Steiner Üçlü Sistemleri ve Çizgeler Selda Küçükçifçi* /

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Steiner Üçlü Sistemleri ve Çizgeler Selda Küçükçifçi* / skucukcifci@ku.edu.tr"

Transkript

1 Matematk Dünyas, 00 K fl Kapak Konusu: Geometrk Kombnatork Tasar m kuram n n geçmfl 8 ye, Euler n subay problem ne dayan r. Problem blyoruz. An msatal m: farkl alay ve farkl rütbeden subay sat r ve sütunluk br çzelgeye, her alay ve her rütbe her sat r ve her sütunda sadece br kez görülecek bçmde yerlefltrmek mümkün müdür? Tasar m kuram nda 850 de T. P. Krkman n sordu u Krkman ö renc problem de önemldr. Krkman ö renc problem blok tasar mlar ad verlen br baflka konuya yol açm flt r. Problem flöyle: Br ö retmen 5 ö rencsn haftan n yed günü yürüyüfle ç kar yor. Ö rencler erl befl s ra halnde yürüyorlar. Bu yürüyüfl program n herhang k ö renc sadece br gün ayn s rada yürüyecek fleklde ayarlamak mümkün müdür? Bu sorunu yan t n n evet oldu u gösterleblr. Örne n, afla dak yürüyüfl program çözümlerden brdr. (5 ö rency den 5 e kadar say larla adland rd k.) Ptes Sal Çmba Pmbe Cuma Ctes Pazar Bu soruyu ve çözümünü gördükten sonra akl - n za do al olarak gelen soru, 5 yerne baflka say da ö renc olsayd ne olurdu? olablr. Yukar dak çözüm 5 lk Krkman üçlü sstem dye adland r lan özel br Stener üçlü sstemne örnektr. Stener Üçlü Sstem (SÜS). v > 0 br do al say ve S = {,,..., v} olsun. B, S nn baz üç elemanl altkümelernden oluflan br küme olsun. E er S nn herhang k farkl say s B nn elemanlar nda sadece br kez görülüyorsa, yan her x y v çn, {x, y} A özell n sa layan br ve br tek A B varsa, o zaman (S, B) s ral klsne v lk Stener üçlü sstem * Koç Ünverstes Matematk bölümü ö retm üyes. nglzces Stener trple system, k sa ad yla STS. Stener Üçlü Sstemler ve Çzgeler Selda Küçükçfç* / denr. B nn elemanlar na da üçlü denr. Stener üçlü sstem termn SÜS olarak k saltal m. Örnekler.. v =, B =.. v =, B = {{,, }}.. v =, B = {{,, }, {,, 5}, {,, }, {, 5, }, {5,, }, {,, }, {,, }} s ras yla, ve lk SÜS lerdr. Üçüncü örne, olarak göstereblrz. Burada her sütun br üçlüdür.. Her günün her s ras n br üçlü olarak görürsek, Krkman ö renc problemnn her çözümü 5 lk br SÜS verr. SÜS ün tan m nda, smgeler kümesn, S = {,,..., v} yerne, v tane smges olan herhang br kümey de alablrdk elbet. lerde buna gereksnm duyaca z. SÜS ler çzgelerle de yorumlamak mümkündür. S dek her say br noktay temsl etsn ve her {a, b, c} üçlüsünü a, b, c köflel ve {a, b}, {a, c}, {b, c} kenarl üçgen olarak düflünelm. Her say çft B nn sadece br üçlüsünde olaca ndan her kenar sadece br üçgende olacakt r. Dolay s yla (S, B) SÜS ü, K v tamçzgesnn üçgenlere parçalanmas na denktr. Afla da v = çn bunun br resmn görüyorsunuz K nn üçlü parçalan fl

2 Matematk Dünyas, 00 K fl Braz önce v =,, çn SÜS örnekler gördük. Br SÜS ün oldu u br sonrak v say s 9 dur. Okur, yaz n n devam n okumadan 9 luk br SÜS bulmaya çal flablr. Br sonrak teorem hang v ler çn SÜS lern oldu unu söyleyecek. Teorem [T.P. Krkman, 8]. v lk Stener üçlü sstemnn varl çn gerek ve yeter koflul v ya da (mod ) d r. Ayr ca bu durumda B = v(v )/ d r. Kan t. Bu koflulun gerekll n görmek kolayd r. SÜS ü K v tamçzgesnn üçgenlere parçalan fl olarak düflünürsek, her üçgende üç kenar oldu undan, üçgen say s B oldu undan ve v noktadan herhang ks mutlaka tek br kenar üzernde olmas gerekt nden, parçalan fltak kenar say s n k de flk fleklde hesaplayarak, buluruz. Demek k v(v )/ say s, dolay s yla v(v ) de ün kat olmal d r, yan v 0 ya da mod olmal, yan v 0,, ya da mod olmal. fmd noktas ndan geçen kenarlar sayal m. Bunlardan v tane vard r elbet. Bu noktay çeren her üçgende de bu kenarlardan fler tane oldu- undan, v çft br say olmal. Bu kofluldan dolay, yukardak dört seçenekten sadece ks kal r: v ya da mod. Gerekll gösterdk. Bu arada üçlü say s n veren formülü de göstermfl olduk. Yeterllk koflulunu gösteren brçok kan t olmas na karfl n, en yal n ve fl k olan n (mod ) durumu çn Bose, n (mod ) durumu çn Skolem taraf ndan verlmfltr. Her k kan t da latn karelern çerr. v (mod ) f kk. Önce, köflegen 0,,..., n olan (bunlara tekgüçlü (dempotent) latn kare denr) ve (, j) hücresndek say s (j, ) hücresndek say s na eflt olan (bunlara de flmel latn kare denr) br latn kares bulal m (bkz. afla dak gr kare). E er tekgüçlü ve de flmel latn karenn (, j) hücresnde k varsa, bunu I j = k olarak gösterelm. nfla edece mz SÜS ün smgeler kümesn, S = {(, ε) : = 0,,..., n, ε =,, } olarak tan mlayal m. B de k de flk türden üçlü olacak. Bu üçlüler flöyle tan mlayal m:. Her n + çn, {(, ), (, ), (, )} B olsun.. Her < j n + çn, j {(, ), (j, ), ( I j, )} B {(, ), (j, ), ( I j, )} B Ij {(, ), (j, ), ( I j, )} B olsun. B, kolayca s nanaca üzere, n + lük br SÜS oluflturur. Tekgüçlü ve De flmel Latn Kare nflas {0,,..., n} tabanl, tekgüçlü ve de flmel br latn kare flöyle nfla edleblr: E er j, 0 ve j 0 se, (, j) hanesne, + j k (mod n+) denkl n ve 0 k n efltszl n sa layan k say s n yazal m. (, ) hanesne yazal m. (, 0) ve (0, ) hanelerne, k (mod n+) denkl n ve 0 k n efltszl n sa layan k say s n yazal m. Br baflka deyflle, Z/(n+)Z nn toplama cetvelnde + y gösteren (, ) hanesyle + 0 ve 0 + y gösteren (, 0) ve (0, ) hanelernn yerlern de- fltrelm. Örne- n, n = se, soldak toplama cetvelnden sa dak tekgüçlü ve de- flmel latn karey elde ederz v (mod ) f kk. fmd de Skolem n bu durum çn verd kan t gösterelm. Bu nfla metodu Bose un nfla yöntemnden brazc k daha karmafl k. Bu kez n derecel yar tekgüçlü ve de flmel latn kareler kullanaca z. Bunlar, I j = j I ve I = (n + ) I (n + ) = efltlklern sa layan n lk latn karelerdr (bkz. afla dak gr kare). Böyle br latn karenn smgelernden oluflan kümeye Q dyelm. Ayr ca gb yepyen br smge alal m. Stener üçlü sstemn smgeler kümes, S = { } (Q {0,, }) olarak alal m. B dek üç tür üçlü olacak:

3 Matematk Dünyas, 00 K fl Yar Tekgüçlü ve De flmel Latn Kare nflas n br tek say olsun. A, {0,,..., n } tabanl tekgüçlü ve de flmel br latn kare olsun. B, {n, n+,..., n } tabanl br latn kare olsun. B t, B nn köflegene göre smetr olsun. O zaman, A B B t A n derecel, yar tekgüçlü ve de flmel br latn karedr. Örne n, A = 0 B = 5 se A B B t = 0 5 dr. 0 5 A fmd n br çft say olsun. Z/nZ grubunun toplama cetvelndek say lar, her < n çn, y ye götüren br dönüflümle de fltrelm. n derecel, yar tekgüçlü ve de flmel br latn kare elde ederz. Örne n n = se, ( )( ) dönüflümü y e, ü ye, y e götüren dönüflümlerden brdr. fmd afla dak karenn say lar n bu dönüflüme göre de fltrrsek sa dak yar tekgüçlü ve de flmel karey elde ederz Her 0 n çn, {(, 0), (, ), (, )} üçlüler. Bunlar afla da resmettk. 0 n n n. Her 0 n çn, {, (n+, 0), (, )}, {, (n+, ), (, )}, {, (n+, ), (, 0)} üçlüler. Bunlar da afla da resmettk. n+ n+ n+. Her 0 < j n çn, {(, 0), (j, 0), ( I j, )}, {(, ), (j, ), ( I j, )}, {(, ), (j, ), ( I j, 0)} üçlüler. flte resmler: Ij j Bu üçlülern heps brden n + lk br Stener üçlü sstem oluflturur. Oldukça kolay olan kan t okura b rak yoruz. Devrl SÜS ler Yaz n n bafl nda verd mz üçüncü örnektek B üçlüler kümesnde yerne 0 yazarsak, B = {{ +, +, + } : Z/Z} elde ederz. Buradak {,, } üçlüsüne temel blok denr. Bell br (a, b, c) çn, B = {{a +, b +, c + } : Z/Z} bçmnde olan Stener üçlü sstemlerne devrl Stener üçlü sstemler denr. SÜS ler, Bose ve Skolem n nfla yöntemlernn yan s ra, e er n 9 se devrl br fleklde de elde etmek de mümkündür (soru [Hef] te sorulmufl, [Pel] de yan tlanm flt r), ancak nflaat Bose ve Skolem nkler kadar sade de ldr. Örne n, e er n = se, (0,, ) ve (0,, ) üçlülernn bu özell vard r. Krkman Üçlü Sstemler Br (S, B) Stener üçlü sstemnde B dek üçlüler üçer noktal do ru lar olarak yorumlarsak, kesflmeyen üçlüler paralel do rular olarak alg - lanablr. (S, B) nn br paralel s n f S nn her eleman n n (her noktan n) sadece ve mutlaka br kez göründü ü ayr k üçlüler (paralel do rular) kümesdr. Yan br paralel s n f demek, asl nda, S kümesnn B nn üçlüleryle parçalan fl demektr, ya da, paragraf n bafl ndak yorumla, S nn brbrne paralel do rularla kaplanmas demektr. Örne n Krkman Ö renc Problem nn çözümünde her gün br paralel s n f na tekabül eder. Yanda çözümdek pazartes ve sal günlerne tekabül eden k paralel s n f görüyorsunuz

4 Thomas Krkman Thomas Krkman (80-895) Manchester yak nlar ndak Bolton da okula gtmfl, Esk Yunanca ve Latnce ö renmfl, ancak matematk görmemfltr. Okul müdürü Krkman n Cambrdge e greblecek yetenekte oldu- una nansa da, babay kna edemed nden Krkman yafl nda okulu terkedp babas n n bürosunda çal flmaya bafllar. Büroda bofl durmaz, Esk Yunanca ve Latnce blgsn genfllett gb Frans zca ve Almanca da ö renr. 9 y l burada çal flt ktan sonra can na tak eder ve babas n dnlemeyerek Dubln e Trnty College a matematk, felsefe, klask eserler ve blm okumaya gder. 85 te ngltere ye ger döndü ünde ngltere Klses ne grp papaz olur. lk makalesn 0 yafl nda yazar ve ölümüne dek matematkten kopmaz, durmadan yazar çzer, sorular sorar. Grup teorye ve geometrye katk lar yla blnr. Stener n SÜS lerle lgl problem sormas ndan y l önce problem Lady's and Gentleman's Dary de görüp yan tlam fl ve 8 da Cambrdge and Dubln Mathmatcal Journal da yay mlam flt r. 859 da M. Ress n soruyu yan tlamas ndan sonra, alayc br dlle, Nas l oluyor da Cambrdge and Dubln Mathematcal Journal, clt II, sayfa 9, daha sonra yay mlanan Crelle s Journal clt LVI, sayfa dak br kombnatork makalesnden bu kadar çalablmfl, anlam fl de lm demesyle blnr. Ne var k üçlü sstemler bugün Krkman n de l Stener n ad yla an lmaktad r. 5 Matematk Dünyas, 00 K fl Sonuç olarak, br P paralel s n f, ) Her de flk a, b P çn, a b =, ) a P a = S özellklern sa layan B nn br P altkümesdr. (S, B) de en az br paralel s n f olmas çn v nn e tam bölünmes gerekr elbette, yoksa paralel s n f olamaz. Demek k, braz önce kan tlad - m z teoreme göre, br paralel s n f n olmas çn v (mod ) denkl gerekldr. Her üçlüde/do ruda üç nokta oldu undan, br paralel s n f nda tam v/ tane do ru vard r. Toplam do ru say s v(v )/ oldu undan, en fazla (v )/ tane paralel s n f olablr. Krkman ö renc problemnde (v = 5) haftan n her gününe tekabül eden ayr k paralel s n f bulmufltuk. E er v lk br SÜS (v )/ tane ayr k paralel s - n f na ayr fl yorsa, o zaman bu SÜS v lk Krkman Üçlü Sstem (KÜS) ad n al r. 9 de Djen Ray-Chaudhur yle Rck Wlson v (mod ) denkl n sa layan her v çn br KÜS oldu unu kan tlad. Ayr k Stener Üçlü Sstemler Krkman Ö renc Problem ne br kez daha bakal m. Problemde 5 ö renc var. Bu 5 ö rency, 5 n lüsü kadar, yan, kadar üç kfllk gruplara ay rablrz. Her SÜS te 5 tane üçlü olaca ndan flu soru akla geleblr: Bu 55 üçlüyü tane SÜS e parçalayablr myz? Yan öyle tane (S, B ),..., (S, B ) SÜS ü bulablr myz k, her j çn, B B j = olsun. Bu problem lk kez yeryüzünün gelmfl geçmfl en eksantrk matematkçlernden br olan Sylvester sormufltur. Yan t çn 0 y ldan fazla beklemek gerekt. 9 de R. Dennston yan t n olumlu oldu unu gösterd [Den]. Dennston un yan t flöyle: Smgeler 0,,,...,, a, b olsun. Önce afla - dak SÜS ü kural m. Bu brnc SÜS ümüz a b a 0 b a 9 b a 5 b a b a 8 b ab Sonra, yukardak SÜS ün say lar na le aras nda modülo say lar ekleyelm. a ve b smgelerne dokunulmayacak. Böylece tane daha SÜS elde edlr. Örne n yukardak SÜS e ekleyerek elde edlen SÜS, a b a b a 50b a 8 b a 0 b a 9 b ab

5 Matematk Dünyas, 00 K fl dür. Bu sayede elde edlen SÜS ün hçbrnn ortak üçlüsü yoktur. fmd 5 yerne v ö renc alal m. O zaman tüm üç ö renclk gruplar n say s, d r. Her SÜS te v(v )/ tane üçlü bulundu undan, brbrnden ayr k v tane SÜS ün olup olmad n sorablrz. Cayley 850 de v = çn 5 tane ayr k SÜS ün olamayaca n kan tlad. Ama v = çn tane ayr k SÜS bulablrz. Örne n, ayr k k SÜS tür. (Her sütun br üçlüyü gösteryor.) Brçok matematkçnn, ama özellkle Dennston, Lu Jax n ve Terlnck n katk lar yla 989 da soru tamam yla çözüldü: E er v > se ve elbette v, (mod ) se, v tane ayr k v lk SÜS vard r. Dk Stener Üçlü Sstemler Brbrnden ayr k en büyük say da SÜS bulunablece n yukarda gördük. Ayr kl a br koflul daha ekleyelm. (S, A) ve (S, B) k ayr k SÜS olsunlar, yan A B = olsun. Br de ayr ca, (S, A) ve (S, B) nn flu özell sa lad n varsayal m: x y, z t, (x, y) (z, t) özellklern sa layan her x, y, z, t S çn, {x, y, w}, {z, t, w} A özell n sa layan br w S varsa, o zaman, {x, y, w }, {z, t, w } B özell n sa layan br w S yoktur. Yan (S, A) da (x, y) ve (z, t) nokta çftlernden geçen bloklar kesflyorsa, (S, B) de (x, y) ve (z, t) nokta çftlernden geçen bloklar kesflmez. Yukardak koflulu sa layan SÜS lere dk SÜS ler denr. 99 te her v, v 9 ve v, (mod ) çn brbrne dk k v lk SÜS oldu u kan tland [CGMMR]. 00 te her v 9 ve v (mod ) çn ve belk say d fl nda her v ve v (mod ) çn her br d erne dk üç tane v lk SÜS oldu u kan tland [DDL]. Ayn makalede v =,, 9,, 5 çn brbrne dk üç tane SÜS olmad kan tlan yor. James Joseph Sylvester James Joseph Sylvester lkokulu Londra da, lsey Lverpool da okudu. 8 te Cambrdge Ünverstes ne grd. O zamanlar mezun olmadan önce nglz Klses nde dn br yemn gerekyordu. Ama Sylvester Musev oldu undan yemn etmed ve mezun olamad. Mezun olamad - gb brçok ödül ve bursu da kaç rd. Dn ayr m yapmayan brkaç yerden br olan Londra Ünverstes nde üç y l fzk okuttu. yafl nda Vrgna Ünverstes nde br fl bulduysa da brkaç ay sonra dersnde gazete okuyan ve üstüne üstlük dklenen br ö rencsne b çak uçlu bastonuyla vurunca ö rencsn öldürdü- ünü san p lk vapurla New York a kaçt. Daha sonra avukatl k ve muhasebeclk yapt ve özel matematk ders verd. (Ö renclernden br Florence Nghtngale d.) Ayn adlyede avukat olarak çal flan meflhur matematkç Cayley le tan flt ve k matematkç hayat boyu dost oldular. Adlye kordorlar nda s k s k matematk yap yorlard. Bu arada Sylvester akademk br fl bulmaya çal fl yordu. Brçok baflar s zl ktan sonra, kends yerne terch edlen br aday ölünce, Woolwch Asker Akadems ne profesör olarak atand. Matrslerde öneml fller yapmas na karfl n, burada yazd tek ktap flr üzerneyd: M sralar n Kanunu. Al flt rmalar ) 9 luk SÜS ler bulun. Bu sstemler devrl elde etmek mümkün müdür? ) K n tamçzgesn K lere parçal yor olsayd k gerek koflul ne olacakt? (Bu parçalan fl n asl nda k =, λ = olan br tasar m oldu unu farkettnz m? Bkz. sayfa.). v = çn tane ayr k SÜS bulablr msnz? v = 9 çn en fazla kaç tane ayr k SÜS vard r?

6 Matematk Dünyas, 00 K fl Jakob Stener Jakob Stener okumay yafl nda ö rend. Okula lk kez 8 yafl nda gtt. Daha sonra Hedelberg ve Berln ünverstelernde okudu. Özel derslerden kazand çok az br harçl kla ö rencl n sürdürebld. zdüflümsel geometrye çok öneml katk lar vard r. Analz ve cebr sevmezd, çünkü hesaplar n düflünmey gerekszlefltrd n öte yandan geometrnn düflünmey tetkled n savunurdu. Gerçek pay olan br düflünce... Matematkçlerle lgl tuttu u günlü üyle blnen matematkç Thomas Hrst, Stener hakk nda flunlar yazm flt r: Ortayafll br adam, r k - y m, b y kl, sakall, genfl al nl, uzun br entellektüel yüz, grleflmeye yüz tutmufl koyu saçlar. Yüzde göze lk çarpan dern br endfle ve kayg, nerdeyse ac. Romatzma... Derslern önceden haz rlamazd ve derste s k s k tak l r, kan tlamak sted n kan tlayamazd ve o zaman da dersn hep neleyc br lafla noktalard. SÜS Say s (S, B) br SÜS olsun. π, S nn br eflleflmes (yan permütasyonu) olsun. O zaman (S, π(b)) de br SÜS tür. Burada, π(b) = {π(a) : A B} ve A = {a, b, c} se π(a) = {π(a), π(b), π(c)} dr. (S, B) ve (S, π(b)) SÜS lerne eflyap sal denr. Eflyap sal SÜS ler aras nda dfle dokunur br fark yoktur ve bu yüzden eflyap sal SÜS ler tek br SÜS olarak alg layablrz. Bu anlamda, v = ve 9 çn br tek SÜS, v = çn SÜS, v = 5 çn 80 SÜS vard r. Bu konuda fazla br fley blnmyor. SÜS lern Özyap Dönüflümler (S, B) br SÜS olsun. π : S S eflleflmes B dek üçlüler gene B dek üçlülere gönderyorsa π ye (S, B) nn özyap dönüflümü denr. Stener Sstemler S, v elemanl br küme, t < k brer do al say ve B, S nn k elemanl altkümelernden oluflan br küme olsun. E er S nn t elemanl herhang br altkümes B dek kümelerden sadece brnn altkümesyse, (S, B) ye t-(v, k, ) tasar m ya da Stener sstem ad verlr. E er t = ve k = se Stener üçlü sstemlern elde ederz. (S, B) br t-(v, k, ) tasar m olsun. P S sabt br nokta olsun. S = S \ {P} ve B = {l \ {P} : P l B} olsun. O zaman, (S, B ) br (t )-(v, k, ) tasar m d r. Aç k Soru. 5-(,, ), 5-(, 8, ) gb t nn 5 oldu u brçok Stener sstemler blnmektedr [Cuy], ama t > 5 çn, t-(k, v, ) parametrel br Stener sstem blnmemektedr. Ayr ca, t çn, sadece sonlu tane Stener sstem blnmektedr. Selda Küçükçfç 9 stanbul do umluyum. Lsey Sant Benot Frans z Lses nde, ünverstey Bo azç nde okudum. Matematk a r bas nca, Kmya Mühendsl nden Matematk e geçtm. 995 mezunuyum. Yne ayn bölümde yüksek lsans yapt ktan sonra ABD dek kombnatork dyar Auburn Ünverstes nde doktora yapt m. Doktora sonras araflt rmac olarak br y l Auburn Ünverstes nde ve Etna yanarda n n eteklerndek Catana Ünverstes nde çal flt m. Eylül 00 den ber Koç Ünverstes ndeym. Araflt rma alan m genelde kombnatork, özelde tasar m ve çzge kuramlar d r. Orta ve lsede halkoyunlar, ünverstede seramk, son y llarda yan flüt ve sürekl olarak snema, matemat n yan s ra yaflam mdak güzel fleyler aras nda oldular.

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,

Detaylı

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi

Detaylı

yaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor.

yaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor. Sonlu Oyunlar B u kitapta s k s k oyunlar konu edece iz. Oyunlar sonlu ve sonsuz oyunlar diye ikiye ay raca z. Sonsuz oyunlar da ilerde ikiye ay raca z: Uygulamada sonsuza dek sürebilen ve süremeyen oyunlar.

Detaylı

Matematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d

Matematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d Matematik ve Sonsuz G erek konuflma vermeye gitti im okullarda, gerek bana gelen okur mektuplar nda, ö renci ve ö retmenlerin matematikteki sonsuzluk kavram n pek iyi bilmediklerini gözlemledim. Örne in,

Detaylı

6. NORMAL ALT GRUPLAR

6. NORMAL ALT GRUPLAR 6. ORMAL ALT GRUPLAR G br grup ve olsun. 5. Bölümden çn eştlğnn her zaman doğru olamayacağını blyoruz. Fakat bu özellğ sağlayan gruplar, grup teorsnde öneml rol oynamaktadır. Bu bölümde bu tür grupları

Detaylı

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir B irçok yaz mda olas l k sorusu sordum. Bu yaz mda soru sormayaca m, sadece olas l n matematiksel tan m n verece im. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 say lar aras

Detaylı

Belirtilen kapasitede son kata aittir

Belirtilen kapasitede son kata aittir TE Sers Elektrkl Vnçler 00 kg le, ton aras kapastelerde Her türlü kald rma, çekme uygulamas çn, tona kadar standart modeller mevcuttur. Dayan kl l k ve büyük sar m kapastes le genfl br uygulama alan nda

Detaylı

Fermat Ne Biliyordu? (I)

Fermat Ne Biliyordu? (I) Fermat Ne Biliyordu? (I) S on Teorem Teorem Oldu En Sonunda bafll kl yaz da, 350 y ll k bir aray fltan sonra ancak daha yeni kan tlanan Fermat n n Son Teoremi nden söz etmifltik. 350 y ll k bir aray fltan

Detaylı

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir: Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak

Detaylı

Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin

Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin Kimin Kazand Bilinen Ama Nas l Kazand Bilinmeyen Bir Oyun Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin içindeki larla oynan yor. Örne in, 5 3 boyutlu bir oyun, afla daki fleklin en solundan

Detaylı

Üst Üçgensel Matrisler

Üst Üçgensel Matrisler Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer

Detaylı

Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl

Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl Zü ürt Tesellisi Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl flans n n çok az oldu unu kan tlam flt k. Öyle ki, zengin sonsuz zengin oldu unda oyunu 1 olas l kla (yani yüzde yüz) kazanacakt

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin

Detaylı

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik

Detaylı

KES RLER. Bunlar biliyor musunuz? Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi.

KES RLER. Bunlar biliyor musunuz? Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi. KES RLER Bunlar biliyor musunuz? Bütün: Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi. Yar m: Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Kesir: Bir bütünün bölündü ü eflit parçalar n birini veya

Detaylı

Amerika Birleflik Devletleri nde dikkatimi ilk çeken her fleyin

Amerika Birleflik Devletleri nde dikkatimi ilk çeken her fleyin Dünyan n En Zeki nsan Matematikçilere Karfl Amerika Birleflik Devletleri nde dikkatimi ilk çeken her fleyin büyüklü ü oldu. Arabalar, binalar, Coca Cola lar, al flverifl merkezleri, insanlar... Her fley

Detaylı

bir yol oluşturmaktadır. Yine i 2 , de bir yol oluşturmaktadır. Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre

bir yol oluşturmaktadır. Yine i 2 , de bir yol oluşturmaktadır. Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre Devre Analz Teknkler DEE AAĐZ TEKĐKEĐ Bu zamana kadar kullandığımız Krchoffun kanunları ve Ohm kanunu devre problemlern çözmek çn gerekl ve yeterl olan eştlkler sağladılar. Fakat bu kanunları kullanarak

Detaylı

AZIRBAYCAN HALK MÜZİGİ MAKAMLARıNDAN RAST MAKAMıNıN İNCILINMESi

AZIRBAYCAN HALK MÜZİGİ MAKAMLARıNDAN RAST MAKAMıNıN İNCILINMESi AZIRBAYCAN HALK MÜZİGİ MAKAMLARıNDAN RAST MAKAMıNıN İNCILINMES Arş. Gör. Yavuz ŞEN* Türl< müzğnde bast mal

Detaylı

Standart Model (SM) Lagrange Yoğunluğu. u, d, c, s, t, b. e,, Şimdilik nötrinoları kütlesiz Kabul edeceğiz. Kuark çiftlerini gösterelim.

Standart Model (SM) Lagrange Yoğunluğu. u, d, c, s, t, b. e,, Şimdilik nötrinoları kütlesiz Kabul edeceğiz. Kuark çiftlerini gösterelim. SM de yer alacak fermyonlar Standart Model (SM) agrange Yoğunluğu u s t d c b u, d, c, s, t, b e e e,, Şmdlk nötrnoları kütlesz Kabul edeceğz. Kuark çftlern gösterelm. u, c ve t y u (=1,,) olarak gösterelm.

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar

Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar T avla Üzerine Bir Soru adl yaz da kuramsal olarak sonsuz bir oyun olan tavlan n gerçekte, yani uygulamada, sonsuz olup olmad sorusunu sorduk. Bu yaz da kuramsal olarak sonsuz,

Detaylı

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say

Detaylı

performansi_olcmek 8/25/10 4:36 PM Page 1 Performans Ölçmek

performansi_olcmek 8/25/10 4:36 PM Page 1 Performans Ölçmek Performans Ölçmek Cep Yönderi Dizisi Cep Yönderi Dizisi yöneticilerin ifl yaflam nda her gün karfl laflt klar en yayg n meydan okumalara ivedi çözümler öneriyor. Dizi içinde yer alan her kitapta, güçlü

Detaylı

Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu

Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu Bir Tavla Sorusu Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu tavla maç n kazan r. Kimi tavlac lar maç n 5-4 bitmesine raz olmazlar, aradaki fark n en az 2 olmas n isterler, 6-4, 7-5, 8-6 gibi...

Detaylı

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan

Detaylı

Hasta Rehberi Say 6. KONJEN TAL ADRENAL H PERPLAZ Kolay okunabilir rehber

Hasta Rehberi Say 6. KONJEN TAL ADRENAL H PERPLAZ Kolay okunabilir rehber Hasta Rehberi Say 6 KONJEN TAL ADRENAL H PERPLAZ Kolay okunabilir rehber Konjenital Adrenal Hiperplazi - Say 6 (A ustos 2006 da güncellenmifltir) Bu rehber Reading Üniversitesi, Sa l k Bilimleri Enstitüsü,

Detaylı

BYazan: SEMA ERDO AN. ABD ve Avrupa Standartlar nda Fact-Jacie Akreditasyon Belgesi. Baflkent Üniversitesi nden Bir lk Daha

BYazan: SEMA ERDO AN. ABD ve Avrupa Standartlar nda Fact-Jacie Akreditasyon Belgesi. Baflkent Üniversitesi nden Bir lk Daha Baflkent Üniversitesi nden Bir lk Daha ABD ve Avrupa Standartlar nda Fact-Jacie Akreditasyon Belgesi Baflkent Üniversitesi T p Fakültesi Adana Eriflkin Kemik li i Nakil ve Hücresel Tedavi Merkezi, Türkiye

Detaylı

Direct Decomposition of A Finitely-Generated Module Over a Principal Ideal Domain *

Direct Decomposition of A Finitely-Generated Module Over a Principal Ideal Domain * BİR ESAS İDEAL BÖLGESİ ÜZERİNDEKİ SONLU DOĞURULMUŞ BİR MODÜLÜN DİREK PARÇALANIŞI * Drec Decompoon of A Fnely-Generaed Module Over a Prncpal Ideal Doman * Zeynep YAPTI Fen Blmler Enüü Maemak Anablm Dalı

Detaylı

Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n

Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n Çemberin Çevresi, Dairenin Alan, nin De eri Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n neden r 2 oldu unu görece iz. lkokuldan beri ezberletilen bu formüllerin kan tlar n merak etmemifl

Detaylı

mayan, kimileyin aç klay c, kimileyin biraz daha ileri seviyede ve daha ilgili ve merakl ö renci için yaz lm fl olan di er bölümlerin bafl na 3A, 4C

mayan, kimileyin aç klay c, kimileyin biraz daha ileri seviyede ve daha ilgili ve merakl ö renci için yaz lm fl olan di er bölümlerin bafl na 3A, 4C Önsöz Bu ders notlar, 1995 ten beri stanbul Bilgi Üniversitesi nde birinci s n f matematik ö rencilerine verdi im derslerden ortaya ç kt ve matemati i derinli i ve felsefesiyle ö renmek isteyen, çal flmaktan

Detaylı

Yalanc n n Hakk ndan Gelmek!

Yalanc n n Hakk ndan Gelmek! Yalanc n n Hakk ndan Gelmek! A c d r söylemesi, bunca ülke gördüm, bunca insan tan d m, ülkemde gördü üm kadar çok yalanc y hiçbir yerde görmedim. Do u ya az gittim, ama Bat da gitmedi im yer kalmad desem

Detaylı

TEKNOLOJİ BAĞIMLI YAŞAMIN MATEMATİKSEL DESENLERİ-I

TEKNOLOJİ BAĞIMLI YAŞAMIN MATEMATİKSEL DESENLERİ-I TEKNOLOJİ BAĞIMLI YAŞAMIN MATEMATİKSEL DESENLERİ-I Fevz ÜNLÜ *, Esra DALAN YILDIRIM **,Şule AYAR *** ÖZET: Evren her an nano-önces, nano, mkro, normal, makro ve makro-ötes gözler le gözlemlermze açıktır.

Detaylı

Hilbert in Program ve Gödel in Teoremleri

Hilbert in Program ve Gödel in Teoremleri Hilbert in Program ve Gödel in Teoremleri M atematikçi bir arkadafl m n efli güle güle anlatt. Befl yafl ndaki o luna babas n n bahçede ne yapt n sormufl. Çocuk bahçeye ç k p bir de bakm fl ki, baba, bir

Detaylı

umhurbaflkan iken, Kendi ste iyle Kimya Ö rencisi Oldu

umhurbaflkan iken, Kendi ste iyle Kimya Ö rencisi Oldu C umhurbaflkan iken, Kendi ste iyle Kimya Ö rencisi Oldu Çankaya Köflkü nde Cumhurbaflkan smet nönü, 1942 y l nda hergün sabah akflam büyük bir dikkat ve merakla Hitler in Rusya topraklar ndaki ilerlemesini

Detaylı

Uzay Keflfediyoruz. Günefl Sistemi Nerede? Her Yer Gökada Dolu! n yaln zca biri! evrendeki sonsuz Dünya bizim evimiz ve

Uzay Keflfediyoruz. Günefl Sistemi Nerede? Her Yer Gökada Dolu! n yaln zca biri! evrendeki sonsuz Dünya bizim evimiz ve uzayi kesfet 13/2/6 19:35 Page 34 Uzay Keflfediyoruz n yaln zca biri! de in is kc gö da y sa evrendeki sonsuz Dünya bizi eviiz ve ister isiniz? ak n ta z r la flu renek, ko Evrendeki adresiizi ö Her Yer

Detaylı

NTERNET ÇA I D NAM KLER

NTERNET ÇA I D NAM KLER Mustafa Emre C VELEK NTERNET ÇA I D NAM KLER www.internetdinamikleri.com STANBUL-2009 Yay n No : 2148 letiflim Dizisi : 55 1. Bas m - stanbul - Haziran 2009 ISBN 978-605 - 377-066 - 4 Copyright Bu kitab

Detaylı

fiekers Z D YABET (Diyabet nsipit)

fiekers Z D YABET (Diyabet nsipit) Hasta Rehberi Say 12 fiekers Z D YABET (Diyabet nsipit) Kolay okunabilir rehber Diyabet nsipid - Say 12 (A ustos 2006 da güncellenmifltir) Bu rehber Reading Üniversitesi, Sa l k Bilimleri Enstitüsü, Reading,

Detaylı

Bir oteliniz var. Otelinizin sonsuz say da odas var. Her odan n

Bir oteliniz var. Otelinizin sonsuz say da odas var. Her odan n Sonsuz Odal Otel 1 Bir oteliniz var Otelinizin sonsuz say da odas var Her odan n bir numaras var: 1, 2, 3, 4, 5, 6, Böylece sonsuza kadar gidiyor En sonuncu oda yok Sonsuz numaral oda da yok Her odan n

Detaylı

Yol (km) a) 50 cm 2 m b) 140 km 1040 m c) 8000 m 8 km

Yol (km) a) 50 cm 2 m b) 140 km 1040 m c) 8000 m 8 km .2 Uzunluklar Ölçme Kilometre 1. Grafik: Servis Arac n n Ald Yollar 1. Yandaki grafik, okul servis arac n n bir hafta boyunca ald yolu (km) göstermektedir. Grafi e göre afla daki sorular cevaplay n z.

Detaylı

ALTERNATİF AKIM DEVRE YÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ

ALTERNATİF AKIM DEVRE YÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ BÖLÜM 6 ALTERNATİF AKIM DEVRE ÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ 6. ÇEVRE AKIMLAR ÖNTEMİ 6. SÜPERPOZİSON TEOREMİ 6. DÜĞÜM GERİLİMLER ÖNTEMİ 6.4 THEVENİN TEOREMİ 6.5 NORTON TEOREMİ Tpak GİRİŞ Alternatf akımın

Detaylı

Thomas Hare adl bir ngiliz 1860 larda güzel bir seçim sistemi

Thomas Hare adl bir ngiliz 1860 larda güzel bir seçim sistemi Bu Ne Biçim Seçim 1 Thomas Hare adl bir ngiliz 1860 larda güzel bir seçim sistemi bulmufl 2. Demek ki ngilizler o zamanlar bir yandan sömürüyor, öte yandan demokrasi üzerine araflt rma yap yorlarm fl.

Detaylı

Mustafa Kemal in Bursa da Ö retmenlere Konuflmas

Mustafa Kemal in Bursa da Ö retmenlere Konuflmas Atatürk ün Dünyas Cengiz Önal 64 Mustafa Kemal in Bursa da Ö retmenlere Konuflmas Han mlar, Beyler! stanbul dan geliyorsunuz. Hofl geldiniz. stanbul un fl k ocaklar n temsil eden yüce heyetiniz karfl s

Detaylı

OYUNCU SAYISI Oyun bir çocuk taraf ndan oynanabilece i gibi, farkl yafl gruplar nda 2-6 çocuk ile de oynanabilir.

OYUNCU SAYISI Oyun bir çocuk taraf ndan oynanabilece i gibi, farkl yafl gruplar nda 2-6 çocuk ile de oynanabilir. OYUNCA IN ADI Akl nda Tut YAfi GRUBU 4-6 yafl OYUNCU SAYISI Oyun bir çocuk taraf ndan oynanabilece i gibi, farkl yafl gruplar nda 2-6 çocuk ile de oynanabilir. GENEL KURALLAR Çocuklar n görsel belle inin

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde azla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla ve ayrıca örek verlerde hareket le rekas dağılışlarıı sayısal olarak özetleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlerde

Detaylı

4/A (SSK) S GORTALILARININ YAfiLILIK AYLI INA HAK KAZANMA KOfiULLARI

4/A (SSK) S GORTALILARININ YAfiLILIK AYLI INA HAK KAZANMA KOfiULLARI 4/A (SSK) S GORTALILARININ YAfiLILIK AYLI INA HAK KAZANMA KOfiULLARI Resul KURT* I. G R fi Ülkemizde 4447 say l Kanunla, emeklilikte köklü reformlar yap lm fl, ancak 4447 say l yasan n emeklilikte kademeli

Detaylı

Mesle imizin ve hukuk devletinin teminat olan genç avukatlara arma and r. stanbul Barosu SEM Yürütme Kurulu

Mesle imizin ve hukuk devletinin teminat olan genç avukatlara arma and r. stanbul Barosu SEM Yürütme Kurulu Mesle imizin ve hukuk devletinin teminat olan genç avukatlara arma and r. stanbul Barosu SEM Yürütme Kurulu Cumhuriyeti ve onun gereklerini yüksek sesle anlat n z. Bunu yüreklere yerlefltirmek için elveriflli

Detaylı

Matematik bölümlerinin birinci s -

Matematik bölümlerinin birinci s - Kapak Konusu: Analizden Konular Harmonik Serinin Iraksakl lham Aliyev* / ialiev@akdeniz.edu.tr Ayhan Dil* / adil@akdeniz.edu.tr Matematik bölümlerinin birinci s - n flar na okutulan analiz derslerinde,

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Olcay Bige AŞKUN. İşletme Yönetimi Öğretim ve Eğitiminde Örnek Olaylar ile Yazınsal Kurguları

Yrd. Doç. Dr. Olcay Bige AŞKUN. İşletme Yönetimi Öğretim ve Eğitiminde Örnek Olaylar ile Yazınsal Kurguları I Yrd. Doç. Dr. Olcay Bige AŞKUN İşletme Yönetimi Öğretim ve Eğitiminde Örnek Olaylar ile Yazınsal Kurguları II Yay n No : 2056 Hukuk Dizisi : 289 1. Bas Kas m 2008 - STANBUL ISBN 978-975 - 295-953 - 8

Detaylı

C. MADDEN N ÖLÇÜLEB L R ÖZELL KLER

C. MADDEN N ÖLÇÜLEB L R ÖZELL KLER C. MADDEN N ÖLÇÜLEB L R ÖZELL KLER 1. Patates ve sütün miktar nas l ölçülür? 2. Pinpon topu ile golf topu hemen hemen ayn büyüklüktedir. Her iki topu tartt n zda bulaca n z sonucun ayn olmas n bekler misiniz?

Detaylı

Ders 3: SORUN ANAL Z. Sorun analizi nedir? Sorun analizinin yöntemi. Sorun analizinin ana ad mlar. Sorun A ac

Ders 3: SORUN ANAL Z. Sorun analizi nedir? Sorun analizinin yöntemi. Sorun analizinin ana ad mlar. Sorun A ac Ders 3: SORUN ANAL Z Sorun analizi nedir? Sorun analizi, toplumda varolan bir sorunu temel sorun olarak ele al r ve bu sorun çevresinde yer alan tüm olumsuzluklar ortaya ç karmaya çal fl r. Temel sorunun

Detaylı

Öncelikle tamamen dolu olan albümlerde toplam kaç foto raf oldu unu bulal m. 20 x 5 ifllemini çözümleyerek yapal m. 25 x 17 175 + 255 425

Öncelikle tamamen dolu olan albümlerde toplam kaç foto raf oldu unu bulal m. 20 x 5 ifllemini çözümleyerek yapal m. 25 x 17 175 + 255 425 Do al Say larla Çarpma fllemi MATEMAT K DO AL SAYILARLA ÇARPMA filem Tolga Bey amatör bir foto rafç d r. Çekti i foto raflar her birinde 25 foto raf olan 17 albümde toplam flt r. 18. albümüne ise henüz

Detaylı

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN GEOMETR Geometrik Cisimler Uzunluklar Ölçme 6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN 1. Prizmalar n temel elemanlar n belirler. Tabanlar n n karfl l kl köflelerini birlefltiren ayr tlar tabanlara

Detaylı

Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan

Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan Beyin Cimnastikleri (I) Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan hofllan r bunlardan. lk ikisi konumuz d fl nda. Üçüncüsünü konu edece iz. 1. lk oyunumuz flöyle: Afla daki dört kibrit

Detaylı

2 Mayıs 1995. ELEKTRONİK DEVRELERİ I Kontrol ve Bilgisayar Bölümü Yıl içi Sınavı Not: Not ve kitap kullanılabilir. Süre İKİ saattir. Soru 1.

2 Mayıs 1995. ELEKTRONİK DEVRELERİ I Kontrol ve Bilgisayar Bölümü Yıl içi Sınavı Not: Not ve kitap kullanılabilir. Süre İKİ saattir. Soru 1. ELEKONİK DEELEİ I Kntrl ve Blgsayar Bölümü Yıl ç Sınavı Nt: Nt ve ktap kullanılablr. Süre İKİ saattr. Sru.- r 00k 5k 5k 00Ω 5 6 k8 k6 7 k 8 y k5 0kΩ Mayıs 995 Şekl. Şekl-. de kullanılan tranzstrlar çn

Detaylı

Konsol mesnetleri. 2M-Pratik duvar pergel vinci. Max. Aç kl k. Tafl ma Kapasitesi. Siparifl Numaras. [mt] [kg]

Konsol mesnetleri. 2M-Pratik duvar pergel vinci. Max. Aç kl k. Tafl ma Kapasitesi. Siparifl Numaras. [mt] [kg] Vnç Tekn Pergel Vnçler Duvar Pergel Ekonomk Kald rma Yöntem Do ru yük da l m le sa lan r Tarama alan 180 genfll F Vnç Tekn Konsol mesnetler Maksmum ç kl k yüksekl MPratk, duvar pergel vnc: En yen DIN 18

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28) TEMEL KAVRAMLAR 6. a ve b birer do al say r. a b = 19 oldu una göre, a + b toplam (YANIT: 8) 1. ( 4) ( 1) 6 1 i leminin sonucu (YANIT: ). ( 6) ( 3) ( 4) ( 17) ( 5) :( 11) leminin sonucu (YANIT: 38) 7.

Detaylı

Matematik birtak m formüller ve simgeler y n m d r

Matematik birtak m formüller ve simgeler y n m d r Kim Korkar Matematikten? Matematik birtak m formüller ve simgeler y n m d r gerçekten? Elbette hay r. öyle düflünmek orman a açlarla hayvanlar n kar fl m ndan oluflmufl bir bulamaç gibi görmeye benzer.

Detaylı

Asansörle yükseldi yürüyen merdivenle koşuyor Mete Tamer Omur

Asansörle yükseldi yürüyen merdivenle koşuyor Mete Tamer Omur 1 / 5 16.11.2015 09:30 14.11.2015 Cumartes Asansörle yükseld yürüyen merdvenle koşuyor AİLE bütçesne katkı çn daha lkokul çağında yapmadığı ş kalmaz. Çekrdek, nohut, dondurma satar... At arabasına yükledğ

Detaylı

D fl güzel, içi kaliteli OBO WDK Kablo Döfleme Kanallar, her zaman, her yere uyar

D fl güzel, içi kaliteli OBO WDK Kablo Döfleme Kanallar, her zaman, her yere uyar D fl güzel, içi kaliteli OBO Kablo Döfleme Kanallar, her zaman, her yere uyar OBO Top Modeller LFS Kablo Kanal Sistemleri Her ölçüde çekici Kablo Döfleme Kanal YEN Gelifltirilmifl ürün kalitesi VDE Belgeli

Detaylı

TÜRK DÜNYASI TRANSPLANTASYON DERNE

TÜRK DÜNYASI TRANSPLANTASYON DERNE Prof. Haberal dan Yeni Bir Uluslararas At l m: TÜRK DÜNYASI TRANSPLANTASYON DERNE Dünyan n dört bir yan ndan yüzlerce biliminsan Prof. Dr. Mehmet Haberal taraf ndan kurulan Türk Dünyas Transplantasyon

Detaylı

Genel Yay n S ra No:148 2009/14 Cep Kitapl : XLV. Yay na Haz rlayan Av. Celal Ülgen - Av. Coflkun Ongun. Kapak Can Eren

Genel Yay n S ra No:148 2009/14 Cep Kitapl : XLV. Yay na Haz rlayan Av. Celal Ülgen - Av. Coflkun Ongun. Kapak Can Eren Genel Yay n S ra No:148 2009/14 Cep Kitapl : XLV ISBN No: 978-99-44-234-22-1 Yay na Haz rlayan Av. Celal Ülgen - Av. Coflkun Ongun Kapak Can Eren Tasar m / Uygulama Referans Ajans Tel: +90.212 347 32 47

Detaylı

ISI At f Dizinlerine Derginizi Kazand rman z çin Öneriler

ISI At f Dizinlerine Derginizi Kazand rman z çin Öneriler ISI At f Dizinlerine Derginizi Kazand rman z çin Öneriler Metin TUNÇ Seçici Olun ISI' n editoryal çal flanlar her y l yaklafl k olarak 2,000 dergiyi de erlendirmeye tabi tutmaktad r. Fakat de erlendirilen

Detaylı

MATEMAT K. BÖLME filem

MATEMAT K. BÖLME filem Do al Say larla Bölme fllemi MATEMAT K BÖLME filem 12 çile i 3 taba a eflit olarak paylaflt rd m zda bir taba a kaç çilek düfler? Tabaklara çilekleri birer birer paylaflt ral m. Üç tabak oldu u için çilekler

Detaylı

Turistler art k stanbul u "T kl yorlar"

Turistler art k stanbul u T kl yorlar Turistler art k stanbul u "T kl yorlar" Tanıtım görevlisi bürokratların, turizm acentalarının ve halkla ilişkiler uzmanlarının yıllardır Kafdağı nın ardında sandıkları ve o nedenle yalnızca düşlemekle

Detaylı

Gelece in Bilgi flçilerini Do ru Seçmek: Araflt rma Görevlisi Al m Süreci Örne i

Gelece in Bilgi flçilerini Do ru Seçmek: Araflt rma Görevlisi Al m Süreci Örne i Uluslararas Yüksekö retim Kongresi: Yeni Yönelifller ve Sorunlar (UYK-2011) 27-29 May s 2011, stanbul; 2. Cilt / Bölüm XI / Sayfa 1359-1364 Gelece in Bilgi flçilerini Do ru Seçmek: Araflt rma Görevlisi

Detaylı

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU 6.07.0 ÇOKLU REGRESON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-ON KATSAILARININ ORUMU ÇOKLU REGRESON MODELİ Ekonom ve şletmeclk alanlarında herhang br bağımlı değşken tek br bağımsız

Detaylı

Seramik nedir? alfabesi 6

Seramik nedir? alfabesi 6 Seramik in alfabesi 6 Seramik nedir? Seramik, en basit tarifiyle, çok yüksek s cakl kta piflirilmifl toprak demektir. Serami in tarihi, uygarl k tarihi kadar eskidir. lk serami in Milattan Önce 6000 y

Detaylı

Üç Oyun Birinci Oyun.

Üç Oyun Birinci Oyun. Üç Oyun B irinci Oyun. Oyunumuz en az iki kifli aras nda oynan yor. Ne iskambil kâ d na ne kalem kâ da ne de bir tahtaya gereksinim var bu oyunu oynamak için. Yolda, otobüste, vapurda, sinemada, tiyatroda,

Detaylı

III. ad m: 5 i afla ya indiririz. 5 in içinde 5, 1 defa vard r. A aç dikme kampanyas nda günde ortalama 201 a aç dikilmifltir.

III. ad m: 5 i afla ya indiririz. 5 in içinde 5, 1 defa vard r. A aç dikme kampanyas nda günde ortalama 201 a aç dikilmifltir. Do al Say larla Bölme fllemi BÖLME filem Ankara daki ilkö retim okullar fiehrimizi Yeflillendirelim kampanyas bafllatt lar. Befl gün boyunca bofl alanlara toplam 1005 a aç dikildi ine göre günde ortalama

Detaylı

Yaz ma Aziz Nesin in özyaflamöyküsü Böyle Gelmifl Böyle

Yaz ma Aziz Nesin in özyaflamöyküsü Böyle Gelmifl Böyle Aziz Nesin in Darüflflafaka ya Girifli Yaz ma Aziz Nesin in özyaflamöyküsü Böyle Gelmifl Böyle Gitmez den bir al nt yla bafllayaca m. Ailesi Heybeliada ya tafl nm flt r. Y l 1926. Babam n nerde oldu unu

Detaylı

Baflkanl n, Merkez : Türkiye Bilimsel ve Teknik Araflt rma Kurumu Baflkanl na ba l Marmara Araflt rma Merkezi ni (MAM),

Baflkanl n, Merkez : Türkiye Bilimsel ve Teknik Araflt rma Kurumu Baflkanl na ba l Marmara Araflt rma Merkezi ni (MAM), TÜRK YE B L MSEL VE TEKN K ARAfiTIRMA KURUMU YAYIN YÖNETMEL (*) B R NC BÖLÜM Amaç, Kapsam, Dayanak ve Tan mlar Amaç ve Kapsam Madde 1. Bu Yönetmelik ile; Baflkanl k, Merkez ve Enstitülere ait tüm yay nlar

Detaylı

SIVILARI ÖLÇME. Marketten litreyle al nan ürünlerden baz lar afla da verilmifltir.

SIVILARI ÖLÇME. Marketten litreyle al nan ürünlerden baz lar afla da verilmifltir. S v lar Ölçme MATEMAT K SIVILARI ÖLÇME Marketten litreyle al nan ürünlerden baz lar afla da verilmifltir. Baflka hangi ürünleri litreyle al rs n z? S v lar ölçme birimi litredir. Litre = L Arda, evlerindeki

Detaylı

Cemal Amca n n Zarlar

Cemal Amca n n Zarlar Cemal Amca n n Zarlar B aflkomiserlikten emekli alt kat komflumuz Cemal Amca tavlaya çok düflkündü. Emekli olmazdan önce haftasonlar n bahçede tavla oynayarak geçirirdi. Hafta içindeyse haftasonunu iple

Detaylı

Aristo nun Çat flk s

Aristo nun Çat flk s Aristo nun Çat flk s Y ar çap r olan bir çemberin çevresinin 2 r, alan n n da r 2 oldu unu ilkokul ö rencileri bile bilirler. Daha do rusu bilmeleri gerekir. Öyle söylenmifltir. Ö retmen, r yar çapl bir

Detaylı

5.2 CEPHE PANEL 5.2.1 K YÜZÜ METAL M NERAL YÜN YALITIMLI SANDV Ç PANEL. 5.2.1.1 DÜfiEY CEPHE PANEL UYGULAMASI

5.2 CEPHE PANEL 5.2.1 K YÜZÜ METAL M NERAL YÜN YALITIMLI SANDV Ç PANEL. 5.2.1.1 DÜfiEY CEPHE PANEL UYGULAMASI 5.2 CEPHE PANEL Resim 5.16 Mineral yün cephe paneli 5.2.1 K YÜZÜ METAL M NERAL YÜN YALITIMLI SANDV Ç PANEL Is, su, ses yal t m ve yang n güvenli i özelliklerini bünyesinde bar nd ran mineral yün yal t

Detaylı

Homoteti (Homothety) DÖNÜfiÜMLERLE GEOMETR. Düzlemde M sabit bir nokta ve k bir reel say olmak

Homoteti (Homothety) DÖNÜfiÜMLERLE GEOMETR. Düzlemde M sabit bir nokta ve k bir reel say olmak ÖNÜfiÜLRL GTR ¾ Homoteti (Homothet) üzlemde sabit bir nokta ve k bir reel sa olmak üzere; P = + k.(p ) ÖRNK üzlemde (5, 6) noktas n n (, 7) merkezli ve k = oranl homoteti ini bulal m. eflitli ini sa laan

Detaylı

ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL

ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL 1. DO RULARIN D KL 2. B R DO RUNUN B R DÜZLEME D KL a. Tan m b. Düzlemde Bir Do ru Parças n n Orta Dikme Do rusu c. Bir Do runun Bir Düzleme Dikli ine Ait

Detaylı

ORHAN YILMAZ (*) B- 3095 SAYILI YASADA YAPILAN DE fi KL KLER:

ORHAN YILMAZ (*) B- 3095 SAYILI YASADA YAPILAN DE fi KL KLER: YASAL TEMERRÜT FA Z ORHAN YILMAZ (*) A- G R fi: Bilindi i üzere, gerek yasal kapital faizi ve gerekse yasal temerrüt faizi yönünden uygulanmas gereken hükümler, 19.12.1984 gün ve 18610 say l Resmi Gazete

Detaylı

DENEY 4: SERİ VE PARALEL DEVRELER,VOLTAJ VE AKIM BÖLÜCÜ KURALLARI, KIRCHOFF KANUNLARI

DENEY 4: SERİ VE PARALEL DEVRELER,VOLTAJ VE AKIM BÖLÜCÜ KURALLARI, KIRCHOFF KANUNLARI A. DNYİN AMACI : Bast ser ve bast paralel drenç devrelern analz edp kavramak. Voltaj ve akım bölücü kurallarını kavramak. Krchoff kanunlarını deneysel olarak uygulamak. B. KULLANILACAK AAÇ V MALZML : 1.

Detaylı

DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMA İLE BÜTÇELEME. Hazırlayan: Ozan Kocadağlı Danışman: Prof. Dr. Nalan Cinemre

DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMA İLE BÜTÇELEME. Hazırlayan: Ozan Kocadağlı Danışman: Prof. Dr. Nalan Cinemre 1 DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMA İLE BÜTÇELEME Hazırlayan: Ozan Kocadağlı Danışman: Prof. Dr. Nalan Cnemre 2 BİRİNCİ BÖLÜM HEDEF PROGRAMLAMA 1.1 Grş Karar problemler amaç sayısına göre tek amaçlı ve çok amaçlı

Detaylı

OBO: Bir taflla iki kufl! GEK-K Rapid 45 ve GEK-K 80 lik kanal kapa

OBO: Bir taflla iki kufl! GEK-K Rapid 45 ve GEK-K 80 lik kanal kapa OBO: Bir taflla iki kufl! Rapid 45 ve 80 lik kanal kapa OBO Top Modeller LFS Kablo Kanal Sistemleri K saca: çok daha fazla yer Rapid 45 Rapid 45 tipi kablo kanal, üst düzey bir esneklik sunmaktad r; çünkü

Detaylı

4. Ünite Ö retmen K lavuz Kitab

4. Ünite Ö retmen K lavuz Kitab . Ünite Ö retmen K lavuz Kitab S n f: 1 : Matematik Ünite Numaras : 1 Ünite Süresi: ders saati / GEOMETR Örüntü ve Süslemeler Örüntü ve Süslemeler EK M EYLÜL Do al Do al 1. Bir örüntüdeki iliflkiyi belirler..

Detaylı

Yeni Sınav Sistemi (TEOGES) Hakkında Bilgilendirme

Yeni Sınav Sistemi (TEOGES) Hakkında Bilgilendirme Yeni Sınav Sistemi (TEOGES) Hakkında Bilgilendirme 8. SINIF Sevgili Ö renciler, SBS nin kald r lmas ile bunun yerine yaz l s navlar n merkezî bir uygulamayla yap lmas n esas alan bir sistem getirilmifltir.

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / Nisan 007 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. 3,15 sayısının aşağıdaki sayılardan hangisiyle çarpımının sonucu bir tam

Detaylı

İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ

İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ Deneyde dolu alan tarama dönüşümünün nasıl yapıldığı anlatılacaktır. Dolu alan tarama

Detaylı

YGS TEMEL MATEMA MA T TEMA T K KONU ANLATIMLI

YGS TEMEL MATEMA MA T TEMA T K KONU ANLATIMLI YGS TEMEL MATEMAT K KONU ANLATIMLI YGS KONU ANLATIMLI TEMEL MATEMAT K Bas m Yeri ve Y l stanbul / 0 Bask Cilt Ek Bil Matbaac l k Tel: 0 () 87 ISBN 978 60 70 6 Copyright Ayd n Bas n Yay n Matbaa Sanayi

Detaylı

Kap y açt m. Karfl daireye tafl nan güleç yüzlü Selma Teyze yi gördüm.

Kap y açt m. Karfl daireye tafl nan güleç yüzlü Selma Teyze yi gördüm. Yazar Dede ve Torunlar Muzaffer zgü Kap y açt m. Karfl daireye tafl nan güleç yüzlü Selma Teyze yi gördüm. Buraya yak n market var m dil, markete gidece iz de?.. diye sordu. Annem kap ya geldi. Selma Han

Detaylı

ÇARPANLAR VE KATLAR BİR DOĞAL SAYININ ÇARPANLARINI BULMA. 3. Aşağıda verilen sayıların çarpanlarından asal olanları belirleyelim.

ÇARPANLAR VE KATLAR BİR DOĞAL SAYININ ÇARPANLARINI BULMA. 3. Aşağıda verilen sayıların çarpanlarından asal olanları belirleyelim. ÇARPANLAR VE KATLAR 8.1.1.1. Verilen pozitif tam sayıların çarpanlarını bulur; pozitif tam sayıları üslü ifade yada üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazar. BİR DOĞAL SAYININ ÇARPANLARINI BULMA Her doğal

Detaylı

Veride etiket bilgisi yok Denetimsiz öğrenme (unsupervised learning) Neden gereklidir?

Veride etiket bilgisi yok Denetimsiz öğrenme (unsupervised learning) Neden gereklidir? MEH535 Örünü Tanıma 7. Kümeleme (Cluserng) Doç.Dr. M. Kemal GÜLLÜ Elekronk ve Haberleşme Mühendslğ Bölümü web: hp://akademkpersonel.kocael.edu.r/kemalg/ E-posa: kemalg@kocael.edu.r Verde eke blgs yok Denemsz

Detaylı

ÇINAR KOLEJ Ö RENC LER Ç N RENKL B R DÜNYA

ÇINAR KOLEJ Ö RENC LER Ç N RENKL B R DÜNYA ÇINAR KOLEJ Ö RENC LER Ç N RENKL B R DÜNYA B üyükçekmece deki yeni kampüsünü e itim ve ö retime açan, anas n f, ilkö retim, anadolu ve fen liselerini içeren Ç nar Koleji 32 bin metrekarelik alana kurulu

Detaylı

JOHN DEWEY DEN ATATÜRK E Ö RENC ANDI VE YURTTAfiLIK

JOHN DEWEY DEN ATATÜRK E Ö RENC ANDI VE YURTTAfiLIK Otopsi Cengiz Özak nc JOHN DEWEY DEN ATATÜRK E Ö RENC ANDI VE YURTTAfiLIK Amerikan And : Herkes için adalet ve özgürlükle bölünmez tek ulusa dayanan Cumhuriyet e ve bayra ma ba l olaca ma and içerim. Yer

Detaylı

Suyun. Belle i Var! Bilgiyi belle ine kaydediyor; kesinlikle unutmuyor!... Suyun belle i var!.. Do an n Gizemi Yücel Aksoy SUYUN G ZEM

Suyun. Belle i Var! Bilgiyi belle ine kaydediyor; kesinlikle unutmuyor!... Suyun belle i var!.. Do an n Gizemi Yücel Aksoy SUYUN G ZEM Do an n Gizemi Yücel Aksoy SUYUN G ZEM Suyun Belle i Var! Bilgiyi belle ine kaydediyor; kesinlikle unutmuyor!... Suyun belle i var!.. Bu sözcükler, Japon araflt rmac Dr. Masaru Emoto nun belle inde sürekli

Detaylı

SOSYAL S GORTALAR VE GENEL SA LIK S GORTASI KANUNLARI VE GERÇEKLER SEMPOZYUMU

SOSYAL S GORTALAR VE GENEL SA LIK S GORTASI KANUNLARI VE GERÇEKLER SEMPOZYUMU SOSYAL S GORTALAR VE GENEL SA LIK S GORTASI KANUNLARI VE GERÇEKLER SEMPOZYUMU 26-27.01.2007 stanbul Üniversitesi Merkez Bina Doktora Salonu stanbul Barosu stanbul Üniversitesi Hukuk Fakültesi STANBUL BAROSU

Detaylı

Afrodisyas Ek Müzesi. Yap Tan t m. Mimari Tasar m. : Cengiz BEKTAfi, Yük. Müh. Mimar Bektafl Mimarl k flli i Yard mc Mimarlar

Afrodisyas Ek Müzesi. Yap Tan t m. Mimari Tasar m. : Cengiz BEKTAfi, Yük. Müh. Mimar Bektafl Mimarl k flli i Yard mc Mimarlar EGEM MARLIK 2008/2-65 Yap Tan t m Afrodisyas Ek Müzesi Mimari Tasar m : Cengiz BEKTAfi, Yük. Müh. Mimar Bektafl Mimarl k flli i Yard mc Mimarlar : Eda ERKAN ALTUNBAfi Gülnaz GÜZELO LU Emrah DEM R Statik

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM EKONOMİYE GÜVEN VE BEKLENTİLER ANKETİ

İKİNCİ BÖLÜM EKONOMİYE GÜVEN VE BEKLENTİLER ANKETİ İKİNCİ BÖLÜM EKONOMİYE GÜVEN VE BEKLENTİLER ANKETİ 120 kinci Bölüm - Ekonomiye Güven ve Beklentiler Anketi 1. ARAfiTIRMANIN AMACI ve YÖNTEM Ekonomiye Güven ve Beklentiler Anketi, tüketici enflasyonu, iflsizlik

Detaylı

1.Temel Kavramlar 2. ÆÍlemler

1.Temel Kavramlar 2. ÆÍlemler 1.Temel Kavramlar Abaküs Nedir... 7 Abaküsün Tarihçesi... 9 Abaküsün Faydaları... 12 Abaküsü Tanıyalım... 13 Abaküste Rakamların Gösterili i... 18 Abaküste Parmak Hareketlerinin Gösterili i... 19 2. lemler

Detaylı

ENDÜSTRİNİN DEĞİŞİK İŞ KOLLARINDA İHTİYAÇ DUYULAN ELEMANLARIN YÜKSEK TEKNİK EĞİTİM MEZUNLARINDAN SAĞLANMASINDAKİ BEKLENTİLERİN SINANMASI

ENDÜSTRİNİN DEĞİŞİK İŞ KOLLARINDA İHTİYAÇ DUYULAN ELEMANLARIN YÜKSEK TEKNİK EĞİTİM MEZUNLARINDAN SAĞLANMASINDAKİ BEKLENTİLERİN SINANMASI V. Ulusal Üretm Araştırmaları Sempozyumu, İstanbul Tcaret Ünverstes, 5-7 Kasım 5 ENDÜSTRİNİN DEĞİŞİK İŞ KOLLARINDA İHTİYAÇ DUYULAN ELEMANLARIN YÜKSEK TEKNİK EĞİTİM MEZUNLARINDAN SAĞLANMASINDAKİ BEKLENTİLERİN

Detaylı

VANTİLATÖR TASARIMI. Şekil 1. Merkezkaç vantilatör tipleri

VANTİLATÖR TASARIMI. Şekil 1. Merkezkaç vantilatör tipleri 563 VANTİLATÖR TASARIMI Fuat Hakan DOLAY Cem PARMAKSIZOĞLU ÖZET Bu çalışmada merkezkaç ve eksenel vantlatör tpler çn gelştrlmş olan matematksel modeln çözümünü sağlayan br blgsayar programı hazırlanmıştır.

Detaylı

YARGITAY 2. HUKUK DA RES

YARGITAY 2. HUKUK DA RES YARGITAY 2. HUKUK DA RES 2674 STANBUL BAROSU DERG S Cilt: 81 Say : 6 Y l 2007 YARGITAY 2. HUKUK DA RES E: 2005/20742 K: 2006/5715 T: 18.04.2006 M RASÇILIK SIFATI M RASIN NT KAL ZAMAN YÖNÜNDEN UYGULANACAK

Detaylı

Doç. Dr. Mehmet Durdu KARSLI Sakarya Üniversitesi E itim fakültesi Doç. Dr. I k ifa ÜSTÜNER Akdeniz Üniversitesi E itim Fakültesi

Doç. Dr. Mehmet Durdu KARSLI Sakarya Üniversitesi E itim fakültesi Doç. Dr. I k ifa ÜSTÜNER Akdeniz Üniversitesi E itim Fakültesi ÜN VERS TEYE G R SINAV S STEM NDEK SON DE KL E L K N Ö RENC LER N ALGILARI Doç. Dr. Mehmet Durdu KARSLI Sakarya Üniversitesi E itim fakültesi Doç. Dr. I k ifa ÜSTÜNER Akdeniz Üniversitesi E itim Fakültesi

Detaylı