Prof.Dr. Nurettin UMURKAN 1 / 89. Nümerik Analiz 2010/11. Güz Teknoloji, Algoritma ve Bilgisayar Tarihi

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Prof.Dr. Nurettin UMURKAN 1 / 89. Nümerik Analiz 2010/11. Güz Teknoloji, Algoritma ve Bilgisayar Tarihi"

Transkript

1 Nümerk Alz / Tekoloj, Algortm ve Blgsr Trh Tekoloj s gereksmler le şekllemektedr. Đs doğduğu d tbre şmıı sürdürmes ç br şeler öğreme çbsı çdedr. Bölece slr e düşüceler ve e fkrler gelştrr. Bu d e blgler ve bu bğlı olrk e tekolojler doğmsı ede olur. Đslr blmsel rştırmlrı doğsı gereğ merk edp sorgulmlrı soucu ptıklrı çlışmlrl med getrrler. techoslogos tekoloj Ltce krşılığıdır. teche pmk, logos blmek lmı gelmektedr. Alet ve edevtı pılmsı ç gerekl ol blg ve eteektr. S e belrg öges tekoloj üreteblmektr. Uluslr tekoloj üretp, blg ürü tsrlmd kullbldğ ölçüde tcrette rekbet üstülüğüü sğlblr. Bu üzde ülkeler tekoloj üretmes gelşmşlklerle doğrud lgldr. Đs şmıı kökte etklee ve olrı dh rht ve güvel şmlrıı sğl usurlr blg ve ou tekk brkm ol tekolojdr. Đs şdıklrıd, gözlemledklerde, ptıklrıd, hssettklerde, stek ve gereksmlerde rrlrk şmıı kollştırck, kedse rdımcı olck usurlrı üretmştr. Đs blgs, becers ve merkıı krıştırrk rç-gereç, slh, brık, trım rçlrı vb. gereksmler çevrelerde bulu kl, tş, tht gb mlzemelerde pmıştır. Đs gereksmler, tekoloj gelşmesde e öeml rolü omıştır. Đs, doğı slştırdığı evresel htçlrı değl, kedmze t olrk lgıldığımız htçlrı krşılmk mcıl tekoloj gelştrr. Prof.Dr. Nurett UMURKAN / 89

2 Nümerk Alz / Blgsrı trh güümüzde klşık 5 see evvele dmktdır. Blgsr trh blg şlem, hesplm ve depolm şlemler üzerde gelşme göstermştr. Buu ede esk çğlrd ber, bşk br değşle slrı brbrler le ol lşklerde tbre sözü edle şlemler de gelşme göstermştr. Bu lşkler bşıd tcr lşkler gelmektedr. Üretc, ürü mktrı, üretm lı, üretm mlet vb., tüketc lım gücü gb değşkeler, tcret etklee ve blmes gereke öeml blglerdr. Ack bütü bu değşkeler sürekl olrk değşr. Bu edele de tcretle uğrşlrı blgsrı gelşmde de öeml ere shptr. Blgsrlr lk olrk hesplm şlem üzere gelştrlmşlerdr. Đlk hesp mkes ellerd. Zml ı dl kouşm tüccrlr ve dğerler rsıd el-sı dl gelşt. Sısl rkmlr o prmğımızı şıc e ötemler rştırılm bşldı. Çkıl tşlrıl sılrı bell gruplr rılmsı "Çkıl Tşı Yötem" ded. Am bu ötemle ş çoğuu s pıordu. Bu sırlrd tşıblr br çkıl tşı let pm düşüces ort çıktı. Bud Abküs gelştrld. Ç, Esk Yu ve Rom'd değşk tür bküsler kullıldı. Güümüzde de As'ı brçok öresde Abküs kullılmktdır. Abküs, çlışm mtığı olrk lk blgsr olrk teledrleblr. Abküs; çğdş hesp mkeler ve blgsrlrı tsı sıl hesp gıtıdır. Abküs'te mç; toplm, çıkrm, çrpm ve bölme pmktır. Bblller' buluşu ol bküs, üzıllr bouc tcrette büük öem tşımıştır. Abküsü temel Grt ve Mke'e Prof.Dr. Nurett UMURKAN / 89

3 / dır. Đlk zılı rkmlr 5 ıl öce Mısırlılr ve Sümerlerde görülüor. E esk ve gı hesp mkes el kullımı se Mısır'd Esk Yu', Avrup, Đslm Ülkeler, Ç, Hdst ve Amerk' kdr br çok erde görüleblr. Çce sm su ph ol Çller kulldığı Abküs, toplm çıkrm şlemler ı sır çrpm bölme ve kök lm gb dğer şlemler de pılmsı olk sğlr. Nümerk Alz Abküs- Abküsü gelştrlerek kullımı M.S. e kdr devm etmştr. Prof.Dr. Nurett UMURKAN / 89

4 Nümerk Alz / Abküsü gelştrlmes ve hesplm şlemlerde dh sıklıkl kullılm bşlmsıı rdıd mtemtğ oldukç kıd lgledre ve gelecek ıllrd blgsr mtığıı oluşturck ol sısı bulurk kullılm bşldı. ı Hrezm trfıd keşfedlmes odlık sı sstemler ve ler mtemtğ de gelşmesde e öeml p shptr. Bugü, bütü Btı düsıd sıfırı ltmk ç kullıl "zero" kelmes Arpç "sıfır " kelmesde gelor. Algortm kvrmı lk def, ıllrı rsıd Bğdt t şmış, mtemtk, stroom ve coğrf llrıd mühm çlışmlr mz tmış, düc ülü âlm Hrezmî trfıd kullılmıştır. Hrezmî? Hsbü l-cebr ve l-mukbele? sml eser, ı zmd lk lgortm koleksouu oluşturur. Eser Lâtce tercümes Avrup d d büük dkkt çekmştr. Avruplılr, Prof.Dr. Nurett UMURKAN 4 / 89

5 Nümerk Alz / lgorzm ı Arpç sılrı kullrk rtmetk problemler çözme kurllrı mââsıd kullmışlr, term dh sor lgortm döüşmüştür. Bşlgıçt mtemtğ br dlı olrk gelşe lgortm, bell br problem çözmek ve br fl gerçekleştrmek ç tkp edle ol, şlemler dzs, bsmklr kümes ve slrı problemlere getrdkler değşk çözüm metotlrı olrk trf edlr. Solu sıdk bu şlemler, dımlr ve bsmklr br oktd bşlr ve trf edlmş br etce durumud solır. Güümüzde lgortm dedğde se, dh çok blgsr progrmlrıd kullıl, sırlm, rm vb. şlemlerde tkp edle ollr kl gelmektedr. Blgsrlrı her ld problem çözmede kullılmsı prlel olrk, lgortmlr oldukç gılşmıştır. Güümüzde fzk, km, boloj, müzk dâhl brçok shd lgortmlr kullılmktdır. 5. d tbre düı tcr, kültürel, poltk ve sker merkez Avrup km bşlmıştır. Blmsel çlışmlr Avrup d odklm ve ılm bşlmıştır. Avruplı blm dmlrı çeştl llrdk blmsel çlışmlr ç, gderek rt br oğulukt rtmetksel şlemler le lgleorlrdır. 7. ı lk rısıd (6 Đskoç Mtemtkç Joh Nper hesplm şlemler çok kıs sürede pble ve her br cm uzuluğud çubukt oluş, Nper s Rods or Boes Nper Çubuklrı ve Kemkler sm verdğ rcı gelştrd. Prof.Dr. Nurett UMURKAN 5 / 89

6 Nümerk Alz / Nper Çubuklrı (Kemkler Nper gelştrmş olduğu bu rç çrpm şlemler çok dh hızlı ve bst br bçmde gerçekleştrlmes sğlıordu. Özellkle brde çok bsmklı sılrl pıl çrpm şlemlerde oldukç rrlı br rçtı. Öreğ 6 le 6 sısıı çrpımıı verelm. Öcelkle 6 ve rkmlrıı üzerde buluduğu çubuklr kouor. Çrpılck ol rkmı (6 çubuğu le ı hzd ol rkmlr çprz olrk toplıor ve souç buluuor dr. Prof.Dr. Nurett UMURKAN 6 / 89

7 Nümerk Alz dr. / 67 de Joh Nper, bölme çıkrm şlem mtı mtığı le, çrpmı ı se toplm şlem mtığıı le pıldı pıldığıı kıtlmıştır. Prof.Dr. Nurett UMURKAN 7 / 89

8 Nümerk Alz / 6 ılıd Wllm Oughtred, logrtmk hesplmlrd kullılmk üzere Slde Rule (Sürgülü cetvel u gelştrmştr. Bu rç d Joh Nper gelştrdğ rç gb çrpm ve bölme şlemler kollştırmk mcıl gelştrlmştr. Sürgülü cetvel, öceler çok krmşık ve zor kullımlı br rç olrk kbul edlmese rğme dh sorlrı tüm mtemtk şlemlerde oğu olrk kullıl br rç hle gelmştr. Oughtred, mtemtkte kullıl brçok sembolü de öcüsü olmuştur. Çrpm şlem ç, bölme şlem ç : sısl krşılştırmlrd <, > gb semboller gelştrmştr. Joh Nper Wllm Oughtred Prof.Dr. Nurett UMURKAN 8 / 89

9 Nümerk Alz / 64 ılıd Wlhelm Schckrd lk kez dört şlem br rd pble hesp mkes Alm dk Hedelberg Üverstesde gelştrd. Schckrd gelştrmş olduğu rç le stroom, mtemtk, l ölçümler, üz ölçümü hesplm ve hrtcılık şlemlerde kullmıştır. Gelştrmş olduğu chz oldukç krmşık ve herkes kollıkl kullmcğı br çlışm ssteme shpt. Prof.Dr. Nurett UMURKAN 9 / 89

10 Nümerk Alz / Wlhelm Schckrd Schckrd ı 64 de gelştrdğ hesp mkes tslğı 957 de ede dz edle Schckrd ı hesp mkes 64 ılıd Frsız blm dmı Blse Pscl, kedsde dh öce gelştrlmş ol hesplm mkeler de celeerek Arthmetc Mche - Pscle dıl tı br hesp mkes gelştrmştr. Blse Pscl, br verg dresde çlışmktdı. Ypmış olduğu ş, tekrrlı şlemler çbuk ve güvelr br bçmde pılmsıı gerektrordu. Pscl ş dh kol ve hızlı pmk mcıl br hesplm mkes gelştrd. Toplck Prof.Dr. Nurett UMURKAN / 89

11 Nümerk Alz / sılr telefo hzesdek gb çevrlerek belrleordu. Bu şlem rç çersdek dşller hrekete geçror ve souçlr br pecerede zleordu. Arıc, Pscl üçge de rt blm dmıdır. Blse Pscl Pscle (Sılrı grldğ ve hesplmlrı okuduğu kpğı üstü Pscle (Đç görüüm Prof.Dr. Nurett UMURKAN / 89

12 Nümerk Alz / Pscl Üçge (Pscl Pscle ı kullımı Trgle Nümerk Alz Amcı Mtemtksel problemler çözümleeblmes ç ugu ve e klşım vere ötemler bulmk, rıc bulrd lmlı ve fdlı souçlr çıkrmktır. Çözümü stee problem tımlmk ve souc vrck ötem sptmk geellkle ı blm dmıı şdr. Bu edele problem tımlı br ümerk lzc shp olduğu blgler e zı shp olmsı gerekr. Problem çözümüde br tkım şmlrd geçlerek souc vrılır. Bu şmlrd lk problem formüle edlmesdr. Fzksel br olı mtemtksel model formüle edlmesde ümerk lzc, problem blgsr le çözümleeceğ gözöüde buludurmlıdır. Formülso pıldıkt sor problem çözümü ç ht lz le brlkte ümerk ötem e klşıml souç elde edlecek şekldee seçlmeldr. Nümerk çözüm ötem, Prof.Dr. Nurett UMURKAN / 89

13 Nümerk Alz / belrtle d stele hssslıktk klşıml ve bell sıd rdışık tekrr şlemlerde sor mtemtksel probleme çözüm getrmeldr. Nümerk çözüm ötemler geellkle öcede sptmış rtmetk ve mtıksl şlemlerde oluşur. Bu şlemler tümüe çözüm lgortmsı der. Algortm bell sıd şlemlerde sor probleme çözüm getrr. Problem blgsr le çözümüde üçücü şm, lgortmı blgsrd çözümüü sğlck progrmlm şmsıdır. Progrmlm; C, Pscl, Bsc, Cobol, Fortr gb blgsr dllerde brs le pılır. Nümerk Alzde Problem Türler:. Yklşık hesplmlr Eterpolso Đtegrso Türev ve dfersel Serler toplmı Eğr Udurulmsı. Foksoel Deklemler Ad Dfersel Deklemler Kısm Türevl Dfersel Deklemler Mmzso Đtegrl Deklemler Bezeşm (Smulto. Cebr Prof.Dr. Nurett UMURKAN / 89

14 Nümerk Alz / Kök Bulm Leer Deklem Sstemler Leer Olm Deklem Sstemler 4. Mtrs Problemler Leer Deklemler Determt Br Mtrs Đvers Öz değer ve öz vektörler Ver Htlrı Htlr Hesplmlrd kullılck verlerde bulu htlrdır. Ölçme le elde edle verlerde, ölçme htsıd ve letler ölçüm hsssetler kklı htlr med gelmektedr. Kesme Htlrı Hesplmlrd kullıl sosuz terml serler bell br erde keslmes ve ger kl termler tılmsı soucud oluş htlrdır. Π, e ve 7 gb büüklükler solu sıd bsmkl tm olrk fde edlemezler. Π Prof.Dr. Nurett UMURKAN 4 / 89

15 Nümerk Alz / Şeklde sosuz kdr gder. Sısl şlemler solu sıd rkml pıldıklrı ç bu tp sılr hçbr zm şlemlerde tm olrk fde edlemez. e!!!! Öreğ ukrıdk Mclur Sers çılımıd herhg br değere krşılık gele e değer, sosuz sıd term kullılrk hesplmmsı edele, ck belrl termler keslerek hesplblrler. Yuvrlm Htlrı Bu tür htlr geellkle odlık zılımı so hes etkler. Blgsrlr kedse ver olrk grle d şlem soucu elde edle sılrı sıırlı sıd bsmklı çlışır. Bzı rkmlrı uvrlm le bsmk sısıı zltılmsı, uvrlm htsı ede olur. Mutlk Ht Gerçek değer ol br büüklüğü klşık değer p se, -p frkı p klşık fdes htsıı gösterr. p mutlk htsı (p, p ( p Prof.Dr. Nurett UMURKAN 5 / 89

16 Nümerk Alz / p sısıı sısıı (p kdr br ht le temsl etmes, [ ( p ] p şeklde fde edlr. Arıc mutlk ht ε(p şeklde de gösterleblr. Mutlk ht fdesde, ht sısl olrk belrler ck klşım hssslığı çısıd fkr vermez. Öreğ, A 9999[.] B 9[.] sılrı celedğde her k sı ç pıl mutlk ht. dr. Brc sı büük olduğud, bu sıdk ht kce göre öemszdr. Bu edele ölçümü ve hesplmı hssset ölçüle d hespl büüklüğe de bğlıdır. Bğıl Ht Yklşık değer p ol br büüklüğü mutlk htsı (p se, p ( p p ε % şeklde fde edlr. ε p e klşımı (p üzde bğıl htsı der. ε t se gerçek ( bğıl üzde htsı olrk, le fde edlr. t ( p ε % Sısl ötemlerdek zorluklrd br de, gerçek değer hkkıd blg shb olmd ht thm pmktır. Prof.Dr. Nurett UMURKAN 6 / 89

17 Nümerk Alz / Đtertf hesplmlr p sısl ötemlerde ht lz geellkle so elde edle klşım le br öcek klşım rsıdk frk olrk pılır. Bu durumd bğıl üzde ht, so klşım - br öcek klşım ε % so klşım le fde edlr. Çoğu zm hesp pılırke htı şret le lglelmez, ck üzde htı mutlk değer öcede verle ε s tolers üzdesde dh küçük olup olmdığı bkılır. ε < ε s Bu sğlırs soucu öcede belrlemş kbul edleblr ht sıırlrı çde kldığı kbul edlr. Solu Frklr Solu frklr hesbı ümerk lzde geş kullılm lı shptr. Mtemtksel problemler değşkeler sürekl foksolrı olrk verlr ve bu foksolr kplı br formülle tımlır (öreğ; f ( 5 6. Bğımsız değşkeler verlmş değerler ç foksolrı değerler hesplblr. Br bşk şeklde de fokso, bğımsız değşkeler her br değere krşılık gele değerler br cümles (öreğ;, ;, ;, olrk tımlblr. Bu durumd sürekllk rlığıd herhg br oktd formülle tımlm oktur. Solu frklr kullılrk, rlığı çde herhg br oktd foksou değer ç br klşım bulmk mümküdür. Prof.Dr. Nurett UMURKAN 7 / 89

18 Nümerk Alz / Đler Frklr Br f ( foksou verldğde, f ( f ( h f ( şeklde tıml şlem ptır sembolüe ler frk opertörü der. Burd h, frk rlığı, dım olrk dldırılmıştır. f ( d fdese f( foksouu brc mertebede lere frkı der. f( foksouu kc mertebede lere frkı, f ( şeklde gösterlr ve f ( [ f ( ] [ f ( h f ( ] şeklde fde edlr. E geel hlde, f ( f ve f ( kh f k le gösterlmek üzere f ( ( şeklde tımlır. f f Br Polomu Frklrı Br polomu,,,..., gb değer verlmş olduğu kbul edlrse, bu değerler rdımıl oluşturul f Prof.Dr. Nurett UMURKAN 8 / 89

19 Nümerk Alz / frklrı verle polomu brc derecede ler frklrı der. Brc derecede ler frklr le, şeklde elde edle frklr verle polomu kc derecede ler frklrı der. f ( polomud kh döüşümü pıldığıd ler k le gösterls. Y k f ( kh olur k bu durumd, k k frkı k ıcı brc mertebede ler frk olrk dldırılır. k,,,... lıırs rdışık değerler ç foksouu ler frk tblosu şğıdk gb hesplır. f ( h f ( h f ( h f ( h h h 4h f ( 4 4 h 4 k Prof.Dr. Nurett UMURKAN 9 / 89

20 Prof.Dr. Nurett UMURKAN / Nümerk Alz / Bölümüş Frklr,,..., değerler ç sırsıl f(, f(,..., f( değerler l br fokso ç f( herhg k rdışık değer f( ve f( j se brc bölümüş frk, j j j f f f ( (, ( formülü le tımlır. Bezer şeklde f( k te brc bölümüş frkı f(, j ve f( j, k se kc bölümüş frk, k j k j k j f f f, (, (,, ( olur. Bölümüş frklr bşk otsolrl d gösterleblrler. Öreğ, f(, j, k ere [, j, k ] gb. Br bşk örek olrk üçücü derecede f(,,, bölümüş frkıı lırsk,,, (,, (,,, ( f f f formülü le hesplır. ( f foksou ç bölümüş frk tblosu,

21 Nümerk Alz / L f f f f ( ( f (, ( f (,, f (, f (,,, ( f (,, f (, L ( L f L L şeklde fde edleblr. ÖRNEK: foksouu,,, 4, 7 değerler ç bölümüş frk tblosuu oluşturuuz. Prof.Dr. Nurett UMURKAN / 89

22 Nümerk Alz / 4 7 f ( Prof.Dr. Nurett UMURKAN / ENTERPOLASYON Mtemtksel problemler değşkeler sürekl foksolrı olrk fde edleblr. Bu foksolr kplı br formülle tımlır ve bğımsız değşkeler değerler ç foksolrı değerler hesplır. Foksolr, bğımsız değşkeler her br değere krşılık gele fokso değerler br cümles olrk d tımlblr. Bu durumd kplı br formül verlmemştr. Solu frklr kullılrk, değşkeler herhg br r değere krşılık gele fokso değerler ç br klşım bulublr. Prtkte krşılşıl problemler çoğuu kplı br formül şeklde tımlmk mümkü se de, rık oktlr cümlesde solu frklr kullılrk çözüm elde etmek dh kol olduğu ç dh fzl terch edlr. Ver oktlrı rsıd r değer hesbı gereksm problem fe ve mühedslkte sıkç krşılşılır. Öreğ, br b ç blgsrlı eerj kotrol sstem dzıd grş vers olrk, hergü bd med gele tpk ısı değşm gerekeblr. Örek ısı değerler rık zm oktlrıd b çde ölçülmeldr.

23 Nümerk Alz / Buul brlkte eerj kotrol sstem blgsr progrmı ç, örek olrk stlk rtışlrl ısı ölçümler gerekeblr. Bu problem çözme br olu ölçüle ısı değerler, ölçüm zmlrı rsıdk r değerler ç br eğr le trf edlmesdr. Bütü eterpolso lgortmlrıı temel, ver çzelges br lt kümes ç bzı foksolr d eğr tpler udurmktır. Eterpolso lgortmlrıı eğrler, gerçek fokso eğrlerde frklıdır. Geel lmd eterpolso, blmee br f ( foksouu,,,..., gb rık oktlrd ble f (, f (, f (,..., f ( değerler kullrk, bu foksou dh bst ve ble br P ( foksou le fde edlmes şlemdr. Bu P ( foksou, eterpolso foksou dı verlr. Eterpolso foksouu seçmde, bşlıc k kullılır. teorem. Eğer f ( foksou [ b], rlığıd sürekl se, eterpolso foksou olrk polom kullılblr.. Perodu π ol herhg br sürekl fokso ç P ( cos k k k k b k sk şeklde solu br trgoometrk ser eterpolso foksou olrk kullılblr. Prof.Dr. Nurett UMURKAN / 89

24 Prof.Dr. Nurett UMURKAN / Nümerk Alz / Leer Eterpolso Eterpolso foksou düz br çzgde oluşur. Leer eterpolso foksou, ( b b P şeklde fde edleblr. Burd k det blmee ktsı (b, b bulumktdır. Ktsı değerler elde etmek ç e z k det değşke değer ve bu değşkelere krşılık gele gerçek fokso değerler blmeldr. Ble değşke değerler ve, fokso değerler de sırsıl f( ve f( olsu, deklemde, f( ve, f( değerler kullılrk, ( ( b b f b b f elde edle k blmeel k deklem çözülerek f f f b ( ( ( ( ( f f b deklem ktsılrı bulurk, f f f f f P ( ( ( ( ( ( elde edlr.

25 Nümerk Alz / ÖRNEK : f ( foksouu değerler tblod verlmştr.. ç eterpolso foksouu değer bullım. 4 f( Burd ve ç ve değerler, f( ve f( ç de 8 ve 7 değerler tblod lıır. (5 deklem kullılrk, P( olur ve leer eterpolso foksou P( 9 olrk elde edlr. Eterpolso foksou. küpüü.8 olrk bulmuştur. Gerçek değer olrk. küpü.648 dr. Eterpolso htsı.5 d %.8 olrk gerçekleşt. Aı deklemde 4 ç eterpolso değer % 8 ht le 46 olrk hespldı. Bu durum şeklde de görülmektedr. Leer eterpolso foksou elde edlrke dm hesplck değer rd kldığı ble sıır değerler kullılmlıdır. Sıır değerler dışıd kl bölge ç hespl fokso değerlerde ht orı rtblmektedr. Prof.Dr. Nurett UMURKAN 5 / 89

26 Nümerk Alz / Gregor-Newto Eterpolso Yötem Br f ( foksouu,, K gb rlıklrı eşt ol rık oktlrd ble f (, f (, K, f ( değerler vrs ve bu f ( foksouu, eterpolso foksou P ( vere Gregor- Newto eterpolso ötemde,. derecede br eterpolso polomu, P( ( ( ( 4 ( ( (... ( (...( ( (...( şeklde fde edlmştr. Burdk blmee ktsılrd ç, eştlkte ve P( ere sırsıl ve f ( değerler zılırs, ( f olrk elde edlr. blmee ktsısıı çözümü ç, eştlkte ve P( ere sırsıl ve f ( değerler zılırs, ( f ( f ( f şekldedr. Elde edle ve ç deklemde, f değerler le, f ( ( ( ( ( buluur, burd çözülerek, kullılrk şeklde elde edlr. f ( ( ( ( Prof.Dr. Nurett UMURKAN 6 / 89

27 Nümerk Alz / ÖRNEK : 4 f( Tblo değerler kullılrk Gregor-Newto ötemle kc derecede br polom ç, öce [, ] kullılrk, ( f ve [, 8] kullılrk deklemde, 8 7 ve so olrk [, 7] değer kullılrk deklemde, 7 7( 6 (( şeklde ktsılr elde edlr. Ktsılr ere zılrk, P ( 7( 6( ( olur. Deklem düzeledğde eterpolso polomu, P ( 6 6 olrk elde edlmştr.. ç P(.. 84 değer elde edlr. ÖRNEK : 4 o ve 7 o C sıcklık değerler rsıdk suu buhr bsıcı verler şğıdk tblod verldğ gbdr. T( o C P(mm Hg Eterpolso polomud 5 o C ç buhr bsıcı? Prof.Dr. Nurett UMURKAN 7 / 89

28 Nümerk Alz / Gregor-Newto fdesdek ktsılrı elde edlş şğıd tblod verlmştr. T( o C P(mm Hg Eştlk de ( (56 4 (56 4( (64 4 (64 4( (64 4(64 48( (7 4 (7 4( (7 4(7 48(7 56 Ktsılr ere zıldığıd, P( T ( T.7( T.7( T 4 5 4( T (7 4(7 48(7 56( ( T 4( T 48( T 48( T 56 4( T 56( T şekldedr. Eterpolso polomud 5 o C ç buhr bsıcı, P( 5. mm Hgolrk elde edlr. 5; % for : % mput(' deger: '; % (m; % ed % for : % kput(' deger: '; % (k; % ed (4; (48; (56; (464; (57; (55.; (8.7; (.8; (479.; (554.5; for : swtch cse 64 Prof.Dr. Nurett UMURKAN 8 / 89 48

29 Nümerk Alz / ((; cse (((-(/((-(; cse (((-(-(*((-(/(((-(*((-(; cse 4 (4((4-(-(*((4-(-(*((4-(*((4- (/(((4-(*((4-(*((4-(; cse 5 (5-(-(*((5-(-(*((5-(*((5-(- (4*((5-(*((5-(*((5-(; ((5-(*((5-(*((5-(*((5-(4; (5/; ed ed for : ed f(; fprtf(' %.8f\', f; >> Newto Đler Frk Eterpolso Formülü,,... gb rlıklrı eşt ol rık oktlrd ble f (, f (,..., f ( değerler ç eterpolso foksou P (, P s (... şeklde fde edlr. Burd, s ktsısı, bom ktsısı dı verlr ve s Prof.Dr. Nurett UMURKAN 9 / 89 s s( s ( s...( s! s

30 Prof.Dr. Nurett UMURKAN / Nümerk Alz / şekldedr. Đfde düzeledğde, (!...( (...! ( (! ( s s s s s s s s s P olur. Burd h s dr. Đfde de ere zıldığıd, (...!! h h h h h h P olur. Đfde düzeledğde, (!...( (...! ( ( (! ( ( ( h h h h h P olrk elde edlr. Aı fde, Gregor-Newto eterpolso ötem fdesde ktsılr ler frklr le ede düzeleerek,,,..., ktsılrı,!! ;! ; h h h h

31 Nümerk Alz / olrk elde edlr. Formülde ere zıldığıd, Newto Đler Frk Eterpolso Formülü elde edlr. Newto Đler Frk Eterpolso Formülü e geel lmd, P( ( ( ( ( ( ( h! h! h... (...(! h şeklde fde edlr. h ve se fde, P( (...!! (...(! ( ( ÖRNEK:.5 ç P(? Đler frk tblosu, 4 4 şeklde elde edlr. Tblo değerler formüle uguldığıd, P! ( ( Prof.Dr. Nurett UMURKAN / 89

32 Nümerk Alz / P( ( P (.5. 7 ÖRNEK: Yukrıdk tblou kullrk eterpolso polomuu ve oktsıdk değer buluuz. Đler frk tblosu, şeklde elde edlr. Tblo değerler formüle uguldığıd, P( ( ( ( h! h 4 P ( ( ( ( 4! P ( 4 4 P ( 6 clc 8; (; (; (; Prof.Dr. Nurett UMURKAN / 89

33 Nümerk Alz / (44; (55; (66; (77; (88; (; (8; (7; (464; (55; (66; (74; (85; for :- ((-(; e(; fprtf('%f\', e; ed for :- f(-(; b(f; f f~ fprtf(' %f\', f; ed ed for :- c(b(-b(; gc(; ed f g~ fprtf(' ed %f\', g; for :-4 k(c(-c(; gk(; f g~ fprtf(' ed ed for :-5 m(k(-k(; gm(; f g~ fprtf(' ed %f\', g; %f\', g; Prof.Dr. Nurett UMURKAN / 89

34 Nümerk Alz / ed for :-6 k(m(-m(; gk(; f g~ fprtf(' ed ed %f\', g; for :-7 r(k(-k(; gr(; f g~ fprtf(' ed %f\', g; ed >> Đler Frklr Eterpolso formülü sdece sbt dım rlıklı değşkel problemlere ugulblr. Adım rlığıı sbt olmdığı durumlrd, değşke döüşümü pılrk dım rlığı sbt hle getrldkte sor ötem ugulblr. Prof.Dr. Nurett UMURKAN 4 / 89

35 Nümerk Alz / ÖRNEK: Yukrıdk tblou kullrk eterpolso polomuu buluuz. Değşke dım rlığı sbt olmdığı ç, z foksou olrk tımlır. f(z z Đler frk tblosu, z şeklde elde edlr. Tblo değerler formüle uguldığıd, değşke ve fokso ç formül, P! ( ( Prof.Dr. Nurett UMURKAN 5 / 89

36 Nümerk Alz / olcktı, değşke z ve fokso ç ı fde f! ( z z z( z şeklde fde edlr. Tblo değerler ere zıldığıd, ( z z z( z f z z olrk örek problem ç değşke döüşüm fdes elde edlr. z değşke ve foksou ç ler frk tblosu, z Formül z değşke ve foksou ç düzeledğde, P( z z z( z z( z ( z!! 4 z( z ( z ( z 4! Prof.Dr. Nurett UMURKAN 6 / 89

37 Nümerk Alz / 6 4 P( z z z( z z( z ( z z( z ( z ( z!! 4! prtez çrpımlrı pılrk, P ( z z 4 z r eterpolso foksou elde edlr. Değşke döüşüm fdes ere zıldığıd değşkee bğlı eterpolso polomu, Br ( ( ( ( ( P P olrk elde edlr. Lgrge Eterpolso Formülü f foksouu,,,... gb (rlıklrı eşt ol ve f f, f,..., f olm rık oktlrd ble (, ( ( ( değerler vrs ve bu f ( foksouu, eterpolso foksou P ( vere Lgrge Eterpolso Formülü, P( L ( f ( şeklde verlr. P ( L ( f ( L ( f ( L ( f (... L ( f ( geel fdes kullılır. Burd L, Lgrge eterpolso ktsılrı, L ( j j fdes le tımlmıştır.. derecede L ktsısı, Prof.Dr. Nurett UMURKAN 7 / 89 j j

38 Nümerk Alz / L ( ( le hesplır. ( ( (...( (...( ( (...( ÖRNEK Aşğıd tblod verle oktlrd geçe polomu buluuz. f( 4 Prof.Dr. Nurett UMURKAN 8 / 89 Bu problem ç deklemde, P ( L ( f ( L ( f ( L ( f ( elde edlr. Burd Lgrge eterpolso ktsılrı, ( ( L ( ( ( ( ( L ( ( ( ( ( L ( ( ( şekldedr. Sısl değerler P ( fdesde ere zılırs, ( ( ( ( ( ( P ( 4 ( ( ( ( ( ( elde edlr. Bu fde düzeledğde eterpolso polomu olrk P buluur. (

39 Nümerk Alz / ÖDEV f ( s( foksouu bzı değşkeler ç değerler şğıd o tblod verle gbdr. s eterpolso değer buluuz. f( ÖRNEK Aşğıd tblod verle oktlrd geçe Lgrge Eterpolso polomuu ç değer, 4 5 f( Lgrge eterpolso formülü, P L ( f ( L ( f ( L ( f ( L ( f ( L4 ( f ( şeklde düzeler, bu fdedek L( ktsılrı, ( ( ( ( 4 L ( ( ( ( ( 4 ( ( ( 4( 5 L (. ( ( ( 4( 5 ( 4 ( ( ( ( 4 L ( ( ( ( ( 4 ( ( ( 4( 5 L (.5 ( ( ( 4( 5 ( ( ( ( 4 L ( ( ( ( ( ( ( ( 4( 5 L (. ( ( ( 4( 5 4 Prof.Dr. Nurett UMURKAN 9 / 89

40 Nümerk Alz / ( ( ( ( 4 L ( ( ( ( ( 4 ( ( ( ( 5 L (.5 (4 (4 (4 (4 5 ( ( ( ( L4 ( ( 4 ( 4 ( 4 ( 4 ( ( ( ( 4 L 4 (. (5 (5 (5 (5 4 olrk buluur. Bölece eterpolso polom değer, P( (.(4 (.5(6 (.( (.5(48 (.(94. clc put(' deger: '; for : mput(' deger: '; (m; ed for : kput(' deger: '; (k; ed b; ; pp; for : m(; k(; for j: f ~j m( m(*(b-(j; k(k(*((-(j; ed ed s(m(/k(; pppps(*(; ed for : ls(; fprtf('\ L( %6.f',l; Prof.Dr. Nurett UMURKAN 4 / 89

41 Nümerk Alz / ed fprtf('\ p( %.f',pp Bölümüş Frklr Eterpolso Formülü,,..., değerler ç sırsıl f(, f(,..., f( değerler l br fokso ç eterpolso polomu P(, bölümüş frklr le, P( f ( ( f (, ( (...( formülü le tımlır. ( f ( (,,..., f (,,... ÖRNEK:.... cos ç eterpolso polomu değer buluuz. f( P(..54 (..(.867 (..(..(.5 (..(..(..(..457 Prof.Dr. Nurett UMURKAN 4 / 89

42 Nümerk Alz / ÖRNEK: X.... cos ç eterpolso polomu değer buluuz. f( P(..456 (..(.9 (..(..(.5 (..(..(..(..457 clc put(' deger: '; for : mput(' deger: '; (m; ed for : kput(' deger: '; (k; ed for :- (,((-(/((-(; e(,; fprtf('%f\', e; ed for :- b(,((,-(,/((-(; eb(,; fprtf(' %f\' fprtf('%f\', e; ed for :- Prof.Dr. Nurett UMURKAN 4 / 89

43 Nümerk Alz / ed c(,(b(,-b(,/((-(; ec(,; fprtf(' %f\' fprtf('%f\', e; for :-4 d(,(c(,-c(,/((-(4; ed(,; fprtf(' %f\' fprtf('%f\', e; ed E Küçük Kreler Yötem Eterpolso foksou P( gerçek fokso f( ck belrl br rlıkt tımlr. Bzı hllerde gerçek fokso le eterpolso foksou verle rlık dışıd brbrde çok frklı olblr. Eterpolso le elde edle eğr, gerçek foksou değşme çok kı olmlıdır. Med gele frk le gerçek fokso değer, P( ε fdes le verleblr. ε, ht mktrıdır. Fzksel ollrı çoğud k ve dh fzl brbre bğlı değşke buluur. Br olı deesel soucuu ltk celemes olı formüle bğlmsı le mümküdür. Öreğ, zm göre değşe br old çeştl zmlrd pıl ölçümlerde f( değerler elde edlmş olsu. Gözlemlee olı doğrusl br değşm göstermes bekleors beklee doğru deklem A B olrk fde edlr. Bu durumd j. c gözlemdek j değerde hespl j A B j değer le gözlemde Prof.Dr. Nurett UMURKAN 4 / 89

44 Prof.Dr. Nurett UMURKAN / Nümerk Alz / elde edle gerçek değer rsıdk frkı mmum olck şeklde br doğru deklem bulmk sterse,. c gözlemdek frk, ( B A d şeklde fde edlr. Ack bu frk ( ve ( olbleceğe göre teork foksou göstereceğ doğru e ugu doğru olmblr. Bu edele frklr ere frklrı kreler toplmıı mmum olmsı şrtıı sğl foksou belrlemek gerekr. S d... S d d d d ( ( S B A Bu fde de S, A ve B e bğlı olrk değşecektr. S A ve B e göre kısm türevler lııp sıfır eştlerse, A S S B B A B A ( A S B A B A B ( S B A mtrs elde edlr ve

45 Prof.Dr. Nurett UMURKAN / Nümerk Alz / A B B B A A şeklde mtrs çözülerek A ve B ktsılrı elde edlr. ÖRNEK: f( Tblod geçe doğru deklem A ve B ktsılrıı e küçük kreler ötemle buluuz. B A

46 Nümerk Alz / A 46 B 88. clc 6; t; t; t; t; 6 A 66. B 47. A.89 B (; (; (4; (46; (58; (6; (; (5.; (9; (4; (57; (6; for : tt(; tt(; tt(^; tt(*(; % tsum(; % tsum(; ed fprtf('\ E %6.f',t; fprtf('\ E %.f',t; fprtf('\ E %.f',t; fprtf('\ E %.f',t; (t*t-t*t/(*t-t^; Prof.Dr. Nurett UMURKAN 46 / 89

47 Prof.Dr. Nurett UMURKAN / Nümerk Alz / b(*t-t*t/(*t-t^; fprtf('\ %.6f',; fprtf('\ b %.6f',b; E. E 66. E. E b >> E Küçük Kreler Yötemle Polom Yklşımı Verle oktlrd f(abc prbolü geçrlmek sterse ht kreler toplmıı mmum olmsı ç (( S C B A olmlı, C B A ( A S C B A ( B S C B A ( C S C B A 4 ÖRNEK:

48 Nümerk Alz / Tblod geçe f(abc deklem A, B ve C ktsılrıı e küçük kreler ötemle buluuz A 888 B 64 C clc 5; t; t; t; t; t; t; t4; A - B C (; (; (5; (46; (58; (; (6; (; (4; Prof.Dr. Nurett UMURKAN 48 / 89

49 Nümerk Alz / (56; for : tt(; tt(; tt(^; tt(^; t4t4(^4; tt(*(; tt(^*(; ed fprtf('\ fprtf('\ fprtf('\ fprtf('\ fprtf('\ fprtf('\ fprtf('\ E %.f',t; E %.f',t; E %.f',t; E %.f',t; E4 %.f',t4; E %.f',t; E %.f',t; d[ t t;t t t;t t t4]; [t t t;t t t;t t t4]; bb[ t t;t t t;t t t4]; cc[ t t;t t t;t t t]; ddet(d; det(; bbdet(bb; ccdet(cc; /d; bbb/d; ccc/d; fprtf('\ fprtf('\ fprtf('\ %.6f',; b %.6f',b; c %.6f',c; E 4. E. E 8. E 888. E4 64. E 86. E b. c. Prof.Dr. Nurett UMURKAN 49 / 89

50 Nümerk Alz / E Küçük Kreler Yötemle Leer Olm Foksolr Verle değerlerde leer br fokso geçrlemors foksolrı f( e b ve f( b gb ktsılr bkımıd leer olm şeklde tımlblr. Leer olm foksolrı çözümü güç olduğud logrtmlrı lırk leerleştrme şlem pılır. ÖRNEK: 4 5 f( Tblod geçe b deklem ve b ktsılrıı e küçük kreler ötemle buluuz. b l l l b Y A B X X X X A B Y X Y A B l l l l Prof.Dr. Nurett UMURKAN 5 / 89

51 Nümerk Alz / 74 A. B clc 5; t; t; t; t; 88.8 (; (; (; (44; (55; (5.; (56.68; (86.87; ( ; (55.4; for : ed k(; (log(k; tt(; tt(; tt(^; tt(*(; A B A.6498 B.99 e A b e B b. 5.. fprtf('\ fprtf('\ fprtf('\ fprtf('\ EX %.f',t; EY %.f',t; EX %.f',t; EXY %.f',t; (t*t-t*t/(*t-t^; bb(*t-t*t/(*t-t^; Prof.Dr. Nurett UMURKAN 5 / 89

52 Nümerk Alz / fprtf('\ fprtf('\ ep(; bep(bb; A %.6f',; B %.6f',bb; fprtf('\ fprtf('\ %.6f',; b %.6f',b; EX 4. EY EX 54. EXY A B b. >> ÖRNEK: 5 f( Tblod geçe b deklem ve b ktsılrıı e küçük kreler ötemle buluuz. b l l b l Y A B X X X X A B Y X Y l l (l A B l l l l l (l l l Prof.Dr. Nurett UMURKAN 5 / 89

53 Prof.Dr. Nurett UMURKAN / Nümerk Alz / B A B A A.9995 B e A.49 b B b ÖRNEK: f( 6 Tblod geçe e b deklem ve b ktsılrıı e küçük kreler ötemle buluuz. e b l l b l e Y A B X X Y Y B A X X X B A l l l l

54 Nümerk Alz / 6 A B A 5 B A B e A b B b e E Küçük Kreler Yötemle Trgoometrk Foksolr b cos s b cos s... b cos s... cos b s Verle oktlrd cos b s trgoometrk foksou geçrlmek sterse ht kreler toplmıı mmum olmsı ç olmlı, S S S b S ( ( ( (( cos b s cos cos s b cos cos s Prof.Dr. Nurett UMURKAN 54 / 89 b s s b cos s cos s

55 Prof.Dr. Nurett UMURKAN / Nümerk Alz / b s cos s s cos s s cos cos cos s cos ÖRNEK: f( Tblod geçe b s deklem ve b ktsılrıı e küçük kreler ötemle buluuz. b s cos s s cos s s cos cos cos s cos b s s s s s s s b

56 Nümerk Alz /.5 b.999 clc 5; t; t; t; t;.5.9 s (; (; (4; (46; (58; (.5; (.56; (4.48; (45.98; (55.454; for : k(*p/8; s(k; tt; tt(; tt^; tt*(; ed fprtf('\ fprtf('\ fprtf('\ fprtf('\ Es %.5f',t; E %.5f',t; Es %.5f',t; Es %.5f',t; (t*t-t*t/(*t-t^; bb(*t-t*t/(*t-t^; fprtf('\ fprtf('\ o %.6f',; b %.6f',bb; Es.8564 E.6 Es.5 Es.887 Prof.Dr. Nurett UMURKAN 56 / 89

57 Nümerk Alz / o.54 b >> Cebrsel Fokso Kökler Bulumsı Newto-Rphso Yötem Br bşlgıç oktsı ( verlr. Eğer foksou tek br değer vr ve türev kol lıblors bu ötem terch edlr. Yötem essı seçle bşlgıç oktsıd fokso br teğet çzlerek teğet eğm o oktdk türeve eşt olduğuu kbul ede teoreme dır. Bulu değer brc terso olrk dldırılır. Ardışık k terso rsıdk frk verle br epslo sısıd küçük d eşt oluc kdr terso devm edlr. Bu şrt sğldığıd kök bulumuş olur. α f( teğet f ( f (. terso Prof.Dr. Nurett UMURKAN 57 / 89

58 Nümerk Alz / ε sğlırs kök dr. Eğer bu şrt sğlmıors terso devm edlr ve bşlgıç oktsı olrk lıır. f ( f (. terso Şrt sğl kdr terso devm edlr, k terso sısıı göstermek üzere, f ( k k k f ( k ÖRNEK: s deklem köküü bşlgıç oktsıı ve epslo -6 lrk çözüüz. EPS frkı kök olrk lıır. clc eps*^-6; ; ; for : ^-s(-; d*-cos(; -(/d; d-; deltbs(d; ; fprtf('\ fprtf('\ %5.7f',; delt %5.7f',delt; Prof.Dr. Nurett UMURKAN 58 / 89

59 Nümerk Alz / ed f delt<eps brek ed >> delt delt delt delt delt. Regul-Fls Yötem b b f( > f(b < f( < f(b > Yötem essı, <eğer sürekl br f( foksouu ve b oktlrıd değerler brbr ters şretls se f( sürekl foksouu (,b rlığıd e z br kökü vrdır> Prof.Dr. Nurett UMURKAN 59 / 89

60 Nümerk Alz / teoreme dır. Amç f( le f(b brleştre doğruu ekse kestğ oktı bulmktır. Bu okt, c c b bf ( f ( b c f ( f ( b le hesplır. c kök se f ( c ε şrtıı sğlmlıdır. Eğer bu şrt sğlmıors terso devm edlr. Kök r (,b rlığı drltılır. Öreğ, f f ( < ( c < c se kök r e rlık (c,b olur. Đkc tersod hesplck c, bf ( c c f ( b c f ( c f ( b le hesplır. Şrt sğlmıors, üçücü terso geçlr. f ( c > b c f ( c < Prof.Dr. Nurett UMURKAN 6 / 89

61 Nümerk Alz / Đse rlık (c,c olrk drltılır. Şrt sğl kdr terso devm edlr ÖRNEK: 5 7 deklem köküü (, rlığıd EPS. lrk buluuz. f( f( -9 < f(b f( 5 > c bf ( f ( b f ( f ( b f ( c.754 şrtı sğlmdı c kök değl, f ( < f ( c < edlr. c c bf ( c c f ( c f lrk (c, b rlığıd şleme devm f ( b ( b.7566 f ( c.6 şrtı sğlmdı c kök değl, f (c < f ( c < edlr. c c lrk (c, b rlığıd şleme devm c bf ( c c f ( c f f ( b ( b Prof.Dr. Nurett UMURKAN 6 / 89

62 Nümerk Alz / f ( c.5 şrtı sğlmdı o hlde c kök değl, f (c < c clrk (c,b rlığıd şleme devm f ( c < edlr. c bf ( c c f ( c f f ( b ( b f ( c4.5 şrtı sğlmdı o hlde c 4 kök değl, f (c4 < f ( c < edlr. c c c 4 bf ( c4 c4 f ( c f lrk (c 4, b rlığıd şleme devm f ( b ( b 5 4 ( c f şrtı sğldı o hlde c 5 kök. clc cler eps*^-; ; ; b; for : for :b ^-5*-7; ed f ; else bb; ed Prof.Dr. Nurett UMURKAN 6 / 89

63 Nümerk Alz / pb*-*bb; pd-bb; c(p/pd; c(; cc^-5*-7; fprtf('\ (,b %5.7f',,b; f *cc> ; else b; ed mccbs(cc; fprtf('\ c %5.7f',; fprtf('\ f(c %5.7f',cc; f mcc<eps brek ed ed >> (,b. (,b. c f(c (,b (,b. c.7565 f(c (,b.7565 (,b. c f(c (,b (,b. c.7478 f(c -.44 (,b.7478 (,b. c.7475 f(c Prof.Dr. Nurett UMURKAN 6 / 89

64 Nümerk Alz / Yrı Bölme Yötem Yötem essı, <eğer sürekl br f( foksouu ve b oktlrıd değerler brbr ters şretls se f( sürekl foksouu (,b rlığıd e z br kökü vrdır> teoreme dır. Amç le b ort oktsıı bulmktır. b c le hesplır. c kök se f ( c ε şrtıı sğlmlıdır. Eğer bu şrt sğlmıors terso devm edlr. Kök r (,b rlığı drltılır. Öreğ, f ( < c f ( c < se kök r e rlık (c,b olur. Şrt sğl kdr terso devm edlr. ÖRNEK: s.75 deklem köküü (.7,.9 rlığıd EPS. lrk buluuz. f( f(.7< f(b f(.9> b c.8 f ( c.64 şrtı sğlmdı o hlde c kök değl, Prof.Dr. Nurett UMURKAN 64 / 89

65 Nümerk Alz / f ( < f ( c < c.85 f (b > f ( c > c.85 f (c f ( c c 4 < <.875 c (c,b f ( c.8 b c c c (c,c f ( c.5 (c,c f ( c4.7 f (c f ( c 4 c 5 f (c f ( c 5 4 c 6 < <.847 < < c c c c 4 5 f (c 4,c ( c4.85 (c 5,c f ( c6.8 şrtı sğldı o hlde c 6 kök. clc cler eps*^-; ;.7; b.9; for : for :b Prof.Dr. Nurett UMURKAN 65 / 89

66 Nümerk Alz / s(-.75; ed f ; else bb; ed c((b/; c(; ccs(-.75; fprtf('\ (,b %5.7f',,b; f *cc> ; else b; ed mccbs(cc; fprtf('\ c %5.7f',; fprtf('\ f(c %5.7f',cc; f mcc<eps brek ed ed (,b.7 (,b.9 c.8 f(c (,b.8 (,b.9 c.85 f(c.84 (,b.8 (,b.85 c.85 f(c (,b.85 (,b.85 c.875 f(c (,b.875 (,b.85 c.8475 f(c (,b.8475 (,b.85 c f(c Prof.Dr. Nurett UMURKAN 66 / 89

67 Nümerk Alz / >> Regul-Fls Yötemde verle öreğ Yrı Bölme Yötemle çözülmes (,b. (,b. c.5 f(c.875 (,b.5 (,b. c.75 f(c (,b.5 (,b.75 c.65 f(c.794 (,b.65 (,b.75 c.6875 f(c.66 (,b.6875 (,b.75 c.7875 f(c.4978 (,b.7875 (,b.75 c.7475 f(c.7488 (,b.7475 (,b.75 c f(c.9855 (,b (,b.75 c f(c.9 (,b (,b.75 c f(c.66 (,b (,b c.7477 f(c.487 (,b.7477 (,b c f(c.748 (,b.7477 (,b c f(c.566 Prof.Dr. Nurett UMURKAN 67 / 89

68 Nümerk Alz / >> Leer Cebrsel Deklem Sstemler... c... c... c M A: ktsı mtrs X: blmee mtrs C: eştlk mtrs AXC Guss Elemso Yötem Bu ötemde A ktsı mtrs kok form getrlr. >>> ve A ktsılr mtrs üst üçge mtrs hle döüştürülür. Mtrs kullılrk çözüme gdlr. Çözüme mtrs e so stırıd bşlrk ere zm şlemle gere doğru blmeeler buluur. Prof.Dr. Nurett UMURKAN 68 / 89

69 Nümerk Alz /... c... c... c... c M... c M c c - hesplır. / buluur. - c deklemde ere zılır ÖRNEK: Deklem sstem çözüüz Arttırılmış ktsılr mtrs düzer. Prof.Dr. Nurett UMURKAN 69 / Đşlem: Mtrs. stırı le bölüür Đşlem: mtrs. stırı le çrpılır ve. stırd çıkrtılır. mtrs. stırı le çrpılır ve. stırd çıkrtılır.

70 Nümerk Alz / Đşlem: mtrs. stırı e bölüür. mtrs. stırı le çrpılır ve. stırd çıkrtılır Đşlem: mtrs. stırı e bölüür (-.489( bezer şeklde. deklemde.8 Prof.Dr. Nurett UMURKAN 7 / 89

71 Nümerk Alz / clc cler ; [ ; ; ]; for j: ed (,j(,j/(,; b(,j(,j*(,; (,j(,j-b(,j; b(,j(,j*(,; (,j(,j-b(,j; for j: ed (,j(,j/(,; bb(,j(,j*(,; (,j(,j-bb(,j; (,j(,j (,j(,j for j: ed (,4 (,j(,j/(, (,4-(,* (,4-(,*-(,* >> Prof.Dr. Nurett UMURKAN 7 / 89

72 Nümerk Alz / Bst Đterso Yötem (Jcob Đtersou c (... c (... M c (... ÖRNEK: Deklem sstem ε. lrk çözüüz. ( /8 ( /( 9 ( / 6 Prof.Dr. Nurett UMURKAN 7 / 89

73 Nümerk Alz / X 4 clc cler eps.; ; [8 ; -9 ; 6 ]; ; ; z; for j: (j((,4-(,*-(,*z/(,; (j((,4-(,*-(,*z/(,; zz(j((,4-(,*-(,*/(,; dbs(-(j; ebs((j-; fbs(zz(j-z; (j; (j; zzz(j; fprtf('%.6f\', ; fprtf('%8.6f\', fprtf('%6.6f\', ; z; Prof.Dr. Nurett UMURKAN 7 / 89

74 Nümerk Alz / f d<eps f e<eps f f<eps fprtf('%.fterso ss', j; brek ed ed ed ed terso ss >> Prof.Dr. Nurett UMURKAN 74 / 89

75 Nümerk Alz / Guss-Sedel Đterso Yötem ( k ( k ( k ( k c (... ( k ( k ( k c (... ( k ( k ( k c (... ÖRNEK: M 5 Deklem sstem ε. lrk çözüüz. ( 8 / 5 ( /(6 4 / 4 ( 8 ( k ( k Prof.Dr. Nurett UMURKAN 75 / 89

76 Nümerk Alz / clc cler eps.; ; [5-8; 6 ; 4 4]; ; z; for j: (j((,4-(,*-(,*z/(,; (j; (j((,4-(,*-(,*z/(,; (j; zz(j((,4-(,*-(,*/(,; dbs(-(j; ebs((j-; fbs(zz(j-z; zzz(j; fprtf('%.6f\', ; fprtf('%8.6f\', fprtf('%6.6f\', f d<eps f e<eps f f<eps ; z; Prof.Dr. Nurett UMURKAN 76 / 89

77 Nümerk Alz / fprtf('%.fterso ss', j; brek ed ed ed ed terso ss >> Prof.Dr. Nurett UMURKAN 77 / 89

78 Nümerk Alz / Sısl Türev Br tkım rık oktlrd değer ble br f( foksouu br oktdk türev klşık olrk bulm şlemdr. klşık Q P L- L gerçek - d f( brc türev, f ( f ( lm f ( şeklde tımlır. f (, d k eğr eğme eşttr. L doğrusuu eğm f ( f ( L- doğrusuu eğm f ( f ( h h / P ve Q d geçe doğru eğm L Prof.Dr. Nurett UMURKAN 78 / 89 L

79 Nümerk Alz / f ( h / f ( f ( h f h / merkez frkt. türev f ( h f ( ( merkez frkt.türev h f ( h ÖRNEK: f( de h. ç Brc Türev Merkez Frk formülü le hesplıız. f ( f ( h / h f ( h / f ( 4.5 f ( 4.5 f ( 4 (gerçek değer. Sısl Đtegrl f( foksou [,b] rlığıd sürekl olmk üzere, foksou [,b] rlığıdk tegrl, f( eğrs ltıd ve [,b] rlığıdk bölge lı eşttr. Dkdörtgeler Yötem Prof.Dr. Nurett UMURKAN 79 / 89

80 Nümerk Alz / S S S S 4 b S b f ( d h b f h Ymuklr Yötem S S S S h(, S h(...,..., S h( b S h( S h( ÖRNEK: deklem, rlığıd tegrl değer 4 lrk Ymuklr Yötemle hesplıız. Prof.Dr. Nurett UMURKAN 8 / 89

81 Nümerk Alz / h b S h( S gerçek değer d rctg Smpso Yötem π rctg rctg f ( b c S h S ( b c d h S ( b -h c h h bh h S ( h 6c ( tegrl çözümüdür. ve c ktsılrıı bulmk ç f(deklem sıır koşullrı (-h,, h ç düzeler. Prof.Dr. Nurett UMURKAN 8 / 89

82 Nümerk Alz / h h ç ç ç f( h f( h f( c bh c bh c Prof.Dr. Nurett UMURKAN 8 / 89 ( de ere ve h c h çeklr ve ( de ere zılır. h S ( 4 çft rlık ç; S S S... S h b h S ( 4 h S ( h S ( 4 ÖRNEK: S f ( deklem (, rlığıd tegrl değer 4 lrk Smpso Yötemle hesplıız h ( S 4

83 Nümerk Alz / Dfersel Deklemler Sısl Çözümü Tlor Yötem Bu ötem essı Tlor Serse dmktdır. Dh çok brc mertebe dfersel deklemlere ugulır. d f (, d dfersel deklem çözümü ( olsu, ( çözümüe lşk bşlgıç koşullrı ç ( olur, her değerdek rtm sbt kbul edlrse, h,,,,, bu durumd ( foksouu Tlor Serse çılımı, h! ( ( h ( h ( ( ( L ( dır. ere bşlgıç değer zıldığıd ve dördücü mertebede türevl termde sorsı hml edldğde, h h!! (4 ( h ( ( h ( ( ( ( deklem ç zıldığıd, h! h! 4 h 4! Prof.Dr. Nurett UMURKAN 8 / 89

84 Nümerk Alz / h h h!! 4! elde edlr. E geel hlde ç zılırs, (4 ( h ( ( h ( ( ( ( (4 ( h ( ( h ( ( ( ( şeklde elde edlr. ÖRNEK: h! h! 4 4 h 4! d şeklde verle dfersel deklem bşlgıç d koşullrı ve ( olduğu göre h. lrk (. değer hesplıız. Foksou türevler, ( ( ( 9 ( olrk elde edlr. ( (.. (. (. (.. 68 Prof.Dr. Nurett UMURKAN 84 / 89 54

85 Nümerk Alz / Euler Yötem d ( f (, dfersel deklem çözümü ( d olsu, ( çözümüe lşk bşlgıç koşullrı ç ( olrk verldğe göre ( f (, olur ve Tlor Sers lk k term kullılmsıl ( h ç br klşık değer bulublr. ( h h ( ( h ( h olrk elde edlr. Bezer şeklde, ( h ( h f (, e geel hl ç,,,,... h f (, f (, olrk tımlır. Prof.Dr. Nurett UMURKAN 85 / 89

86 Nümerk Alz / ÖRNEK: dfersel deklem bşlgıç değer ( olrk verldğe göre h. ç (.4 değer hesplıız. (..(-.99 (..99.( (..98.( (.4.97.( Euler öteme kc br klşımd muk ötem ugulrk elde edle Düzelemş Euler Formülüdür. Düzelemş Euler Formülü d ( f (, dfersel deklem çözümü ( d olsu, ( çözümüe lşk bşlgıç koşullrı ç ( olrk verldğe göre, f(, foksouu e göre tegrl lıdığıd f d (, d d d ( d ( Prof.Dr. Nurett UMURKAN 86 / 89

87 Nümerk Alz / elde edlr. Burd ( f (, d ( burdk tegrl fdese muk kurlı le klşım sğldığıd, h [ f (, f (, ] ( ( [ f (, f (, ] ( h,,,... Burd (, ç c klşımdır. Yukrıdk ( ( terso formülüdek değer bşlgıç koşullrı ç Euler formülüde hesplır. ( h ÖRNEK: dfersel deklem bşlgıç değer ( olrk verldğe göre h.5 ç (. değer hesplıız. ve. f(,. lıır, öce (.5 buluur, kc tersod (.değer hesplır. Euler formülüde ( h f (, f (, Prof.Dr. Nurett UMURKAN 87 / 89

88 Nümerk Alz / (.5 (.5 Br sork dımd f (, verle dfersel deklemde hesplır. ( ( f (, Bulu değerler Düzelemş Euler Formülüde ere zılırs (.5 değer, [ ( ] f (, f (, ( h.5 [.55]. 55 olrk hesplır. (. değer hesplmsı ç şlemler kc terso ç tekrrlır. Euler formülüde h ( ( (.4 Br sork dımd f (, verle dfersel deklemde hesplır. ( f (,..4.4 ( [ ].55 Bulu değerler Düzelemş Euler Formülüde ere zılırs (. değer, Prof.Dr. Nurett UMURKAN 88 / 89

89 Nümerk Alz / ( [ ( ] ( ( h.5 olrk hesplır. [.4.4] KAYNAKLAR Sısl Alz, Behç Çğl, Brse Yıev, _grs/bl_ttm.pdf A Brtc Akr: A Yıcılık-Eccloped Brtc. Bsll, George Tekoloj Evrm. Akr: TÜBİTAK. Abküs(SıBocuğu, Sm Thtsı Abküs. UZTsJ: de.php%bk%c%bcs%&hltr&eutf-8 [.7.]. Wllm Ougthred. Tşçı, Cemlett ve M. Em Mutlu. 99. Blgsr Trh. İstbul: Ağç Yıcılık. Prof.Dr. Nurett UMURKAN 89 / 89

Nümerik Analizin Amacı

Nümerik Analizin Amacı Doç.Dr. Nurett UMURKN Nümerk lz / 59 Nümerk lz mcı Mtemtksel prolemler çözümleelmes ç ugu ve e klşım vere ötemler ulmk, rıc ulrd lmlı ve dlı souçlr çıkrmktır. Çözümü stee prolem tımlmk ve souc vrck ötem

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ SAYISAL ANALİZ Doç.Dr. Cüet BAYILMIŞ Doç.Dr. Cüet BAYILMIŞ Sısl Alz SAYISAL ANALİZ EĞRİ UYDURMA (Curve Fttg) Doç.Dr. Cüet BAYILMIŞ Sısl Alz İÇİNDEKİLER Eğr Udurm (Curve Fttg) E Küçük Kreler Yötem Doç.Dr.

Detaylı

Yaklaşık Temsil Polinomları

Yaklaşık Temsil Polinomları Yklşık Tesl ololrı Teke for eğrler tesl ede ofset oktlrıd htlı oktlr bulusı duruud terpolso pololrı sıırlı kullı lı bulblektedr. Arıc terpolso pololrı le verle oktlrd geçe eğrler elde edldğde teke for

Detaylı

Ara Değer Hesabı (İnterpolasyon)

Ara Değer Hesabı (İnterpolasyon) Ar Değer Hesbı İterpolso Ardeğer hesbı mühedsl problemlerde sılıl rşılşıl br şlemdr. İterpolso Ble değerlerde blmee rdeğer d değerler bulumsı şlemdr. Geel olr se br osouu 0,,, gb rı otlrd verle 0,,, değerler

Detaylı

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ ESKİŞEHİR OSMNGZİ ÜNİVERSİTESİ Mühedslk Mmrlık Fkültes İşt Mühedslğ Bölümü EPost: oguhmettopcu@gmlcom Web: http://mmfoguedutr/topcu Blgsyr Destekl Nümerk lz Ders otlrı hmet TOPÇU Ktsyılr mtrs Özdeğer Özvektör

Detaylı

Dış Etki Olarak Sıcaklık Değişmesi ve/veya Mesnet Çökmelerinin Göz Önüne Alınması Durumu

Dış Etki Olarak Sıcaklık Değişmesi ve/veya Mesnet Çökmelerinin Göz Önüne Alınması Durumu Dış Etk Olrk Sıcklık Değşmes ve/vey eset Çökmeler Göz Öüe Alımsı Durumu Dış etk olrk göz öüe lı sıcklık eğşm ve meset çökmeler hpersttk sstemlere şekl eğştrme le brlkte kest zoru mey getrr. Sıcklık eğşm:

Detaylı

HARİTA MÜHENDİSLERİ için SAYISAL ÇÖZÜMLEME

HARİTA MÜHENDİSLERİ için SAYISAL ÇÖZÜMLEME HRİ MÜHENDİSLERİ ç SYISL ÇÖZÜMLEME Doç Dr emel BYRK GÜMÜŞHNE HRİ MÜHENDİSLERİ İÇİN SYISL ÇÖZÜMLEME Bu ktı er kkı sklıdır Yrı ılı olmksıı ktı tmmı ve erg r ölümü çr şeklde çoğltılıp ılm Yr dres: Doç Dr

Detaylı

AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ

AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ Geel olrk 4 tp yötem kullılır.. Düz çzg yötem: Mlı değer zml doğrusl olrk zldığı vrsyılır. Mlı hzmet ömrü boyuc her yıl ç yı mktr mortsm olrk yrılır. V V d = S d:

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ SAYISAL ANALİZ Doç.Dr. Cüeyt BAYILMIŞ Doç.Dr. Cüeyt BAYILMIŞ Syısl Alz SAYISAL ANALİZ İNTERPOLASYON Ar Değer Bulm Doç.Dr. Cüeyt BAYILMIŞ Syısl Alz İÇİNDEKİLER Ar Değer Hesbı İterpolsyo Doğrusl Ar Değer

Detaylı

BÖLÜM 3 SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL

BÖLÜM 3 SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL BÖLÜM SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL. Blgsyrl türe.. Bölümüş rk tblolrıyl türe.. Eşt rlıklı er oktlrı ç türe.. Eşt rlıklı er oktlrı ç er oktlrıd türe.. Yüksek mertebede türeler. Syısl tegrl.. Trpez krlı.. Romberg

Detaylı

7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ

7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ Prof. Dr. Özc Klederli SAYISAL YÖNTEMLER 7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ Syısl itegrsyo vey itegrl lm işlemi, litik olrk ir itegrli lımsıı çok zor vey olksız olduğu durumlrd vey ir işlevi değerlerii sdece

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İÇ-İÇE TASARIMLARDA DAYANIKLI ANALİZ VE UYGULAMALARI. İklim GEDİK

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İÇ-İÇE TASARIMLARDA DAYANIKLI ANALİZ VE UYGULAMALARI. İklim GEDİK NKR ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSNS TEZİ İÇ-İÇE TSRIMLRD DYNIKLI NLİZ VE UYGULMLRI İklm GEDİK İSTTİSTİK NBİLİM DLI NKR 00 er hkkı sklıdır ÖZET Yüksek Lss Tez İÇ-İÇE TSRIMLRD DYNIKLI NLİZ

Detaylı

2. Geriye doğru Yerine Koyma (Back Substitution): Bu adımda, son denklemden başlayarak herbir bilinmeyen bulunur.

2. Geriye doğru Yerine Koyma (Back Substitution): Bu adımda, son denklemden başlayarak herbir bilinmeyen bulunur. Guss Elimisyou Lieer deklem sistemlerii çözmede kullıl e popüler tekiklerde birisi Guss Elimisyou yötemidir. Bu yötem geel bir deklemli ve bilimeyeli lieer sistemi çözümüe bir yklşım getirmektedir....

Detaylı

0,1,..., n p polinomu bulma işlemine interpolasyon ve px ( )

0,1,..., n p polinomu bulma işlemine interpolasyon ve px ( ) Ç.Ü Fe Blmler Esttüsü Yl:29 Clt:2-1 İNTERPOLASYON VE KALAN TEORİSİ Iterpolto d Remder Theory Fge GÜLTÜRK Mtemt Ablm Dl Yusuf KARAKUŞ Mtemt Ablm Dl ÖZET Bu çlşmd İterpolsyo tmlmş, Lgrge İterpolsyo Formülü

Detaylı

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ Müdslk Mmrlık Fkülts İşt Müdslğ Bölümü E-Post: ogu.mt.topcu@gml.com W: ttp://mmf.ogu.du.tr/topcu Blgsr Dstkl Nümrk Alz Drs otlrı 0 Amt TOPÇU I f ( x I x x ( x [ ( x f (

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA TEK DEĞİŞKENLİ KISITSIZ OPTİMİZASYON:

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA TEK DEĞİŞKENLİ KISITSIZ OPTİMİZASYON: DOĞRUSA OMAYAN PROGRAMAMA TEK DEĞİŞKENİ KISITSIZ OPTİMİZASYON: Kısıtsız optmzsyo herhg r kısıtlm olmksızı r oksyou mksmum vey mmum değerler rştırılmsı prolem le uğrşır. Y kısıtlrıı d sğlmsı gerekl ol r

Detaylı

Sayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç

Sayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç Sayısal Türev Sayısal İtegrasyo İterpolasyo Ekstrapolasyo Bölüm Üç Bölüm III 8 III-. Pvot Noktaları Br ( ) oksyouu değer, geellkle ekse üzerdek ayrık oktalarda belrler. Bu oktalara pvot oktaları der. Bu

Detaylı

ÇSD SİSTEMLERİN ZORLANMIŞ TİTREŞİMİ

ÇSD SİSTEMLERİN ZORLANMIŞ TİTREŞİMİ ÇSD SİSELERİN ZORLANIŞ İREŞİİ u u u u bşlgıç koşullrı eksdek br N serbeslk derecel ssem hreke deklem mrs formd; u C u u şeklde yzılblr. Bu mrs formdk hreke deklem, u ve ürevler çere brbre bğlı N de deklem

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

BÖLÜM 3 3. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON İÇİN VEKTÖR VE MATRİS CEBRİ

BÖLÜM 3 3. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON İÇİN VEKTÖR VE MATRİS CEBRİ BÖLÜM. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON İÇİN VEKÖR VE MRİS CEBRİ Bölüm de, doğrusl regresyo tek değşkel bst model olrk ele lırk çıklmıştı. Bölüm de se çok değşkel (k değşkel) model ç grş ypılcktır. Çok değşkel

Detaylı

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel

Detaylı

7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER 7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Bir V ektör uzyıı bir bşk W ektör uzyı döüştüre foksiyolr şu şekilde gösterilir: : V W Burd kullıl termioloji foksiyolrl yıdır. Öreği, V ektör uzyı foksiyouu

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme SYISL ÇÖZÜMLEME SYISL ÇÖZÜMLEME 6. Hft LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ İÇİNDEKİLER Doğrusl Deklem Sistemlerii Çöümü Mtrisi Tersi ile Bilimeyeleri Bulm Örek uygulm MTLB t mtrisi tersii (iv komutu) lm Crmer Yötemi

Detaylı

BÖLÜM 2 EĞRİ UYDURMA VE İNTERPOLASYON

BÖLÜM 2 EĞRİ UYDURMA VE İNTERPOLASYON BÖÜ EĞRİ UYDURA VE İTERPOASYO - Grş İterpolo polomlrı Bölümüş rlr 4 Eşt rlılı ot dğılımlrı ç bt rlr 5 Küb ple eğrler Kım üb ple eğrler 7 Br üze üzerde terpolo 8 E-üçü reler lşımı Bölüm - Eğr udurm ve terpolo

Detaylı

F= 360. L sayıdaki kapitalin t ortak faiz oranı üzerinden getirecekleri faiz tutarları toplamı gerçek faiz metoduna göre: formülü ile hesaplanır.

F= 360. L sayıdaki kapitalin t ortak faiz oranı üzerinden getirecekleri faiz tutarları toplamı gerçek faiz metoduna göre: formülü ile hesaplanır. BİRDEN AZA KAPİTAE İİŞKİN AİZ İŞEMERİ: =,,,, >0 olmk üzere syıdk kpller, süreler ç fz orlrı üzerde fze verldğde oplu olrk bs fz urlrı: = formülü le hesplblr. ork fz orı olmk üzere, syıdk kpl ork fz orı

Detaylı

SİSTEM DİNAMİĞİ VE KONTROL

SİSTEM DİNAMİĞİ VE KONTROL SİSTEM DİNAMİĞİ VE KONTROL ) KONTROL SİSTEMLERİNE GİRİŞ: Kotrol: Br sste çıkışlrıı stee değerlere yöeltek y d öcede belrleş br dvrışı zleeler sğlk ç sste grşler üzerde ypıl şlelere kotrol der. Ototk Kotrol:

Detaylı

YEREL JEOİD YÜZEYİNİN BELİRLENMESİNDE KULLANILAN ENTERPOLASYON YÖNTEMLERİ

YEREL JEOİD YÜZEYİNİN BELİRLENMESİNDE KULLANILAN ENTERPOLASYON YÖNTEMLERİ YERE JEOİD YÜZEYİNİN BEİRENESİNDE KUANIAN ENERPOASYON YÖNEERİ Kml EKE, ull YAÇINKAYA Krdez ekk Üverstes, Jeodez ve Fotogrmetr üh. Bölümü, 68, rbzo ÖZE Yersel Koum Belrleme Sstem (GPS) le eodezk kotrol

Detaylı

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları LİMİT İÇ KAPAK Bu kitbı bütü ı hklrı sklıdır. Tüm hklrı, zrlr ve METİN YAYINLARI ittir. Kısme de ols lıtı pılmz. Meti, biçim ve sorulr, ıml şirketi izi olmksızı, elektroik, mekik, fotokopi d herhgi bir

Detaylı

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir?

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir? 98 ÜYS Sorulrı. r top kumşın önce, sonr d klnın ü 5 stılıor. Gere 6 m kumş kldığın göre, kumşın tümü kç metredr? ) 7 ) 65 ) 6 ) 55 ) 5 4. r şekln, u brm uzunluğun göre ln ölçüsü, v brm uzunluğun göre ln

Detaylı

ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Fırat Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik - Elektronik Mühendisliği Bölümü

ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Fırat Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik - Elektronik Mühendisliği Bölümü Fırt Üiversitesi Mühedislik Fkültesi Elektrik - Elektroik Mühedisliği Bölümü ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Hzırly: Arş. Gör. Göky BAYRAK ELAZIĞ-008 İletim Htlrıı Elektriksel Ypısı ) Sürekli Durum:Nomil

Detaylı

Polinom İnterpolasyonu

Polinom İnterpolasyonu Polom İterpolasyou (Ara Değer Bulma Br foksyou solu sayıdak, K, R oktalarıda aldığı f (, f (,, f ( değerler bls (foksyou keds blmyor. Bu oktalarda geçe. derecede br tek, P a + a + a + + a (... polumu vardır

Detaylı

basit cebirsel denkleminin geçerli olduğunu varsayalım. denklemine ait İAD. çıkış düğümüne olan ve kazancı a

basit cebirsel denkleminin geçerli olduğunu varsayalım. denklemine ait İAD. çıkış düğümüne olan ve kazancı a İşret Aış Drmlrı: İşret Aış Drmlrı (İAD), blo drmlrın bstleştrlmş hl olr örüleblr. Ft, İAD fzsel örünüş ve mtemtsel urllr bğlılı ısındn zım urllrı dh serbest oln blo drmlrındn frlıdır. Blo drmlrı, rmşı

Detaylı

Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) What if not known?

Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) What if not known? 1 Mrkov ve Chebychev Eşitsizlikleri Pr [ ] = 1 Pr [ < ] = 1 f ( ) dx = 1 () x dx F Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) Wht if ot kow? bilimiyor olbilir r.d. i sdece ortlmsıı ve vrysıı bildiğimizi vrsylım. Ortlm

Detaylı

DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( )

DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( ) . BÖÜM. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {,,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı DETERMINNTR sırlmlrıı düzelemesie permütsyo deir. Örek: {,, 3} tm syılr kümesii ltı frklı permütsyou vrdır: (,, 3), (,,

Detaylı

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır. LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m...... n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ;

Detaylı

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi DERS Determitlr eotief Girdi - Çıktı lizi.. ir Kre Mtrisi Determitı. Determit kvrmıı tümevrıml tımlycğız. mtrisleri determitıı tımlyrk şlylım. Tım. tımlır. mtrisiidetermitı olrk Örek. mtrisii determitı

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. a ise b 2006 b 2005 =? A) 1330 B) 1995 C) 1024 D) 1201 E) 1200

OLİMPİYAT SINAVI. a ise b 2006 b 2005 =? A) 1330 B) 1995 C) 1024 D) 1201 E) 1200 ., b, c, d Z olmk üzere / + /b + /c + /d = ½ ve ( + b + c + d) =.b + c.d + ( + b ).(c +d) + dekliklerii sğly kç (, b, c, d) dörtlüsü vrdır? A) 48 B) 4 C) D) 6 E) 5. Alı 40 birim kre ol bir ABC üçgeii AB,

Detaylı

1. ÜNİTE. Sayılar ve Cebir 9.2 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER

1. ÜNİTE. Sayılar ve Cebir 9.2 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER . ÜNİTE Sılr ve Cebir 9. DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Trihte ilk ölçme tekikleri prmk klılığı, el geişliği, krış, k gibi ort bodki bir isı vücududki prç ve mesfelerde ol çıkılrk oluşturulmuştur. Fkt ticret

Detaylı

= + + = ETKİNLİK: ( n ) ( ) ETKİNLİK:

= + + = ETKİNLİK: ( n ) ( ) ETKİNLİK: ERİLER Cebir kurllrı ile ck olu te yıyı toplybiliriz. Bu krşılık mtemtik de ouz yıd yıı toplmı ile de ık ık krşılşmktyız. Öreği; 3 yııı odlık çılımı; 3 3 3 = 0,333... = + + +... gibi bir ouz toplmdır.

Detaylı

BÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1

BÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1 SD 1 2. BÖLÜM DETERMINANTLAR 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 1. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {1, 2,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı sırlmlrıı düzelemesie

Detaylı

Önceki bölümde özetlenen Taylor metodlarında yerel kesme hata mertebesinin yüksek oluşu istenilen bir özelliktir. Diğer taraftan

Önceki bölümde özetlenen Taylor metodlarında yerel kesme hata mertebesinin yüksek oluşu istenilen bir özelliktir. Diğer taraftan III.5.RUNGE-KUTTA METODLARI Öcek bölümde özelee Talor meodlarıda erel kesme aa merebes üksek oluşu sele br özellkr. Dğer araa ürevler buluma ve esaplaması pek çok problem ç karmaşık ve zama alıcı olduğuda

Detaylı

hesaplayıcıyı; yanı bugün FACİT ya da kollu mekanik hesap makinesi olarak da bilinen mekanik hesaplama aracını elde edilmiştir.

hesaplayıcıyı; yanı bugün FACİT ya da kollu mekanik hesap makinesi olarak da bilinen mekanik hesaplama aracını elde edilmiştir. . GİRİŞ ımış trihçi LAFARA 973 sölediğie göre; bugü bile ilk kullım trihi ve sıırlrı kesi olrk bilimemekle birlikte, Nümerik Alizi çok eski ıllrd beri frklı şekillerde ve isimler ltıd kullıldığı ilgili

Detaylı

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi Regresyo ve Korelasyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo aalz, aralarıda sebep-souç lşks bulua k veya daha fazla değşke arasıdak lşky belrlemek ve bu lşky kullaarak o kou le lgl tahmler (estmato)

Detaylı

MERAKLISINA MATEMATİK

MERAKLISINA MATEMATİK TRİGONOMETRİ : Siüs i b c R si si y si z İsptı : m(ëo).m(ëa) m(ëo).m(ëb) m(ëo).m(ëc) m(ëo) m(ëo) y m(ëo) z b c b c & si & si y & si y R R R R R R si si y b si z c & & & R R R & R.si & b R.siy & c R.siz

Detaylı

Nümerik Analiz. Bilgisayar Destekli. Ders notları 2014 DENKLEM SİSTEMİ ÇÖZÜMÜ, DİREKT. METOTLAR GAUSS indirgeme metodu. m=n Üst üçgen matris

Nümerik Analiz. Bilgisayar Destekli. Ders notları 2014 DENKLEM SİSTEMİ ÇÖZÜMÜ, DİREKT. METOTLAR GAUSS indirgeme metodu. m=n Üst üçgen matris ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ Mühedslk Mmrlık Fkültes İşt Mühedslğ Bölümü E-Post: ogu hmettopcu@gmlcom Web: http://mmfoguedutr/topcu Blgsyr Destekl Nümerk Alz Ders otlrı Ahmet TOPÇU m Üst üçge mtrs

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME Syısl Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME 7. Hft LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ (Devm) Syısl Çözümleme İÇİNDEKİLER Doğrusl Denklem Sstemlernn Çözümü İtertf Yöntemler Jcob Yöntem Guss-Sedel Yöntem

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme SYISL ÇÖZÜMLEME Syısl Çözümleme SYISL ÇÖZÜMLEME Hft SYISL ÇÖZÜMLEMEDE HT KVRMI Syısl Çözümleme GİRİŞ Syısl nliz, mtemtik problemlerinin bilgisyr yrdımı ile çözümlenme tekniğidir Genellikle nlitik olrk

Detaylı

KISMİ DEVAMLI FONKSİYONLAR KULLANARAK SOĞUTUCU AKIŞKANLARIN DOYMA BASINÇ EĞRİLERİNİN HASSAS OLARAK OLUŞTURULMASI

KISMİ DEVAMLI FONKSİYONLAR KULLANARAK SOĞUTUCU AKIŞKANLARIN DOYMA BASINÇ EĞRİLERİNİN HASSAS OLARAK OLUŞTURULMASI KISMİ DEVAMLI FONKSİYONLAR KULLANARAK SOĞUTUCU AKIŞKANLARIN DOYMA BASINÇ EĞRİLERİNİN HASSAS OLARAK OLUŞTURULMASI M. Turh ÇOBAN Ege Üverstes, Mühedslk Fkultes, Mke Mühedslğ Bölüü, Borov, İZMİR Turh.cob@ege.edu.tr

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI ., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8

Detaylı

1. GAZLARIN DAVRANI I

1. GAZLARIN DAVRANI I . GZLRIN DRNI I İdeal Gazlar ç: lm 0 RT İdeal gazlar ç: RT Hacm() basıçla() değşk sıcaklıklarda değşm ekl.. de gösterlmştr. T >T 8 T T T 3 asıç T 4 T T 5 T 7 T 8 Molar Hacm ekl.. Gerçek br gazı değşk sıcaklıklardak

Detaylı

denklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy

denklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy Ders Sorumlusu: Doç. Dr. Necp ŞİMŞEK Problem. deklem sağlaya tüm kompleks sayılarıı buluu. Çöüm deklem şeklde yaablr. Bu so y kompleks sayıları ç y yaalım. Bu taktrde deklemde, baı y ( ) y elde edlr. Burada

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı., b olduğun göre, b. b ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir?,,,9 8... b b ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir?.. Bun göre, verilior. ifdesinin değeri kçtır? 8. b b c 8 c d

Detaylı

ELİPSOİDAL YÜKSEKLİKLERİN ORTOMETRİK YÜKSEKLİĞE DÖNÜŞÜMÜNDE ENTERPOLASYON YÖNTEMLERİNİN KULLANILABİLİRLİĞİ

ELİPSOİDAL YÜKSEKLİKLERİN ORTOMETRİK YÜKSEKLİĞE DÖNÜŞÜMÜNDE ENTERPOLASYON YÖNTEMLERİNİN KULLANILABİLİRLİĞİ SÜ ü-m Fk Derg, c9, s, 4 J FcEgArc Selcuk Uv, v9,, 4 EİPSOİDA YÜSEİERİN ORTOETRİ YÜSEİĞE DÖNÜŞÜÜNDE ENTERPOASYON YÖNTEERİNİN UANIABİİRİĞİ Cevt İNA ve Ceml Özer YİĞİT SÜü-mFkültes, Jeod ve Fot ü Bölümü,

Detaylı

Değişkenler Arasındaki İlişkiler Regresyon ve Korelasyon. Dr. Musa KILIÇ

Değişkenler Arasındaki İlişkiler Regresyon ve Korelasyon. Dr. Musa KILIÇ Değşkeler Arasıdak İlşkler Regresyo ve Korelasyo Dr. Musa KILIÇ http://ks.deu.edu.tr/musa.klc 1. Grş Buda öcek bölümlerde celedğmz koular, br tek değşke ç yorumlamalar yapmaya yöelk statstk yötemler üzerde

Detaylı

DERS 3. Matrislerde İşlemler, Ters Matris

DERS 3. Matrislerde İşlemler, Ters Matris DES Mrislerde İşleler, Ters Mris Mrisler Mrislerle ilgili eel ılrııı ıslı e sır ve e süu oluşurk içide diiliş e sıı oluşurduğu lo ir ris deir ir ris geellikle şğıdki gii göserilir ve [ ij ], i ; j risii

Detaylı

Giriş. Değişkenlik Ölçüleri İSTATİSTİK I. Ders 5 Değişkenlik ve Asimetri Ölçüleri. Değişkenlik. X i ve Y i aşağıdaki gibi iki seri verilmiş olsun:

Giriş. Değişkenlik Ölçüleri İSTATİSTİK I. Ders 5 Değişkenlik ve Asimetri Ölçüleri. Değişkenlik. X i ve Y i aşağıdaki gibi iki seri verilmiş olsun: Grş İSTATİSTİK I Ders Değşkelk ve Asmetr Ölçüler Ortalamalar, serler karşılaştırılmasıda her zama yeterl ölçüler değldr. Ayı ortalamayı sahp serler arklı dağılım göstereblrler. Bu edele serler karşılaştırılmasıda,

Detaylı

HBM512 Bilimsel Hesaplama II Ödev 3

HBM512 Bilimsel Hesaplama II Ödev 3 HBM5 Blmsel Hesplm II Ödev Hzırly: Hmd Ndr Turl 76 Hesplmlı Blm ve Müedslk Aşğıd verle yrık verler kullılrk, kübk trz eğrs çzlmes stemektedr t yt 5 8 75 5 5 9 75 8 875 7 55 5 5 5 Soruu çözümüe geçmede,

Detaylı

III.4. YÜKSEK MERTEBE TAYLOR METODLARI. ( t)

III.4. YÜKSEK MERTEBE TAYLOR METODLARI. ( t) III.4. YÜKSEK MEREBE AYLOR MEODLARI Saısal tekkler amacı mmum çaba le olablğce uarlı aklaşımlar ele etmektr. Bu eele çeştl aklaşım ötemler vermllğ karşılaştıracak br krtere gereksm varır. İlk ele alıacak

Detaylı

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR Ölçme, her deeysel blm temel oluşturur. Fzk blmde de teorler sıaması ç çeştl deeyler tasarlaır ve bu deeyler sırasıda çok çeştl ölçümler yapılır. Br fzksel celğ

Detaylı

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması . Ders ĐSTATĐSTĐKTE SĐMÜLASYON Tahm Edcler ve Test Đstatstkler Smülasyo le Karşılaştırılması Đstatstk rasgelelk olgusu çere olay süreç ve sstemler modellemesde özellkle bu modellerde souç çıkarmada ve

Detaylı

BÖLÜM 6 LİNEER PROGRAMLAMA

BÖLÜM 6 LİNEER PROGRAMLAMA BÖÜ 6 İNEER PROGRAAA 6. GİRİŞ Hedef foksyou ve kısıtlyıılrı, tsrı değşkeler leer fortıd verle optzsyo proleler eer Progrl prole olrk dldırılır. Her e kdr çoğu ühedslk optzsyo proleler leer oly dekleler

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ C.Ü. İktisdi ve İdri Bilimler Dergisi, Cilt 5, Syı 5 DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ Öğr. Gör. Dr. Mehmet Ali ALAN Cumhuriyet Üiversitesi İktisdi ve İdri Bilimler Fkültesi Öğr. Gör.

Detaylı

Örneğin, doğrusal zamanla değişmeyen bir sistemin durum uzayı modeli aşağıdaki gibidir.

Örneğin, doğrusal zamanla değişmeyen bir sistemin durum uzayı modeli aşağıdaki gibidir. DOĞRUSAL KONTROL SİSTEMLERİNİN KARARLILIĞI: Geelde doğrul kotrol temler trımı temde ögörüle belrl koşullr yere gelecek şeklde tem trfer fokyoud kutup ve ıfırlrı yerleştrme lmı d gelr. Trımd kullıl pek

Detaylı

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS BEKLEE DEĞER VE VARYAS.1. İadel ve adesz öreklemede tüm mümkü örekler.. Beklee değer.3. Varyas.4. İk değşke ortak dağılımı.5. İstatstksel bağımsızlık.6. Tesadüf değşkeler doğrusal kombasyolarıı beklee

Detaylı

Bölüm 7.2: Matrisler. Transpoz. Konjuge. Adjoint

Bölüm 7.2: Matrisler. Transpoz. Konjuge. Adjoint ölü.: Mrsler ugüü derszde rs eors err edeeğz. Mrs ouud ddörge elelrd oluş r eledır sır ve süu zı öre rsler şğıddır: j C Trspoz j ı rspozu T j dır. Öre T T T Kojuge j ı Kojuges j dır. Öre djo ı djo T dır

Detaylı

Evolvent Dişli Üretimi Esnasında Meydana Gelen Kesme Kuvvetlerinin Teorik ve Deneysel Olarak Belirlenmesi

Evolvent Dişli Üretimi Esnasında Meydana Gelen Kesme Kuvvetlerinin Teorik ve Deneysel Olarak Belirlenmesi UluslrrsıKtılımlı 7. MkTeorsSempozyumu, İzmr, 4-7 Hzr 5 Evolvet Dşl Üretm Essıd Meyd Gele Kesme Kuvvetler Teork ve Deeysel Olrk Belrlemes İ. EŞİLUT * H. GÜSO Uşk Üverstes Uşk Üverstes Uşk Uşk Özet Bu bldrde

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =?

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =? Lisns Yerleştirme Sınvı (Ls ) 6 Hirn Mtemtik Sorulrının Çöümleri 8 sı tnınd verilen ( ) 8 sısının sı tnınd ılışı? Bu durumd ( ) 8 sısı önce tnın çevrilir Sonr tnınd ılır ( ) 8 8 8 8 Bun göre ( ) 8 ( )

Detaylı

LİMİT VE SÜREKLİLİK ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

LİMİT VE SÜREKLİLİK ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT LİMİT VE SÜREKLİLİK ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Limit. Kzım : Bir bğımsız değişkei verile bir sı klşmsıı öreklerle çıklr.. Kzım : Bir foksiou bir oktdki iti, sold iti ve sğd iti kvrmlrıı öreklerle

Detaylı

İNTEGRAL 6 RİEMANN TOPLAMI : ALT TOPLAM,ÜST TOPLAM VE RİEMANN ALT TOPLAM ÜST TOPLAM. [a, b] R ARALIĞININ PARÇALANIŞI VE RİEMANN TOPLAMI

İNTEGRAL 6 RİEMANN TOPLAMI : ALT TOPLAM,ÜST TOPLAM VE RİEMANN ALT TOPLAM ÜST TOPLAM. [a, b] R ARALIĞININ PARÇALANIŞI VE RİEMANN TOPLAMI [, ] R ARALIĞININ PARÇALANIŞI VE RİEMANN TOPLAMI f : [, ] R sürekli ir foksio olsu. Bu [,] kplı rlığı = <

Detaylı

Ders. Yrd. Doç.. Dr. Ayhan CEYLAN. Mim. Fak. Harita MühendisliM A.B.D. A Blok Oda no:101 Tel: selcuk.edu.

Ders. Yrd. Doç.. Dr. Ayhan CEYLAN. Mim. Fak. Harita MühendisliM A.B.D. A Blok Oda no:101 Tel: selcuk.edu. Ku Ölçeler Ders rd. Dç.. Dr. Ah CELAN rd. Dç.. Dr. İsl ŞANLIOĞLULU S.Ü.. Müh. M M. Fk. Hrt MühedslM hedslğ Bölüü, B Ölçe Tekğ A.B.D. A Blk Od :0 Tel:3 933 cel@selcuk selcuk.edu.tr 4.SERBEST İSTASON HESABI

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

UFUK ÖZERMAN- 2012-2013 Page 1

UFUK ÖZERMAN- 2012-2013 Page 1 - GÜZ P,Q,R fokiolrı poliom olmk üzr d d P Q R d d v P d d Q d P d R P p q dklmi içi P şrıı ğl = okı di ok dir, çözümlri di okıı civrıd şklid rrız. =+-+- +... = = okı; p=q/ P, q= R/ P fokiolrı okıd liik

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit Karadez Te Üverstes Blgsayar Mühedslğ Bölümü 5-6 Güz Yarıyılı Sayısal Çözümleme Ara Sıav Soruları Tarh: Kasım 5 Perşembe Süre: daa. f ( ( + a e fosyouu sabt otası olmadığı bldğe göre, a 'ı alableceğ e

Detaylı

1981 ÖYS. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın. ü satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığı- 3. na göre, kumaşın tümü kaç metredir?

1981 ÖYS. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın. ü satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığı- 3. na göre, kumaşın tümü kaç metredir? 98 ÖYS. Bir top kumşı öce i, sor d klı ü stılıyor. Geriye 6 m kumş kldığı- göre, kumşı tümü kç metredir? 70 6 60 0., y pozitif iki tmsyı olmk üzere, (+y)(-y)=88 dir. Bu eşitliği soludki çrplrd üyüğü, küçüğüü

Detaylı

Matrisler Elementer Satır İşlemleri Gauss Eliminasyon

Matrisler Elementer Satır İşlemleri Gauss Eliminasyon Mtrisler Elementer Stır İşlemleri Guss Eliminson Mtrisler ve Stır İşlemleri Bir mtris dikdörtgen sılr tblosudur. Alt indisler girdilerin erini belirler. stır mn stır A m m m n n n mn Mtrisler boutlrı ile

Detaylı

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:

Detaylı

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 03.05.013 ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 1 Nede Örekleme? Öreklemde çalışmak ktlede çalışmakta daha kolaydır. Ktle üzerde çalışmak çok daha masraflı olablr. Çoğu durumda tüm ktleye ulaşmak

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER Sf No..................................................... - 7 Denklem ve Eşitsizlikler Konu Özeti............................................. Konu Testleri ( 0)..........................................................

Detaylı

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlee ver düzeleerek çzelgelerle, graklerle suulması çoğu kez yeterl olmaz. Geel durumu yasıtacak br takım ölçülere gereksm vardır. Bu ölçüler verler yalızca özlü br bçmde belrtmekle

Detaylı

II. DERECEDEN DENKLEMLER

II. DERECEDEN DENKLEMLER ünite DEEEDE DEKEME Dereceden Denklemler TEST 0 x x + = 0 denkleminin kökleri x ve x dir 6 x + x + x işleminin sonucu kçtır? ) B) ) D) E) x + bx + = 0 x - denkleminin reel syılrdki çözüm kümesi bir elemnlı

Detaylı

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Taımlayıcı İstatstkler br değerler dzs statstksel olarak geel özellkler taımlaya ölçülerdr Taımlayıcı İstatstkler Yer Göstere Ölçüler Yaygılık Ölçüler Yer Göstere Ölçüler Br dağılımı

Detaylı

BÖLÜM 2: OLASILIK TEORĠSĠ

BÖLÜM 2: OLASILIK TEORĠSĠ BÖLÜM 2: OLSILIK TEORĠSĠ İsttstksel rştırmlrı temel koulrıd r souu öede kes olrk lmeye zı şs ğlı olylrı (deemeler) olsı tüm mümkü souçlrıı hg sıklıkl orty çıktığıı elrleyelmektr. Bu soru sttstkte olsılık

Detaylı

TG 6 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK

TG 6 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 6 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testleri her hkkı sklıdır. Hgi mçl olurs olsu, testleri tmmıı ve ir kısmıı

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1 IAAOJ, Scietific Sciece, 23,(2), 22-25 GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE Adullh AKKURT, Hüseyi YILDIRIM Khrmmrş Sütçü İmm Üirsitesi, Fe-Edeiyt Fkültesi

Detaylı

YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU BANKASI ANKARA

YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU BANKASI ANKARA YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU ANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Fonksionlr... Polinomlr... II. Dereceden Denklemler... 7 II. Dereceden Fonksionlrın Grfiği (Prbol)... 7 Krmşık Sılr... 9 Mntık...

Detaylı

Trace ve Kellogg Yöntemleri Kullanılarak İntegral Operatörlerinin Özdeğerlerinin Nümerik Hesabı

Trace ve Kellogg Yöntemleri Kullanılarak İntegral Operatörlerinin Özdeğerlerinin Nümerik Hesabı Trce ve Kellogg Yöemleri Kullılrk İegrl Operörlerii Özdeğerlerii Nümerik Hesı Erk Tşdemir () ; Yüksel Soyk () ; Melih Göce (3) (¹)Kırklreli Üiversiesi, Kırklreli, Türkiye, erksdemir@homil.com (²)Büle Ecevi

Detaylı

Faure Dizili Genetik Algoritmalar İle Toprak Özdirencinin Mevsimsel Değişiminde Transformatör Merkezi Topraklama Sisteminin Optimum Tasarım Stratejisi

Faure Dizili Genetik Algoritmalar İle Toprak Özdirencinin Mevsimsel Değişiminde Transformatör Merkezi Topraklama Sisteminin Optimum Tasarım Stratejisi Süleym Demrel Üverstes, Fe Blmler Esttüsü Dergs, 6- ), 6-76 Fure Dzl Geetk Algortmlr İle Toprk Özdrec Mevsmsel Değşmde Trsformtör Merkez Toprklm Sstem Optmum Tsrım Strtejs Brış GÜRSU *, Melh Cevdet İNCE

Detaylı

1982 ÖSS =3p olduğuna göre p kaçtır? A) 79 B) 119 C) 237 E) A) 60 B) 90 C) 120 D) 150 E) 160

1982 ÖSS =3p olduğuna göre p kaçtır? A) 79 B) 119 C) 237 E) A) 60 B) 90 C) 120 D) 150 E) 160 8 ÖSS. Bir çiftlikte 800 koun 00 inek ve 600 mnd vrdır. Bu hvnlrın tümü bir dire grfikle gösterilirse ineklerle ilgili dilimin merkez çısı kç derece olur? A) 60 B) 0 C) 0 D) 0 E) 60 6. 0 - =p olduğun göre

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel

Detaylı

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM YILLAR 00 003 004 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - ASAL SAYILAR ve kendisinden bşk pozitif böleni olmyn den büyük tmsyılr sl syı denir Negtif ve ondlıklı syılr sl olmz Asl syılrı veren bir

Detaylı

... SERİLER Tanım: 2 3 toplamı kaçtır? Çözüm: serisinde 10. kısmi terimler. Ör: bir reel sayı dizisi olmak üzere

... SERİLER Tanım: 2 3 toplamı kaçtır? Çözüm: serisinde 10. kısmi terimler. Ör: bir reel sayı dizisi olmak üzere SERİLER Tım: bir reel syı dizisi olm üzere...... 3 toplmı SERİ deir. gerçel syısı serii geel terimi deir. S 3... toplmı SERİNİN N. KISMİ (PARÇA) TOPLAMI deir. S dizisie SERİNİN N. KISMİ TOPLAMLAR DİZİSİ

Detaylı

LYS LİMİT. x in 2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade edilir? şeklinde gösterilir. lim. şeklinde gösterilir. f(x) lim f(x) ise lim f(x) yoktur.

LYS LİMİT. x in 2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade edilir? şeklinde gösterilir. lim. şeklinde gösterilir. f(x) lim f(x) ise lim f(x) yoktur. Mtemtik SAĞDAN VE SOLDAN YAKLAŞMA Yndki tblod bir değişkeninin 4 sısın sğdn ve soldn klşımı ifde edilmiştir. u durumu genellemek gerekirse; değişkeni re el s ı sın, dn kü çük de ğer ler le k l şı or s,

Detaylı

SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI

SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI Yrd Doç Dr Hüse Bıroğu İSTANBUL 6 İÇİNDEKİLER SAYFA -GİRİŞ SAYISAL HESAPLAMALARDA HATA ANALİZİ HATA TANIMI SAYISAL YÖNTEMLERİN SINIFLANDIRILMASI 5 DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN

Detaylı

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır.

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır. YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS /LYS - - - 0/ 0/ ĐŞLEM ( ) ( ) (+ ) ( ) 7 6 76+ bulunur ve e bğlı bütün tnımlı fonksionlr bir işlem belirtir i göstermek için +,,*, gibi işretler kullnılır

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. SINIF TEST SORULARI. + işleminin sonucu kçtır? 5 5 A) 0 B) 0 C) 0 7 D) 0 9 E). y = x x + prbolünün y = x doğrusun en ykın noktsının koordintlrı toplmı

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ SAYISAL ANALİZ Doç.Dr. Cüe BAYILMIŞ Doç.Dr. Cüe BAYILMIŞ Sısl Aliz SAYISAL ANALİZ SAYISAL İNTEGRAL Numericl Iegrio Doç.Dr. Cüe BAYILMIŞ Sısl Aliz İÇİNDEKİLER Sısl İegrl Trpez Ymuk Yöemi Simpso Yöemi /

Detaylı