Çizge Boyama Problemleri İçin Evrimsel Tabu Arama Algoritması (ETA) Evolutionary Tabu Search Algorithm for Graph Coloring Problem (ETA) ÖZET

Transkript

1 Çizge Byama Prblemleri İçin Evrimsel Tabu Arama Algritması (ETA) Evlutinary Tabu Search Algrithm fr Graph Clring Prblem (ETA) ÖZET Bu makalede bir çk prblemin indirgenebildiği klasik Çizge Byama Prblemlerinin çözümü için bir melez algritma önerilmiştir. Evrimsel Tabu Arama Algritması (ETA) adını verdiğimiz bu yaklaşım tabu arama yöntemi ile genetik algritmanın birleştirilmesiyle rtaya çıkmıştır. Çizge byama prblemleri için yeni birer melezleme ve mutasyn uzmanı geliştirilmiş, DIMACS yarışmasında kullanılan pek çk deney örneği üzerinde test edilmiştir. ETA özellikle küçük ve rta by çizge örneklerinde başarılı snuçlar vermiştir. ÖZGEÇMİŞ Özgür Ülker 1980 yılında İstanbul da dğan Özgür Ülker lisans eğitimini 2003 yılında Yeditepe Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü nde tamamladı yılları arasında aynı bölümde öğrenci asistanı larak görev almıştır. Ender Özcan 1991 yılında Orta Dğu Teknik Üniversitesi, Elektrik ve Elektrnik Mühendisliği Bölümü'nü bitirdi. Devlet bursuyla gittiği Syracuse Üniversitesi (ABD, New Yrk), Bilgisayar ve Enfrmatik Bilimleri Bölümü'nde 1994 yılında yüksek lisansını, 1998 yılında da dktrasını tamamladı. Bu süre içerisinde araştırma görevliliğinin yanı sıra, BlackWatch Inc. şirketinde yazılım uzmanı larak çalıştı yılı güz döneminden beri Yeditepe Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü'nde öğretim üyesi larak görevine devam etmektedir. ABSTRACT In this paper, a hybrid algrithm has been prpsed fr the Graph Clring Prblem t which many prblems can be reduced. This apprach, named as Evlutinary Tabu Search Algrithm (ETA) has emerged by cmbining a tabu search methd with a genetic algrithm. Fr Graph Clring Prblem, new crssver and mutatin peratrs are tested using many graph instances frm DIMACS challenge. ETA yields successful results, especially in small and medium graph instances.

2 ÇİZGE BOYAMA PROBLEMLERİ İÇİN EVRİMSEL TABU ARAMA ALGORİTMASI (ETA) byanmış, buna nazaran Çizim 2 de çizgenin k = 3 lacak şekilde en iyi byanabildiği gösterilmiştir. GİRİŞ Çizge Byama Prblemleri (ÇBP) en temel katışımsal eniyileme prblemlerindendir. ÇBP yönsüz bir çizgenin düğümlerinin, kmşu düğümler farklı renkleri alacak şekilde byanması larak tanımlanabilinir. ÇBP, başta kısıt sağlama ve çizelgeleme lmak üzere pek çk terik ve pratik prblemin temelini luşturur. Bu prblemin plinm zamanda çözülemeyen tam (NP- Cmplete) bir prblem lduğu kanıtlanmıştır [6]. ÇBP nin çözümünde bu sebepten dlayı pek çk buluşsal yöntemden faydalanılmıştır. Davis [2] melez bir genetik algritma kullanarak prblemi çözmeye çalışmış, fakat elde ettiği snuçlar tatminkar lmamıştır. Jhnsn [11] farklı sğutma teknikleriyle tavlama [12] yöntemi kullanarak küçük prblem örneklerinde snuca ulaşmıştır. Hertz ve de Werra [9] ise tabu arama [7][8] yöntemiyle verimli snuçlar elde etmişlerdir. Fakat ÇBP nin çözümünde en etkin snuçların melez algrimalar kullanılarak elde edildiği görülmüştür. Galinier ve Ha [5] ile Fleurant ve Ferland [4] tabu arama ve genetik algritmaları birleştirerek zr prblem örneklerinde çk başarılı snuçlar elde etmişlerdir. Bu bildiride de Çizge Byama Prblemi (Graph Clring Prblem) için başka bir melez algritma önerilmiştir. Bölüm 2 bu melez yönteme kaynak luşturan genetik ve tabu arama algritmalarını açıklar. Bölüm 3 ise önerilen melez algritmayı incelemektedir. Bölüm 4 test snuçlarına ve bunlarla ilgili yrumlara ayrılmıştır. Ulaşılan snuçlar ve ileride yapılacak çalışmalar ise Bölüm 5 te özetlenmiştir. ÇİZGE BOYAMA PROBLEMLERİ G = (V, E) yönsüz bir çizgedir. V={v 1, v 2,, v i,, v M } çizgedeki düğüm kümesini, E={e 1, e 2,, e j,, e N } ise kenar kümesini temsil eder. e j, (v p, v q ) ile ifade edilen ikili, V kümesine ait iki düğüm arasındaki kenardır. Tanım 1: Bağımsız küme birbirleriyle kmşu lmayan düğümleri içeren kümedir. Gözlem: V ' V, V ' labilmesi için ya V ' = 1 lmalı, yada V ' 1 x V ' y V ' ( x, y) E lmalıdır. kümesinin bağımsız bir küme > için Tanım 2: <G, k> ile temsil edilen, k renk çizge byama prblemi (k-clring prblem), V kümesinin birbiriyle rtak üyesi lmayan k bağımsız kümeye bölüntülenmesidir. Tanım 3: En iyi byama, mümkün lan en küçük k sayıdaki rengi kullanarak yapılacak lan byamadır. Bu durumda k sayısı G çizgesinin krmatik sayısı ( χ(g) ) larak tanımlanır. Çizim 1 ve Çizim 2 de sırasıyla k renk çizge byama prblemi ile en iyi byama prblemine birer örnek verilmiştir. Çizim 1 de çizge k = 5 lacak şekilde 5 renkle Çizim 1 : Çizim 2: k = 5 lacak şekilde k- renk byama k = 3 lacak şekilde en iyi byama GENETİK ALGORİTMALAR Genetik Algritmalar (GA) ilk defa J. Hlland tarafından önerilmiş [10] ve pek çk zr prblemin çözümünde kullanılmıştır. GA ler evrim terisinden esinlenilmiş, dğal seçilim ve genetik biliminin temellerini kullanılarak geliştirilmiştir. Tipik bir GA de içindeki her birey (krmzm) in aday çözüm lduğu nüfus, sürekli bir evrim geçirir. Her nesilde belirli bir yöntemle seçilmiş lan bireylere melezleme ve mutasyn gibi çeşitli genetik uzmanlar uygulanır. Her bireyin hayatta kalma şansını bir uygunluk fnksiynu belirler. Yapıtaşı varsayımı gereği, güçlü bireyler iyi genlere sahiptir. Bu genlerin diğer nesillere geçme lasılığı seçim baskısı ile artırılarak, kötü genlere sahip güçsüz bireyler evrim esnasında kayblması sağlanır. Evrim süreci belirlenen bitiş kşulunu sağlayıncaya kadar devam eder ve en sn nüfustaki en iyi birey, ulaşılan en iyi çözümü temsil eder. Genetik Algritma aşağıdaki ana bileşenlerden luşur: Temsil Üreme için Seçilim Melezelem (Üreme) Mutasyn Uygunluk Değeri Hesaplama Snlandırma

3 TABU ARAMA ALGORİTMASI Tabu Arama (TA) algritması ilk defa F. Glver [7], [8] tarafından insan hafızasının çalışmasından esinlenilerek önerilmiş bir yerel arama yöntemidir. TA ana larak basit tepe tırmanma (BTT) yönteminin zaaflarını gidermek için düşünülmüştür. BTT eldeki aday çözüme, bir kmşuluk işleci uygulayarak, yeni adaylar üretir. Yeni adaylar bir değerlendirmeye tabi tutulur. Değerlendirme çözümün snuca yakınlığını ölçer. Yeni adaylar ile eldeki eski aday içerisinden çözüme en yakın lan eskinin yerine geçer. BTT bu haliyle kısır bir döngüye sebep labilir. Kmşuluklar kapsamında birbirine eşit değerdeki iki yada daha fazla kmşu arasında BTT takılıp kalabilir. Arama yapılan alanın özellikleri yada BTT yönteminin iyi seçilmemesi, herhangi bir denetim mekanizması kullanılmadan yapılan aramayı yerel en iyi nktalara götürebilir. Fakat gerçek hayattaki prblemler yerel en iyilerin bl lduğu, fakat glbal iyinin az, hatta tek labildiği prblemlerdir. Kısacası kısır döngü kaçınılmazdır. Tabu arama yöntemi kısır döngüden kurtulmak için hafıza kullanılmasını, hatırlamayı önerir. Daha önce ziyaret edilmiş ya da herhangi bir nedenle ziyaret edilmesi istenilmeyen aday çözümlerle ilgili özellikler, tabu listesi adı verilen, kısa dönem hafızaya benzer bir yapıda tutulur. Yöntem bu listedeki hamlelerin belirli bir süre yapılmasını yasaklar. Böylece arama yerel bir en iyi nktadan kurtularak asıl snuca yakınsayabilir. Bu temel altyapının yanısıra, tabu arama yöntemlerinde aramayı belirli bir nktaya yönlendirebilecek uzun dönem hafıza yapıları da kullanılmıştır [16]. ÇİZGE BOYAMA PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ İÇİN MELEZ EVRİMSEL TABU ARAMA ALGORİTMASI ÇBP nin çözümü için melez evrimsel bir tabu arama algritması önerilmektedir. Bu algritma ana larak yukarıda sözü geçen iki farklı algritmanın birleştirilmesinden luşmuştur. Bir nüfusun bireyleri genetik uzmanlar (melezleme ve mutasyn) ile tabu arama yöntemiyle sürekli bir evrim geçirirler. Bu süreç Çizim 3 de gösterildiği gibidir. Nüfusdaki bireylerin luşturulması Snuç bulunana kadar yada nesil üst sınırına kadar Melezleme için ebeveynler seç Melezlemeyi uygula Çcuk(lara) mutasyn uygula Tabu Arama (uygula) Yeni birey(lerin) uygunluk hesaplamasını yap Yeni nesli luştur Çizim 3 : ETA algritmasının bileşenleri TEMSİL Bu algritmada her bir birey, bağımsız renk kümelerinin birleşiminden luşmuştur. Her bir renk kümesi renge byanacak lan düğümleri içermektedir. Aynı şekilde nüfusta belli sayıda bireyin tplamından luşmaktadır. Çizim 4 te örnek iki birey gözükmektedir. Çizim 4 : Bağımsız renk kümelerinden luşmuş iki birey NÜFUSTAKİ BİREYLERİN OLUŞTURULMASI Her bireyin luşturulması çizgedeki düğümlerin bağımsız renk kümelerine atanmasını gerektirir. Bunun için öncelikle hiç bir kümenin bş kalmamasını sağlamak için her kümeye bir düğüm rasgele atanmıştır. Diğer düğümlerin bir kısmı ise an için en az hangi kümede kenar çakışımına sebep luyrsa kümeye atanmıştır. Geri kalan diğer düğümler ise tamamen rasgele atanmıştır. Bu ikisi arasındaki denge ise her bir birey için farklıdır. Örneğin bazı bireylere düğümlerin çk büyük bir kısmı rasgele atanabilirken, diğer bireylere ise kenar çakışımını azaltan bir atanma yapılabilinir. Algritmamızda bulunan ranlar aşağıdaki gibidir. rasgele atanan düğüm = birey n / tplam birey sayısı sistematik atanma = tplam birey sayısı rasgele atanan düğüm Birey n bütün bireylerin sıralı bir şekilde numaralandırılmasından snra kaçıncı lduğunu gösterir. Böylece sn yaratılan bireyler snuca daha uzak, ilk yaratılanlar ise daha az kenar çakışımı sağlanacak şekilde ayarlanmış lur. Kullandığımız bu yaklaşımın amacı ilk nüfusu luşturan bireylerin kenar çakışım sayısı ve düğümlerin kümelere yerleşimi açısından mümkün lduğunca birbirinden farklı lmasıdır. Aksi takdirde luşturulacak çeşitliliği az lan bir nüfusun sağlıklı bir şekilde evrim geçirme şansı yktur. Bu sebepten dlayı diğer pek çk benzer algritmada kullanılan RLF [15] ya da DSATUR [1] gibi açgözlü yöntemler çeşitliliği azaltacağı için kullanılmamıştır. EBEVEYN SEÇİMİ Melezleme işleminin yapılabilmesi için öncelikle iki adet bireyin seçilmesi gerekmektedir. Bu algritmamızda bunun için sıra bazlı ebeveyn seçimi uygulanmıştır. Bu yöntemin en önemli avantajı, zayıf bireylere de seçilme şansı tanımasıdır. Böylece güçlü bireylerin nüfusa erkenden hakim lması da engellenmiş lmaktadır. Kullandığımız bu seçim yönteminde bütün bireyler ilk önce uygunluk derecelerine göre sıralanmış, daha snra da her bireye bir derece atanmıştır. Algritmamızda kullanılan derecelendirme sistemine göre (n-j) nci bireyin seçilme lasılığı Denklem 1 deki gibidir.

4 P n j = n j k = 1 k yüzden bu algritmada bu düğümlerin belirli bir kısmı rasgele, diğer kısmı ise en az kenar çakışımına sebep lacak şekilde atanmıştır. Bu dağılımın nasıl yapılacağı ise yazı tura atılarak belirlenmiştir. Denklem 1 Bir bireyin sıra bazlı seçilimdeki seçim baskısı MELEZLEME UZMANI Bu algritmada melezleme uzmanı larak Galinier ve Ha nun önerdiği açgözlü bölüntüleme melezlemesi [5] yönteminin geliştirilmiş bir hali kullanılmıştır. Açgözlü bölüntüleme yöntemindeki ana hedef büyük bağımsız renk kümelerinin snraki nesillere aktarılmasıdır. Bu yöntem iki adet ebeveyn bireyin en büyük renk kümelerinin sırayla çcuk bireye aktarılmasından luşur. Yöntem kısaca aşağıdaki şekilde açıklanabilinir: Veri: Bağımsız kümelerden luşmuş bireyler P 1, P 2 Snuç: Renk kümelerinden luşan ğul birey C 1 Başla Bütün renk kümeleri için P 1 in en büyük kümesini C 1 in kümesi larak seç P 1 in bu en büyük kümesini P 1 den çıkar P 1 in en büyük kümesinin elemanlarını P 2 den sil P 1 ile P 2 yi yer değiştir Bitir Eğer atanmayan düğümler varsa Her düğüm için rasgele bir küme seç Bu düğümü seçilen kümeye ata Çizim 5 : Açgözlü melezleme uzmanı Bu yöntem başarılı bir şekilde tabu arama yöntemiyle beraber kullanılmıştır. Fakat bu melezleme uzmanının da yetersiz lduğu bazı nktalar bulunmaktadır. Bu uzman sadece uzun bağımsız renk kümelerinin gelecek nesillere iletilmesini sağlamakta, fakat bu kümelerin çakışım değerlerini gözardı etmektedir. Bu yöntemle uzun fakat çk fazla kenar çakışımına sahip kümeler de gelecek nesillere iletilmektedir. Bu sebepten dlayı, renk kümelerine bu şartı da değerlendirecek şekilde bir ağırlığa dayalı yöntem geliştirilmiştir. Bu yöntemde kümeler hem uzunlukları hem de çakışan kenarlarının sayısı göz önünde bulundurularak aşağıdaki frmülle derecelendirilmişlerdir. Derece = αuzunluk βceza i i i Denklem 2 Küme derecelendirme yöntemi Bu frmülde i kümesinin uzunluğu Uzunluk i, aynı kümedeki kenar çakışım sayısı Ceza i dir. Bu özelliklerin α ve β katsayıları kullanılarak ağırlıklı tplamları alınarak rtaya çıkan snuç, i kümesinin derecesi larak belirlenmiştir. Deneylerimizde α ve β katsayıları 1 larak kullanılmıştır. Açgözlü Bölüntüleme yönteminin diğer bir zaafı ise melezleme sırasında bir renge byanamayan düğümlerin rasgele larak atanmasıyla ilgilidir. Deneylerimiz sırasında düğümlerin yaklaşık larak %10 ile %40 lan kısmının herhangi bir yön belirlenmeden tamamen rasgele atandığı görülmüştür. Bu rasgelelik gen havuzuna bir nevi çeşitlilik sağlasada bu ran çözüme ulaşmayı engelleyici labilir. O MUTASYON UZMANI Algritmada kullanılan mutasyn uzmanı renk kümelerindeki elemanların karıştırılmasından ibarettir. Öncelikle karıştırılacak iki tane renk kümesi rasgele seçilmiş, daha snra da bu kümelerin elemanlarından rasgele bir permütasyn luşturulmuştur. Bu permütasynların elemanları daha snra tekrar renk kümelerine dağıtılmıştır. Her kümenin kaç düğüm alacağı ise gene rasgele belirlenmiştir. Bu mutasyn vasıtasıyla nüfusa özellikle bireyler arasındaki farklılık çk azaldığında biraz daha çeşitlilik kazanması amaçlanmıştır. UYGUNLUK DEĞERİ Algritmada kullanılan uzmanlarlarla elde edilen snuçların istenen snuca uzaklığını hesaplamak için bir ceza puanı uygulaması yapılmıştır. Bu ceza puanı aynı renge byanmış düğümlerin arasındaki kenarların tplam sayısıdır. YEREL ARAMA YÖNTEMİ Algritmamızda yerel arama metdu larak Hertz ve de Werra nın [9] önerdiği tabu arama yönteminin gelişmiş bir hali kullanılmıştır. Hamle larak ise literatürde çkca kullanılan basit taşıma kullanılmıştır. Basit taşıma bir düğümün bir renk kümesinden diğer renk kümesine taşınmasından ibarettir. Bu yöntem vasıtasıyla kmşuluk yapılabilecek bütün basit taşıma hamleleri larak rtaya çıkar. Özellikle büyük çizgelerde bu kmşuluğun byutu çk yüksek mertebelere çıkabilir. Dlayısıyla kmşuluğun byunu daraltmak için iki adet seyrek örnekleme yapılmıştır. İlk larak eğer bir düğüm bulunduğu kümede başka hiç bir düğümle çakışmıyrsa bu düğümle ilgili herhangi bir taşıma hareketi yapılmamıştır. İkinci önemli örnekleme metdu ise kmşuluğun byunun dinamik larak değişmesiyle ilgilidir. Algritmamızda kmşuluk snuçtan lan uzaklığa göre değişmektedir. Algritmanın özellikle snuçtan uzak lunan ilk aşamalarında, bütün kmşuluğun taranmasına gerek görülmemiştir. Bunun tersine snuca yaklaşılan bölümlerde kmşuluğun byunun genişlemesi sağlanmıştır. Sözü edilen bu parametre aşağıdaki şu frmülle gösterilmektedir: TplamCeza p % By = (1 α ) *100% TplamKenar Denklem 3 Kmşuluk byunun hesaplanması Bu frmülde TplamCeza, bütün bireydeki çakışan kenarların, TplamKenar ise çizgedeki bütün kenarların sayısına denk gelmektedir. α katsayısı ise bu ikisinin ranının (hedef çözümden uzaklık ranının) ne kadar önemli lduğunu ayarlar. p katsayısı kmşuluğun ne kadarlık bir kısmının taranacağını belirler. Bu sayı arttıkça kmşuluğun byu hızlı bir şekilde azalır. Tabu arama algritması luşturulan bu kmşuluk içinde an için en iyi hamleyi seçer. En iyi hamle ceza puanını en çk düşüren, bu mümkün değilse de en az yükselten

5 hamledir. Bu basit taşıma hamlesi yapıldıktan snra bu hamlenin tersi tabu listesine girilir. Örneğin i-kümesindeki m elemanı j-kümesine taşınmışsa (hamle <j, m>) m elemanı belirli bir süre için tekrar i kümesine dönemez (hamle <i, m>). Bu süreyi belirlemek için aşağıdaki frmül kullanılmıştır: ZamanAşımı = µ + υtplamceza Denklem 4 Tabu listesinde bulunma zamanının hesaplanması Frmülden de açıkca görülmektedir ki, tabu uzunluğu tplam cezayla lan ilişkisi µ ve υ katsayılarına bağlanmıştır. Bu uzunluk sistemi büyük ve zr çizge örneklerinde lumlu snuçlar verse de küçük çizgelerde yukarıdaki frmülle elde edilen zaman aşımı kısa kalabilmektedir. Bu yüzden küçük çizgelerde tabu listesi zaman aşımı andaki tabu döngü sayısına eşit tutulmuştur. Bütün bu işlemlerden snra tabu aramayla luşturulan bireyin tekrar nüfusa knulması gerekmektedir. Elde edilen birey snuç larak kötü lan ebeveynin yerini yalnızca daha iyiyse ya da na eşitse alabilir. Bunun sebebi algritmanın ileriki aşamalarında elde edilen iyi bireyleri krumaktır. ALGORİTMANIN SONLANDIRILMASI Algritmanın snlandırılması iki şarta bağlıdır. Bunlar nüfustaki en iyi bireyin kenar çakışım sayısının sıfıra inmesi ya da üst sınır larak belirlenen nesil sayısına ulaşılmasıdır. Bu üst sınır farklı çizgeler için farklı şekilde belirlenmiştir. GENETİK VE TABU ARAMANIN AĞIRLIĞI Pek çk melez algritmadaki en önemli hususlardan biri bileşenlerin hangi ağırlıkta aramayı luşturacağıdır. Bu algritma genetik ve tabu arama ağırlığının yaklaşık larak eşit önemde lmasını hedeflemiştir. Algritmanın snuçtan uzak lunan ilk aşamalarında genetik uzmanlardan snra gerçekleştirilen tabu aramanın uzunluğu kısa tutulmuş, buna nazaran snuca yakınsanan aşamalarda tabu uzunluğu giderek arttırılmıştır. Bu ayarlama yerel arama yöntemi bölümündeki anlatılan kmşuluk uzunluğuna benzer bir şekilde aşağıdaki frmülle gerçekleştirilmiştir: TplamCeza TabuDöngüSayısı = k+ l(1 α ) n TplamKenar Denklem 5 Tabu arama yineleme hesaplanması Bu frmülde k en düşük tabu uzunluğunu, l ise hedef alınan en yüksek tabu döngü uzunluğunu belirtir. Algritma snuçtan uzakken, ikinci terim sıfıra yaklaşmakta, dlayısıyla gayet kısa bir tabu döngüsü sağlanmaktadır. Snuca yaklaşılırken ikinci terim 1 e yakınsayarak, ihmal edilebilir düzeyde lan k ile birlikte l adet tabu döngüsünü sağlamış lur. DENEY SONUÇLARI Bu bölüm ETA algritmasının deney snuçlarına ayrılmıştır. Öncelikle kullanılan deney örnekleri hakkında bilgi verilmiş daha snra parametrelerin nasıl ayarlandığı anlatılmıştır. Deney snuçları verildikten snra ETA nın perfrmansı hakkında yrumlar yapılmıştır. DENEY ÖRNEKLERİ Algritmaların karşılaştırılması için 1993 yılında düzenlenen 2. DIMACS yarışmasında kullanılan deney örnekleri kullanılmıştır. Bu deney örneklerinin en zr lanlarının kenar yğunluğu 0.5 ile 0.7 arasında değişen çizgeler lduğu görülmüştür. Dlayısıyla deneyler aşağıdaki çizge örnekleri üzerinde yğunlaştırılmıştır. DSJC Çizgeleri: Bu çizgeler Jhnsn [11] tarafından benzetimli tavlama yönteminin çizge byamaya uygulanması sırasında yaratılmış rasgele çizgelerdir. DSJC örnekleri 125, 250, 500 ya da 1000 düğümlü, kenar yğunlukları ise 0.1, 0.5 ve 0.9 lan çizgelerden luşmaktadır. Bu çizgelerin krmatik sayıları bilinmemektedir. LEIGHTON Çizgeleri: Leightn [15] tarafından krmatik sayısı belli lacak şekilde sistematik bir şekilde yaratılan bu çizgeler 450 düğümden luşmaktadır. Krmatik sayıları sırasıyla 5, 15 ve 25 tir. Bu örneklerin dışında daha küçük ya da en iyi şekilde byanması daha klay lan diğer çizge örnekleri de test edilmiştir. ETA PARAMETRELERİ ETA algritmasının en önemli parametreleri aşağıda sırlanmıştır: Nüfustaki bireylerin sayısı Her melezlemeden snra gerçekleştirilen Tabu Aramanın en yüksek döngü sayısı Genelde küçük nüfusların ve yüksek tabu dögü sayısının kullanıldığı diğer melez algritmalara göre bu çalışmada daha büyük bir nüfus ve daha kısa tabu döngü sayısının etkileri üzerinde durulmuştur. Bu yüzden özellikle klay örnekler için birey sayısı en az 5 veya 10 a, daha zrları için sırasıyla 25 e ve 50 ye çıkarılmıştır. Küçük tabu döngü sayılarının nüfustaki çeşitliliği bir nebze düşürdüğü bildirilmiştir [5]. Buna rağmen tabu döngü sayısı için küçük değerler seçilerek, daha büyük nüfuslar kullanılmış ve çeşitlilik bu şekilde sağlanmaya çalışılmıştır. ETA da tabu döngü sayıları larak sırasıyla 100, 250 ve 500 değerleri kullanılmıştır. Diğer önemli bir nkta ise tabu arama ile genetik algritmaya hangi ranlarda ağırlık verileceğidir. Bunun için en az yineleme sayısı k, 10 larak, ceza ağırlığı larak kullanılan α katsayısı ise 5 larak belirlenmiştir. Gerçek tabu döngü sayısının değişim miktarı ise yukarıda anlatılan en yüksek tabu döngü sayısına, kısacası l değerine bağlıdır. Denklem 5 te bahsedilen n değeri için en iyi 3 değerinin iyi snuçlar verdiği görülmüştür. Diğer önemli parametreler ise tabu arama sırasında kullanılacak lan kmşuluğun genişiliğiyle ilgilidir. Tabu uzunluğuna benzer bir şekilde ceza ağırlık katsayısı α için 3 değeri kullanılmış, kmşuluğun daraltılması için, Denklem 3 te bahsedilen p değerleri larak 4 yada 5 kullanılmıştır. Sn larak tabu listesine yerleştirilen hamlelerin ne kadar bir süre için yasak lduğunu belirlemek için Denklem 4 te kullanılan µ ve υ parametreleri sırasıyla 10 ve 0.6 larak ayarlanmıştır. Daha küçük örnekler içinse bu parametre tabu döngü sayısına eş tutulmuştur.

6 Çizge Adı Elde Edilen Min. Renk Genetik Max. Düğüm Sayısı Kenar Sayısı Krmatik Sayı t (sn.) Std. Yineleme Sayısı Std. Nüfus Byu Tabu Döngü dsjc ? dsjc ? dsjc ? dsjc ? dsjc ? dsjc ? dsjc ? le450_5a le450_5b le450_5c Le450_5d Le450_15a Le450_15b Le450_25a Le450_25b Tabl 1 : DSJC ve Leightn Çizge Byama Snuçları DENEYLER Deneyler için C++ diliyle yazılan algritma Tabl 1 deki çizge örnekleri için Pentium 4 2Ghz işlemciye ve 256Mb belleğe sahip 4 farklı kişisel bilgisayarda test edilmiştir. Tabl 2 deki çizgeler ise AMD Durn 1300 Mhz işlemcili ve 256Mb belleğe sahip başka bir kişisel bilgisayarda test edilmiştir. Tabl 1 Leightn ve DSJC çizge snuçlarını, Tabl 2 ise diğer çizgelerin snuçlarını göstermektedir. Tabl1 deki her çizge için 10 deneme yapılmış bunların rtalaması alınmıştır. Tabl 2 deki her çizge için deneme sayısı 50 dir. Tabllarda öncelikle her çizge ile ilgili bilgiler (düğüm, kenar ve krmatik sayıları) verilmiştir. Daha snra elde çizgenin byanabildiği minimum renk sayısı verilmiştir. Algritmanın bitmesi için geçen süre, bu sürenin standart sapması ise saniye cinsinden verilmiştir. Bu süreye çizgenin diskten kunması dahil değildir. Daha snra gerçekleşen genetik yineleme sayısı (melezleme sayısı) ve bunun standart sapması verilmiştir. Tabl 1 de daha snra nüfusun büyüklüğü verilmiştir. Tabl 2 deki çizgelerin hepsi için nüfusun büyüklüğü 5 larak belirlenmiştir. Daha snraki sütunda (melezlemeden snra yapılabilecek) en yüksek (Max.) tabu döngü sayısı verilmiştir. Tabl 1 deki deneylerde tabu zaman aşımı süresi dinamik larak hesaplanmıştır. DENEY YORUMLARI Özellikle zr çizgeler üzerinde yapılan deneylerin snucunda (Bkz. Tabl 1), ETA nın gayet verimli bir şekilde çalıştığı görülmektedir. Bu örneklerde yaklaşık larak literatürde bulunan en iyi renk değerlerinden (krmatik sayılardan) en fazla 1 yada 2 renk uzak kalınmıştır. ETA, daha küçük ve klay deney örneklerinin (bkz Tabl 2) hemen hemen hepsinde rahat bir şekilde dğru krmatik sayı değerlerine ulaşarak, bütün denemelerden 100% başarıyla çıkmıştır. Deneylerde özellikle üzerinde durulan nktalardan biri genetik algritma ve tabu arama yöntemlerine verilen ağırlıktır. Deneyler snucunda belli seviyedeki tabu arama döngüsünden snra snucun pek fazla değişmediği, buna nazaran düşük döngü nüfustaki çeşitliliği bir nebze düşürdüğü gözlenmiştir. Özellikle zr çizgelerde nüfus çeşitliliğin azalması aramanın yerel bir en iyi nktada takılıp kalmasına yl açmıştır. Birey sayısının arttırılmasının ise buna çözüm sağladığı görülmüştür. Birey sayısının arttırılması aynı zamanda algritmanın kararlılığını da arttırmaktadır. Özellikle küçük nüfuslarda elde edilen yineleme ve zaman sürelerinin standart sapmalarının yüksek lduğu gözlenmiştir. Nüfusun büyültülmesi bu süreleri düzenli bir şekilde azaltmıştır. Buna nazaran özellikle küçük örneklerde (düğüm sayısı < 100) küçük nüfusların kullanılıp (2 < nüfus sayısı < 5) tabu aramanın arttırılmasının en hızlı snuçları verdiği görülmüştür. Büyük deney kümelerinde ayrıca tabu arama ağırlıklı deneyler de yapılmıştır. (Çk büyük tabu uzunlukları, çk küçük nüfuslar, vs). Elde edilen snuçlar tabu arama yönteminin belli bir seviyeden snra daha fazla gelişim gösteremediğinden bir yerel nktada tıkanıp kaldığını göstermektedir. Melezleme ve mutasyn uzmanları eklendiğinde ise bu nktalardan kurtulma lasılığının arttığı gözlenmektedir. Bunun sebebi melezleme ve mutasyn uzmanlarının aramanın belli bir yere takılmasını engelleyip çözüme yakın başka bir yerden devam etmesini sağlamasıdır. Elde ettiğimiz bu snuçlar melez algritmaların Çizge Byama Prblemi için sn derece başarılı labileceğini göstermiştir.

7 Elde Edilen Min. Renk Genetik Yineleme Sayısı Max. Tabu Döngüsü Düğüm Kenar Krmatik t Çizge Adı Sayısı Sayısı Sayı (s) Std. Std. miles miles miles miles miles mulsl.i mulsl.i mulsl.i mulsl.i mulsl.i anna david huck hmer Tabl 2 : Diğer DIMACS Çizge Byama Snuçları SONUÇLAR VE İLERİDE YAPILACAK ÇALIŞMALAR Bu bildiride çizge byama için yeni bir melez algritma önerilmiştir. Prbleme uygun şekilde hazırlanan bir melezleme ve mutasyn uzmanı denenmiştir. Ayrıca tabu arama yöntemi için dinamik larak değişen yineleme ve kmşuluk daraltma sistemleri geliştirilmiştir. Çizge byama için önerilen diğer melez algritmalarda kullanılan küçük nüfusların yanısıra büyük nüfuslarda kullanılmıştır. Özellikle küçük ve rta by çizge örneklerinde başarılı snuçlar elde edilmiştir. Yine de algritmanın geliştirilmesi için daha yapılabilecek çalışmalar mümkündür. Algritmanın özellikle daha büyük deney örnekleri üzerinde nasıl bir davranış göstereceği incelenecektir. Bu özellikle pek çk parametrenin en iyi bir şekilde ayarlanmasına yardımcı lacaktır. Önerilen algritmada ki parametrelerin sayısını düşürmek için bunlardan bazılarının arama sırasındaki durumlara göre uyum sağlayıp kendiliğinden değişmesi de amaçlanmaktadır. Sn larak tabu arama yönteminde daha değişik hamleler kullanılması hedeflenmektedir. [8] Glver, F., Tabu Search Part II, ORSA Jurnal f Cmputing Vl. 2, N. 1. [9] Hertz, A., de Werra, D., 1987, Using tabu search techniques fr graph clring. Cmputing 39: [10] Hlland, J. H., Adaptatin in Natural and Artificial Systems, Univ. Mich. Press. [11] Jhnsn D.S., Aragn C.R, McGech L.A, and Schevn C., Optimizatin by simulated annealing: An experimental evaluatin; part ii, graph clring and number partitining., Operatins Research, 39(2): , [12] Kirkpatrick S., Gelatt C.D., Jr., Vecchi M.P., Optimizatin by Simulated Annealing, Science, Number [13] Kirvski, D., Ptknjak, M., "Efficient Clring f a Large Spectrum f Graphs", Prc. f ACM/IEEE 35th Design Autmatin Cnference, pp , San Francisc, USA. [14] Kltz, W., Graph clring algrithms, Mathematik- Bericht 2002/5, TU Clausthal. [15] Leightn, F. T., A graph clring algrithm fr large scheduling prblems, Jurnal f Reasearch f the Natinal Bureau f Standards, 84: , [16] Gnzález-Velarde J.L.,and Laguna M., Tabu Search with Simple Ejectin Chains fr Clring Graphs, T appear in the Annals f Operatins Research. KAYNAKÇA: [1] Brelaz, D., New methds t clr vertices f a graph, Cmmunicatins f ACM 22, [2] Davis, L., Handbk f Genetic Algrithms, Van Nstrand Reinhld, New Yrk. [3] Falkenauer, E., A Hybrid Gruping Genetic Algrithm fr Bin Packing, Jurnal f Heuristics 1996;2(1):5-30. [4] Fleurant, C., amd Ferland, J.A., Object riented implementatin f heuristic search methds fr graph clring, maximum clique, and satisfiability, Prcedings f the 2 nd DIMACS implementatin challenge, Vlume 26 f DIMACS Series. [5] Galinier, P. and Ha, J.K., Hybrid evlutinary algrithms fr graph clring., Jurnal f Cmbinatrial Optimizatin. 3(4): [6] Garey, M.R, Jhnsn, D.S., Cmputers and Intractability, Freeman, San Francisc. [7] Glver, F., Tabu Search Part I, ORSA Jurnal f Cmputing Vl. 1, N. 3.