Steiner Üçlü Sistemleri ve Çizgeler Selda Küçükçifçi* /

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Steiner Üçlü Sistemleri ve Çizgeler Selda Küçükçifçi* / skucukcifci@ku.edu.tr"

Transkript

1 Matematk Dünyas, 00 K fl Kapak Konusu: Geometrk Kombnatork Tasar m kuram n n geçmfl 8 ye, Euler n subay problem ne dayan r. Problem blyoruz. An msatal m: farkl alay ve farkl rütbeden subay sat r ve sütunluk br çzelgeye, her alay ve her rütbe her sat r ve her sütunda sadece br kez görülecek bçmde yerlefltrmek mümkün müdür? Tasar m kuram nda 850 de T. P. Krkman n sordu u Krkman ö renc problem de önemldr. Krkman ö renc problem blok tasar mlar ad verlen br baflka konuya yol açm flt r. Problem flöyle: Br ö retmen 5 ö rencsn haftan n yed günü yürüyüfle ç kar yor. Ö rencler erl befl s ra halnde yürüyorlar. Bu yürüyüfl program n herhang k ö renc sadece br gün ayn s rada yürüyecek fleklde ayarlamak mümkün müdür? Bu sorunu yan t n n evet oldu u gösterleblr. Örne n, afla dak yürüyüfl program çözümlerden brdr. (5 ö rency den 5 e kadar say larla adland rd k.) Ptes Sal Çmba Pmbe Cuma Ctes Pazar Bu soruyu ve çözümünü gördükten sonra akl - n za do al olarak gelen soru, 5 yerne baflka say da ö renc olsayd ne olurdu? olablr. Yukar dak çözüm 5 lk Krkman üçlü sstem dye adland r lan özel br Stener üçlü sstemne örnektr. Stener Üçlü Sstem (SÜS). v > 0 br do al say ve S = {,,..., v} olsun. B, S nn baz üç elemanl altkümelernden oluflan br küme olsun. E er S nn herhang k farkl say s B nn elemanlar nda sadece br kez görülüyorsa, yan her x y v çn, {x, y} A özell n sa layan br ve br tek A B varsa, o zaman (S, B) s ral klsne v lk Stener üçlü sstem * Koç Ünverstes Matematk bölümü ö retm üyes. nglzces Stener trple system, k sa ad yla STS. Stener Üçlü Sstemler ve Çzgeler Selda Küçükçfç* / denr. B nn elemanlar na da üçlü denr. Stener üçlü sstem termn SÜS olarak k saltal m. Örnekler.. v =, B =.. v =, B = {{,, }}.. v =, B = {{,, }, {,, 5}, {,, }, {, 5, }, {5,, }, {,, }, {,, }} s ras yla, ve lk SÜS lerdr. Üçüncü örne, olarak göstereblrz. Burada her sütun br üçlüdür.. Her günün her s ras n br üçlü olarak görürsek, Krkman ö renc problemnn her çözümü 5 lk br SÜS verr. SÜS ün tan m nda, smgeler kümesn, S = {,,..., v} yerne, v tane smges olan herhang br kümey de alablrdk elbet. lerde buna gereksnm duyaca z. SÜS ler çzgelerle de yorumlamak mümkündür. S dek her say br noktay temsl etsn ve her {a, b, c} üçlüsünü a, b, c köflel ve {a, b}, {a, c}, {b, c} kenarl üçgen olarak düflünelm. Her say çft B nn sadece br üçlüsünde olaca ndan her kenar sadece br üçgende olacakt r. Dolay s yla (S, B) SÜS ü, K v tamçzgesnn üçgenlere parçalanmas na denktr. Afla da v = çn bunun br resmn görüyorsunuz K nn üçlü parçalan fl

2 Matematk Dünyas, 00 K fl Braz önce v =,, çn SÜS örnekler gördük. Br SÜS ün oldu u br sonrak v say s 9 dur. Okur, yaz n n devam n okumadan 9 luk br SÜS bulmaya çal flablr. Br sonrak teorem hang v ler çn SÜS lern oldu unu söyleyecek. Teorem [T.P. Krkman, 8]. v lk Stener üçlü sstemnn varl çn gerek ve yeter koflul v ya da (mod ) d r. Ayr ca bu durumda B = v(v )/ d r. Kan t. Bu koflulun gerekll n görmek kolayd r. SÜS ü K v tamçzgesnn üçgenlere parçalan fl olarak düflünürsek, her üçgende üç kenar oldu undan, üçgen say s B oldu undan ve v noktadan herhang ks mutlaka tek br kenar üzernde olmas gerekt nden, parçalan fltak kenar say s n k de flk fleklde hesaplayarak, buluruz. Demek k v(v )/ say s, dolay s yla v(v ) de ün kat olmal d r, yan v 0 ya da mod olmal, yan v 0,, ya da mod olmal. fmd noktas ndan geçen kenarlar sayal m. Bunlardan v tane vard r elbet. Bu noktay çeren her üçgende de bu kenarlardan fler tane oldu- undan, v çft br say olmal. Bu kofluldan dolay, yukardak dört seçenekten sadece ks kal r: v ya da mod. Gerekll gösterdk. Bu arada üçlü say s n veren formülü de göstermfl olduk. Yeterllk koflulunu gösteren brçok kan t olmas na karfl n, en yal n ve fl k olan n (mod ) durumu çn Bose, n (mod ) durumu çn Skolem taraf ndan verlmfltr. Her k kan t da latn karelern çerr. v (mod ) f kk. Önce, köflegen 0,,..., n olan (bunlara tekgüçlü (dempotent) latn kare denr) ve (, j) hücresndek say s (j, ) hücresndek say s na eflt olan (bunlara de flmel latn kare denr) br latn kares bulal m (bkz. afla dak gr kare). E er tekgüçlü ve de flmel latn karenn (, j) hücresnde k varsa, bunu I j = k olarak gösterelm. nfla edece mz SÜS ün smgeler kümesn, S = {(, ε) : = 0,,..., n, ε =,, } olarak tan mlayal m. B de k de flk türden üçlü olacak. Bu üçlüler flöyle tan mlayal m:. Her n + çn, {(, ), (, ), (, )} B olsun.. Her < j n + çn, j {(, ), (j, ), ( I j, )} B {(, ), (j, ), ( I j, )} B Ij {(, ), (j, ), ( I j, )} B olsun. B, kolayca s nanaca üzere, n + lük br SÜS oluflturur. Tekgüçlü ve De flmel Latn Kare nflas {0,,..., n} tabanl, tekgüçlü ve de flmel br latn kare flöyle nfla edleblr: E er j, 0 ve j 0 se, (, j) hanesne, + j k (mod n+) denkl n ve 0 k n efltszl n sa layan k say s n yazal m. (, ) hanesne yazal m. (, 0) ve (0, ) hanelerne, k (mod n+) denkl n ve 0 k n efltszl n sa layan k say s n yazal m. Br baflka deyflle, Z/(n+)Z nn toplama cetvelnde + y gösteren (, ) hanesyle + 0 ve 0 + y gösteren (, 0) ve (0, ) hanelernn yerlern de- fltrelm. Örne- n, n = se, soldak toplama cetvelnden sa dak tekgüçlü ve de- flmel latn karey elde ederz v (mod ) f kk. fmd de Skolem n bu durum çn verd kan t gösterelm. Bu nfla metodu Bose un nfla yöntemnden brazc k daha karmafl k. Bu kez n derecel yar tekgüçlü ve de flmel latn kareler kullanaca z. Bunlar, I j = j I ve I = (n + ) I (n + ) = efltlklern sa layan n lk latn karelerdr (bkz. afla dak gr kare). Böyle br latn karenn smgelernden oluflan kümeye Q dyelm. Ayr ca gb yepyen br smge alal m. Stener üçlü sstemn smgeler kümes, S = { } (Q {0,, }) olarak alal m. B dek üç tür üçlü olacak:

3 Matematk Dünyas, 00 K fl Yar Tekgüçlü ve De flmel Latn Kare nflas n br tek say olsun. A, {0,,..., n } tabanl tekgüçlü ve de flmel br latn kare olsun. B, {n, n+,..., n } tabanl br latn kare olsun. B t, B nn köflegene göre smetr olsun. O zaman, A B B t A n derecel, yar tekgüçlü ve de flmel br latn karedr. Örne n, A = 0 B = 5 se A B B t = 0 5 dr. 0 5 A fmd n br çft say olsun. Z/nZ grubunun toplama cetvelndek say lar, her < n çn, y ye götüren br dönüflümle de fltrelm. n derecel, yar tekgüçlü ve de flmel br latn kare elde ederz. Örne n n = se, ( )( ) dönüflümü y e, ü ye, y e götüren dönüflümlerden brdr. fmd afla dak karenn say lar n bu dönüflüme göre de fltrrsek sa dak yar tekgüçlü ve de flmel karey elde ederz Her 0 n çn, {(, 0), (, ), (, )} üçlüler. Bunlar afla da resmettk. 0 n n n. Her 0 n çn, {, (n+, 0), (, )}, {, (n+, ), (, )}, {, (n+, ), (, 0)} üçlüler. Bunlar da afla da resmettk. n+ n+ n+. Her 0 < j n çn, {(, 0), (j, 0), ( I j, )}, {(, ), (j, ), ( I j, )}, {(, ), (j, ), ( I j, 0)} üçlüler. flte resmler: Ij j Bu üçlülern heps brden n + lk br Stener üçlü sstem oluflturur. Oldukça kolay olan kan t okura b rak yoruz. Devrl SÜS ler Yaz n n bafl nda verd mz üçüncü örnektek B üçlüler kümesnde yerne 0 yazarsak, B = {{ +, +, + } : Z/Z} elde ederz. Buradak {,, } üçlüsüne temel blok denr. Bell br (a, b, c) çn, B = {{a +, b +, c + } : Z/Z} bçmnde olan Stener üçlü sstemlerne devrl Stener üçlü sstemler denr. SÜS ler, Bose ve Skolem n nfla yöntemlernn yan s ra, e er n 9 se devrl br fleklde de elde etmek de mümkündür (soru [Hef] te sorulmufl, [Pel] de yan tlanm flt r), ancak nflaat Bose ve Skolem nkler kadar sade de ldr. Örne n, e er n = se, (0,, ) ve (0,, ) üçlülernn bu özell vard r. Krkman Üçlü Sstemler Br (S, B) Stener üçlü sstemnde B dek üçlüler üçer noktal do ru lar olarak yorumlarsak, kesflmeyen üçlüler paralel do rular olarak alg - lanablr. (S, B) nn br paralel s n f S nn her eleman n n (her noktan n) sadece ve mutlaka br kez göründü ü ayr k üçlüler (paralel do rular) kümesdr. Yan br paralel s n f demek, asl nda, S kümesnn B nn üçlüleryle parçalan fl demektr, ya da, paragraf n bafl ndak yorumla, S nn brbrne paralel do rularla kaplanmas demektr. Örne n Krkman Ö renc Problem nn çözümünde her gün br paralel s n f na tekabül eder. Yanda çözümdek pazartes ve sal günlerne tekabül eden k paralel s n f görüyorsunuz

4 Thomas Krkman Thomas Krkman (80-895) Manchester yak nlar ndak Bolton da okula gtmfl, Esk Yunanca ve Latnce ö renmfl, ancak matematk görmemfltr. Okul müdürü Krkman n Cambrdge e greblecek yetenekte oldu- una nansa da, babay kna edemed nden Krkman yafl nda okulu terkedp babas n n bürosunda çal flmaya bafllar. Büroda bofl durmaz, Esk Yunanca ve Latnce blgsn genfllett gb Frans zca ve Almanca da ö renr. 9 y l burada çal flt ktan sonra can na tak eder ve babas n dnlemeyerek Dubln e Trnty College a matematk, felsefe, klask eserler ve blm okumaya gder. 85 te ngltere ye ger döndü ünde ngltere Klses ne grp papaz olur. lk makalesn 0 yafl nda yazar ve ölümüne dek matematkten kopmaz, durmadan yazar çzer, sorular sorar. Grup teorye ve geometrye katk lar yla blnr. Stener n SÜS lerle lgl problem sormas ndan y l önce problem Lady's and Gentleman's Dary de görüp yan tlam fl ve 8 da Cambrdge and Dubln Mathmatcal Journal da yay mlam flt r. 859 da M. Ress n soruyu yan tlamas ndan sonra, alayc br dlle, Nas l oluyor da Cambrdge and Dubln Mathematcal Journal, clt II, sayfa 9, daha sonra yay mlanan Crelle s Journal clt LVI, sayfa dak br kombnatork makalesnden bu kadar çalablmfl, anlam fl de lm demesyle blnr. Ne var k üçlü sstemler bugün Krkman n de l Stener n ad yla an lmaktad r. 5 Matematk Dünyas, 00 K fl Sonuç olarak, br P paralel s n f, ) Her de flk a, b P çn, a b =, ) a P a = S özellklern sa layan B nn br P altkümesdr. (S, B) de en az br paralel s n f olmas çn v nn e tam bölünmes gerekr elbette, yoksa paralel s n f olamaz. Demek k, braz önce kan tlad - m z teoreme göre, br paralel s n f n olmas çn v (mod ) denkl gerekldr. Her üçlüde/do ruda üç nokta oldu undan, br paralel s n f nda tam v/ tane do ru vard r. Toplam do ru say s v(v )/ oldu undan, en fazla (v )/ tane paralel s n f olablr. Krkman ö renc problemnde (v = 5) haftan n her gününe tekabül eden ayr k paralel s n f bulmufltuk. E er v lk br SÜS (v )/ tane ayr k paralel s - n f na ayr fl yorsa, o zaman bu SÜS v lk Krkman Üçlü Sstem (KÜS) ad n al r. 9 de Djen Ray-Chaudhur yle Rck Wlson v (mod ) denkl n sa layan her v çn br KÜS oldu unu kan tlad. Ayr k Stener Üçlü Sstemler Krkman Ö renc Problem ne br kez daha bakal m. Problemde 5 ö renc var. Bu 5 ö rency, 5 n lüsü kadar, yan, kadar üç kfllk gruplara ay rablrz. Her SÜS te 5 tane üçlü olaca ndan flu soru akla geleblr: Bu 55 üçlüyü tane SÜS e parçalayablr myz? Yan öyle tane (S, B ),..., (S, B ) SÜS ü bulablr myz k, her j çn, B B j = olsun. Bu problem lk kez yeryüzünün gelmfl geçmfl en eksantrk matematkçlernden br olan Sylvester sormufltur. Yan t çn 0 y ldan fazla beklemek gerekt. 9 de R. Dennston yan t n olumlu oldu unu gösterd [Den]. Dennston un yan t flöyle: Smgeler 0,,,...,, a, b olsun. Önce afla - dak SÜS ü kural m. Bu brnc SÜS ümüz a b a 0 b a 9 b a 5 b a b a 8 b ab Sonra, yukardak SÜS ün say lar na le aras nda modülo say lar ekleyelm. a ve b smgelerne dokunulmayacak. Böylece tane daha SÜS elde edlr. Örne n yukardak SÜS e ekleyerek elde edlen SÜS, a b a b a 50b a 8 b a 0 b a 9 b ab

5 Matematk Dünyas, 00 K fl dür. Bu sayede elde edlen SÜS ün hçbrnn ortak üçlüsü yoktur. fmd 5 yerne v ö renc alal m. O zaman tüm üç ö renclk gruplar n say s, d r. Her SÜS te v(v )/ tane üçlü bulundu undan, brbrnden ayr k v tane SÜS ün olup olmad n sorablrz. Cayley 850 de v = çn 5 tane ayr k SÜS ün olamayaca n kan tlad. Ama v = çn tane ayr k SÜS bulablrz. Örne n, ayr k k SÜS tür. (Her sütun br üçlüyü gösteryor.) Brçok matematkçnn, ama özellkle Dennston, Lu Jax n ve Terlnck n katk lar yla 989 da soru tamam yla çözüldü: E er v > se ve elbette v, (mod ) se, v tane ayr k v lk SÜS vard r. Dk Stener Üçlü Sstemler Brbrnden ayr k en büyük say da SÜS bulunablece n yukarda gördük. Ayr kl a br koflul daha ekleyelm. (S, A) ve (S, B) k ayr k SÜS olsunlar, yan A B = olsun. Br de ayr ca, (S, A) ve (S, B) nn flu özell sa lad n varsayal m: x y, z t, (x, y) (z, t) özellklern sa layan her x, y, z, t S çn, {x, y, w}, {z, t, w} A özell n sa layan br w S varsa, o zaman, {x, y, w }, {z, t, w } B özell n sa layan br w S yoktur. Yan (S, A) da (x, y) ve (z, t) nokta çftlernden geçen bloklar kesflyorsa, (S, B) de (x, y) ve (z, t) nokta çftlernden geçen bloklar kesflmez. Yukardak koflulu sa layan SÜS lere dk SÜS ler denr. 99 te her v, v 9 ve v, (mod ) çn brbrne dk k v lk SÜS oldu u kan tland [CGMMR]. 00 te her v 9 ve v (mod ) çn ve belk say d fl nda her v ve v (mod ) çn her br d erne dk üç tane v lk SÜS oldu u kan tland [DDL]. Ayn makalede v =,, 9,, 5 çn brbrne dk üç tane SÜS olmad kan tlan yor. James Joseph Sylvester James Joseph Sylvester lkokulu Londra da, lsey Lverpool da okudu. 8 te Cambrdge Ünverstes ne grd. O zamanlar mezun olmadan önce nglz Klses nde dn br yemn gerekyordu. Ama Sylvester Musev oldu undan yemn etmed ve mezun olamad. Mezun olamad - gb brçok ödül ve bursu da kaç rd. Dn ayr m yapmayan brkaç yerden br olan Londra Ünverstes nde üç y l fzk okuttu. yafl nda Vrgna Ünverstes nde br fl bulduysa da brkaç ay sonra dersnde gazete okuyan ve üstüne üstlük dklenen br ö rencsne b çak uçlu bastonuyla vurunca ö rencsn öldürdü- ünü san p lk vapurla New York a kaçt. Daha sonra avukatl k ve muhasebeclk yapt ve özel matematk ders verd. (Ö renclernden br Florence Nghtngale d.) Ayn adlyede avukat olarak çal flan meflhur matematkç Cayley le tan flt ve k matematkç hayat boyu dost oldular. Adlye kordorlar nda s k s k matematk yap yorlard. Bu arada Sylvester akademk br fl bulmaya çal fl yordu. Brçok baflar s zl ktan sonra, kends yerne terch edlen br aday ölünce, Woolwch Asker Akadems ne profesör olarak atand. Matrslerde öneml fller yapmas na karfl n, burada yazd tek ktap flr üzerneyd: M sralar n Kanunu. Al flt rmalar ) 9 luk SÜS ler bulun. Bu sstemler devrl elde etmek mümkün müdür? ) K n tamçzgesn K lere parçal yor olsayd k gerek koflul ne olacakt? (Bu parçalan fl n asl nda k =, λ = olan br tasar m oldu unu farkettnz m? Bkz. sayfa.). v = çn tane ayr k SÜS bulablr msnz? v = 9 çn en fazla kaç tane ayr k SÜS vard r?

6 Matematk Dünyas, 00 K fl Jakob Stener Jakob Stener okumay yafl nda ö rend. Okula lk kez 8 yafl nda gtt. Daha sonra Hedelberg ve Berln ünverstelernde okudu. Özel derslerden kazand çok az br harçl kla ö rencl n sürdürebld. zdüflümsel geometrye çok öneml katk lar vard r. Analz ve cebr sevmezd, çünkü hesaplar n düflünmey gerekszlefltrd n öte yandan geometrnn düflünmey tetkled n savunurdu. Gerçek pay olan br düflünce... Matematkçlerle lgl tuttu u günlü üyle blnen matematkç Thomas Hrst, Stener hakk nda flunlar yazm flt r: Ortayafll br adam, r k - y m, b y kl, sakall, genfl al nl, uzun br entellektüel yüz, grleflmeye yüz tutmufl koyu saçlar. Yüzde göze lk çarpan dern br endfle ve kayg, nerdeyse ac. Romatzma... Derslern önceden haz rlamazd ve derste s k s k tak l r, kan tlamak sted n kan tlayamazd ve o zaman da dersn hep neleyc br lafla noktalard. SÜS Say s (S, B) br SÜS olsun. π, S nn br eflleflmes (yan permütasyonu) olsun. O zaman (S, π(b)) de br SÜS tür. Burada, π(b) = {π(a) : A B} ve A = {a, b, c} se π(a) = {π(a), π(b), π(c)} dr. (S, B) ve (S, π(b)) SÜS lerne eflyap sal denr. Eflyap sal SÜS ler aras nda dfle dokunur br fark yoktur ve bu yüzden eflyap sal SÜS ler tek br SÜS olarak alg layablrz. Bu anlamda, v = ve 9 çn br tek SÜS, v = çn SÜS, v = 5 çn 80 SÜS vard r. Bu konuda fazla br fley blnmyor. SÜS lern Özyap Dönüflümler (S, B) br SÜS olsun. π : S S eflleflmes B dek üçlüler gene B dek üçlülere gönderyorsa π ye (S, B) nn özyap dönüflümü denr. Stener Sstemler S, v elemanl br küme, t < k brer do al say ve B, S nn k elemanl altkümelernden oluflan br küme olsun. E er S nn t elemanl herhang br altkümes B dek kümelerden sadece brnn altkümesyse, (S, B) ye t-(v, k, ) tasar m ya da Stener sstem ad verlr. E er t = ve k = se Stener üçlü sstemlern elde ederz. (S, B) br t-(v, k, ) tasar m olsun. P S sabt br nokta olsun. S = S \ {P} ve B = {l \ {P} : P l B} olsun. O zaman, (S, B ) br (t )-(v, k, ) tasar m d r. Aç k Soru. 5-(,, ), 5-(, 8, ) gb t nn 5 oldu u brçok Stener sstemler blnmektedr [Cuy], ama t > 5 çn, t-(k, v, ) parametrel br Stener sstem blnmemektedr. Ayr ca, t çn, sadece sonlu tane Stener sstem blnmektedr. Selda Küçükçfç 9 stanbul do umluyum. Lsey Sant Benot Frans z Lses nde, ünverstey Bo azç nde okudum. Matematk a r bas nca, Kmya Mühendsl nden Matematk e geçtm. 995 mezunuyum. Yne ayn bölümde yüksek lsans yapt ktan sonra ABD dek kombnatork dyar Auburn Ünverstes nde doktora yapt m. Doktora sonras araflt rmac olarak br y l Auburn Ünverstes nde ve Etna yanarda n n eteklerndek Catana Ünverstes nde çal flt m. Eylül 00 den ber Koç Ünverstes ndeym. Araflt rma alan m genelde kombnatork, özelde tasar m ve çzge kuramlar d r. Orta ve lsede halkoyunlar, ünverstede seramk, son y llarda yan flüt ve sürekl olarak snema, matemat n yan s ra yaflam mdak güzel fleyler aras nda oldular.

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,

Detaylı

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi

Detaylı

256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl.

256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl. Bölünebilme B ir tamsay n n üçe ya da dokuza tam olarak bölünüp bölünmedi ini anlamak için çok bilinen bir yöntem vard r: Say - y oluflturan rakamlar toplan r. E er bu toplam üçe (dokuza) bölünüyorsa,

Detaylı

Afin ve zdüflümsel Düzlemler

Afin ve zdüflümsel Düzlemler Kapak Konusu: Geometrik Kombinatorik Afin ve zdüflümsel Düzlemler Selda Küçükçifçi* / skucukcifci@ku.edu.tr Oluflum Geometrisi. Do ru dendi inde akl m za dümdüz ve dosdo ru do rular gelir. flte birkaç

Detaylı

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi 25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce

Detaylı

Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem

Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem Renkli Noktalar Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem önündeyiz. Baz noktalar maviye, baz noktalar k rm z - ya boyanm fl bir düzlem... Düzlemin sonsuz tane noktas n kim boyam flsa boyam

Detaylı

Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz.

Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. 5. Eski yis ralamalardan eni yis ralamalar Türetmek Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. Basitten zora do ru gidece iz. 5.1. yis ralaman n Sonuna Bir Eleman Eklemek. Bu

Detaylı

Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya

Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya 23. Zorn Önsav ve Birkaç Sonucu Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya konulan sorunu anlad n varsay yoruz. O bölümde ele ald m z ama pek baflar l olamad m z kan tlama yönteminden, yani bir

Detaylı

yaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor.

yaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor. Sonlu Oyunlar B u kitapta s k s k oyunlar konu edece iz. Oyunlar sonlu ve sonsuz oyunlar diye ikiye ay raca z. Sonsuz oyunlar da ilerde ikiye ay raca z: Uygulamada sonsuza dek sürebilen ve süremeyen oyunlar.

Detaylı

En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan

En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan Gizli Duvarlar En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan biridir. Örne in, A noktas ndan yay lan fl k B noktas na gitmek için sonsuz tane yol aras ndan en az enerji harcayarak gidece i

Detaylı

Saymak San ld Kadar Kolay De ildir

Saymak San ld Kadar Kolay De ildir Saymak San ld Kadar Kolay De ildir B ir matematikçinin bir zamanlar dedi i gibi, saymas n bilenler ve bilmeyenler olmak üzere üç tür insan vard r Bakal m siz hangi türdensiniz? Örne in bir odada bulunan

Detaylı

6. NORMAL ALT GRUPLAR

6. NORMAL ALT GRUPLAR 6. ORMAL ALT GRUPLAR G br grup ve olsun. 5. Bölümden çn eştlğnn her zaman doğru olamayacağını blyoruz. Fakat bu özellğ sağlayan gruplar, grup teorsnde öneml rol oynamaktadır. Bu bölümde bu tür grupları

Detaylı

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir: Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak

Detaylı

Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z.

Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z. Do ru Önermeler, Yanl fl Önermeler Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z. Birinci Bilmece. Yarg ç karar verecek. Mahkeme tutanaklar ndan flu bilgiler ç k yor: E er A suçsuzsa, hem B hem C suçlu.

Detaylı

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir B irçok yaz mda olas l k sorusu sordum. Bu yaz mda soru sormayaca m, sadece olas l n matematiksel tan m n verece im. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 say lar aras

Detaylı

Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi

Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi Ek 3. Sonsuz Küçük Eleman Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi tahmin edece iniz bir numara gerçeklefltirece iz: 3/5, 7/9, 4/5 ve 3 gibi kesirli say lara bir eleman ekleyece iz. Miniminnac

Detaylı

Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama

Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama Ç karma ve Kare Alma Alt nda Kapal Kümeler Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r; bir baflka deyiflle, iki do al say y toplarsak ya da çarparsak

Detaylı

Olas l k Hesaplar (II)

Olas l k Hesaplar (II) Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele

Detaylı

Matematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d

Matematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d Matematik ve Sonsuz G erek konuflma vermeye gitti im okullarda, gerek bana gelen okur mektuplar nda, ö renci ve ö retmenlerin matematikteki sonsuzluk kavram n pek iyi bilmediklerini gözlemledim. Örne in,

Detaylı

Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k}

Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k} Kapak Konusu: Topoloji Çarp m Topolojisi Bu yaz da topolojik uzaylar n kartezyen çarp m n do al bir topolojik uzay yap s yla donataca z. E er ve topolojik uzaylarsa, üzerine en do al topolojik yap, herhalde,

Detaylı

Birkaç Oyun Daha Birinci Oyun.

Birkaç Oyun Daha Birinci Oyun. Birkaç Oyun Daha B irinci Oyun. ki oyuncu flu oyunu oynuyorlar: Her ikisi de, birbirinden habersiz, toplam 9 olan üç do al say seçiyor. En büyük say lar, ortanca say lar ve en küçük say lar karfl laflt

Detaylı

Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin

Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin Kimin Kazand Bilinen Ama Nas l Kazand Bilinmeyen Bir Oyun Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin içindeki larla oynan yor. Örne in, 5 3 boyutlu bir oyun, afla daki fleklin en solundan

Detaylı

Belirtilen kapasitede son kata aittir

Belirtilen kapasitede son kata aittir TE Sers Elektrkl Vnçler 00 kg le, ton aras kapastelerde Her türlü kald rma, çekme uygulamas çn, tona kadar standart modeller mevcuttur. Dayan kl l k ve büyük sar m kapastes le genfl br uygulama alan nda

Detaylı

Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla

Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla Cetvelsiz de Olur! Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla yap lan çizimler çok ilgilendirirdi. Çünkü Eflatun a göre, do ru ve daire, geometrik flekiller aras nda mükemmel olan tek flekillerdi.

Detaylı

Fermat Ne Biliyordu? (I)

Fermat Ne Biliyordu? (I) Fermat Ne Biliyordu? (I) S on Teorem Teorem Oldu En Sonunda bafll kl yaz da, 350 y ll k bir aray fltan sonra ancak daha yeni kan tlanan Fermat n n Son Teoremi nden söz etmifltik. 350 y ll k bir aray fltan

Detaylı

Sevdi im Birkaç Soru

Sevdi im Birkaç Soru Sevdi im Birkaç Soru M atematikte öyle sorular vard r ki, yan t bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan -saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman y llar sonra- yan t n çok basit oldu u anlafl l r.

Detaylı

Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl

Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl Zü ürt Tesellisi Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl flans n n çok az oldu unu kan tlam flt k. Öyle ki, zengin sonsuz zengin oldu unda oyunu 1 olas l kla (yani yüzde yüz) kazanacakt

Detaylı

ÜN TE KES RLERDEN ALANLARA. Kesirleri Tan yal m. Basit Kesirler

ÜN TE KES RLERDEN ALANLARA. Kesirleri Tan yal m. Basit Kesirler . ÜN TE KES RLERDEN ALANLARA. Kesirleri Tan yal m Basit Kesirler. Afla daki flekillerde boyal k s mlar gösteren kesirleri örnekteki gibi yaz n z. tane............. Afla daki flekillerin belirtilen kesir

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin

Detaylı

Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir

Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir 20. Seçim Aksiyomu Neden Do ald r? Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir aksiyom oldu una ikna etmeye çal flaca z. Bu bölüm de okuru ikna etmezse hiçbir fley etmez! Ç k fl noktam z Bertrand

Detaylı

Üst Üçgensel Matrisler

Üst Üçgensel Matrisler Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer

Detaylı

Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli

Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli Sihirli Kareler (II) Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli karelerin nas l yap laca n ö renmifltik. Bu yaz da n nin çift oldu u n n boyutlu sihirli kareleri ele alaca z. Her zaman yapt

Detaylı

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

KES RLER. Bunlar biliyor musunuz? Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi.

KES RLER. Bunlar biliyor musunuz? Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi. KES RLER Bunlar biliyor musunuz? Bütün: Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi. Yar m: Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Kesir: Bir bütünün bölündü ü eflit parçalar n birini veya

Detaylı

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s 331 13. Gerçel Say lar Kümesi Nihayet gerçel say lar tan mlayaca z. Bir sonraki bölümde gerçel say lar üzerine dört ifllemi ve s ralamay tan mlay p bunlar n özelliklerini

Detaylı

GEOMETR K fiek LLER. Bunlar biliyor musunuz? Yüzey: Bir varl n d fl ve genifl bölümleri. yüzey. Düz: Yüzeyinde girinti, ç k nt olmayan.

GEOMETR K fiek LLER. Bunlar biliyor musunuz? Yüzey: Bir varl n d fl ve genifl bölümleri. yüzey. Düz: Yüzeyinde girinti, ç k nt olmayan. GEOMETR K fiek LLER Bunlar biliyor musunuz? Yüzey: Bir varl n d fl ve genifl bölümleri. yüzey yüzey Düz: Yüzeyinde girinti, ç k nt olmayan. yüzey Küre: Tek yüzeyli cisim. Küp: Birbirine eflit alt yüzeyi

Detaylı

Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar

Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar T avla Üzerine Bir Soru adl yaz da kuramsal olarak sonsuz bir oyun olan tavlan n gerçekte, yani uygulamada, sonsuz olup olmad sorusunu sorduk. Bu yaz da kuramsal olarak sonsuz,

Detaylı

Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl

Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl 48. Limit Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl ve bu ders notlar n n oldukça uzun bir bölümünü bu kavrama ay rm flt k. Bu bölümde benzer bir limit kavram tan taca z. E er ƒ bir

Detaylı

AZIRBAYCAN HALK MÜZİGİ MAKAMLARıNDAN RAST MAKAMıNıN İNCILINMESi

AZIRBAYCAN HALK MÜZİGİ MAKAMLARıNDAN RAST MAKAMıNıN İNCILINMESi AZIRBAYCAN HALK MÜZİGİ MAKAMLARıNDAN RAST MAKAMıNıN İNCILINMES Arş. Gör. Yavuz ŞEN* Türl< müzğnde bast mal

Detaylı

Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu

Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu Bir Tavla Sorusu Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu tavla maç n kazan r. Kimi tavlac lar maç n 5-4 bitmesine raz olmazlar, aradaki fark n en az 2 olmas n isterler, 6-4, 7-5, 8-6 gibi...

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün Matematik ünas, 003 Güz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas /. ölüm o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün üniversitenin ö retim üelerinin de katk - lar la düzenledi i liseleraras

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN SAYLAR Do al Say lar Parças ve fl n 6. SNF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YLLK PLAN Süre/ KAZANMLAR Ders AÇKLAMALAR 1. Do al say larla ifllemler yapmay gerektiren problemleri çözer ve kurar. Do al say

Detaylı

SEK Tahmincilerinin Arzulanan Özellikleri. SEK Tahmincilerinin Arzulanan Özellikleri. Ekonometri 1 Konu 9 Sürüm 2,0 (Ekim 2011)

SEK Tahmincilerinin Arzulanan Özellikleri. SEK Tahmincilerinin Arzulanan Özellikleri. Ekonometri 1 Konu 9 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler İk Değşkenl Bağlanım Model SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler Ekonometr 1 Konu 9 Sürüm 2,0 (Ekm 2011) http://www.ackders.org.tr SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler

Detaylı

Amerika Birleflik Devletleri nde dikkatimi ilk çeken her fleyin

Amerika Birleflik Devletleri nde dikkatimi ilk çeken her fleyin Dünyan n En Zeki nsan Matematikçilere Karfl Amerika Birleflik Devletleri nde dikkatimi ilk çeken her fleyin büyüklü ü oldu. Arabalar, binalar, Coca Cola lar, al flverifl merkezleri, insanlar... Her fley

Detaylı

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V.

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V. 1.ÖLÜM MTMT K Derginin bu say s nda Kümeler konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. u konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü içinde

Detaylı

Standart Model (SM) Lagrange Yoğunluğu. u, d, c, s, t, b. e,, Şimdilik nötrinoları kütlesiz Kabul edeceğiz. Kuark çiftlerini gösterelim.

Standart Model (SM) Lagrange Yoğunluğu. u, d, c, s, t, b. e,, Şimdilik nötrinoları kütlesiz Kabul edeceğiz. Kuark çiftlerini gösterelim. SM de yer alacak fermyonlar Standart Model (SM) agrange Yoğunluğu u s t d c b u, d, c, s, t, b e e e,, Şmdlk nötrnoları kütlesz Kabul edeceğz. Kuark çftlern gösterelm. u, c ve t y u (=1,,) olarak gösterelm.

Detaylı

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say

Detaylı

Dünya satranç flampiyonu Kasparov la bir el satranç oynayacak olsan z, yüzde yüz yenilece inizi önceden kestirebilirsiniz. Kasparov a karfl hemen

Dünya satranç flampiyonu Kasparov la bir el satranç oynayacak olsan z, yüzde yüz yenilece inizi önceden kestirebilirsiniz. Kasparov a karfl hemen Pokerin Matemati i S atrançta bir oyuncunun bilip de öbür oyuncunun bilmedi i bilgi yoktur. Bu tür oyunlara aç k oyun diyelim, bilgiler aç k, ortada anlam na. Tavlada da bir oyuncunun bildi ini öbür oyuncu

Detaylı

Bu ay n konusu olan problem Amerika da baya heyecan

Bu ay n konusu olan problem Amerika da baya heyecan fiapka Problemi Bu ay n konusu olan problem Amerika da baya heyecan yaratm fl. Hatta Amerika n n en sayg de er gazetelerinden biri olarak kabul edilen The New York Times ta uzun bir yaz ya konu olmufl.

Detaylı

performansi_olcmek 8/25/10 4:36 PM Page 1 Performans Ölçmek

performansi_olcmek 8/25/10 4:36 PM Page 1 Performans Ölçmek Performans Ölçmek Cep Yönderi Dizisi Cep Yönderi Dizisi yöneticilerin ifl yaflam nda her gün karfl laflt klar en yayg n meydan okumalara ivedi çözümler öneriyor. Dizi içinde yer alan her kitapta, güçlü

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan

Detaylı

Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir.

Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir. Matematikte Biçim ve Sezgi Üzerine Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir. Yani öyle bir yaz l m (bilgisayar program ) yap labilir ki, bir kan t n do ru olup olmad bilgisayara sorulup

Detaylı

KOOPERAT FLERDE MAL B LD R M NDE BULUNMA YÜKÜMLÜLÜ Ü( 1 )

KOOPERAT FLERDE MAL B LD R M NDE BULUNMA YÜKÜMLÜLÜ Ü( 1 ) KOOPERAT FLERDE MAL B LD R M NDE BULUNMA YÜKÜMLÜLÜ Ü( 1 ) Kadir ÖZDEM R* 1-G R fi 3628 say l Mal Bildiriminde Bulunulmas, Rüflvet ve Yolsuzluklarla Mücadele Kanununun, Mal Bildiriminde Bulunacaklar bafll

Detaylı

MATEMAT K. Hacmi Ölçme

MATEMAT K. Hacmi Ölçme Hacmi Ölçme MATEMAT K HACM ÖLÇME Yandaki yap n n hacmini birim küp cinsinden bulal m. Yap 5 s radan oluflmufltur. Her s ras nda 3 x 2 = 6 birim küp vard r. 5 s rada; 5 x 6 = 30 birim küp olur. Bu yap n

Detaylı

(ÖSS ) ÇÖZÜM 2:

(ÖSS ) ÇÖZÜM 2: MTEMT K PROLEMLER - II ÖRNEK : ve kentlerinden saatteki h zlar s ras yla V ve V olan (V > V ) iki araç, birbirlerine do ru 2 2 ayn anda hareket ederlerse saat sonra karfl lafl yorlar. u araçlar ayn kentlerden

Detaylı

bir yol oluşturmaktadır. Yine i 2 , de bir yol oluşturmaktadır. Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre

bir yol oluşturmaktadır. Yine i 2 , de bir yol oluşturmaktadır. Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre Devre Analz Teknkler DEE AAĐZ TEKĐKEĐ Bu zamana kadar kullandığımız Krchoffun kanunları ve Ohm kanunu devre problemlern çözmek çn gerekl ve yeterl olan eştlkler sağladılar. Fakat bu kanunları kullanarak

Detaylı

Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0)

Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0) 3. Do al Say larda Toplama, Çarpma ve S ralama Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0) matematiksel yap s n n varl n kan tlam flt k. An msayal m: bir kümedir. 0, kümesinin bir eleman d

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ PSİKİYATRİK KRİZ UYGULAMA VE ARAŞTIRMA MERKEZİ

ANKARA ÜNİVERSİTESİ PSİKİYATRİK KRİZ UYGULAMA VE ARAŞTIRMA MERKEZİ ANKARA ÜNİVERSİTESİ PSİKİYATRİK KRİZ UYGULAMA VE ARAŞTIRMA MERKEZİ Kuruluş : 27 Ekim 1989 Adres : Ankara Üniversitesi Tıp Fakültesi Cebeci Kampüsü Dikimevi - Ankara Tel : 363 03 26-363 03 27 ANKARA ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar 9. 7 = 3.3.3, 07 = 3.3.3 007 = 3.3.3, 0007 = 3.3.3,... Yukar daki örüntüye göre, afla daki say lar n hangisi 81'in kat d r? A) 00 007 B) 0 000 007 C) 000 000 007 D) 00 000 000 007 13. Ard fl k 5 pozitif

Detaylı

14. Ordinallerde Çarpma fllemi

14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14.1. Çarpman n Tan m Gene ilkokul y llar m zdan bafllayal m. lkokulda do al say lar n çarp m n nas l ö rendi inizi an msay n. 3 4 = 12 eflitli i için her biri içinde üç

Detaylı

Hasta Rehberi Say 6. KONJEN TAL ADRENAL H PERPLAZ Kolay okunabilir rehber

Hasta Rehberi Say 6. KONJEN TAL ADRENAL H PERPLAZ Kolay okunabilir rehber Hasta Rehberi Say 6 KONJEN TAL ADRENAL H PERPLAZ Kolay okunabilir rehber Konjenital Adrenal Hiperplazi - Say 6 (A ustos 2006 da güncellenmifltir) Bu rehber Reading Üniversitesi, Sa l k Bilimleri Enstitüsü,

Detaylı

Bölüm 1C de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 say lar n tan mlad k.

Bölüm 1C de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 say lar n tan mlad k. 2. Do al Say lar Yap s Bölüm 1C de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 say lar n tan mlad k. Ama, her say y teker teker tan mlamaya zaman m z yok. Bu yaklafl mla say lar n sonunu getiremeyiz... Demek ki baflka bir

Detaylı

Yukar daki kare ve dikdörtgene göre eflitlikleri tan mlay n z. AB =... =... =... =...

Yukar daki kare ve dikdörtgene göre eflitlikleri tan mlay n z. AB =... =... =... =... Üçgen, Kare ve ikdörtgen MTEMT K KRE VE KÖRTGEN Kare ve ikdörtgenin Özellikleri F E Kare ve dikdörtgenin her kenar uzunlu u birer do ru parças d r. Kare ve dikdörtgenin kenar, köfle ve aç say lar eflittir.

Detaylı

Ünlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken,

Ünlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken, Aritmetik Diziler ve Ötesi Ünlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken, ö retmeni ö rencileri oyalamak için, 1 den 100 e kadar say lar yazarak toplay n der. Baflka bir deyiflle, 1 + 2

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MATEMAT K TEST KKAT! + Bu bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 2 4. 4. 0,5 2. iflleminin sonucu

Detaylı

Bir oteliniz var. Otelinizin sonsuz say da odas var. Her odan n

Bir oteliniz var. Otelinizin sonsuz say da odas var. Her odan n Sonsuz Odal Otel 1 Bir oteliniz var Otelinizin sonsuz say da odas var Her odan n bir numaras var: 1, 2, 3, 4, 5, 6, Böylece sonsuza kadar gidiyor En sonuncu oda yok Sonsuz numaral oda da yok Her odan n

Detaylı

Bundan sonra, alttan ikinci s ran n en sa ndaki çubu u so-

Bundan sonra, alttan ikinci s ran n en sa ndaki çubu u so- Matematikçi Hilesi M atematik bölümünün tam karfl s na yeni bir lokanta aç lm fl. Bana kal rsa kötü bir yer seçilmifl. Kaç kifli gider ki o lokantaya? Bizim bölümden baflka bir tek bina yok çevrede. Yak

Detaylı

umhurbaflkan iken, Kendi ste iyle Kimya Ö rencisi Oldu

umhurbaflkan iken, Kendi ste iyle Kimya Ö rencisi Oldu C umhurbaflkan iken, Kendi ste iyle Kimya Ö rencisi Oldu Çankaya Köflkü nde Cumhurbaflkan smet nönü, 1942 y l nda hergün sabah akflam büyük bir dikkat ve merakla Hitler in Rusya topraklar ndaki ilerlemesini

Detaylı

NTERNET ÇA I D NAM KLER

NTERNET ÇA I D NAM KLER Mustafa Emre C VELEK NTERNET ÇA I D NAM KLER www.internetdinamikleri.com STANBUL-2009 Yay n No : 2148 letiflim Dizisi : 55 1. Bas m - stanbul - Haziran 2009 ISBN 978-605 - 377-066 - 4 Copyright Bu kitab

Detaylı

1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Yukar daki rakamlardan kaç tanesinde dikey do ru modeli vard r?

1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Yukar daki rakamlardan kaç tanesinde dikey do ru modeli vard r? Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : 1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Do ru Düzlem Nokta 5. MATEMAT K TEST 19 Ifl n Do ru Do ru parças 2. Afla daki hangi do runun çizgi modeli

Detaylı

say s kaç basamakl d r? 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. Di er 4 noktadan. 3. n do al say olmak üzere;

say s kaç basamakl d r? 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. Di er 4 noktadan. 3. n do al say olmak üzere; . 7 8 say s kaç basamakl d r? ) 2 B) 0 ) 9 ) 8 E) 7 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. i er 4 noktadan hiçbiri bu do ru üzerinde bulunmamaktad r ve bu 4 noktadan herhangi

Detaylı

mayan, kimileyin aç klay c, kimileyin biraz daha ileri seviyede ve daha ilgili ve merakl ö renci için yaz lm fl olan di er bölümlerin bafl na 3A, 4C

mayan, kimileyin aç klay c, kimileyin biraz daha ileri seviyede ve daha ilgili ve merakl ö renci için yaz lm fl olan di er bölümlerin bafl na 3A, 4C Önsöz Bu ders notlar, 1995 ten beri stanbul Bilgi Üniversitesi nde birinci s n f matematik ö rencilerine verdi im derslerden ortaya ç kt ve matemati i derinli i ve felsefesiyle ö renmek isteyen, çal flmaktan

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE II P RAM T

GEOMETR 7 ÜN TE II P RAM T ÜN TE II P RAM T 1. P RAM TLER N TANIMI. DÜZGÜN P RAM T a. Tan m b. Düzgün Piramidin Özelikleri. P RAM D N ALANI a. Düzgün Olmayan Piramidin Alan b. Düzgün Piramidin Alan 4. P RAM D N HACM 5. DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ

Detaylı

11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi

11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi 11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi yis ral kümelerde tümevar mla kan tlama yönteminden 6 nc bölümde sözettik. O bölümde flu teoremi kan tlad k: yis ralamalarda Tümevar m lkesi [Teorem

Detaylı

4/A (SSK) S GORTALILARININ YAfiLILIK AYLI INA HAK KAZANMA KOfiULLARI

4/A (SSK) S GORTALILARININ YAfiLILIK AYLI INA HAK KAZANMA KOfiULLARI 4/A (SSK) S GORTALILARININ YAfiLILIK AYLI INA HAK KAZANMA KOfiULLARI Resul KURT* I. G R fi Ülkemizde 4447 say l Kanunla, emeklilikte köklü reformlar yap lm fl, ancak 4447 say l yasan n emeklilikte kademeli

Detaylı

Uzay Keflfediyoruz. Günefl Sistemi Nerede? Her Yer Gökada Dolu! n yaln zca biri! evrendeki sonsuz Dünya bizim evimiz ve

Uzay Keflfediyoruz. Günefl Sistemi Nerede? Her Yer Gökada Dolu! n yaln zca biri! evrendeki sonsuz Dünya bizim evimiz ve uzayi kesfet 13/2/6 19:35 Page 34 Uzay Keflfediyoruz n yaln zca biri! de in is kc gö da y sa evrendeki sonsuz Dünya bizi eviiz ve ister isiniz? ak n ta z r la flu renek, ko Evrendeki adresiizi ö Her Yer

Detaylı

2. 1. SAYILARIN GÜCÜ. ALIfiTIRMALAR VE PROBLEMLER 1. Afla da onluk taban bloklar yla modellenen say lar yaz n z ve okuyunuz.

2. 1. SAYILARIN GÜCÜ. ALIfiTIRMALAR VE PROBLEMLER 1. Afla da onluk taban bloklar yla modellenen say lar yaz n z ve okuyunuz. 2. 1. SAYILARIN GÜCÜ ALIfiTIRMALAR VE PROBLEMLER 1. Afla da onluk taban bloklar yla modellenen say lar yaz n z ve okuyunuz. 100 10 1 25 2. Yüzlük kartlar boyayarak afla daki say lar gösteriniz. Örnek 176

Detaylı

BYazan: SEMA ERDO AN. ABD ve Avrupa Standartlar nda Fact-Jacie Akreditasyon Belgesi. Baflkent Üniversitesi nden Bir lk Daha

BYazan: SEMA ERDO AN. ABD ve Avrupa Standartlar nda Fact-Jacie Akreditasyon Belgesi. Baflkent Üniversitesi nden Bir lk Daha Baflkent Üniversitesi nden Bir lk Daha ABD ve Avrupa Standartlar nda Fact-Jacie Akreditasyon Belgesi Baflkent Üniversitesi T p Fakültesi Adana Eriflkin Kemik li i Nakil ve Hücresel Tedavi Merkezi, Türkiye

Detaylı

fiekers Z D YABET (Diyabet nsipit)

fiekers Z D YABET (Diyabet nsipit) Hasta Rehberi Say 12 fiekers Z D YABET (Diyabet nsipit) Kolay okunabilir rehber Diyabet nsipid - Say 12 (A ustos 2006 da güncellenmifltir) Bu rehber Reading Üniversitesi, Sa l k Bilimleri Enstitüsü, Reading,

Detaylı

Direct Decomposition of A Finitely-Generated Module Over a Principal Ideal Domain *

Direct Decomposition of A Finitely-Generated Module Over a Principal Ideal Domain * BİR ESAS İDEAL BÖLGESİ ÜZERİNDEKİ SONLU DOĞURULMUŞ BİR MODÜLÜN DİREK PARÇALANIŞI * Drec Decompoon of A Fnely-Generaed Module Over a Prncpal Ideal Doman * Zeynep YAPTI Fen Blmler Enüü Maemak Anablm Dalı

Detaylı

Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun

Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun B u yaz da yoksulu kazand raca z. Küçük bir olas l kla da olsa, yoksul kazanabilecek. Oyunu aç klamadan önce, Sonlu Oyunlar adl yaz m zdaki (sayfa 17) oyunu an msayal m:

Detaylı

3. SALON PARALEL OTURUM XII SORULAR VE CEVAPLAR

3. SALON PARALEL OTURUM XII SORULAR VE CEVAPLAR 3. SALON PARALEL OTURUM XII SORULAR VE CEVAPLAR 423 424 3. Salon Paralel Oturum XII - Sorular ve Cevaplar OTURUM BAfiKANI (Ali Metin POLAT) OTURUM BAfiKANI - Gördü ünüz gibi son derece demokratik bir yönetim

Detaylı

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ 11. SINIF ONU ANAIMI 2. ÜNİE: UVVE ve HAREE 3. onu OR, AÇISA MOMENUM ve DENGE EİNİ ve ES ÇÖZÜMERİ 2 2. Ünite 3. onu ork, Aç sal Momentum ve Denge A n n Yan tlar 1. Çubuk dengede oldu una göre noktas na

Detaylı

2. Afla daki çokgenlerden hangisi düzgün. 1. Afla dakilerden hangisi çokgen de ildir? çokgen de ildir? A) B) A) B) C) D) C) D)

2. Afla daki çokgenlerden hangisi düzgün. 1. Afla dakilerden hangisi çokgen de ildir? çokgen de ildir? A) B) A) B) C) D) C) D) Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : Çokgenler Dörtgenler MATEMAT K TEST 15 1. Afla dakilerden hangisi çokgen de ildir? 4. Afla daki çokgenlerden hangisi düzgün çokgen de ildir? 2. Afla daki çokgenlerden

Detaylı

Yalanc n n Hakk ndan Gelmek!

Yalanc n n Hakk ndan Gelmek! Yalanc n n Hakk ndan Gelmek! A c d r söylemesi, bunca ülke gördüm, bunca insan tan d m, ülkemde gördü üm kadar çok yalanc y hiçbir yerde görmedim. Do u ya az gittim, ama Bat da gitmedi im yer kalmad desem

Detaylı

1. Bir kümenin eleman say s 3 artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r.

1. Bir kümenin eleman say s 3 artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r. 1. ir kümenin eleman say s artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r. una göre, ilk durumdaki kümenin eleman say - s kaçt r? ) 2 ) ) D) 5 E) 6 6. ve kümelere E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak

Detaylı

TEKNOLOJİ BAĞIMLI YAŞAMIN MATEMATİKSEL DESENLERİ-I

TEKNOLOJİ BAĞIMLI YAŞAMIN MATEMATİKSEL DESENLERİ-I TEKNOLOJİ BAĞIMLI YAŞAMIN MATEMATİKSEL DESENLERİ-I Fevz ÜNLÜ *, Esra DALAN YILDIRIM **,Şule AYAR *** ÖZET: Evren her an nano-önces, nano, mkro, normal, makro ve makro-ötes gözler le gözlemlermze açıktır.

Detaylı

OYUNCU SAYISI Oyun bir çocuk taraf ndan oynanabilece i gibi, farkl yafl gruplar nda 2-6 çocuk ile de oynanabilir.

OYUNCU SAYISI Oyun bir çocuk taraf ndan oynanabilece i gibi, farkl yafl gruplar nda 2-6 çocuk ile de oynanabilir. OYUNCA IN ADI Akl nda Tut YAfi GRUBU 4-6 yafl OYUNCU SAYISI Oyun bir çocuk taraf ndan oynanabilece i gibi, farkl yafl gruplar nda 2-6 çocuk ile de oynanabilir. GENEL KURALLAR Çocuklar n görsel belle inin

Detaylı

Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n

Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n Çemberin Çevresi, Dairenin Alan, nin De eri Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n neden r 2 oldu unu görece iz. lkokuldan beri ezberletilen bu formüllerin kan tlar n merak etmemifl

Detaylı

Aç ve Aç Ölçüsü. Üçgen, Kare ve Dikdörtgen. Geometrik Cisimler. Simetri. Örüntü ve Süslemeler

Aç ve Aç Ölçüsü. Üçgen, Kare ve Dikdörtgen. Geometrik Cisimler. Simetri. Örüntü ve Süslemeler MTEMT K ç ve ç Ölçüsü Üçgen, Kare ve ikdörtgen Geometrik Cisimler Simetri Örüntü ve Süslemeler Temel Kaynak 4 ç ve ç Ölçüsü ÇI VE ÇI ÖLÇÜSÜ ç lar n dland r lmas C Resimde aç oluflturulan yerlerin baz lar

Detaylı

Matematik birtak m formüller ve simgeler y n m d r

Matematik birtak m formüller ve simgeler y n m d r Kim Korkar Matematikten? Matematik birtak m formüller ve simgeler y n m d r gerçekten? Elbette hay r. öyle düflünmek orman a açlarla hayvanlar n kar fl m ndan oluflmufl bir bulamaç gibi görmeye benzer.

Detaylı

TAR H MATEMAT K PROBLEMLER - I. Ahmet A A H y l A + (A H) Hasan H. A H y l. Kavram Dersaneleri 56

TAR H MATEMAT K PROBLEMLER - I. Ahmet A A H y l A + (A H) Hasan H. A H y l. Kavram Dersaneleri 56 TAR H MATEMAT K PROBLEMLER - I ÖRNEK 1: Bir lisenin son s n f ö rencileri her grupta eflit say da ö renci olmak üzere 10 gruba ayr l yor. Bu ö renciler 7 gruba ayr lsayd her gruptaki ö renci say s 6 fazla

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu

Detaylı

Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan

Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan Beyin Cimnastikleri (I) Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan hofllan r bunlardan. lk ikisi konumuz d fl nda. Üçüncüsünü konu edece iz. 1. lk oyunumuz flöyle: Afla daki dört kibrit

Detaylı

Mesle imizin ve hukuk devletinin teminat olan genç avukatlara arma and r. stanbul Barosu SEM Yürütme Kurulu

Mesle imizin ve hukuk devletinin teminat olan genç avukatlara arma and r. stanbul Barosu SEM Yürütme Kurulu Mesle imizin ve hukuk devletinin teminat olan genç avukatlara arma and r. stanbul Barosu SEM Yürütme Kurulu Cumhuriyeti ve onun gereklerini yüksek sesle anlat n z. Bunu yüreklere yerlefltirmek için elveriflli

Detaylı

Kavram Dersaneleri 8 SAYILAR - I ÖRNEK 23: ÖRNEK 24: a, 5 ve 6 say taban n göstermek üzere, (123) + (1a2) = (2b2) eflitli inde. b kaçt r?

Kavram Dersaneleri 8 SAYILAR - I ÖRNEK 23: ÖRNEK 24: a, 5 ve 6 say taban n göstermek üzere, (123) + (1a2) = (2b2) eflitli inde. b kaçt r? ÖRNEK 3: x y y Bölme ifllemine göre x en az kaçt r? A) 6 B) 9 C) D) 4 E) 4 ÖRNEK 4: a, ve 6 say taban n göstermek üzere, (3) + (a) = (b) eflitli inde a 6 b kaçt r? A) 0 B) C) D) 3 E) 4 ÇÖZÜM 4: ÇÖZÜM 3

Detaylı

ALTERNATİF AKIM DEVRE YÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ

ALTERNATİF AKIM DEVRE YÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ BÖLÜM 6 ALTERNATİF AKIM DEVRE ÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ 6. ÇEVRE AKIMLAR ÖNTEMİ 6. SÜPERPOZİSON TEOREMİ 6. DÜĞÜM GERİLİMLER ÖNTEMİ 6.4 THEVENİN TEOREMİ 6.5 NORTON TEOREMİ Tpak GİRİŞ Alternatf akımın

Detaylı