PARABOLİK VOLTERRA İNTEGRO-DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN NÜMERİK ÇÖZÜMLEMELERİ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "PARABOLİK VOLTERRA İNTEGRO-DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN NÜMERİK ÇÖZÜMLEMELERİ"

Transkript

1 T.C ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI MAT-YL-9- PARABOLİK VOLTERRA İNTEGRO-DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN NÜMERİK ÇÖZÜMLEMELERİ Özur ÖZTUNÇ DANIŞMAN Yrd. Doç. Dr. Ali FİLİZ AYDIN-9

2 T.C ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI MAT-YL-9- PARABOLİK VOLTERRA İNTEGRO-DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN NÜMERİK ÇÖZÜMLEMELERİ Özur ÖZTUNÇ DANIŞMAN Yrd. Doç. Dr. Ali FİLİZ AYDIN-9

3 İÇİNDEKİLER KABUL VE ONAY SAYFASI i İNTİHAL BEYAN SAYFASI. ii ÖZET iii ABSTRACT. iv ÖNSÖZ. v.giriş.... Geel taım.. KAYNAK BİLDİRİŞLERİ/KURAMSAL TEMELLER. Fizik. Tıp 3.3 Yayılma.4 Halo Olayı MATERYAL ve 6 YÖNTEM. 3. Materyal Yötem 3.. İtegro-Diferasiyel deklemler İtegro-Diferasiyel deklemleri aalitik çözümleri Laplace Döüşümü ile Çözümü Buluması Theta metodu Açık metot Kapalı metot Yamuklar metodu RK metodu PARABOLİK TİPTEKİ VOLTERRA İNTEGRO-DİFERANSİYEL 6 DENKLEMLERİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ Giriş Parabolik Volterra itegro diferasiyel deklem Dikdörtgeler metodu Nümerik çözümler Geri-Euler metodu Crak-Nicolso metodu Crak-Nicolso metodu aalizi Uygulama 34 5.BULGULAR ve TARTIŞMA KAYNAKLAR.. ÖZGEÇMİŞ

4

5 ii İtihal (Aşırma) Beya Sayfası Bu tezde görsel, işitsel ve yazılı biçimde suula tüm bilgi ve souçları akademik ve etik kurallara uyularak tarafımda elde edildiğii, tez içide yer ala acak bu çalışmaya özgü olmaya tüm souç ve bilgileri tezde kayak göstererek belirttiğimi beya ederim. Adı Soyadı : Özur Öztuç İmza :

6 iii ÖZET Yüksek Lisas Tezi PARABOLİK VOLTERRA İNTEGRO-DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ Özur Öztuç Ada Mederes Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aabilim Dalı Daışma: Yrd. Doç. Dr. Ali FİLİZ İtegro-diferasiyel deklemleri ümerik çözümleri kousudaki çalışmaları birleşimi ola bu çalışmada, I. Bölümde, itegro-diferasiyel deklemleri geel taımı verilmiş ve bu deklemleri uygulama alalarıa değiilmiştir. Farklı alalardaki örekler icelemiştir. II. Bölümde, itegro-diferasiyel deklemleri varlık ve tekliği üzeride icelemiştir. Bu tipteki deklemleri aalitik çözümleri içi metotlara değiilmiştir. III. Bölümde, Parabolik volterra itegro diferasiyel deklemleri ümerik çözümlerie yer verilmiştir. Ayrıca bu bölümde, Volterra itegro-diferasiyel deklem ikici mertebede yakısatılmıştır. 9, 4 sayfa Aahtar Sözcükler İtegro-Diferasiyel Deklemler, Açık metot, Kapalı metot, Crak-Nicolso metodu, θ -metodu, Yamuklar metodu, Dikdörtgeler metodu, Geri-Euler metodu

7 iv ABSTRACT MSc Thesis NUMERICAL SOLUATIONS OF PARABOLIC VOLTERRA INTEGRO- DIFERANTIAL EQUATIONS Özur Öztuç Ada Mederes Uiversity Graduate School of Natural ad Applied Scieces Departma of Mathematics Supervisor: Yrd. Doç. Dr. Ali FİLİZ I this study, which is a collectio of works with regard to the umerical solutios of itegro-differatial equatios. Sectio oe refers to the geeral defiitio of itegro-differatial equatios ad the applicatio areas of these equatios, ad the patters i the various fields are examied. Sectio two focuses o the existece ad uique of itegro-differatial equatios ad the methods, essetial to the aalytical solutios of this kid of equatios, are metioed. Evetually, sectio three stresses o the umerical solutios of itegro-differatial equatios. 9, 4 sayfa Key Words: İtegro-Diferatial equatios, Explicit method, Implicit method, Crak- Nicolso method, Theta method, Trapeziodal method, Rectagle method, Bacward- Euler method.

8 v ÖNSÖZ İtegro-diferasiyel deklemler alaıdaki çalışmalar yaygı olarak kullaılmaktadır. Bu çalışmaları uygulama alaları tıp, fizik, radyoaktiflik, biyoloji, üreme fe ve mühedislik gibi dalları içerir. İtegral deklemlerle ilk uğraşılar 9. yüzyılı ilk yarısıda başlamıştır. Öceleri dağıık ve rastgele araştırmalar yapılmışke, ayı yüzyılı solarıa doğru daha sistematik ve biliçli araştırmaları yapıldığı ve bir takım souçları alımaya başladığı izlemektedir. Abel 83 yılıda bir mekaik problemii icelediği esada ilk defa itegral dekleme rastladığı bilimektedir. Acak İtegral Deklem deyimii Du Bois Reymod u (888) de yayılaa bir çalışmasıda öerdiği alaşılmaktadır (Bocher M., 93). Uygulamalı bilim dallarıda bazı problemler tek bir deklem ile ifade edilemezler, acak ou yerie birde çok bilimeye foksiyo içere diferasiyel, itegral veya buları birleşimide oluşa itegro-diferasiyel deklemleri bir bütüü olarak ifade edilirler. Bu tip diferasiyel deklem sistemleri, özellikle parçalı olalar, birçok fizik ve mühedislik dalıda ortaya çıkmaktadır. Bu tezi çeşitli aşamalarıda yardım ve desteğide dolayı daışma hocam Yrd. Doç. Ali Filiz e teşekkürü bir borç bilirim. Öğreim hayatım boyuca maddi ve maevi her türlü imkaı sağlaya aileme sosuz teşekkürler ediyorum.

9 . İNTEGRAL DENKLEMLER. İNTEGRAL DENKLEMLERİN TARİHÇESİ.. Giriş İtegral deklemler, bilimeye foksiyou itegral işareti altıda buluduğu deklemler olarak taımlamakla birlikte, bu taım yetersiz kalmaktadır. Bir başka deyişle, bu taımda hareket ederek, itegral deklemleri bütü türlerii içie ala teoriyi kurmak olaaksızdır. Bu edele, birbiride ayrı itelikteki itegral deklemleri tek tek icelemek gerekmektedir. Böylece geiş bir araştırma sahası açılmış olmakta ve kou bu orada dağıık bir iceleme tarzı göstermektedir. Fizik ve mühedislik uygulamalarda zama zama bilimeye foksiyou itegral işareti altıda ola deklemlerle karşılaşılır. Bu tür deklemlere itegral deklemler deir. İtegral deklemler bütü uzay üzeride itegral alıması gerektirdikleride global (evresel) deklemlerdir. Bu da araa foksiyou bir oktadaki değerii o foksiyou bütü uzay üzeride itegralii içere ifadeler ciside buluması demektir. İtegral deklemler geel olarak çözülmesi çok daha zor deklemlerdir. Bu edele fizik ve mühedislik alalarıda öemli bir yeri ola bu tip sistemleri yaklaşık çözümlerii bulumasıı faydalı olacağı düşüülmüştür. Bu tez çalışmasıda, Bölüm I de itegro-diferasiyel deklemleri geel taımı, literatürde geelde erelerde uygulamış olduğu üzeride durulacaktır. Bölüm II de varlık teklik, itegro-diferasiyel deklemler, aalitik çözümleri ve bu çözüm

10 metotları iceleecektir. Bölüm III de Volterra itegro-diferasiyel deklemleri ümerik çözümleri MATLAB kullaılarak hesaplaacaktır. E geel haldeki itegro-diferasiyel deklem öreği, t () = f() t + Kt (, ξ) u ( ξ) dξ, t >, dt dut u() = u, u'() = u veya ' t du() t = f() t + Kt (, ξ, u( ξ) ) dξ, t >, dt u() = u şeklidedir. Ktsu (,, ( ξ) ) ve Kts (, ) foksiyoları itegro-diferasiyel deklemi çekirdeği, ' u ve u başlagıç değeri olarak verilir. Bu deklemi Laplace döüşümleri ile çözülebilmesi içi deklemi çekirdeğii kovalisyo tipte olması gerekir.. KAYNAK BİLDİRİŞLERİ/ KURAMSAL TEMELLER Bu bölümde itegro-diferasiyel deklemleri kullaıldığı alalar üzeride durulacaktır. Literatürde farklı alalarda asıl çalışmalar yapıldığı hakkıda örekler açıklaacaktır.. Fizik Matematik bilimi kısaca Fiziği dilidir. Temel doğa bilimi ola Fizik, evrei sırlarıı, madde yapısıı ve buları arasıdaki etkileşimlerii açıklamaya çalışırke Fiziği başlıca iki metodu vardır; bular gözlem ve deeydir. Doğa olaylarıı çeşitli duyu orgalarıı etkilemeleri soucu fizikte çeşitli kolları gelişmesi sağlamıştır. Bu sebeple görme duyusuu uyadıra ışıkla beraber fiziği bir kolu ola optik

11 3 gelişmiştir. Ayı şekilde işitme ile akustik, sıcak soğuk duygusu ile termodiamik v.s. fizik kouları ortaya çıkmıştır. Buları yaı sıra elektromayetik gibi doğruda duyu orgalarıı etkilemeye kollarıca gelişmiştir. Fiziği 9. yüzyılı soua kadar geçirdiği aşamalarda her e kadar mekaik temel ise de, birbiride bağımsız olarak icelee fizik kouları klasik fizik altıda toplaabilir.. yüzyılı başıda itibare klasik fizik kurallarıda daha değişik, acak çok daha matıklı ve mükemmel souçlar elde edilmiştir. Bu tür modellerle olayı açıklaya fizik kolları ise, moder fizik adı altıda toplamıştır. Fizik eğitimi bugüde gerçeğe çok yakı souçlar vere klasik fizikle başlamaktadır. Fizik değişimi icelemesi demektir. Fiziği çoğu alaı, durağa (statik) olala değil, deviele (diamik olala) ilgileir. Fiziği amacı evredeki "gözleebilir" icelikleri (eerji, mometum, spi vs.) "asıl" değiştiğii alamaktır. Fiziği eviimi alatmak içi, temel fizik kuramlarıı formülleştirilmeside kulladığı temel araçlar diferasiyel deklemler ve itegrodiferasiyel deklemler olarak sıralaabilir. Hatta çoğu temel fizik kuramı sadece diferasiyel deklemler kullaarak formüle edilmiştir. (ör. Newto yasaları, Maxwell deklemleri, Eistei deklemleri). Kuatum Fiziği ya da Schrödiger deklemi, Dirac Fizik araştırmaları geellikle Kuramsal fizik ve Deeysel fizik olarak ikiye ayrılır. Bu iki aladaki araştırmalar ise, temel ya da uygulamalı araştırmalar şeklide ayrılır.. Tıp Ciltteki ilaç emilimi kousuda birçok modellemeler öe sürülmektedir. İtegrodiferasiyel deklem sistemleri üzeride yapıla icelemelerde Barbeiro ve Ferreira (7) i ilaç emilimi kousudaki çalışmalarıdır. Bu modellemelerde itegrodiferasiyel deklemler kullaılmıştır. Bu yei modellemeler bize zama içide ve her bir zama içi uzayda ilaç yoğulaşması taımlamak içi tahsis edilir.

12 4.3 Yayılma Kısa süreli (geçici, süreksiz), iletke ve ısı yayma iletişimide (taşımada) ortaya çıka lieer olmaya parçalı itegro-diferasiyel deklemler tiplerii çözümü içi kullaılmaktadır. Radyasyo problemleri, ısı trasferii itegro-diferasiyel deklem ile yöledirilir. Bu problemleri mühedislik uygulamalarıda çok geiş çalışma alaı vardır. Öreği, yayılım iteliklerii kararlılığı, parçacıkları içideki iç sıcaklıkları dağılımıı tahmii, vb.. So yirmi yıllık süre içide, ters radyasyo problemleri, taı ve tespit problemleride optimal dizay problemlerie, geiş kapsamlı pratik uygulamaları sebebiyle, çok fazla ilgi çekmektedir..4 Halo Olayı Kimi zama gökyüzüde, parlak Ay ı çevreside, çember biçimide bir oluşum görülür. Bu olaya Halo adı verilir. Bu oluşum, heme heme tüm gökyüzüü kaplaya ve çok küçük (çapları.5 mikrometre kadar) buz kristalleri içere oldukça yüksekte bulua ice bulutlar olduğuda görülür. Farklı itegro-radiative trasfer deklem çözümlerii farklı metotlarıı kullaa, halo parlaklığıı ve rek uyumuu sayısal hesapları, ve 46 derecede Halo sergileye kristal bulutları içi uygulamıştır. Halo parlaklılığı ve kotrastıı bulutlarıı görsel sıklığıa ola bağımlılığıı A. Kokhaovsky (7) tarafıda icelemiştir. A. Kokhaovsky Halo kotrast ölçümleride bulut görsel sıklığıı saptamak amacıyla basit bir tekik öe sürülüyor.

13 5 Bu bölümde itegro-diferasiyel deklemleri kullaım alalarıa örekler verildi. Bu tip sistemleri uygulama alaları taradığıda itegro-diferasiyel deklem sistemleri Elektromayetik teori (Bloom, F., 98), Termoelastikiyet (Kopeiki, I.D. & Shiski, V.P., 984), Biyoloji (Holmaker, K., 993), Mekaik (Yue, Z.Q. & Selvadurai, A.P.S., 995, Abadzadeh, F. & Pak, R.Y.S., 995), Dalgaları kırıımı (Büyükaksoy, A. & Alkumru, A., 995) gibi alalarda da ortaya çıkmaktadır.

14 6 3. MATERYAL ve YÖNTEM 3. Materyal Bu bölümü temel materyalii MATLAB programı oluşturmaktadır. Öcelikle, İtegro-diferasiyel deklemleri birici mertebede yakısadığıı bu program kullaılarak görülmüştür. Bu deklemleri aalitik çözümleri içi, MATHEMATICA programıda faydaılmıştır. 3. Yötem Yötem olarak ise; Volterra itegro-diferasiyel deklemleri ikici mertebede yakısadığıı görebilmek içi öcelikle aalitik çözümlere ardıda ümerik çözümlere yer verilmiştir İtegro-Diferasiyel deklemler Bir itegro-diferasiyel deklem aşağıdaki şekilde taımlası; t du = Ftut (, (), Kt (, τ, u( τ)) dτ), t, dt (3..) ut ( ) = u. Bu bölümde itegro-diferasiyel deklemi ümerik çözümüü farklı metotlar ile çözülecektir. Öcelikle (4..) tipideki sistemleri aalitik ve ümerik çözümlerii icelemeside öce bu tip deklemleri varlığı ve tekliği üzeride durulacaktır Varlık ve Teklik (3..) şeklideki başlagıç değer problemlerii varlık ve tekliği F foksiyou sürekliliğie ve Lipschitz şartlarıı sağlamasıa bağlı olarak değişir.

15 7 D R üzeride f ( x y < L y y şartıı, y ) f x, L > değişkei içi ( ) sağlıyorsa, f ( xy, ) foksiyou Lipschitz şartıı sağlar. Burada ( x ) f (, ) xy içi Lipschitz sabiti deir., y D, L 3... Örek = {(, ), 3 4} bölgesi, (, ) D xy x y ( x y ), ( x y ) D, çifti içi,, ( x ) = xy xy f ( x, y) f, y ( ) = x y y x y y y y Burada hareketle Lipschitz sabitii olduğu görülür. f xy = xy olmak üzere ve her bir, 3... Teorem f (, ) xy foksiyou D R kümesi üzeride koveks olsu. L> içi, f y (, ) (, ) xy L xy D f ( xy, ) Lipschitz sağlar. varsa, L Lipschitz sabiti ile D üzerideki, y içi Teorem = {(, ), } ve f (, ) D xy a x b y xy foksiyou D üzeride sürekli olsu. f foksiyou y değişkeie göre D üzeride Lipschitz şartıı sağlıyorsa, başlagıç ' değerli problem y f ( xy, ) =, a x b, y(a)=α içi, y(x) tek çözüme sahiptir.

16 Örek ( ) ' y x xy x = + si,, y()= başlagıç değer problemii göz öüe alalım. x i sabit alalım. f(x,y)= xsi ( xy) + foksiyoua ortalama değer teoremi uygularsak, (, ) y < y içi ε y y olursa, ( ) ( ) (, ε) f xy f xy f x = = x y y y cos ( xε ) değişkeie göre, Lipschitz şartıı sağlar. (, ) (, ) = y y x ( xε ) f x y f x y cos ve f, L=4 Lipschitz sabiti içi y 4 y y Ek olarak (, ) f xy, x ( ) ' y xsi xy ve y (, ) = + tek bir çözüme sahiptir. + ike (3..3) teoremi sağlar. Burada Taım ( ) (, ) ' y x f xy = başlagıç değer problemi a x b, y ( a) = α içi aşağıdaki şartları sağlıyorsa, iyi taımlıdır. i) Problemi y ( x ) tek çözümü mevcuttur. ii) ε, k, k( ε) δ ( x),[ ab, ] > > içi ε < ε ve ( x),[ ab, ] δ üzeride δ( x) < ε içi sürekli ve problemi η ( t) çözümü içi, dη f ( x, η) δ ( x) dα = +, a x b a x bmevcuttur. η ( a ) = α + ξ içi, η( x) y( x) k( ) < ε ε, Teorem {(, ), } D = xy a x b y olsu. f sürekli ve y değişkeie göre D üzeride dy Lipschitz şartıı sağlıyorsa, y' f( xy, ) dx = =, a x b şartı iyi taımlıdır., y( a) = α başlagıç değer

17 Örek {(, ), } D = xy a x b y, ( y x ) f + = = = y' = y x +, y y x, ( ) y = / başlagıç değer problemii ele alalım. ( y x ) f + = = = y y sağlaya L= dir. d dx η η δ = x + +, x ( ) f xy, = y x + D üzeride Lipschitz şartıı η, ( ) deklemi çözümü, y( x) ( x ) ( ) ( ) x η x x = + + δ + ξ e δ δ < ε ve ε < ε ise ; ( ) ( ) ( ) δ ε e δ ( e ) = + ξ burada δ ve ξ sabitler olmak üzere x e = + şeklidedir. x y x η x = δ + ε e δ xiçisağlaır ε 3... İtegro-diferasiyel deklemleri aalitik çözümleri Bu bölümde öcelikle Laplace döüşümü ile çözümü asıl yapıldığı verilip, ardıda aalitik çözümlere geçilecektir. Bularda biricisi Theta metodu olarak taımlaacak. Theta metoduda θ ya farklı değerler verilerek üç farklı yötem elde edilip, bu yötemde çıka ümerik hataları tabloları verilecektir Laplace Döüşümü ile Çözümü Buluması f ( t ) foksiyou t içi taımlamış foksiyo olsu. Eğer bir s sayısı verildiğide,

18 R st st F( s) = f () t e dt = lim f () t e dt R. geelleştirilmiş itegrali yakısak ise, F( s ) foksiyoua f ( t ) foksiyouu Laplace döüşümü deir. { } F( s) L f = Örek f ( t ) = foksiyou Laplace döüşümü, R e = = lim = lim = lim = lim = sr s s s e s st st st sr L{} e dt e dt ( e e ) R R R R Burada hareketle L{} = olduğu görülür. s Örek y' ( ) t R = y sds (3..) itegro-diferasiyel deklemi y () = başlagıç şartı ile verilsi. Öcelikle bu deklemi gerçek çözümüü elde edelim. (4..3) deklemi her iki tarafıı Laplace ı alırsak, t s {} y -y()= {} - y( sds ) (kovalisyo tipte şartı ve { } = s olduğu kullaılıp gerekli düzelemeler yapılıp, t f() sgs () =F*G başlagıç {} y (s+ ) = ve {} y = s s s + (3..) elde edilir. (3..) deklemi her iki tarafıı ters Laplace döüşümü alıdığıda, yt () = si( t) gerçek çözümü elde edilir. Gerçek çözüm farklı bir yolla da elde edilebilir. (3..) deklemi her iki tarafıı türevi alıdığıda, y ( ) devam edildiğide, t '' = + ( y sds )' işleme

19 y'' = yt () y'' + y = r =+ i soucua varılır. y = ce + ce ( e it =cost+ isi t ve it it it e =cos si t i t ) ise, y = ( c + c )cos t+ ( ci+ ci)si t, ( c+ c) =A, ( ci + ci ) =B deilirse, y = Acost+ Bsi t (3..3) (3..3) deklemi her iki tarafıı türevi alıdığıda, y' = Asit+ Bcost, y () = ve y '() = başlagıç şartları uygulaıp = Acos+ Bsi kullaıldığıda, yt () = si( t) tekrarda elde edilir Theta metodu (, ), ( ) ( ) ( ) ' u t f tu t u t u olarak, = = başlagıç değer problemii θ-metodu ile ümerik ( ) ( θ) u = u + h u + θu u = u t + + ile çözülür. θ Burada, θ= alıırsa, İleri-Euler yötemi elde edilir. θ= ile Geri-Euler yötemi elde edilir. θ=/ olduğuda ise, Yamuklar yötemi elde edilir. θ-metoduu (3..) deklemie dayadırdığımızda, (,, )( θ) θ (,, ) u + = u + hf t u z + F t+ u+ z + elde edilir ( ) Burada, z h wj K t, tj, u( tj) = olur. (3..) itegro-diferasiyel deklemii ele j= alalım. E geel haldeki Theta metodu; t t+ ( ) ( ) yazıldığıda, y+ = y + h[( θ)( y sds) + θ(- y sds)] a b f f f t dt h f f f f h wf ( t ) olduğu kullaılarak, () = [ ] = j j j= + y = y + h[( θ)( h wf ) + θ(- h wf)] + j j j j j= j=

20 h wf j j = ( ) j= I olmasıda faydalaarak, + eşitliği elde edilir. + θ(- h wy + h wy) j j j j j= j= h h y+ ( + θ ) = y + h[( θ)( I ( )) + θ( I ( ) y) elde edilir. Burada y + yalız bırakıldığıda, y h y + h ( θ)( I ( )) + θ( I ( ) y) = h (+ θ ) + şeklidedir. Eşitliği e so hali, yukarıda belirtildiği gibi Theta metodu dur. (3..4) Açık Metot Theta metoduda (4..4) deklemide θ = verilerek, aşağıdaki forma döüştürülür. y = y + h[( + I ( ))] (3..5) Bezer şekilde θ = alıdığıda metodu birici mertebede yakısadığı görülür. Nümerik hata tablosu oluşturulduğuda, Örek (3..9) u θ = içi hata tablosu, t h=. h=.5 h=.5..67e-4.4e-4 5.7e e e-4.38e e-3.5e-3 5.4e e-3.88e e e-3.9e-3.48e e-3 4.5e-3.e-3.7.9e- 5.55e-3.8e-3.8.4e- 7.e e e- 8.76e e-3..9e-.5e- 5.5e-3

21 Kapalı Metot So olarak (3..4) deklemide θ = alıarak, kapalı metot elde edilir ki, bu deklem y h y + h( I ( ) y) = h ( + ) + (3..6) şeklidedir. Bu metotta açık metot gibi birici mertebede yakısar. Nümerik hata tablosu aşağıdaki gibi verilebilir. Örek (3..9) u θ = içi hata tablosu, t h=. h=.5 h= e-4.45e e-5..5e e-4.58e e-3.6e e e-3.e-3 9.9e e-3 3.7e-3.5e e-3 4.3e-3.4e-3.7.6e- 5.7e-3.84e e- 7.4e-3 3.6e e- 8.86e-3 4.4e-3..e-.5e- 5.6e Yamuklar metodu (3..4) deklemide θ =.5 verildiğide theta metodu aşağıdaki gibi olur ki, y h h y + ( ( )) ( ( ) ) I + I y = h ( + ) 4 + (3..5) yamuklar metodudur. θ yukarıdaki gibi alıdığıda, yötem ikici mertebede yakısama sağlaır. Nümerik hata tablosu da aşağıdaki gibidir. (3..7)

22 4 Örek (3..9) u θ =.5 içi hata tablosu, t h=. h=.5 h= e-5.7e-5 5.8e-6..63e-4 4.8e-5.e e e-5.49e e e-5.9e e-4 9.4e-5.9e e-4.3e-4.58e e-4.e-4.79e e-4.6e-4.9e e-4.7e-4.9e e-4.3e-4.8e-5 Bir itegro-diferasiyel deklemi Ruge-Kutta yötemi ile ikici mertebede yakısatabilmek içi, aşağıdaki işlemler düzeleebilir. Buu içi diferasiyel kısmı içi ikici mertebede Ruge-Kutta yötemi uygulayalım. Buula birlikte, itegral kısmı içi dikdörtgeler yötemi kullaırsak, birici mertebede yakısar. Buu edei, dikdörtgeler yötemii birici mertebede yakısamasıdır. Eğer, itegral kısmıı yamuklar metoduyla yakısatırsak, itegro-diferasiyel deklem ikici mertebede yakısar İkici mertebede Ruge-Kutta metodu (RK ) Örek y' ( ) t = y sds t, y () = (3..8) (3..8) itegro-diferasiyel deklemi göz öüe alalım. Gerçek çözüm, y = cost olur. Bu İtegro-diferasiyel deklemi, ikici mertebede Ruge-Kutta metodu (RK) ile çözebiliriz. Adi diferasiyel deklemlerde RK metodu aşağıdaki gibi verilir. k = hf( t, y ) k = hf( t + hy, + k ) y = y + + [ k k ] +. Şimdi Ruge-Kutta metoduu itegro-diferasiyel deklemlere uygulayalım.

23 5 t ( ) k = hf( t, y, y sds) k = hf( t, y, h w y ) j j j= t+ + ( ) k = hf( t + hy, + k, y sds) k = hf( t + hy, + k, h y ) j j= Böylece, k = hii () h k = hii [ () + ( yi () + yi ( + )] olduğu görülür. h y ( i+ ) = y() i + [ hi ( i) hi ( i) ( y( i) + y( i+ ) ) ] Gerekli düzelemeler yapılarak, h h ( i + ) + = y() i + hi( i) y ( i ) y ve 4 4 y( i+)= h y() i hi ( i) 4 h + 4 elde edilir. (3..7) Örek (3..) içi h=., h=.5, h=.5 verilerek ümerik hata tablosu aşağıdaki gibidir. Örek (3..9) u RK hata tablosu, t h=. h=.5 h= e-6.8e-6 5.e e-5 8.7e-6.7e e-5.85e-5 4.6e-6.4.3e-4 3.4e-5 8.e e e-5.5e-5.6.8e-4 7.5e-5.76e e e-5.35e e-4.e-4.99e e-4.47e e-5. 7.e-4.75e e-5

24 6 4. PARABOLİK TİPTEKİ VOLTERRA İNTEGRO- DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ Bu bölümde amaç öcelikle Volterra itegro-diferasiyel deklemleri geel taımı verilecek. Bu tipteki itegro-diferasiyel deklemleri ümerik çözümlemeleri üzeride durulacaktır. Parabolik tipteki itegro-diferasiyel deklemleri iki zama aralığıda yakısaklık ve kararlılığı verilecek. Eğer itegral terim yok ise bu metotlar, Crak-Nicolso ve Geri-Euler metotlarıa idirgeir. Daha yüksek mertebede kesme hataları vere dikdörtgeler metodu tarafıda her bir durumda itegral terimie yaklaşılır, böylece metodu daha kullaışlı olması amacıyla dikdörtgeler metodu içi geiş zama adımları kullaıldı. 4.. Giriş t ut + Au = KtsBu (, ) () sds+ f(), t t (4..) A sıırlı olmaya pozitif H Hilbert uzayı içide D(A) üzerideki bitişik operatördür. B, D(B) D(A) Hilbert uzayı üzeride bir operatördür. Bu eşitlik u()=v başlagıç şartı verilsi. K(t,s), s t arasıda her ikiside değişebile gerçek değerli düzgü sürekli bir foksiyodur. u(x,t) Ω x R + üzeride taımlaa tipik durumdur. Eliptik form, biçimide verilir. Au = aij (4..) i, j= x i u xj Bu diğer diferasiyel operatör iki veya daha az mertebededir. H= L ( Ω ), ( ) DA ( ) = H ( Ω ) H Ω.

25 7 Bu çalışmada, Geri-Euler ve Crak-Nicolso metotlarıı sırasıyla (4..) deklemie dayadırarak iki farklı zama ayrımıı yakısaklık souçları ve kararlılığıı elde edeceğiz. Pratikte x -uzay ve t-zama değişkeleri olduğuda A ve B operatörleri gerçek diferasiyel operatörler değildir. Bu operatörler h parametresie bazı oktalarda bağlı olduğu gösterilecektir. Eğer, elde ettiğimiz tüm hesaplamalar h içide ayı ise, souçlarımız kullaışlı olacaktır. Zama aralığıı bu iteliği bu çalışmada icelee itegral terimii ele alıış biçimide yatıyor. k zama adımı sıfıra yakısadığıda, Geri-Euler veya Crak Nicolso geçerliyke, gittikçe seyrek ola itegral terimii zama aralıklarıı kullaacağız. Özellikle Crak-Nicolso metodu içi bazı farklı itelikleri aalizi içie kullamak amacıyla itegral terimii bu ekoomik davraışı görülecektir. 4. PARABOLİK VOLTERRA İNTEGRO-DİFERANSİYEL DENKLEM 4... Taım u t t ( x, t) = Au( x, t) + K( t, s) Bu( x, s) ds + f ( x, t D = B L { x, t) < x, < t T} λ ) (4..) D = ( π u başlagıç ve sıır-değer şartlarıa sahip ve x π u( x,) = f ( x) (4..) u(, t) = u( π, t) = olsu. Burada D i kapaışı D şeklidedir. A, ikici mertebede eliptik kısmi diferasiyel operatör ve B, ikici mertebede kısmi diferasiyel operatördür. Burada, her ikisi de sürekli foksiyolar olsu. (4..) eşitliğie (4..) başlagıç ve sıır değer şartlarıı uygulaarak çözülecektir. Çekirdek K ( s, t) sürekli, s t içi her değer içi gerçel değerli bir foksiyo, f ( x, t) x ve t i sürekli bir foksiyou olsu. Bu tipteki itegro-diferasiyel dekleme parabolik tipteki itegro-diferasiyel deklemler deir.

26 Dikdörtgeler Metodu Nümerik metotlar k zama adımıyla dikdörtgeler metoduu bir bileşimi olacaktır. D i taımıı düşüdüğümüzde, biz m ve yi pozitif tamsayılar içi taımlası. i, j π T h= k = m {( ) } Di, j= ih, jk i=,,,..., m ; j =,,,..., m D üzeride taımlamış herhagi bir U foksiyou içi, U i, j = U ( ih, jk) olsu. Biz (4..) içideki farklı ayrışımı ile zama türevii yer değiştirilip, itegral terime U i, j = U ( ih, jk) ve α j dikdörtge oktalarıı olduğu u(x,s) ye yaklaştığı yerlerde dikdörtgeler metodu kullaıldığıda, k j= ( ) ( ) Kts (, ) uxsds (, ) k αjk t, jk U ih, jk (4..3) şeklidedir. Böyle bir metottaki e büyük sorularda biri eğer j içi α olmasıdır. Daha sora Uih (, jk ) i tüm değerleri korumak zorudadır. Sloa ve Thomee (986) birkaç okta üzerie dayadırdığı verileri saklamaya ihtiyaç olduğu zama seviye sayısı azaltılarak dikdörtgeler metodu öe sürüldü. Dikdörtgeler metoduu e geel formu şeklidedir. σ t g = k gt ( ) g s, t = jk (4..) ( ) α ( ) j j j j= j U U k j j j= (, ) (, ) = AU + α K t t U ih jk (4..3) Geri-Euler metoduu doğruluk mertebesiyle oluşa e basit dikdörtgesel metot, j= α j = k = t = T olsu diye j içiα j = k seçilerek σ g = k g tj, tj = jk metottur. ( ) ( ) j=

27 Örek t u u ( xt,) = κ ( xt,) + λ exp( ( t τ)) ux (, τ) dτ t x (4..4) t, x π içi, u( x,) = si x, u(, t) = u( π, t) = başlagıç şartlarıyla verilsi. Bu deklemi gerçek çözümüü (3..4) eşitliğii Laplace döüşümüü alırsak, t u u L ( xt,) = Lκ ( xt,) + λ exp( ( t τ)) ux (, τ) dτ t x u du( xs, ) u L ( xt,) (,) = ve L xt = sl{ uxt (,)} ux (,)} = su( xs, ) ux (,) x dx t olmasıda faydalaarak, { } L uxt (,) = U( xs, ) = U olduğu yerlerde du( xs, ) U( xs, ) su( xs, ) ux (,) = K +λ dx s+ (4..5) L{ exp( at) } = s > aolduğuda s a (4..5) buluur. (4..5) deklemi yeide düzeleerek ve ux (,) = si x başlagıç şartı kullaılarak biz du λ s s K + U( xs, ) si x = dx s+ veya K tarafıda her iki taraf bölüerek, du λ si (, ) s + U xs s x = dx Ks ( + ) K (4..6) (4..7)

28 özel çözüm içi, V( xs.) = Asix+ Bcos x her iki tarafı türevi alıarak, (4..8) V '' ( xs.) = Asix Bcos x elde edilir. (4..9) U''( xs, ) ve U( xs, ) yerie (4..7) eşitliği içideki V( xs, ) ve V ''( xs, ) koyarsak aşağıdaki eşitliği elde ederiz. λ Asix Bcos x+ ( Asix+ Bcos x) = Ks ( + ) s s si x K (4..) (4..) eşitliğide B= olduğu görülür. (4..) tekrar düzeleip ve B= kouldukta sora biz si x A A λ = Ks ( + ) K s + A = s + s K + + K λ olduğuu görürüz. ( ) (4..) i çözümü s s si x ve (4..) αβ, C (4..) t yi içere sıır şartlarıı Laplace döüşümü alıarak biz, { } { } ( π ) L u(, t) = U(, s) L u, s = U( π, s) (4..3) elde ederiz. (4..) içideki (4..3) ü ilk şartı kullaılarak, C+ C = (4..4) İkici başlagıç şartı [ U(, s) ] π = kullaıldığıda, Cexp λ s s C exp λ s + s = Ks ( + ) Ks ( + ) (4..4) ve (4..5) dec = C = elde ederiz ve böylece (4..7) çözümü (4..5) U( xs, ) = V( xs, ) halii alır. Eğer (4..8) eşitliğii (4..) deklemide kullaırsak, s + V( xs, ) = si x s + s( K + ) + K λ K + K + K 4λ α = ve β = koyalım.

29 Eşitliği tekrar yazdığımızda ( s + α) + ( α) ( ) s + α + β V( xs, ) = si x αβ, C olduğu yerde ( s ) ( s ) ( ) β ( s ) + α α β V( xs, ) = + si x + α + β + α + β (4..4) eşitliğie ters Laplace döüşümü uyguladığıda, ( s ) ( s ) ( ) β ( s ) α α β { } + + α + β + α + β L V( xs, ) = L + si x (4..6) (4..7) a > olduğu zama s + α > içi, ( s+ a) a ( ) ( ) L exp( at)cosat ve L exp( at)si at = = s+ a + a s+ a + a Bu edele biz, olur. α vxt (,) = exp( αt) cosβt+ siβtsi x olduğuu görmüş oluruz. β Bu yüzde, (4..4) bizim aa problemimizi gerçek çözümü böylece, α uxt (,) = exp( αt) cosβt+ siβtsi x β Gerçek çözüm böylece tamamlamış olur. (4..8) 4... Nümerik Çözüm Eğer ut içi Geri-Farklar uygularsak, (4..4) içideki terimi içi dikdörtgeler metodu uygularsak, U U U U + U = K k h i, j i, j i, j i, j i+, j j + λ exp( ( t τ)) ux (, τ) j v= u xx merkezi farklar ve itegral

30 K + α = ve K + K 4λ β = olduğu yerde elde edilir. α uxt (,) = exp( αt) cosβt+ siβtsi x β ( ) ( ) λ > içi u xt, = exp t cosh λtsi x (4..8) eşitliğide K = alıarak, ( ) ( ) (4..9) λ > içi u xt, = exp t cosh λtsi x (4..) (4..8)eşitliğide bezer şekilde K = ve λ = koularak, ( ) ( ) u xt, = exp t costsi x (4..) (4..), (4..) deki problemi e basit formua bezetilmiştir. Şimdi (4..8) deki öreği Crak-Nicolso ve Geri-Euler metoduyla çözeceğiz. Öcelikle (4..8) eşitliğide itegral terimi boyuca dikdörtgeler metodu kullaırız. Eğer ut içi Geri-Farklar uygularsak, (4..8) içideki u xx merkezi farklar ve itegral terimi içi dikdörtgeler metodu ile, ifadesii elde ederiz. U U U U + U = K k h i, j i, j i, j i, j i+, j j + λ exp( ( t τ)) ux (, τ) j v= Örek (4..) i dikdörtgeler metodu hata tablosu π h = T=.5 k=.5 k=.5 k=.5 x GERÇEK HATA HATA HATA e e e e-3.99e e e-3.535e-3.798e e e e e-3.898e e-4

31 3 4.3 GERİ-EULER METODU k zama adımı ise, Geri-Euler yaklaşık metoduyla, u u k + Au = k w K Bu + f,, (4.3.) j j j j= u DA ( ), u(,k) ya yaklaşık olduğu ve f = f( k), k = kk (, jk), başlagıç şartı u = u() = v, sağ taraftaki toplam t = k ya eşit ola t ile (4..) i itegral j terimii dikdörtgesel yaklaşımıdır. Bu edele w j dikdörtgesel metoduu ağırlık oktalarıdır. k j= ( ) gsds () k wj g jk (4.3.) Bu özel dikdörtgesel formül özel durumlarda da devam eder. Geri-Euler metoduu tam O(k) ile tutarlı ola e basit metot dikdörtgesel metottur, yai j içi w j =k olduğu oktalar içideki kuraldır. Buula beraber girişte açıkladığı gibi özellikle k küçük olduğuda oldukça fazla seyrek ola bir dikdörtgesel metodu kullamaı pek çok sebebi vardır. Bu edele, buu yerie biz mümkü olduğu kadar daha geiş k = mk zama adımlarıa sahip dikdörtgesel bir metot bulmaya çalışıyoruz. (m i k ye bağımlı olduğu bir pozitif tamsayı olduğu ve öreği m= k / k / O( k ) = olduğu yerde). l = l ( ) e büyük sıfır olmaya tamsayı ki, lk < k yı biz[, lk ] [ lk, k] alalım. İtegral aralığı ve k adım aralığı ile dikdörtgesel kuralı tarafıda ilk öce alt aralıklar üzeride itegral yaklaşımı ve k adım aralığı ile dikdörtgesel metodu yazarız. İkici parça içi dikdörtgeler metodu yeterlidir acak ilk kısım içi daha yüksek mertebede kurala ihtiyaç duyulur. j, k da da daha yavaş sıfıra yaklaştığı içi k telafi edilebilirdir. İlk terim içi yamuklar metodu öe sürüyoruz. k gsds () k g() + gk ( ) g( ( l ) k)

32 4 + k+ kglk ( ) + kg( lk+ k) g( ( ) k), (4.3.3) Yukarıdaki gibidir ki eğer l= ise, yamuklar metodu yok sayılacaktır. Açıkçası bu çok sayıda değeri sıfır yapa ağırlık oktaları ile (4.3.) deklemii bir formülüdür. Eğer biz k yi sabit tarafıda yukarıdaki gibi sıırladırıldığıı varsayarsak, yeterli düzeli foksiyo ola g içi kesme hatası Ok ( kk) / + mertebededir. Bu edele, eğer k O( k ) tutarlılık başarılıdır. Eğer k = mk ile m= k / = ise, Geri-Euler metoduyla içi bu durumu gösterir. j > içi, w j (4.3.3) dikdörtgesel kuralı oktaları, yeterice büyük içi, yalızca k adım uzuluğuu yamuklar kuralı içidekilerdir ve bu yüzde de bağımsızdırlar. w j wj, > i( j), = wj, j < i( j), (4.3.4) Daha kesi biçimde w j ve daha büyük ise, k /k=m i e küçük çarpaıdır. w j her ikisi de de bağımsız olduğu yerlerde ve j de w j oktaları kadım uzuluğu içi yamuklar metoduu oktalarıdır. j, sıfır, m i sıfır olmaya çarpaı, m i çarpaı olup olmadığıa göre sıfır veya k,/ k değerlerie sahiptir. w j oktaları, j i yakııda olduğu zama uygulaabilir. / k +k değeri m i sıfır olmaya çarpaı j olmadıkça k dikdörtgesel değerie sahiptir. i bağımsız ve j < içi elde edilebilir toplama sahip iceliği tarafıda w j sıırladırılır ki, bu bize daha sora yardımcı olacaktır. Özellikle, (4.3.4) da elde ettiğimiz ( ) w max w, w = w, (4.3.5) j j j j olduğu yerlerde ( k farz edilerek) kolayca görülür.

33 5 wj k + (4.3.6) j= Şimdi (4.3.) eşitliğii kararlılığıı düşüelim. u = Eu + ke h (4.3.7) k k, olarak (4.3.) ü sağ taraftaki toplamı yazıldığıda ve u içi (4.3.) açıkça çözüldüğüde, biz E I ka k = ( + ) olduğu yerlerde, A ı özdeğerleri da uzakta sıırladırıldığı içi A gerçekte pozitif taımlılığı sayeside H üzeride sıırlı bir operatördür, biz olduğu yerlerde, E r( ka) Ek < elde ederiz. r i k = yazmak kullaışlıdır. r( λ) ( ) = + λ rasyoel foksiyo u()=v başlagıç şartı kullaılarak ve tekrarlaılarak biz bu edele Şuada ikici terim ( ) u = Ev+ ke q + f, elde ederiz. j+ k k j j j+ + k j + j j= j= u v k E q k f, (4.3.8) ve bu edele, j j+ j+ j+ Ek qj = Ek wjskjsbus = wjskjsek Bus j= j= s= s= j= s+, K ve c bazı sabitleri içi j+ j+ k j js js k s j= s= k E q w k E ka A Bu A Bg cg g DA ( ) (4.3.9) ve Kts (, ) K (4.3.) uygu olarak kabul edilir. Sorakide ve (4.3.5) de takip edildiğide,

34 6 j+ wjsk jsek sup js js j= s+ λ R j= s+ w K r ( λ) j+ λ j+ λr( λ) ( λ) λ olur. j= s+ λ R r( λ) Kw sup r Kw sup = Kw s s s λ R Bu edele, (4.3.8) deklemide aşağıdaki ifade elde edilir: u v + k f + Kc w u j s s j= s= Aşağıda, ispatlarımızda kullaacağımız Growall Lemmasıı verelim. Lemma { w } egatif olmaya reel sayıları bir dizisi olsu. w α + β w,, s s s= β ve egatif olmaya azalmaya dizi α } olduğu yerlerde belirtilir. Daha sora, s w s s= { α exp β, Lemma 4.3. yardımıyla (4.3.6) sıırıı so adımda kullaıldığı yerlerde, u v + k fj expkc ws v + k f j exp Kc k + j= s= j= elde ederiz. ( ( )) Teorem (4.3.8) eşitliği farz edilsi. Daha sora eğer k dikdörtgesel metodu ile Geri-Euler metodu (4.3.) üretir. ( ) ( )( max j ) u C T v + k f C T v + f j j j= T ise, (4.3.3) Daha sora ki adımda zama ayrımıda souçlaa hata içi bir hesap elde edilir. ξ = u uk ( ) alııp, (4.3.) ve (4..) de takip edilebilir ki, ξ bu eşitliği belirtir. ξ ξ k + Aξ = w K Bξ +Γ, (4.3.) j j j j=

35 7 Gerçek çözümü, k u( k) u( ( ) k ) Γ = ut( k) k( k, sbu ) ( s) ds+ wk j jbu( jk ) tt k u v + c sağladığı varsayılırsa, ilk iki terimi farkı ormu içide ck / ile sıırlaır. Dikdörtgesel yaklaşımda kesme hatasıa yapıla katkı, ilki k adım uzuluğua sahip yamuk metoduda, ikicisi ise dikdörtge kuralıda kayaklaa iki kısımda meydaa gelir. j= Eğer biz ( )( KstBu (,) () t c ve ( )( KstBu (,) () t c t t 3 olduğuu varsayarsak, daha sora kc3k + kck. dikdörtgesel hata ile sıırladırılır. Bu yüzde, ek olarak k = Ok ( ) varsayarsak, sorada toplam kesme hatası bazı sabit c 4 ler içi, Γ kc k (4.3.) sağlar. 4, Yukarıda, K her yerde yeterice düzgü sürekli farz edildiği içi, kbu üzerideki yukarıdaki koşullar, Bu da ki uygu koşullarla değiştirebiliir. (4.3.) (4.3.) ile ayı ama ξ tarafıda Teorem de heme takip edilir ( v = ξ = ). u ve Γ kesme hatası tarafıda f Teorem (4.3.8) deklemii elde ettiğimizi ve u tt, Bu, Bu tt [, T ] sıırladırıldığıı varsayalım. Hatta the Geri-Euler metodudaki hata k / Ok ( ) = olduğuu farz edelim. Daha sora, ( ) ( ), u u k C T kk T yı sağlar. Bu yüzde, eğer çözüm u yeteri kadar düzeli sürekli ise, [, T ] sıırlı bir zama aralığıda, Geri-Euler metodu O(k) mertebesi ile yakısar. (Girişte belirtildiği gibi, h i içide, çeşitli sıırlar bezer olmalıdır.

36 8 Teorem deki düzelilik koşulları oldukça katıdır. Problemi parabolik karakteride kayaklaa düzgü süreklilik iteliği sayeside, buu biraz hafifletilebileceği bekleir. Ayrıca, Bu tt sıırlı olmasa da, k / Ok ( ) = yi kümeleyerek, Ok ( ) i yakısama oraıı yiede devam ettirebileceğie dikkat edilmelidir. Eğer itegral i ilk türevleri ile sıırlaırsa, bu yamuklar kuralıı Ok ( ) mertebeside bir kesme hatasıa sahip olmasıda dolayıdır. Tabi ki bu durumda, yamuk kuralı k adım uzuluğuu dikdörtge kuralı üzeride herhagi bir öemli avataj ortaya çıkarmaz. 4.4 CRANK-NICOLSON METODU (4..) i zama ayrımlı versiyou, u u u u + + A = wj Kj Buj + f (4.4.) k j= Sağ taraf üzerideki toplam ve ( ) O ( ) ( ), (( ), ) f = f k K = k jk k, k olduğu yerlerde t = k dikdörtgesel bir yakısamadır. Bu edele bu oktalardır. ( /k) g( sd ) s wjg jk j= ( ) ile(4..) i itegral terimie w j oktaları dikdörtgesel formu Dikdörtgesel kuralı açık bir şekilde belirtmek içi lk egatif olmaya tamsayı l l ( ) = olsu. İtegral aralığıı ( ) < k öyle ki, e büyük k, k olarak yazalım. İlk aralıkta k adım uzuluğuyla Simpso kuralıı, ikici kısımda yamuklar k adım aralığıyla yamuklar kuralı ve so adımda k / adım aralığıyla tek bir dikdörtgeler kuralı kullaılır. Bu edele bu yaklaşım,

37 9 ( /k) g( sd ) s k g + g k + g k + + g l k 3 ( ) 4 ( ) ( )... 4 (( ) ) + k+ kg( lk) + kg( lk+ k) g( ( ) k), 3 (4.4.) eğer l = veya = lm + ise uygu değişimlerle sağlaır. (Birici durumda Simpso kuralıı katkısı yoktur. İkiciside, yamuklar metoduu katkısı yoktur, böylece kare paratezii ikici dizisi içideki terimler ihmal edilecektir. Eğer k yukarıda T ile sıırladırılırsa daha sora kesme hatası Okkk ( + k ) 4 mertebededir. Bu edele kesme hatası Ok ( ) mertebededir. Bu edele eğer, k / Ok ( ) = ise, Crak-Nicolso yötemi ile tutarlılık sağlaır Crak-Nicolso metodu aalizi Crak-Nicolso metodu bize (4..4) deklemii Ok ( ) yerel kesme hatası verir. Öcelikle bu problemi, itegral terim içi dikdörtgeler metodu ile kapalı metot ile çözüp bu metot içi kesme hatasıı Ok ( ) olduğuu gördük. İkici olarak, bizim asıl amacımız kesme hatasıı Ok ( ) olduğuu, parabolik kısım içi Crak-Nicolso, itegral terim boyuca Simpso + yamuklar + dikdörtgeler uygulayarak göstermektir. Bu hesaplamalar bezer durumlarda da devam eder. Bu metot içi ümerik çözümlemeler Crak-Nicolso metodu içi hata tablosuda verilmiştir. Tabloda alaşılacağı üzere itegral terimi içi uygulaa metotlar (4..4) deklemii ikici mertebede yakısatır. Bu edele, isteile Ok ( ) sağlamış olur. Hata aalizi tablosuu elde etmede MATLAB programı kullaıldı. Program sırasıyla theta yerie ve.5 alıdığıda iki yötemi (Geri Euler ve Crak- Nicolso metodu) de hata aalizi soucuu elde edebiliriz.

38 3 % solve parabolic volterra eq, file parvol.m % k=time-step, q=o of time-steps, th=theta, la=coeff % (x,x)= space iterval, *=o of steps i x % u(:+) gives iitial values of u (symmetrical) % u(i) = u at x+(i-)*h, u()= % b= gives u i itegral, b= gives uxx % it= gives rect rule, it= gives mixed rule q=4;k=.5/q;th=.5;la=-;x=;x=pi;=5;b=;it=; h=(x-x)/(*); r=k/h^; % for i=:5;s=h*(i-);for j=:q+;t=k*(j-); uexa(j,i)=exp(-t)*cos(t)*si(s); ed ed for j=:q+;uexa(j,5)=uexa(j,5);ed for i=:5;u(i)=uexa(,i);ed m=fix(/sqrt(k)); k=m*k; % set up ad factorize matrix i A for i=: A(i,)=-r*th; A(i,3)=A(i,); A(i,)=+*r*th; ed A(,)=-*r*th; for i=: A(i,)=A(i,)/A(i-,); A(i,)=A(i,)-A(i,)*A(i-,3); ed % time-loop, solutios stored i US i=roud(q/m)+m+; % o of time steps to be stored u(+)=u(); US=zeros(i,+); US(,:)=u; ct=; time()=; for j=:q; t=j*k; j=j-ct*m; % calculate rhs of eqs, icludig itegral for i=: d(i)=r*(-th)*(u(i+)+u(i))+(-*r*(-th))*u(i+); %irtegratio simp/ trapezium/rec sum=; for c=:ct+j; st=time(c); f=us(c,it+); if b> f=(us(c,i+)-*us(c,i+)+us(c,i))/h^; ed if c<ct+ if c== cf = k/3; ed if c== cf = (4/3)*k; ed if c> cf = *k-cf; ed; ed if c==ct+ if ct== cf = k/; else cf = k/3 + k/; ed; ed if c>ct+ cf = k; ed sum=sum+cf*exp(st-t)*f; ed d(i)= d(i)+la*k*sum; ed % solve equatios for i=: d(i)=d(i)-a(i,)*d(i-); ed u(+)=d()/a(,); for i=-:-: u(i+)=(d(i)-a(i,3)*u(i+))/a(i,); ed u(+)=u(); ced=ct+j+; % test j for multiplies of *m, reduce storage if j==*m ct=ct+; US(ct,:)=US(ct+m-,:); time(ct)=time(ct+m-); ced=ct+;ed US(ced,:)=u; time(ced)=t; ed; % of time-loop

39 3 Örek (4..) i CN metodu hata tablosu π h = t=. k=.5 k=.5 x GERÇEK HATA HATA e-4.548e e e e e e e e e-4 (4.4.) kuralı içi w j dikdörtgesel oktaları j de daha büyük ola k / k = m i e küçük katı ola i( j ) ve de her ikisi de bağımsız ola w j wj ve 4 ile (4..6) ı formları açıklaabilir. w j, > i( j) içi, veya k, k, k bu değerlere sahip ola, j i,m i tek katı m i olmaya bir kat veya m i bir kat olup olmadığıa göre Simpso kuralıı oktalarıdır. w j oktaları j ye yakı ve j = içi k ve j içi k + k değerie sahip ola j m i çift katı 3 olmadıkça k değerie sahiptir. (4.3.6) eşitliğide kolayca takip edilebilir ki, verilirse, Crak-Nicolso metodu içi belirtilir. w = w w tarafıda j max( j, j) j w ( ), ( ) g λ = I + λ r λ = I + λ I λ ile Ek = I + ka I ka = r( ka), Gk = I + ka = g( ka), olduğu yerlerde, u = Eu + kg h,, k k j tarafıdaki Crak Nicolso eşitliği tarafıda u içi çözüm üzeride, (4.3.) i sağ

40 3 h = w K Bu + f = q + f, gösterilir. j j j j= Kolayca görülebilir ki, E, G <. Tekrarlaırsa ve u()=v başlagıç şartı kullaılarak elde ederiz. Bu edele k j k k k j j= j + k k j + j j= j= k u = Ev+ k E G h, (4.4.3) u v k E G q k f (4.4.4) olur. İkici terimi üretir, toplamı mertebesi değiştikte sora j j Ek Gk q j = wjs K js Ek Gk Bus j= s=, Ve bu edele, (4.3.8) düşüülürse, Geri-Euler metodu tartışıldığıda, biz k E G q c w K E GkA u j j k k j js js k k s j= s= j= s+ j ( λ) ( λ) λ yazarız. Bu oktada j wjs K js Ek GkA k sup wjs K js r g j= s+ λ R j= s+ Geri-Euler durumuda ilgiç bir fark vardır. Çükü, λ > içi r( λ ) egatif değer aldığıda dolayı bu toplam büyük λ içi toplam altere serileri olur ve böylece w ve K js js i üst sıırları tarafıda yerie geçerek elde edile hesaplamalar artık kullaışlı değildir, souç olarak λ büyük olduğuda toplam büyük ihmaller içerir. Çekirdek K içi varsayıla süreklilik ve dikdörtgeler metoduu süreklilik iteliği sebebiyle daha ileriye gidebiliriz. (Sabit j içi biri içide de bağımsızdır). (4..4) deklemi yardımıyla, bu j ( λ) ( λ) λ j wjs K js Ek GkA k sup ws wjs K js r g j= s+ λ R j= s+ w j katsayısı i iki aralığıı her

41 33 is () sağlaır (eğer is () ws wjs K js r g j= s+ + j ( λ) ( ) λ λ > ise, bezer ve kolay bir tartışma elde edilir). Sağ taraftaki toplamı değerledirmek ve r < eşitsizliğii elde etmek içi parçalarla toplamı elde ederiz. q q q p j = q ( p p ) ar a r a a r j j j j= j= p=+ l j=, ( r( λ) ) g( ) q aq + ap ap r p=+ l λ λ = olduğu içi, (4.3.) tarafıda belirtilir ki j wjs K js Ek GkA k 4wk s + ws Kps Kp, s j= s+ p= s+ (4.4.5) K her iki değişkei sürekli foksiyou farz edildiğide dolayı, t δ k( ts, ) dt C3( T) olduğuu varsayabiliriz δt Daha sora (4.4.5) deklemideki toplam k T içi C ( T ) tarafıda 3 sıırladırılır. Bu durumda (3.4.3) kullaılarak aşağıdaki durumu elde ederiz. ( 4 3( )) u v + k f + c K + C T w u j s s j= s= Yukarıda verilmiş olduğumuz Growall Lemması, (4.3.6) ile birleştirildiği zama teorem 3.4. i elde ederiz. Teorem (4.3.8) deklemii göz öüe aldığımızda daha sora eğer k (4.4.) dikdörtgesel formülü ile (4.4.) Crak-Nicolsa metodu üretir. u C4( T) v + k fj C5( T) v + max f j j= T ise Teorem (4.3.8) ele alıdığıda ve u ttt, Au ttt, Bu, Bu t, Bu tt, Bu ttt, Bu tttt, Bu ttttt [, T ] üzeride sıırladırıldığıı ve k = olduğuu farz / Ok ( )

42 34 edelim. Daha sora (4.4.) dikdörtgesel formülü ile (4.4.) Crak-Nicolso metodu içi hata, içi karşılaır. ( ) ( ) u u k C T k k T 6, Geri-Euler metodua bezer bir yolla, daha az düzelilik halide bile, k yı / k de daha hızlı ola a yaklaşması içi zorlayarak yakısama mertebesi koruabilir. Öreği, tüm koşullar sağlaırsa, Buttttt dışıda, yakısama mertebesi devam ettirilir, eğer k /3 Ok ( ) olmasıda kayaklaır.) = ise, (Bu Simpso kuralıı Ok ( ) kesme hatasıa sahip UYGULAMA Bu kısımda ikici paragrafta gösterile A ı ikici mertebede bir eliptik, B i iki veya daha az mertebeli bir diferasiyel operatör olduğu durumu ele alacağız. Başlıca amacımız koşul (4.3.8) i ve teorem (4.3.) ve (4.3.3) deki düzeliliği eyi sağladığıı görmektir (4.3.8) durumu tam diferasiyel operatörü karşıladığıa dikkat ederek başlıyoruz. Gerçekte, Bv cv c Av, H v DA ( ) = H ( Ω ) H ( Ω ) elde ederiz. (Bu kısımda cfarklı olaylarda, farklı değerler ala bir sabittir. Böylece, v= A g yazdığımızda, BA g cg, g L elde ederiz. Ayı souç, (4.3.8) de gösterile B* yerie koa B ile elde edilir. Yiede, pratikte A ve B i uzay ayırımlı bazı şekillerde elde edile operatörleri temsil ettiğii ve h ye göre hesapları bezerlerii sağlamak içi daha sora gerekli olduğuu hatırlarız. Özel olarak, solu-elemalar metoduu ele alırız ve bir stadart üçgeselleştirme tarafıda Sh H ( ) Ω parçalı-lieer yaklaşımı ile birlikte yeide bölüe bir dışbükey bölge varsayarız. Eğer A ve B operatörleri ile ilgili bi-lieer şekiller, her biri

43 35 ayrı ayrı aψ,x ( ) ve bψ,x ( ) ile belirtilirse içide A h ve B h yaklaşık operatörlerii ( Aψ, ) = a( ψ,x ), ( Bψ,X ) = b( ψ,x ) ψ,x S h h h şekilledirerek taımlayabiliriz Böylece, bu durum içi D( A ) = D ( B ) = H = S h h h S h Şimdi, A h ve B h ile yer değiştire, A ve B ile (4..8) i ispat etmeye çalışacağız. Burada, α bir sabit olduğuda, B= αa düşük mertebeli terim olduğu ek bir varsayımda buluacağız. Bu yüzde, sadece B i sıfırıcı mertebede veya birici diferasiyel operatör olduğu durumu ele alamız gerekir. Bu durumda, tüm türevleri ilk değişkedeki b( Ψ, X) i içie yerleştirebiliriz ve ( Bhψ,X) c ψ X elde Ω H ( ) ederiz. Böylece, Bψ = Bψ, Bψ c ψ Bψ ve h h h H ( Ω) h B ψ c ψ ca ( ψψ, ) = ca ( ψψ, ) A c A ψ olur. ( ) / / h H h h Ω Ψ= Ah g yı kullaarak icelediğimizde, g Sh olduğu soucua varırız. Yukarıda verildiği gibi, bu h i bağımsız bir sabit ola (4.3.8) i belirtir.souç olarak, çok kısa bir biçimde teoremdeki düzelilik koşullarıı ele alırız, teoremdeki f(t) = durumuda, Geri-Euler durumu içi e az zor olalara odaklaarak. (4..) i çözümü t t ut () = Etv () + Et ( s)( Ks (, σ) Bu( σ) dσ ) ds ; t t () ( ( ) (, ) ( ) = Etv+ AE t sks σ ds) A Bu σ dσ ) ; (4.5.) yi karşılar, { Et (); tr } ı A tarafıda üretile bir semi grup olduğu yerde.

44 36 t t ( t s) λ ( ) (, σ) sup (, σ) + λ R AE t sks ds) λ e Ks ds K ; olduğu içi, (4.3.8) i ve Growall Lemması kullaılarak, (4.4.5) de t T içi ut () CT ( ) v soucuu çıkartırız. A yı (4..) e veya (4.4.5) ye uygulayarak ve ayrıca,, (4.5.) BA g cg g H varsayarak, Au(t) ile sıırlaa bir tartışma buluruz, v DA ( ) ise, t ye göre farklılaştırıldığıda, elde ederiz Yukarıdaki diferasiyel operatör durumua döersek, (4.4.6) i bu durumda sağladığıı hatırlarız. Öcede ele alıa solu elemalar yaklaşık operatörleri içi, bezer koşulu sağlaıp sağlamadığı, ilk baştaki vh sh değerii seçildiği yola bağlıdır. Bezer hususlar daha yüksek düzeleme gereksiimlerie kadar uzaır. Öcede belirtildiği gibi, bu düzelilik gereksiimlerii zayıflata oldukça büyük teşvikler vardır.

45 37 4. BULGULAR VE TARTIŞMA Bu çalışmada amaç, Volterra tipideki itegro-diferasiyel deklemleri ikici mertebede yakısatabilmektir. Buu içi öcelikle, itegro-diferasiyel deklemleri taımı yapılıp, literatürde hagi alada e çalışmalar yapıldığıa ve itegro-diferasiyel deklemleri aalitik çözümlerie yer verilmiştir. Volterra tipideki itegro- diferasiyel deklemleri ümerik çözümlemeleri içi farklı metotlara değiilmiştir. E so Crak-Nicolso metodu kullaılarak, bu tip deklemleri ikici mertebede yakısak olduğu görülür.

46 38 KAYNAKLAR Bruer, H. 98. A survey of recet advaces i the umerical treatmet of Volterra itegral ad itegro-differetial equatios. J. Comp. Appl. Math., 8s., Machester. Dougles, J. JR. ad Joes, B.F.R. 96. Numerical methods for itegro-differetial equatios of parabolic ad hyperbolic types. Spriger Numer. Math., 4s., Berli. Gurtı, M. E. Pıpkı, A.G A geeral theory of heat coductio with fiite wave speeds. Spriger Arch. Ratioal Mech. Aal., 3s., Pittsburgh. Lode, S. ad Staffas, J Volterra Equatios. Lecture Notes i Mathematics 737. Spriger-Verlag, 4s.,Berli. Malec, M Sue ue méthode des différecesfiies pour ue équatio o liéaire itégro-differetielle a argumet retardé. Bull. Acad. Polo. Sci. Ser. Sci. Math.Astroom. Phys., 4s., Frace. Miller, R. K A itegro-differetial equatio for rigid heat coductors with memory. J. Math. Aal.Appl., 66s.,Japa. Nuziato, J. W. 97. O heat coductio i materials with memory. Quart. Appl. Math., 9s.,USA. Pavlov, A. P Stability ad covergece of the method of ets for a itegrodifferetial equatio of parabolic type, Trudy Irkutsk. Gos. Uiv., 6s., Rusya Retorys, K Die Losug der gemischte Radwertaufgabe ud des Problems mit eier Itegralbedigug"im Gaze" fiir eie ichtlieareparabolische Gleichug mit der Netzmethode. Czechoslovak Math.J., 88s.,89-8. Frace. Taverii. T Fiite differece approximatios for a class of semiliear Volterra evolutio problems. SIAM J. Numer. Aal., 4s.,Amsterdam. Thompso. R. J Differece approximatios for some fuctioal differetial equatios. Numerische, Spriger-Verlag, isbesodere approximatios theoretische Behadlug vo Fuktioalgleichuge, Lecture Notes i Mathematics 333s., Berli. Volterra, V Theory of Fuctioals ad of Itegral ad Itegro-differetial Equatios, Dover, 38s.,New York.

47 39 ÖZGEÇMİŞ KİŞİSEL BİLGİLER : Adı Soyadı Doğum Yeri : Özur ÖZTUNÇ : Aydı EĞİTİM DURUMU : Lisas Öğreimi : Uludağ Üiversitesi Yüksek Lisas Öğreimi : Bildiği Yabacı Diller : İgilizce İŞ DENEYİMİ : Çalıştığı Kurumlar veyıl : Özel eğitim kurumları İLETİŞİM : E-posta Adresi : ozr83@hotmail.com Tarih :

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık

Detaylı

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi 4.2. Pozitif Foksiyoları İtegrali SOU : f ), M +, A) kümeside bulua foksiyoları mooto arta dizisi ve h.h.h. f = f ise f dµ = f dµ gerçekleir. Gösteriiz Bu teorem Mooto yakısaklık teoremide yakısaklık yerie

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322

0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322 Bölüm 3. İkici Mertebede Lieer ve Sabit Katsaılı Diferesiel Deklemler 4 3. Geel Taımlar ( ) ( ) ( ) a ( ) + a ( ) + a ( ) +... + a ( ) + a ( ) = f ( ) () 0 şeklideki bir deklem. mertebede lieer deklem

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

2.2. Fonksiyon Serileri

2.2. Fonksiyon Serileri 2.2. Foksiyo Serileri Taım.. Herhagi bir ( u (x reel (gerçel değerli foksiyo dizisi verilsi. Bu m foksiyo dizisii tüm terimlerii toplamıa, yai u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x + = k=m

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz. Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh Ocak 2004

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh Ocak 2004 DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh. 129-138 Ocak 2004 CEBİRSEL KATSAYILI HOMOJEN DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN FARK DENKLEMLERİ İLE ÇÖZÜMÜ (SOLUTION OF HOMEGENEOUS DIFFERANTIAL

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

4/16/2013. Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyansı için Tahmin

4/16/2013. Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyansı için Tahmin 4/16/013 Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyası içi Tahmi Kitle ve Öreklem Öreklem Dağılımı Nokta Tahmii Tahmi Edicileri Özellikleri Kitle ortalaması içi Aralık Tahmii Kitle Stadart Sapması içi Aralık Tahmii

Detaylı

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz GAMA FONKSİYONU H. Turgay Kaptaoğlu A. Taım Gama foksiyou, < < değerleri içi Euler itegrali dediğimiz Γ( = t e t dt itegrali ile taımlaır. Öce bu ifadei e demek olduğuu alamaya çalışalım. bir gerçel sayı

Detaylı

KATSAYILARI PERİYODİK FONKSİYON OLAN DİFERANSİYEL OPERATÖRLERİN SPEKTRAL ANALİZİ

KATSAYILARI PERİYODİK FONKSİYON OLAN DİFERANSİYEL OPERATÖRLERİN SPEKTRAL ANALİZİ ADIYAMAN ÜNİVERTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ KATSAYILARI PERİYODİK FONKSİYON OLAN DİFERANSİYEL OPERATÖRLERİN SPEKTRAL ANALİZİ HARUN TEKİN MATEMATİK ANA BİLİM DALI TEZ DANIŞMANI Prof.Dr

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

T.C SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ .C SELÇUK ÜNİVERSİESİ FEN BİLİMLERİ ENSİÜSÜ CHEBYSHEV POLİNOMLARI VE BAZI UYGULAMALARI NEJLA ÇALIK YÜKSEK LİSANS EZİ İLKÖĞREİM ANABİLİM DALI KONYA, 00 ÖZE YÜKSEK LİSANS EZİ CHEBYSHEV POLİNOMLARI VE BAZI

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

AKT201 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ

AKT201 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ AKT MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ KESİKLİ RASLANTI DEĞİŞKENLERİ & KESİKLİ DAĞILIMLAR. X aşağıdaki olasılık foksiyoua sahip kesikli bir r.d. olsu. Bua göre;. ; x =.. ; x =. 4. ; x =. 5 p X

Detaylı

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi 3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada

Detaylı

Bir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı

Bir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı 5.Ders Döüşümler Bir Rasgele Değişkei Foksiyouu Olasılık Dağılımı Bu kısımda olasılık dağılımı bilie bir rasgele değişkei foksiyoları ola rasgele değişkeleri olasılık dağılımlarıı buluması ile ilgileeceğiz.

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

DENEY 4 Birinci Dereceden Sistem

DENEY 4 Birinci Dereceden Sistem DENEY 4 Birici Derecede Sistem DENEYİN AMACI. Birici derecede sistemi geçici tepkesii icelemek.. Birici derecede sistemi karakteristiklerii icelemek. 3. Birici derecede sistemi zama sabitii ve kararlı-durum

Detaylı

DIRAC SİSTEMİ İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ

DIRAC SİSTEMİ İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ DIRAC SİSTEMİ İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ UFUK KAYA Mersi Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aa Bilim Dalı YÜKSEK LİSANS TEZİ Tez Daışmaı Prof. Dr. Nazım KERİMOV MERSİN Hazira - 8 ÖZ Bu çalışmada

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME Saısal Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME 8. Hafta İNTERPOLASYON Saısal Çözümleme 2 İÇİNDEKİLER Ara Değer Hesabı İterpolaso Doğrusal Ara Değer Hesabı MATLAB ta İterpolaso Komutuu Kullaımı Lagrace

Detaylı

HARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI

HARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI HRY-ROSS MTOU V UYGUNMSI ğ şebekelerde debi bir oktaya çeşitli yollarda gelebildiği içi, şebekei er agi bir borusua suyu agi yolda geldiğii ilk bakışta söyleyebilmek geellikle mümkü değildir. Çözümleme

Detaylı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı Öğreci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı SORU 1. a) Ekoomii taımıı yapıız, amaçlarıı yazıız. Tam istihdam ile ekoomik büyüme arasıdaki ilişkiyi açıklayıız. b) Arz-talep kauu edir? Arz ve talep asıl artar

Detaylı

SÖNÜMLÜ-DEĞİŞTİRİLMİŞ KORTEWEG-deVRIES (KdV) DENKLEMİNİN ANALİTİK VE HESAPLAMALI ÇÖZÜM KARŞILAŞTIRMASI

SÖNÜMLÜ-DEĞİŞTİRİLMİŞ KORTEWEG-deVRIES (KdV) DENKLEMİNİN ANALİTİK VE HESAPLAMALI ÇÖZÜM KARŞILAŞTIRMASI XIX. ULUSAL MEKANİK KONGRESİ 4-8 Ağustos 5, Karadeiz Tekik Üiversitesi, Trabzo SÖNÜMLÜ-DEĞİŞTİRİLMİŞ KORTEWEG-deVRIES (KdV) DENKLEMİNİN ANALİTİK VE HESAPLAMALI ÇÖZÜM KARŞILAŞTIRMASI Ciha BAYINDIR Işık

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI

SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI DÜZCE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MM306 SİSTEM DİNAMİĞİ SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI Kutuplar, Sıfırlar ve Zama Cevabı Kavramı Birici Mertebede Sistemleri Zama Cevabı İkici

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Ders Notları. Prof. Dr.

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Ders Notları. Prof. Dr. SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER - Döemi Ders Notları Pro. Dr. Cemaletti KUBAT .Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri

Detaylı

TUTGA ve C Dereceli Nokta Koordinatlarının Gri Sistem ile Tahmin Edilmesi

TUTGA ve C Dereceli Nokta Koordinatlarının Gri Sistem ile Tahmin Edilmesi TMMOB Harita ve Kadastro Mühedisleri Odası, 5. Türkiye Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı, 5 8 Mart 5, Akara. TUTGA ve C Dereceli Nokta Koordiatlarıı Gri istem ile Tahmi Edilmesi Kürşat Kaya *, Levet Taşcı,

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK İstatistiksel Tahminleme ve Hipotez Testlerine Giriş Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH

BİYOİSTATİSTİK İstatistiksel Tahminleme ve Hipotez Testlerine Giriş Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH BİYOİSTATİSTİK İstatistiksel Tahmileme ve Hipotez Testlerie Giriş Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üiversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr

Detaylı

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı)

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı) 3 TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ 3.1. Sapmasızlık 3.. Tutarlılık 3.3. Etkilik miimum varyas 3.4. Aralık tahmii (güve aralığı) İyi bir tahmi edici dağılımı tahmi edilecek populasyo parametresie yakı civarda

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme 5.0.06 DP i Düzeleiş Şekilleri DP i Formları SİMPLEX YÖNTEMİ ) Primal (özgü) form ) Kaoik form 3) Stadart form 4) Dual (ikiz) form Ayrı bir kou olarak işleecek Stadart formlar Simplex Yötemi içi daha elverişli

Detaylı

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Karma Eğitim Ders Notları. Doç. Dr.

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Karma Eğitim Ders Notları. Doç. Dr. SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER 9- Döemi Karma Eğitim Ders Notları Doç. Dr. Cemaletti KUBAT .Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri

Detaylı

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz.

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz. MAT -MATEMATİK (5-5 YAZ DÖNEMİ) ÇALIŞMA SORULARI. Tabaı a büyük ekseli, b küçük ekseli elips ile sıırlaa ve büyük eksee dik her kesiti kare ola cismi 6ab hacmii buluuz. Cevap :. y = ve y = eğrileri ile

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

5. BORULARDAKİ VİSKOZ (SÜRTÜNMELİ) AKIM

5. BORULARDAKİ VİSKOZ (SÜRTÜNMELİ) AKIM 5. ORURKİ İSKOZ (SÜRTÜNMEİ) KIM 5.0. oru Sistemleri Çözüm Yötemleri oru sistemleriyle ilgili problemleri çözümüde tip çözüm yötemi vardır. ular I. Tip, II. Tip ve III. Tip çözüm yötemleridir. u çözüm yötemleride

Detaylı

MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ

MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ Mustafa ÖZDEMİR İ. Cem PARMAKSIZOĞLU ÖZET Düya çapıda rekabeti ö plaa çıktığı bu gükü şartlarda, e gelişmiş ürüü, e kısa sürede, e ucuza üretmek veya ilk yatırım ve işletme

Detaylı

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R İ H S A N T İ M U Ç İ N D O L A P C İ, Y İ Ğ İ T A K S O Y M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R P U B L I S H E R O F T H I S B O O K Copyright 13 İHSAN TİMUÇİN DOLAPCİ, YİĞİT AKSOY

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

ˆp x p p(1 p)/n. Ancak anakütle oranı p bilinmediğinden bu ilişki doğrudan kullanılamaz.

ˆp x p p(1 p)/n. Ancak anakütle oranı p bilinmediğinden bu ilişki doğrudan kullanılamaz. YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 1 ANAKÜTLE ORANININ (p GÜVEN ARALIKLARI (BÜYÜK ÖRNEKLEMLERDE Her birii başarı olasılığı p ola birbiride bağımsız Beroulli deemeside öreklemdeki başarı oraıı ˆp

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

ÖĞRENME ETKİLİ HAZIRLIK VE TAŞIMA ZAMANLI PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ

ÖĞRENME ETKİLİ HAZIRLIK VE TAŞIMA ZAMANLI PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ Öğreme Etkili Hazırlık ve Taşıma Zamalı Paralel Makieli Çizelgeleme Problemi HAVACILIK VE UZAY TEKNOLOJİLERİ DERGİSİ TEMMUZ 2006 CİLT 2 SAYI 4 (67-72) ÖĞRENME ETKİLİ HAZIRLIK VE TAŞIMA ZAMANLI PARALEL

Detaylı

HİPERBOLİK TANJANT YÖNTEMİNİN KLASİK BOUSSINESQ SİSTEMİNE UYGULANMASI. Application of Hyperbolic Tangent Method to Classical Boussinesq System

HİPERBOLİK TANJANT YÖNTEMİNİN KLASİK BOUSSINESQ SİSTEMİNE UYGULANMASI. Application of Hyperbolic Tangent Method to Classical Boussinesq System D.Ü.Ziya Gökalp Eğitim Fakültesi Dergisi 10, 159-171 (008) HİPERBOLİK TANJANT YÖNTEMİNİN KLASİK BOUSSINESQ SİSTEMİNE UYGULANMASI Applicatio of Hyperbolic Taget Method to Classical Boussiesq System Mustafa

Detaylı

ÖZET Doktora Tezi KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ VE BAZI UYGULAMALARI Esi KÖKSAL BABACAN Akara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü İstatistik Aabilim Dal

ÖZET Doktora Tezi KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ VE BAZI UYGULAMALARI Esi KÖKSAL BABACAN Akara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü İstatistik Aabilim Dal ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ VE BAZI UYGULAMALARI Esi KÖKSAL BABACAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora Tezi

Detaylı

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI TMMOB Harita ve Kadastro Mühedisleri Odası 13. Türkiye Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı 18 22 Nisa 2011, Akara ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

Detaylı

v = ise v ye spacelike vektör,

v = ise v ye spacelike vektör, D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi,

Detaylı

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI UZAY-ZAMAN KESİRLİ DİFÜZYON SİSTEMLERİNİN OPTİMAL KONTROLÜ

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI UZAY-ZAMAN KESİRLİ DİFÜZYON SİSTEMLERİNİN OPTİMAL KONTROLÜ T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI UZAY-ZAMAN KESİRLİ DİFÜZYON SİSTEMLERİNİN OPTİMAL KONTROLÜ DOKTORA TEZİ DERYA AVCI BALIKESİR, OCAK - 3 T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

İSTATİSTİK DERS NOTLARI

İSTATİSTİK DERS NOTLARI Balıkesir Üiversitesi İşaat Mühedisliği Bölümü umutokka@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN idrolik Aabilim Dalı Balıkesir Üiversitesi İşaat Mühedisliği Bölümü Bölüm 5 Örekleme

Detaylı

sorusu akla gelebilir. Örneğin, O noktasından A noktasına hareket, OA sembolü ile gösterilir

sorusu akla gelebilir. Örneğin, O noktasından A noktasına hareket, OA sembolü ile gösterilir BÖLÜM 1: VEKTÖRLER Vektörleri taımlamak içi iki yol vardır: uzayda oktalara karşılık gele bir koordiat sistemideki oktalar veya büyüklük ve yöü ola eseler. Bu kısımda, ede iki vektör taımıı buluduğu açıklaacak

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI -BOYUTLU (ÖKLİT) UZAYI Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a, a,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

Journal of Engineering and Natural Sciences Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi

Journal of Engineering and Natural Sciences Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi Joural of Egieerig ad atural Scieces Mühedislik ve Fe Bileri Dergisi Sigma 6/4 Araştırma Makalesi / Research Article O SPEKTRUM OF A SEF ADJOIT DIFFERATIA OPERATOR OF HIGHER ORDER WITH UBOUDED OPERATOR

Detaylı

HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr.

HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr. HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisas Tezi Matematik Aabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr. Arzu AYKUT 2014 Her hakkı saklıdır ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ AKIŞKA BORUSU ve ATİLATÖR DEEYİ. DEEYİ AMACI a) Lüle ile debi ölçmek, b) Dairesel kesitli bir borudaki türbülaslı akış şartlarıda hız profili ve eerji kayıplarıı deeysel olarak belirlemek ve literatürde

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

2016 YILI I.DÖNEM AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME. aşağıdaki seçeneklerden hangisinde verilmiştir? n exp 1.

2016 YILI I.DÖNEM AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME. aşağıdaki seçeneklerden hangisinde verilmiştir? n exp 1. 06 YILI I.DÖNEM AKTÜERLİK SINAVLARI Soru Toplam hasar miktarı S i olasılık ürete foksiyou X x i PS ( t) = E( t ) = exp λi( t ) ise P S(0) aşağıdaki seçeeklerde hagiside verilmiştir? A) 0 B) C) exp λ i

Detaylı

BİR ÇUBUĞUN MODAL ANALİZİ. A.Saide Sarıgül

BİR ÇUBUĞUN MODAL ANALİZİ. A.Saide Sarıgül BİR ÇUBUĞUN MODAL ANALİZİ A.Saide Sarıgül DENEYİN AMACI: Akastre bir çubuğu modal parametrelerii (doğal frekas, titreşim biçimi, iç söümü) elde edilmesi. TANIMLAMALAR: Modal aaliz: Titreşe bir sistemi

Detaylı

GERC EL ANAL IZ H useyin IRMAK

GERC EL ANAL IZ H useyin IRMAK GERÇEL ANALİZ Hüseyi IRMAK Prof. Dr. Hüseyi IRMAK Çakırı Karateki Üiversitesi Fe Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Çakırı 207 2 . BÖLÜM DİZİ KAVRAMI Dizi kavramı matematik bilimide oldukça kullaışlı

Detaylı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ MUSTAFA YILMAZ DENİZLİ, TEMMUZ - 07 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 200 ANKARA ii Mehmet YILDIZ tarafıda hazırlaa MÖBİUS

Detaylı

MONTE CARLO BENZETİMİ

MONTE CARLO BENZETİMİ MONTE CARLO BENZETİMİ U(0,) rassal değişkeler kullaılarak (zamaı öemli bir rolü olmadığı) stokastik ya da determiistik problemleri çözümüde kullaıla bir tekiktir. Mote Carlo simülasyou, geellikle statik

Detaylı

TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER

TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER ERDENER KAYA MERSİN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANA BİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ MERSİN HAZİRAN 7 TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI

Detaylı

GAZİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK - MİMARLIK FAKÜLTESİ KİMYA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ. KM 482 Kimya Mühendisliği Laboratuarı III

GAZİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK - MİMARLIK FAKÜLTESİ KİMYA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ. KM 482 Kimya Mühendisliği Laboratuarı III GAZİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENİSLİK - MİMARLIK FAKÜLTESİ KİMYA MÜHENİSLİĞİ BÖLÜMÜ KM 482 Kimya Mühedisliği Laboratuarı III eey No : 2-a eeyi adı : Kesikli istilasyo eeyi amacı : a) Kolodaki basıç kaybıı belirlemek,

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Değişkenler: Bir problemin modeli kurulduktan sonra değeri hesaplanacak olan bilinmeyen simgelerdir.

Değişkenler: Bir problemin modeli kurulduktan sonra değeri hesaplanacak olan bilinmeyen simgelerdir. 2. DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (DP) 2.1. DP i Taımı ve Bazı Temel Kavramlar Model: Bir sistemi değişe koşullar altıdaki davraışlarıı icelemek, kotrol etmek ve geleceği hakkıda varsayımlarda bulumak amacı ile

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

NOT: BU DERS NOTLARI TEMEL EKONOMETRİ-GUJARATİ KİTABINDAN DERLENMİŞTİR. HAFTA 1 İST 418 EKONOMETRİ

NOT: BU DERS NOTLARI TEMEL EKONOMETRİ-GUJARATİ KİTABINDAN DERLENMİŞTİR. HAFTA 1 İST 418 EKONOMETRİ NOT: BU DERS NOTLARI TEMEL EKONOMETRİ-GUJARATİ KİTABINDAN DERLENMİŞTİR. KULLANILAN ŞEKİLLERİN VE NOTLARIN TELİF HAKKI KİTABIN YAZARI VE BASIM EVİNE AİTTİR. HAFTA 1 İST 418 EKONOMETRİ Ekoometri: Sözcük

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI)

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI) 5..5 Ele Alıaca Aa Koular Ayrı-zama işaretleri impuls dizisi ciside ifade edilmesi Ayrı-zama LTI sistemleri ovolüsyo toplamı gösterilimi Hafta 3: Doğrusal ve Zamala Değişmeye Sistemler (Liear Time Ivariat

Detaylı

Bileşik faiz hesaplamalarında kullanılan semboller basit faizdeki ile aynıdır. Temel formüller ise şöyledir:

Bileşik faiz hesaplamalarında kullanılan semboller basit faizdeki ile aynıdır. Temel formüller ise şöyledir: 1 BİLEŞİK FAİZ: Basit faiz hesabı kısa vadeli(1 yılda az) kredi işlemleride uygulaa bir metot idi. Ayrıca basit faiz metoduda her döem içi aapara sabit kalmakta olup o döem elde edile faiz tutarı bir soraki

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi

Detaylı

KESĠRLĠ MERTEBEDEN DEĞĠġKEN KATSAYILI DĠFERENSĠYEL DENKLEM VE DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN HERMĠTE COLLOCATION YÖNTEMĠ ĠLE YAKLAġIK ÇÖZÜMLERĠ

KESĠRLĠ MERTEBEDEN DEĞĠġKEN KATSAYILI DĠFERENSĠYEL DENKLEM VE DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN HERMĠTE COLLOCATION YÖNTEMĠ ĠLE YAKLAġIK ÇÖZÜMLERĠ KESĠRLĠ MERTEBEDEN DEĞĠġKEN KATSAYILI DĠFERENSĠYEL DENKLEM VE DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN HERMĠTE COLLOCATION YÖNTEMĠ ĠLE YAKLAġIK ÇÖZÜMLERĠ Nilay AKGÖNÜLLÜ PĠRĠM DOKTORA TEZĠ MATEMATĠK GAZĠ ÜNĠVERSĠTESĠ FEN

Detaylı

Aralığın İç Noktasında Süreksizliğe Sahip Dirac Operatörünün Spektral Özellikleri

Aralığın İç Noktasında Süreksizliğe Sahip Dirac Operatörünün Spektral Özellikleri C.Ü. Fe-Edebiyat Faültesi Fe Bilimleri Dergisi 5Cilt 6 Sayı Aralığı İç Notasıda Süresizliğe Sahip Dirac Operatörüü Spetral Özellileri R. Kh. AMİROV ve Y. GÜLDÜ Cumhuriyet Üiversitesi Fe Edebiyat Faültesi

Detaylı

MATEMATİK ANABİLİM DALI

MATEMATİK ANABİLİM DALI ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Serka ÖKTEN -NORMLU UZAYLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 00 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ -NORMLU UZAYLAR Serka ÖKTEN ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA TAHMİNLEME SÜRECİ VE YORUMLAMA SÜRECİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI VE ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Yorumlama

Detaylı

METAL MATRİSLİ DAİRESEL DELİKLİ KOMPOZİT LEVHALARDA ARTIK GERİLMELERİN ANALİZİ

METAL MATRİSLİ DAİRESEL DELİKLİ KOMPOZİT LEVHALARDA ARTIK GERİLMELERİN ANALİZİ PAMUKKALE ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K FAKÜLTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE MÜHENDİ SLİ K Bİ L İ MLERİ DERGİ S İ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : 1999 : 5 : -3 : 141-146

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri uyruk Teorisi Ders Notları: Bazı uyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@akara.edu.tr 10 ASIM 2017 11. HAFTA 6 Çok kaallı, solu N kapasiteli, kuyruk sistemi M/M//N/ Birimleri sisteme gelişleri arasıdaki

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir.

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir. 203-204 Bahar REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyo Basit doğrusal regresyo modeli: y i = β 0 + β x i + ε i Modeli matris gösterimi, y i = [ x i ] β 0 β + ε i şeklidedir. x y 2 gözlem

Detaylı

Bölüm 5: Hareket Kanunları

Bölüm 5: Hareket Kanunları Bölüm 5: Hareket Kauları Kavrama Soruları 1- Bir cismi kütlesi ile ağırlığı ayımıdır? 2- Ne zama bir cismi kütlesi sayısal değerce ağırlığıa eşit olur? 3- Eşit kollu terazi kütleyi mi yoksa ağırlığı mı

Detaylı

GAUSS HÜZMESİNİN YÜKSEK FREKANSLARDA PLAZMA ORTAMLA ETKİLEŞİMİ

GAUSS HÜZMESİNİN YÜKSEK FREKANSLARDA PLAZMA ORTAMLA ETKİLEŞİMİ Gai Üiv. Müh. Mim. Fak. Der. Joural of the Faculty of Egieerig ad Architecture of Gai Uiversity Cilt 3, No, 73-79, 15 Vol 3, No, 73-79, 15 GAUSS HÜZMESİNİN YÜKSEK FREKANSLARDA PLAZMA ORTAMLA ETKİLEŞİMİ

Detaylı