T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DÜZLEMSEL HOMOTETİK HAREKETLER ALTINDA KAPALI YÖRÜNGE EĞRİSİNİN KUTUPSAL ATALET MOMENTİ İÇİN HOLDITCH-TİPİ TEOREMLER MUTLU AKAR DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN PROF. DR. SALİM YÜCE İSTANBUL, 0

2 T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DÜZLEMSEL HOMOTETİK HAREKETLER ALTINDA KAPALI YÖRÜNGE EĞRİSİNİN KUTUPSAL ATALET MOMENTİ İÇİN HOLDITCH-TİPİ TEOREMLER Mutlu AKAR tarafından hazırlanan tez çalışması..0 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı nda DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmiştir. Tez Danışmanı Prof. Dr. Salim YÜCE Yıldız Teknik Üniversitesi Jüri Üyeleri Prof. Dr. Salim YÜCE Yıldız Teknik Üniversitesi Prof. Dr. Nuri Kuruoğlu Bahçeşehir Üniversitesi Prof. Dr. Ziya SOYUÇOK Yıldız Teknik Üniversitesi Prof. Dr. Ertuğrul ÖZDAMAR Bahçeşehir Üniversitesi Doç. Dr. Mustafa DÜLDÜL Yıldız Teknik Üniversitesi

3 Bu çalışma, Yıldız Teknik Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Koordinatörlüğü nün DOP0 numaralı projesi ile desteklenmiştir.

4 ÖNSÖZ Kinematik; kuvvet ve kütle kavramlarının hiç rol oynamadığı mekaniğin bir alt dalıdır. Bir diğer ifadeyle, kinematik sadece bir nokta veya bir sistemin (cismin) zamana bağlı meydana getirdiği yer değiştirmeleri inceler. Bu tezde düzlemsel kinematiğin özellikle geometriyi ilgilendiren kısmını inceleyeceğiz ve elde edilen verilerin geometrik sonuçlarını vereceğiz. Bu çalışmada tamamen düzlemsel kinematik ele alınacaktır. Yani bir düzlem parçasının düzlemsel bir yüzey üzerindeki hareketini inceleyeceğiz. Bu çalışmanın hazırlanmasında benden hiçbir yardımı esirgemeyen Saygıdeğer Hocam Sayın Prof. Dr. Salim YÜCE ye, tez izleme komitesinde bulunan Sayın Prof. Dr. Nuri KURUOĞLU ve Sayın Prof. Dr. Ziya SOYUÇOK hocalarıma en içten duygularımla sonsuz saygı ve teşekkürlerimi sunarım. Tüm hayatım boyunca maddi ve manevi desteklerini hep yanımda hissettiğim değerli aileme ve çalışma arkadaşlarıma en içten duygularımla teşekkür ederim. Eylül, 0 Mutlu AKAR

5 İÇİNDEKİLER Sayfa ŞEKİL LİSTESİ...vii ÖZET... viii ABSTRACT... x BÖLÜM GİRİŞ... BÖLÜM. Literatür Özeti.... Tezin Amacı Orjinal Katkı... 7 TEMEL KAVRAMLAR... 8 BÖLÜM 3. Afin Uzay ve İzometri PARAMETRELİ DÜZLEMSEL HAREKET Türev Denklemleri Hızlar ve Hızların Terkibi Dönme Polü ve Pol Eğrileri Parametreli Düzlemsel Kapalı Hareket Kapalı Hareket Esnasında Yörünge Eğrisinin Alanı Klasik Holditch Teoremi Doğru Demetlerinin Zarflarına Ait Cauchy Formülleri Kapalı Hareketlerde Doğru Zarf Eğrilerinin Çevresi Kapalı Hareket Altında Yörünge Eğrisinin Kutupsal Atalet Momenti Kutupsal Atalet Momenti için Holditch-Tipi Teorem Yörünge Eğrisinin Kutupsal Atalet Momenti için Özel Durumlar Yörünge Eğrisinin Atalet Momenti ve Yörünge Alanı Arasındaki İlişkiler 38 v

6 BÖLÜM Kutupsal Atalet Momenti için Holditch Tipi Teoremin Genelleştirilmeleri 40 -PARAMETRELİ DÜZLEMSEL HOMOTETİK HAREKET BÖLÜM 5 4. Türev Denklemleri Hızlar ve Hızların Terkibi Pol Noktaları ve Pol Eğrileri Parametreli Düzlemsel Kapalı Homotetik Hareket Kapalı Homotetik Hareket Esnasında Yörünge Eğrisinin Alanı Kapalı Düzlemsel Homotetik Hareketler için Holditch Teoremi Kapalı Homotetik Hareketlerde Doğru Zarf Eğrilerinin Çevresi Kapalı Homotetik Hareket Altında Yörünge Eğrisinin Alanı için Holditch- Tipi Teoremler Kapalı Homotetik Hareket Altında Yörünge Eğrisinin Kutupsal Atalet Momenti Holditch-Tipi Teorem ile Kutupsal Atalet Momentinin Hesaplanması DÜZLEMSEL HOMOTETİK HAREKETLER ALTINDA KAPALI YÖRÜNGE EĞRİSİNİN KUTUPSAL ATALET MOMENTİ İÇİN HOLDITCH-TİPİ TEOREMLER BÖLÜM 6 SONUÇ VE ÖNERİLER KAYNAKLAR EK-A DÜZLEMSEL HAREKETLERİN MAPLE ÖRNEKLERİ ÖZGEÇMİŞ vi

7 ŞEKİL LİSTESİ Sayfa Şekil 3. Bir parametreli düzlemsel hareket... Şekil 3. Başlangıç noktaları çakışık olan koordinat sistemleri... Şekil 3. 3 Hareketli ve sabit pol eğrileri... 9 Şekil 3. 4 Holditch Halkası... Şekil 3. 5 Hareketli düzlemde Holditch Halkası... 3 Şekil 3. 6 Doğrunun zarf eğrisi... 6 Şekil 3. 7 Kapalı hareketlerde doğrunun zarf eğrisi... 8 Şekil 3. 8 Doğrudaş üç nokta... 3 Şekil 3. 9 Doğrudaş olmayan üç nokta Şekil 3. 0 Başlangıç noktaları aynı koordinat sistemleri Şekil 3. Doğrudaş olmayan üç noktanın çizdiği farklı yörünge eğrileri Şekil 3. Doğrudaş olmayan üç noktanın çizdiği aynı yörünge eğrisi Şekil 3. 3 Doğrudaş olmayan üç noktanın çizdiği farklı yörünge eğrilerinin genel hali 47 Şekil 3. 4 Farklı iki hareketteki farklı doğrudaş üç noktanın çizdiği yörünge eğrileri Q i,,3 noktaları Şekil 4. Doğrudaş olmayan üç nokta ve farklı Şekil 5. Kapalı homotetik hareketlerde doğrunun zarf eğrisi i vii

8 ÖZET DÜZLEMSEL HOMOTETİK HAREKETLER ALTINDA KAPALI YÖRÜNGE EĞRİSİNİN KUTUPSAL ATALET MOMENTİ İÇİN HOLDITCH-TİPİ TEOREMLER Mutlu AKAR Matematik Anabilim Dalı Doktora Tezi Tez Danışmanı: Prof. Dr. Salim YÜCE Holditch, H. [], aşağıdaki önemli teoremi vermiştir: Öklid düzleminde sabit a b uzunluklu bir AB doğru parçasının A ve B uç noktaları bir k ovali boyunca bir defa dolandığında; AB doğru parçası üzerinde tespit edilen bir noktası A a, B b da genellikle konveks olması gerekmeyen kapalı bir k eğrisini çizer. Bu k ovali ile alanı, F dir. ab k eğrisi arasında kalan Holditch Halkası nın F yüzey Blaschke, W., Müller H. R. [3], klasik Holditch Teoremi nin aşağıdaki genelleştirilmesini vermiştir: -parametreli dönme sayılı kapalı düzlemsel hareketler altında bir AB doğru parçasının A 0,0 ve B a b,0 uç noktaları sırasıyla k A ve k B kapalı eğrilerini çizdiğinde, A ve B noktaları ile doğrudaş bir a,0 viii noktası A a ve B b

9 da kapalı fakat genellikle konveks olması gerekmeyen bir k eğrisini çizer. AB, ve noktalarının çizdiği eğrilerin yörünge alanları sırasıyla FA, F B ve F olmak üzere bu alanlar arasında F afb bf a b A ab şeklinde bir bağıntı vardır. Bu çalışmada, Yüce, S., Düldül, M. ve Kuruoğlu, N. [7] tarafından verilen -parametreli kapalı düzlemsel hareketler altında doğrudaş olmayan üç noktanın kutupsal atalet momentleri için Holditch Tipi Teoremlerin homotetik hareketlerdeki karşılığı araştırılmıştır. Anahtar Kelimeler: Holditch Teoremi, Homotetik Hareket, Kutupsal Atalet Momenti. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ix

10 ABSTRACT HOLDITCH-TYPE THEOREMS FOR THE POLAR MOMENT OF INERTIA OF THE CLOSED ORBIT CURVE UNDER PLANAR HOMOTHETIC MOTIONS Mutlu AKAR Department of Mathematics Ph.D Thesis Advisor: Prof. Dr. Salim YÜCE H. Holditch [] have given the following important theorem in 858: If the endpoints AB, of a line segment AB with fixed length a b are rotated once along an oval (Eilinie) k in the Euclidean plane, then a given fixed point A a, B b on line segment AB describes a closed, not necessarilly convex, curve k. The area F of the Holditch-Ring bounded by the oval k and curve k is F ab. W. Blaschke and H. R. Müller [3] have given the following generalization of the classical Holditch Theorem: Under -parameter closed planar motions with the rotation number, if the 0,0 B a b,0 on a line segment AB trace the closed orbit endpoints A and curves k A and k B, respectively, the point a,0 a and b A B which is k. Let k, respectively. collinear with points A and B traces a closed, not necessarilly convex, curve FA, F B and F be the orbit areas of the orbit curves Then, there is the equation k A, k B and x

11 F afb bf a b A ab. In this study, under the homothetic motions, we investigated the obtained results which Holditch-Type Theorems for the polar moments of inertia of three noncollinear points given by Yüce, S., Düldül, M. ve Kuruoğlu, N. [7]. Key words: Holditch Theorem, Homothetic Motion, Polar Moment of Inertia. xi YILDIZ TECHNICAL UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE

12 BÖLÜM GİRİŞ Mekanik, fiziğin bir alt dalı olarak hareket ve denge olaylarını inceleyen bilimdir. Mekanik üç bölüme ayrılabilir: Kinematik, Dinamik ve Statik. Kinematik, maddesel sistemlerin geometrik özelliklerinin zamanla değişme şeklini inceleyen bilimdir. Kinematiğin oluşması ve bağımsız bir bilim olarak ele alınışı, bu bilimi kuran ve ona adını koyan Ampère ( ) e aittir. Kinematik, cisme etki eden kuvvetleri hiç göz önüne almadan sadece cismin nasıl hareket ettiğini, nasıl bir yol üzerinde gittiğini, herhangi bir andaki yerinin, hız ve ivmesinin ne olduğunu belirlemeye çalışır. Dinamik, maddesel sistemlerin hareketlerini oluşturan ve değiştiren nedenleri yani kuvvetleri göz önüne alarak hareketi inceleyen bilimdir. Kinematikteki temel büyüklükler uzunluk ve zamandır. Dinamikte ise uzunluk, zaman ve kütle olmak üzere üç tane temel büyüklük vardır. Böylece Kinematik, Geometri ile Dinamik arasında bulunan bir bilim olmaktadır. Statik, hareket etmeyen nesnelerin üzerindeki kuvvet dengelerini konu alan bilim dalıdır.

13 . Literatür Özeti Holditch, H. [], aşağıdaki önemli teoremi vermiştir: Düzlemde sabit a b uzunluklu bir AB doğru parçasının A ve B uç noktaları bir k ovali boyunca bir defa dolandığında; AB doğru parçası üzerinde tespit edilen bir noktası A a, B b da genellikle konveks olması gerekmeyen kapalı bir k eğrisini çizer. Bu k ovali ile alanı, k eğrisi arasında kalan Holditch Halkası nın F yüzey F ab (.) dir. Burada F yüzey alanı, sadece noktasının AB doğru parçasının uç noktalarına olan uzaklıklarına bağlı olup k ile k eğrilerinden ve hareketten bağımsızdır. Bu klasik Holditch Teorem, daha sonra birçok bilim adamı tarafından farklı bakış açıları ile çalışılarak değişik metotlar ile genelleştirilmiştir. Steiner, J. [], -parametreli kapalı düzlemsel hareketler altında hareketli düzlemde alınan sabit bir x, x için noktasının sabit düzlemdeki çizdiği yörünge eğrisinin alanı F F x x x s x s (.) O şeklinde ifade edilen Steiner Alan Formülü nü vermiştir. Burada noktasının yörünge alanı, ; hareketin dönme sayısı ve S s, s F ; 0,0 O O orijin Steiner noktası; hareket esnasında sabit düzlemdeki hareketli pol eğrisinin ağırlık merkezidir. -parametreli kapalı düzlemsel hareketlerle ilgili yapılan çalışmalar, Kinematik ve Hareket Geometrisi ile uğraşan birçok bilim adamının büyük ölçüde ilgisini çektiğinden; Steiner Alan Formülü ve Holditch Teoremi üzerine pek çok çalışma yapılmıştır.

14 Blaschke, W., Müller H. R. [3]; Holditch Teoremi nin aşağıdaki genelleştirilmesini vermiştir: -parametreli dönme sayılı kapalı düzlemsel hareketler altında bir AB doğru parçasının A 0,0 ve B a b,0 uç noktaları, sırasıyla, k A ve k B kapalı eğrilerini çizdiğinde, A ve B noktaları ile doğrudaş bir a,0 noktası A a ve B b da kapalı fakat genellikle konveks olması gerekmeyen bir k eğrisini çizer. AB, ve noktalarının çizdiği eğrilerin yörünge alanları, sırasıyla, FA, F B ve F olmak üzere, bu alanlar arasında F afb bf a b A ab (.3) şeklinde bir bağıntı vardır. Özel olarak bu doğru parçası bir oval üzerinde bir defa dolandığında Klasik Holditch Teoremi elde edilir. Hering, L. [9]; Holditch Teoremi nin aşağıdaki genelleştirilmesini vermiştir: -parametreli dönme sayılı kapalı düzlemsel hareketler altında AB doğru parçasının 0,0,,0 A B a b uç noktaları, sırasıyla, k A ve ve B noktaları ile doğrudaş olmayan bir a, c k B kapalı eğrilerini çizdiğinde, A noktası da bir k kapalı eğrisini çizer. AB, ve noktalarının çizdiği eğrilerin yörünge alanları, sırasıyla, FA, F B ve F olmak üzere bu alanlar arasında af bf a b B A F c ab clab (.4) şeklinde bir bağıntı vardır. Burada L AB, AB doğru parçasının zarf eğrisinin uzunluğudur. c 0 olması durumunda (.3) denklemi elde edilir. Pottmann, H., [0]; Holditch Teoremi nin aşağıdaki genelleştirilmesini vermiştir: 3

15 -parametreli kapalı düzlemsel hareketler altında hareketli düzlemde alınan doğrudaş olmayan A, B, C noktaları aynı F alanına sahip k eğrisini çizerlerse herhangi bir noktası da F yörünge alanına sahip kapalı eğrilerinin yörünge alanları arasındaki fark F F r R k eğrisini çizer. Bu durumda k ve (.5) k dir. Burada R, ve O noktaları arasındaki uzaklık, r de ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapıdır. Yine Pottmann [0] da hareketli düzlemdeki doğrudaş olmayan 0,0,,0,,,, A B b C c d x y noktalarının çizmiş oldukları yörünge eğrilerinin alanları arasındaki ilişkiyi x c b x cy y F y F F F b bd b bd d A B C d d c d bc x y bx y y (.6) bağıntısı ile vermiştir. Pottmann, H., []; Holditch Teoremi nin bir diğer genelleştirilmesini aşağıdaki şekilde vermiştir: Ei / E, i, kat etme sayıları aynı i dönme sayılı -parametreli kapalı düzlemsel hareketler olsun. Eğer i i noktaları, sırasıyla, k ve Y doğru parçalarının 0,0 ve Y a b k yörünge eğrilerini çizerse Z a,0 yörünge alanına sahip k i yörünge eğrilerini belirler. Y i i,0 uç i i i noktaları da F i F i alanları arasındaki fark, F F ab (.7) dir. 4

16 Homotetik düzlemsel hareketler ile ilgili bir çok çalışma yapılmıştır. Şimdi, tezimizde kullandığımız bazı önemli çalışmalar hakkında bilgi verelim: Tutar, A. ve Kuruoğlu, N. [6] tarafından h homotetik oranlı ve T periyodlu kapalı homotetik hareketler ile ilgili çalışmalar temel teşkil eden; kapalı yörünge eğrisinin O F F h t x x x s x s x x (.8) 0 denklemi ile ifade edilen Steiner Alan Formülü nü ve F h t0 ab (.9) ile verilen Holditch Teoremi nin kapalı homotetik hareketlere genelleştirilmesi verilmiştir. Burada t0 0, T için h td h t 0 d h t0 dir. Ayrıca ve hareketin sabitleridir. Yukarıdaki denklemlerde h alınması durumunda sırası ile (.) ve (.) de verilen sonuçlar elde edilir. Kuruoğlu, N. ve Yüce, S., []; Müller, H. R. [3], tarafından verilen çalışmanın homotetik hareketlerdeki karşılığını araştırmışlar ve af bf a b B A F h t0 ab (.0) sonucu elde edilmiştir. Yukarıdaki denklemde h alınması durumunda (.3) de verilen sonuç elde edilir. Yüce, S. ve Kuruoğlu, N., [3]; Hering, L. [9] ve Pottmann, H., [0], tarafından verilen çalışmaların homotetik hareketlerdeki karşılığını araştırmışlar ve sırası ile, af bf 0 a b B A F c ab h t h t0 clab, (.) 5

17 0 F F h t R r (.) ve x c b x cy y F y F F F b bd b bd d A B C c d bc x y bx y y h t d d 0 (.3) sonuçları elde edilmiştir. Burada hd dir. Yukarıdaki denklemlerde h alınması durumunda, sırasıyla, (.4), (.5) ve (.6) da verilen sonuçlar elde edilir. Yüce, S. ve Kuruoğlu, N., [4]; Pottmann, H., [], tarafından verilen çalışmanın homotetik hareketlerdeki karşılığını araştırmışlar ve F F h t ab (.4) 0 sonucu elde edilmiştir. Yukarıdaki denklemde h alınması durumunda (.7) de verilen sonuç bir özel durum olarak elde edilir. Şimdi, hareket esnasında elde edilen yörünge eğrisinin atalet momenti ile ilgili Holditch Tipi teoremleri vereceğiz: Müller, H. R. [5]; -parametreli kapalı düzlemsel hareketler altında hareketli düzlemde alınan sabit bir x, x noktasının sabit düzlemde çizdiği kapalı yörünge eğrisinin kutupsal atalet momentini hesaplamıştır. Ayrıca eşit kutupsal atalet momentine sahip hareketli düzlemin bütün sabit noktalarının merkezi Steiner Noktası olan bir çember üzerinde bulunduğu belirtilmiş ve Holditch Teoremi ne benzer bir sonuç verilmiştir. Böylece [], [3] deki çalışmaların kutupsal atalet momenti için T ab, (.5) T T x x x s x s, (. 6) O 6

18 ve T atb bt a b A ab (.7) şeklinde karşılığı verilmiştir. Düldül, M. ve Kuruoğlu, N. [8] ise Müller, H. R. [5] tarafından verilen çalışmanın homotetik hareketlerdeki karşılığını araştırmışlardır.. Tezin Amacı Yüce, S., Düldül, M., Kuruoğlu, N. [7], 978 yılında Müller, H. R. [5] tarafından verilen -parametreli kapalı düzlemsel hareketler altında sabit bir noktanın çizdiği kapalı yörünge eğrisinin kutupsal atalet momentinin hesabı ve atalet momenti için Holditch Teoremini doğrudaş olmayan üç nokta ve hareket eden iki düzlem için genelleştirmişlerdir. Bu tez çalışmasının amacı; Yüce, S., Düldül, M., Kuruoğlu, N. [7] tarafından verilen - parametreli kapalı düzlemsel hareketler altında elde edilen sonuçların, homotetik hareketlerdeki karşılıklarını araştırmaktır..3 Orjinal Katkı Yüce, S., Düldül, M., Kuruoğlu, N. [7] tarafından verilen -parametreli kapalı düzlemsel hareketler altındaki sonuçların elde edilmesiyle kinematikteki birçok problemin çözümlenmesine olanak sağlayacaktır. Ayrıca, Ek A da Maple 5 de verilen programlama örneklerinde; klavyeden girilen bilgilere göre sonuçlar değiştirilip ve geliştirilebilir. Yani, bu örnekler tezi daha açıklayıcı hale getirmiştir. 7

19 BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde doktora tez çalışması için gerekli olan bazı temel tanım ve teoremlere yer verilecektir.. Afin Uzay ve İzometri Tanım. A bir cümle ve V ; K cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. Aşağıdaki özellikleri sağlayan bir f : AA V P, Q f P, Q fonksiyonu varsa A ya V ile birleşen bir Afin Uzay denir. i. P, Q, R A için, ii. P A ve V vardır. f P Q + f Q, R = f P, R için, f P Q = olacak şekilde bir tek Q A noktası Tanım. V n-boyutlu reel vektör uzayı ve A da V ile birleşen bir afin uzay olsun. Eğer V bir iç-çarpım uzayı ise A ya Öklid Uzayı denir ve n E ile gösterilir. 8

20 Tanım.3 K cismi üzerinde iki vektör uzayı V ve V olsun. V ve V ile birleşen afin uzaylar A ve A olmak üzere f : A A dönüşümü P, Q A için : V p V PQ p PQ f P f Q şeklinde tanımlansın. Burada p dönüşümü lineer ise f ye bir Afin Dönüşüm denir. p dönüşümüne f ile birleşen dönüşüm adı verilir. Eğer n n Tanım.4 E ve E, sırasıyla, V ve V n-boyutlu iç-çarpım uzayları ile birleşen birer Öklid uzayı olsun. Bir f : E E n n afin dönüşümü, V için,, olacak şekilde bir :V V lineer dönüşümü ile birleşiyorsa f ye bir izometri denir. Tanım.5 f, n -boyutlu n E Öklid uzayı üzerinde bir izometri olsun. koordinat sistemine göre f nin matrisel ifadesi; det A ) n ve C olmak üzere x A C x 0 A O n, ( yani n E deki bir dik T T AA A A I n, formundadır. f ye n E de bir hareket adı verilir. Eğer, det A ise f hareketine direkt hareket, det A ise karşıt hareket denir. 9

21 Tanım.6 n E, n -boyutlu Öklid uzayının bir f izometrisi için f O O olacak şekilde bir O n E noktası varsa f ye O noktası etrafında n E nin bir dönmesi adı verilir. Eğer hareket direkt hareket ise f ye direkt dönme, karşıt hareket ise karşıt dönme denir. n E de başlangıç noktası O olan bir dik koordinat sistemi x, x,..., x n olsun. n n f : E E izometrisi O noktası etrafındaki bir dönme ise f nin bu dik koordinat sistemine göre ifadesi x A 0 x 0 veya, x Ax n şeklindedir. Burada A O n ve xx, dir. Tanım.7 n E, n -boyutlu Öklid uzayının bir f izometrisi ve olacak şekilde bir tek,,..., f t ile belirtilen bir ötelemesi denir. t t t t E n n noktası varsa f ye n E de başlangıç noktası O olan bir dik koordinat sistemi n f : E E n izometrisi t t, t,..., t n üzere, f nin dik koordinat sistemine göre ifadesi x In tx 0 veya x x t dir. n E için n E in t x, x,..., x n olsun. noktası ile belli olan bir öteleme olmak 0

22 BÖLÜM 3 E E E Öklid düzlemlerinde, sırasıyla, O;, sistemlerini tespit edelim. Eğer ti için, e e t, e e t ise bu takdirde O;, - PARAMETRELİ DÜZLEMSEL HAREKET e e koordinat sisteminin, O; e, e e e ve O;, e e koordinat koordinat sistemine göre hareket ettiği kabul edilir. Bundan dolayı O; e, e koordinat sistemine hareketli koordinat sitemi, O; e, e koordinat sistemine ise sabit koordinat sistemi denir. Dolayısıyla E düzlemi, E düzlemi üzerinde hareket ediyor kabul edilir. e ile arasındaki açı olmak üzere ye dönme açısı denir. OO u hareketin öteleme vektörü olmak üzere: e E e O e x u e O x e E Şekil 3. Bir parametreli düzlemsel hareket

23 OO u ue u e (3.) yazılabilir. Eğer,,, u u t u u t t şeklinde reel bir t parametresinin sürekli diferansiyellenebilir fonksiyonları iseler, E - düzleminin E -düzlemine göre hareketine -parametreli düzlemsel hareket denir ve B E / E ile gösterilir. Buradaki t parametresi genel olarak zaman parametresi olarak alınır. e e. e O O e O Şekil 3. Başlangıç noktaları çakışık olan koordinat sistemleri O özel durumu için i e ve i, e vektörleri arasında i e cos esin e e sin e cos e (3.) eşitlikleri elde edilir, (Şekil 3.). Düzlemin bir noktası, hem hareketli sistemdeki x x koordinatları ve hem de sabit sistemdeki x, x koordinatları yardımıyla göz önüne alınabilir. Buna göre her iki sistemde, noktasına ait konum vektörleri için x O xe x e x O e e x x, yazılabilir, (Şekil 3.). Böylece O OO O OO O

24 veya x u x u x x u e e (3.3) vektörel denklemi elde edilir. Bu denkleme -parametreli düzlemsel hareketin vektörel denklemi denir. Buradan, xe xe x u e x u e eşitliğinin e ve e ile iç-çarpımı sonucunda, cos sin x x u x u x x u x u veya sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos x x x u u x x x u u (3.4) bulunur. Bu ifadeye B E / E hareketinin kartezyen denklemi denir. Bu son eşitlik a0 a0 t u cos u sin b0 b0 t u sin u cos için x cos sinx a0 x sin cos x b 0 veya A C şeklinde matris formunda yazılabilir. 3. Türev Denklemleri Hareket esnasında bir E noktasının E ve E -düzlemlerine göre hızlarını bulmak için önce hareketimizin türev denklemlerini elde edeceğiz. Bunun için (3.) 3

25 denklemlerinin, e, e vektörlerini sabit kabul ederek, t zamanına göre türevi alınırsa, de dt de dt e sine cose sine cose e cose sine cose sine bulunur. Buradan kısaca e e, e e (3.5) yazılabilir. Benzer şekilde (3.) denkleminin t ye göre türevi alınırsa, d u u u u u dt u e e e e elde edilir. e ve e nın (3.5) deki değerleri burada yerlerine yazılırsa u u u u u e e (3.6) bulunur. (3.5) ve (3.6) denklemlerine B ' E / E hareketinin türev denklemleri denir. 3. Hızlar ve Hızların Terkibi E -düzlemi E -düzlemine göre -parametreli hareket yaparken, bir noktası da hareketli E -düzlemindeki yerini t zamanı ile değiştirsin. Bu durumda, bu iki hareket esnasında noktasının hızlarını araştıracağız. Tanım 3. noktasının E -düzleminde hareket ederken sahip olduğu hız vektörüne, yani noktası E -deki yörüngesini çizerken sahip olduğu vektörel hıza noktasının relatif (izafi) hızı denir ve x xe x e V r ile gösterilir. Bu hız denkleminden e ve e yi sabit tutup türev alarak V xe x e (3.7) r 4

26 şeklinde bulunur. Eğer noktası E -de sabit ise V r relatif hızı sıfırdır. Tanım 3. noktasının E -düzlemine göre sahip olduğu hız vektörüne noktasının mutlak hızı denir ve için aşağıdaki ifade bulunur: V a ile gösterilir. (3.3) denkleminin t ye göre türevini alırsak x u x u x u x u V e e e e. a Burada e ve e nın (3.5) deki e e, e e değerleri yerine yazılırsa V u u x e u u x e x e x e a veya u u x u u x V e e V a r elde edilir. Burada u u x u u x V e e (3.8) f vektörüne noktasının sürüklenme hız vektörü denir. O halde hızların terkibine ait şu teorem verilebilir: V a Teorem 3.3 B E / E; -parametreli düzlemsel hareketi esnasında E hareketli düzlemin herhangi bir E noktasının hız vektörleri arasında V V V (3.9) a f r bağıntısı vardır. Tanım 3.4 Dönme açısının d türevine B hareketinin açısal hızı denir. dt Bundan sonra sırf öteleme hareketinden kaçınmak için 0 kabul edeceğiz. 5

27 3.3 Dönme Polü ve Pol Eğrileri Şimdi, B hareketinin her t anında sürüklenme hızı sıfır olan noktaları araştıralım: Böyle noktalar, t anında, yalnız hareketli E -düzleminde değil aynı zamanda sabit E -düzleminde de hareket etmeyen noktadır. O halde V 0 f için (3.8) denkleminden u u x, 0 u u x 0 elde edilir. 0 olduğuna göre bu iki denklem her zaman tek türlü çözülebilir. Bu çözümler p ve p olmak üzere, u du p x u u d u du p x u u d (3.0) bulunur. Tanım 3.5 OP p pe p e yer vektörüne karşılık gelen P p, p noktasına, B E / E hareketinin t anındaki pol(kutup) noktası, dönme polü veya ani dönme merkezi denir. Bundan dolayı şu teorem verilebilir: Teorem 3.6 Açısal hızı sıfır olmayan B E / E -parametreli düzlemsel hareket esnasında, her t anında sürüklenme hızı sıfır olan yani her iki düzlemde de sabit kalan bir tek nokta (pol noktası) vardır. 6

28 Şimdi, P pol noktası yardımı ile herhangi bir noktasının yeniden elde edelim: V f sürüklenme hızını Bunun için (3.0) denkleminden u u p, u u p ifadeleri hesaplanır ve (3.8) denkleminde yerine yazılırsa, f V x p e x p e (3.) elde edilir. noktasının sürüklenme hızının bu son ifadesi kullanılarak aşağıdaki önemli sonuç ve teoremler verilebilir: Sonuç 3.7 P polünden noktasına giden x p x p P e e pol ışını, V f sürüklenme hız vektörüne diktir; çünkü x p x p x p x p P, V 0 f dır. Yani pol ışını, hareketin her t anında sürüklenme hızına diktir. Sonuç 3.8 V f vektörünün uzunluğu için şu bağıntı vardır: V f x p x p P Teorem 3.9 B E / E -parametreli düzlemsel hareket esnasında, hareketli E - düzleminin her noktası, t anında P (pol noktası) merkezli ve açısal hızlı bir ani dönme hareketi yapar. 7

29 Teorem 3.0 B E / E -parametreli düzlemsel hareket; t anında, hareketli E - düzleminin P ani dönme polü etrafında açısal hızı ile dönmesinden oluşur. Teorem 3. B E / E -parametreli düzlemsel hareket esnasında, E -düzleminin noktaları, E -düzleminde yörünge normalleri P dönme polünden geçen yörüngeler çizerler. Tanım 3. B E / E hareketi esnasında, her t anında bir P dönme polü olacağından P pol noktası her iki E ve E -düzlemlerinde çeşitli konumlarda bulunur. P noktasının hareketli E -düzlemindeki konumu genel olarak bir eğridir. Bu eğriye hareketli pol eğrisi denir ve P ile gösterilir. P noktasının E -düzlemindeki geometrik yerine ise sabit pol eğrisi denir ve P ile gösterilir. Şimdi pol hızlarını, yani P ve P pol eğrilerini çizen P noktasının hızlarının araştıralım: P dönme polü için V 0 olduğundan f V V a r bulunur. Buna göre aşağıdaki teorem verilebilir: Teorem 3.3 B E / E hareketi esnasında, E -sabit ve E -hareketli düzlemlerdeki pol eğrilerini çizen P dönme polünün her t anındaki hızları aynıdır. Bu teoremden dolayı, her t anında P ve P pol eğrileri P ani dönme polünde birbirine teğettir ve ds V dt V dt ds a r olduğundan P dönme polü dt zaman aralığında her iki pol eğrisi üzerinde eşit uzaklıklar kat eder. 8

30 Böylece aşağıdaki teorem ifade edilebilir: Teorem 3.4 B E / E hareketi esnasında, - parametreli düzlemsel B E / E hareketinde E -düzleminin P hareketli pol eğrisi E -sabit düzleminin P sabit pol eğrisi üzerinde kaymaksızın yuvarlanır (Şekil 3.3). P E E P. P Şekil 3. 3 Hareketli ve sabit pol eğrileri Parametreli Düzlemsel Kapalı Hareket B E / E hareketi esnasında, t I için u t T u t, j,, (3.) j t T t j (3.3) bağıntıları sağlanacak şekilde T 0 en küçük sayısı varsa B E / E ye T periyotlu ve dönme sayılı -parametreli düzlemsel kapalı hareket denir. Burada bir tam sayıdır ve E -ye göre E -düzleminin ilk durumuna gelinceye kadar kaç tam devir yaptığını gösterir. Dolayısıyla dönme sayısı E -düzleminin T periyodu içinde etrafında döndüğü tam dönme açısına karşılık gelir. 9

31 B E / E kapalı hareketi altında, E -düzleminde tespit edilmiş bir noktası E - düzleminde kapalı bir yörünge eğrisi çizer. Ayrıca E -düzleminin doğru veya eğrilerinin zarf yörüngeleri de E -düzleminde kapalı eğrilerdir Kapalı Hareket Esnasında Yörünge Eğrisinin Alanı B E / E -parametreli düzlemsel hareketler altında, sabit noktasının E -ye göre dx değişimi noktasının sürüklenme hızına karşılık gelir. O halde (3.) denkleminden dx x p e x p e d (3.4) yazılabilir. Şimdi, kapalı hareket esnasında E düzleminde sabit bir noktasının çevrelediği yörünge yüzeyinin F x dx x dx det, F yörünge alanını x dx (3.5) Gauss alan formülünü kullanarak hesaplayacağız [4]: Buradaki eğrisel integral; noktasının yörünge eğrisi üzerinde alınacaktır. (3.5) denkleminde x ve dx yerine, sırasıyla, (3.3) ve (3.4) denklemlerindeki değerleri yazılırsa x u x p det x, dx d x x x p u x p u p u p u d x u x p elde edilir. (3.0) denkleminde u ve u değerleri çekilerek bu son denklemde yerlerine yazılırsa du du det x, dx x x x p x p pu pu d d d bulunur. Bu ifade (3.5) denkleminde yerine yazılırsa O (3.6) F x x d x p d x p d du du F 0

32 elde edilir. Burada, F O u u p p d O 0,0 orijin noktasının yörünge alanıdır. Ayrıca, (3.) denkleminden u t fonksiyonu periyodik olduğundan T T j j j 0 j j 0 du du u u T u 0 0 ve (3.3) denkleminden j T d d 0 bulunur. Şimdi, hareketli P pol eğrisinin d kütle elementi ile örtüldüğünü kabul edelim. P kapalı pol eğrisinin ağırlık merkezi S s, s noktası denir ve 0 için olmak üzere S noktasına Steiner s j pd j d p d j (3.7) dir. Burada pay koordinat eksenlerine göre statik momenti, payda ise örtülmüş P pol eğrisinin bütün kütlesini gösterir. O halde, bu son eşitlikler (3.6) denkleminde kullanılırsa F F x x s x s x (3.8) O elde edilir. Bu eşitliğe noktasının yörünge eğrisinin Steiner alan formülü denir. Sonuç 3.5 B E / E hareketi esnasında, aynı F alanına sahip olan E -hareketli düzleminin bütün sabit noktaları, E -düzleminde merkezi S Steiner noktası olan bir çember üzerinde bulunurlar.

33 3.4. Klasik Holditch Teoremi Bu alt bölümde, Holditch, H. [] tarafından verilen Klasik Holditch teoremi verilecektir: Teorem (Holditch Teoremi) 3.6 B E / E -parametreli kapalı düzlemsel hareketi esnasında, sabit a b uzunluklu AB kirişinin A ve B uç noktaları E -sabit düzlemindeki bir k ovalini tam bir defa kat ettiğinde, (Şekil 3.4) AB kirişi üzerinde seçilen herhangi bir sabit noktası da a A, b B genellikle konveks olmayan kapalı bir k eğrisi çizer. noktasının çizdiği k kapalı eğrisi ile k ovali arasındaki bölgenin (Holditch Halkası) alanı sadece noktasının doğru parçası üzerinde seçilişine bağlı olup eğrilerden ve hareketten bağımsızdır, []. Şekil 3. 4 Holditch Halkası İspat. O, e, e dik koordinat sisteminin e eksenini AB doğrultusunda ve A noktasını da A O olacak şekilde seçelim (Şekil 3.5). Bu durumda a,0 yazılabilir. ve B a b,0

34 Şekil 3. 5 Hareketli düzlemde Holditch Halkası (3.8) denkleminden ve B noktalarının yörünge alanları için F FO a as ve FB FO a b a b s yazılabilir. Buradan, afb bf a b A F a a b s O elde edilir. Ayrıca F A F O olduğundan afb bf a b A ab F bulunur. A ve B noktaları aynı k ovalini kat ettiğinden F A F B olup F F ab (3.9) A elde edilir, [], (Bakınız, Ek-A Örnek ). 3

35 3.5 Doğru Demetlerinin Zarflarına Ait Cauchy Formülleri E -düzleminde bir O;, e e dik koordinat sistemine göre bir g doğrusu x cos x sin p, p, 0, (3.0) Hesse formunda verilsin (Şekil 3.6). g doğrusunun normal vektörü e cos e sin (3.) pozitif yönde açısı kadar döndürüldüğünde g doğrusu e sin e cos (3.) vektörünün doğrultusunda olur. Bir Y y, y noktasının g doğrusuna uzaklığı, a p y cos y sin (3.3) ile hesaplanır. p, nin bir fonksiyonu ise her bir değerine düzlemde bir doğru karşılık gelir. Böylece ye göre bir parametreli doğru demeti elde edilir. O halde x cos x sin p dp xsin xcos p d (3.4) denklem sistemi x ve x ye göre çözülürse, x p cos psin x psin p cos (3.5) bulunur. Böylece O başlangıç noktasından g ye inilen dikmenin ayağı F pcos, psin noktasıdır, [3], [6]., ; doğrusu ve x x g denkleminden 4 g zarf eğrisinin değme noktası olmak üzere (3.5)

36 d F, dp F p (3.6) d elde edilir. (3.5) denkleminin ye göre türevi alınırsa x p p sin x p p cos (3.7) bulunur. Böylece g zarf eğrisinin noktasının dx değişimi için sin cos dx p p e e d (3.8) yazılabilir. Burada zarf eğrisinin yay elementi için ds p p d elde edilir. g zarfının noktasındaki eğrilik yarıçapı ds s p p d olarak bulunur. Böylece g zarfının uzunluğu (çevresi) L p p d (3.9) elde edilir. p p fonksiyonu g kapalı zarfı eğrisinin dayanak fonksiyonudur. p p fonksiyonunun ye göre türevleri ise periyodik fonksiyonlardır. O halde p periyodik olduğundan pd 0 (3.30) dır. Bundan dolayı, g zarf eğrisinin uzunluğu L pd (3.3) bulunur. Bu formüle g doğrusunun g kapalı zarf eğrisine ait Cauchy çevre formülü denir, [3]. 5

37 g g. p. F e p O e Y a 0 Şekil 3. 6 Doğrunun zarf eğrisi Şimdi, g kapalı zarf eğrisinin çevrelediği yüzey alanını bulalım: (3.5) ve (3.7) denklemlerinden det x, dx x dx x dx p p p d (3.3) yazılabilir. O halde g nin alanı F det, x dx olmak üzere F p p pd veya F p d ppd elde edilir. Bu son eşitlikteki ikinci integral için kısmi integrasyon yöntemi uygulanırsa g ppd pp p d bulunur. p periyodik olduğundan 6

38 pp 0 g olur. Böylece F p p d (3.33) elde edilir. Bu formüle g doğrusunun g kapalı zarf eğrisine ait Cauchy alan formülü denir, [3] Kapalı Hareketlerde Doğru Zarf Eğrilerinin Çevresi B E E -parametreli kapalı düzlemsel hareket olsun. E hareketli düzleminde sabit bir g doğrusu x cos x sin p (3.34) denklemiyle verilsin. (Yani, p ye göre sabit olsun.) Burada x, x E hareketli düzleminde doğru üzerindeki keyfi bir noktadır. g doğrusunun E sabit düzleminin O; e, e koordinat sistemine göre denklemi için x cos x sin p yazılabilir, (Şekil 3.7). Burada p, O;,, e e dik koordinat sistemine göre koordinatları u u olan O orijin noktasının g doğrusuna olan uzaklığıdır ve O noktasının O ya göre koordinatları u u olmak üzere (3.4) denklemi yukarıdaki denklemde yerine yazılırsa, p p u cos u sin elde edilir. O ve O orijin noktalarının g doğrusuna inilen dikmelerinin, sırasıyla, e ve e ile yaptığı açılar ve olmak üzere 7

39 yazılabilir (Şekil 3.7). Buradan g, E-düzleminde sabit doğru olduğundan sabit olup d d elde edilir. B E E kapalı hareketi esnasında g E sabit doğrusunun E -düzlemindeki g zarf eğrisinin çevresi (3.3) denklemi yardımıyla Lg pd (3.35) formülü ile hesaplanır. e. O p. u e. p. e O. g e g Şekil 3. 7 Kapalı hareketlerde doğrunun zarf eğrisi O halde p p u cos u sin eşitliği son denklemde yerine yazılırsa g cos sin (3.36) L pd u d u d elde edilir. (3.0) denkleminden p d u d du p d u d du yazılabilir. Buradan u ve u fonksiyonlarının periyodikliği kullanılırsa du du 0 olmak üzere 8

40 j p d u d, j, j elde edilir. O halde (3.36) eşitliğinden g cos sin (3.37) L pd p d p d veya g cos sin (3.38) L p p p d elde edilir. P p, p pol noktasının g doğrusuna olan uzaklığı p p cos p sin (3.39) olmak üzere g zarf eğrisinin uzunluğu için Lg d (3.40) formülü bulunur, [3]. O halde, aşağıdaki teoremi ispatsız verebiliriz, [3]: Teorem 3.7 Bir B g zarf eğrisinin göre çizgisel momentine eşittir. Ayrıca E E kapalı hareketinde E -düzleminde sabit bir g doğrusunun L g çevresi; d kütle elementi ile örtülü hareketli pol eğrisinin g ye q; S s, s Steiner noktasının g doğrusuna olan uzaklığı olmak üzere q p s cos s sin yazılabilir. Burada s j pd j d olduğundan j j p d s d 9

41 yazılabilir. O halde (3.37) denkleminden g cos sin L pd s d s d veya L p s cos s sin d g bulunur. Buradan Lg q elde edilir. Teorem 3.8 B E E kapalı hareketi esnasında E -hareketli düzlemindeki aynı L g uzunluğuna sahip g doğrularının g zarf eğrileri S Steiner noktasından aynı q uzaklığındadırlar. Yani, bu özelliğe sahip tüm g doğruları E -düzleminde r yarıçaplı ve S Steiner noktası merkezli çembere teğettir. 3.6 Kapalı Hareket Altında Yörünge Eğrisinin Kutupsal Atalet Momenti B E / E -parametreli kapalı düzlemsel hareket esnasında, E -sabit düzleminin O orijin noktasına göre, E -hareketli düzlemdeki sabit bir noktasının Steiner anlamında d kütle elementi ile örtülen yörünge eğrisinin momenti T kutupsal atalet T x d ile hesaplanır: (3.3) denkleminden (3.4) T u u d x x d x u d x u d yazılabilir. Ayrıca (3.0), (3.) ve (3.3) denklemleri kullanılırsa 30

42 pd ud, pd ud (3.4) bulunur. Bu eşitlikler (3.4) denkleminde yerlerine yazılırsa (3.43) T u u d x x d x p d x p d elde edilir. Bu son eşitlikte (3.7) denklemi ile verilen S s, s koordinatları kullanılırsa Steiner noktasının T T x x x s x s (3.44) O yazılabilir. Burada O (3.45) T u u d O orijin noktasının yörünge eğrisinin kutupsal atalet momentidir. Teorem 3.9 B E / E hareketi esnasında, aynı T kutupsal atalet momentine sahip olan E -hareketli düzleminin bütün sabit noktaları E -düzleminde merkezi S Steiner noktası olan bir çember üzerinde bulunurlar. 3.7 Kutupsal Atalet Momenti için Holditch-Tipi Teorem Bu bölümde, E -hareketli düzlemde sabit Y, ve Z doğrudaş noktalarının çizmiş olduğu farklı yörünge eğrilerinin kutupsal atalet momentleri arasındaki ilişkiyi verelim: Z Y x z y O Şekil 3. 8 Doğrudaş üç nokta 3

43 Şekil 3.8 kullanılarak OZ O Z Z Y, OY O Y yazılabilir. Buradan OZ O OY O veya OZ O OY olup olmak üzere z x y, (3.46) elde edilir. Burada ve değerlerine z nin barisantrik koordinatları denir. Benzer şekilde doğrudaş Y, ve Z noktalarının O orijin noktasına göre konum vektörleri, sırasıyla, x, y ve z olmak üzere hareketin (3.3) denklemi ile verilen vektörel ifadesi ve (3.46) denklemi kullanılırsa x y u x y x u y u zu z elde edilir. Şimdi Z nin E -sabit düzleminde çizdiği yörünge eğrisinin kutupsal atalet momentini TZ z d bağıntısını kullanarak hesaplayabiliriz. O halde z x y için T T T T (3.47) Z Y Y bulunur. Burada kutupsal atalet momenti denir ve T Y ifadesine ve Y noktalarının yörünge eğrilerinin karışık 3

44 TY x, y d şeklinde tanımlanır. Ayrıca TY T özelliği geçerlidir. Y Şimdi T Y ifadesini; ve Y noktalarının E -hareketli düzlemdeki koordinatlarına göre ifade edelim: Y T x y x y d u u d x y x y d x y u d x y u d olmak üzere bu son eşitlikte (3.3), (3.7) ve (3.4) denklemleri kullanılırsa T T x y x y x y s x y s Y O elde edilir. O halde (3.48) (3.44) ve (3.48) denklemleri yardımıyla T T T T x x x s x s Y Y O yazılabilir. Buradan T y y y s y s O TO x y x y x y s x y s T TY TY x y x y bulunur. Bu son denklemde, d x y x y T T T d Y Y denilirse elde edilir. Bu son eşitlikten elde edilen TY T TY d (3.49) ifadesi (3.47) denkleminde yerine yazılırsa T T T T d T Z Y Y elde edilir. Böylece aşağıdaki teoremler ispatsız olarak verilebilir: 33

45 Teorem 3.0 B E / E -parametreli kapalı düzlemsel hareketi esnasında sabit d uzunluklu Y doğru parçasının ve Y uç noktaları, sırasıyla, yörünge eğrilerini çizerken ve Y, k ve k Y kapalı d Y, d YZ, noktaları ile doğrudaş Z noktası da kapalı bir k Z yörünge eğrisini çizer, (Şekil 3.8). Bu yörünge eğrilerinin kutupsal atalet momentleri, sırasıyla, T, T Y ve T Z olmak üzere T T T d Z Y (3.50) bağıntısı vardır, [5], (Bakınız, Ek-A Örnek ). Teorem 3. (Holditch-Tipi Teorem) B E E -parametreli kapalı düzlemsel hareketi esnasında sabit d uzunluklu Y doğru parçasının uç noktaları aynı k eğrisi üzerinde bir defa dolandığında ve Y ile doğrudaş Z noktası da d Y, d YZ, kapalı k Z eğrisini çizer. k ve eğrilerinin, sırasıyla, T ve T Z kutupsal atalet momentleri için T T d d Z bağıntısı geçerlidir, [5], (Bakınız, Ek-A Örnek ). k Z kapalı yörünge 3.7. Yörünge Eğrisinin Kutupsal Atalet Momenti için Özel Durumlar Özel Durum 3. Y, ve Z noktalarının E -düzleminin birinci koordinat ekseni üzerinde olduğunu kabul edelim. Bu durumda d y x a : y z d, b : z x d, a b d (3.5) bağıntıları geçerlidir. Böylece (3.50) eşitliğinden 34

46 T T T d Z Y a b a b T TY d d d d d veya TZ at bty ab (3.5) d elde edilir. Eğer ve Y noktaları aynı kapalı yörünge eğrisini çizerse T TY olacağından T T ab (3.53) Z elde edilir. Özel Durum 3.3 i) S Steiner noktasının E -hareketli düzleminin O başlangıç noktası olduğunu kabul edelim. Böylece (3.44) ve (3.48) denklemlerinden T T x x (3.54) ve S T T x y x y (3.55) Y S bulunur. Buna göre 0, S, Y için aşağıdaki eşitsizlikler elde edilir: a. T x x TS ve x x 0 olduğundan T TS elde edilir. Buna S Steiner noktasının yörünge eğrisinin atalet momentinin minimallik özelliği denir. b. T T T ifadesinde; (3.54) ve (3.55) denklemlerindeki eşitlikler yerlerine Y Y yazılır ve d x y x y 0 olduğu göz önüne alınırsa T T T d (3.56) Y Y 0 Burada d, ile Y noktası arasındaki uzaklıktır. 35

47 c. TS 0 olduğundan T T T 0 bulunur. Gerçekten, Y Y T T x x, S T T y y, Y S T T x y x y Y S olmak üzere TTY TY x x T S y y T S x y x y TS yazılabilir. x y 0, T S 0, x y x y x y T x y x y 4 S 0, d x y x y 0 olduğundan, T T T 0 Y Y bulunur. Ayrıca, T T x x, S T T y y, Y S T T x y x y Y S olduğundan T T T T T T x x y y 4 x y x y S Y S Y S elde edilir. O halde 4 x y x y x y olduğundan T T T T T T 0 x y 0 olup buradan S Y S Y S T T T T T T T T T T T 0 Y S Y S S Y Y S S 36

48 veya T T T T T T T 0 Y Y S Y Y yazılabilir. Burada eşitlik hali Y, ve S noktalarının doğrudaş olması ile mümkündür. ii) B E E kapalı hareketi için 0 olduğunu kabul edelim: (3.4) denkleminden x T d u u d x x d x u d x u d olduğunu biliyoruz. Ayrıca ve u d p d P u d p d P d 0 olduğundan, T T x P x P (3.57) O elde edilir. Benzer şekilde, 0 için (3.49) ve (3.57) denklemi kullanılırsa, TY T TY TO x x T y y veya P P O P P TY TO x y x y P P (3.58) elde edilir, [5]. 37

49 3.7. Yörünge Eğrisinin Atalet Momenti ve Yörünge Alanı Arasındaki İlişkiler E -hareketli düzlemdeki sabit Y, ve Z doğrudaş noktalarının sabit düzlemde çizdikleri farklı yörünge eğrilerinin alanları arasındaki ilişkiyi verelim: z x y olmak üzere dz dx dy (3.59) elde edilir. x x u olduğundan z x u y u bulunur. (3.59) denkleminde (3.4) denklemi yerine yazılırsa dz x p e x p e d y p e y p e d elde edilir. z ve FZ det, z dz eşitliğinde kullanılırsa dz nin eşitlikleri ve (3.3), (3.6) ve (3.7) denklemleri F F F F (3.60) Z Y Y elde edilir. Burada Y O F Y ; ve Y noktalarının karışık alan formülü olmak üzere F F x y x y x y s x y s (3.6) yazılabilir. Ayrıca FY FY olduğu açıktır. (3.8) ve (3.6) denklemleri yardımıyla F F F F x x x s x s Y Y O yazılabilir. Buradan FO x y x y x y s x y s F y y y s y s O 38

50 F FY FY x y x y bulunur. Bu son denklemde, d x y x y F F F d denilirse Y Y (3.6) bulunur. Buradan FY F FY d (3.63) elde edilir. Bu durumda F F F F Z Y Y veya F FY F FY d F FY F FY d F F d Y F F F d Z Y (3.64) bulunur. (3.48) ve (3.6) denklemlerinden T T F F (3.65) Y O Y O elde edilir. Ayrıca (3.8) ve (3.44) denklemlerinden T T F F (3.66) O O elde edilir, [5]. Buradan (3.49) denkleminde (3.66) denklemi ve T T F F ifadesi kullanılırsa Y O Y O T F F F T d Y Y O O (3.67) bulunur, [5]. 39

51 3.8 Kutupsal Atalet Momenti için Holditch Tipi Teoremin Genelleştirilmeleri I Bu bölümde, Müller, H. R. [5] tarafından verilen doğrudaş üç noktanın kutupsal atalet momentleri için teorem 3.0 de verilen bağıntıyı doğrudaş olmayan üç nokta için genelleştirelim, [7]: B E / E kapalı hareketi esnasında, sabit d uzunluklu bir doğru parçasının ve Y uç noktaları, sırasıyla, normal vektörü yardımıyla y x a :, a a a d 3 k ve k Y kapalı eğrilerini çizsin. Şimdi E -hareketli düzleminin a 3 özelliğine sahip a, a, a dik çatısını oluşturalım, (Şekil 3.9): O zaman 3 da, a da, a elde edilir.. x e O d p. z e y Q. d c Y Z. a a Şekil 3. 9 Doğrudaş olmayan üç nokta Y doğru parçası üzerinde olmayan sabit olan bir Z noktası seçelim. Bu durumda Z 40

52 noktasının Y doğru parçası üzerine dik izdüşüm noktası Q olmak üzere OQ = O+ Q ve OY = O+ Y yazılabilir, (Şekil 3.9). Buradan bu son eşitlik yardımıyla OQ O OY O veya OQ O OY bulunur. dersek OQ = O+ OY elde edilir. Burada dir. Benzer şekilde, (Şekil 3.9) OZ = OQ +QZ veya OZ O OY a c Q = Y olacak şekilde sayısı vardır. O halde, yazılabilir. Böylece ve,,c olmak üzere z x y a (3.68) c elde edilir. Y, ve Z noktalarının O orijin noktasına göre konum vektörleri, sırasıyla, x, y ve z olmak üzere (3.3) ve (3.68) denklemleri kullanılırsa 4

53 x y c a u x y c a x u y u c a, zu z (3.69) elde edilir. Şimdi, B E E kapalı hareket esnasında, Z noktasının d kütle elementi ile örtülmüş kapalı k Z yörünge eğrisinin T Z kutupsal atalet momentini hesaplayalım: TZ z d olmak üzere (3.69) eşitliği yardımıyla Z Y Y, T T T T c c x y a d (3.70) elde edilir. Burada, veya TY T Y, T T x, y d Y Y ile tanımlanır. Şimdi, (3.70) denklemindeki x y, a d integralini hesaplayalım: Y doğrusu parçasının denklemi k ve k Y eğrilerinin karışık kutupsal atalet momentleri olup p x cos x sin (3.7) ile verilsin, (Şekil 3.9). Burada p ; orijin noktasından Y doğru parçasına inilen dikmenin uzunluğu ve de bu dikmenin x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açıdır. 4

54 e a e O a Şekil 3. 0 Başlangıç noktaları aynı koordinat sistemleri a ve a vektörleri O; e, e koordinat sisteminde bulunduğundan a e e a e e yazılabilir, (Şekil 3.0). Yukarıdaki denklemleri sırasıyla sağdan e ve e ile iç çarparsak,, ve bulunur. Böylece sabit olmak üzere a sine cose a cose sine (3.7) elde edilir. Q noktası Z noktasının Y doğrusu üzerine dik izdüşümü olduğundan q x y (3.73) yazılabilir. Z a d c Q. d Y a Şekil 3. Doğrudaş olmayan üç noktanın çizdiği farklı yörünge eğrileri O halde 43

55 q qe q e, q i sabit (3.74) ve u ue u e (3.75) olmak üzere d x y, a x u y u, a d x y u, a d, q u, a d q, a u, a q cos q sin u cos u sin d p u cos u sin d d elde edilir. O noktasının Y doğrusuna olan uzaklığı p olmak üzere x y, a d pd bulunur. O halde Y doğru parçasının E -düzlemindeki zarf eğrisinin uzunluğu L olmak üzere (3.35) denkleminden xy, a d L (3.76) bulunur. Böylece bu eşitlik (3.70) denkleminde yerine yazılırsa Z Y Y T T T T c c L (3.77) elde edilir. Eğer (3.49) denklemi (3.77) denkleminde kullanılırsa aşağıdaki teorem ispatsız olarak verilebilir, (Bakınız, Ek-A Örnek 3): Teorem 3.4 B E E -parametreli kapalı düzlemsel hareket esnasında sabit d uzunluklu Y doğru parçasının uç noktaları, sırasıyla, k ve k Y kapalı eğrileri boyunca hareket ettirilirse, ve Y noktaları ile doğrudaş olmayan sabit bir Z noktası, k Z kapalı eğrisini çizer. Bu durumda k, k Y ve k Z kapalı yörünge eğrilerinin, sırasıyla, T, T Y ve T Z kutupsal atalet momentleri arasında 44

56 TZ T TY d c c L (3.78) bağıntısı mevcuttur. Yani, k Z nin kutupsal atalet momenti sadece T ve değildir, Y doğru parçasının uzunluğuna ve onun zarf eğrisine bağlıdır, [7]. T Y bağlı Özel durum 3.5 c 0 özel durumunda, Y ve atalet momentleri arasında Z doğrudaş üç noktanın kutupsal T T T d Z Y bağıntısı mevcuttur, [5]. Bu bölümde, B II E E -parametreli kapalı düzlemsel hareketi esnasında doğrudaş olmayan Y, ve Z noktalarının aynı yörünge eğrisi üzerinde hareketini inceleyeceğiz: E -düzleminde köşeleri Y, ve Z olan bir üçgen alalım. YZ üçgeninin köşeleri E -düzleminde aynı kapalı eğriyi çizerler. O halde T TY TZ T ve YZ üçgeninin çevrel merkezi S Steiner noktasıdır. Hareketli çatının orijin noktası yerine S noktası alırsak,,0,, r Q x y E noktaları için (3.44) denkleminden, T T r, T T x y S Q S elde edilir. Böylece aşağıdaki teorem verilebilir, (Bakınız, Ek-A Örnek 4): Teorem 3.6 Eğer B E / E kapalı hareket esnasında doğrudaş olmayan, Y, Z E noktaları T kutupsal atalet momente sahip aynı kapalı eğriyi çizerlerse herhangi bir Q E noktası da T Q kutupsal atalet momentli kapalı T Q arasında T T r R k Q eğrisini çizer. Böylece T ve Q (3.79) bağıntısı vardır. Burada r; çevrel çemberin yarıçapı ve R ; Q ve çevrel çemberin merkezi arasındaki uzaklıktır, [7]. 45

57 Z r S Y B Şekil 3. Doğrudaş olmayan üç noktanın çizdiği aynı yörünge eğrisi E E -parametreli kapalı düzlemsel hareketi esnasında, doğrudaş olmayan 0,0,,0,, ve, Y b Z c d Q x y E noktalarının farklı yörünge eğrilerinin kutupsal atalet momentleri için aşağıdaki en genel hal verilebilir, (Bakınız, Ek-A Örnek 5): Teorem 3.7 B E / E kapalı hareket esnasında 0,0,,0,, Y b Z c d E noktalarının kapalı yörünge eğrilerinin kutupsal atalet momentleri, sırasıyla, T, T ve T olmak üzere herhangi bir, Z Q x y E noktasının kutupsal atalet momenti için Y x c b x cy y T y T T T b bd b bd d Q Y Z d d c d bc x y bx y y (3.80) elde edilir, [7]. İspat. Q,, Y ve Z noktalarının çizmiş olduğu yörünge eğrisinin kutupsal atalet momentleri için (3.44) denkleminden 46

58 Q Y O O O, T T x y xs ys T T, T T b bs ve Z O, T T c d cs ds yazılabilir. Buradan cebirsel işlemler yardımıyla kolay bir şekilde (3.80) denklemi elde edilir.. Z.. Y Şekil 3. 3 Doğrudaş olmayan üç noktanın çizdiği farklı yörünge eğrilerinin genel hali Bu bölümde E / E, i, i III farklı iki -parametreli kapalı hareket esnasında E ve E düzlemlerindeki farklı doğrudaş üç noktanın çizdiği yörünge eğrisinin kutupsal atalet momentleri arasındaki ilişkiyi aşağıdaki teorem ile verebilir, (Bakınız, Ek-A Örnek 6): Teorem 3.8 E / E, i, i aynı yönlü ve i dönme sayılı -parametreli kapalı düzlemsel hareketler olsunlar. Eğer Y i i doğru parçalarının i ve Y i noktaları, sırasıyla, k ve k Y kapalı yörünge eğrilerini çizerse i ve Y i noktaları ile doğrudaş 47

59 Z Z a, Z Y b noktaları da T i kutupsal atalet momente sahip i i i i i i i k i kapalı yörünge eğrilerini belirler, k i eğrilerinin T i kutupsal atalet momentleri için T T ab (3.8) bağıntısı vardır. Yani, bu fark k ve k Y eğrilerinden bağımsızdır [7]. İspat. (3.5) denklemini kullanarak at bt T a b Y a b ve at bt T a b Y a b elde edilir. ve ile Y ve Y aynı kapalı yörünge eğrilerini çizdiklerinden T T ve T T olduğundan yukarıdaki ifadeler taraf tarafa çıkarılırsa (3.8) denklemi Y Y bulunur.. a k b Z Y k k Y Z. k a b Y Şekil 3. 4 Farklı iki hareketteki farklı doğrudaş üç noktanın çizdiği yörünge eğrileri 48

60 Özel durum 3.9 ve k k k k, Y için 0 yani olması durumunda kutupsal atalet momenti T T ab elde edilir, [5]. 49

61 BÖLÜM 4 -PARAMETRELİ DÜZLEMSEL HOMOTETİK HAREKET E -düzleminde hareketli koordinat sistemi O; e, e ve ' E -düzleminde sabit koordinat sistemi O; e, e olsun. E -düzleminde alınan bir noktasının herhangi bir t anında, x hx u hx u e hx u e (4.) denklemi ile tanımlanan harekete -parametreli düzlemsel homotetik hareket denir ve H E / E ile gösterilir. Burada h, u, u t reel parametresinin sürekli diferansiyellenebilir fonksiyonları olmak üzere h ya hareketin homotetik oranı denir. Hareketli düzlemin başlangıç noktasından, sabit düzlemin başlangıç noktasına giden OO u öteleme vektörü u ue u e (4.) şeklindedir. Ayrıca t t0 gibi bir an için iki koordinat sistemini çakışacak şekilde kaydırılmış olarak düşünelim. Bu durumda e ve e arasındaki dönme açısı olmak üzere, e cose sine e sine cose (4.3) 50

62 yazılabilir. -parametreli düzlemsel homotetik hareketin vektörel denklemi x hx u olduğundan ve E noktasının E -düzlemindeki koordinatları x, x olmak üzere, xe xe hx u e hx u e eşitliği yazılabilir. Bu eşitliğin e ve e ile iç-çarpımı sonucunda, cos sin x hx u hx u x hx u hx u sin cos veya cos sin cos sin sin cos sin cos x h x x u u x h x x u u (4.4) elde edilir. Bu son eşitlik, x cos sinx a0 h x sin cos x b 0 veya ha C şeklinde matrisel olarak gösterilebilir, (Bakınız, Ek-A Örnek 7). 4. Türev Denklemleri noktasının hareketli ve sabit düzlemlere göre hızlarını hesaplamak için önce H hareketinin türev denklemlerini bulalım. Bunun için (3.5) ve (3.6) denklemlerinden e e, e e ve 5

63 u u u u u e e olduğunu biliyoruz. İşte bu denklemlere H hareketinin türev denklemleri denir. 4. Hızlar ve Hızların Terkibi E noktasının hareketli sistemdeki koordinatları x, x olmak üzere, x xe x e (4.5) yazılabilir. H hareketinin relatif hızı, (4.5) denkleminden türev alarak Vr xe xe (4.6) bulunur. Mutlak hız ise (4.) denkleminden türev alarak dx V u u hx hx e u u hx hx e h x e x e dt a veya dx Va u u hx hx e u u hx hxe hv r (4.7) dt şeklinde ifade edilebilir. Bu eşitlikte V u u hx hx e u u hx hx e (4.8) f vektörüne noktasının sürüklenme hız vektörü denir. Eğer noktası E -de tesbit edilmiş ise V r = 0 olacaktır. Bu durumda mutlak hız sürüklenme hızına eşit olur. 5

64 Teorem 4. H E / E homotetik hareketinde bir noktasının hız vektörleri arasında Va Vf hv r (4.9) bağıntısı vardır. Çalışmamız boyunca, yalnızca öteleme yada yalnızca dönme durumlarından kaçınmak ve h ht için 0 nın sabit olmadığını kabul edeceğiz. 4.3 Pol Noktaları ve Pol Eğrileri Şimdi sürüklenme hızının sıfır olduğu noktaları yani, pol noktalarını araştıralım: Bu noktalar sadece hareketli düzlemde değil, aynı zamanda sabit düzlemde de sabit noktalardır. Buna göre, V f = 0 ise (4.8) denkleminden, u u hx hx 0 u u hx hx 0 yazılabilir. Bu denklemleri x ve x ye göre düzenlersek hx hx u u hx hx u u elde edilir. Bu sistemin çözümleri p ve p ile gösterilirse ve h h 0 olduğundan, h u u h u u p h h p h u u h u u h h (4.0) 53

65 bulunur. Bu durumda, OP p pe p e yer vektörüne karşılık gelen P p, p noktasına H E / E homotetik hareketinin t anındaki pol noktası denir, (Bakınız, Ek-A Örnek 8). Bu pol noktasından faydalanarak bir noktasının (4.8) de verilen sürüklenme hız vektörü aşağıdaki şekilde ifade edilir. Bunun için (4.0) denkleminden u ve u nin değerleri hesaplanırsa u p h p h u u p h p h u (4.) bulunur. Bunları (4.8) denkleminde yerine yazarsak V x p h x p h e x p h x p h e (4.) f elde edilir, [6]. Sürüklenme hızının bu ifadesinden aşağıdaki sonuçlar elde edilir: Sonuç 4. P polünden noktasına giden x p x p P e e pol ışını ile V f nin iç-çarpımı V, P x p x p h x p x p h f x p x p h x p x p h veya 54

66 V, x p x p f P h P h şeklinde elde edilir. Özel Durum 4.3 h alınırsa, V, P 0 f bulunur, [3]. Sonuç 4.4 V f vektörünün uzunluğu için V f h h x p x p h h P bulunur. Özel Durum 4.5 Bu son eşitlikte h olarak alınırsa, Vf P elde edilir, [3]. Şimdi P ve P pol eğrilerini çizen P pol noktasının hızlarını araştıralım: Pol noktası V 0 ile tanımlandığından (4.9) eşitliğinden P için f V hv (4.3) a r bulunur. 55

67 Böylece aşağıdaki teoremi verebiliriz: Teorem 4.6 H E / E ; -parametreli düzlemsel homotetik hareket esnasında sabit ve hareketli düzlemlerdeki pol eğrilerini çizen P dönme polünün her t anındaki hızları birbirinden farklıdır. Teorem 4.7 H E / E ; -parametreli düzlemsel homotetik hareket esnasında E düzleminin P hareketli pol eğrisi E düzleminin P sabit pol eğrisi üzerinde kayarak yuvarlanır. İspat: P nin t 0 ve t parametrelerine karşılık gelen noktaları arasındaki yay uzunluğu ds V r dt dir.p nün t 0 ve t parametrelerine karşılık gelen noktaları arasındaki yay uzunluğu ' ds V a dt olur. P pol noktası için V a hv olduğundan r ds ds dir. O halde P hareketli pol eğrisi P sabit pol eğrisi üzerinde kayarak yuvarlanır, [8]. Özel Durum 4.8 h olması durumunda ds ds elde edilir. Bu durumda pol eğrileri birbiri üzerinde kaymaksızın yuvarlanır, [3]. 56

68 4.4 - Parametreli Düzlemsel Kapalı Homotetik Hareket H E / E hareketi esnasında, t I için u t T u t, j,, (4.4) j j t T t (4.5) h t T h t, h 0 h T (4.6) bağıntıları sağlanacak şekilde T 0 en küçük sayısı varsa H E / E ye T periyotlu ve dönme sayılı -parametreli düzlemsel kapalı homotetik hareket denir. Burada bir tam sayıdır ve E -ye göre E -düzleminin ilk durumuna gelinceye kadar kaç tam devir yaptığını gösterir. Dolayısıyla dönme sayısı E -düzleminin T periyodu içinde etrafında döndüğü tam dönme açısına karşılık gelir. H E / E kapalı hareketi altında, E -düzleminde tespit edilmiş bir noktası E - düzleminde kapalı bir yörünge eğrisi çizer. Ayrıca E -düzleminin doğru veya eğrilerinin zarf yörüngeleri de E -düzleminde kapalı eğrilerdir, [6,8] Kapalı Homotetik Hareket Esnasında Yörünge Eğrisinin Alanı H E / E -parametreli düzlemsel hareketler altında, sabit E noktasının E -ye göre dx değişimi noktasının sürüklenme hızına karşılık gelir. O halde (4.3) denkleminden dx x p dh x p hd e x p hd x p dh e (4.7) yazılabilir. Şimdi, kapalı hareket esnasında E düzleminde sabit bir noktasının çevrelediği yörünge yüzeyinin F yörünge alanını 57

69 F x dx x dx det, x dx (4.8) Gauss alan formülünü kullanarak hesaplayacağız [4]: Buradaki eğrisel integral; noktasının yörünge eğrisi üzerinde alınacaktır. (4.) denklemi u ve u ye göre çözülürse dh du u p h p d d dh du u p h p d d (4.9) elde edilir. (4.8) denkleminde (4.), (4.7) ve (4.9) denklemlerindeki değerler yazılırsa hx u xdh pdh xhd phd det x, dx hx u x hd p hd x dh p dh x h d x p h d x x hdh hx p d u x hd u p hd u x dh u p dh hx x dh hx p dh x h d h x p d u x dh u p dh u x hd u p d (4.0) bulunur. Bu ifade (4.8) denkleminde yerine yazılırsa F x x h d x p h d x p h d u p hd u p hd u p dh u p dh x hp dh hdu u dh x hp dh hdu u dh (4.) elde edilir. Burada, FO u p hd u p hd u p dh u p dh (4.) O 0,0 orijin noktasının yörünge alanıdır. Ayrıca, (4.5) denkleminden 58

70 T 0 d d T 0 (4.3) bulunur. Diğer taraftan, integral hesabın Ortalama Değer Teoremi gereğince*; h t ve t, [0, T ] aralığında tanımlı, aralıkta integrallenebilir fonksiyonlardır. bu aralıkta t her yerde aynı işaretli olduğundan h t ve h t t 0,T aralığında h fonksiyonları bu kapalı t fonksiyonu sürekli ve T T T h t d h t t dt h t 0 t dt h t (4.4) olacak şekilde t T 0 0, noktası vardır. Bu durumda 0 alarak düzlemsel kapalı homotetik hareketler için hareketli pol eğrilerinin S s, s ağırlık merkezi olan Steiner noktası h p jd s j h p jd j hd h t0,, (4.5) yazılabilir. (4.) denkleminde (4.), (4.4) ve (4.5) denklemlerindeki değerler yazılırsa * f ve g, [ ab, ] aralığında tanımlı ve g ile fg. bu aralıkta integrallenebilir fonksiyonlar olsunlar. g, [ a, b ] üzerinde her yerde aynı işaretli ve f fonksiyonu [ ab, ] aralığında sürekli ise, b b f x. g xdx f x0. g xdx olacak şekilde en az bir x0 a, b vardır, [5]. a a 59

71 0 F FO h t x x s x s x x hp dh hdu u dh x hpdh hdu udh (4.6) bulunur. Bu son eşitlikte hp dh hdu u dh ve x hp dh hdu u dh (4.7) yazılırsa O F F h t x x s x s x x x (4.8) 0 elde edilir. (4.8) denklemine düzlemsel kapalı homotetik hareket için Steiner Alan Formülü denir, [6], (Bakınız, Ek-A Örnek 9). Teorem 4.9 H E / E hareketi esnasında, aynı F kutupsal atalet momentine sahip olan E -hareketli düzleminin bütün sabit noktaları S s, s olmak üzere E -düzleminde merkezi Steiner noktası M s, s h t0 h t0 (4.9) olan bir çember üzerinde bulunurlar, [6]. Özel Durum 4.0 h olması durumunda, (3.8) denklemi elde edilir, [3]. 0 dönme sayılı kapalı düzlemsel homotetik bir hareket için (4.) ve (4.4) denklemlerinden 60

72 F FO x ph d x ph d x hp dh hdu u dh x hpdh hdu udh (4.30) bulunur. Yörünge alanlarının hesaplanmasında (4.30) denklemi (4.8) STEINER- formülünün yerine geçer. Sonuç olarak, bütün t değerleri için açısal hız 0 ise (4.) denkleminden (4.30) denklemine kadar olan denklemler geçerlidir. Bu durumda, (4.0) denkleminde görüldüğü gibi P dönme polü sonsuza yaklaşmaz. Yani, bütün H E / E hareketi için sonsuz uzak pol konumu yoktur Kapalı Düzlemsel Homotetik Hareketler için Holditch Teoremi Bu alt bölümde, Holditch, H. [] tarafından verilen Klasik Holditch Teoreminin homotetik hareketlere genelleştirilmesi verilecektir, [6]: Teorem 4. H E / E -parametreli kapalı düzlemsel homotetik hareketi esnasında, sabit a b uzunluklu AB kirişinin A ve B uç noktaları E -sabit düzlemindeki bir k ovalini tam bir defa kat ettiğinde, (Şekil 3.5) AB kirişi üzerinde seçilen herhangi bir sabit noktası da a A, b B genellikle konveks olmayan kapalı bir k eğrisi çizer. noktasının çizdiği k kapalı eğrisi ile k ovali arasındaki bölgenin (Holditch Halkası) alanı sadece noktasının doğru parçası üzerinde seçilişine ve hareketin h homotetik oranına bağlı olup eğrilerden ve hareketten bağımsızdır. İspat. O, e, e dik koordinat sisteminin e eksenini AB doğrultusunda ve A noktasını da A O olacak şekilde seçelim (Şekil 3.5). Bu durumda a,0 yazılabilir. 6 ve B a b,0

73 olduğundan (4.8) denkleminden ve B noktalarının yörünge alanları için O F F h t a as a (4.3) ve 0 FB FO h t0 a b s a b a b yazılabilir. Buradan, A O ve B noktaları aynı k ovalini kat ettiğinden FO FO h t0 a b s a b a b elde edilir. Buradan 0 s h 0 t h t a b (4.3) bulunur. (4.3) denklemi (4.3) denkleminde yerine yazılırsa F FA F h t0 ab (4.33) elde edilir, [6]. Özel Durum 4. h olması durumunda, Klasik Holditch Teoremi elde edilir, []. 4.5 Kapalı Homotetik Hareketlerde Doğru Zarf Eğrilerinin Çevresi H E E -parametreli kapalı homotetik düzlemsel hareket olsun. E hareketli düzleminde sabit bir g doğrusu; doğru üzerindeki keyfi bir, 6 x x E için x cos x sin p, p, 0, (4.34) denklemine sahiptir. (Yani p, ye göre sabit olsun.) g doğrusunun E sabit düzleminin O; e, e koordinat sistemine göre denklemi için x cos x sin p (4.35)

74 yazılabilir. Burada p, O; e, e dik koordinat sistemine göre koordinatları u, u olan O orijin noktasının g doğrusuna olan uzaklığıdır. O ve O orijin noktalarının g doğrusuna inilen dikmelerinin, sırasıyla, e ve e ile yaptığı açılar ve olmak üzere yazılabilir. Buradan g, E-düzleminde sabit doğru olduğundan sabit olup d d elde edilir. O noktasının O ya göre koordinatları u u olmak üzere (4.4) denklemi (4.35) denkleminde yerine yazılırsa x cos x sin hp u cos u sin p (4.36) elde edilir. H, E E kapalı hareketi esnasında g E sabit doğrusunun E - düzlemindeki g zarf eğrisinin çevresi (3.3) denklemi yardımıyla Lg pd (4.37) formülü ile hesaplanır. O halde (4.36) denkleminden L p hd cos u d sin u d (4.38) g elde edilir. Burada hd ud ud (4.39) denilirse L p cos sin (4.40) g elde edilir. Ayrıca r; C, noktasının g doğrusuna olan uzaklığı olmak üzere g 63

75 r p cos sin yazılabilir. Buradan r p cos sin olup ve (4.40) denkleminden r L g elde edilir, [3]. Teorem 4.3 H E -hareketli düzlemindeki aynı E E -parametreli kapalı homotetik düzlemsel hareket esnasında L uzunluğuna sahip g doğrularının g zarf eğrileri g C g noktasından aynı r uzaklığındadırlar. Yani, bu özelliğe sahip tüm g doğruları E - düzleminde [3]. L yarıçaplı ve C, noktası merkezli çembere teğettir, g g 4.6 Kapalı Homotetik Hareket Altında Yörünge Eğrisinin Alanı için Holditch-Tipi Teoremler Hering, L. [9] tarafından verilen H E E -parametreli kapalı düzlemsel homotetik hareket altında doğrudaş olmayan üç nokta için Klasik Holditch Teoremini M C g olmak üzere homotetik hareketlere genelleştirelim, [3]: I Teorem 4.4 H E E -parametreli kapalı düzlemsel homotetik hareket esnasında sabit a b uzunluklu AB doğru parçasının uç noktaları, sırasıyla, k A ve eğrileri boyunca hareket ettirilirse, A 0,0 ve B a b,0 k B kapalı noktaları ile doğrudaş 64

76 olmayan sabit bir C a, c noktası, k C kapalı eğrisini çizer. Bu durumda ka, k B ve k C kapalı yörünge eğrilerinin, sırasıyla, FA, F B ve F C yörünge alanları arasında af B bfa FC c abh t0 a b h t0 clab (4.4) bağıntısı mevcuttur. Yani, k C nin yörünge alanı sadece F A ve doğru parçasının uzunluğuna ve onun zarf eğrisine bağlıdır, [3]. F B ye bağlı değildir, AB İspat. A 0,0, B a b,0 vec a, c noktaları için (4.8) denkleminden F A F (4.4) O FB FA h t0 a b a b s a b (4.43) C A F F h t a c as cs a c (4.44) olmak üzere 0 af bf a b B A FC c ab h t0 h t0 cs c (4.45) denklemi sağlanır. AB x cos x sin p, p, 0, 3 olmak üzere AB doğru parçası x ekseni üzerinde olduğundan p 0 ve dir. Buradan cos 0 olup sin bulunur. O halde (4.40) denklemine göre AB doğru parçasının zarf eğrisinin uzunluğu LAB (4.46) elde edilir. Buradan M C olduğundan çemberlerin merkez noktalarının bileşenleri eşittir. g s h t0 65

77 olup L AB s (4.47) h t0 bulunur. (4.47) denklemi (4.45) denkleminde yerine yazılırsa (4.4) denklemi elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. Ayrıca, M C eşitliğinden g s h t0 olup s h t0 (4.48) yazılabilir. (4.4) ve (4.43) denklemlerini kullanarak FB FA a b s a bh t h t 0 0 (4.49) elde edilir. Buradan (4.49) denklemi (4.48) denkleminde yerine yazılırsa FB FA a b a bh t0 (4.50) bulunur. O halde (4.40), (4.46) ve (4.50) denklemleri yardımıyla g zarf eğrisinin uzunluğu FB FA a b Lg p cos L sin AB (4.5) a bh t0 yazılabilir, [3]. Özel Durum 4.5 c 0 olması durumunda, (4.4) denkleminden Kuruoğlu, N., ve Yüce, S. [] tarafından verilen 66

78 af bf a b B A F h t0 ab (4.5) denklemi elde edilir, [3]. Özel Durum 4.6 h olması durumunda, (4.4) denkleminden Hering, L. [9] tarafından verilen af bf a b B A F c ab clab (4.53) denklemi elde edilir, [3]. II Bu bölümde, H E E -parametreli kapalı homotetik düzlemsel hareket esnasında doğrudaş olmayan AB, ve C noktalarının aynı k kapalı yörünge eğrisi üzerinde hareketini inceleyeceğiz, [3]: E -düzleminde köşeleri AB, ve C olan bir üçgen alalım. ABC üçgeninin köşeleri E - düzleminde aynı kapalı eğriyi çizerler. O halde FA FB FC F ve ABC üçgeninin çevrel merkezi Teorem 4.9 deki M s, s h t0 h t0 Hareketli çatının orijin noktası yerine M noktası alırsak, noktasıdır. s h t0 s h t0 ve,0,, A r x y E noktaları için (4.8) denkleminden,, F F h t x y F F h t r M 0 A M 0 elde edilir. Böylece aşağıdaki teorem verilebilir, [3]: 67

79 Teorem 4.7 Eğer H E E -parametreli kapalı homotetik düzlemsel hareket esnasında doğrudaş olmayan A, B, C E noktaları F yörünge alanına sahip aynı kapalı eğriyi çizerlerse herhangi bir eğrisini çizer. Böylece F ve 0 F F h t r R F arasında E noktası da F yörünge alanlı kapalı (4.54) bağıntısı vardır. Burada R ; ve O arasındaki uzaklık ve r ; çemberinin yarıçapıdır, [3]. k ABC üçgeninin çevrel Özel Durum 4.8 h olması durumunda, (4.54) denkleminden Pottmann, H., [0] tarafından verilen F F r R (4.55) denklemi elde edilir, [0]. H E E -parametreli kapalı homotetik düzlemsel hareket esnasında, doğrudaş olmayan A 0,0, B b,0, C c, d ve, eğrilerinin alanları için aşağıdaki en genel hal verilebilir, [3]: x y E noktalarının farklı yörünge Teorem 4.9 H E E -parametreli kapalı homotetik düzlemsel hareket esnasında 0,0,,0,, A B b C c d E noktalarının kapalı yörünge eğrilerinin alanları, sırasıyla, FA, F B ve C alanı için F olmak üzere herhangi bir, x y E noktasının yörünge x c b x cy y F y F F F b bd b bd d A B C c d bc h t0 x y bx y y d d (4.56) elde edilir, [3]. 68

80 Özel Durum 4.0 h olması durumunda, (4.56) denkleminden Pottmann, H., [0] tarafından verilen x c b x cy y c d bc F y FA FB FC x y bx y y b bd b bd d d d denklemi elde edilir, [0]. 4.7 Kapalı Homotetik Hareket Altında Yörünge Eğrisinin Kutupsal Atalet Momenti H E / E -parametreli kapalı düzlemsel homotetik hareket esnasında, E -sabit düzleminin O orijin noktasına göre, E -hareketli düzlemdeki sabit bir noktasının yörünge eğrisinin T kutupsal atalet momenti T x d şeklinde tanımlanır. (4.) denkleminden (4.57) T u u d x x h d x hu d x hu d yazılabilir. Ayrıca (4.9) ve (4.5) denklemleri (4.57) denkleminde yerlerine yazılırsa T T h t x x x s x s x x (4.58) O 0 elde edilir, (Bakınız, Ek-A Örnek 9). Burada p hdh hdu ve p hdh hdu (4.59) dir ve ayrıca O (4.60) T u u d O orijin noktasının yörünge eğrisinin kutupsal atalet momentidir, [8]. 69

81 Teorem 4. H E / E hareketi esnasında, aynı T kutupsal atalet momentine sahip olan E -hareketli düzleminin bütün sabit noktaları S s, s olmak üzere E -düzleminde merkezi Steiner noktası C s, s h t0 h t0 (4.6) olan bir çember üzerinde bulunurlar, [8]. Özel Durum 4. h olması durumunda, (4.58) denkleminden Müller, H.R. [5] tarafından verilen (3.44) denklemi elde edilir. Ayrıca, (4.6) denkleminde verilen C merkezi S, Steiner noktası ile çakışır, [8]. 4.8 Holditch-Tipi Teorem ile Kutupsal Atalet Momentinin Hesaplanması I H E / E kapalı homotetik hareketi esnasında, ve Y, E -hareketli düzlemde sabit iki nokta ve Z, Y doğru parçası üzerinde keyfi sabit bir nokta olsun. Bu durumda z x y, (4.6) yazılabilir. Burada ve değerlerine z nin barisantrik koordinatları denir. Benzer şekilde doğrudaş Y, ve Z noktalarının O orijin noktasına göre konum vektörleri, sırasıyla, x, y ve z olmak üzere hareketin (4.) denklemi ile verilen vektörel ifadesi ve (4.6) denklemi kullanılırsa h h x y u x y x u y u h hzu z 70

82 elde edilir. Şimdi Z nin E -sabit düzleminde çizdiği yörünge eğrisinin kutupsal atalet momentini TZ z d bağıntısını kullanarak hesaplayabiliriz. O halde z x y için T T T T (4.63) Z Y Y bulunur. Burada kutupsal atalet momenti denir ve T Y ifadesine ve Y noktalarının yörünge eğrilerinin karışık TY x, y d şeklinde tanımlanır. Ayrıca TY T özelliği geçerlidir. Y Şimdi T Y ifadesini; ve Y noktalarının E -hareketli düzlemdeki koordinatlarına göre ifade edelim: Y T x y x y d u u d x y x y h d x y hu d x y hu d olmak üzere bu son eşitlikte (4.9) ve (4.59) denklemleri kullanılırsa O x y x y TY T h t0 x y x y x y s x y s (4.64) elde edilir, [8]. Özel Durum 4.3 h olması durumunda, son eşitlikten Müller, H.R. [5] tarafından verilen (3.48) denklemi elde edilir. (4.6) denklemiyle verilen C noktasını O orijin noktasına taşıyalım. Buradan S s, s, h t0 h t0 (4.65) yazılabilir. Bu durumda TO TC dir. O halde (4.58) ve (4.64) denklemlerinden 7

83 0 T T h t x x C Y C 0 T T h t x y x y (4.66) elde edilir. Bu son eşitlikten C için T T (4.67) C bulunur. Ayrıca (4.58) ve (4.64) denklemleri yardımıyla 0 TO h t0 x y x y x y s x y s x y x y TO h t0 y y ys ys T T T T h t x x x s x s x x Y Y O yazılabilir. Buradan y y T TY TY h t0 x y x y bulunur. Bu son denklemde, ile Y noktası arasındaki uzaklığa d x y x y denilirse Y Y 0 için T T T h t d (4.68) Y Y Y elde edilir. Bu son eşitlikten elde edilen TY T TY h t0 dy (4.69) ifadesi (4.63) denkleminde yerine yazılırsa T T T h t d (4.70) Y Z Y 0 elde edilir. d durumdur, [8]. Y d Y olması Y doğru parçasının yönlendirilmesi ile ilgili bir 7

84 Özel Durum 4.4 h olması durumunda, son eşitlikten Müller, H.R. [5] tarafından verilen (3.50) denklemi elde edilir. Sonuç 4.5 (4.67) denkleminden C noktasının çizmiş olduğu yörünge eğrisi, minimum kutupsal atalet momentine sahip olduğu söylenebilir, [8]. II Teorem 4.6 H E / E -parametreli kapalı düzlemsel homotetik hareket esnasında sabit d Y uzunluklu Y doğru parçasının uç noktaları aynı k eğrisi üzerinde bir defa dolandığında ve Y ile doğrudaş Z noktası da kapalı k Z eğrisini çizer. k ve kapalı yörünge eğrilerinin kutupsal atalet momentleri arasındaki fark, hareketin homotetik oranına ve Z noktasının uç noktalara olan uzaklığına bağlıdır. k Z İspat. Y, ve Z doğrudaş olduklarından d d d Z ZY Y yazılabilir. Böylece, d d Z ZY, d d Z Y denilirse (4.70) denkleminden alınarak T d T d T h t d d Z ZY Z Y 0 Z ZY dy (4.7) elde edilir. ve Y aynı kapalı eğriyi çizdiğinden T TY dir. O halde (4.7) denkleminden T TZ h t0 d d Z ZY (4.7) bulunur, [8]. 73

85 Özel Durum 4.7 h olması durumunda, Müller, H.R. [5] tarafından verilen sonuç elde edilir. Bu bölümde, H III E E -parametreli kapalı homotetik düzlemsel hareketi esnasında E -hareketli düzlemde doğrudaş olmayan sabit, ve 3 noktalarının ve yine bu noktalar ile doğrudaş olmayan herhangi sabit bir Q noktasının çizmiş olduğu farklı yörünge eğrilerinin kutupsal atalet momentleri arasındaki ilişkiyi verelim: Q 3. Q Q Q 3 Şekil 4. e göre Şekil 4. Doğrudaş olmayan üç nokta ve farklı,, Q i noktaları q x x x, (4.73) i yazılabilir. Benzer şekilde,, 3 ve Q noktalarının O orijin noktasına göre konum vektörleri, sırasıyla, x, x, x ve q olmak üzere hareketin (4.) denklemi ile verilen 3 vektörel ifadesi ve (4.73) denklemi kullanılırsa h h h x x x u x x x x u x u x u h hqu q

86 elde edilir. Şimdi Q noktasının E -sabit düzleminde çizdiği yörünge eğrisinin kutupsal atalet momentini TQ q d bağıntısını kullanarak hesaplayabiliriz. O halde q x x 3x 3 için T T T T T T T (4.74) Q bulunur. (4.69) denklemi kullanılarak T T T T h t d d d (4.75) Q elde edilir. Şekil 4. deki Q noktasını göz önüne alalım., 3 ve Q noktaları q x x,,, (4.76) 3 ve, Q ve Q noktaları doğrudaş olduğundan da q x q,,, (4.77) yazılabilir. Burada d d Q 3 Q, d d 3 3 ve d d QQ 3, 4 Q d d Q Q olmak üzere (4.76) denklemi (4.77) denkleminde yerine yazılırsa q x x x x x x elde edilir. Böylece 75

87 d 3 d QQ Q d 4 d d 3 4 d, d Q Q3 d Q 3 d Q Q d Q 3, (4.78) bulunur. Benzer şekilde Q noktasını göz önüne alalım. 3, ve Q noktaları doğrudaş olduğundan, q x x,,, (4.79) ve, Q ve Q noktaları doğrudaş olduğundan da q x q,,, (4.80) yazılabilir. Burada d d Q Q 3 5, 6 d d 3 3 ve d d QQ 7, 8 Q d d Q Q olmak üzere (4.79) denklemi (4.80) denkleminde yerine yazılırsa q x x x x x x elde edilir. Böylece d 3 d d 4 d d 3 4 d d Q 3Q d Q 3 QQ Q, d d, Q Q Q 3 (4.8) 76

88 bulunur. Şimdi de Q 3 noktasını göz önüne alalım., ve Q 3 noktaları doğrudaş olduğundan, q x x,,, (4.8) ve 3, 3 Q ve Q noktaları doğrudaş olduğundan da q x q,,, (4.83) 3 3 yazılabilir. Burada d d Q 9 3, 0 Q 3 d d ve d d QQ 3, 3 Q d d 3Q3 3Q3 olmak üzere (4.8) denklemi (4.83) denkleminde yerine yazılırsa q x x x x x x elde edilir. Buna göre d 9 d 0 3 d d d d QQ3 Q 3 3 d 3Q Q3 d 3Q3 d 3Q Q3 d 3Q3,, (4.84) elde edilir. Bu taktirde (4.78), (4.8) ve (4.84) denklemlerinden dqq d d d d d d d d d Q 3Q 3Q Q3 Q Q 3 3Q3 d d dqq d d d d d d d Q Q3 3Q Q3 Q 3 Q 3Q3 d d d d d Q Q Q Q 3 d d d d d QQ3 Q 3 Q 3 3Q3,, 77

89 yazılabilir. Bu eşitlikler, kısaca d d d d d QQi i d d d d d jq kqj kq Qkj iqi jqj ki kqk ij, (4.85) i, j, k,,3;,,3;,,3 şeklinde de ifade edilebilir. O taktirde Q i noktaları; j k Q i ve doğru parçalarının kesişim noktaları olmak üzere (4.75) ve (4.85) denklemlerinden (4.70) denkleminin bir genelleştirilmesi olan d d T T h t d d QQi kq 0 i (4.86) k j i k Q Q Q diq d i kqk Eğer, ve 3 noktaları aynı kapalı eğrileri çizerse, kutupsal atalet momentleri arasındaki fark d Q k T T Q h t0 dq k d j iq (4.87) k d Q k k bulunur. O halde, aşağıdaki teoremi ispatsız verebiliriz, [8]: Teorem 4.8 H E E -parametreli kapalı homotetik düzlemsel hareketi esnasında E -hareketli düzlemde, ve 3 köşe noktalarına sahip bir üçgen göz önüne alalım. Üçgenin köşe noktaları E -sabit düzlemde aynı kapalı eğriyi çizsin. Bu durumda, ve 3 noktalarının belirttiği düzlem üzerindeki herhangi bir Q noktası da E - sabit düzlemde başka bir kapalı eğri çizer. Bu eğrilerin kutupsal atalet momentleri arasındaki fark, hareket eden üçgenin uzaklıklarına ve h homotetik oranına bağlıdır. 78

90 BÖLÜM 5 DÜZLEMSEL HOMOTETİK HAREKETLER ALTINDA KAPALI YÖRÜNGE EĞRİSİNİN KUTUPSAL ATALET MOMENTİ İÇİN HOLDITCH-TİPİ TEOREMLER Tezin orijinal kısmı olan bu bölümde, Yüce, S., Düldül, M. ve Kuruoğlu, N. [7] tarafından verilen -parametreli kapalı düzlemsel hareketler altında elde edilen doğrudaş olmayan üç noktanın kutupsal atalet momentleri için Holditch Tipi Teoremlerin, h homotetik oranlı homotetik hareketlerdeki karşılığını inceleyeceğiz ve h için [7] deki sonuçları ((3.77), (3.79), (3.80), (3.8) denklemleri) bir özel durum olarak elde edeceğiz: I Yüce, S., Düldül, M. ve Kuruoğlu, N. [7] tarafından verilen doğrudaş olmayan üç noktanın kutupsal atalet momenti için Holditch Tipi Teoremi homotetik hareketlere genelleştirelim: Y, ve Z doğrudaş olmayan noktalarının O orijin noktasına göre konum vektörleri, sırasıyla, x, y ve ve (3.68) denklemi kullanılırsa z olmak üzere hareketin (4.) denklemi ile verilen vektörel ifadesi 79

91 z hz u c h h hc hc h x y a u x y a u x u y u hc a u x y a u u, x y hc a (5.) elde edilir. Şimdi, H E E kapalı hareket esnasında, Z ZM c,,,, M d MY d OV hp O N hp noktasının d kütle elementi ile örtülmüş kapalı hesaplayalım: k Z yörünge eğrisinin T Z kutupsal atalet momentini TZ z d olmak üzere (4.4) ve (5.) denklemleri yardımıyla T T T T h t c c x y, ha d (5.) Z Y Y 0 elde edilir. Burada, veya T T, k ve k Y eğrilerinin karışık kutupsal atalet momentleri olup Y Y T T x, y d Y Y ile tanımlanır. hp e. O p. g. u e hp.. p. e O e g Y Şekil 5. Kapalı homotetik hareketlerde doğrunun zarf eğrisi 80

92 Şimdi, (5.) denklemindeki x y, ha d integralini hesaplayalım: (4.) ve (3.73) denklemleri kullanılarak x y, ha d hx u hy u, ha d h x y u, ha d, hq u, ha d h q, a h u, a d yazılabilir. Ayrıca (3.7), (3.7), (3.74) ve (3.75) denklemleri kullanılarak x y, ha d h h q cos q sin u cos u sin d h hp u cos u sin d elde edilir. E -düzlemindeki Y doğru parçasına paralel g doğrusu xcos ysin hp denklemi ile verilsin. O halde O noktasının g doğrusuna olan uzaklığı hp olup x y, ha d hpd yazılabilir, (Şekil 5.). Bu durumda g doğru parçasının E -düzlemindeki zarf eğrisinin uzunluğu L g olmak üzere (4.37) denkleminden, h d Lg x y a (5.3) yazılabilir. Böylece bu eşitlik (5.) denkleminde yerine yazılırsa Z Y Y 0 g T T T T c h t c L (5.4) elde edilir. Eğer (4.69) denklemi (5.4) denkleminde kullanılırsa aşağıdaki teorem ispatsız olarak verilebilir: 8

93 Teorem 5. H E E -parametreli kapalı homotetik düzlemsel hareket esnasında sabit d uzunluklu Y doğru parçasının uç noktaları, sırasıyla, k ve k Y kapalı eğrileri boyunca hareket ettirilirse, ve Y noktaları ile doğrudaş olmayan sabit bir Z noktası, k Z kapalı eğrisini çizer. Bu durumda k, k Y ve k Z kapalı yörünge eğrilerinin, sırasıyla, T, T Y ve T Z kutupsal atalet momentleri arasında 0 T T T h t d c c L (5.5) Z Y g bağıntısı mevcuttur. Yani, k Z nin kutupsal atalet momenti sadece T ve T Y bağlı değildir, Y doğru parçasının uzunluğuna ve ona paralel olan g doğrusunun zarf eğrisine bağlıdır. Özel Durum 5. c 0 olması durumunda, (5.) denkleminden Düldül, M. ve Kuruoğlu, N. [8] tarafından verilen (4.70) denklemi elde edilir. Özel Durum 5.3 h olması durumunda, (5.) denkleminden Yüce, S., Düldül, M. ve Kuruoğlu, N. [7] tarafından verilen (3.78) denklemi elde edilir. Bu durumda (5.) denklemindeki x y,ha d integrali; Y doğru parçasına paralel olan g doğrusunun zarf eğrisinin uzunluğuna değil, Y doğru parçasının zarf eğrisinin uzunluğuna eşittir. Yani, Lg L Y elde edilir. II Bu bölümde, H E E -parametreli kapalı homotetik düzlemsel hareket esnasında doğrudaş olmayan Y, ve Z noktalarının aynı yörünge eğrisi üzerinde hareketini inceleyeceğiz: 8

94 E -düzleminde köşeleri Y, ve Z olan bir üçgen alalım. YZ üçgeninin köşeleri E -düzleminde aynı kapalı eğriyi çizerler. O halde T TY TZ T ve YZ üçgeninin çevrel merkezi Teorem 4. deki C s, s noktasıdır. Hareketli çatının orijin noktası yerine C noktası alırsak, s h t0 s h t0 ve,0,, r Q x y E noktaları için (4.58) denkleminden, 0 0 T T h t r, T T h t x y C Q C elde edilir. Böylece aşağıdaki teorem verilebilir: h t0 h t0 Teorem 5.4 Eğer H E E -parametreli kapalı homotetik düzlemsel hareket esnasında doğrudaş olmayan, Y, Z E noktaları T kutupsal atalet momente sahip aynı kapalı eğriyi çizerlerse herhangi bir Q E noktası da T Q kutupsal atalet momentli kapalı k Q eğrisini çizer. Böylece T ve T Q arasında 0 T T h t r R Q (5.6) bağıntısı vardır. Burada r; çevrel çemberin yarıçapı ve R ; Q ve çevrel çemberin merkezi arasındaki uzaklıktır. Özel Durum 5.5 h olması durumunda, (5.6) denkleminden Yüce, S., Düldül, M. ve Kuruoğlu, N. [7] tarafından verilen (3.79) denklemi elde edilir. Not 5.6 Düldül, M., Kuruoğlu, N., [8] tarafından, H E E -parametreli kapalı homotetik düzlemsel hareket esnasında doğrudaş olmayan, Y, Z E noktaları T 83

95 kutupsal atalet momente sahip aynı kapalı eğriyi çizerlerse herhangi bir Q E noktası da T Q kutupsal atalet momentli kapalı k Q eğrisini çizmesi durumunda T ve T Q arasındaki fark (4.87) denklemi ile verilmişti. Bu çalışmada ise T T farkı; (4.87) Q denkleminden farklı olarak (5.6) denklemi çevrel çemberin yarıçapı ve Q nun çevrel çemberin merkezine olan uzaklığına bağlı olarak daha sade bir biçimde elde edilmiştir. III H E E -parametreli kapalı homotetik düzlemsel hareket esnasında, doğrudaş olmayan 0,0, Y b,0, Z c, d ve, Q x y E noktalarının farklı yörünge eğrilerinin kutupsal atalet momentleri için aşağıdaki en genel hal verilebilir: Teorem 5.7 H E E -parametreli kapalı homotetik düzlemsel hareket esnasında 0,0,,0,, Y b Z c d E noktalarının kapalı yörünge eğrilerinin kutupsal atalet momentleri, sırasıyla, T, T Y ve Z noktasının kutupsal atalet momenti için T olmak üzere herhangi bir, Q x y E x c b x cy y T y T T T b bd b bd d Q Y Z c d bc h t0 x y bx y y d d (5.7) elde edilir, (Şekil 3.3). İspat. Q,, Y ve Z noktalarının çizmiş olduğu yörünge eğrisinin kutupsal atalet momentleri için (4.58) denkleminden T T h t x y xs ys x y, T Q O O, 0 T T h t b bs b, Y T O 0 ve 84

96 T T h t c d cs ds c d Z O 0 yazılabilir. Buradan cebirsel işlemler yardımıyla kolay bir şekilde (5.7) denklemi elde edilir. Özel Durum 5.8 h olması durumunda, (5.7) denkleminden Yüce, S., Düldül, M. ve Kuruoğlu, N. [7] tarafından verilen (3.80) denklemi elde edilir. Bu bölümde E / E, i, i IV farklı iki -parametreli kapalı homotetik düzlemsel hareket esnasında E ve E düzlemlerindeki farklı doğrudaş üç noktanın çizdiği yörünge eğrisinin kutupsal atalet momentleri arasındaki ilişkiyi aşağıdaki teorem ile verilebilir: Teorem 5.9 E / E, i, i aynı yönlü ve i dönme sayılı -parametreli kapalı düzlemsel hareketler olsunlar. Eğer Y i i doğru parçalarının i ve Y i noktaları, sırasıyla, k ve k Y kapalı yörünge eğrilerini çizerse i ve Y i noktaları ile doğrudaş Z Z a, Z Y b, Y a b noktaları da T i kutupsal atalet momente i i i i i i i i i i sahip k i kapalı yörünge eğrilerini belirler. k i eğrilerinin T i kutupsal atalet momentleri için T T h t ab (5.8) 0 bağıntısı vardır. Yani, bu fark k ve k Y eğrilerinden bağımsızdır. İspat. (4.7) denklemini kullanarak at bt T h t a b Y 0 a b ve 85

97 at bt T h t a b Y 0 a b elde edilir. ve ile Y ve Y aynı kapalı yörünge eğrilerini çizdiklerinden T T ve T T olduğundan yukarıdaki ifadeler taraf tarafa çıkarılırsa (5.8) denklemi Y Y bulunur. Özel durum 5.0 k k, Y atalet momenti için T T h t ab 0 elde edilir, [8]. ve k k 0 yani olması durumunda kutupsal Özel durum 5. h olması durumunda, (5.8) denkleminden Yüce, S., Düldül, M. ve Kuruoğlu, N. [7] tarafından verilen (3.8) denklemi elde edilir. Özel durum 5., 0, h olması durumunda (5.8) denkleminden Müller, H. R. [5] tarafından verilen Teorem 3. deki denklem elde edilir. 86

98 BÖLÜM 6 SONUÇ VE ÖNERİLER Bu çalışmada, -parametreli düzlemsel kapalı homotetik hareketler altında kapalı yörünge eğrisinin kutupsal atalet momenti için Holditch-tipi teoremler verilmiştir. Hareketin h homotetik oranı h olması durumunda ise Yüce, S., Düldül, M. ve Kuruoğlu, N. (005) tarafından verilen sonuçlar özel hal olarak elde edilmiştir. Ayrıca, Maple 5 Programında düzlemsel hareketler ile ilgili bazı örnekler verilmiştir. Konuyla ilgili bu örneklerde farklı girdiler alınarak örneklerin kullanışlılığı görülebilir. 87

99 KAYNAKLAR [] Holditch, H., (858). Geometrical Theorem, Q. J. Pure Appl. Math.,, 38. [] Steiner, J., (88). Gesammelte Werke II, Berlin. [3] Blaschke, W. und Müller H. R., (956). Ebene Kinematik, Verlag Oldenbourg, München. [4] Spivak, M., (965). Calculus on Manifolds, W. A. Benjamin, New York. [5] Müller H. R., (978). Über Trägheitsmomente bei Steinerscher Massenbelegung, Abh. Braunschw. Wiss. Ges., 9, [6] Tutar, A. and Kuruoğlu, N., (999). The Steiner Formula and the Holditch Theorem for the Homethotic Motions on Planar Kinematics, Mechanism and Machine Theory, 34, -6. York. [7] Yüce, S., Düldül, M. and Kuruoğlu, N., (005). On the Generalizations of the Polar Inertia Momentum of the Closed Curves Obtained Kinematically, Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, 4 (), [8] Düldül, M. and Kuruoğlu, N., (008). Computation of Polar Moments of Inertia with Holditch Type Theorem, Applied Mathematics E-Notes, 8, [9] Hering, L., (983). Sätze vom Holditch-Typ für ebene Kurven, Elem. Math., 38, [0] Pottmann, H., (985). Holditch-Sicheln, Arch. Math., 44, [] Pottmann, H., (986), Zum Satz von Holditch in der euklidischen Ebene, Elem. Math., 4, -6. [] Kuruoğlu N. and Yüce, S., (004). The Generalized Holditch Theorem for the Homothetic Motions on the Planar Kinematics, Czechoslovak Math. J., 54(9), [3] Yüce, S. and Kuruoğlu N., (007). Holditch-Type Theorems under the closed Planar Homothetic Motions, Italian Journal of Pure and Applied Mathematics,,

100 [4] Yüce, S. and Kuruoğlu N., (005). A Generalization of the Holditch Theorem for the Planar Homothetic Motions, Applications of Mathematics,, [5] Balcı, M., (009). Matematik Analiz I, Balcı Yayınları. [6] Gray, A., Abbena E. and Salamon, S., (006). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, Third Edition, Studies in Advanced Mathematics, Chapman & Hall/CRC. 89

101 EK-A DÜZLEMSEL HAREKETLERİN MAPLE ÖRNEKLERİ Düzlemsel hareketler için aşağıda bazı örnekler Maple kodlarıyla birlikte verilmiştir. Örnek (Klasik Holditch Teoremi) cos, sin, u t t u t t t t olmak üzere B E E, -parametreli kapalı düzlemsel hareketi esnasında, sabit br uzunluklu Y kirişinin 6,0 ve Y 6,0 uç noktaları E sabit düzlemindeki ovali tam bir defa kat etsin. Bu durumda Y kirişi üzerinde seçilen herhangi bir sabit Z,0 noktası da kapalı bir k Z eğrisi çizer. Hareketin kartezyen denklemi, x x cos t cos t x sin t sin t x x cos t sin t x sint cos t dir. Aşağıda görüldüğü gibi Z noktasının çizdiği k Z kapalı eğrisi (kahverengi renkli eğri) ile k ovali (kırmızı renkli kapalı eğri) arasındaki bölgenin (Holditch Halkası) alanı: F F Z * ZY * 4*8* 3 ve bu iki kapalı eğrinin kutupsal atalet Z momentleri arasındaki fark: T T * Z * ZY * *4*8* 64 dir. restart: with(plottools):with(plots): F:= proc(t) Z 90

102 plots[display](plottools[line]([-6*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),-6*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t)],[6*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),6*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t)],color=black,thickness=)): end proc: k:=animate(f,[t],t=0..*pi,background=plot([6*cos(t)- 0*sin(t)-cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),6*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t), t=0..*pi],thickness=,numpoints=000,scaling=constrained)) : k:=animate( textplot,[[6*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),6*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t),`y`, font=[times,roman,5]]],t=0..*pi): k3:=animate( textplot,[[-6*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),-6*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t),``, font=[times,roman,5]]],t=0..*pi): k4:=animate(plot,[[-*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),-*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)- sin(t)*cos(t),t=0..a],color=brown],a=0..0+*pi,color=brown, thickness=): k5:=animate( textplot,[[-*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),-*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t),`z`, font=[times,roman,5]]],t=0..*pi): display(k,k,k3,k4,k5); 9

103 restart: Alan:=proc(x,x,u,u,b,n,c,d) local F,G; G:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(x**+x** - *x*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*x*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(f=g); end: Alan(6,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: F 38 Alan:=proc(z,z,u,u,b,n,c,d) local F,G; G:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(z**+z** - *z*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*z*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(f[z]=g); end: Alan(-,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: FZ 6 Alan:=proc(x,x,z,z,u,u,b,n,c,d) local F,G,G; G:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(x**+x** - *x*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*x*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): G:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(z**+z** - *z*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* 9

104 Pi*n))-*z*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(f-f[z]=g-g); end: Alan(-6,0,-,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: FF 3 Atalet_Momenti:=proc(x,x,u,u,b,n,c,d) local T,H; Z H:=int(u**+u**,t=c..d)+*Pi*n*(x**+x**- *x*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*x*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(t=h); end: Atalet_Momenti(-6,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: T 74 Atalet_Momenti:=proc(z,z,u,u,b,n,c,d) local T,H; H:=int(u**+u**,t=c..d)+*Pi*n*(z**+z**- *z*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*z*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(t[z]=h); end: Atalet_Momenti(-,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: TZ 0 Atalet_Momenti:=proc(x,x,z,z,u,u,b,n,c,d) local T,H,H; H:=int(u**+u**,t=c..d)+*Pi*n*(x**+x**- *x*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* 93

105 Pi*n))-*x*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): H:=int(u**+u**,t=c..d)+*Pi*n*(z**+z**- *z*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*z*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(t-t[z]=h-h); end: Atalet_Momenti(-6,0,-,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); T T 64 Z Örnek (Doğrudaş Üç Nokta İçin Holditch-Tipi Teoremi) cos, sin, u t t u t t t t olmak üzere B E E, -parametreli kapalı düzlemsel hareketi esnasında, doğrudaş Y parçasının,0, 5,0 Y uç noktaları, sırasıyla, aşağıdaki şekilde olduğu gibi E sabit düzleminde kırmızı ve yeşil renkli kapalı eğrilerini çizdiğinde ve Y noktaları ile doğrudaş bir Z 3,0 noktası da Z a, ZY b mavi renkli kapalı eğriyi çizecektir. Hareketin kartezyen denklemi, x x cos t cos t x sin t sin t x x cos t sin t x sint cos t dir. Aşağıda görüldüğü gibi, öncelikle F, F Y ve F Z tek tek hesaplandı ve daha sonra aşağıdaki bağıntının varlığı gösterildi, F Z afy bf *7 *6 ab **. Benzer şekilde T, T Y ve T Z ab tek tek hesaplandı ve daha sonra aşağıdaki bağıntının varlığı gösterildi, T Z aty bt *5 *0 ab * ** 0. ab restart: with(plottools):with(plots): F := proc(t) 94

106 plots[display](plottools[line]([*cos(t)-0*sin(b)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t)],[5*cos(t)-0*sin(b)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),5*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t)],color=black,thickness=)): end proc: k:=animate(f,[t],t=0..*pi): k:=animate(plot,[[*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)- sin(t)*cos(t),t=0..a],color=red],a=0..0+*pi,color=red,thic kness=,scaling=constrained): k3:=animate( textplot,[[*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t),``, font=[times,roman,5]]],t=0..*pi): k4:=animate(plot,[[3*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),3*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)- sin(t)*cos(t),t=0..a],color=blue],a=0..0+*pi,color=blue,th ickness=): k5:=animate( textplot,[[3*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),3*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t),`z`, font=[times,roman,5]]],t=0..*pi): k6:=animate(plot,[[5*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),5*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)- sin(t)*cos(t),t=0..a],color=green],a=0..0+*pi,color=green, thickness=): k7:=animate( textplot,[[5*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),5*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t),`y`, font=[times,roman,5]]],t=0..*pi): display(k,k,k3,k4,k5,k6,k7); 95

107 restart: Alan:=proc(x,x,u,u,b,n,c,d) local F,G; G:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(x**+x** - *x*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*x*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(f[]=g); end: Alan(,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: F 6 Alan:=proc(y,y,u,u,b,n,c,d) local F,G; G:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(y**+y** - *y*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*y*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(f[y]=g); end: Alan(5,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); FY 7 96

108 restart: Alan:=proc(z,z,u,u,b,n,c,d) local F,G3; G3:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(z**+z** - *z*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*z*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(f[z]=g3); end: Alan(3,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: FZ Alan:=proc(x,x,y,y,z,z,u,u,b,n,c,d) local F,G,G,G3; G:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(x**+x** - *x*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*x*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): G:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(y**+y** - *y*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*y*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): G3:=(sqrt((x-z)**+(x-z)**)*G+sqrt((z-y)**+(z- y)**)*g)/(sqrt((x-z)**+(x-z)**)+sqrt((z- y)**+(z-y)**))-pi*n*sqrt((x-z)**+(x- z)**)*sqrt((z-y)**+(z-y)**): print(f[z]=g3); end: Alan(,0,5,0,3,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); FZ 97

109 restart: Atalet_Momenti:=proc(x,x,u,u,b,n,c,d) local T,H; H:=int(u**+u**,t=c..d)+*Pi*n*(x**+x**- *x*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*x*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(t[]=h); end: Atalet_Momenti(,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: T 0 Atalet_Momenti:=proc(y,y,u,u,b,n,c,d) local T,H; H:=int(u**+u**,t=c..d)+*Pi*n*(y**+y**- *y*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*y*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(t[y]=h); end: Atalet_Momenti(5,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: TY 5 Atalet_Momenti:=proc(z,z,u,u,b,n,c,d) local T,H3; H3:=int(u**+u**,t=c..d)+*Pi*n*(z**+z**- *z*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*z*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(t[z]=h3); end: Atalet_Momenti(3,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); TZ 0 98

110 restart: Atalet_Momenti:=proc(x,x,y,y,z,z,u,u,b,n,c,d) local F,H,H,H3; H:=int(u**+u**,t=c..d)+*Pi*n*(x**+x**- *x*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*x*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): H:=int(u**+u**,t=c..d)+*Pi*n*(y**+y**- *y*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*y*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): H3:=(sqrt((x-z)**+(x-z)**)*H+sqrt((z-y)**+(z- y)**)*h)/(sqrt((x-z)**+(x-z)**)+sqrt((z- y)**+(z-y)**))-*pi*n*sqrt((x-z)**+(x- z)**)*sqrt((z-y)**+(z-y)**): print(t[z]=h3); end: Atalet_Momenti(,0,5,0,3,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); TZ 0 Örnek 3 (Doğrudaş Olmayan Üç Nokta İçin Holditch-Tipi Teoremler) cos, sin, u t t u t t t t olmak üzere B E E, -parametreli kapalı düzlemsel hareketi esnasında, sabit d 0 br uzunluklu Y parçasının 6,0 ve Y 4,0 uç noktaları, sırasıyla, aşağıdaki şekilde olduğu gibi E sabit düzleminde kırmızı ve mavi renkli kapalı eğriler boyunca hareket ettirilirse, ve Y noktaları ile doğrudaş olmayan Z 0,4 noktası da yeşil renkli kapalı eğriyi çizecektir. Hareketin kartezyen denklemi, x x cos t cos t x sin t sin t x x cos t sin t x sint cos t dir. Aşağıda görüldüğü gibi, öncelikle F, F Y ve F Z tek tek hesaplandı ve daha sonra aşağıdaki bağıntının varlığı gösterildi, 99

111 afy bf 6*8 4*38 FZ c ab clab 4 6*4 * 4*0 8. ab 64 Benzer şekilde T, T Y ve T Z tek tek hesaplandı ve daha sonra aşağıdaki bağıntının varlığı gösterildi, at bt a b 6*34 4* Y TZ c ab clab restart: * 4 6*4 * * *4*0 with(plottools):with(plots): F := proc(t) plots[display](plottools[line]([0*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),0*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t)],[0*cos(t)-4*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),0*sin(t)+4*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t)],color=black,thickness=)): end proc: k:=animate(f,[t],t=0..*pi,scaling=constrained): G:= proc(t) plots[display](plottools[line]([-6*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),-6*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t)],[4*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),4*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t)],color=black,thickness=)): end proc: k:=animate(g,[t],t=0..*pi): k3:=animate(plot,[[-6*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),-6*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)- sin(t)*cos(t),t=0..a],color=red],a=0..0+*pi,color=red,thic kness=): k4:=animate( textplot,[[-6*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),-6*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t),``, font=[times,roman,5]]],t=0..*pi): k5:=animate(plot,[[4*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),4*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)- 00

112 sin(t)*cos(t),t=0..a],color=blue],a=0..0+*pi,color=blue,th ickness=): k6:=animate( textplot,[[4*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),4*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t),`y`, font=[times,roman,5]]],t=0..*pi): k7:=animate(plot,[[0*cos(t)-4*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),0*sin(t)+4*cos(t)- cos(t)*sin(t)- sin(t)*cos(t),t=0..a],color=green],a=0..0+*pi,color=green, thickness=): k8:=animate( textplot,[[0*cos(t)-4*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),0*sin(t)+4*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t),`z`, font=[times,roman,5]]],t=0..*pi): display(k,k,k3,k4,k5,k6,k7,k8); restart: Alan:=proc(x,x,u,u,b,n,c,d) local F,G; G:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(x**+x** - *x*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*x*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(f[]=g); end: Alan(-6,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); 0

113 F 38 restart: Alan:=proc(y,y,u,u,b,n,c,d) local F,G; G:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(y**+y** - *y*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*y*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(f[y]=g); end: Alan(4,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: FY 8 Alan:=proc(z,z,u,u,b,n,c,d) local F,G3; G3:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(z**+z** - *z*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*z*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(f[z]=g3); end: Alan(0,4,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: FZ 8 Alan:=proc(x,x,y,y,z,z,u,u,b,n,c,d) local F,G,G,G3,k; G:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(x**+x** - *x*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*x*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): 0

114 G:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(y**+y** - *y*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*y*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): k:=abs((((y-x)*z+(x-y)*z-x*(y-x)+x*(y- x))/(sqrt((y-x)**+(x-y)**)))): G3:=(sqrt((x-z)**+(x-z)**-k**)*G+sqrt((y- z)**+(y-z)**-k**)*g)/(sqrt((x-z)**+(x-z)**- k**)+sqrt((y-z)**+(y-z)**-k**))-pi*n*sqrt((x- z)**+(x-z)**-k**)*sqrt((y-z)**+(y-z)**- k**)+(k**)*pi*n-k*int(u,t=0..*pi): print(f[z]=g3); end: Alan(-6,0,4,0,0,4,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: FZ 8 Atalet_Momenti:=proc(x,x,u,u,b,n,c,d) local T,H; H:=int(u**+u**,t=c..d)+*Pi*n*(x**+x**- *x*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*x*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(t[]=h); end: Atalet_Momenti(-6,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: T 74 Atalet_Momenti:=proc(y,y,u,u,b,n,c,d) local T,H; H:=int(u**+u**,t=c..d)+*Pi*n*(y**+y**- *y*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*y*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(t[y]=h); 03

115 end: Atalet_Momenti(4,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: TY 34 Atalet_Momenti:=proc(z,z,u,u,b,n,c,d) local T,H3; H3:=int(u**+u**,t=c..d)+*Pi*n*(z**+z**- *z*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*z*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(t[z]=h3); end: Atalet_Momenti(0,4,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: TZ 34 Atalet_Momenti:=proc(x,x,y,y,z,z,u,u,b,n,c,d) local F,H,H,H3,k; H:=int(u**+u**,t=c..d)+*Pi*n*(x**+x**- *x*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*x*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): H:=int(u**+u**,t=c..d)+*Pi*n*(y**+y**- *y*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*y*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): k:=abs((((y-x)*z+(x-y)*z-x*(y-x)+x*(y- x))/(sqrt((y-x)**+(x-y)**)))): H3:=(sqrt((x-z)**+(x-z)**-k**)*H+sqrt((y- z)**+(y-z)**-k**)*h)/(sqrt((x-z)**+(x-z)**- k**)+sqrt((y-z)**+(y-z)**-k**))-*pi*n*sqrt((x- z)**+(x-z)**-k**)*sqrt((y-z)**+(y-z)**- k**)+*(k**)*pi*n-*k*int(u,t=0..*pi): print(t[z]=h3); end: Atalet_Momenti(-6,0,4,0,0,4,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); 04

116 TZ 34 Örnek 4 (Doğrudaş Olmayan Üç Nokta Aynı Kapalı Eğriyi Çizmesi Durumunda Holditch-Tipi Teorem) cos, sin,, 0,0 u t t u t t t t S Steiner noktası olmak üzere B E E, - parametreli kapalı düzlemsel hareketi esnasında, doğrudaş olmayan 4,0, Y 4cos, 4sin, Z 4,0 E noktaları aşağıdaki şekilde 9 9 olduğu gibi, sırasıyla, kırmızı, mavi, yeşil renkli aynı F alanına sahip k eğrisini çizerlerse herhangi bir Q 6, noktası da F Q yörünge alanına sahip sarı renkli kapalı k Q eğrisini çizecektir. Hareketin kartezyen denklemi, x x cos t cos t x sin t sin t x x cos t sin t x sint cos t dir. Aşağıda görüldüğü gibi, öncelikle F, FY, F Z ve F Q tek tek hesaplandı ve daha sonra aşağıdaki bağıntının varlığı gösterildi, FZ r R ** Benzer şekilde T, T, T ve T Q tek tek hesaplandı ve daha sonra aşağıdaki bağıntının varlığı gösterildi, Y Z TZ r R * ** restart: with(plottools):with(plots): F:= proc(t) plots[display](plottools[line]([4*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),4*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t)],[4*cos(t+8*pi/9)- 0*sin(t+8*Pi/9)- 05

117 cos(t+8*pi/9)*cos(t+8*pi/9)+sin(t+8*pi/9)*sin(t+8*pi/9),4*s in(t+8*pi/9)+0*cos(t+8*pi/9)-cos(t+8*pi/9)*sin(t+8*pi/9)- sin(t+8*pi/9)*cos(t+8*pi/9)],color=black,thickness=)): end proc: k:=animate(f,[t],t=0..*pi,scaling=constrained): G:= proc(t) plots[display](plottools[line]([4*cos(t+8*pi/9)- 0*sin(t+8*Pi/9)- cos(t+8*pi/9)*cos(t+8*pi/9)+sin(t+8*pi/9)*sin(t+8*pi/9),4*s in(t+8*pi/9)+0*cos(t+8*pi/9)-cos(t+8*pi/9)*sin(t+8*pi/9)- sin(t+8*pi/9)*cos(t+8*pi/9)],[-4*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),-4*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t)],color=black,thickness=)): end proc: k:=animate(g,[t],t=0..*pi): H:= proc(t) plots[display](plottools[line]([-4*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),-4*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t)],[4*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),4*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t)],color=black,thickness=)): end proc: k3:=animate(h,[t],t=0..*pi): k4:=animate(plot,[[4*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),4*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)- sin(t)*cos(t),t=0..a],color=red],a=0..0+*pi,color=red,thic kness=): k5:=animate( textplot,[[4*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),4*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t),``, font=[times,roman,5]]],t=0..*pi): k6:=animate(plot,[[4*cos(t+8*pi/9)-0*sin(t+8*pi/9)- cos(t+8*pi/9)*cos(t+8*pi/9)+sin(t+8*pi/9)*sin(t+8*pi/9),4*s in(t+8*pi/9)+0*cos(t+8*pi/9)-cos(t+8*pi/9)*sin(t+8*pi/9)- sin(t+8*pi/9)*cos(t+8*pi/9),t=0..a],color=magenta],a=0..0+ *Pi,color=magenta,thickness=): k7:=animate( textplot,[[4*cos(t+8*pi/9)-0*sin(t+8*pi/9)- cos(t+8*pi/9)*cos(t+8*pi/9)+sin(t+8*pi/9)*sin(t+8*pi/9),4*s in(t+8*pi/9)+0*cos(t+8*pi/9)-cos(t+8*pi/9)*sin(t+8*pi/9)- sin(t+8*pi/9)*cos(t+8*pi/9),`y`, font=[times,roman,5]]],t=0..*pi): 06

118 k8:=animate(plot,[[-4*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),-4*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)- sin(t)*cos(t),t=0..a],color=green],a=0..0+*pi,color=green, thickness=): k9:=animate( textplot,[[-4*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),-4*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t),`z`, font=[times,roman,5]]],t=0..*pi): s:=simplify(int(cos(t)+(diff(sin(t),t)/diff(t,t)),t=0..*p i)/(*pi*)): s:=simplify(int(sin(t)- (diff(cos(t),t)/diff(t,t)),t=0..*pi)/(*pi*)): k0:=animate(plot,[[s*cos(t)-s*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),s*sin(t)+s*cos(t)- cos(t)*sin(t)- sin(t)*cos(t),t=0..a],color=brown],a=0..0+*pi,color=brown, thickness=): k:=animate( textplot,[[s*cos(t)-s*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),s*sin(t)+s*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t),`s`, font=[times,roman,5]]],t=0..*pi): k:=animate(plot,[[6*cos(t)-*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),6*sin(t)+*cos(t)- cos(t)*sin(t)- sin(t)*cos(t),t=0..a],color=blue],a=0..0+*pi,color=blue,th ickness=): k3:=animate( textplot,[[6*cos(t)-*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),6*sin(t)+*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t),`q`, font=[times,roman,5]]],t=0..*pi): k4:=circle([-,0],4,color=grey): display(k,k,k3,k4,k5,k6,k7,k8,k9,k0,k,k,k3,k4); 07

119 restart: Alan:=proc(x,x,u,u,b,n,c,d) local F,G; G:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(x**+x** - *x*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*x*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(f[]=g); end: Alan(4,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: F 8 Alan:=proc(y,y,u,u,b,n,c,d) local F,G; G:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(y**+y** - *y*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*y*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(f[y]=simplify(g)); end: 08

120 Alan(- 4*cos(/9*Pi),4*sin(/9*Pi),cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: FY 8 Alan:=proc(z,z,u,u,b,n,c,d) local F,G3; G3:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(z**+z** - *z*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*z*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(f[z]=g3); end: Alan(-4,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: FZ 8 Alan:=proc(q,q,u,u,b,n,c,d) local F,G4; G4:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(q**+q** - *q*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*q*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(f[q]=g4); end: Alan(6,,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: FQ 4 Alan:=proc(x,x,q,q,u,u,b,n,c,d) local F,s,s,G5; s:=simplify(int(cos(t)+(diff(sin(t),t)/diff(t,t)),t=0..*p i)/(*pi*n)): s:=simplify(int(sin(t)- (diff(cos(t),t)/diff(t,t)),t=0..*pi)/(*pi*n)): 09

121 G5:=abs(Pi*n*(((x-s)**+(x-s)**)-((q-s)**+(q- s)**))): print(f-f[q]=g5); end: Alan(-4,0,6,,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: FF 4 Atalet_Momenti:=proc(x,x,u,u,b,n,c,d) local T,H; Q H:=int(u**+u**,t=c..d)+*Pi*n*(x**+x**- *x*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*x*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(t[]=h); end: Atalet_Momenti(4,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: T 34 Atalet_Momenti:=proc(y,y,u,u,b,n,c,d) local T,H; H:=int(u**+u**,t=c..d)+*Pi*n*(y**+y**- *y*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*y*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(t[y]=simplify(h)); end: Atalet_Momenti(- 4*cos(/9*Pi),4*sin(/9*Pi),cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: TY 34 Atalet_Momenti:=proc(z,z,u,u,b,n,c,d) local T,H3; H3:=int(u**+u**,t=c..d)+*Pi*n*(z**+z**- *z*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*z*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): 0

122 print(t[z]=h3); end: Atalet_Momenti(-4,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: TZ 34 Atalet_Momenti:=proc(q,q,u,u,b,n,c,d) local T,H4; H4:=int(u**+u**,t=c..d)+*Pi*n*(q**+q**- *q*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*q*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(t[q]=h4); end: Atalet_Momenti(6,,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: TQ 8 Atalet_Momenti:=proc(x,x,q,q,u,u,b,n,c,d) local F,s,s,H5; s:=simplify(int(cos(t)+(diff(sin(t),t)/diff(t,t)),t=0..*p i)/(*pi*n)): s:=simplify(int(sin(t)- (diff(cos(t),t)/diff(t,t)),t=0..*pi)/(*pi*n)): H5:=abs(*Pi*n*(((x-s)**+(x-s)**)-((q-s)**+(q- s)**))): print(t-t[q]=h5); end: Atalet_Momenti(-4,0,6,,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); T T 48 Q

123 Örnek 5 (Doğrudaş Olmayan Üç Nokta Farklı Kapalı Eğriler Çizmesi Durumunda Holditch-Tipi Teorem) u t cos t, u t sin t, t t, olmak üzere B E E, -parametreli kapalı düzlemsel hareketi esnasında, doğrudaş olmayan 0,0, 7,0,,4 Y Z E noktaları aşağıdaki şekilde olduğu gibi, sırasıyla, kırmızı, mavi, yeşil renkli farklı eğrileri çizerlerse herhangi bir Q 9, noktası da F Q yörünge alanına sahip kahve renkli kapalı k Q eğrisini çizecektir. Hareketin kartezyen denklemi, x x cos t cos t x sin t sin t x x cos t sin t x sint cos t dir. Aşağıda görüldüğü gibi, öncelikle F, FY, F Z ve F Q tek tek hesaplandı ve daha sonra aşağıdaki bağıntının varlığı gösterildi, x c b x cy y c d bc FQ y F FY FZ x y bx y y b bd b bd d d d * * 5 7 7*4 7 7* * 9 7*9 * * * Benzer şekilde T, T, T ve T Q tek tek hesaplandı ve daha sonra aşağıdaki bağıntının varlığı gösterildi, Y Z x c b x cy y c d bc TQ y T TY TZ x y bx y y b bd b bd d d d * * *4 7 7* * * * 9 7*9 * *

124 restart: with(plottools):with(plots): F:= proc(t) plots[display](plottools[line]([0*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),0*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t)],[*cos(t)-4*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),*sin(t)+4*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t)],color=black,thickness=)): end proc: k:=animate(f,[t],t=0..*pi,scaling=constrained): G:=proc(t) plots[display](plottools[line]([*cos(t)-4*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),*sin(t)+4*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t)],[7*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),7*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t)],color=black,thickness=)): end proc: k:=animate(g,[t],t=0..*pi): H:= proc(t) plots[display](plottools[line]([7*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),7*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t)],[0*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),0*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t)],color=black,thickness=)): end proc: k3:=animate(h,[t],t=0..*pi): k4:=animate(plot,[[0*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),0*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)- sin(t)*cos(t),t=0..a],color=red],a=0..0+*pi,color=red,thic kness=): k5:=animate( textplot,[[0*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),0*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t),``, font=[times,roman,5]]],t=0..*pi): k6:=animate(plot,[[7*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),7*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)- sin(t)*cos(t),t=0..a],color=blue],a=0..0+*pi,color=blue,th ickness=): 3

125 k7:=animate( textplot,[[7*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),7*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t),`y`, font=[times,roman,5]]],t=0..*pi): k8:=animate(plot,[[*cos(t)-4*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),*sin(t)+4*cos(t)- cos(t)*sin(t)- sin(t)*cos(t),t=0..a],color=green],a=0..0+*pi,color=green, thickness=): k9:=animate( textplot,[[*cos(t)-4*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),*sin(t)+4*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t),`z`, font=[times,roman,5]]],t=0..*pi): k0:=animate(plot,[[9*cos(t)-*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),9*sin(t)+*cos(t)- cos(t)*sin(t)- sin(t)*cos(t),t=0..a],color=brown],a=0..0+*pi,color=brown, thickness=): k:=animate( textplot,[[9*cos(t)-*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),8*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t),`q`, font=[times,roman,5]]],t=0..*pi): display(k,k,k3,k4,k5,k6,k7,k8,k9,k0,k); 4

126 restart: Alan:=proc(x,x,u,u,b,n,c,d) local F,G; G:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(x**+x** - *x*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*x*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(f[]=g); end: Alan(0,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: F Alan:=proc(y,y,u,u,b,n,c,d) local F,G; G:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(y**+y** - *y*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*y*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(f[y]=g); end: Alan(7,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: FY 5 Alan:=proc(z,z,u,u,b,n,c,d) local F,G3; G3:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(z**+z** - *z*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*z*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(f[z]=g3); end: Alan(,4,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); 5

127 FZ restart: Alan:=proc(q,q,u,u,b,n,c,d) local F,G4; G4:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(q**+q** - *q*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*q*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(f[q]=g4); end: Alan(9,,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: FQ 84 Alan:=proc(x,x,y,y,z,z,q,q,u,u,b,n,c,d) local F,G,G,G3,G5; G:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(x**+x** - *x*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*x*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): G:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(y**+y** - *y*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*y*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): G3:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(z**+z** - *z*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*z*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): G5:=(-q/y+((z-y)/(y*z))*q)*G+(q/y- (z*q)/(y*z))*g+(q/z)*g3+(q**+q**-y*q+(- z***q-z***q+y*z*q)/z)*pi*n: print(f[q]=g5); 6

128 end: Alan(0,0,7,0,,4,9,,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: FQ 84 Atalet_Momenti:=proc(x,x,u,u,b,n,c,d) local T,H; H:=int(u**+u**,t=c..d)+*Pi*n*(x**+x**- *x*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*x*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(t[]=h); end: Atalet_Momenti(0,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: T Atalet_Momenti:=proc(y,y,u,u,b,n,c,d) local T,H; H:=int(u**+u**,t=c..d)+*Pi*n*(y**+y**- *y*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*y*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(t[y]=h); end: Atalet_Momenti(7,0,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: TY 00 Atalet_Momenti:=proc(z,z,u,u,b,n,c,d) local T,H3; H3:=int(u**+u**,t=c..d)+*Pi*n*(z**+z**- *z*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*z*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(t[z]=h3); end: Atalet_Momenti(,4,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); 7

129 restart: TZ 4 Atalet_Momenti:=proc(q,q,u,u,b,n,c,d) local T,H4; H4:=int(u**+u**,t=c..d)+*Pi*n*(q**+q**- *q*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*q*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): print(t[q]=h4); end: Atalet_Momenti(9,,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); restart: TQ 66 Atalet_Momenti:=proc(x,x,y,y,z,z,q,q,u,u,b,n,c,d) local F,H,H,H3,H5; H:=int(u**+u**,t=c..d)+*Pi*n*(x**+x**- *x*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*x*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): H:=int(u**+u**,t=c..d)+*Pi*n*(y**+y**- *y*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*y*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): H3:=int(u**+u**,t=c..d)+*Pi*n*(z**+z**- *z*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(* Pi*n))-*z*(int((u- (diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*pi*n))): H5:=(-q/y+((z-y)/(y*z))*q)*H+(q/y- (z*q)/(y*z))*h+(q/z)*h3+*pi*n*(q**+q**-y*q+(- z***q-z***q+y*z*q)/z): print(t[q]=h5); end: Atalet_Momenti(0,0,7,0,,4,9,,cos(t),sin(t),t,,0,*Pi); 8

130 TQ 66 Örnek 6 (Farklı Doğrudaş Üç Noktanın Farklı Hareketleri İçin Holditch-Tipi Teorem) cos, sin,, olmak üzere E E, i, u t t u t t t t parametreli kapalı düzlemsel hareketler olsunlar. Hareketin kartezyen denklemi, x x cos t cos t x sin t sin t x x cos t sin t x sint cos t dir. Eğer Y doğru parçasının,0, Y 4,0 9 i aynı yönlü i dönme - uç noktaları, sırasıyla, aşağıdaki şekilde olduğu için, kırmızı ve yeşil renkli kapalı eğrilerini ve Y noktaları ile doğrudaş bir Z 3,0 noktası da Z a ve ZY b mavi renkli kapalı eğriyi çizecektir. Benzer şekilde, AB doğru parçasının A, 3, B, 3 uç noktaları, sırasıyla, aşağıdaki gibi kırmızı ve yeşil renkli kapalı eğrileri çizdiğinde A ve noktaları ile doğrudaş C.5,.5 3 noktası da restart: AC ave CB b kahverengi eğriyi çizecektir. with(plottools):with(plots): F := proc(t) plots[display](plottools[line]([*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t)],[4*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),4*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t)],color=black,thickness=)): end proc: k:=animate(f,[t],t=0..*pi,scaling=constrained): G := proc(t) plots[display](plottools[line]([*cos(t+pi/3)- 0*sin(t+Pi/3)- cos(t+pi/3)*cos(t+pi/3)+sin(t+pi/3)*sin(t+pi/3),*sin(t+pi/ 3)+0*cos(t+Pi/3)-cos(t+Pi/3)*sin(t+Pi/3)- sin(t+pi/3)*cos(t+pi/3)],[4*cos(t+pi/3)-0*sin(t+pi/3)- cos(t+pi/3)*cos(t+pi/3)+sin(t+pi/3)*sin(t+pi/3),4*sin(t+pi/

131 3)+0*cos(t+Pi/3)-cos(t+Pi/3)*sin(t+Pi/3)- sin(t+pi/3)*cos(t+pi/3)],color=black,thickness=)): end proc: k:=animate(g,[t],t=0..*pi): k3:=animate(plot,[[*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)- sin(t)*cos(t),t=0..a],color=red],a=0..0+*pi,color=red,thic kness=): k4:=animate( textplot,[[*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t),``, font=[times,roman,5]]],t=0..*pi): k5:=animate(plot,[[3*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),3*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)- sin(t)*cos(t),t=0..a],color=blue],a=0..0+*pi,color=blue,th ickness=): k6:=animate( textplot,[[3*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),3*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t),`z`, font=[times,roman,5]]],t=0..*pi): k7:=animate(plot,[[4*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),4*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)- sin(t)*cos(t),t=0..a],color=green],a=0..0+*pi,color=green, thickness=): k8:=animate( textplot,[[4*cos(t)-0*sin(t)- cos(t)*cos(t)+sin(t)*sin(t),4*sin(t)+0*cos(t)- cos(t)*sin(t)-sin(t)*cos(t),`y`, font=[times,roman,5]]],t=0..*pi): k9:=animate(plot,[[*cos(t+pi/3)-0*sin(t+pi/3)- cos(t+pi/3)*cos(t+pi/3)+sin(t+pi/3)*sin(t+pi/3),*sin(t+pi/ 3)+0*cos(t+Pi/3)-cos(t+Pi/3)*sin(t+Pi/3)- sin(t+pi/3)*cos(t+pi/3),t=0..a],color=red],a=0..0+*pi,colo r=red,thickness=): k0:=animate( textplot,[[*cos(t+pi/3)-0*sin(t+pi/3)- cos(t+pi/3)*cos(t+pi/3)+sin(t+pi/3)*sin(t+pi/3),*sin(t+pi/ 3)+0*cos(t+Pi/3)-cos(t+Pi/3)*sin(t+Pi/3)- sin(t+pi/3)*cos(t+pi/3),`a`, font=[times,roman,5]]],t=0..*pi): k:=animate(plot,[[.5*cos(t+pi/3)-0*sin(t+pi/3)- cos(t+pi/3)*cos(t+pi/3)+sin(t+pi/3)*sin(t+pi/3),.5*sin(t+p i/3)+0*cos(t+pi/3)-cos(t+pi/3)*sin(t+pi/3)- 0

132 sin(t+pi/3)*cos(t+pi/3),t=0..a],color=brown],a=0..0+*pi,co lor=blue,thickness=): k:=animate( textplot,[[.5*cos(t+pi/3)-0*sin(t+pi/3)- cos(t+pi/3)*cos(t+pi/3)+sin(t+pi/3)*sin(t+pi/3),.5*sin(t+p i/3)+0*cos(t+pi/3)-cos(t+pi/3)*sin(t+pi/3)- sin(t+pi/3)*cos(t+pi/3),`c`, font=[times,roman,5]]],t=0..*pi): k3:=animate(plot,[[4*cos(t+pi/3)-0*sin(t+pi/3)- cos(t+pi/3)*cos(t+pi/3)+sin(t+pi/3)*sin(t+pi/3),4*sin(t+pi/ 3)+0*cos(t+Pi/3)-cos(t+Pi/3)*sin(t+Pi/3)- sin(t+pi/3)*cos(t+pi/3),t=0..a],color=green],a=0..0+*pi,co lor=green,thickness=): k4:=animate( textplot,[[4*cos(t+pi/3)-0*sin(t+pi/3)- cos(t+pi/3)*cos(t+pi/3)+sin(t+pi/3)*sin(t+pi/3),4*sin(t+pi/ 3)+0*cos(t+Pi/3)-cos(t+Pi/3)*sin(t+Pi/3)- sin(t+pi/3)*cos(t+pi/3),`b`, font=[times,roman,5]]],t=0..*pi): display(k,k,k3,k4,k5,k6,k7,k8,k9,k0,k,k,k3,k4); restart: Alan:=proc(x,x,u,u,b,n,c,d) local F,G; G:=(/)*int((u*(u+(diff(u,t)/diff(b,t)))+u*(u- (diff(u,t)/diff(b,t))))*diff(b,t),t=c..d)+pi*n*(x**+x** - *x*(int((u+(diff(u,t)/diff(b,t)))*diff(b,t),t=c..d)/(*