4 ise r=3 æ nö æ8ö.(x ).( 3y ) - = (x ).(-3y ) ç r 3 è ø 3 n-r 2 r æ8 ö æ8 ö = (x ) ( 3y ) - = x.(-3).y 3 3 èç ø èç ø æ8 ö =-.3.x y ç æ8 ö Baştan 4. terimin katsayısı: ç 3 æ ö Cevap: 8 - ç 3 çè3 ø 3 12

10 Binom Açılımı soru 1 soru 5 (x+y 2 ) 4 ifadesinin açılımındaki baştan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? (3x 2 +y 2 ) 6 ifadesinin açılımındaki baştan 4. terim aşağıdakilerden hangisidir? A) 4x 3 y B) 4x 3 y 2 C) 4x 3 y 3 D) x 4 y 2 E) x 3 y 4 A) x 6 y 6 B) x 4 y 8 C) x 6 y 6 D) 20x 4 y 8 E) 20x 8 y 4 soru 2 soru 6 (a 2 +b 3 ) 5 ifadesinin açılımındaki baştan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? (5x 3 +2y 2 ) 10 ifadesinin açılımındaki baştan 10. terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 6.a 6.b 6 B) 6.a 4.b 9 C) 10.a 4.b 9 D) 10.a 6.b 6 E) 10a 7.b 6 A) B) C) D) E) soru 3 (a b 2 ) 7 ifadesinin açılımındaki baştan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 (x 2 4y 3 ) 8 ifadesinin açılımındaki baştan 3. terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 21.a 5.b 4 B) 21.a 4.b 6 C) 21.a 3.b 6 D) 35.a 5.b 4 E) 35a 4.b 6 æ8 8 8 A) ö æ ö æ ö 2 B) 2 C) èç ø çè ø æ8ö æ8ö D) - 2 E) èç ø 3 4 soru 4 soru 8 (a 3 b 3 ) 5 ifadesinin açılımındaki baştan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? (3x 4 5y 2 ) 12 ifadesinin açılımındaki baştan 4. terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 5a 9.b 6 B) 5a 9.b 3 C) 5a 12.b 3 D) 5a 9.b 3 E) 5a 12.b 3 æ12ö æ12ö æ12ö A) 3.5 B) 3.5 C) ç4 4 4 è ø çè ø æ12ö æ12ö D) E) èç ø èç ø B 2 D 3 A 4 C 5 A 6 B 7 B 8 E 13

11 Binom Açılımı 5 terim var æ 4 4ö æ 4 0 4ö æ 3 1 4ö æ 2 2 4ö æ 1 3 4ö 0 4 (x+ y) = x y x y x y x y x y ç0 ç1 ç2 ç3 ç4 è ø è ø è ø è ø è ø ortadaki terim 7 terim var æ 6 6ö æ 6 0 6ö æ 5 1 6ö æ 4 2 6ö æ 3 3 6ö æ 2 4 6ö æ 1 5 6ö 0 6 (x+ y) = x y x y x y x y x y x y x y ç0 ç1 ç2 ç3 ç4 ç5 ç6 è ø è ø è ø è ø è ø è ø è ø ortadaki terim Yukarıdaki örneklerde görüldüğü gibi, (x+y) 2n ifadesinin açılımındaki ortadaki terim æ ö ç n 2n.x n y n ifadesi ile bulunur. (x+y) 8 ifadesinin açılımında ortadaki terimi bulunuz. (x+y) 8 ifadesinde 2n=8 ise n=4 æ 2nö ç xy n n n ifadesinden, æ8ö 8! x y =. x y = 70x y ç4 è ø (8-4)!. 4! x 4 y 4 açılımda ortadaki terimdir. Cevap: 70x 4 y 4 (2x+3y) 6 ifadesinin açılımında ortadaki terimi bulunuz. (2x+3y) 6 ifadesinde 2n=6 ise n=3 æ2nö æ6ö æ6ö æ6ö (2x) (3y) (2x) (3y) 2 x 3 y = = = 8.27.x y çn è ø èç ø èç ø èç ø n n Cevap: æ 6 ö ç 8.27.x y çè3 ø 3 3 (x 3 +y 2 ) 10 ifadesinin açılımında ortadaki terimi bulunuz. (x 3 +y 2 ) 10 ifadesinde 2n=10 ise n=5 æ10ö æ10ö (x ).(y ) =.x.y ç5 5 è ø Cevap: æ 10 ö ç x.y çè5 ø (x 2 +y 4 ) 2n ifadesinin açılımında ortadaki terimde x 12 li terim olduğuna göre, n kaçtır, bulunuz. (x 2 +y 4 ) 2n ifadesinin ortadaki terimi, æ2nö æ 2 n 4 n 2nö 2n 4n (x ).(y ) = x.y dir. çn n è ø èç ø 14 x 2n =x 12 ise 2n=12 ve n=6 Cevap: 6

12 Binom Açılımı soru 1 soru 5 (a+b) 4 ifadesinin açılımında ortadaki terim aşağıdakilerden hangisidir? (x 2 +y) 6 ifadesinin açılımında ortadaki terim aşağıdakilerden hangisidir? A) æ ö æ ö æ ö ab B) a b C) a b ç2 2 2 è ø è ç ø è ç ø æ4ö æ 3 4ö D) a b E) ab ç2 2 è ø æ6 6 6 A) ö æ ö æ ö x y B) x y C) x y èç ø çè ø æ6ö æ 6 6 6ö 6 D) x y E) x y 3 3 èç ø èç ø soru 2 soru 6 (x y) 6 ifadesinin açılımında ortadaki terim aşağıdakilerden hangisidir? (x 2 +y 3 ) 10 ifadesinin açılımında ortadaki terim aşağıdakilerden hangisidir? æ6 6 6 A) ö æ ö æ ö x y B) x y C) x y èç ø çè ø æ6ö æ6ö D) - x y E) - x y 3 3 èç ø èç ø A) æ ö æ ö æ ö x y B) x y C) x y ç5 5 5 è ø çè ø æ10ö æ10ö D) x y E) x y ç5 5 è ø soru 3 (3x+5y) 8 ifadesinin açılımında ortadaki terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 (x 3 +y 4 ) 2n ifadesinin açılımında ortadaki terimde x 12 li terim olduğuna göre, n kaçtır? A) æ ö æ ö æ ö 3 5 B) 3 5 C) 3 5 ç4 4 4 è ø èç ø èç ø æ8ö æ8ö D) x y E) x y 6 6 èç ø èç ø A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 soru 4 12 æ x ö ç 2x + çè ifadesinin açılımında ortadaki terimin katsayısı 2 ø aşağıdakilerden hangisidir? æ A) ö æ ö æ ö 2 B) 2 C) èç ø èç ø èç ø æ12ö æ12ö D) 2 E) 6 6 èç ø èç ø soru 8 (x 4 +2y 2 ) n ifadesinin açılımında ortadaki terimde y 10 lu terim olduğuna göre, n kaçtır? A) 5 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12 1 B 2 D 3 A 4 E 5 B 6 C 7 A 8 C 15

13 Binom Açılımı Baþtan 4. terim æ 4 4ö æ 4 0 4ö æ 3 4ö æ 2 2 4ö æ 1 3 4ö 0 4 (x + y) = x y x y x y x y x y (5 terim var) ç0 ç1 ç2 ç3 ç4 è ø è ø è ø è ø è ø Sondan 2. terim Baþtan 5. terim æ (x y) ö æ ö x y æ 4 1 5ö æ 3 2 5ö æ 2 3 5ö æ 1 4 5ö = + ç0 ç1 x y + x y + x y x y + x y (6 terim var) è ø è ø ç2 ç3 ç4 ç5 è ø è ø è ø è ø Sondan 2. terim æn n r r Yukarıdaki örneklerden de görüleceği gibi sondan (n r+1).terim, ö x - ç.y r dir. (x+y) 6 ifadesinin açılımında sondan 3. terimi bulunuz. (x+y) 6 ifadesinde n=6 dır. Sondan 3. terim istendiğinden, n- r+ 1= 3 æ nö ç x r 6 - r+ 1= 3 n-r r ifadesinde n=6 ve r=4 değerleri yerlerine konulduğunda, y r= 4 æ 6ö 6! x.y =.xy = 15xy ç4 è ø (6-4)!.4! bulunur. Cevap: 15x 2 y 4 (3x 2y) 7 ifadesinin açılımında sondan 2. terimi bulunuz. (3x 2y) 7 ifadesinde n=7 dir. Sondan 2. terim istendiğinden, n r+1=2 ise 7 r+1=2 r=6 æ nö æ7ö - - (3x) ( 2y) - = (3x).(- 2y) = 7.(3x) (-2y) çr 6 è ø n r r = x.y 6 bulunur. Cevap: x.y 6 (5x 3 y 4 ) 10 ifadesinin açılımında sondan 2. terimi bulunuz. (5x 3 y 4 ) 10 ifadesinde n=10 dur. Sondan 2. terim istendiğinden, n r+1=2 ise 10 r+1=2 r=9 ænö æ10ö (5x ).( y ) - =.(5x ).(-y ) çr 9 è ø 3 n-r = x y =-50.x y Cevap: 50.x 3.y 36 16

14 Binom Açılımı soru 1 soru 5 (x+y) 5 ifadesinin açılımında sondan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? (a 3 +b 3 ) 9 ifadesinin açılımında sondan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? A) x 2 y 3 B) 5x 4 y C) 5x 3 y 2 D) 5x 2 y 3 E) 5xy 4 æ9 9 9 A) ö æ ö æ ö a.b B) a.b C) a.b èç ø èç ø èç ø æ9ö æ9ö D) a.b E) a.b 7 7 èç ø èç ø soru 2 soru 6 (x y) 6 ifadesinin açılımında sondan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? (2x 2 +3y 2 ) 10 ifadesinin açılımında sondan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? A) 6xy 5 B) 6x 2 y 4 C) 6x 3 y 3 D) 6xy 5 E) 6x 2 y A) æ ö æ ö æ ö xy B) 2.3xy C) 2xy ç8 8 9 è ø çè ø æ10ö æ10ö D) 2.3.x y E) 2.3.x y ç9 9 è ø soru 3 (a+2b) 7 ifadesinin açılımında sondan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 (x 4 y 5 ) 11 ifadesinin açılımında sondan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? æ7 7 7 A) ö æ ö æ ö 2.a.b B) 2.a.b C) 2.a b èç ø èç ø èç ø æ7ö æ7ö D) 2.a b E) 2 a.b 5 5 èç ø èç ø æ11ö æ11ö æ11ö A) - x y B) x y C) - - x y ç9 9 9 è ø çè ø æ11ö æ11ö D) x y E) x y ç9 9 è ø soru 4 soru 8 (5a b) 8 ifadesinin açılımında sondan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? (4x 3 +2y 5 ) 12 ifadesinin açılımında sondan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? æ8 8 8 A) ö æ ö æ ö 5.a.b B) 5.a.b C) 5.a.b èç ø èç ø èç ø æ8ö æ8ö D) - 5.a b E) - 5.a. b ç6 7 è ø èç ø A) æ ö æ ö æ ö x y B) 2 x y C) x y ç è ø çè ø æ12ö æ12ö D) 2 x y E) x y 9 9 èç ø èç ø E 2 A 3 D 4 B 5 C 6 E 7 A 8 B 17

15 Binom Açılımı (a+b) 6 ifadesinin açılımında b 4 lü terimin katsayısını bulunuz. (a+b) 6 ifadesinde n=6 dır. æ nö æ6ö a.b = a.b çr r è ø èç ø n-r r 6-r r b r =b 4 ise r=4 olur. æ 6ö 6!.a.b =. a b ç4 è ø (6-4)!.4! =15a 2 b 4 b 4 lü terimin katsayısı 15 dir. Cevap: 15 (2a+5b) 8 ifadesinin açılımında a 2 li terimin katsayısını bulunuz. (2a+5b) 8 ifadesinde n=8 dir. æ nö æ8ö (2a). (5b) = (2a). (5b) çr r è ø n-r r 8-r r æ8ö = ç 2.a.5.b r 8-r 8-r r r æ8ö = ç 2.5.a.b r a 8 r =a 2 ise 8 r=2 r=6 dır. n=8 ve r=6 olduğundan, 8-r r 8-r r æ8ö æ8ö.2.5.a.b =.2.5.a.b ç6 6 è ø olduğundan, a 2 æ li terimin katsayısı 8ö ç 6 dır. Cevap: æ 8 ö ç.2.5 çè6 ø 2 6 (x 2 y 3 ) 10 ifadesinin açılımında y 12 li terimin katsayısını bulunuz. (x 2 y 3 ) 10 ifadesinde n=10 dur. ænö æ10ö (x ).( y ) - = (x ).(-y ) çr r è ø 2 n-r 3 r 2 10-r 3 r æ10ö = ç x. ( - 1). y r y 3r =y 12 ise 3r=12 r=4 tür. n=10 ve r=4 olduğundan, 20-2r r 3r æ10ö æ10ö.x.( 1).y - = x.y ç4 4 è ø olduğundan, Cevap: æ 10 ö ç çè4 ø 18

16 Binom Açılımı soru 1 (x+y) 5 ifadesinin açılımında y 3 lü terimin katsayısı kaçtır? A) 8 B) 10 C) 12 D) 15 E) 20 soru 5 (3a+2b) 7 ifadesinin açılımında b 2 li terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) æ ö æ ö æ ö 3.2 B) 3.2 C) 3.2 ç4 4 2 è ø èç ø èç ø æ7ö æ7ö D) 3.2 E) 3.2 ç2 2 è ø soru 2 (a+b) 8 ifadesinin açılımında b 6 lı terimin katsayısı kaçtır? A) 14 B) 21 C) 28 D) 35 E) 56 soru 6 (5x 7y) 8 ifadesinin açılımında x 3 lü terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI æ8ö æ8ö æ8ö A) 5.7 B) 5.7 C) ç5 5 5 è ø çè ø æ8ö æ8ö D) E) èç ø èç ø soru 3 (x y) 7 ifadesinin açılımında x 3 lü terimin katsayısı kaçtır? A) 35 B) 38 C) 42 D) 45 E) 48 soru 7 (a 3 +b 4 ) 6 ifadesinin açılımında b 12 li terimin katsayısı kaçtır? A) 10 B) 15 C) 18 D) 20 E) 24 soru 4 (a b) 6 ifadesinin açılımında a 5 li terimin katsayısı kaçtır? A) 6 B) 15 C) 20 D) 20 E) 6 soru 8 (2x 3 +3y 2 ) 7 ifadesinin açılımında y 8 li terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) æ ö æ ö æ ö 2.3 B) 2.3 C) 2.3 ç4 4 5 è ø èç ø èç ø æ7ö æ7ö D) 2.3 E) èç ø èç ø B 2 C 3 A 4 A 5 D 6 E 7 D 8 A 19

17 Binom Açılımı (x+y) n =...+A.x 4 y Yukarıda (x+y) n ifadesinin açılımındaki A katsayısını bulunuz. æ ö ç r n x n-r.y r olduğundan, A.x 4 y 4 teriminde, x 4 =x n r ve y 4 =y r olur. y 4 =y r ise r=4 4=n 4 8=n n=8 ve r=4 olduğundan, æ8ö ! 4 4.(x).(y).x.y 4 = è ç ø (8-4)!.4! A.x 4 y 4 =70.x 4 y 4 A=70 bulunur. Cevap: 70 (2x 3y) n =...+A.x 3 y Yukarıda (2x 3y) n ifadesinin açılımındaki A katsayısını bulunuz. ænö ænö (2x).( 3y) - = 2.x (-3).y çr r è ø çè ø n-r r n-r n-r r r æ ö = ç - r çè ø n 2 n-r.( 3) r.x n-r.y r A katsayýsý A.x 3 y 6 teriminde, x 3 =x n r ve y 6 =y r olur. y 6 =y r ise r=6 x 3 =x n r ise 3=n r 3=n 6 9=n n=9 ve r=6 olduğundan A katsayısı, æ 9ö æ9ö 2.( 3) - = 2.3 ç6 6 è ø Cevap: æ 9 ö ç 2.3 çè6 ø 3 6 (x 3 +y 2 ) n =...+A.x 15.y Yukarıda (x 3 +y 2 ) n ifadesinin açılımındaki A katsayısını bulunuz. ænö ænö (x ).(y ) = x.y çr r è ø 3 n-r 2 r 3n-3r 2r olduğundan, A.x 15 y 6 teriminde, x 15 =x 3n 3r ve y 6 =y 2r olur. y 6 =y 2r ise 6=2r r=3 x 15 =x 3n 3r ise 15=3n 3r 15=3n =3n n=8 n=8 ve r=3 olduğundan, æ 8 ö ç (x ).(y ) = 56.x.y Ax 15.y 6 =56x 15.y 6 A=56 dır. Cevap: 56 20

18 Binom Açılımı soru 1 soru 5 (a+b) n =...+K.a 3 b Yukarıda (a+b) n ifadesinin açılımındaki K katsayısı kaçtır? A) 6 B) 8 C) 10 D) 15 E) 20 (x+3y) n =...+A.x 3 y Yukarıda (x+3y) n ifadesinin açılımındaki A katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) soru 2 (x+y) n =...+A.xy soru 6 (4x 2y) n =...+A.x 5.y Yukarıda (x+y) n ifadesinin açılımındaki A katsayısı kaçtır? A) 1 B) 7 C) 21 D) 28 E) 35 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI Yukarıda (4x 2y) n ifadesinin açılımındaki A katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? æ A) ö æ ö æ ö.2 B).2 C) èç ø èç ø èç ø soru æ12ö æ12ö D) -.2 E) èç ø èç ø (x+y) n =...+A.x 4 y Yukarıda (x+y) n ifadesinin açılımındaki A katsayısı kaçtır? (x 2 +y 2 ) n =...+A.x 6.y Yukarıda (x 2 +y 2 ) n ifadesinin açılımındaki A katsayısı kaçtır? A) 84 B) 96 C) 108 D) 115 E) 126 A) 6 B) 15 C) 20 D) 24 E) 30 soru 4 (a b) n =...+K.a 2 b 9 ifadesinin açılımındaki A katsayısı kaçtır? soru 8 (x 4 +y 3 ) n =...+A.x 12.y Yukarıda (x 4 +y 3 ) n ifadesinin açılımındaki A katsayısı kaçtır? A) 11 B) 55 C) 33 D) 44 E) 55 A) 21 B) 35 C) 42 D) 48 E) 56 1 C 2 B 3 E 4 E 5 A 6 D 7 C 8 B 21

19 Binom Açılımı 7 æ 1 ö ç x+ çè ifadesinin açılımında baştan 3. terimi bulunuz. x ø 7 æ 1ö ç x + = (x + x ) çè x ø -17 dir. Baştan 3. terim istendiğine göre, r+1=3 ise r=2 dir. ænö æ7ö (x).(x ) = x.(x ) çr 2 è ø n-r -1r ! =.x.x = 21.x = 21.x (7-2)!.2! Cevap: 21.x 3 8 æ 2 1 ö ç x - çè x ø ifadesinin açılımında ortadaki terimi bulunuz æ ö ç x - = (x -x ) çè xø dir. 2n=8 ve n=4 ise ortadaki terim æ 2nö æ8ö - - (x ).( x ) - =.(x ). (-x ) çn 4 è ø 2 n 1n ! =.x.x = 70.x = 70.x (8-4)!.4! (- x -14 ) =- ( ).(x - ) = x - olduğuna dikkat ediniz. 1 Cevap: 70.x 4 9 æ 1 ö ç x+ çè x 3 ø ifadesinin açılımında sondan 2. terimi bulunuz. 9 æ 1 ö ç x + = (x + x ) çè 3 x ø -3 9 dir. n r+1=2 9 r+1=2 ve r=8 ænö æ9ö x.(x ) = x.(x ) çr 8 è ø n-r -3 r =9.x 1.x 24 =9.x 1 24 =9.x 23 9 = 23 x Cevap: 9 23 x 10 æ 2 1ö ç x + çè x ø ifadesinin açılımında x 2 li terimin katsayısını bulunuz æ ö ç x + = (x + x ) çè x ø ænö æ10ö.(x ).(x ) = x.x çr r è ø 2 n-r -1 r r -r æ10ö æ10ö =.x = x ç r r è ø 20-2r-r 20-3r x 2 li terimin katsayısı istendiğinden x 20 3r =x 2 ise 20 3r=2 ve r=6 æ10ö æ ö - 2 x = x ç6 6 è ø Cevap: æ 10 ö ç çè6 ø 22

20 Binom Açılımı soru 1 8 æ 1ö ç x - çè xø ifadesinin açılımında baştan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? soru 5 8 æ 3 1ö ç x + çè x ø ifadesinin açılımında sondan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? æ8 8 8 A) ö æ ö æ ö x B) x C) x èç ø èç ø èç ø æ8ö æ8ö D) - x E) - x 2 2 èç ø èç ø A) B) C) D) 8x E) 8x x x x 3 4 soru 2 7 æ 1 ö ç x+ çè ifadesinin açılımında baştan 4. terim aşağıdaki- x ø lerden hangisidir? soru 6 9 æ 2 1 ö ç x + çè x 3 ø ifadesinin açılımında sondan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? æ7 7 7 A) ö æ ö æ ö x B) x C) x èç ø èç ø èç ø æ7ö æ 2 7ö D) x E) x 3 3 èç ø èç ø soru 3 æ 1 ö ç 2x + çè x ø 10 ifadesinin açılımında ortadaki terim aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI æ A) ö æ ö æ ö x B) x C) è ç7ø è ç7ø è ç7ø x soru 7 7 æ9ö 1 æ9ö 1 D) E) 7 x 7 è ç ø è ç ø x æ 1 ö ç x+ çè x 3 ø ifadesinin açılımında x 3 lü terimin katsayısı kaçtır? A) æ ö æ ö æ ö 2 x B) 2 C) ç5 5 5 è ø x æ10ö æ 4 10ö 4 D) 2 E) 2 x ç4 4 è ø A) æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö B) C) D) E) ç è ø çè ø çè ø çè ø soru 4 soru 8 12 æ 1 ö ç x+ çè x 2 ø ifadesinin açılımında ortadaki terim aşağıdakilerden hangisidir? æ 4 1 ö ç x + çè x 3 ø 12 ifadesinin açılımında x 6 lı terimin katsayısı kaçtır? æ12ö æ12ö 1 æ12ö A) x B) C) x 6 6 x 6 è ç ø è ç ø æ12ö æ 4 12ö 1 D) x E) è ç ø è ç ø x æ A) ö æ ö æ ö æ ö æ ö B) C) D) E) èç ø èç ø èç ø èç ø èç ø 1 A 2 E 3 B 4 B 5 C 6 D 7 A 8 B 23

21 Binom Açılımı Polinom tipinde olmayan n æ 1 ç x + ö çè x ø gibi ifadelerde sabit terimi bulmak için x lerin kuvvetleri toplamını sıfır yapan değerler araştırılır. 6 æ 1 ö ç x+ çè ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulunuz. x ø Uyarı æ 6ö x 6-2r ç r çè ifadesinde x'li terimin olmaması için ø x 6 2r =x 0 =1 olması gerektiğine dikkat ediniz! 6 æ 1 ç x + ö çè xø 6 ifadesinde n=6 dır. æ 1ö -16 ç x + = (x + x ) çè x ø ænö æ6ö æ6ö æ6ö x.(x ).x.(x ) x.x = = x r = r çr çr ç ç è ø è ø è ø è ø n-r -1r 6-r -1r 6-r -r 6-2r 6 2r=0 ise r=3 æ6ö ! 0 x. x 20 3 = = sabit terimdir. (6-3)!.3! Cevap: 20 9 æ 2 3ö ç x + çè x ø ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulunuz ç æ x + ö çè x ø ifadesinde n=9 dur æ ö ç x + = (x + 3.x ) çè x ø ænö æ9ö (x ).(3.x ) = (x ).3.x çr r è ø 2 n-r -1r 2 9-r r -r æ9ö æ9ö = x.x.3 = x.3 çr r è ø çè ø 18-2r -r r 18-3r r 18-3r= 0 Þ r= 6 æ 9ö 9!.x.3 =.3 = 84.3 ç6 è ø (9-6)!.6! Cevap: æ 1 ö ç x+ 3 çè ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulunuz. x ø 15 æ 1 ö x ç + 3 çè x ø x = x ve 1 = x x ifadesinde n=15 dir. 1/ 2-1/ æ 1 ö x ç + = (x + x ) 3 çè x ø 1/ 2-1/ r n-r 3 r 2 15-r 3 æ nö æ15ö (x ).(x ) = (x ).x çr r è ø 15-r 2 r 15-r r r-2r 6 æ15ö æ15ö æ15ö æ15ö = x.x x x = = r = r r x èç ø èç r ø 45-5r r = 0 ise r = æ15ö æ15ö x = ç9 9 è ø Cevap: æ 15 ö ç çè9 ø 24

22 Binom Açılımı soru 1 8 æ 1 ö ç x+ çè ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakiler- x ø den hangisidir? soru 5 9 æ 2 1 ö ç 2x - çè 4 ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakilerden x ø hangisidir? æ A) ö æ ö æ ö æ ö æ ö B) C) D) E) èç ø èç ø èç ø èç ø èç ø æ9 9 9 A) ö æ ö æ ö 2 B) C) èç ø çè ø çè ø 3 6 æ9ö æ9ö D) - 2 E) èç ø 3 6 soru 2 æ 2 ö ç 3x + çè x ø 10 ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 æ 1 ö x - ç çè x ø 16 ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakilerden hangisidir? æ10ö æ10ö æ10ö A) 6 B) 3 C) 2 ç5 5 5 è ø çè ø æ10ö æ10ö 3 D) E) ç è ø A) æ ö æ ö æ ö B) C) ç è ø æ16ö æ16ö D) - E) - ç8 9 è ø soru 3 6 æ 1 ö ç x+ çè x 2 ø ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 æ 1ö ç x - çè xø 12 ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakilerden hangisidir? æ A) ö æ ö æ ö æ ö æ ö B) C) D) E) èç ø èç ø èç ø èç ø èç ø æ A) ö æ ö æ ö B) C) è ç ø è ç ø è ç ø æ12ö æ12ö D) - E) èç ø èç ø soru 4 10 æ 2 1 ö ç x + çè 3 ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakilerden x ø hangisidir? soru 8 20 æ ö 3 1 ç x + 3 çè x ø ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakilerden hangisidir? A) æ ö æ ö æ ö B) C) ç4 5 7 è ø æ10ö æ10ö D) E) ç8 9 è ø æ20ö æ20ö æ20ö A) B) C) è ç ø æ20ö æ20ö D) E) èç ø èç ø 1 D 2 A 3 B 4 A 5 E 6 C 7 B 8 E 25

23 Binom Açılımı ( 8 2 x + y) ifadesinin açılımında katsayısı rasyonel terimlerin, katsayıları toplamını bulunuz. 8 + a ç ı l ı m ı n d a k i t e r i m l e r i n k a t s a y ı s ı r a s y o n e l 2n ( 2 x y) olabilmesi için kuvvetlerinin çift olması gerekir. ( 2) biçiminde yani birinci terimin ( æ8ö æ 8 0 8ö æ 6 2 8ö 2x+ y) = ( 2x) y... ( 2x).y ( ç0 2 4 è ø 4 4 2x) y + æ8ö æ8ö + ( 2x) y ( 2x) y ç6 8 è ø Katsayısı rasyonel olan terimlerdir. æ8 ö ç.( 2x).y 1.2 x 0 ç 8 0 = 4 8 katsayısı 2 4 =16 æ8 ö ç.( 2x).y 28.2 x y çè2 ø ç 6 2 = æ8 ö ç.( 2x).y 70.2 x y 4 ç 4 4 = æ8 ö ç.( 2x).y 28.2.x y çè6 ø ç 2 6 = 2 6 æ8 ö ç.( 2x).y 1.y çè8 ø ç 0 8 = 8 katsayısı =224 katsayısı =280 katsayısı 28.2=56 katsayısı 1= Cevap: (x + 2y) ifadesinin açılımında katsayısı rasyonel olan terimlerin, katsayıları toplamını bulunuz. 3 6 (x + 2y) ifadesinde terimlerin katsayısının rasyonel 3 3n olabilmesi için ( 2) biçiminde yani ikinci terimin kuvvetlerinin 3'ün katı olması gerekir. æ6ö æ6ö æ6ö (x + 2y) = x ( 2y)... x ( 2y) x ( 2y) ç0 3 6 è ø çè ø èç ø Katsayısı rasyonel olan terimlerdir. æ6ö ç x ( 2y) 1.x x 0 ç = 6 = 6 æ6ö ç x ( 2y) 20.x.2y 40x y 3 ç = 3 3 = 3 3 katsayısı 1 katsayısı 40 æ6ö ç x ( 2y) 1.2 y 4.y çè6 ø ç = 2 6 = 6 katsayısı Cevap: ( 2+ 2) ifadesinin açılımında katsayısı rasyonel olan kaç terim vardır bulunuz ( 2 + 2) ifadesinde terimlerin katsayısının rasyonel 3 3k 2m olabilmesi için ( 2) ve ( 2) olmalı. Aynı zamanda 3k+2m=10 olmalıdır. 3k+2m=10 şartını sağlayan, (0,5) ve (2,2) ikilileri olduğundan 2 tane rasyonel katsayılı terim vardır. Cevap: 2 26

24 Binom Açılımı soru 1 soru 5 6 ( 3 +1) ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayılı terimler kaç tanedir? 3 8 ( 5x + y) ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayıların toplamı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A) 981 B) 970 C) 954 D) 928 E) 916 soru 2 soru 6 8 (1-5) ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayılı terimler kaç tanedir? 4 6 (a + 2 b) ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayıların toplamı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 27 B) 28 C) 30 D) 31 E) 32 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru ( 2 + 3) ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayılı terimler kaç tanedir? 3 8 ( 3+ 7) ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayılı terimler kaç tanedir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 soru 4 soru 8 (3-4 5) 10 ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayılı terimler kaç tanedir? 4 12 ( 2+ 5) ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayılı terimler kaç tanedir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 1 C 2 E 3 B 4 C 5 A 6 D 7 B 8 D 27

25

26 BİNOM AÇILIMI OLASILIK İSTATİSTİK

27 OLASILIK Olasılık (İhtimal) Günlük hayatta olasılık kavramıyla ilgili, bir madeni paranın tura gelme olasılığı, bir zarın 3 gelme olasılığı, şans oyunlarında kazanma olasılığı gibi ifadelerle çok sık karşılaşırız. Şimdi bu olasılıkların değerlerini bulmayı öğreneceğiz. İlk önce bazı kavramları (matematiksel deney, çıktı ve örneklem uzay) açıklayalım. Bir madeni paranın havaya atılması, tavla oyununda zarın atılması, sayısal lotoda 49 tane numaralı toptan 6 top çekilmesi için yapılan işlemlerden her birine matematiksel deney, gelebilecek sonuçlara da deneyin çıktıları denir. Bir deneyde elde edilebilecek tüm çıktılar kümesine örneklem uzay denir ve E ile gösterilir. Örneklem uzayın herhangi bir elemanına ise örneklem nokta denir. Deney Örneklem Uzay Örneklem Nokta Bir madeni paranın atılması {Y, T} Y, T Bir zarın atılması {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1, 2, 3, 4, 5, 6 1'den 8'e kadar numaralandırılmış bilyeler arasından bir bilye çekilmesi {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 İki tane madeni paranın havaya atılma deneyinde örneklem uzayın eleman sayısını bulunuz. Bir madeni paranın havaya atılma deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı 2 ise, iki madeni paranın havaya atılmasında 2.2=4 üç madeni paranın havaya atılmasında 2.2.2=8 ve n tane madeni paranın havaya atılması deneyinde s(e)=2 n dir. İki madeni paranın havaya atılma deneyinde örneklem uzay E={(Y, Y), (Y, T), (T, Y), (T, T)} ve s(e)=4 bulunur. Örneklem uzayı elemanlarını yazmadan genel çarpım kuralı kullanarak bulabiliriz. s(e) = 2. 2 = 4 bulunur. {Y,T} {Y,T} Cevap: 4 İki tane zarın havaya atılması deneyinde örneklem uzayın eleman sayısını bulunuz. Bir tane zarın havaya atılması deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı 6 ise n tane zarın havaya atılması deneyinde s(e)=6 n dir. Bir zarın havaya atılma deneyinde {1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere 6 durum vardır. O halde iki zarın havaya atılma deneyinde örneklem uzay s(e)=6.6=36 bulunur. Cevap: 36 7 kişinin yanyana fotoğraf çektirme deneyinde örneklem uzayın eleman sayısını bulunuz. İçerisinde 4 kırmızı ve 5 siyah bilye bulunan bir torbadan rastgele iki bilye seçme deneyinde örneklem uzayın eleman sayısını bulunuz. 7 kişi yanyana 7! kadar değişik poz verir. O halde örneklem uzay s(e)=7! dir. Cevap: 7! æ9 9.8 Torbadaki 4+5=9 bilyeden 2'si ö ç = = 36 2 değişik şekilde seçilebileceğinden örneklem uzay s(e)=36 bulunur. 2.1 Cevap: 36 30

28 Olasılık soru 1 soru 5 Bir tane madeni paranın havaya atılma deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır? 6 farklı matematik kitabını yanyana bir rafa dizme deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 A) 6 B) 4! C) 5! D) 6! E) 7! soru 2 soru 6 Üç tane madeni paranın havaya atılma deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır? 12 kişilik bir ailenin yuvarlak masa etrafında oturma deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16 A) 6! B) 10! C) 11! D) 12! E) 13! soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 Bir tane zarın havaya atılma deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır? A) 2 B) 6 C) 12 D) 18 E) 36 İçerisinde 4 mavi ve 6 sarı bilye bulunan bir torbadan rastgele bir bilye seçme deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır? A) 24 B) 12 C) 10 D) 6 E) 4 soru 4 soru 8 Üç tane zarın havaya atılma deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır? A) 6 B) 18 C) 36 D) 108 E) 216 İçerisinde 5 mavi ve 3 kırmızı bilye bulunan bir torbadan rastgele üç bilye seçme deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır? A) 10 B) 21 C) 36 D) 45 E) 56 1 B 2 D 3 B 4 E 5 D 6 C 7 C 8 E 31

29 Olasılık Olay, İmkansız olay, Kesin olay ve Ayrık olaylar Örneklem uzayın herbir alt kümesine olay denir. Boş kümeye imkansız olay, E örneklem uzayına kesin olay denir. Bir örneklem uzayında iki olayın kesişimi boş küme ise bu iki olaya ayrık olaylar denir. Bir zarın havaya atılması deneyinde örneklem uzay E, tek sayı gelmesi olayı A, çift sayı gelmesi olayı B, 6'dan büyük gelmesi olayı C, 0'dan büyük 7'den küçük gelmesi olayı D olsun A, B, C, D, E olaylarını yazınız. Örneklem uzay: E={1, 2, 3, 4, 5, 6} Tek sayı gelmesi olayı: A={1, 3, 5} Çift sayı gelmesi olayı: B={2, 4, 6} A B= olduğu için A ve B ayrık iki olaydır. 6'dan büyük gelmesi olayı: C= C= olduğu için imkansız olay 0'dan büyük 7'den küçük gelmesi olayı: D={1, 2, 3, 4, 5, 6} D={1, 2, 3, 4, 5, 6}=E olduğu için kesin olaydır. İki zar havaya atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 7 olması o- layının eleman sayısını bulunuz. Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 7 olması olayı, A={(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} için s(a)=6 bulunur. Cevap: 6 Bir madeni para 2 kez havaya atılıyor. En az birinin yazı gelmesi olayının eleman sayısını bulunuz. En az bir yazı gelmesi olayı A={(Y, T), (T, Y), (Y, Y)} için s(a)=3 bulunur. Cevap: 3 Bir madeni para 3 kez havaya atılıyor. Paranın iki kez yazı, bir kez tura gelmesi olayının eleman sayısını bulunuz. Paranın iki kez yazı ve bir kez tura gelmesi olayı A olsun. A={(Y, Y, T), (Y, T, Y), (T, Y, Y)} ve s(a)=3 bulunur. Tekrarlı permütasyon kullanarak da eleman sayısını bulabiliriz. Y, Y, T arasındaki sıralama 3! 3 2! = bulunur. Cevap: 3 32

30 Olasılık soru 1 soru 5 Bir zarın havaya atılması deneyinde zarın asal sayı gelmesi olayının elemanları aşağıdakilerden hangisidir? Bir madeni para 2 kez havaya atılıyor. En çok birisinin yazı gelmesi olayı aşağıdakilerden hangisidir? A) {1,2,3,5} B) {2,3,5} C) {3,5} D) {1,3,5} E) {1,2,3} A) {(Y,T), (T,Y), (T,T)} B) {(Y,T), (T,Y), (Y,Y)} C) {(Y,T), (T,T)} D) {(T,Y), (T,T)} E) {(Y,T), (T,Y), (Y,Y), (T,T)} soru 2 soru 6 Bir zarın havaya atılması deneyinde zarın 4 den büyük gelmesi olayı A, 4 den küçük gelmesi olayı B, 7 gelmesi olayı C ve 7 den küçük gelmesi olayı D olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? Bir madeni para 3 kez havaya atılıyor. Paranın bir kez yazı, iki kez tura gelmesi olayının eleman sayısı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) s(a)=2 B) s(b)=3 C) C imkansız olaydır. D) D kesin olaydır. E) A ve B ayrık iki küme değildir. soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 İki zar havaya atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 6 olma olayı aşağıdakilerden hangisidir? Bir madeni para 3 kez havaya atılıyor. Paranın bir kez yazı iki kez tura gelmesi olayı aşağıdakilerden hangisidir? A) {(1,5), (2,4), (3,3)} B) {(3,3)} C) {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} D) {(5,1), (4,2), (3,3)} E) {(1,5), (2,4), (5,1), (4,2)} A) {(Y,T,T)} B) {(Y,T,T), (T,Y,T), (T,Y,Y)} C) {(Y,T,T), (Y,Y,T), (T,T,T)} D) {(Y,T,T), (T,Y,T), (T,T,Y)} E) {(Y,T,T), (T,Y,T)} soru 4 soru 8 İki zar havaya atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 8 olma olayının eleman sayısı kaçtır? Bir madeni para 4 kez havaya atılıyor. Paranın iki kez yazı, iki kez tura gelmesi olayının eleman sayısı kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 4 1 B 2 E 3 C 4 B 5 A 6 C 7 D 8 D 33

31 Olasılık Birbirinden farklı 3 gömlek ile 5 pantolon bir askıya asılıyor. Gömleklerin yanyana gelme olayının eleman sayısını bulunuz. G G G P P P P P Gömlekler yanyana olacağına göre 1 eleman olarak düşünülürse 5 pantolonla birlikte 6 eleman olduğundan 6! şeklinde sıralanabilirler. Gömlekler kendi aralarında 3! şekilde yer değiştirebilir. O halde gömleklerin yanyana gelme olayının eleman sayısı 6!.3! bulunur. Cevap: 6!.3! 5 kız, 5 erkek yuvarlak masa etrafında oturacaktır. İki erkek arasına bir kız gelme olayının eleman sayısını bulunuz. E K E K K E E K K E Yuvarlak masa etrafında 1 kişi sabit tutulduğunda erkek (5 1)!=4!, kızlar 5! şekilde yer değiştirebilir. O halde iki erkek arasına bir kız gelme olayının eleman sayısı 5!.4! bulunur. Cevap: 5!.4! A={0,1,2,3,4} kümesinin elemanları kullanılarak yazılan üç basamaklı sayılardan rastgele biri seçiliyor. Seçilen sayının tek sayı olması olayının eleman sayısını bulunuz = 40 {1,2,3,4} {0,1, 2,3,4} {1,3} O halde üç basamaklı tek sayı olma olayının eleman sayısı 40 bulunur. Cevap: 40 "MARMARA" kelimesindeki harflerle yazılan 7 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimeler arasından seçilen bir kelimenin M ile başlayıp M ile bitmesi olayının eleman sayısını bulunuz. M ile başlayıp M ile biteceğinden geriye kalan A, R, A, R, A 5! harfleri kendi aralarında = 10 değişik şekilde yer değiştirebilir. 3!.2! O halde M ile başlayıp M ile bitme olayının eleman sayısı 10 bulunur. Cevap: 10 34

32 Olasılık soru 1 soru 5 Birbirinden farklı 2 gömlek ile 6 pantolon bir askıya asılıyor. Gömleklerin yanyana gelme olayının eleman sayısı kaçtır? A) 8! B) 2!6! C) 2!7! D) 7! E) 2!.6!.2! A={0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak yazılan üç basamaklı sayılardan rastgele bir sayı seçiliyor. Seçilen sayının çift sayı olması olayının eleman sayısı kaçtır? A) 52 B) 60 C) 72 D) 90 E) 180 soru 2 soru 6 Birbirinden farklı 5 matematik ile 4 geometri kitabı bir rafa yanyana diziliyor. Aynı tür kitapların yanyana gelme olayının eleman sayısı kaçtır? A={0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak yazılan üç basamaklı sayılardan rastgele bir sayı seçiliyor. Seçilen sayının rakamları farklı olması olayının eleman sayısı kaçtır? A) 9! B) 4!5! C) 4!6! D) 5!5! E) 4!5!2! A) 36 B) 48 C) 52 D) 60 E) 100 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 6 erkek, 6 kız yuvarlak masa etrafında oturacaktır. İki erkek arasına bir kız gelme olayının eleman sayısı kaçtır? A) 5!.6! B) 5!5! C) 6!6! D) 11! E) 12! "SERDAR" kelimesindeki harflerle yazılan 6 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimeler arasından seçilen bir kelimenin S ile başlayıp D ile bitmesi olayının eleman sayısı kaçtır? A) 4 B) 6 C) 12 D) 18 E) 24 soru 4 soru 8 Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan bir aile yuvarlak masa etrafında oturacaktır. Anne ile babanın yanyana oturma olayının eleman sayısı kaçtır? A) 6! B) 5! C) 2!.4!.2! D) 2!.4! E) 2!5! sayısının rakamlarıyla yazılan 6 basamaklı sayılar arasından seçilen bir sayının çift sayı olması olayının eleman sayısı kaçtır? A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 60 1 C 2 E 3 A 4 D 5 D 6 B 7 C 8 C 35

33 Olasılık 6 elemanlı bir kümenin tüm alt kümeleri küçük kartlara yazılarak bir torbaya atılıyor. Torbadan rastgele bir kart seçildiğinde karttaki kümenin 3 elemanlı olması olayının eleman sayısını bulunuz. 6 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı æ 6ö ç = = 20 3 dir Cevap: 20 Bir torbaya 5 kırmızı ve 6 sarı bilye vardır. Torbadan çekilen 3 bilyenin ikisinin kırmızı birinin sarı bilye olması olayının eleman sayısını bulunuz. æ 5 kırmızı bilyeden 2 si 5 ö æ ç, 2 çè 6 sarı bilyeden 1 i 6 ö ø ç 1 çè ø değişik şekilde seçilir. O halde 2 sinin kırmızı 1 inin sarı gelme olayının eleman sayısı æ5öæ6ö = 10.6 = bulunur. çè øèç ø Cevap: 60 Aralarında Ümit'in de bulunduğu 7 kişi arasından seçilen 4 kişinin içinde, Ümit'in bulunması olayının eleman sayısını bulunuz. Grupta Ümit olacağına göre geriye kalan 6 kişi arasından 3 æ6ö kişi = = 20 3 farklı şekilde seçilebilir. ç O halde Ümit'in bulunduğu olay sayısı 20 dir. Cevap: 20 Doğrusal 3 noktadan üçgen meydana gelmez. O halde 7 noktadan seçilen 3 nokta ile oluşan üçgen sayısından, doğrusal noktalardan oluşturduğumuz üçgen sayısını çıkartırsak istenilen üçgen sayısını buluruz. æ 7ö æ4ö æ3ö æ3ö = = 29 ç è ø çè ø èç ø èç ø Cevap: 29 Yukarıdaki şekilde üzerindeki 7 noktadan üç tanesi seçiliyor. Seçilen bu noktaların üçgen oluşturması olayının eleman sayısını bulunuz. 36

34 Olasılık soru 1 soru 5 7 elemanlı bir kümenin tüm alt kümeleri küçük kartlara yazılarak bir torbaya atılıyor. Torbadan rastgele bir kart seçildiğinde karttaki kümenin 2 elemanlı olması olayının eleman sayısı kaçtır? Aralarında Billur'un da bulunduğu 8 kişi arasından seçilen 4 kişinin içinde Billur'un bulunması olayının eleman sayısı kaçtır? A) 70 B) 63 C) 56 D) 45 E) 35 A) 15 B) 21 C) 28 D) 35 E) 36 soru 2 soru 6 6 elemanlı bir kümenin tüm alt kümeleri küçük kartlara yazılarak bir torbaya atılıyor. Torbadan rastgele bir kart seçildiğinde karttaki kümenin en az 2 elemanlı olması olayının eleman sayısı kaçtır? Aralarında Özgür ile Nilüfer'in bulunduğu 10 kişi arasından seçilen 4 kişinin içinde Özgür'ün bulunduğu Nilüfer'in bulunmadığı olayın eleman sayısı kaçtır? A) 28 B) 36 C) 56 D) 70 E) 84 A) 55 B) 57 C) 58 D) 63 E) 64 soru 3 soru 7 Bir torbada 4 kırmızı ve 5 sarı bilye vardır. Torbadan çekilen 2 bilyeden birinin kırmızı birinin sarı bilye olması olayının eleman sayısı kaçtır? A) 9 B) 15 C) 20 D) 28 E) 36 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI Yukarıdaki şekil üzerinde bulunan 8 noktadan 3 tanesi seçiliyor. Seçilen bu noktaların üçgen oluşturması olayının eleman sayısı kaçtır? A) 47 B) 48 C) 49 D) 51 E) 56 soru 4 soru 8 Bir torbada 6 mavi ve 5 sarı bilye vardır. Torbadan çekilen 3 bilyenin ikisinin mavi birinin sarı bilye olması olayının eleman sayısı kaçtır? A) 20 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90 A B C D d 1 d 1 // d 2 E F G H I d 2 Yukarıdaki şekil üzerinde bulunan 9 noktadan 4 tanesi seçiliyor. Seçilen bu noktaların dörtgen oluşturması olayının eleman sayısı kaçtır? A) 126 B) 84 C) 75 D) 60 E) 40 1 B 2 B 3 C 4 D 5 E 6 C 7 A 8 D 37

35 Olasılık Olasılık Fonksiyonu Bir E örneklem uzayının tüm alt kümelerinin kümesi E A olsun. Tanım kümesi E A, değer kümesi [0,1]={x:0 x 1, x R} olmak üzere, P: E A [0,1] biçiminde tanımlanmış ve aşağıdaki özellikleri sağlayan fonksiyona olasılık fonksiyonu denir. A E A ise P(A) reel sayısına A olayının olasılığı denir. 1) 0 P(A) 1 2) P(E)=1 (Kesin olay) 3) A, B E A ve A B= ise P(A B)=P(A)+P(B) dir. Bir deneye ait A olayının olma olasılığı aşağıdakilerden hangisi olamaz? A olayının olma olasılığı 0 P(A) 1 dır. 1 6 > olduğu i ç i n 7 A olayının olma olasılığı P(A) = olamaz. 6 Cevap: E E={a,b,c} ayrık örneklem uzayı veriliyor. Aşağıdakilerden kaç tanesi bir olasılık fonksiyonu belirtir? A) P(a) =, P(b) =, P(c) = B) P(a) =, P(b) =, P(c) = C) P(a) =, P(b) =, P(c) = D) P(a) =, P(b) =, P(c) = E={a,b,c} örneklem uzayında P(a)+P(b)+P(c)=P(E)=1 olmalıdır A) P(a) + P(b) + P(c) = + + = B) P(a) + P(b) + P(c) = + + = C) P(a) + P(b) + P(c) = + + = D) P(a) + P(b) + P(c) = + + = ¹ O halde A, B, C şıkları olasılık fonksiyonu belirtir. Cevap: 3 Bir deney için a ve b gibi iki ayrık sonuç olasıdır. Sonucun a olma olasılığı b olma olasılığının 7 katı olduğuna göre, P(a) ve P(b) kaçtır, bulunuz. Örneklem uzay E={a,b} dir. P(a)=7P(b) ve P(a)+P(b)=1 için P(a)+P(b)=7P(b)+P(b)=1 8P(b)=1 1 P(b) = dir P(b) = için P(a) = 7.P(b) = 7. = bulunur Cevap: 7 1 P(a) =, P(b) =

36 Olasılık soru 1 Bir deneye ait A olayının olma olasılığı aşağıdakilerden hangisi olamaz? soru 5 E={a,b,c} ayrık örneklem uzayı veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi bir olasılık fonksiyonu belirtmez? A) P(a) =, P(b) =, P(c) = B) P(a) =, P(b) =, P(c) = C) P(a) = P(b) =, P(c) = D) P(a) =, P(b) =, P(c) = E) P(a) =, P(b) =, P(c) = soru 2 soru 6 Bir deneye ait A olayının olma olasılığı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) - C) D) E) 2 soru 3 x-1 Bir deneye ait A olayının olma olasılığı P(A) = dir. 5 x tamsayısı kaç farklı değer alır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI F={a,b,c} ayrık örneklem uzayı ve P olasılık fonksiyonudur. 3 1 P(a) =, P(b) = olduğuna göre, P(c) kaçtır? soru 7 Bir deney için a ve b gibi iki ayrık sonuç olasıdır. Sonucun a olma olasılığı b olma olasılığının 4 katı olduğuna göre sonucun b olma olasılığı kaçtır? soru 4 E={a,b,c} ayrık örneklem uzayı veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi bir olasılık fonksiyonu belirtir? A) P(a) =, P(b) =, P(c) = B) P(a) =, P(b) =, P(c) = C) P(a) =, P(b) =, P(c) = D) P(a) =, P(b) =, P(c) = E) P(a) =, P(b) =, P(c) = soru 8 Bir deney için a, b ve c gibi üç ayrık sonuç olasıdır. Sonucun a veya b olma olasılığı 7, b veya c olma olasılığı 3 olduğuna göre, sonucun b olma olasılığı kaçtır? E 2 C 3 D 4 B 5 A 6 E 7 A 8 B 39

37 Olasılık Olasılık Fonksiyonu Özellikleri 1) P( )=0 (imkansız olay) 2) A nın tümleyeni A ı olmak üzere, A olayının gerçekleşme olasılığı P(A), A olayının gerçekleşmeme olasılığı P(A ı ) ise P(A)+P(A ı )=1 dir. 3) A B ise P(A B)=P(A)+P(B) P(A B) dir. 4) A B ise P(A) P(B) dir. 6 kırmızı, 4 mavi bilye arasından rastgele seçilen bir bilyenin siyah olma olasılığı kaçtır, bulunuz. 6 kırmızı, 4 mavi bilye arasında siyah bilye olmadığından siyah bilye seçme olayı imkansız olaydır. O halde P( )=0 bulunur. Cevap: 0 1 Bir A olayının gerçekleşme olasılığı P(A)= olduğuna 4 göre gerçekleşmeme olasılığı P(A ı ) kaçtır, bulunuz. P(A)+P(A ı )=1 olduğundan 1 ý + P(A ) = 1 4 ý 1 3 P(A ) = 1- = bulunur. 4 4 Cevap: 3 4 A ve B, E örneklem uzayında iki olaydır. ý 2 1 P(A )=, P(B)= 5 ve P(A Ç B)= olduğuna göre, P(A B) kaçtır, bulunuz. P(A)+P(A ı )=1 ise 2 P(A) + = 1 1 P(A) = 3 3 P(A B)=P(A)+P(B) P(A B) P(A È B) = + - = = = (4) (3) (1) Cevap: 1 6 A ve B, E örneklem uzayında ayrık olaylardır. ý 1 P ((A È B) ) =, 3 P(A) = olduğuna göre, P(B) kaçtır, bulunuz. A ve B ayrık iki olay olduğuna göre, A B= ve P(A B)=0 dır. P(A B)+P((A B) ı )=1 1 P(A È B) + = 1 için 9 P(A È B) = P(A B)=P(A)+P(B) P(A B) 9 3 = + P(B) = P(B) ise 6 3 P(B) = = bulunur Cevap:

38 Olasılık soru 1 6 sarı, 4 mavi bilye arasından rastgele seçilen bir bilyenin siyah olma olasılığı kaçtır? A) 0 B) C) D) E) soru 5 A ve B, E örneklem uzayında iki olaydır P(A) =, P(B) = ve P(A Ç B) = olduğuna göre, P(A B) kaçtır? soru 2 soru 6 2 Bir A olayının gerçekleşme olasılığı P(A) = olduğuna göre, 7 gerçekleşmeme olasılığı P(A ı ) kaçtır? soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A ve B, E örneklem uzayında iki olaydır. ý 5 1 P(A ) =, P(B) = 8 4 P(A B) kaçtır? ve 7 P(A È B) = olduğuna göre, soru 7 Bir A olayının gerçekleşme olasılığı, gerçekleşmeme olasılığının 9 katı olduğuna göre, gerçekleşmeme olasılığı kaçtır? A ve B, E örneklem uzayında iki olaydır. ý 1 5 P(A ) =, P(B) = ve 4 12 P(A \ B) kaçtır? 11 P(A È B) = olduğuna göre, soru 4 4 Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kız olma olasılığı 11 olduğuna göre, aynı sınıftan seçilen bir öğrencinin erkek olma olasılığı kaçtır? soru 8 A ve B, E örneklem uzayında ayrık olaylardır. ý 1 1 P ((A È B) ) =, P(A) = olduğuna göre, 8 2 P(B) kaçtır? A 2 D 3 A 4 D 5 C 6 B 7 E 8 B 41

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız.

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız. OLASILIK (İHTİMALLER HESABI) Olasılık kavram ı ilk önceleri şans oyunları ile başlamıştır. Örneğin bir oyunda kazanıp kazanmama, bir paranın atılmasıyla tura gelip gelmemesi gibi. Bu gün bu kavramın birçok

Detaylı

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Olasılık Dersin Konusu. Bir kutudaki 7 farklı boncuğun içinden iki tanesi seçiliyor. Buna göre, örneklem uzayının eleman sayısı A) 7 B)! 7. madeni

Detaylı

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 MC www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I 1. Ankra'dan Đstanbul'a giden 10 farklı otobüs, Đstanbul'- dan Edirne'ye giden 6 farklı

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

OLASILIK. ihtimali Seçeneği durumu. Bir zar atma olayı. Basit kesirdir. Tüm durum. Sonuçlardan biri Çıktılardan biri. Diğer sayfaya geçiniz

OLASILIK. ihtimali Seçeneği durumu. Bir zar atma olayı. Basit kesirdir. Tüm durum. Sonuçlardan biri Çıktılardan biri. Diğer sayfaya geçiniz OLASILIK ihtimali Seçeneği durumu Bir zar atma olayı Basit kesirdir. Tüm durum Sonuçlardan biri Çıktılardan biri 1 Soruyu DİKKATLİ OKU, soruyu ANLA, basit örnek kur. Cevabı işaretlemeden öce tekrar soruyu

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK...25

1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK...25 1 İçindekiler 1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON)... 5 2. Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON)...13 3. Bölüm: BİNOM AÇILIMI...21 4. Bölüm: OLASILIK...25 5. Bölüm: FONKSİYONLARIN SİMETRİLERİ VE CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ...37

Detaylı

TEMEL SAYMA KURALLARI

TEMEL SAYMA KURALLARI TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin

Detaylı

ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT

ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK ve İSTATİSTİK ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT Permütasyon. Kazanım : Eşleme, toplama ve çarpma yoluyla sayma yöntemlerini açıklar. 2. Kazanım : n elemanlı

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK

PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK YILLAR 00 00 00 00 00 00 008 009 00 0 ÖSS - - - ÖYS PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK TEMEL SAYMA KURALLARI Örnek ( ) adet hediyeden üçü üç kişiye, her birine birer hediye vermek kaydıyla kaç değişik

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

AÇIK UÇLU SORULAR ÜNİTE 1 VERİ, SAYMA VE OLASILIK. Bölüm 1 TEMEL SAYMA KLURALLARI

AÇIK UÇLU SORULAR ÜNİTE 1 VERİ, SAYMA VE OLASILIK. Bölüm 1 TEMEL SAYMA KLURALLARI ÜNİTE VERİ, SAYMA VE OLASILIK Bölüm TEMEL SAYMA KLURALLARI AÇIK UÇLU SORULAR. A = {0,,, 3, 4, } kümesindeki rakamlar kullanılarak 3 basamaklı rakamları farklı kaç farklı tek sayı yazılabilir? 48. A = {0,,

Detaylı

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır?

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 3.03.0 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem

Detaylı

1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir?

1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? 1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? 9. 4 çocuklu bir aile yan yana poz verecektir. Çocukların soldan sağa doğru boy sırasında olduğu kaç durum

Detaylı

Örnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde,

Örnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde, PERMÜTASYON ( SIRALAMA OLAYI ) Birbirinden farklı n tane nesnenin r tanesinin farklı her dizilişine (sıralanışına) n nesnenin r li permütasyonları denir ve P(n,r)= n! (r n) (n r)! biçim inde gösterilir.

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması

Detaylı

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10. MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

KONTROL TESTİ - 4. 1. Birinci galeride A markasından 4, B markasından 6 araç; ikinci geleride ise A markasından 8, B markasından 4 araç vardır.

KONTROL TESTİ - 4. 1. Birinci galeride A markasından 4, B markasından 6 araç; ikinci geleride ise A markasından 8, B markasından 4 araç vardır. KONTROL TESTİ - 4. Birinci galeride A markasından 4, B markasından 6 araç; ikinci geleride ise A markasından 8, B markasından 4 araç vardır. Bu galerilerden rastgele alınan bir aracın A markasından olduğu

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür.

Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 1 Olasılık Örnekler 1. Bir çantada 4 beyaz 8 siyah top vardır. Bir siyah top çekilmesi olasılığı nedir? Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 2.

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir.

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir. OLASILIK Olasılık belirli bir olayın olabilirliğinin sayısal ölçüsüdür. Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. 17 yy. da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya

Detaylı

OLASILIK LASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık

OLASILIK LASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık 1-1 Click To Edit Master Title Style OLASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık Yrd.Doç.Dr Doç.Dr.. Pınar YILDIRIM Okan Üniversitesi Mühendislik ve Mimarlık Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü 1-2 GİRİŞ Olasılık,

Detaylı

1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ

1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ İçindekiler 1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA)... 10 A. SAYMA KURALLARI... 10 B. FAKTÖRİYEL... 14 C. n ELEMANLI BİR KÜMENİN r Lİ PERMÜTASYONLARI (Dizilişleri)... 17 Ölçme ve Değerlendirme...20 Kazanım Değerlendirme

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

PERMÜTASYON DÜZEY: 1 TEST : P(6, n) = 6! 1. P(6, 2) + P(4, 3)

PERMÜTASYON DÜZEY: 1 TEST : P(6, n) = 6! 1. P(6, 2) + P(4, 3) PERMÜTASYON DÜZEY: 1 TEST : 1 1. P(6, 2) + P(4, 3) işleminin sonucu kaçtır? A) 30 B) 44 C) 50 D) 54 5. P(6, n) = 6! eşitliğini sağlayan n doğal sayılarının kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {7} B)

Detaylı

LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM)

LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM) LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM) Permütasyon Kombinasyon Binom Açýlýmý Bu yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm haklarý bry Birey Eðitim Yayýncýlýk Pazarlama Ltd. Þti. e aittir. Kýsmen de

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

B İ L G İ Tanım: Rasyonel olmayan, yani a b şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayı denir. İrrasyonel sayılar kümesi I harfi ile gösterilir.. Aşağıdakilerden kaç tanesi irrasyonel sayıdır? 4. x 8

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

Temel Matematik Testi - 8

Temel Matematik Testi - 8 Test kodunu sitemizde kullanarak sonucunuzu öğrenebilir, soruların video çözümlerini izleyebilirsiniz. Test Kodu: D008. u testte 40 soru vardır.. Tavsiye edilen süre 40 dakikadır. Temel Matematik Testi

Detaylı

ÖSYM M TEMEL MATEMATİK TESTİ YGS / MAT. Diğer sayfaya geçiniz. 1. Bu testte 40 soru vardır.

ÖSYM M TEMEL MATEMATİK TESTİ YGS / MAT. Diğer sayfaya geçiniz. 1. Bu testte 40 soru vardır. TEMEL MATEMATİK TESTİ 2011 - YGS / MAT M9991.01001 1. Bu testte 40 soru vardır. 1. 2. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. işleminin sonucu kaçtır?

Detaylı

TEOG. Kümeler KÜME VE ELEMAN KAVRAMI ÖRNEK KÜMELERİN GÖSTERİMİ ÖRNEK ÖRNEK KÜMENİN ELEMAN SAYISI ÖRNEK 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ 1.

TEOG. Kümeler KÜME VE ELEMAN KAVRAMI ÖRNEK KÜMELERİN GÖSTERİMİ ÖRNEK ÖRNEK KÜMENİN ELEMAN SAYISI ÖRNEK 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ 1. TEOG ümeler ÜE VE EEN VRI Elemanları belirlenebilen, belirli bir anlam taşıyan canlı ya da cansız varlıkların veya kavramların oluşturduğu topluluğa küme denir. ümeyi oluşturan varlıkların, kavramların

Detaylı

OLASILIK OLASILIK ÇÖZÜM: Örnek Uzay: A= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, s(e)= 6 İstenilen Olay: A = { }, s(a) = 0 Zarın 8 gelme olasılığı:

OLASILIK OLASILIK ÇÖZÜM: Örnek Uzay: A= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, s(e)= 6 İstenilen Olay: A = { }, s(a) = 0 Zarın 8 gelme olasılığı: OLASILIK OLASILIK OLASILIK Değişik renkteki topların bulunduğu bir kutudan rastgele alınan bir topun hangi renkte olduğu, bir para atıldığında yazı veya tura gelmesi... v.b gibi sonucu kesin olarak bilinmeyen

Detaylı

10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları

10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları 10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter OLASILIK Altın Kalem Yayınları KOŞULLU OLASILIK Bas t olayların olma olasılıklarını 9. sınıf matemat k konularında şlem şt k. Ş md yapacağımız se daha karmaşık olayların

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler 9. SINIF SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması,

Detaylı

KARTEZYEN ÇARPIM VE BAĞINTI

KARTEZYEN ÇARPIM VE BAĞINTI KRTEZYEN ÇRPIM VE BĞINTI 3. Bölüm TEST -2 1. β={(x,y):2x+y=8,x,y N} şeklinde tanımlı β bağıntısı kaç elemanlıdır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 6. R'de bağıntısı yansıyan ise a.b kaçtır? ) 18 B) 9 C) 2 D) 18

Detaylı

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA 00 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. + + 5 0 + + + 0 40 toplamının sonucu kaçtır? A) 5 B) C) D) E) + 4. a,b,c Z olmak üzere, a + b + c 7 = 6 ise, a.b.c kaçtır? A) 6 B) 8 C) D) 6 E) 8 y.

Detaylı

MOMENTLER, ÇARPIKLIK VE BASIKLIK. Moment: Bir değişkenin gözlemleri X 1, X 2, X 3, X 4.X n olsun. Bu serinin r inci momenti:

MOMENTLER, ÇARPIKLIK VE BASIKLIK. Moment: Bir değişkenin gözlemleri X 1, X 2, X 3, X 4.X n olsun. Bu serinin r inci momenti: MOMENTLER, ÇARPIKLIK VE BASIKLIK Moment: Bir değişkenin gözlemleri X 1, X 2, X 3, X 4.X n olsun. Bu serinin r inci momenti: İşletme no 1 2 3 4 5 Arazi genişliği (da) 5 10 4 3 8 Aritmetik ortalamaya göre

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

TEMEL SAYMA. Bill Gates

TEMEL SAYMA. Bill Gates Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 9 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 GİRİŞ Olasılık Teorisi: Matematiğin belirsizlik taşıyan

Detaylı

İçindekiler. 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler Denk ve Eşit Kümeler Kümelerde Birleşim ve Kesişim

İçindekiler. 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler Denk ve Eşit Kümeler Kümelerde Birleşim ve Kesişim İçindekiler 1. Küme Kavramı...6-7 2. Kümelerin Gösterimi...8-15 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler... 16-17 4. lt Küme Kavramı... 18-27 5. Denk ve şit Kümeler... 28-29 6. Kümelerde irleşim ve Kesişim... 31-41

Detaylı

SERĠMYA 2011 - IX. ULUSAL ĠLKÖĞRETĠM MATEMATĠK OLĠMPĠYATI. 9. Ulusal. serimya. İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI.

SERĠMYA 2011 - IX. ULUSAL ĠLKÖĞRETĠM MATEMATĠK OLĠMPĠYATI. 9. Ulusal. serimya. İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI. Sayfa1 9. Ulusal serimya İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 2011 Sayfa2 1. Bir ABCD konveks dörtgeninde AD 10 cm ise AB CB? m( Dˆ ) 90, ( ˆ) 150 0 0 m C ve m Aˆ m Bˆ ( ) ( ) olarak

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur?

2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur? Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.

Detaylı

Olimpiyat Eğitimi CANSU DENEME SINAVI

Olimpiyat Eğitimi CANSU DENEME SINAVI TUSİ Ortaöğretim Öğretmenleri için Olimpiyat Eğitimi CANSU DENEME SINAVI 15.11.2013-29.11.2013 2 1. Bir x sayısı x = 1 1 + x eşitliğini sağlamaktadır. x 1 x hangisidir? in en basit hali aşağıdakilerden

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 11. MATEMATİK YARIŞMASI 7. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 11. MATEMATİK YARIŞMASI 7. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI . a,b,c negatif tam sayılardır. (a + 3).b b< c< a ve; = 6 olduğuna c göre, a+b+c toplamının en büyük değeri 4. 50 kişinin çalıştığı bir şirkette 25 kişi İngilizce, 6 kişi Fransızca biliyor. En çok bir

Detaylı

KPSS 2009 GY-(31) YAPRAK TEST SORU KONU ANLATIM SAYFA SORU x olduğuna göre, x kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

KPSS 2009 GY-(31) YAPRAK TEST SORU KONU ANLATIM SAYFA SORU x olduğuna göre, x kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 KPSS 009 GY-(31) YAPRAK TEST-17 19. SORU 31. x 1 3 9 1 x 1 7 9 olduğuna göre, x kaçtır? A) 3 B) C) 1 19. x 6 x 1 3 9 olduğuna göre, x kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) E) 1 D) 1 E) KONU ANLATIM SAYFA 194 15. SORU

Detaylı

2011 YGS MATEMATİK Soruları

2011 YGS MATEMATİK Soruları 0 YGS MTEMTİK Soruları. + + ) 8 ) 0 ) 6 ) E). a = 6 b = ( a)b olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? ) ) 6 ) 9 ) 8 E). (.0 ) ) 0, ) 0, ) 0, ) E) 6. x = y = 8 z = 6 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK YGS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI CEVAP ANAHTARI RASYONEL SAYILAR ONDALIK SAYILAR ÖRNEKLER (Sayfa -) 6 ) ) ) 6) ; ; ) 0) ) ; 8 ) ) ) 0 ) 6 0 0 8) 0 ) 0) 6 ) 8 ) 8 8) ) ; 6

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak kıl YGS MTEMTİK ENEME SINVI 040- Ortak kıl dem ÇİL yhan YNĞLIŞ arış EMİR elal İŞİLİR eniz KRĞ Engin POLT Ersin KESEN Eyüp ULUT Fatih SĞLM Fatih TÜRKMEN Hakan KIRI Kadir LTINTŞ Köksal YİĞİT Muhammet

Detaylı

18. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A

18. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A KDENİZ ÜNİVERSİTESİ 18. ULUSL NTLY MTEMTİK OLİMPİYTLRI BİRİNCİ ŞM SORULRI SINV TRİHİ VESTİ:30 MRT 2013 - Cumartesi 10.00-12.30 Bu sınav 25 sorudan oluşmaktadır vesınav süresi 150 dakikadır. SINVL İLGİLİ

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org 0. Sınıf M AT E M AT İ K Mehmet ŞAHİN www.mehmetsahinkitaplari.org M.E.B Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı nın 0..009 tarih ve 4 sayılı kararı ve 00-0 öğretim yılından itibaren uygulanacak programa göre

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak kıl YGS MTEMTİK ENEME SINVI 1 01511-1 Ortak kıl dem ÇİL li an GÜLLÜ yhan YNĞLIŞ arbaros GÜR arış EMİR eniz KRĞ Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN Hatice MNKN Kemal YIN Köksal YİĞİT Muhammet YVUZ Oral YHN

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır?

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır? KÜMELER 2 İKİ KÜMENİN BİRLEŞİMİ A ve B gibi iki kümeden, A' ya veya B' ye ait olan elemanlardan oluşan yeni kümeye A ile B' nin birleşimi denir ve AUB ile gösterilir. Bu gösterim A birleşim B di ye okunur.

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

TEST - 1 ÖDEV TESTİ elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin. 1. A = {1, {2}, {1, 2}, 3, Ø} kümesi için aşağıdakilerden

TEST - 1 ÖDEV TESTİ elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin. 1. A = {1, {2}, {1, 2}, 3, Ø} kümesi için aşağıdakilerden 10 Kümeler ÖDEV TESTİ TEST - 1 6. 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin en az 6 elemanlı kaç alt kümesi vardır? ) 24 ) 28 C) 37 D) 38 E) 42 1. = {1,

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK OLASILIK

BİYOİSTATİSTİK OLASILIK BİYOİSTATİSTİK OLASILIK B Doç. Dr. Mahmut AKBOLAT *Küme Kavramı: Küme, tek bir isim altında toplanabilen ve benzer özellik gösteren birimlerin meydana getirdiği topluluk olarak tanımlanabilir. Küme içinde

Detaylı

Türkiye Ulusal Matematik Olimpiyatları DENEME SINAVI. 4. Deneme

Türkiye Ulusal Matematik Olimpiyatları DENEME SINAVI. 4. Deneme Türkiye Ulusal Matematik Olimpiyatları Birinci Aşama Zor Deneme Sınavı 11 Haziran 2016 DENEME SINAVI 4. Deneme Soru Sayısı: 32 Sınav Süresi: 210 dakika Başarılar Dileriz... Page 1 of 9 DENEME SINAVI (4.

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

Diğer sayfaya geçiniz. 2013 - YGS / MAT TEMEL MATEMATİK TESTİ. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır?

Diğer sayfaya geçiniz. 2013 - YGS / MAT TEMEL MATEMATİK TESTİ. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? TEMEL MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. 3. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? A)

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =?

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =? TANIM MUTLAK DEĞER Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z ise x y x z z y =? Bir x reel sayısına karşılık gelen noktanın sayı doğrusunda 0 (sıf ır) a olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve x şeklinde

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

YGS MATEMATİK DENEMESİ-1

YGS MATEMATİK DENEMESİ-1 YGS MATEMATİK DENEMESİ- Mustafa SEVİMLİ Fatih KAYGISIZ İbrahim KUŞÇUOĞLU Aydın DANIŞMAN ÇAKABEY ANADOLU LİSESİ Serkan TÜRKER Nejdet KİRPİ Şenay TAĞ GÜRLER Taner KAHYA Çakabey Anadolu Lisesi 0-0 . x olduğuna

Detaylı

4. Bir tabakta 3 elma, 4 armut ve 5 portakal vardır.

4. Bir tabakta 3 elma, 4 armut ve 5 portakal vardır. Saymanın Temel İlkesi Birinci elemanı A 1 kümesinden, ikinci elemanı A 2 kümesinden,..., n inci elemanı A n kümesinden alınmak koşulu ile; kaç değişik sıralı n li yazılabilir? 1. Aşağıdaki problemleri,

Detaylı

1. Bir ayrıtının uzunluğu 1 olan küpler üst üste konularak tüm alanı A olan bir kare dik prizma yapılırsa, A sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

1. Bir ayrıtının uzunluğu 1 olan küpler üst üste konularak tüm alanı A olan bir kare dik prizma yapılırsa, A sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? 1. Bir ayrıtının uzunluğu 1 olan küpler üst üste konularak tüm alanı A olan bir kare dik prizma yapılırsa, A sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? a) 12 b) 16 c) 26 d) 36 e) 44 2. Aşağıdakilerden hangisi

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları

9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları 9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter KÜMELER - 1 Altın Kalem Yayınları Küme: B rb r nden farklı nesneler n oluşturduğu topluluklar küme şekl nde adlandırılır. Kümey oluşturan nesneler n y bel rlenm ş

Detaylı

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA - 4 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. 4? 4 4. A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 8 C) D)

Detaylı

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No:

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No: LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - GEOMETRİ TESTİ ÖRNEK Ad Soyad : T.C. Kimlik No: Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının Metin Yayınları nın yazılı

Detaylı

TEMEL MATEMATİK TESTİ

TEMEL MATEMATİK TESTİ TEMEL MTEMTİK TESTİ 1. u testte 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 010 YGS / MT 1. 0, 0,0 0,. + 1 ) 1 7 0 ) 1 + 1 1.. ( a+ 1) ( a )

Detaylı

ÇARPANLAR VE KATLAR I sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden A) B) C) D)

ÇARPANLAR VE KATLAR I sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden A) B) C) D) 8. Sınıf MATEMATİK ÇARPANLAR VE KATLAR I. Aşağıdakilerden hangisi 6 nın çarpanlarından biridir? A) 3 B) 6 C) 8 D) TEST. 360 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden hangisidir? A) 3. 3.

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIFLAR TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIFLAR TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. Kartezyen koordinat sisteminde, K(3, ) noktasının y 3=0 doğrusuna göre simetriği olan nokta aşağıdakilerden hangisidir?. A ve B tamsayı olmak üzere, A

Detaylı

barisayhanyayinlari.com

barisayhanyayinlari.com YGS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLLERİ SERİSİ 1 ISBN 978-605-84147-0-9 Baskı Tarihi Ağustos 015 Baskı Yeri: İstanbul YAYINLARI İletişim tel: (538) 90 50 19 barisayhanyayinlari.com Benim için her şey bir

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

BÖLÜM 2 : OLASILIK. Olasılığın gelişmesinde 4 anahtar sözcük önemli rol oynamaktadır. -Örneklem sonucu sample outcome

BÖLÜM 2 : OLASILIK. Olasılığın gelişmesinde 4 anahtar sözcük önemli rol oynamaktadır. -Örneklem sonucu sample outcome ÖLÜM : OLSLK Giriş: Olasılık kavramına. Fermat ile. ascal ın büyük katkıları olmuştur. ascal hesap makinesini geliştirerek Fermat ile birlikte olasılığın temellerini oluşturmuştur. Daha sonra Rus matematikçi

Detaylı

PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ

PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ PROJENİN AMACI: Projede, permütasyon sorularını çözmek genellikle öğrencilere karışık geldiğinden, binom açılımı kullanmak suretiyle sorulara

Detaylı