BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,"

Transkript

1 BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı n doğal sayı olmak üzere, (x+y) n ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar; (x+y) n ifadesi 1. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar 2. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar (x+y) 0 1 æ0ö ç = 1 0 (x+y) æ1ö ç = 1 0 æö 1 ç = 1 1 (x+y) æ2ö ç = 1 0 æ 2ö ç = 2 1 æ 2ö ç = 1 2 (x+y) æ3ö ç = 1 0 æ3ö ç = 3 1 æ3ö ç = 3 2 æ3ö ç = 1 3 Yukarıdaki tablo (x+y) 4, (x+y) 5,... kuvvetleri için devam ettirildiğinde birinci sütun da elde edilen katsayılar ile ikinci sütunda elde edilen katsayıların aynı olduğu görülür. O halde; (x+y) n ifadesinin açılımındaki katsayıları pascal üçgeni yerine, æ nö ænö ænö æ n ö ænö,,..., ç0 1 2 n 1 n è ø çè ø çè ø çè - ø çè ifadeleri ile bulabiliriz. Birinci terim x in kuvvetin den başlayıp azalarak, ikinci terim ø y nin kuvveti sıfırdan başlayıp artarak yukarıda yerleştirildiğinde, ænö ænö ænö æ n ö ænö (x + y) = x.y x y x y... x y x y n 1 n èç ø èç ø èç ø èç - ø èç ø n n o n-1 1 n n-1 o n elde edilir. (x+y) 2 açılımını bulunuz. (x+y) 2 ifadesinde n=2 dir. æ2 2 2 (x+y) 2 açılımında ö æ ö æ ö,, èç ø èç ø èç ø katsayılardır. x ve y nin kuvvetleri yukarıdaki ifadede yerlerine yerleştirildiğinde, æ 2 2ö æ 2 o 2ö æ 1 1 2ö o 2 (x + y) = x y x y + + x y ç0 1 2 è ø çè ø çè ø =1.x 2 y o +2.xy+1.x o y 2 =x 2 +2xy+y 2 Cevap: x 2 +2xy+y 2 (2x 3y) 3 açılımını bulunuz. (2x 3y) 3 ifadesinde n=3 tür. æ (2x 3y) açılımında ö æ ö æ ö æ ö,,, èç ø èç ø èç ø èç ø işareti belirlenmemiş katsayılardır. 2x ve 3y nin kuvvetlerini açılımda yerleştirelim. æ 0 3ö æ 3 0 3ö 2 1 (2x - 3y) = (2x) ( 3y) - + (2x) (-3y) ç0 1 è ç ø è ø æ3ö æ3ö + (2x).( 3y) - + (2x) (-3y) ç2 3 è ç ø è ø =1.8x x 2 ( 3y) x.9y ( 27y 3 ) =8x 3 36x 2 y+54xy 2 27y 3 Cevap: 8x 3 36x 2 y+54xy 2 27y 3

2 Binom Açılımı soru 1 (x+y) 4 ifadesinin açılımında katsayılar aşağıdakilerden hangisidir? æ4ö æ4ö æ4ö æ4ö æ4ö æ4ö æ4ö A),, B),,, çè 1ø èç 2ø èç 3ø çè 1ø èç 2ø è ç3ø è ç4ø æ4ö æ4ö æ4ö æ4ö æ C),, D) 4ö æ4ö æ4ö,,, çè0 ø è ç1ø è ç2ø çè0 ø çè1 ø è ç2ø è ç3ø æ 4ö æ4ö æ4ö æ4ö æ4ö E),,,, çè0 ø è ç1ø è ç2ø è ç3ø è ç4ø soru 5 (3x+1) 3 ifadesinin açılımı aşağıdakilerden hangisidir? A) x 3 +3x 2 +3x+1 B) 9x 3 +9x 2 +3x+1 C) 27x 3 +9x 2 +3x+1 D) 27x 3 +27x 2 +3x+1 E) 27x 3 +27x 2 +9x+1 soru 2 soru 6 (a+b) 5 ifadesinin açılımında katsayılar aşağıdakilerden (a 2b) 3 ifadesinin açılımı aşağıdakilerden hangisidir? hangisidir? A) a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 B) a 3 +6a 2 b+6ab 2 +8b 3 æ 5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö A),,,, B),,,,, çè0 ø è ç1ø è ç2ø è ç3ø è ç4ø è ç0ø è ç1ø è ç2ø è ç3ø è ç4ø è ç5ø æ 5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö C),,,, D),,, çè1 ø è ç2ø è ç3ø è ç4ø è ç5ø è ç1ø è ç2ø è ç3ø è ç4ø æ 5ö æ5ö E), çè0 ø è ç5ø soru 3 æ 6ö æ6ö æ6ö æ6ö æ6ö æ6ö æ6ö,,,,,, çè0 ø çè1 ø çè2 ø çè3 ø è ç4 ø çè5 ø è ç6ø Açılımındaki katsayıları yukarıdaki gibi olan ifade aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) (a+b) 6 B) (x+y) 5 C) (a b) 4 D)(x y) 7 E) (x+y) 3 soru 4 (x+y) n açılımındaki katsayıları æ 8ö æ8ö æ8ö æ8ö æ8ö æ8ö æ8ö æ8ö æ8ö,,,,,,,, è ç0ø è ç1ø è ç2ø è ç3ø è ç4ø è ç5ø è ç6ø è ç7ø è ç8ø olduğuna göre, n kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 5KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI C) a 3 +6a 2 b+12ab 2 +8b 3 D) a 3 6a 2 b+12ab 2 8b 3 E) a 3 6a 2 b 12ab 2 8b 3 soru 7 (2x 1) 4 ifadesinin açılımı aşağıdakilerden hangisidir? A) 16x 4 +32x 3 +24x 2 +8x+1 B) 16x 4 32x 3 +24x 2 8x+1 C) 16x 4 32x 3 24x 2 8x 1 D) 16x 4 +4x 3 +6x 2 +4x+1 E) x 4 4x 3 +6x 2 4x+1 soru 8 (5x+2y) 8 ifadesinin açılımındaki son terim aşağıdakilerden hangisi olabilir? æ 8ö æ8ö æ8ö A) (5x) (2y) B) (5x) (2y) C) (5x) (2y) è ç8ø è ç8ø è ç8ø æ8ö æ8ö D) (5x) (2y) E) (5x) (2y) çè8ø çè8ø E 2 B 3 A 4 C 5 E 6 D 7 B 8 C

3 Binom Açılımı æ n n ö æ n 0 n ö n n n-1 1 æ ö 1 n-1 æ ö 0 n (x + y) = x y x y... x y x y çè0 ø çè1 ø çèn- 1 ø çènø n+ 1 tane Yukarıdaki açılımda görüldüğü gibi (x+y) n ifadesinin açılımında n+1 tane terim vardır. Ayrıca açılımdaki x ve y nin kuvvetleri sırasıyla incelendiğinde, æ nö xy n 0 kuvvetler toplamı n+0=n ç çè0 ø ænö x ç çè1 ø ænö x ç çè2 ø... ç n-1 1 y ç n-2 y 2 kuvvetler toplamı n 1+1=n kuvvetler toplamı n 2+2=n ænö x y ç çèn ø ç 0 n kuvvetler toplamı 0+n=n olduğu görülür. (x+y) n açılımında her terimdeki x ve y nin kuvvetleri toplamı n dir. (x+y) 7 ifadesinin açılımında kaç terim olduğunu bulunuz. (x+y) n ifadesinin açılımında n+1 terim olduğundan (x+y) 7 ifadesinin açılımında, 7+1=8 terim vardır. Cevap: 8 (2x 3y) 6 ifadesinin açılımında kaç terim olduğunu bulunuz. (2x 3y) 6 ifadesinde n=6 dır. 6+1=7 terim vardır. Cevap: 7 (x+y) n =...+A.x 4.y olduğuna göre, n kaçtır bulunuz. (x+y) n açılımındaki her terimdeki x ve y nin kuvvetleri toplamı n olduğundan, Ax 4 y 3 den n=4+3=7 Cevap: 7 (a+2b) 10 =...+K.a 5.b m +... olduğuna göre, m kaçtır bulunuz. (a+b) 10 açılımında her terimdeki a ve b nin kuvvetleri toplamı 10 olduğundan, K.a 5 b m den 5+m=10 m=5 Cevap: 5 6

4 Binom Açılımı soru 1 (x y) 4 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 soru 5 (2a+10b) n2 1 ifadesinin açılımında 9 terim olduğuna göre, n kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 9 soru 2 (a+b) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? soru 6 (x+y) n =...+Ax 5 y olduğuna göre, n kaçtır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 soru 3 æx y ö ç + çè3 4 ø 12 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 soru 4 (5x+7y) m ifadesinin açılımında 11 terim olduğuna göre, m kaçtır? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 7KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 (4a+3b) n =...+B.a 4 b olduğuna göre, n kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 soru 8 (6x+y) n =...+K.x 5 m.y m olduğuna göre, n kaçtır? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 1 C 2 B 3 D 4 B 5 A 6 E 7 D 8 B

5 Binom Açılımı (ax+by) n gibi ikili ifadelerin açılımında katsayılar toplamını bulmak için x ve y ye 1 değerleri verilip (ax+by) n ifadesinin aldığı değer bulunur. Bu yöntem ikili, üçlü ifadelerin tümünde uygulanabilir. æn ö æ (x y) x y n ö æ x y... n ö æ x y nö + = x y èç 0ø èç 1ø èç n-1ø èç nø n n 0 n n-1 0 n olduğundan, x=1 ve y=1 için (1+1) n =2 n katsayılar toplamını verir. Polinom tipindeki ifadelerin n. kuvvetlerinin açılımlarındaki sabit terimi bulmak için ise değişkenlere sıfır(0) değeri verilir. (2x+3y) 7 ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bulunuz. æ 7 ö æ 7ö æ 7ö (2x + 3y) = (2x).(3y) (2x) (3y) (2x) (3y) è ç0ø è ç1ø è ç7ø açılımından katsayıları bulup toplamlarını hesaplamak güç olduğundan, x=1 ve y=1 değerlerini ifadede yerlerine yazalım. ( ) 7 =5 7 katsayılar toplamıdır. Cevap: æ ö ç 3x ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bu- çè y ø lunuz. x=1, y=1 için, æ ç ö = (3-5) = (- 2) =-2 çè 1 ø Katsayılar toplamı 2 9 dur. Cevap: 2 9 (2x 2 +3y z) 5 ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bulunuz. x=1, y=1 ve z=1 için, ( ) 5 =(2+3 1) 5 =4 5 Katsayılar toplamı 4 5 dir. Cevap: 4 5 (5x 2) 6 ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulunuz. x=0 için, (5.0 2) 6 =( 2) 6 =2 6 Sabit terim 2 6 dır. Cevap: 2 6 8

6 Binom Açılımı soru 1 (x+2y) 5 ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır? A) 1 B) 2 5 C) 3 5 D) 4 5 E) 5 5 soru 5 (x+y 3z) 7 ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır? A) 1 B) 0 C) 1 D) 2 7 E) 3 7 soru 2 (5a+3b) 6 ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır? A) 2 6 B) 2 12 C) 2 15 D) 2 16 E) 2 18 soru 6 (2x+y+6z) 5 ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır? A) 3 12 B) 3 10 C) 3 9 D) 3 8 E) 3 6 soru 3 (4x 3y) 10 ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır? A) 1 B) 3 10 C) 4 10 D) 7 10 E) 8 10 soru 4 9 æ 2 5ö ç 5a - ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır? çè bø A) 5 9 B) C) 1 D) 0 E) 1 9KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 (5x 2y) 15 ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır? A) 0 B) 2 15 C) 3 15 D) 5 15 E) 1 soru 8 (5x+3y 4) 8 ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır? A) 4 8 B) 0 C) 1 D) 3 8 E) C 2 E 3 A 4 D 5 A 6 B 7 A 8 E

7 Binom Açılımı æ nö æ (x y) x y nö æ x y... n ö æ x y nö + = x y è ç0 ø çè1 ø çèn- 1 ø çènø n n 0 n n-1 0 n açılımında, Baştan 1. terim Baştan 2. terim Baştan 3. terim Baştan n+1. terim æ nö ç x y 0 æ nö ç x 1 æ nö ç x 2... n 0 n-1 1 n-2 2 æ nö ç x y n 0 n y y Terimlerin katsayıları ile kuvvetleri arasındaki ilişki dikkatle incelendiğinde, æn n r r Baştan r+1. terimin ö x - ç.y r ifadesi ile bulunduğu görülür. (x+y) 7 ifadesinin açılımında baştan 3. terimi bulunuz. (x+y) 7 ifadesinde n=7 dir. Baştan 3. terim istendiğinden, r+1=3 ise r=2 bulunur. æ nö x n-r y r ç r ifadesinde n=7 ve r=2 değerleri yerlerine konulduğunda, æ7ö 7! x.y =. x.y = 21x y ç2 è ø (7-2)!.2! Cevap: 21x 5 y 2 (x y) 6 ifadesinin açılımında baştan 4. terimi bulunuz. (x y) 6 ifadesinde n=6 dır. Baştan 4. terim istendiğinden, r+1=4 ise r=3 bulunur. ænö æ n r r 6ö ! 3 3 x.( y) - = x.(- y ) = x.(-y ) çr 3 è ø è ç ø (6-3)!. 3! 3 3 =-20x y Cevap: 20x 3 y 3 (2a+3b) 8 ifadesinin açılımında baştan 3. terimi bulunuz. (2a+3b) 8 ifadesinde n=8 dir. r+1=3 ise r=2 bulunur. ænö æ8ö (2a).(3b) = (2a).(3b) ç r 2 è ø èç ø n-r r ! =.(2a).(3b) = 28.2.a.3.b (8-2)!. 2! = a.b Cevap: a 6.b 2 10

8 Binom Açılımı soru 1 soru 5 (x+y) 5 ifadesinin açılımındaki baştan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? (x+3y) 6 ifadesinin açılımındaki baştan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? A) 5x 2 y 3 B) 5x 4 y C) 5x 3 y 2 D) 5x 2 y 3 E) 5xy 4 A) 540x 2 y 4 B) 540x 3 y 3 C) 540x 4 y 2 D) 135x 3 y 3 E) 135x 4 y 2 soru 2 soru 6 (a+b) 7 ifadesinin açılımındaki baştan 4. terim aşağıdakilerden hangisidir? (x 2y) 7 ifadesinin açılımındaki baştan 5. terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 21a 3 b 4 B) 21a 4 b 3 C) 28a 3 b 4 D) 35a 4 b 3 E) 35a 3 b 4 A) B) C) D) E) soru 3 (x y) 8 ifadesinin açılımındaki baştan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? A) 8x 7 y B) 28x 7 y C) 8x 7 y D) 28x 7 y E) 56x 6 y 2 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 (5a+2b) 8 ifadesinin açılımındaki baştan 3. terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? æ8 8 8 A) ö æ ö æ ö 5.2 B).5.2 C) èç ø èç ø èç ø æ8ö æ8ö D) 5.2 E) èç ø èç ø soru 4 soru 8 (a b) 9 ifadesinin açılımındaki baştan 9. terim aşağıdakilerden hangisidir? (3a+4b) 10 ifadesinin açılımındaki baştan 5. terim aşağıdakilerden hangisidir? A) 9ab 8 B) 9a 2 b 7 C) 36ab 8 D) 36ab 8 E) 9ab A) æ ö æ ö 3 4 a.b B) 3 4 a.b ç 4 4 è ø æ10ö æ10ö C) 3 4 a.b D) 3 4 a.b ç 4 5 è ø æ10 E) ö 3 4 a.b ç B 2 D 3 C 4 A 5 E 6 E 7 C 8 B 11

9 Binom Açılımı (x 2 +y) 5 ifadesinin açılımındaki baştan 3. terimi bulunuz. (x 2 +y) 5 ifadesinde n=5 dir. r+1=3 ise r=2 æ nö æ5ö (x ).(y) = (x ).y ç r 2 è ø 2 n-r r ! =.(x ).y (5-2)!.2! 6 2 = 10x.y Baştan 3. terim 10x 6 y 2 dir. Cevap: 10x 6 y 2 (x 3 y 2 ) 6 ifadesinin açılımındaki baştan 4. terimi bulunuz. (x 3 y 2 ) 6 ifadesinde n=6 dır. r+1=4 ise r=3 æ nö æ6ö (x ).( y ) - = (x ).(-y ) ç r 3 è ø 3 n-r 2 r ! =.(x ).(-y ) (6-3)!.3! 9 6 =- 20x y Baştan 4. terim 20.x 9.y 6 tür. Cevap: 20.x 9.y 6 (2x 2 +5y 3 ) 7 ifadesinin açılımındaki baştan 6. terimin katsayısını bulunuz. (2x 2 +5y 3 ) 7 ifadesinde n=7 dir. r+1=6 ise r=5 æ nö æ7ö (2x ).(5y ) =.(2x ).(5y ) ç r 5 è ø 2 n-r 3 r ! =.(2x ).(5y ) (7-5)!.5! = 21.2.x.5.y = x.y Baştan 6. terimin katsayısı tir. Cevap: (x 3 3y 2 ) 8 ifadesinin açılımındaki baştan 4. terimin katsayısını bulunuz. (x 3 3y 2 ) 8 ifadesinde n=8 dir. r+1=4 ise r=3 æ nö æ8ö.(x ).( 3y ) - = (x ).(-3y ) ç r 3 è ø 3 n-r 2 r æ8 ö æ8 ö = (x ) ( 3y ) - = x.(-3).y 3 3 èç ø èç ø æ8 ö =-.3.x y ç æ8 ö Baştan 4. terimin katsayısı: ç 3 æ ö Cevap: 8 - ç 3 çè3 ø 3 12

10 Binom Açılımı soru 1 soru 5 (x+y 2 ) 4 ifadesinin açılımındaki baştan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? (3x 2 +y 2 ) 6 ifadesinin açılımındaki baştan 4. terim aşağıdakilerden hangisidir? A) 4x 3 y B) 4x 3 y 2 C) 4x 3 y 3 D) x 4 y 2 E) x 3 y 4 A) x 6 y 6 B) x 4 y 8 C) x 6 y 6 D) 20x 4 y 8 E) 20x 8 y 4 soru 2 soru 6 (a 2 +b 3 ) 5 ifadesinin açılımındaki baştan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? (5x 3 +2y 2 ) 10 ifadesinin açılımındaki baştan 10. terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 6.a 6.b 6 B) 6.a 4.b 9 C) 10.a 4.b 9 D) 10.a 6.b 6 E) 10a 7.b 6 A) B) C) D) E) soru 3 (a b 2 ) 7 ifadesinin açılımındaki baştan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 (x 2 4y 3 ) 8 ifadesinin açılımındaki baştan 3. terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 21.a 5.b 4 B) 21.a 4.b 6 C) 21.a 3.b 6 D) 35.a 5.b 4 E) 35a 4.b 6 æ8 8 8 A) ö æ ö æ ö 2 B) 2 C) èç ø çè ø æ8ö æ8ö D) - 2 E) èç ø 3 4 soru 4 soru 8 (a 3 b 3 ) 5 ifadesinin açılımındaki baştan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? (3x 4 5y 2 ) 12 ifadesinin açılımındaki baştan 4. terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 5a 9.b 6 B) 5a 9.b 3 C) 5a 12.b 3 D) 5a 9.b 3 E) 5a 12.b 3 æ12ö æ12ö æ12ö A) 3.5 B) 3.5 C) ç4 4 4 è ø çè ø æ12ö æ12ö D) E) èç ø èç ø B 2 D 3 A 4 C 5 A 6 B 7 B 8 E 13

11 Binom Açılımı 5 terim var æ 4 4ö æ 4 0 4ö æ 3 1 4ö æ 2 2 4ö æ 1 3 4ö 0 4 (x+ y) = x y x y x y x y x y ç0 ç1 ç2 ç3 ç4 è ø è ø è ø è ø è ø ortadaki terim 7 terim var æ 6 6ö æ 6 0 6ö æ 5 1 6ö æ 4 2 6ö æ 3 3 6ö æ 2 4 6ö æ 1 5 6ö 0 6 (x+ y) = x y x y x y x y x y x y x y ç0 ç1 ç2 ç3 ç4 ç5 ç6 è ø è ø è ø è ø è ø è ø è ø ortadaki terim Yukarıdaki örneklerde görüldüğü gibi, (x+y) 2n ifadesinin açılımındaki ortadaki terim æ ö ç n 2n.x n y n ifadesi ile bulunur. (x+y) 8 ifadesinin açılımında ortadaki terimi bulunuz. (x+y) 8 ifadesinde 2n=8 ise n=4 æ 2nö ç xy n n n ifadesinden, æ8ö 8! x y =. x y = 70x y ç4 è ø (8-4)!. 4! x 4 y 4 açılımda ortadaki terimdir. Cevap: 70x 4 y 4 (2x+3y) 6 ifadesinin açılımında ortadaki terimi bulunuz. (2x+3y) 6 ifadesinde 2n=6 ise n=3 æ2nö æ6ö æ6ö æ6ö (2x) (3y) (2x) (3y) 2 x 3 y = = = 8.27.x y çn è ø èç ø èç ø èç ø n n Cevap: æ 6 ö ç 8.27.x y çè3 ø 3 3 (x 3 +y 2 ) 10 ifadesinin açılımında ortadaki terimi bulunuz. (x 3 +y 2 ) 10 ifadesinde 2n=10 ise n=5 æ10ö æ10ö (x ).(y ) =.x.y ç5 5 è ø Cevap: æ 10 ö ç x.y çè5 ø (x 2 +y 4 ) 2n ifadesinin açılımında ortadaki terimde x 12 li terim olduğuna göre, n kaçtır, bulunuz. (x 2 +y 4 ) 2n ifadesinin ortadaki terimi, æ2nö æ 2 n 4 n 2nö 2n 4n (x ).(y ) = x.y dir. çn n è ø èç ø 14 x 2n =x 12 ise 2n=12 ve n=6 Cevap: 6

12 Binom Açılımı soru 1 soru 5 (a+b) 4 ifadesinin açılımında ortadaki terim aşağıdakilerden hangisidir? (x 2 +y) 6 ifadesinin açılımında ortadaki terim aşağıdakilerden hangisidir? A) æ ö æ ö æ ö ab B) a b C) a b ç2 2 2 è ø è ç ø è ç ø æ4ö æ 3 4ö D) a b E) ab ç2 2 è ø æ6 6 6 A) ö æ ö æ ö x y B) x y C) x y èç ø çè ø æ6ö æ 6 6 6ö 6 D) x y E) x y 3 3 èç ø èç ø soru 2 soru 6 (x y) 6 ifadesinin açılımında ortadaki terim aşağıdakilerden hangisidir? (x 2 +y 3 ) 10 ifadesinin açılımında ortadaki terim aşağıdakilerden hangisidir? æ6 6 6 A) ö æ ö æ ö x y B) x y C) x y èç ø çè ø æ6ö æ6ö D) - x y E) - x y 3 3 èç ø èç ø A) æ ö æ ö æ ö x y B) x y C) x y ç5 5 5 è ø çè ø æ10ö æ10ö D) x y E) x y ç5 5 è ø soru 3 (3x+5y) 8 ifadesinin açılımında ortadaki terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 (x 3 +y 4 ) 2n ifadesinin açılımında ortadaki terimde x 12 li terim olduğuna göre, n kaçtır? A) æ ö æ ö æ ö 3 5 B) 3 5 C) 3 5 ç4 4 4 è ø èç ø èç ø æ8ö æ8ö D) x y E) x y 6 6 èç ø èç ø A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 soru 4 12 æ x ö ç 2x + çè ifadesinin açılımında ortadaki terimin katsayısı 2 ø aşağıdakilerden hangisidir? æ A) ö æ ö æ ö 2 B) 2 C) èç ø èç ø èç ø æ12ö æ12ö D) 2 E) 6 6 èç ø èç ø soru 8 (x 4 +2y 2 ) n ifadesinin açılımında ortadaki terimde y 10 lu terim olduğuna göre, n kaçtır? A) 5 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12 1 B 2 D 3 A 4 E 5 B 6 C 7 A 8 C 15

13 Binom Açılımı Baþtan 4. terim æ 4 4ö æ 4 0 4ö æ 3 4ö æ 2 2 4ö æ 1 3 4ö 0 4 (x + y) = x y x y x y x y x y (5 terim var) ç0 ç1 ç2 ç3 ç4 è ø è ø è ø è ø è ø Sondan 2. terim Baþtan 5. terim æ (x y) ö æ ö x y æ 4 1 5ö æ 3 2 5ö æ 2 3 5ö æ 1 4 5ö = + ç0 ç1 x y + x y + x y x y + x y (6 terim var) è ø è ø ç2 ç3 ç4 ç5 è ø è ø è ø è ø Sondan 2. terim æn n r r Yukarıdaki örneklerden de görüleceği gibi sondan (n r+1).terim, ö x - ç.y r dir. (x+y) 6 ifadesinin açılımında sondan 3. terimi bulunuz. (x+y) 6 ifadesinde n=6 dır. Sondan 3. terim istendiğinden, n- r+ 1= 3 æ nö ç x r 6 - r+ 1= 3 n-r r ifadesinde n=6 ve r=4 değerleri yerlerine konulduğunda, y r= 4 æ 6ö 6! x.y =.xy = 15xy ç4 è ø (6-4)!.4! bulunur. Cevap: 15x 2 y 4 (3x 2y) 7 ifadesinin açılımında sondan 2. terimi bulunuz. (3x 2y) 7 ifadesinde n=7 dir. Sondan 2. terim istendiğinden, n r+1=2 ise 7 r+1=2 r=6 æ nö æ7ö - - (3x) ( 2y) - = (3x).(- 2y) = 7.(3x) (-2y) çr 6 è ø n r r = x.y 6 bulunur. Cevap: x.y 6 (5x 3 y 4 ) 10 ifadesinin açılımında sondan 2. terimi bulunuz. (5x 3 y 4 ) 10 ifadesinde n=10 dur. Sondan 2. terim istendiğinden, n r+1=2 ise 10 r+1=2 r=9 ænö æ10ö (5x ).( y ) - =.(5x ).(-y ) çr 9 è ø 3 n-r = x y =-50.x y Cevap: 50.x 3.y 36 16

14 Binom Açılımı soru 1 soru 5 (x+y) 5 ifadesinin açılımında sondan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? (a 3 +b 3 ) 9 ifadesinin açılımında sondan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? A) x 2 y 3 B) 5x 4 y C) 5x 3 y 2 D) 5x 2 y 3 E) 5xy 4 æ9 9 9 A) ö æ ö æ ö a.b B) a.b C) a.b èç ø èç ø èç ø æ9ö æ9ö D) a.b E) a.b 7 7 èç ø èç ø soru 2 soru 6 (x y) 6 ifadesinin açılımında sondan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? (2x 2 +3y 2 ) 10 ifadesinin açılımında sondan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? A) 6xy 5 B) 6x 2 y 4 C) 6x 3 y 3 D) 6xy 5 E) 6x 2 y A) æ ö æ ö æ ö xy B) 2.3xy C) 2xy ç8 8 9 è ø çè ø æ10ö æ10ö D) 2.3.x y E) 2.3.x y ç9 9 è ø soru 3 (a+2b) 7 ifadesinin açılımında sondan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 (x 4 y 5 ) 11 ifadesinin açılımında sondan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? æ7 7 7 A) ö æ ö æ ö 2.a.b B) 2.a.b C) 2.a b èç ø èç ø èç ø æ7ö æ7ö D) 2.a b E) 2 a.b 5 5 èç ø èç ø æ11ö æ11ö æ11ö A) - x y B) x y C) - - x y ç9 9 9 è ø çè ø æ11ö æ11ö D) x y E) x y ç9 9 è ø soru 4 soru 8 (5a b) 8 ifadesinin açılımında sondan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? (4x 3 +2y 5 ) 12 ifadesinin açılımında sondan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? æ8 8 8 A) ö æ ö æ ö 5.a.b B) 5.a.b C) 5.a.b èç ø èç ø èç ø æ8ö æ8ö D) - 5.a b E) - 5.a. b ç6 7 è ø èç ø A) æ ö æ ö æ ö x y B) 2 x y C) x y ç è ø çè ø æ12ö æ12ö D) 2 x y E) x y 9 9 èç ø èç ø E 2 A 3 D 4 B 5 C 6 E 7 A 8 B 17

15 Binom Açılımı (a+b) 6 ifadesinin açılımında b 4 lü terimin katsayısını bulunuz. (a+b) 6 ifadesinde n=6 dır. æ nö æ6ö a.b = a.b çr r è ø èç ø n-r r 6-r r b r =b 4 ise r=4 olur. æ 6ö 6!.a.b =. a b ç4 è ø (6-4)!.4! =15a 2 b 4 b 4 lü terimin katsayısı 15 dir. Cevap: 15 (2a+5b) 8 ifadesinin açılımında a 2 li terimin katsayısını bulunuz. (2a+5b) 8 ifadesinde n=8 dir. æ nö æ8ö (2a). (5b) = (2a). (5b) çr r è ø n-r r 8-r r æ8ö = ç 2.a.5.b r 8-r 8-r r r æ8ö = ç 2.5.a.b r a 8 r =a 2 ise 8 r=2 r=6 dır. n=8 ve r=6 olduğundan, 8-r r 8-r r æ8ö æ8ö.2.5.a.b =.2.5.a.b ç6 6 è ø olduğundan, a 2 æ li terimin katsayısı 8ö ç 6 dır. Cevap: æ 8 ö ç.2.5 çè6 ø 2 6 (x 2 y 3 ) 10 ifadesinin açılımında y 12 li terimin katsayısını bulunuz. (x 2 y 3 ) 10 ifadesinde n=10 dur. ænö æ10ö (x ).( y ) - = (x ).(-y ) çr r è ø 2 n-r 3 r 2 10-r 3 r æ10ö = ç x. ( - 1). y r y 3r =y 12 ise 3r=12 r=4 tür. n=10 ve r=4 olduğundan, 20-2r r 3r æ10ö æ10ö.x.( 1).y - = x.y ç4 4 è ø olduğundan, Cevap: æ 10 ö ç çè4 ø 18

16 Binom Açılımı soru 1 (x+y) 5 ifadesinin açılımında y 3 lü terimin katsayısı kaçtır? A) 8 B) 10 C) 12 D) 15 E) 20 soru 5 (3a+2b) 7 ifadesinin açılımında b 2 li terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) æ ö æ ö æ ö 3.2 B) 3.2 C) 3.2 ç4 4 2 è ø èç ø èç ø æ7ö æ7ö D) 3.2 E) 3.2 ç2 2 è ø soru 2 (a+b) 8 ifadesinin açılımında b 6 lı terimin katsayısı kaçtır? A) 14 B) 21 C) 28 D) 35 E) 56 soru 6 (5x 7y) 8 ifadesinin açılımında x 3 lü terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI æ8ö æ8ö æ8ö A) 5.7 B) 5.7 C) ç5 5 5 è ø çè ø æ8ö æ8ö D) E) èç ø èç ø soru 3 (x y) 7 ifadesinin açılımında x 3 lü terimin katsayısı kaçtır? A) 35 B) 38 C) 42 D) 45 E) 48 soru 7 (a 3 +b 4 ) 6 ifadesinin açılımında b 12 li terimin katsayısı kaçtır? A) 10 B) 15 C) 18 D) 20 E) 24 soru 4 (a b) 6 ifadesinin açılımında a 5 li terimin katsayısı kaçtır? A) 6 B) 15 C) 20 D) 20 E) 6 soru 8 (2x 3 +3y 2 ) 7 ifadesinin açılımında y 8 li terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) æ ö æ ö æ ö 2.3 B) 2.3 C) 2.3 ç4 4 5 è ø èç ø èç ø æ7ö æ7ö D) 2.3 E) èç ø èç ø B 2 C 3 A 4 A 5 D 6 E 7 D 8 A 19

17 Binom Açılımı (x+y) n =...+A.x 4 y Yukarıda (x+y) n ifadesinin açılımındaki A katsayısını bulunuz. æ ö ç r n x n-r.y r olduğundan, A.x 4 y 4 teriminde, x 4 =x n r ve y 4 =y r olur. y 4 =y r ise r=4 4=n 4 8=n n=8 ve r=4 olduğundan, æ8ö ! 4 4.(x).(y).x.y 4 = è ç ø (8-4)!.4! A.x 4 y 4 =70.x 4 y 4 A=70 bulunur. Cevap: 70 (2x 3y) n =...+A.x 3 y Yukarıda (2x 3y) n ifadesinin açılımındaki A katsayısını bulunuz. ænö ænö (2x).( 3y) - = 2.x (-3).y çr r è ø çè ø n-r r n-r n-r r r æ ö = ç - r çè ø n 2 n-r.( 3) r.x n-r.y r A katsayýsý A.x 3 y 6 teriminde, x 3 =x n r ve y 6 =y r olur. y 6 =y r ise r=6 x 3 =x n r ise 3=n r 3=n 6 9=n n=9 ve r=6 olduğundan A katsayısı, æ 9ö æ9ö 2.( 3) - = 2.3 ç6 6 è ø Cevap: æ 9 ö ç 2.3 çè6 ø 3 6 (x 3 +y 2 ) n =...+A.x 15.y Yukarıda (x 3 +y 2 ) n ifadesinin açılımındaki A katsayısını bulunuz. ænö ænö (x ).(y ) = x.y çr r è ø 3 n-r 2 r 3n-3r 2r olduğundan, A.x 15 y 6 teriminde, x 15 =x 3n 3r ve y 6 =y 2r olur. y 6 =y 2r ise 6=2r r=3 x 15 =x 3n 3r ise 15=3n 3r 15=3n =3n n=8 n=8 ve r=3 olduğundan, æ 8 ö ç (x ).(y ) = 56.x.y Ax 15.y 6 =56x 15.y 6 A=56 dır. Cevap: 56 20

18 Binom Açılımı soru 1 soru 5 (a+b) n =...+K.a 3 b Yukarıda (a+b) n ifadesinin açılımındaki K katsayısı kaçtır? A) 6 B) 8 C) 10 D) 15 E) 20 (x+3y) n =...+A.x 3 y Yukarıda (x+3y) n ifadesinin açılımındaki A katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) soru 2 (x+y) n =...+A.xy soru 6 (4x 2y) n =...+A.x 5.y Yukarıda (x+y) n ifadesinin açılımındaki A katsayısı kaçtır? A) 1 B) 7 C) 21 D) 28 E) 35 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI Yukarıda (4x 2y) n ifadesinin açılımındaki A katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? æ A) ö æ ö æ ö.2 B).2 C) èç ø èç ø èç ø soru æ12ö æ12ö D) -.2 E) èç ø èç ø (x+y) n =...+A.x 4 y Yukarıda (x+y) n ifadesinin açılımındaki A katsayısı kaçtır? (x 2 +y 2 ) n =...+A.x 6.y Yukarıda (x 2 +y 2 ) n ifadesinin açılımındaki A katsayısı kaçtır? A) 84 B) 96 C) 108 D) 115 E) 126 A) 6 B) 15 C) 20 D) 24 E) 30 soru 4 (a b) n =...+K.a 2 b 9 ifadesinin açılımındaki A katsayısı kaçtır? soru 8 (x 4 +y 3 ) n =...+A.x 12.y Yukarıda (x 4 +y 3 ) n ifadesinin açılımındaki A katsayısı kaçtır? A) 11 B) 55 C) 33 D) 44 E) 55 A) 21 B) 35 C) 42 D) 48 E) 56 1 C 2 B 3 E 4 E 5 A 6 D 7 C 8 B 21

19 Binom Açılımı 7 æ 1 ö ç x+ çè ifadesinin açılımında baştan 3. terimi bulunuz. x ø 7 æ 1ö ç x + = (x + x ) çè x ø -17 dir. Baştan 3. terim istendiğine göre, r+1=3 ise r=2 dir. ænö æ7ö (x).(x ) = x.(x ) çr 2 è ø n-r -1r ! =.x.x = 21.x = 21.x (7-2)!.2! Cevap: 21.x 3 8 æ 2 1 ö ç x - çè x ø ifadesinin açılımında ortadaki terimi bulunuz æ ö ç x - = (x -x ) çè xø dir. 2n=8 ve n=4 ise ortadaki terim æ 2nö æ8ö - - (x ).( x ) - =.(x ). (-x ) çn 4 è ø 2 n 1n ! =.x.x = 70.x = 70.x (8-4)!.4! (- x -14 ) =- ( ).(x - ) = x - olduğuna dikkat ediniz. 1 Cevap: 70.x 4 9 æ 1 ö ç x+ çè x 3 ø ifadesinin açılımında sondan 2. terimi bulunuz. 9 æ 1 ö ç x + = (x + x ) çè 3 x ø -3 9 dir. n r+1=2 9 r+1=2 ve r=8 ænö æ9ö x.(x ) = x.(x ) çr 8 è ø n-r -3 r =9.x 1.x 24 =9.x 1 24 =9.x 23 9 = 23 x Cevap: 9 23 x 10 æ 2 1ö ç x + çè x ø ifadesinin açılımında x 2 li terimin katsayısını bulunuz æ ö ç x + = (x + x ) çè x ø ænö æ10ö.(x ).(x ) = x.x çr r è ø 2 n-r -1 r r -r æ10ö æ10ö =.x = x ç r r è ø 20-2r-r 20-3r x 2 li terimin katsayısı istendiğinden x 20 3r =x 2 ise 20 3r=2 ve r=6 æ10ö æ ö - 2 x = x ç6 6 è ø Cevap: æ 10 ö ç çè6 ø 22

20 Binom Açılımı soru 1 8 æ 1ö ç x - çè xø ifadesinin açılımında baştan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? soru 5 8 æ 3 1ö ç x + çè x ø ifadesinin açılımında sondan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? æ8 8 8 A) ö æ ö æ ö x B) x C) x èç ø èç ø èç ø æ8ö æ8ö D) - x E) - x 2 2 èç ø èç ø A) B) C) D) 8x E) 8x x x x 3 4 soru 2 7 æ 1 ö ç x+ çè ifadesinin açılımında baştan 4. terim aşağıdaki- x ø lerden hangisidir? soru 6 9 æ 2 1 ö ç x + çè x 3 ø ifadesinin açılımında sondan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? æ7 7 7 A) ö æ ö æ ö x B) x C) x èç ø èç ø èç ø æ7ö æ 2 7ö D) x E) x 3 3 èç ø èç ø soru 3 æ 1 ö ç 2x + çè x ø 10 ifadesinin açılımında ortadaki terim aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI æ A) ö æ ö æ ö x B) x C) è ç7ø è ç7ø è ç7ø x soru 7 7 æ9ö 1 æ9ö 1 D) E) 7 x 7 è ç ø è ç ø x æ 1 ö ç x+ çè x 3 ø ifadesinin açılımında x 3 lü terimin katsayısı kaçtır? A) æ ö æ ö æ ö 2 x B) 2 C) ç5 5 5 è ø x æ10ö æ 4 10ö 4 D) 2 E) 2 x ç4 4 è ø A) æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö B) C) D) E) ç è ø çè ø çè ø çè ø soru 4 soru 8 12 æ 1 ö ç x+ çè x 2 ø ifadesinin açılımında ortadaki terim aşağıdakilerden hangisidir? æ 4 1 ö ç x + çè x 3 ø 12 ifadesinin açılımında x 6 lı terimin katsayısı kaçtır? æ12ö æ12ö 1 æ12ö A) x B) C) x 6 6 x 6 è ç ø è ç ø æ12ö æ 4 12ö 1 D) x E) è ç ø è ç ø x æ A) ö æ ö æ ö æ ö æ ö B) C) D) E) èç ø èç ø èç ø èç ø èç ø 1 A 2 E 3 B 4 B 5 C 6 D 7 A 8 B 23

21 Binom Açılımı Polinom tipinde olmayan n æ 1 ç x + ö çè x ø gibi ifadelerde sabit terimi bulmak için x lerin kuvvetleri toplamını sıfır yapan değerler araştırılır. 6 æ 1 ö ç x+ çè ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulunuz. x ø Uyarı æ 6ö x 6-2r ç r çè ifadesinde x'li terimin olmaması için ø x 6 2r =x 0 =1 olması gerektiğine dikkat ediniz! 6 æ 1 ç x + ö çè xø 6 ifadesinde n=6 dır. æ 1ö -16 ç x + = (x + x ) çè x ø ænö æ6ö æ6ö æ6ö x.(x ).x.(x ) x.x = = x r = r çr çr ç ç è ø è ø è ø è ø n-r -1r 6-r -1r 6-r -r 6-2r 6 2r=0 ise r=3 æ6ö ! 0 x. x 20 3 = = sabit terimdir. (6-3)!.3! Cevap: 20 9 æ 2 3ö ç x + çè x ø ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulunuz ç æ x + ö çè x ø ifadesinde n=9 dur æ ö ç x + = (x + 3.x ) çè x ø ænö æ9ö (x ).(3.x ) = (x ).3.x çr r è ø 2 n-r -1r 2 9-r r -r æ9ö æ9ö = x.x.3 = x.3 çr r è ø çè ø 18-2r -r r 18-3r r 18-3r= 0 Þ r= 6 æ 9ö 9!.x.3 =.3 = 84.3 ç6 è ø (9-6)!.6! Cevap: æ 1 ö ç x+ 3 çè ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulunuz. x ø 15 æ 1 ö x ç + 3 çè x ø x = x ve 1 = x x ifadesinde n=15 dir. 1/ 2-1/ æ 1 ö x ç + = (x + x ) 3 çè x ø 1/ 2-1/ r n-r 3 r 2 15-r 3 æ nö æ15ö (x ).(x ) = (x ).x çr r è ø 15-r 2 r 15-r r r-2r 6 æ15ö æ15ö æ15ö æ15ö = x.x x x = = r = r r x èç ø èç r ø 45-5r r = 0 ise r = æ15ö æ15ö x = ç9 9 è ø Cevap: æ 15 ö ç çè9 ø 24

22 Binom Açılımı soru 1 8 æ 1 ö ç x+ çè ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakiler- x ø den hangisidir? soru 5 9 æ 2 1 ö ç 2x - çè 4 ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakilerden x ø hangisidir? æ A) ö æ ö æ ö æ ö æ ö B) C) D) E) èç ø èç ø èç ø èç ø èç ø æ9 9 9 A) ö æ ö æ ö 2 B) C) èç ø çè ø çè ø 3 6 æ9ö æ9ö D) - 2 E) èç ø 3 6 soru 2 æ 2 ö ç 3x + çè x ø 10 ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 æ 1 ö x - ç çè x ø 16 ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakilerden hangisidir? æ10ö æ10ö æ10ö A) 6 B) 3 C) 2 ç5 5 5 è ø çè ø æ10ö æ10ö 3 D) E) ç è ø A) æ ö æ ö æ ö B) C) ç è ø æ16ö æ16ö D) - E) - ç8 9 è ø soru 3 6 æ 1 ö ç x+ çè x 2 ø ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 æ 1ö ç x - çè xø 12 ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakilerden hangisidir? æ A) ö æ ö æ ö æ ö æ ö B) C) D) E) èç ø èç ø èç ø èç ø èç ø æ A) ö æ ö æ ö B) C) è ç ø è ç ø è ç ø æ12ö æ12ö D) - E) èç ø èç ø soru 4 10 æ 2 1 ö ç x + çè 3 ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakilerden x ø hangisidir? soru 8 20 æ ö 3 1 ç x + 3 çè x ø ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakilerden hangisidir? A) æ ö æ ö æ ö B) C) ç4 5 7 è ø æ10ö æ10ö D) E) ç8 9 è ø æ20ö æ20ö æ20ö A) B) C) è ç ø æ20ö æ20ö D) E) èç ø èç ø 1 D 2 A 3 B 4 A 5 E 6 C 7 B 8 E 25

23 Binom Açılımı ( 8 2 x + y) ifadesinin açılımında katsayısı rasyonel terimlerin, katsayıları toplamını bulunuz. 8 + a ç ı l ı m ı n d a k i t e r i m l e r i n k a t s a y ı s ı r a s y o n e l 2n ( 2 x y) olabilmesi için kuvvetlerinin çift olması gerekir. ( 2) biçiminde yani birinci terimin ( æ8ö æ 8 0 8ö æ 6 2 8ö 2x+ y) = ( 2x) y... ( 2x).y ( ç0 2 4 è ø 4 4 2x) y + æ8ö æ8ö + ( 2x) y ( 2x) y ç6 8 è ø Katsayısı rasyonel olan terimlerdir. æ8 ö ç.( 2x).y 1.2 x 0 ç 8 0 = 4 8 katsayısı 2 4 =16 æ8 ö ç.( 2x).y 28.2 x y çè2 ø ç 6 2 = æ8 ö ç.( 2x).y 70.2 x y 4 ç 4 4 = æ8 ö ç.( 2x).y 28.2.x y çè6 ø ç 2 6 = 2 6 æ8 ö ç.( 2x).y 1.y çè8 ø ç 0 8 = 8 katsayısı =224 katsayısı =280 katsayısı 28.2=56 katsayısı 1= Cevap: (x + 2y) ifadesinin açılımında katsayısı rasyonel olan terimlerin, katsayıları toplamını bulunuz. 3 6 (x + 2y) ifadesinde terimlerin katsayısının rasyonel 3 3n olabilmesi için ( 2) biçiminde yani ikinci terimin kuvvetlerinin 3'ün katı olması gerekir. æ6ö æ6ö æ6ö (x + 2y) = x ( 2y)... x ( 2y) x ( 2y) ç0 3 6 è ø çè ø èç ø Katsayısı rasyonel olan terimlerdir. æ6ö ç x ( 2y) 1.x x 0 ç = 6 = 6 æ6ö ç x ( 2y) 20.x.2y 40x y 3 ç = 3 3 = 3 3 katsayısı 1 katsayısı 40 æ6ö ç x ( 2y) 1.2 y 4.y çè6 ø ç = 2 6 = 6 katsayısı Cevap: ( 2+ 2) ifadesinin açılımında katsayısı rasyonel olan kaç terim vardır bulunuz ( 2 + 2) ifadesinde terimlerin katsayısının rasyonel 3 3k 2m olabilmesi için ( 2) ve ( 2) olmalı. Aynı zamanda 3k+2m=10 olmalıdır. 3k+2m=10 şartını sağlayan, (0,5) ve (2,2) ikilileri olduğundan 2 tane rasyonel katsayılı terim vardır. Cevap: 2 26

24 Binom Açılımı soru 1 soru 5 6 ( 3 +1) ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayılı terimler kaç tanedir? 3 8 ( 5x + y) ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayıların toplamı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A) 981 B) 970 C) 954 D) 928 E) 916 soru 2 soru 6 8 (1-5) ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayılı terimler kaç tanedir? 4 6 (a + 2 b) ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayıların toplamı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 27 B) 28 C) 30 D) 31 E) 32 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru ( 2 + 3) ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayılı terimler kaç tanedir? 3 8 ( 3+ 7) ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayılı terimler kaç tanedir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 soru 4 soru 8 (3-4 5) 10 ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayılı terimler kaç tanedir? 4 12 ( 2+ 5) ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayılı terimler kaç tanedir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 1 C 2 E 3 B 4 C 5 A 6 D 7 B 8 D 27

25

26 BİNOM AÇILIMI OLASILIK İSTATİSTİK

27 OLASILIK Olasılık (İhtimal) Günlük hayatta olasılık kavramıyla ilgili, bir madeni paranın tura gelme olasılığı, bir zarın 3 gelme olasılığı, şans oyunlarında kazanma olasılığı gibi ifadelerle çok sık karşılaşırız. Şimdi bu olasılıkların değerlerini bulmayı öğreneceğiz. İlk önce bazı kavramları (matematiksel deney, çıktı ve örneklem uzay) açıklayalım. Bir madeni paranın havaya atılması, tavla oyununda zarın atılması, sayısal lotoda 49 tane numaralı toptan 6 top çekilmesi için yapılan işlemlerden her birine matematiksel deney, gelebilecek sonuçlara da deneyin çıktıları denir. Bir deneyde elde edilebilecek tüm çıktılar kümesine örneklem uzay denir ve E ile gösterilir. Örneklem uzayın herhangi bir elemanına ise örneklem nokta denir. Deney Örneklem Uzay Örneklem Nokta Bir madeni paranın atılması {Y, T} Y, T Bir zarın atılması {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1, 2, 3, 4, 5, 6 1'den 8'e kadar numaralandırılmış bilyeler arasından bir bilye çekilmesi {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 İki tane madeni paranın havaya atılma deneyinde örneklem uzayın eleman sayısını bulunuz. Bir madeni paranın havaya atılma deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı 2 ise, iki madeni paranın havaya atılmasında 2.2=4 üç madeni paranın havaya atılmasında 2.2.2=8 ve n tane madeni paranın havaya atılması deneyinde s(e)=2 n dir. İki madeni paranın havaya atılma deneyinde örneklem uzay E={(Y, Y), (Y, T), (T, Y), (T, T)} ve s(e)=4 bulunur. Örneklem uzayı elemanlarını yazmadan genel çarpım kuralı kullanarak bulabiliriz. s(e) = 2. 2 = 4 bulunur. {Y,T} {Y,T} Cevap: 4 İki tane zarın havaya atılması deneyinde örneklem uzayın eleman sayısını bulunuz. Bir tane zarın havaya atılması deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı 6 ise n tane zarın havaya atılması deneyinde s(e)=6 n dir. Bir zarın havaya atılma deneyinde {1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere 6 durum vardır. O halde iki zarın havaya atılma deneyinde örneklem uzay s(e)=6.6=36 bulunur. Cevap: 36 7 kişinin yanyana fotoğraf çektirme deneyinde örneklem uzayın eleman sayısını bulunuz. İçerisinde 4 kırmızı ve 5 siyah bilye bulunan bir torbadan rastgele iki bilye seçme deneyinde örneklem uzayın eleman sayısını bulunuz. 7 kişi yanyana 7! kadar değişik poz verir. O halde örneklem uzay s(e)=7! dir. Cevap: 7! æ9 9.8 Torbadaki 4+5=9 bilyeden 2'si ö ç = = 36 2 değişik şekilde seçilebileceğinden örneklem uzay s(e)=36 bulunur. 2.1 Cevap: 36 30

28 Olasılık soru 1 soru 5 Bir tane madeni paranın havaya atılma deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır? 6 farklı matematik kitabını yanyana bir rafa dizme deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 A) 6 B) 4! C) 5! D) 6! E) 7! soru 2 soru 6 Üç tane madeni paranın havaya atılma deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır? 12 kişilik bir ailenin yuvarlak masa etrafında oturma deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16 A) 6! B) 10! C) 11! D) 12! E) 13! soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 Bir tane zarın havaya atılma deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır? A) 2 B) 6 C) 12 D) 18 E) 36 İçerisinde 4 mavi ve 6 sarı bilye bulunan bir torbadan rastgele bir bilye seçme deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır? A) 24 B) 12 C) 10 D) 6 E) 4 soru 4 soru 8 Üç tane zarın havaya atılma deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır? A) 6 B) 18 C) 36 D) 108 E) 216 İçerisinde 5 mavi ve 3 kırmızı bilye bulunan bir torbadan rastgele üç bilye seçme deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır? A) 10 B) 21 C) 36 D) 45 E) 56 1 B 2 D 3 B 4 E 5 D 6 C 7 C 8 E 31

29 Olasılık Olay, İmkansız olay, Kesin olay ve Ayrık olaylar Örneklem uzayın herbir alt kümesine olay denir. Boş kümeye imkansız olay, E örneklem uzayına kesin olay denir. Bir örneklem uzayında iki olayın kesişimi boş küme ise bu iki olaya ayrık olaylar denir. Bir zarın havaya atılması deneyinde örneklem uzay E, tek sayı gelmesi olayı A, çift sayı gelmesi olayı B, 6'dan büyük gelmesi olayı C, 0'dan büyük 7'den küçük gelmesi olayı D olsun A, B, C, D, E olaylarını yazınız. Örneklem uzay: E={1, 2, 3, 4, 5, 6} Tek sayı gelmesi olayı: A={1, 3, 5} Çift sayı gelmesi olayı: B={2, 4, 6} A B= olduğu için A ve B ayrık iki olaydır. 6'dan büyük gelmesi olayı: C= C= olduğu için imkansız olay 0'dan büyük 7'den küçük gelmesi olayı: D={1, 2, 3, 4, 5, 6} D={1, 2, 3, 4, 5, 6}=E olduğu için kesin olaydır. İki zar havaya atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 7 olması o- layının eleman sayısını bulunuz. Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 7 olması olayı, A={(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} için s(a)=6 bulunur. Cevap: 6 Bir madeni para 2 kez havaya atılıyor. En az birinin yazı gelmesi olayının eleman sayısını bulunuz. En az bir yazı gelmesi olayı A={(Y, T), (T, Y), (Y, Y)} için s(a)=3 bulunur. Cevap: 3 Bir madeni para 3 kez havaya atılıyor. Paranın iki kez yazı, bir kez tura gelmesi olayının eleman sayısını bulunuz. Paranın iki kez yazı ve bir kez tura gelmesi olayı A olsun. A={(Y, Y, T), (Y, T, Y), (T, Y, Y)} ve s(a)=3 bulunur. Tekrarlı permütasyon kullanarak da eleman sayısını bulabiliriz. Y, Y, T arasındaki sıralama 3! 3 2! = bulunur. Cevap: 3 32

30 Olasılık soru 1 soru 5 Bir zarın havaya atılması deneyinde zarın asal sayı gelmesi olayının elemanları aşağıdakilerden hangisidir? Bir madeni para 2 kez havaya atılıyor. En çok birisinin yazı gelmesi olayı aşağıdakilerden hangisidir? A) {1,2,3,5} B) {2,3,5} C) {3,5} D) {1,3,5} E) {1,2,3} A) {(Y,T), (T,Y), (T,T)} B) {(Y,T), (T,Y), (Y,Y)} C) {(Y,T), (T,T)} D) {(T,Y), (T,T)} E) {(Y,T), (T,Y), (Y,Y), (T,T)} soru 2 soru 6 Bir zarın havaya atılması deneyinde zarın 4 den büyük gelmesi olayı A, 4 den küçük gelmesi olayı B, 7 gelmesi olayı C ve 7 den küçük gelmesi olayı D olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? Bir madeni para 3 kez havaya atılıyor. Paranın bir kez yazı, iki kez tura gelmesi olayının eleman sayısı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) s(a)=2 B) s(b)=3 C) C imkansız olaydır. D) D kesin olaydır. E) A ve B ayrık iki küme değildir. soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 İki zar havaya atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 6 olma olayı aşağıdakilerden hangisidir? Bir madeni para 3 kez havaya atılıyor. Paranın bir kez yazı iki kez tura gelmesi olayı aşağıdakilerden hangisidir? A) {(1,5), (2,4), (3,3)} B) {(3,3)} C) {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} D) {(5,1), (4,2), (3,3)} E) {(1,5), (2,4), (5,1), (4,2)} A) {(Y,T,T)} B) {(Y,T,T), (T,Y,T), (T,Y,Y)} C) {(Y,T,T), (Y,Y,T), (T,T,T)} D) {(Y,T,T), (T,Y,T), (T,T,Y)} E) {(Y,T,T), (T,Y,T)} soru 4 soru 8 İki zar havaya atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 8 olma olayının eleman sayısı kaçtır? Bir madeni para 4 kez havaya atılıyor. Paranın iki kez yazı, iki kez tura gelmesi olayının eleman sayısı kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 4 1 B 2 E 3 C 4 B 5 A 6 C 7 D 8 D 33

31 Olasılık Birbirinden farklı 3 gömlek ile 5 pantolon bir askıya asılıyor. Gömleklerin yanyana gelme olayının eleman sayısını bulunuz. G G G P P P P P Gömlekler yanyana olacağına göre 1 eleman olarak düşünülürse 5 pantolonla birlikte 6 eleman olduğundan 6! şeklinde sıralanabilirler. Gömlekler kendi aralarında 3! şekilde yer değiştirebilir. O halde gömleklerin yanyana gelme olayının eleman sayısı 6!.3! bulunur. Cevap: 6!.3! 5 kız, 5 erkek yuvarlak masa etrafında oturacaktır. İki erkek arasına bir kız gelme olayının eleman sayısını bulunuz. E K E K K E E K K E Yuvarlak masa etrafında 1 kişi sabit tutulduğunda erkek (5 1)!=4!, kızlar 5! şekilde yer değiştirebilir. O halde iki erkek arasına bir kız gelme olayının eleman sayısı 5!.4! bulunur. Cevap: 5!.4! A={0,1,2,3,4} kümesinin elemanları kullanılarak yazılan üç basamaklı sayılardan rastgele biri seçiliyor. Seçilen sayının tek sayı olması olayının eleman sayısını bulunuz = 40 {1,2,3,4} {0,1, 2,3,4} {1,3} O halde üç basamaklı tek sayı olma olayının eleman sayısı 40 bulunur. Cevap: 40 "MARMARA" kelimesindeki harflerle yazılan 7 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimeler arasından seçilen bir kelimenin M ile başlayıp M ile bitmesi olayının eleman sayısını bulunuz. M ile başlayıp M ile biteceğinden geriye kalan A, R, A, R, A 5! harfleri kendi aralarında = 10 değişik şekilde yer değiştirebilir. 3!.2! O halde M ile başlayıp M ile bitme olayının eleman sayısı 10 bulunur. Cevap: 10 34

32 Olasılık soru 1 soru 5 Birbirinden farklı 2 gömlek ile 6 pantolon bir askıya asılıyor. Gömleklerin yanyana gelme olayının eleman sayısı kaçtır? A) 8! B) 2!6! C) 2!7! D) 7! E) 2!.6!.2! A={0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak yazılan üç basamaklı sayılardan rastgele bir sayı seçiliyor. Seçilen sayının çift sayı olması olayının eleman sayısı kaçtır? A) 52 B) 60 C) 72 D) 90 E) 180 soru 2 soru 6 Birbirinden farklı 5 matematik ile 4 geometri kitabı bir rafa yanyana diziliyor. Aynı tür kitapların yanyana gelme olayının eleman sayısı kaçtır? A={0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak yazılan üç basamaklı sayılardan rastgele bir sayı seçiliyor. Seçilen sayının rakamları farklı olması olayının eleman sayısı kaçtır? A) 9! B) 4!5! C) 4!6! D) 5!5! E) 4!5!2! A) 36 B) 48 C) 52 D) 60 E) 100 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 6 erkek, 6 kız yuvarlak masa etrafında oturacaktır. İki erkek arasına bir kız gelme olayının eleman sayısı kaçtır? A) 5!.6! B) 5!5! C) 6!6! D) 11! E) 12! "SERDAR" kelimesindeki harflerle yazılan 6 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimeler arasından seçilen bir kelimenin S ile başlayıp D ile bitmesi olayının eleman sayısı kaçtır? A) 4 B) 6 C) 12 D) 18 E) 24 soru 4 soru 8 Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan bir aile yuvarlak masa etrafında oturacaktır. Anne ile babanın yanyana oturma olayının eleman sayısı kaçtır? A) 6! B) 5! C) 2!.4!.2! D) 2!.4! E) 2!5! sayısının rakamlarıyla yazılan 6 basamaklı sayılar arasından seçilen bir sayının çift sayı olması olayının eleman sayısı kaçtır? A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 60 1 C 2 E 3 A 4 D 5 D 6 B 7 C 8 C 35

33 Olasılık 6 elemanlı bir kümenin tüm alt kümeleri küçük kartlara yazılarak bir torbaya atılıyor. Torbadan rastgele bir kart seçildiğinde karttaki kümenin 3 elemanlı olması olayının eleman sayısını bulunuz. 6 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı æ 6ö ç = = 20 3 dir Cevap: 20 Bir torbaya 5 kırmızı ve 6 sarı bilye vardır. Torbadan çekilen 3 bilyenin ikisinin kırmızı birinin sarı bilye olması olayının eleman sayısını bulunuz. æ 5 kırmızı bilyeden 2 si 5 ö æ ç, 2 çè 6 sarı bilyeden 1 i 6 ö ø ç 1 çè ø değişik şekilde seçilir. O halde 2 sinin kırmızı 1 inin sarı gelme olayının eleman sayısı æ5öæ6ö = 10.6 = bulunur. çè øèç ø Cevap: 60 Aralarında Ümit'in de bulunduğu 7 kişi arasından seçilen 4 kişinin içinde, Ümit'in bulunması olayının eleman sayısını bulunuz. Grupta Ümit olacağına göre geriye kalan 6 kişi arasından 3 æ6ö kişi = = 20 3 farklı şekilde seçilebilir. ç O halde Ümit'in bulunduğu olay sayısı 20 dir. Cevap: 20 Doğrusal 3 noktadan üçgen meydana gelmez. O halde 7 noktadan seçilen 3 nokta ile oluşan üçgen sayısından, doğrusal noktalardan oluşturduğumuz üçgen sayısını çıkartırsak istenilen üçgen sayısını buluruz. æ 7ö æ4ö æ3ö æ3ö = = 29 ç è ø çè ø èç ø èç ø Cevap: 29 Yukarıdaki şekilde üzerindeki 7 noktadan üç tanesi seçiliyor. Seçilen bu noktaların üçgen oluşturması olayının eleman sayısını bulunuz. 36

34 Olasılık soru 1 soru 5 7 elemanlı bir kümenin tüm alt kümeleri küçük kartlara yazılarak bir torbaya atılıyor. Torbadan rastgele bir kart seçildiğinde karttaki kümenin 2 elemanlı olması olayının eleman sayısı kaçtır? Aralarında Billur'un da bulunduğu 8 kişi arasından seçilen 4 kişinin içinde Billur'un bulunması olayının eleman sayısı kaçtır? A) 70 B) 63 C) 56 D) 45 E) 35 A) 15 B) 21 C) 28 D) 35 E) 36 soru 2 soru 6 6 elemanlı bir kümenin tüm alt kümeleri küçük kartlara yazılarak bir torbaya atılıyor. Torbadan rastgele bir kart seçildiğinde karttaki kümenin en az 2 elemanlı olması olayının eleman sayısı kaçtır? Aralarında Özgür ile Nilüfer'in bulunduğu 10 kişi arasından seçilen 4 kişinin içinde Özgür'ün bulunduğu Nilüfer'in bulunmadığı olayın eleman sayısı kaçtır? A) 28 B) 36 C) 56 D) 70 E) 84 A) 55 B) 57 C) 58 D) 63 E) 64 soru 3 soru 7 Bir torbada 4 kırmızı ve 5 sarı bilye vardır. Torbadan çekilen 2 bilyeden birinin kırmızı birinin sarı bilye olması olayının eleman sayısı kaçtır? A) 9 B) 15 C) 20 D) 28 E) 36 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI Yukarıdaki şekil üzerinde bulunan 8 noktadan 3 tanesi seçiliyor. Seçilen bu noktaların üçgen oluşturması olayının eleman sayısı kaçtır? A) 47 B) 48 C) 49 D) 51 E) 56 soru 4 soru 8 Bir torbada 6 mavi ve 5 sarı bilye vardır. Torbadan çekilen 3 bilyenin ikisinin mavi birinin sarı bilye olması olayının eleman sayısı kaçtır? A) 20 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90 A B C D d 1 d 1 // d 2 E F G H I d 2 Yukarıdaki şekil üzerinde bulunan 9 noktadan 4 tanesi seçiliyor. Seçilen bu noktaların dörtgen oluşturması olayının eleman sayısı kaçtır? A) 126 B) 84 C) 75 D) 60 E) 40 1 B 2 B 3 C 4 D 5 E 6 C 7 A 8 D 37

35 Olasılık Olasılık Fonksiyonu Bir E örneklem uzayının tüm alt kümelerinin kümesi E A olsun. Tanım kümesi E A, değer kümesi [0,1]={x:0 x 1, x R} olmak üzere, P: E A [0,1] biçiminde tanımlanmış ve aşağıdaki özellikleri sağlayan fonksiyona olasılık fonksiyonu denir. A E A ise P(A) reel sayısına A olayının olasılığı denir. 1) 0 P(A) 1 2) P(E)=1 (Kesin olay) 3) A, B E A ve A B= ise P(A B)=P(A)+P(B) dir. Bir deneye ait A olayının olma olasılığı aşağıdakilerden hangisi olamaz? A olayının olma olasılığı 0 P(A) 1 dır. 1 6 > olduğu i ç i n 7 A olayının olma olasılığı P(A) = olamaz. 6 Cevap: E E={a,b,c} ayrık örneklem uzayı veriliyor. Aşağıdakilerden kaç tanesi bir olasılık fonksiyonu belirtir? A) P(a) =, P(b) =, P(c) = B) P(a) =, P(b) =, P(c) = C) P(a) =, P(b) =, P(c) = D) P(a) =, P(b) =, P(c) = E={a,b,c} örneklem uzayında P(a)+P(b)+P(c)=P(E)=1 olmalıdır A) P(a) + P(b) + P(c) = + + = B) P(a) + P(b) + P(c) = + + = C) P(a) + P(b) + P(c) = + + = D) P(a) + P(b) + P(c) = + + = ¹ O halde A, B, C şıkları olasılık fonksiyonu belirtir. Cevap: 3 Bir deney için a ve b gibi iki ayrık sonuç olasıdır. Sonucun a olma olasılığı b olma olasılığının 7 katı olduğuna göre, P(a) ve P(b) kaçtır, bulunuz. Örneklem uzay E={a,b} dir. P(a)=7P(b) ve P(a)+P(b)=1 için P(a)+P(b)=7P(b)+P(b)=1 8P(b)=1 1 P(b) = dir P(b) = için P(a) = 7.P(b) = 7. = bulunur Cevap: 7 1 P(a) =, P(b) =

36 Olasılık soru 1 Bir deneye ait A olayının olma olasılığı aşağıdakilerden hangisi olamaz? soru 5 E={a,b,c} ayrık örneklem uzayı veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi bir olasılık fonksiyonu belirtmez? A) P(a) =, P(b) =, P(c) = B) P(a) =, P(b) =, P(c) = C) P(a) = P(b) =, P(c) = D) P(a) =, P(b) =, P(c) = E) P(a) =, P(b) =, P(c) = soru 2 soru 6 Bir deneye ait A olayının olma olasılığı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) - C) D) E) 2 soru 3 x-1 Bir deneye ait A olayının olma olasılığı P(A) = dir. 5 x tamsayısı kaç farklı değer alır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI F={a,b,c} ayrık örneklem uzayı ve P olasılık fonksiyonudur. 3 1 P(a) =, P(b) = olduğuna göre, P(c) kaçtır? soru 7 Bir deney için a ve b gibi iki ayrık sonuç olasıdır. Sonucun a olma olasılığı b olma olasılığının 4 katı olduğuna göre sonucun b olma olasılığı kaçtır? soru 4 E={a,b,c} ayrık örneklem uzayı veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi bir olasılık fonksiyonu belirtir? A) P(a) =, P(b) =, P(c) = B) P(a) =, P(b) =, P(c) = C) P(a) =, P(b) =, P(c) = D) P(a) =, P(b) =, P(c) = E) P(a) =, P(b) =, P(c) = soru 8 Bir deney için a, b ve c gibi üç ayrık sonuç olasıdır. Sonucun a veya b olma olasılığı 7, b veya c olma olasılığı 3 olduğuna göre, sonucun b olma olasılığı kaçtır? E 2 C 3 D 4 B 5 A 6 E 7 A 8 B 39

37 Olasılık Olasılık Fonksiyonu Özellikleri 1) P( )=0 (imkansız olay) 2) A nın tümleyeni A ı olmak üzere, A olayının gerçekleşme olasılığı P(A), A olayının gerçekleşmeme olasılığı P(A ı ) ise P(A)+P(A ı )=1 dir. 3) A B ise P(A B)=P(A)+P(B) P(A B) dir. 4) A B ise P(A) P(B) dir. 6 kırmızı, 4 mavi bilye arasından rastgele seçilen bir bilyenin siyah olma olasılığı kaçtır, bulunuz. 6 kırmızı, 4 mavi bilye arasında siyah bilye olmadığından siyah bilye seçme olayı imkansız olaydır. O halde P( )=0 bulunur. Cevap: 0 1 Bir A olayının gerçekleşme olasılığı P(A)= olduğuna 4 göre gerçekleşmeme olasılığı P(A ı ) kaçtır, bulunuz. P(A)+P(A ı )=1 olduğundan 1 ý + P(A ) = 1 4 ý 1 3 P(A ) = 1- = bulunur. 4 4 Cevap: 3 4 A ve B, E örneklem uzayında iki olaydır. ý 2 1 P(A )=, P(B)= 5 ve P(A Ç B)= olduğuna göre, P(A B) kaçtır, bulunuz. P(A)+P(A ı )=1 ise 2 P(A) + = 1 1 P(A) = 3 3 P(A B)=P(A)+P(B) P(A B) P(A È B) = + - = = = (4) (3) (1) Cevap: 1 6 A ve B, E örneklem uzayında ayrık olaylardır. ý 1 P ((A È B) ) =, 3 P(A) = olduğuna göre, P(B) kaçtır, bulunuz. A ve B ayrık iki olay olduğuna göre, A B= ve P(A B)=0 dır. P(A B)+P((A B) ı )=1 1 P(A È B) + = 1 için 9 P(A È B) = P(A B)=P(A)+P(B) P(A B) 9 3 = + P(B) = P(B) ise 6 3 P(B) = = bulunur Cevap:

38 Olasılık soru 1 6 sarı, 4 mavi bilye arasından rastgele seçilen bir bilyenin siyah olma olasılığı kaçtır? A) 0 B) C) D) E) soru 5 A ve B, E örneklem uzayında iki olaydır P(A) =, P(B) = ve P(A Ç B) = olduğuna göre, P(A B) kaçtır? soru 2 soru 6 2 Bir A olayının gerçekleşme olasılığı P(A) = olduğuna göre, 7 gerçekleşmeme olasılığı P(A ı ) kaçtır? soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A ve B, E örneklem uzayında iki olaydır. ý 5 1 P(A ) =, P(B) = 8 4 P(A B) kaçtır? ve 7 P(A È B) = olduğuna göre, soru 7 Bir A olayının gerçekleşme olasılığı, gerçekleşmeme olasılığının 9 katı olduğuna göre, gerçekleşmeme olasılığı kaçtır? A ve B, E örneklem uzayında iki olaydır. ý 1 5 P(A ) =, P(B) = ve 4 12 P(A \ B) kaçtır? 11 P(A È B) = olduğuna göre, soru 4 4 Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kız olma olasılığı 11 olduğuna göre, aynı sınıftan seçilen bir öğrencinin erkek olma olasılığı kaçtır? soru 8 A ve B, E örneklem uzayında ayrık olaylardır. ý 1 1 P ((A È B) ) =, P(A) = olduğuna göre, 8 2 P(B) kaçtır? A 2 D 3 A 4 D 5 C 6 B 7 E 8 B 41

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız.

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız. OLASILIK (İHTİMALLER HESABI) Olasılık kavram ı ilk önceleri şans oyunları ile başlamıştır. Örneğin bir oyunda kazanıp kazanmama, bir paranın atılmasıyla tura gelip gelmemesi gibi. Bu gün bu kavramın birçok

Detaylı

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Olasılık Dersin Konusu. Bir kutudaki 7 farklı boncuğun içinden iki tanesi seçiliyor. Buna göre, örneklem uzayının eleman sayısı A) 7 B)! 7. madeni

Detaylı

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 MC www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I 1. Ankra'dan Đstanbul'a giden 10 farklı otobüs, Đstanbul'- dan Edirne'ye giden 6 farklı

Detaylı

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2 Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

Not: n tane madeni paranın atılması deneyinde örnek uzayın eleman sayısı

Not: n tane madeni paranın atılması deneyinde örnek uzayın eleman sayısı LYS Matematik Olasılık Tanım: Bir deneyde çıkabilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzayın herhangi bir elemanına da örnek nokta denir. Örnek: Bir zarın atılması deneyinde

Detaylı

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir. BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan

Detaylı

OLASILIK. ihtimali Seçeneği durumu. Bir zar atma olayı. Basit kesirdir. Tüm durum. Sonuçlardan biri Çıktılardan biri. Diğer sayfaya geçiniz

OLASILIK. ihtimali Seçeneği durumu. Bir zar atma olayı. Basit kesirdir. Tüm durum. Sonuçlardan biri Çıktılardan biri. Diğer sayfaya geçiniz OLASILIK ihtimali Seçeneği durumu Bir zar atma olayı Basit kesirdir. Tüm durum Sonuçlardan biri Çıktılardan biri 1 Soruyu DİKKATLİ OKU, soruyu ANLA, basit örnek kur. Cevabı işaretlemeden öce tekrar soruyu

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK...25

1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK...25 1 İçindekiler 1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON)... 5 2. Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON)...13 3. Bölüm: BİNOM AÇILIMI...21 4. Bölüm: OLASILIK...25 5. Bölüm: FONKSİYONLARIN SİMETRİLERİ VE CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ...37

Detaylı

TEMEL SAYMA KURALLARI

TEMEL SAYMA KURALLARI TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin

Detaylı

ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT

ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK ve İSTATİSTİK ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT Permütasyon. Kazanım : Eşleme, toplama ve çarpma yoluyla sayma yöntemlerini açıklar. 2. Kazanım : n elemanlı

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK

PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK YILLAR 00 00 00 00 00 00 008 009 00 0 ÖSS - - - ÖYS PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK TEMEL SAYMA KURALLARI Örnek ( ) adet hediyeden üçü üç kişiye, her birine birer hediye vermek kaydıyla kaç değişik

Detaylı

PERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma

PERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma A ve B ayrık iki küme olsun. Bu iki kümenin birleşimlerinin eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının toplamına eşittir. Bu sayma yöntemine toplama yoluyla

Detaylı

İstenen Durum Olasılık Tüm Durum 12

İstenen Durum Olasılık Tüm Durum 12 OLASILIK ÇIKMIŞ SORULAR 1.SORU İçinde top bulunan iki torbadan birincisinde beyaz, siyah ve ikincisinde beyaz, 5 siyah top vardır. Birinci torbadan bir top çekilip rengine bakılmadan ikinci torbaya atılıyor.

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

AÇIK UÇLU SORULAR ÜNİTE 1 VERİ, SAYMA VE OLASILIK. Bölüm 1 TEMEL SAYMA KLURALLARI

AÇIK UÇLU SORULAR ÜNİTE 1 VERİ, SAYMA VE OLASILIK. Bölüm 1 TEMEL SAYMA KLURALLARI ÜNİTE VERİ, SAYMA VE OLASILIK Bölüm TEMEL SAYMA KLURALLARI AÇIK UÇLU SORULAR. A = {0,,, 3, 4, } kümesindeki rakamlar kullanılarak 3 basamaklı rakamları farklı kaç farklı tek sayı yazılabilir? 48. A = {0,,

Detaylı

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır?

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 3.03.0 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem

Detaylı

1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir?

1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? 1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? 9. 4 çocuklu bir aile yan yana poz verecektir. Çocukların soldan sağa doğru boy sırasında olduğu kaç durum

Detaylı

OLASILIK. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

OLASILIK.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) OLASILIK 46 0 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları Ocak 20 0. Teorik Olasılık 0.. Deney ve Çıktı 4. Bir zar ile

Detaylı

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)

Detaylı

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674 kapak sayfası İÇİNDEKİLER. ÜNİTE SAYMA Sıralama ve Seçme... 4 Toplama Yolu ile Sayma... 4 Çarpma Yolu ile Sayma... 4 Permütasyon (Sıralama)... 5 Konu Testleri - -... 9 Kombinasyon (Seçme)... 4 Konu Testleri

Detaylı

ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları

ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları. 9 + = 6. A dan B ye 5 farklı şekilde gidebilir. B den C ye 3 farklı şekilde gidebilir. 5.3 = 5. 4.5 = 0 7. 5.3.3.5 5 3. kişi için iki durum

Detaylı

A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 A) 1226 B) 1225 C) 1224 D) 1223

A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 A) 1226 B) 1225 C) 1224 D) 1223 . İlk 2 pozitif doğal sayıdan oluşan {, 2, 3,,...,, 2} kümesi veriliyor. u kümeden 3 eleman çıkartıldığında geriye kalan elemanların sayı değerleri çarpımı tam kare oluyor. una göre, çıkartılan sayıların

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık

Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık Saymanın Temel İlkesi: A1, A2,..., A n kümeleri için s( A1 ) = a1, s( A2 ) = a2,.., s( An ) A xa x xa Kartezyen çarpımının eleman sayısı; s( A xa x... xa ) = s( A

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR TEST x, y, z sıfırdan farklı gerçel sayılar ve x y = a ve b gerçel sayılar olmak üzere, a + 3b = 18. y + z = 0.

TEMEL KAVRAMLAR TEST x, y, z sıfırdan farklı gerçel sayılar ve x y = a ve b gerçel sayılar olmak üzere, a + 3b = 18. y + z = 0. TEST - 3 TEMEL KAVRAMLAR. x, y, z sıfırdan farklı gerçel sayılar ve x y 0 4. a ve b gerçel sayılar olmak üzere, a + 3b 8 y + z 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) x.z > 0 B) z.y < 0 C)

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI 0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;

Detaylı

Örnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde,

Örnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde, PERMÜTASYON ( SIRALAMA OLAYI ) Birbirinden farklı n tane nesnenin r tanesinin farklı her dizilişine (sıralanışına) n nesnenin r li permütasyonları denir ve P(n,r)= n! (r n) (n r)! biçim inde gösterilir.

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLSILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır?

2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.

Detaylı

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10. MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına

Detaylı

Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur

Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Kümeler Kümeler ve küme işlemleri olasılığın temellerini oluşturmak için çok önemlidir Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Sonlu sayıda, sonsuz sayıda, kesikli

Detaylı

a. Aynı sırada çekilen herhangi iki kartın aynı d. 4. çekişte iki torbadan da 4 numaralı kartların e. 2. ve 4. çekişte aynı numaralı kartların

a. Aynı sırada çekilen herhangi iki kartın aynı d. 4. çekişte iki torbadan da 4 numaralı kartların e. 2. ve 4. çekişte aynı numaralı kartların Örnek Problem - Sinemada, yan yana koltukta oturan arkadaş, ara verildiğinde kalkıyorlar. Dönüşte, aynı koltuğa rastgele oturduklarına göre; hiçbirinin ilk yerine oturmaması olasılığı Örnek Problem - 4

Detaylı

2000 Birinci Aşama Sınav Soruları

2000 Birinci Aşama Sınav Soruları 2000 irinci şama Sınav Soruları Lise 1 Soruları 1 369 sayısı bir kaç ardışık doğal sayının toplamı olarak kaç farklı biçimde yazılabilir? )2 )3 )4 )5 )7 2 ve sayıları 2000 sayısının pozitif bölenleri olmak

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde 1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

KONTROL TESTİ - 4. 1. Birinci galeride A markasından 4, B markasından 6 araç; ikinci geleride ise A markasından 8, B markasından 4 araç vardır.

KONTROL TESTİ - 4. 1. Birinci galeride A markasından 4, B markasından 6 araç; ikinci geleride ise A markasından 8, B markasından 4 araç vardır. KONTROL TESTİ - 4. Birinci galeride A markasından 4, B markasından 6 araç; ikinci geleride ise A markasından 8, B markasından 4 araç vardır. Bu galerilerden rastgele alınan bir aracın A markasından olduğu

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları Koşullu Olasılık

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar

Detaylı

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik 1. Ünite: Geometriden Olasılığa 1. Bölüm: Yansıyan ve Dönen Şekiller, Fraktallar Yansıma, Öteleme, Dönme Fraktallar 2. Bölüm: Üslü Sayılar Tam

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

Toplam Olasılık Prensibi

Toplam Olasılık Prensibi 1 Toplam Olasılık Prensibi A 1, A 2,, A n karşılıklı kapsamayan ve birlikte tamamlayan olaylar kümesi olsun: A k A A j 0 = 0 k j j nn j j 1 = 1 B, S içinde herhangi bir olay ise k j AA j = ise S ise Pr[A

Detaylı

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür.

Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 1 Olasılık Örnekler 1. Bir çantada 4 beyaz 8 siyah top vardır. Bir siyah top çekilmesi olasılığı nedir? Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 2.

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız.

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız. KÜME KAVRAMI Küme matematiğin tanımsız bir kavramıdır. Ancak kümeyi, iyi tanımlanmış kavram veya nesneler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi

Detaylı

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

3)Aşağıdaki tabloda gruplandırılmış bir veri kümesi bulunmaktadır. Bu veri kümesinin mutlak ortalamadan sapması aşağıdakilerden hangisidir?

3)Aşağıdaki tabloda gruplandırılmış bir veri kümesi bulunmaktadır. Bu veri kümesinin mutlak ortalamadan sapması aşağıdakilerden hangisidir? İSTATİSTİK SORU VE CEVAPLARI 1)Tabloda 500 kişinin sahip oldukları akıllı telefon markalarını gösteren bilgiler verilmiştir.bu tabloda ki bilgileri yansıtan daire grafiği aşağıdakilerden hangisidir? TELEFON

Detaylı

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek...

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek... POLİNOMLAR n N, a n, a n 1, a n 2,a 1,a 0 R ve a n 0 olmak üzere, a n x n +a n 1 x n 1 +a n 2 x n 2 +...+a 1 x+a 0 ifadesine x in bir polinomu denir ve genellikle bu ifade P(x),Q(x) gibi bir ifadeye eşitlenerek

Detaylı

1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ

1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ İçindekiler 1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA)... 10 A. SAYMA KURALLARI... 10 B. FAKTÖRİYEL... 14 C. n ELEMANLI BİR KÜMENİN r Lİ PERMÜTASYONLARI (Dizilişleri)... 17 Ölçme ve Değerlendirme...20 Kazanım Değerlendirme

Detaylı

OLASILIK LASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık

OLASILIK LASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık 1-1 Click To Edit Master Title Style OLASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık Yrd.Doç.Dr Doç.Dr.. Pınar YILDIRIM Okan Üniversitesi Mühendislik ve Mimarlık Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü 1-2 GİRİŞ Olasılık,

Detaylı

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 Hilesiz bir çift madeni para havaya atılıyor. A) 10 B) 8 C) 7 D) 6 Hilesiz bir çift zar havaya atılıyor.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 Hilesiz bir çift madeni para havaya atılıyor. A) 10 B) 8 C) 7 D) 6 Hilesiz bir çift zar havaya atılıyor. Olasılık. Sınıf Matematik Soru Bankası TEST. Havaya atılan hilesiz bir paranın yere düşmesi ile karşılaşılacak olası durumlar kaç tanedir?. A) 0 B) C) D) Hilesiz bir çift madeni para havaya atılıyor. Olası

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları

ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları. 9 + = 6. A dan B ye 5 farklı şekilde gidebilir. B den C ye 3 farklı şekilde gidebilir. 5.3 = 5. 4.5 = 0 7. 5.3.3.5 = 5 3. kişi için iki durum

Detaylı

PERMÜTASYON DÜZEY: 1 TEST : P(6, n) = 6! 1. P(6, 2) + P(4, 3)

PERMÜTASYON DÜZEY: 1 TEST : P(6, n) = 6! 1. P(6, 2) + P(4, 3) PERMÜTASYON DÜZEY: 1 TEST : 1 1. P(6, 2) + P(4, 3) işleminin sonucu kaçtır? A) 30 B) 44 C) 50 D) 54 5. P(6, n) = 6! eşitliğini sağlayan n doğal sayılarının kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {7} B)

Detaylı

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir.

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir. OLASILIK Olasılık belirli bir olayın olabilirliğinin sayısal ölçüsüdür. Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. 17 yy. da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya

Detaylı

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Rastgele değişken kavramı Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler İki boyutlu rastgele değişkenler Beklenen değer Varyans Örnek uzaydaki her elemanı bir sayıyla

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. Problem 5. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan c Copyright Titu Andreescu and Jonathan Kane

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. Problem 5. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan c Copyright Titu Andreescu and Jonathan Kane PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 İLKÖĞRETİM - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Andreescu and Jonathan Kane Çeviri Sibel Kılıçarslan CANSU ve Fatih Kürşat CANSU Problem 1 Eğer 125 + n + 135 + 2n

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

14. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI EKİP FİNAL SORULARI

14. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI EKİP FİNAL SORULARI 14. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI EKİP FİNAL SORULARI - 008 SORU -1 1 0.7 0.1 0.48 = 0.018 0.8 0. eşitliğini sağlayan sayısı kaçtır? [ 0.15] SORU - c d d c a b 4 c d b b a ifadesinin i i sayısal ldeğeri

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM)

LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM) LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM) Permütasyon Kombinasyon Binom Açýlýmý Bu yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm haklarý bry Birey Eðitim Yayýncýlýk Pazarlama Ltd. Þti. e aittir. Kýsmen de

Detaylı

Polinomlar. Rüstem YILMAZ

Polinomlar. Rüstem YILMAZ Polinomlar Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 matematikklinigi@gmail.com 26 Aralık 2016 0.1 Tanımı a, b, c, d reel sayılar ve n N olmak üzere, P (x) = ax n + bx n 1 + + cx + d ifadesine reel katsayılı ve bir

Detaylı

Tanım: (1. Tip Üretken Fonksiyonlar) (a r ) = (a 1, a 2, a 3,,a r, ) sayı dizisi olmak üzere, (a r ) dizisinin 1. Tip üretken fonksiyonu

Tanım: (1. Tip Üretken Fonksiyonlar) (a r ) = (a 1, a 2, a 3,,a r, ) sayı dizisi olmak üzere, (a r ) dizisinin 1. Tip üretken fonksiyonu Üretken Fonksiyonlar Ali İlker Bağrıaçık Üretken fonksiyonlar sayma problemlerinin çözümünde kullanılan önemli yöntemlerden biridir. Üretken fonksiyonların temeli Moivre nin 1720 yıllarındaki çalışmalarına

Detaylı

B İ L G İ Tanım: Rasyonel olmayan, yani a b şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayı denir. İrrasyonel sayılar kümesi I harfi ile gösterilir.. Aşağıdakilerden kaç tanesi irrasyonel sayıdır? 4. x 8

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 12. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI. 4. c tabanındaki iki basamaklı ardışık üç

ÖZEL EGE LİSESİ 12. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI. 4. c tabanındaki iki basamaklı ardışık üç 1. Rakamları toplamından büyük olan kaç tane doğal sayı vardır? A) 0 B) 1 C) 3 D) 8 E) 10 4. c tabanındaki iki basamaklı ardışık üç sayının toplamı (0) cc ise c nin alamayacağı en büyük değer kaçtır? A)

Detaylı

OLASILIK ÖRNEK - 1. Atılan bir zarın 4 ten büyük gelme olasılığı kaçtır? 1 C) 4 1 D) 3 1 E) 2 1 B) 5 A) 6

OLASILIK ÖRNEK - 1. Atılan bir zarın 4 ten büyük gelme olasılığı kaçtır? 1 C) 4 1 D) 3 1 E) 2 1 B) 5 A) 6 OLASILIK Değişik renkteki topların bulunduğu bir kutudan rastgele alınan bir topun hangi renkte olduğu, bir para atıldığında yazı veya tura gelmesi... vb. gibi sonucu önceden bilinmeyen olaylar olasılığın

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

1) BU TESTTE TEMEL MATEMATİK VE GEOMETRİ OLMAK ÜZERE, TOPLAM 40 ADET SORU VARDIR. 2) BU TESTİN CEVAPLANMASI İÇİN TAVSİYE EDİLEN SÜRE 40 DAKİKADIR.

1) BU TESTTE TEMEL MATEMATİK VE GEOMETRİ OLMAK ÜZERE, TOPLAM 40 ADET SORU VARDIR. 2) BU TESTİN CEVAPLANMASI İÇİN TAVSİYE EDİLEN SÜRE 40 DAKİKADIR. 1) U S L İK V GORİ OLK ÜR, OPL 40 SORU VRIR. 2) U SİN VPLNSI İÇİN VSİY İLN SÜR 40 KİKIR. 1) 120 : [(10.2-1 )+3] 1 işleminin sonucu kaçtır? )1 )5 )7 )13 )14 3) (x 2 +y) n açılımında 13 terim varsa bu terimler

Detaylı

Sivas Fen Lisesi Ortaokul 2. Matematik Olimpiyatı Sınavı A A) 55 B) 50 C) 45 D) 40 E) 35

Sivas Fen Lisesi Ortaokul 2. Matematik Olimpiyatı Sınavı A A) 55 B) 50 C) 45 D) 40 E) 35 Sivas Fen Lisesi Ortaokul 2. Matematik Olimpiyatı Sınavı A 1. ABC üçgeninde BF BD, EC CD olacak şekilde AC kenarı üzerinde E noktası, o BC m(ba C) 70 ise m(fd E) kaç derecedir? AB kenarı üzerinde F noktası,

Detaylı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA 00 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. + + 5 0 + + + 0 40 toplamının sonucu kaçtır? A) 5 B) C) D) E) + 4. a,b,c Z olmak üzere, a + b + c 7 = 6 ise, a.b.c kaçtır? A) 6 B) 8 C) D) 6 E) 8 y.

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

Olimpiyat Eğitimi TUĞBA DENEME SINAVI

Olimpiyat Eğitimi TUĞBA DENEME SINAVI TUSİ Ortaöğretim Öğretmenleri için Olimpiyat Eğitimi TUĞBA DENEME SINAVI 10.01.2014-17.01.2014 2 1. Tuğba üç test yapar. İlkinde, 25 sorudan %60 ını, ikinci de 30 sorudan ve %70 ini ve son olarak 45 sorudan

Detaylı

PROJE ADI: ÖZDEŞ NESNELERİN FARKLI KUTULARA DAĞILIMINDA POLİNOM KULLANIMI

PROJE ADI: ÖZDEŞ NESNELERİN FARKLI KUTULARA DAĞILIMINDA POLİNOM KULLANIMI PROJE ADI: ÖZDEŞ NESNELERİN FARKLI KUTULARA DAĞILIMINDA POLİNOM KULLANIMI PROJENİN AMACI: Polinom fonksiyon yardımıyla özdeş nesnelerin farklı kutulara istenilen koşullardaki dağılım sayısının hesaplanması

Detaylı