Steiner Üçlü Sistemleri ve Çizgeler Selda Küçükçifçi* / skucukcifci@ku.edu.tr
|
|
- Yeter Türker
- 8 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Matematk Dünyas, 00 K fl Kapak Konusu: Geometrk Kombnatork Tasar m kuram n n geçmfl 8 ye, Euler n subay problem ne dayan r. Problem blyoruz. An msatal m: farkl alay ve farkl rütbeden subay sat r ve sütunluk br çzelgeye, her alay ve her rütbe her sat r ve her sütunda sadece br kez görülecek bçmde yerlefltrmek mümkün müdür? Tasar m kuram nda 850 de T. P. Krkman n sordu u Krkman ö renc problem de önemldr. Krkman ö renc problem blok tasar mlar ad verlen br baflka konuya yol açm flt r. Problem flöyle: Br ö retmen 5 ö rencsn haftan n yed günü yürüyüfle ç kar yor. Ö rencler erl befl s ra halnde yürüyorlar. Bu yürüyüfl program n herhang k ö renc sadece br gün ayn s rada yürüyecek fleklde ayarlamak mümkün müdür? Bu sorunu yan t n n evet oldu u gösterleblr. Örne n, afla dak yürüyüfl program çözümlerden brdr. (5 ö rency den 5 e kadar say larla adland rd k.) Ptes Sal Çmba Pmbe Cuma Ctes Pazar Bu soruyu ve çözümünü gördükten sonra akl - n za do al olarak gelen soru, 5 yerne baflka say da ö renc olsayd ne olurdu? olablr. Yukar dak çözüm 5 lk Krkman üçlü sstem dye adland r lan özel br Stener üçlü sstemne örnektr. Stener Üçlü Sstem (SÜS). v > 0 br do al say ve S = {,,..., v} olsun. B, S nn baz üç elemanl altkümelernden oluflan br küme olsun. E er S nn herhang k farkl say s B nn elemanlar nda sadece br kez görülüyorsa, yan her x y v çn, {x, y} A özell n sa layan br ve br tek A B varsa, o zaman (S, B) s ral klsne v lk Stener üçlü sstem * Koç Ünverstes Matematk bölümü ö retm üyes. nglzces Stener trple system, k sa ad yla STS. Stener Üçlü Sstemler ve Çzgeler Selda Küçükçfç* / skucukcfc@ku.edu.tr denr. B nn elemanlar na da üçlü denr. Stener üçlü sstem termn SÜS olarak k saltal m. Örnekler.. v =, B =.. v =, B = {{,, }}.. v =, B = {{,, }, {,, 5}, {,, }, {, 5, }, {5,, }, {,, }, {,, }} s ras yla, ve lk SÜS lerdr. Üçüncü örne, olarak göstereblrz. Burada her sütun br üçlüdür.. Her günün her s ras n br üçlü olarak görürsek, Krkman ö renc problemnn her çözümü 5 lk br SÜS verr. SÜS ün tan m nda, smgeler kümesn, S = {,,..., v} yerne, v tane smges olan herhang br kümey de alablrdk elbet. lerde buna gereksnm duyaca z. SÜS ler çzgelerle de yorumlamak mümkündür. S dek her say br noktay temsl etsn ve her {a, b, c} üçlüsünü a, b, c köflel ve {a, b}, {a, c}, {b, c} kenarl üçgen olarak düflünelm. Her say çft B nn sadece br üçlüsünde olaca ndan her kenar sadece br üçgende olacakt r. Dolay s yla (S, B) SÜS ü, K v tamçzgesnn üçgenlere parçalanmas na denktr. Afla da v = çn bunun br resmn görüyorsunuz K nn üçlü parçalan fl
2 Matematk Dünyas, 00 K fl Braz önce v =,, çn SÜS örnekler gördük. Br SÜS ün oldu u br sonrak v say s 9 dur. Okur, yaz n n devam n okumadan 9 luk br SÜS bulmaya çal flablr. Br sonrak teorem hang v ler çn SÜS lern oldu unu söyleyecek. Teorem [T.P. Krkman, 8]. v lk Stener üçlü sstemnn varl çn gerek ve yeter koflul v ya da (mod ) d r. Ayr ca bu durumda B = v(v )/ d r. Kan t. Bu koflulun gerekll n görmek kolayd r. SÜS ü K v tamçzgesnn üçgenlere parçalan fl olarak düflünürsek, her üçgende üç kenar oldu undan, üçgen say s B oldu undan ve v noktadan herhang ks mutlaka tek br kenar üzernde olmas gerekt nden, parçalan fltak kenar say s n k de flk fleklde hesaplayarak, buluruz. Demek k v(v )/ say s, dolay s yla v(v ) de ün kat olmal d r, yan v 0 ya da mod olmal, yan v 0,, ya da mod olmal. fmd noktas ndan geçen kenarlar sayal m. Bunlardan v tane vard r elbet. Bu noktay çeren her üçgende de bu kenarlardan fler tane oldu- undan, v çft br say olmal. Bu kofluldan dolay, yukardak dört seçenekten sadece ks kal r: v ya da mod. Gerekll gösterdk. Bu arada üçlü say s n veren formülü de göstermfl olduk. Yeterllk koflulunu gösteren brçok kan t olmas na karfl n, en yal n ve fl k olan n (mod ) durumu çn Bose, n (mod ) durumu çn Skolem taraf ndan verlmfltr. Her k kan t da latn karelern çerr. v (mod ) f kk. Önce, köflegen 0,,..., n olan (bunlara tekgüçlü (dempotent) latn kare denr) ve (, j) hücresndek say s (j, ) hücresndek say s na eflt olan (bunlara de flmel latn kare denr) br latn kares bulal m (bkz. afla dak gr kare). E er tekgüçlü ve de flmel latn karenn (, j) hücresnde k varsa, bunu I j = k olarak gösterelm. nfla edece mz SÜS ün smgeler kümesn, S = {(, ε) : = 0,,..., n, ε =,, } olarak tan mlayal m. B de k de flk türden üçlü olacak. Bu üçlüler flöyle tan mlayal m:. Her n + çn, {(, ), (, ), (, )} B olsun.. Her < j n + çn, j {(, ), (j, ), ( I j, )} B {(, ), (j, ), ( I j, )} B Ij {(, ), (j, ), ( I j, )} B olsun. B, kolayca s nanaca üzere, n + lük br SÜS oluflturur. Tekgüçlü ve De flmel Latn Kare nflas {0,,..., n} tabanl, tekgüçlü ve de flmel br latn kare flöyle nfla edleblr: E er j, 0 ve j 0 se, (, j) hanesne, + j k (mod n+) denkl n ve 0 k n efltszl n sa layan k say s n yazal m. (, ) hanesne yazal m. (, 0) ve (0, ) hanelerne, k (mod n+) denkl n ve 0 k n efltszl n sa layan k say s n yazal m. Br baflka deyflle, Z/(n+)Z nn toplama cetvelnde + y gösteren (, ) hanesyle + 0 ve 0 + y gösteren (, 0) ve (0, ) hanelernn yerlern de- fltrelm. Örne- n, n = se, soldak toplama cetvelnden sa dak tekgüçlü ve de- flmel latn karey elde ederz v (mod ) f kk. fmd de Skolem n bu durum çn verd kan t gösterelm. Bu nfla metodu Bose un nfla yöntemnden brazc k daha karmafl k. Bu kez n derecel yar tekgüçlü ve de flmel latn kareler kullanaca z. Bunlar, I j = j I ve I = (n + ) I (n + ) = efltlklern sa layan n lk latn karelerdr (bkz. afla dak gr kare). Böyle br latn karenn smgelernden oluflan kümeye Q dyelm. Ayr ca gb yepyen br smge alal m. Stener üçlü sstemn smgeler kümes, S = { } (Q {0,, }) olarak alal m. B dek üç tür üçlü olacak:
3 Matematk Dünyas, 00 K fl Yar Tekgüçlü ve De flmel Latn Kare nflas n br tek say olsun. A, {0,,..., n } tabanl tekgüçlü ve de flmel br latn kare olsun. B, {n, n+,..., n } tabanl br latn kare olsun. B t, B nn köflegene göre smetr olsun. O zaman, A B B t A n derecel, yar tekgüçlü ve de flmel br latn karedr. Örne n, A = 0 B = 5 se A B B t = 0 5 dr. 0 5 A fmd n br çft say olsun. Z/nZ grubunun toplama cetvelndek say lar, her < n çn, y ye götüren br dönüflümle de fltrelm. n derecel, yar tekgüçlü ve de flmel br latn kare elde ederz. Örne n n = se, ( )( ) dönüflümü y e, ü ye, y e götüren dönüflümlerden brdr. fmd afla dak karenn say lar n bu dönüflüme göre de fltrrsek sa dak yar tekgüçlü ve de flmel karey elde ederz Her 0 n çn, {(, 0), (, ), (, )} üçlüler. Bunlar afla da resmettk. 0 n n n. Her 0 n çn, {, (n+, 0), (, )}, {, (n+, ), (, )}, {, (n+, ), (, 0)} üçlüler. Bunlar da afla da resmettk. n+ n+ n+. Her 0 < j n çn, {(, 0), (j, 0), ( I j, )}, {(, ), (j, ), ( I j, )}, {(, ), (j, ), ( I j, 0)} üçlüler. flte resmler: Ij j Bu üçlülern heps brden n + lk br Stener üçlü sstem oluflturur. Oldukça kolay olan kan t okura b rak yoruz. Devrl SÜS ler Yaz n n bafl nda verd mz üçüncü örnektek B üçlüler kümesnde yerne 0 yazarsak, B = {{ +, +, + } : Z/Z} elde ederz. Buradak {,, } üçlüsüne temel blok denr. Bell br (a, b, c) çn, B = {{a +, b +, c + } : Z/Z} bçmnde olan Stener üçlü sstemlerne devrl Stener üçlü sstemler denr. SÜS ler, Bose ve Skolem n nfla yöntemlernn yan s ra, e er n 9 se devrl br fleklde de elde etmek de mümkündür (soru [Hef] te sorulmufl, [Pel] de yan tlanm flt r), ancak nflaat Bose ve Skolem nkler kadar sade de ldr. Örne n, e er n = se, (0,, ) ve (0,, ) üçlülernn bu özell vard r. Krkman Üçlü Sstemler Br (S, B) Stener üçlü sstemnde B dek üçlüler üçer noktal do ru lar olarak yorumlarsak, kesflmeyen üçlüler paralel do rular olarak alg - lanablr. (S, B) nn br paralel s n f S nn her eleman n n (her noktan n) sadece ve mutlaka br kez göründü ü ayr k üçlüler (paralel do rular) kümesdr. Yan br paralel s n f demek, asl nda, S kümesnn B nn üçlüleryle parçalan fl demektr, ya da, paragraf n bafl ndak yorumla, S nn brbrne paralel do rularla kaplanmas demektr. Örne n Krkman Ö renc Problem nn çözümünde her gün br paralel s n f na tekabül eder. Yanda çözümdek pazartes ve sal günlerne tekabül eden k paralel s n f görüyorsunuz
4 Thomas Krkman Thomas Krkman (80-895) Manchester yak nlar ndak Bolton da okula gtmfl, Esk Yunanca ve Latnce ö renmfl, ancak matematk görmemfltr. Okul müdürü Krkman n Cambrdge e greblecek yetenekte oldu- una nansa da, babay kna edemed nden Krkman yafl nda okulu terkedp babas n n bürosunda çal flmaya bafllar. Büroda bofl durmaz, Esk Yunanca ve Latnce blgsn genfllett gb Frans zca ve Almanca da ö renr. 9 y l burada çal flt ktan sonra can na tak eder ve babas n dnlemeyerek Dubln e Trnty College a matematk, felsefe, klask eserler ve blm okumaya gder. 85 te ngltere ye ger döndü ünde ngltere Klses ne grp papaz olur. lk makalesn 0 yafl nda yazar ve ölümüne dek matematkten kopmaz, durmadan yazar çzer, sorular sorar. Grup teorye ve geometrye katk lar yla blnr. Stener n SÜS lerle lgl problem sormas ndan y l önce problem Lady's and Gentleman's Dary de görüp yan tlam fl ve 8 da Cambrdge and Dubln Mathmatcal Journal da yay mlam flt r. 859 da M. Ress n soruyu yan tlamas ndan sonra, alayc br dlle, Nas l oluyor da Cambrdge and Dubln Mathematcal Journal, clt II, sayfa 9, daha sonra yay mlanan Crelle s Journal clt LVI, sayfa dak br kombnatork makalesnden bu kadar çalablmfl, anlam fl de lm demesyle blnr. Ne var k üçlü sstemler bugün Krkman n de l Stener n ad yla an lmaktad r. 5 Matematk Dünyas, 00 K fl Sonuç olarak, br P paralel s n f, ) Her de flk a, b P çn, a b =, ) a P a = S özellklern sa layan B nn br P altkümesdr. (S, B) de en az br paralel s n f olmas çn v nn e tam bölünmes gerekr elbette, yoksa paralel s n f olamaz. Demek k, braz önce kan tlad - m z teoreme göre, br paralel s n f n olmas çn v (mod ) denkl gerekldr. Her üçlüde/do ruda üç nokta oldu undan, br paralel s n f nda tam v/ tane do ru vard r. Toplam do ru say s v(v )/ oldu undan, en fazla (v )/ tane paralel s n f olablr. Krkman ö renc problemnde (v = 5) haftan n her gününe tekabül eden ayr k paralel s n f bulmufltuk. E er v lk br SÜS (v )/ tane ayr k paralel s - n f na ayr fl yorsa, o zaman bu SÜS v lk Krkman Üçlü Sstem (KÜS) ad n al r. 9 de Djen Ray-Chaudhur yle Rck Wlson v (mod ) denkl n sa layan her v çn br KÜS oldu unu kan tlad. Ayr k Stener Üçlü Sstemler Krkman Ö renc Problem ne br kez daha bakal m. Problemde 5 ö renc var. Bu 5 ö rency, 5 n lüsü kadar, yan, kadar üç kfllk gruplara ay rablrz. Her SÜS te 5 tane üçlü olaca ndan flu soru akla geleblr: Bu 55 üçlüyü tane SÜS e parçalayablr myz? Yan öyle tane (S, B ),..., (S, B ) SÜS ü bulablr myz k, her j çn, B B j = olsun. Bu problem lk kez yeryüzünün gelmfl geçmfl en eksantrk matematkçlernden br olan Sylvester sormufltur. Yan t çn 0 y ldan fazla beklemek gerekt. 9 de R. Dennston yan t n olumlu oldu unu gösterd [Den]. Dennston un yan t flöyle: Smgeler 0,,,...,, a, b olsun. Önce afla - dak SÜS ü kural m. Bu brnc SÜS ümüz a b a 0 b a 9 b a 5 b a b a 8 b ab Sonra, yukardak SÜS ün say lar na le aras nda modülo say lar ekleyelm. a ve b smgelerne dokunulmayacak. Böylece tane daha SÜS elde edlr. Örne n yukardak SÜS e ekleyerek elde edlen SÜS, a b a b a 50b a 8 b a 0 b a 9 b ab
5 Matematk Dünyas, 00 K fl dür. Bu sayede elde edlen SÜS ün hçbrnn ortak üçlüsü yoktur. fmd 5 yerne v ö renc alal m. O zaman tüm üç ö renclk gruplar n say s, d r. Her SÜS te v(v )/ tane üçlü bulundu undan, brbrnden ayr k v tane SÜS ün olup olmad n sorablrz. Cayley 850 de v = çn 5 tane ayr k SÜS ün olamayaca n kan tlad. Ama v = çn tane ayr k SÜS bulablrz. Örne n, ayr k k SÜS tür. (Her sütun br üçlüyü gösteryor.) Brçok matematkçnn, ama özellkle Dennston, Lu Jax n ve Terlnck n katk lar yla 989 da soru tamam yla çözüldü: E er v > se ve elbette v, (mod ) se, v tane ayr k v lk SÜS vard r. Dk Stener Üçlü Sstemler Brbrnden ayr k en büyük say da SÜS bulunablece n yukarda gördük. Ayr kl a br koflul daha ekleyelm. (S, A) ve (S, B) k ayr k SÜS olsunlar, yan A B = olsun. Br de ayr ca, (S, A) ve (S, B) nn flu özell sa lad n varsayal m: x y, z t, (x, y) (z, t) özellklern sa layan her x, y, z, t S çn, {x, y, w}, {z, t, w} A özell n sa layan br w S varsa, o zaman, {x, y, w }, {z, t, w } B özell n sa layan br w S yoktur. Yan (S, A) da (x, y) ve (z, t) nokta çftlernden geçen bloklar kesflyorsa, (S, B) de (x, y) ve (z, t) nokta çftlernden geçen bloklar kesflmez. Yukardak koflulu sa layan SÜS lere dk SÜS ler denr. 99 te her v, v 9 ve v, (mod ) çn brbrne dk k v lk SÜS oldu u kan tland [CGMMR]. 00 te her v 9 ve v (mod ) çn ve belk say d fl nda her v ve v (mod ) çn her br d erne dk üç tane v lk SÜS oldu u kan tland [DDL]. Ayn makalede v =,, 9,, 5 çn brbrne dk üç tane SÜS olmad kan tlan yor. James Joseph Sylvester James Joseph Sylvester lkokulu Londra da, lsey Lverpool da okudu. 8 te Cambrdge Ünverstes ne grd. O zamanlar mezun olmadan önce nglz Klses nde dn br yemn gerekyordu. Ama Sylvester Musev oldu undan yemn etmed ve mezun olamad. Mezun olamad - gb brçok ödül ve bursu da kaç rd. Dn ayr m yapmayan brkaç yerden br olan Londra Ünverstes nde üç y l fzk okuttu. yafl nda Vrgna Ünverstes nde br fl bulduysa da brkaç ay sonra dersnde gazete okuyan ve üstüne üstlük dklenen br ö rencsne b çak uçlu bastonuyla vurunca ö rencsn öldürdü- ünü san p lk vapurla New York a kaçt. Daha sonra avukatl k ve muhasebeclk yapt ve özel matematk ders verd. (Ö renclernden br Florence Nghtngale d.) Ayn adlyede avukat olarak çal flan meflhur matematkç Cayley le tan flt ve k matematkç hayat boyu dost oldular. Adlye kordorlar nda s k s k matematk yap yorlard. Bu arada Sylvester akademk br fl bulmaya çal fl yordu. Brçok baflar s zl ktan sonra, kends yerne terch edlen br aday ölünce, Woolwch Asker Akadems ne profesör olarak atand. Matrslerde öneml fller yapmas na karfl n, burada yazd tek ktap flr üzerneyd: M sralar n Kanunu. Al flt rmalar ) 9 luk SÜS ler bulun. Bu sstemler devrl elde etmek mümkün müdür? ) K n tamçzgesn K lere parçal yor olsayd k gerek koflul ne olacakt? (Bu parçalan fl n asl nda k =, λ = olan br tasar m oldu unu farkettnz m? Bkz. sayfa.). v = çn tane ayr k SÜS bulablr msnz? v = 9 çn en fazla kaç tane ayr k SÜS vard r?
6 Matematk Dünyas, 00 K fl Jakob Stener Jakob Stener okumay yafl nda ö rend. Okula lk kez 8 yafl nda gtt. Daha sonra Hedelberg ve Berln ünverstelernde okudu. Özel derslerden kazand çok az br harçl kla ö rencl n sürdürebld. zdüflümsel geometrye çok öneml katk lar vard r. Analz ve cebr sevmezd, çünkü hesaplar n düflünmey gerekszlefltrd n öte yandan geometrnn düflünmey tetkled n savunurdu. Gerçek pay olan br düflünce... Matematkçlerle lgl tuttu u günlü üyle blnen matematkç Thomas Hrst, Stener hakk nda flunlar yazm flt r: Ortayafll br adam, r k - y m, b y kl, sakall, genfl al nl, uzun br entellektüel yüz, grleflmeye yüz tutmufl koyu saçlar. Yüzde göze lk çarpan dern br endfle ve kayg, nerdeyse ac. Romatzma... Derslern önceden haz rlamazd ve derste s k s k tak l r, kan tlamak sted n kan tlayamazd ve o zaman da dersn hep neleyc br lafla noktalard. SÜS Say s (S, B) br SÜS olsun. π, S nn br eflleflmes (yan permütasyonu) olsun. O zaman (S, π(b)) de br SÜS tür. Burada, π(b) = {π(a) : A B} ve A = {a, b, c} se π(a) = {π(a), π(b), π(c)} dr. (S, B) ve (S, π(b)) SÜS lerne eflyap sal denr. Eflyap sal SÜS ler aras nda dfle dokunur br fark yoktur ve bu yüzden eflyap sal SÜS ler tek br SÜS olarak alg layablrz. Bu anlamda, v = ve 9 çn br tek SÜS, v = çn SÜS, v = 5 çn 80 SÜS vard r. Bu konuda fazla br fley blnmyor. SÜS lern Özyap Dönüflümler (S, B) br SÜS olsun. π : S S eflleflmes B dek üçlüler gene B dek üçlülere gönderyorsa π ye (S, B) nn özyap dönüflümü denr. Stener Sstemler S, v elemanl br küme, t < k brer do al say ve B, S nn k elemanl altkümelernden oluflan br küme olsun. E er S nn t elemanl herhang br altkümes B dek kümelerden sadece brnn altkümesyse, (S, B) ye t-(v, k, ) tasar m ya da Stener sstem ad verlr. E er t = ve k = se Stener üçlü sstemlern elde ederz. (S, B) br t-(v, k, ) tasar m olsun. P S sabt br nokta olsun. S = S \ {P} ve B = {l \ {P} : P l B} olsun. O zaman, (S, B ) br (t )-(v, k, ) tasar m d r. Aç k Soru. 5-(,, ), 5-(, 8, ) gb t nn 5 oldu u brçok Stener sstemler blnmektedr [Cuy], ama t > 5 çn, t-(k, v, ) parametrel br Stener sstem blnmemektedr. Ayr ca, t çn, sadece sonlu tane Stener sstem blnmektedr. Selda Küçükçfç 9 stanbul do umluyum. Lsey Sant Benot Frans z Lses nde, ünverstey Bo azç nde okudum. Matematk a r bas nca, Kmya Mühendsl nden Matematk e geçtm. 995 mezunuyum. Yne ayn bölümde yüksek lsans yapt ktan sonra ABD dek kombnatork dyar Auburn Ünverstes nde doktora yapt m. Doktora sonras araflt rmac olarak br y l Auburn Ünverstes nde ve Etna yanarda n n eteklerndek Catana Ünverstes nde çal flt m. Eylül 00 den ber Koç Ünverstes ndeym. Araflt rma alan m genelde kombnatork, özelde tasar m ve çzge kuramlar d r. Orta ve lsede halkoyunlar, ünverstede seramk, son y llarda yan flüt ve sürekl olarak snema, matemat n yan s ra yaflam mdak güzel fleyler aras nda oldular.
Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -
Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,
DetaylıArd fl k Say lar n Toplam
Ard fl k Say lar n Toplam B u yaz da say sözcü ünü, 1, 2, 3, 4, 5 gibi, pozitif tamsay lar için kullanaca z. Konumuz ard fl k say lar n toplam. 7 ve 8 gibi, ya da 7, 8 ve 9 gibi ardarda gelen say lara
DetaylıBu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z
Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi
Detaylı256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl.
Bölünebilme B ir tamsay n n üçe ya da dokuza tam olarak bölünüp bölünmedi ini anlamak için çok bilinen bir yöntem vard r: Say - y oluflturan rakamlar toplan r. E er bu toplam üçe (dokuza) bölünüyorsa,
DetaylıAfin ve zdüflümsel Düzlemler
Kapak Konusu: Geometrik Kombinatorik Afin ve zdüflümsel Düzlemler Selda Küçükçifçi* / skucukcifci@ku.edu.tr Oluflum Geometrisi. Do ru dendi inde akl m za dümdüz ve dosdo ru do rular gelir. flte birkaç
DetaylıGeçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi
25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce
DetaylıHer noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem
Renkli Noktalar Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem önündeyiz. Baz noktalar maviye, baz noktalar k rm z - ya boyanm fl bir düzlem... Düzlemin sonsuz tane noktas n kim boyam flsa boyam
DetaylıOkurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya
23. Zorn Önsav ve Birkaç Sonucu Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya konulan sorunu anlad n varsay yoruz. O bölümde ele ald m z ama pek baflar l olamad m z kan tlama yönteminden, yani bir
DetaylıBir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu
Ramsey Teoremi Bir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu odada bulunan herhangi iki kifli birbirlerini ya tan rlar ya da tan mazlar. Buras belli. Yan t belli olmayan soru flu: Bu odadan,
DetaylıBu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz.
5. Eski yis ralamalardan eni yis ralamalar Türetmek Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. Basitten zora do ru gidece iz. 5.1. yis ralaman n Sonuna Bir Eleman Eklemek. Bu
DetaylıOlas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz.
Olas l k Hesaplar (I) Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Örne in tavla ya da kâ t oyunlar oynarken. ki kap ya üstüste birkaç kez gele atmayan tavlac görmedim hiç. fianss zl
DetaylıEn az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan
Gizli Duvarlar En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan biridir. Örne in, A noktas ndan yay lan fl k B noktas na gitmek için sonsuz tane yol aras ndan en az enerji harcayarak gidece i
DetaylıBu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:
Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak
Detaylıyaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor.
Sonlu Oyunlar B u kitapta s k s k oyunlar konu edece iz. Oyunlar sonlu ve sonsuz oyunlar diye ikiye ay raca z. Sonsuz oyunlar da ilerde ikiye ay raca z: Uygulamada sonsuza dek sürebilen ve süremeyen oyunlar.
DetaylıO + T + U + Z = 30 (30) 2K + I + R = 40 (40) E + 2L + = 50 (50) A + L + T + M + I + fi = 60 (60) Y + E + T + M + + fi = 70 (70) 2S + 2E + K + N = 80
Yaz yla Saymak H er harfe öyle bir tamsay vermek istiyoruz ki, örne in, B R in harfleri olan B ye, ye ve R ye verdi imiz say lar n toplam 1 olsun. K için de, ÜÇ için de ayn fley do ru olsun... 199 a kadar
DetaylıOlas l k Hesaplar (II)
Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele
DetaylıBu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z.
Do ru Önermeler, Yanl fl Önermeler Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z. Birinci Bilmece. Yarg ç karar verecek. Mahkeme tutanaklar ndan flu bilgiler ç k yor: E er A suçsuzsa, hem B hem C suçlu.
DetaylıSaymak San ld Kadar Kolay De ildir
Saymak San ld Kadar Kolay De ildir B ir matematikçinin bir zamanlar dedi i gibi, saymas n bilenler ve bilmeyenler olmak üzere üç tür insan vard r Bakal m siz hangi türdensiniz? Örne in bir odada bulunan
Detaylı6. NORMAL ALT GRUPLAR
6. ORMAL ALT GRUPLAR G br grup ve olsun. 5. Bölümden çn eştlğnn her zaman doğru olamayacağını blyoruz. Fakat bu özellğ sağlayan gruplar, grup teorsnde öneml rol oynamaktadır. Bu bölümde bu tür grupları
DetaylıRastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir
Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir B irçok yaz mda olas l k sorusu sordum. Bu yaz mda soru sormayaca m, sadece olas l n matematiksel tan m n verece im. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 say lar aras
DetaylıTopolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji
Kapak Konusu: Topoloji Topolojik Uzay Geçen yaz da nin, ad na aç k dedi imiz baz altkümelerini tan mlad k ve bir fonksiyonun süreklili ini tamamen aç k kümeler yard m yla (hiç ve kullanmadan) ifade ettik.
DetaylıBu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi
Ek 3. Sonsuz Küçük Eleman Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi tahmin edece iniz bir numara gerçeklefltirece iz: 3/5, 7/9, 4/5 ve 3 gibi kesirli say lara bir eleman ekleyece iz. Miniminnac
DetaylıDo al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama
Ç karma ve Kare Alma Alt nda Kapal Kümeler Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r; bir baflka deyiflle, iki do al say y toplarsak ya da çarparsak
DetaylıMatematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d
Matematik ve Sonsuz G erek konuflma vermeye gitti im okullarda, gerek bana gelen okur mektuplar nda, ö renci ve ö retmenlerin matematikteki sonsuzluk kavram n pek iyi bilmediklerini gözlemledim. Örne in,
DetaylıÖnsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k}
Kapak Konusu: Topoloji Çarp m Topolojisi Bu yaz da topolojik uzaylar n kartezyen çarp m n do al bir topolojik uzay yap s yla donataca z. E er ve topolojik uzaylarsa, üzerine en do al topolojik yap, herhalde,
DetaylıBir yaz mda, kimbilir hangisinde,
Sonsuz Toplamlar Bir yaz mda, kimbilir hangisinde, 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +... toplam n n sonsuz oldu unu, yani 1/1 1/1 + 1/2 1/1 + 1/2 + 1/3 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5
Detaylı1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl
1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl K aos, matemati in oldukça yeni kuramlar ndan biridir. Kaos, kargafla anlam na gelen Yunanca kökenli bir sözcüktür. Kaos kuram n biraz aç klamaya çal flay m. fiöyle kuvvetlice
DetaylıBirkaç Oyun Daha Birinci Oyun.
Birkaç Oyun Daha B irinci Oyun. ki oyuncu flu oyunu oynuyorlar: Her ikisi de, birbirinden habersiz, toplam 9 olan üç do al say seçiyor. En büyük say lar, ortanca say lar ve en küçük say lar karfl laflt
DetaylıYeniflemeyen Zarlar B:
Yeniflemeyen Zarlar Ahmet, Belgün den daha uzun boyluysa, Belgün de Cemal den daha uzun boyluysa, Ahmet, Cemal den daha uzun boyludur, önermesi hiç kuflkusuz do rudur. Çünkü A > B ve B > C eflitsizliklerinden,
DetaylıOyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin
Kimin Kazand Bilinen Ama Nas l Kazand Bilinmeyen Bir Oyun Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin içindeki larla oynan yor. Örne in, 5 3 boyutlu bir oyun, afla daki fleklin en solundan
DetaylıAfla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n
Seçim Beliti Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n herbiri bir teoremdir, kan tlanm fllard r. Ancak bu olgular, matematikte çok özel bir yeri olan Seçme Beliti kullan larak kan tlanm
DetaylıBelirtilen kapasitede son kata aittir
TE Sers Elektrkl Vnçler 00 kg le, ton aras kapastelerde Her türlü kald rma, çekme uygulamas çn, tona kadar standart modeller mevcuttur. Dayan kl l k ve büyük sar m kapastes le genfl br uygulama alan nda
DetaylıEski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla
Cetvelsiz de Olur! Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla yap lan çizimler çok ilgilendirirdi. Çünkü Eflatun a göre, do ru ve daire, geometrik flekiller aras nda mükemmel olan tek flekillerdi.
Detaylıiçinde seçilen noktan n birinci koordinat birincinin geldi i saati, ikinci koordinat ysa
Tuhaf Bir Buluflma O las l k kuram ilkokullarda bile okutulabilecek kerte basit ve zevklidir. ABD de kimi okullarda 9 yafl ndaki çocuklara bile okutuluyor olas l k kuram. Basit olas l k kuram n anlamak
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar
Matematik ünyas, 2005 Yaz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar 1. Maliyeti üzerinden yüzde 25 kârla sat lan bir mal n sat fl fiyat ndan yüzde onluk bir
DetaylıÜN TE KES RLERDEN ALANLARA. Kesirleri Tan yal m. Basit Kesirler
. ÜN TE KES RLERDEN ALANLARA. Kesirleri Tan yal m Basit Kesirler. Afla daki flekillerde boyal k s mlar gösteren kesirleri örnekteki gibi yaz n z. tane............. Afla daki flekillerin belirtilen kesir
DetaylıFermat Ne Biliyordu? (I)
Fermat Ne Biliyordu? (I) S on Teorem Teorem Oldu En Sonunda bafll kl yaz da, 350 y ll k bir aray fltan sonra ancak daha yeni kan tlanan Fermat n n Son Teoremi nden söz etmifltik. 350 y ll k bir aray fltan
DetaylıSevdi im Birkaç Soru
Sevdi im Birkaç Soru M atematikte öyle sorular vard r ki, yan t bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan -saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman y llar sonra- yan t n çok basit oldu u anlafl l r.
DetaylıBir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl
Zü ürt Tesellisi Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl flans n n çok az oldu unu kan tlam flt k. Öyle ki, zengin sonsuz zengin oldu unda oyunu 1 olas l kla (yani yüzde yüz) kazanacakt
DetaylıBu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir
20. Seçim Aksiyomu Neden Do ald r? Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir aksiyom oldu una ikna etmeye çal flaca z. Bu bölüm de okuru ikna etmezse hiçbir fley etmez! Ç k fl noktam z Bertrand
DetaylıSonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu
30. Cennete Hoflgeldiniz! Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu herkes bilir. Örne in, {0, 2, 6, 7, 13} kümesinin 5 eleman vard r. Bu say m z n kapak konusunda, sonsuz bir kümenin eleman
DetaylıGerçel Say larla p-sel Tamsay lar Aras ndaki Benzerlik
Kapak Konusu: Modüler ve p-sel Say lar Gerçel Say larla p-sel Tamsay lar Aras ndaki Benzerlik I. A aç. Geçen yaz lar - m zda, say lardan yola ç karak bir a aç bulmufltuk. Bu kez tam tersini yapaca z, bir
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar Soru. S f rdan farkl bir a say s için sonsuz ondal klarla oluflan ifadesinin de eri nedir? ise, Soru 2. 0 < < 0 olmak
DetaylıKümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand
9. Ordinallerin fllevi Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand Russell Paradoksu ndan biliyoruz [SKK]. Küme olmayan bir fleye küme diyemeyece imize göre, tüm kümeler toplulu una bir baflka ad
DetaylıBir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli
Sihirli Kareler (II) Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli karelerin nas l yap laca n ö renmifltik. Bu yaz da n nin çift oldu u n n boyutlu sihirli kareleri ele alaca z. Her zaman yapt
DetaylıHemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir
Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeler http://ocm.mt.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında blg almak çn http://ocm.mt.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresn zyaret ednz. 18.102
DetaylıMatemati i bir iki sayfa erteleyerek, gerçel say larda s -
15. Gerçel Say larda S ralama Matemati i bir iki sayfa erteleyerek, gerçel say larda s - ralamay nas l tan mlayabilece imizi tart flaca z önce. Do al ve basit gibi görünen tan m denemelerinin zorluklar
DetaylıÜst Üçgensel Matrisler
Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer
DetaylıBu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -
18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte
DetaylıDördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s
Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s 331 13. Gerçel Say lar Kümesi Nihayet gerçel say lar tan mlayaca z. Bir sonraki bölümde gerçel say lar üzerine dört ifllemi ve s ralamay tan mlay p bunlar n özelliklerini
DetaylıXherhangi bir küme olsun. Mesela X olabilir (ama olmayabilir
53. Fonksiyon Dizilerinin Noktasal Yak nsamas Xherhangi bir küme olsun. Mesela Xolabilir (ama olmayabilir de). Her n do al say s için bir ƒ n : X fonksiyonu verilmifl olsun. O zaman her xxiçin ayr bir
DetaylıYan t Bilinmeyen Bir Soru
Yan t Bilinmeyen Bir Soru Ö nce yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bir soru soraca- m, sonra yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bu soru üzerine birkaç kolay soru yan tlayaca m. Herhangi bir pozitif do
DetaylıKES RLER. Bunlar biliyor musunuz? Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi.
KES RLER Bunlar biliyor musunuz? Bütün: Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi. Yar m: Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Kesir: Bir bütünün bölündü ü eflit parçalar n birini veya
Detaylı4. yis ralamalar Hissetmek
4. yis ralamalar Hissetmek yis ralamay koyun s ralamaya benzetmek pek yanl fl olmaz. Sonsuz say da koyun da olsa, iyis ralanm fl bir koyun sürüsünde mutlaka birinci koyun olmal. kinci, üçüncü, dördüncü
DetaylıDo al Say lar Do al Say larla Toplama fllemi Do al Say larla Ç karma fllemi Do al Say larla Çarpma fllemi Do al Say larla Bölme fllemi Kesirler
Do al Say lar Do al Say larla Toplama fllemi Do al Say larla Ç karma fllemi Do al Say larla Çarpma fllemi Do al Say larla Bölme fllemi Kesirler Kesirlerle Toplama, Ç karma ve Çarpma fllemi Oran ve Orant
DetaylıBir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu
Bir Tavla Sorusu Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu tavla maç n kazan r. Kimi tavlac lar maç n 5-4 bitmesine raz olmazlar, aradaki fark n en az 2 olmas n isterler, 6-4, 7-5, 8-6 gibi...
DetaylıTEST - 1 ELEKTROMANYET K NDÜKS YON
EETET DÜS TEST - y 3 x magnetk ak Φ z S enz kanununa göre: Tel çerçeve +x yönünde çeklrse, tel çerçevede den ye do ru ndksyon - S kutuplar karfl l kl olarak brbrne yaklaflt r l rsa, m knat slar aras ndak
DetaylıYüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar
Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar T avla Üzerine Bir Soru adl yaz da kuramsal olarak sonsuz bir oyun olan tavlan n gerçekte, yani uygulamada, sonsuz olup olmad sorusunu sorduk. Bu yaz da kuramsal olarak sonsuz,
DetaylıÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler
ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir
DetaylıTasar mlar Sibel Özkan* / Selda Küçükçifçi** /
Kapak Konusu: Geometrik Kombinatorik Tasar mlar Sibel Özkan* / ozkansi@auburn.edu Selda Küçükçifçi** / skucukcifci@ku.edu.tr v çocu un bulundu u bir anaokulunda ö retmen çocuklara ayn anda k çocu un oynayabilece
Detaylı2 onluk + 8 birlik + 4 onluk + 7 birlik 6 onluk + 15 birlik = 7 onluk + 5 birlik =
DO AL SAYILARLA TOPLAMA filem Bir k rtasiyede 35 tane hikâye kitab, 61 tane masal kitab vard r. K rtasiyedeki hikâye ve masal kitaplar toplam kaç tanedir? Bu problemin çözümünü inceleyelim: 35 tane hikâye,
DetaylıGeçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k
8. Yak nsak Diziler 8.1. Yak nsakl k Geçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k ama kan tlamad k. Kan tlayamazd k da, çünkü yak nsamak kavram n henüz tan mlamad k. Bu bölümde matematikte
Detaylıyis ralamalar Hissetmek
Kapak Konusu: S ralamalar yis ralamalar Hissetmek yis ralamay koyun s ralamaya benzetmek pek yanl fl olmaz. Sonsuz say da koyun da olsa, iyis ralanm fl bir koyun sürüsünde mutlaka birinci koyun olmal.
Detaylı6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN
SAYLAR Do al Say lar Parças ve fl n 6. SNF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YLLK PLAN Süre/ KAZANMLAR Ders AÇKLAMALAR 1. Do al say larla ifllemler yapmay gerektiren problemleri çözer ve kurar. Do al say
DetaylıKoninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr
apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan
DetaylıHiç K salmadan K salan Yol
Hiç K salmadan K salan Yol ki metrelik bir yol, hiç uzay p k salmadan, bir metrelik bir yola dönüflebilir mi? u yaz da yan t n evet oldu unu görece- iz. ki metrelik bir yol, hepimizin gözleri önünde, bir
DetaylıAZIRBAYCAN HALK MÜZİGİ MAKAMLARıNDAN RAST MAKAMıNıN İNCILINMESi
AZIRBAYCAN HALK MÜZİGİ MAKAMLARıNDAN RAST MAKAMıNıN İNCILINMES Arş. Gör. Yavuz ŞEN* Türl< müzğnde bast mal
DetaylıDo al Say lar. Do al Say larla Toplama fllemi. Do al Say larla Ç karma fllemi. Do al Say larla Çarpma fllemi. Do al Say larla Bölme fllemi.
MATEMAT K la Toplama fllemi la Ç karma fllemi la Çarpma fllemi la Bölme fllemi Kesirler Kesirlerle Toplama ve Ç karma fllemi Ondal k Kesirler Temel Kaynak 4 DO AL SAYILAR Ay, bugün çok yoruldum. Yüz yirmi
DetaylıGEOMETR K fiek LLER. Bunlar biliyor musunuz? Yüzey: Bir varl n d fl ve genifl bölümleri. yüzey. Düz: Yüzeyinde girinti, ç k nt olmayan.
GEOMETR K fiek LLER Bunlar biliyor musunuz? Yüzey: Bir varl n d fl ve genifl bölümleri. yüzey yüzey Düz: Yüzeyinde girinti, ç k nt olmayan. yüzey Küre: Tek yüzeyli cisim. Küp: Birbirine eflit alt yüzeyi
DetaylıBu noktaya gelene kadar nin birçok özelli ini kan tlad k.
21. nin Biricikli i Bu noktaya gelene kadar nin birçok özelli ini kan tlad k. Bu özelliklerin bir listesini ç karal m: 1), s ral bir cisimdir. 2) tamd r, yani nin her temel (ya da Cauchy) dizisi de yak
Detaylı6 Devirli Kodlar. 6.1 Temel Tan mlar
6 Devirli Kodlar 6.1 Temel Tan mlar Tan m S F n q için e¼ger (a 0 ; a 1 ; : : : ; a n 1 ) 2 S iken (a n 1 ; a 1 ; : : : ; a n 2 ) 2 S oluyorsa S kümesine devirli denir. E¼ger bir C do¼grusal kodu devirli
DetaylıDüello, herkesin bildi i üzere, iki kifli aras nda yap l r. Trielloyu
Triello Düello, herkesin bildi i üzere, iki kifli aras nda yap l r. Trielloyu 1 herkes bilmeyebilir... Triello üç kifli aras nda yap - l r, ya da oynan r..., B ve, triello yapacak üç kifli olsun. Önce,
DetaylıOyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim.
Barbut Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim. Ne yapal m ki ben oyun oynamay çok severim. Birinci Oyun. ki oyuncu s rayla zar at yorlar. fiefl (6) atan ilk oyuncu oyunu kazan yor. Ve
DetaylıBir önceki bölümde bir fonksiyon dizisinin bir baflka fonksiyona
56. Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama Br öncek bölümde br fonksyon dzsnn br baflka fonksyona düzgün yak nsamas n n knc ve daha kullan fll br tan m n gördük. Bunun çn ƒ = sup{ ƒ(x) : x X} n 0 {}
DetaylıSEK Tahmincilerinin Arzulanan Özellikleri. SEK Tahmincilerinin Arzulanan Özellikleri. Ekonometri 1 Konu 9 Sürüm 2,0 (Ekim 2011)
SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler İk Değşkenl Bağlanım Model SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler Ekonometr 1 Konu 9 Sürüm 2,0 (Ekm 2011) http://www.ackders.org.tr SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler
DetaylıBir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl
48. Limit Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl ve bu ders notlar n n oldukça uzun bir bölümünü bu kavrama ay rm flt k. Bu bölümde benzer bir limit kavram tan taca z. E er ƒ bir
DetaylıAmerika Birleflik Devletleri nde dikkatimi ilk çeken her fleyin
Dünyan n En Zeki nsan Matematikçilere Karfl Amerika Birleflik Devletleri nde dikkatimi ilk çeken her fleyin büyüklü ü oldu. Arabalar, binalar, Coca Cola lar, al flverifl merkezleri, insanlar... Her fley
DetaylıBiraz Kümeler Kuram ve Birkaç Do al Say
Kapak Konusu: 2 2 = 4 Biraz Kümeler Kuram ve Birkaç Do al Say Geçen yaz da her toplulu u küme sanman n ne kadar kötü sonuçlar do urdu unu gördük. Demek ki daha dikkatli olmal y z, önümüze ç kan her toplulu
DetaylıBu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.
19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün
Matematik ünas, 003 Güz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas /. ölüm o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün üniversitenin ö retim üelerinin de katk - lar la düzenledi i liseleraras
DetaylıDünya satranç flampiyonu Kasparov la bir el satranç oynayacak olsan z, yüzde yüz yenilece inizi önceden kestirebilirsiniz. Kasparov a karfl hemen
Pokerin Matemati i S atrançta bir oyuncunun bilip de öbür oyuncunun bilmedi i bilgi yoktur. Bu tür oyunlara aç k oyun diyelim, bilgiler aç k, ortada anlam na. Tavlada da bir oyuncunun bildi ini öbür oyuncu
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 Bireysel Yar flma Soru ve Çözümleri
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 ireysel Yar flma Soru ve Çözümleri olamayaca ndan (çünkü bir kareköke eflit), y = 1/2 bulunur. olay s yla = y 2 = 1/4. 2a + 4b = 6a 3b oldu
DetaylıMATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER
ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say
Detaylı= puan fazla alm fl m.
Temel Kaynak 5 Do al Say larla Ç karma fllemi ÇIKARMA filem Hasan ve Ahmet bilgisayar oyunundan en yüksek puan almak için yar fl yorlar. lk oynay fllar nda Ahmet 1254, Hasan 1462 puan al yor. Aralar nda
DetaylıKOOPERAT FLERDE MAL B LD R M NDE BULUNMA YÜKÜMLÜLÜ Ü( 1 )
KOOPERAT FLERDE MAL B LD R M NDE BULUNMA YÜKÜMLÜLÜ Ü( 1 ) Kadir ÖZDEM R* 1-G R fi 3628 say l Mal Bildiriminde Bulunulmas, Rüflvet ve Yolsuzluklarla Mücadele Kanununun, Mal Bildiriminde Bulunacaklar bafll
Detaylı1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V.
1.ÖLÜM MTMT K Derginin bu say s nda Kümeler konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. u konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü içinde
DetaylıBundan sonra, alttan ikinci s ran n en sa ndaki çubu u so-
Matematikçi Hilesi M atematik bölümünün tam karfl s na yeni bir lokanta aç lm fl. Bana kal rsa kötü bir yer seçilmifl. Kaç kifli gider ki o lokantaya? Bizim bölümden baflka bir tek bina yok çevrede. Yak
Detaylı22. Zorn Önsav na Girifl
22. Zorn Önsav na Girifl 22.1. mkâns z Bir Problem mkâns z bir problemle bafllayal m: Gerçel say lar kümesi nin maksimal bir sonlu altkümesini bulmaya çal flal m... Do ru anlad n z! Dedi imiz gibi imkâns
Detaylı11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 4. KONU AĞIRLIK MERKEZİ - KÜTLE MERKEZİ ETKİNLİK ÇÖZÜMLERİ
11. SINIF KNU ANLATIMLI 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 4. KNU AĞIRLIK MERKEZİ - KÜTLE MERKEZİ ETKİNLİK ÇÖZÜMLERİ 2 2. Ünite 4. Konu 3. A rl k Merkezi - Kütle Merkezi A nn Çözümleri su 1. BM fiekil I fiekil
Detaylı(ÖSS ) ÇÖZÜM 2:
MTEMT K PROLEMLER - II ÖRNEK : ve kentlerinden saatteki h zlar s ras yla V ve V olan (V > V ) iki araç, birbirlerine do ru 2 2 ayn anda hareket ederlerse saat sonra karfl lafl yorlar. u araçlar ayn kentlerden
DetaylıANKARA ÜNİVERSİTESİ PSİKİYATRİK KRİZ UYGULAMA VE ARAŞTIRMA MERKEZİ
ANKARA ÜNİVERSİTESİ PSİKİYATRİK KRİZ UYGULAMA VE ARAŞTIRMA MERKEZİ Kuruluş : 27 Ekim 1989 Adres : Ankara Üniversitesi Tıp Fakültesi Cebeci Kampüsü Dikimevi - Ankara Tel : 363 03 26-363 03 27 ANKARA ÜNİVERSİTESİ
DetaylıBu ay n konusu olan problem Amerika da baya heyecan
fiapka Problemi Bu ay n konusu olan problem Amerika da baya heyecan yaratm fl. Hatta Amerika n n en sayg de er gazetelerinden biri olarak kabul edilen The New York Times ta uzun bir yaz ya konu olmufl.
DetaylıStandart Model (SM) Lagrange Yoğunluğu. u, d, c, s, t, b. e,, Şimdilik nötrinoları kütlesiz Kabul edeceğiz. Kuark çiftlerini gösterelim.
SM de yer alacak fermyonlar Standart Model (SM) agrange Yoğunluğu u s t d c b u, d, c, s, t, b e e e,, Şmdlk nötrnoları kütlesz Kabul edeceğz. Kuark çftlern gösterelm. u, c ve t y u (=1,,) olarak gösterelm.
DetaylıTEMEL MATEMAT K TEST
TML MTMT K TST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TML MTMT K TST " bölümüne iflaretleyiniz.. + : flleminin sonucu kaçt r? 4. ört do al say afla
Detaylı1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Yukar daki rakamlardan kaç tanesinde dikey do ru modeli vard r?
Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : 1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Do ru Düzlem Nokta 5. MATEMAT K TEST 19 Ifl n Do ru Do ru parças 2. Afla daki hangi do runun çizgi modeli
Detaylıperformansi_olcmek 8/25/10 4:36 PM Page 1 Performans Ölçmek
Performans Ölçmek Cep Yönderi Dizisi Cep Yönderi Dizisi yöneticilerin ifl yaflam nda her gün karfl laflt klar en yayg n meydan okumalara ivedi çözümler öneriyor. Dizi içinde yer alan her kitapta, güçlü
DetaylıGeçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0)
3. Do al Say larda Toplama, Çarpma ve S ralama Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0) matematiksel yap s n n varl n kan tlam flt k. An msayal m: bir kümedir. 0, kümesinin bir eleman d
DetaylıHasta Rehberi Say 6. KONJEN TAL ADRENAL H PERPLAZ Kolay okunabilir rehber
Hasta Rehberi Say 6 KONJEN TAL ADRENAL H PERPLAZ Kolay okunabilir rehber Konjenital Adrenal Hiperplazi - Say 6 (A ustos 2006 da güncellenmifltir) Bu rehber Reading Üniversitesi, Sa l k Bilimleri Enstitüsü,
Detaylı