Dünyas ndan

Transkript

1 Matematik Sevgili Matematikseverler, Dünyas ndan Ben bu sat rlar yazarken, flu anda, 500 dolay nda lise ö rencisi genç Cahit Arf Matematik Günleri nde ter döküyor. Üç saatlik süreleri olmas na karfl n birço u bir saat sonra salonu terketti. Galiba daha önce terkedeceklerdi de izin verilmedi. Neden ç kt klar n sordum. Yapamad k... dediler. Sanki onlara yap n diyen oldu! Biz yap n demedik ki, sadece yapmaya çal fl n dedik! nsan n hayatta kaç kez üç saat boyunca düflünme f rsat olur ki? Böyle bir f rsat kaçar m? Ceza yok, s n fta kalma yok, azarlayan yok, ba ran ça ran yok. Aç susuz de iller, üflümüyorlar, kar nlar tok s rtlar pek... Bedavadan üç saat düflmüfl gökten düflünmek için... George Bernard Shaw galiba, insanlar, demifl, ayda ya bir ya iki kez düflünürler. Bense haftada iki kez düflünerek ekmek param ç kar yorum... Erken ç kan ö rencilerin as l baflar s zl sorulan sorular yapamamak de ildir. Onlar n as l ve en vahim baflar s zl baflar s zl k karfl s nda y lmalar, yapamad klar bir soruyla üç saat bo uflmamalar, hemen pes etmeleri, düflünmekten zevk almamalar d r. Düflünmek, üstelik yan t bulamadan düflünmek, evet zordur, evet ac verir; ama bundan, ac biberin tad na benzer bir zevk de al nabilir. Do ada en az enerji harcama yasas geçerlidir. Örne in fl k, bir noktadan bir baflka noktaya gitmek için en az enerji harcayaca yolu seçer. nsan da do an n bir parças de il mi? Düflünmeden yaflamay seçiyor. Düflünmek zordur, enerji gerektirir. Çocuklar n suçu ne? Bilmiyorlar ki düflünmenin keyfini, ö renmemifller ki, ö retilmemifller ki. Hatta tam tersi ö retilmifl. Üniversite s navlar na girecek ö rencilere analar babalar ve ö retmenler ne tavsiyede bulunurlar? E er bir soruyu yapam yorsan, sak n ha o soruyla fazla zaman geçirme. Yapamad n sorular geç. Aman düflünerek zaman kaybedeyim deme! Aman ha, sak n ola ki düflünme! Düflünmenin baflar s zl a, hatta felakete neden oldu u bir sistem yaratt k. Her baflar s zl a u rad nda pes eden bir bilim adam ya da matematikçi düflünebiliyor musunuz? Yarat c her insan n hayat baflar dan çok baflar s zl klarla dolu de il midir? Hep baflaran, durmadan baflaran biri herhangi bir fley baflarm fl olabilir mi? Baflar o kadar kolay m? nsano lunun en güzel, en yüce, en soylu, en ö ünülesi eserlerini baflar s zl ktan korkmayanlar yaratm fllard r. Bu dergi baflar s zl ktan korkmayanlar n, hatta tam tersine en küçük bir baflar - n n bin baflar s zl ktan geçti ini bilip baflar s zl klar n n üstüne üstüne gidenlerin dergisidir. Say m z gün geçtikçe art yor. Ço ald kça ço al yoruz. fiimdilik 8500 baflar s z z! 1

2 SAH B : Türk Matematik Derne i ad na Prof. Dr. Tosun Terzio lu SORUMLU YAZI filer MD.: Prof. Dr. Ali Nesin Matematik Dünyas, Türk Matematik Derne i taraf ndan, stanbul Bilgi Üniversitesi nin deste iyle üç ayda bir yay mlanmaktad r. Milli E itim Bakanl Talim Terbiye Kurulu Baflkanl n n 20 Haziran 1991 gün ve 660 YKD. Bas. K.I.fib. Müd say l karar yla okullara tavsiye edilmifltir! YAYIN KURULU: Ali Nesin, Ahmet Do an, fiafak Alpay, Haluk Oral, Mustafa Ya c (Geometri) ABONEL K: Y ll k TL. En az 10 kiflilik (tek adresli) gruplar için abone bafl na y ll k TL. TMD üyelerine TL. Yurtd fl abonelik TL. Y ll k abone ücretinin Türk Matematik Derne i nin Matematik Dünyas Dergisi ad na açt rd no lu Posta Çeki hesab na ya da Türkiye fl Bankas Galata ( stanbul) fiubesi (fiube kodu 1021) no lu Matematik Dünyas Dergisi hesab na yat r larak, dekontunun bir örne inin yaz flma adresine gönderilmesi yeterlidir. ABD Dolar Hesab : Türkiye fl Bankas, Galata fiubesi, Euro Hesab : Türkiye fl Bankas, Galata fiubesi, Derginin eski say lar n elde etmek için: Prof. Dr. Hülya fienkon Sabanc Üniversitesi Karaköy letiflim Merkezi Bankalar Cad Karaköy stanbul tmd@sabanciuniv.edu.tr hsenkon@iku.edu.tr (0212) / 1506 (0212) / 2216 KAR KATÜRLER: Tayfun Akgül TASARIM: Kadir Abbas / Maraton Dizgievi BASKI: Kad köy Matbaa ISSN: X Kapak: Kadrali letiflim Adresimiz Matematik Dünyas stanbul Bilgi Üniversitesi Kurtulufl Deresi Cd Dolapdere / STANBUL Tel : (0212) Faks : (0212) E-Posta : md@math.bilgi.edu.tr Web : çindekiler 1 Matematik Dünyas ndan Ali Nesin 3 K sa K sa... fiafak Alpay 5 Okurlardan 7 Bas nda Matematik 9 Duyduk Duymad k Demeyin! 10 Cahit Arf ve Gündüz keda Burslar Kapak Konusu: 11 Say lar S f rlamak Ali Nesin 14 Modülo n say lar 17 Asal Say n n Gerçekten Ne Oldu unu Biliyor musunuz? 25 Polinom Nedir, Ne De ildir? 29 Halka 34 Polinomlarda Bölme 36 Asallar ve ndirgenemezler Üzerine Biraz Daha 39 Euler ϕ Fonksiyonu E. Mehmet K ral Matematik Tarihi 42 Matemati in K sa Bir Tarihi Ali Ülger 46 stanbul Üniversitesi Matematik Bölümü Hülya fienkon 54 Andrew Wiles ile Bir Söylefli Nova Çeviren: Asl Nesin Geometri - Topoloji - Analiz 58 Fermat - Toricelli Noktas Mustafa Ya c 62 Cebirsel Çözüm Ç kmaz ndan Geometrik Çözüm Aç l m na Alpaslan Parlakç 63 π nin Tan m, Çemberin Çevresi ve Dairenin Alan Ali Nesin 65 Cauchy-Schwartz ve Minkowski Eflitsizlikleri Alper Çay 66 Fraktaller fiahin Koçak Say lar Kuram 68 Say lar n Güçlerini Toplamak Tosun Terzio lu Problemler ve Yar flmalar 74 Problemler ve Çözümleri Refail Alizade 78 Do ufl Üniversitesi 2004 Liseleraras Tak m Yar flmas Sorular 80 Cahit Arf Matematik Günleri III Birinci Gün, Soru ve Yan tlar 84 Cahit Arf Matematik Günleri III kinci Gün, Sorular Bilgisayar 86 Dört Renk Problemi ve Teoremi brahim C. Arkut 90 Monte Carlo Yöntemi H. Coflkun Gündüz E itim 93 Soru Sorma Sanat m, Kafa Kar flt rma Sanat m? Süheyla Elmas ve Seyfullah H zarc Felsefe 95 Matematik Belas Üzerine II, Yabanc laflma, E itim ve Matematik Bekir S. Gür 99 Bir Matematikçinin Savunmas Hakk nda Burak Bayraml Çeflitli 100 Abrakadabra Murat Kipel 101 Eureka! Murat Kipel 102 Oyak Matematik Yar flmas II 103 Matematik ve Müzik K. Korhan Nazl ben 105 Yay n Dünyas lhan keda 108 Satranç Köflesi Eflref Eflkinat 111 nternet Dünyas Vebi Derya 112 Sir Isaac Newton Piref. H. Ökkefl 2

3 SAH B : Türk Matematik Derne i ad na Prof. Dr. Tosun Terzio lu SORUMLU YAZI filer MD.: Prof. Dr. Ali Nesin Matematik Dünyas, Türk Matematik Derne i taraf ndan, stanbul Bilgi Üniversitesi nin deste iyle üç ayda bir yay mlanmaktad r. Milli E itim Bakanl Talim Terbiye Kurulu Baflkanl n n 20 Haziran 1991 gün ve 660 YKD. Bas. K.I.fib. Müd say l karar yla okullara tavsiye edilmifltir! YAYIN KURULU: Ali Nesin, Ahmet Do an, fiafak Alpay, Haluk Oral, Mustafa Ya c (Geometri) ABONEL K: Y ll k TL. En az 10 kiflilik (tek adresli) gruplar için abone bafl na y ll k TL. TMD üyelerine TL. Yurtd fl abonelik TL. Y ll k abone ücretinin Türk Matematik Derne i nin Matematik Dünyas Dergisi ad na açt rd no lu Posta Çeki hesab na ya da Türkiye fl Bankas Galata ( stanbul) fiubesi (fiube kodu 1021) no lu Matematik Dünyas Dergisi hesab na yat r larak, dekontunun bir örne inin yaz flma adresine gönderilmesi yeterlidir. ABD Dolar Hesab : Türkiye fl Bankas, Galata fiubesi, Euro Hesab : Türkiye fl Bankas, Galata fiubesi, Derginin eski say lar n elde etmek için: Prof. Dr. Hülya fienkon Sabanc Üniversitesi Karaköy letiflim Merkezi Bankalar Cad Karaköy stanbul tmd@sabanciuniv.edu.tr hsenkon@iku.edu.tr (0212) / 1506 (0212) / 2216 KAR KATÜRLER: Tayfun Akgül TASARIM: Kadir Abbas / Maraton Dizgievi BASKI: Kad köy Matbaa ISSN: X Kapak: Kadrali letiflim Adresimiz Matematik Dünyas stanbul Bilgi Üniversitesi Kurtulufl Deresi Cd Dolapdere / STANBUL Tel : (0212) Faks : (0212) E-Posta : md@math.bilgi.edu.tr Web : çindekiler 1 Matematik Dünyas ndan Ali Nesin 3 K sa K sa... fiafak Alpay 5 Okurlardan 7 Bas nda Matematik 9 Duyduk Duymad k Demeyin! 10 Cahit Arf ve Gündüz keda Burslar Kapak Konusu: 11 Say lar S f rlamak Ali Nesin 14 Modülo n say lar 17 Asal Say n n Gerçekten Ne Oldu unu Biliyor musunuz? 25 Polinom Nedir, Ne De ildir? 29 Halka 34 Polinomlarda Bölme 36 Asallar ve ndirgenemezler Üzerine Biraz Daha 39 Euler ϕ Fonksiyonu E. Mehmet K ral Matematik Tarihi 42 Matemati in K sa Bir Tarihi Ali Ülger 46 stanbul Üniversitesi Matematik Bölümü Hülya fienkon 54 Andrew Wiles ile Bir Söylefli Nova Çeviren: Asl Nesin Geometri - Topoloji - Analiz 58 Fermat - Toricelli Noktas Mustafa Ya c 62 Cebirsel Çözüm Ç kmaz ndan Geometrik Çözüm Aç l m na Alpaslan Parlakç 63 π nin Tan m, Çemberin Çevresi ve Dairenin Alan Ali Nesin 65 Cauchy-Schwartz ve Minkowski Eflitsizlikleri Alper Çay 66 Fraktaller fiahin Koçak Say lar Kuram 68 Say lar n Güçlerini Toplamak Tosun Terzio lu Problemler ve Yar flmalar 74 Problemler ve Çözümleri Refail Alizade 78 Do ufl Üniversitesi 2004 Liseleraras Tak m Yar flmas Sorular 80 Cahit Arf Matematik Günleri III Birinci Gün, Soru ve Yan tlar 84 Cahit Arf Matematik Günleri III kinci Gün, Sorular Bilgisayar 86 Dört Renk Problemi ve Teoremi brahim C. Arkut 90 Monte Carlo Yöntemi H. Coflkun Gündüz E itim 93 Soru Sorma Sanat m, Kafa Kar flt rma Sanat m? Süheyla Elmas ve Seyfullah H zarc Felsefe 95 Matematik Belas Üzerine II, Yabanc laflma, E itim ve Matematik Bekir S. Gür 99 Bir Matematikçinin Savunmas Hakk nda Burak Bayraml Çeflitli 100 Abrakadabra Murat Kipel 101 Eureka! Murat Kipel 102 Oyak Matematik Yar flmas II 103 Matematik ve Müzik K. Korhan Nazl ben 105 Yay n Dünyas lhan keda 108 Satranç Köflesi Eflref Eflkinat 111 nternet Dünyas Vebi Derya 112 Sir Isaac Newton Piref. H. Ökkefl 2

4 K sa K sa... fiafak Alpay* / safak@metu.edu.tr Matematik Dünyas, 2004 Bahar Gündüz keda Araflt rma Ödülü, 26 fiubat 2003 te kaybetti imiz sevgili hocam z, de erli matematikçi ve insan Gündüz keda n n an s na Matematik Vakf taraf ndan konmufltur. Ödülü 2003 te ODTÜ Matematik Bölümü ö retim üyesi Turgay Kaptano lu kazanm flt r. Kaptano lu na ödülü Çok boyutlu birim yuvardaki analitik fonksiyonlar n yap s hakk ndaki ustal ve bu ustal sergileyen yay nlar nedeniyle verilmifltir. Turgay Kaptano lu nu kutluyor ve 78inci yaflgününü kutlad m z Gündüz Hocam z bu vesileyle sayg ve sevgiyle an yoruz. Gündüz M. keda Araflt rma Ödülü 2004 te de verilecektir. Çal flmalar n aday n yaflamöyküsüyle birlikte 31 Ekim 2004 e dek Matematik Vakf, ODTÜ adresine gönderilmesi gerekmektedir. Cahit Arf Matematik Günleri nin üçüncüsü stanbul Bilgi Üniversitesi Matematik Bölümü taraf ndan Mart ve Nisan da gerçeklefltirildi. Sorular ve yan tlar sayfa te bulabilirsiniz. Burs. Türk Matematik Derne i Cahit Arf ve Gündüz keda ad na burs veriyor. Daha fazla bilgi sayfa 10 da. Dünya π Günü 14 Mart t (03-14). Geçmifl π gününüz kutlu olsun! Fonksiyonlar Sitesi. Ünlü Mathematica program n gelifltiren Wolfram flirketi fonksiyonlar sitesi kurdu. Adresi 29 Mart günü sitede fonksiyon vard. Ayr ca matematiksel sabitleri ve formüllerini de bulmak mümkün. Örne in, Ali Ülger (Koç Ü.) ve Yusuf Ünlü nün (Çukurova Ü.) oluflturdu u Ulusal Sempozyum da dizi konuflmalar, ça r l konuflmalar, genç araflt rmac lar gibi art k gelenekselleflmifl davetli konuflmalar n yan s ra k sa araflt rmalar n sunumu ve bu y l ilk kez lisans ö rencilerini de kucaklayan bir bölüm olacakt r. International Workshop on Analysis and Its Applications toplant s 7-11 Eylül 2004 te Mersin Üniversitesi nde gerçeklefliyor. Ukrayna Bilimler Akademisi ve Kyiv Taras Schevchenko Ulusal Üniversitesi yle ortak düzenlenen çal fltay n ele alaca konular aras nda fonksiyonlar kuram ve analizi, k smi ve s radan türevsel denklemler ve kuramsal fizik konular yer almaktad r. Çal fltay n internet adresi: Robert G. Bartle 18 Eylül 2003 te 75 yafl nda vefat etti. Kitaplar yla ünlü Bartle n n Matematik Vakf taraf ndan türkçelefltirilen ntegral Kuram na Girifl kitab - n n yan s ra The Elements of Real Analysis ve Introduction to Real Analysis kitaplar onlarca bask yapm fl ve matematik dünyas n n en çok okunan kitaplar aras nda yer alm flt. Robert G. Bartle IV. Cahit Arf Konferans konuflmac s Princeton Üniversitesi ve leri Araflt rmalar Enstitüsü nden Robert Langlands olacakt r. Kas m a planlanan IV. Arf Konferans n Heidelberg Üniversitesi emeritüs profesörlerinden Peter Roquette yönetecektir. XVII. Ulusal Matematik Sempozyumu A ustos 2004 te Bolu da, zzet Baysal Üniversitesi Matematik Bölümü nde yap lacakt r. Bilim Kurulu nu fiafak Alpay, (ODTÜ), Alp Eden (Bo aziçi Ü.), Bülent Karakafl (Yüzüncü Y l Ü.), Mahmut Kuzucuo lu (ODTÜ); Hülya fienkon (Kültür Ü.), * ODTÜ Matematik Bölümü ö retim üyesi. 3 Gerhard Frey in 60 nc yaflgünü için Essen Üniversitesi nde 8-10 Temmuz 2004 te From Arithmetic to Cryptology toplant s düzenleniyor. Frey Birinci Arf Konferans konuflmac s yd. Adres: shttp:// uni-essen.de/~birthday. IV. Avrupa Matematikçiler Gerhard Frey

5 Okurlardan Muhittin Ayd n dan Merhaba! Ben Atatürk Üniversitesi lkö retim Matematik Bölümü ö rencisiyim. Derginize geçti imiz aylarda abone oldum. Dergilerinizi çok büyük bir zevkle inceledim. Size bir itirafta bulunay m: Ben uzun y llard r matematikle u raflan biriyim ve bir matematik bölümünde okuyorum, fakat bu dergi hayat mda abone oldu um ilk matematik dergisi. Bunun için üzülmem mi gerekiyor yoksa sevinmem mi gerekiyor bilmiyorum ama bu dergiyi haz rlamada eme i geçen herkese çok teflekkür ediyor, sayg lar m sunuyorum. Utku Can Topçu dan Matemati in tarihi geliflimi üzerine çok önemli bir sorum olacak. Acaba sakal b rakan ilk matematikçi kimdir, neden b rakm flt r? Benim diyen matematikçi sakal b rakmak zorunda m d r? Nedir bu olay? Bu konuda bir hipotezim var: n, yaflayan matematikçi say s ; x, flu ana kadar yaflam fl matematikçi say s ; s, sakall matematikçi say s olsun. O zaman, s/x = (1/e) n. Bunu kan tlamamda bana yard mc olabilir misiniz? Fatih Mehmet Kara dan Bir iste im var, daha do rusu bir öneri. Dergiye matemati in ne ifle yarad n anlatan yaz lar ekleyebilir misiniz? Böyle bir köfle olsa çok hofl olabilir. Bir lisede matematik ö retmeniyim ve ö renciler matematikten nefret ediyorlar. Çünkü s navlar d fl nda bir ifle yaramayan bir ders olarak alg l yorlar. Matematik Dünyas Çocuk Dergimiz olsa matematiksel düflünceyi sevdirse san r m ülkemiz çok daha güzel olur. MD. Matemati in ifle yaramad alan yok gibidir de, ö rencilerinize Picasso yu bilmenin ne ifle yarad n sorabilirsiniz. Picasso yu bilmek pek bir ifle yaramaz, ama bilmeyen de pek bir ifle yaramaz. Çocuk dergisi... Akl m zda... Ayça Ulusoy dan zninizle bir fleyi elefltirmek istiyorum. Matematik Dünyas n n IV say s n n kapa tam bir facia. Yani bir çocuk veya lise talebesi bu dergiyi alsa (daha kapa na bakarak) matematikten nefret eder. Siz de al p önünüze bir koyarsan z tamamen karamsar bir ruh hali içinde oldu unu ve itici oldu unu hissedebilirsiniz. Aff n za s n yorum ama çocuklar (çocuklar veya gençler hiç farketmez) için rengârenk bir kapak olmal, onlar n ruhlar na hitap etmeli. Pembe, yeflil, mor gibi renkler... Sayfay çevirdi i zaman, wavvvv... ne kadar güzel demeli... Okurken, ne kadar e lenceli demeli... Muhteflem demeli... Umar m elefltirimi dikkate al rs n z. H. Akgün den Ben üniversiteye haz rlanan, derginizi 3üncü say dan itibaren takip etmeye bafllayan, matemati- e maalesef yeni yeni sizin de katk n zla ilgi duymaya bafllayan 19 yafl nda bir gencim. MD çok e lenceli bir dergi. Girifl yaz s nda kavramlar, hissedilen gerçe i kan tlamaya olanak verecek biçimde tan mlan rlar... deniyor. Bu durumda, kavramlar, hissedilen gerçe i kan tlayacak flekilde oluflturup tan mlamak ne kadar do ru diye sormadan edemiyorum. Tamam, flu an için belki de en do ru yol bu, fakat bir zamanlar bizim hissetti imiz gerçekler, dünyan n düzlü ü, trenlerin saatte 36 km den daha h zl gidemeyece i, havada herhangi bir düzene in uçamayaca, insan n kendi gezegeninin d fl na ç kamayaca vs idi. Söylemek istedi im, yanl fl hissetti imiz gerçeklere göre kavramlar tan mlarsak yapay, ayaklar yere basmayan bir dünya oluflturmaz m y z kendimize? Nihayetinde matematik gibi kesinlik isteyen müthifl derecede geliflmifl bir bilim dal n n bile hatas z olup olmad n bilemiyorken nas l olacak da bildi imize inand m z fleylerin hepsi do rudur ve kavramlar m z da bunlar kan tlayacak flekilde oluflturmal y z diyece iz? 5

6 MD. Bir makale konusu oluflturacak kadar çok ve önemli sorular sormuflsunuz. 1. Sizin de sat r aras nda söyledi iniz gibi matemati in hissedilen gerçe i kan tlayacak flekilde oluflturulmas kaç n lmazd r. Baflka seçene imiz yok. Önünde sonunda bu evreni hislerimizle alg l yoruz. 2. Varsay msal olarak, günün birinde matemati in bizim d fl m zdaki ve hissetti imiz gerçekle çeliflti i anlafl labilir. Örne in nin 4 de il de asl nda 5 etti i, bugüne dek hep yanl fl sayd - m z, ya da çok çok büyük iki say n n toplam n n matemati in öngördü ü toplam olmad anlafl - labilir, neden olmas n? flte o zaman k yamet kopar, örne in herbiri matematik hocas olan bu derginin editörleri iflsiz kal rlar. Ama bu çok çok çok az bir olas l k. 3. Varsay msal olarak flöyle bir fley de olabilir: Günün birinde, matematiksel olarak tan mlanm fl bir nesnenin özellikleriyle ilgili son derece ikna edici bir ak l yürütmeyi matematikte yapamayaca - m z anlayabiliriz. Yani matemati in belitleri (aksiyomlar ) ya da ç kar m kurallar (bir anlamda kan tlama yöntemleri) sizin ve uzmanlar n ve sokaktaki insan n ikna edici buldu u bir ak l yürütmeye izin vermeyebilir. Yani günün birinde, kalem kâ tla yaratt m z matemati in yeterince güçlü olmad, insan zekâs ndan geri kald anlafl labilir. Çünkü herkesin sezgisel olarak do ru buldu u bir ak l yürütme matematikte yap lam yordur. Bunun olmamas gerekir. Ama olursa o zaman matemati- in belit say s ya da ç kar m kurallar art r labilir. Böyle bir sorunun da oluflma olas l n n pek düflük oldu unu san yoruz. Ama imkâns z de il. Geçmiflte, tam böyle olmasa da buna benzer sorunlar yafland matematikte. Genco fiahino lu ndan Ben Süleyman Demirel Üniversitesi Matematik Bölümü 3üncü s n f ö rencisiyim. Derginizi ilk ç kt günden beri takip ediyorum. Çok kaliteli bir yay n aç kças. [...] fiimdi yepyeni ve içi bilgilerle dolu bir dergi var. Emekleriniz için sizlere çok teflekkür ediyorum. Umar m bir gün derginize yaz yazar m. MD. ltifatlar n z için teflekkürler. MD de daha önce lisans ö rencileri yaz yazd lar. Yay mlanaca na söz veremeyiz elbette ama daha flimdiden yaz n z yaz p yollayabilirsiniz. Özgür fiimflek ten Derginin son say s n birazdan gidip alaca- m. zin verirseniz dergiyle ilgili elefltirilerim olacak. Son say y dedi im gibi sonra gidip alaca m. Son say daki tasar mdan ve içerikten haberim yok, ama öncekiler gibi ise flunlar söyleyece im: 1. Satranc n Matematik Dünyas nda ne ifli var? (Acaba matematikle do rudan bir iliflkisi var da biz mi bilmiyoruz? Sonuçta uzman sizsiniz.) 2. Bas nda matematik sayfas ço alt lamaz m? Matematik günlük hayatla ba lant kurulunca daha anlaml oluyor ve insan daha çok seviyor. (Mesela dünkü Konya-Befliktafl maç ndan sonra bir yorumcu flunu söyledi: Befliktafl n flampiyonluk flans matematiksel olarak var ama geometrik olarak bitti. Bunun gibi say s z olay oluyor. Bir örnek daha: Bugünkü trafik kazas nda 3-4 kifli öldü. 3. Matematik tarihi, bence, matematik de il tarihtir. Ne ifli var dergide onu da anlayamad m. MD. Birinci sorunun yan t 8inci sayfam zda olabilir. Bas nda matemati in daha zengin olmas için okurlar m zdan yard m bekliyoruz. Matematik tarihi elbette tarihtir de ne de olsa matemati in tarihidir. Sanki balinalar n sindirim sisteminden bahsetmifliz gibi yazm fls n z! Elefltiriler için teflekkürler. Bir Okurdan Üniversite s navlar na haz rlan yorum. Fakat ne yap yorsam matematik netimde art fl olmuyor. 45 sorudan ortalama 40 net ç kar yorum. Bir y ld r bu böyle, bir art fl yok. Üstelik olimpiyat problemleriyle u rafl yorum. ÖSS matemati inin çocuk oyunca olmas gerekir. Ama yine de bir türlü yükselemiyorum. Bir yerde t kand m. Acaba ispatteorem olay na çok dald m için mi böyle oluyor? Ben de mi di erleri gibi ezberlesem? Bir matematik hocas bana ispat ve teoremin ÖSS de fayda getirmedi ini, sadece ÖSS kitaplar na çal flmam gerekti ini, sistemin böyle oldu unu söylemiflti, dinlememifltim. Ne yapmal y m kalan 2 ayda 45 te 45 yapabilmek için? MD. N aparsan z yap n ama ço unlu un düfltü ü o kötü yola düflmeyin! Son gülen iyi güler... 6

7 Bilim topuklara indi (Radikal, 24 Mart 2004) LONDRA - Seksi ayakkab lar n bilimsel formülü bulundu. Bilim adamlar, ayakkab lar n hem seksi bir görüntü vermesi hem de rahat giyilmesi için topuklar n n ne kadar yüksek olmas gerekti- ini hesaplad. Bacaklar daha uzun gösteren, dik durmaya zorlayan, yürürken kad n n mecburen sal nmas na neden olan yüksek topuklar ne kadar hofl görünürlerse görünsünler, sa l ks z olduklar kesin. Britanya da Londra Fizik Enstitüsü bilim adamlar, bir ayakkab n n topu unun ne kadar yüksek olmas gerekti ini formüle etti. Ayakkab numaras, fiyat ve giyecek kad n n ne kadar alkol ald gibi birçok faktörün göz önünde bulunduruldu u formül flöyle: h = Q (12 + 3s/8). Karmafl k formüldeki h, topu un santimetre de erinden maksimum yüksekli i, Q, 0 ile 1 aras nda de iflen sosyolojik bir de er, s Britanya ölçülerine göre giyilen ayakkab n n numaras. Q ise flöyle hesaplan yor: Formülde p, ayakkab n n ne kadar be eni toplad n gösteren 0 ile 1 aras nda bir de er; y ayakkab y giyecek kad n n kaç y ld r topuklu giydi i, m ise ngiliz sterlini cinsinden ayakkab n n fiyat. Ayakkab n n güzelli i, topuklu giyilen y llar n say - s, ayakkab n n fiyat ve kalitesi artt kça topuklar n boyu da uzuyor. 0 ile 1 aras nda de iflen t, söz konusu ayakkab lar n kaç ayd r moda olduklar n gösteriyor. De erin 0 olmas söz konusu ayakkab lar giyerken çekilen ac n n artaca n gösterse de ayn zamanda o ayakkab n n çok moda oldu una iflaret ediyor. A, topuklu ayakkab lar giyecek kad n n o akflam kaç kadeh içki içti ine denk düflüyor. Uzmanlar n iddas na göre ayakkab - lar n bu formüle uygun olarak seçen kad nlar, düflme risklerini azalt yor. Formülün yarat c s Paul Surrey, Formül ilk bak flta biraz ürkütücü görünse de okulda ö renilen ve hiçbir ifle yaramad san lan basit fizik bilgilerinden olufluyor. Temelinde de Pisagor ba nt s üzerine kurulu diyor. Sarah a 12,5 santim Ve formüle iyi bir örnek. Sex and the City dizisinin Carrie si Sarah Jessica Parker n tahmini olarak befl y ll k topuklu tecrübesi oldu u varsay l r ve en ucuzu 300 sterlin de erinde özel tasar mlar tercih etti i düflünülürse, oyuncu 12,5 santim topuklu bir ayakkab y rahatl kla giyebilir. (Der Spiegel) MD. Rahatl kla m?! (Bu kadar çok saçmal uzun süredir bir arada görmemifltim.) Mevsimin Al nt s Milletçe oturmufl çok bilinmeyenli denklemleri çözmeye çal fl yoruz. Haydi ben kimya mühendisi olmak için okudu- um onca matematikten sonra elimden geleni yapar m da herkes yüksek matematik bilmek zorunda de il. Kafalar bin dü- ümlü yün yuma na döndü. Ruhat Mengi, Vatan, 19 Nisan 2004 Baflbakandan Her zaman söylüyorum, siyasette de sosyal olaylarda da herkesin do rusu farkl olabilir. Çünkü bu bir matematik olay de il. ki kere iki dört diyemeyiz. Onun için de, ben böyle bak yorum, bu do rudur [denmemeli]. Hay r. Sana göre do rudur, bir baflkas farkl bir cepheden bakar ve benim do rum budur der. R. Tayyip Erdo an, Zaman, 19 Nisan

8 Eyvah Matematik... Türkiye, 18 fiubat Cumhuriyet Üniversitesi E itim Fakültesi nden Yrd. Doç. Dr. fiemsettin Dursun ve Yrd. Doç. Dr. Murat Peker, ilkö retim 6. s n f ö rencilerinin matematik dersinde karfl laflt problemleri araflt rd. Araflt rmada, ö rencilerin büyük bölümünün, matematik dersinde çeflitli sebeplerle zorland ortaya ç kt. Ankete kat lan ö rencilerin yüzde 40, matematik dersini anlama, kavrama ve yorumlamada güçlük çekti ini belirtirken, yüzde 25 i ise k smen güçlük çekti ini kaydetti. Ö rencilerin yüzde 35 i ise bu derste zorluk çekmedi ini bildirdi. Ö rencilere matematik dersinde karfl laflt klar en önemli problemin ne oldu u soruldu unda ise yüzde 25 i konular n zor olmas ndan flikayet ederken, yüzde 22,5 i derslerin s k c geçmesinden, yüzde 12,5 i yeterince soru çözülmemesinden yak nd. Soru sormuyorlar Araflt rmada, ö rencilerin matematik dersinde rahat soru sormakta zorland klar da belirlendi. Ö rencilerin derslerde görsel ve iflitsel araçlardan yararlanmak istedi i oldu. Araflt rmay de erlendiren Dursun, ilkö retim 4 ve 5. s n ftaki matematik müfredat n n yeniden gözden geçirilmesi ve ö retim yöntemlerinin s n fta etkin flekilde kullan lmas gerekti- ini vurgulad. MD. Ayn günün Milliyet inde ayr ca ö rencilerin yüzde 15 inin okul ve ö retmenden, yüzde 7,5 inin aile ve ö rencilerden, yüzde 7,5 inin yard mc kaynak ve çal flacak zaman bulamamaktan yak nd yaz yor. Harika Çocuk Çal yor Hürriyet, 19 Nisan 2004 (k salt larak al nt - lanm flt r). Günümüzün en iyi piyanistlerinden biri olarak nitelendirilen Dimitris Sgouros stanbul a geliyor. Rostropovitch in Bu çocuk tabiat n mucizesi, Tanr taraf ndan gönderilen bir müzik dahisidir dedi i Sgouros 1969 da Atina da do du. Müzikteki s ra d fl yeteneklerinin yan s ra alt dili çok iyi derecede konuflan Sgouros ayn zamanda Atina Üniversitesi Matematik Bölümü nden onur derecesiyle mezun oldu. Claudio Abbado nun Bir Sgouros her 100 y lda bir dünyaya gelir dedi i sanatç için Arthur Rubinstein Ölmeden önce Sgouros u dinleyebilmem için beni yaflatan Tanr ya teflekkür ediyorum! diyor. Matematik Korkusu Mat Sabah, 24 fiubat 2004 (k salt larak al nt lanm flt r). ngiliz Herald Tribune gazetesinin araflt rmas na göre, günde üç saat satranç, iki saat matematik çal flmaya eflit. Satranç oynayan çocu un, problem çözme yetene i yüzde 17,3 oran nda art - yor. [...] International Herald Tribune satranc n e itim alan ndaki yerini bir kez daha gözler önüne serdi. Gazete Üç saat satranç, iki saat matematik ve iki saat de Latince gibi zor bir dil dersine çal flmaya eflittir iddias na yer verdi. Satranc n e itime katk s n n yeniden keflfedildi inin vurguland habere göre satranc e itim kurumlar na tafl yan ülkelerin bafl nda Amerika geliyor. Ülkede yap lan bir araflt rmaya göre satranç dersi alan ö rencilerin problem çözme yetenekleri yüzde 17,3 oran nda art yor. Bu oran di er sosyal derslerin alanlar nda yaln zca yüzde 4,56... Teksas Üniversitesi ve Uluslararas Satranç Federasyonu nun birlikte yürüttükleri çal flmayla ö renciler satranç oynamaya özendirilerek zihinsel geliflimlerine katk da bulunuluyor. ABD de ayr ca 15 üniversite satranç bursu vererek ö rencilerde satranç sevgisini destekliyor. Fransa da, birçok lisede satranç en çok desteklenen etkinliklerden biri. Yedi y ld r Kanada da matematik ve satranç dersleri bir arada veriliyor. Böylece ö renciler matematik gibi zor bir dersi bir oyun yoluyla ö renirken, zihinsel olarak da daha h zl problem çözmeyi baflarabiliyor. Çin de satranc ö rencilerin hayat na tafl yan ülkelerden biri. Son birkaç senedir okullarda satranç bir program halinde ö retiliyor. Okullarda yürütülen satranç programlar n n bafl nda, daha çok, satranç oynamay iyi bilen matematik ö retmenleri bulunuyor. 8

9 Duyduk Duymad k Demeyin! Matematik Dünyas, 2004 Bahar Bu sayfada yer almas n istedi iniz her türlü duyuruyu bize yollayabilirsiniz. Küçük ilanlar s n f na giren ve kâr amac tafl - yan duyurulardan ücret talep edilebilir. Dergiye girmesi editörlerce do ru bulunmayan duyurular gerekçe gösterilmeden reddedilebilir. stanbul Bilgi Üniversitesi nde genç bir program: Finans Matemati i Finans Matemati i disiplinleraras bir programd r. Matematik, bilgisayar, iflletme, finans ve ekonomi derslerinin yan s ra mesleki yetkinlik kazand rmaya yönelik derslerden oluflur. Program, matematik e itimi alm fl, uluslararas finans, sigorta finans, risk analizi ve sermaye yönetimi konular nda uzmanlaflm fl kifliler yetifltirmeyi hedeflemektedir. Avrupa finans pazar nda süregelen geliflme, büyüme ve entegrasyon nedeniyle, finans mühendisli inin teknik özelliklerini bilen insan gücüne daha fazla ihtiyaç duyulmaktad r. Program, ö rencileri iflte bu modern finans dünyas na XI. Gökova Topoloji Geometri Konferans May s ta Akyaka Gökova da yap l yor. Adres: Alt nc Antalya Cebir Günleri May s 2004 tarihleri aras nda Antalya da yap lacak. nternet sitesi: haz rlayacakt r. Alacaklar güçlü matematik e itimi Finans Matemati i mezunlar n ifl hayat nda çok avantajl bir pozisyona getirecektir. Herhangi bir flirketin finansman bölümünde çal flabilecekleri gibi bankac l k ve sigortac l k gibi sektörlerde de aranan elemanlar olacaklard r. Özellikle ülkemizde yeni bafllayan özel emeklilik sigortas uygulamas sigorta flirketlerinin Finans Matemati i e itimi alm fl bireylere olan gereksinimini art rm flt r. Mezunlar m z n seçebilece i bir di er yol ise elbette daha çok okuyup ö renmek, yüksek lisans ve doktora yap p üniversitede kalmak, e itim ve araflt rmayla u raflmakt r. Yonca Demir, Koordinatör Türk matematikçilerin a Turkmath a üye olmak için, adresine girin, turkmath dü mesine bas n, yeni sayfada e-posta adresi, ad soyad doldurup listeye gir dü mesine bas n. Bir baflka yol: listprocqlistweb.bilkent.edu.tr adresine, Türkçe karakterler kullanmadan subscribe turkmath isim soyisim end mesaj n gönderin. MD Kurum Aboneli i Üniversiteler Lise ve Kolejler Dersaneler Atatürk Ü., K.K.E.F. Matematik 360 Antalya K. 57 MEF 31 Ankara Ü., Matematik 134 Ö. Çukurova Bilfen K. 43 Mu la Ü., Matematik Y l Anadolu L. 30 Hacettepe Ü., E itim Fakültesi 79 Tekirda Fen L. 27 K raathaneler Uluda Ü., Matematik 68 Mu la Anadolu L. 21 Ümraniye K. 10 Atatürk Ü., Matematik 66 Küçükçekmece L. 21 Dicle Ü., E itim F. 63 Adem Tolunay Anadolu L. 16 F rat Ü., Matematik 62 FMV Özel Ifl k L. 16 Erciyes Ü., Matematik 61 Akyaz Anadolu L. 14 Dokuz Eylül Ü., Matematik 60 Aksaray Anadolu Ö r. L. 13 Hacettepe Ü., Matematik 58 brahim Turan L. 11 9

10 Cahit Arf ve Gündüz keda Burslar Yönetmeli i Türk Matematik Derne i, de erli hocalar m z Cahit Arf ve Gündüz keda ad na birer burs ihdas etmifltir. Burslar, Türkiye de matematik bölümlerinde okuyan ya da o y l okuyacak ö rencilere, baflar l bulunduklar taktirde, ö renimleri boyunca verilecektir. Ayr ca, verilen burs say s n art rmak amac yla TMD özel bir havuz hesab açm flt r. Havuzda biriken ve MD nin her say s nda yay mlanacak olan tutara göre yeni burslar verilecektir. 25 okurumuzun ayl k 10 milyonluk ba fl yla genç bir matematikçi desteklenebilir. Hesap numaram z: fl Bankas, Galata fiubesi, No MD Türk Matematik Derne i (TMD) Yönetim Kurulu (YK), yay n ve ba fllarla elde etti i gelirle, gelece in genç matematikçilerine destek olmak amac yla Cahit Arf ve Gündüz keda Burslar vermeye karar vermifltir. 1. Burslar ekonomik güçten yoksun, matematikte parlak bir akademik gelecek vaat eden gençlere verilir. Baflvuracak adaylar n afla daki koflullara uymalar beklenir: a. TC s n rlar dahilinde bir üniversitenin matematik bölümünde lisans seviyesinde okuyacak veya okuyor olmak. b. Burs verilece i y l n 1 Ocak günü itibariyle 26 yafl n doldurmam fl olmak. c. Aday n son girdi i ÖSS de ilk iki tercihinin en az birinin Matematik olmas. 2. Verilecek burs say s n ve miktar n her y l YK belirler. 2004/2005 akademik y l için en az iki kiflinin ayda kifli bafl na en fazla TL olmak üzere beflinci maddedeki koflullar yerine getirildi i takdirde, 10 ay destek almas na karar verilmifltir. 3. Burs komitesi, YK nin önerece i 3 kifli, Matematik Dünyas yay n kurulunun önerece i 2 kifli ve bu 5 kiflinin oybirli iyle kabul edece i üyelerden oluflur. Burs komitesi her y l yenilenir. 4. Burs komitesi burs için önerdi i adaylar YK ye sunar. Son karar YK verir. Burs komitesinin YK ye önerdi i aday say s, burs verilecek kifli say - s ndan az olamaz ve bu say n n iki kat n aflamaz. 5. Burslar, ilkesel olarak, Burs Komitesi taraf ndan baflar l bulundu u takdirde, ö renciye lisans e itimi boyunca verilir. Ancak burslar herhangi bir gerekçe gösterilmeden de kesilebilir. Burs komitesinin burslu ö rencinin baflar l olup olmad n tespit edebilmesi amac yla, ö renci her dönem bafl, bir önceki dönem boyunca s navlar ndan ald notlar - n ve bölümüne bir sonraki dönem için kaydoldu unu kan tlayan belgeleri TMD ye sunmal d r. 6. Baflvurular TMD ye en geç 15 Eylül de ele 10 geçecek flekilde postayla yollanmal d r. 7. Baflvuru dosyas n n içeri i: Zorunlu belgeler: a. Eksiksiz baflvuru formu 1 b. kametgâh belgesi (baflvuru tarihinden en fazla üç ay önceye ait olmal d r) c. Nüfus sureti örne i d. Tasdikli ortaö retim not belgeleri e. Tasdikli ÖSS tercih formu kopyas f. Tasdikli ÖSS kabul formu kopyas Dosyaya eklenebilecek belgeler: g. Aday n matematik yetene ini ölçebilecek kadar yak ndan tan yan en fazla üç kiflinin tavsiye mektubu. h. Aileyi yak ndan tan yan ama aile d fl ndan birinin (örnek: muhtar, jandarma, ö retmen, kaymakam, ö retim üyesi) aday n ve ailesinin ekonomik durumunu anlatan yaz s. i. Ö rencinin baflar s n gösteren belgeler. 8. Burs alanlar ekim ay bafl nda haberdar edilecek ve adlar Matematik Dünyas dergisinde ve ve internet sitelerinde duyurulacakt r. 9. Ulafl lamayan ya da bir hafta içinde yan t vermeyen adaylar burs haklar n kaybeder. Not: Yanl fl bilgi verenler hakk nda savc l a flikâyette bulunulacakt r. TMD YK Adres: Türk Matematik Derne i Burs Komitesi Sabanc Üniversitesi, Karaköy letiflim Merkezi Bankalar Cad Karaköy- stanbul Elektronik Posta: tmd@sabanciuniv.edu.tr Telefon: (0212) / 1506 Faks: (0212) nternet sitesi: 1 Baflvuru formlar ve adreslerinden elde edilebilir.

11 Kapak Konusu: Halkalar, Asallar ve ndirgenemezler (1) Say lar S f rlamak Ali Nesin* / anesin@bilgi.edu.tr Bir tamsay n n üçe ya da dokuza tam olarak bölünüp bölünmedi ini anlamak için çok bilinen bir yöntem vard r: Say n n basamaklar toplan r, e er bu toplam üçe/dokuza bölünüyorsa, say da üçe/dokuza bölünüyordur. Örne in, 2571 üçe bölünür, çünkü , yani 15, üçe bölünür. Öte yandan 2571 dokuza bölünmez, çünkü 15 dokuza bölünmez. Bu yöntemle, bir say üçe/dokuza bölündü ünde kalan da bulunabilir. Örne in 1994 üçe bölündü ünde kalan 2 dir, çünkü , yani 23, üçe bölündü ünde kalan 2 dir. Ayn yöntemle, 1994 dokuza bölündü ünde kalan n 5 oldu u anlafl l r. Onbire bölünebilme yöntemi de yukardaki yöntemler kadar olmasa bile oldukça iyi bilinir. Bir tamsay n n onbire tam bölünüp bölünmedi ini anlamak için, flunlar yap l r: 1) Tamsay n n birinci, üçüncü, beflinci... tek say l basamaklar toplan r; 2) Sonra ikinci, dördüncü, alt nc... çift say l basamaklar toplan r; 3) Bu iki toplamdan küçü ü büyü- ünden ç kar l r; 4) E er ç karma sonucu bulunan say onbire bölünüyorsa tamsay m z da onbire bölünüyor demektir. Örne in, onbire bölünmez, çünkü = 14, = 18 ve aralar ndaki fark 4 tür. Öte yandan, onbire bölünür, çünkü = 19, = 30 ve aralar ndaki fark 11 dir. Bu yöntemle kalan da bulunabilir, yaz n n sonunda umar m okur kalan n nas l bulunabilece ini kendi kendine ç karacakt r. flte bu yaz n n amac yukardaki yöntemlerin neden baflar l olduklar n anlamakt r. Ayr ca 7 ye ve 13 e bölünme kurallar da bulaca z. Buldu umuz kurallar bilinen en kolay kurallar olmayabilir ama olsun... Önemli olan sonuç de il, yöntem! * stanbul Bilgi Üniversitesi Matematik Bölümü ö retim üyesi. Yazar n Matematik ve Oyun adl kitab ndan derlenmifltir. Modüler Aritmetik Bundan böyle 7 s f ra eflit olsun! 7 s f ra eflit de- il ki, deyip karfl ç kabilirsiniz. Elbette 7 s f ra eflit de ildir. Daha do rusu her zaman eflit de ildir. Ama kimi zaman 7 s f ra eflittir. Bir örnekle bu sav m savunay m: Diyelim bugün günlerden pazar ve size flöyle bir soru soruldu: 145 gün sonra günlerden ne olacak? Her 7 gün sonra günler yinelendi inden, 140 gün sonra gene pazar olacak, dolay s yla 145 gün sonraki gün asl nda 5 gün sonraki gün. Yani 145 gün sonra günlerden cuma olacak. Bu sorunun yan t n bulmak için 7 yi s f r yapt k (afla daki hesapta, ancak 7 s f ra eflitlendi inde geçerli olan eflitlikleri 7 olarak gösterdim): 145 = = (7 20) (0 20) + 5 = = 5. Demek ki günleri hesaplamak için kullan lan aritmetikte 7 s f ra eflitlenebiliyor. Yine de dikkatli olmak gerekiyor. Günleri hesaplamakta bile olsa her 7 s f ra eflit de ildir. Bir örnekle bu noktaya aç kl k getireyim: Diyelim bugün günlerden pazar ve 256 gün sonraki günü hesaplamak istiyoruz. 256 = (7 36) oldu undan 256 gün sonra günlerden perflembe olur. Peki afla - daki hesaba ne dersiniz? 256 = 2 8 = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl. Çünkü ikinci hesab m zda tepede bulunan 8, günleri de il ikileri saymakta kullan l yor: 2 8 demekle 2 nin kendisiyle sekiz kez çarp laca söyleniyor. Yani buradaki sekizin görevi baflka. Ama günleri saymakta kullan lan 7 leri hiç çekinmeden s f rlayabiliriz. Kimi zaman da 2 yi s f ra eflitlemek iflimize gelebilir. Örne in, masan n üstünde duran bir paran n tura yüzü görünüyorsa ve bu paray 145 kez çevirirsek, üste yaz yüzü gelir. Neden? Çünkü, her iki kez çevirdi imizde, üstte yine tura gözükecek, sanki paray hiç çevirmemifliz gibi... Kimi zaman 24 ü s f ra eflitlemekte yarar vard r. Kimi zamansa 12 yi, Okur örnek bulmakta zorluk çekmeyecektir. 11

12 Diyelim, 6 n n s f r oldu una karar verdik. Bunun sonuçlar n irdelemeye çal flal m. E er ise, 7 = = 1. Bunun gibi ve Peki 4 kaçt r? Hesaplayal m: 4 = = 2. Demek 4, 2 ye eflitmifl. fiimdi de 124 ü hesaplayal m: 124 = = (20 6) 4 6 (20 0) 4 = = 2. Demek 124 de 2 ye eflit. Kolayca anlafl laca gibi 6 s f ra eflit olunca, her tamsay {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin say lar ndan birine eflittir. yi, güzel, ama ne ifle yarar? diyebilirsiniz. Kimi zaman 6 y s f rlamak yararl d r gerçekten. Örne in, bir tamsay alt ya bölündü ünde kalan hesaplamak istedi imiz zaman hiç çekinmeden 6 y s f rlayabiliriz; çünkü 6 alt ya bölündü ünde kalan s f rd r. E er (17 26) + 25 alt ya bölündü ünde kalan bulmak istiyorsak, flöyle bir hesap yapabiliriz: (17 26) (5 2) + 1 = , ve bu say alt ya bölündü ünde kalan 5 tir. Yukarda yazd klar m z n kan t oldukça kolayd r. Yavafl yavafl kan tlayal m. Önce tan mdan bafllayal m. n s f r olmayan bir do al say olsun. Bundan böyle e er a ve b tamsay larsa, a n b terimi, a b say s n say s na tam bölünür anlam na, ya da baflka bir deyiflle, e er n s f rsa, a say s b say s na eflittir anlam na gelecek. a n b ayn zamanda, a ve b say lar n ye bölündü ünde kalanlar eflittir anlam na da gelir. Birinci tan m m z kullanarak n kavram üzerine birkaç olgu kan tlayal m: Olgu 1. a n a. Kan t: a a, yani 0, elbette n ye bölünür. Olgu 2. E er a n bise, b n a. Kan t: E er a b say s n ye bölünüyorsa, b a say s da n ye bölünür. Olgu 3. E er a n bveb n c ise, a n c. Kan t: E er a b ve b c say lar n ye bölünüyorsa, a c say s da n ye bölünür, çünkü a c = (a b) + (b c). Olgu 4. E er a n xveb n y ise, a + b n x + y. Kan t: E er a x ve b y say lar n ye bölünüyorsa, (a + b) (x + y) say s da n ye bölünür, çünkü (a + b) (x + y) = (a x) + (b y). Olgu 5. E er a n xveb n y ise, ab n xy. Kan t: ab xy = a(b y) + y(a x) oldu undan ve a x ve b y say lar n ye bölündü ünden, ab xy say s da n ye bölünür. Olgu 6. E er a n x ise ve m > 0 bir tamsay ysa a m n x m. Kan t: Olgu 5 kullan larak bu olgu m üzerine tümevar mla kolayl kla kan tlan r. Kan tlayal m. E er m = 1 ise sorun yok. Olgumuzun varsay m na göre a n x. fiimdi bu olgunun m say s için geçerli oldu unu varsayal m (tümevar m varsay m ) ve m + 1 say s için kan tlayal m. Yani tümevar m varsay m m za göre a m n x m eflitli ini biliyoruz; a m+1 n x m+1 eflitli ini kan tlamaya çal flaca z. fiimdi a m n x m (tümevar m varsay m ) ve x n a (olgumuzun varsay m ) eflitliklerinden ve Olgu 5 ten, a m+1 = a m a n x m x = x m+1 eflitli i ç kar. Bu olgular kullanarak birkaç al flt rma yapal m: Al flt rma , 8 e bölündü ünde kaç kal r? Yan t: = 1 oldu undan kalan 1 dir. Al flt rma , 9 a bölündü ünde kaç kal r? Yan t: ( 1) 25 = oldu undan, yan t 8 dir. Al flt rma , 7 ye bölündü ünde kaç kal r? Yan t: Bu kez çözüm biraz daha zor. Önce oldu undan, eflitli ini buluruz. Demek 3 25 i hesaplamal y z. fiimdi de, 3 3 = eflitli inden, 3 25 = = (3 3 ) ( 1) 8 3= 3 ç kar. Al flt rma 4. m herhangi bir do al say olsun. 10 m üçe ya da dokuza bölündü ünde kaç kal r? Yan t: ve oldu undan, 10 m say s üçe ya da dokuza bölündü ünde 1 kal r. fiimdi bir say n n üçe ve dokuza bölünebilme yönteminin neden baflar l oldu unu anlayabiliriz. Herhangi bir say alal m, diyelim Ve flimdilik n, ya 3 ya da 9 olsun. Dördüncü al flt rmay gözönünde bulundurarak kolayl kla hesaplayabiliriz: 12

13 = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + 9 n (5 1 7 ) + (8 1 6 ) + (2 1 5 ) + (4 1 4 ) + (6 1 3 ) + (3 1 2 ) + (0 1 1 ) + 9 = = 37. Görüldü ü gibi, say s n n üçe ya da dokuza bölündü ünde kalan, 37 say s n n ayn say ya bölündü ünde kalan na eflit. Son olarak onbire bölünebilme kural na bakal m oldu undan, 10 n 11 1 e er n çiftse 10 n 11 1 e er n tekse. Dolay s yla, = = Demek ki onbire bölünür. Onluk tabanda yaz lan bir say n n 7 ye ya da 13 e bölünüp bölünmeyece ini anlaman n kolay bir yolu vard r. Say n n rakamlar n soldan bafllayarak üçer üçer ay r p bu üç haneli say lar bir ç - kar p bir toplar z. Elde edilen say yla bafllad m z say n n, 7 ye ya da 13 e bölündü ünde kalanlar ayn d r. Örne in, say s 7 ye bölündü ünde kalan 3 tür: = ; ve 13 e bölündü ünde kalan 4 tür: = Bunun nedeni, 1001 = eflitli idir. Bu eflitlik sayesinde ve elde edilir. Bundan da, 10 3n 7 ( 1) n ve 10 3n 13 ( 1) n ç kar. Ayr nt lar okura b rak yoruz. Bir Baflka 7 ye ve 13 e Bölünme Kural gibi herhangi bir say alal m. En sondaki 6 y at p geri kalan ten 2 6 y ç karal m. E er buldu umuz say 7 ye bölünüyorsa, ilk say m z da 7 ye bölünür. Genel olarak, verilmifl bir n say s n 10a + b biçiminde yazal m. O zaman, n = 10a + b 7 10a + b 21b = 10(a 2b). Dolay s yla, sayfa 16 daki Sonuç 5 ten dolay, n 7 0 ancak ve ancak a 2b 7 0 ise gibi herhangi bir say alal m. En sondaki 6 y at p geri kalan e 4 6 y ekleyelim. E er buldu umuz say 13 e bölünüyorsa, ilk say m z da 13 e bölünür. Genel olarak, 10a + b biçiminde yaz lan bir say n n 13 e bölünmesi için gerek ve yeter koflul a + 4b nin 13 e bölünmesidir. Neden? = 999 = , = = , = = eflitliklerinden, bir say n n bu çarp mlarda beliren asallardan birine bölünüp bölünmedi ini kolayl kla anlayabiliriz. 10 k n 1 Denklemini Çözmek n verilmifl bir say olsun. 10 k n 1 denklemini sa layan en küçük pozitif k say s n bulmak istiyoruz. E er n, 2 ye ya da 5 e bölünüyorsa böyle bir k yoktur elbet. Ama e er n, 2 ye ve 5 e bölünmüyorsa, yani 10 a asalsa böyle bir k vard r, üstelik 1 le n 1 aras nda vard r böyle bir k. Çünkü, 10 0, 10 1, 10 2,..., 10 n say lar n n ye böldü ümüzde hep de iflik bir kalan bulamay z. (Yukardaki listede n + 1 tane say var ve kalanlar 0 la n aras ndaki say lardan olabilir ancak.) E er 0 j < i < n için, 10 i ve 10 j say lar n n n ye bölündü ünde kalanlar ayn ysa, o zaman 10 i n 10 j, dolay s yla 10 j (10 i j 1) n 0 olur ve sayfa 16 daki Sonuç tan dolay 10 i j n 1 dir. Ayr ca k y ϕ(n) yi bölen bir say olarak seçebiliriz. (Bknz. sayfa 39). Böyle bir k y nas l bulabiliriz? 1/n say s - n 10 luk tabanda yazal m. n, 2 ve 5 e bölünmedi inden, 1/n say s, 10 luk tabanda yaz ld nda belli aral klarla tekrarlan r, yani belli bir devri vard r. flte k say s o devire eflittir. Örne in, n = 21 ise, 1/21 = 0, oldu undan, 1/21 in devri 6 d r ve

14 Kapak Konusu: Halkalar, Asallar ve ndirgenemezler (1) Modülo n Say lar Bir önceki yaz da, belli bir tamsay, sözgelimi 7 s f rlanm flt. O zaman, 14, 7, 0, 7, 14, 21 gibi 7 ye bölünen tüm tamsay lar birbirine eflit kabul edilmifl oldu. Her ne kadar eflitlik yerine yaz lm flsa da, bu yaz l m, de iflikli i yap lan n özünü de ifltirmez: Öyle ya da böyle, geçen yaz da, eflit olmayan say lar eflit olarak alg lanm fl oldu. 7 yi s f rlaman n sonucu olarak, 13, 6, 1, 8, 15, 22 say lar da birbirine eflit olmufllard. 7, 0 a eflit olmad ndan, 7 yi 0 olarak yazman n, tam yaz lmasa da 7 yi 0 a eflit olarak alg laman n pek matematiksel oldu u, dolay s yla bu dergiye yak flt söylenemez. Okurun bir önceki yaz ya nas l dayand n anlamak güç! Bu yaz da, geçen yaz da yap lanlara matematiksel bir k l f uydurup yazar n günah n hafifletmeye çal flaca z. 7 ye bölünen tamsay lar kümesini 7Z olarak yazal m. 7 ye bölündü ünde kalan n 1 oldu u tamsay lar kümesi de 7Z + 1 olsun: 7Z + 1 := {..., 20, 13, 6, 1, 8, 15, 22,...}. Genel olarak, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ise, 7Z + i kümesi, 7 ye bölündü ünde kalan i olan tamsay lar kümesi olsun: 7Z := {..., 21, 14, 7, 0, 7, 14, 21,...} 7Z + 1 := {..., 20, 13, 6, 1, 8, 15, 22,...} 7Z + 2 := {..., 19, 12, 5, 2, 9, 16, 23,...} 7Z + 3 := {..., 18, 11, 4, 3, 10, 17, 24,...} 7Z + 4 := {..., 17, 10, 3, 4, 11, 18, 25,...} 7Z + 5 := {..., 16, 9, 2, 5, 12, 19, 26,...} 7Z + 6 := {..., 15, 8, 1, 6, 13, 20, 27,...} Böylece tamsay lar kümesini yedi (say yla 7) ayr k altkümeye ay rd k. Her altkümede, bir önceki yaz da haks z yere eflitlenen say lar var. 7Z altkümesinde 0 a eflitlenen say lar, 7Z + 5 altkümesinde 5 e eflitlenen say lar... flbu yaz da, geçen yaz n n eflitlenen say lar ayn altkümenin elemanlar olarak görülecek. Bu da eflitlemenin, ama bu sefer çakt rmadan eflitlemenin tahsilli yöntemidir. Görüldü ü gibi, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ise, 7Z + i altkümesi, 7Z altkümesine i eklenerek elde edilen say lar kümesidir, aynen 7Z + i yaz l m n n da söylemek istedi i gibi... fiimdi daha da ileri gidip, i herhangi bir tamsay ysa, 7Z + i altkümesini, 7Z altkümesindeki elemanlara i ekleyerek elde edilen say lar kümesi olarak tan mlayal m. O zaman, örne in, 7Z + ( 6) = 7Z + 1 = 7Z + 8 = 7Z + 15 olur. Bu 7Z + i altkümelerinden tam yedi tane vard r, ne fazla ne eksik. Bu altkümelerin birço u birbirine eflittir. fiimdi flunu farkedelim. i ve j herhangi iki tamsay olsunlar. 7Z + i altkümesinden herhangi bir eleman alal m. 7Z + j altkümesinden de herhangi bir eleman alal m. Bu iki eleman toplayal m. Elde etti imiz say her zaman, ama her zaman, 7Z + i + j altkümesinde olacakt r. fiimdi o iki eleman çarpal m. Bu sefer elde etti imiz say hep 7Z + ij altkümesinde olacakt r. Bunlar, geçen yaz da, s ras yla Olgu 4 ve 5 te kan tlanm flt. Tamsay lar n (ya da gerçel say lar n) altkümelerini flu yöntemle toplay p çarpabiliriz: E er A ve B iki say kümesiyse, A + B, A B ve AB say kümeleri, A + B = {a + b : a A, b B} A B = {a b : a A, b B} AB = {ab : a A, b B} olarak tan mlans nlar. O zaman, bizi ilgilendiren özel durumda, (7Z + i) + (7Z + j) = 7Z + (i + j) (7Z + i) (7Z + j) = 7Z + (i j) (7Z + i)(7z + j) = 7Z + ij. olur. Birdenbire, {7Z, 7Z + 1, 7Z + 2, 7Z + 3, 7Z + 4, 7Z + 5, 7Z + 6} kümesinde toplama, ç karma ve çarpma yapmaya bafllad k! Bu kümeye bir ad verelim. Ad Z/7Z olsun. Demek ki, Z/7Z = {7Z, 7Z + 1,..., 7Z + 5, 7Z + 6}. Dikkat edilirse, Z/7Z kümesinin yedi ö esi de Z nin altkümeleri ve o yedi altkümenin herhangi birinin herhangi iki ö esi bir önceki yaz da eflitlenen say lar... Bir baflka deyiflle, bir önceki yaz da eflitlenen say lar bu yaz da tek bir altkümede toplad k. 14

15 Yukarda söylenenler salt 7 için de il, genel olarak herhangi bir n 0 tamsay s için de geçerlidir. Bulduklar m z bir teoremde özetleyelim. Teorem 1. n 0 ve i tamsay lar için, nz + i = {nz + i : z Z} ve Z/nZ = {nz + i : i Z} olarak tan mlans n. O zaman Z/nZ kümesinin tam n tane ö esi vard r: Z/nZ = {nz, nz + 1,..., nz + (n 1)}. E er n yi sabit tutup,nz + i yerine i yazacak olursak, o zaman, Z/nZ = { 0, 1,..., n 1} olur ve her i, j Z için, a. i + j = i + j, b. i j = i j, c. i j = ij eflitlikleri geçerlidir. Afla da Z ve Z/7Z nin birer resmini bulacaks - n z. O resim Z yle Z/7Z aras ndaki iliflkiyi resmetmek için resmedilmifltir. 7Z 7Z+1 7Z+2 7Z+3 7Z+4 7Z+5 7Z Z/nZ de, i = j ancak ve ancak n, i j say s n bölüyorsa. n = 2, 3, 4, 5 için Z/nZ nin toplama ve çarp m tablolar n afla daki karede bulacaks n z. (Çarp m tablosunda yazmas çok zahmetli olan i yerine deneyimli matematikçiler gibi i yazd k). Görüldü ü üzere, Z/4Z de, 0 olmayan elemanlar n çarp m 0 olabiliyor: 2 2 = 0. Böyle bir anomali, genel olarak, ancak e er n asal de ilse olabilir. Bunu daha sonra kan tlayaca z. i yerine ço unlukla i yazaca z. Her ne kadar Z/nZ nin elemanlar Z nin birer altkümesiyse de, bu elemanlar toplan p çarp lan bir tür say olarak görmekte sonsuz yarar vard r. Z/7Z de 95 diye bir eleman vard r, aç k aç k Z Z/7Z görünmüyorsa da... Nitekim, Z/7Z de 95 = 4 tür. 95 say s kimileyin 95 modülo n diye okunur. Z/nZ kümesine de kimileyin Z modülo n ya da Z bölü nz halkas denir. 7Z + 95 yaz l m nda 7 aç k aç k görünüyor da, 95 yaz l m nda 7 görünmüyor. Bu yüzden 95 yaz l m kar - fl kl a neden olabilir ve tehlikelere maruz kalabiliriz. E er Z/nZ, Z/mZ, Z/pZ gibi de iflik kümeler kullanacaksak, bu kümelerin elemanlar için, a, ã, â gibi de iflik yaz - l mlar da kullan labilir. Yukardaki teoremin a, b Z/2Z = {0, 1} Z/3Z = {0, 1, 2} Z/4Z = {0, 1, 2, 3} Z/5Z = {0, 1, 2, 3, 4} ve c özelliklerinden dolay Z nin baz cebirsel özellikleri Z/nZ ye yans r. Teorem 2. n > 1 bir tamsay olsun. O zaman, (Z/nZ, +,, 0, 1) yap s n n afla daki özellikleri vard r. (Burada çarpma anlam na geliyor.) T1 [Birleflme Özelli i]. Her x, y, z Z/nZ için, x + (y + z) = (x + y) + z. T2 [Etkisiz Ö e]. Her x Z/nZ için, 0 + x = x + 0 = x. T3 [Ters Ö enin Varl ]. Her x Z/nZ için, x + y = y + x = 0 eflitliklerini sa layan bir y Z/nZ vard r. Nitekim y = 0 x = x eleman bu denklemleri sa lar. T4 [De iflme Özelli i]. Her x ve y Z/nZ için, x + y = y + x. Ç1 [Birleflme Özelli i]. Her x, y, z Z/nZ için, x(yz) = (xy)z. Ç2 [Birim Ö e]. Her x Z/nZ için, 1 x = x 1 = x. Ç3 [De iflme Özelli i]. Her x ve y Z/nZ için, xy = yx. Ç D [Da lma Özelli i]. Her x, y, z R için, x(y + z) = xy + xz. Herbirinin kan t kolay olan ve do rudan birinci teoremden ç kan bu özellikleri okura b rak yoruz. Bu say n n kapak konusu yukardaki özellikleri sa layan matematiksel yap lar d r. Tamsay lar kü- 15

16 mesi Z yi de içeren bu yap lar soyut cebirin, dolay - s yla matemati in de temel tafllar ndand r. Z/nZ yap lar n biraz inceleyelim. Mehmet K - ral n Euler ϕ Fonksiyonlar yaz s nda konuyu biraz daha eflece iz. Teorem 3. a Z olsun. Z/nZ de a x = 1 denkleminin çözülmesi için yeter ve gerek koflul a ile n nin aralar nda asal olmas d r. Ayr ca bu durumda denklemin Z/nZ de tek bir çözümü vard r. Kan t: Z/nZ de a x = 1 denklemini çözmek demek ax 1 say s n ye bölünecek flekilde bir x tamsay s bulmak demektir. Bu son dedi imiz de ax 1 = ny denklemini sa layan x ve y tamsay lar bulmak demektir. Bu durumda a yla n nin ortak bölenleri, ax ny nin yani 1 in de ortak bölenidir. Demek ki bu durumda a yla n birbirine asald r. fiimdi tersini kan tlamam z gerekiyor: a yla n birbirine asal iki tamsay ysa, ax ny = 1 denklemini çözen x ve y tamsay lar var m? Evet vard r. Bilinen bu sonuç yandaki gri karede kan tlanm flt r. fiimdi x ve y denklemin iki çözümü olsun. O zaman, x = x 1 = x ( a y ) = y ( a x ) = y 1 = y. Sonuç 4. Her 0 a Z/nZ için a x = 1 denkleminin Z/nZ de çözülmesi için yeter ve gerek koflul n nin asal olmas d r. Kan t: E er her 0 a Z/nZ için a x = 1 denklemini Z/nZ de çözebiliyorsak, yukardaki teoreme göre n den küçük her pozitif a do al say s - n n n ye asal olmas laz m, yani n nin asal olmas laz m. Koflulun yeterli oldu u da belli. Ayr nt lar okura b rak yoruz. Sonuç 5. a, b Z/nZ ve a, n ye asal olsun. a b = 0 ise b = 0 d r. Kan t: x, Sonuç 4 teki gibi olsun. O zaman, b = 1 b = ( x a) b = x ( a b) = x 0 = 0. Al flt rmalar Not: Afla daki al flt rmalar n baz lar yukardaki yaz kadar kolay olmayabilir. 1. Z/6Z de x 2 = x denklemini çözün. 2. E er n asalsa, Z/nZ te x 2 = x denklemini sa layan sadece iki eleman oldu unu gösterin. 3. n nin asal olmas için gerek ve yeter koflul Z/nZ de xy = 0 eflitli ini sa layan x 0 ve y 0 elemanlar n n olmamas d r önermesini kan tlay n. 4. Z/nZ de x, X 2 = X denkleminin bir çözümüyse 1 x in de ayn denklemin çözümü oldu unu gösterin. 5. E er x Z/nZ ve k N ise x k, x in kendisiyle k defa çarp lmas sonucu elde edilen eleman olsun. E er n asalsa, her x, y Z/nZ için, (x + y) n = x n + y n eflitli ini kan tlay n. 6. p bir asal olsun. Z/p n Z kümesinin Teorem 3 teki koflulu sa layan eleman say s n hesaplay n. 7. x Z/nZ olsun. xy = 1 denklemini sa layan bir y varsa, o zaman belli bir k N için, x k = 1, hatta x ϕ(x) = 1 (bknz. sayfa 36) eflitli ini kan tlay n. 8. E er n asal de ilse, Z/nZ te x 2 = x denklemini sa layan ikiden fazla eleman oldu unu gösterin. Teorem. E er a ve b birbirine asal iki tamsay ysa (yani ortak bölenleri sadece 1 ve 1 ise) o zaman ax + by = 1 eflitli ini sa layan x ve y tamsay lar vard r. Kan t: Önce a ve b nin do al say olduklar n varsayal m. Teoremi max(a, b) üzerinden tümevar mla kan tlayaca z. Simetriden dolay a b eflitsizli ini varsayabiliriz. E er a = 0 ise o zaman b = 1 olmak zorunda ve x = 0, y = 1 denklemin çözümüdür. Bundan böyle a > 0 olsun. a ve b nin ortak bölenleri a ve b a n n da ortak bölenleridir. Dolay s yla a ve b a da birbirine asald r. max(a, b a) < b = max(a, b) oldu undan, tümevar m varsay m na göre ax 1 + (b a)y 1 = 1 denklemini sa layan x 1 ve y 1 tamsay lar vard r. fiimdi, a(x 1 y 1 ) + by 1 = 1 ve x = x 1 y 1 ve y = y 1 denklemin çözümüdür. E er a ve b birer tamsay ysa, yukarda a x + b y = 1 denklemini çözebildi imizi gördük. fiimdi, a ve b nin pozitif ya da negatif olmalar - na göre ±x ve ±y, ax + by = 1 denkleminin bir çözümüdür. Kan t n Bir Sonucu: E er a ve b tamsay lar n n en büyük ortak böleni d ise, o zaman ax + by = d eflitli ini sa layan x ve y tamsay lar vard r. Kan t: Aynen yukardaki kan t gibi. Okura b rak lm flt r. 16

17 Kapak Konusu: Halkalar, Asallar ve ndirgenemezler (1) Asal Say n n Ne Oldu unu Gerçekten Biliyor musunuz? Asal say, kendinden ve 1 den baflka say ya bölünmeyen say olarak bilinir. Buna bir de say n n 1 den farkl olmas koflulu eklenir. Bundan daha yanl fl do ru bir önerme olamaz! Türkçenin kurallar na göre böyle bir say ya asal de il indirgenemez demek daha do rudur, ve matematikte de öyle denir, çünkü kendinden ve 1 den baflka say ya bölünmeyen bir say kendinden daha küçük say lar n çarp m olarak yaz lamaz. Bu yaz da bu asal say tan m n n hem neden yanl fl hem de neden do ru oldu unu gösterece iz. Önce do rulu unu kan tlayal m, yanl fll n daha sonra gösterece iz. lk olarak tan mlar sabitleyelim. ndirgenemez Say. E er 1 den farkl bir p do al say s sadece 1 ve p say lar na bölünüyorsa 1, o say - ya indirgenemez say diyelim. Bu tan ma göre, p > 1 ise ve her x, y N için, p = xy eflitli i do ru oldu unda ya x ya da y say s 1 olmak zorunda oluyorsa, o zaman p ye indirgenemez denir. Örne in, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 indirgenemez do al say lard r. Asal Say. Asal say n n tan m baflkad r. E er 1 den ve 0 dan farkl bir p do al say s, iki say n n çarp m n böldü ünde çarpanlardan en az ndan birini bölüyorsa o say ya asal denir. Yani e er her x, y N için, p, xy yi böldü ünde, p ya x i ya da y yi bölüyorsa p ye asal denir. Örne in 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 asal say lard r. 1 E er y = xz eflitli ini sa layan bir z say s varsa, o zaman x, y yi böler denir. Demek ki her say 0 böler, 1 her say y böler, 0 bir tek 0 böler ve her say kendini böler. Dikkat! 0, 0 böler demek 0/0 diye bir say vard r anlam na gelmez! Yoktur öyle bir say. Bugüne ve bu sat ra dek asal say larla indirgenemez say lar aras nda bir ayr m göremediyseniz suç sizde de ildir. Çünkü bu iki kavram do al say larda örtüflürler. Yani asal her do al say indirgenemezdir ve indirgenemez her do al say asald r. Ama bunun kan tlanmas gerekir. Bu yaz da ilk olarak asalla indirgenemez aras nda do al say larda bir fark olmad n kan tlayaca z. Daha sonra, baflka say kümelerinde, asallarla indirgenemezler aras nda bir fark oldu unu görece iz. Matemati e ilgi duyan okur afla daki kan t okumadan önce bu iki kavram n do al say larda ayn kavramlar oldu unu kendi kendine kan tlamaya çal flmal d r. Kolaydan bafllayal m; önce her asal n indirgenemez oldu unu kan tlayal m. Teorem 1. Her asal indirgenemez bir say d r. Kan t: p bir asal say olsun. ki x ve y say s için, p = xy eflitli i sa land n varsayal m. Ya x in ya da y nin 1 oldu unu kan tlayaca z, böylece p nin indirgenemezli i kan tlanm fl olacak. p say s p yi böldü ünden, p say s xy yi de böler. Ama p asal oldu undan, bundan p nin ya x i ya da y yi böldü ü ç kar. Diyelim p, x i bölüyor. Demek ki belli bir x 1 tamsay s için x = px 1. fiimdi küçük bir hesap yapal m: p = xy = px 1 y. Bu eflitlikte p leri sadelefltirirsek, 1 = x 1 y elde ederiz, ki bundan da y = 1 ç kar. E er p, y yi bölseydi, o zaman, x = 1 elde edecektik. Yukardaki kan t n do al say lar n hemen hemen hiçbir özelli ini kullanmad na dikkatinizi çekerim. Örne in tümevar mla kan t yöntemi kullanmad k. Nitekim, e er asal ve indirgenemez tan mlar nda hafif bir de ifliklik yapacak olursak, yukardaki teorem oldukça genel bir teoreme dönüflür. Ayn teorem, sonradan görece imiz üzere ad - na taml k bölgesi denen yap larda da geçerlidir. fiimdi her indirgenemez do al say n n bir asal oldu unu kan tlayaca z. ki de iflik kan t verece- iz. Birinci kan t do al say lar n d fl na ç k p tamsay lar kullanacak. kinci kan t sadece do al say - lar kullanacak. Ama her iki kan t da do al say lara özgü özellikleri (örne in tümevar mla kan t yöntemini) kullanacak. Teorem 2. ndirgenemez her do al say bir asald r. 17

18 Teorem 2 nin Birinci Kan t. Önce bir önsava ihtiyac m z var. Önsav 3. E er a ve b do al say lar n n do al say larda 1 den baflka ortak böleni yoksa, o zaman au + bv = 1 eflitli ini sa layan u ve v tamsay lar vard r. Kan t: a + b üzerinden tümevar m yapaca z. a ya da b = 1 ise, kan t oldukça kolay. Bundan böyle a 1, b 1 varsayal m. Bu varsay mdan kolayca a > 1, b > 1 ç kar. Elbette a b. Dolay s yla ya a < b ya da b < a. Birinci varsay mda çal flal m, di er varsay m bunun simetrik durumu. a ve b a n n ortak bölenleri a ve b nin de ortak bölenleridir elbet. Dolay s yla a ve b a n n 1 den baflka ortak böleni yoktur. Tümevar mla au + (b a)v = 1 eflitli ini sa layan u ve v tamsay lar vard r. Bundan da a(u v) + bv = 1 ç kar. Önsav m z kan tlanm flt r. fiimdi Teorem 2 yi kan tlayabiliriz. p indirgenemez bir say olsun. ki x ve y do al say s için p nin xy yi böldü ünü varsayal m. p nin ya x i ya da y yi böldü ünü kan tlayaca z. Böylece p nin bir asal oldu u anlafl lacak. Bunun için p nin x i bölmedi ini varsay p y yi böldü ünü kan tlamak yeterli. Biz de bundan böyle p nin x i bölmedi ini varsayal m. p indirgenemez oldu undan, p yi sadece 1 ve p böler. Dolay s yla p ve x i sadece 1 böler. Önsav 3 ten dolay pu + xv = 1 eflitli ini sa layan u ve v tamsay lar vard r. Demek ki ypu + yxv = y. fiimdi, p say s sol taraftaki ypu ve yxv say lar n böler, demek ki toplamlar n da böler, dolay s yla sa taraftaki y yi de böler. Teorem 2 nin kinci Kan t : Ayn kan t do al say lar n d fl na ç kmadan (tamsay lar kullanmadan) vermek afla da görüldü ü gibi birazc k daha zahmetlidir. Önsav 4. 1 den de iflik her do al say indirgenemez bir say ya bölünür. Kan t: Do al say m za n diyelim. E er n = 0 ise sorun yok, her say 0 böler. Bundan böyle n 2 olsun. Önsav n üzerine tümevar mla kan tlayaca- z. n den küçük ve 1 den büyük her do al say n n indirgenemez bir say ya bölündü ünü varsayal m (buna tümevar m varsay m diyelim; e er n = 2 ise tümevar m varsay m m z hiçbir bilgi vermemektedir.) E er n indirgenemezse sorun yok, o zaman n do al say s n indirgenemez say s na bölünür. E er n indirgenebilirse, o zaman 1 den de iflik a ve b do- al say lar için n = ab olarak yaz labilir. Tümevar m varsay m ndan, a bir indirgenemeze bölünür ve n de o a y bölen indirgenemeze bölünür. fiimdi Teorem 2 yi bir defa daha kan tlayal m. p indirgenemez bir say olsun. p nin asal oldu- unu kan tlayaca z. Kan t m z tümevar mla yapaca z. Teoremin p den küçük indirgenemez say - lar için do ru oldu unu, yani p den küçük indirgenemezlerin asal olduklar n varsayal m. p, xy say s n bölsün. p nin x i ya da y yi böldü ünü kan tlayaca z. Diyelim bu do ru de il: diyelim p, xy yi bölüyor ama ne x i ne de y yi bölüyor. Bu tür x ve y say lar n n en küçüklerini alal m. x i ve y yi p ye böldü ümüzde kalanlar na i ve j diyelim. Demek ki p say s ij yi de bölüyor, ama p ne i yi ne de j yi bölüyor (Neden?) x ve y bu özellikleri sa layan en küçük say olduklar ndan, x = i ve y = j olmak zorunda. Demek ki x ve y do al say lar p den küçük. fiimdi k say s, xy yi p ye böldü ümüzde elde edilen sonuç olsun, yani pk = xy eflitli i sa lans n. E er k = 1 ise p = xy olur ve p indirgenemez oldu undan ya x = p ya da y = p elde edilir, varsay m m za karfl. k = 0 ise de kan t kolay. Demek ki k 2. Ayr ca, pk = xy (p 1) 2 = p 2 2p + 1 < p 2 p. Bundan da k < p 1 < p ç kar. Önsav 4 e göre k indirgenemez bir q say s na bölünür; k = qk olsun. Demek ki q k < p. Tümevar m varsay m n q ya uygulayal m: q indirgenemezi bir asald r. fiimdi q, pk y böldü ünden xy yi de böler. Asal oldu undan, q ya x i ya da y yi böler. Diyelim x i böler (di er varsay m simetrik durumdur); x = qx olsun; p say s n n x say s n bölmedi ine dikkatinizi çekerim (yoksa x i bölerdi). fiimdi, pqk = pk = xy = qx y. En sa ve en soldaki q lar sadelefltirirsek pk = x y ç kar. Ama flimdi p indirgenemezi x y say s n bölüyor, öte yandan ne x say s n ne de y say s n bölüyor. Ama hani x ve y bu özelli i sa layan en küçük say lard? Bir çeliflki elde ettik. Demek ki do al say larda indirgenemez say - larla asal say lar aras nda bir fark yok. Konumuzu geniflletmeden önce, sadece Teorem 1 i kullanarak asal say lar n indirgenemez say lara olan bir üstünlü ünden söz edelim: 18

19 Teorem 5. Bir do al say sonlu say da asal n çarp m olarak (e er yaz l rsa!) s ralama fark n saymazsak tek bir biçimde yaz l r. Daha matematiksel bir deyiflle, e er p 1,..., p n, q 1,..., q m asallar için p 1... p n = q 1... q m eflitli i sa lan yorsa, o zaman n = m eflitli i sa lan r ve her p i belli bir q j ye eflittir. Kan t: Kan t m z n üzerinden tümevar mla yapal m. Önce n = 1 fl kk n ele alal m. p 1, q 1,..., q m asallar için p 1 = q 1... q m eflitli i sa lans n. Demek ki p 1 = (q 1 )(q 2... q m ). Dolay s yla, p 1, asal oldu- undan, ya q 1 i ya da q 2... q m say s n böler. kinci fl kta durmay p devam edersek, en fazla m ad mda, p 1 asal say s n n q j lerden birini böldü ünü görürüz. Demek ki belli bir x için q j = p 1 x. Ama q j de bir asal, dolay s yla indirgenemez (Teorem 1). Demek ki x = 1 ve q j = p 1. fiimdi, p 1 = q 1... q m eflitli inde q j yerine p 1 koyal m: p 1 = q 1... q j 1 p 1 q j+1... q m eflitli ini elde ederiz. ki taraftan p 1 leri sadelefltirirsek, 1 = q 1... q j 1 q j+1... q m eflitli ini elde ederiz. Demek ki sa taraftaki tüm asal say lar 1 e eflitler, yani asl nda yoklar... E er n > 1 ise, kan t ayn. Ama biz gene de yapal m kan t. Kan t m z n n 1 için do ru oldu unu varsayal m. p 1,..., p n, q 1,..., q m asallar için p 1... p n = q 1... q m eflitli i sa lans n. Demek ki p 1, sol taraf böldü ünden, sa taraf da, yani (q 1 )(q 2... q m ) say s n da böler. Dolay s yla, p 1 asal oldu undan, p 1 ya q 1 i ya da q 2... q m say s n böler. kinci fl kta durmay p devam edersek, p 1 asal say s n n q j lerden birini böldü ünü görürüz. Demek ki belli bir j ve bir x için, q j = p 1 x. Yukardaki gibi q j = p 1 elde ederiz. fiimdi, p 1... p n = q 1... q m eflitli inde q j yerine p 1 koyal m: p 1... p n = q 1... q j 1 p 1 q j+1... q m eflitli ini elde ederiz. ki taraftan p 1 leri sadelefltirirsek, p 2... p n = q 1... q j 1 q j+1... q m eflitli ini elde ederiz ve tümevar m varsay m n kullanarak teoremi kan tlar z. Dikkat edilirse, yukardaki teoremi kan tlamak için Teorem 2 yi ve sonras n kullanmad k. Bu sefer indirgenemezlerle ilgili bir teorem kan tlayal m. Gene Teorem 2 yi ve sonras n kullanmayaca z. Teorem 6. Her n 2 do al say s sonlu say da indirgenemez say n n çarp m d r. Kan t: n 2 bir do al say olsun. E er n indirgenemezse, n tek bir indirgenemezin (n nin) çarp m - d r. E er n indirgenebilirse, n = ab eflitli ini sa layan 1 den büyük ama n den küçük a ve b say lar vard r. Tümevar mla a ve b say lar n n herbiri sonlu say da indirgenemezin çarp m d r. Dolay s yla ab, yani n de sonlu say da indirgenemezin çarp m d r. Yukardaki iki teoremlerden flimdi (bu kez Teorem 2 yi kullanarak) güzel bir sonuç ç karabiliriz: Sonuç 7. 1 den büyük bir do al say sonlu say - da asal n (ya da indirgenemezin) çarp m olarak s ralama fark n saymazsak tek bir biçimde yaz l r. Daha matematiksel bir deyiflle, e er k 2 ise, o zaman, a) k = p 1... p n eflitli ini sa layan sonlu say da p 1,..., p n asal vard r. b) E er q 1,..., q m asallar için k = q 1... q m eflitli i sa lan yorsa, o zaman n = m eflitli i sa lan r ve her p i belli bir q j ye eflittir. Kan t: Teorem 6 ya göre k sonlu say da indirgenemezin çarp m d r. Teorem 2 ye göre bu indirgenemezler asald r. Teorem 5 e göre bu yaz l m afla yukar tek bir biçimde yap l r. Do al Say lar n Ötesi. Her ne kadar Teorem 2 de do al say larda asalla indirgenemez aras nda bir ayr m olmad n kan tlam flsak da, bundan sonraki sonuçlar sanki bu kavramlar aras nda bir ayr m varm fl gibi dikkatlice yaz p kan tlad k. Bunun bir nedeni var: Asallarla indirgenemezler aras nda do al say larda ve tamsay larda bir ayr m yoksa da, baflka say kümelerinde bu iki kavram aras nda bir ayr m vard r. fiimdi bu ayr mdan sözedece iz. Gerçel say lar kümesi R nin (ya da karmafl k say lar kümesi c nin) ç karma ve çarpma alt nda kapal ve 1 i içeren bir A altkümesini alal m. Demek ki, 1 A ve her x, y A için, x y, xy A. Örne in A = Z, Q, R olabilir, ya da A = Z[ 5] := {a + b 5 : a, b Z}, A = Z[ 2] := {a + b 2 : a, b Z} kümeleri olabilir. Okurun, yaz n n devam n okurken, Z ve Z[ 2] ve Z[ 5] gibi Z[ d] türünden örnekleri akl nda tutmas nda yarar vard r. E er karmafl k say lar biliyorsa Z[ 3] türünden örnekler de yararl d r (burada 3, karesi 3 olan yepyeni bir say d r.) Yukardaki özellikleri sa layan A kümelerine say halkas ya da daha k sa olarak halka ad veri- 19

20 lir. Bundan böyle A bir say halkas n simgelesin. 0 = 1 1 A oldu undan, 0 say s da A dad r. Dolay s yla, her a, b A için, a + b = a (0 b) A. Demek ki bir say halkas sadece ç karma ve çarpma alt nda de il, toplama alt nda da kapal d r. Bütün bunlardan Z A ç kar. Bir say halkas n n asallar n n ve indirgenemezlerinin tan mlar n verece iz ve bu iki kavram n her zaman ayn olmad n görece iz. Zaten say lar kuram n ilginç k lan da bu anormallik tir. Tan mlara bafll yoruz. Bölmek. x, y A olsun. E er xa = y eflitli ini sa layan bir a A varsa, o zaman x, y yi A da böler denir. Bu bazen x y olarak yaz l r. Elbette, e er x 0 ise, x y ancak ve ancak y/x A ise, Al flt rmalar. A bir say halkas olsun. A1. 0 sadece 0 böler. A2. Her say 0 böler. A3. 1 ve 1 her say y bölerler. A4. Her say kendini böler. A5. x y ve y z ise x z. A6. x y ise, her z A için x yz. A7. x y ise ve x 0 ise o zaman xa = y eflitli ini sa layan tek bir a A vard r ve bu a elbette y/x tir. A8. x y ve x z ise her a, b A için, x (ay + bz). Tersinir Elemanlar. x A olsun. E er 1/x A ise, o zaman x e tersinir eleman denir. Bu durumda 1/x e x in tersi ad verilir. Daha dikkatli olmak isteseydik, tersinir den öte A da tersinir derdik. Çünkü tersinir olmak A halkas na göre de iflir: A da tersinir olmayan bir eleman, daha genifl bir halkada tersinir olabilir. 1 1 = 1 oldu undan, 1 eleman her halkada tersinirdir. 1 de her halkada tersinirdir. Ama 0 hiçbir halkada tersinmez. Bir halkan n iki tersinir eleman n n çarp m da tersinirdir. Dolay s yla tersinir bir x eleman n n x n güçleri de tersinirdir. Nas l 1 her say y bölüyorsa, tersinir elemanlar da A daki her say y bölerler. Nitekim e er x tersinirse ve y A ise, y yi x e bölünce A n n (1/x)y, yani y/x eleman n buluruz. Burada önemli olan bölme iflleminin sonucunun gene A da olmas d r, çünkü bölme kavram halkaya göre de iflir; örne in 2, 3 ü Z de bölmez ama Q da böler. A halkas n n tersinir ö elerinin kümesi A * olarak simgelenir. Örne in Z * = {1, 1}, Q * = Q \ {0} Bunlar kolay. Ama Z[ d] * türünden kümeleri belirlemek çok daha zordur. Okur, görece kolay bir al flt rma olarak, daha flimdiden, daha sonra kan tlayaca m z, e er d Z \ {0, 1}, 1 d fl nda bir tamkareye bölünmüyorsa, Z[ d] * = {a + b d : a, b Z, a 2 db 2 = ±1} eflitli ini kan tlayabilir. Örne in ve bu eleman n tüm güçleri Z[ 2] * kümesindedir. Ama yukardaki eflitli i bulmak Z[ 2] * kümesini belirlemek için yeterli de ildir. Z[ 2] * kümesini belirlemek için a 2 2b 2 = ±1 denklemlerinin Z deki tüm çözümlerini bulmak laz m. Okur, belli bir d için, a 2 db 2 = ±1 denklemlerinin tüm çözümlerini bulmay deneyebilir, ama bu pek kolay de ildir, hatta hiç kolay de ildir. Al flt rmalar. B1. u A* ancak ve ancak u 1 ise. B2. Q[ d] = {a + b d : a, b Q} olsun. Q[ d]* = Q[ d] \ {0} eflitli ini kan tlay n. B3. Tersinir elemanlar ancak tersinir elemanlara bölünebilirler. B4. Her x, y A ve x 0 için, e er xy x ise y A*. B5. Her x, y A için, xy A* ise x, y A*. B6. Her x, y A için, x y ve y x ancak ve ancak x = uy eflitli ini sa layan bir u A* varsa. B7. B6 daki koflullardan herhangi biri sa lan - yorsa x ~ y yazal m. O zaman, her x, y, z A için, i. x ~ x. ii. x ~ y ise y ~ x. iii. x ~ y ve y ~ z ise x ~ z. B8. x, y A olsun. E er ux + vy = 1 eflitli ini sa layan u, v A varsa, o zaman x ve y nin ortak bölenleri sadece A n n tersinir elemanlar d r. B9. A = Z[ d] olsun. A* Z = {1, 1} eflitli ini kan tlay n. fiimdi A halkas n n asallar n ve indirgenemezlerini tan mlayaca z. Tan m m z Z ye uygulad m zda Z nin asal ve indirgenemez kavramlar n bulaca z. ndirgenemezler. 0 x A \ A * olsun. E er y, z A için, x = yz eflitli i do ru oldu unda y ya da z elemanlar ndan biri A da tersinirse o zaman x e (A da) indirgenemez denir. 20