Şifrelemeye Giriş Ders Notları

Transkript

1 ŞĐFRELEMEYE GĐRĐŞ EYLÜL 2010

2 ŞĐFRELEME NEDĐR? Sade bir metni değiştirerek istenmeyen kişiler tarafından anlaşılmasını önlemektir. Metin aslında bilinen bir metin, yada semboller topluluğu, yada fotoğraflar, sesler, vs. Şifreleme bilgisayar ve haberleşme sistemlerinin gizliliğini (privacy), bütünlüğümü (integrity) ve kullanılabilirliğini sağlayan yöntemlerle ilgilidir. 2

3 ŞĐFRELEME KRĐPTOGRAFĐ ŞEMASI Gönderen Alıcı Sade Metin Şifreleme (Anahtar kullanılır) Şifrelenmiş Metin Çözümleme Deşifreleme Sade Metin 3

4 Ders boyunca kullanılacak bazı isimlendirmeler: Ahmet: Mesajı gönderen kişi. Ali: Mesajı alan kişi. Kaya: Gönül ile Ali arasındaki gizli görüşmeyi öğrenmeyen çalışan kötü niyetli biri. Ahmet Kaya 4 Ali

5 ŞĐFRELEME NEDĐR?-1 ALĐ çok ALĐ Açık metin şifreli metin deşifre Not: Büyük harfler ile açık metinler, küçük harfler ile ise şifrelenmiş metinler gösterilecektir. 5

6 ŞĐFRELEME NEDĐR?-2 Sade (Açık) Metnin oluşturulduğu alfabe (semboller) kümesi: P (plain text) Şifreli Metnin oluşturulduğu alfabe (semboller) kümesi: C (cipher text) Sade Metnin Şifreli Metnin Dönüşümü sağlayan fonksiyonlara Anahtar (Key) kümesi denir ve K ile gösterilir. 6

7 ŞĐFRELEME NEDĐR?-3 Şifreleme: Anahtar (K) ya bağlı, P kümesinden C kümesine bir terslenebilir bir fonksiyondur. e K : P C (d K : C P) Şifreleme sistemi sonlu P,C ve K kümelerinden ve de e K şifreleme ve de bunun tersi olan d K deşifreleme Şifrelemeye fonksiyonlarından Giriş Ders Notları oluşur.7

8 Önceki ÖrneK: ALĐ çok P ve C kümeleri Türkçe alfabemiz. K kümesi ise alfabemizin ötelenmesidir. (29 anahtar söz konusudur!) Bu örnekte: Anahtar k=3 ise üç harf ötelemesi. (Sezar Şifrelemesi) A,B,C,Ç,D,E,F,G,Ğ,H,Đ,Ý,J,K,L,M,N,O, Ö,P,R,S,Ş,T,U,Ü,V,Y,Z ç,d,e,f,g,ğ,h,i,ý,j,k,l,m,n,o,ö,p,r,s,ş,t, u,ü,v,y,z,a,b,c, 8

9 Kriptografik Bir Sistemin Đlkeleri Güvenlik derecesi: Genellikle bilgiyi ele geçirme amaçlı olarak bilinen en iyi yöntemlerin kesin sonuç alınıncaya dek uygulanmasındaki işlem sayısı olarak verilir. Fonksiyonellik: Kriptografik sistemin güvenliği sağlayan kısımları birbirleriyle bütünleşmiş bir yapıda olmalıdır. 9

10 Kriptografik Bir Sistemin Đlkeleri-2 Đşlem yöntemleri: Kriptografi sisteminin temel yapılarının, uygulama sırasında değişik girişlerle değişik şekillerde çalışması tipik karakteristikler olarak farklılık gösterecektir. Başarım: Bir şifreleme algoritmasının bir saniyede şifreleyebileceği bit sayısıdır. 10

11 Kriptografik Bir Sistemin Đlkeleri-3 Uygulamada kolaylık: Temel bir kriptografik sistem yapısının zor durumlarda uygulanabilirliği önemlidir. Bu yapılar karmaşık bir yazılım ya da donanım ortamını içerebilir. Sistemin yazılım veya donanım bölümüyle ilgili karmaşıklık derecesi işlem gücünü etkiler. 11

12 Şifre Nasıl Çözülür?-1 Şifreyi çözmeye başlamadan önce için kabul edilen en önemli 4 senaryo: Sadece Şifreli Metin: Şifreli bir metin ele geçirilmiştir. Bilinen Açık Metin: Açık ve şifrelenmiş metinler ele geçirilmiştir. 12

13 Şifre Nasıl Çözülür?-2 Seçili Metin: Kaya şifreleme yöntemini veya makinesini eline geçirmiştir ve kendi istediği metni şifreleyebilmektedir. Seçili Şifreli Metin : Kaya deşifreleme yöntemini veya makinesini eline geçirmiştir ve kendi istediği farklı boyutlardaki şifreli metinleri deşifreleyebilmektedir. 13

14 Tarihten Bazı Şifreleme Yöntemleri Ingilizler (2. Dünya Savaşı)- Đkililer (Digraph) Anahtar: PALMERSTON Şifre şeması: P A L M E R S T O N B C D F G H I/J K Q U Şifreleme: SF açık metni şifrelemek için; şemada kenarları SF olan bir dikdörtgen çiziniz ve SF için diğer köşeler olan oc alınız. Sıra seçimi ise aynı satırda olduğundan! V W X Y Z 14

15 Tarihten Bazı Şifreleme Yöntemleri -2 Đkililer aynı satırda iseler Đlk sağındakiler ile değiştiriniz; Harf sonda ise aynı satırın başına geçiniz. (devirsel) Örnek: BD cf yada CG db P A L M E R S T O N B C D F G H I/J K Q U V W X Y Z Aynı sutünda iseler örneğin; AI sw yada LX tl. Eğer ikili aynı harften oluşuyorsa biri X olarak değiştirilir. Örneğin; BALLOON kelimesi BA LX LO ON değişim yapılır ve şifrelenir: cp tl mt nr (şifreleme de j kullanılmaz sadece i vardır!) 15

16 Tarihten Bazı Şifreleme Yöntemleri Alman Ordusu (1. Dünya Savaşı) - ADFGVX şifreleme yöntemi a d f g v x a O L R 1 2 F d I 3 U Y 9 J f P D M W Z 0 g X C 4 K H 7 v 5 Q A V Y T x B S L G 8 E Şifrelemek için satır/sutün sutün sembolünü ADFGVX indeksi ile değiştir. Örneğin; T vx, yada CRYPTO101 gd af fa vx aa ag fx Şifrelemeye 16 ag Giriş Ders Notları

17 Tarihten Bazı Şifreleme Yöntemleri -4 D E U T S C H f x a d f f v x v f a x v v d g a g x v x d g x g a x x 3- Alman Ordusu (2. Dünya Savaşı) Anahtar. DEUTSCH Şifrelenmiş metin: fxxa fxdd fvvx xvgg afax vvxx dagg 17

18 Modüler Aritmetik-1 Tanım: m 1 olmak üzere eğer m a-b (m böler a-b diye okunur yani, m sayısı a-b nin bir çarpanıdır) ise a sayısı b sayısına m modülüne göre kongrüdur (denktir) denir ve a=b (mod m) olarak gösterilir. Örnek: 6=2 mod 4, -2=3 mod 5 Z m ={0,1,2,,m-1} 1} m ile bölümden kalan sınıflar. 18

19 Z 2 ={0,1}, * Z 3 ={0,1,2}, Z 4 ={0,1,2,3} * * NOT: Toplama ve çarpma işlemlerin tersleri daima var mıdır? Z m de ne zaman çarpmaya göre ters vardır? 19

20 Modüler Aritmetik-3 Çarpmaya göre ters eleman: Z 4 kümesinde 2 elemanın çarpmaya göre tersi yoktur! Z 6 da tersi olmayanlar: 2,3,4 başka? Z 5 ta tersi olmayanlar: Z 8 de tersi olmayanlar: 2,4,6 Z m de tersi olmayanlar: m ile aralarında asal olmayanlar! (Teorem) 20

21 Modüler Aritmetik-4 Denklem çözme. Örnek: 2x=6 ( mod 7) denklemini çözünüz. Çöz: 2 nin Z 7 de tersi 4 tür çünkü 2 4=8=1 mod x= 4 6 x=24=3 mod 7 21

22 Modüler Aritmetik-4 Ters fonksiyon bulma. f: Z 8 Z 8 ve f(x)=3x+5 şeklinde tanımlanan fonksiyonun tersinin olduğunu gösteriniz ve bulunuz? Çöz: y=3x+5 y-5=3x 3 ün tersi varsa uygulayabiliriz. (3,8)=1 (aralarında asal!) vardır: 3 3=1 mod 8 olduğundan 3-1 =3. x=3-1 ( y-5)=3(y-5)=3y-15=3y+1 f -1 (x)=3x+1 (f(2)=11=3; f f(2)=11=3; f - 1 (3)=10=2!) 22

23 Modüler Aritmetik-5 Ters fonksiyon bulma. f: Z 8 Z 8 ve f(x)=4x+5 fonksiyonun tersi yoktur neden? f: Z 29 Z 29 ve f(x)=6x+5 fonksiyon tersi vardır çünkü (6,29)= için bir yöntem var mıdır? EVET Öklit Algoritmasından sonra 23

24 Öklit Algoritması-EBOB Bulma-1 (29,4)=? 29=4 6+5 ( 6= = (Bölünen=Bölüm x Bölen + Kalan) Sıfırdan önceki pozitif kalan EBOB tur. 24

25 Öklit Algoritması-EBOB Bulma-2 Örnek: (10672,4147)=? (10672,4147)=29 25

26 Modüler Aritmetik-6 Yöntem ile Ters fonksiyon bulma. Z 29 de 17 elemanın çarpmaya göre tersini bulalım: (29,17)=1 tersi vardır: 29= = = = =

27 29=1 29= = =1 17= = =2 12= = =2 5= = =2 2= =5 = =5 =5-2 2 (12 ( ) 5)=5 = = 5 ( ) 12) = = ( )=12 )= =(12) =(12) 17+( +(-7) 7) 29 1=(12) 17+( +(-7) 7) 29 1=(12) 1717 mod 29 Z 29 da 17-1 =12 27

28 Ters fonksiyon bulma: Z 29 da; f(x)=17x+15 fonksiyonun tersini bulunuz. Çöz: y=17x+15 y-15=17x x=17-1 (y-15)=12(y-15)=12y-180=12y+23180=12y+23 f - 1 (x)=12x+23 bulunur. 28

29 Z m çarpmaya göre terslenebilen elemanların sayısı-1: Z m* kümesi Z m de çarpmaya göre tersi olan elemanlar olsun. (a,m)=1 ise a nın tersi vardır. φ(m): (a,m)=1 ve 1 a m olmak üzere a sayıların sayısı olsun. φ(m): (a,m)=1 ve 1 a Örneğin, φ(4)=2 çünkü a=1,3. φ(5)=4 çünkü a=1,2,3,4. φ(6)=2 çünkü a=1,5. 29

30 Z m çarpmaya göre terslenebilen elemanların sayısı-2: p asal ise φ(p)=p-1. (m,n)=1 ise φ(mn)= φ(m) φ(n) Örneğin, φ(35)= φ(5) φ(7) =4 6=24 p asal ise φ(p r )=p r -p r-1 Örneğin, φ(3 2 )= =9-3=6 φ(125)= =125-25=10025=100 30

31 Z m çarpmaya göre terslenebilen elemanların sayısı-3: m=a r b s c t ve a,b,c asal sayılar ise; φ(m)= φ(a r ) φ(b s ) φ(c t ) =(a r - a r- 1 ) (b s - b s- 1 ) ( NOT: Z m* =φ(m). ) (c t - c t- 1 ) Örneğin, Z 9* ={1,2,4,5,7} ve Z 9* =φ(9)=6. 31

32 KLASĐK ŞĐFRELEMELER ÖTELEME ŞĐFRELEMESĐ A,B,C,Ç,D,E,F,G,Ğ,H,Đ,I,J,K,L,M,N,O,Ö,P,R,S,Ş,T,U,Ü,V,Y,Z Z ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14, 15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,2 7,28} ALĐ şeklinde kodlanır. (Şifreleme değil!) 32

33 Alfabe ile Sayıların Eşleşmesi A B C Ç D E F G Ğ H I Đ J K L M N O Ö P R S Ş T U Ü V Y Z

34 Öteleme Şifrelemesi Örneği f:z 29 Z 29 ve f(x)=x+3 şeklinde üç ile öteleme şifreleme fonksiyonu tanımlanabilir. f - 1 (x)=x-3=x+26 deşifreleme fonksiyonudur. Örneğin; f(0)=3, f(14)=17 ve f(10)=13 yani f(a) =ç, f(l)=o ve f(đ)=k şeklinde şifrelenir. Not: P=C=K= Z 29 34

35 Modüler Öteleme: -3=26 mod 29 35

36 AFĐN ŞĐFRELEMESĐ-1 f:z 29 Z 29 ve f(x)=ax+b şeklindeki fonksiyonlar ile yapılan şifreleme şekline afin şifrelemesi denir. Burada a elemanın tersi olmalıdır. olmalıdır. f - 1 (x)=a -1 (x-b) ters fonksiyonu ile deşifre gerçekleşir. Not: P=C= Z 29 ve K=(a,b), aε Z * 29 K = K =φ(29) 29=28 29=

37 AFĐN ŞĐFRELEMESĐ-2 Örnek Örnek: f(x)=8x+5 fonksiyonu ile AHMETĐLEYARINSAATDÖRTTEBULUŞALIM metnini şifreyelim: "EPHNMYBNÖERFOZEEMĞDRMMNKTBTGEBFH" Deşifreleme fonksiyonu ise f - 1 (x)=8-1 (x-5) şeklindedir. 29=3x8+5 5=29-3x8 1=3-1x2=3-1x(5-1x3) 1x3) 8=1x5+3 3=8-1x5 1=2x3-1x5=2x(8-1x5) 1x5)-1x5 5=1x3+2 2=5-1x3 1=2x8-3x5=2x8-3x(29-3x8) 3x8) 3=1x2+1 1=3-1x21x2 1=11x8-3x29 1=11x8 mod =11 37

38 Afin de Deşifreleme f - 1 (x)=8-1 (x-5)=11(x-5)= 11x-55 f - 1 (x)=11x+3 f - 1 (E)= (E)=f - 1 (5)=58=0=a f - 1 (P)=f - 1 (19)=212=9=h f - 1 (H)=f - 1 (9)=102=15=m 38 EPH

39 PERMÜTASYON ŞĐFRELEMESĐ-1 Alfabenin herhangi bir permütasyonu: ABCÇDEFGĞHIĐJKLMNOÖPRSŞTUÜVYZ cştçöpdlmefijğhknorsuüvabyzgi ALĐ chi Sade Metin: ŞĐFRELEMEYĐÖĞRENELĐM Şifrelenmiş Metin: viduphpkpgirmupnphik 39

40 PERMÜTASYON ŞĐFRELEMESĐ-2 P=C=Türkçe alfabemiz K= Alfabenizden alfabemize birebir fonksiyonlar=permütasyonlar K =29!= 8,841,761,993,739,701,954,543,616,000,000 Güvenli mi? 40

41 Kısmi Permütasyon Şifrelemesi-1 Belli bir uzunlukta seçilen bir permütasyon ile şifreleme uygulanır: Örneğin: "YARINSAATBEŞTEPARKTA "YARIN-SAATB-EŞTEP-ARKTA nayır-basta-pşeet-aratk 41

42 VĐGENERE ŞĐFRELEMESĐ yüzyılda Vigenere tarafından öteleme şifresi daha genelleştirilmiştir. Buradaki şifrelemede kullanılan anahtar bir vektördür. Örnek: Z 26 olarak Đngilizce sıralanmış alfabesini alalım. Anahtar: VECTOR, yani k = (21, 4, 2, 19, 14, 17) Sırasıyla: Sade metin, anahtar ve şifreli metin: h e r e i s h o w i t w o r k s C I T X W J C S Y B H N J V M L 42

43 VĐGENERE ŞĐFRELEMESĐ -2 Vigenere şifrelemesinin anahtar uzunluğu m olsun. Yukarıdaki örnekte m=5 tir. Anahtar kümesi Türkçe alfabesinde 29 m ya da Đngilizce alfabesinde 26 5 şeklinde oldukça büyüktür önceki şifreleme yöntemlerine 43 göre.

44 VĐGENERE ŞĐFRELEMESĐ -3 denizli anahtarını kullanarak aşağıdaki açık metni Vigenere şifreleme yöntemi ile şifreleyelim: Açık metin: "BUGÜNSAATSEKĐZDEPARKTABULUŞTUKTAN SONRABELĐRLEDĐĞĐMĐZYEREGEÇERĐZ Şifrelenmiş metin ise "eatgmfidzğnjüığıfipyedfiütgezöıimfzr ünjdzşupsmışşpnmhdeniıpnpüı" NOT: ı=i! s=ş! Örnek kontrol edilmeli Şifrelemeye (Ödev)! Giriş Ders Notları 44

45 ENĐGMA-ÇALIŞMA PRENSĐBĐ VE ETKĐSĐ II. Dünya savaşında Almanlar tarafından kullanıldı den sonra ilk versiyonları ticaret alanında kullanılmaktaydı. 45

46 ENĐGMA-2 Makine, düz yazı harflerini şifreli yazı harflerine çeviren 3 Rotorlu bir sistem üzerine kurulmuştur.rotorlar diğer rotorlar ile kendi eksenleri etrafında dönerler, böylece Sezar Şifresindeki(Caesar Cipher) gibi yer değiştirme işlemini tamamlarlar. 46

47 ENĐGMA-3 Düz metin harfi ilk rotordan geçtiğinde ilk rotor bir kere dönecekti. Diğer, ikinci rotor ilk rotor 26 kez(alman alfabesi için) dönene kadar sabit ve hareketsiz(fonksiyonsuz) kalacaktı. Diğer bir deyişle, bir "s" ilk bölümde "b" olarak kodlanabilir, ama mesajın ilerleyen bölümlerinde "m" olarak da kodlanabilir. Rotorların dönmesi prensibi 26x26x26=17576 mümkün pozisyona izin verir. 47

48 ENĐGMA-4 Alıcının mesajı deşifre edebilmesi için rotorların ilk ayarlarını bilmesi ve şifrelenmiş metni makineye koyması gerekiyor. Almanlar bütün alıcıların tarihe göre rotorlarını ayarlayabilecek bir sistem tasarladılar. Her yazıcının tarihlere göre detaylandırılmış ayarlar kitabı vardı. Bu sistemin en büyük açığı ise işte bu tarih kitabi idi. 48

49 ENĐGMA-5 Đkinci dünya savaşında Bletchley Park Đngiltere de üslenen Amerikalı ve Đngiliz şifre çözücüler, o zamanın en yetenekli ve en değerli bilim adamı,matematikçi ve mühendislerinden oluşmaktaydı.bunlardan bazıları, daha sonra Bilgisayar biliminin kurucularından sayılacak Alan Matthison Turing ve dünyanın ilk dijital ve programlanabilir bilgisayarı olan Colossus' u yapan Thomas Harold Flowers dır.birçok Colossus bilgisayarı, ikinci dünya savaşı sırasında Alman Lorenz SZ40/42 şifre sisteminin çözülmesi işleminde olasılık hesaplayıcı olarak kullanılmıştır. 49

50 Hill Şifrelemesi by Lester S. Hill. x=(x 1, x 2,, x n ) açık metni y=(y 1, y 2,, y n ) şifreli metne dönüştürmek için bir matris çarpımından faydalanılır. Örneğin, x=mehmet=(15,5,9,15,5,23) Şifreleme matrisi: A:= Y=Ax=(6,25,4,10,4,22)= =(6,25,4,10,4,22)=füdıdş 50

51 Hill Şifrelemesi -2 Geçerli bir şifreleme yöntemi mi? Tersi var mı? Matrisin tersinin olması için determinantı sıfırdan farklı olmalı: det(a)=152 mod 29 =7 ve (29,7)=1 olduğundan tersi vardır: A - 1 =

52 Hill Şifrelemesi -3 A:= Matrisini kullanarak şifreleme yapalım: Açık metin: ŞĐFRELEMEÖĞRENĐYORUM Şifrelenmiş metin: "üyzbhtöcnvnfyıçvrlrf" Ödev: Yukaridaki anahtar matris ile yapılan Hill şifrelemsinde şifrelenmiş metin "cdvhglphfzphtopcamjess şeklinde olduğunda göre; açık metni bulunuz (deşifreleyiniz). (Cevap:parktasalısabahsekizde) 52

53 Akan yada Dizi (Stream) Şifrele metotları -1 Bu yönteme kadar blok şifreleme şekillerini gördük. Yani anahtar kümesi belli bir uzunluktaki metne uygulanıyordu. Şimdi ise belli bir kurala göre tek tek sembollere uygulanarak (dizi) şifrelemesi ile ilgili örnekler incelenecektir: Örnek: Başlangıç çekirdek anahtarı k=(1,0,0,0) olmak üzere z i =k i 1 i 4 ve i >4 için k i = z i ve 53

54 Akan yada Dizi (Stream) Şifrele metotları -2 Dolayısıyla dizi: k=z=(1,0,0,0, 1,0,0,0,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1, ) 1,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1, ) Periyodu 15 olmak üzere tekrarlı bir dizidir. Çekirdek anahtar anahtar dizisi Örnek şifreleme uygulaması: Açık metin Z 29 ikili sistem akan anahtar şifre şifrelenmiş metin 54

55 Akan yada Dizi (Stream) Şifreleme metotları -3 YILDIZTEKNĐKÜNĐVERSĐTESĐMATMÜH sade metnini önce Z 29 kümesindeki karşılıklarına çevirelim: 28,11, 14, 4, 11, 11, 24, 5, 13, 16, 10, 13, 26, 16, 10, 27, 5, 21, 22, 10, 24, 5, 22, 10, 15, 24, 15, 26, 9 Đkili sitemde beş rakamlı olarak kodlayalım: 11100,01011, 01110, 00100, 01011, 01011, 11000, 00101, 01101, 10000,01010, 01101,11010, 10000, 01010, 11011, 00101, 10101, 10110, 01010, 11000, 00101, 10110, 01010, 01111, 11000, 01111, 11010,

56 Akan yada Dizi (Stream) Şifrele metotları -4 Akan şifreyi uygulayalım: mod Şeklinde aşağıdaki bloklar şifrelenir:

57 Akan yada Dizi (Stream) Şifrele metotları -5 Şifreli metin: 13, 13, 25, 21, 13, 28 kküskz Ödev: Geriye kalan şifreleme kısımlarını tamamlayınız 57

58 RC4 Dizi şifrelemesi Ron Rivest (R of RSA) in 1987 keşfetti. Şifrelenecek metne gelişigüzel (random random) anahtar oluşturur. ALGORĐTMA: n pozitif tamsayı (genelde n=8 alınır.) Anahtar oluşturmak için 0,1,2,,2 n -1 sayılarından oluşan yardımcı S 0, S 1,, S n 2-1 sayı dizisinin bir permütsayonu kullanılır. 58

59 RC4 şifreleme-2 Başlangıçta: S 0 =0, S 1 =1,, S n 2-1 =2 n -1 alınır. K 0, K 1,,K n 2-1 dizisi seçilir (anahtar) (2 n -1 uzunluğunda anahtar verilmediyse tekrar edilerek uzunluk doldurulur.) 59

60 Algoritma: j=0 i=0,1,, 2 n -1 için j:=j+s i +K i mod 2 n S i ile S j yi değiştir (swap) için döngüsü tamamlandı i:=j:=0; l uzunluğunda keyfi ikili anahtar oluşturmak için r:=0,1,, l-1 için i:=i+1 mod 2 n j:=j+s i mod 2 n S i ile S j yi değiştir (swap) t:=s i +S j mod 2 n :=S t (için döngüsü tamamlandı) K Sr := Anahtar: K Sr, r=0,1,, l-1 için 60

61 RC4- Şifreleme-4 Örnek (n=3) n=3 2 n -1=7. S 0 =0, S 1 =1,, S 7 =7 Başlangıç Anahtarı: veya veya [3, 1, 4, 1, 5] verilsin. K 0 =3, K 1 =1, K 2 =4, K 3 =1, K 4 =5, 3,1,4 (tamamlanır) 61

62 RC4- Şifreleme-5 Örnek (n=3) K 0 K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K i j S 0 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S j=0; i=0 j=0+s 0 +K 0 =0+3=3 S 0 S 3 j=3 ; i=1 j=3+s 1 +K 1 =3+2=5 S 1 S 5 j=5 ; i=2 j=5+s 2 +K 2 =5+2+4=3 S 2 S 3 62

63 RC4- Şifreleme-6 Örnek (n=3) K 0 K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K i j S 0 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S

64 RC4- Şifreleme-7 Örnek (n=3) l uzunluğunda keyfi bit üretimi: K r - anahtar i j t K r S 0 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S r=0 i=1;j=0+s 1 =5 S 1 S 5 t=s 1 +S 5 =11=3 K 0 =S 3 =1 r=1 i=2;j=5+s 2 =5 S 2 S 5 t=s 2 +S 5 =5 K 1 =S 5 =0 64

65 RC4- Şifreleme-8 Örnek (n=3) l=12 uzunluğundaki keyfi anahtar: i j t K r S 0 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S Anahtar: 1,0,0,2,2,6,7,5,4,2,0,

66 Asimetrik (Açık-Public) Şifreleme Yöntemleri Aralarında herhangi bir gizli ön iletişim yok Ahmet dinleme Ali 66 BĐLĐM ve TEKNOLOJĐDEKĐ GELĐŞMĐŞLĐĞĐN MATEMATĐKSEL TEMELĐ Mart 2010

67 Asimetrik (Açık-Public) Şifreleme Yöntemleri Önceki yöntemlerde anahtarın iletilmesi için gizli bir ortam ya da özel olarak iletilmesi gerekmektedir. Günümüzde: Banka hesapları, şifre edinme, vs. Nasıl olmaktadır? Banka ile bizim özelde her giriş yaptığımızda anahtar temini yapıyor muyuz? Peki özel ortam paylaşmadan güvenli anahtarlar nasıl sağlanıyor? 67

68 RSA (Rivest, Shamir ve Adleman )Şifrelemesi-1 n:modül, e: açık anahtar d: özel anahtar. n=p.q, p ve q asal sayılar olsun. φ(pq pq)=(p )=(p-1)(q 1)(q-1) Örnek: p=5 ve q=7 ise φ(35)=4 6=24 e açık anahtarı şu şekilde seçilsin: ebob(e, φ(pq pq)) ) = 1 68

69 RSA -2 Ahmet p ve q yu seçerek n sayısını oluşturur. (n,e) sayı çifti açık ilan edilir. (p ve q gizlidir!) Şifrelenecek mesaj m olsun. c=m e (mod n) c sayısını Ali ye gönderir. Ahmet p ve q yu bildiğinden: de =1 (mod mod(p-1)(q-1)) 1)) denkleminden d deşifre anahtarını hesaplayabilir. 69

70 RSA -3 m=c d (mod n) RSA ALGORĐTMASI 1. Ahmetpveqolarak iki büyük asal sayı seçer. 2. Ahmet(e,(p-1)(q-1)) = 1 olacak biçimde e yi seçer. 3. Ahmet de=1 (mod(p-1)(q-1)) olacak şekilde d yi hesaplar. 4. Ahmetnveeyi yayınlar, vep,q,d yi gizler. 5. Ali metni m olarak şifrelerc=m e (modn) hesaplar ve Ahmet ecyi gönderir. 6. Ahmetm=c d (modn) i hesaplayarak deşifre yapar. 70

71 RSA n ve e yayınlanır Ahmet p,q n=pq de=1 (mod(φ(n))) p,q ve d gizli c şifreli metin Ali m: mesaj c =m e (mod n) m=c d (mod n) deşifrelenir 71

72 RSA -4: Örnek Ahmet p= ve q= asal sayılarını seçsin. Ayrıca e=9007 olarak seçsin. e ve n=p.q değerlerini Ali ye yollar (p ve q gizli!). Alinin mesajı m= cat olsun. 72

73 RSA -5: Örnek cat= olarak kodlansın. Yani, m=030120=30120 sayısı elde edilir. Ali c yi şu şekilde hesaplar: c=m e = = (mod n) Ali c yi (yukarıdaki sayıyı) Ahmet e gönderir. Ahmet, Öklit algoritması yardımıyla 73

74 RSA -6: Örnek de=1 (mod (p 1)(q 1)) 1)) d= hesaplar. Ahmet Ali nin gönderdiği c şifresini m=c d = (mod n) m=30120 (mod n) şeklinde çözer. NOT: Eğer p ve q asalları 150 hanelik rakamlar olarak seçilirse; herhangi birinin günümüzde bilinen metotları (günümüzün bilgisayarları yardımıyla) bunları bulması 100 yıl kadar sürer. 74

75 RSA AÇIK ŞĐFRELEME ÖRNEĞĐ 75 BĐLĐM ve TEKNOLOJĐDEKĐ GELĐŞMĐŞLĐĞĐN MATEMATĐKSEL TEMELĐ Mart 2010

76 Mesaj şifreleme için kullanılacak küçük sayılan bir anahtar örneği: Asal çarpanları nelerdir? 76

77 Çarpanlara Ayırma Bir Örnek N= RSA-200 challenge, 5/9/05 tarihinde çarpanlarına Jens Franke in ekibi tarafından Bonn Üniversitesi (Almanya) da ayrıldı. Ödül 20,000 A.B.D $. N=pq ve p = q =

78 Anahtar Kırmak için gerekli zaman! Anahtar Uzunluğu (bits) Olası Anahtar Seçeneklerin sayısı 10 6 çözümleme/ µs hızında gerekli zaman = 4.3 x mili saniye = 7.2 x saat = 3.4 x x yıl = 3.7 x x yıl 78

79 Anahtarı Bulmak için Gerekli Zaman 128 bits AES standardı olarak kullanılmakta ( den günümüze.) 256 bits ABD Çok Gizli Đletişim için kullanılmakta 79

80 Ayrık Logartima Problemi: ALP-1 (Discrete Logarithm Problem) Tanım: (Đlkel Eleman) Z p cisminin her sıfırdan faklı elemanı bir elemanın kuvveti şeklinde yazılabiliyorsa; bu elemana Z p cismin bir ilkel elemanı denir. Örnek: Z 5 te 2 1 =2, 2 2 =4, 2 3 =3 ve 2 4 =1 olduğundan; 2, Z 5 cismin bir ilkel elemanıdır. ( 3 te bir başka ilkelidir.) 80

81 ALP-2 Z* p ={1,2,,p-1} 1} çarpma işlemine göre bir değişmeli gruptur. Ayrıca devirlidir! Z* Z* Z* p =<a>={a,a 2, a 3,, a p- 1 =1} a elemanı devirli grubun bir üretecdir yani ilkel elemandır. o(a)=p-1 (a elemanın mertebesi (order order)) Ödev: Z* Z* p (p=7,11 ve 13) devirli grubun birer üreteç (ilkel) elemanı bulunuz. Ödev: Z* 7 de o(2), o(3), o(4) =? 81

82 ALP-3 Tanım: a elemanı Z p nin bir ilkel elemanı (üreteci) olsun. h, Z* p nin herhangi bir elemanı olmak üzere a x =h (mod p) denkleminde x üstelini bulma problemine ALP denir. (x= x=log a h ya da x=indeks a (h) ) Örnek: p=56509 olsun. 2 bir ilkeldir! h=38679 un logaritması nasıl hesaplanır? 82

83 ALP-4 Doğal olarak 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,, 2 20,. mod Değerlerinde elde edilene kadar devam edilir. Bilgisayar yardımıyla x=log a h=11235 bulunur. Not: Kuvvet değerli sürekli üstel fonksiyon gibi davranmaz. Modüler aritmetik olduğundan gelişigüzel değerler elde edilir! 83

84 Diffie Hellman Anahtar Değişimi Ahmet a gizli A=g a mod p p (büyük asal) ve g (sıfır değil) yayınlanır A B Ali b gizli B=g b mod p B a =(g b ) a =g ba mod p Kaya A ve B yi görüyor! A b =g ab mod p 84

85 DH-Anahtar Değişimi -2 Ahmet a=347 gizli p =941 ve g=627 yayınlanır Ali 390 b=781 gizli A= B= mod 941 A= B= =470 mod =470 mod 941 Gizli Anahtar=

86 ElGamal (EG, 1985) Şifreleme Yöntemi Ahmet, p büyük bir asal sayı seçer (ALP zor olmalı!). Ahmet a gizli anahtarını seçer ve A= A=g a mod p değerini olan açık anahtarını hesaplar ve yayınlar. Ali, Ahmet in açık anahtarını kullanarak Ahmet e gizli bir mesaj yollamak ister Ali p den küçük bir k keyfi sayısını sadece bir mesajı bir kez şifrelemek için seçer sonra atar. 86

87 EG-2 Ali, A açık anahtarı kendi seçtiği k sayısı ve m mesajını kullanır: c 1 =g k mod p ve c 2 =ma k mod p değerlerini hesaplar. Ali g ve p açık değerlerini bilmekte ve m mesajını gizli olarak (c 1,c 2 ) şeklinde Ahmet e gönderir. Ahmet a gizli anahtarını bildiğinden; x=c a 1 mod p yi hesaplayabilir. 87

88 EG-3 Ayrıca x - 1 mod p değerini de hesaplayabilir. Sonuç: m=x -1 c 2 mod p mesajını okur! Çünkü; x -1 c 2 =(c 1a ) -1 c 2 =(g ak ) -1 ma k =(g ak ) -1 m(g a ) k =m. 88

89 ElGammal Şeması: p (büyük asal) ve g mod p yayınlanır Ahmet a gizli A=g a mod p A (c 1,c 2 ) Ali k gizli c 1 =g k mod p c 2 =ma k mod p m=(c 1a ) -1 c 2 mod p 89

90 ELGAMMAL ÖRNEK: Ahmet p =467 ve g=2 mod 467 yayınlanır Ali 224 a=153 gizli k=197, m=331 gizli A=2 153 =224 mod 467 c 1 =2 197 =87 mod 467 (87,57) c 2 = =57 m=( ) mod 476 m=14 35 mod 476 m=14 57=331 mod

91 91

92 92

93 93

94 94

95 95

96 DH-3 Kaya 627 a =390 (mod 941) ve 627 b =691 (mod 941) denklemlerden birini çözebilse; şifre çözülür! Gerçek uygulamalarda: p asalın 1000 haneden oluşması önerilir yani p olmalı. 96

97 KAYNAKÇA WADE TRAPPE, LAWRENCE C. WASHINGTON INTRODUCTION TO CRYPTOGRAPHY with CODING THEORY, Prentice Hall WENBO MAO,MODERN CRYPTOGRAPHY THEORY & PRACTICE Prof. RANDALL K. NICHOLS, WIRELESS SECURITY Türkiye Kriptografi Sayfaları, tr/ 97