İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler"

Transkript

1 A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem denir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 1/ 26

2 A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem denir. x 2 y + 2xy + 3y = cos x ikinci mertebeden lineer, homogen olmayan bir denklem, Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 1/ 26

3 A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem denir. x 2 y + 2xy + 3y = cos x ikinci mertebeden lineer, homogen olmayan bir denklem, x 2 y + 2xy + 3y = 0 ise bununla ilgili olan ikinci mertebeden lineer homogen denklemlerdir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 1/ 26

4 İkinci Mertebeden Lineer Homogen Denklemler İkinci mertebeden genel lineer A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) diferansiyel denklemi ele alalım. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 2/ 26

5 İkinci Mertebeden Lineer Homogen Denklemler İkinci mertebeden genel lineer A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) diferansiyel denklemi ele alalım.burada A(x), B(x), C(x) ve F (x) fonksiyonları I da sürekli ve x I A(x) 0 dır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 2/ 26

6 İkinci Mertebeden Lineer Homogen Denklemler İkinci mertebeden genel lineer A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) diferansiyel denklemi ele alalım.burada A(x), B(x), C(x) ve F (x) fonksiyonları I da sürekli ve x I A(x) 0 dır.yukarıdaki denklemin her iki tarafı A(x) e bölünürse, denklem biçiminde ifade edilebilir. y + p(x)y + q(x)y = f(x) (1) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 2/ 26

7 İkinci Mertebeden Lineer Homogen Denklemler İkinci mertebeden genel lineer A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) diferansiyel denklemi ele alalım.burada A(x), B(x), C(x) ve F (x) fonksiyonları I da sürekli ve x I A(x) 0 dır.yukarıdaki denklemin her iki tarafı A(x) e bölünürse, denklem biçiminde ifade edilebilir. İlk olarak (5) ile ilgili olan homogen denklemi inceleyeceğiz. y + p(x)y + q(x)y = f(x) (1) y + p(x)y + q(x)y = 0 (2) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 2/ 26

8 y + p(x)y + q(x)y = 0 (7) Teorem: (Superposition prensibi) y 1 ve y 2, (7) ile verilen homogen denklemin I aralığı üzerinde iki çözümü olsun, C 1 ve C 2 keyfi sabitler olmak üzere, y = C 1 y 1 + C 2 y 2 (3) ifadeside (7) ile verilen denklemin I aralığı üzerinde bir çözümüdür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 3/ 26

9 y 1 (x) = cos x ve y 2 (x) = sin x fonksiyonlarının y + y = 0 denkleminin çözümleri oldukları kolaylıkla görülebilir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 4/ 26

10 fonksiyonlarının y 1 (x) = cos x ve y 2 (x) = sin x y + y = 0 denkleminin çözümleri oldukları kolaylıkla görülebilir.teorem, bu çözümlerin örneğin; y(x) = 3y 1 (x) 2y 2 (x) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 4/ 26

11 fonksiyonlarının y 1 (x) = cos x ve y 2 (x) = sin x y + y = 0 denkleminin çözümleri oldukları kolaylıkla görülebilir.teorem, bu çözümlerin örneğin; y(x) = 3y 1 (x) 2y 2 (x) = 3 cos x 2 sin x gibi herhangi bir lineer birleşimininde denklemin bir çözümü olduğunu belirtir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 4/ 26

12 fonksiyonlarının y 1 (x) = cos x ve y 2 (x) = sin x y + y = 0 denkleminin çözümleri oldukları kolaylıkla görülebilir.teorem, bu çözümlerin örneğin; y(x) = 3y 1 (x) 2y 2 (x) = 3 cos x 2 sin x gibi herhangi bir lineer birleşimininde denklemin bir çözümü olduğunu belirtir. Tersine, y + y = 0 denkleminin her bir çözümünün, bu denklemin y 1 ve y 2 özel çözümlerinin bir lineer birleşimi olduğunu ilerde göreceğiz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 4/ 26

13 Teorem: (Varlık ve Teklik) p,q ve f fonksiyonları a noktasını içeren bir I aralığı üzerinde sürekli olsun. Bu takdirde, b 0 ve b 1 verilen sabitler olmak üzere denklemi, I aralığının tamamında, y + p(x)y + q(x)y = f(x) (6) y(a) = b 0, y (a) = b 1 başlangış koşullarını sağlayan bir tek (bir ve yalnız bir) çözüme sahiptir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 5/ 26

14 y + y = 0 y(0) = 3, y (0) = 2 başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 6/ 26

15 y(0) = 3, y + y = 0 y (0) = 2 başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım. ÇÖZÜM Bir önceki örnekte y(x) = C 1 cos x + C 2 sin x (tüm reel eksen üzerinde) y + y = 0 denkleminin çözümü olduğunu söylemiştik. (Teorem yardımıyla) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 6/ 26

16 Başlangıç koşullarından y(0) = C 1 cos 0 + C 2 sin 0 = C 1 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 7/ 26

17 Başlangıç koşullarından y(0) = C 1 cos 0 + C 2 sin 0 = C 1 ve y (0) = C 1 sin 0 + C 2 cos 0 = C 2 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 7/ 26

18 Başlangıç koşullarından y(0) = C 1 cos 0 + C 2 sin 0 = C 1 ve y (0) = C 1 sin 0 + C 2 cos 0 = C 2 C 1 = 3 ve C 2 = 2 bulunur. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 7/ 26

19 Başlangıç koşullarından ve y(0) = C 1 cos 0 + C 2 sin 0 = C 1 y (0) = C 1 sin 0 + C 2 cos 0 = C 2 C 1 = 3 ve C 2 = 2 bulunur. Sonuç olarak başlangıç değer problemimizin çözümü dür. y(x) = 3 cos x 2 sin x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 7/ 26

20 Başlangıç koşullarından ve y(0) = C 1 cos 0 + C 2 sin 0 = C 1 y (0) = C 1 sin 0 + C 2 cos 0 = C 2 C 1 = 3 ve C 2 = 2 bulunur. Sonuç olarak başlangıç değer problemimizin çözümü dür. y(x) = 3 cos x 2 sin x Görüldüğü gibi keyfi sabitler basit bir lineer denklem sisteminden bulunabilmektedir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 7/ 26

21 y 2y + y = 0 y(0) = 3, y (0) = 1 başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 8/ 26

22 y 2y + y = 0 y(0) = 3, y (0) = 1 başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım. ÇÖZÜM y 1 (x) = e x ve y 2 (x) = 2e x (tüm reel eksen üzerinde) y 2y + y = 0 denkleminin çözümleri olduğu kolaylıkla görülebilir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 8/ 26

23 y 2y + y = 0 y(0) = 3, y (0) = 1 başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım. ÇÖZÜM y 1 (x) = e x ve y 2 (x) = 2e x (tüm reel eksen üzerinde) y 2y + y = 0 denkleminin çözümleri olduğu kolaylıkla görülebilir. Teorem yardımıyla y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) = c 1 e x + c 2 2e x fonksiyonunda denklemimizin bir çözümü olduğunu söyleyebilir ve başlangıç koşullarını sağlayan c 1 ve c 2 yi bulabilirsek başlangıç değer problemimizi çözümünü bulmuş oluruz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 8/ 26

24 Başlangıç koşullarından y(0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26

25 Başlangıç koşullarından y(0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 3 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26

26 Başlangıç koşullarından y(0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 3 ve y (0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26

27 Başlangıç koşullarından y(0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 3 ve y (0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 1 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26

28 Başlangıç koşullarından y(0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 3 ve y (0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 1 Çözümü olmayan (sağlayan c 1 ve c 2 nin bulunamayacağı) c 1 + 2c 2 = 3 c 1 + 2c 2 = 1 denklem sistemi gelir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26

29 Başlangıç koşullarından y(0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 3 ve y (0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 1 Çözümü olmayan (sağlayan c 1 ve c 2 nin bulunamayacağı) c 1 + 2c 2 = 3 c 1 + 2c 2 = 1 denklem sistemi gelir. Çözümlerimizin nasıl fonksiyonlar olması durumunda başlangıç koşulları yardımıyla kefilerimizi (c 1 ve c 2 ) bulabileceğimizi görelim. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26

30 TANIM y 1 (x) ve y 2 (x) fonksiyonları bir [a, b] kapalı aralığında reel değerli ve türevlenebilir fonksiyonlar olsun y 1 (x) y 1 (x) y 2 (x) y 2 (x) determinantı y 1 (x) ve y 2 (x) fonksiyonlarının Wronskiyeni olarak adlandırılır. W (y 1 (x), y 2 (x)) olarak gösterilir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 10/ 26

31 Teorem y 1 (x) ve y 2 (x) fonksiyonları bir [a, b] kapalı aralığında sürekli türevlenebilir fonksiyonlar olsun ve [a, b] kapalı aralığındaki bir x 0 için W [y 1 (x), y 2 (x)](x 0 ) 0 ise y 1 (x) ve y 2 (x) fonksiyonları lineer bağımsızdır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 11/ 26

32 Teorem y 1 (x) ve y 2 (x) fonksiyonları bir [a, b] kapalı aralığında sürekli türevlenebilir fonksiyonlar olsun ve [a, b] kapalı aralığındaki bir x 0 için W [y 1 (x), y 2 (x)](x 0 ) 0 ise y 1 (x) ve y 2 (x) fonksiyonları lineer bağımsızdır. y 1 (x) = e x ve y 2 (x) = e x fonksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) = ex e x e x e x = 2 0 y 1 (x) = e x ve y 2 (x) = e x fonksiyonları lineer(doğrusal) bağımsızdır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 11/ 26

33 y 1 (x) = sin x ve y 2 (x) = cos x fonksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) = sin x cos x cos x sin x = 1 0 y 1 (x) = sin x ve y 2 (x) = cos x fonksiyonları doğrusal bağımsızdır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 12/ 26

34 TEOREM p ve q fonksiyonları açık bir I aralığı üzerinde sürekli olmak üzere y 1 ve y 2 y + p(x)y + q(x)y = 0 homogen denkleminin doğrusal bağımsız iki çözümü olsun. c 1 ve c 2 keyfi sabitler olmak üzere genel çözümdür. Y (x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 13/ 26

35 İKİNCİ MERTEBEDEN SABİT KATSAYILI LİNEER DENKLEMLER Bu bölümde a, b ve c sabitler olmak üzere diferansiyel denklemi ele alınacaktır. ay + by + cy = 0 (4) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 14/ 26

36 İKİNCİ MERTEBEDEN SABİT KATSAYILI LİNEER DENKLEMLER Bu bölümde a, b ve c sabitler olmak üzere diferansiyel denklemi ele alınacaktır. ay + by + cy = 0 (4) Denkleme baktığımızda aradığımız fonksiyonun türevlerinin belirli sabitlerle çarpılıp toplandığında 0 elde edildiğini görürüz. Türevleri kendisinin katı olan fonksiyon bu denklemi sağlayacaktır. Bu özelliği e rx üstel fonksiyonu taşır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 14/ 26

37 y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26

38 y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx y (x) = re rx Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26

39 y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx y (x) = re rx y (x) = r 2 e rx ay + by + cy = 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26

40 y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx y (x) = re rx y (x) = r 2 e rx ay + by + cy = 0 ar 2 e rx + bre rx + ce rx = 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26

41 y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx y (x) = re rx y (x) = r 2 e rx ay + by + cy = 0 ar 2 e rx + bre rx + ce rx = 0 (ar 2 + br + c)e rx = 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26

42 y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx y (x) = re rx y (x) = r 2 e rx ay + by + cy = 0 ar 2 e rx + bre rx + ce rx = 0 (ar 2 + br + c)e rx = 0 çarpanlarımızdan e rx fonksiyonu 0 olamıyacağı için ar 2 + br + c ikinci derece polinomu 0 olmalıdır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26

43 y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx y (x) = re rx y (x) = r 2 e rx ay + by + cy = 0 ar 2 e rx + bre rx + ce rx = 0 (ar 2 + br + c)e rx = 0 çarpanlarımızdan e rx fonksiyonu 0 olamıyacağı için ar 2 + br + c ikinci derece polinomu 0 olmalıdır.bu polinomun köklerini bulabilirsek y(x) = e rx fonksiyonu denklem (1) in bir çözümü olacaktır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26

44 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26

45 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26

46 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26

47 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx 5re rx Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26

48 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx 5re rx + 6e rx = 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26

49 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx 5re rx + 6e rx = 0 bulunur. (r 2 5r + 6)e rx = 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26

50 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx 5re rx + 6e rx = 0 (r 2 5r + 6)e rx = 0 bulunur. r 2 5r + 6 polinomunun kökleri r = 2 ve r = 3 tür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26

51 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx 5re rx + 6e rx = 0 (r 2 5r + 6)e rx = 0 bulunur. r 2 5r + 6 polinomunun kökleri r = 2 ve r = 3 tür. Bir çözüm ararken y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x gibi iki çözüm bulduk. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26

52 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx 5re rx + 6e rx = 0 (r 2 5r + 6)e rx = 0 bulunur. r 2 5r + 6 polinomunun kökleri r = 2 ve r = 3 tür. Bir çözüm ararken y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x gibi iki çözüm bulduk. Eğer bu fonksiyonlar doğrusal bağımsız ise genel çözümümüzü y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26

53 y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x foksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 17/ 26

54 y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x foksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 17/ 26

55 y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x foksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) = e2x e 3x 2e 2x 3e 3x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 17/ 26

56 y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x foksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) = e2x e 3x 2e 2x W (y 1 (x), y 2 (x)) = 3e 5x 2e 5x = e 5x 3e 3x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 17/ 26

57 y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x foksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) = e2x e 3x 2e 2x W (y 1 (x), y 2 (x)) = 3e 5x 2e 5x = e 5x 3e 3x Hiç bir reel sayı için Wronskiyen 0 olamıyacağı için bu iki fonksiyon doğrusal bağımsızdır ve denklemimizi genel çözümü bu iki fonksiyonun lineer kombinasyonu şeklinde yazılabilir. y(x) = c 1 e 2x + c 2 e 3x şeklinde genel çözümümüzü bulmuş oluruz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 17/ 26

58 ar 2 + br + c = 0 denklemine ay + by + cy = 0 (1) denkleminin karakteristik denklemi denir. Eğer r 1 ve r 2 karakteristik denklemin reel ve farklı iki kökü ise, y(x) = c 1 e r1x + c 2 e r 2x fonksiyonu denklem (1) in genel çözümüdür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 18/ 26

59 2y 7y + 3y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26

60 2y 7y + 3y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 2r 2 7r + 3 = 0 dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26

61 2y 7y + 3y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 2r 2 7r + 3 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26

62 2y 7y + 3y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 2r 2 7r + 3 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 1/2 ve r 2 = 3 tür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26

63 2y 7y + 3y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 2r 2 7r + 3 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 1/2 ve r 2 = 3 tür. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26

64 2y 7y + 3y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 2r 2 7r + 3 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 1/2 ve r 2 = 3 tür. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü y(x) = c 1 e 1 2 x + c 2 e 3x olarak yazılır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26

65 y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26

66 y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r = 0 dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26

67 y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26

68 y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 0 ve r 2 = 2 dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26

69 y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 0 ve r 2 = 2 dir. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26

70 y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 0 ve r 2 = 2 dir. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü y(x) = c 1 e 0x + c 2 e 2x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26

71 y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 0 ve r 2 = 2 dir. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü y(x) = c 1 e 0x + c 2 e 2x = c 1 + c 2 e 2x olarak yazılır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26

72 ay + by + cy = 0 (1) Eğer karakteristik denklem r 1 = r 2 gibi eşit iki reel köke sahip ise, y(x) = (c 1 + c 2 x)e r 1x fonksiyonu denklem (1) in genel çözümüdür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 21/ 26

73 9y 12y + 4y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26

74 9y 12y + 4y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 9r 2 12r + 4 = 0 dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26

75 9y 12y + 4y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 9r 2 12r + 4 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26

76 9y 12y + 4y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 9r 2 12r + 4 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = r 2 = 2 3 dür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26

77 9y 12y + 4y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 9r 2 12r + 4 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = r 2 = 2 3 dür. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26

78 9y 12y + 4y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 9r 2 12r + 4 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = r 2 = 2 3 dür. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü y(x) = (c 1 + c 2 x)e 2 3 x olarak yazılır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26

79 y + 2y + y = 0 y(0) = 5, y (0) = 3 başlangıç değer problemini çözünüz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26

80 y + 2y + y = 0 y(0) = 5, y (0) = 3 başlangıç değer problemini çözünüz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r + 1 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26

81 y + 2y + y = 0 y(0) = 5, y (0) = 3 başlangıç değer problemini çözünüz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r + 1 = (r + 1) 2 = 0 dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26

82 y + 2y + y = 0 y(0) = 5, başlangıç değer problemini çözünüz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz y (0) = 3 r 2 + 2r + 1 = (r + 1) 2 = 0 dir. Dolayısıyla karakteristik denklemimizin kökleri birbirine eşit ve r 1 = r 2 = 1 dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26

83 y + 2y + y = 0 y(0) = 5, başlangıç değer problemini çözünüz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz y (0) = 3 r 2 + 2r + 1 = (r + 1) 2 = 0 dir. Dolayısıyla karakteristik denklemimizin kökleri birbirine eşit ve r 1 = r 2 = 1 dir. Denklemimizin genel çözümü Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26

84 y + 2y + y = 0 y(0) = 5, başlangıç değer problemini çözünüz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz y (0) = 3 r 2 + 2r + 1 = (r + 1) 2 = 0 dir. Dolayısıyla karakteristik denklemimizin kökleri birbirine eşit ve r 1 = r 2 = 1 dir. Denklemimizin genel çözümü olarak yazılır. y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26

85 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26

86 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26

87 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26

88 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26

89 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 ve y (x) = c 1 e x + c 2 e x c 2 xe x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26

90 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 ve y (x) = c 1 e x + c 2 e x c 2 xe x y (0) = c 1 e 0 + c 2 e 0 c 2 0e x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26

91 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 ve y (x) = c 1 e x + c 2 e x c 2 xe x y (0) = c 1 e 0 + c 2 e 0 c 2 0e x = c 1 + c 2 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26

92 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 ve y (x) = c 1 e x + c 2 e x c 2 xe x y (0) = c 1 e 0 + c 2 e 0 c 2 0e x = c 1 + c 2 = 3 Bu iki denklemden Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26

93 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 ve y (x) = c 1 e x + c 2 e x c 2 xe x y (0) = c 1 e 0 + c 2 e 0 c 2 0e x = c 1 + c 2 = 3 Bu iki denklemden c 1 = 5 ve c 2 = 2 değerlerine ulaşırız. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26

94 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 ve y (x) = c 1 e x + c 2 e x c 2 xe x y (0) = c 1 e 0 + c 2 e 0 c 2 0e x = c 1 + c 2 = 3 Bu iki denklemden c 1 = 5 ve c 2 = 2 değerlerine ulaşırız. Sonuç olarak çözümümüz y(x) = (5 + 2x)e x tür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26

95 ay + by + cy = 0 (1) Eğer karakteristik denklemin a ib, (b 0) gibi kompleks eşlenik iki köke sahip ise, y(x) = e ax (c 1 cos (bx) + c 2 sin (bx)) fonksiyonu denklem (1) in genel çözümüdür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 25/ 26

96 y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26

97 y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 4r + 5 = 0 dır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26

98 y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 4r + 5 = 0 dır. = b 2 4ac Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26

99 y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 4r + 5 = 0 dır. = b 2 4ac = ( 4) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26

100 y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 4r + 5 = 0 dır. = b 2 4ac = ( 4) = 4 < 0 olduğu için karakteristik denklemin reel kökü yoktur. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26

101 y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 4r + 5 = 0 dır. = b 2 4ac = ( 4) = 4 < 0 olduğu için karakteristik denklemin reel kökü yoktur. Kompleks köklerimiz 2 i dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26

102 y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 4r + 5 = 0 dır. = b 2 4ac = ( 4) = 4 < 0 olduğu için karakteristik denklemin reel kökü yoktur. Kompleks köklerimiz 2 i dir. Böylece genel çözümümüz şeklinde yazılabilir. y(x) = e 2x (c 1 cos x + c 2 sin x) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Yüksek Mertebeden Diferansiyel Denklemler. İkinci Mertebeden. İndirgenebilir Diferansiyel Denklemler

Yüksek Mertebeden Diferansiyel Denklemler. İkinci Mertebeden. İndirgenebilir Diferansiyel Denklemler Yüksek Mertebeden Diferansiyel Denklemler İkinci Mertebeden İndirgenebilir Diferansiyel Denklemler YÜKSEK MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER ikinci mertebeden bir diferansiyel denklem, bilinmeyen y(x)

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9 İÇİNDEKİLER Ön Söz... Adi Diferansiyel Denklemler... Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler...9 Homojen Diferansiyel Denklemler...15 Tam Diferansiyel Denklemler...19 Birinci Mertebeden

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Değişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir.

Değişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir. 3. Yüksek Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Geçmiş konularda şu ana kadar ele alınan 1.mertebe-1.dereceden adi diferensiyel denklemler ancak 1.mertebe seviyesindeki belirli problemleri ifade edebilmektedir.

Detaylı

1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4)

1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4) HAZİNE-1 Düzlemde sabit M(a,b) noktasından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, M merkezli R yarıçaplı çemberdir. HAZİNE-2 O(0,0) merkezli, R yarıçaplı çemberin denklemi; x 2 +y 2 =R 2 dir.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)

Detaylı

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler

Detaylı

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları 2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4

Detaylı

S4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun

S4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun Kısmi Türevli Denklemler Problem Seti-I S1 u = u(x, y ve a, b, c R olmak uzere, ξ = ax + by ve η = bx ay degisken degistirmesi yaparak n cozunuz. au x + bu y + cy = 0 S2 Aşa gidaki denklemleri Adi Diferensiyel

Detaylı

Diferansiyel denklemler uygulama soruları

Diferansiyel denklemler uygulama soruları . Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,

Detaylı

İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ

İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 203-204 GÜZ DÖNEMİ Diferansiyel Denklemler Ders Notları Yrd.Doç.Dr. Ahmet Altundağ İSTANBUL 2 İçindekiler BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL

Detaylı

2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz.

2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz. D DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÇALIŞMA SORULARI Fakülte No:................................................... Adı ve Soyadı:................................................. Bölüm:...................................................................

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

Polinomlar. Rüstem YILMAZ

Polinomlar. Rüstem YILMAZ Polinomlar Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 matematikklinigi@gmail.com 26 Aralık 2016 0.1 Tanımı a, b, c, d reel sayılar ve n N olmak üzere, P (x) = ax n + bx n 1 + + cx + d ifadesine reel katsayılı ve bir

Detaylı

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2) ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme

Detaylı

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 9. Tanım 2. Kompleks düzlemin tamamında analitik olan bir fonksiyona tam fonksiyon denir.

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 9. Tanım 2. Kompleks düzlemin tamamında analitik olan bir fonksiyona tam fonksiyon denir. .7. Analitik ve Harmonik Fonksiyonlar Tanım 1. f(z) nin z 0 da f (z 0 ) türevi mevcut ve z 0 ın bir D ε (z 0 ) = {z : z z 0 < ε} komşuluğundaki her noktada türevi varsa bu durumda f ye z 0 da analitiktir

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14. 1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Koordinatlar DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen

Detaylı

Otomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri. Hazırlayan: Dr. Nurdan Bilgin

Otomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri. Hazırlayan: Dr. Nurdan Bilgin Otomatik Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Hazırlayan: Dr. Nurdan Bilgin Kapalı Çevrim Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Tüm uygulamalar için aşağıdaki

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan; . Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Düzlem Gerilme durumu için: Bilinmeyenler: Düzlem Şekil değiştirme durumu için: Bilinmeyenler: 3 gerilme bileşeni : 3 gerilme bileşeni : 3 şekil değiştirme

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25 İçindekiler RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER. Çözümlü Sorular............................. 2.2 Sorular................................... 5 2 TEK - TERİMLİ veçok-terimli İFADELER 7 2. Çözümlü Sorular.............................

Detaylı

DOĞRUSAL DENKLEMLER VE KOORDİNAT SİSTEMİ

DOĞRUSAL DENKLEMLER VE KOORDİNAT SİSTEMİ DOĞRUSAL DENKLEMLER VE KOORDİNAT SİSTEMİ Örnek : Taksi ile yapılan yolculukların ücreti taksimetre ile belirlenir Bir taksimetrenin açılış ücreti 2 TL, sonraki her kilometre başına 1 TL ücret ödendiğine

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

= e DIŞ MERKEZLİK HAZİNE-1 HAZİNE-2

= e DIŞ MERKEZLİK HAZİNE-1 HAZİNE-2 HAZİNE-1 HAZİNE-2 Bir eksen üzerinde verilen noktadan geçen ve eksen ile belirli açı yaparak dönen doğrunun oluşturduğu yüzeye konik yüzey denir. Konik yüzeyin değişik düzlemler ile arakesit kümeleri çember,

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ BÖLÜM - KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR - KARMAŞIK SAYILAR VE ÖELLİKLERİ ax + bx +c ikinci derece denkleminin < iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz. Örneğin x + denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü

Detaylı

BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES)

BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) Lagrange ve Neville yöntemlerinin bazı olumsuz yanları vardır: İşlem sayısı çok fazladır (bazı başka yöntemlere kıyasla) Data setinde bir nokta ilavesi veya çıkartılması

Detaylı

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1.. Kutupsal Formda Gösterim z x + iy vektörünün pozitif reel eksenle yaptığı açıya θ diyelim. cos θ x, sin θ y ve buradan tan θ y θ arctan y olup θ ya z z

Detaylı

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır?

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır? MATE 106 SOSYAL BİLİMLER İÇİN TEMEL ANALİZ Ad-Soyad No Uygun cevabı bulunuz. 1)A = πr2 formülü r yarıçaplı çemberin A alanını vermektedir. Bir masa örtüsü A alanına sahipse, yarıçapını A'nın bir fonksiyonu

Detaylı

Örnek...4 : P(x) = 3x + 2 ve Q(x)= x 2 +4x -3 polinomları için a) P(x). Q(x) b)x.p(x) 2.Q(x) işlem lerini ya pınız.

Örnek...4 : P(x) = 3x + 2 ve Q(x)= x 2 +4x -3 polinomları için a) P(x). Q(x) b)x.p(x) 2.Q(x) işlem lerini ya pınız. POLİNOMLARDA Polinomlarda To plama ve Çıkarma P(x) ve Q(x) iki polinom olsun. P(x) + Q(x) veya P(x) Q(x) işlemi yapılırken eşit dereceli terimlerin katsayıları işlemine göre toplanır veya çıkarılır. Örnek...1

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

MAT 2011 MATEMATİK III

MAT 2011 MATEMATİK III } MAT 20 MATEMATİK III Ders Notları } Öğr. Gör. Volkan ÖĞER 205 İçindekiler Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler 3. Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller............................ 3.2

Detaylı

Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması.

Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Projenin Amacı: Aritmetik bir dizinin ilk n-teriminin belirli tam sayı kuvvetleri toplamının

Detaylı

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Detaylı

Lecture 2. Mahir Bilen Can. Mayıs 10, 2016

Lecture 2. Mahir Bilen Can. Mayıs 10, 2016 Lecture 2 Mahir Bilen Can Mayıs 10, 2016 1 Klasik Lie Cebirleri Klasik Lie cebirlerinin hepsi içinde son derece büyük öneme sahip dört sonsuz aile vardır. Bunlar A, B, C, D harfleri ile indekslenmekte

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI 0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;

Detaylı

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1 . ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI İşaret akış diyagramları blok diyagramlara bir alternatiftir. Fonksiyonel bloklar, işaretler, toplama noktaları

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 12. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI. B) 2f(x)-6

ÖZEL EGE LİSESİ 12. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI. B) 2f(x)-6 1. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1. Pozitif baş katsayılı bir P(x) polinomunda P(P(x)+x)=x 6 eşitliği sağlandığına göre ; P x polinomunun sabit terimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 6 B) 5 C) 0 D)

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir. Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde

Detaylı

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org 0. Sınıf M AT E M AT İ K Mehmet ŞAHİN www.mehmetsahinkitaplari.org M.E.B Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı nın 0..009 tarih ve 4 sayılı kararı ve 00-0 öğretim yılından itibaren uygulanacak programa göre

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

DEVRE VE SİSTEM ANALİZİ ÇALIŞMA SORULARI

DEVRE VE SİSTEM ANALİZİ ÇALIŞMA SORULARI DEVRE VE SİSTEM ANALİZİ 01.1.015 ÇALIŞMA SORULARI 1. Aşağıda verilen devrede anahtar uzun süre konumunda kalmış ve t=0 anında a) v 5 ( geriliminin tam çözümünü diferansiyel denklemlerden faydalanarak bulunuz.

Detaylı

Otomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri

Otomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Otomatik Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri H a z ı r l aya n : D r. N u r d a n B i l g i n Kapalı Çevrim Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Bir önceki

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu

Detaylı

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI 1-60) Dört çocuk, Ahmet, Ferit, Berk ve Mehmet koşu yarışı yapıyorlar. Yarışma sonucunda, Ahmet, "Ben birinci ve sonuncu

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen

Detaylı