İ.Ü. Fen Fakültesi Matematik Bölümü Diferansiyel Denklemler I (örgün i.ö)

Transkript

1 İÜ Fen Fakültesi Matematik Bölümü Diferansiel Denklemler I (örgün iö) Ekim04 Ödevler - Çalışma Sorları - Arasınav Hazırlık Sorları Hazırlaan: YrdDoçDr Serkan İLTER

2 Diferansiel Denklemler I Ödev Sorları 0004 /9 A Aşağıda özellikleri verilen eğri ailelerinin diferansiel denklemlerini olştrnz! Herhangi bir A(, ) noktasındaki teğet doğrları: O eksenini (,0) noktasında kesior Herhangi bir noktasındaki teğetinin koordinat eksenlerinden aırdığı parçaların znlkları çarpımı: değme noktasının apsisinin karesine eşit Merkezleri = doğrs üzerinde blnan ve arıçapları e eşit olan çemberler ailesi 4 Herhangi bir noktasında çizilen teğetlerin znlkları: sabit bir a saısına eşit 5 Herhangi bir noktasındaki teğet-altı znlğ: b noktanın koordinatlarının aritmetik ortalamasına eşit 6 Odakları orjin ve köşe noktaları O üzerinde olan paraboller ailesi 7 = parabolüne teğet olan doğrlar ailesi 8 c = sin c 9 = tan( + c) 0 ( - a) + b = B Aşağıdaki dif denkler için izoklin eğrilerini belirleip ek olarak istenilenleri elde ediniz! = + 4, k =, 4 değerlerine karşılık gelen izoklin eğrilerini çizip, üzerinde önleri belirtiniz =, izoklin öntemini kllanarak ( k =-, -, 0,, alıp önleri belirleerek); denklemin çözümlerini belirlemee çalışınız! C Aşağıda verilen fonksionların, anlarında azılı aralıklarda (her bir fonks ve aralık için) diferansiel denklemlerin çözümü olp olmadıklarını araştırınız! 4 = +, (, ) -, = = 0, (-,), =- - = 0, (-,), =

3 4 5 n p p - tan = 0, ( 0, ), (, p ), = cos n = denkleminin (-,) de çözümü var mı? /9

4 Diferansiel Denklemler I Ödev Sorları 5004 /9 A Aşağıda verilen denklemlerin; hangi tip denklem oldklarını (nedenleri ile belirterek) belirleiniz! anlarında koşl var ise, istenen koşl sağlaan çözümünü, koşl ok ise, tüm çözümlerini (genel çözüm ve varsa tekil çözümlerini) çözümün geçerli oldğ değişkenlerin tanım aralıklarını da vererek blnz e - d d ( + ) -( - ) = 0 = ( + ) = - cos =, 9p ( + ) = = 0, (0) = / 6 é ù cos ( )- d+ d= 0 êë úû 7 tan d - nd = = - + = = + iken ( ) sınırlı - d+ d= - = sin( - ) ( ) 0 + d= d 4 - = ' n = -, ( p /) = 0 - = B Aşağıda verilen pd (, ) + qd (, ) = 0 denklemleri için, ilk aşama olarak p=, q= v dönüşümü aparak, son halde denklemi değişkenlerine arılabilir şekle getiriniz! p = + a, q= + b p = +, q= - p= - +, q= p= + a-, q= + b+ C Aşağıda istenilenleri elde ediniz! (denklem çözümü öncesinde; olştrdğnz denklemde eğer var ise, mtlak değerleri göz ardı edebilirsiniz!) A (0,) noktasından geçen ve herhangi bir noktasındaki teğet-altı znlğ: b noktanın koordinatlarının aritmetik ortalamasına eşit olan eğrii blnz (,) A noktasından geçen ve herhangi bir noktasındaki teğetinin O ekseninden aırdığı parçanın znlğ: değme noktasının apsisinin karesine eşit olan eğrii blnz

5 A(,) e noktasından geçen ve herhangi bir noktasındaki teğetinin O ekseninden aırdığı parçanın znlğ: değme noktasının ordinatının iki katına eşit olan eğrii blnz 4/9 4 Orjinden geçen bir eğrinin, herhangi bir A( noktasından, ) koordinat eksenlerine paralel doğrlar çizilerek iki parçadan olşan bir dikdörtgensel bölge medana getirilmektedir Öle bir eğri ailesi blnz ki, her bir eğri için dikdörtgensel bölgenin bir parçasının alanı, diğer parçasının alanının üç katı olsn Bölüm son beklenen kazanımlar: Farklı denklem türlerini (sorlarda tür ve çözüm hakkında herhangi bir önlendirme apılmaksızın); kısa sürede tespit etme (denklemleri sınıflandırabilme)! Geometrik özellikleri kllanabilme! Çözüm kavramlarını (Genel çözüm-tekil çözüm) algılaabilme, çözümün geçerli olacağı aralıkları tespit edebilme! Başlangıç koşlları veaht farklı şekillerde verilen koşllar ardımıla denklemin istenilen özel çözümlerinin tespit edilebilmesi! Denklem çözümleri için; aranan fonksion ve bağımsız değişkene göre (herhangi bir öntemi ezberlemeden) dönüşümler apabilme, gn dönüşümleri araştırabilme!

6 Diferansiel Denklemler I Ödev Sorları /9 A Aşağıda verilen denklemlerin; hangi tip denklem oldklarını (nedenleri ile belirterek) belirleiniz! anlarında m= m(, ) integrason çarpanı var ise önce tam dif hale getirilerek anlarında koşl var ise, istenen koşl sağlaan çözümünü, koşl ok ise, tüm çözümlerini (genel çözüm ve varsa tekil çözümlerini) çözümün geçerli oldğ değişkenlerin tanım aralıklarını da vererek blnz ( ) d+ - tan d = 0 ( -) d- d = 0 + ( cos ) = sin cos 4 sin cos d + cos sin d = 0, ( p) = p/4 5 ( e - ) d+ ( e - ) d= 0 6 ( - ) d + d = 0, m= m( - ) 0 + c ( ot ) = cos - = + ( ) + d d + + = 0 ( + ) d ( ) d =, m= m ( ) 4 sin + =- sin 5 ( ) + + d + d = sin sin = sin sin ( ) ( ) + tan d+ - tan d= 0 - n d + + d = 0 ( ) ( ) 6 (cos cos -cot ) d- (sin sin ) d= 0 7 ( - sin ) d+ d = 0 8 = n B Aşağıdaki denklemleri, belirlediğiniz gn hipotezler altında, bir diferansiel denklem problemine dönüştürerek çözümlerini blnz 4 () t = + dt ò ( - t) () t dt = + () t dt t ò ò 0 0 () t = - ò dt tnt 4 e = + ò 0 dt

7 C Bir + p( ) = q( ) lineer diferansiel denklemin ve ( ¹ ) gibi iki özel çözümü bilindiği taktirde (hiç integral işlemi apmadan) genel çözümün blnabileceğini gösteriniz 6/9 C den ararlanarak = = + e - özel çözümleri verilen lineer diferansiel denklemi ve b denklemin genel çözümünü blnz D d + ( - ) d = 0 denkleminin tam diferansiel denklem olabilmesi için k gn k saısını belirleiniz B k saısı için tam diferansiel denklemin genel çözümünü blnz a b m a ve b nın hangi değerleri için = a + b denklemi = z dönüşümü ardımıla bir homojen diferansiel denklem haline getirilebilir? a ve b nın hangi değerleri için m = ; + d+ - d= 0 denkleminin (tam diferansiel hale getiren) bir integrason çarpanı olr? a b 4 ( ) ( )

8 Diferansiel Denklemler I 7/9 Çalışma Sorları 8004 A Aşağıda istenilenleri elde ediniz! (, ) A - noktasından geçen ve herhangi bir noktasında teğetinin ordinat ekseninde aırdığı parçanın znlğ, değme noktasının apsisine eşit olan eğrii blnz (Not: olştrdğnz denklemdeki mtlak değeri göz ardı edebilirsiniz) n = a + b eğri ailesinin diferansiel denklemini olştrnz B Aşağıda verilen denklemlerin; hangi tip denklem oldklarını (nedenleri ile belirterek) belirleiniz! anlarında koşl var ise, istenen koşl sağlaan çözümünü, koşl ok ise, tüm çözümlerini (genel çözüm ve varsa tekil çözümlerini) çözümün geçerli oldğ değişkenlerin tanım aralıklarını da vererek blnz 4 = e + - d+ - d= ( ) ( ) 0 = - + (- ) tan = 0 5 ( + + 7) = ( + ) = =, i) (0) 0 e - =, ii) ( + ) = 0 8 = = cos( - ) 0, () = + d d = ( ) ( ) 0 ( + ) = - t- () t = + ò dt t+ () t (önce bir difdenk problemine dönüştürünüz!) + =-

9 Not: Çözümler-Yol göstermeler kontrol amaçlıdır, azım hatası - eksiklikler vs olabilir kendi çözümlerinizle mtlaka karşılaştırınız Çözümler 8/9 (son güncelleme : 7004) A Önbilgi: = ( ) eğrisinin M (, ) noktasındaki Teğet Denklemi ( ( X, Y ) teğet üzerindeki kefi nokta) ï ï ï : Y- = ( X- ) Teğetinin ordinat ekseninde aırdığı parçanın znlğ denklemde X = 0 azılarak (ani Y = - ), -ekseninde aırdığı parçanın znlğ Y = 0 azılarak (ani X = - ), blnabilir Ek olarak, Teğet-altı znlğ: ; Teğet znlğ: æ ö + ç çè ø şeklinde blnacaktır (Şekil üzerinde gözlemleiniz!) Y = -, b da değme noktasının apsisine eşit olacak ani Y = Y = - Y = ï - =, > 0 = - (homojen denklem) = c- n [ Genel Çözüm ] blnacaktır (İnceleiniz!) (, ) A - noktasından geçtiğine göre: () = - ani için - ü ï ï = = ï genel çözümden: - = c- n c = - O halde istenilen çözüm : =- ( + n )

10 A Amacımız verilen eğri ailesini genel çözüm kabl eden dif denk i belirlemek oldğndan; eğri ailesinde iki kefi sabit olması sebebile, ikinci mertebe adi dif denk elde etmee çalışacağız! 9/9 -e göre türev -e göre türev n = a + b (i) = a+ b (ii) - = b (iii) ï ï ï ( iii) den ( ii) den b = - a = + b = - + = () i den n = a + b = ( ) + ( - ) her iki taraf ile çarpılırsa n= + - (- n) = ( - ) B (Değişkenlerine Arılabilir denklem) = e + - ò e - d = ò d, ¹ - ( ) - e = n - + c [ Genel Çözüm] I : ¹ B (Homojen denklem) pd + qd = 0 azımından; p (, ) = -, q (, ) = - fonksionları mertebeden homojendirler (gözlemleiniz!) - d+ - d= ( ) ( ) 0 -( ) - = = - ( )-

11 =, =, = ( ) - = - ï ïï -e göre türev - = + = - - = - - 0/9 - ò d = d ò - = I ( ¹ 0, ¹ ) I I integralini hesaplaalım: = ò d - ò d - - = I = I I için I =- n - + k / / - = gözleminden, I + = n + k - oldğ kolaca görülür + = I - =- - - n + k + k - I n I + - n - - n = n + n c - ( ) - - æ + ö - = c ç è- ø = idi I : ¹ 0, - - ç æ + ö ç æ ö ç - = c ç è ø ç - çè ø ¹ [ Genel Çözüm ] = = için çözüm araştırması:

12 = = blnr, b eğriler diferansiel denklemi sağlar (gözlemleiniz!) dolaısıla denklemin bir çözümüdür Genel çözüme dikkat edilirse, = çözümünün denklemin bir Özel-Çözümü iken, =- çözümünün denklemin bir Tekil-Çözümü oldğ görülür (gözlemleiniz!) /9 B (Homojen denklem) pd + qd = 0 azımından; p(, ) =-, q (, ) = - fonksionları mertebeden homojendirler (gözlemleiniz!) / = = / - - =, =, = ( ) ï ïï = - -e göre türev = + = - = - - ò - d = ò = I d ( ¹ 0, ¹ 0 ) I integralini hesaplaalım: I = ò d -ò d -/ = ò d-ò d =- - n + k - - = + - = n n nc nc = idi - = [ Genel Çözüm ] / I : ¹ 0, ¹ 0 nc

13 = = 0 = 0 için çözüm araştırması: = 0 diferansiel denklemi sağlar ( ¹ 0 ) (gözlemleiniz!) dolaısıla denklemin bir /9 çözümüdür Genel çözüme dikkat edilirse, b çözümün denklemin bir Tekil-Çözümü oldğ görülür (gözlemleiniz!) B4 (Değişkenlerine Arılabilir denklem) + (- ) tan = 0 ò d =- tan d ò - ( ¹, ¹ (n- ) p /, n= 0,, ) = I = I I ve I integrali hesaplanırsa: I + = n + k -, I = n cos + k blnr (inceleip, ara işlemleri apınız!) + n = n cos + n c - + = ccos ccos = [ Genel Çözüm ] + ccos I : ¹, ¹ (n- ) p /, n= 0,, = = için çözüm araştırması apınız! B5 (Homojen hale getirilebilen denklem) Iol : =, = = 0 ï - ¹ doğrları kesişirler Dikkat edilirse, Kesişim Noktası: (-,- ) dir - - e taşınırsa (ötelenirse), ani denklem için = +, = + Orjin: (, ) dönüşümü apılırsa, denklem: Homojen hale gelecektir

14 = +, = + d = ( ) = d, d = d ï d d ( / ) = = + + ( / ) (Homojendir,gözleiniz!) /9 =, =, = () t - + = + ï ïï -e göre türev - + = + = = d + ò =- ò d ( 0 = I ¹ ) I integrali hesaplanırsa: I = arctan + n( + ) + k blnr (inceleip, ara işlemleri apınız!) arctan + n( + ) =- n + c arctan ( ) + n + =- n + c + = = idi + æ ö æ ö arctan ( + ) =- + + ç è + ø çè+ ø n n c [ Genel Çözüm ] I : ¹- IIol : (- + 4) d + ( + + 7) d = 0, = = v

15 d = d- d dv = d + d ï ( d + dv) + v( - d + dv) = 0 5d = d+ dv, 5d =- d+ dv (denklemde erine azalım) 4/9 ( - v) d + ( + v) dv = 0 (Homojendir,gözleiniz!) Şimdi = tv dönüşümü apalım d = vdt + tdv (denklemde erine azalım) ( vt - v)( vdt + tdv) + ( vt + v) dv = 0 v (t - ) dt + v( t + ) dv = 0 t - vdt+ dv= 0 t + v (DeğişArılabilir) ( v ¹ 0 ) elde edilir (geri kalan integral hesabı Iol ile anı, tamamlamak okca bırakılmıştır!) B6 ( = f ( a + b + c) formatında Değişkenlerine-Arılabilir hale getirilebilen denklem) Denklem, + = dönüşümü ile Değişkenlerine Arılabilir hale getirilebilir: + =, = ( ) = ï -e göre türev + = d = d + = ò d = ò + = I d I integrali hesaplanırsa: I arctan k = - + blnr (inceleip, ara işlemleri apınız!) - arctan = + c + - arctan( + ) = + c [ Genel Çözüm ] = + idi I : - < < B7 (Değişkenlerine Arılabilir denklem) = ee ò e d = ò e d

16 - - - e =- e + c [ Genel Çözüm] I : - < < 5/9 Şimdi denklemin verilen koşlndan sağlaan çözümünü blalım (0) = 0 ani 0 için 0 ü ï ï = = ï genel çözümden: - =- + c c =- Benzer şekilde, ( + ) = 0 dan e =- e c + c =- æö = ç = 0 çèe ø O halde i) için, istenilen çözüm : O halde ii) için, istenilen çözüm : - - e = + e - - e = + e B8 ( = f ( a + b + c) formatında Değişkenlerine-Arılabilir hale getirilebilen denklem) Dikkat: - + = dönüşümü apmaktansa, kareköklü ifadeden ötürü kolalık olsn die b sefer - + = dönüşümü apalım: ( b dönüşümü aparken denklemin alnızca - + ³ 0 drmnda tanımlı oldğna da dikkat ediorz) - + =, = ( ) = 4 ï -e göre türev - = - 4= = 4 ò d = d -4 ò = I ( ¹ ) 4 I için: görülür / = gözleminden, I =- - n k oldğ kolaca n - 4 = + c (B8-) 8

17 blnr - + = idi = - + değerinin (B8-) de erine azılmasıla Genel Çözüm elde edilir (I : - + ³ 0, 5 ¹ + ) 6 6/9 = - + = için çözüm araştırması: = den = + blnr, b eğri diferansiel denklemi sağlar 4 6 (gözlemleiniz!) dolaısıla denklemin bir çözümüdür Genel çözüme dikkat edilirse, b çözümün denklemin bir tekil- çözümü oldğ görülür (gözlemleiniz!) B9 ( Özel-formda Değişkenlerine-Arılabilir hale getirilebilen denklem) - = cos( - ) ( - ) = cos( - ) oldğndan dikkat edilirse, - =, = ( ) dönüşümü apıldığında - = ifadesinin -e göre türevi - = olacağından denklem = cos değişkenlerine arılabilir hale gelir : ( - ) = cos( -) = = = cos ò d = d cos ò = I ( cos ¹ 0 ) I= n + tan + k blnr (inceleip, ara işlemleri apınız!) cos n + tan = n + nc cos + sin= ccos blnr tan c cos + = + sin( - ) = ccos( - ) [ Genel Çözüm ] =- idi I : ¹ 0, ¹ -(n- ) p /, n=,, 5

18 (n-) p = - = (n- ) p / ( n = 0,, ) = - için çözüm araştırması: B eğri diferansiel denklemi sağlar (gözlemleiniz!) dolaısıla denklemin bir çözümüdür Genel çözüme dikkat edilirse, n = 0,, 4 için çözümleridir; n =,, 5 için (gözlemleiniz!) (n-) p = - : denklemin özel- (n-) p = - : denklemin tekil- çözümleridir 7/9 B0 ( = f ( a + b + c) formatında Değişkenlerine-Arılabilir hale getirilebilen denklem) + =- ( + ) - Denklem, + = dönüşümü ile Değişkenlerine Arılabilir hale getirilebilir: + =, = ( ) =- - ü ï ï -e göre türev - + = d = d - =- - - ò - d = ò = I d ( ¹ /) I integrali hesaplanırsa: apınız!) I = + n - + k blnr (inceleip, ara işlemleri 4 + n - = + c 4 = + idi ( + ) + n + - = + c [ Genel Çözüm ] 4 I : ¹- + = + = =- + için çözüm araştırması:

19 B eğri diferansiel denklemi sağlar (gözlemleiniz!) dolaısıla denklemin bir çözümüdür Genel çözüme dikkat edilirse, b çözümün denklemin bir tekil- çözümü oldğ görülür (gözlemleiniz!) 8/9 B (Homojen denklem) pd + qd = 0 azımından; p (, ) = -, q (, ) = + fonksionları dereceden homojendirler (gözlemleiniz!) - -/ = = + + / =, =, = ( ) - = + ï ïï -e göre türev - = + = + - = ò + d = d ò + - ( ¹ 0, + ¹ ) - n + - = n - nc c + - = = idi c ( ) + - = [ Genel Çözüm ] I : ¹ 0, + ¹ B (Belirli integral içeren denklemi: bir dif denk problemine dönüştürme) Ugn koşllar altında, aşağıdaki özellik geçerlidir B koşlları belirlemek ise okca bırakılmıştır ( İntegral Hesabın Temel Teoreminin kısmından ararlanabilirsiniz!), (dolaısıla belirlemeden aşağıdaki özelliği kllanma hakkına sahip değilsiniz!) = f(, ), a ( ) = b = b+ò f(, t () t ) dt a

20 t- () t - = + ò dt =, () = t+ () t + 9/9 B deki denklem için, bir Başlangıç-Değer problemidir c Genel Çözüm: ( ) + - = idi () = ani için ü ï ï = = ï genel çözümden: c () + - = c = O halde istenilen çözüm : + - = Not: Çözümün, çözüme başlarken bahsedilen gn koşlları sağladığı gözlemlenmeli, aksi halde çözüm olamaacaktır! B (Genelleştirilmiş Homojen denklem) F(,, d, d): = d+ ( + ) d= 0 t, k t, k- d t d, d d azımları apıldığında, k =- için k k- 0 Ftt (, dt,, d) = t F( dd,,, ) eşitliği sağlanır Denklem: Genelleştirilmiş Homojendir =, / / -, - = = ( ) -- = æ -4/ -- ö = ç çè ø ï ï ï -e göre türev 4/ / = æ 4/ ö - / ç + = çè ø d =- d + (DeğişArılabilir) ( ¹ 0, ¹- ) elde edilir

21 ò d =- ò d + n + =- n + n c c + = 0/9 = - / idi c = - [ Genel Çözüm ] I : ¹ 0, ¹-

22 Diferansiel Denklemler I /9 Çalışma Sorları 9004 A Aşağıda istenilenleri elde ediniz! ( e + ) d + ( e + k) d = 0 denkleminin tam diferansiel denklem olabilmesi için gn k saısını belirleiniz B k saısı için tam diferansiel denklemin genel çözümünü blnz a nın hangi değeri için ( ) m = + a : d -( + + ) d = 0 denkleminin (tam diferansiel hale getiren) bir integrason çarpanı olr? belirleiniz, b çarpanı kllanarak denklemin çözümünü blnz B Aşağıda verilen denklemlerin; hangi tip denklem oldklarını (nedenleri ile belirterek) belirleiniz! tüm çözümlerini (genel çözüm ve varsa tekil çözümlerini) çözümün geçerli oldğ değişkenlerin tanım aralıklarını da vererek blnz ( + ) d + ( - n) d = 0 + cot = sin d + ( - sin )cos d = 0 4 ( cos -sin ) d- sin d = n= ( - 5 ) d + ( - 5 ) d = tan = cos =- + cos ( - + ) d + ( + ) d = 0 n( ) n( ) ( - ) d + ( - ) d = 0 + +

23 Not: Çözümler-Yol göstermeler kontrol amaçlıdır, azım hatası - eksiklikler vs olabilir kendi çözümlerinizle mtlaka karşılaştırınız Çözümler /9 (son güncelleme : 9004) Önbilgi (Bazı Diferansieller) Tablo d = d + d, = (, ) d( ) = d + d d( ) = ( d d) d - d d( ) = 4 d( arctan ) = d - d +

24 Önbilgi (İntegrason Çarpan Araştırması) /9 0 Tablo M d+ N d= Denk için m İntegrason Çarpanı Araştırması Koşllar integrason çarpanı Açıklamalar M N - ( ) = j( ) m= m( ) = e ò j N d j ( ) (alnızca -e bağlı) bir fonksion M N - = j( ) -M m= m( ) = ò ( ) d e j j ( ) (alnızca -e bağlı) bir fonksion M N - ( w) w N M w = j - m= m( w) = ò ( w) dw e j w= w(, ) (hem -e hem -e bağlı), j ( w) (alnızca w-a bağlı) bir fonksion Not drm: alnızca -e bağlı; drm: alnızca -e bağlı; drm: hem -e hem -e bağlı ï ï ï : integrason çarpanı araştırmalarında kllanılacaktır!

25 A e + + e + = için ( ) d ( k) d 0 Md+ Nd = 0 azımından: M = e + k N = e + ï M = e + k N, = e + 4/9 Denklemin Tam DifDenk olabilmesi için e + k = e + k = blnr M N = şartı sağlanmalıdır: Şimdi e ( + ) d+ ( + ) d= 0 Tam Dif Denk in çözümünü blalım: e d = d + d = ò M d + f ( ) = ò e + d + ( ) f ( ) = e + + f ( ) (A-i) = ò N d + g ( ) = ò e + + ( d ) g ( ) = e + + g( ) (A-ii) (A-i) ve (A-ii) den: g= ( ) 0, f ( ) = 0 blnr = c idi = e + olr Genel Çözüm e + = c [ Genel Çözüm ] I : - < <

26 A a ı belirlemek için iki ol izleebiliriz: Iol: ( ) m = + a ani IIol: Denklemin her iki tarafını ( ) m= m ( + ) formnda bir integrason çarpanı araştırması ile m = + a ile çarpıp M N = eşitliğinden 5/9 Ioldan apalım! (İntegrason Çarpanı ile Tam Diferansiel hale getirilebilen denklem) d -( + + ) d = 0 için Md+ Nd = 0 azımından: M =- - - N = ï M N =-- ¹ = Denklem: Tam Dif DEĞİL! w = + ìï ï í ï ïî w = w = Hem -e hem -e bağlı integrason çarpanı, genel formda w= w(, ) için aşağıdaki şekilde araştırılıor idi: M N = = w w N -M ( ) + ( + + ) ( ) ( + ) + ( + ) - - = =- =- ( + )(+ ) ( + ) w ( ¹- ) karıdaki eşitlik sonc, alnızca w-a bağlı bir fonksion elde edildi O halde Önbilgi-Tablo: den

27 ò M N - dw w w N -M - dw ò w -nw m( w) = e = e = e = = w + 6/9 intergrason çarpanı: m = +,, IIol: Denklemin a ( ) ( ) + d- ( + + ) + d= 0 ( )( a M = ), N = ( + ) a a ìï ï í ï ïî a a- M = ( )( ) a( )( ) a a- ( ) a ( ) N = M N = den her iki tarafı ( ) ( )( ) a ( ) + a- e bölelim = + + a ( a a ) ( a a ) = 0 + a+ a+ = 0 a =-,, Şimdi denklemin her iki tarafını m = ( ¹ ) ile çarpalım ve denklemin Tam Dif + Denk haline geldiğini kontrol edip, çözelim d -( + ) d = B son denklem için Md+ Nd = 0 azımından:

28 M =-- + N = + ï ï ï M - + N = = ( + ) Denklem: Tam Dif 7/9 d = d + d = ò M d + f ( ) = ò d f = I ( ) = - - arctan + f( ) (A-i) = ò N d + g ( ) = ò d + + = I g( ) = - arctan + g ( ) (A-ii) I için I =- d = d = -arctan + k ( ) ò ò, + + I için benzer şekilde I arctan k p I =- ( arctan ) + + k = -( arctan ) + k = k p = + blnr, arctan k + arctan = özelliğinden k dielim azılabilir (A-i) ve (A-ii) den: g ( ) =-, f ( ) = 0 blnr =-- arctan olr Genel Çözüm =- c idi + arctan = c [ Genel Çözüm ] I : ¹ 0, ¹ = 0, ¹ için çözüm araştırması:

29 = 0 denklemi sağlamaz dolaısıla çözüm değildir ¹ denklemin çözümleridir Genel çözüme dikkat edilirse, b çözümler denklemin birer Tekil-Çözümü oldğ görülür (gözlemleiniz!) 8/9 B (Tam Diferansiel denklem) + d + - n d = için ( ) ( ) 0 Md+ Nd = 0 azımından: M = + N = - n ï ï ï M N = = Denklem: Tam Dif d = d + d = ò M d + f ( ) = ò + + ( ) d f( ) = + n + f( ) (B-i) = ò N d + g ( ò ) ( n) d g( ) = - + ò n d = + + = I g( ) = - n + + g ( ) (B-ii) ( I için kısmi integrason ile: I = n - + k blnr (inceleiniz!)) (A-i) ve (A-ii) den: g ( ) = n, ( ) f = - n blnr = olr Genel Çözüm = c idi n n n n c = [ Genel Çözüm ] I : ¹ 0, > 0

30 B (Lineer Diferansiel denklem) + cot = sin, + p( ) = q( ) p= ( ) cot, q( ) = sin 9/9 Iol: = v dönüşümü aparak: = v, = ( ), v= v( ) + cot = sin = v+ v ï v+ v + cot v= v( + ( cot ) ) + v = sin = 0 + cot = 0 = e ò = e ò = e - p( ) d - cot d - n(sin ) (dikkat, integral sabiti 0 seçilior) = sin v = sin v = sin sin v sin sin d = ò = I I integralini hesaplaalım: I = ò sin cos d sin = t dönüşümü glanırsa ç æ d dt ö = çè cos ø : I = ò = + = s n + t t dt c i c sin v = + c ( v nin tespitinde: c integral sabitini eklemei UNUTMAYINIZ! ) genel çözüm: = v den æ ö ç si sin = çè n + c ø = v idi c = sin + [ Genel Çözüm ] sin I : ¹ np, n= 0,, pd ( ) IIol: v = e ò şeklinde integrason çarpanı blarak:

31 p( ) d cot d n(sin ) v = e ò = e ò = e = sin blnr 0/9 Şimdi denklemin her iki tarafını v= sin ile çarpalım: sin + cos = sin sn i = ( v) = ( sin ) oldg görülür! ( ) = sin sin sin Şimdi son denklemin her iki tarafının integralini alalım: sin sin sin d = ò, I den sin sin = + c æ sin ö = c ç + sin çè ø = v idi c = sin + [ Genel Çözüm ] sin I : ¹ np, n= 0,, B (İntegrason Çarpanı ile Tam Diferansiel hale getirilebilen denklem) d + ( - sin )cos d = 0 için Md+ Nd = 0 azımından: M = cos - sin cos N = ï M N = cos ¹ 0 = Denklem: Tam Dif DEĞİL!

32 Ancak denklem, integrason çarpanı ile Tam Dif denklem haline getirilebilir mi? inceleelim! /9 M N - cos -0 = = cos N alnızca -e bağlı bir fonksion elde edildi O halde Önbilgi-Tablo: den M N - d N ò cos d ò m( ) = e = e = e sin intergrason çarpanı: sin m ( ) = e Şimdi denklemin her iki tarafını sin m ( ) = e ile çarpalım ve denklemin Tam Dif Denk haline geldiğini kontrol edip, çözelim sin sin e d+ ( - sin )cos e d= 0 B son denklem için Md+ Nd = 0 azımından: M = ( - sin )c os e N = e sin sin ï M sin N = cos e = Denklem: Tam Dif d = d + d

33 = ò M d + f ( ) = - + sin = I sin ( sin )cos e d f( ) ò sin = e +-+ ( sin ) e + f ( ) (B-i) = ò N d + g ( = ò sin + ) e d g( ) sin = e + g( ) (B-ii) /9 I için sin = t dönüşünü apılarak; ( t t t ò ò ò kısmi int egrason I = - tedt = ed t+ te dt ( ) şeklinde blnr (inceleiniz!)) sin (B-i) ve (B-ii) den: g ( ) =-+ ( sin e ), f ( ) = 0 blnr sin sin sin = idi = e + (- + sin ) e = ( - + sin ) e olr Genel Çözüm c ( sin ) sin - + e = c [ Genel Çözüm ] I : - < < B4 (İntegrason Çarpanı ile Tam Diferansiel hale getirilebilen denklem) ( cos -sin ) d- sin d = 0 için Md+ Nd = azımından: 0 M =- sin N = cos - sin ï M N =- cos ¹ cos = Denklem: Tam Dif DEĞİL! Ancak denklem, integrason çarpanı ile Tam Dif denklem haline getirilebilir mi? inceleelim!

34 M N - -cos -cos cos = =- =- cot -M sin sin /9 alnızca -e bağlı bir fonksion elde edildi O halde Önbilgi-Tablo: den M N - d -M -ò cot d - n(sin ) ò m( ) = e = e = e = sin intergrason çarpanı: m ( ) = sin Şimdi denklemin her iki tarafını m ( ) ile çarpalım ve denklemin Tam Dif Denk haline geldiğini kontrol edip, çözelim: cos ( ) d d 0 sn i - - sin = (sin ¹ 0 ) B son denklem için Md+ Nd = 0 azımından: M =- sin cos N = - sin ï ï ï M cos N = = sin Denklem: Tam Dif d = d + d

35 = ò M d + f ( sin ) =- ò d + f ( ) = - ( ) sin + f (B4-i) = ò N d + g ( cos ) = ò ( - ) d + sin g( ) cos = - + ò + sin d g = I ( ) = g ( ) (B4-ii) sin 4/9 ( I için sin = t dönüşünü apılarak; sonçta I =- + k blnr (inceleiniz!)) sin (B4-i) ve (B4-ii) den: g= ( ) 0, f ( ) =- blnr =-- olr Genel Çözüm =- c idi sin + = c [ Genel Çözüm ] sin I : ¹ np, n= 0,, = np için çözüm araştırması: Denklemi sağlar (gözlemleiniz!) dolaısıla denklemin bir çözümüdür Genel çözüme dikkat edilirse, Tekil-Çözümü oldğ görülür (gözlemleiniz!) B5 ( -e göre Lineer Diferansiel denklem) + n= d - = n d p) ( q ( ) d d + = ( ) p=-, q( ) = n integrason çarpanı blma metod ile çözelim:

36 - d p( ) d ò - n v = e ò = e = e = blnr 5/9 Şimdi lineer denklemin her iki tarafını d v = ile çarpalım: ( = ) d n - = æ ö = ( v) =ç ç oldg görülür! çè ø ( ¹ 0 ) æ ö n = ç çè ø Şimdi son denklemin her iki tarafının integralini alalım: = n d ò = I I hesaplanırsa: I = n + c blnr (inceleip, ara işlemleri apınız!) = n + c æ ö ç [ Genel Çözüm ] = ç n + c çè ø I : > 0 B6 I ol : Homojen denklemden çözüm blnabilir! IIol : B deki apılanlara benzer şekilde Tam Dif denklemden çözüm blnabilir! IIIol : Grplandırma: Önbilgi-Tablo: ve den ararlanarak

37 ( 5 ) d ( 5 ) d = d+ d - 5( d+ d ) = 0 = d( ) ( ) = d + 6/9 5 d( ) - d( + ) = 0 5 ( ) 0 d( - + ) = 5 ( ) - + = c [ Genel Çözüm ] I : - < < B7 (Özel formda Lineer Denklem haline getirilebilen) B denklem, aşağıdaki dönüşüm ile lineer hale daha getirilebilir: cos tan - = tan = z, z= z( ) ( tan ) + = z = cos z - z= (lineer denklem) elde edilir + p( ) = q( ) p ( ) =-, q= ( ) Şimdi lineer denklemi, z = v dönüşümü ile çözelim : z = v, = ( ), v= v( ) z - z= z = v+ v ï ï ï v+ v - v= v( - ) + v = = 0 - = 0 - ( ) ò p d ò d n = e = e = e = (dikkat, integral sabiti 0 seçilior)

38 v = v = v = ò d v= n + c ( v nin tespitinde: c integral sabitini eklemei UNUTMAYINIZ! ) 7/9 genel çözüm: z= v den z = ( n + c) tan ( n c) z= tan idi = + [ Genel Çözüm ] I : ¹ 0, ¹ (n- ) p /, n= 0,, = (n- ) p / için çözüm araştırması: diferansiel denklemi sağlamadığı için çözüm değildir B8 Grplandırma: Önbilgi-Tablo: den ararlanarak =- d d cos d + cos = d( ) = 0 ò ò d( ) =- cosd = -sin + c [ Genel Çözüm ] I : ¹ arcco s( - ) B9 I ol : B deki apılanlara benzer şekilde Tam Dif denklemden çözüm blnabilir! IIol : Grplandırma: Önbilgi-Tablo: ve den ararlanarak - + d + + d = ( ) ( ) 0 d+ d + (- d+ d) + d = 0 = d ( ) = - d ( - ) = d ( n )

39 d( ) - d( - ) + d( n) = 0 ( ) n c æ ö d ç n = çè ø ( ) = [ Genel Çözüm ] I : ¹ 0 8/9 B0 Grplandırma: n( ) n( ) ( - ) d + ( - ) d = n ( ) d + d = d + d + [ ] n ( ) d d d d + [ + ] = [ + ] = d( ) = d( + ) n ( ) d ( ) = ( + ) d ( + ) şimdi her iki tarafın integrali alınırsa, apınız!) ve w ò wdw = + k bilgilerinden; n n ò d = + k (inceleip, ara işlemleri n ( ) ( + ) c = + blnr n ( ) = ( + ) + c [ Genel Çözüm ] I : ¹-, > 0

40 İÜFen Fakültesi Matematik Bölümü Diferansiel Denklemler I /Arasınavı Hazırlık Sorları YrdDoçDrSerkan İLTER / İÜ Matematik Süre: BAŞARILAR SORU (00p) Aşağıdaki ve sorlarından alnızca bir tanesini seçerek çözünüz! 9/9 SORU (00p) Aşağıdaki ve sorlarından alnızca bir tanesini seçerek çözünüz! SORU (00p) SORU 4 k ( A) (00p) Aşağıdaki şıklardan alnızca iki tanesini seçerek apınız! ( B) ( C)