ORTAÖ RET M MATEMAT K 11 DERS K TABI

Transkript

1 ORTAÖ RET M MATEMAT K DERS K TABI M.E.B. Tlim ve Terbie Kuruluu 5.8. gü ve 4 sılı krrıl - öğretim ılıd itibre 5 (beş) ıl sürele ders kitbı olrk kbul edilmiştir. Emrullh KAPLAN I

2 C Her hkkı sklıdır ve Pş Yıcılık Limited Şirketie ittir. Bu kitbı tümü d bir bölümü, Pş Yıcılık Limited Şirketide öcede izi lımksızı hiçbir biçimde çoğltılmz, bsılıp ımlmz. ISBN: Bskı: Hzir ANKARA Eskişehir Yolu, 7. km., Erler Mh. Çmlık Prk Sitesi, 65. Sok., Nu.: Etimesgut/ANKARA tel.: () 4 belgeç: () e-mil: fkrc@psicilik.com DÜZELTİ VE YAYINA HAZIRLAMA KURULU Nerim KAPLAN : Editör Bilgi YÜCEL : Dil Uzmı Ahmet TAYYAR: Görsel Tsrımcı K. Fige ŞIRAMAN : Rehberlik Uzmı Ever ÇETİN : Ölçme ve Değerledirme Uzmı Slih ŞATIR : Progrm Geliştirme Uzmı II

3 Korkm, sömez bu şfklrd üze l sck; Sömede urdumu üstüde tüte e so ock. O beim milletimi ıldızıdır, prlck; O beimdir, o beim milletimidir ck. İSTİKLÂL MARŞI Bstığı erleri toprk! dierek geçme, tı: Düşü ltıdki bilerce kefesiz tı. Se şehit oğlusu, icitme, zıktır, tı: Verme, dülrı ls d, bu ceet vtı. Çtm, kurb olım, çehrei e zlı hilâl! Khrm ırkım bir gül! Ne bu şiddet, bu celâl? S olmz döküle klrımız sor helâl... Hkkıdır, Hkk tp, milletimi istiklâl! Be ezelde beridir hür şdım, hür şrım. Hgi çılgı b zicir vurckmış? Şşrım! Kükremiş sel gibiim, bedimi çiğer, şrım. Yırtrım dğlrı, egilere sığmm, tşrım. Grbı âfâkıı srmışs çelik zırhlı duvr, Beim im dolu göğsüm gibi serhddim vr. Ulusu, korkm! Nsıl böle bir imı boğr, Medeiet! dediği tek dişi klmış cvr? Arkdş! Yurdum lçklrı uğrtm, skı. Siper et gövdei, dursu bu hâsızc kı. Doğcktır s v dettiği güler Hkk ı... Kim bilir, belki rı, belki rıd d kı. Kim bu ceet vtı uğru olmz ki fedâ? Şühedâ fışkırck toprğı sıks, şühedâ! Câı, cââı, bütü vrımı lsı d Hud, Etmesi tek vtımd bei düd cüdâ. Ruhumu sede, İlâhi, şudur ck emeli: Değmesi mbedimi göğsüe âmhrem eli. Bu ezlr -ki şhdetleri dii temeli- Ebedî urdumu üstüde beim ilemeli. O zm vecd ile bi secde eder - vrs- tşım, Her cerîhmd, İlâhi, boşıp klı şım, Fışkırır ruh-ı mücerred gibi erde şım; O zm ükselerek rş değer belki bşım. Dlgl se de şfklr gibi e şlı hilâl! Olsu rtık döküle klrımı hepsi helâl. Ebedie s ok, ırkım ok izmihlâl: Hkkıdır, hür şmış, brğımı hürriet; Hkkıdır, Hkk tp, milletimi istiklâl! Mehmet Âkif ERSOY III

4 ATATÜRK ÜN GENÇLİĞE HİTABESİ E Türk geçliği! Birici vzife, Türk istiklâlii, Türk cumhurietii, ilelebet, muhfz ve müdf etmektir. Mevcudietii ve istikblii egâe temeli budur. Bu temel, sei, e kımetli hziedir. İstikblde dhi, sei, bu hziede, mhrum etmek isteecek, dhilî ve hricî, bedhhlrı olcktır. Bir gü, istiklâl ve cumhurieti müdf mecburietie düşerse, vzifee tılmk içi, içide bulucğı vzieti imkâ ve şeritii düşümeeceksi! Bu imkâ ve şerit, çok âmüsit bir mhiette tezhür edebilir. İstiklâl ve cumhurietie kstedecek düşmlr, bütü düd emsli görülmemiş bir glibieti mümessili olbilirler. Cebre ve hile ile ziz vtı, bütü kleleri zpt edilmiş, bütü terselerie girilmiş, bütü ordulrı dğıtılmış ve memleketi her köşesi bilfiil işgl edilmiş olbilir. Bütü bu şeritte dh elîm ve dh vhim olmk üzere, memleketi dhilide, iktidr ship ollr gflet ve dlâlet ve httâ hıet içide bulubilirler. Httâ bu iktidr shipleri şhsî meftlerii, müstevlileri sisî emellerile tevhit edebilirler. Millet, fkr u zruret içide hrp ve bîtp düşmüş olbilir. E Türk istikblii evlâdı! İşte, bu hvl ve şerit içide dhi, vzife; Türk istiklâl ve cumhurietii kurtrmktır! Muhtç olduğu kudret, dmrlrıdki sîl kd, mevcuttur! IV

5 MUSTAFA KEMAL ATATÜRK (88-98) V

6 SEVGİLİ ÖĞRENCİLER Bilidiği gibi klsik öğreme lışıd öğrecii belirli sıdki kvrm ve kurllrı ezberleerek bu kurl ve kvrmlr dlı semboller üzeride lmıı bilmede işlem pmsı olu seçilir. Tım Teorem İspt Alıştırm ve Testler biçimide bir ol izleir. Gerçek lmlrıı bilmede kvrm ve kurllrı ezberlemei boş ve zor bir süreç olduğu çıktır. Eliizdeki bu eser ise Her geç mtemtiği öğreebilir. ilkeside ol çıkılrk pıldırıcı klşım göre titiz bir çlışml hzırlmıştır. Ypıldırıcı ei progrm lışı göre düzelee Mtemtik dlı bu kitbımızd; Problem Keşfetme Hipotez kurm Doğrulm Geelleme İlişkiledirme şeklide bir ol izlemiştir. Bu mçl;. Öğretime somut deeimlerle bşlmış,. Almlı öğreme mçlmış,. Öğrecileri mtemtik bilgilerile iletişim kurmsı öem verilmiş, 4. İlişkiledirme öemsemiş, 5. Sizleri motivsou dikkte lımış, 6. Tekoloji etki kulldırılmış, 7. Bilgii sııft pıldırılmsı sürecie öem verilmiştir. Hepiize bşrılr dilioruz. VI

7 İÇİNDEKİLER. BÖLÜM : KARMAŞIK SAYILAR..... KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİ... A. Gerçek Sılr Kümesii Geişletilmesi... B. Sl Birim (i Sısı) ve Bu Sılrı Kuvvetleri..... Alıştırmlr...5 C. Krmşık Sılr Kümesi Alıştırmlr...7 Ç. Krmşık Düzlem Alıştırmlr...9 D. Bir Krmşık Sıı Eşleiği ve Modülü..... Alıştırmlr 4... E. Krmşık Sılrd Toplm ve Çıkrm İşlemleri..... Alıştırmlr F. Krmşık Sılrd Çrpm ve Bölme İşlemleri Alıştırmlr 6... G. Krmşık Sılrd Eşleik ve Modül ile İlgili Özellikler..... Alıştırmlr Ğ. Krmşık Sılrd İkici Derecede Bir Bilimeeli Deklemler Alıştırmlr H. Krmşık Düzlemde İki Nokt Arsıdki Uzklık Alıştırmlr KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL BİÇİMİ... A. Kutupsl Koorditlr ve Bir Noktı Krteze Koorditlrı ile Kutupsl Koorditlrı Arsıdki Bğıtılr..... Alıştırmlr...7 B. Kutupsl Şekilde Yzılmış Krmşık Sılrl İşlemler Alıştırmlr...4 C. Bir Krmşık Sıı Kuvvetleri ve De Moivre Formülü Alıştırmlr...44 Ç. Bir Krmşık Sıı Kökleri Alıştırmlr Bölüm Değerledirme Sorulrı...5. BÖLÜM : LOGARİTMA ÜSTEL FONKSİYON VE LOGARİTMA FONKSİYONU...54 A. Üstel Foksio ve Grfiği Alıştırmlr...58 B. Logritm Foksiou ve Grfiği Alıştırmlr...66 C. O Tblı Logritm ve Doğl Logritm Foksiolrı Alıştırmlr...69 Ç. Logritmı Temel Özellikleri Alıştırmlr D. Bir Sıı O Tblı Logritmsıı Tm Kısmıı Bulmk Alıştırmlr E. Üstel Foksiou ve Logritm Foksiouu Grfiklerii Çizimi ile İlgili Ugulmlr Alıştırmlr VII

8 İÇİNDEKİLER.. ÜSLÜ VE LOGARİTMALI DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER...8 A. Üslü ve Logritmlı Deklemler Alıştırmlr...87 B. Logritmlı ve Üslü Eşitsizlikler Alıştırmlr...9 Bölüm Değerledirme Sorulrı...9. BÖLÜM : PERMÜTASYON; KOMBİNASYON, BİNOM VE OLASILIK PERMÜTASYON...94 A. Smd Eşleme, Toplm ve Çrpm Yötemleri Alıştırmlr...97 B. Permütso...97 C. Döel (Diresel) Permütsolr... Ç. Tekrrlı Premütsolr..... Alıştırmlr KOMBİNASYON Alıştırmlr..... BİNOM AÇILIMI..... Alıştırmlr OLASILIK...6 A. Temel Kvrmlr...6 B. Olsılık Foksiou ve Temel Özelikleri...8 C. Eş Olsılık (Olumlu) Öreklem Uzı... Ç. Koşullu Olsılık...5 D. Bğımlı ve Bğımsız Ollr Alıştırmlr İSTATİSTİK... A. Yşmd Seçilmiş Verileri Grfiklerle Gösterilmesi... B. Bir Öreklemi Ysıtck Ugu Grfik Türü ve Grfikleri Yorumlmsı...5 C. Merkezî Eğilim ve Yılım Ölçüleri...7 Ç. Stdrt Pu Alıştırmlr...4 Bölüm Değerledirme Sorulrı BÖLÜM : TÜMEVARIM VE DİZİLER TÜMEVARIM...48 A. Tümevrım Yötemi Alıştırmlr...54 B. Toplm ( ) ve Çrpım (π) Simgeleri ve Özellikleri Alıştırmlr DİZİLER...69 A. Dizi Tımı, Dizii Grfiği, Solu Dizi, Sbit Dizi ve Eşit Diziler Alıştırmlr...74 B. Dizilerle İşlemler Alıştırmlr...77 C. Mooto Diziler Alıştırmlr ARİTMETİK VE GEOMETRİK DİZİLER...8 VIII

9 İÇİNDEKİLER A. Aritmetik Diziler...8 B. Geometrik Diziler Alıştırmlr...88 Bölüm Değerledirme Sorulrı BÖLÜM : MATRİS, DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ MATRİSLER...94 A. Mtris ve Türleri Alıştırmlr...95 B. Kre Mtris, Sıfır Mtrisi, Birim Mtris, Köşege Mtris, Üçge Mtris ve Eşit Mtrisler Alıştırmlr...98 C. Mtrisleri Toplmı ve Frkı Alıştırmlr... Ç. Mtrisi Bir Gerçek Sı ile Çrpımı Alıştırmlr 4... D. Mtrislerde Çrpm İşlemi Alıştırmlr E. Mtrisi Çrpm İşlemie Göre Tersi Alıştırmlr F. Bir Mtrisi Devriği (Trspozu) Alıştırmlr DOĞRUSAL (LİNEER) DENKLEM SİSTEMLERİ...9 A. Doğrusl Deklem Sistemleri ve Temel Stır İşlemleri Alıştırmlr... B. Doğrusl Deklem Sistemlerii Mtrislerle Çözümü Alıştırmlr...5 C. Bir Mtrisi Tersii Temel Stır (Sütu) İşlemleri ile Bulmk Alıştırmlr DETERMİNANTLAR...8 A. Determit Tımı; Miör, Kofktör ve Determitı Özellikleri Alıştırmlr... B. Srrus Yötemi Alıştırmlr...6 C. Ek (Adjoit) Mtris Alıştırmlr DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN DETERMİNANTLARLA ÇÖZÜMÜ...4 A. Doğrusl Deklem Sistemii Ters Mtris Yrdımıl Çözmek Alıştırmlr...44 B. Doğrusl Deklem Sistemii Krmer Kurlıl Çözmek Alıştırmlr...49 Bölüm Değerledirme Sorulrı...5 SÖZLÜK...5 SİMGELER VE ANLAMLARI...54 KAYNAKÇA...54 IX

10 ORGANiZASYON ŞEMASI! Ders kitbıız ve 4 stlik progrmlrı kpsmktdır. Bu edele srı zemile işretli bölümler stlik progrm devm ede öğreciler trfıd tkip edilmeecektir. Etkilik Bu bölümde kou ile ilgili pcğıız etkilik çlışmlrı verilmiştir. + 5z = z = sistemii Crmer ötemile çözelim. 5 z = 7. 5 ETKİNLİK. Kresi ol ei bir sı tımldığıızı vrslım. Bu sıı istediğiiz bir simgele gösteriiz. Bu simgei kullrk kresi 4 ve ol sılrı zıız.. egtif gerçek sı ise kresi ol sılrı deki simgei kullrk zm çlışıız = deklemii çözüm kümesii kresi ol simgei kullrk zıız. Tım Kou ile ilgili tımlr bu logo ile verilmiştir. TANIM Kresi ol sı, sl birim deir. Sl birim i d ile gösterilir. ÖZELLİK Özellik Bu bölümde icelediğiiz kou ile ilgili özellik verilmiştir. z = Souç Bu bölümde kou ile ilgili ei çıkrımlr er verilmiştir.verile özellik bu logo ltıd kıtlmıştır. + bi, z = c + di krmşık sılr ve bd olsu. z + z ve z. z gerçek sılr ise z = z tir. P(A B) = s(a B ) = s(a B ) / s(e) = P(A B ) dir. s(b ) s(b ) / s(e) P(B ) Bu özelliği doğruluğuu şu şekilde kıtlbiliriz: z + z = ( + bi) + (c + di) = ( + c) + (b + d)i R b + d = Verile özellik bu logo ltıd kıtlmıştır. Kresi egtif ol bir gerçek sı bulumdığıı bilioruz. Bu kısımd gerçek sılr kümesie, Bu logo ile verile ifdede eski bilgileriiz ei bilgilerle birleştirilmektedir. kresi egtif olbile ei sılr ktcğız. Buu d şğıdki tımd rrlrk pbiliriz. + b + c = deklemide, b, c bilie krmşık sılr, ve deklemde bilimee olsu. Bu logo ltıd kou ile ilgili ol urılr verilmiştir. Yukrıd çözdüğümüz birici örekteki 4 + = deklemide kt sılr gerçek Bu logo ile kou it çıklmlr verilmektedir. sılrdır. Bu deklemi kökleri eşleik sılrdır. Bu durumu, b, c kt sılrıı gerçek sı olduğu her + b + c = deklemide geçerli olduğuu birz ileride göreceğiz. Bu logo ltıd verile ifde ile tım pekiştirilmekte d örekledirilmektedir. Bu logo ltıdki ifdelerde size ıtlmız içi bzı sorulr sorulmuştur. O sorulrı ıtlıız. 4 = 4 i = i, 5 = 5 i, = i, + = + i, 5 + = 5 + i dir. Düflüelim Y tll m Bu tblod bulduğuuz souçlr ile. sfdki listede verile souçlr dikkt ederek şu sorulrı ıtlıız. g Bğıtı ve Formül Bu bölümde pıl işlemlerde elde edile bğıtı ve formüller verilmiştir. ; i = ve i = ( ) = dir. ÖRNEKLER Örek-Çözüm Koul ilgili örek ve çözümü verilmiştir. = i olur. Öreği; Bu tım göre > ise. 4 + = deklemii köklerii bullım. Verile deklemde = 4, b =, c = tür. = ( + bi). ( + bi) + ( + bi). ( + bi) = z. z + z. z Bu sembol isptı soldığıı ifde eder. z = z. z = r cis θ. cis α = r cis (θ + α) dır. Vurgu Ders kitbıızd er l öemli vurgulr eşil rekli zı ile verilmiştir. Okum meti Bu bölümde üite ile ilgili okum meti er lmktdır. Demek ki bir krmşık sı cis α ile çrpılıc bu sıı eşlediği oktı oriji etrfıd α kdr dödürülmesile vrıl okt eşlee krmşık sı elde edilmektedir. OKUMA METNİ sıırlrıı ve eteeğii büük ölçüde geişletmesi." Vrdh'ı uzmlık lı, kbc rstltısl ollrı lizile ilgilee olsılık kurmı öemli etkiler ve ei soru işretleri ort komuş durumd. "Fizik slrıı her şei belirleebilecek olduğuu düşüürüz m öcede thmi.. ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki sılrı i, i,, sılrıd hgisie eşit olduğuu eşitliği sğı zıız. Alıştırmlr Bu bölümde çözmeiz isteile sorulr verilmiştir.. i4 = b. i5 = c. i5 = ç. i = d. i7 =. Aşğıdki sılrı, + bi şeklide zıız (, b R). Bölüm Değerledirme Sorulrı Bu bölümde kediizi değerledirebileceğiiz sorulr er lmktdır. Bu sorulrı ıtlıız. X BÖLÜM DEĞERLENDİRME SORULARI. Aşğıdki öermelerde boş bırkıl erleri bu öermeler doğru olck şekilde dolduruuz.. + bi sısı bir gerçek sı ise R ve dır. b. + bi = + i,, b,, R ise = ve = dir.

11 BİRİNCİ BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR Krmşık sılr özellikle ses, ışık d elektrometik siller gibi dlglr hâlide ıl eerjilerle ilgili problemlerde vzgeçilmez bir rçtır. Güümüzde çok geiş ugulm lı bul Fourier (Furier) döüşümüde (Bu döüşümü dh sorki dersleriizde göreceksiiz.) krmşık sılr dlı bir formül bulumktdır. Elektroik mühedisliğide bu döüşüm, voltj ve kım değerlerii liz etmede kullılmktdır. Bu kullım lı rıc, sısl sil işleme ve sısl görütü işleme şeklide de krşımız çıkmktdır. Bu Bölümde Göreceğimiz Koulr.. Krmşık sılr kümesi Gerçek sılr kümesii geişletilmesi; sl birim (i sısı) ve bu sıı kuvvetleri; krmşık sılr kümesi; krmşık düzlem; bir krmşık sıı eşleiği ve modülü, krmşık sılrd toplm ve çıkrm işlemleri; krmşık sılrd çrpm ve bölme işlemleri; krmşık sılrd eşleik ve modül ile ilgili özellikleri; krmşık sılrd ikici derecede bir bilimeeli deklemle; krmşık düzlemde iki okt rsıdki uzklık.. Kutupsl koorditlr ve krmşık sılrı kutupsl biçimi Kutupsl koorditlr ve bir oktı krteze koorditlrı ile kutupsl koorditlrı rsıdki bğıtılr; kutupsl şekilde zılmış krmşık sılrl işlemler; bir krmşık sıı kuvvetleri ve De Moivre (Dömu) formülü; bir krmşık sıı kökleri. Üite: Krmşık Sılr

12 .. KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİ Cep telefolrı, gerek elektroik tsrımlrıı gerekse iletişim ltpılrıı krmşık sılrı sğldığı kollığ borçludur. A. GERÇEK SAYILAR KÜMESİNİN GENİŞLETİLMESİ ETKİNLİK + b + c = ikici derece bir bilimeeli deklemii, köklerii gerçek sı olmsı içi hgi koşulu sğlmsı gerektiğii söleiiz. + = deklemii gerçek sılr kümeside çözebilir miiz? Bu deklemi çözebileceğimiz bir kümei oluşturmk istediğimizde gerçek sılr kümesie hgi sıı ktılmsı gerektiğii rkdşlrıızl trtışıız. Düşüdüğüüz sıı gerçek sılr kümesie ktıız ve deklemi ei kümedeki köklerii buluuz. Bu çlışmızd sezilediğiiz edir? = deklemii doğl sılr kümeside çözebiliriz. Bu kümede, bildiğiiz işlemler rdımıl = soucuu buluruz. N dir. Bu kez + = deklemii N kümeside çözmek istersek buu bşrmız. Çükü i + işlemie göre tersi bu kümede oktur. Ölese bu deklemi çözebilmemiz içi N kümesii sısıı d içerecek şekilde geişletmeliiz. Her N içi sısıı Z kümeside buluduğuu bilioruz. Bu edele her N içi + = şeklideki deklemleri Z de çözebiliriz. Bir de, b Z, içi. = b deklemii düşüelim. olduğu içi bu deklemi Z de değil, buu geişletilmişi ol Q kümeside çözebiliriz. Q kümeside çözemediğiiz = `, ` Z 5 deklemii de R kümeside çözebilmekteiz. N Z Q R olduğuu bilioruz. Yukrıdki öreklerde lşıldığı gibi sı kümelerii bu şekilde geişletilmesi ile çözemediğimiz kimi deklemleri çözebilme olğı kvuşmktız. Dh öceki mtemtik dersleriizde, bu kümeleri e geişi ol gerçek sılr kümesii kulldıız. Yptığıız işlemler gerçek sılı işlemlerdi. Tımldığıız poliom foksiolr ile trigoometrik foksiolr; gerçek sılr d buu bir lt kümeside tımlmış foksiolrdı. Bu foksiolrl işlemler prke bulrı özeliklerii icelerke R kümesii dışı çıkmdık. Öreği, + = deklemii köklerii, = ve = olduğuu kolc bulduk. Ortöğretim Mtemtik

13 Gerçek sılr kümesii etersiz kldığı durumlrd d işlemlerimizi ürütemedik. Söz gelimi, + = d = deklemlerii kökleri sorulduğud: "Bulrd Δ < olduğud gerçek sı kökleri oktur." dedik. Bir de şğıdki öreği iceleelim: ÖRNEK Otomobil lstiği ürete bir firm, ıllık kâr foksiouu 9 = şeklide belirlemiştir. Burd teki birim det lstiği; deki birim TL kârı göstermektedir. Bu firmı, ıllık kârıı 5 TL olmsı içi kç lstik üreterek stmsı gerektiğii bullım. Kârı 5 TL olmsı istemektedir., elde edile kârı TL olrk gösterdiğie göre erie (5 : = 5 olduğud) 5 zmlıız. 9 = 9. (5) = ( TL) 5 = + 5 = = ; = 4, b = 4, c = 45 9 = Δ = b 4c = ( 4) 4(4) (45) = 44 tür. Δ < olduğud = 5 içi 9 = deklemii gerçek sı ol kökleri oktur. Demek ki bu firm ıld 5 TL kâr elde edemez. 6 ( det) (Firm,. = det lstik üreterek sttığıd e üksek kârı elde eder. Bu kâr, 9 = () ( ) = 8 : 9 = olduğud. = TL dir.) Bu bölümde diskrimitı (ırcı) egtif ol + b + c = şeklideki bir bilimeeli ikici derece deklemii, gerçek sı olm kökleride söz edecek ve bu kökleri bulcğız. Bu şekildeki e sde deklem + = deklemidir. + = = olduğu çıktır. Demek ki + = deklemii çözebilmemiz içi kresi egtif sı olbile ei sılr ihtiç vrdır. R kümesie, bu tür sılrı d ktrk dh geiş bir küme ( krmşık sılr kümesi ) oluşturmk mcıdız. B. SANAL BİRİM (i Sısı) VE BU SAYININ KUVVETLERİ ETKİNLİK. Kresi ol ei bir sı tımldığıızı vrslım. Bu sıı istediğiiz bir simgele gösteriiz. Bu simgei kullrk kresi 4 ve ol sılrı zıız.. egtif gerçek sı ise kresi ol sılrı deki simgei kullrk zm çlışıız = deklemii çözüm kümesii kresi ol simgei kullrk zıız. Kresi egtif ol bir gerçek sı bulumdığıı bilioruz. Bu kısımd gerçek sılr kümesie, kresi egtif olbile ei sılr ktcğız. Buu d şğıdki tımd rrlrk pbiliriz. Crl Friedrich Guss (Krl Fredrik Guz): ıllrı rsıd şmıştır. Mtemtikçileri presi olrk biliir. Sl sılrı ilk kez Guss doktor tezide kullmıştır. Mtemtiğe sılr kurmı, liz, difermsiel geometri llrıd d ktkılrı olmuştur.. Üite: Krmşık Sılr

14 TANIM Kresi ol sı, sl birim deir. Sl birim i d ile gösterilir. Bu tım göre; ( ) i = ve i = = dir. Şimdi i sısıı pozitif tm sı ol kuvvetlerii rştırlım. Buu içi i = eşitliğide iki ı d devmlı i ile çrptığımızı düşüelim. i = i i i = = i 4 = i = i i i i 5 = i 6 7 = i = = i 8 = i = Bu eşitliklere bkrk her N içi i sısıı i,, i, sılrıd birie eşit olcğıı söleebilir misiiz? Bu göre şğıdki tblod boş bırkıl kutucuklr bu sılrd ugu olıı zıız. i i i i i i i 4 i 5 i 4 i 4 i 4 i 4 i i i i 9 = i = = i = i i i i = i = = i = Düflüelim Y tll m Bu tblod bulduğuuz souçlr ile. sfdki listede verile souçlr dikkt ederek şu sorulrı ıtlıız.. Hgi doğl sılrı içi i = dir? O hâlde k doğl sı olmk üzere her N içi. Hgi doğl sılrı içi i = i dir?, = 4 k ise. Hgi doğl sılrı içi i = dir? i, = 4 k + ise i = 4. Hgi doğl sılrı içi i = i dir?, = 4 k + ise i, = 4 k + ise olur. Bu göre; i 75 = i 7. i = (i 4 ) 8. i = 8. ( i) = i, i 65 = i 64. i = (i 4 ) 6. i = 6. i = i, i 6 = i 4. i = (i 4 ) 6. i = 6. ( ) =, ÖRNEKLER 6 7 i 9 = (i 4 ) = = olur.. i i + i 5 9 i + i i işlemii soucuu bullım. i 6 = (i 4 ) 6. i =. ( ) =, i = (i 4 ) 7. i =. ( ) =, i 7 = (i 4 ) 6. i =. ( i) = i i 5 = (i 4 ). i =. ( i) = i, i = (i 4 ) 5. i =. i = i, i 9 = (i 4 ) 4. i =. ( i) = i 6 7 i i + i 5 9 i + i i ( ) + ( ) i i = = = olur. i+ i ( ) i i 4+ 8 i + i + i. N olduğu göre işlemii soucuu bullım i + i + i 4 Ortöğretim Mtemtik

15 i 4 + = (i 4 ). i =. ( ) =, i 8 = i. (i 4 ) = ( i). = i. = i, i 5 = i 4. i. (i 4 ) =. i. = i, i 4 = i. (i 4 ) = i. = i, i 6 = i 4. İ =. ( ) = 4+ 8 i + i + i i + i + i i+ i + i + i = = = i+ i i ( + i) = dir. TANIM Her R + içi =. dır. Bu tım göre > ise = i olur. Öreği; 4 = 4 i= i, 5 = 5 i, = i, + = + i, 5+ = 5+ i dir... ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki sılrı i, i,, sılrıd hgisie eşit olduğuu eşitliği sğı zıız.. i 4 = b. i 5 = c. i 5 = ç. i = d. i 7 =. Aşğıdki sılrı, + bi şeklide zıız (, b R) b c. ( ) ( ) ç d. 5i e.. ( 4).( 9) ile ( 4). ( 9) sılrı eşit değildir. Nede? Eğer b. =. b ise ile b hgi tür sılrdır? C. KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİ ETKİNLİK i sısıd 5 ve 6i i rı rı düşüelim. Bulrd hgisi gerçek sıdır, hgisi gerçek sı değildir? b. Her krmşık sıı 5 + 6i öreğide olduğu gibi, biri gerçek sı ol iki kısımd oluşup oluşmdığıı rkdşlrıızl trtışıız i sısıd 5 ile 6i i dldırm çlışıız i ve + 6i sılrıd biri 5 + 6i sısı eşit olbilir mi? 5 + 6i sısı eşit ol bir krmşık sı zmk istee biri sizce hgi sıı zmlıdır? 4. + i ve + bi krmşık sılrıı eşitliğii tımlm çlışıız. 5. i ile ı çrpımıı olrk tımlrsk, 5 + i sısı hgi sıı gösterir? b gerçek sı ve 5 + bi bir gerçek sı ise b sizce hgi sı olmlıdır? 6. ile b gerçek sılr ve + bi krmşık sısı d bir gerçek sı ise b içi e söleebilir? Yukrıdki etkilik çlışmızd + i, 5i, 7i, gibi sılrı gerçek sılr olmdığıı gözlemlediiz. Bu tür sılrl birlikte gerçek sılrı d içie l ei bir küme tımllım.. Üite: Krmşık Sılr 5

16 TANIM ile b gerçek sılr ise + bi şeklideki sılr, krmşık sılr deir. Krmşık sılr kümesi C ile gösterilir. Bu tım göre; C = { + bi i =,, b R } olur. 5 + i, 7 i, 5 i sılrı krmşık sılrdır. Buu gibi; + 5i, + i, i, 8 + i, 6 + i ve + i sılrı d krmşık sılrdır. Bulrı sırsıl 5i, i, i, 8, 6 ve ile gösteririz. 8 + i, 6 + i ve + i örekleride de görüldüğü gibi; her gerçek sısı, + i şeklide krmşık sıdır. Ölese gerçek sılr kümesi, krmşık sılr kümesii lt kümesidir. TANIM z C ve z = + bi ise gerçek sısı, z i gerçek ( d reel) kısmı; b gerçek sısı d z i sl ( d imjier) kısmı deir ve Re(z) = ve İm(z) = b zılır. Bu tım göre; z = 5 + i ise Re(z) = 5, İm(z) =, z = i ise Re(z) =, İm(z) =, z = 8i ise Re(z) =, İm(z) = 8, z = 7 ise Re(z) = 7, İm(z) = olur. ÖRNEK P() = poliomu verilmiş olsu. P(i) ifdesii hespllım. P(i) = i + i 4 5 i 7 i 9 + 6i = i + 5 (i 4 ). i (i 4 ). i + 6. (i 4 ). i = i ( i).. i ( i) = 4 i + 5i i 6i = 4 5i dir. Bu örekte görüldüğü gibi P() = şeklideki gerçek kt sılı her P() poliomu içi P(i) ifdesi, b R olmk üzere + b i şeklide zılbilir. P() herhgi bir poliom ise P(i) ifdesii +bi şeklide bir krmşık sı olduğuu gördük. O hâlde +bi krmşık sısıı birici derece poliom olrk düşüebilirsiiz. Poliomlrı eşitliğii sıl tımldığıı biliorsuuz. +bi ile +i sılrıı eşitliğii de iki poliomu eşitliği gibi tımlrız (Arıc krmşık sılr rsıdki toplm ve çrpm işlemlerii poliomlr rsıdki toplm ve çrpm işlemleri gibi düşüebilirsiiz.). TANIM İki krmşık sıı eşit olmsı içi gerek ve eter koşul, birii reel kısmıı diğerii reel kısmı, birii sl kısmıı diğerii sl kısmı eşit olmsıdır. Bu tım göre z = + b i ve z = + b i krmşık sılrı içi z = z + b i = + b i = b = b dir. 6 Ortöğretim Mtemtik

17 Öreği; + i = + i ise = ve =, 5i = 7 + i ise = 7 ve 5 =, + i = i ise = ve =, + i = 4 ise = 4 ve = dır. ÖRNEKLER ifdesii ile b gerçek sılr olmk üzere, + bi şeklide zlım. i=, 4 = i 4 = i, 5 = 5i = i i+ 5i = + 4i.. ( ) + ( ) i = 4i b. (+) + ( +)i = i ise ve gerçek sılrıı bullım.. ( ) + ( )i = 4i = = 4 = = olur. b. (+) + ( +)i = i + = + = = =4 olur = + i + ise ve gerçek sılrıı bullım. 4 = 4 i = i, 6 = 6 i, 9 =, = = + i + i + 6 i = i + i + + ( + 6 ) i = ( ) + ( + )i = ve + 6 = + i = 4 = + 6 = dir... ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki poliomlrı, ile b gerçek sılr olmk üzere, + bi şeklide zıız.. P(i) = 5 i + 7i + 8i 5 4i 5 b. P(i) = i + 7i 8i 6 + i c. P(i) = 7 + i 4 i 5 + 6i 45 ç. P(i) = + 4i i 4 + i 5 + 5i. Aşğıdki eşitliklere u ile gerçek sılrıı buluuz.. i = 4 + 5i b. i = ( + ) ( ) i c. ç. i + = i=+ i 5 i. z = + bi ise şğıdkilerde hgisi lıştır? A) z = ise = b = dır. B) z ise ve b dır. C) z ise. b = olbilir. D) z = ise + b = dır. E) z ise + b dır.. Üite: Krmşık Sılr 7

18 Ç. KARMAŞIK DÜZLEM ETKİNLİK Alitik düzlemi bir oktsı P(, b) olsu.. Ydki şekilde P oktsıı ekseie, ekseie ve b P(,b) bşlgıç oktsı göre simetrilerii çizerek gösteriiz ve bu oktlrı koorditlrıı zıız.. P oktsıı bşlgıç oktsı uzklığıı hesplıız.. ekseideki oktlrı koorditlrıı ortk özelliği edir? 4. ekseideki oktlrı koorditlrıı ortk özelliği edir? 5. Koordit ekseleride olm bir okt P(, b) ise ile b hgi sıd frklı olur? 6. + bi şeklideki krmşık sıı (, b) gerçek sı ikilisi ile ltırsk litik düzlemi oktlrı ile krmşık sılrı eşlediğii düşüebilir miiz? ekseideki ve ekseideki oktlrı hgi tür krmşık sılrl eşleeceğii çıklıız. Sizce oriji hgi krmşık sı ile eşleir? Bu eşlemei bire bir ve örte olup olmdığıı rkdşlrıızl trtışıız. Bir krmşık sıı + bi şeklide zılmsı bu sıı stdrt biçimi deir. Krmşık sılrı bşk biçimde de ifde edilebileceğii ileride göreceğiz. (, ) şeklideki gerçek sı ikililerii düzlemi oktlrı ile sıl eşlediğii litik geometri dersleriizde biliorsuuz. Bezer bir eşlemei bu kez krmşık sılrl bir düzlemi oktlrı rsıd pcğız ve bu düzleme de krmşık düzlem dieceğiz. Buu içi öce z = + bi krmşık sısıı (, b) ikilisi ile ltlım: Bu ikili bir gerçek sı ikilisidir. Alitik düzle- b P(,b) mi P oktsı, (, b) ikilisi ile eşlemiş olsu. Diğer bir deişle P oktsıı koorditlrı (, b) olsu. Şimdi, P oktsı ile z = + bi krmşık sısıı eşleelim. Bu hâlde - litik düzlem, rtık krmşık düzlemdir. ekseii bir oktsı A(, ) ise bu okt ile z = + i gerçek sısı eşleir. Bu edele ekseie, ger- b P(z) çek ekse deir. ekseii bir oktsı B(, b) ise bu okt ile z = + bi krmşık sısı eşleir. Bu eksee sl ekse dı verilir. + i sısı oriji ile eşleir. gerçek ekse sl ekse Düflüelim Y tll m Şekilde z = + i sısıı eşlediği oktı koordi- t ekselerie ve bşlgıç oktsı göre simetrileri çizilmiştir. Elde edile ei oktlr eşlee krmşık sılr z, z ve z ile gösterilmiştir. Bu sılrı + bi gibi stdrt şekilde zıız. Bu sılr rsıdki bezerlik ve frklılıklrı söleiiz. z z z = + i z 8 Ortöğretim Mtemtik

19 ÖRNEKLER. z = 4, z = i, z = 5, z 4 = 6i, z 5 = + 5i, z 6 = + 4i, z 6 5 z 5 4 z = i z 7 = 5i ve z 8 = 5 i sılrıı krmşık düzlemde gösterelim. Verile sılrı krmşık düzlemdeki gösterimi sğdki gibidir. z 5 z 4 5 z 8 z z 4 = 6i. Sğdki krmşık düzlemde görüle z, z, z, z 4, z 5, z 6, z 7, z 8 sılrıı stdrt biçimde zlım. Şekilde verile oktlrı koorditlrı göre; z = 4, z = 5 + 4i, z = i, z 4 = 4 + 5i, z 5 =, z 6 = 5 i, z 7 = i, z 8 = 5i olur. 5 z 6 z 4 4 z z z z z 5 z 8.. ALIŞTIRMALAR. 5,,, 7 sılrıı krmşık düzlemde gösteriiz. Bu sılrı eşlediği oktlr hgi eksei oktlrıdır?. 6i, i, i, 5i sılrıı krmşık düzlemde gösteriiz. Bu sılrı eşlediği oktlr hgi eksei oktlrıdır?. z = 4 + i, z = 6 + i, z = 4i, z 4 = i sılrıı krmşık düzlemde gösteriiz. Bu oktlrı buluduklrı bölgeleri söleiiz. 4. z = 5 + i, z = 5 + i, z = 5 i, z 4 = 5 i sılrıı krmşık düzlemde gösteriiz. Bu sılrl eşlee oktlr rsıd e ilişki vrdır? 5. Krmşık düzlemi, koorditlrı şğıd verile oktlrı ile eşlee sılrı, z = + bi şeklide zıız.. (,5) b. (, ) c. ( 4, 7) ç. ( 6, ) d. ( 4, ) e. (, 5) f. (, ) g. (, ) 6. Aşğıd verile krmşık sılrd hgisi, krmşık düzlemi ikici bölgesidedir? A) + 7i B) 4 + i C) 6 5i D) 7i E) 5 i. Üite: Krmşık Sılr 9

20 D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ VE MODÜLÜ ETKİNLİK. Gerçek sılrı işlerke ve + irrsoel sılrı "eşleik sılr" deildiğii gördüüz. Bu sılrı toplmı ve çrpımı hgi tür sılrdır?. Şimdi de z = i ve z = + i sılrı içi z + z ve z. z işlemlerii pıız; bulduğuuz souçlrı orumlıız. i ile + i sılrıı sıl dldırmk istersiiz?. Sı doğrusud bir sısıı eşlediği okt ile ı eşlediği okt rsıdki uzklığı ile ifde edildiğii ımsıız. Bezer şekilde 6 + 8i sısıı krmşık düzlemde eşlediği oktı bşlgıç oktsı uzklığıı hesplmk isteelim. Defteriize dik koordit sistemii çiziiz. Verile sıı bu sistemde gösteriiz ve bu sıı eşlediği oktı orijie uzklığıı hesplıız. Bu uzklığı 6 + 8i sısıı mutlk değeri olrk tımlıp tmılmcğıı rkdşlrıızl trtışıız. ÖRNEK z = 5 4i, z = 5 + 4i ise z + z ve z. z işlemlerii plım. Souçlrı gerçek sı olup olmdığıı çıkllım. z + z = (5 4i) + (5 + 4i) =, z. z = (5 4i). (5 + 4i) = 5 (4i) = 5 ( 6) = 4 İki işlemde de souçlr gerçek sıdır. z = + bi ve z = bi ise z + z = ve z. z = (bi) = + b souçlrı gerçek sılrdır. TANIM z = + bi krmşık sısı verilmiş olsu. Bu sıd sl kısmı işreti değiştirilerek zıl ei sı z ile gösterilir ve bu sı, z i eşleiği deir. z = + bi sısıı eşleiği z = bi sısıdır. Söz gelimi; z = 5 + i ise z = 5 i; z = + i ise z = i; z = i ise z = + i; z = 4 ise z = 4; z = 7i ise z = 7i; z = + i ise z = ; z = ise z = dir. z = + bi sısı krmşık düzlemi bir P oktsı ile eşlemiş olsu. b P i gerçek eksee göre simetriği P' ise z sısı d P' oktsı ile eşleir (Ydki şekil). z P(z) TANIM z = + bi ise gösterilir. + b değerie, z i modülü deir ve z ile b P'(z) Bu tım göre z sısı, z i eşlediği oktı bşlgıç oktsı uzklığıdır. z = + bi ise z = + b = + ( b) = z olcğı çıktır. Ortöğretim Mtemtik

21 Eğer z R i z = + i ise z = + = dır. Yi gerçek sıı mutlk değeri sı doğrusudki görütüsüü bu doğruu ile eşlee oktsı uzklığıdır. Düflüelim Y tll m Aşğıd soldki şekilde z ile z sılrı krmşık düzlemde gösterilmiş, Re(z), İm(z), z ve z ifdelerii eşitleri zılmıştır. Aı işlemleri diğer iki şekil içi siz pıız. z = + bi b z z = + 4i z = 6i b z = bi Re(z) =, İm(z) = b Re(z) =, İm(z) = Re(z) =, İm(z) = z = + b, z = bi z =, z = z =, z = ÖRNEK z = i, z = 5 + i sılrı içi z = z z ise ı lbileceği değerleri bullım. z = z ve z = z dir. Bu göre, z = z z = z z z = z 4( + 4) = 5 + ` + ( ) = 5 + = 9 = = çıkr... ALIŞTIRMALAR 4. Aşğıdki z krmşık sılrıı eşleiklerii zıız.. z = i b. z = 5 c. z = 4i ç. z = 7 + 6i. z = + i krmşık sısı verilior. Aşğıdki sılrı krmşık düzlemde gösteriiz.. z b. z c. z ç. z. Aşğıdki işlemleri souçlrıı eşitliği sğı zıız.. i = b. 4 = c. i = ç. = d. i = e. 4 i = f. i = g. 5 i = 4. z = + i ve z = 6 ise ı lbileceği gerçek değerleri buluuz. 5. z = + bi ve z = ise b hgi gerçek sılr olbilir? 6. z = 6, z = z ise Re(z) + İm(z) kçtır? A) B) 6 C) D) E) 4. Üite: Krmşık Sılr

22 E. KARMAŞIK SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ ETKİNLİK., b, c, d gerçek sılr ve P() = + b, Q() = c + d poliomlr olsu.. P() + Q() b. P() Q() işlemlerii pıız.. P(i) ve Q(i) ifdelerii zıız.. P(i) + Q(i) toplmıı b. P(i) Q(i) frkıı buluuz.. Yukrıd ptığıız işlemlerde rrlrk iki krmşık sıı sıl toplbileceğiizi ve biride diğerii sıl çıkrbileceğiizi çıklm çlışıız. 4. z, z, z dierek dldırcğıız üç krmşık sı zıız. Bu sılrı kullrk toplm ve çıkrm işlemlerii değişme ve birleşme özelliklerii kotrol ediiz. Sizce hgi sı toplm işlemide birim elemdır? Çıkrm işlemide birim elem vr mıdır? ÖRNEK z = 4 + 5i, z = 7i ise z + z ve z z işlemlerii souçlrıı bullım. z + z toplmıı bulurke (poliomlrd ptığımız gibi) 4 ile ve 5i ile 7i sılrıı toplrız. z + z = (4 + 5i) + ( 7i) = (4+) + [5i + ( 7i)] = (4 + ) + (5 7)i = 7 i dir. z z işlemii prke de 4 te ü ve 5i de 7i sısıı çıkrırız. Yi, z z = (4 + 5i) ( 7i) = (4 ) + (5 ( 7))i = + i dir. TANIM z, z C ve z = + b i, z = + b i ise. z + z = ( + b i) + ( + b i) = ( + ) + (b + b )i,. z z = ( + b i) ( + b i) = ( ) + (b b )i dir. Bu tımd, z ve z krmşık sılrı içi z + z ile z z sılrıı d krmşık sı olduğuu görüoruz. Demek ki krmşık sılr kümesi toplm ve çıkrm işlemlerie göre kplıdır. Yd verile şekle dikkt ediiz. Bu şekilde z = z + z dir. Bu edele şekildeki trlı iki dik üçge eş midir? O hâlde köşelerideki oktlrl, z, z + z ve z sılrı eşlemiş ol dörtge, prlelkerdır. Demek ki iki krmşık sıı toplmıı, düzlemde ölü doğru prçlrıı (vektörleri) toplmı bezetebiliriz. b +b z = z +z z b z = +b i b z = +b i z b b + z b Sğ trft verile şekilde z, z, z ve z z sılrıı eşlediği oktlr gösterilmiştir. Köşelerideki oktlrl,, z, z z ve z sılrı eşlemiş ol dörtge, bir prlelkerdır. Demek ki iki krmşık sıı frkıı bulurke de ie bir vektörel toplm pmktız. Bu toplm işlemi z + ( z ) işlemidir. b z b b b z z z b Ortöğretim Mtemtik

23 ÖRNEKLER. z = 6 + i ve z = + 5i ise z + z ve z z sılrıı hespllım. Bu sılrı krmşık düzlemde gösterelim. z = 6 + i 8 z +z + z = + 5i z + z = (6 + ) + ( + 5)i 5 z = 9 + 8i z z = (6 ) + ( 5)i = i z, z, z + z, z ve z z sılrıı krmşık düzlemdeki görütüleri dki şekilde verildiği gibidir. z 6 9 z z. z = + 4i, z = i, z = 5 + i ise z 5. z + z, z + z b. z + (z + z ), (z + z ) + z c. z + ( + i), ( + i) + z işlemlerii plım. ç. z + z = + i ise z krmşık sısıı bullım.. z + z = ( + 4i) + ( i) = ( + ) + (4 )i = + i z + z = ( i) + ( + 4i) = ( + ) + ( + 4)i = + i b. z + (z + z ) = + 4i + [ i i] = + 4i + 6 i = 8 + i (z + z ) + z = ( + 4i + i) i = + i i = 8 + i c. z + ( + i) = + 4i + + i = ( + ) + (4 + )i = + 4i = z ( + i) + z = + i + + 4i = ( + ) + ( + 4)i = + 4i = z ç. z = + bi olsu. z + z = + i ( + 4i) + ( + bi) = ( + ) + (4 + b)i = +i + = ve 4 + b = =, b = 4, z = 4i = z dir. So örekte z + z = z + z, z + (z + z ) = (z + z ) + z, z + = + z = z ve z + ( z ) = olduğuu görüoruz. ÖZELLİK. Krmşık sılr kümesi, toplm işlemie göre kplıdır.. Krmşık sılr rsıdki toplm işlemii;. Değişme özelliği vrdır. b. Birleşme özelliği vrdır. c. Birim elemı + i sısıdır.. Her krmşık sıı toplm işlemie göre tersi vrdır. z = + bi, z = + b i ve z = + b i olsu. Bu özellikleri 4. sfdki gibi kıtlrız.. Üite: Krmşık Sılr

24 : z + z = ( + b i) + ( + b i) = ( + ) + (b + b )i C dir. (): z + z =( + b i) + ( + b i) =( + ) + (b + b )i (Tım) =( + ) + (b + b )i (Gerçek sılrı toplmsıd değişme özelliği) =( + b i) + ( + b i) (Tım) =z + z (b): z + (z + z ) = ( + bi) + [( + ) + (b + b )i] = [ + ( + )] + [b + (b + b )] i (Tım) = [( + ) + ] + [(b + b ) + b ] i (R de toplm işlemii birleşme özelliği) = [( + ) + (b + b )i] + ( + b i) (Tım) = (z + z ) + z (c): ( + i) + z = z + ( + i) = ( + bi) + ( +i) (Değişme özelliği ve tım) = ( + ) + (b + )i = + bi = z. z krmşık sısıı toplm işlemie göre tersi + i sısı olsu. ve i bullım. z + ( + i) = ( + bi) + ( + i) = + i (Ters elem tımı) = ( + ) + (b + )i = + i += = = b + i = b+= bi Demek ki z = + bi sısıı toplm işlemie göre tersi bi sısıdır (Bu sıı z ile gösteririz.). Her z C içi z C olduğu çıktır (, b R içi, b R olduğuu bilioruz.). W.. ALIŞTIRMALAR 5. Aşğıdki işlemleri souçlrıı eşitliği sğı zıız.. ( + i) + ( i) = b. ( 4i) + (5 i) = c. ( + i) ( 4 + 7i) =. Aşğıdki eşitlikleri sğl z krmşık sılrıı buluuz.. z z = + 9i b. z + z = + i c. i z = + z. z = + i ve z = + i dir. Ydki şekilde; z sısı ile eşlee P oktsıı bşlgıç oktsı göre simetriği C, z sısı ile eşlee Q oktsıı bşlgıç oktsı göre simetriği E oktsıdır. Bu şekildeki tüm dörtgeler prlelker olduğu göre A, B, C, D, E, F oktlrı ile eşlee krmşık sılrı, bu oktlrı lrı zıız. Q(z = +i) B C i i E A P(z =+i) F D 4 Ortöğretim Mtemtik

25 4. Yd verile şekildeki ABCD, simetri ekseleri eksei ile eksei ol dikdörtgedir. PQRS dörtgei de kerlrıı ort oktlrı A, B, C ve D ol eşker dörtgedir. C oktsı ile z krmşık sısı eşlemiştir. S D P i C(z=+i) Q z = + i ise A, B, D, P, Q, R, S oktlrı eşlee A B krmşık sılrı, bu oktlrı lrı zıız. R F. KARMAŞIK SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ ETKİNLİK., b, c, d gerçek sılr olsu. + b ve c + d ifdelerii (poliomlrıı) çrpımıı sıl hespldığıızı ımsıız. Bu poliomlrdki belirsizii sl birim (i) olrk tımlıız. Bu göre ı çrpm işlemii + bi ve c + di ifdelerile pıız ve bulduğuuz soucu e sde şekilde zıız.. + i sısıı 5 + 4i sısı bölelim. Bu işlemi +i 5+4i şeklide zlım. Bu ifdede p ve pdı, pdı eşleiği ol (5 4i) ile çrpıız. Bulcğıız soucu stdrt biçimde zıız. Bulduğuuz souç + i sısıı 5 + 4i sısı bölümüdür.. z, z, z dierek dldırcğıız üç krmşık sı zıız. Bu sılrl çrpm ve bölme işlemlerii değişme ve birleşme özelliklerii kotrol ediiz. 4. Yukrıd zdığıız z sısı içi ( + i).z ve z.( + i) işlemlerii pıız ve bulduğuuz soucu orumlıız. Çrpm işlemi erie bölme işlemi pılırs ıtıız e olur? ÖRNEK (5 + i). (4 i) işlemii plım. İşlemi ukrıdki etkiliği. mddeside ptığıız çlışm bezer şekilde plım. (5 + i). (4 i) = 5. (4 i) + i. (4 i) = i + i. 4 i. i = i + i 6. ( ) = 6 + i TANIM z ile z krmşık sılr ve z = + b i, z = + b i ise z.z = ( + b i) ( + b i) = (. b. b ) + (. b +. b )i dir. Bu tımd z ile z krmşık sılrıı çrpımıı ie bir krmşık sı olduğuu görüoruz. Demek ki krmşık sılr kümesi çrpm işlemie göre kplıdır. ÖRNEKLER. z = + i, z = + bi ve z = b + 7i olsu. z.z = z ise ve b gerçek sılrıı bullım.. Üite: Krmşık Sılr 5

26 z.z = ( + i).( + bi) = ( b) + (b + 6)i = b + 7i b= b = b 7 6= b + 6= 7 + = b ( 6) ( ) = = b ( = 6 = ) = b= 6 = b= dir.. z = 4i, z = + i, z = 6i ise. z. z ve z. z b. z. (z. z ) ve (z. z ). z c. z. ( + i) ve ( + i). z ç. z. (z + z ) ve z. z + z. z işlemlerii souçlrıı buluuz.. z. z = 4i. ( + i) = 4i. + 4i. i = + 4i, z. z = ( + i). 4i =. 4i + i. 4i = + 4i b. z. (z. z ) = 4i. [( + i). ( 6i)] = 4i ( 6i + 6i + 8) = 8i (z. z ). z = [4i ( + i)]. ( 6i) = ( + 4i). ( 6i) = 4 + 7i + 8i + 4 = 8i c. z. ( + i) = 4i. ( + i) = 4i = z ; ( + i). z = ( + i). 4i = 4i = z ç. z. (z + z ) = 4i. ( + i + - 6i) = i i = + i z. z + z. z = 4i. ( + i) + 4i( 6i) = 4i + i + 8i 4i = + i So örekte z. z = z. z, z. (z. z ) = (z. z ). z, z. =. z = z z. (z + z ) = z. z + z. z olduğuu görüoruz. ve ÖZELLİK. Krmşık sılr kümesi çrpm işlemie göre kplıdır.. Krmşık sılr rsıdki çrpm işlemide;. Değişme özelliği vrdır. b. Birleşme özelliği vrdır. c. + i sısı birim elemdır.. z + i ise z i çrpm işlemie göre tersi vrdır. Bu sı z ve ile gösterilir. z 4. Krmşık sılr rsıdki çrpm işlemii toplm üzerie dğılm özelliği vrdır. z = + bi, z = + b i ve z = + b i krmşık sılr olsu. Bu sılrı kullrk ukrıdki özellikleri kıtllım. : z. z = ( + b i). ( + b i) = ( b b ) + ( b + b )i C dir. (): z.z = ( + b i). ( + b i) = ( b b ) + ( b + b )i (Tım) = ( b b ) + (b + b )i (R de çrpm işlemii değişme özelliği) = ( +b i). ( +b i) (Tım) = z. z 6 Ortöğretim Mtemtik

27 (b): z.(z.z ) = ( + bi). [( + b i). ( + b i)] = ( + bi) [ b b ) + ( b + b )i] = [ ( b b ) b( b + b )] + [ ( b + b ) + b( b b )]i = [( bb ) (b + b)b ] + [( bb )b + (b + b) ]i = [( bb ) + (b + b)i] ( + b i) = [( + bi). ( + b i)]. ( + b i) = (z. z ). z (c): z. ( + i) = ( + i). z (Değişme özelliği) = ( + i). ( + bi) = (.. b) + (. b +. )i = + bi = z. z = + bi +. i (, b) (, ), (i + b ) z sısıı çrpm işlemie göre tersi z = + i olsu. ve gerçek sılrıı ( ile b türüde) bulmlıız. z. z =z. z = + i = ( + i). ( + bi) = + i = (. b) + ( + b)i = + i.. b =. +. b =.. b =. b +. b = ( + b ) = = + b.. b = =. = b b. + b b = b + b + b olduğu içi ve gerçek sılrdır. Bu göre; z b = + i = + b + b 4. z. (z + z ) = ( + bi) [( + ) + (b + b )i] = [( + ) b(b + b )] + [(b + b ) + b( + )]i = [( bb ) + (b + b )i] + [( bb ) + (b + b )i] = ( + bi). ( + b i) + ( + bi). ( + b i) = z. z + z. z W ÖZELLİK i olur. z = z = + bi, z = c + di krmşık sılr ve bd olsu. z + z ve z. z gerçek sılr ise z = z tir. Bu özelliği doğruluğuu şu şekilde kıtlbiliriz: z + z = ( + bi) + (c + di) = ( + c) + (b + d)i R b + d = d = b z.z = ( + bi) (c + di) = ( + bi) (c bi) = (c + b ) + ( b + bc)i R b + bc = = c, (b ) Bu souçlr göre z = + bi ise z = c + di = bi olur. Yi z = z dir. W Kökleri z ve z ol ikici derece deklemii (z + z ) + z. z = şeklide zdığımızı biliorsuuz. Eğer z + z ve z. z sılrı gerçek sılr ise z = z olur.. Üite: Krmşık Sılr 7

28 Burd şu özelliği elde ederiz. z = ÖZELLİK, b, c, m, gerçek sılr ve + b + c = deklemii bir kökü m + i, ise bu deklemi diğer kökü m i sısıdır. Demek ki kt sılrı gerçek sılr ol ikici derece bir bilimeeli deklemlerde köklerde biri gerçek sı olm bir krmşık sı ise diğer kök bu sıı eşleiğidir. ÖRNEKLER b. (4 i). ( + i) c. ( + i). ( i). ( + i) işlemlerii souçlrıı bullım = 5. i. 5.. i. = 5.. i = 5 b. (4 i). ( + i) = 4. i + 8i i = 4 + 5i c. ( + i) ( i) ( + i) = ( i + i i ) ( + i) =(4 + i) ( + i) = 8 + i + 4i 4i = 8 + i + 4i 4i = dur. tir.. ( + i) z + 4 = i z + z + i ise z krmşık sısıı bullım. z = + bi ise z = bi dir. ( + i). z + 4 = i z + z + i ( + i ) z + 4 = i z + i ( + i). z + 4 = i z + i ( + i). ( + bi) + 4 = i. ( bi) + i bi + i b + 4 =. i + b + i b+ 4= b b 4 ( b + 4) + ( b)i = b + ( + )i b + + = = b = Bu souçlr göre z = + bi = i olur. =, b = dir.. Bir krmşık sıı eşleiği ile toplmıı ve çrpımıı gerçek sı olduğuu gösterelim. z = + bi ise z = bi dir. z + z = ( + bi) + ( bi) = z. z = ( + bi). ( bi) = b i + bi bi = +b ve b gerçek sılr olduğu içi ve + b gerçek sılrdır. 4. z = i ve z = 5 + bi olsu. z + z ve z. z gerçek sılr ise ile b sılrıı bullım. z + z R ve z. z R z = z i = (5 + bi) = 5 bi = 5, b = dir. 5. Bir kökü = 5 + i ve kt sılrı gerçek sı ol ikici derece deklemii zlım. Yzcğımız ikici derece deklemide kt sılr gerçek sı olcğı göre bir kök = 5 + i ise diğer kök buu eşleiği olcktır. Ölese = 5 i dir. + = (5 + i) + (5 i) = ( + ) + =. = (5 i). (5 + i) = = 8 Ortöğretim Mtemtik

29 6. z = + i ve z = i ise z, z. z sılrıı bullım. z = z = i ( + i) = + i = 4i + i 5 = 5 + i dir. 5 z ile z sılrıı çrpımı; z z. z = ( + i). i z 5 + = = i = i Bu sıı, z sısıı z sısı bölümü olrk tımlcğız. olur. TANIM z ile z krmşık sılr ve z olsu. z z. z sısı, z i z e bölümü deir ve z : z d ile gösterilir. z Bu tım göre; z z = z. z z. z olur. ÖRNEKLER z. z = 5i ve z = + 4i ise ve z işlemlerii plım. z z z z = 5i + 4i = 5i 4i (6 ) + ( 8 5) i = +4i 4i 9+6 z z = +4i 5i = +4i +5i 5i +5i = (6 ) + (5 + 8)i 4+5 = i, = i olur. i. + i işlemii soucuu bullım. + i + i i + i i i + i + i i i = 4i i+i 4i. 5i. 7 i = deklemii köküü bullım. 5i. 7 i = 5i. = 7 + i = 4. + = deklemii çözüm kümesii bullım. + = ( ) = i = ( i) ( + i) = i = v + i = = i v = i Ç= { i, i} olur = deklemii çözüm kümesii bullım =, =, b = 5, c = 7 ; Δ = b 4c = = = i 7+i 5i. i i = 7i + i 5 = i çıkr. = b ± Δ 5 ± i 5 ± i, = = = 5 i, = 5 + i Ç = 5 i, 5 + i dir. i+i + i = 5i 5 + i = i dir.. Üite: Krmşık Sılr 9

30 6. i. + ( i) + i = deklemii köklerii bullım. Öce deklemde iki ı d i ile çrprk i kt sısıı gerçek sı plım. i.i. + ( i) ( i) + ( + i) ( i) = b i 9 ( + i) + + i =, = ± Δ = + ± =, b = (+i), c = + i ++ i 9i + 4i Δ = b 4c = [ (+i)] = = = + i, 4..(+i) = 4 + 4i + i 4i = 9 dur. i i i = + 9 = = i dir. 7. z + 4z + kz + = deklemii bir kökü i ise k sısıı bullım. Verile deklemde z erie i zlım ve ilgili işlemleri prk k sısıı bullım. ( i) + 4 ( i) + k ( i) + = ( i + i i ) + 4 ( i + i ) + k ( i) + = i 8i + k ( i) + = i + k ( i) = + i + i+ i+ i k = = i i ( + i) = 9+ i 9 = + i çıkr... ALIŞTIRMALAR 6. Aşğıdki işlemleri pıız ve souçlrı stdrt biçimde zıız.. ( 5 + i) ( i) + i. ( + i) b. i ( 4i) ( + i) c. ( i) ( + i) + i 6 ç. ( i) ( + i) ( i) ( i) i + i i i d.. +. e ( i ). ( + i) i 5. Aşğıdki eşitliklerde z krmşık sılrıı buluuz.. i z = 5 i ( + i) b. z. ( 4i) ( + 4i) = i c. z i ( i) = ( i) ( + i) ( + i). Aşğıdki işlemleri souçlrıı buluuz.. i b. i i i i i i + i c. ( i)( i) ç. i i ( + )( + ) i i i ( i)( i) i + + i i 4. Aşğıdki eşitliklerde, z krmşık sılrıı buluuz.. z + i. z = + i b. ( + z) ( i) = z 4i c. i. z z = 4 + z z 5. z = bi ve z = b + i ise işlemii pıız. z Ortöğretim Mtemtik

31 G. KARMAŞIK SAYILARDA EŞLENİK VE MODÜL İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER ETKİNLİK. Bir z krmşık sısıı ve buu eşleiğii zıız. Yzdığıız z ve z sılrıı modüllerii hesplıız. Bulduğuuz souçlr eşit midir? z ve z sılrıı krmşık düzlemde göstererek bulduğuuz souçlrı orumlıız. z sısıı eşleiği hgi sıdır?. Herhgi iki z ve z krmşık sı zıız. Bu göre; z + z, z z, z +z, z z sılrı rsıd eşitlikler bulm çlışıız.. Herhgi iki z ve z krmşık sı zıız. Bu göre; z. z, z : z, z.z, z :z sılrı rsıd eşitlikler bulm çlışıız. z 4. de zdığıız z ve z sılrı içi z, z, z, z.z, sılrı rsıd eşitlikler bulm z çlışıız. ÖRNEK z = + i, z = + i ise z + z, z + z ; z z, z z ; z. z, z. z z,( z ) ve sılrıı bullım. z = + i, z = + i ise z = i ve z = i dir. Bu göre, z z + z = + i, z + z = i ve z + z = ( i) + ( i) = i; z = i, z z = i ve z z = ( i) ( i) = i; z. z = ( ) + i= + i, z. z = i ve z. z = ( i)( i) = ( ) + ( i i) = i; z i i = = = = = + i i, + = = + i ( + i)( i) z i ve ( z ) i ( i)( + i) = + i = + i dir. Bu işlemlerde sezilediğiiz özellikleri zlım, sor bu özellikleri kıtllım. ÖZELLİK z, z ve z krmşık sılr olsu.. ( z) = z dir. 4. z. z = z. z dir.. z + z = z. z + z dir. 5. z ise z = (z) dir. z = z z dir. z = + bi, z = + b i ve z = + b i olsu. Bu özellikleri doğruluğuu, şğıdki gibi kıtlbiliriz:. (z) = ( + bi) = bi (z) = ( bi) = + bi = z,. z + z = ( + ) + ( b + b ) i z + z = ( + ) ( b + b ) i= ( b i) + ( b i) = z + z,. z z = ( + b i) ( + b i) = ( ) + ( b b ) i z z = ( ) ( b b ) i= ( b i) ( b i) = z z olur.. Üite: Krmşık Sılr

32 4. z. z = ( + bi ). ( + bi ) = ( bb ) + ( b + b ) i 5. z z. z = ( b b ) ( b + b ) i = ( bb ) + ( b b) i z bi b = = = = z + bi + b + b + b i = = ( b i)( b i) = z. z dir. + b b b i bi bi bi + + = + + b = ( + )( ) ( + b )( bi) + b = = = = ( z) olur. ( + b ) ( bi) bi z z z ise = z. z = z. z = z. z z = z olur. z ÖRNEKLER. z = 5 i ve z = + 4i ise z + z ve z z sılrıı bullım.. z z + z = z + z = ( 5 + i) + ( 4i) = 8 i, z = z z = ( 5 + i) ( 4i) = + 6i dir. z = + i ve z = i ve z z ve z. z = z. z = ( i). ( + i) = i + i i = i, z z z i ( i)( i) + i i i i = = = = = = z + i ( + i)( i) 4 i 5 z z sılrıı bullım. 5 i dir. 5 i. z = ise z sısıı bullım. + i i i + i + i + i i z = = = = = = i olur. + i + i i i + i z = + 4i sısıı krmşık düzlemde gösterelim. Bu düzlemde, z ve z sılrıı eşlediği oktlrı d belirtelim. Ydki şekilde krmşık düzlemi z = + 4i sısı ile eşlee oktsı kırmızı rekle belirtilmiştir. z ile eşlee oktı ekseie göre simetriği ol (mvi) okt z = 4i, bşlgıç oktsı göre simetriği ol (eşil) okt ise z = 4i sısı ile eşlee oktdır. z = + 4i 4 z = 4i 4 z = 4i Ortöğretim Mtemtik

33 = deklemii köklerii bullım. Krmşık düzlemi bu köklerle eşlee oktlrıı koumlrıı iceleelim. Verile deklemde =, b = 6, c = dur. Δ = b 4c= 6 4= 4= 4i, b Δ 6 i = = = i = + i, = i olur. Bu köklerde her biri diğerii eşleiğidir. Krmşık düzlemi bu sılrl eşlee oktlrı, ekseie göre simetrik koumddır. 6. z = 6 8i, z = + 4i, z = i ise. z, z, z b. z z, z z c. ç. z z. z, z, z, değerlerii hespllım. z z. z = 6 8i = 6 + ( 8) = =, z = 6+8i = =, b. z.z = (6 8i) (6 + 8i) = 6 64i =, z = = c. z. z = ( + 4i). i = 9i = = 5 ç. z = 6+ 8i = ( 6) + 8 = z = + 4i = 9+ 6 = 5, z = i = z z + 4i i z = = = i = + = 5, = i 9 z () i z Bu örekte,, z. z = z. z ve = z z = z = z z z = z olduğuu görüoruz. z z ÖZELLİK z, z ve z krmşık sılr olsu.. z = z = z dir.. z. z = z dir. 5. z. z = z. z dir. 4. z z = (z ) dir. z z z = + bi, z = + b i ve z = + b i olsu. Bu özellikleri doğruluğuu şğıdki gibi kıtlbiliriz:. z = + b = + ( b) = ( ) + ( b) z b z z z = bi = bi z = z = z, z ). z. z = ( + bi). ( bi) = + b = ( + b = z, z b. Üite: Krmşık Sılr z z

34 . z. z = ( b b ) + ( b + b ) i = = ( b b ) + ( b + b ) + b b + b + b ( + b )+ b ( + b ) = = ( + b ) ( + b ) = z. z 4. z z = z. z z. z z = z. = z z. (z. z ) sısı pozitif gerçek sıdır. Bu edele z = z z olur. Bu göre; z z ( ). z. z = =. z. z =. z. z = z z z z. z z = dir. z ÖRNEKLER. z = 6 + 8i ise z sısıı zlım. z ile z sılrıı modülüü bullım. Bu sılrı krmşık düzlemde gösterelim. z = 6 + 8i ise z = 6 8i, z = = =, z = 6 + ( 8) = = olur. z ile z sılrıı eşlediği oktlr gerçek eksee göre simetrik olduğud bu oktlrı bşlgıç oktsı uzklıklrı, i bu iki sıı modülleri ıdır. 8 z 6. z + z = i ise z krmşık sısıı bullım. z = + bi olsu. z = + b ve z = bi olur. Bu değerleri, verile deklemde erlerie zrk ile b gerçek sılrıı bullım. z + z = i. + b + b z = + bi = i + = b = ( 5 i )( + 4i ) ( )( + ) 5 i 4i 5 i. 4i z = = = z = 5 + i 5 + i ( )( ) 5 + i = = 4 tür. b = = 5/6 ise z sısıı modülüü bullım. 4. z = i ve z = + i sılrı verilmiş olsu. + 4 = + 4 = 9 6+, z = 5 + i olur. 6. b. c. z z+ z z. z ç. z. z işlemlerii plım. z = z ( )( ) 4 Ortöğretim Mtemtik

35 . z + z = z + z = z + z = ( + i) + ( i) = 8 + i, c. z z b. z. z = z. z = z. z = = 5, z z + 4 = = = = = z z 4+ 5 z z ç. z z = çıkr z = = = =. z ( ) ( ) ( ) 5 5,.. ALIŞTIRMALAR 7. Aşğıdki z krmşık sılrı içi z sısıı + bi şeklide zıız. i i( + i) i i. b. c. z = ( )( + z = z = ) + i i ( 5+ i)( + i) i. z = + 4 krmşık sısı verilior. z = ise ı lbileceği gerçek değerler edir? i. zz ive z 9 = 6+ 7 = i ise z ve z değerlerii hesplıız. z z = ( i). ( + i) ise z ve z sılrıı hesplıız. Ğ. KARMAŞIK SAYILARDA İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER ETKİNLİK., b, c gerçek sılr olmk üzere + b + c = deklemii diskrimitıı htırlrk = b. + 4 = c = deklemlerii köklerii buluuz = deklemii diskrimitıı hesplıız = deklemii köklerii buluuz.. Deklemi kökleri rsıd sıl bir ilişki vrdır? Arkdşlrıızl trtışıız. b. Bu kökleri eşleik sılr olup olmdığıı çıklıız. + b + c = deklemide, b, c bilie krmşık sılr, ve deklemde bilimee olsu. + b + c = b c b b c + + = + + = 4 b b 4c b ± b 4c + = + = 4 eşitliklerii zbiliriz. Demek ki verile deklemi iki kökü vrdır. Her biri krmşık sı ol bu kökler; b Δ b + Δ = ve =, Δ = b 4c sılrıdır.. Üite: Krmşık Sılr 5

36 ÖRNEKLER. 4 + = deklemii köklerii bullım. Verile deklemde = 4, b =, c = tür. Δ = b 4c= = 8 = 8 = 8 i = b ±, Δ = ( ) ± 8 i. = ± 6 8 i = 6 i = i, = + 6 i 8 = i dir.. ( i) + i = deklemii köklerii bullım. Verile deklemde =, b = ( i) = + i, c = i dir. Δ = b 4c = ( + i) 4..( i) = i + i 8 + 8i = 8 + 6i = ( + i) = b ± Δ i±(+ i) =, Yukrıd çözdüğümüz birici örekteki 4 + = deklemide kt sılr gerçek sılrdır. Bu deklemi kökleri eşleik sılrdır. Bu durumu, b, c kt sılrıı gerçek sı olduğu her + b + c = deklemide geçerli olcğıı 8. sfd gördüğümüz özellikte bilioruz. ÖRNEK + + b = deklemide bir kök = i ise ve b gerçek sılrıı bullım. Verile deklemi kt sılrı,, b dir. ile b de gerçek sılr olrk istediğie göre bu deklemi bir kökü = i ise diğer kökü = + i olmlıdır. Bu göre; + = = ( i) + ( + i) = 4 = 8, i (+ i) = = i, = i+(+ i) = +i =+i dir.. = b =( i).( + i) = 4 i = 5 b = olur... ALIŞTIRMALAR 8. Aşğıdki deklemleri çözüm kümelerii buluuz.. + = b = c = ç =. Aşğıdki deklemleri çözüüz i = b. i. ( i) i = c. ( i) ( i) i = ç. (+i) (+5i) + i =. Kt sılrı gerçek sılr ol ve bir kökü şğıd verile ikici derecede bir bilimeeli deklemleri zıız.. = i b. = + i c. = i 4. Kökleri şğıd verile ikici derecede bir bilimeeli deklemleri zıız.. = i, = + i b. = i, = i c. = i, = + i 6 Ortöğretim Mtemtik

37 H. KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK ETKİNLİK. Alitik düzlemde A(, ) ve B(, 5) oktlrıı işretleerek [AB] ı çiziiz. Alitik düzlemde rrlrk AB u hesplıız.. Krmşık düzlemde C( + i) ve D( + 5i) oktlrıı işretleiiz ve [CD] ı çiziiz. A ile C ve B ile D oktlrı rsıd sıl bir ilişki vrdır? Bu göre CD u hesplm çlışıız. Bu çlışmlrd rrlrk iki krmşık sı verildiğide, bu sılrı eşlediği oktlr rsıdki uzklığı sıl hesplbileceğii çıklıız.. M ( + i) ise krmşık düzlemi z ( +i) = koşulu u z sılrı ile eşlee oktlr sizce hgi şekli oluşturur? Yıtıızı şekil çizerek çıklıız. Krmşık düzlemde merkezi ve rıçp uzuluğu verile çemberi deklemii sıl zılbileceğii rkdşlrıızl trtışıız. z = + i sısı krmşık düzlemi A oktsı ile z = 4 + 4i sısı d B oktsı ile eşlemiş olsu. Bu ok- 4 B tlr dki şekilde gösterildiği gibidir. Bu şekildeki ACB dik üçgeide AC = 4 ( ) = 6 ve BC = 4 = birimdir. Bu dik üçgede AB = AC + BC = 6 + = 45 ve A C AB = 45 = 5 birim çıkr. Öte d; z z = 4 + 4i ( + i) = 6 + i ve 4 z z = 6 + = 5 birimdir. Bu örekte A(z ), B(z ) ike AB = z z olduğuu görüoruz. Şimdi bu durumu her z ve her z krmşık sısı içi doğru olup olmdığıı rştırlım. z = + b i krmşık sısı, krmşık düzlemi A oktsı ile, z = + b i sısı d bu düzlemi B oktsı ile eşlemiş olsu. Şekildeki ABC dik üçgeide, AC =, BC = b b AB = ( ) + (b b ) b B(z ) dir. Diğer d z z = ( ) + (b b ) i ve z z = ( ) + (b b ) olur. Demek ki AB = z z AB = z z dir. Söz gelimi, A( 4+i) ve B( i) ise AB = ( 4 + i) ( i) = 5 + i = = 9 olur. b A(z ) z B. C z. Krmşık düzlemi iki oktsı A(z ) ve B(z ) ise [AB] ı ort dikme doğrusuu deklemi z z = z z olur (sğdki şekil). z z = z z A z. Üite: Krmşık Sılr 7

38 . r R + ve z C sbit sılr olsu.. z z = r eşitliği z merkezli r rıçplı çember belirtir. z z > r b. z z < r eşitsizliği, merkezide z bulu r rıçplı çemberi iç bölgesii belirtir. c. z z > r eşitsizliği, merkezide z bulu r rıçplı çemberi dış bölgesii belirtir (sğdki şekil). z z < r z r z ÖRNEKLER. z 4+ i = eşitliğii sğl z krmşık sılrıı krm- şık düzlemde gösterelim. z 4 i = z 4 i = zbiliriz. Bu eşitlik, merkezi + ( ) M(4 i) ve rıçpı r = ol bir çemberi deklemidir. Ölese verile eşitliği sğl z krmşık sılrıı krmşık düzlemdeki görütüleri, dki şekilde çizilmiş ol çemberdir. 4 M z. z 4+ i = eşitliğii sğl z = + i krmşık sılrıı geometrik erii deklemii ( ile rsıdki bir bğıtı şeklide) bullım. z 4+ i = + i 4+ i = ( 4) + ( + ) i ( ) + ( + ) ( ) + ( + ) = 4 = 4 = 9 dur. So bulduğumuz eşitlik, söz kousu geometrik eri deklemidir. Buu, merkezi (4, ) oktsı ve rıçpı ol çemberi deklemi olduğuu bilioruz (Bu çemberi bir öceki örekte çizdik.).. Ydki şekilde, krmşık düzlemdeki birim çember ile ie bu düzlemde bulu M( + i) merkezli ve rıçplı çember çizilmiştir:. Bu çemberleri deklemlerii zlım. b. Birim çemberi içide, diğer çemberi dışıd bulu bölgedeki oktlrl eşlee z krmşık sılrıı hgi bğıtıı sğlcğıı bullım.. Birim çemberi merkezi O( + i) ve rıçp uzuluğu birim olduğu göre deklemi, z ( + i) = d z = olur. M( + i) merkezli ve rıçplı çemberi deklemi de z ( + i) = d z = dir. M b. Birim çemberi içide ve verile ikici çemberi dışıd bulu- oktlrd herhgi biri z olsu (Bu okt ile eşlee krmşık sıı d z olrk düşüebilirsiiz.). z oktsıı bşlgıç oktsı uzklığı de küçük, M oktsı uzklığı ise de büüktür. O hâlde, bu bölgedeki z krmşık sılrı, z M z < < z bğıtısıı sğlr. 8 Ortöğretim Mtemtik