Olasılık ve İstatistik TASLAK

Transkript

1 Aydın ÜSTÜN 2014

2 İçindekiler 1 GİRİŞ Ölçme, Olasılık ve İstatistiğe Genel Bakış Deney Tasarımı: Anakütle ve Örneklem Uzayı Örneklem süreci İstatistik Türleri Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik TEMEL OLASILIK Giriş Olasılığın İki Tanımı Rasgele olaylar için cebirsel işlemler Temel Olasılık Önermeleri Koşullu Olasılık Bağımsız Olaylar Bayes Kuramı İleri Sayım Teknikleri Ağaç Çizgeleri

3 ii İçindekiler Permütasyon Kombinasyon RASGELE DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Rasgele Değişken Rasgele Dağılımlar Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Ayrık Dağılım Fonksiyonu Sürekli Dağılım Fonksiyonu Rasgele Değişkenin Beklenen Değeri ve Momenti Beklenen Değer ve Ağırlıklı Ortalama Varyans ve Standart Sapma Moment Diğer Merkezi Eğilim ve Saçılım Ölçütleri Birleşik Rasgele Dağılımlar Ayrık Durum Sürekli Durum Bağımsız Rasgele Değişkenler Koşullu Olasılık Dağılımları Kovaryans ve Korelasyon BAŞLICA OLASILIK DAĞILIMLARI Ayrık Dağılımlar Bernaulli ve Binom Dağılımları Ayrık Üniform Dağılım Poisson Dağılım Sürekli Dağılımlar Normal Dağılım Chi-Kare Dağılımı t Dağılımı

4 İçindekiler iii Fisher Dağılımı

5 Bölüm Ölçme, Olasılık ve İstatistiğe Genel Bakış GİRİŞ Ölçme, fiziksel bir büyüklüğün önceden belirlenmiş birim büyüklükler yardımıyla ölçeklendirilmesi eylemidir. Ölçme sonucu elde edilen sayısal veriye ölçü veya gözlem adı verilir. Tekrarlı ölçü sonuçları birbirine benzer sayısal değerleri işaret etse de, bilim ve mühendislikte ölçme, rasgele (kontrol edilemeyen) olayların sonuçlarıdır. Bu nedenle, istatistikte ölçü ve gözlemlere rasgele değişken gözüyle bakılır. Tekrar edilen her ölçü, farklı zaman veya mekanın özelliklerini yansıtır. Çevresel koşullar istenildiği kadar aynı tutulmaya çalışılsın, yine de insan duyularının ve ölçme sistemlerinin yetersizliği, birbirinden az ya da çok sapan ölçme sonuçlarını doğurur. Sonuç olarak, mükemmel veya kesin değeri verecek bir ölçme işleminden söz etmek olanaklı değildir. Doğada gözlenebilen olaylardan belirli bir sonuç (bilgi) çıkarmak için verileri belli kurallar altında sayısal anlamda toplamak, bilim ve mühendislik çalışmalarının en önemli görevleri arasındadır. Yukarıda anılan nedenlerle ölçme sonuçlarının raslantısal olaylara bağlı olması, gereğinden fazla ölçünün toplanmasını zorunlu kılmaktadır. Öte yandan, belli bir yığını oluşturan veriler arasında raslantısallıktan kaynaklanan tutarsızlıklar görülmesine rağmen, bunlar bazı grafiklere taşındığında ortak (kütlesel) bir davranış sergilerler. Bu davranış biçimi kuramsal olarak iyi bilinen olasılık fonksiyonları ile uyum içindedir. İşte bu yüzden veri yığınlarının tek anlamlı sonuçlara dönüştürülmesi, matematiksel istatistiğin konusudur. Türk Dil Kurumu sözlüğüne 1 göre istatistik tanımı; 1 Türkçe Sözlük (2005) Türk Dil Kurumu, Ankara.

6 2 GİRİŞ bir sonuç çıkarmak için olguları yöntemli bir biçimde (olasılık kuramı ilkelerine dayanarak) toplayıp sayı olarak belirtme işi, sayım bilimi biçiminde verilmektedir. Tanımdan anlaşılacağı üzere, olasılık kuramı istatistiğin temelini oluşturmaktadır. Olasılık kuramı, tıpkı bir ölçme işlemindeki kontrol edilemeyen çevresel etkenlerde olduğu gibi, belirsizlik durumunu inceler. Şans oyunları olasılık uygulamalarının en tipik örneğidir. Bilim ve mühendislik uygulamarında ise deney ya da olay sonuçları (ölçüler), genellikle kontrol edilemeyen ancak varlığı belli olasılık değerleriyle ortaya çıkan (stokastik) olaylar kadar, geometrik ve fiziksel yasaların sonuçları olarak nicelikleri önceden belli (deterministik) olguları da içerir. Örneğin, ağırlık (gravite) ivmesini ölçen bir gravimetreden okunan sayısal değer, yeryuvarının toplam kütlesi ve ölçümün yapıldığı noktanın yerin ağırlık merkezine göre konumuna bağlıdır. Önceden, belirli bir yaklaşıkla bilinen kütle ve konum bilgisi için gravite ivme değeri deterministik yolla hesaplanabilir. Ancak, deterministik sistemler başlangıç koşullar altında hep aynı sonuçları verdiğinden stokastik süreçlerden farklıdırlar, dolayısıyla olasılık kuramının dışında yer alırlar. Bu açıklamalardan yola çıkılarak tek başına olasılık kavramından söz edildiğinde; rasgele olayları analiz eden bir matematik dalı, matematiksel anlamda bir olayın gerçekleşebilme durumunu gösteren sayı (0 ile 1 arasında) anlaşılır. Burada 0 imkansız olay, 1 kesin olay anlamındadır. Veri analizinde istatistik, sonuçların yorumlanması ve gösterimi için gereklidir. Stokastik olayların fonksiyonel davranışını tanımlayan olasılık dağılımları kullanılmaksızın istatistik sonuçlarını yorumlamak zorlaşır. İstatistik, geçmiş verilerin tekrarlanma (frekans, sıklık) durumunu ortaya koyarken; olasılık aynı olayın gelecekteki gerçekleşebilme durumunu açıklar. Söz konusu ilişki, bir yazı-tura oyunuyla örneklendirilebilir. Para atışında yazı veya tura gelme olasılığı, var olan seçenekler göz önüne alınarak hesaplanabilir: normal koşullar altında her ikisi de eşit, 1/2. Buna karşın 100 kez atılmış bir para için 47 tura ve 53 yazı gelmesi, tam aynı olmasa da olasılık dağılımından elde edilen 1/2 değerini işaret ederler. Buradan, istatistik sonuçları tutarlılık açısından olasılık dağılımı değerleriyle irdelenmelidir önermesi yapılabilir. Ayrıca, verilen örneğe ilişkin uygulama esasları ve sonuçları karşılaştırıldığında olasılığın kuramsal, istatistiğin deneysel açıdan değerlendirilmesi gerektiği hemen anlaşılmalıdır. 1.2 Deney Tasarımı: Anakütle ve Örneklem Uzayı Bilimsel araştırmanın amacı sınırlı bir veriden evrenin nasıl işlediğine ilişkin bilgi çıkarmaktır. Deney ve istatistiksel analiz burada çok önemli bir sac ayağı işlevi görür. Araştırmanın çıkış noktası gözlenen olgu ve bağlı olduğu parametreler üzerinden kurulmuş hipotezdir. Hipotezin geçerliliği, ancak bir deneysel çalışmayla sınanabilir. Şekil 1.1 doğa bilimlerinde bilimsel yöntemin nasıl işletildiğini ve deneyin bir bilimsel yaklaşımdaki yerini özetlemektedir. Sonuçta üretilecek bilginin

7 Deney Tasarımı: Anakütle ve Örneklem Uzayı 3 doğruluğunu ya da bilimsel araştırmadan bir sonuca ulaşılıp ulaşılamayacağını, eldeki örnekleme (veri toplama) planı belirler. Olası örnekleme hatalarının sonuçlar (kestirilen parametreler) üzerindeki etkisi sistematik kayıklık (bias) olarak görülür. Doğa olayları ve Gözlemler Hipotez Test edilebilir tahminler Deney ve Veri analizi Deney sonuçları hipotezi doğruluyor mu? Evet Kuram/Bilgi Hayır Hipotezi yeniden kur Şekil 1.1: Bilimsel yöntem kullanarak doğa olaylarından bilgi edinimi İstatistikte ise gözlenen bir olgu hakkında sonuç çıkarabilmek için anakütle (evren, popülasyon ya da uzay) hakkında veri toplamak yerine, sonuçlara anakütleyi temsil eden örneklem uzayı üzerinden ulaşmak pratik bir zorunluluktur. Amaçlanan istatistiksel çalışmanın başarıyla gerçekleştirilmesi deney tasarımına bağlıdır. Deney sonuçlarını etkileme potansiyeline sahip koşulların önceden belirlenmesi tasarımın en kritik aşaması olarak görülmelidir. Anakütle yerine seçilen örneklem uzayındaki örneklem(denek) dağılımı, anakütleyi eksiksiz biçimde temsil edecek nitelikte olması esastır. Bu beklenti, ancak iyi bir deney tasarımı ile karşılanabilir.

8 4 GİRİŞ Örneklem süreci Örneklem sürecini oluşturan aşamalar başarılı bir istatistiksel çalışmanın sonuç ürünü için doğruluk ve tutarlılığın sağlanmasına zemin hazırlar. Bu aşamalar ve temel özellikleri hakkında kısa bilgi maddeler halinde aşağıda verilmektedir. Anakütlenin tanımlaması: Anlaşılmak istenen olgu ve onun nicelik tanımının yapılmasını ifade eder. Bu tanımlar araştırma konusu ana kütleyi açık bir şekilde ortaya çıkarmalıdır. Örneğin, bir ülkedeki okur-yazarlık oranı belirlenmek istensin. Okur-yazarlık, okul çağına gelmiş veya başka bir deyişle okuma-yazma yetisine sahip bireyler ile ilgili bir kavramdır. Dolayısıyla, anakütle (nüfus veya yığın olarak da adlandırılır), okur-yazar olup olmadığı belirlenecek tüm bireylerdir. Okul öncesi yaş grubu ve bu yetiye sahip olmayanlar anakütlenin dışında sayılırlar. Örnekleme çerçevesinin belirlenmesi: Çoğu kez anakütleyi oluşturan tüm bireylere ulaşmak ya pratik olarak olanaksız ya da uygulama maliyeti karşılanamayacak boyuttadır. Böyle bir durumda, anakütleyi oluşturan her örneğin içinde bulunabileceği bir altkütle (örneklem kümesi) araştırmasına gidilebilir. Örneklem kümesi ile anakütle hacminin anlamlı ölçüde daraltılacak olması çalışmanın uygulanabilirliğini kolaylaştıran en önemli unsurdur. Örnekleme çerçevesi anakütle içerisinde sınırları belirlenmiş altkütleyi temsil eder. Yukarıdaki okur-yazarlık örneğini ele alacak olursak, örnekleme çerçevesi bir veya birkaç il veya mahalle ve bu sınırlar içinde kalan bireylerdir. Örnekleme yönteminin belirlenmesi: Yukarıda sınırları belirtilen örneklem çerçevesinden örneklemlerin nasıl seçileceğini açıklar. Basit rasgele, düzenli (sistematik), katmanlı, küme, çok aşamalı ve alan olasılık örnekleme tekniklerinden biri veya kombinasyonları kullanılabilir. Örnekleme tekniğinin seçiminde uygulama maliyetinden doğruluk beklentilerine, istatistik çalışmasının gereksinimlerinden yöntemin uygulanabilirliğine kadar değişik etkenler belirleyici rol oynar. Hangi yöntem seçilirse seçilsin, olasılık dağılımı kurallarına göre örnekleme çerçevesi içinde kalan örneklem çeşitliliğinin ve bu seçimle uygulamaya geçecek erişilebilirliğin ana kütleyi yansıtması esastır. Örnekleme sayısının belirlenmesi: Basitçe ölçü(gözlem) sayısının belirlenmesi olarak değerlendirilebilir. Deneysel çalışmada ilgilenilen parametre ve onların sayısı ile yakın ilişkiye sahiptir. Parametre sayısından az olmamak koşuluyla sonuçların güven ve anlamlılık düzeyi toplanan verilerin sayısına bağlıdır. Anakütle hakkındaki yorum ve çıkarımların gücü örneklem sayısından gelir. Bir çalışmada ne kadarlık veriye gereksinim olduğu bazı test gücü çizelgelerinden ve birikimli (kümülatif) dağılım fonksiyonu eşitliklerinden hesaplanabilir.

9 İstatistik Türleri 5 Örnekleme (veri toplama): Yukarıdaki tasarım aşamalarının uygulanmasıyla veri toplama sürecine geçilmiş olur. Tasarımda belirlenen çerçevenin dışına çıkılmamasının yanı sıra gözlem sırasında çevresel etkenlerin de kayıt altına alınması veri analizini ve çıkarılacak sonuçların kalitesini arttıracağı göz önünde bulundurulmalıdır. 1.3 İstatistik Türleri Örneklem kümesinden elde edilen verilerin istatistiksel analizi bizi iki istatistik türüne götürür: betimsel (açıklayıcı) istatistik ve çıkarımsal (tümevarımcı, sonuç çıkarıcı) istatistik Betimsel istatistik Eldeki verilerin özetlenmiş biçimi ya da başka bir deyişle niceliklendirilmesi betimsel istatistiği açıklar. Verilerin sınıflandırılması, sınıf toplamları veya tekrarlanma sayıları, ortalamaları, saçılım (yayılım) değerleri, veri sınıfları arasındaki ilişki (korelasyon) değerleri, bunlara ait çizelge ve grafik gösterimler betimsel istatistiğin uygulama örnekleridir. Analiz sürecinin olasılık kuramından bağımsız ilerlermesi betimsel istatistiğin ayırtkan özelliğidir. Betimsel istatistik için kullanılan analiz teknikleri değişik biçimlerde sınıflandırılabilir. Değişken sayılarına göre analiz araçları ve bazı örnekler aşağıdaki gibi sıralanabilir: Tek değişkenli (univaryat) Çizelgeler: sayım, frekans (sıklık) Grafik ve çizgeler: çubuk, pasta, ağaç, histoğram Merkezsel konum araçları: ortalama, mod, ortanca (medyan) Yayılım ve saçılım (sapma) ölçütleri: varyans, standart sapma, çarpıklık, basıklık İki değişkenli (bivaryat) Çapraz çizelgeler Saçılım haritaları Bağımlılık ölçütleri (korelasyon, kovaryans) Çok değişkenli (multivaryat) Korelasyon matrisleri Regresyon analizleri

10 6 GİRİŞ Betimsel istatistik örneği olarak, bir öğrenci grubunun belirli bir dersteki başarısı açıklayıcı bir bilgi olarak değerlendirilebilir. Sınav notlarının ortalaması bir başarı göstergesidir. Türkiye İstatistik Kurumu ( tarafından toplanan ve yıllık bazda yayımlanan verilerin tümü (çizelge, grafik vb.) açıklayıcı istatistik niteliğindedir. Örneğin, yılları arasında Türkiye de gerçekleşen sera gazı emisyon (salınım) verileri hem çizelge (Çizelge 1.1) hem de şekil (Şekil 1.2) olarak sunulabilir. Atmosferde sera etkisi yaratan bu gazların yıllık rakamlar üzerinden toplam emisyon içindeki ortalama payları (merkezsel konumları) pasta dilimleriyle Şekil 1.3 deki gibi gösterilebilir. Çizelge 1.1: yılları arasında Türkiye nin sera gazı emisyon değerleri (Kaynak: TÜİK, birim: milyon ton CO 2 eşdeğeri) Yıl CO 2 CH 4 N 2 O F Gazları Toplam Çıkarımsal istatistik Çıkarımsal istatistik, örneklemden elde edilen (betimsel) istatistiksel sonuçları kullanarak anakütle hakkında yargıda bulunmayı amaçlar. Gözlem altına alınan anakütlenin beklenen davranışı hakkında bir yargıda bulunabilmek için bir dizi işlem yürütülür. Betimsel istatistik analiziyle türetilmiş ortalama, standart sapma, korelasyon vb. değerler temel veri olarak kullanılır. Bu bilgilere dayanarak anakütle için bir hipotez (varsayım) ileri sürmek ilk aşamadadır. Olasılık dağılımları

11 İstatistik Türleri Emisyon (milyon ton CO2 eşdeğeri) F Gazları N 2 O CH 4 CO Yıl Şekil 1.2: Yıllara göre Türkiye nin sera gazı emisyonu değişimi (Kaynak: TÜİK) kullanılarak hipotezler testlerden geçirilir ve sonuç olarak geleceğe ilişkin bir öngörülerde bulunulur. Gerektiğinde bu işlem değişik veri grupları arasındaki ilişkilerin tanımlanması ve buradan model üretilmesine (regresyon analizi) doğru götürülebilir. Bütün bu süreçler çıkarımsal istatistik başlığı altında ele alınır. Bu haliyle bilim, mühendislik ve üretim sektörü çıkarımsal istatiği en çok kullananların başında gelir. Neden sonuç ilişkisi en iyi biçimde çıkarımsal istatistikle açıklanabilir. Jeodezik uygulamalarda atmosferik olayların doğrultu, düşey açı, elektro-manyetik dalgalar (örneğin GNSS sinyalleri) üzerindeki etkilerinin araştırılması, uyuşumsuz ölçülerin analizi, deformasyon analizinde noktasal yer değiştirmelerin deformasyon sayılıp CO 2 %76.26 F Gazları %0.64 CH 4 %17.72 N 2 O %5.39 Şekil 1.3: Sera gazlarının yıllık ortalama emisyon oranları (Kaynak: TÜİK)

12 8 GİRİŞ sayılamayacağı, koordinat dönüşümlerinde nokta uyuşum testleri, dengeleme hesabında kestirilen parametrelerin güven ve anlamlılık düzeyleri çıkarımsal istatistiğin en çok karşılaşılan örnekleridir.

13 2.1 Giriş Bölüm 2 TEMEL OLASILIK Rasgele olayların deney sonuçları üzerindeki etkileri belli olasılık değerleri göz önüne alınarak değerlendirilir (bkz. [1.3.2]). Bilim ve mühendislik uygulamalarında bunun en basit örneklerini güven aralığı hesaplamaları oluşturur. İstatistiksel bir çalışmanın kestirilmiş bazı parametrelerine (örneğin ortalama ve saçılım değerlerine) bakılarak, sonuçların güvenirliği hakkında yorum yapılabilir. Olasılık hesaplarının uygulama bulduğu alanlardan bir başkası şans oyunlarıdır. Şans oyunlarının tamamen raslantısal olaylar üzerine kurgulanması, olasılık kuramına ilişkin örneklerin neden bu tür uygulamalardan seçildiğine en iyi cevaptır. Sırasıyla, sayılabilir ve sayılamayan örneklem uzaylarını kullanan ayrık ve sürekli olasılık dağılımları, olasılık kuramının temel özelliklerinin anlaşılmasında anahtar rol oynarlar. Bu bölümde olasılık kuramı açısından rasgele olaylar, rasgele değişkenler ve onların beklenen değerleriyle, sonuçların dağılım özellikleri ele alınacaktır. 2.2 Olasılığın İki Tanımı Deneysel bir çalışmada ardışık gözlemlerin yakın değerler olarak tekrar etmesi belli fiziksel ve geometrik yasaların sonucudur. Bu yasalar aynı girdi verileriyle aynı sonuçları verirler. Gerçekte gözlem değerlerinin benzerliği belirli bir mertebeye kadardır ve genellikle ölçme sisteminin yeteneğiyle ilişkilidir. Ölçülen büyüklüklerdeki tekrar eden rakamlar dış etkenlerin kontrol edilebildiği

14 10 TEMEL OLASILIK (deterministik) kesimi temsil eder. Geriye kalan kesim ise tek bir ölçü için değişkenliği (büyüklüğü ve işareti) önceden kestirilemeyen, ancak kitlesel olarak davranışı bilinen rasgele (stokastik) süreçlerle açıklanır. İnsana ait hatalardan arındırılmış, en gelişmiş teknolojinin kullanıldığı ölçme sistemlerinde bile stokastik büyüklükler kaçınılmaz olarak gözlem değerlerinde kendilerini belli ederler. Ölçme uygulamarında gözlenen büyüklükler, bir yere kadar kontrol altında tutulabilir. Özetle, kusursuz veya mükemmel ölçü yoktur. Bu özellikleriyle ölçüler, şans oyunlarındaki raslantısallıkla bire bir benzer davranış gösterirler. Sonuç olarak, deneysel bir çalışmanın değişkenlerinin alacağı değerlerin, zar atışından farkı yoktur denilebilir. Çevresel koşulların aynı kaldığı deneysel bir çalışmada, tekrarlı gözlemler birbirinden farklı raslantısal değerler alıyorsa bu tür deneylere rastgele deneyler denir. Rasgele deneylerin olası tüm sonuçları bir küme (uzay) ile tanımlanır. Buradan itibaren örneklem uzayı S sembolü ile gösterilecektir. Örneklem uzayının elemanları sözel olabileceği gibi bu küme her biri için atanmış sayıları da içerebilir. Küme elemanları sayılabilir (sonlu ya da sonsuz) veya sayılamaz nitelikte olur. Rasgele deneyler ve örneklem uzayları aşağıda bazı örnekler verilmektedir. Örnek 2.1 Bir para atışında, deney sonucu tura T (1) ya da yazı Y (0) ile sonuçlanır. Buna göre para atışı oyununun küme elemanları, olarak gerçekleşir (sonlu sayılabilir). Örnek 2.2 S = {0,1} veya S = {Y,T} Para atışı iki kez yapılsın. Sembolik veya sayısal olarak, S = {YY,YT,TY,TT} veya S = {0,1,2,3} küme elemanlarıyla ifade edilen 4 sonuçtan biriyle karşılaşılır (sonlu sayılabilir). Örnek 2.3 Zar atışında deney sonucunu oluşturan küme elemanları (sonlu sayılabilir): S = {1,2,3,4,5,6} Örnek 2.4 Bir oyun parkında roket oyunu için boy cetveli testi uygulansın (sonlu sayılabilir): S = {kısa, uzun} veya S = {0,1}

15 Olasılığın İki Tanımı 11 Örnek 2.5 Sonucu doğal sayılar kümesi, olan deney (sonsuz sayılabilir). Örnek 2.6 N = {0,1,2,...} Bir hedefe yapılan 10 doğrultu gözleminin aritmetik ortalaması (sonsuz sayılamaz): S = {0 g t < 400 g } Yukarıda verilen örneklerden anlaşılacağı üzere herhangi bir deneyin olası tüm çıktıları önceden bilinebilmektedir. Para atışında tura gelme olasılığı eşit yazı gelme olasılığı da hesaba katıldığında 1/2 olacaktır. Benzer şekilde zar atışında üç gelme olasılığı 1/6, tek sayı gelme olasılığı 1/2 olacaktır. Olasılığın geleneksel tanımına göre; bir deneyin karşılıklı olarak dışarmalı (mutually exclusive) ve eşit olasılıklı n farklı çıktısı varsa, sayısı n A olan bir olayın gerçekleşme olasılığı, eşitliğinden hesaplanabilir. P(A) = n A n (2.1) Yukarıdaki kuramsal sonuca deneysel yolla ulaşmak mümkündür. Para veya zarın hilesiz, tekrar atışların eşit koşullar altında yapılması durumunda, herhangi bir A olayının gerçekleşme sayısı tüm atışların sayısına bölünerek bağıl tekrarlanma sayısı, h(a) = n A n (2.2) elde edilir. h(a) değerine, geçmişte gözlenmiş olayların sıklığına dayandığından olasılığın frekans açıklaması gözüyle bakılır. P(A) ve h(a) değerleri birbirine eşit çıkması beklenen büyüklüklerdir. Deney sayısı arttıkça sonuçların birbirine daha da yaklaştığı görülür. Buna sonuca göre; A olayının gerçekleşme olasılığı P(A), bağıl tekrarlanma sayısının limit durumudur: P(A) = lim h(a) (2.3) n (2.3) ten, bir olayın olasılığı, bağıl tekrarlanma sayılarına bakılarak tanımlanabileceği anlaşılmalıdır. Ancak, pratikte deney sayısının sonlu oluşu ve kuramsal olasılık değerlerine sadece sonsuzda ulaşılabilmesi, tanım için bu yöntemin tercih edilmesini zora sokar. Bu yüzden olasılık tanımları ve önermeleri daha çok kuramsal olasılık sonuçları için geçerlidir. Örnek 2.7

16 12 TEMEL OLASILIK Bir hastanedeki doğum kayıtlarına göre Ocak ayında 68 erkek, 71 kız bebek dünyaya gelmiştir. Bu verilere göre, erkek ve kız çocuk meydana gelme olasılıkları, sırasıyla h(e) = = 0.489, h(k) = = dir. Olasılık hesabı, 0 ve 1 arasındaki değerlerle sonuçlanır. Bazı durumlarda bu sonuçlar yüzdesel karşılıklarıyla da verilebilmektedir: son örnek için erkek ve kız çocuk dünyaya gelme olasılıklarının %48.9 ve %51.1 olması gibi. 2.3 Rasgele olaylar için cebirsel işlemler Rasgele deneyin olası tüm sonuçlarını içeren S kümesine örneklem uzayı, bu deneyin çıktısına ya da S kümesinin elemanlarından birine örneklem veya elementer olay adı verilir. Örneklem uzayının elemanlarıyla oluşturulmuş (alt)küme bir olayın karşılığıdır. Buna göre; {1,3,5} kümesi zar atışında tek sayı gelme olayının elemanlarıdır. Örneklem uzayının herhangi bir alt kümesi A, rasgele olay veya kısaca olay olarak tanımlanır: A S. Gerçekleşmesi mümkün olmayan olay için alt küme A =, boş kümedir. S örneklem uzayında her hangi iki rasgele olaya karşılık gelen alt kümeler A ve B olsun. A ve B, yeni rasgele olayları türetmek için kullanılabilir. Şekil 2.1 de görüldüğü gibi, Venn diyagramlarıyla gösterilebilen birleşim ( ), kesişim ( ), değil ( ) ve fark ( ) işlemleri olaylar cebri adı verilen matematik yöntemi tanımlar: A B, A ve B olaylarının birleşimi anlamındadır; her iki kümenin sonuçlarını içerir. Mantık işlemlerinde veya operatörünün karşılığıdır. A B, A ve B olaylarının kesişimi anlamındadır; her iki kümenin ortak sonuçlarını içerir. Mantık işlemlerinde ve operatörünün karşılığıdır. Ã, A olayının dışındaki sonuçları ifade eder. Mantık işlemlerinde değil operatörünün karşılığıdır. B A, B nin A da olmayan sonuçlarını kapsar. S A biçiminde yazılırsa, Ã işlemine dönüşür (Şekil 2.1). Örnek 2.8

17 Rasgele olaylar için cebirsel işlemler 13 Zar atışı için rasgele olaylar A = {1,2,3,5} ve B = {3,4,5,6} verilsin. Cebirsel olaylar, A B = {1,2,3,4,5,6} A B = {3,5} Ã = S A = {4,6} B = S B = {1,2} A B = {1,2} B A = {4,6} A B B A = {1,2,4,6} A A A B B S A A veya B (birleşim) A ve B (kesişim) A hariç (değil) B hariç (değil) B hariç A (fark) A hariç B (fark) A ve B karşılıklı dışarmalı A B Ã B = B A A B S A A B B A B B B S S Ã = S A S Şekil 2.1: S örneklem uzayında rasgele olaylar (A, B S) için cebirsel işlemler

18 14 TEMEL OLASILIK A ve B olaylarına karşılık gelen kümelerde herhangi bir eşleşme yoksa yani küme işleminden A B = sonucu çıkıyorsa, bu olaylar karşılıklı olarak dışarmalıdır denir. A 1,A 2,,A n olaylarınınkarşılıklıdışarmalıolmasıiçinbuözelliğinherhangiikiçift için de geçerli olması gerekir Temel Olasılık Önermeleri S örneklem uzayı üzerinden açıklanan her olay A ve onun olasılığını gösteren sayı P(A) olsun. Aşağıdaki temel önermeler (aksiyomlar) kanıt gerektirmeksizin her zaman geçerlidir: Önerme 2.1 A nın olasılık değeri, artı tanımlıdır. Önerme 2.2 S olması kesin olaydır: P(A) 0 (2.4) P(S) = 1 (2.5) Önerme 2.3 A 1,A 2,...,A n karşılıklı olarak dışarmalı olaylar dizisi ise birleşimlerinin olasılığı, ayrı ayrı olasılıklarının toplamına eşittir: P(A 1 A 2 A n ) = n P(A i ) = P(A 1 )+P(A 2 )+ +P(A n ) (2.6) i=1 Yukarıdaki temel önermelere dayanılarak ileride yararlanmak üzere bazı teoremler ileri sürülebilir. Teorem 2.1 A olayının gerçekleşmeme olasılığı, ile hesaplanır. P(Ã) = 1 P(A) (2.7) Kanıt: A olayının gerçeklememesi bu kümenin dışındakileri à = S A ilgilendirir (sonuçlar Akümesinin dışından çıkar). Karşılıklı olarak dışarmalı Ave Ãolaylarının toplamları S örneklem uzayını oluşturduğundan yukarıdaki temel önermeler göz önüne alındığında (2.7) çıkar.

19 Rasgele olaylar için cebirsel işlemler 15 Teorem 2.2 A veya B olaylarının (birleşim) olasılığı, dir. Kanıt: Şekil 2.1 e göre; P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) (2.8) P(A B) = P(A B)+P(A B)+P(Ã B) P(A) = P(A B)+P(A B) P(B) = P(A B)+P(Ã B) P(A)+P(B) = P(A B)+P(Ã B)+2P(A B) eşitlikleri yazılabilir. Son eşitlikte sağ ve soldaki terimlerden P(A B) çıkarılırsa, elde edilir. Örnek 2.9 P(A)+P(B) P(A B) = P(A B)+P(Ã B)+P(A B) = P(A B) Okey taşları arasından rasgele bir seçim yapıldığı varsayılsın. Taşın sarı renkli veya 13 olma olasılığını hesaplayalım. 1 den 13 e kadar 4 renk ve çift seri taşların sayısı 104 tür (joker taşlar hariç). Buradan seçilen taşın, P(13) = 8/ olasılığı P(sarı) = 26/104 sarı renk olasılığı P(13 sarı) = 2/104 bulunduğundan 13 veya sarı taş olasılığı, çıkar. 13 ve sarı renk olasılığı P(13 sarı) = P(13)+P(sarı) P(13 sarı) = = = 4 13 Teorem 2.3 A 1, A 2 ve A 3 olaylarının birleşimi, P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 ) P(A 1 A 2 ) P(A 1 A 3 ) ile elde edilir. Teorem 2.4 Her A olayı için, P(A 2 A 3 )+P(A 1 A 2 A 3 ) (2.9) 0 P(A) 1 (2.10) eşitsizliği geçerlidir. Burada P(A) = 0 olanaksız olayın (A = ), P(A) = 1 kesin olayın (A = S) olasılığıdır. Kanıt: Önerme (2.4) ve Teorem (2.7).

20 16 TEMEL OLASILIK Koşullu Olasılık Örnek 2.10 İki kez atılan para için örneklem uzayı S = {TT,TY,YT,YY} dır. İki atışın da tura gelme olayı A = {TT} ve olasılığı P(A) = 1/4 tür. Buna karşın atışlardan birinin tura olduğu önceden biliniyorsa, B = {TT,TY,YT} olayı ile karşı karşıyayızdır. A B = {TT} olduğuna göre, B den A olayının çıkma olasılığı 1/3 tür. Verilen örneği dikkate alacak olursak, daha önce gerçekleşmiş (önsel) bir olaya ilişkin bilginin olasılık hesabında kullanılması durumu söz konusudur. Olasılık hesabında böylesi uygulamalar, koşullu olasılık adı altında incelenir. Koşullu olasılık hesabı birbirine bağımlı iki olayı gerektirir. A ve B iki olay olsun. Daha önce B nin bilinen gerçekleşmesi içinde (P(B) > 0 koşuluyla) A nın olasılığı P(A B) ile gösterilir. Küme işlemleri üzerinden bu değere, P(A B) = P(A B) P(B) (2.11) işlem sonucu ile ulaşılır. Genel olarak bilinen B için A nın koşullu olasılığı P(A B), bilinen A için B nin koşullu olasılığından P(B A) farklıdır. Örnek 2.11 Bir zar atışında gelen sayının 4 ten küçük olma olasılığını hesaplayalım. a) Başka bilgi verilmemiş olsun. b) Atışın tek sayı ile sonuçlandığı biliniyor olsun. a) A, 4 ten küçük gelme olayını göstersin: A = {1,2,3}. Bu durumda A nin olasılığı (her bir örneklemin eşit olasılığa sahip olduğu düşünülerek), çıkar. P(A) = P(1)+P(2)+P(3) = 1/6+1/6+1/6 = 3/6 = 1/2 b) Gelen sayının tek sayı olduğu biliniyorsa, başka bir deyişle B = {1,3,5} ise, ve koşullu olasılık, elde edilir. A B = {1,3} P(A B) = 2/6 P(A B) = P(A B) = 2/6 P(B) 3/6 = 2/ Bağımsız Olaylar A ve B olayları için, P(A B) = P(A) (2.12)

21 İleri Sayım Teknikleri 17 eşitliğinin geçerli olduğu olaylar dizisinde, A nın gerçekleşmesinin B den etkilenmediği söylenebilir. Buna göre A ve B bağımsız olaylardır deriz. P(A B) = P(A)P(B) (2.13) bağımsız A ve B olaylarının gerçekleşme olasılığını verir. Örnek 2.12 Tavla oyuncusunun zarları atışı bağımsız iki olayı işaret eder. Düşeş (6,6) gelme olasılığı 1 bu bağımsız olaylardan hesaplanabilir: = 1 36 A 1,A 2,A 3 olayları bağımsız, başka bir deyişle, P(A i A j ) = P(A i ) i j (i,j = 1,2,3) (2.14) eşitliğini sağlıyorsa üçünün de aynı olay altında gerçekleşme olasılığı, eşitliğiyle hesaplanır Bayes Kuramı P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 ) (2.15) Birleşimleri örneklem uzayının alt kümesini oluşturan A 1,A 2,A 3, A n in karşılıklı olarak dışarmalı olaylar olduğunu varsayalım. Teorem 2.5 Herhangi bir önsel A olayının gerçekleşmesinin (P(A) > 0) sonucuna bağlı A 1,A 2,,A n olaylarının olasılıkları Bayes Kuralı, yardımıyla belirlenir. P(A i A) = P(A i )P(A A i ) n j=1 P(A j)p(a A j ) (2.16) Bayes teoremi birden fazla koşullu olasılık değerleri arasındaki ilişkiyi açıklar. (2.16) ile P(A B) ve P(B A) ile birbirine dönüştürülebilir büyüklükler haline gelir: P(A B) = P(A)P(B A) P(B) (2.17) 2.4 İleri Sayım Teknikleri Bir örneklem uzayı genellikle sayılabilir sonlu sayıda eleman içerir. Eleman sayısının küçük olduğu durumlarda, olasılık hesaplamak için seçenekleri sıralamak

22 18 TEMEL OLASILIK zor değildir. Eleman sayısının artmasıyla seçenekleri sıralamak veya saymak zorlaşır. Örneğin 0 dan 9 a kadar olan sayılar kaç değişik biçimde sıralanabilir sorusunun cevabını, saymak yerine seçenekleri faktöriyel hesabı ile bulmak daha kolaydır: 10! = Sayım işleminin belli kuramlara dayandırıldığı matematik dalına katışımsal analiz (kombinatoryal analiz, İngilizce combinatorial analysis) adı verilir. Faktöriyel, perpütasyon, kombinasyon varyasyon gibi ileri sayım teknikleri büyük örneklem sayısına sahip veri kümeleri için karmaşık olasılık hesapları yapmanın en etkili araçlarıdır Ağaç Çizgeleri A 1,A 2,...,A k birbirinden bağımsız olaylar, n 1,n 2,...,n k sırasıyla eleman sayıları olsun. k sayıdaki ardışık olayın gerçekleşmesiyle ortaya çıkacak seçeneklerin sayısı, n 1 n 2 n 3 n k (2.18) eleman sayılarının çarpımı ile bulunur. Örneklem değerleri sürekli aynı kümeden çıkıyorsa ya da aynı bağımsız olayın k kez tekrarlanması söz konusu ise bu durumda seçenek sayısı, n n n (k kez) = n k (2.19) olur. Bir zarın ya da paranın k sayıda atılması buna örnektir. Örnek 2.13 Bir dondurmacıdan değişik dondurma ve sos seçenekleriyle sipariş vermek isteyelim. Bağımsız olaylar, Kremalı dondurma grubu K = {Sütlü, Kakaolu} Meyveli dondurma grubu M = {Karadut, Vişne, Limon} Sos grubu S = {Çikolata, Böğürtlen} örneklem kümeleri ile verilsin. Her örneklem kümesinden birer seçim yapılarak verilebilecek siparişlerin sayısı = 12 dir. Örnek 2.14 Bir paranın üç kez arka arkaya atılmasıyla elde edilebilecek sonuçların sayısı = 2 3 = 8 dir. Ardışık olaylar dizisine ait seçeneklerin ve olasılıkların belirlenmesinde ağaç çizgeleri (zaman zaman olasılık çizgeleri de denilmektedir), hem problemin anlaşılmasını hem de hesap kolaylığı sağlar. Örnek 2.13, bir ağaç çizgesi (Şekil 2.2) yardımıyla da gösterilebilir. Benzer şekilde üç kez tekrarlanan para atışı için Şekil 2.3 te görülen seçenekler ve olasılıkları ortaya çıkar.