Olasılık ve İstatistik TASLAK

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Olasılık ve İstatistik TASLAK"

Transkript

1 Aydın ÜSTÜN 2014

2 İçindekiler 1 GİRİŞ Ölçme, Olasılık ve İstatistiğe Genel Bakış Deney Tasarımı: Anakütle ve Örneklem Uzayı Örneklem süreci İstatistik Türleri Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik TEMEL OLASILIK Giriş Olasılığın İki Tanımı Rasgele olaylar için cebirsel işlemler Temel Olasılık Önermeleri Koşullu Olasılık Bağımsız Olaylar Bayes Kuramı İleri Sayım Teknikleri Ağaç Çizgeleri

3 ii İçindekiler Permütasyon Kombinasyon RASGELE DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Rasgele Değişken Rasgele Dağılımlar Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Ayrık Dağılım Fonksiyonu Sürekli Dağılım Fonksiyonu Rasgele Değişkenin Beklenen Değeri ve Momenti Beklenen Değer ve Ağırlıklı Ortalama Varyans ve Standart Sapma Moment Diğer Merkezi Eğilim ve Saçılım Ölçütleri Birleşik Rasgele Dağılımlar Ayrık Durum Sürekli Durum Bağımsız Rasgele Değişkenler Koşullu Olasılık Dağılımları Kovaryans ve Korelasyon BAŞLICA OLASILIK DAĞILIMLARI Ayrık Dağılımlar Bernaulli ve Binom Dağılımları Ayrık Üniform Dağılım Poisson Dağılım Sürekli Dağılımlar Normal Dağılım Chi-Kare Dağılımı t Dağılımı

4 İçindekiler iii Fisher Dağılımı

5 Bölüm Ölçme, Olasılık ve İstatistiğe Genel Bakış GİRİŞ Ölçme, fiziksel bir büyüklüğün önceden belirlenmiş birim büyüklükler yardımıyla ölçeklendirilmesi eylemidir. Ölçme sonucu elde edilen sayısal veriye ölçü veya gözlem adı verilir. Tekrarlı ölçü sonuçları birbirine benzer sayısal değerleri işaret etse de, bilim ve mühendislikte ölçme, rasgele (kontrol edilemeyen) olayların sonuçlarıdır. Bu nedenle, istatistikte ölçü ve gözlemlere rasgele değişken gözüyle bakılır. Tekrar edilen her ölçü, farklı zaman veya mekanın özelliklerini yansıtır. Çevresel koşullar istenildiği kadar aynı tutulmaya çalışılsın, yine de insan duyularının ve ölçme sistemlerinin yetersizliği, birbirinden az ya da çok sapan ölçme sonuçlarını doğurur. Sonuç olarak, mükemmel veya kesin değeri verecek bir ölçme işleminden söz etmek olanaklı değildir. Doğada gözlenebilen olaylardan belirli bir sonuç (bilgi) çıkarmak için verileri belli kurallar altında sayısal anlamda toplamak, bilim ve mühendislik çalışmalarının en önemli görevleri arasındadır. Yukarıda anılan nedenlerle ölçme sonuçlarının raslantısal olaylara bağlı olması, gereğinden fazla ölçünün toplanmasını zorunlu kılmaktadır. Öte yandan, belli bir yığını oluşturan veriler arasında raslantısallıktan kaynaklanan tutarsızlıklar görülmesine rağmen, bunlar bazı grafiklere taşındığında ortak (kütlesel) bir davranış sergilerler. Bu davranış biçimi kuramsal olarak iyi bilinen olasılık fonksiyonları ile uyum içindedir. İşte bu yüzden veri yığınlarının tek anlamlı sonuçlara dönüştürülmesi, matematiksel istatistiğin konusudur. Türk Dil Kurumu sözlüğüne 1 göre istatistik tanımı; 1 Türkçe Sözlük (2005) Türk Dil Kurumu, Ankara.

6 2 GİRİŞ bir sonuç çıkarmak için olguları yöntemli bir biçimde (olasılık kuramı ilkelerine dayanarak) toplayıp sayı olarak belirtme işi, sayım bilimi biçiminde verilmektedir. Tanımdan anlaşılacağı üzere, olasılık kuramı istatistiğin temelini oluşturmaktadır. Olasılık kuramı, tıpkı bir ölçme işlemindeki kontrol edilemeyen çevresel etkenlerde olduğu gibi, belirsizlik durumunu inceler. Şans oyunları olasılık uygulamalarının en tipik örneğidir. Bilim ve mühendislik uygulamarında ise deney ya da olay sonuçları (ölçüler), genellikle kontrol edilemeyen ancak varlığı belli olasılık değerleriyle ortaya çıkan (stokastik) olaylar kadar, geometrik ve fiziksel yasaların sonuçları olarak nicelikleri önceden belli (deterministik) olguları da içerir. Örneğin, ağırlık (gravite) ivmesini ölçen bir gravimetreden okunan sayısal değer, yeryuvarının toplam kütlesi ve ölçümün yapıldığı noktanın yerin ağırlık merkezine göre konumuna bağlıdır. Önceden, belirli bir yaklaşıkla bilinen kütle ve konum bilgisi için gravite ivme değeri deterministik yolla hesaplanabilir. Ancak, deterministik sistemler başlangıç koşullar altında hep aynı sonuçları verdiğinden stokastik süreçlerden farklıdırlar, dolayısıyla olasılık kuramının dışında yer alırlar. Bu açıklamalardan yola çıkılarak tek başına olasılık kavramından söz edildiğinde; rasgele olayları analiz eden bir matematik dalı, matematiksel anlamda bir olayın gerçekleşebilme durumunu gösteren sayı (0 ile 1 arasında) anlaşılır. Burada 0 imkansız olay, 1 kesin olay anlamındadır. Veri analizinde istatistik, sonuçların yorumlanması ve gösterimi için gereklidir. Stokastik olayların fonksiyonel davranışını tanımlayan olasılık dağılımları kullanılmaksızın istatistik sonuçlarını yorumlamak zorlaşır. İstatistik, geçmiş verilerin tekrarlanma (frekans, sıklık) durumunu ortaya koyarken; olasılık aynı olayın gelecekteki gerçekleşebilme durumunu açıklar. Söz konusu ilişki, bir yazı-tura oyunuyla örneklendirilebilir. Para atışında yazı veya tura gelme olasılığı, var olan seçenekler göz önüne alınarak hesaplanabilir: normal koşullar altında her ikisi de eşit, 1/2. Buna karşın 100 kez atılmış bir para için 47 tura ve 53 yazı gelmesi, tam aynı olmasa da olasılık dağılımından elde edilen 1/2 değerini işaret ederler. Buradan, istatistik sonuçları tutarlılık açısından olasılık dağılımı değerleriyle irdelenmelidir önermesi yapılabilir. Ayrıca, verilen örneğe ilişkin uygulama esasları ve sonuçları karşılaştırıldığında olasılığın kuramsal, istatistiğin deneysel açıdan değerlendirilmesi gerektiği hemen anlaşılmalıdır. 1.2 Deney Tasarımı: Anakütle ve Örneklem Uzayı Bilimsel araştırmanın amacı sınırlı bir veriden evrenin nasıl işlediğine ilişkin bilgi çıkarmaktır. Deney ve istatistiksel analiz burada çok önemli bir sac ayağı işlevi görür. Araştırmanın çıkış noktası gözlenen olgu ve bağlı olduğu parametreler üzerinden kurulmuş hipotezdir. Hipotezin geçerliliği, ancak bir deneysel çalışmayla sınanabilir. Şekil 1.1 doğa bilimlerinde bilimsel yöntemin nasıl işletildiğini ve deneyin bir bilimsel yaklaşımdaki yerini özetlemektedir. Sonuçta üretilecek bilginin

7 Deney Tasarımı: Anakütle ve Örneklem Uzayı 3 doğruluğunu ya da bilimsel araştırmadan bir sonuca ulaşılıp ulaşılamayacağını, eldeki örnekleme (veri toplama) planı belirler. Olası örnekleme hatalarının sonuçlar (kestirilen parametreler) üzerindeki etkisi sistematik kayıklık (bias) olarak görülür. Doğa olayları ve Gözlemler Hipotez Test edilebilir tahminler Deney ve Veri analizi Deney sonuçları hipotezi doğruluyor mu? Evet Kuram/Bilgi Hayır Hipotezi yeniden kur Şekil 1.1: Bilimsel yöntem kullanarak doğa olaylarından bilgi edinimi İstatistikte ise gözlenen bir olgu hakkında sonuç çıkarabilmek için anakütle (evren, popülasyon ya da uzay) hakkında veri toplamak yerine, sonuçlara anakütleyi temsil eden örneklem uzayı üzerinden ulaşmak pratik bir zorunluluktur. Amaçlanan istatistiksel çalışmanın başarıyla gerçekleştirilmesi deney tasarımına bağlıdır. Deney sonuçlarını etkileme potansiyeline sahip koşulların önceden belirlenmesi tasarımın en kritik aşaması olarak görülmelidir. Anakütle yerine seçilen örneklem uzayındaki örneklem(denek) dağılımı, anakütleyi eksiksiz biçimde temsil edecek nitelikte olması esastır. Bu beklenti, ancak iyi bir deney tasarımı ile karşılanabilir.

8 4 GİRİŞ Örneklem süreci Örneklem sürecini oluşturan aşamalar başarılı bir istatistiksel çalışmanın sonuç ürünü için doğruluk ve tutarlılığın sağlanmasına zemin hazırlar. Bu aşamalar ve temel özellikleri hakkında kısa bilgi maddeler halinde aşağıda verilmektedir. Anakütlenin tanımlaması: Anlaşılmak istenen olgu ve onun nicelik tanımının yapılmasını ifade eder. Bu tanımlar araştırma konusu ana kütleyi açık bir şekilde ortaya çıkarmalıdır. Örneğin, bir ülkedeki okur-yazarlık oranı belirlenmek istensin. Okur-yazarlık, okul çağına gelmiş veya başka bir deyişle okuma-yazma yetisine sahip bireyler ile ilgili bir kavramdır. Dolayısıyla, anakütle (nüfus veya yığın olarak da adlandırılır), okur-yazar olup olmadığı belirlenecek tüm bireylerdir. Okul öncesi yaş grubu ve bu yetiye sahip olmayanlar anakütlenin dışında sayılırlar. Örnekleme çerçevesinin belirlenmesi: Çoğu kez anakütleyi oluşturan tüm bireylere ulaşmak ya pratik olarak olanaksız ya da uygulama maliyeti karşılanamayacak boyuttadır. Böyle bir durumda, anakütleyi oluşturan her örneğin içinde bulunabileceği bir altkütle (örneklem kümesi) araştırmasına gidilebilir. Örneklem kümesi ile anakütle hacminin anlamlı ölçüde daraltılacak olması çalışmanın uygulanabilirliğini kolaylaştıran en önemli unsurdur. Örnekleme çerçevesi anakütle içerisinde sınırları belirlenmiş altkütleyi temsil eder. Yukarıdaki okur-yazarlık örneğini ele alacak olursak, örnekleme çerçevesi bir veya birkaç il veya mahalle ve bu sınırlar içinde kalan bireylerdir. Örnekleme yönteminin belirlenmesi: Yukarıda sınırları belirtilen örneklem çerçevesinden örneklemlerin nasıl seçileceğini açıklar. Basit rasgele, düzenli (sistematik), katmanlı, küme, çok aşamalı ve alan olasılık örnekleme tekniklerinden biri veya kombinasyonları kullanılabilir. Örnekleme tekniğinin seçiminde uygulama maliyetinden doğruluk beklentilerine, istatistik çalışmasının gereksinimlerinden yöntemin uygulanabilirliğine kadar değişik etkenler belirleyici rol oynar. Hangi yöntem seçilirse seçilsin, olasılık dağılımı kurallarına göre örnekleme çerçevesi içinde kalan örneklem çeşitliliğinin ve bu seçimle uygulamaya geçecek erişilebilirliğin ana kütleyi yansıtması esastır. Örnekleme sayısının belirlenmesi: Basitçe ölçü(gözlem) sayısının belirlenmesi olarak değerlendirilebilir. Deneysel çalışmada ilgilenilen parametre ve onların sayısı ile yakın ilişkiye sahiptir. Parametre sayısından az olmamak koşuluyla sonuçların güven ve anlamlılık düzeyi toplanan verilerin sayısına bağlıdır. Anakütle hakkındaki yorum ve çıkarımların gücü örneklem sayısından gelir. Bir çalışmada ne kadarlık veriye gereksinim olduğu bazı test gücü çizelgelerinden ve birikimli (kümülatif) dağılım fonksiyonu eşitliklerinden hesaplanabilir.

9 İstatistik Türleri 5 Örnekleme (veri toplama): Yukarıdaki tasarım aşamalarının uygulanmasıyla veri toplama sürecine geçilmiş olur. Tasarımda belirlenen çerçevenin dışına çıkılmamasının yanı sıra gözlem sırasında çevresel etkenlerin de kayıt altına alınması veri analizini ve çıkarılacak sonuçların kalitesini arttıracağı göz önünde bulundurulmalıdır. 1.3 İstatistik Türleri Örneklem kümesinden elde edilen verilerin istatistiksel analizi bizi iki istatistik türüne götürür: betimsel (açıklayıcı) istatistik ve çıkarımsal (tümevarımcı, sonuç çıkarıcı) istatistik Betimsel istatistik Eldeki verilerin özetlenmiş biçimi ya da başka bir deyişle niceliklendirilmesi betimsel istatistiği açıklar. Verilerin sınıflandırılması, sınıf toplamları veya tekrarlanma sayıları, ortalamaları, saçılım (yayılım) değerleri, veri sınıfları arasındaki ilişki (korelasyon) değerleri, bunlara ait çizelge ve grafik gösterimler betimsel istatistiğin uygulama örnekleridir. Analiz sürecinin olasılık kuramından bağımsız ilerlermesi betimsel istatistiğin ayırtkan özelliğidir. Betimsel istatistik için kullanılan analiz teknikleri değişik biçimlerde sınıflandırılabilir. Değişken sayılarına göre analiz araçları ve bazı örnekler aşağıdaki gibi sıralanabilir: Tek değişkenli (univaryat) Çizelgeler: sayım, frekans (sıklık) Grafik ve çizgeler: çubuk, pasta, ağaç, histoğram Merkezsel konum araçları: ortalama, mod, ortanca (medyan) Yayılım ve saçılım (sapma) ölçütleri: varyans, standart sapma, çarpıklık, basıklık İki değişkenli (bivaryat) Çapraz çizelgeler Saçılım haritaları Bağımlılık ölçütleri (korelasyon, kovaryans) Çok değişkenli (multivaryat) Korelasyon matrisleri Regresyon analizleri

10 6 GİRİŞ Betimsel istatistik örneği olarak, bir öğrenci grubunun belirli bir dersteki başarısı açıklayıcı bir bilgi olarak değerlendirilebilir. Sınav notlarının ortalaması bir başarı göstergesidir. Türkiye İstatistik Kurumu (http://www.tuik.gov.tr) tarafından toplanan ve yıllık bazda yayımlanan verilerin tümü (çizelge, grafik vb.) açıklayıcı istatistik niteliğindedir. Örneğin, yılları arasında Türkiye de gerçekleşen sera gazı emisyon (salınım) verileri hem çizelge (Çizelge 1.1) hem de şekil (Şekil 1.2) olarak sunulabilir. Atmosferde sera etkisi yaratan bu gazların yıllık rakamlar üzerinden toplam emisyon içindeki ortalama payları (merkezsel konumları) pasta dilimleriyle Şekil 1.3 deki gibi gösterilebilir. Çizelge 1.1: yılları arasında Türkiye nin sera gazı emisyon değerleri (Kaynak: TÜİK, birim: milyon ton CO 2 eşdeğeri) Yıl CO 2 CH 4 N 2 O F Gazları Toplam Çıkarımsal istatistik Çıkarımsal istatistik, örneklemden elde edilen (betimsel) istatistiksel sonuçları kullanarak anakütle hakkında yargıda bulunmayı amaçlar. Gözlem altına alınan anakütlenin beklenen davranışı hakkında bir yargıda bulunabilmek için bir dizi işlem yürütülür. Betimsel istatistik analiziyle türetilmiş ortalama, standart sapma, korelasyon vb. değerler temel veri olarak kullanılır. Bu bilgilere dayanarak anakütle için bir hipotez (varsayım) ileri sürmek ilk aşamadadır. Olasılık dağılımları

11 İstatistik Türleri Emisyon (milyon ton CO2 eşdeğeri) F Gazları N 2 O CH 4 CO Yıl Şekil 1.2: Yıllara göre Türkiye nin sera gazı emisyonu değişimi (Kaynak: TÜİK) kullanılarak hipotezler testlerden geçirilir ve sonuç olarak geleceğe ilişkin bir öngörülerde bulunulur. Gerektiğinde bu işlem değişik veri grupları arasındaki ilişkilerin tanımlanması ve buradan model üretilmesine (regresyon analizi) doğru götürülebilir. Bütün bu süreçler çıkarımsal istatistik başlığı altında ele alınır. Bu haliyle bilim, mühendislik ve üretim sektörü çıkarımsal istatiği en çok kullananların başında gelir. Neden sonuç ilişkisi en iyi biçimde çıkarımsal istatistikle açıklanabilir. Jeodezik uygulamalarda atmosferik olayların doğrultu, düşey açı, elektro-manyetik dalgalar (örneğin GNSS sinyalleri) üzerindeki etkilerinin araştırılması, uyuşumsuz ölçülerin analizi, deformasyon analizinde noktasal yer değiştirmelerin deformasyon sayılıp CO 2 %76.26 F Gazları %0.64 CH 4 %17.72 N 2 O %5.39 Şekil 1.3: Sera gazlarının yıllık ortalama emisyon oranları (Kaynak: TÜİK)

12 8 GİRİŞ sayılamayacağı, koordinat dönüşümlerinde nokta uyuşum testleri, dengeleme hesabında kestirilen parametrelerin güven ve anlamlılık düzeyleri çıkarımsal istatistiğin en çok karşılaşılan örnekleridir.

13 2.1 Giriş Bölüm 2 TEMEL OLASILIK Rasgele olayların deney sonuçları üzerindeki etkileri belli olasılık değerleri göz önüne alınarak değerlendirilir (bkz. [1.3.2]). Bilim ve mühendislik uygulamalarında bunun en basit örneklerini güven aralığı hesaplamaları oluşturur. İstatistiksel bir çalışmanın kestirilmiş bazı parametrelerine (örneğin ortalama ve saçılım değerlerine) bakılarak, sonuçların güvenirliği hakkında yorum yapılabilir. Olasılık hesaplarının uygulama bulduğu alanlardan bir başkası şans oyunlarıdır. Şans oyunlarının tamamen raslantısal olaylar üzerine kurgulanması, olasılık kuramına ilişkin örneklerin neden bu tür uygulamalardan seçildiğine en iyi cevaptır. Sırasıyla, sayılabilir ve sayılamayan örneklem uzaylarını kullanan ayrık ve sürekli olasılık dağılımları, olasılık kuramının temel özelliklerinin anlaşılmasında anahtar rol oynarlar. Bu bölümde olasılık kuramı açısından rasgele olaylar, rasgele değişkenler ve onların beklenen değerleriyle, sonuçların dağılım özellikleri ele alınacaktır. 2.2 Olasılığın İki Tanımı Deneysel bir çalışmada ardışık gözlemlerin yakın değerler olarak tekrar etmesi belli fiziksel ve geometrik yasaların sonucudur. Bu yasalar aynı girdi verileriyle aynı sonuçları verirler. Gerçekte gözlem değerlerinin benzerliği belirli bir mertebeye kadardır ve genellikle ölçme sisteminin yeteneğiyle ilişkilidir. Ölçülen büyüklüklerdeki tekrar eden rakamlar dış etkenlerin kontrol edilebildiği

14 10 TEMEL OLASILIK (deterministik) kesimi temsil eder. Geriye kalan kesim ise tek bir ölçü için değişkenliği (büyüklüğü ve işareti) önceden kestirilemeyen, ancak kitlesel olarak davranışı bilinen rasgele (stokastik) süreçlerle açıklanır. İnsana ait hatalardan arındırılmış, en gelişmiş teknolojinin kullanıldığı ölçme sistemlerinde bile stokastik büyüklükler kaçınılmaz olarak gözlem değerlerinde kendilerini belli ederler. Ölçme uygulamarında gözlenen büyüklükler, bir yere kadar kontrol altında tutulabilir. Özetle, kusursuz veya mükemmel ölçü yoktur. Bu özellikleriyle ölçüler, şans oyunlarındaki raslantısallıkla bire bir benzer davranış gösterirler. Sonuç olarak, deneysel bir çalışmanın değişkenlerinin alacağı değerlerin, zar atışından farkı yoktur denilebilir. Çevresel koşulların aynı kaldığı deneysel bir çalışmada, tekrarlı gözlemler birbirinden farklı raslantısal değerler alıyorsa bu tür deneylere rastgele deneyler denir. Rasgele deneylerin olası tüm sonuçları bir küme (uzay) ile tanımlanır. Buradan itibaren örneklem uzayı S sembolü ile gösterilecektir. Örneklem uzayının elemanları sözel olabileceği gibi bu küme her biri için atanmış sayıları da içerebilir. Küme elemanları sayılabilir (sonlu ya da sonsuz) veya sayılamaz nitelikte olur. Rasgele deneyler ve örneklem uzayları aşağıda bazı örnekler verilmektedir. Örnek 2.1 Bir para atışında, deney sonucu tura T (1) ya da yazı Y (0) ile sonuçlanır. Buna göre para atışı oyununun küme elemanları, olarak gerçekleşir (sonlu sayılabilir). Örnek 2.2 S = {0,1} veya S = {Y,T} Para atışı iki kez yapılsın. Sembolik veya sayısal olarak, S = {YY,YT,TY,TT} veya S = {0,1,2,3} küme elemanlarıyla ifade edilen 4 sonuçtan biriyle karşılaşılır (sonlu sayılabilir). Örnek 2.3 Zar atışında deney sonucunu oluşturan küme elemanları (sonlu sayılabilir): S = {1,2,3,4,5,6} Örnek 2.4 Bir oyun parkında roket oyunu için boy cetveli testi uygulansın (sonlu sayılabilir): S = {kısa, uzun} veya S = {0,1}

15 Olasılığın İki Tanımı 11 Örnek 2.5 Sonucu doğal sayılar kümesi, olan deney (sonsuz sayılabilir). Örnek 2.6 N = {0,1,2,...} Bir hedefe yapılan 10 doğrultu gözleminin aritmetik ortalaması (sonsuz sayılamaz): S = {0 g t < 400 g } Yukarıda verilen örneklerden anlaşılacağı üzere herhangi bir deneyin olası tüm çıktıları önceden bilinebilmektedir. Para atışında tura gelme olasılığı eşit yazı gelme olasılığı da hesaba katıldığında 1/2 olacaktır. Benzer şekilde zar atışında üç gelme olasılığı 1/6, tek sayı gelme olasılığı 1/2 olacaktır. Olasılığın geleneksel tanımına göre; bir deneyin karşılıklı olarak dışarmalı (mutually exclusive) ve eşit olasılıklı n farklı çıktısı varsa, sayısı n A olan bir olayın gerçekleşme olasılığı, eşitliğinden hesaplanabilir. P(A) = n A n (2.1) Yukarıdaki kuramsal sonuca deneysel yolla ulaşmak mümkündür. Para veya zarın hilesiz, tekrar atışların eşit koşullar altında yapılması durumunda, herhangi bir A olayının gerçekleşme sayısı tüm atışların sayısına bölünerek bağıl tekrarlanma sayısı, h(a) = n A n (2.2) elde edilir. h(a) değerine, geçmişte gözlenmiş olayların sıklığına dayandığından olasılığın frekans açıklaması gözüyle bakılır. P(A) ve h(a) değerleri birbirine eşit çıkması beklenen büyüklüklerdir. Deney sayısı arttıkça sonuçların birbirine daha da yaklaştığı görülür. Buna sonuca göre; A olayının gerçekleşme olasılığı P(A), bağıl tekrarlanma sayısının limit durumudur: P(A) = lim h(a) (2.3) n (2.3) ten, bir olayın olasılığı, bağıl tekrarlanma sayılarına bakılarak tanımlanabileceği anlaşılmalıdır. Ancak, pratikte deney sayısının sonlu oluşu ve kuramsal olasılık değerlerine sadece sonsuzda ulaşılabilmesi, tanım için bu yöntemin tercih edilmesini zora sokar. Bu yüzden olasılık tanımları ve önermeleri daha çok kuramsal olasılık sonuçları için geçerlidir. Örnek 2.7

16 12 TEMEL OLASILIK Bir hastanedeki doğum kayıtlarına göre Ocak ayında 68 erkek, 71 kız bebek dünyaya gelmiştir. Bu verilere göre, erkek ve kız çocuk meydana gelme olasılıkları, sırasıyla h(e) = = 0.489, h(k) = = dir. Olasılık hesabı, 0 ve 1 arasındaki değerlerle sonuçlanır. Bazı durumlarda bu sonuçlar yüzdesel karşılıklarıyla da verilebilmektedir: son örnek için erkek ve kız çocuk dünyaya gelme olasılıklarının %48.9 ve %51.1 olması gibi. 2.3 Rasgele olaylar için cebirsel işlemler Rasgele deneyin olası tüm sonuçlarını içeren S kümesine örneklem uzayı, bu deneyin çıktısına ya da S kümesinin elemanlarından birine örneklem veya elementer olay adı verilir. Örneklem uzayının elemanlarıyla oluşturulmuş (alt)küme bir olayın karşılığıdır. Buna göre; {1,3,5} kümesi zar atışında tek sayı gelme olayının elemanlarıdır. Örneklem uzayının herhangi bir alt kümesi A, rasgele olay veya kısaca olay olarak tanımlanır: A S. Gerçekleşmesi mümkün olmayan olay için alt küme A =, boş kümedir. S örneklem uzayında her hangi iki rasgele olaya karşılık gelen alt kümeler A ve B olsun. A ve B, yeni rasgele olayları türetmek için kullanılabilir. Şekil 2.1 de görüldüğü gibi, Venn diyagramlarıyla gösterilebilen birleşim ( ), kesişim ( ), değil ( ) ve fark ( ) işlemleri olaylar cebri adı verilen matematik yöntemi tanımlar: A B, A ve B olaylarının birleşimi anlamındadır; her iki kümenin sonuçlarını içerir. Mantık işlemlerinde veya operatörünün karşılığıdır. A B, A ve B olaylarının kesişimi anlamındadır; her iki kümenin ortak sonuçlarını içerir. Mantık işlemlerinde ve operatörünün karşılığıdır. Ã, A olayının dışındaki sonuçları ifade eder. Mantık işlemlerinde değil operatörünün karşılığıdır. B A, B nin A da olmayan sonuçlarını kapsar. S A biçiminde yazılırsa, Ã işlemine dönüşür (Şekil 2.1). Örnek 2.8

17 Rasgele olaylar için cebirsel işlemler 13 Zar atışı için rasgele olaylar A = {1,2,3,5} ve B = {3,4,5,6} verilsin. Cebirsel olaylar, A B = {1,2,3,4,5,6} A B = {3,5} Ã = S A = {4,6} B = S B = {1,2} A B = {1,2} B A = {4,6} A B B A = {1,2,4,6} A A A B B S A A veya B (birleşim) A ve B (kesişim) A hariç (değil) B hariç (değil) B hariç A (fark) A hariç B (fark) A ve B karşılıklı dışarmalı A B Ã B = B A A B S A A B B A B B B S S Ã = S A S Şekil 2.1: S örneklem uzayında rasgele olaylar (A, B S) için cebirsel işlemler

18 14 TEMEL OLASILIK A ve B olaylarına karşılık gelen kümelerde herhangi bir eşleşme yoksa yani küme işleminden A B = sonucu çıkıyorsa, bu olaylar karşılıklı olarak dışarmalıdır denir. A 1,A 2,,A n olaylarınınkarşılıklıdışarmalıolmasıiçinbuözelliğinherhangiikiçift için de geçerli olması gerekir Temel Olasılık Önermeleri S örneklem uzayı üzerinden açıklanan her olay A ve onun olasılığını gösteren sayı P(A) olsun. Aşağıdaki temel önermeler (aksiyomlar) kanıt gerektirmeksizin her zaman geçerlidir: Önerme 2.1 A nın olasılık değeri, artı tanımlıdır. Önerme 2.2 S olması kesin olaydır: P(A) 0 (2.4) P(S) = 1 (2.5) Önerme 2.3 A 1,A 2,...,A n karşılıklı olarak dışarmalı olaylar dizisi ise birleşimlerinin olasılığı, ayrı ayrı olasılıklarının toplamına eşittir: P(A 1 A 2 A n ) = n P(A i ) = P(A 1 )+P(A 2 )+ +P(A n ) (2.6) i=1 Yukarıdaki temel önermelere dayanılarak ileride yararlanmak üzere bazı teoremler ileri sürülebilir. Teorem 2.1 A olayının gerçekleşmeme olasılığı, ile hesaplanır. P(Ã) = 1 P(A) (2.7) Kanıt: A olayının gerçeklememesi bu kümenin dışındakileri à = S A ilgilendirir (sonuçlar Akümesinin dışından çıkar). Karşılıklı olarak dışarmalı Ave Ãolaylarının toplamları S örneklem uzayını oluşturduğundan yukarıdaki temel önermeler göz önüne alındığında (2.7) çıkar.

19 Rasgele olaylar için cebirsel işlemler 15 Teorem 2.2 A veya B olaylarının (birleşim) olasılığı, dir. Kanıt: Şekil 2.1 e göre; P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) (2.8) P(A B) = P(A B)+P(A B)+P(Ã B) P(A) = P(A B)+P(A B) P(B) = P(A B)+P(Ã B) P(A)+P(B) = P(A B)+P(Ã B)+2P(A B) eşitlikleri yazılabilir. Son eşitlikte sağ ve soldaki terimlerden P(A B) çıkarılırsa, elde edilir. Örnek 2.9 P(A)+P(B) P(A B) = P(A B)+P(Ã B)+P(A B) = P(A B) Okey taşları arasından rasgele bir seçim yapıldığı varsayılsın. Taşın sarı renkli veya 13 olma olasılığını hesaplayalım. 1 den 13 e kadar 4 renk ve çift seri taşların sayısı 104 tür (joker taşlar hariç). Buradan seçilen taşın, P(13) = 8/ olasılığı P(sarı) = 26/104 sarı renk olasılığı P(13 sarı) = 2/104 bulunduğundan 13 veya sarı taş olasılığı, çıkar. 13 ve sarı renk olasılığı P(13 sarı) = P(13)+P(sarı) P(13 sarı) = = = 4 13 Teorem 2.3 A 1, A 2 ve A 3 olaylarının birleşimi, P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 ) P(A 1 A 2 ) P(A 1 A 3 ) ile elde edilir. Teorem 2.4 Her A olayı için, P(A 2 A 3 )+P(A 1 A 2 A 3 ) (2.9) 0 P(A) 1 (2.10) eşitsizliği geçerlidir. Burada P(A) = 0 olanaksız olayın (A = ), P(A) = 1 kesin olayın (A = S) olasılığıdır. Kanıt: Önerme (2.4) ve Teorem (2.7).

20 16 TEMEL OLASILIK Koşullu Olasılık Örnek 2.10 İki kez atılan para için örneklem uzayı S = {TT,TY,YT,YY} dır. İki atışın da tura gelme olayı A = {TT} ve olasılığı P(A) = 1/4 tür. Buna karşın atışlardan birinin tura olduğu önceden biliniyorsa, B = {TT,TY,YT} olayı ile karşı karşıyayızdır. A B = {TT} olduğuna göre, B den A olayının çıkma olasılığı 1/3 tür. Verilen örneği dikkate alacak olursak, daha önce gerçekleşmiş (önsel) bir olaya ilişkin bilginin olasılık hesabında kullanılması durumu söz konusudur. Olasılık hesabında böylesi uygulamalar, koşullu olasılık adı altında incelenir. Koşullu olasılık hesabı birbirine bağımlı iki olayı gerektirir. A ve B iki olay olsun. Daha önce B nin bilinen gerçekleşmesi içinde (P(B) > 0 koşuluyla) A nın olasılığı P(A B) ile gösterilir. Küme işlemleri üzerinden bu değere, P(A B) = P(A B) P(B) (2.11) işlem sonucu ile ulaşılır. Genel olarak bilinen B için A nın koşullu olasılığı P(A B), bilinen A için B nin koşullu olasılığından P(B A) farklıdır. Örnek 2.11 Bir zar atışında gelen sayının 4 ten küçük olma olasılığını hesaplayalım. a) Başka bilgi verilmemiş olsun. b) Atışın tek sayı ile sonuçlandığı biliniyor olsun. a) A, 4 ten küçük gelme olayını göstersin: A = {1,2,3}. Bu durumda A nin olasılığı (her bir örneklemin eşit olasılığa sahip olduğu düşünülerek), çıkar. P(A) = P(1)+P(2)+P(3) = 1/6+1/6+1/6 = 3/6 = 1/2 b) Gelen sayının tek sayı olduğu biliniyorsa, başka bir deyişle B = {1,3,5} ise, ve koşullu olasılık, elde edilir. A B = {1,3} P(A B) = 2/6 P(A B) = P(A B) = 2/6 P(B) 3/6 = 2/ Bağımsız Olaylar A ve B olayları için, P(A B) = P(A) (2.12)

21 İleri Sayım Teknikleri 17 eşitliğinin geçerli olduğu olaylar dizisinde, A nın gerçekleşmesinin B den etkilenmediği söylenebilir. Buna göre A ve B bağımsız olaylardır deriz. P(A B) = P(A)P(B) (2.13) bağımsız A ve B olaylarının gerçekleşme olasılığını verir. Örnek 2.12 Tavla oyuncusunun zarları atışı bağımsız iki olayı işaret eder. Düşeş (6,6) gelme olasılığı 1 bu bağımsız olaylardan hesaplanabilir: = 1 36 A 1,A 2,A 3 olayları bağımsız, başka bir deyişle, P(A i A j ) = P(A i ) i j (i,j = 1,2,3) (2.14) eşitliğini sağlıyorsa üçünün de aynı olay altında gerçekleşme olasılığı, eşitliğiyle hesaplanır Bayes Kuramı P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 ) (2.15) Birleşimleri örneklem uzayının alt kümesini oluşturan A 1,A 2,A 3, A n in karşılıklı olarak dışarmalı olaylar olduğunu varsayalım. Teorem 2.5 Herhangi bir önsel A olayının gerçekleşmesinin (P(A) > 0) sonucuna bağlı A 1,A 2,,A n olaylarının olasılıkları Bayes Kuralı, yardımıyla belirlenir. P(A i A) = P(A i )P(A A i ) n j=1 P(A j)p(a A j ) (2.16) Bayes teoremi birden fazla koşullu olasılık değerleri arasındaki ilişkiyi açıklar. (2.16) ile P(A B) ve P(B A) ile birbirine dönüştürülebilir büyüklükler haline gelir: P(A B) = P(A)P(B A) P(B) (2.17) 2.4 İleri Sayım Teknikleri Bir örneklem uzayı genellikle sayılabilir sonlu sayıda eleman içerir. Eleman sayısının küçük olduğu durumlarda, olasılık hesaplamak için seçenekleri sıralamak

22 18 TEMEL OLASILIK zor değildir. Eleman sayısının artmasıyla seçenekleri sıralamak veya saymak zorlaşır. Örneğin 0 dan 9 a kadar olan sayılar kaç değişik biçimde sıralanabilir sorusunun cevabını, saymak yerine seçenekleri faktöriyel hesabı ile bulmak daha kolaydır: 10! = Sayım işleminin belli kuramlara dayandırıldığı matematik dalına katışımsal analiz (kombinatoryal analiz, İngilizce combinatorial analysis) adı verilir. Faktöriyel, perpütasyon, kombinasyon varyasyon gibi ileri sayım teknikleri büyük örneklem sayısına sahip veri kümeleri için karmaşık olasılık hesapları yapmanın en etkili araçlarıdır Ağaç Çizgeleri A 1,A 2,...,A k birbirinden bağımsız olaylar, n 1,n 2,...,n k sırasıyla eleman sayıları olsun. k sayıdaki ardışık olayın gerçekleşmesiyle ortaya çıkacak seçeneklerin sayısı, n 1 n 2 n 3 n k (2.18) eleman sayılarının çarpımı ile bulunur. Örneklem değerleri sürekli aynı kümeden çıkıyorsa ya da aynı bağımsız olayın k kez tekrarlanması söz konusu ise bu durumda seçenek sayısı, n n n (k kez) = n k (2.19) olur. Bir zarın ya da paranın k sayıda atılması buna örnektir. Örnek 2.13 Bir dondurmacıdan değişik dondurma ve sos seçenekleriyle sipariş vermek isteyelim. Bağımsız olaylar, Kremalı dondurma grubu K = {Sütlü, Kakaolu} Meyveli dondurma grubu M = {Karadut, Vişne, Limon} Sos grubu S = {Çikolata, Böğürtlen} örneklem kümeleri ile verilsin. Her örneklem kümesinden birer seçim yapılarak verilebilecek siparişlerin sayısı = 12 dir. Örnek 2.14 Bir paranın üç kez arka arkaya atılmasıyla elde edilebilecek sonuçların sayısı = 2 3 = 8 dir. Ardışık olaylar dizisine ait seçeneklerin ve olasılıkların belirlenmesinde ağaç çizgeleri (zaman zaman olasılık çizgeleri de denilmektedir), hem problemin anlaşılmasını hem de hesap kolaylığı sağlar. Örnek 2.13, bir ağaç çizgesi (Şekil 2.2) yardımıyla da gösterilebilir. Benzer şekilde üç kez tekrarlanan para atışı için Şekil 2.3 te görülen seçenekler ve olasılıkları ortaya çıkar.

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37 İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar

Detaylı

Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Mühendislikte İstatistik Yöntemler .0.0 Mühendislikte İstatistik Yöntemler İstatistik Parametreler Tarih Qma.3.98 4..98 0.3.983 45 7..984 37.3.985 48 0.4.986 67.4.987 5 0.3.988 45.5.989 34.3.990 59.4.99 3 4 34 5 37 6 45 7 45 8 48 9 5 0

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri. BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014

Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri. BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014 Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014 1 Konum ölçüleri Merkezi eğilim ölçüleri Verilerin ortalamaya göre olan gruplanması nasıl?

Detaylı

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN Tanımlayıcı İstatistikler Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 Tanımlayıcı İstatistikler Yer Gösteren Ölçüler Yaygınlık Ölçüleri Merkezi Eğilim Ölçüleri Konum Ölçüleri 2 3 Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama,

Detaylı

0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk

Detaylı

Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri

Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri Soru Öğrencilerin derse katılım düzeylerini ölçmek amacıyla geliştirilen 16 soruluk bir test için öğrencilerin ilk 8 ve son 8 soruluk yarılardan aldıkları puanlar arasındaki

Detaylı

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.

Detaylı

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları KAVRAMLAR Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları Deney: belirli koşullar altında tekrarlanabilen ve her tekrarda farklı sonuçlar elde edilebilen işlemdir. Örneklem uzayı: bir denemenin tüm olası

Detaylı

İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ

İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ GÖZDEN GEÇİRİLMESİ Hüseyin Taştan Yıldız Teknik Üniversitesi, İktisat Bölümü, email: tastan@yildiz.edu.tr YTÜ-İktisat İstatistik

Detaylı

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Tanımlayıcı İstatistikler ve Grafikle Gösterim Grafik ve bir ölçüde tablolar değişkenlerin görsel bir özetini verirler. İdeal olarak burada değişkenlerin merkezi (ortalama) değerlerinin

Detaylı

KARŞILAŞTIRMA İSTATİSTİĞİ, ANALİTİK YÖNTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI, BİYOLOJİK DEĞİŞKENLİK. Doç.Dr. Mustafa ALTINIŞIK ADÜTF Biyokimya AD 2005

KARŞILAŞTIRMA İSTATİSTİĞİ, ANALİTİK YÖNTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI, BİYOLOJİK DEĞİŞKENLİK. Doç.Dr. Mustafa ALTINIŞIK ADÜTF Biyokimya AD 2005 KARŞILAŞTIRMA İSTATİSTİĞİ, ANALİTİK YÖNTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI, BİYOLOJİK DEĞİŞKENLİK Doç.Dr. Mustafa ALTINIŞIK ADÜTF Biyokimya AD 2005 1 Karşılaştırma istatistiği Temel kavramlar: Örneklem ve evren:

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

MOMENTLER, ÇARPIKLIK VE BASIKLIK. Moment: Bir değişkenin gözlemleri X 1, X 2, X 3, X 4.X n olsun. Bu serinin r inci momenti:

MOMENTLER, ÇARPIKLIK VE BASIKLIK. Moment: Bir değişkenin gözlemleri X 1, X 2, X 3, X 4.X n olsun. Bu serinin r inci momenti: MOMENTLER, ÇARPIKLIK VE BASIKLIK Moment: Bir değişkenin gözlemleri X 1, X 2, X 3, X 4.X n olsun. Bu serinin r inci momenti: İşletme no 1 2 3 4 5 Arazi genişliği (da) 5 10 4 3 8 Aritmetik ortalamaya göre

Detaylı

altında ilerde ele alınacaktır.

altında ilerde ele alınacaktır. YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmin Yöntemleri 1 NOKTA TAHMİN YÖNTEMLERİ Şimdiye kadar verilmiş tahmin edicilerin sonlu örneklem ve asimptotik özelliklerini inceledik. Acaba bilinmeyen anakütle parametrelerini

Detaylı

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız.

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. Örnek Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. i. ii. X 1 2 3 4 1 2 3 4 Y 2 3 4 5 4 3 2 1 Örnek Aşağıdaki veri

Detaylı

DENEY 0. Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı

DENEY 0. Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı DENEY 0 Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı Amaç: Ölçüm metodu ve cihazına bağlı hata ve belirsizlikleri anlamak, fiziksel bir niceliği ölçüp hata ve belirsizlikleri tespit etmek, nedenlerini açıklamak. Genel

Detaylı

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01 Ortak Varyans ve İstatistiksel Bağımsızlık Bir rassal değişken çifti istatistiksel olarak bağımsız ise aralarındaki ortak varyansın değeri 0 dır. Ancak ortak varyans değerinin 0 olması, iki rassal değişkenin

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir, 14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.

Detaylı

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz...

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... 1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... CABİR VURAL BAHAR 2006 Açıklamalar

Detaylı

KADASTRO HARİTALARININ SAYISALLAŞTIRILMASINDA KALİTE KONTROL ANALİZİ

KADASTRO HARİTALARININ SAYISALLAŞTIRILMASINDA KALİTE KONTROL ANALİZİ KADASTRO HARİTALARININ SAYISALLAŞTIRILMASINDA KALİTE KONTROL ANALİZİ Yasemin ŞİŞMAN, Ülkü KIRICI Sunum Akış Şeması 1. GİRİŞ 2. MATERYAL VE METHOD 3. AFİN KOORDİNAT DÖNÜŞÜMÜ 4. KALİTE KONTROL 5. İRDELEME

Detaylı

ÜNİTE ÜNİTE. RİSK YÖNETİMİ Doç. Dr. İbrahim Doğan İÇİNDEKİLER HEDEFLER KANTİTATİF RİSK DEĞERLENDİRME TEKNİKLERİ

ÜNİTE ÜNİTE. RİSK YÖNETİMİ Doç. Dr. İbrahim Doğan İÇİNDEKİLER HEDEFLER KANTİTATİF RİSK DEĞERLENDİRME TEKNİKLERİ HEDEFLER İÇİNDEKİLER KANTİTATİF RİSK DEĞERLENDİRME TEKNİKLERİ Giriş İstatiksel Kavramlar Olasılık Şartlı Olasılık Rassal Değişken Beklenen Değer Varyans Histogram Kantitatif Risk Değerlendirme Teknikleri

Detaylı

SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS)

SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) YÖNTEMİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge

Detaylı

Örneklem Dağılımları ve Merkezi Limit Teoremi

Örneklem Dağılımları ve Merkezi Limit Teoremi Örneklem Dağılımları ve Merkezi Limit Teoremi Çıkarımsal İstatistik (Inferential Statistics) : Örneklemden yola çıkarak ana kütleyle (popülasyonla) ilgili çıkarımlarda bulunmak (Smidt, 2001) İstatistiksel

Detaylı

ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME. Antrenörlük Eğitimi 4. Sınıf. Ölçme ve Değerlendirme - Yrd. Doç. Dr. Yetkin Utku KAMUK

ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME. Antrenörlük Eğitimi 4. Sınıf. Ölçme ve Değerlendirme - Yrd. Doç. Dr. Yetkin Utku KAMUK ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME Antrenörlük Eğitimi 4. Sınıf ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME Merkezi Eğilim Ölçütleri Mod En çok görülen puandır ve hesaplanma yöntemi yoktur. İnceleme yolu ile bulunur. Terminal istatistiktir.

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

SPSS E GİRİŞ SPSS TE TEMEL İŞLEMLER. Abdullah Can

SPSS E GİRİŞ SPSS TE TEMEL İŞLEMLER. Abdullah Can SPSS E GİRİŞ SPSS TE TEMEL İŞLEMLER SPSS in üzerinde işlem yapılabilecek iki ana ekran görünümü vardır. DATA VIEW (VERİ görünümü) VARIABLE VIEW (DEĞİŞKEN görünümü) 1 DATA VIEW (VERİ görünümü) İstatistiksel

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle harfi ile gösterilir.

Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle harfi ile gösterilir. BÖLÜM 3. OLASILIK ve OLASILIK DAĞILIMLARI Rasgele Sonuçlu Deney: Sonuçlarının kümesi belli olan, ancak hangi sonucun ortaya çıkacağı önceden söylenemeyen bir işleme Rasgele Sonuçlu Deney veya kısaca Deney

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

istatistik 4. Bir frekans dağılımına ilişkin birikimli seriler 1. Birimlerle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi

istatistik 4. Bir frekans dağılımına ilişkin birikimli seriler 1. Birimlerle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi 2010 S 4200- İstatistik sorulannın cevap l anmasında gerekli olabilecek t ablolar ve f ormüller bu kitapçığın sonunda verilmiştir. 1. Birimlerle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıstır? ) Maddesel

Detaylı

BÖLÜM-1.BİLİM NEDİR? Tanımı...1 Bilimselliğin Ölçütleri...2 Bilimin İşlevleri...3

BÖLÜM-1.BİLİM NEDİR? Tanımı...1 Bilimselliğin Ölçütleri...2 Bilimin İşlevleri...3 KİTABIN İÇİNDEKİLER BÖLÜM-1.BİLİM NEDİR? Tanımı...1 Bilimselliğin Ölçütleri...2 Bilimin İşlevleri...3 BÖLÜM-2.BİLİMSEL ARAŞTIRMA Belgesel Araştırmalar...7 Görgül Araştırmalar Tarama Tipi Araştırma...8

Detaylı

Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler.

Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler. Bölüm 2 OLASILIK TEORİSİ Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler. Rasgele değişken, gelecekteki bir gözlemde alacağı

Detaylı

2 Hata Hesabı. Hata Nedir? Mutlak Hata. Bağıl Hata

2 Hata Hesabı. Hata Nedir? Mutlak Hata. Bağıl Hata Hata Hesabı Hata Nedir? Herhangi bir fiziksel büyüklüğün ölçülen değeri ile gerçek değeri arasındaki farka hata denir. Ölçülen bir fiziksel büyüklüğün sayısal değeri, yapılan deneysel hatalardan dolayı

Detaylı

ĐSTATĐSTĐK. Okan ERYĐĞĐT

ĐSTATĐSTĐK. Okan ERYĐĞĐT ĐSTATĐSTĐK Okan ERYĐĞĐT Araştırmacı, istatistik yöntemlere daha işin başında başvurmalıdır, sonunda değil..! A. Bradford Hill, 1930 ĐSTATĐSTĐĞĐN AMAÇLARI Bilimsel araştırmalarda, araştırmacıya kullanılabilir

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

İstatistik Nedir? İstatistiğin Önemi Nedir? Tanımlayıcı ve Çıkarımcı İstatistik ttitik Tanımlayıcı İstatistik Türleri Çıkarımcı İstatistiğin i iği

İstatistik Nedir? İstatistiğin Önemi Nedir? Tanımlayıcı ve Çıkarımcı İstatistik ttitik Tanımlayıcı İstatistik Türleri Çıkarımcı İstatistiğin i iği İSTATİSTİK E GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR İstatistik Nedir? İstatistiğin Önemi Nedir? Tanımlayıcı ve Çıkarımcı İstatistik ttitik Tanımlayıcı İstatistik Türleri Çıkarımcı İstatistiğin i iği Elemanlarıl AMAÇ İstatistiğe

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir.

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir. OLASILIK Olasılık belirli bir olayın olabilirliğinin sayısal ölçüsüdür. Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. 17 yy. da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya

Detaylı

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN 1 Tek Örneklem İşaret Testi İşaret Testi parametrik olmayan prosedürler içinde en eski olanıdır. Analiz yapılırken serideki verileri artı ve

Detaylı

İSTATİSTİKSEL VERİ ANALİZİ

İSTATİSTİKSEL VERİ ANALİZİ İSTATİSTİKSEL VERİ ANALİZİ Prof. Dr. Gül ERGÜN Hacettepe Üniversitesi Kasım 2013 İstatistik Nedir? İSTATİSTİK Belirli bir konuda toplanan sayısal değerlerdir. Buna göre, 2012 yılında Türkiye de kayıtlı

Detaylı

χ =1,61< χ χ =2,23< χ χ =42,9> χ χ =59,4> χ

χ =1,61< χ χ =2,23< χ χ =42,9> χ χ =59,4> χ SORU : Ortalaması, varyansı olan bir raslantı değişkeninin, k ile k arasında değer alması olasılığının en az 0,96 olmasını sağlayacak en küçük k değeri aşağıdakilerden hangisidir? A),5 B) C) 3,75 D) 5

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-2 -Markov Zincirleri-

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-2 -Markov Zincirleri- YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-2 -Markov Zincirleri- Hazırlayan Yrd. Doç. Selçuk Üniversitesi Mühendislik Fakültesi - Endüstri Mühendisliği Bölümü Giriş Zaman içerisinde tamamen önceden kestirilemeyecek şekilde

Detaylı

NORMAL DAĞILIM. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına uyan rassal bir değişkense ve 'a gidiyorsa,

NORMAL DAĞILIM. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına uyan rassal bir değişkense ve 'a gidiyorsa, NORMAL DAĞILIM TEORİK 1., ortalaması, standart sapması olan bir normal dağılıma uyan rassal bir değişkense, bir sabitken nin beklem üreten fonksiyonunu bulun. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

BÖLÜM 1 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRMEDE TEMEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 1 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRMEDE TEMEL KAVRAMLAR İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRMEDE TEMEL KAVRAMLAR I. Öğretimde Ölçme ve Değerlendirmenin Gerekliliği... 2 II. Ölçme Kavramı... 3 1. Tanımı ve Unsurları... 3 2. Aşamaları... 3 2.1. Ölçülecek

Detaylı

Rasgele Sayı Üretme. Rasgele Sayıların Özellikleri. İki önemli istaiksel özelliği var :

Rasgele Sayı Üretme. Rasgele Sayıların Özellikleri. İki önemli istaiksel özelliği var : Rasgele Sayı Üretme Rasgele Sayıların Özellikleri İki önemli istaiksel özelliği var : Düzgünlük (Uniformity) Bağımsızlık R i, rasgele sayısı olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olan uniform bir

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

EĞĠTĠMDE ÖLÇME ve DEĞERLENDĠRME

EĞĠTĠMDE ÖLÇME ve DEĞERLENDĠRME EĞĠTĠMDE ÖLÇME ve DEĞERLENDĠRME Öğrenci başarısının veya başarısızlığının kaynağında; öğrenci, öğretmen, çevre ve program vardır. Eğitimde değerlendirme yapılırken bu kaynaklar dikkate alınmaz. Eğitimciler,

Detaylı

OLASILIK LASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık

OLASILIK LASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık 1-1 Click To Edit Master Title Style OLASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık Yrd.Doç.Dr Doç.Dr.. Pınar YILDIRIM Okan Üniversitesi Mühendislik ve Mimarlık Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü 1-2 GİRİŞ Olasılık,

Detaylı

Kullanılacak İstatistikleri Belirleme Ölçütleri. Değişkenin Ölçek Türü ya da Yapısı

Kullanılacak İstatistikleri Belirleme Ölçütleri. Değişkenin Ölçek Türü ya da Yapısı ARAŞTIRMA MODELLİLERİNDE KULLANILACAK İSTATİSTİKLERİ BELİRLEME ÖLÇÜTLERİ Parametrik mi Parametrik Olmayan mı? Kullanılacak İstatistikleri Belirleme Ölçütleri Değişken Sayısı Tek değişkenli (X) İki değişkenli

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

KONTROL TESTİ - 4. 1. Birinci galeride A markasından 4, B markasından 6 araç; ikinci geleride ise A markasından 8, B markasından 4 araç vardır.

KONTROL TESTİ - 4. 1. Birinci galeride A markasından 4, B markasından 6 araç; ikinci geleride ise A markasından 8, B markasından 4 araç vardır. KONTROL TESTİ - 4. Birinci galeride A markasından 4, B markasından 6 araç; ikinci geleride ise A markasından 8, B markasından 4 araç vardır. Bu galerilerden rastgele alınan bir aracın A markasından olduğu

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK OLASILIK

BİYOİSTATİSTİK OLASILIK BİYOİSTATİSTİK OLASILIK B Doç. Dr. Mahmut AKBOLAT *Küme Kavramı: Küme, tek bir isim altında toplanabilen ve benzer özellik gösteren birimlerin meydana getirdiği topluluk olarak tanımlanabilir. Küme içinde

Detaylı

Ders 1 Minitab da Grafiksel Analiz-I

Ders 1 Minitab da Grafiksel Analiz-I ENM 5210 İSTATİSTİK VE YAZILIMLA UYGULAMALARI Ders 1 Minitab da Grafiksel Analiz-I İstatistik Nedir? İstatistik kelimesi ilk olarak Almanyada devlet anlamına gelen status kelimesine dayanılarak kullanılmaya

Detaylı

OLASILIK ve İSTATİSTİK Hipotez Testleri

OLASILIK ve İSTATİSTİK Hipotez Testleri OLASILIK ve İSTATİSTİK Hipotez Testleri Yrd.Doç.Dr. Pınar YILDIRIM Okan Üniversitesi Mühendislik ve Mimarlık Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Hipotezler ve Testler Hipotez, kitleye(yığına) ait

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

UYGULAMA 4 TANIMLAYICI İSTATİSTİK DEĞERLERİNİN HESAPLANMASI

UYGULAMA 4 TANIMLAYICI İSTATİSTİK DEĞERLERİNİN HESAPLANMASI 1 UYGULAMA 4 TANIMLAYICI İSTATİSTİK DEĞERLERİNİN HESAPLANMASI Örnek 1: Ders Kitabı 3. konuda verilen 100 tane yaş değeri için; a. Aritmetik ortalama, b. Ortanca değer, c. Tepe değeri, d. En küçük ve en

Detaylı

Rastlantı Değişkenleri

Rastlantı Değişkenleri Rastlantı Değişkenleri Olasılık Kütle Fonk. Example: A shipment of 8 similar microcomputers to a retail outlet contains 3 that are defective. If a school makes a random purchase of 2 of these computers,

Detaylı

Merkezi Eğilim Ölçüleri

Merkezi Eğilim Ölçüleri Merkezi Eğilim Ölçüleri 1) Parametrik merkezi eğilim ölçüleri Serinin bütün birimlerinden etkilenen merkezi eğilim ölçüleridir. 1) Aritmetik ortalama 2) Geometrik ortalama (G) 3) Harmonik ortalama (H)

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI .. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,;

Detaylı

İÇİNDEKİLER İÇİNDEKİLER KODLAB

İÇİNDEKİLER İÇİNDEKİLER KODLAB İÇİNDEKİLER IX İÇİNDEKİLER 1 GİRİŞ 1 Kitabın Amacı 1 Algoritmanın Önemi 2 Bilgisayarın Doğuşu ve Kullanım Amaçları 3 Programlama Dili Nedir? 3 Entegre Geliştirme Ortamı (IDE) Nedir? 4 2 ALGORİTMA VE AKIŞ

Detaylı

Simülasyonda İstatiksel Modeller

Simülasyonda İstatiksel Modeller Simülasyonda İstatiksel Modeller Amaç Model-geliştirici dünyaya deterministik değil olasıksal olarak bakar. İstatiksel modeller değişimleri iyi tanımlayabilir. İlgilenilen olayın örneklenmesi ile uygun

Detaylı

K-S Testi hipotezde ileri sürülen dağılımla örnek yığılmalı dağılım fonksiyonunun karşılaştırılması ile yapılır.

K-S Testi hipotezde ileri sürülen dağılımla örnek yığılmalı dağılım fonksiyonunun karşılaştırılması ile yapılır. İstatistiksel güven aralıkları uygulamalarında normallik (normal dağılıma uygunluk) oldukça önemlidir. Kullanılan parametrik istatistiksel tekniklerin geçerli olabilmesi için populasyon şans değişkeninin

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

Veri Ağlarında Gecikme Modeli

Veri Ağlarında Gecikme Modeli Veri Ağlarında Gecikme Modeli Giriş Veri ağlarındaki en önemli performans ölçütlerinden biri paketlerin ortalama gecikmesidir. Ağdaki iletişim gecikmeleri 4 farklı gecikmeden kaynaklanır: 1. İşleme Gecikmesi:

Detaylı

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d)

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d) Ders 10 Metindeki ilgili bölümler 1.7 Gaussiyen durum Burada, 1-d de hareket eden bir parçacığın önemli Gaussiyen durumu örneğini düşünüyoruz. Ele alış biçimimiz kitaptaki ile neredeyse aynı ama bu örnek

Detaylı

DERS 3 ÖLÇÜ HATALARI Kaynak: İ.ASRİ

DERS 3 ÖLÇÜ HATALARI Kaynak: İ.ASRİ Ölçme Bilgisi DERS 3 ÖLÇÜ HATALARI Kaynak: İ.ASRİ Çizim Hassasiyeti Haritaların çiziminde veya haritadan bilgi almada ne kadar itina gösterilirse gösterilsin kaçınılmayacak bir hata vardır. Buna çizim

Detaylı

Üç Boyutlu Serpilme (Saçılım) Grafikleri

Üç Boyutlu Serpilme (Saçılım) Grafikleri Üç Boyutlu Serpilme (Saçılım) Grafikleri 3D Scatterplot of boy vs kol vs bacak 90 boy 0 70 0 90 70 00 0 bacak 0 0 90 kol 3D Scatterplot of kol vs omuz vs kalca 90 kol 0 70 00 kalca 0 0 0 0 00 omuz Merkez

Detaylı

Olasılığa Giriş Koşullu Olasılık Bayes Kuralı

Olasılığa Giriş Koşullu Olasılık Bayes Kuralı Olasılığa Giriş Koşullu Olasılık Bayes Kuralı Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı Olasılığa Giriş Bundan önceki bölümlerde veri setini özetleyen,

Detaylı

26.12.2013. Farklı iki ilaç(a,b) kullanan iki grupta kan pıhtılaşma zamanları farklı mıdır?

26.12.2013. Farklı iki ilaç(a,b) kullanan iki grupta kan pıhtılaşma zamanları farklı mıdır? 26.2.23 Gözlem ya da deneme sonucu elde edilmiş sonuçların, raslantıya bağlı olup olmadığının incelenmesinde kullanılan istatistiksel yöntemlere HĐPOTEZ TESTLERĐ denir. Sonuçların raslantıya bağlı olup

Detaylı

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 MC www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I 1. Ankra'dan Đstanbul'a giden 10 farklı otobüs, Đstanbul'- dan Edirne'ye giden 6 farklı

Detaylı

Beklenti Anketi ne İlişkin Yöntemsel Açıklama

Beklenti Anketi ne İlişkin Yöntemsel Açıklama Beklenti Anketi ne İlişkin Yöntemsel Açıklama İstatistik Genel Müdürlüğü Reel Sektör Verileri Müdürlüğü İçindekiler I- Amaç... 3 II- Kapsam... 3 III- Yöntem... 3 IV- Tanımlar ve Hesaplamalar... 3 V- Yayımlama...

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

GİRİŞ. Bilimsel Araştırma: Bilimsel bilgi elde etme süreci olarak tanımlanabilir.

GİRİŞ. Bilimsel Araştırma: Bilimsel bilgi elde etme süreci olarak tanımlanabilir. VERİ ANALİZİ GİRİŞ Bilimsel Araştırma: Bilimsel bilgi elde etme süreci olarak tanımlanabilir. Bilimsel Bilgi: Kaynağı ve elde edilme süreçleri belli olan bilgidir. Sosyal İlişkiler Görgül Bulgular İşlevsel

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

Evren (Popülasyon) Araştırma kapsamına giren tüm elemanların oluşturduğu grup. Araştırma sonuçlarının genelleneceği grup

Evren (Popülasyon) Araştırma kapsamına giren tüm elemanların oluşturduğu grup. Araştırma sonuçlarının genelleneceği grup Evren (Popülasyon) Araştırma kapsamına giren tüm elemanların oluşturduğu grup Araştırma sonuçlarının genelleneceği grup Evrendeğer (Parametre): Değişkenlerin evrendeki değerleri µ : Evren Ortalaması σ

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

ÜSTEL DÜZLEŞTİRME YÖNTEMİ

ÜSTEL DÜZLEŞTİRME YÖNTEMİ ÜSEL DÜLEŞİRME YÖNEMİ ÜSEL DÜLEŞİRME YÖNEMİ Bu bölüme kadar anlatılan yöntemler zaman içinde değişmeyen parametre varsayımına uygun serilerin tahminlerinde kullanılmaktaydı. Bu tür seriler deterministik

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu,

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu, Geçen Derste Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi ΔxΔp x 2 Fourier ayrışımı Bugün φ(k) yı nasıl hesaplarız ψ(x) ve φ(k) ın yorumu: olasılık genliği ve olasılık yoğunluğu ölçüm φ ( k)veyahut

Detaylı

Zaman Serileri. IENG 481 Tahmin Yöntemleri Dr. Hacer Güner Gören

Zaman Serileri. IENG 481 Tahmin Yöntemleri Dr. Hacer Güner Gören Zaman Serileri IENG 481 Tahmin Yöntemleri Dr. Hacer Güner Gören Zaman Serisi nedir? Kronolojik sırayla elde edilen verilere sahip değișkenlere zaman serisi adı verilmektedir. Genel olarak zaman serisi,

Detaylı

YABANCI DİL EĞİTİMİ VEREN ÖZEL BİR EĞİTİM KURUMUNDAKİ ÖĞRENCİLERİN BEKLENTİLERİNİN ARAŞTIRILMASI. Sibel SELİM 1 Efe SARIBAY 2

YABANCI DİL EĞİTİMİ VEREN ÖZEL BİR EĞİTİM KURUMUNDAKİ ÖĞRENCİLERİN BEKLENTİLERİNİN ARAŞTIRILMASI. Sibel SELİM 1 Efe SARIBAY 2 Dokuz Eylül Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Dergisi Cilt 5, Sayı:2, 2003 YABANCI DİL EĞİTİMİ VEREN ÖZEL BİR EĞİTİM KURUMUNDAKİ ÖĞRENCİLERİN BEKLENTİLERİNİN ARAŞTIRILMASI Sibel SELİM 1 Efe SARIBAY

Detaylı

Excel' de formüller yazılırken iki farklı uygulama kullanılır. Bunlardan;

Excel' de formüller yazılırken iki farklı uygulama kullanılır. Bunlardan; 7. FORMÜLLER SEKMESİ Excel in en çok kullanılan yönü hesaplama yönüdür. Hesaplamalar Formüller aracılığıyla yapılır. Formüller sekmesi anlatılırken sık kullanılan formüller ve formül yazımı da anlatılacaktır.

Detaylı

1. ÖRNEKLEME VE ARAŞTIRMA PROBLEMİNE UYGUN ÖRNEKLEME YAPMA

1. ÖRNEKLEME VE ARAŞTIRMA PROBLEMİNE UYGUN ÖRNEKLEME YAPMA 1. ÖRNEKLEME VE ARAŞTIRMA PROBLEMİNE UYGUN ÖRNEKLEME YAPMA Araştırmacı kişi ya da kurumlar birinci el veri elde etye yönelik araştırma yapmaya karar verdiklerinde çoğu zaman araştırma yapacağı grubun tüm

Detaylı