Limit. Kapak Konusu: Gerçel Say lar V: Süreklilik ve Limit

Transkript

1 Kpk Konusu: Gerçel S lr V: Süreklilik Limit Limit v = ƒ() Bir bflk örne e bkl m. < c < b olsun. ƒ: [, b] \ {c}, grfi i fl dki gibi oln bir fonksion olsun. Fonksion c nokts nd tn mlnmm fl. Os fonksion c nin solund s nd tn mlnm fl., v u c = ƒ() c e soldn klflt nd, ƒ() de eri v e klfl - or; m, c e s dn klflt nd, ƒ() de eri u klfl or. u voldu undn, bu durumd, klflt nd, ƒ() in sbit bir s klflt - n söleemioruz. Bu durumd ƒ nin c de tn mlnmm fl olms do l krfl lnbilir. Am e er u = v olsd (ni fonksionun grfi i fl dki gibi b u (, b) b u = v = ƒ() MD-2007-III s s nd bir ( n ) n dizisinin (n sonsuz giderken) limitini tn mlm fl bütün bir s n n kpk konusunu bu kvrm rm flt k; etmemifl, konuu bir sonrki s n n kpk konusun tfl rm flt k. Bu z d benzer bir limit kvrm tn tc z. E er ƒ bir fonksions,, klfl rken ƒ() in limiti ne demektir? Yni, çok çok çok klflt nd, ƒ() in belli bir s çok çok çok k n olup olmc, oluors hngi s çok çok çok k n olc sorusunu irdeleece iz. Grfi i fl dki gibi oln bir ƒ : (, b) fonksion düflünelim. Bu fonksion (, b) ç k rl nd tn mlnm fl m b noktlr nd tn mlnmm fl, ni ƒ() ƒ(b) die bir de er ok. Am grfi e bk nc görülüor ki sl nd ƒ() n n u olrk, ƒ(b) nin de v olrk tn mlnms gerekirmifl... Ne olmufls olmufl, bir ksilik olmufl ƒ nin b deki de erleri tlnm fl... Neden ukrdki örnekte ƒ() n n u olrk tn mlnms gerekti ini düflünüoruz? Çünkü (, b) rl ndki bir s s çok çok k nken ƒ() de eri de u çok çok k n oluor. i, snki bir film izliormufl gibi, do ru hreket ettirdi inizde, ƒ() in u do ru hreket etti ini, klflt kç ƒ() in de u klflt n göreceksiniz. Bu filmi fl d izleebilirsiniz. v ƒ() u = ƒ() b c olsd ), o zmn ƒ fonksionunun c deki de erini do l olrk ƒ(u) olrk tn mlbilirdik. Okur belki de ukrdki trt flml süreklilik rs nd bir b olc n thmin etmifltir. Do ru thmin! Mtemtiksel Tn m Girifl Yukrdki bölümde limit kvrm n sezgisel bir girifl pmk istedik. Limitin tm mtemtiksel tn m n ine de hz r de iliz. Önce süreklilik kvrm n birz de iflik bir gözle bkl m. Bir fonksionun bir noktd sürekli olms n n tn m n n msl m: Bir ƒ : A fonksionunun bir Anokts nd olms için gereken koflul fludur: b 41

2 Her > 0 için öle bir > 0 olml ki, < eflitsizli ini s ln her Aiçin, ƒ() ƒ() < eflitsizli i s lns n. Edebi dile çevirecek olursk, bu tn m,, çok k n oldu und, ƒ(), ƒ() çok k nd r dior. Koflul = için hep do ru oldu undn, i dn de iflik lmn n bir mhsuru ok, öle pl m: Bir ƒ : A fonksionunun bir Aelemn nd sürekli olms için gereken koflul fludur: Her > 0 için öle bir > 0 olml ki, < eflitsizli ini s ln her A\ {} için, ƒ() ƒ() < olsun. Bu noktd bir rtistlik pc z! Hem de en âlâs ndn! Süreklili in bu son tn m nd ill ƒ fonksionunun tn m kümesinde lml m d, nin herhngi bir elemn olrk ll m, bkl m bfl m z neler gelecek? Bfl m z pek bir fle gelmez, çünkü e er Aise ƒ() dn söz edemeiz ƒ() ƒ() < eflitsizli i nlms z olur, nlms z olmktn öte z lmz bile! Mdem öle, biz de tn md ƒ() erine nin herhngi bir b elemn n kor z! O zmn ukrdki koflul flöle z l r: her > 0 için öle bir > 0 olml ki, < eflitsizli ini s ln her A\ {} için, ƒ() b < olsun. ƒ fonksionu b noktlr l ilgili nlml bir koflul elde ettik. Koflul, sezgisel olrk flunu sölüor:, çok klflt nd m dn de iflik oldu und, ƒ(), b e çok klfl r. Koflulu flöle de ifde edebiliriz: E er i eterince k n m dn de iflik l rsk, ƒ() i b e istedi imiz kdr klflt rbiliriz. flte, k nsrken ƒ() in limiti b dir in tn m n n ukrdki gibi olms n istioruz. Am bu tn m teflebbüsünde küçük bir sorun vr, o d flu: E er nokts A kümesinin uz nds, dh mtemtiksel olrk ifde edelim: n n belli bir komflulu und A \ {} kümesinde hiç elemn oks, dh nlfl l r biçimde ifde edelim: bir > 0 için, (, + ) (A \ {}) = ise, gene bir bflk deiflle, bir > 0 için, (, + ) A {} ise, o zmn, < eflitsizli ini s ln bir A\ {} elemn bulunmc için, ukrdki tn m teflebbüsüne göre,, k nsrken her b s s ƒ nin bir limiti (Boflkümenin her elemn her koflulu s lr, dol - A = ƒ() s l boflkümenin her elemn ƒ() b < eflitsizli ini s lr.) Bu üzden tn mdki n n her > 0 için, (, + ) (A \ {}) koflulunu s lms gerekir ki her b s s limit olms n limit denen fle biricik olsun bir ifle rs n. Yukrdki koflulu s ln bir elemn n A n n o unlflm nokts denir. Limit kvrm n ele lmdn önce o unlflm nokts kvrm n göz tl m. Yo unlflm Nokts A, nin bir ltkümesi olsun. olsun. E er her > 0 için, (, + ) (A \ {}) ise A n n o unlflm nokts d rilir. A n n o unlflm nokts A d olbilir de olmbilir de. Örnekler. 1. nin o unlflm nokts oktur. 2. Sonlu bir kümenin o unlflm nokts oktur. 3. A = {1/n : n = 1, 2, 3,... } A {0} kümelerinin tek bir o unlflm nokts vrd r: {1/n + 1/m : n \ {0}} kümesinin o unlflm noktlr 0 bir n \ {0} s s için 1/n biçiminde z ln s lrd r. + E er bir > 0 için, (, + ) A {} oluors her b s s ƒ nin d limiti A + 42

3 5. (0, 1) ç k rl n n o unlflm noktlr kümesi [0, 1] kpl rl d r. 6. [0, 1] kpl rl n n her nokts kendisinin bir o unlflm nokts d r. Bu kümenin bflk d o unlflm nokts oktur. 7. (0, 1) (1, 2) kümesinin o unlflm noktlr kümesi [0, 2] kpl rl d r. 7. nün o unlflm noktlr kümesi dir. 8. \ nün o unlflm noktlr kümesi dir. Yo unlflm nokts kvrm nlizin en önemli kvrmlr ndn biridir. leride dh s k sözedece iz bu kvrmdn. Bu s d ihtic m z olmck m okurun kvrm dh ii hissetmesi için, o unlflm noktlr l ilgili önemli bir sonuç kn tll m. A 1/n n +1/n Önsv 1. n n A n n bir o unlflm nokts olms için gerek eter koflul, A d k nsn terimleri birbirinden de iflik oln bir dizinin bulunms d r. Kn t: ( ) Önce n n A n n bir o unlflm nokts oldu unu vrsl m. Demek ki, her pozitif n do l s s için, ( 1/n, + 1/n) (A \ {}) kümesinde bir n elemn bulunur. O zmn elbette lim n n = Am ( n ) n dizisinin terimleri birbirinden de iflik olmbilir. Bu dizinin, birbirinden de iflik terimleri oln bir ltdizisini bulmk zor de ildir. fiöle de kn tlbiliriz. Her n 0 için, eflitsizliklerini s ln n A elemnlr bulbiliriz. Bunu flöle pr z: 0 A herhngi bir elemn olsun. n s lr n tümevr ml bulc z. n nin bulundu unu vrsl m. = n /2 olsun. Tümevr m vrs m ndn dol > 0 d r., A n n bir o unlflm nokts oldu undn, (, + ) (A \ {}) fiimdi n+1 elemn n bu kümeden seçelim. stedi imiz koflul s ln r. Tümevr ml, her n > i için, eflitsizli i koll kl kn tln r. Demek ki n ler birbirinden de ifliktirler. i = 0 için, elde edilir. Demek ki, lim n n = fiimdi A d k nsn terimleri de iflik oln bir dizinin vrl n vrsl m. Böle bir ( n ) n dizisi ll m. > 0 herhngi bir s olsun. (, + ) (A \ {}) kümesinin bofl olmd n kn tlmm z gerekior. Am bu kümede ( n ) n dizisinin bir terimi olml! Önsv m z kn tlm flt r. Nihet Limit Tn m fiimdi rt k limit kvrm n n mtemtiksel tn m n rebiliriz. Tn m: A bir gerçel s lr kümesi olsun., A n n bir o unlflm nokts olsun. b olsun. Ve nihet ƒ : A bir fonksion olsun. E er her > 0 için, (, + ) (A \ {}) kümesindeki her s s n n ƒ() b < eflitsizli inin s lnd bir > 0 vrs, o zmn,, giderken ƒ() in limiti b dir d ƒ() in d limiti b dir denir. Yni, giderken ƒ() in limitinin b olms için, her pozitif s s için öle bir pozitif s s olml ki, (, + ) (A \ {}) koflulu, ƒ() b < eflitsizli ini gerektirmeli. Bu koflul dh simgesel olrk flöle z l r: >0 >0 A (0 < < ƒ() b < ). Bir noktn n lt n çizmek gerekir:, giderken demek,, çok klfl rken m, eflit olmdn klfl rken demektir; çünkü ƒ fonksionu d tn ml olmbilir (olbilir de m olmbilir de). Örne in = 0 olbilir. Bu örnekte ƒ fonksionu 0 d tn ml de- ildir m sf 50 de görece imiz üzere 0 d limiti vrd r bu limit 1 dir. 43

4 Limitin - oldu und, limit olmbilir çünkü - biricik oldu unu kn tll m: Önsv 2., giderken bir fonksionun limiti en fzl bir s olbilir. Yni, giderken bir fonksionun iki de iflik limiti olmz. Kn t: ƒ : A bir fonksion, A n n bir o unlflm nokts olsun. Dielim, giderken ƒ nin limiti hem b hem de c oluor. Kn t n nfikri flu:, çok k nken, ƒ() hem b e hem de c e k n olmz. Nitekim = b c /2 olsun. b c pozitif s lr, her A için, 0 < < b ƒ() b < 0 < < c ƒ() c < önermelerini s ls nlr. = min{ b, c } olsun., A n n bir o unlflm nokts oldu undn, A d 0 < < eflitsizliklerini s ln bir vrd r. O zmn, b c = (b ƒ()) + (ƒ() c) b ƒ() + ƒ() c < + = 2 = b c olur bu bir çeliflkidir. Yukrdki önsv sesinde,, giderken ƒ() in limiti b ise, b nin biricik oldu unu bilioruz; dol s l, gönül rhtl l lim ƒ() = b zbiliriz. Yz n n giriflinde pt m z trt flmdn flu önemli sonuç ç kr: Teorem 3. ƒ : A bir fonksion A olsun. E er, A n n bir o unlflm nokts de ilse, o zmn ƒ, d süreklidir. E er, A n n bir o- unlflm nokts s, ƒ nin nokts nd sürekli olms için lim ƒ() = ƒ() koflulu eter gerek kofluldur. Sf 40 tki teoremden Teorem 3 ten flu sonuçlr ç kr: Sonuç 4. ƒ : A bir fonksion Aolsun. Afl dki önermeler eflde erdir. i. ƒ, nokts nd süreklidir. ii. lim ƒ() = ƒ() iii. A n n k nsn her ( n ) n dizisi için, lim n ƒ( n ) = ƒ() eflitli i s lnml d r. Sonuç 5. ƒ : A bir fonksion olsun. Afl- dki önermeler eflde erdir. i. ƒ süreklidir. ii. Her A için lim ƒ() = ƒ(). iii. A d bir elemn k nsn A n n her ( n ) n dizisi için, lim n ƒ( n ) = ƒ(lim n n ) eflitli i s lnml d r. Örnek 1. fiu formülle tn mlnn fonksion bkl m: MD i dikktli okun okur ukrdki cümlede bir eksiklik oldu unu nlm flt r: Bir fonksionu tn mlmk için fonksionun kurl n rmek etmez, bir de r c fonksionun tn m de er kümelerini de rmek gerekir. (Tn m kümesi de er kümesinden birz dh önemlidir.) Bu formülle tn mlnn fonksionun tn m kümesi 1 i içermeen herhngi bir s kümesi olbilir; çünkü fonksion 1 de tn ml de ildir. Biz, ƒ fonksionunu \ {1} den kümesine giden bir fonksion olrk görece iz. Bu fonksion sl nd (kesirli ifdei sdelefltirerek), ƒ() = + 1 formülüle de rilebilirdi (m 1 koflulul!) Fonksionun grfi i flöle: 2 1 ƒ() = grfikte delik vr 1 s s \ {1} kümesinin bir o unlflm nokts - d r. Dol s l, her ne kdr fonksion 1 de tn ml de ilse de,, 1 e giderken fonksionun limitini lm çl flbiliriz: En sondki eflitlik,, 1 e eflit olmd ndn geçerli; bir önceki sfd lt n çizerek söledi imizi n ms n: Bir noktn n lt n çizmek gerekir:, giderken demek,, çok klfl rken 1 fonksionunun grfi i =

5 m, eflit olmdn, klfl rken demektir; çünkü ƒ fonksionu d tn ml olmbilir (olbilir de m olmbilir de), ni s s ƒ nin tn m kümesinde olmbilir. Nitekim burd = 1 bu s ƒ nin tn m kümesinde de il. Yukrdki prgrfl - nlfl l r bir biçimde sl nd - br fl k olmn okur flu eflitlik dh nlml gelecektir: lim 1 ƒ() = lim 1 (+1). Burdn devm edelim. g() = + 1 formülüle tnmlnn den e giden g fonksionu, polinoml bir fonksion oldu undn, süreklidir. Dol s l, Sonuç 4 e göre,, 1 e giderken g() in limiti g(1), ni = 2 dir. Sonuç olrk: lim 1 ƒ() = lim 1 (+1) = lim 1 g() = g(1) = 2. Yukrdki örnek belki kold kol bir örne i birz fzl r nt s l ç klm fl olbiliriz. Am bunun rrl oldu un inn oruz. Bir bflk önemli nokt dh: Ço u zmn, ukrdki örnekte oldu u gibi bir fonksionun de- il, bir ifdenin limiti l n r. Yni fonksionun tn m kümesi belirtilmez. Bu bzen sorun ol çbilir, çünkü fonksionun limiti fonksionun tn m kümesine göre de de iflebilir. Örne in, kurl l tn mlnm fl bir fonksionun 0 dki limiti fonksionun tn m kümesine göre de iflir. Tn m kümesi (, 0) ise limit 1 dir, tn m kümesi (0, ) ise limit 1 dir, tn m kümesi ise limit oktur. Am tslnm n, genellikle bir ifdenin limitinin l nms istenildi inde, bu tür nomlik durumlr olmck, limit tn m kümesine göre de iflmeecek. Bir polinom sürekli bir fonksion rdi inden, fl dki sonuçlr kold r. Sonuç 6. P(T) [X] bir polinoms ise, lim P() = P() Sonuç 7. P(T), Q(T) [X] iki polinoms, ise Q() 0 ise, o zmn lim P()/Q() = P()/Q() Limit Toplml Çrpm Bu bölümde limit lml toplm çrpm gibi ifllemler rs ndki iliflkileri irdeleece iz. Her fle diledi imiz d dilenmesi gerekti i gibi olck, lim ƒ() + lim g() = lim (ƒ()+g()) (lim ƒ())(lim g()) = lim ƒ()g() gibi eflitlikler, eflitli in sol trf ndki ifdeler nlml olduklr nd, do ru olcklr. (Bu, s trftki ifde de nlml olck nlm n gelir.) Not: Teorem 3 ten dol ƒ g fonksionlr, d sürekli oldu und bu eflitlikler do rudur. Yz n n devm nd sürekli n flei tekrrlmmk için flu tn mlr p oruz: A, bir gerçel s lr kümesi., A n n bir o unlflm nokts ƒ g, A dn e giden iki fonksion. Teorem 8. E er ƒ g nin d limitleri vrs o zmn ƒ + g ƒg fonksionlr n n d d limitleri vrd r lim ƒ() + lim g() = lim (ƒ+g)() (lim ƒ())(lim g()) = lim (ƒg)() eflitlikleri s ln r. Kn t: lim ƒ() = b lim ƒ() = c olsun. Önce dh kol oln toplmdn bflll m. > 0 rilmifl olsun. b, ƒ nin d limiti oldu- undn, öle bir 1 > 0 vrd r ki, ( 1, + 1 ) A kümesinin her s s ƒ() b < /2 eflitsizli ini s lr. Ar c c, g nin d limiti oldu- undn, öle bir 2 > 0 vrd r ki, ( 2, + 2 ) A kümesinin her s s g() c < /2 eflitsizli ini s lr. fiimdi = min{ 1, 2 } olsun. Elbette > 0. Elbette (, + ) A kümesinin her s s (ƒ() + g()) (b + c) = (ƒ() b) + (g() c) ƒ() b + g() c < /2 + /2 = olur birinci eflitlik bölece kn tlnm fl 45

6 Gelelim ikinci eflitli e. Bu bizi birincisinden birz dh fzl u rflt rck. Resmi kn t dh sonr b rk p trt fll m. > 0 rilmifl olsun. Öle bir > 0 r oruz ki, < ise, ƒ()g() bc < olsun. Bu ƒ()g() bc ifdesile on p ƒ()g() bc < eflitsizli inin geçerli olms için in n n ne kdr k n nd olms gerekti ini bull m. Bunun için elbette ƒ g i hesplr n içine sokml z. Hesplr bflll m: ƒ()g() bc = ƒ()g() ƒ()c + ƒ()c bc ƒ()g() ƒ()c + ƒ()c bc = ƒ() g() c + ƒ() b c. En s dki ƒ() g() c + ƒ() b c ifdesinin dn küçük olms n istioruz. Topln - ln terimlerin her birini /2 den küçük pbilirsek o zmn toplm dn küçük Bu ifdenin s- ndki ƒ() b c terimi bu ç dn bir sorun teflkil etmior, çünkü ne de ols c, ten b ms z sbit bir s ƒ nin dki limiti b oldu undn, ƒ() b s s /2 c den küçük olck biçimde seçebiliriz; o zmn, ƒ() b c terimi /2 den küçük (E er c = 0 ise, /2c de die bir fle oktur m e er c = 0 ise en s dki ifde zten kb c nin 0 olup olmms l u rflmk istemiorsk i ƒ() b s s /2( c +1) den küçük olck biçimde seçebiliriz.) S dki ƒ() g() c terimi dh problemtik çünkü, her ne kdr g() c i küçültebilirsek de, e er ƒ() s n rs z büürse çrp mlr çok küçük olmbilir. Demek ki ƒ() in c civr nd s n rl oldu- unu kn tlml z. Önce bunu kn tll m, dh sonr teoremin resmi kn t n ririz. Teorem 9. E er ƒ nin d limiti vrs o zmn ƒ, n n bir komflulu und s n rl d r; ni öle bir > 0 M vrd r ki, e er (, + ) A ise, ƒ() < M Kn t: lim ƒ() = b olsun. = 1 ll m. Limitin tn m ndn dol, öle bir > 0 vrd r ki, e er (, + ) A ise, ƒ() b < = 1 ni b 1 < ƒ() < b + 1 E er M = m{ b 1, b + 1 ise, bundn, ƒ() < M ç kr. 1) lim ƒ() = b oldu undn, öle bir 1 > 0 vrd r ki, e er ( 1, + 1 ) A ise, Dol s l bu durumd, 2) Ar c, gene lim ƒ() = b oldu undn, Teorem 7 e göre, öle bir 2 > 0 M > 0 vrd r ki, e er ( 2, + 2 ) A ise, ƒ() < M (2) 3) lim g() = c oldu undn, öle bir 3 > 0 vrd r ki, e er ( 3, + 3 ) A ise, 4) fiimdi = min{ 1, 2, 3 } > 0 (, + ) A ise olsun. O zmn (1, 2, 3) eflitsizliklerinden dol, ƒ()g() bc = ƒ()g() ƒ()c + ƒ()c bc ƒ()g() ƒ()c + ƒ()c bc = ƒ() g() c + ƒ() b c M ( /2M) + /2 = /2 + /2 = Teorem 8 kn tlnm flt r. Sonuç 10. E er ƒ nin d limiti vrs r herhngi bir gerçel s s, o zmn rƒ fonksionunun d d limiti vrd r lim rƒ() = r lim ƒ() eflitli i s ln r. Kn t: Teorem 8 den g() = r lrk ç kr. Bir bflk kn t: lim ƒ() = b olsun. E er r = 0 ise her fle ortd. Bundn böle r nin 0 olmd n vrsl m. Limitin tn m n göre, öle bir > 0 vrd r ki, her (, + ) A için ƒ() b < / r olur, demek ki, rƒ() rb = r ƒ() b < r / r = Sonuç kn tlnm flt r. Bu sonucun briz bir sonucu: lim ƒ() = lim ƒ(); tbii e er s dki ifdenin nlm vrs, ni s dki limit vrs... Teorem 6 n n kinci K sm n n Resmi Kn t : > 0 rilmifl olsun. 46

7 Sf 45 teki Örnek 2 den Teorem 6 dn dol (5/7) 2 = 25/49 bulunur. Teorem 8 e benzer bir sonuç 1/ƒ fonksionu için de geçerlidir: Teorem 10. E er lim ƒ() vrs 0 de ilse o zmn lim 1/ƒ() de vrd r eflitli i geçerli Bu teoremi kn tlmdn önce Teorem 7 nin bir benzerini kn tlml z. Teorem 11. E er ƒ nin d limiti vrs bir c için, lim ƒ() > c oluors, o zmn öle bir > 0 vrd r ki, e er (, + ) A ise, ƒ() > c Kn t: lim ƒ() = b > c olsun. = b c> 0 olsun. O zmn öle bir > 0 vrd r ki, e er (, + ) A ise, ƒ() b <, demek ki, c = b < ƒ() Elbette benzer teorem < eflitsizlik iflreti için de geçerlidir. Teorem 10 un kn t nd ukrdki teoremi c = 0 ugulc z. Teorem 10 un Kn t : lim ƒ() = b olsun. Sonuç 8 e göre, gerekirse ƒ erine ƒ lrk, b nin pozitif oldu unu vrsbiliriz. > 0 olsun. 1) lim ƒ() = b > b/2 oldu undn, Teorem 10 göre öle bir 1 > 0 vrd r ki, e er ( 1, + 1 ) A ise, ƒ() > b/2 2) Öte ndn, lim ƒ() = b oldu undn, öle bir 2 > 0 vrd r ki, e er ( 2, + 2 ) A ise, ƒ() b < b 2 /2 = min{ 1, 2 } olsun. E er (, + ) A ise, ukrdki iki prgrf kullnrk, buluruz. Bir teoremin dh sonun geldik. Limit S rlm Bir önceki bölümde s rlml ilgili bir sonuç kn tld k, dh do rusu kn tlmk zorund kld k: Bu bölümde de rd m m z etiflecek oln Teorem 10. Bun eflitsizlikle ilgili bflk sonuçlr d ekleece iz. ƒ, g, A, bir önceki bölümdeki gibi olsunlr. E er bir > 0 için her (, + ) A elemn ƒ() g() eflitsizli ini s l ors, o zmn n n bir komflulu und ƒ g denir. Teorem 12. E er lim ƒ() lim g() vrs n n bir komflulu und ƒ g ise o zmn, lim ƒ() lim g() Kn t: n n bir komflulu und ƒ g oldu undn, tn m gere i, öle bir > 0 vrd r ki, her (, + ) A için ƒ() g() lim ƒ() = b lim g() = c olsun. Bir n için, b > c vrs m n pl m. olsun. O zmn, lim g() = c < d < b = lim ƒ() Teorem 10 göre, öle bir 1 > 0 vrd r ki, e er ( 1, + 1 ) A ise, ƒ() > d Gene Teorem 11 e göre (dh do rusu Teorem 11 in benzerine göre), öle bir 2 > 0 vrd r ki, e er ( 2, + 2 ) A ise, g() < d Demek ki e er < min{, 1, 2 } ise, ƒ() > d > g() Bu d < iken ƒ() g() gerçe ile çeliflir. Teorem 13 [Sndviç Teoremi]. h, A d tn ml gerçel s lrd de er ln bir fonksion olsun. E er lim ƒ() lim g() vrs eflitlerse n n bir komflulu und ƒ h g ise o zmn, lim ƒ() = lim h() = lim g() Kn t: E er lim (h() ƒ()) limiti oldu unu bu limitin 0 eflit oldu unu gösterirsek, o zmn h() = (h() ƒ()) + ƒ() oldu undn, Teorem 6 göre, lim h() vrd r 47

8 lim h() = lim (h() ƒ()) + lim ƒ() = 0 + lim ƒ() = lim ƒ() Demek ki n n bir komflulu und 0 h ƒ g ƒ eflitsizlikleri lim (g() ƒ()) = 0 eflitli i vrs mlr ndn hreketle lim (h() ƒ()) limitinin oldu unu 0 eflit oldu unu kn tlmm z gerekior. h ƒ erine h, g ƒ erine g zl m lim g() = 0 eflitli inden n n bir komflulu und 0 h g eflitsizliklerinden hreketle, lim h() limitinin oldu unu 0 eflit oldu unu kn tlmm z gerekior. > 0 olsun. lim g() = 0 oldu undn öle bir 1 > 0 vrd r ki, ( 1, + 1 ) A rl ndki her s s için, < g() < eflitsizli i s ln r. n n bir komflulu und 0 h g oldu undn öle bir 2 > 0 vrd r ki, ( 2, + 2 ) A kümesindeki her s s için, 0 ƒ() g() Demek ki e er = min{ 1, 2 } ise, her ( 2, + 2 ) A için, 0 ƒ() g() <, ni ƒ() < s ln r. Demek ki lim ƒ() = 0. Al flt rmlr 1. E er lim ƒ() vrs o zmn lim ƒ() limitinin de oldu unu lim ƒ() = lim ƒ() eflitli inin geçerli oldu unu kn tl n. 2. lim ƒ() = 0 ile lim ƒ() = 0 eflitliklerinin eflde er olduklr n kn tl n. (Birinin limiti vrs 0 eflitse, di erinin de vrd r o d 0 eflittir.) Am bunun 0 d fl nd bir s için do ru olmd n kn tl n. Limit Bileflke Bu son bölümde, limitle fonksionlr n bileflkesi rs ndki iliflkii irdeleece iz. Teorem 14. lim ƒ() = b olsun ƒ, n n bir komflulu und birebir olsun. ƒ(a) B, bir bflk gerçel s lr kümesi g, B den e giden bir bflk fonksion olsun. E er lim b g() = c ise lim g(ƒ()) vrd r c e eflittir. Kn t: > 0 olsun. lim b g() = c oldu undn, öle bir 1 > 0 vrd r ki her (b 1, b + 1 ) B \ {b} için, g() (c, c + ) Ar c lim ƒ() = b oldu undn, öle bir > 0 vrd r ki her (, + ) A \ {} için, ƒ() (b 1, b + 1 ) ƒ, n n bir komflulu und birebir oldu undn, ƒ, n n bu komflulu und b de erini en fzl bir kez lbilir. > 0 s s n, (, + ) A \ {} ise ƒ() b olck kdr küçük seçebiliriz. fiimdi (, + ) A \ {} ise, önce, ƒ() (b 1, b + 1 ) B \ {b} olur; sonr d, ilk prgrftn dol g(ƒ()) (c, c + ) Kn t m z tmmlnm flt r. Teorem 15. lim ƒ() = b olsun. ƒ(a) B, bir bflk gerçel s lr kümesi olsun. g, B den e giden b de sürekli oln bir bflk fonksion olsun. O zmn lim g(ƒ()) = g(b) Kn t: g sürekli oldu undn, lim g(ƒ()) = g(lim ƒ()) = g(b) Al flt rmlr 1. E er lim ƒ() = b ise ƒ, n n bir komflulu und birebirse, o zmn b nin ƒ(a) n n bir o unlflm nokts oldu unu kn tl n. (ƒ, sbit b fonksionus bu nl fl). 2. {1/n + 1/m : n \ {0}} kümesinin o unlflm noktlr n n 0 bir n \ {0} s s için 1/n biçiminde z ln s lr oldu unu kn tl n. 48