Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984."

Transkript

1 Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

2 (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini içeren denklemlere diferansiyel denklem denir.

3 (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini içeren denklemlere diferansiyel denklem denir. Bağımlı ve bağımsız değişkeni tek olan diferansiyel denklemlere adi diferansiyel denklem denir.

4 (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini içeren denklemlere diferansiyel denklem denir. Bağımlı ve bağımsız değişkeni tek olan diferansiyel denklemlere adi diferansiyel denklem denir. Bu ders süresinde Diferensiyel Denklem ifadesi Adi Denklem anlamında kullanılacaktır.

5 (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini içeren denklemlere diferansiyel denklem denir. Bağımlı ve bağımsız değişkeni tek olan diferansiyel denklemlere adi diferansiyel denklem denir. Bu ders süresinde Diferensiyel Denklem ifadesi Adi Denklem anlamında kullanılacaktır. n. inci merteben lineer diferansiyel denklem

6 (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini içeren denklemlere diferansiyel denklem denir. Bağımlı ve bağımsız değişkeni tek olan diferansiyel denklemlere adi diferansiyel denklem denir. Bu ders süresinde Diferensiyel Denklem ifadesi Adi Denklem anlamında kullanılacaktır. n. inci merteben lineer diferansiyel denklem, y bağımlı ve x bağımsız değişkeni ile a 0 0 olmak üzere;

7 (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini içeren denklemlere diferansiyel denklem denir. Bağımlı ve bağımsız değişkeni tek olan diferansiyel denklemlere adi diferansiyel denklem denir. Bu ders süresinde Diferensiyel Denklem ifadesi Adi Denklem anlamında kullanılacaktır. n. inci merteben lineer diferansiyel denklem, y bağımlı ve x bağımsız değişkeni ile a 0 0 olmak üzere; biçimindedir. a 0 (x) dn y dx n + a 1(x) dn 1 y dx n a n 1(x) dy + an(x)y = b(x) (1) dx

8 Birinci Mertebeden Denklem Basit formda y bağımlı x bağımsız değişkenleri ile birinci mertebeden diferansiyel denklem

9 Birinci Mertebeden Denklem Basit formda y bağımlı x bağımsız değişkenleri ile birinci mertebeden diferansiyel denklem; dy = f (x, y) (2) dx biçiminde yazılabilirdir. Bu formda yazılan diferansiyel denklemler lineer olmak zorunda değildir.

10 Birinci Mertebeden Denklem Basit formda y bağımlı x bağımsız değişkenleri ile birinci mertebeden diferansiyel denklem; dy = f (x, y) (2) dx biçiminde yazılabilirdir. Bu formda yazılan diferansiyel denklemler lineer olmak zorunda değildir. Bir diferansiyel denklemde kendisi ve türevleri yerine yazıldığında diferansiyel denklemi özdeş olarak sağlayan, I aralığında tanımlı bir y = F (x) fonksiyonuna diferansiyel denklemin çözümü denir.

11 Birinci Mertebeden Denklem Basit formda y bağımlı x bağımsız değişkenleri ile birinci mertebeden diferansiyel denklem; dy = f (x, y) (2) dx biçiminde yazılabilirdir. Bu formda yazılan diferansiyel denklemler lineer olmak zorunda değildir. Bir diferansiyel denklemde kendisi ve türevleri yerine yazıldığında diferansiyel denklemi özdeş olarak sağlayan, I aralığında tanımlı bir y = F (x) fonksiyonuna diferansiyel denklemin çözümü denir. y = F (x) fonksiyonunun grafiği integral eğrisi adını alır.

12 Birinci Mertebeden Denklem Basit formda y bağımlı x bağımsız değişkenleri ile birinci mertebeden diferansiyel denklem; dy = f (x, y) (2) dx biçiminde yazılabilirdir. Bu formda yazılan diferansiyel denklemler lineer olmak zorunda değildir. Bir diferansiyel denklemde kendisi ve türevleri yerine yazıldığında diferansiyel denklemi özdeş olarak sağlayan, I aralığında tanımlı bir y = F (x) fonksiyonuna diferansiyel denklemin çözümü denir. y = F (x) fonksiyonunun grafiği integral eğrisi adını alır. Bir diferansiyel denklemin çözümü y = f (x) biçiminde ifade edilebiliyorsa

13 Birinci Mertebeden Denklem Basit formda y bağımlı x bağımsız değişkenleri ile birinci mertebeden diferansiyel denklem; dy = f (x, y) (2) dx biçiminde yazılabilirdir. Bu formda yazılan diferansiyel denklemler lineer olmak zorunda değildir. Bir diferansiyel denklemde kendisi ve türevleri yerine yazıldığında diferansiyel denklemi özdeş olarak sağlayan, I aralığında tanımlı bir y = F (x) fonksiyonuna diferansiyel denklemin çözümü denir. y = F (x) fonksiyonunun grafiği integral eğrisi adını alır. Bir diferansiyel denklemin çözümü y = f (x) biçiminde ifade edilebiliyorsaaçık çözüm, F (x, y) = 0 ile ifade edilebiliyorsa

14 Birinci Mertebeden Denklem Basit formda y bağımlı x bağımsız değişkenleri ile birinci mertebeden diferansiyel denklem; dy = f (x, y) (2) dx biçiminde yazılabilirdir. Bu formda yazılan diferansiyel denklemler lineer olmak zorunda değildir. Bir diferansiyel denklemde kendisi ve türevleri yerine yazıldığında diferansiyel denklemi özdeş olarak sağlayan, I aralığında tanımlı bir y = F (x) fonksiyonuna diferansiyel denklemin çözümü denir. y = F (x) fonksiyonunun grafiği integral eğrisi adını alır. Bir diferansiyel denklemin çözümü y = f (x) biçiminde ifade edilebiliyorsaaçık çözüm, F (x, y) = 0 ile ifade edilebiliyorsa kapalı çözüm adını alır.

15 Birinci Mertebe Denklem Örnek y = xe x fonksiyonu, (, ) aralığında y 2y + y = 0 denkleminin çözümüdür. x R için,

16 Birinci Mertebe Denklem Örnek y = xe x fonksiyonu, (, ) aralığında y 2y + y = 0 denkleminin çözümüdür. x R için, y = xe x + e x

17 Birinci Mertebe Denklem Örnek y = xe x fonksiyonu, (, ) aralığında y 2y + y = 0 denkleminin çözümüdür. x R için, y = xe x + e x ve y = xe x + 2e x

18 Birinci Mertebe Denklem Örnek y = xe x fonksiyonu, (, ) aralığında y 2y + y = 0 denkleminin çözümüdür. x R için, y = xe x + e x ve y = xe x + 2e x denklemde yerine yazılırsa

19 Birinci Mertebe Denklem Örnek y = xe x fonksiyonu, (, ) aralığında y 2y + y = 0 denkleminin çözümüdür. x R için, y = xe x + e x ve y = xe x + 2e x denklemde yerine yazılırsa y 2y + y = (xe x + 2e x ) 2(xe x + e x ) + (xe x ) = 0

20 Birinci Mertebe Denklem Örnek y = xe x fonksiyonu, (, ) aralığında y 2y + y = 0 denkleminin çözümüdür. x R için, y = xe x + e x ve y = xe x + 2e x denklemde yerine yazılırsa y 2y + y = (xe x + 2e x ) 2(xe x + e x ) + (xe x ) = 0 denklemi özdeş olarak sağlar. Örnek dy = 2x denkleminin çözümü nedir? Çözüm: dx

21 Birinci Mertebe Denklem Örnek y = xe x fonksiyonu, (, ) aralığında y 2y + y = 0 denkleminin çözümüdür. x R için, y = xe x + e x ve y = xe x + 2e x denklemde yerine yazılırsa y 2y + y = (xe x + 2e x ) 2(xe x + e x ) + (xe x ) = 0 denklemi özdeş olarak sağlar. Örnek dy = 2x denkleminin çözümü nedir? Çözüm: dx dy = 2xdx y(x) = x 2 + c, c sabit

22 Birinci Mertebe Denklem Örnek y = xe x fonksiyonu, (, ) aralığında y 2y + y = 0 denkleminin çözümüdür. x R için, y = xe x + e x ve y = xe x + 2e x denklemde yerine yazılırsa y 2y + y = (xe x + 2e x ) 2(xe x + e x ) + (xe x ) = 0 denklemi özdeş olarak sağlar. Örnek dy = 2x denkleminin çözümü nedir? Çözüm: dx dy = 2xdx y(x) = x 2 + c, c sabit Bu çözüm ne ifade eder?

23 Birinci Mertebe Denklem Örnek y = xe x fonksiyonu, (, ) aralığında y 2y + y = 0 denkleminin çözümüdür. x R için, y = xe x + e x ve y = xe x + 2e x denklemde yerine yazılırsa y 2y + y = (xe x + 2e x ) 2(xe x + e x ) + (xe x ) = 0 denklemi özdeş olarak sağlar. Örnek dy = 2x denkleminin çözümü nedir? Çözüm: dx dy = 2xdx y(x) = x 2 + c, c sabit Bu çözüm ne ifade eder?

24 Farklı c değerleri için y(x) = x 2 + c y x 4 6

25 Çözüm Çeşitleri c 1, c 2,..., c n birbirinden bağımsız keyfi sabitler ile F (x, y, c 1, c 2,..., c n) bağıntısı ile tanımlanan n parametreli bir fonksiyon ailesi f (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 eşitliği ile verilen bir diferansiyel denklemi çözüyorsa, bu çözüm genel çözüm olarak adlandırılır.

26 Çözüm Çeşitleri c 1, c 2,..., c n birbirinden bağımsız keyfi sabitler ile F (x, y, c 1, c 2,..., c n) bağıntısı ile tanımlanan n parametreli bir fonksiyon ailesi f (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 eşitliği ile verilen bir diferansiyel denklemi çözüyorsa, bu çözüm genel çözüm olarak adlandırılır. c 1, c 2,..., c n keyfî sabitlerine keyfî değerler verilerek genel çözümden üretilen her bir çözüme özel çözüm denir.

27 Çözüm Çeşitleri c 1, c 2,..., c n birbirinden bağımsız keyfi sabitler ile F (x, y, c 1, c 2,..., c n) bağıntısı ile tanımlanan n parametreli bir fonksiyon ailesi f (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 eşitliği ile verilen bir diferansiyel denklemi çözüyorsa, bu çözüm genel çözüm olarak adlandırılır. c 1, c 2,..., c n keyfî sabitlerine keyfî değerler verilerek genel çözümden üretilen her bir çözüme özel çözüm denir. Genel çözümdeki c 1, c 2,..., c n keyfî sabitlerine keyfî değerler verilerek bulunamayan ancak denklemi sağlayan çözümlere singüler(tekil) çözüm denir.

28 Birinci Mertebe de Başlangıç Değer Problemi (BDP) dy = f (x, y) (3) dx diferansiyel denkleminde f, bir D düzleminde x ve y değişkenlerinin sürekli bir fonksiyonu ve (x 0, y 0 ) D olmak üzere; (3) diferansiyel denklemi ile y(x 0 ) = y 0 koşulunun birleştirilmesi ile kurulan probleme birinci mertebeden diferansiyel denklemin başlangıç değer problemi denir.

29 Birinci Mertebe de Başlangıç Değer Problemi (BDP) dy = f (x, y) (3) dx diferansiyel denkleminde f, bir D düzleminde x ve y değişkenlerinin sürekli bir fonksiyonu ve (x 0, y 0 ) D olmak üzere; (3) diferansiyel denklemi ile y(x 0 ) = y 0 koşulunun birleştirilmesi ile kurulan probleme birinci mertebeden diferansiyel denklemin başlangıç değer problemi denir. Başlangıç değer probleminin çözümü, genel çözümdeki keyfî sabitlerin bulunabilmesi ile TEK olarak bulunabilir. Başlangıç değer problemlerde çözümün tekliği için VARLIK ve TEKLİK teoremi sağlanmalıdır.

30 Birinci Mertebe de Başlangıç Değer Problemi (BDP) dy = f (x, y) (3) dx diferansiyel denkleminde f, bir D düzleminde x ve y değişkenlerinin sürekli bir fonksiyonu ve (x 0, y 0 ) D olmak üzere; (3) diferansiyel denklemi ile y(x 0 ) = y 0 koşulunun birleştirilmesi ile kurulan probleme birinci mertebeden diferansiyel denklemin başlangıç değer problemi denir. Başlangıç değer probleminin çözümü, genel çözümdeki keyfî sabitlerin bulunabilmesi ile TEK olarak bulunabilir. Başlangıç değer problemlerde çözümün tekliği için VARLIK ve TEKLİK teoremi sağlanmalıdır.

31 Yüksek Mertebeden için Başlangıç Değer Problemi (BDP) Yüksek Mertebe de Başlangıç Değer Problemi:

32 Yüksek Mertebeden için Başlangıç Değer Problemi (BDP) Yüksek Mertebe de Başlangıç Değer Problemi: y (n) = f (x, y, y,..., y (n 2), y (n 1) ) formunda yazılan n. mertebeden diferansiyle denklemi ve y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1 koşulları ile kurulan probleme yüksek mertebeli denklem için başlangıç değer problemi denir.

33 Yüksek Mertebeden için Başlangıç Değer Problemi (BDP) Yüksek Mertebe de Başlangıç Değer Problemi: y (n) = f (x, y, y,..., y (n 2), y (n 1) ) formunda yazılan n. mertebeden diferansiyle denklemi ve y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1 koşulları ile kurulan probleme yüksek mertebeli denklem için başlangıç değer problemi denir. n. mertebeden bir denklemin genel çözümü n tane keyfî sabit içerir.

34 Yüksek Mertebeden için Başlangıç Değer Problemi (BDP) Yüksek Mertebe de Başlangıç Değer Problemi: y (n) = f (x, y, y,..., y (n 2), y (n 1) ) formunda yazılan n. mertebeden diferansiyle denklemi ve y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1 koşulları ile kurulan probleme yüksek mertebeli denklem için başlangıç değer problemi denir. n. mertebeden bir denklemin genel çözümü n tane keyfî sabit içerir. n tane keyfî sabiti bulmak için n tane koşul gereklidir.

35 Yüksek Mertebeden için Başlangıç Değer Problemi (BDP) Yüksek Mertebe de Başlangıç Değer Problemi: y (n) = f (x, y, y,..., y (n 2), y (n 1) ) formunda yazılan n. mertebeden diferansiyle denklemi ve y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1 koşulları ile kurulan probleme yüksek mertebeli denklem için başlangıç değer problemi denir. n. mertebeden bir denklemin genel çözümü n tane keyfî sabit içerir. n tane keyfî sabiti bulmak için n tane koşul gereklidir. n tane koşul tek noktada verilirse, problem başlangıç değer problemi olur.

36 Yüksek Mertebeden için Başlangıç Değer Problemi (BDP) Yüksek Mertebe de Başlangıç Değer Problemi: y (n) = f (x, y, y,..., y (n 2), y (n 1) ) formunda yazılan n. mertebeden diferansiyle denklemi ve y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1 koşulları ile kurulan probleme yüksek mertebeli denklem için başlangıç değer problemi denir. n. mertebeden bir denklemin genel çözümü n tane keyfî sabit içerir. n tane keyfî sabiti bulmak için n tane koşul gereklidir. n tane koşul tek noktada verilirse, problem başlangıç değer problemi olur. n tane koşul farklı noktalarda verildiğinde probleme sınır değer problemi (SDP) denir.

37 Yüksek Mertebeden için Başlangıç Değer Problemi (BDP) Yüksek Mertebe de Başlangıç Değer Problemi: y (n) = f (x, y, y,..., y (n 2), y (n 1) ) formunda yazılan n. mertebeden diferansiyle denklemi ve y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1 koşulları ile kurulan probleme yüksek mertebeli denklem için başlangıç değer problemi denir. n. mertebeden bir denklemin genel çözümü n tane keyfî sabit içerir. n tane keyfî sabiti bulmak için n tane koşul gereklidir. n tane koşul tek noktada verilirse, problem başlangıç değer problemi olur. n tane koşul farklı noktalarda verildiğinde probleme sınır değer problemi (SDP) denir. Birinci mertebe denklemlerde bir tane koşul bulunduğundan, sınır değer problemi kavramı yoktur.

38 BDP - SDP Örnek dy = 2x diferansiyel denkleminin x = 1 noktasında 4 değerini alan problemin dx çözümü nedir?

39 BDP - SDP Örnek dy = 2x diferansiyel denkleminin x = 1 noktasında 4 değerini alan problemin dx çözümü nedir? Bu problem, birinci mertebe diferansiyel denklem ve bir koşul içeren bir problemdir.

40 BDP - SDP Örnek dy = 2x diferansiyel denkleminin x = 1 noktasında 4 değerini alan problemin dx çözümü nedir? Bu problem, birinci mertebe diferansiyel denklem ve bir koşul içeren bir problemdir. Problemin çözümü hem diferansiyel denklemi sağlamalıdır, hem de x = 1 noktasında 4 değerini almalıdır.

41 BDP - SDP Örnek dy = 2x diferansiyel denkleminin x = 1 noktasında 4 değerini alan problemin dx çözümü nedir? Bu problem, birinci mertebe diferansiyel denklem ve bir koşul içeren bir problemdir. Problemin çözümü hem diferansiyel denklemi sağlamalıdır, hem de x = 1 noktasında 4 değerini almalıdır. Birinci mertebeden başlangıç değer probleminin matematiksel gösterimi;

42 BDP - SDP Örnek dy = 2x diferansiyel denkleminin x = 1 noktasında 4 değerini alan problemin dx çözümü nedir? Bu problem, birinci mertebe diferansiyel denklem ve bir koşul içeren bir problemdir. Problemin çözümü hem diferansiyel denklemi sağlamalıdır, hem de x = 1 noktasında 4 değerini almalıdır. Birinci mertebeden başlangıç değer probleminin matematiksel gösterimi; Örnek dy dx = 2x y(1) = 4

43 BDP - SDP Örnek dy = 2x diferansiyel denkleminin x = 1 noktasında 4 değerini alan problemin dx çözümü nedir? Bu problem, birinci mertebe diferansiyel denklem ve bir koşul içeren bir problemdir. Problemin çözümü hem diferansiyel denklemi sağlamalıdır, hem de x = 1 noktasında 4 değerini almalıdır. Birinci mertebeden başlangıç değer probleminin matematiksel gösterimi; Örnek dy dx = 2x y(1) = 4 biçimindedir.

44 Çözüm dy = 2x denkleminin genel çözümü tek parametreli çözümler ailesi dx olarak, c keyfî sabiti ile y = x 2 + c biçimindedir.

45 Çözüm dy = 2x denkleminin genel çözümü tek parametreli çözümler ailesi dx olarak, c keyfî sabiti ile y = x 2 + c biçimindedir. Bu çözümde c keyfî bir sabittir ve ek bir koşul olmadığı sürece denklemin genel çözümüdür.

46 Çözüm dy = 2x denkleminin genel çözümü tek parametreli çözümler ailesi dx olarak, c keyfî sabiti ile y = x 2 + c biçimindedir. Bu çözümde c keyfî bir sabittir ve ek bir koşul olmadığı sürece denklemin genel çözümüdür. Bu ailenin y(1) = 4 koşulunu sağlayan tek çözümü; ile y = x olarak bulunur. 4 = c c = 3

47 Çözüm dy = 2x denkleminin genel çözümü tek parametreli çözümler ailesi dx olarak, c keyfî sabiti ile y = x 2 + c biçimindedir. Bu çözümde c keyfî bir sabittir ve ek bir koşul olmadığı sürece denklemin genel çözümüdür. Bu ailenin y(1) = 4 koşulunu sağlayan tek çözümü; 4 = c c = 3 ile y = x olarak bulunur. Koşulun geometrik anlamı incelenirse; y x 2

48 Yüksek mertebeden denklemlerde de tek çözümlerin varlığı verilen koşullara bağlıdır. Bu koşullara tamamlayıcı koşullar denir.

49 Yüksek mertebeden denklemlerde de tek çözümlerin varlığı verilen koşullara bağlıdır. Bu koşullara tamamlayıcı koşullar denir. Tamamlayıcı koşullar tek x noktasında verildiğinde problem başlangıç değer problemi adınır alırken;

50 Yüksek mertebeden denklemlerde de tek çözümlerin varlığı verilen koşullara bağlıdır. Bu koşullara tamamlayıcı koşullar denir. Tamamlayıcı koşullar tek x noktasında verildiğinde problem başlangıç değer problemi adınır alırken; koşullar birden fazla noktada verildiğinde problem sınır değer problemi adını alır.

51 Yüksek mertebeden denklemlerde de tek çözümlerin varlığı verilen koşullara bağlıdır. Bu koşullara tamamlayıcı koşullar denir. Tamamlayıcı koşullar tek x noktasında verildiğinde problem başlangıç değer problemi adınır alırken; koşullar birden fazla noktada verildiğinde problem sınır değer problemi adını alır. İkinci mertebeden denklem için sınır değer problemine literatürde iki noktalı sınır değer problemi denir. Örnek d 2 y dx 2 + xy = 0 y(1) = 3 y (1) = 2

52 Yüksek mertebeden denklemlerde de tek çözümlerin varlığı verilen koşullara bağlıdır. Bu koşullara tamamlayıcı koşullar denir. Tamamlayıcı koşullar tek x noktasında verildiğinde problem başlangıç değer problemi adınır alırken; koşullar birden fazla noktada verildiğinde problem sınır değer problemi adını alır. İkinci mertebeden denklem için sınır değer problemine literatürde iki noktalı sınır değer problemi denir. Örnek d 2 y dx 2 + xy = 0 y(1) = 3 y (1) = 2 problemi bir başlangıç değer problemi iken;

53 Yüksek mertebeden denklemlerde de tek çözümlerin varlığı verilen koşullara bağlıdır. Bu koşullara tamamlayıcı koşullar denir. Tamamlayıcı koşullar tek x noktasında verildiğinde problem başlangıç değer problemi adınır alırken; koşullar birden fazla noktada verildiğinde problem sınır değer problemi adını alır. İkinci mertebeden denklem için sınır değer problemine literatürde iki noktalı sınır değer problemi denir. Örnek d 2 y dx 2 + xy = 0 y(1) = 3 y (1) = 2 problemi bir başlangıç değer problemi iken; Örnek d 2 y dx 2 + xy = 0 y(0) = 1 y (π) = 5

54 Yüksek mertebeden denklemlerde de tek çözümlerin varlığı verilen koşullara bağlıdır. Bu koşullara tamamlayıcı koşullar denir. Tamamlayıcı koşullar tek x noktasında verildiğinde problem başlangıç değer problemi adınır alırken; koşullar birden fazla noktada verildiğinde problem sınır değer problemi adını alır. İkinci mertebeden denklem için sınır değer problemine literatürde iki noktalı sınır değer problemi denir. Örnek d 2 y dx 2 + xy = 0 y(1) = 3 y (1) = 2 problemi bir başlangıç değer problemi iken; Örnek d 2 y dx 2 + xy = 0 y(0) = 1 y (π) = 5

55 Birinci Mertebe Denklem için Varlık-Teklik Teoremi Teorem dy = f (x, y) (4) dx

56 Birinci Mertebe Denklem için Varlık-Teklik Teoremi Teorem denkleminde f (x, y) fonksiyonu dy = f (x, y) (4) dx i f (x, y) fonksiyonu xy düzleminin bir D bölgesinde sürekli bir fonksiyon olsun.

57 Birinci Mertebe Denklem için Varlık-Teklik Teoremi Teorem denkleminde f (x, y) fonksiyonu dy = f (x, y) (4) dx i f (x, y) fonksiyonu xy düzleminin bir D bölgesinde sürekli bir fonksiyon olsun. f ii f (x, y) fonksiyonunun y değişkeni için kısmî türevi y, (x 0, y 0 ) noktasını da içine alan D bölgesinde sürekli olsun.

58 Birinci Mertebe Denklem için Varlık-Teklik Teoremi Teorem denkleminde f (x, y) fonksiyonu dy = f (x, y) (4) dx i f (x, y) fonksiyonu xy düzleminin bir D bölgesinde sürekli bir fonksiyon olsun. f ii f (x, y) fonksiyonunun y değişkeni için kısmî türevi y, (x 0, y 0 ) noktasını da içine alan D bölgesinde sürekli olsun. Sonuç (4) denkleminin yeterince küçük bir h için x x 0 h aralığında tanımlı koşulunu sağlayan Φ çözümü tektir. Φ(x 0 ) = y 0 (5)

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Diferansiyel denklemler uygulama soruları

Diferansiyel denklemler uygulama soruları . Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.

Detaylı

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları 2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz.

2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz. D DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÇALIŞMA SORULARI Fakülte No:................................................... Adı ve Soyadı:................................................. Bölüm:...................................................................

Detaylı

Adi Diferansiyel Denklemler Teorisine Giriş (MATH360) Ders Detayları

Adi Diferansiyel Denklemler Teorisine Giriş (MATH360) Ders Detayları Adi Diferansiyel Denklemler Teorisine Giriş (MATH360) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Kredi AKTS Saati Adi Diferansiyel Denklemler Teorisine Giriş MATH360

Detaylı

İşaret ve Sistemler. Ders 11: Laplace Dönüşümleri

İşaret ve Sistemler. Ders 11: Laplace Dönüşümleri İşaret ve Sistemler Ders 11: Laplace Dönüşümleri Laplace Dönüşüm Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) yada L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s: İşaret ve Sistemler

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ

İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 203-204 GÜZ DÖNEMİ Diferansiyel Denklemler Ders Notları Yrd.Doç.Dr. Ahmet Altundağ İSTANBUL 2 İçindekiler BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen

Detaylı

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav

Detaylı

Değişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir.

Değişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir. 3. Yüksek Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Geçmiş konularda şu ana kadar ele alınan 1.mertebe-1.dereceden adi diferensiyel denklemler ancak 1.mertebe seviyesindeki belirli problemleri ifade edebilmektedir.

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9 İÇİNDEKİLER Ön Söz... Adi Diferansiyel Denklemler... Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler...9 Homojen Diferansiyel Denklemler...15 Tam Diferansiyel Denklemler...19 Birinci Mertebeden

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Düzlem Gerilme durumu için: Bilinmeyenler: Düzlem Şekil değiştirme durumu için: Bilinmeyenler: 3 gerilme bileşeni : 3 gerilme bileşeni : 3 şekil değiştirme

Detaylı

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki

Detaylı

Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü

Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7 Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Adi Diferansiyel Denklemler (MATH 262) Ders Detayları

Adi Diferansiyel Denklemler (MATH 262) Ders Detayları Adi Diferansiyel Denklemler (MATH 262) Ders Detayları Ders Adı Adi Diferansiyel Denklemler Ders Kodu MATH 262 Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Bahar 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları

Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Ders Adı Diferansiyel Denklemler Ders Kodu MATH 276 Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Bahar 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Math

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları

Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Ders Adı Diferansiyel Denklemler Ders Kodu MATH 276 Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Bahar 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Math

Detaylı

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız.

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. Örnek Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. i. ii. X 1 2 3 4 1 2 3 4 Y 2 3 4 5 4 3 2 1 Örnek Aşağıdaki veri

Detaylı

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 9. Tanım 2. Kompleks düzlemin tamamında analitik olan bir fonksiyona tam fonksiyon denir.

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 9. Tanım 2. Kompleks düzlemin tamamında analitik olan bir fonksiyona tam fonksiyon denir. .7. Analitik ve Harmonik Fonksiyonlar Tanım 1. f(z) nin z 0 da f (z 0 ) türevi mevcut ve z 0 ın bir D ε (z 0 ) = {z : z z 0 < ε} komşuluğundaki her noktada türevi varsa bu durumda f ye z 0 da analitiktir

Detaylı

3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10

3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10 Diferenisyel Geometri 2 Yazokulu 2010 AdıSoyadı: No : 1. ϕ (u, v) = ( u + 2v, v + 2u, u 2 v ) parametrizasyonu ile verilen M kümesinin bir regüler yüzey olduğunu gösteriniz. (15 puan) 3. V, R 3 ün açık

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi 6 7. DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ Diferensiyel denklemlerin sayısal integrasyonunda kullanılabilecek bir çok yöntem vardır. Tecrübeler dördüncü mertebe (Runge-Kutta) yönteminin hemen hemen

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ FİNAL SORULARI 25-26 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... SINAV TARİHİ VE SAATİ : A A A A A A A Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav süresi 9 dakikadır.

Detaylı

S4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun

S4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun Kısmi Türevli Denklemler Problem Seti-I S1 u = u(x, y ve a, b, c R olmak uzere, ξ = ax + by ve η = bx ay degisken degistirmesi yaparak n cozunuz. au x + bu y + cy = 0 S2 Aşa gidaki denklemleri Adi Diferensiyel

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

Ders 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay

Ders 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 48 Bölüm 5 Ders 05 Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1 Aşağıda verilen soru işaretlerinin yerine gelmesi gereken değerleri

Detaylı

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ 6.2. Laplace Dönüşümü Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) ya da L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s; ÇÖZÜM: a) b) c) ÇÖZÜM: 6.3.

Detaylı

Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları

Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Ders Adı Diferansiyel Denklemler Ders Kodu MATH 276 Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Bahar 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Math

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

İÇİNDEKİLER. iii ÖNSÖZ BÖLÜM 1 TEMEL KAVRAMLAR 1 BÖLÜM 2 LİNEER KISMİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 9

İÇİNDEKİLER. iii ÖNSÖZ BÖLÜM 1 TEMEL KAVRAMLAR 1 BÖLÜM 2 LİNEER KISMİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 9 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ ix BÖLÜM 1 TEMEL KAVRAMLAR 1 1.1. Tanımlar 2 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Çözümü (İntegrali) 5 1.3. Başlangıç Değer ve Sınır Değer Problemleri 7 BÖLÜM 2 LİNEER KISMİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER

Detaylı

MAT 2011 MATEMATİK III

MAT 2011 MATEMATİK III } MAT 20 MATEMATİK III Ders Notları } Öğr. Gör. Volkan ÖĞER 205 İçindekiler Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler 3. Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller............................ 3.2

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 10 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 9-DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ 1 GİRİŞ Diferansiyel denklemler, mühendislikte fiziksel olayların modellenmesinde sık karşılaşılan denklemlerdendir. Dolayısıyla bu

Detaylı

DİFERANSİYEL DENKLEMLER-2

DİFERANSİYEL DENKLEMLER-2 DİFERANSİYEL DENKLEMLER- SINIR DEĞER ve ÖZDEĞER PROBLEMLERİ Bu bölümde adi diferansiyel denklemlerde sınır ve özdeğer problemleri ( n) ( n1) incelenecektir. F( y, y,..., y, x) 0 şeklinde verilen bir diferansiyel

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER

UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER GİRİŞ Birçok mühendislik, fizik ve sosal kökenli problemler matematik terimleri ile ifade edildiği zaman bu problemler, bilinmeen fonksionun bir vea daha üksek mertebeden

Detaylı

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 6 (06) 0330 (576-584) AKU J Sci Eng 6 (06) 0330 (576-584) DOI:

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

VERİ MADENCİLİĞİ. Karar Ağacı Algoritmaları: SPRINT algoritması Öğr.Gör.İnan ÜNAL

VERİ MADENCİLİĞİ. Karar Ağacı Algoritmaları: SPRINT algoritması Öğr.Gör.İnan ÜNAL VERİ MADENCİLİĞİ Karar Ağacı Algoritmaları: SPRINT algoritması Öğr.Gör.İnan ÜNAL SPRINT Algoritması ID3,CART, ve C4.5 gibi algoritmalar önce derinlik ilkesine göre çalışırlar ve en iyi dallara ayırma kriterine

Detaylı

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Detaylı

Fen ve Anadolu Liselerine Öğretmen Seçme Sınav Denemesi

Fen ve Anadolu Liselerine Öğretmen Seçme Sınav Denemesi EN LİSELERİ, SOSYL İLİMLER LİSELERİ,SPOR LİSELERİ,NDOLU LİSELERİ ÖĞRETMENLERİNİN SEÇME SINVIN HZIRLIK DENEME SINVI. 2 HZIRLYN : İ:K(2008) idensu@gmail.com kuscuogluibrahim@gmail.com http://idensu.googlepages.com

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1 . ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

Bekleme Hattı Teorisi

Bekleme Hattı Teorisi Bekleme Hattı Teorisi Sürekli Parametreli Markov Zincirleri Tanım 1. * +, durum uzayı * +olan sürekli parametreli bir süreç olsun. Aşağıdaki özellik geçerli olduğunda bu sürece sürekli parametreli Markov

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS DERS BİLGİLERİ Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS Diferansiyel Denklemler ve Lineer Cebir BIL271 3 3+0 3 5 Ön Koşul Dersleri Yok Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin Türü Türkçe Lisans

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

DERS NOTU 01 TÜKETİCİ TEORİSİ

DERS NOTU 01 TÜKETİCİ TEORİSİ DERS NOTU 01 TÜKETİCİ TEORİSİ Bugünki dersin işleniş planı: I. Hanehalkı Karar Problemi... 1 A. Bütçe Doğrusu... 1 II. Seçimin Temeli: Fayda... 5 A. Azalan Marjinal Fayda... 5 B. Fayda Fonksiyonu... 9

Detaylı

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla

Detaylı

B: Bu şekildeki her bir nokta dikdörtgenin noktalarını temsil eder.

B: Bu şekildeki her bir nokta dikdörtgenin noktalarını temsil eder. 2. ÇOK KATLI İNTEGRALLER, DİFERENSİYEL DENKLEMLERE GİRİŞ 2.1. Çok Katlı İntegraller 2.1.1. İki Katlı İntegraller Fonksiyonu bir B bölgesinde sınırlı yani için olsun. B bölgesi alt bölgelere ayrılırsa;

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

MAT 202-DİFERENSİYEL DENKLEMLER-Güz Dönemi. Ders Uygulama Planı. -

MAT 202-DİFERENSİYEL DENKLEMLER-Güz Dönemi. Ders Uygulama Planı. - MAT 202-DİFERENSİYEL DENKLEMLER-Güz 2016-2017 Dönemi Ders Uygulama Planı 04 02 ve 03 01 Öğretim Üyesi Prof. Dr. Ömer AKIN (Ders Koordinatörü) Prof. Dr. Abdullah ALTIN Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN Ofis No 226

Detaylı

DERS ÖĞRETİM PROGRAMI FORMU

DERS ÖĞRETİM PROGRAMI FORMU DERS ÖĞRETİM PROGRAMI FORMU Dersin Adı Kodu Normal Kredisi ECTS Ders 4 Yarıyılı Kredisi uygulama 0 Diferansiyel Denklemler 0252311 3 4 6 Laboratuvar 0 (Saat/Hafta) Dersin Dili Türkçe Dersin Türü Zorunlu

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

diff Türev Alma Fonksiyonu. >> syms x >> A=3*x^4+x^2-3*x A = 3*x^4+x^2-3*x. >> diff(a) // A fonksiyonunun türevini alır. ans = 12*x^3+2*x-3

diff Türev Alma Fonksiyonu. >> syms x >> A=3*x^4+x^2-3*x A = 3*x^4+x^2-3*x. >> diff(a) // A fonksiyonunun türevini alır. ans = 12*x^3+2*x-3 7.4.. diff Türev Alma Fonksiyonu >> syms x >> A=3*x^4+x^-3*x A = 3*x^4+x^-3*x >> diff(a) // A fonksiyonunun türevini alır. 1*x^3+*x-3 >> diff(a,) // A fonksiyonunun türevini kere alır. 36*x^+ ÖRNEK: >>

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2 OPTIMIZASYON.... Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu.... Türev...3.. Bir noktadaki türevin değeri...4.. Maksimum için Birinci Derece Koşulu...4.3. İkinci Derece Koşulu...5.4. Türev Kuralları...5

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI İşaret akış diyagramları blok diyagramlara bir alternatiftir. Fonksiyonel bloklar, işaretler, toplama noktaları

Detaylı

Ders 07. Çok katlı İntegraller. 7.1 Alıştırmalar 07. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. 1. Soru 1

Ders 07. Çok katlı İntegraller. 7.1 Alıştırmalar 07. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. 1. Soru 1 Bölüm 7 ers 7 Çok katlı İntegraller 7. Alıştırmalar 7 Prof.r.Haydar Eş Prof.r.Timur Karaçay. Soru a) 6x yd y 6x yd y 6x y +C (x) 3x y +C (x) 6x yd y 3x y 3x ( ) 3x 93 94 BÖLÜM 7. ERS 7 b) 6x ydx 6y x dx

Detaylı

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2) ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme

Detaylı

Ders #2. Otomatik Kontrol. Laplas Dönüşümü. Prof.Dr.Galip Cansever

Ders #2. Otomatik Kontrol. Laplas Dönüşümü. Prof.Dr.Galip Cansever Ders #2 Otomatik Kontrol Laplas Dönüşümü Prof.Dr.Galip Cansever Pierre-Simon Laplace, 1749-1827 Matematiçi ve Astronomdur. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/biographies/laplace.html LAPLAS DÖNÜŞÜMÜ

Detaylı

Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz.

Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz. Kısmi Türevler Genel olarak, f, x ve y değişkenlerinin iki değişkenli bir fonksiyonu olsun ve b bir sabit olmak üzere, y = b olacak şekilde y yi sabit tutalım ve yalnızca x in değişmesine izin verelim.

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

önce biz sorduk KPSS Soruda 31 soru ÖABT LİSE MATEMATİK TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Eğitimde

önce biz sorduk KPSS Soruda 31 soru ÖABT LİSE MATEMATİK TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Eğitimde KPSS 2017 önce biz sorduk 50 Soruda 31 soru ÖABT LİSE MATEMATİK TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Eğitimde 30. yıl Komisyon ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ SORU BANKASI ISBN 978-605-318-684-7 Kitapta yer alan

Detaylı

SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER

SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER Bir elastik ortamın gerilme probleminin Airy gerilme fonksiyonu ile formüle edilebilen halini göz önüne alalım. Problem matematiksel olarak bölgede biharmonik denklemi sağlayan

Detaylı