Limit. Kapak Konusu: Gerçel Say lar V: Süreklilik ve Limit

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Limit. Kapak Konusu: Gerçel Say lar V: Süreklilik ve Limit"

Transkript

1 Kpk Konusu: Gerçel S lr V: Süreklilik Limit Limit v = ƒ() Bir bflk örne e bkl m. < c < b olsun. ƒ: [, b] \ {c}, grfi i fl dki gibi oln bir fonksion olsun. Fonksion c nokts nd tn mlnmm fl. Os fonksion c nin solund s nd tn mlnm fl., v u c = ƒ() c e soldn klflt nd, ƒ() de eri v e klfl - or; m, c e s dn klflt nd, ƒ() de eri u klfl or. u voldu undn, bu durumd, klflt nd, ƒ() in sbit bir s klflt - n söleemioruz. Bu durumd ƒ nin c de tn mlnmm fl olms do l krfl lnbilir. Am e er u = v olsd (ni fonksionun grfi i fl dki gibi b u (, b) b u = v = ƒ() MD-2007-III s s nd bir ( n ) n dizisinin (n sonsuz giderken) limitini tn mlm fl bütün bir s n n kpk konusunu bu kvrm rm flt k; etmemifl, konuu bir sonrki s n n kpk konusun tfl rm flt k. Bu z d benzer bir limit kvrm tn tc z. E er ƒ bir fonksions,, klfl rken ƒ() in limiti ne demektir? Yni, çok çok çok klflt nd, ƒ() in belli bir s çok çok çok k n olup olmc, oluors hngi s çok çok çok k n olc sorusunu irdeleece iz. Grfi i fl dki gibi oln bir ƒ : (, b) fonksion düflünelim. Bu fonksion (, b) ç k rl nd tn mlnm fl m b noktlr nd tn mlnmm fl, ni ƒ() ƒ(b) die bir de er ok. Am grfi e bk nc görülüor ki sl nd ƒ() n n u olrk, ƒ(b) nin de v olrk tn mlnms gerekirmifl... Ne olmufls olmufl, bir ksilik olmufl ƒ nin b deki de erleri tlnm fl... Neden ukrdki örnekte ƒ() n n u olrk tn mlnms gerekti ini düflünüoruz? Çünkü (, b) rl ndki bir s s çok çok k nken ƒ() de eri de u çok çok k n oluor. i, snki bir film izliormufl gibi, do ru hreket ettirdi inizde, ƒ() in u do ru hreket etti ini, klflt kç ƒ() in de u klflt n göreceksiniz. Bu filmi fl d izleebilirsiniz. v ƒ() u = ƒ() b c olsd ), o zmn ƒ fonksionunun c deki de erini do l olrk ƒ(u) olrk tn mlbilirdik. Okur belki de ukrdki trt flml süreklilik rs nd bir b olc n thmin etmifltir. Do ru thmin! Mtemtiksel Tn m Girifl Yukrdki bölümde limit kvrm n sezgisel bir girifl pmk istedik. Limitin tm mtemtiksel tn m n ine de hz r de iliz. Önce süreklilik kvrm n birz de iflik bir gözle bkl m. Bir fonksionun bir noktd sürekli olms n n tn m n n msl m: Bir ƒ : A fonksionunun bir Anokts nd olms için gereken koflul fludur: b 41

2 Her > 0 için öle bir > 0 olml ki, < eflitsizli ini s ln her Aiçin, ƒ() ƒ() < eflitsizli i s lns n. Edebi dile çevirecek olursk, bu tn m,, çok k n oldu und, ƒ(), ƒ() çok k nd r dior. Koflul = için hep do ru oldu undn, i dn de iflik lmn n bir mhsuru ok, öle pl m: Bir ƒ : A fonksionunun bir Aelemn nd sürekli olms için gereken koflul fludur: Her > 0 için öle bir > 0 olml ki, < eflitsizli ini s ln her A\ {} için, ƒ() ƒ() < olsun. Bu noktd bir rtistlik pc z! Hem de en âlâs ndn! Süreklili in bu son tn m nd ill ƒ fonksionunun tn m kümesinde lml m d, nin herhngi bir elemn olrk ll m, bkl m bfl m z neler gelecek? Bfl m z pek bir fle gelmez, çünkü e er Aise ƒ() dn söz edemeiz ƒ() ƒ() < eflitsizli i nlms z olur, nlms z olmktn öte z lmz bile! Mdem öle, biz de tn md ƒ() erine nin herhngi bir b elemn n kor z! O zmn ukrdki koflul flöle z l r: her > 0 için öle bir > 0 olml ki, < eflitsizli ini s ln her A\ {} için, ƒ() b < olsun. ƒ fonksionu b noktlr l ilgili nlml bir koflul elde ettik. Koflul, sezgisel olrk flunu sölüor:, çok klflt nd m dn de iflik oldu und, ƒ(), b e çok klfl r. Koflulu flöle de ifde edebiliriz: E er i eterince k n m dn de iflik l rsk, ƒ() i b e istedi imiz kdr klflt rbiliriz. flte, k nsrken ƒ() in limiti b dir in tn m n n ukrdki gibi olms n istioruz. Am bu tn m teflebbüsünde küçük bir sorun vr, o d flu: E er nokts A kümesinin uz nds, dh mtemtiksel olrk ifde edelim: n n belli bir komflulu und A \ {} kümesinde hiç elemn oks, dh nlfl l r biçimde ifde edelim: bir > 0 için, (, + ) (A \ {}) = ise, gene bir bflk deiflle, bir > 0 için, (, + ) A {} ise, o zmn, < eflitsizli ini s ln bir A\ {} elemn bulunmc için, ukrdki tn m teflebbüsüne göre,, k nsrken her b s s ƒ nin bir limiti (Boflkümenin her elemn her koflulu s lr, dol - A = ƒ() s l boflkümenin her elemn ƒ() b < eflitsizli ini s lr.) Bu üzden tn mdki n n her > 0 için, (, + ) (A \ {}) koflulunu s lms gerekir ki her b s s limit olms n limit denen fle biricik olsun bir ifle rs n. Yukrdki koflulu s ln bir elemn n A n n o unlflm nokts denir. Limit kvrm n ele lmdn önce o unlflm nokts kvrm n göz tl m. Yo unlflm Nokts A, nin bir ltkümesi olsun. olsun. E er her > 0 için, (, + ) (A \ {}) ise A n n o unlflm nokts d rilir. A n n o unlflm nokts A d olbilir de olmbilir de. Örnekler. 1. nin o unlflm nokts oktur. 2. Sonlu bir kümenin o unlflm nokts oktur. 3. A = {1/n : n = 1, 2, 3,... } A {0} kümelerinin tek bir o unlflm nokts vrd r: {1/n + 1/m : n \ {0}} kümesinin o unlflm noktlr 0 bir n \ {0} s s için 1/n biçiminde z ln s lrd r. + E er bir > 0 için, (, + ) A {} oluors her b s s ƒ nin d limiti A + 42

3 5. (0, 1) ç k rl n n o unlflm noktlr kümesi [0, 1] kpl rl d r. 6. [0, 1] kpl rl n n her nokts kendisinin bir o unlflm nokts d r. Bu kümenin bflk d o unlflm nokts oktur. 7. (0, 1) (1, 2) kümesinin o unlflm noktlr kümesi [0, 2] kpl rl d r. 7. nün o unlflm noktlr kümesi dir. 8. \ nün o unlflm noktlr kümesi dir. Yo unlflm nokts kvrm nlizin en önemli kvrmlr ndn biridir. leride dh s k sözedece iz bu kvrmdn. Bu s d ihtic m z olmck m okurun kvrm dh ii hissetmesi için, o unlflm noktlr l ilgili önemli bir sonuç kn tll m. A 1/n n +1/n Önsv 1. n n A n n bir o unlflm nokts olms için gerek eter koflul, A d k nsn terimleri birbirinden de iflik oln bir dizinin bulunms d r. Kn t: ( ) Önce n n A n n bir o unlflm nokts oldu unu vrsl m. Demek ki, her pozitif n do l s s için, ( 1/n, + 1/n) (A \ {}) kümesinde bir n elemn bulunur. O zmn elbette lim n n = Am ( n ) n dizisinin terimleri birbirinden de iflik olmbilir. Bu dizinin, birbirinden de iflik terimleri oln bir ltdizisini bulmk zor de ildir. fiöle de kn tlbiliriz. Her n 0 için, eflitsizliklerini s ln n A elemnlr bulbiliriz. Bunu flöle pr z: 0 A herhngi bir elemn olsun. n s lr n tümevr ml bulc z. n nin bulundu unu vrsl m. = n /2 olsun. Tümevr m vrs m ndn dol > 0 d r., A n n bir o unlflm nokts oldu undn, (, + ) (A \ {}) fiimdi n+1 elemn n bu kümeden seçelim. stedi imiz koflul s ln r. Tümevr ml, her n > i için, eflitsizli i koll kl kn tln r. Demek ki n ler birbirinden de ifliktirler. i = 0 için, elde edilir. Demek ki, lim n n = fiimdi A d k nsn terimleri de iflik oln bir dizinin vrl n vrsl m. Böle bir ( n ) n dizisi ll m. > 0 herhngi bir s olsun. (, + ) (A \ {}) kümesinin bofl olmd n kn tlmm z gerekior. Am bu kümede ( n ) n dizisinin bir terimi olml! Önsv m z kn tlm flt r. Nihet Limit Tn m fiimdi rt k limit kvrm n n mtemtiksel tn m n rebiliriz. Tn m: A bir gerçel s lr kümesi olsun., A n n bir o unlflm nokts olsun. b olsun. Ve nihet ƒ : A bir fonksion olsun. E er her > 0 için, (, + ) (A \ {}) kümesindeki her s s n n ƒ() b < eflitsizli inin s lnd bir > 0 vrs, o zmn,, giderken ƒ() in limiti b dir d ƒ() in d limiti b dir denir. Yni, giderken ƒ() in limitinin b olms için, her pozitif s s için öle bir pozitif s s olml ki, (, + ) (A \ {}) koflulu, ƒ() b < eflitsizli ini gerektirmeli. Bu koflul dh simgesel olrk flöle z l r: >0 >0 A (0 < < ƒ() b < ). Bir noktn n lt n çizmek gerekir:, giderken demek,, çok klfl rken m, eflit olmdn klfl rken demektir; çünkü ƒ fonksionu d tn ml olmbilir (olbilir de m olmbilir de). Örne in = 0 olbilir. Bu örnekte ƒ fonksionu 0 d tn ml de- ildir m sf 50 de görece imiz üzere 0 d limiti vrd r bu limit 1 dir. 43

4 Limitin - oldu und, limit olmbilir çünkü - biricik oldu unu kn tll m: Önsv 2., giderken bir fonksionun limiti en fzl bir s olbilir. Yni, giderken bir fonksionun iki de iflik limiti olmz. Kn t: ƒ : A bir fonksion, A n n bir o unlflm nokts olsun. Dielim, giderken ƒ nin limiti hem b hem de c oluor. Kn t n nfikri flu:, çok k nken, ƒ() hem b e hem de c e k n olmz. Nitekim = b c /2 olsun. b c pozitif s lr, her A için, 0 < < b ƒ() b < 0 < < c ƒ() c < önermelerini s ls nlr. = min{ b, c } olsun., A n n bir o unlflm nokts oldu undn, A d 0 < < eflitsizliklerini s ln bir vrd r. O zmn, b c = (b ƒ()) + (ƒ() c) b ƒ() + ƒ() c < + = 2 = b c olur bu bir çeliflkidir. Yukrdki önsv sesinde,, giderken ƒ() in limiti b ise, b nin biricik oldu unu bilioruz; dol s l, gönül rhtl l lim ƒ() = b zbiliriz. Yz n n giriflinde pt m z trt flmdn flu önemli sonuç ç kr: Teorem 3. ƒ : A bir fonksion A olsun. E er, A n n bir o unlflm nokts de ilse, o zmn ƒ, d süreklidir. E er, A n n bir o- unlflm nokts s, ƒ nin nokts nd sürekli olms için lim ƒ() = ƒ() koflulu eter gerek kofluldur. Sf 40 tki teoremden Teorem 3 ten flu sonuçlr ç kr: Sonuç 4. ƒ : A bir fonksion Aolsun. Afl dki önermeler eflde erdir. i. ƒ, nokts nd süreklidir. ii. lim ƒ() = ƒ() iii. A n n k nsn her ( n ) n dizisi için, lim n ƒ( n ) = ƒ() eflitli i s lnml d r. Sonuç 5. ƒ : A bir fonksion olsun. Afl- dki önermeler eflde erdir. i. ƒ süreklidir. ii. Her A için lim ƒ() = ƒ(). iii. A d bir elemn k nsn A n n her ( n ) n dizisi için, lim n ƒ( n ) = ƒ(lim n n ) eflitli i s lnml d r. Örnek 1. fiu formülle tn mlnn fonksion bkl m: MD i dikktli okun okur ukrdki cümlede bir eksiklik oldu unu nlm flt r: Bir fonksionu tn mlmk için fonksionun kurl n rmek etmez, bir de r c fonksionun tn m de er kümelerini de rmek gerekir. (Tn m kümesi de er kümesinden birz dh önemlidir.) Bu formülle tn mlnn fonksionun tn m kümesi 1 i içermeen herhngi bir s kümesi olbilir; çünkü fonksion 1 de tn ml de ildir. Biz, ƒ fonksionunu \ {1} den kümesine giden bir fonksion olrk görece iz. Bu fonksion sl nd (kesirli ifdei sdelefltirerek), ƒ() = + 1 formülüle de rilebilirdi (m 1 koflulul!) Fonksionun grfi i flöle: 2 1 ƒ() = grfikte delik vr 1 s s \ {1} kümesinin bir o unlflm nokts - d r. Dol s l, her ne kdr fonksion 1 de tn ml de ilse de,, 1 e giderken fonksionun limitini lm çl flbiliriz: En sondki eflitlik,, 1 e eflit olmd ndn geçerli; bir önceki sfd lt n çizerek söledi imizi n ms n: Bir noktn n lt n çizmek gerekir:, giderken demek,, çok klfl rken 1 fonksionunun grfi i =

5 m, eflit olmdn, klfl rken demektir; çünkü ƒ fonksionu d tn ml olmbilir (olbilir de m olmbilir de), ni s s ƒ nin tn m kümesinde olmbilir. Nitekim burd = 1 bu s ƒ nin tn m kümesinde de il. Yukrdki prgrfl - nlfl l r bir biçimde sl nd - br fl k olmn okur flu eflitlik dh nlml gelecektir: lim 1 ƒ() = lim 1 (+1). Burdn devm edelim. g() = + 1 formülüle tnmlnn den e giden g fonksionu, polinoml bir fonksion oldu undn, süreklidir. Dol s l, Sonuç 4 e göre,, 1 e giderken g() in limiti g(1), ni = 2 dir. Sonuç olrk: lim 1 ƒ() = lim 1 (+1) = lim 1 g() = g(1) = 2. Yukrdki örnek belki kold kol bir örne i birz fzl r nt s l ç klm fl olbiliriz. Am bunun rrl oldu un inn oruz. Bir bflk önemli nokt dh: Ço u zmn, ukrdki örnekte oldu u gibi bir fonksionun de- il, bir ifdenin limiti l n r. Yni fonksionun tn m kümesi belirtilmez. Bu bzen sorun ol çbilir, çünkü fonksionun limiti fonksionun tn m kümesine göre de de iflebilir. Örne in, kurl l tn mlnm fl bir fonksionun 0 dki limiti fonksionun tn m kümesine göre de iflir. Tn m kümesi (, 0) ise limit 1 dir, tn m kümesi (0, ) ise limit 1 dir, tn m kümesi ise limit oktur. Am tslnm n, genellikle bir ifdenin limitinin l nms istenildi inde, bu tür nomlik durumlr olmck, limit tn m kümesine göre de iflmeecek. Bir polinom sürekli bir fonksion rdi inden, fl dki sonuçlr kold r. Sonuç 6. P(T) [X] bir polinoms ise, lim P() = P() Sonuç 7. P(T), Q(T) [X] iki polinoms, ise Q() 0 ise, o zmn lim P()/Q() = P()/Q() Limit Toplml Çrpm Bu bölümde limit lml toplm çrpm gibi ifllemler rs ndki iliflkileri irdeleece iz. Her fle diledi imiz d dilenmesi gerekti i gibi olck, lim ƒ() + lim g() = lim (ƒ()+g()) (lim ƒ())(lim g()) = lim ƒ()g() gibi eflitlikler, eflitli in sol trf ndki ifdeler nlml olduklr nd, do ru olcklr. (Bu, s trftki ifde de nlml olck nlm n gelir.) Not: Teorem 3 ten dol ƒ g fonksionlr, d sürekli oldu und bu eflitlikler do rudur. Yz n n devm nd sürekli n flei tekrrlmmk için flu tn mlr p oruz: A, bir gerçel s lr kümesi., A n n bir o unlflm nokts ƒ g, A dn e giden iki fonksion. Teorem 8. E er ƒ g nin d limitleri vrs o zmn ƒ + g ƒg fonksionlr n n d d limitleri vrd r lim ƒ() + lim g() = lim (ƒ+g)() (lim ƒ())(lim g()) = lim (ƒg)() eflitlikleri s ln r. Kn t: lim ƒ() = b lim ƒ() = c olsun. Önce dh kol oln toplmdn bflll m. > 0 rilmifl olsun. b, ƒ nin d limiti oldu- undn, öle bir 1 > 0 vrd r ki, ( 1, + 1 ) A kümesinin her s s ƒ() b < /2 eflitsizli ini s lr. Ar c c, g nin d limiti oldu- undn, öle bir 2 > 0 vrd r ki, ( 2, + 2 ) A kümesinin her s s g() c < /2 eflitsizli ini s lr. fiimdi = min{ 1, 2 } olsun. Elbette > 0. Elbette (, + ) A kümesinin her s s (ƒ() + g()) (b + c) = (ƒ() b) + (g() c) ƒ() b + g() c < /2 + /2 = olur birinci eflitlik bölece kn tlnm fl 45

6 Gelelim ikinci eflitli e. Bu bizi birincisinden birz dh fzl u rflt rck. Resmi kn t dh sonr b rk p trt fll m. > 0 rilmifl olsun. Öle bir > 0 r oruz ki, < ise, ƒ()g() bc < olsun. Bu ƒ()g() bc ifdesile on p ƒ()g() bc < eflitsizli inin geçerli olms için in n n ne kdr k n nd olms gerekti ini bull m. Bunun için elbette ƒ g i hesplr n içine sokml z. Hesplr bflll m: ƒ()g() bc = ƒ()g() ƒ()c + ƒ()c bc ƒ()g() ƒ()c + ƒ()c bc = ƒ() g() c + ƒ() b c. En s dki ƒ() g() c + ƒ() b c ifdesinin dn küçük olms n istioruz. Topln - ln terimlerin her birini /2 den küçük pbilirsek o zmn toplm dn küçük Bu ifdenin s- ndki ƒ() b c terimi bu ç dn bir sorun teflkil etmior, çünkü ne de ols c, ten b ms z sbit bir s ƒ nin dki limiti b oldu undn, ƒ() b s s /2 c den küçük olck biçimde seçebiliriz; o zmn, ƒ() b c terimi /2 den küçük (E er c = 0 ise, /2c de die bir fle oktur m e er c = 0 ise en s dki ifde zten kb c nin 0 olup olmms l u rflmk istemiorsk i ƒ() b s s /2( c +1) den küçük olck biçimde seçebiliriz.) S dki ƒ() g() c terimi dh problemtik çünkü, her ne kdr g() c i küçültebilirsek de, e er ƒ() s n rs z büürse çrp mlr çok küçük olmbilir. Demek ki ƒ() in c civr nd s n rl oldu- unu kn tlml z. Önce bunu kn tll m, dh sonr teoremin resmi kn t n ririz. Teorem 9. E er ƒ nin d limiti vrs o zmn ƒ, n n bir komflulu und s n rl d r; ni öle bir > 0 M vrd r ki, e er (, + ) A ise, ƒ() < M Kn t: lim ƒ() = b olsun. = 1 ll m. Limitin tn m ndn dol, öle bir > 0 vrd r ki, e er (, + ) A ise, ƒ() b < = 1 ni b 1 < ƒ() < b + 1 E er M = m{ b 1, b + 1 ise, bundn, ƒ() < M ç kr. 1) lim ƒ() = b oldu undn, öle bir 1 > 0 vrd r ki, e er ( 1, + 1 ) A ise, Dol s l bu durumd, 2) Ar c, gene lim ƒ() = b oldu undn, Teorem 7 e göre, öle bir 2 > 0 M > 0 vrd r ki, e er ( 2, + 2 ) A ise, ƒ() < M (2) 3) lim g() = c oldu undn, öle bir 3 > 0 vrd r ki, e er ( 3, + 3 ) A ise, 4) fiimdi = min{ 1, 2, 3 } > 0 (, + ) A ise olsun. O zmn (1, 2, 3) eflitsizliklerinden dol, ƒ()g() bc = ƒ()g() ƒ()c + ƒ()c bc ƒ()g() ƒ()c + ƒ()c bc = ƒ() g() c + ƒ() b c M ( /2M) + /2 = /2 + /2 = Teorem 8 kn tlnm flt r. Sonuç 10. E er ƒ nin d limiti vrs r herhngi bir gerçel s s, o zmn rƒ fonksionunun d d limiti vrd r lim rƒ() = r lim ƒ() eflitli i s ln r. Kn t: Teorem 8 den g() = r lrk ç kr. Bir bflk kn t: lim ƒ() = b olsun. E er r = 0 ise her fle ortd. Bundn böle r nin 0 olmd n vrsl m. Limitin tn m n göre, öle bir > 0 vrd r ki, her (, + ) A için ƒ() b < / r olur, demek ki, rƒ() rb = r ƒ() b < r / r = Sonuç kn tlnm flt r. Bu sonucun briz bir sonucu: lim ƒ() = lim ƒ(); tbii e er s dki ifdenin nlm vrs, ni s dki limit vrs... Teorem 6 n n kinci K sm n n Resmi Kn t : > 0 rilmifl olsun. 46

7 Sf 45 teki Örnek 2 den Teorem 6 dn dol (5/7) 2 = 25/49 bulunur. Teorem 8 e benzer bir sonuç 1/ƒ fonksionu için de geçerlidir: Teorem 10. E er lim ƒ() vrs 0 de ilse o zmn lim 1/ƒ() de vrd r eflitli i geçerli Bu teoremi kn tlmdn önce Teorem 7 nin bir benzerini kn tlml z. Teorem 11. E er ƒ nin d limiti vrs bir c için, lim ƒ() > c oluors, o zmn öle bir > 0 vrd r ki, e er (, + ) A ise, ƒ() > c Kn t: lim ƒ() = b > c olsun. = b c> 0 olsun. O zmn öle bir > 0 vrd r ki, e er (, + ) A ise, ƒ() b <, demek ki, c = b < ƒ() Elbette benzer teorem < eflitsizlik iflreti için de geçerlidir. Teorem 10 un kn t nd ukrdki teoremi c = 0 ugulc z. Teorem 10 un Kn t : lim ƒ() = b olsun. Sonuç 8 e göre, gerekirse ƒ erine ƒ lrk, b nin pozitif oldu unu vrsbiliriz. > 0 olsun. 1) lim ƒ() = b > b/2 oldu undn, Teorem 10 göre öle bir 1 > 0 vrd r ki, e er ( 1, + 1 ) A ise, ƒ() > b/2 2) Öte ndn, lim ƒ() = b oldu undn, öle bir 2 > 0 vrd r ki, e er ( 2, + 2 ) A ise, ƒ() b < b 2 /2 = min{ 1, 2 } olsun. E er (, + ) A ise, ukrdki iki prgrf kullnrk, buluruz. Bir teoremin dh sonun geldik. Limit S rlm Bir önceki bölümde s rlml ilgili bir sonuç kn tld k, dh do rusu kn tlmk zorund kld k: Bu bölümde de rd m m z etiflecek oln Teorem 10. Bun eflitsizlikle ilgili bflk sonuçlr d ekleece iz. ƒ, g, A, bir önceki bölümdeki gibi olsunlr. E er bir > 0 için her (, + ) A elemn ƒ() g() eflitsizli ini s l ors, o zmn n n bir komflulu und ƒ g denir. Teorem 12. E er lim ƒ() lim g() vrs n n bir komflulu und ƒ g ise o zmn, lim ƒ() lim g() Kn t: n n bir komflulu und ƒ g oldu undn, tn m gere i, öle bir > 0 vrd r ki, her (, + ) A için ƒ() g() lim ƒ() = b lim g() = c olsun. Bir n için, b > c vrs m n pl m. olsun. O zmn, lim g() = c < d < b = lim ƒ() Teorem 10 göre, öle bir 1 > 0 vrd r ki, e er ( 1, + 1 ) A ise, ƒ() > d Gene Teorem 11 e göre (dh do rusu Teorem 11 in benzerine göre), öle bir 2 > 0 vrd r ki, e er ( 2, + 2 ) A ise, g() < d Demek ki e er < min{, 1, 2 } ise, ƒ() > d > g() Bu d < iken ƒ() g() gerçe ile çeliflir. Teorem 13 [Sndviç Teoremi]. h, A d tn ml gerçel s lrd de er ln bir fonksion olsun. E er lim ƒ() lim g() vrs eflitlerse n n bir komflulu und ƒ h g ise o zmn, lim ƒ() = lim h() = lim g() Kn t: E er lim (h() ƒ()) limiti oldu unu bu limitin 0 eflit oldu unu gösterirsek, o zmn h() = (h() ƒ()) + ƒ() oldu undn, Teorem 6 göre, lim h() vrd r 47

8 lim h() = lim (h() ƒ()) + lim ƒ() = 0 + lim ƒ() = lim ƒ() Demek ki n n bir komflulu und 0 h ƒ g ƒ eflitsizlikleri lim (g() ƒ()) = 0 eflitli i vrs mlr ndn hreketle lim (h() ƒ()) limitinin oldu unu 0 eflit oldu unu kn tlmm z gerekior. h ƒ erine h, g ƒ erine g zl m lim g() = 0 eflitli inden n n bir komflulu und 0 h g eflitsizliklerinden hreketle, lim h() limitinin oldu unu 0 eflit oldu unu kn tlmm z gerekior. > 0 olsun. lim g() = 0 oldu undn öle bir 1 > 0 vrd r ki, ( 1, + 1 ) A rl ndki her s s için, < g() < eflitsizli i s ln r. n n bir komflulu und 0 h g oldu undn öle bir 2 > 0 vrd r ki, ( 2, + 2 ) A kümesindeki her s s için, 0 ƒ() g() Demek ki e er = min{ 1, 2 } ise, her ( 2, + 2 ) A için, 0 ƒ() g() <, ni ƒ() < s ln r. Demek ki lim ƒ() = 0. Al flt rmlr 1. E er lim ƒ() vrs o zmn lim ƒ() limitinin de oldu unu lim ƒ() = lim ƒ() eflitli inin geçerli oldu unu kn tl n. 2. lim ƒ() = 0 ile lim ƒ() = 0 eflitliklerinin eflde er olduklr n kn tl n. (Birinin limiti vrs 0 eflitse, di erinin de vrd r o d 0 eflittir.) Am bunun 0 d fl nd bir s için do ru olmd n kn tl n. Limit Bileflke Bu son bölümde, limitle fonksionlr n bileflkesi rs ndki iliflkii irdeleece iz. Teorem 14. lim ƒ() = b olsun ƒ, n n bir komflulu und birebir olsun. ƒ(a) B, bir bflk gerçel s lr kümesi g, B den e giden bir bflk fonksion olsun. E er lim b g() = c ise lim g(ƒ()) vrd r c e eflittir. Kn t: > 0 olsun. lim b g() = c oldu undn, öle bir 1 > 0 vrd r ki her (b 1, b + 1 ) B \ {b} için, g() (c, c + ) Ar c lim ƒ() = b oldu undn, öle bir > 0 vrd r ki her (, + ) A \ {} için, ƒ() (b 1, b + 1 ) ƒ, n n bir komflulu und birebir oldu undn, ƒ, n n bu komflulu und b de erini en fzl bir kez lbilir. > 0 s s n, (, + ) A \ {} ise ƒ() b olck kdr küçük seçebiliriz. fiimdi (, + ) A \ {} ise, önce, ƒ() (b 1, b + 1 ) B \ {b} olur; sonr d, ilk prgrftn dol g(ƒ()) (c, c + ) Kn t m z tmmlnm flt r. Teorem 15. lim ƒ() = b olsun. ƒ(a) B, bir bflk gerçel s lr kümesi olsun. g, B den e giden b de sürekli oln bir bflk fonksion olsun. O zmn lim g(ƒ()) = g(b) Kn t: g sürekli oldu undn, lim g(ƒ()) = g(lim ƒ()) = g(b) Al flt rmlr 1. E er lim ƒ() = b ise ƒ, n n bir komflulu und birebirse, o zmn b nin ƒ(a) n n bir o unlflm nokts oldu unu kn tl n. (ƒ, sbit b fonksionus bu nl fl). 2. {1/n + 1/m : n \ {0}} kümesinin o unlflm noktlr n n 0 bir n \ {0} s s için 1/n biçiminde z ln s lr oldu unu kn tl n. 48

Parabol, Elips ve Hiperbol Cebirsel Tan mlar ve Geometrik Çizimler

Parabol, Elips ve Hiperbol Cebirsel Tan mlar ve Geometrik Çizimler Mtemtik Düns, 2005 Yz Kpk Konusu: Konikler Geçen z d, ir koni in denkleminin, düzlemin eksenlerini döndürerek ve öteleerek, 0, c ve ƒ sitleri için, 2 + c 2 = 0, 2 = ƒ, 2 + c 2 = 1, d = 2 içiminde z lilece

Detaylı

Süreklilik. Kapak Konusu: Gerçel Say lar V: Süreklilik ve Limit

Süreklilik. Kapak Konusu: Gerçel Say lar V: Süreklilik ve Limit Mtemtik Düns, 2008-III Mtemti in en önemli ve en temel konulr ndn birine geldik: Süreklilik. Her zmnki gibi öne kvrm n sezgisel nlm n ç kll m. Bz fonksionlr n grfi inde kopukluk oktur, bz lr nd ise tm

Detaylı

Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl

Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl 48. Limit Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl ve bu ders notlar n n oldukça uzun bir bölümünü bu kavrama ay rm flt k. Bu bölümde benzer bir limit kavram tan taca z. E er ƒ bir

Detaylı

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi Kesir.. Trlı lnı gösteren kesri bulunuz. kesrini ile genişlettiğimizde elde edilecek kesri bulunuz.. Yndki şekilde bir bütün 8 eş prçy bölünmüş ve bu prçlrdn tnesi trnmıştır. Trlı lnı gösteren kesir syısı

Detaylı

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlar n geçmiflte bir seri olarak tan mlam flt k.

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlar n geçmiflte bir seri olarak tan mlam flt k. 58. Trigonometrik Fonksiyonlr ve Pi Sy s Sinüs ve kosinüs fonksiyonlr n geçmiflte bir seri olrk tn mlm flt k. Tn mlr n mstl m: 2i1 3 5 i x x x sin x ( 1) x i0 ( 2 i 1)! 3! 5! 2i 2 4 i x x x cos x ( 1)

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

TEST - 1 KATI BASINCI. I. yarg do rudur. II. yarg yanl flt r. Buna göre, fiekil-i de K ve L cisimlerinin yere yapt klar bas nçlar eflit oldu una göre,

TEST - 1 KATI BASINCI. I. yarg do rudur. II. yarg yanl flt r. Buna göre, fiekil-i de K ve L cisimlerinin yere yapt klar bas nçlar eflit oldu una göre, TI BSINCI TEST - 1 1 1 π dir π Bun göre, 4 > 1 CEV B de ve cisimlerinin e ypt klr s nçlr eflit oldu un göre, SX S Z + 4 8 S Y I II III CEV B Tu llr n X, Y ve Z noktlr n ypt s nç, X S Y S Z S dir Bun göre,

Detaylı

Ö rendiklerimizi Nerelerde Kullanabiliriz? Alan tahmin etmede kullanabiliriz.

Ö rendiklerimizi Nerelerde Kullanabiliriz? Alan tahmin etmede kullanabiliriz. 4.1 Aln Neler Ö renece iz? Geometrik flekillerin lnlr n hesplyc z. Ö rendiklerimizi Nerelerde Kullnbiliriz? Aln thmin etmede kullnbiliriz. Söz Vrl Prlelkenrsl bölge Bir y içinde yklfl k lt metre krelik

Detaylı

A A A A A TEMEL MATEMAT K TEST. + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 4.

A A A A A TEMEL MATEMAT K TEST. + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki TEMEL MATEMAT K TEST  bölümüne iflaretleyiniz. 4. TEMEL MTEMT K TEST KKT! + u bölümde cevplyc n z soru sy s 40 t r + u bölümdeki cevplr n z cevp k d ndki "TEMEL MTEMT K TEST " bölümüne iflretleyiniz.. ( + )y + = 0 (b ) + 4y 6 = 0 denklem sisteminin çözüm

Detaylı

BÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a.

BÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a. MTEMTİK BÖLÜM 5 Tşkın, Çetin, bdullyev MTRİS ve DETERMİNNTLR 5 MTRİSLER Tnım : mni,,, j + olmk üzere tüm ij reel syılrdn oluşn m m n n mn tblosun m x n tipinde bir mtrisi denir ve kısc şeklinde gösterilir

Detaylı

ege yayıncılık Oran Orant Özellikleri TEST : 91 a + 3b a b = 5 2 0,44 0,5 = 0,22 oldu una göre, a + b en az kaçt r? A) 3 B) 11 C) 14 D) 15 E) 16

ege yayıncılık Oran Orant Özellikleri TEST : 91 a + 3b a b = 5 2 0,44 0,5 = 0,22 oldu una göre, a + b en az kaçt r? A) 3 B) 11 C) 14 D) 15 E) 16 Orn Ornt Özellikleri TEST : 91 1. 0,44 0,5 = 0,22 5. + 3 = 5 2 2. 3. 4. oldu un göre, kçt r? A) 0,2 B) 0,25 C) 0,5 D) 0,6 E) 0,75 y = 3 4 + y oldu un göre, y orn kçt r? A) 7 B) 1 C) 1 D) 7 E) 10 oldu un

Detaylı

JOVO STEFANOVSKİ NAUM CELAKOSKİ. Sekizyıllık İlköğretim

JOVO STEFANOVSKİ NAUM CELAKOSKİ. Sekizyıllık İlköğretim JOVO STEFNOVSKİ NUM CELKOSKİ Sekizyıllık İlköğretim Syın Öğrenci! u kitp, ders proğrmınd öngörülen ders mlzemesini öğrenmek için yrdımcı olcktır. Vektörler, öteleme ve dönme hkkınd yeni ilginç bilgiler

Detaylı

LYS LİMİT. x in 2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade edilir? şeklinde gösterilir. lim. şeklinde gösterilir. f(x) lim f(x) ise lim f(x) yoktur.

LYS LİMİT. x in 2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade edilir? şeklinde gösterilir. lim. şeklinde gösterilir. f(x) lim f(x) ise lim f(x) yoktur. Mtemtik SAĞDAN VE SOLDAN YAKLAŞMA Yndki tblod bir değişkeninin 4 sısın sğdn ve soldn klşımı ifde edilmiştir. u durumu genellemek gerekirse; değişkeni re el s ı sın, dn kü çük de ğer ler le k l şı or s,

Detaylı

12. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI

12. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI 12. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI Progrmın öğrencilerde geliştirmeyi hedeflediği becerilerle 12. sınıf mtemtik öğretim progrmı ilişkisi Modelleme/Problem çözme Mtemtiksel Süreç Becerileri

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

Uzunluklar Ölçme. Çevre. Alan. Zaman Ölçme. S v lar Ölçme. Hacmi Ölçme

Uzunluklar Ölçme. Çevre. Alan. Zaman Ölçme. S v lar Ölçme. Hacmi Ölçme MTEMT K Uzunluklr Ölçme Çevre ln Zmn Ölçme S v lr Ölçme Hcmi Ölçme Temel Kynk 5 Uzunluklr Ölçme UZUNLUKLRI ÖLÇME Çevremizde metre, sntimetre, milimetre vey bunlr n herhngi ikisi ile söyledi imiz uzunluklr

Detaylı

Komisyon. ALES EŞİT AĞRILIK ve SAYISAL ADAYLARA TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 978-605-364-214-5

Komisyon. ALES EŞİT AĞRILIK ve SAYISAL ADAYLARA TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 978-605-364-214-5 Komisyon LES EŞİT ĞRILIK ve SYISL DYLR TMMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 97-605-36-1-5 Kitpt yer ln ölümlerin tüm sorumluluğu yzrın ittir. Pegem kdemi Bu kitın sım, yyın ve stış hklrı Pegem kdemi Yy. Eğt. Dn.

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı 8. sısının pozitif tek tmsı bölenlerinin sısı kçtır? 8. olmk üzere; kesrinin değeri şğıdkilerden hngisi olmz?. (8!) sısının sondn kç bsmğı sıfırdır? 8. ifdesinin sonucu kçtır? (

Detaylı

DERS 1. Sayı Kümeleri ve Koordinatlar

DERS 1. Sayı Kümeleri ve Koordinatlar DERS Syı Kümeleri ve Koordintlr. Kümeler. Mtemtiğin temel kvrmlrındn biri küme kvrmıdır. Okuyucunun küme kvrmın ybncı olmyıp kümelerle ilgili temel işlemleri bildiğini kbul ediyoruz. Bununl berber, kümelerle

Detaylı

Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran

Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran 51. Limitler ve Sonsuzlar Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran kavramlardan söz edece iz. Örne in lim ƒ() = b, lim a ƒ() = b ve lim ƒ() = gibi eflitliklerin matematiksel anlamlar n

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?

Detaylı

b göz önünde tutularak, a,

b göz önünde tutularak, a, 3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi

Detaylı

BÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ

BÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ BÖLÜM : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ (Rndom Vribles Giriş: Bölüm de olsılık fonksionu, denein örneklem uzını oluşurn sonuçlrın erimleri ile belirleniordu. Örneğin; iki zr ıldığınd, P gelen 6 olsı sırlı ikilinin

Detaylı

Olas l k Hesaplar (II)

Olas l k Hesaplar (II) Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele

Detaylı

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s 331 13. Gerçel Say lar Kümesi Nihayet gerçel say lar tan mlayaca z. Bir sonraki bölümde gerçel say lar üzerine dört ifllemi ve s ralamay tan mlay p bunlar n özelliklerini

Detaylı

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü, 005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.

Detaylı

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir: Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak

Detaylı

SORU SORU. ABCDEF... düzgün çokgenin ard fl k köfleleridir. m(ebf) = 12 ise

SORU SORU. ABCDEF... düzgün çokgenin ard fl k köfleleridir. m(ebf) = 12 ise GMR erginin bu sy s nd Çokgenler ve örtgenler konusund çözümlü sorulr yer lmktd r. u konud, ÖSS de ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel bilgileri ve prtik yollr, sorulr m z n çözümü içinde ht rltmy

Detaylı

Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi

Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi Ek 3. Sonsuz Küçük Eleman Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi tahmin edece iniz bir numara gerçeklefltirece iz: 3/5, 7/9, 4/5 ve 3 gibi kesirli say lara bir eleman ekleyece iz. Miniminnac

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

Kontak İbreli Termometreler

Kontak İbreli Termometreler E-mil: Fx: +49 661 6003-607 www.jumo.net www.jumo.co.uk www.jumo.us Veri Syfsı 608523 Syf 1/8 Kontk İbreli Termometreler Özellikler Pnel montj vey ek cihz gibi proses değeri göstergeli sıcklık kontrolörü

Detaylı

Geometri Köflesi. Napoléon un bilimi ve matemati i sevdi i, hatta. Napoléon ve Van Aubel Teoremleri. Mustafa Ya c

Geometri Köflesi. Napoléon un bilimi ve matemati i sevdi i, hatta. Napoléon ve Van Aubel Teoremleri. Mustafa Ya c temtik ünys, 2004 z Npoléon ve n uel Teoremleri Npoléon un ilimi ve mtemti i sevdi i, htt ir ölçüde yetenekli oldu u d ilinir. ünyy fethetmeye çl flmktn ve imprtorluk mesle inden rt kln zmnlr nd, sürekli

Detaylı

Yükseköğretime Geçiş Sınavı (Ygs) / 1 Nisan 2012. Matematik Soruları ve Çözümleri

Yükseköğretime Geçiş Sınavı (Ygs) / 1 Nisan 2012. Matematik Soruları ve Çözümleri Yükseköğretime Geçiş Sınvı (Ygs) / Nisn 0 Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri. 0,5, işleminin sonuu kçtır? 0,5 0, A) 5 B) 5,5 C) 6 D) 6,5 E) 7 Çözüm 0,5 0,5, 0, 05 50 5.5.4 5.5. 4 4 0 5 .. 4.6 6 işleminin sonuu

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

PLAJLARDA ÇEVRE BİLİNÇLENDİRME PROJESİ. (19-22 Ağustos 2013 Akyaka)

PLAJLARDA ÇEVRE BİLİNÇLENDİRME PROJESİ. (19-22 Ağustos 2013 Akyaka) PLAJLARDA ÇEVRE BİLİNÇLENDİRME PROJESİ (19-22 Ağustos 213 Akyk) Pljlr Çevre Bilinçlenirme Projesi 19-22 Ağustos trihleri rsın TÜRÇEV Muğl Şuesi ve Akyk Beleiyesi iş irliği ile gerçekleştirili. Proje TÜRÇEV

Detaylı

Geometri Köflesi. Diklik Merkezi. Üçgen Eflitsizli inin Bir Sonucu Bilindi i üzere bir üçgenin alan, taban yükseklik/2 dir.

Geometri Köflesi. Diklik Merkezi. Üçgen Eflitsizli inin Bir Sonucu Bilindi i üzere bir üçgenin alan, taban yükseklik/2 dir. Mtemtik üns, 2004 Güz Geometi Köflesi Mustf Y c gcimustf@hoo.com iklik Mekezi i üçgenin üç üksekli i dim tek noktd kesifli. u nokt üçgenin diklik mekezi deni. = iklik mekezi genelde ile gösteili. Üçgen

Detaylı

LKÖ RET M MATEMAT K 8 Ö RETMEN KILAVUZ K TABI. Lokman GÜNDO DU

LKÖ RET M MATEMAT K 8 Ö RETMEN KILAVUZ K TABI. Lokman GÜNDO DU LKÖ R M MM K 8 Ö RMN KILVUZ K I Lokmn GÜNO U u kitp, Millî itim knl lim ve erbiye Kurulu flknl n n 8.06.00 trih ve 6 sy l krr yl 0-0 ö retim y l ndn itibren (befl) y l süreyle ders kitb olrk kbul edilmifltir.

Detaylı

BİLİMSEL SÜREÇLERİN KAZANIMINA YÖNELİK BİR PROGRAM ÇALIŞMASI

BİLİMSEL SÜREÇLERİN KAZANIMINA YÖNELİK BİR PROGRAM ÇALIŞMASI BİLİMSEL SÜREÇLERİN KAZANIMINA YÖNELİK BİR PROGRAM ÇALIŞMASI Dilek ARDAÇ, Ebru MUĞALOĞLU Boğziçi Üniversitesi, Eğitim Fkültesi, OFMA Eğitimi Bölümü, İSTANBUL ÖZET: Çlışm bilimsel süreçlerin kznımını mçlyn

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI ., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8

Detaylı

ÖRNEK - 1 ÖRNEK x 3 4x 2 + 6x. 2x 3 4x 2 + 6x ifadesinde her terimdeki ortak çarpan 2x tir. 2x(x 2 2x + 3) ÖRNEK - 3.

ÖRNEK - 1 ÖRNEK x 3 4x 2 + 6x. 2x 3 4x 2 + 6x ifadesinde her terimdeki ortak çarpan 2x tir. 2x(x 2 2x + 3) ÖRNEK - 3. ÇARPANLARA AYIRMA çerisinde bilinmeen bulunn ve bilinmeenlerin her de eri için dim do ru oln eflitliklere özdefllik denir. Örne in; ÖRNEK - Afl dki ifdeleri ortk çrpn prntezlerine lrk çrpnlr r n z. ) +

Detaylı

5. a ve b pozitif tamsay lard r say taban olmak üzere,

5. a ve b pozitif tamsay lard r say taban olmak üzere, 1. ve b pozitif tmsy lrd r. + b = 13 oldu un göre, + 3b toplm n n en büyük de eri kçt r? 5. ve b pozitif tmsy lrd r. Yndki bölme iflleminde, n n lbilece i en büyük de er kçt r? b 8 b 8 ) 4 ) 8 ) 34 ) 37

Detaylı

OKUL DENEYİMİ VE KAYNAŞTIRMA UYGULAMALARI

OKUL DENEYİMİ VE KAYNAŞTIRMA UYGULAMALARI OKUL DENEYİMİ VE KAYNAŞTIRMA UYGULAMALARI Uygulm Yönerge Kitpçığı 11.02.2015 ESOGÜ Eğitim Fkültesi Özel Eğitim Bölümü ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAKÜLTESİ ÖZEL EĞİTİM BÖLÜMÜ 2014-2015 BAHAR

Detaylı

Milli Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbiye Kurulu Bakanlığı'nın 30.12.2010 tarih ve 330 sayılı kararı ile kabul edilen ve 2011 2012 Öğretim Yılından

Milli Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbiye Kurulu Bakanlığı'nın 30.12.2010 tarih ve 330 sayılı kararı ile kabul edilen ve 2011 2012 Öğretim Yılından Milli ğitim knlığı, Tlim ve Terbie urulu knlığı'nın 0.1.010 trih ve 0 sılı krrı ile kbul edilen ve 011 01 Öğretim Yılındn itibren ugulnck progrm göz önüne lınrk hzırlnmıştır. u kitb n her hkk skl d r ve

Detaylı

1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? 986 ÖSS. (0,78+0,8).(0,3+0,7) Yukrıdki işlemin sonucu nedir? B) C) 0, D) 0, E) 0,0. doğl syısı 4 ile bölünebildiğine göre şğıdkilerden hngisi tek syı olbilir? Yukrıdki çrpm işleminde her nokt bir rkmın

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır.

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır. YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS /LYS - - - 0/ 0/ ĐŞLEM ( ) ( ) (+ ) ( ) 7 6 76+ bulunur ve e bğlı bütün tnımlı fonksionlr bir işlem belirtir i göstermek için +,,*, gibi işretler kullnılır

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı., b olduğun göre, b. b ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir?,,,9 8... b b ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir?.. Bun göre, verilior. ifdesinin değeri kçtır? 8. b b c 8 c d

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =?

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =? Lisns Yerleştirme Sınvı (Ls ) 6 Hirn Mtemtik Sorulrının Çöümleri 8 sı tnınd verilen ( ) 8 sısının sı tnınd ılışı? Bu durumd ( ) 8 sısı önce tnın çevrilir Sonr tnınd ılır ( ) 8 8 8 8 Bun göre ( ) 8 ( )

Detaylı

Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama

Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama Ç karma ve Kare Alma Alt nda Kapal Kümeler Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r; bir baflka deyiflle, iki do al say y toplarsak ya da çarparsak

Detaylı

steme Adresi Ekstrem Yayıncılık Tlf: (0322) 235 64 65 Belgeç : (0322) 232 86 27 www.ekstrem.com.tr Grafik Tasar m Dizgi Ekstrem Yay nc l k

steme Adresi Ekstrem Yayıncılık Tlf: (0322) 235 64 65 Belgeç : (0322) 232 86 27 www.ekstrem.com.tr Grafik Tasar m Dizgi Ekstrem Yay nc l k u kit n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. Kit it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. Kit n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN: 978 0 9 8 9 steme dresi kstrem Yıncılık Tlf: (0)

Detaylı

BÖLÜM II B. YENĐ ÇELĐK BĐNALARIN TASARIM ÖRNEKLERĐ ÖRNEK 6 ĐKĐ DOĞRULTUDA SÜNEKLĐK DÜZEYĐ YÜKSEK MERKEZĐ ÇAPRAZ PERDELĐ ÇELĐK BĐNANIN TASARIMI

BÖLÜM II B. YENĐ ÇELĐK BĐNALARIN TASARIM ÖRNEKLERĐ ÖRNEK 6 ĐKĐ DOĞRULTUDA SÜNEKLĐK DÜZEYĐ YÜKSEK MERKEZĐ ÇAPRAZ PERDELĐ ÇELĐK BĐNANIN TASARIMI BÖLÜM II B. YENĐ ÇELĐK BĐNALARIN TASARIM ÖRNEKLERĐ ÖRNEK 6 ĐKĐ DOĞRULTUDA SÜNEKLĐK DÜZEYĐ YÜKSEK MERKEZĐ ÇAPRAZ PERDELĐ ÇELĐK BĐNANIN TASARIMI 6.1. SĐSTEM... 6/ 6.. YÜKLER... 6/4 6..1. Düşey Yükler...

Detaylı

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi

Detaylı

Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. 5.1. Üstel Fonksiyon. 5.2. Logaritma Fonksiyonu. 5.3. Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler

Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. 5.1. Üstel Fonksiyon. 5.2. Logaritma Fonksiyonu. 5.3. Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler Ünite ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR f() g() log.. Üstel Fonksion / / / /.. Logritm Fonksionu.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR KAZANIM ve İÇERİK.

Detaylı

9. SINIF GEOMETRİ KONU ANLATIMLI SORU BANKASI

9. SINIF GEOMETRİ KONU ANLATIMLI SORU BANKASI 9. SINI GMTRİ NU NLTIMLI SRU NSI u kitb n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. itb it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. itb n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN : 978 0 7 0 steme

Detaylı

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm LOGARİTMA Üstel Fonksion >0 ve olmk üzere f:r R +, f() = şeklindeki fonksionlr üstel fonksion denir. Üstel fonksionlr birebir ve örtendir. f:r R +, f()=( ) bğıntısının üstel fonksion olup olmdığını inceleiniz.

Detaylı

LİMİT ve SÜREKLİLİK LİMİT 12. BÖLÜM. Fonksiyonun Grafiğinden Yararlanarak Limit Bulma ve Sağdan- soldan Limit. Örneğin Şekildeki f(x) fonksiyonun

LİMİT ve SÜREKLİLİK LİMİT 12. BÖLÜM. Fonksiyonun Grafiğinden Yararlanarak Limit Bulma ve Sağdan- soldan Limit. Örneğin Şekildeki f(x) fonksiyonun . BÖLÜM LİMİT ve SÜREKLİLİK LİMİT Acip muhbbet bi konu. Limit bir klşm olıdır. Bir sğdn klşıorsunuz. Bir de soldn. Eğer klştığınız şe(değer) nı ise problem ok. Am sğdn ve soldn klşırken hedef şşmış ve

Detaylı

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır. LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m...... n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ;

Detaylı

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:

Detaylı

steme Adresi Ekstrem Yayıncılık Tlf: (0322) 235 64 65 Belgeç : (0322) 232 86 27 www.ekstrem.com.tr Grafik Tasar m Dizgi Ekstrem Yay nc l k

steme Adresi Ekstrem Yayıncılık Tlf: (0322) 235 64 65 Belgeç : (0322) 232 86 27 www.ekstrem.com.tr Grafik Tasar m Dizgi Ekstrem Yay nc l k u kit n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. Kit it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. Kit n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN: 978 0 9 8 9 steme dresi kstrem Yıncılık Tlf: (0)

Detaylı

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ LYS 06 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ 6.. 5. 5. ( ) 8 6 65 buluruz. 5. 5 5 Doğru Cevp: C Şıkkı 8 7 ()... 9 buluruz. Doğru Cevp : D Şıkkı 9 8 8 9 8 9 8 9 9 9 9 9 8 buluruz. 8 8 8 8 8 Doğru Cevp : A Şıkkı (n )! (n

Detaylı

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi 25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce

Detaylı

YGS GEOMETRİ KONU ANLATIMLI SORU BANKASI

YGS GEOMETRİ KONU ANLATIMLI SORU BANKASI YGS GMTRİ NU NLTIMLI SRU NSI u kitb n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. itb it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. itb n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN : 978 0 0 7 0 steme

Detaylı

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik

Detaylı

ORAN ORANTI 2 1 3 - - 4 4 2 1 1 2 ÖYS. = = yazılabilir. veya ALIŞTIRMALAR

ORAN ORANTI 2 1 3 - - 4 4 2 1 1 2 ÖYS. = = yazılabilir. veya ALIŞTIRMALAR YILLAR 00 003 00 00 006 00 008 009 00 0 3 - - ÖYS ORAN ORANTI ve t. t. t.e zılilir. f Or: E z iri sıfır frklı ı iste iki çokluğu ölümüe or eir. Or irimsizir. Ortı : iki ve h fzl orı eşitliğie ortı eir.

Detaylı

Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k}

Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k} Kapak Konusu: Topoloji Çarp m Topolojisi Bu yaz da topolojik uzaylar n kartezyen çarp m n do al bir topolojik uzay yap s yla donataca z. E er ve topolojik uzaylarsa, üzerine en do al topolojik yap, herhalde,

Detaylı

OKS DENEME SINAVI II

OKS DENEME SINAVI II OKS DENEME SINVI II TÜRKÇE TEST 1. Bu bölümde cevplyc n z soru sy s 25'tir. 2. Cevplr n z cevp kâ d n z n Türkçe için yr ln k sm n iflretleyiniz. 1. 1. S n ftki olylr hrfi hrfine bbs n nltt. 2. Sözlerimi

Detaylı

Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir

Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir 20. Seçim Aksiyomu Neden Do ald r? Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir aksiyom oldu una ikna etmeye çal flaca z. Bu bölüm de okuru ikna etmezse hiçbir fley etmez! Ç k fl noktam z Bertrand

Detaylı

Üst Üçgensel Matrisler

Üst Üçgensel Matrisler Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24. DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı.,, z rdışık pozitif tmsılr ve z olmk üzere; z olduğun göre, kçtır? C). olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir? C) 8 6., b, c Z olmk üzere; b c bc c b olduğun göre,,

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

DENEY 3: EŞDEĞER DİRENÇ, VOLTAJ VE AKIM ÖLÇÜMÜ

DENEY 3: EŞDEĞER DİRENÇ, VOLTAJ VE AKIM ÖLÇÜMÜ A. DENEYĠN AMACI : Direnç devrelerinde eşdeğer direnç ölçümü ypmk. Multimetre ile voltj ve kım ölçümü ypmk. Ohm knununu sit ve prtik devrelerde nlmy çlışmk. B. KULLANILACAK AAÇ VE MALZEMELE : 1. DC güç

Detaylı

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir B irçok yaz mda olas l k sorusu sordum. Bu yaz mda soru sormayaca m, sadece olas l n matematiksel tan m n verece im. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 say lar aras

Detaylı

Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun

Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun B u yaz da yoksulu kazand raca z. Küçük bir olas l kla da olsa, yoksul kazanabilecek. Oyunu aç klamadan önce, Sonlu Oyunlar adl yaz m zdaki (sayfa 17) oyunu an msayal m:

Detaylı

Sistem Dinamiği ve Modellemesi. Doğrusal Sistemlerin Sınıflandırılması Doğrusal Sistemlerin Zaman Davranışı

Sistem Dinamiği ve Modellemesi. Doğrusal Sistemlerin Sınıflandırılması Doğrusal Sistemlerin Zaman Davranışı Sim Dinmiği v Modllmi Doğrul Simlrin Sınıflndırılmı Doğrul Simlrin Zmn Dvrnışı Giriş: Sim dinmiği çözümlmind, frklı fizikl özlliklr şıyn doğrul imlrin krkriiklrini blirlyn ml bğınılr rınd bnzrlik noloji

Detaylı

TÜRKİYE DE İLLERİN TRAFİK GÜVENLİĞİNİN ANALİTİK HİYERARŞİ PROSESİ (AHP)İLE BELİRLENMESİ

TÜRKİYE DE İLLERİN TRAFİK GÜVENLİĞİNİN ANALİTİK HİYERARŞİ PROSESİ (AHP)İLE BELİRLENMESİ Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg., Cilt:4, Syı:2, 2014,57-69/Ordu Univ. J. Sci. Tech., Vol:4, No:2,2014,57-69 TÜRKİYE DE İLLERİN TRAFİK GÜVENLİĞİNİN ANALİTİK HİYERARŞİ PROSESİ (AHP)İLE BELİRLENMESİ ÖZET Emine

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER Sf No..................................................... - 7 Denklem ve Eşitsizlikler Konu Özeti............................................. Konu Testleri ( 0)..........................................................

Detaylı

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır:

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır: 1 Üstel Fonksiyon: >o, 1 ve herhngi bir reel syı olmk üzere f: fonksiyon denir. R fonksiyonun üstel R, f()= 1 2, f()= ve f()= f()= gibi tbnı sbit syı (pozitif ve 1 den frklı) ve üssü 4 değişken oln bu

Detaylı

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,

Detaylı

Sevdi im Birkaç Soru

Sevdi im Birkaç Soru Sevdi im Birkaç Soru M atematikte öyle sorular vard r ki, yan t bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan -saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman y llar sonra- yan t n çok basit oldu u anlafl l r.

Detaylı

KARŞI AKIŞLI SU SOĞUTMA KULESİ BOYUTLANIDIRILMASI

KARŞI AKIŞLI SU SOĞUTMA KULESİ BOYUTLANIDIRILMASI KARŞI AKIŞI SU SOĞUTMA KUESİ BOYUTANIDIRIMASI Yrd. Doç. Dr. M. Turh Çob Ege Üiversitesi, Mühedislik Fkultesi Mkie Mühedisliği Bölümü turh.cob@ege.edu.tr Özet Bu yzımızd ters kışlı soğutm kulelerii boyut

Detaylı

DENEY 6 THEVENIN, NORTON, DOĞRUSALLIK VE TOPLAMSALLIK KURAMLARININ UYGULAMALARI

DENEY 6 THEVENIN, NORTON, DOĞRUSALLIK VE TOPLAMSALLIK KURAMLARININ UYGULAMALARI T.C. Mltepe Üniversitesi Mühendislik ve Doğ Bilimleri Fkültesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü ELK 201 DEVRE TEORİSİ DERSİ LABORATUVARI DENEY 6 THEVENIN, NORTON, DOĞRUSALLIK VE TOPLAMSALLIK KURAMLARININ

Detaylı

Hiperbolik Fonksiyonlar

Hiperbolik Fonksiyonlar Matematik Dünas, 0-III Kapak Konusu: İntegral IV Hiperbolik Fonksionlar sinh olarak a z - lan kosinüs sinüs hiperbolik fonksionlar ndan geçmiflte k saca sö zet mifltik Bu az da bu fonksionlardan biraz

Detaylı

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir.

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir. LOGARİTMA I. Üstl Fonksiyonlr v Logritmik Fonksiyonlr şitliğini sğlyn dğrini bulmk için ypıln işlm üs lm işlmi dnir. ( =... = 8) y şitliğini sğlyn y dğrini bulmk için ypıln işlm üslü dnklmi çözm dnir.

Detaylı

c

c Mtemt ık Ol ımp ıytı Çlışm Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Bu çlışm kğıdınd mtemtik olimpiytlrı sınvlrın hzırlnn öğrenciler ve öğretmenler için hzırlnmış sorulr bulunmktdır.

Detaylı

Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz.

Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. 5. Eski yis ralamalardan eni yis ralamalar Türetmek Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. Basitten zora do ru gidece iz. 5.1. yis ralaman n Sonuna Bir Eleman Eklemek. Bu

Detaylı

Yrd. Doç. Dr., Süleyman Demirel Üniversitesi, Yalvaç Meslek Yüksek Okulu

Yrd. Doç. Dr., Süleyman Demirel Üniversitesi, Yalvaç Meslek Yüksek Okulu PERSONEL SEÇĐMĐNĐN ANALĐTĐK HĐYERARŞĐ PROSESĐ YÖNTEMĐYLE GERÇEKLEŞTĐRĐLMESĐ ÖZET Orhn ADIGÜZEL Glolleşmenin neden olduğu ilgi ve teknolojideki gelişmeler, işletmeleri ve kurumlrı dh kliteli insn kynğın

Detaylı

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - LYS - - - - - - - - FONKSĐYONLAR A ve B oşn frklı iki küme olsun A dn B ye tnımlı f fonksiyonu f : A B ile gösterilir A y tnım kümesi, B ye

Detaylı

ORAN ORANTI ORAN ORANTI ORANTININ ÖZELLİKLERİ ÖRNEK - 1 TANIM. x ve y tamsayıdır. x y

ORAN ORANTI ORAN ORANTI ORANTININ ÖZELLİKLERİ ÖRNEK - 1 TANIM. x ve y tamsayıdır. x y ORAN ORANTI TANIM Anı irimden iki çokluğun iririle krşılştırılmsın orn denir. ornınd ve nı irimden olduğu için nin irimi oktur. ÖRNEK - 1 ve tmsıdır. = ve + = 0 olduğun göre, kçtır? A) 1 B) C) 0 9 D) 1

Detaylı

Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2015-2016 Güz Dönemi

Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2015-2016 Güz Dönemi Andolu Üniversitesi Mühendislik Fkültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Plnlmsı 2015-2016 Güz Dönemi 2 Tesis (fcility) Tesis : Belli bir iş için kurulmuş ypı Tesis etmek :

Detaylı

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Üç bsmklı bir doğl syısının ktı, iki bsmklı bir y doğl syısın eşittir. 7 Bun göre, y doğl syısı en z kç olbilir? A) B) C) 8 D) E) Çözüm y 7 7y (, en küçük bsmklı,

Detaylı

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER Belirli bir kurl göre düzenli bir şekilde tekrr eden şekil vey syı dizisine örüntü denir. ÖRNEK: Aşğıdki syı dizilerinin kurlını bulunuz. 9, 16, 23, 30, 37 5, 10, 15, 20 bir syı

Detaylı

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ LYS / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ Deneme -. A) - - + B) - 7 - + C) 5-5 - 5 +. + m ; + me + > H + D) - 5 - + E) 7- - + Sılrın plrı eşit olduğun göre, pdsı en üük oln sı en küçüktür. Bun göre A seçeneğindeki

Detaylı

Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte

Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte 11. Kesirli Temel Diziler Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte (henüz var olmayan) 2 ye yak nsamak isteyen bir kesirli say dizisi örne i verdik. E er 2 orada olsayd, bu dizi kesirli

Detaylı

ÖLÇME TEKNĠKLERĠ DERSĠ

ÖLÇME TEKNĠKLERĠ DERSĠ 1 Konu Ģlıklrı ÖLÇME TEKNĠKLERĠ DERSĠ 1) Ölçme ilgisi İle İlgili çıklmlr 2) sit ölçme letleri 3) Doğrulrın elirtilmesi 4) Uzunluklrın Ölçülmesi 5) ln Hesplrı 6) Thomson Yolu İle ln Hesbı 7) Koordint Yrdımı

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek

Detaylı