Olasılık ve İstatistik TASLAK

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Olasılık ve İstatistik TASLAK"

Transkript

1 Aydın ÜSTÜN 2014

2 İçindekiler 1 GİRİŞ Ölçme, Olasılık ve İstatistiğe Genel Bakış Deney Tasarımı: Anakütle ve Örneklem Uzayı Örneklem süreci İstatistik Türleri Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik TEMEL OLASILIK Giriş Olasılığın İki Tanımı Rasgele olaylar için cebirsel işlemler Temel Olasılık Önermeleri Koşullu Olasılık Bağımsız Olaylar Bayes Kuramı İleri Sayım Teknikleri Ağaç Çizgeleri

3 ii İçindekiler Permütasyon Kombinasyon RASGELE DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Rasgele Değişken Rasgele Dağılımlar Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Ayrık Dağılım Fonksiyonu Sürekli Dağılım Fonksiyonu Rasgele Değişkenin Beklenen Değeri ve Momenti Beklenen Değer ve Ağırlıklı Ortalama Varyans ve Standart Sapma Moment Diğer Merkezi Eğilim ve Saçılım Ölçütleri Birleşik Rasgele Dağılımlar Ayrık Durum Sürekli Durum Bağımsız Rasgele Değişkenler Koşullu Olasılık Dağılımları Kovaryans ve Korelasyon BAŞLICA OLASILIK DAĞILIMLARI Ayrık Dağılımlar Bernaulli ve Binom Dağılımları Ayrık Üniform Dağılım Poisson Dağılım Sürekli Dağılımlar Normal Dağılım Chi-Kare Dağılımı t Dağılımı

4 İçindekiler iii Fisher Dağılımı

5 Bölüm Ölçme, Olasılık ve İstatistiğe Genel Bakış GİRİŞ Ölçme, fiziksel bir büyüklüğün önceden belirlenmiş birim büyüklükler yardımıyla ölçeklendirilmesi eylemidir. Ölçme sonucu elde edilen sayısal veriye ölçü veya gözlem adı verilir. Tekrarlı ölçü sonuçları birbirine benzer sayısal değerleri işaret etse de, bilim ve mühendislikte ölçme, rasgele (kontrol edilemeyen) olayların sonuçlarıdır. Bu nedenle, istatistikte ölçü ve gözlemlere rasgele değişken gözüyle bakılır. Tekrar edilen her ölçü, farklı zaman veya mekanın özelliklerini yansıtır. Çevresel koşullar istenildiği kadar aynı tutulmaya çalışılsın, yine de insan duyularının ve ölçme sistemlerinin yetersizliği, birbirinden az ya da çok sapan ölçme sonuçlarını doğurur. Sonuç olarak, mükemmel veya kesin değeri verecek bir ölçme işleminden söz etmek olanaklı değildir. Doğada gözlenebilen olaylardan belirli bir sonuç (bilgi) çıkarmak için verileri belli kurallar altında sayısal anlamda toplamak, bilim ve mühendislik çalışmalarının en önemli görevleri arasındadır. Yukarıda anılan nedenlerle ölçme sonuçlarının raslantısal olaylara bağlı olması, gereğinden fazla ölçünün toplanmasını zorunlu kılmaktadır. Öte yandan, belli bir yığını oluşturan veriler arasında raslantısallıktan kaynaklanan tutarsızlıklar görülmesine rağmen, bunlar bazı grafiklere taşındığında ortak (kütlesel) bir davranış sergilerler. Bu davranış biçimi kuramsal olarak iyi bilinen olasılık fonksiyonları ile uyum içindedir. İşte bu yüzden veri yığınlarının tek anlamlı sonuçlara dönüştürülmesi, matematiksel istatistiğin konusudur. Türk Dil Kurumu sözlüğüne 1 göre istatistik tanımı; 1 Türkçe Sözlük (2005) Türk Dil Kurumu, Ankara.

6 2 GİRİŞ bir sonuç çıkarmak için olguları yöntemli bir biçimde (olasılık kuramı ilkelerine dayanarak) toplayıp sayı olarak belirtme işi, sayım bilimi biçiminde verilmektedir. Tanımdan anlaşılacağı üzere, olasılık kuramı istatistiğin temelini oluşturmaktadır. Olasılık kuramı, tıpkı bir ölçme işlemindeki kontrol edilemeyen çevresel etkenlerde olduğu gibi, belirsizlik durumunu inceler. Şans oyunları olasılık uygulamalarının en tipik örneğidir. Bilim ve mühendislik uygulamarında ise deney ya da olay sonuçları (ölçüler), genellikle kontrol edilemeyen ancak varlığı belli olasılık değerleriyle ortaya çıkan (stokastik) olaylar kadar, geometrik ve fiziksel yasaların sonuçları olarak nicelikleri önceden belli (deterministik) olguları da içerir. Örneğin, ağırlık (gravite) ivmesini ölçen bir gravimetreden okunan sayısal değer, yeryuvarının toplam kütlesi ve ölçümün yapıldığı noktanın yerin ağırlık merkezine göre konumuna bağlıdır. Önceden, belirli bir yaklaşıkla bilinen kütle ve konum bilgisi için gravite ivme değeri deterministik yolla hesaplanabilir. Ancak, deterministik sistemler başlangıç koşullar altında hep aynı sonuçları verdiğinden stokastik süreçlerden farklıdırlar, dolayısıyla olasılık kuramının dışında yer alırlar. Bu açıklamalardan yola çıkılarak tek başına olasılık kavramından söz edildiğinde; rasgele olayları analiz eden bir matematik dalı, matematiksel anlamda bir olayın gerçekleşebilme durumunu gösteren sayı (0 ile 1 arasında) anlaşılır. Burada 0 imkansız olay, 1 kesin olay anlamındadır. Veri analizinde istatistik, sonuçların yorumlanması ve gösterimi için gereklidir. Stokastik olayların fonksiyonel davranışını tanımlayan olasılık dağılımları kullanılmaksızın istatistik sonuçlarını yorumlamak zorlaşır. İstatistik, geçmiş verilerin tekrarlanma (frekans, sıklık) durumunu ortaya koyarken; olasılık aynı olayın gelecekteki gerçekleşebilme durumunu açıklar. Söz konusu ilişki, bir yazı-tura oyunuyla örneklendirilebilir. Para atışında yazı veya tura gelme olasılığı, var olan seçenekler göz önüne alınarak hesaplanabilir: normal koşullar altında her ikisi de eşit, 1/2. Buna karşın 100 kez atılmış bir para için 47 tura ve 53 yazı gelmesi, tam aynı olmasa da olasılık dağılımından elde edilen 1/2 değerini işaret ederler. Buradan, istatistik sonuçları tutarlılık açısından olasılık dağılımı değerleriyle irdelenmelidir önermesi yapılabilir. Ayrıca, verilen örneğe ilişkin uygulama esasları ve sonuçları karşılaştırıldığında olasılığın kuramsal, istatistiğin deneysel açıdan değerlendirilmesi gerektiği hemen anlaşılmalıdır. 1.2 Deney Tasarımı: Anakütle ve Örneklem Uzayı Bilimsel araştırmanın amacı sınırlı bir veriden evrenin nasıl işlediğine ilişkin bilgi çıkarmaktır. Deney ve istatistiksel analiz burada çok önemli bir sac ayağı işlevi görür. Araştırmanın çıkış noktası gözlenen olgu ve bağlı olduğu parametreler üzerinden kurulmuş hipotezdir. Hipotezin geçerliliği, ancak bir deneysel çalışmayla sınanabilir. Şekil 1.1 doğa bilimlerinde bilimsel yöntemin nasıl işletildiğini ve deneyin bir bilimsel yaklaşımdaki yerini özetlemektedir. Sonuçta üretilecek bilginin

7 Deney Tasarımı: Anakütle ve Örneklem Uzayı 3 doğruluğunu ya da bilimsel araştırmadan bir sonuca ulaşılıp ulaşılamayacağını, eldeki örnekleme (veri toplama) planı belirler. Olası örnekleme hatalarının sonuçlar (kestirilen parametreler) üzerindeki etkisi sistematik kayıklık (bias) olarak görülür. Doğa olayları ve Gözlemler Hipotez Test edilebilir tahminler Deney ve Veri analizi Deney sonuçları hipotezi doğruluyor mu? Evet Kuram/Bilgi Hayır Hipotezi yeniden kur Şekil 1.1: Bilimsel yöntem kullanarak doğa olaylarından bilgi edinimi İstatistikte ise gözlenen bir olgu hakkında sonuç çıkarabilmek için anakütle (evren, popülasyon ya da uzay) hakkında veri toplamak yerine, sonuçlara anakütleyi temsil eden örneklem uzayı üzerinden ulaşmak pratik bir zorunluluktur. Amaçlanan istatistiksel çalışmanın başarıyla gerçekleştirilmesi deney tasarımına bağlıdır. Deney sonuçlarını etkileme potansiyeline sahip koşulların önceden belirlenmesi tasarımın en kritik aşaması olarak görülmelidir. Anakütle yerine seçilen örneklem uzayındaki örneklem(denek) dağılımı, anakütleyi eksiksiz biçimde temsil edecek nitelikte olması esastır. Bu beklenti, ancak iyi bir deney tasarımı ile karşılanabilir.

8 4 GİRİŞ Örneklem süreci Örneklem sürecini oluşturan aşamalar başarılı bir istatistiksel çalışmanın sonuç ürünü için doğruluk ve tutarlılığın sağlanmasına zemin hazırlar. Bu aşamalar ve temel özellikleri hakkında kısa bilgi maddeler halinde aşağıda verilmektedir. Anakütlenin tanımlaması: Anlaşılmak istenen olgu ve onun nicelik tanımının yapılmasını ifade eder. Bu tanımlar araştırma konusu ana kütleyi açık bir şekilde ortaya çıkarmalıdır. Örneğin, bir ülkedeki okur-yazarlık oranı belirlenmek istensin. Okur-yazarlık, okul çağına gelmiş veya başka bir deyişle okuma-yazma yetisine sahip bireyler ile ilgili bir kavramdır. Dolayısıyla, anakütle (nüfus veya yığın olarak da adlandırılır), okur-yazar olup olmadığı belirlenecek tüm bireylerdir. Okul öncesi yaş grubu ve bu yetiye sahip olmayanlar anakütlenin dışında sayılırlar. Örnekleme çerçevesinin belirlenmesi: Çoğu kez anakütleyi oluşturan tüm bireylere ulaşmak ya pratik olarak olanaksız ya da uygulama maliyeti karşılanamayacak boyuttadır. Böyle bir durumda, anakütleyi oluşturan her örneğin içinde bulunabileceği bir altkütle (örneklem kümesi) araştırmasına gidilebilir. Örneklem kümesi ile anakütle hacminin anlamlı ölçüde daraltılacak olması çalışmanın uygulanabilirliğini kolaylaştıran en önemli unsurdur. Örnekleme çerçevesi anakütle içerisinde sınırları belirlenmiş altkütleyi temsil eder. Yukarıdaki okur-yazarlık örneğini ele alacak olursak, örnekleme çerçevesi bir veya birkaç il veya mahalle ve bu sınırlar içinde kalan bireylerdir. Örnekleme yönteminin belirlenmesi: Yukarıda sınırları belirtilen örneklem çerçevesinden örneklemlerin nasıl seçileceğini açıklar. Basit rasgele, düzenli (sistematik), katmanlı, küme, çok aşamalı ve alan olasılık örnekleme tekniklerinden biri veya kombinasyonları kullanılabilir. Örnekleme tekniğinin seçiminde uygulama maliyetinden doğruluk beklentilerine, istatistik çalışmasının gereksinimlerinden yöntemin uygulanabilirliğine kadar değişik etkenler belirleyici rol oynar. Hangi yöntem seçilirse seçilsin, olasılık dağılımı kurallarına göre örnekleme çerçevesi içinde kalan örneklem çeşitliliğinin ve bu seçimle uygulamaya geçecek erişilebilirliğin ana kütleyi yansıtması esastır. Örnekleme sayısının belirlenmesi: Basitçe ölçü(gözlem) sayısının belirlenmesi olarak değerlendirilebilir. Deneysel çalışmada ilgilenilen parametre ve onların sayısı ile yakın ilişkiye sahiptir. Parametre sayısından az olmamak koşuluyla sonuçların güven ve anlamlılık düzeyi toplanan verilerin sayısına bağlıdır. Anakütle hakkındaki yorum ve çıkarımların gücü örneklem sayısından gelir. Bir çalışmada ne kadarlık veriye gereksinim olduğu bazı test gücü çizelgelerinden ve birikimli (kümülatif) dağılım fonksiyonu eşitliklerinden hesaplanabilir.

9 İstatistik Türleri 5 Örnekleme (veri toplama): Yukarıdaki tasarım aşamalarının uygulanmasıyla veri toplama sürecine geçilmiş olur. Tasarımda belirlenen çerçevenin dışına çıkılmamasının yanı sıra gözlem sırasında çevresel etkenlerin de kayıt altına alınması veri analizini ve çıkarılacak sonuçların kalitesini arttıracağı göz önünde bulundurulmalıdır. 1.3 İstatistik Türleri Örneklem kümesinden elde edilen verilerin istatistiksel analizi bizi iki istatistik türüne götürür: betimsel (açıklayıcı) istatistik ve çıkarımsal (tümevarımcı, sonuç çıkarıcı) istatistik Betimsel istatistik Eldeki verilerin özetlenmiş biçimi ya da başka bir deyişle niceliklendirilmesi betimsel istatistiği açıklar. Verilerin sınıflandırılması, sınıf toplamları veya tekrarlanma sayıları, ortalamaları, saçılım (yayılım) değerleri, veri sınıfları arasındaki ilişki (korelasyon) değerleri, bunlara ait çizelge ve grafik gösterimler betimsel istatistiğin uygulama örnekleridir. Analiz sürecinin olasılık kuramından bağımsız ilerlermesi betimsel istatistiğin ayırtkan özelliğidir. Betimsel istatistik için kullanılan analiz teknikleri değişik biçimlerde sınıflandırılabilir. Değişken sayılarına göre analiz araçları ve bazı örnekler aşağıdaki gibi sıralanabilir: Tek değişkenli (univaryat) Çizelgeler: sayım, frekans (sıklık) Grafik ve çizgeler: çubuk, pasta, ağaç, histoğram Merkezsel konum araçları: ortalama, mod, ortanca (medyan) Yayılım ve saçılım (sapma) ölçütleri: varyans, standart sapma, çarpıklık, basıklık İki değişkenli (bivaryat) Çapraz çizelgeler Saçılım haritaları Bağımlılık ölçütleri (korelasyon, kovaryans) Çok değişkenli (multivaryat) Korelasyon matrisleri Regresyon analizleri

10 6 GİRİŞ Betimsel istatistik örneği olarak, bir öğrenci grubunun belirli bir dersteki başarısı açıklayıcı bir bilgi olarak değerlendirilebilir. Sınav notlarının ortalaması bir başarı göstergesidir. Türkiye İstatistik Kurumu (http://www.tuik.gov.tr) tarafından toplanan ve yıllık bazda yayımlanan verilerin tümü (çizelge, grafik vb.) açıklayıcı istatistik niteliğindedir. Örneğin, yılları arasında Türkiye de gerçekleşen sera gazı emisyon (salınım) verileri hem çizelge (Çizelge 1.1) hem de şekil (Şekil 1.2) olarak sunulabilir. Atmosferde sera etkisi yaratan bu gazların yıllık rakamlar üzerinden toplam emisyon içindeki ortalama payları (merkezsel konumları) pasta dilimleriyle Şekil 1.3 deki gibi gösterilebilir. Çizelge 1.1: yılları arasında Türkiye nin sera gazı emisyon değerleri (Kaynak: TÜİK, birim: milyon ton CO 2 eşdeğeri) Yıl CO 2 CH 4 N 2 O F Gazları Toplam Çıkarımsal istatistik Çıkarımsal istatistik, örneklemden elde edilen (betimsel) istatistiksel sonuçları kullanarak anakütle hakkında yargıda bulunmayı amaçlar. Gözlem altına alınan anakütlenin beklenen davranışı hakkında bir yargıda bulunabilmek için bir dizi işlem yürütülür. Betimsel istatistik analiziyle türetilmiş ortalama, standart sapma, korelasyon vb. değerler temel veri olarak kullanılır. Bu bilgilere dayanarak anakütle için bir hipotez (varsayım) ileri sürmek ilk aşamadadır. Olasılık dağılımları

11 İstatistik Türleri Emisyon (milyon ton CO2 eşdeğeri) F Gazları N 2 O CH 4 CO Yıl Şekil 1.2: Yıllara göre Türkiye nin sera gazı emisyonu değişimi (Kaynak: TÜİK) kullanılarak hipotezler testlerden geçirilir ve sonuç olarak geleceğe ilişkin bir öngörülerde bulunulur. Gerektiğinde bu işlem değişik veri grupları arasındaki ilişkilerin tanımlanması ve buradan model üretilmesine (regresyon analizi) doğru götürülebilir. Bütün bu süreçler çıkarımsal istatistik başlığı altında ele alınır. Bu haliyle bilim, mühendislik ve üretim sektörü çıkarımsal istatiği en çok kullananların başında gelir. Neden sonuç ilişkisi en iyi biçimde çıkarımsal istatistikle açıklanabilir. Jeodezik uygulamalarda atmosferik olayların doğrultu, düşey açı, elektro-manyetik dalgalar (örneğin GNSS sinyalleri) üzerindeki etkilerinin araştırılması, uyuşumsuz ölçülerin analizi, deformasyon analizinde noktasal yer değiştirmelerin deformasyon sayılıp CO 2 %76.26 F Gazları %0.64 CH 4 %17.72 N 2 O %5.39 Şekil 1.3: Sera gazlarının yıllık ortalama emisyon oranları (Kaynak: TÜİK)

12 8 GİRİŞ sayılamayacağı, koordinat dönüşümlerinde nokta uyuşum testleri, dengeleme hesabında kestirilen parametrelerin güven ve anlamlılık düzeyleri çıkarımsal istatistiğin en çok karşılaşılan örnekleridir.

13 2.1 Giriş Bölüm 2 TEMEL OLASILIK Rasgele olayların deney sonuçları üzerindeki etkileri belli olasılık değerleri göz önüne alınarak değerlendirilir (bkz. [1.3.2]). Bilim ve mühendislik uygulamalarında bunun en basit örneklerini güven aralığı hesaplamaları oluşturur. İstatistiksel bir çalışmanın kestirilmiş bazı parametrelerine (örneğin ortalama ve saçılım değerlerine) bakılarak, sonuçların güvenirliği hakkında yorum yapılabilir. Olasılık hesaplarının uygulama bulduğu alanlardan bir başkası şans oyunlarıdır. Şans oyunlarının tamamen raslantısal olaylar üzerine kurgulanması, olasılık kuramına ilişkin örneklerin neden bu tür uygulamalardan seçildiğine en iyi cevaptır. Sırasıyla, sayılabilir ve sayılamayan örneklem uzaylarını kullanan ayrık ve sürekli olasılık dağılımları, olasılık kuramının temel özelliklerinin anlaşılmasında anahtar rol oynarlar. Bu bölümde olasılık kuramı açısından rasgele olaylar, rasgele değişkenler ve onların beklenen değerleriyle, sonuçların dağılım özellikleri ele alınacaktır. 2.2 Olasılığın İki Tanımı Deneysel bir çalışmada ardışık gözlemlerin yakın değerler olarak tekrar etmesi belli fiziksel ve geometrik yasaların sonucudur. Bu yasalar aynı girdi verileriyle aynı sonuçları verirler. Gerçekte gözlem değerlerinin benzerliği belirli bir mertebeye kadardır ve genellikle ölçme sisteminin yeteneğiyle ilişkilidir. Ölçülen büyüklüklerdeki tekrar eden rakamlar dış etkenlerin kontrol edilebildiği

14 10 TEMEL OLASILIK (deterministik) kesimi temsil eder. Geriye kalan kesim ise tek bir ölçü için değişkenliği (büyüklüğü ve işareti) önceden kestirilemeyen, ancak kitlesel olarak davranışı bilinen rasgele (stokastik) süreçlerle açıklanır. İnsana ait hatalardan arındırılmış, en gelişmiş teknolojinin kullanıldığı ölçme sistemlerinde bile stokastik büyüklükler kaçınılmaz olarak gözlem değerlerinde kendilerini belli ederler. Ölçme uygulamarında gözlenen büyüklükler, bir yere kadar kontrol altında tutulabilir. Özetle, kusursuz veya mükemmel ölçü yoktur. Bu özellikleriyle ölçüler, şans oyunlarındaki raslantısallıkla bire bir benzer davranış gösterirler. Sonuç olarak, deneysel bir çalışmanın değişkenlerinin alacağı değerlerin, zar atışından farkı yoktur denilebilir. Çevresel koşulların aynı kaldığı deneysel bir çalışmada, tekrarlı gözlemler birbirinden farklı raslantısal değerler alıyorsa bu tür deneylere rastgele deneyler denir. Rasgele deneylerin olası tüm sonuçları bir küme (uzay) ile tanımlanır. Buradan itibaren örneklem uzayı S sembolü ile gösterilecektir. Örneklem uzayının elemanları sözel olabileceği gibi bu küme her biri için atanmış sayıları da içerebilir. Küme elemanları sayılabilir (sonlu ya da sonsuz) veya sayılamaz nitelikte olur. Rasgele deneyler ve örneklem uzayları aşağıda bazı örnekler verilmektedir. Örnek 2.1 Bir para atışında, deney sonucu tura T (1) ya da yazı Y (0) ile sonuçlanır. Buna göre para atışı oyununun küme elemanları, olarak gerçekleşir (sonlu sayılabilir). Örnek 2.2 S = {0,1} veya S = {Y,T} Para atışı iki kez yapılsın. Sembolik veya sayısal olarak, S = {YY,YT,TY,TT} veya S = {0,1,2,3} küme elemanlarıyla ifade edilen 4 sonuçtan biriyle karşılaşılır (sonlu sayılabilir). Örnek 2.3 Zar atışında deney sonucunu oluşturan küme elemanları (sonlu sayılabilir): S = {1,2,3,4,5,6} Örnek 2.4 Bir oyun parkında roket oyunu için boy cetveli testi uygulansın (sonlu sayılabilir): S = {kısa, uzun} veya S = {0,1}

15 Olasılığın İki Tanımı 11 Örnek 2.5 Sonucu doğal sayılar kümesi, olan deney (sonsuz sayılabilir). Örnek 2.6 N = {0,1,2,...} Bir hedefe yapılan 10 doğrultu gözleminin aritmetik ortalaması (sonsuz sayılamaz): S = {0 g t < 400 g } Yukarıda verilen örneklerden anlaşılacağı üzere herhangi bir deneyin olası tüm çıktıları önceden bilinebilmektedir. Para atışında tura gelme olasılığı eşit yazı gelme olasılığı da hesaba katıldığında 1/2 olacaktır. Benzer şekilde zar atışında üç gelme olasılığı 1/6, tek sayı gelme olasılığı 1/2 olacaktır. Olasılığın geleneksel tanımına göre; bir deneyin karşılıklı olarak dışarmalı (mutually exclusive) ve eşit olasılıklı n farklı çıktısı varsa, sayısı n A olan bir olayın gerçekleşme olasılığı, eşitliğinden hesaplanabilir. P(A) = n A n (2.1) Yukarıdaki kuramsal sonuca deneysel yolla ulaşmak mümkündür. Para veya zarın hilesiz, tekrar atışların eşit koşullar altında yapılması durumunda, herhangi bir A olayının gerçekleşme sayısı tüm atışların sayısına bölünerek bağıl tekrarlanma sayısı, h(a) = n A n (2.2) elde edilir. h(a) değerine, geçmişte gözlenmiş olayların sıklığına dayandığından olasılığın frekans açıklaması gözüyle bakılır. P(A) ve h(a) değerleri birbirine eşit çıkması beklenen büyüklüklerdir. Deney sayısı arttıkça sonuçların birbirine daha da yaklaştığı görülür. Buna sonuca göre; A olayının gerçekleşme olasılığı P(A), bağıl tekrarlanma sayısının limit durumudur: P(A) = lim h(a) (2.3) n (2.3) ten, bir olayın olasılığı, bağıl tekrarlanma sayılarına bakılarak tanımlanabileceği anlaşılmalıdır. Ancak, pratikte deney sayısının sonlu oluşu ve kuramsal olasılık değerlerine sadece sonsuzda ulaşılabilmesi, tanım için bu yöntemin tercih edilmesini zora sokar. Bu yüzden olasılık tanımları ve önermeleri daha çok kuramsal olasılık sonuçları için geçerlidir. Örnek 2.7

16 12 TEMEL OLASILIK Bir hastanedeki doğum kayıtlarına göre Ocak ayında 68 erkek, 71 kız bebek dünyaya gelmiştir. Bu verilere göre, erkek ve kız çocuk meydana gelme olasılıkları, sırasıyla h(e) = = 0.489, h(k) = = dir. Olasılık hesabı, 0 ve 1 arasındaki değerlerle sonuçlanır. Bazı durumlarda bu sonuçlar yüzdesel karşılıklarıyla da verilebilmektedir: son örnek için erkek ve kız çocuk dünyaya gelme olasılıklarının %48.9 ve %51.1 olması gibi. 2.3 Rasgele olaylar için cebirsel işlemler Rasgele deneyin olası tüm sonuçlarını içeren S kümesine örneklem uzayı, bu deneyin çıktısına ya da S kümesinin elemanlarından birine örneklem veya elementer olay adı verilir. Örneklem uzayının elemanlarıyla oluşturulmuş (alt)küme bir olayın karşılığıdır. Buna göre; {1,3,5} kümesi zar atışında tek sayı gelme olayının elemanlarıdır. Örneklem uzayının herhangi bir alt kümesi A, rasgele olay veya kısaca olay olarak tanımlanır: A S. Gerçekleşmesi mümkün olmayan olay için alt küme A =, boş kümedir. S örneklem uzayında her hangi iki rasgele olaya karşılık gelen alt kümeler A ve B olsun. A ve B, yeni rasgele olayları türetmek için kullanılabilir. Şekil 2.1 de görüldüğü gibi, Venn diyagramlarıyla gösterilebilen birleşim ( ), kesişim ( ), değil ( ) ve fark ( ) işlemleri olaylar cebri adı verilen matematik yöntemi tanımlar: A B, A ve B olaylarının birleşimi anlamındadır; her iki kümenin sonuçlarını içerir. Mantık işlemlerinde veya operatörünün karşılığıdır. A B, A ve B olaylarının kesişimi anlamındadır; her iki kümenin ortak sonuçlarını içerir. Mantık işlemlerinde ve operatörünün karşılığıdır. Ã, A olayının dışındaki sonuçları ifade eder. Mantık işlemlerinde değil operatörünün karşılığıdır. B A, B nin A da olmayan sonuçlarını kapsar. S A biçiminde yazılırsa, Ã işlemine dönüşür (Şekil 2.1). Örnek 2.8

17 Rasgele olaylar için cebirsel işlemler 13 Zar atışı için rasgele olaylar A = {1,2,3,5} ve B = {3,4,5,6} verilsin. Cebirsel olaylar, A B = {1,2,3,4,5,6} A B = {3,5} Ã = S A = {4,6} B = S B = {1,2} A B = {1,2} B A = {4,6} A B B A = {1,2,4,6} A A A B B S A A veya B (birleşim) A ve B (kesişim) A hariç (değil) B hariç (değil) B hariç A (fark) A hariç B (fark) A ve B karşılıklı dışarmalı A B Ã B = B A A B S A A B B A B B B S S Ã = S A S Şekil 2.1: S örneklem uzayında rasgele olaylar (A, B S) için cebirsel işlemler

18 14 TEMEL OLASILIK A ve B olaylarına karşılık gelen kümelerde herhangi bir eşleşme yoksa yani küme işleminden A B = sonucu çıkıyorsa, bu olaylar karşılıklı olarak dışarmalıdır denir. A 1,A 2,,A n olaylarınınkarşılıklıdışarmalıolmasıiçinbuözelliğinherhangiikiçift için de geçerli olması gerekir Temel Olasılık Önermeleri S örneklem uzayı üzerinden açıklanan her olay A ve onun olasılığını gösteren sayı P(A) olsun. Aşağıdaki temel önermeler (aksiyomlar) kanıt gerektirmeksizin her zaman geçerlidir: Önerme 2.1 A nın olasılık değeri, artı tanımlıdır. Önerme 2.2 S olması kesin olaydır: P(A) 0 (2.4) P(S) = 1 (2.5) Önerme 2.3 A 1,A 2,...,A n karşılıklı olarak dışarmalı olaylar dizisi ise birleşimlerinin olasılığı, ayrı ayrı olasılıklarının toplamına eşittir: P(A 1 A 2 A n ) = n P(A i ) = P(A 1 )+P(A 2 )+ +P(A n ) (2.6) i=1 Yukarıdaki temel önermelere dayanılarak ileride yararlanmak üzere bazı teoremler ileri sürülebilir. Teorem 2.1 A olayının gerçekleşmeme olasılığı, ile hesaplanır. P(Ã) = 1 P(A) (2.7) Kanıt: A olayının gerçeklememesi bu kümenin dışındakileri à = S A ilgilendirir (sonuçlar Akümesinin dışından çıkar). Karşılıklı olarak dışarmalı Ave Ãolaylarının toplamları S örneklem uzayını oluşturduğundan yukarıdaki temel önermeler göz önüne alındığında (2.7) çıkar.

19 Rasgele olaylar için cebirsel işlemler 15 Teorem 2.2 A veya B olaylarının (birleşim) olasılığı, dir. Kanıt: Şekil 2.1 e göre; P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) (2.8) P(A B) = P(A B)+P(A B)+P(Ã B) P(A) = P(A B)+P(A B) P(B) = P(A B)+P(Ã B) P(A)+P(B) = P(A B)+P(Ã B)+2P(A B) eşitlikleri yazılabilir. Son eşitlikte sağ ve soldaki terimlerden P(A B) çıkarılırsa, elde edilir. Örnek 2.9 P(A)+P(B) P(A B) = P(A B)+P(Ã B)+P(A B) = P(A B) Okey taşları arasından rasgele bir seçim yapıldığı varsayılsın. Taşın sarı renkli veya 13 olma olasılığını hesaplayalım. 1 den 13 e kadar 4 renk ve çift seri taşların sayısı 104 tür (joker taşlar hariç). Buradan seçilen taşın, P(13) = 8/ olasılığı P(sarı) = 26/104 sarı renk olasılığı P(13 sarı) = 2/104 bulunduğundan 13 veya sarı taş olasılığı, çıkar. 13 ve sarı renk olasılığı P(13 sarı) = P(13)+P(sarı) P(13 sarı) = = = 4 13 Teorem 2.3 A 1, A 2 ve A 3 olaylarının birleşimi, P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 ) P(A 1 A 2 ) P(A 1 A 3 ) ile elde edilir. Teorem 2.4 Her A olayı için, P(A 2 A 3 )+P(A 1 A 2 A 3 ) (2.9) 0 P(A) 1 (2.10) eşitsizliği geçerlidir. Burada P(A) = 0 olanaksız olayın (A = ), P(A) = 1 kesin olayın (A = S) olasılığıdır. Kanıt: Önerme (2.4) ve Teorem (2.7).

20 16 TEMEL OLASILIK Koşullu Olasılık Örnek 2.10 İki kez atılan para için örneklem uzayı S = {TT,TY,YT,YY} dır. İki atışın da tura gelme olayı A = {TT} ve olasılığı P(A) = 1/4 tür. Buna karşın atışlardan birinin tura olduğu önceden biliniyorsa, B = {TT,TY,YT} olayı ile karşı karşıyayızdır. A B = {TT} olduğuna göre, B den A olayının çıkma olasılığı 1/3 tür. Verilen örneği dikkate alacak olursak, daha önce gerçekleşmiş (önsel) bir olaya ilişkin bilginin olasılık hesabında kullanılması durumu söz konusudur. Olasılık hesabında böylesi uygulamalar, koşullu olasılık adı altında incelenir. Koşullu olasılık hesabı birbirine bağımlı iki olayı gerektirir. A ve B iki olay olsun. Daha önce B nin bilinen gerçekleşmesi içinde (P(B) > 0 koşuluyla) A nın olasılığı P(A B) ile gösterilir. Küme işlemleri üzerinden bu değere, P(A B) = P(A B) P(B) (2.11) işlem sonucu ile ulaşılır. Genel olarak bilinen B için A nın koşullu olasılığı P(A B), bilinen A için B nin koşullu olasılığından P(B A) farklıdır. Örnek 2.11 Bir zar atışında gelen sayının 4 ten küçük olma olasılığını hesaplayalım. a) Başka bilgi verilmemiş olsun. b) Atışın tek sayı ile sonuçlandığı biliniyor olsun. a) A, 4 ten küçük gelme olayını göstersin: A = {1,2,3}. Bu durumda A nin olasılığı (her bir örneklemin eşit olasılığa sahip olduğu düşünülerek), çıkar. P(A) = P(1)+P(2)+P(3) = 1/6+1/6+1/6 = 3/6 = 1/2 b) Gelen sayının tek sayı olduğu biliniyorsa, başka bir deyişle B = {1,3,5} ise, ve koşullu olasılık, elde edilir. A B = {1,3} P(A B) = 2/6 P(A B) = P(A B) = 2/6 P(B) 3/6 = 2/ Bağımsız Olaylar A ve B olayları için, P(A B) = P(A) (2.12)

21 İleri Sayım Teknikleri 17 eşitliğinin geçerli olduğu olaylar dizisinde, A nın gerçekleşmesinin B den etkilenmediği söylenebilir. Buna göre A ve B bağımsız olaylardır deriz. P(A B) = P(A)P(B) (2.13) bağımsız A ve B olaylarının gerçekleşme olasılığını verir. Örnek 2.12 Tavla oyuncusunun zarları atışı bağımsız iki olayı işaret eder. Düşeş (6,6) gelme olasılığı 1 bu bağımsız olaylardan hesaplanabilir: = 1 36 A 1,A 2,A 3 olayları bağımsız, başka bir deyişle, P(A i A j ) = P(A i ) i j (i,j = 1,2,3) (2.14) eşitliğini sağlıyorsa üçünün de aynı olay altında gerçekleşme olasılığı, eşitliğiyle hesaplanır Bayes Kuramı P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 ) (2.15) Birleşimleri örneklem uzayının alt kümesini oluşturan A 1,A 2,A 3, A n in karşılıklı olarak dışarmalı olaylar olduğunu varsayalım. Teorem 2.5 Herhangi bir önsel A olayının gerçekleşmesinin (P(A) > 0) sonucuna bağlı A 1,A 2,,A n olaylarının olasılıkları Bayes Kuralı, yardımıyla belirlenir. P(A i A) = P(A i )P(A A i ) n j=1 P(A j)p(a A j ) (2.16) Bayes teoremi birden fazla koşullu olasılık değerleri arasındaki ilişkiyi açıklar. (2.16) ile P(A B) ve P(B A) ile birbirine dönüştürülebilir büyüklükler haline gelir: P(A B) = P(A)P(B A) P(B) (2.17) 2.4 İleri Sayım Teknikleri Bir örneklem uzayı genellikle sayılabilir sonlu sayıda eleman içerir. Eleman sayısının küçük olduğu durumlarda, olasılık hesaplamak için seçenekleri sıralamak

22 18 TEMEL OLASILIK zor değildir. Eleman sayısının artmasıyla seçenekleri sıralamak veya saymak zorlaşır. Örneğin 0 dan 9 a kadar olan sayılar kaç değişik biçimde sıralanabilir sorusunun cevabını, saymak yerine seçenekleri faktöriyel hesabı ile bulmak daha kolaydır: 10! = Sayım işleminin belli kuramlara dayandırıldığı matematik dalına katışımsal analiz (kombinatoryal analiz, İngilizce combinatorial analysis) adı verilir. Faktöriyel, perpütasyon, kombinasyon varyasyon gibi ileri sayım teknikleri büyük örneklem sayısına sahip veri kümeleri için karmaşık olasılık hesapları yapmanın en etkili araçlarıdır Ağaç Çizgeleri A 1,A 2,...,A k birbirinden bağımsız olaylar, n 1,n 2,...,n k sırasıyla eleman sayıları olsun. k sayıdaki ardışık olayın gerçekleşmesiyle ortaya çıkacak seçeneklerin sayısı, n 1 n 2 n 3 n k (2.18) eleman sayılarının çarpımı ile bulunur. Örneklem değerleri sürekli aynı kümeden çıkıyorsa ya da aynı bağımsız olayın k kez tekrarlanması söz konusu ise bu durumda seçenek sayısı, n n n (k kez) = n k (2.19) olur. Bir zarın ya da paranın k sayıda atılması buna örnektir. Örnek 2.13 Bir dondurmacıdan değişik dondurma ve sos seçenekleriyle sipariş vermek isteyelim. Bağımsız olaylar, Kremalı dondurma grubu K = {Sütlü, Kakaolu} Meyveli dondurma grubu M = {Karadut, Vişne, Limon} Sos grubu S = {Çikolata, Böğürtlen} örneklem kümeleri ile verilsin. Her örneklem kümesinden birer seçim yapılarak verilebilecek siparişlerin sayısı = 12 dir. Örnek 2.14 Bir paranın üç kez arka arkaya atılmasıyla elde edilebilecek sonuçların sayısı = 2 3 = 8 dir. Ardışık olaylar dizisine ait seçeneklerin ve olasılıkların belirlenmesinde ağaç çizgeleri (zaman zaman olasılık çizgeleri de denilmektedir), hem problemin anlaşılmasını hem de hesap kolaylığı sağlar. Örnek 2.13, bir ağaç çizgesi (Şekil 2.2) yardımıyla da gösterilebilir. Benzer şekilde üç kez tekrarlanan para atışı için Şekil 2.3 te görülen seçenekler ve olasılıkları ortaya çıkar.

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran Matematik Ders Notları Doç. Dr. Murat Donduran Mart 18, 28 2 İçindekiler 1 Tanımlı Integral Uygulamaları 5 1.1 Olasılık.............................. 5 3 4 İÇINDEKILER Bölüm 1 Tanımlı Integral Uygulamaları

Detaylı

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37 İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar

Detaylı

Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Mühendislikte İstatistik Yöntemler .0.0 Mühendislikte İstatistik Yöntemler İstatistik Parametreler Tarih Qma.3.98 4..98 0.3.983 45 7..984 37.3.985 48 0.4.986 67.4.987 5 0.3.988 45.5.989 34.3.990 59.4.99 3 4 34 5 37 6 45 7 45 8 48 9 5 0

Detaylı

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2 Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S

Detaylı

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5 Ders Kodu: 0010070021 Kredi: 3 / ECTS: 5 Yrd. Doç. Dr. Serkan DOĞANALP Necmettin Erbakan Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Konya 07.01.2015 1 Giriş 2 Giriş Matematiksel istatistiğin konusu yığın

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

Temel İstatistik. Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart Tanımlayıcı İstatistik. Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri

Temel İstatistik. Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart Tanımlayıcı İstatistik. Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri Temel İstatistik Tanımlayıcı İstatistik Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart 2011 DAĞILIM / YAYGINLIK ÖLÇÜLERİ Verilerin değişkenlik durumu ve dağılışın şeklini

Detaylı

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6

Detaylı

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

BÖLÜM 5 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

BÖLÜM 5 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ 1 BÖLÜM 5 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlenen belli bir özelliği, bu özelliğe ilişkin ölçme sonuçlarını yani verileri kullanarak betimleme, istatistiksel işlemlerin bir boyutunu oluşturmaktadır. Temel sayma

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ

BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ 1 BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Gözlenen belli bir özelliği, bu özelliğe ilişkin ölçme sonuçlarını yani verileri kullanarak betimleme, istatistiksel işlemlerin bir boyutunu oluşturmaktadır. Temel

Detaylı

VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME

VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME BETİMLEYİCİ İSTATİSTİK VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME Bir amaç için derlenen verilerin tamamının olduğu, veri kümesindeki birimlerin sayısal değerlerinden faydalanarak açık ve net bir şekilde ilgilenilen özellik

Detaylı

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım 2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI 2.1. Tanım Regresyon analizi, bir değişkenin başka bir veya daha fazla değişkene olan bağımlılığını inceler. Amaç, bağımlı değişkenin kitle ortalamasını, açıklayıcı

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

BÖLÜM 13 HİPOTEZ TESTİ

BÖLÜM 13 HİPOTEZ TESTİ 1 BÖLÜM 13 HİPOTEZ TESTİ Bilimsel yöntem aşamalarıyla tanımlanmış sistematik bir bilgi üretme biçimidir. Bilimsel yöntemin aşamaları aşağıdaki gibi sıralanabilmektedir (Karasar, 2012): 1. Bir problemin

Detaylı

BÖLÜM 9 NORMAL DAĞILIM

BÖLÜM 9 NORMAL DAĞILIM 1 BÖLÜM 9 NORMAL DAĞILIM Normal dağılım; 'normal dağılım eğrisi (normaly distribution curve)' ile kavramlaştırılan hipotetik bir evren dağılımıdır. 'Gauss dağılımı' ya da 'Gauss eğrisi' olarak da bilinen

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 3. TAHMİN 3.1. En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 En Küçük Kareler (EKK) yöntemi, regresyon çözümlemesinde en yaygın olarak kullanılan, daha sonra ele alınacak bazı varsayımlar altında çok aranan istatistiki

Detaylı

Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri. BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014

Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri. BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014 Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014 1 Konum ölçüleri Merkezi eğilim ölçüleri Verilerin ortalamaya göre olan gruplanması nasıl?

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması

Detaylı

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler BÖLÜM 7 TAHMİNLER Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU 1 Tahmin (kestirim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmaktır.

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla

Detaylı

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.

Detaylı

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım

Detaylı

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN Tanımlayıcı İstatistikler Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 Tanımlayıcı İstatistikler Yer Gösteren Ölçüler Yaygınlık Ölçüleri Merkezi Eğilim Ölçüleri Konum Ölçüleri 2 3 Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama,

Detaylı

Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri

Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri Soru Öğrencilerin derse katılım düzeylerini ölçmek amacıyla geliştirilen 16 soruluk bir test için öğrencilerin ilk 8 ve son 8 soruluk yarılardan aldıkları puanlar arasındaki

Detaylı

0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart

Detaylı

Merkezi Yığılma ve Dağılım Ölçüleri

Merkezi Yığılma ve Dağılım Ölçüleri 1.11.013 Merkezi Yığılma ve Dağılım Ölçüleri 4.-5. hafta Merkezi eğilim ölçüleri, belli bir özelliğe ya da değişkene ilişkin ölçme sonuçlarının, hangi değer etrafında toplandığını gösteren ve veri grubunu

Detaylı

ORTALAMA ÖLÇÜLERİ. Ünite 6. Öğr. Gör. Ali Onur CERRAH

ORTALAMA ÖLÇÜLERİ. Ünite 6. Öğr. Gör. Ali Onur CERRAH ORTALAMA ÖLÇÜLERİ Ünite 6 Öğr. Gör. Ali Onur CERRAH Araştırma sonucunda elde edilen nitelik değişkenler hakkında tablo ve grafikle bilgi sahibi olunurken, sayısal değişkenler hakkında bilgi sahibi olmanın

Detaylı

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları KAVRAMLAR Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları Deney: belirli koşullar altında tekrarlanabilen ve her tekrarda farklı sonuçlar elde edilebilen işlemdir. Örneklem uzayı: bir denemenin tüm olası

Detaylı

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Tanımlayıcı İstatistikler ve Grafikle Gösterim Grafik ve bir ölçüde tablolar değişkenlerin görsel bir özetini verirler. İdeal olarak burada değişkenlerin merkezi (ortalama) değerlerinin

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık KORELASYON ve REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Bir değişkenin değerinin diğer değişkendeki veya değişkenlerdeki değişimlere bağlı olarak nasıl etkilendiğinin istatistiksel

Detaylı

İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ

İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ GÖZDEN GEÇİRİLMESİ Hüseyin Taştan Yıldız Teknik Üniversitesi, İktisat Bölümü, email: tastan@yildiz.edu.tr YTÜ-İktisat İstatistik

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLSILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 GİRİŞ Olasılık Teorisi: Matematiğin belirsizlik taşıyan

Detaylı

BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI

BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI 1 BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI 'Student t dağılımı' ya da kısaca 't dağılımı'; normal dağılım ve Z dağılımının da içerisinde bulunduğu 'sürekli olasılık dağılımları' ailesinde yer alan dağılımlardan bir

Detaylı

KARŞILAŞTIRMA İSTATİSTİĞİ, ANALİTİK YÖNTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI, BİYOLOJİK DEĞİŞKENLİK. Doç.Dr. Mustafa ALTINIŞIK ADÜTF Biyokimya AD 2005

KARŞILAŞTIRMA İSTATİSTİĞİ, ANALİTİK YÖNTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI, BİYOLOJİK DEĞİŞKENLİK. Doç.Dr. Mustafa ALTINIŞIK ADÜTF Biyokimya AD 2005 KARŞILAŞTIRMA İSTATİSTİĞİ, ANALİTİK YÖNTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI, BİYOLOJİK DEĞİŞKENLİK Doç.Dr. Mustafa ALTINIŞIK ADÜTF Biyokimya AD 2005 1 Karşılaştırma istatistiği Temel kavramlar: Örneklem ve evren:

Detaylı

1 Hipotez konusuna öncelikle yokluk hipoteziyle başlanılan yaklaşımda, araştırma hipotezleri ALTERNATİF HİPOTEZLER olarak adlandırılmaktadır.

1 Hipotez konusuna öncelikle yokluk hipoteziyle başlanılan yaklaşımda, araştırma hipotezleri ALTERNATİF HİPOTEZLER olarak adlandırılmaktadır. Özellikle deneysel araştırmalarda, araştırmacının doğru olup olmadığını yapacağı bir deney ile test edeceği ve araştırma sonunda ortaya çıkan sonuçlarla doğru ya da yanlış olduğuna karar vereceği bir önermesi

Detaylı

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

altında ilerde ele alınacaktır.

altında ilerde ele alınacaktır. YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmin Yöntemleri 1 NOKTA TAHMİN YÖNTEMLERİ Şimdiye kadar verilmiş tahmin edicilerin sonlu örneklem ve asimptotik özelliklerini inceledik. Acaba bilinmeyen anakütle parametrelerini

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

TEMEL SAYMA KURALLARI

TEMEL SAYMA KURALLARI TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin

Detaylı

Prof. Dr. Özkan ÜNVER Prof. Dr. Hamza GAMGAM Doç. Dr. Bülent ALTUNKAYNAK SPSS UYGULAMALI TEMEL İSTATİSTİK YÖNTEMLER

Prof. Dr. Özkan ÜNVER Prof. Dr. Hamza GAMGAM Doç. Dr. Bülent ALTUNKAYNAK SPSS UYGULAMALI TEMEL İSTATİSTİK YÖNTEMLER Prof. Dr. Özkan ÜNVER Prof. Dr. Hamza GAMGAM Doç. Dr. Bülent ALTUNKAYNAK SPSS UYGULAMALI TEMEL İSTATİSTİK YÖNTEMLER Gözden Geçirilmiş ve Genişletilmiş 8. Baskı Frekans Dağılımları Varyans Analizi Merkezsel

Detaylı

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin

Detaylı

İSTATİSTİK EXCEL UYGULAMA

İSTATİSTİK EXCEL UYGULAMA İSTATİSTİK EXCEL UYGULAMA EXCEL UYGULAMA Bu bölümde Excel ile ilgili temel bilgiler sunulacak ve daha sonra İstatistiksel Uygulamalar hakkında bilgi verilecektir. İşlenecek Konular: Merkezi eğilim Ölçüleri

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ. Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r

OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ. Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r Yrd. Doç. Dr. Hüseyin Demir OLASILIK VE İSTATİSTİĞE GİRİŞ ISBN 978-605-318-470-6 DOI 10.14527/9786053184706 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık - I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Tahmin (kes1rim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmak7r. ü Bu anlamda, anakütleden çekilen

Detaylı

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Rastgele değişken kavramı Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler İki boyutlu rastgele değişkenler Beklenen değer Varyans Örnek uzaydaki her elemanı bir sayıyla

Detaylı

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız.

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. Örnek Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. i. ii. X 1 2 3 4 1 2 3 4 Y 2 3 4 5 4 3 2 1 Örnek Aşağıdaki veri

Detaylı

İSTATİSTİK I KISA ÖZET KOLAYAOF

İSTATİSTİK I KISA ÖZET KOLAYAOF DİKKATİNİZE: BURADA SADECE ÖZETİN İLK ÜNİTESİ SİZE ÖRNEK OLARAK GÖSTERİLMİŞTİR. ÖZETİN TAMAMININ KAÇ SAYFA OLDUĞUNU ÜNİTELERİ İÇİNDEKİLER BÖLÜMÜNDEN GÖREBİLİRSİNİZ. İSTATİSTİK I KISA ÖZET KOLAYAOF 2 Kolayaof.com

Detaylı

MOMENTLER, ÇARPIKLIK VE BASIKLIK. Moment: Bir değişkenin gözlemleri X 1, X 2, X 3, X 4.X n olsun. Bu serinin r inci momenti:

MOMENTLER, ÇARPIKLIK VE BASIKLIK. Moment: Bir değişkenin gözlemleri X 1, X 2, X 3, X 4.X n olsun. Bu serinin r inci momenti: MOMENTLER, ÇARPIKLIK VE BASIKLIK Moment: Bir değişkenin gözlemleri X 1, X 2, X 3, X 4.X n olsun. Bu serinin r inci momenti: İşletme no 1 2 3 4 5 Arazi genişliği (da) 5 10 4 3 8 Aritmetik ortalamaya göre

Detaylı

IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R

IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R Geçen Ders Envanter yonetımı: Gazetecı problemı Rastsal Rakamlar Üret Talebi hesapla Geliri hesapla Toplam maliyeti hesapla Günlük ve aylık

Detaylı

İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi

İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi Anlamlı Basamaklar Konusu ve Olasılık Ekonometri 1 Konu 1 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial

Detaylı

Verilerin Özetlenmesinde Kullanılan Sayısal Yöntemler

Verilerin Özetlenmesinde Kullanılan Sayısal Yöntemler Verilerin Özetlenmesinde Kullanılan Sayısal Yöntemler Merkezi Eğilim Ölçüleri Merkezi eğilim ölçüsü, bir veri setindeki merkezi, yada tipik, tek bir değeri ifade eder. Nicel veriler için, reel sayı çizgisindeki

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

Dr. Mehmet AKSARAYLI

Dr. Mehmet AKSARAYLI Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli

Detaylı

OLASILIK (Probability)

OLASILIK (Probability) OLASILIK (Probability) Olasılık, bir olayın meydana gelme, ortaya çıkma şansını ifade eder ve P ile gösterilir. E i ile gösterilen bir basit olayın olasılığı P (E i ), A bileşik olayının olasılığıysa P

Detaylı

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız.

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız. OLASILIK (İHTİMALLER HESABI) Olasılık kavram ı ilk önceleri şans oyunları ile başlamıştır. Örneğin bir oyunda kazanıp kazanmama, bir paranın atılmasıyla tura gelip gelmemesi gibi. Bu gün bu kavramın birçok

Detaylı

DENEY 0. Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı

DENEY 0. Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı DENEY 0 Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı Amaç: Ölçüm metodu ve cihazına bağlı hata ve belirsizlikleri anlamak, fiziksel bir niceliği ölçüp hata ve belirsizlikleri tespit etmek, nedenlerini açıklamak. Genel

Detaylı

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01 Ortak Varyans ve İstatistiksel Bağımsızlık Bir rassal değişken çifti istatistiksel olarak bağımsız ise aralarındaki ortak varyansın değeri 0 dır. Ancak ortak varyans değerinin 0 olması, iki rassal değişkenin

Detaylı

Bölüm 3 Merkezi Konum (Eğilim) Ölçüleri. Giriş Veri kümesi. Ortalamalar iki grupta incelenir. A. Duyarlı olan ortalama. B. Duyarlı olmayan ortalama

Bölüm 3 Merkezi Konum (Eğilim) Ölçüleri. Giriş Veri kümesi. Ortalamalar iki grupta incelenir. A. Duyarlı olan ortalama. B. Duyarlı olmayan ortalama GM-220 MÜH. ÇALIŞ. İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLER Bölüm 3 Merkezi Konum (Eğilim) Ölçüleri Yrd. Doç. Dr. Safa KARAMAN 1 2 Giriş Veri kümesi Verileri betimlemenin ve özetlemenin bir diğer yolu da verilerin bir

Detaylı

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI Sayı ekseni üzerindeki tüm noktalarda değer alabilen değişkenler, sürekli değişkenler olarak tanımlanmaktadır. Bu bölümde, sürekli değişkenlere uygun olasılık dağılımları üzerinde

Detaylı

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir, 14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

İSTATİSTİKTE TEMEL KAVRAMLAR

İSTATİSTİKTE TEMEL KAVRAMLAR İSTATİSTİKTE TEMEL KAVRAMLAR 1. ve 2. Hafta İstatistik Nedir? Bir tanım olarak istatistik; belirsizlik altında bir konuda karar verebilmek amacıyla, ilgilenilen konuya ilişkin verilerin toplanması, düzenlenmesi,

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz...

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... 1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... CABİR VURAL BAHAR 2006 Açıklamalar

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix C: İstatistiksel Çıkarsama Doç.

Detaylı

KADASTRO HARİTALARININ SAYISALLAŞTIRILMASINDA KALİTE KONTROL ANALİZİ

KADASTRO HARİTALARININ SAYISALLAŞTIRILMASINDA KALİTE KONTROL ANALİZİ KADASTRO HARİTALARININ SAYISALLAŞTIRILMASINDA KALİTE KONTROL ANALİZİ Yasemin ŞİŞMAN, Ülkü KIRICI Sunum Akış Şeması 1. GİRİŞ 2. MATERYAL VE METHOD 3. AFİN KOORDİNAT DÖNÜŞÜMÜ 4. KALİTE KONTROL 5. İRDELEME

Detaylı

Test İstatistikleri AHMET SALİH ŞİMŞEK

Test İstatistikleri AHMET SALİH ŞİMŞEK Test İstatistikleri AHMET SALİH ŞİMŞEK İçindekiler Test İstatistikleri Merkezi Eğilim Tepe Değer (Mod) Ortanca (Medyan) Aritmetik Ortalama Merkezi Dağılım Dizi Genişliği (Ranj) Standart Sapma Varyans Çarpıklık

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK Merkezi Eğilim ve Değişim Ölçüleri Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH

BİYOİSTATİSTİK Merkezi Eğilim ve Değişim Ölçüleri Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH BİYOİSTATİSTİK Merkezi Eğilim ve Değişim Ölçüleri Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 İstatistik

Detaylı

kümeleri sırasıyla n 1, n 2,..., n k eleman içeriyorsa, önce A 1 nin bir elemanını seçmenin n 1

kümeleri sırasıyla n 1, n 2,..., n k eleman içeriyorsa, önce A 1 nin bir elemanını seçmenin n 1 3. Olasılık Hesapları ve Olasılık Dağılımları 3.3. Sayma Teknikleri Olasılık hesapları ve istatistikte birçok problem, verilen küme elemanlarının sayılmasını veya sıralanmasını gerektirir. Eğer bir olayın

Detaylı

Nokta ve Aralık Tahmini Merkezi Limit Teoremi Örneklem Dağılımı Hipotez Testlerine Giriş

Nokta ve Aralık Tahmini Merkezi Limit Teoremi Örneklem Dağılımı Hipotez Testlerine Giriş Nokta ve Aralık Tahmini Merkezi Limit Teoremi Örneklem Dağılımı Hipotez Testlerine Giriş Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı Nokta Tahmini

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,, BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı n doğal sayı olmak üzere, (x+y) n ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar; (x+y) n ifadesi 1. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

İçindekiler vii Yazarların Ön Sözü xiii Çevirenin Ön Sözü xiv Teşekkürler xvi Semboller Listesi xvii. Ölçme, İstatistik ve Araştırma...

İçindekiler vii Yazarların Ön Sözü xiii Çevirenin Ön Sözü xiv Teşekkürler xvi Semboller Listesi xvii. Ölçme, İstatistik ve Araştırma... İçindekiler İçindekiler vii Yazarların Ön Sözü xiii Çevirenin Ön Sözü xiv Teşekkürler xvi Semboller Listesi xvii BÖLÜM 1 Ölçme, İstatistik ve Araştırma...1 Ölçme Nedir?... 3 Ölçme Süreci... 3 Değişkenler

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 8: Prof. Dr. Tanım Hipotez, bir veya daha fazla anakütle hakkında ileri sürülen, ancak doğruluğu önceden bilinmeyen iddialardır. Ortaya atılan iddiaların, örnekten elde edilen

Detaylı

A İSTATİSTİK. 1. nc r, n tane nesneden her defasında r tanesinin alındığı (sıralama önemsiz) kombinasyonların sayısını göstermektedir.

A İSTATİSTİK. 1. nc r, n tane nesneden her defasında r tanesinin alındığı (sıralama önemsiz) kombinasyonların sayısını göstermektedir. . nc r, n tane nesneden her defasında r tanesinin alındığı (sıralama önemsiz) kombinasyonların sayısını göstermektedir. Buna göre, n C r + n C r toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) n + C r B)

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BEKLENEN DEĞER. X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BEKLENEN DEĞER. X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = BEKLENEN DEĞER Belli bir malzeme taşınan kolilerin ağırlıkları

Detaylı

EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9

EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9 EME 3105 1 Girdi Analizi Prosedürü SİSTEM SİMÜLASYONU Modellenecek sistemi (prosesi) dokümante et Veri toplamak için bir plan geliştir Veri topla Verilerin grafiksel ve istatistiksel analizini yap Girdi

Detaylı

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir.

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN

SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ Günümüz simülasyonları gerçek sistem davranışlarını, zamanın bir fonksiyonu olduğu düşüncesine dayanan Monte Carlo yöntemine dayanır. 1.

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan

Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan 1 Ders Planı 1. Karar Problemleri i. Karar problemlerinin bileşenleri ii. Değerler, amaçlar, bağlam iii. Etki diagramları 2. Model Girdilerinde Belirsizlik

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar

Detaylı