İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler"

Transkript

1 A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem denir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 1/ 26

2 A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem denir. x 2 y + 2xy + 3y = cos x ikinci mertebeden lineer, homogen olmayan bir denklem, Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 1/ 26

3 A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem denir. x 2 y + 2xy + 3y = cos x ikinci mertebeden lineer, homogen olmayan bir denklem, x 2 y + 2xy + 3y = 0 ise bununla ilgili olan ikinci mertebeden lineer homogen denklemlerdir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 1/ 26

4 İkinci Mertebeden Lineer Homogen Denklemler İkinci mertebeden genel lineer A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) diferansiyel denklemi ele alalım. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 2/ 26

5 İkinci Mertebeden Lineer Homogen Denklemler İkinci mertebeden genel lineer A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) diferansiyel denklemi ele alalım.burada A(x), B(x), C(x) ve F (x) fonksiyonları I da sürekli ve x I A(x) 0 dır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 2/ 26

6 İkinci Mertebeden Lineer Homogen Denklemler İkinci mertebeden genel lineer A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) diferansiyel denklemi ele alalım.burada A(x), B(x), C(x) ve F (x) fonksiyonları I da sürekli ve x I A(x) 0 dır.yukarıdaki denklemin her iki tarafı A(x) e bölünürse, denklem biçiminde ifade edilebilir. y + p(x)y + q(x)y = f(x) (1) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 2/ 26

7 İkinci Mertebeden Lineer Homogen Denklemler İkinci mertebeden genel lineer A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) diferansiyel denklemi ele alalım.burada A(x), B(x), C(x) ve F (x) fonksiyonları I da sürekli ve x I A(x) 0 dır.yukarıdaki denklemin her iki tarafı A(x) e bölünürse, denklem biçiminde ifade edilebilir. İlk olarak (5) ile ilgili olan homogen denklemi inceleyeceğiz. y + p(x)y + q(x)y = f(x) (1) y + p(x)y + q(x)y = 0 (2) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 2/ 26

8 y + p(x)y + q(x)y = 0 (7) Teorem: (Superposition prensibi) y 1 ve y 2, (7) ile verilen homogen denklemin I aralığı üzerinde iki çözümü olsun, C 1 ve C 2 keyfi sabitler olmak üzere, y = C 1 y 1 + C 2 y 2 (3) ifadeside (7) ile verilen denklemin I aralığı üzerinde bir çözümüdür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 3/ 26

9 y 1 (x) = cos x ve y 2 (x) = sin x fonksiyonlarının y + y = 0 denkleminin çözümleri oldukları kolaylıkla görülebilir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 4/ 26

10 fonksiyonlarının y 1 (x) = cos x ve y 2 (x) = sin x y + y = 0 denkleminin çözümleri oldukları kolaylıkla görülebilir.teorem, bu çözümlerin örneğin; y(x) = 3y 1 (x) 2y 2 (x) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 4/ 26

11 fonksiyonlarının y 1 (x) = cos x ve y 2 (x) = sin x y + y = 0 denkleminin çözümleri oldukları kolaylıkla görülebilir.teorem, bu çözümlerin örneğin; y(x) = 3y 1 (x) 2y 2 (x) = 3 cos x 2 sin x gibi herhangi bir lineer birleşimininde denklemin bir çözümü olduğunu belirtir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 4/ 26

12 fonksiyonlarının y 1 (x) = cos x ve y 2 (x) = sin x y + y = 0 denkleminin çözümleri oldukları kolaylıkla görülebilir.teorem, bu çözümlerin örneğin; y(x) = 3y 1 (x) 2y 2 (x) = 3 cos x 2 sin x gibi herhangi bir lineer birleşimininde denklemin bir çözümü olduğunu belirtir. Tersine, y + y = 0 denkleminin her bir çözümünün, bu denklemin y 1 ve y 2 özel çözümlerinin bir lineer birleşimi olduğunu ilerde göreceğiz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 4/ 26

13 Teorem: (Varlık ve Teklik) p,q ve f fonksiyonları a noktasını içeren bir I aralığı üzerinde sürekli olsun. Bu takdirde, b 0 ve b 1 verilen sabitler olmak üzere denklemi, I aralığının tamamında, y + p(x)y + q(x)y = f(x) (6) y(a) = b 0, y (a) = b 1 başlangış koşullarını sağlayan bir tek (bir ve yalnız bir) çözüme sahiptir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 5/ 26

14 y + y = 0 y(0) = 3, y (0) = 2 başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 6/ 26

15 y(0) = 3, y + y = 0 y (0) = 2 başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım. ÇÖZÜM Bir önceki örnekte y(x) = C 1 cos x + C 2 sin x (tüm reel eksen üzerinde) y + y = 0 denkleminin çözümü olduğunu söylemiştik. (Teorem yardımıyla) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 6/ 26

16 Başlangıç koşullarından y(0) = C 1 cos 0 + C 2 sin 0 = C 1 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 7/ 26

17 Başlangıç koşullarından y(0) = C 1 cos 0 + C 2 sin 0 = C 1 ve y (0) = C 1 sin 0 + C 2 cos 0 = C 2 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 7/ 26

18 Başlangıç koşullarından y(0) = C 1 cos 0 + C 2 sin 0 = C 1 ve y (0) = C 1 sin 0 + C 2 cos 0 = C 2 C 1 = 3 ve C 2 = 2 bulunur. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 7/ 26

19 Başlangıç koşullarından ve y(0) = C 1 cos 0 + C 2 sin 0 = C 1 y (0) = C 1 sin 0 + C 2 cos 0 = C 2 C 1 = 3 ve C 2 = 2 bulunur. Sonuç olarak başlangıç değer problemimizin çözümü dür. y(x) = 3 cos x 2 sin x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 7/ 26

20 Başlangıç koşullarından ve y(0) = C 1 cos 0 + C 2 sin 0 = C 1 y (0) = C 1 sin 0 + C 2 cos 0 = C 2 C 1 = 3 ve C 2 = 2 bulunur. Sonuç olarak başlangıç değer problemimizin çözümü dür. y(x) = 3 cos x 2 sin x Görüldüğü gibi keyfi sabitler basit bir lineer denklem sisteminden bulunabilmektedir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 7/ 26

21 y 2y + y = 0 y(0) = 3, y (0) = 1 başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 8/ 26

22 y 2y + y = 0 y(0) = 3, y (0) = 1 başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım. ÇÖZÜM y 1 (x) = e x ve y 2 (x) = 2e x (tüm reel eksen üzerinde) y 2y + y = 0 denkleminin çözümleri olduğu kolaylıkla görülebilir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 8/ 26

23 y 2y + y = 0 y(0) = 3, y (0) = 1 başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım. ÇÖZÜM y 1 (x) = e x ve y 2 (x) = 2e x (tüm reel eksen üzerinde) y 2y + y = 0 denkleminin çözümleri olduğu kolaylıkla görülebilir. Teorem yardımıyla y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) = c 1 e x + c 2 2e x fonksiyonunda denklemimizin bir çözümü olduğunu söyleyebilir ve başlangıç koşullarını sağlayan c 1 ve c 2 yi bulabilirsek başlangıç değer problemimizi çözümünü bulmuş oluruz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 8/ 26

24 Başlangıç koşullarından y(0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26

25 Başlangıç koşullarından y(0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 3 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26

26 Başlangıç koşullarından y(0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 3 ve y (0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26

27 Başlangıç koşullarından y(0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 3 ve y (0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 1 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26

28 Başlangıç koşullarından y(0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 3 ve y (0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 1 Çözümü olmayan (sağlayan c 1 ve c 2 nin bulunamayacağı) c 1 + 2c 2 = 3 c 1 + 2c 2 = 1 denklem sistemi gelir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26

29 Başlangıç koşullarından y(0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 3 ve y (0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 1 Çözümü olmayan (sağlayan c 1 ve c 2 nin bulunamayacağı) c 1 + 2c 2 = 3 c 1 + 2c 2 = 1 denklem sistemi gelir. Çözümlerimizin nasıl fonksiyonlar olması durumunda başlangıç koşulları yardımıyla kefilerimizi (c 1 ve c 2 ) bulabileceğimizi görelim. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26

30 TANIM y 1 (x) ve y 2 (x) fonksiyonları bir [a, b] kapalı aralığında reel değerli ve türevlenebilir fonksiyonlar olsun y 1 (x) y 1 (x) y 2 (x) y 2 (x) determinantı y 1 (x) ve y 2 (x) fonksiyonlarının Wronskiyeni olarak adlandırılır. W (y 1 (x), y 2 (x)) olarak gösterilir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 10/ 26

31 Teorem y 1 (x) ve y 2 (x) fonksiyonları bir [a, b] kapalı aralığında sürekli türevlenebilir fonksiyonlar olsun ve [a, b] kapalı aralığındaki bir x 0 için W [y 1 (x), y 2 (x)](x 0 ) 0 ise y 1 (x) ve y 2 (x) fonksiyonları lineer bağımsızdır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 11/ 26

32 Teorem y 1 (x) ve y 2 (x) fonksiyonları bir [a, b] kapalı aralığında sürekli türevlenebilir fonksiyonlar olsun ve [a, b] kapalı aralığındaki bir x 0 için W [y 1 (x), y 2 (x)](x 0 ) 0 ise y 1 (x) ve y 2 (x) fonksiyonları lineer bağımsızdır. y 1 (x) = e x ve y 2 (x) = e x fonksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) = ex e x e x e x = 2 0 y 1 (x) = e x ve y 2 (x) = e x fonksiyonları lineer(doğrusal) bağımsızdır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 11/ 26

33 y 1 (x) = sin x ve y 2 (x) = cos x fonksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) = sin x cos x cos x sin x = 1 0 y 1 (x) = sin x ve y 2 (x) = cos x fonksiyonları doğrusal bağımsızdır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 12/ 26

34 TEOREM p ve q fonksiyonları açık bir I aralığı üzerinde sürekli olmak üzere y 1 ve y 2 y + p(x)y + q(x)y = 0 homogen denkleminin doğrusal bağımsız iki çözümü olsun. c 1 ve c 2 keyfi sabitler olmak üzere genel çözümdür. Y (x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 13/ 26

35 İKİNCİ MERTEBEDEN SABİT KATSAYILI LİNEER DENKLEMLER Bu bölümde a, b ve c sabitler olmak üzere diferansiyel denklemi ele alınacaktır. ay + by + cy = 0 (4) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 14/ 26

36 İKİNCİ MERTEBEDEN SABİT KATSAYILI LİNEER DENKLEMLER Bu bölümde a, b ve c sabitler olmak üzere diferansiyel denklemi ele alınacaktır. ay + by + cy = 0 (4) Denkleme baktığımızda aradığımız fonksiyonun türevlerinin belirli sabitlerle çarpılıp toplandığında 0 elde edildiğini görürüz. Türevleri kendisinin katı olan fonksiyon bu denklemi sağlayacaktır. Bu özelliği e rx üstel fonksiyonu taşır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 14/ 26

37 y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26

38 y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx y (x) = re rx Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26

39 y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx y (x) = re rx y (x) = r 2 e rx ay + by + cy = 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26

40 y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx y (x) = re rx y (x) = r 2 e rx ay + by + cy = 0 ar 2 e rx + bre rx + ce rx = 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26

41 y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx y (x) = re rx y (x) = r 2 e rx ay + by + cy = 0 ar 2 e rx + bre rx + ce rx = 0 (ar 2 + br + c)e rx = 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26

42 y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx y (x) = re rx y (x) = r 2 e rx ay + by + cy = 0 ar 2 e rx + bre rx + ce rx = 0 (ar 2 + br + c)e rx = 0 çarpanlarımızdan e rx fonksiyonu 0 olamıyacağı için ar 2 + br + c ikinci derece polinomu 0 olmalıdır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26

43 y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx y (x) = re rx y (x) = r 2 e rx ay + by + cy = 0 ar 2 e rx + bre rx + ce rx = 0 (ar 2 + br + c)e rx = 0 çarpanlarımızdan e rx fonksiyonu 0 olamıyacağı için ar 2 + br + c ikinci derece polinomu 0 olmalıdır.bu polinomun köklerini bulabilirsek y(x) = e rx fonksiyonu denklem (1) in bir çözümü olacaktır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26

44 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26

45 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26

46 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26

47 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx 5re rx Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26

48 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx 5re rx + 6e rx = 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26

49 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx 5re rx + 6e rx = 0 bulunur. (r 2 5r + 6)e rx = 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26

50 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx 5re rx + 6e rx = 0 (r 2 5r + 6)e rx = 0 bulunur. r 2 5r + 6 polinomunun kökleri r = 2 ve r = 3 tür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26

51 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx 5re rx + 6e rx = 0 (r 2 5r + 6)e rx = 0 bulunur. r 2 5r + 6 polinomunun kökleri r = 2 ve r = 3 tür. Bir çözüm ararken y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x gibi iki çözüm bulduk. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26

52 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx 5re rx + 6e rx = 0 (r 2 5r + 6)e rx = 0 bulunur. r 2 5r + 6 polinomunun kökleri r = 2 ve r = 3 tür. Bir çözüm ararken y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x gibi iki çözüm bulduk. Eğer bu fonksiyonlar doğrusal bağımsız ise genel çözümümüzü y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26

53 y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x foksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 17/ 26

54 y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x foksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 17/ 26

55 y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x foksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) = e2x e 3x 2e 2x 3e 3x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 17/ 26

56 y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x foksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) = e2x e 3x 2e 2x W (y 1 (x), y 2 (x)) = 3e 5x 2e 5x = e 5x 3e 3x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 17/ 26

57 y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x foksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) = e2x e 3x 2e 2x W (y 1 (x), y 2 (x)) = 3e 5x 2e 5x = e 5x 3e 3x Hiç bir reel sayı için Wronskiyen 0 olamıyacağı için bu iki fonksiyon doğrusal bağımsızdır ve denklemimizi genel çözümü bu iki fonksiyonun lineer kombinasyonu şeklinde yazılabilir. y(x) = c 1 e 2x + c 2 e 3x şeklinde genel çözümümüzü bulmuş oluruz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 17/ 26

58 ar 2 + br + c = 0 denklemine ay + by + cy = 0 (1) denkleminin karakteristik denklemi denir. Eğer r 1 ve r 2 karakteristik denklemin reel ve farklı iki kökü ise, y(x) = c 1 e r1x + c 2 e r 2x fonksiyonu denklem (1) in genel çözümüdür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 18/ 26

59 2y 7y + 3y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26

60 2y 7y + 3y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 2r 2 7r + 3 = 0 dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26

61 2y 7y + 3y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 2r 2 7r + 3 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26

62 2y 7y + 3y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 2r 2 7r + 3 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 1/2 ve r 2 = 3 tür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26

63 2y 7y + 3y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 2r 2 7r + 3 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 1/2 ve r 2 = 3 tür. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26

64 2y 7y + 3y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 2r 2 7r + 3 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 1/2 ve r 2 = 3 tür. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü y(x) = c 1 e 1 2 x + c 2 e 3x olarak yazılır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26

65 y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26

66 y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r = 0 dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26

67 y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26

68 y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 0 ve r 2 = 2 dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26

69 y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 0 ve r 2 = 2 dir. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26

70 y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 0 ve r 2 = 2 dir. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü y(x) = c 1 e 0x + c 2 e 2x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26

71 y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 0 ve r 2 = 2 dir. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü y(x) = c 1 e 0x + c 2 e 2x = c 1 + c 2 e 2x olarak yazılır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26

72 ay + by + cy = 0 (1) Eğer karakteristik denklem r 1 = r 2 gibi eşit iki reel köke sahip ise, y(x) = (c 1 + c 2 x)e r 1x fonksiyonu denklem (1) in genel çözümüdür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 21/ 26

73 9y 12y + 4y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26

74 9y 12y + 4y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 9r 2 12r + 4 = 0 dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26

75 9y 12y + 4y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 9r 2 12r + 4 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26

76 9y 12y + 4y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 9r 2 12r + 4 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = r 2 = 2 3 dür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26

77 9y 12y + 4y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 9r 2 12r + 4 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = r 2 = 2 3 dür. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26

78 9y 12y + 4y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 9r 2 12r + 4 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = r 2 = 2 3 dür. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü y(x) = (c 1 + c 2 x)e 2 3 x olarak yazılır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26

79 y + 2y + y = 0 y(0) = 5, y (0) = 3 başlangıç değer problemini çözünüz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26

80 y + 2y + y = 0 y(0) = 5, y (0) = 3 başlangıç değer problemini çözünüz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r + 1 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26

81 y + 2y + y = 0 y(0) = 5, y (0) = 3 başlangıç değer problemini çözünüz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r + 1 = (r + 1) 2 = 0 dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26

82 y + 2y + y = 0 y(0) = 5, başlangıç değer problemini çözünüz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz y (0) = 3 r 2 + 2r + 1 = (r + 1) 2 = 0 dir. Dolayısıyla karakteristik denklemimizin kökleri birbirine eşit ve r 1 = r 2 = 1 dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26

83 y + 2y + y = 0 y(0) = 5, başlangıç değer problemini çözünüz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz y (0) = 3 r 2 + 2r + 1 = (r + 1) 2 = 0 dir. Dolayısıyla karakteristik denklemimizin kökleri birbirine eşit ve r 1 = r 2 = 1 dir. Denklemimizin genel çözümü Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26

84 y + 2y + y = 0 y(0) = 5, başlangıç değer problemini çözünüz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz y (0) = 3 r 2 + 2r + 1 = (r + 1) 2 = 0 dir. Dolayısıyla karakteristik denklemimizin kökleri birbirine eşit ve r 1 = r 2 = 1 dir. Denklemimizin genel çözümü olarak yazılır. y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26

85 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26

86 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26

87 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26

88 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26

89 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 ve y (x) = c 1 e x + c 2 e x c 2 xe x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26

90 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 ve y (x) = c 1 e x + c 2 e x c 2 xe x y (0) = c 1 e 0 + c 2 e 0 c 2 0e x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26

91 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 ve y (x) = c 1 e x + c 2 e x c 2 xe x y (0) = c 1 e 0 + c 2 e 0 c 2 0e x = c 1 + c 2 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26

92 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 ve y (x) = c 1 e x + c 2 e x c 2 xe x y (0) = c 1 e 0 + c 2 e 0 c 2 0e x = c 1 + c 2 = 3 Bu iki denklemden Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26

93 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 ve y (x) = c 1 e x + c 2 e x c 2 xe x y (0) = c 1 e 0 + c 2 e 0 c 2 0e x = c 1 + c 2 = 3 Bu iki denklemden c 1 = 5 ve c 2 = 2 değerlerine ulaşırız. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26

94 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 ve y (x) = c 1 e x + c 2 e x c 2 xe x y (0) = c 1 e 0 + c 2 e 0 c 2 0e x = c 1 + c 2 = 3 Bu iki denklemden c 1 = 5 ve c 2 = 2 değerlerine ulaşırız. Sonuç olarak çözümümüz y(x) = (5 + 2x)e x tür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26

95 ay + by + cy = 0 (1) Eğer karakteristik denklemin a ib, (b 0) gibi kompleks eşlenik iki köke sahip ise, y(x) = e ax (c 1 cos (bx) + c 2 sin (bx)) fonksiyonu denklem (1) in genel çözümüdür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 25/ 26

96 y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26

97 y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 4r + 5 = 0 dır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26

98 y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 4r + 5 = 0 dır. = b 2 4ac Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26

99 y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 4r + 5 = 0 dır. = b 2 4ac = ( 4) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26

100 y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 4r + 5 = 0 dır. = b 2 4ac = ( 4) = 4 < 0 olduğu için karakteristik denklemin reel kökü yoktur. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26

101 y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 4r + 5 = 0 dır. = b 2 4ac = ( 4) = 4 < 0 olduğu için karakteristik denklemin reel kökü yoktur. Kompleks köklerimiz 2 i dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26

102 y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 4r + 5 = 0 dır. = b 2 4ac = ( 4) = 4 < 0 olduğu için karakteristik denklemin reel kökü yoktur. Kompleks köklerimiz 2 i dir. Böylece genel çözümümüz şeklinde yazılabilir. y(x) = e 2x (c 1 cos x + c 2 sin x) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9 İÇİNDEKİLER Ön Söz... Adi Diferansiyel Denklemler... Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler...9 Homojen Diferansiyel Denklemler...15 Tam Diferansiyel Denklemler...19 Birinci Mertebeden

Detaylı

Yüksek Mertebeden Diferansiyel Denklemler. İkinci Mertebeden. İndirgenebilir Diferansiyel Denklemler

Yüksek Mertebeden Diferansiyel Denklemler. İkinci Mertebeden. İndirgenebilir Diferansiyel Denklemler Yüksek Mertebeden Diferansiyel Denklemler İkinci Mertebeden İndirgenebilir Diferansiyel Denklemler YÜKSEK MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER ikinci mertebeden bir diferansiyel denklem, bilinmeyen y(x)

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Değişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir.

Değişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir. 3. Yüksek Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Geçmiş konularda şu ana kadar ele alınan 1.mertebe-1.dereceden adi diferensiyel denklemler ancak 1.mertebe seviyesindeki belirli problemleri ifade edebilmektedir.

Detaylı

1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4)

1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4) HAZİNE-1 Düzlemde sabit M(a,b) noktasından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, M merkezli R yarıçaplı çemberdir. HAZİNE-2 O(0,0) merkezli, R yarıçaplı çemberin denklemi; x 2 +y 2 =R 2 dir.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları 2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4

Detaylı

İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ

İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 203-204 GÜZ DÖNEMİ Diferansiyel Denklemler Ders Notları Yrd.Doç.Dr. Ahmet Altundağ İSTANBUL 2 İçindekiler BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14. 1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1.. Kutupsal Formda Gösterim z x + iy vektörünün pozitif reel eksenle yaptığı açıya θ diyelim. cos θ x, sin θ y ve buradan tan θ y θ arctan y olup θ ya z z

Detaylı

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır?

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır? MATE 106 SOSYAL BİLİMLER İÇİN TEMEL ANALİZ Ad-Soyad No Uygun cevabı bulunuz. 1)A = πr2 formülü r yarıçaplı çemberin A alanını vermektedir. Bir masa örtüsü A alanına sahipse, yarıçapını A'nın bir fonksiyonu

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

MAT 2011 MATEMATİK III

MAT 2011 MATEMATİK III } MAT 20 MATEMATİK III Ders Notları } Öğr. Gör. Volkan ÖĞER 205 İçindekiler Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler 3. Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller............................ 3.2

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI İşaret akış diyagramları blok diyagramlara bir alternatiftir. Fonksiyonel bloklar, işaretler, toplama noktaları

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir. Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1 . ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org 0. Sınıf M AT E M AT İ K Mehmet ŞAHİN www.mehmetsahinkitaplari.org M.E.B Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı nın 0..009 tarih ve 4 sayılı kararı ve 00-0 öğretim yılından itibaren uygulanacak programa göre

Detaylı

DEVRE VE SİSTEM ANALİZİ ÇALIŞMA SORULARI

DEVRE VE SİSTEM ANALİZİ ÇALIŞMA SORULARI DEVRE VE SİSTEM ANALİZİ 01.1.015 ÇALIŞMA SORULARI 1. Aşağıda verilen devrede anahtar uzun süre konumunda kalmış ve t=0 anında a) v 5 ( geriliminin tam çözümünü diferansiyel denklemlerden faydalanarak bulunuz.

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI 1-60) Dört çocuk, Ahmet, Ferit, Berk ve Mehmet koşu yarışı yapıyorlar. Yarışma sonucunda, Ahmet, "Ben birinci ve sonuncu

Detaylı

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3 p ve q iki önerme olsun p q q p dir. p: = 3 ve q: y< 8 alınırsa I ve III ün denk olduğu görülür. Yanıt B Z 3 = 7 = 7CiS( +k ) k Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = k=1 için z 1 = 3 k = için z = Yanıt A

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur.

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur. Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri x, x. f(x) x ise fonksiyonu için,, x olduğuna göre, a b kaçtır? lim + x f ( x) a ve lim x f ( x) b A) B) C) D) E) Çözüm x x için

Detaylı

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta GİRİŞ OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta Mühendislik açısından bir işin tasarlanıp, gerçekleştirilmesi yeterli değildir. İşin en iyi çözüm yöntemiyle en verimli bir şekilde yapılması bir anlam ifade eder.

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

5 Mayıs Fen Liseleri, Sosyal Bilimler Liseleri, Spor Liseleri, Anadolu Liseleri Öğretmenlerinin Seçme Sınavı. Matematik Soruları ve Çözümleri

5 Mayıs Fen Liseleri, Sosyal Bilimler Liseleri, Spor Liseleri, Anadolu Liseleri Öğretmenlerinin Seçme Sınavı. Matematik Soruları ve Çözümleri Mayıs 7 Fen Liseleri, Sosyal Bilimler Liseleri, Spor Liseleri, Anadolu Liseleri Öğretmenlerinin Seçme Sınavı Matematik Soruları ve Çözümleri 6. Aşağıdakilerden hangisi verildiğinde p q önermesinin doğruluk

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

üslü sayılar temel kurallar-1

üslü sayılar temel kurallar-1 üslü sayılar temel kurallar- Kazanım :Üslü ifadelerle ilgili temel kuralları anlar, birbirine denk ifadeler oluşturur. Üslü Sayılarda Çarpma İşlemi. 0. 0 işleminin sonucunun 00 olduğunu biliyoruz.bu. =....

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

Vektör Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN

Vektör Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN Vektör Uzayları Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Matematik ve mühendislikte birçok uygulamaları olan cebirsel yapılardan vektör uzayı ve alt uzay kavramlarını

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

Regresyon ve İnterpolasyon. Rıdvan YAKUT

Regresyon ve İnterpolasyon. Rıdvan YAKUT Regresyon ve İnterpolasyon Rıdvan YAKUT Eğri Uydurma Yöntemleri Regresyon En Küçük Kareler Yöntemi Doğru Uydurma Polinom Uydurma Üstel Fonksiyonlara Eğri Uydurma İnterpolasyon Lagrange İnterpolasyonu (Polinomal

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

KARŞILAŞTIRMALI DURAĞANLIK VE TÜREV

KARŞILAŞTIRMALI DURAĞANLIK VE TÜREV KARŞILA ILAŞTIRMALI DURAĞANLIK ANLIK VE TÜREV Karşılaştırmalı durağanlık, dışsal değişkenlerin ya da parametrelerin farklı değerler alması durumunda oluşabilecek farklı denge değerlerini karşılaştırılarak

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.

Detaylı

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe)

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) Merak uyandıran konulardan birisi olan fonksiyonel denklemlerle ilgili Türkçe kaynakların az oluşundan dolayı, matematik

Detaylı

Sayısal Kontrol - HAVA HARP OKULU

Sayısal Kontrol - HAVA HARP OKULU Sayısal Kontrol - HAVA HARP OKULU İbrahim Beklan Küçükdemiral Yıldız Teknik Üniversitesi 2015 1 / 50 Bu bölümde aşağıdaki konular incelenecektir: Sürekli ve Ayrık Kontrol Problemlerinin Tanımı Ayrık Zamanlı

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 9 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN HAREKETLİ SINIR DEĞER PROBLEMİ

İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN HAREKETLİ SINIR DEĞER PROBLEMİ Yüksek Lisans Tezi Tezi Hazırlaуan Kalima MOLDOKULOVA Matematik Anabilim Dalı 2014 KIRGIZİSTAN-TÜRKİYE MANAS ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KPSS 2017 önce biz sorduk 50 Soruda 30 soru ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK ANALİZ - DİFERANSİYEL DENKLEMLER Eğitimde 30. yıl Fikret Hemek ÖABT İlköğretim Matematik Öğretmenliği Analiz-Diferansiyel Denklemler

Detaylı

BİRİNCİ BÖLÜM SAYILAR

BİRİNCİ BÖLÜM SAYILAR İÇİNDEKİLER BİRİNCİ BÖLÜM SAYILAR 1.1 Tamsayılarda İşlemler... 2 1.1.1 Tek, Çift ve Ardışık Tamsayılar... 5 1.2 Rasyonel Sayılar... 6 1.2.1 Kesirlerin Birbirine Çevrilmesi... 7 1.2.2 Kesirlerin Genişletilmesi

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70

Detaylı

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYIN KURULU Hazırlayanlar Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK

Detaylı

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ 6.2. Laplace Dönüşümü Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) ya da L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s; ÇÖZÜM: a) b) c) ÇÖZÜM: 6.3.

Detaylı

Polinomlar II. Dereceden Denklemler

Polinomlar II. Dereceden Denklemler Ödev Tarihi :... Ödev Kontrol Tarihi :... Kontrol Eden :... LYS MATEMATİK - II Ödev Kitapçığı 1 (MF-TM) Polinomlar II. Dereceden Denklemler Adý Soyadý :... BÝREY DERSHANELERÝ MATEMATÝK-II ÖDEV KÝTAPÇIÐI

Detaylı

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10. MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ

Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ Kapalı-döngü denetim sisteminin geçici-durum davranışının temel özellikleri kapalı-döngü kutuplarından belirlenir. Dolayısıyla problemlerin çözümlenmesinde, kapalı-döngü

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket Bölüm-4 İki Boyutta Hareket Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Konu İçeriği 4-1 Yer değiştirme, Hız ve İvme Vektörleri 4-2 Sabit İvmeli İki Boyutlu Hareket 4-3 Eğik Atış Hareketi 4-4 Bağıl Hız ve Bağıl İvme

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

( a, b ) BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ :

( a, b ) BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ : BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ : a ve b elemanlarının belirttiği ( a, b ) şeklindeki ikiliye sıralı ikili denir. Sıralı ikili denilmesindeki sebep bileşenlerin yeri değiştiğinde ikilinin değişmesindendir.

Detaylı

MB5002 NÜMERİK ANALİZ

MB5002 NÜMERİK ANALİZ MB500 NÜMERİK ANALİZ Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 01, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim

Detaylı

Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller. Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller. Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller

Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller. Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller. Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller Evrenin yasaları matematik dilinde yazılır. Cebir, birçok statik problemi çözmek için yeterlidir; ancak en ilginç doğal olaylar değişim içerir ve değişen

Detaylı

VERİ MADENCİLİĞİ. Karar Ağacı Algoritmaları: SPRINT algoritması Öğr.Gör.İnan ÜNAL

VERİ MADENCİLİĞİ. Karar Ağacı Algoritmaları: SPRINT algoritması Öğr.Gör.İnan ÜNAL VERİ MADENCİLİĞİ Karar Ağacı Algoritmaları: SPRINT algoritması Öğr.Gör.İnan ÜNAL SPRINT Algoritması ID3,CART, ve C4.5 gibi algoritmalar önce derinlik ilkesine göre çalışırlar ve en iyi dallara ayırma kriterine

Detaylı