Kavram Haritaları Kullanılarak Yapılan Öğretimde Graf Teorinin Yeri

Transkript

1 GÜ, Gazi Eğitim Fakültesi Dergisi, Cilt, Sayı () - Karam Haritaları Kullanılarak Yapılan Öğretimde Graf Teorinin Yeri The Place of Graph Theory in Teaching with Using Concept Maps Seinç MERT UYANGÖR Balıkesir Üniersitesi, Necatibey Eğitim Fakültesi, Balıkesir-TÜRKİYE Derim ÜZEL Balıkesir Üniersitesi, Necatibey Eğitim Fakültesi, Balıkesir-TÜRKİYE ÖZET Karam haritaları, kişinin daha fazla yorum yapmasını sağlayarak bilginin zihinde yapılanması için olumlu durum oluştururlar. Benzer bir yapı içeren; matematikte, tepeler() e ayrıtlar(e) kümesinden oluşan, her tepe çiftini bir ayrıtla birbirine eşleyen bir g bağıntısı ile birlikte G=(,E,g) ye bir graf denir. Bu çalışmada; grafın matrissel gösteriminin karam haritasını oluşturmada kolaylaştırıcı rolü olduğu ortaya konulmuştur. Böylece graf teoride, grafların sahip olduğu bazı özelliklerin, matematik öğretiminde karam haritalarının tasarımında e öğretimin değerlendirilmesi boyutunda yararlı olacağı düşünülmektedir. Anahtar Sözcükler:Karam Haritaları, Graf, Graf Teori ABSTRACT Concept maps make positie situtation to build knowledge in mind with making more explanation. A graph G consists of a set (G) of ertices and a set E(G) of edges, in such a way that each edge is an incident with two ertices. In this study, it was shown that graph s matrix projections contribute to forming concept maps easy. It has been thought in graph theory that the characteristics of graph are ery useful in teaching mathematics, designing concepts and ealuating instructions. Key words: Concept maps, Graph, Graph theory.

2 6 GÜ, Gazi Eğitim Fakültesi Dergisi, Cilt, Sayı () -. Giriş Graf e E iki ayrık küme e olsun. Bir G grafı, her bir E ayrıtının iki tepesi ile bağlantılı olduğu E(G) ayrıtlarının e (G) tepelerinin bir kümesinden oluşur. E ayrıtının bağlantılı olduğu tepelerine bu ayrıtın uç noktaları denir. Eğer iki ayrıt ortak bir uç noktasına sahipse bu iki ayrıt bağlantılıdır denir. Bazı uygulamalarda bir grafın her bir ayrıtına bir yön koymak daha uygun olmaktadır. Böylece elde edilen grafın oklu diyagramına yönlendirilmiş bir graf denir(karam haritaları da yönlendirilmiş bir graftır.) (Wilson, ). Karam haritaları ilk olarak 97'li yıllarda Joseph Noak adlı araştırmacı ile Cornell Üniersitesi mezunu olan öğrenciler tarafından yürütülen araştırma projesinin bir parçası olarak geliştirilmiştir. Noak çalışmalarını Daid Ausubel in (968) çalışmaları üzerine kurmuştur. Ausubel çalışmalarında yeni karamların öğreniminde eski bilgi birikiminin e eski karamların önemini ön plana almıştır. Ancak bu şekilde, eski bilgilerle yeni bilgilerin ilişkilendirilmesiyle, anlamlı öğrenmenin gerçekleşeceğini saunmuştur. Şekil-I G(,7) grafı Karam haritaları, karamların e bu karamlar arasındaki ilişkilerin grafik olarak gösterilmesinin bir yoludur. Karam haritaları, bir konuya ait karamsal yapılaşmayı, karam e karamlar arasındaki bilişsel bağlantıları görsel olarak gösteren iki boyutlu şemadır (McGowen and Tall, 999; Noak et al, 98).

3 GÜ, Gazi Eğitim Fakültesi Dergisi, Cilt, Sayı () - 7 Noak e Gowin (98) haritaların puanlamasını yaparken temel kriter kullanmışlardır: ) Haritada kullanılan karam e önerme sayısı: Haritada yer alan anlamlı e geçerli her bir önermeye (bir) puan erilir. ) Hiyerarşik yapılanma: Her geçerli seiyedeki hiyerarşiye (beş) puan erilir. ) Çapraz ilişkiler: Geçerli olan her çapraz ilişkiye (on) puan erilir. ) Örnekler: Karamların altındaki özel olay, nesne eya örneklere (bir) puan erilir (Noak and Growin, 98; Commelot, 987). ]. Tepeler kümesi ={,,..., n } e ayrıtlar kümesi de E={ e, e,..., e m } olan bir graf G olsun. G nin i tepesi ( i=,,...,n ) j tepesiyle ( j=,,...,n ) bağlantılı ise a ij =, bağlantılı değilse a ij = olmak üzere oluşturulan A=[ a ij ] matrisine bu n m grafın bağlantı matrisi denir (Wilson, ). Aşağıda G(,7) grafı ile bu grafa karşılık gelen matris erilmiştir. Şekil-II Yönlendirilmemiş G(,7) grafı A =

4 GÜ, Gazi Eğitim Fakültesi Dergisi, Cilt, Sayı () - 8 Şekil-III G(,7) grafına karşılık gelen A bağlantı matrisi Şekil-I Yönlendirilmiş G(,7) grafı = A Şekil- Yönlendirilmiş G(,7) grafına karşılık gelen A bağlantı matrisi. Graflar e Karam Haritalarının İlişkisi Her bir karam haritası, karamlar e bu karamlar arasındaki ilişkilerden, benzer şekilde graflar da tepeler e bu tepelerle bağlantılı olan ayrıtlardan oluşmaktadır. Dolayısıyla karam haritasındaki her bir karam grafın bir tepesine e karamlar arasındaki ilişkilerde grafın ayrıtlarına bire bir eşlenebilir. Böylece her karam haritasına bir graf karşılık gelir. Yukarıda bahsedildiği gibi her karam haritasının bir grafa karşılık geldiği e her grafın da bir matrissel gösterime sahip olduğu göz önüne alındığında, karam haritasının puanlamasını işe koşarak her karam haritasının matrissel gösterimini yapabiliriz. Bunu yaparken izlenecek yol aşağıdaki gibidir:

5 GÜ, Gazi Eğitim Fakültesi Dergisi, Cilt, Sayı () - 9 ) A matrisinin sütununa karamlar, satırına ise ilişkiler kısmı denir. ) Karamın geçerli olan bir hiyerarşik yapılanması arsa, bu bağlantı karam haritasının puanlanmasında erilen ile ifade edilir. ) Karamın çapraz ilişkisi arsa bu bağlantı karam haritasının puanlanmasında erilen ile ifade edilir. ) Karamın bir alt karamı eya örneği arsa karam haritasının puanlanmasında erilen ile ifade edilir. Şekil-I Yönlendirilmemiş G(,7) grafına karşılık gelen matris Karam S.K S.K A.K A.K A.K S.K: Spesifik Karam A.K: Alt Karam Şekil-II Örnek karam haritası

6 GÜ, Gazi Eğitim Fakültesi Dergisi, Cilt, Sayı () Şekil-III Karam haritasına karşılık gelen matris. Problem cümlesi Karam haritası e graf teori arasındaki ilişkinin karam haritasını oluşturmadaki rolü nedir?. Alt problemler ) Graf teori bilgisi erilmeden önce İlköğretim Matematik Öğretmenliği (İMÖ) ile Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği (OMÖ) öğrencileri arasında karam haritasını oluşturmada bir fark ar mıdır? ) Grafların matrisle gösterimini boş karam haritasına dönüştürmede İMÖ ile OMÖ öğrencileri arasında bir fark ar mıdır? ) Graf teori bilgisi erildikten sonra İMÖ ile OMÖ öğrencileri arasında karam haritasını oluşturmada bir fark ar mıdır?. Yöntem Araştırmada, karam haritaları e graf teori arasındaki ilişkinin karam haritası oluşturmadaki rolünü belirlemek amacıyla bir guruba öntest-sontest modeli uygulanmıştır.

7 GÜ, Gazi Eğitim Fakültesi Dergisi, Cilt, Sayı () - Araştırmaya eri sağlamak amacıyla iki çalışma grubu Balıkesir Üniersitesi Necatibey Eğitim Fakültesi İMÖ. sınıfından 9 öğrenci e OMÖ. sınıfından 6 öğrenciden oluşturulmuştur. Çalışma gruplarını oluşturan öğrencilere ilk önce karam haritaları ile ilgili bilgiler sunulmuş e sayılar ünitesine ait karam haritasını oluşturmaları istenmiştir. Daha sonra her iki çalışma grubuna karam haritası e graf teori arasındaki ilişki e grafların matrissel gösteriminin boş karam haritasına karşılık geldiği erilmiştir.. Bulgular e Yorum Bu bölümde, araştırmada ele alınan alt problemlere ilişkin bulgular sunulmuş e bu bulgulara dayanılarak yorumlar yapılmıştır. Araştırmada ele alınan birinci alt problem İMÖ e OMÖ öğrencileri arasında graf teori bilgisi erilmeden önce karam haritası oluşturmada aralarında fark olup olmadığını belirlemeye yöneliktir. Bunun için, İMÖ e OMÖ öğrencilerine karam haritaları ile ilgili bilgiler sunulmuş e sayılar ünitesine ait karam haritası oluşturmaları istenmiştir. İMÖ e OMÖ öğrenci sayıları e öğrencilerin karam haritasını oluşturabilme yüzdeleri Tablo-I de erilmiştir. Karam haritasını öğrencilerin oluşturup oluşturamadıkları ise; öğrencilerin sayılar konusuyla ilgili hazırlamış oldukları karam haritaları incelenerek, karamların hiyerarşik yapılanmasında hata yapıp yapmadıklarına göre belirlenmiştir. Tablo-I Karam haritasını oluşturabilme yüzdeleri Öğrenci sayısı Karam haritasını Yüzdesi (%) oluşturabilen öğrenci sayısı İMÖ 9 7,6 OMÖ 6,

8 GÜ, Gazi Eğitim Fakültesi Dergisi, Cilt, Sayı () - Tablo-I incelendiğinde araştırmaya katılan 9 İMÖ öğrencisinden tanesi (% 7,6 sı) karam haritasını doğru olarak oluşturabilirken, 6 OMÖ öğrencisinden tanesi (%, i) doğru olarak oluşturmuşlardır. Araştırmada ele alınan ikinci alt problem İMÖ e OMÖ öğrencilerinin grafların matrissel gösterimini boş karam haritasına dönüştürmede aralarında fark olup olmadığını belirlemeye yöneliktir. Bunun için, her iki çalışma grubundaki öğrencilere her karam haritasının bir grafa karşılık geldiği, her grafın bir matrissel gösterime sahip olduğu e karam haritasının puanlaması sunulmuştur. Ayrıca öğrencilere matrissel gösterimi erilmiş bir grafın nasıl çizilebileceğine ait örnekler erilmiştir. Tablo-II de İMÖ e OMÖ öğrencilerinin grafların matrissel gösterimini boş karam haritasına dönüştürme yüzdeleri erilmiştir. Tablo-II Grafın matrissel gösterimini boş karam haritasına dönüştürme yüzdeleri Öğrenci sayısı Grafların matrissel gösterimini boş karam haritasına dönüştürebilen öğrenci sayısı Yüzdesi (%) İMÖ 9 7 9,8 OMÖ 6 6 Tablo-II incelendiğinde, araştırmaya katılan 9 İMÖ öğrencisinden 7 (% 9,8 i) tanesi e OMÖ öğrencisinden 6 (% ü) tanesi grafların matrissel gösterimini boş karam haritasına dönüştürebilmişlerdir. Araştırmada ele alınan üçüncü alt problem İMÖ e OMÖ öğrencileri arasında graf teori bilgisi erildikten sonra karam haritası oluşturmada aralarında fark olup olmadığını bulmaya yöneliktir. Bunun için, İMÖ e OMÖ öğrencilerine sayılar ünitesine ait karam haritasının matrissel gösterimi e bu üniteye ait karamlar aralarında aşamalılık ilişkisi olmayacak şekilde erilerek öğrencilerden karam haritasını oluşturmaları istenmiştir. Sonuçlar Tablo-III de sunulmuştur.

9 GÜ, Gazi Eğitim Fakültesi Dergisi, Cilt, Sayı () - Tablo-III Grafın matrissel gösterimini karam haritasına dönüştürme yüzdeleri Öğrenci sayısı Grafların matrissel gösterimini karam haritasına dönüştürebilen öğrenci sayısı Yüzdesi (%) İMÖ ,6 OMÖ 6 6 Tablo-III incelendiğinde, graf teori bilgisi erildikten sonra İMÖ öğrencilerinin karam haritasını oluşturabilme yüzdesi % 66,6 e OMÖ öğrencilerinin ise % olmuştur.. Sonuç e Öneriler Bu bölümde araştırmada elde edilen bulgulara dayalı olarak arılan sonuçlar e bu sonuçlara dayalı olarak getirilen öneriler erilmiştir.. Sonuç Bu araştırmada elde edilen sonuçlar; ) İMÖ e OMÖ öğrencileri arasında graf teori bilgisi erilmeden önce karam haritası oluşturmada aralarında bir fark olmadığı ancak konu alanı bilgisinin eksikliğinden kaynaklanan bir fark olduğu, bu farkın da İMÖ öğrencilerinin bazı karamların aşamalılık ilişkisini bilmemesinden kaynaklandığı; ) Grafların matrisle gösterimini boş karam haritasına dönüştürmede İMÖ ile OMÖ öğrencileri arasında bir fark olmadığı; ) Graf teori bilgisi erildikten sonra İMÖ ile OMÖ öğrencileri arasında karam haritasını oluşturmada bir fark olduğu, bu farkında OMÖ öğrencilerinin lehine olduğu; şeklindedir. Bunun sebebinin ise bu çalışmanın konusu olmayan daha önceki eksik eya yanlış karam bilgisinden kaynaklandığı görülmüştür. İMÖ e OMÖ öğrencilerinin karam haritasını oluşturmada graf teori bilgisi erildikten sonra gösterdikleri artış göz ardı edilemeyecek kadar yüksektir. Araştırmada elde edilen genel sonuç; karam haritası oluşturmada, graf teori e karam haritası arasındaki ilişkinin kolaylaştırıcı bir rolü olduğudur. Grafın matris gösterimiyle

10 GÜ, Gazi Eğitim Fakültesi Dergisi, Cilt, Sayı () - oluşturulan boş karam haritası, öğrencilerin karamları yerleştirirken hiyerarşik yapılanmayı daha iyi görmesini sağlamıştır.. Öneriler Bu araştırmada elde edilen sonuçlar doğrultusunda; aşağıdaki öneriler sunulabilir: ) Öğretmen adaylarına karam haritaları e graf teori arasındaki ilişki erilmelidir. ) Öğretmen adaylarına karam haritası oluşturmada graf teorisinin kolaylaştırıcı rolü erilmelidir. ) Yurtdışındaki bazı ülkelerde olduğu gibi ortaöğretim okullarında seçmeli ders olarak graf teori okutulabilir. Kaynaklar Commelot, R.A. (987). Design and Ealuation of Software for Computer-Based Concept Mapping, Unpublished Mastery Thesis, Urbana, Champaign. McGowen, M. and Tall, D. (999). Concept Maps and Schematic Diagrams as Deices for Documenting the Growth of Matematical Knowledge, Mathematic Education, ol, p Noak, J., Gowin, D.B. and Johanessen, G.T. (98). The Use of Concept Mapping and Knowledge ee Mapping with Junior High School Science Students, Science Education, 67, 6-6. Noak, J.D., and Growin, B. (98). Learning How tolearn. Cambridge Uniersity Press New York. Wilson, R. A. (). Graphs, Colourings and the Four-colour Theorem. Oxford Uniersity Press New York.