Tümevar mla Sayma Sayar Bayar

Transkript

1 Matematik Dünyas, 005 ahar Kapak Konusu: Sayma Tümevar mla Sayma Sayar ayar Üç sayma problemi ele alaca- z bu yaz da. Herbirinin sayma problemi olmas n n yan s ra, bir baflka ortak yanlar, genel çözümün ayn problemin daha basit hallerinin çözümününden kaynaklanmas, yani problemleri belli bir zorluk seviyesinde çözmek için problemlerin daha kolay durumlardaki çözümünden yararlan lmas d r. I. irinci Oyun: Hanoi Kulesi Problemi fla daki resimdeki tek kiflilik oyuna bak n. maç soldaki çiviye boy s ras yla dizilmifl dokuz tekeri gene boy s ras yla bir baflka çiviye dizmektir. Yasal bir tür hamle var: ir teker bulundu u çividen ç kar l p bir baflka çiviye geçirilebilir, ama alttaki tekerler üstteki tekerlerden hep daha büyük olmal ; yani bir tekeri daha küçük bir tekerin üstüne koyamazs n z. unu baflarabilir misiniz ve baflarabilirseniz en az kaç hamlede baflarabilirsiniz? Dokuz yerine n tane teker alal m ve ayn soruyu 9 yerine n için soral m. u problem Frans z matematikçi Edouard Lucas taraf ndan 883 te bir Hint söylencesinden esinlenerek bulunmufltur. Söylenceye göre, enares rahma Hint inan fl na göre üç büyük tanr vard r: var eden rahma, koruyan Vishnu ve yok eden Shiva. u üç tanr, üç biçimli anlam na gelen ve ço u zaman üç bafll bir vücutla resmedilen Trimurti ortak ad yla an l rlar. * u yaz Graham, Knuth ve Patashnik in oncrete Mathematics, adl muhteflem eserinden araklanm flt r demiyelim de esinlenilmifltir. 8 flehrinde bulunan ve dünyan n merkezi olan (inanmayan ölçsün!) bir tap na n kubbesinin alt na, var olan her fleyi yaratan rahma, evreni yarat rken, üç elmas i neden birine büyükten küçü e s ralanm fl biçimde saf alt ndan yap lm fl 64 teker geçirmifl. Rahipler gece gündüz dur durak bilmeden bu 64 tekeri teker teker gene ayn s rayla bir baflka i neye geçirmeye çal fl rlarm fl. ma bir tekeri daha küçük bir tekerin üstüne koymaya haklar yokmufl. Rahipler baflar ya ulaflt klar nda tap nak dahil her fley yerle bir ve un ufak olacak, yani k yamet kopacakm fl. E er n = ise, o zaman tek bir hamle yeterli: Tekeri çivisinden al p çivisine geçirelim. E er n = ise, kolayca s nanaca üzere üç hamle yeterli ve daha az hamlede de problem çözülemez. E er n = 3 ise, bir çözümü yan tarafa dikine çizdik. Toplam yedi hamle yetiyor. Problemin daha az hamlede çözülemeyece i san r m hissedilir, ama bu kez ikna olmak ya da etmek o kadar kolay olmayabilir. n tekerli problemi çözen en az hamle say s na ƒ n diyelim. Yukarda gördü ümüz gibi, ƒ =, ƒ = 3, ƒ 3. mac m z ƒ n yi bulmak. fiimdi düflünelim. n + tekerli oyunda, en alttaki tekeri unutursak, geri kalan n tekeri ƒ n hamlede çivisine boy s ras na göre dizebiliriz. rd ndan en büyük tekeri dan ye geçirebiliriz. Son olarak da çivisinde boy s ras na göre dizilmifl olan n tekeri çivisine (en büyük tekerin üstüne) gene boy s ras na göre ƒ n hamlede aktarabiliriz. öylece ƒ n + + ƒ n, ƒ n hamle hamle ƒ n hamle ƒ n+ ƒ n +

2 Matematik Dünyas, 005 ahar yani ƒ n + hamlede n + tekeri boy s ras na göre dizmifl oluruz. Demek ki ƒ n+ ƒ n +. Peki daha az hamlede bu ifli becerebilir miyiz, yani ƒ n+ < ƒ n + olabilir mi? Hay r! Nalan! unu kan tlayal m. En büyük teker ancak en altta olabilir, dolay s yla bu en büyük tekeri yerinden oynatabilmemiz için çivilerden biri bofl olmal, yani geri kalan n teker boy s ras yla tek bir çiviye geçirilmifl olmal. üyük tekerin yerini iki kez de ifltirmek demek, ayn pozisyona iki kez gelmek demektir ki böyle bir hareket gereksiz olup bize zaman kaybettirece inden büyük tekeri sadece bir kez yerinden oynatmal y z. Demek ki büyük tekeri bir kez yerinden oynatt ktan sonra sadece geri kalan n tekere dokunmal y z ve bunlar boy s ras na göre büyük tekerin üstüne dizmeliyiz, ki bu da en az ƒ n hamlede yap labilir. Dolay s yla ƒ n+ ƒ n +. öylece ƒ n+ = ƒ n + eflitli ini elde ederiz. Demek ki n teker için yan t olan ƒ n yi biliyorsak, ƒ n+ = ƒ n + eflitli inden bir fazla teker için yan t olan ƒ n+ i de bulabiliriz. u formülü n =,, 3, 4 e uygularsak, ƒ i bildi imizden, ƒ = ƒ = ƒ + = + = 3 ƒ 3 = ƒ + = 3 + = ƒ 4 = ƒ 3 + = + = 5 ƒ 5 = ƒ 4 + = 5 + = 3 elde ederiz. urada durmak zorunda de iliz elbet, istedi imiz kadar gidebiliriz. On ad mda ƒ 0 u, yüz ad mda ƒ 00 ü, bin ad mda ƒ 000 i hesaplayabiliriz. En önemlisi, 64 ad mda ƒ 64 ü hesaplay p k yametin afla yukar ne zaman kopaca n tahmin edebiliriz! rahma rahiplerinin saniyede bir hamle yapt klar n ve hiç flafl rmad klar n varsayarsak, evrenin bilinen yafl n n befl kat bulunur! Demek ki rahma 64 yerine 6 teker koysayd, bugün tahmin edilen k yamet tarihi bulunacakt afla yukar, tuhaf bir tesadüf! Her fley iyi güzel de, ƒ 000 i bin ad mda de il, bir ad mda hesaplamak istiyorum! flim gücüm var, acelem var, bin tane hesap yapmak istemiyorum. ir baflka deyiflle ƒ n için sadece n ye ba ml bir formül bulmak istiyorum. Yukarda buldu umuz ƒ, ƒ, ƒ 3, ƒ 4, ƒ 5 say lar na ekleyelim, bakal m n olacak: ƒ + = + = ƒ + = 3 + = 4 ƒ 3 + = + = 8 ƒ 4 + = 5 + = 6 ƒ 5 + = 3 + = 3 elde ederiz. unlar n nin katlar oldu u dikkatinizi celbetmifltir herhalde: ƒ + = = ƒ + = 4 = ƒ 3 + = 8 = 3 ƒ 4 + = 6 = 4 ƒ 5 + = 3 = 5. u kadar da rastlant olamaz! urada bir teorem olmal! Galiba, ƒ n + = n denklemi do ru... u son eflitli i kan tlayal m. ildi imiz ƒ n+ = ƒ n + denkleminin her iki taraf na da ekleyelim: ƒ n+ + = ƒ n + = (ƒ n + ) elde ederiz; yani e er, ƒ n + yerine g n dersek, g n+ = g n denklemini elde etmifl oluruz. g = ƒ + = + = oldu undan, g n+ = g n formülünde s rayla n =,, 3, 4 alarak, g = = g = g = = g 3 = g = = 3 g 4 = g 3 = 3 = 4 g 5 = g 4 = 4 = 5 buluruz. unlar zaten bildi imiz sonuçlard, ama olsun, bir defa daha bulduk ve bir defa daha bularak gerçekten ikna olduk: Her g n bir öncekinin iki kat oldu undan ve g = oldu undan, g n gerçekten n olmal. Olmal ama matematikte içinde olmal sözü geçen kan tlar geçerli de ildir. Do rulu u apaç k belli olan bu eflitli in daha matematiksel bir kan - t n verelim. mac m z, g n = n eflitli ini kan tlamak. u eflitli e ε n diyelim: ε n : g n = n. Önce birçok ö rencinin kaç rd bir noktaya aç kl k getirelim: E er, ε n, g n = n ise, o zaman ε : g =, ε : g =, ε 45 : g 45 = 45, dir. u kolay. unun gibi, ε m : g m = m, ε k : g k = k, ε l : g l = l, ε n+ : g n+ = n+, 9

3 Matematik Dünyas, 005 ahar ε n+ : g n+ = n+, ε n : g n = n, ε n : g n = n, ε fley : g fley = fley dir; g n = n eflitli inde her n yerine ne gerekiyorsa o simge konur. ε n eflitli ini önce n = için kan tlamal y z, yani ε, yani g = eflitli ini kan tlamal y z, ki bunu biliyoruz: g = ƒ + = + = =. rd ndan, eflitli in n için do ru oldu unu varsay p (tümevar m varsay m ) ayn eflitli i n + için kan tlamal y z, yani ε n eflitli ini varsay p ε n+ eflitli ini kan tlamal y z, çünkü o zaman ε eflitli ini bildi imizden ε eflitli inin de do ru oldu unu anlar z, ama o zaman ε 3 eflitli i de do ru olur, ve ε 4 eflitli i de... Her n pozitif tamsay s için ε n eflitli inin do rulu u anlafl lm fl olur. u tür kan ta tümevar mla kan t denir. Tümevar mla kan t n geçerli bir kan t yöntemi oldu unu MD-003-IV say m zda kan tlam flt k (sayfa 48-49). Merdiven Nas l Ç k l r? (Tümevar mla!) Graham, Knuth ve Patashnik in kitab nda flöyle bir benzetme yap l yor: Tümevar mla kan t merdivenden ç kmay ö renmek gibidir. Merdivene ad m n atmay ö renmek gerekir her fleyden önce. rd ndan, her basamaktan bir sonraki basama a nas l ç k laca ö renilmeli. flte merdiven ç kmak bu kadar basittir! Daha genel olarak, tümevar mla kan t tamsay larla ilgili bir önermeyi önce n 0 gibi bir tamsay için kan tlar (yukarda n 0 = idi), ard ndan önermenin n için do ru oldu unu varsay p n + için kan tlar. öylece önermenin, n 0 n 0 + n n gibi say lar için, yani n 0 ve n 0 dan büyük her tamsay için do ru oldu u anlafl l r. fiimdi ε n, yani g n = n eflitli ini varsay p, ε n+, yani g n+ = n+ eflitli ini kan tlayal m. unun için, daha önce buldu umuz g n ile g n+ aras ndaki flu iliflkiyi kullanaca z: g n+ = g n. u iliflkiden ve g n = n eflitli inden g n+ = n+ eflitli i hemen ç kar: g n+ = g n = n = n+. u kadar basit! mac m z g n yi de il, ƒ n yi bulmakt. Tan m gere i g n = ƒ n + oldu undan, ƒ n = g n = n bulunur. Sonuç: n tekerli Hanoi Kuleleri problemi en az n ad mda çözülebilir. Tepe tepe kullan n! II. kinci Oyun: Parçalayan Do rular. ir do ru düzlemi iki bölgeye parçalar. flte! bir taraf Paralel olmayan iki do ru afla daki flekilde görüldü ü gibi düzlemi dört parçaya böler. bir taraf Üçüncü bir do ru daha çizersek, e er üçüncü do ru ilk iki do runun kesifliminden geçmezse ve daha önceki iki do rudan birine paralel de ilse, düzlem yediye parçalan r: di er taraf di er taraf di er öbür taraf 6 öbür taraf Dördüncü bir do ru, e er ilk üç do runun belirledi i kesiflimlerden geçmezse ve ilk üç do rudan birine paralel de ilse düzlemi parçaya böler. Ya do ru bir düzlemi en fazla kaç parçaya ay r r? Yapaca m z ve matemati i do ru de erlendirmek için bu soruyla befl on dakika ilgilenin. Pek kolay olmad n göreceksiniz. Ya 50 do ru bir düzlemi kaç parçaya ay r r? Kaleme kâ da sar l p do ru çizmenizi önermem!

4 Matematik Dünyas, 005 ahar aklay a z m zdan ç karal m: n tane do ru düzlemi en fazla kaç parçaya böler? u say ya n diyelim. 0 = (hiç do ru yoksa düzlem eskisi gibi tek parça kal r!) =, = 4, 3 = eflitliklerini biliyoruz. S ra di erlerini bulmaya geldi! Oyun moyun yok ama olsun... u da bir çeflit tek kiflilik oyun say l r. Her do ru eski düzlemlerin her birini en fazla iki parçaya bölebilir. Demek ki n+ n. ma n = oldu unda görüldü ü gibi eflitlik her zaman geçerli de il, bu kez iflimiz biraz daha zor. Gene biraz düflünece iz... Çizilen her yeni do ru, kesti i do ru say s ndan bir fazla kadar alan ikiye böler, örne in e er yeni çizilen do ru 4 do ruyu kesmiflse, bu yeni do ru befl alan ikiye bölüp bu befl alan on alan yapm fl 3 demektir; bu söyledi imizin do rulu u yandaki fle- 4 kilden anlafl lmal. Dolay s yla n + inci do ruyu di er tüm n do ruyu kesecek biçimde çizersek, ki çizebiliriz elbet, alan say s n n + art rm fl oluruz. undan da, n+ = n + n + eflitli i ç kar. fiimdi 0 = eflitli inden hareketle, yeterince zaman verilmiflse her n yi bulabiliriz: 0 = = 0 + = = + = 4 3 = + 3 = 4 = = 5 = = 6 6 = = = 6 + = 9 öylece ilk sorumuzu yan tlam fl olduk: Yedi do ruyla düzlem en fazla 9 alana bölünebilir. ma daha ikinci sorumuza yan t verecek durumda de iliz daha, 50 do ruyla düzlemi kaç parçaya ay raca- m z bulmak için bu ifllemlerden tam 50 tane yapmal y z. Oysa bizim iflimiz gücümüz var! Yukardaki listeyi 0 dan ye kadar yazaca - m za 0 dan n ye kadar (kaçsa o n!) yazal m: 0 = = 0 + = + 3 = n = n + n n = n + n ve eflitli in her iki taraf n da toplayal m. Sol tarafta 0 dan n ye kadar olan say lar n toplamlar n buluruz. Sa tarafta 0 dan n ye kadar olan say lar n toplamlar beliriyor, bunun d fl nda bir de ve den n ye kadar olan say lar n toplamlar var. 0 dan n e kadar olan say lar her iki tarafta da belirdi inden, bunlar sadeleflirler, yani yok olurlar ve geriye, n = + ( n) kal r. Ne güzel! fiimdi, sa daki n toplam n bulmal y z. Gauss un anas n n karn ndayken buldu u rivayet edilen bu toplam n ne oldu unu herhalde herkes biliyordur ve bize de bu toplam n n(n+)/ oldu unu kan tlamaktan g na geldi! Zaten MD- 004-I, sayfa da kan tlanm flt n = n(n+)/ eflitli i... u eflitli in tümevar mla kan t n okura al flt rma olarak b rak yoruz. Demek ki n = + n(n+)/ = (n + n +)/. fiimdi art k ikinci sorumuza yan t verebiliriz, 50 do ruyla bir düzlemi, ( )/ = 55/ = 6 parçaya ay rabiliriz. l flt rmalar.. n tane do ru bir daireyi en fazla kaç parçaya ay r r?. n tane bir yerinden k r k do ruyla düzlem en fazla kaç parçaya ayr l r? 3. n tane do ru iki (efl ya da de il) te et daireyi en fazla kaç parçaya ay r r? III. Üçüncü Oyun: Josephus Problemi Flavius Josephus un ilginç yaflamöyküsünü bir sonraki sayfada okuyabilirsiniz. elli ki, zeki, iflini bilen, havay iyi koklayan, rüzgâr n hangi yönden esece ini do ru kestirebilen biriymifl. Josephus sayesinde matematik dünyas flu problemle tan flm flt r:

5 Matematik Dünyas, 005 ahar 4 kifli bir daire fleklinde diziliyorlar. 3 Herhangi birinden bafllanarak kifliler 0 4 den 4 e kadar numaraland r l yorlar. 9 5 Sonra birinciden itibaren 8 saymaya baflla- 6 n yor ve her üç kifliden biri oyundan ve daireden ç k yor... Son kalan kazan yor. Oyunu kazanmak için kaç nc kifli olmak gerekir? u soruyu elbette sadece 4 oyuncu için de il, herhangi bir n say da oyuncu için sorabiliriz, örne- in e er kifliyle bafllarsak, yukardaki flekilden de görülece i üzere 0 uncu kifli oyunu kazan r. (Saymaya den bafllan yor: --3 ve üçüncü kifli oyundan ç k yor; ve 6 nc kifli oyundan ç k yor, vs.) Saymaya baflkas ndan bafllarsak sonuç de iflebilir. Yan sütunda buna örnek verdik. Her üç kifliden biri oyundan ç kaca na her p kifliden biri oyundan ç karsa (p, n den büyük de olabilir), oyun daha da genelleflmifl olur oyuncuyla ve her üç oyuncudan birinin ç kt oyunda, ilk olarak 4 üncü oyuncu ç karsa oyunu nci oyuncu kazan r. lk olarak inci oyuncu ç karsa oyunu 8 inci oyuncu kazan r. iz burada n yi herhangi bir say olarak alaca- z ama p yi seçece iz: Her iki kifliden biri oyundan ç kacak. Önce numara, sonra varsa 4, 6, 8 numaralar ç kacak vs. irkaç denemeyle bafllayal m (J(n), oyunu kazanan n numaras olsun): n = J(n) = Kazanan n hep tek numara olmas o kadar flafl rt - c olmamal, ne de olsa birinci turda çift say lar eleniyorlar ve geriye sadece tek say lar kal yor. u oyunu genel olarak kimin kazand n bulaca z Flavius Josephus (MS 3 - ~00) Flavius Josephus hayata filozof olarak bafllam fl, daha sonra Roma ya karfl savaflan bir generale dönüflmüfl, hayatta kalabilmesi için bir ara peygamber olmak zorunda kalm fl ve daha sonra tarihçilikle ifltigal etmifl ilginç bir kifliliktir. Ça n n tek Yahudi tarihçisi olarak bilinir. Yahudilerin ac mas zca vergilendirilmesi ve yoksullaflmas sonucu halk n ayaklanmas yla bafllayan Roma yla Roma iflgali alt ndaki Yahudi Krall n n savafl nda (MS 66-0) Galilee bölgesini Romal general Vespasian a karfl korumaya çal flm flt r. (urada ilginç bir parantez açal m: Vespasian, yafll ama geçmiflte birçok zafere imza atan bir Roma generaliydi. Roma imparatoru Nero nun bir konserinde uyuyakald için maafl kesilmifl ve gözden düflmüfltü! ncak savafl n kötüye gitmesi, Nero yu konserinde uyuyakalan generali tekrar göreve ça rmaya mecbur b rakm flt r.) Josephus direnmede baflar l olamay nca, gözünü budaktan sak nmayan 40 savaflç yla birlikte bir ma araya s nm flt r. Josephus un karfl koymas na karfl n, di erleri Romal lara teslim olmaktansa intihar etmeyi ye lemifllerdir. unun üzerine Josephus flu intihar biçimini önermifl: 4 kifli bir daire fleklinde dizilecek ve kimse kalmay ncaya kadar her üç kifliden biri kendini öldürecek... Josephus kendisini hayatta kalan en son kifli kalacak biçiminde yerlefltirmifl(mifl...) sonra da gidip Roma generali Vespasian a teslim olmufltur. Josephus, generalin imparator olaca kehanetinde bulunmas sayesinde çarm ha gerilmekten kurtulmufltur. Generalin kendi yafl ndaki o luyla s k f k olmas sayesinde hapisten de kurtulmufl ve hele kehaneti gerçekleflti inde (MS 69) daha da göze girip yaflam n Yahudi kültürünü Romal lara ve Roma kültürünü Yahudilere aktarmaya adam flt r. MS 98 de Vespasian n sülalesi imparatorluktan at - l nca gözden düflmüfltür. Nas l ve ne zaman öldü- ü bilinmemektedir.

6 Matematik Dünyas, 005 ahar E er Çift Say da Oyuncu Varsa. Oyuncu say - s na n diyelim. lk n seferde, 4,..., n numaralar elenecek ve geriye sadece n tane tek numara kalacak ve o andan itibaren ayn oyun n yerine n oyuncuyla yeniden oynanacak. u yeni oyunda eski numaral oyuncu gene numara olacak, ama di erlerinin numaras de iflecek: eski 3 numara numara, eski 5 numara 3 numara, eski numara 3 numara olacak... Genel olarak eski k numaral oyuncu yeni oyunda k numara olacak. Demek ki bu yeni n kiflilik oyunu k numaral oyuncu kazan yorsa, n kiflilik oyunu k numaral oyuncu kazan r. Dolay s yla, J(n) = J(n) eflitli i geçerlidir. Örne in, J() = J() = = J(4) = J() = = J(6) = J(3) = 6 = 5 J(8) = J(4) = = J(0) = J(0) = 0 = 9 J(40) = J(0) = 8 =. E er Tek Say da Oyuncu Varsa. Oyuncu say - s na bu kez n+ diyelim. O zaman, 4, 6,..., n ve numaral oyuncular bu s rayla elenirler ve geriye n tane oyuncu kal r. u n oyuncu gene ayn oyunu oynayacaklar ama bu yeni oyunda da oyuncular n numaralar de iflir. lk oyunda 3 numara bu yeni oyunda numara olur, eski 5 numara numara olur, eski numara 3 numara olur... Genel olarak eski oyunda k + numaral olan oyuncu yeni oyunda k numaral oyuncu olur. Demek ki, J(n+) = J(n) +. öylece oyunun analizi nerdeyse tamamland : J() =, J(n) = J(n), J(n+) = J(n) +. rt k istedi imiz n say s ndan bafllayarak J() e kadar geri gidebilir ve J(n) yi bulabiliriz. Örne in, J(9) = J(9) + = (J(4) + ) + =. Yaln z buldu unuz yöntem pek pratik de il. J(0.000) i bu yöntemle hesaplamak epey meflakkatli. Genel ve kapal bir formül bulal m. lk olarak buldu umuz ilk birkaç J de eri yaz p bu de erlere al c gözle bakal m: n J(n) elli bir düzen oldu u belli. k dan k+ e kadar olan say lar için J de eri, 3, 5,..., k+ diye de ifliyor. Formülü tahmin etmek için J nin 8 den 5 e kadar olan say larda ald de erleri bir liste halinde yazal m: J(8) = J( 3 + 0) = = 0 +, J(9) = J( 3 + ) = 3 = +, J(0) = J( 3 + ) = 5 = +, J() = J( 3 + 3) = = 3 +, J() = J( 3 + 4) = 9 = 4 +, J(3) = J( 3 + 5) = = 5 +, J(4) = J( 3 + 6) = 3 = 6 +, J(5) = J( 3 + ) = 5 = +. Demek ki tahminimiz, e er m 0 ve 0 l < m ise J( m + l) = l + olmal. u eflitli i de tümevar mla kan tlayaca z, ama bu kez bir de il, l ve m diye adland rd m z iki tamsay yla ilgili bir eflitli imiz var. iz m üzerine tümevar m yapaca z. Önce m = 0 durumunu kan tlayal m. (Merdivenin birinci ad m.) u durumda l ancak 0 olabilir, çünkü 0 l < 0 = eflitsizlikleri sa lanmal. Demek ki, J( 0 + 0) = 0 + eflitli ini kan tlamal y z, yani J() = eflitli ini, ki bunu biliyoruz. fiimdi merdivenin m-inci basama nda oldu umuzu varsay p bir sonraki m + inci basama a nas l ç kaca m z görelim. Her 0 l < m eflitsizli- ini sa layan l için J( m + l) = l + eflitli ini varsay p (buna tümevar m varsay m denir), e er 0 l < m ise J( m+ + l) = l + eflitli ini kan tlayal m. E er l çiftse, l = k yaz p hesaplayal m: J( m+ + l) = J( m+ + k) = J(( m + k)) = J( m + k) = (k + ) = (l + ) = l +. (irinci eflitlik l = k den, üçüncü eflitlik yukarda buldu umuz J(n) = J(n) eflitli inden ç kar. Dördüncü eflitlik tümevar m varsay m d r. Gerisi hesap.) fiimdi de l nin tek oldu unu varsay p l = k + yazal m ve hesaplayal m: J( m+ + l)= J( m+ + k + ) = J(( m + k)+) = J( m + k) + = (k + ) + = l +. (irinci eflitlik l = k + den, üçüncü eflitlik yukarda buldu umuz J(n + ) = J(n) + eflitli inden ç kar. Dördüncü eflitlik tümevar m varsay m d r. Gerisi hesap. 3