MAK 210 SAYISAL ANALİZ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MAK 210 SAYISAL ANALİZ"

Transkript

1 MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 3- LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1

2 LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ Bilimsel ve teknolojik çalışmalarda karşılaşılan matematikle ilgili belli başlı problemlerden biri denklemlerin çözümüdür. Belli sayıda bilinmeyen ve belli sayıda denklemden oluşan bir denklem sistemi lineer terimlerden oluşuyorsa bu sistem lineer denklem sistemi olarak adlandırılır. 2x-3y=5-2x+y=-1 Denklem sistemi iki bilinmeyen içeren lineer bir denklem sistemidir. Genel olarak n tane bilinmeyen (x 1, x 2,, x n ) içeren lineer bir denklem sistemi aşağıda gösterildiği gibi açık halde veya daha basit olarak matris formunda yazılabilir. 2

3 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + a 3n x n = b 3 A. x = b a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x 3 + a nn x n = b n Burada A katsayılar matrisi, x bilinmeyen vektör ve b sağ taraf vektörü diye adlandırılır. 3

4 A x b a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n x 2 = b 2 a n1 a n2 a nn x n b n Direkt (Analitik) Yöntemler Denklem sisteminin çözümünü matematik anlamda tam olarak veren yöntemlerdir. Cramer Yöntemi Matris Tersi Yöntemi Gauss Eliminasyon Gauss-Jordan Yöntemi LU Ayırma Yöntemi Dolaylı (İteratif) Yöntemler Çözümün direkt değil, tahmini değerlerden başlayarak adım adım ardışık hesaplamalarla belli tolerans sınırları içinde elde edildiği yöntemlerdir. Basit İterasyon (Jacobi) Yöntemi Gauss-Seidel Yöntemi Rölaksasyon Yöntemi 4

5 Cramer Yöntemi DİREKT (ANALİTİK) YÖNTEMLER Klasik yöntemlerden biri olup çözüm iki matrisin determinantları oranı olarak elde edilir. Bu yöntemde, n bilinmeyen içeren A.x = b şeklinde lineer denklem sisteminin çözümü; x i = D i A (i=1,2,3,.,n) ifadesiyle hesaplanabilir. Burada D i : Katsayılar matrisinde (A), i. Sütun atılıp yerine b vektörünün konması ile elde edilen matrisin determinantıdır. Bu yöntemde, her biri (nxn) boyutunda (n+1) tane matrisin determinantının hesaplanması gerektiğinden işlem sayısı fazla, çözüm süresi uzundur. Dolayısıyla çok sayıda denklem içeren sistemlerin çözümünde bu yöntem tercih edilmez. 5

6 Matris Tersi Yöntemi Verilen A. x = b denklem sisteminde katsayılar matrisinin tersi A 1 hesaplandığında çözüm vektörü doğrudan iki matrisin çarpımından elde edilir. x = A 1 b 6

7 Gauss Eliminasyonu Yöntemi Değişkenlerin yok edilmesi ilkesine dayanan bu yöntem iki aşamadan oluşur. Birinci aşamada katsayılar matrisi üst üçgensel hale getirilir. İkinci aşamada ise çözüm vektörü hesaplanır. 7

8 A. x = b şeklinde bir lineer denklem sistemi verilmiş olsun. Bu yöntemin birinci aşamasında, katsayılar matrisine (A) temel satır işlemleri uygulanarak matris üst üçgensel hale getirilir. Yani köşegen altında kalan matris elamanları sıfırlanır. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n a n1 a n2 a n3 a nn a 11 a 12 a 13 a 1n 0 a 22 a 23 a 2n 0 0 a 33 a 3n a nn Temel satır işlemi, bir satırın bir sayı ile çarpılıp diğer bir satıra ilave edilmesi işlemidir. Pivotlama işlemi ise, katsayılar matrisinde köşegen elemanlar mutlak değerce maksimum olacak şekilde satırların yer değiştirmesidir. 8

9 Pivotlama işleminin sağladığı iki faydadan birincisi, köşegen üzerine gelebilecek sıfır rakamından, dolayısıyla sıfıra bölme hatasından kurtulmak; ikincisi ise, ileride açıklanacağı üzere, yuvarlatma hatalarını azaltmaktır. Gauss eliminasyon yönteminin birinci aşamasında uygulanması gereken adımlar şunlardır: 1) Katsayılar matrisi b ile genişletilir. 2) Köşegen elemanlar mutlak değerce en büyük olacak şekilde satırlar yer değiştirir (pivotlama işlemi). 3) 1. kolunu sıfırlamak için 1. satır elemanları ( a i1 a 11 ) terimi ile çarpılıp i. Satırın karşılık gelen elemanlarına ilave edilir. Bu satır işlemi kısaca aşağıdaki gibi ifade edilecektir. 9

10 S ai1 a i1 a 11 (i = 2,3,, n) 4) 2. kolonun köşegen altını sıfırlamak için; birinci satır ve sütun yok gibi düşünülerek, geriye kalan alt matrise 3. adımdaki işlemler S ai2 a i2 a 22 (i = 3,4,, n) şeklinde uygulanır. 5) İşlemlere bu şekilde devam edilerek katsayılar matrisi üst üçgensel hale getirilir. Buna göre 3., 4., ve 5. adımların genel algoritması, k = 1,2,, n 1 i = k + 1,, n 10

11 a k ij (k 1) a ik = a ij a kk (k 1). a kj (j = k + 1 n) b i k = b i (k 1) a ik a kk. b k (k 1) Burada k sıfırlanacak kolunu gösteren sayaç değeri olduğu görülmektedir. Bu işlemler esnasında katsayılar matrisi ve sağ taraf vektörünün elemanlarının sayısal değerleri de değişmektedir. Birinci aşama bu şekilde tamamlandıktan sonra ikinci aşamaya geçilir. Yöntemin ikinci aşamasında sonuncu denklemden başlayarak çözüm elde edilir. Bu işleme geriye doğru süpürme veya geriye doğru yerine koyma denir. Böylece işleme adımlarına aşağıdaki gibi devam edilir. 6) Geriye doğru süpürme ile çözüm vektörü bulunur. 11

12 Örnek 3.1: Aşağıdaki denklem sistemini Gauss eliminasyon yöntemiyle çözünüz. 4x 1 + 2x 2 5x 3 = 5 3x 1 + x 2 2x 3 = 3 2x 1 3x 2 + x 3 = 3 Çözüm: Genişletilmiş katsayılar matrisi, pivotlama işleminden sonra temel satır işlemleri ile aşağıdaki gibi üst üçgensel hale getirilir Pivotlama

13 Bu aşamada 1. satırı (2/3) ile çarpıp ikinci satıra, ve (-4/3) ile çarpıp 3. satıra ilave ederek birinci sütun sıfırlanmış olur. Bu işlemler sembolik olarak sırası ile Sa 21 (2 3) ve Sa 31 ( 4 3) ile gösterilecektir. Bu işlemler sonunda /3 1/ /3 7/3 1 Sa 32 (2 7) /3 1/ /7 17/7 Matris bu şekilde üst üçgensel hale geldikten sonra sonuncu satırın ifade ettiği denklemden x 3 = = 1 bulunur. Bu değer ikinci denklemde yerine yazılarak 13

14 7 3 x x 3 = 5 x 2 = 2 ve bulunan bu x değerleri birinci denklemde yazılırsa 3x 1 + x 2 2x 3 = 3 x 1 = 1 elde edilir. Bazı durumlarda bir denklemdeki mutlak değerce en büyük elemanın köşegen üzerine gelmesi sağlanamaz. Tam pivotlama yapılamadığı, ancak kısmi pivotlamanın sağlanabildiği böyle bir örnek aşağıdadır. 14

15 Örnek 3.2: Aşağıdaki denklem sistemini Gauss eliminasyon yöntemiyle çözünüz. x 1 + 2x 3 = 9 2x 1 + x 2 = 5 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 Çözüm: Genişletilmiş katsayılar matrisi, pivotlama işleminden sonra temel satır işlemleri ile aşağıdaki gibi üst üçgensel hale getirilir Pivotlama

16 Burada görüldüğü ikinci satır pivotlamayı bozmaktadır. Çünkü satırdaki en büyük eleman köşegen üzerinde değildir. Ancak yapacak başka bir işlem de yoktur. Birinci satırla ikinci satırı yer değiştirsek bile yine tam bir pivotlama olmayacaktır. Bu durumda sistem bu haliyle çözülmeye devam edilecektir. Sıfırlama için 1. satırı (-2/3) ile çarpıp ikinci satıra, ve (-1/3) ile çarpıp 3. satıra ilave edilmelidir. Bu işlemler sembolik olarak Sa 21 ( 2 3) ve Sa 31 ( 1 3) ile gösterilecektir. Böylece 1. sütun sıfırlanmış olur. Sonra da 2. sütunun sıfırlanması sonunda /3 2/3 7/3 0 2/3 5/3 31/3 Sa 32 ( 2) /3 2/3 7/

17 Matris bu şekilde üst üçgensel hale geldikten sonra sonuncu denklemden x 3 = 15 3 = 5 bulunur. Bu değer ikinci denklemde yazılarak 1 3 x x 3 = 7 3 x 2 = 3 ve birinci denklemden elde edilir. 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 x 1 = 1 17

18 Gauss-Jordan Yöntemi Bu yöntem Gauss eliminasyon yönteminin benzeri olup yine iki aşamalıdır. Birinci aşamada, verilen lineer denklem sistemine ait katsayılar matrisi (A) temel satır işlemleri ile köşegensel hale getirilir; yani aşağıdaki gibi matris köşegeninin hem altında, hem de üstünde kalan elemanlar sıfırlanır. Genişletilmiş katsayılar matrisi Köşegen matris a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a n1 a n2 a nn b n a b 1 0 a 22 0 b a nn b n 18

19 Katsayılar matrisini genişletmek ve köşegensel hale getirmek için uygulanması gereken adımlar şunlardır: 1) Katsayılar matrisi (A), b nün ilavesiyle genişletilir. 2) Köşegen elemanlar mutlak değerce en büyük olacak şekilde satırlar yer değiştirir (pivotlama işlemi). 3) 1. kolon Gauss Eliminasyonundaki gibi sıfırlanır. 4) Köşegen eleman hariç olmak üzere 2. kolon sıfırlanır. Bunun için, ( a i2 ) a satır ile çarpılıp, i. satıra ilave edilir. (i=1,3,4,,n i 2) 5) Benzer şekilde 3. kolon sıfırlanır. Bunun için, ( a i3 ) a satır ile çarpılıp, i. satıra ilave edilir. (i=1,2,4,,n i 3) 19

20 6) Bu işlemlere devam edilerek katsayılar matrisi köşegen hale getirilir. Bu sıfırlama işlemeleri esnasında köşegen elemanlar ve sağ taraf vektörü de değiştiği için bunlar üslü olarak gösterilmiştir. a a a a nn x 1 x 2 x 3 x = x n b 1 b 2 b 3 b n 7) Bu aşamadan sonra ileri doğru süpürme ile çözüm vektörü: x 1 = b 1 a 11 ; x 2 = b 2 a 22 ; ; x n = b n a nn şeklinde elde edilir. 20

21 Örnek 3.3: Aşağıdaki denklem sistemini Gauss-Jordan yöntemiyle çözünüz. 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = 7 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 8 x 1 x 2 + 2x 3 = 1 Çözüm: Bu sistemdeki denklemlerin her birinde mutlak değerce en büyük katsayı üçüncüsüdür. Dolayısıyla pivotlama işleminde her üç denklem de sonuncu denklem olarak yazılabilir. Yani burada da tam bir pivotlama yapılamaz. Bu durumda genişletilmiş katsayılar matrisi aşağıdaki gibi yazıldıktan sonra, kısmi pivotlama yapılır. 21

22 Kısmi Pivotlama Burada birinci ve sonuncu denklemlerin yer değiştirmesi işlem kolaylığı açısından yapılmıştır. Bu aşamada 1. satırı (1) ile çarpıp ikinci satıra ve (-5) ile çarpıp 3. satıra ilave ederek birinci kolon sıfırlanabilir Sa 12 (1) Sa 32 ( 5) Son olarak Sa 13 (7 26) ve Sa 23 (5 26) işlemleri ile son kolon sıfırlanır. Matris bu şekilde köşegen hale geldikten sonra her satırdan bir bilinmeyen aşağıdaki gibi elde edilir. 22

23 x 1 = 1 x 2 = 2 x 3 = 1 23

24 LU Ayırma Yöntemi Gauss eliminasyon yöntemi esasında matris notasyonu kullanılarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir. A= P. L. U Burada P matrisi pivotlama esnasındaki satır yer değiştirmelerini ifade eden matris, L alt üçgensel olan ve sütunların sıfırlanması esnasında kullanılan çarpanlardan oluşan matris ve U ise Gauss eliminasyon yönteminde ulaşılan üst üçgensel matristir. 24

25 a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n a n1 a n2 a n3 a nn = L L 21 L L 31 L 32 L 33 0 L n1 L n2 L n3 L nn 1 U 12 U 13 U 1n 0 1 U 23 U 2n U 3n L matrisi U matrisi ile çarpılıp A nın karşılık gelen elemanına eşitlenerek L ve U matrislerinin elemanları aşağıdaki gibi bulunur: a 11 = L L 11 = a 11 a 21 = L L L 21 = a 21. a n1 = L n L n L n L n1 = a n1 25

26 a 12 = L 11. U a 13 = L 11. U U a 1n = L 11. U 1n + 0. U 2n + 0. U 3n + U 12 = a 12 L 11 U 13 = a 13 L 11 U 1n = a 1n L 11 Dikkat edilirse matris elemanlarının bulunmasında aşağıdaki şekilde verilen sıra takip edilmektedir. L U Şekil 3.1 L ve U matris elemanlarının hesaplanmasında izlenen sıra 26

27 Örnek 3.6. x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 3 2x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 8 3x 1 + x 2 + 5x 3 = 1 denklem sistemini LU yöntemiyle çözünüz. Çözüm: Burada öncelikle katsayılar matrisini yazarak çarpanlarına ayıralım = L L 21 L 22 0 L 31 L 32 L 33 1 U 12 U U

28 Şekil 3.1 de belirtilen sırada bilinmeyen matris elemanları hesaplanırsa L 11 = 1, L 21 = 2, L 31 = 3 U 12 = 2 L 11 = 2, U 13 = 3 L 11 = 3 L 21. U 12 + L 22 = 5 L 22 = 1, L 32 = 5 L 21. U 13 + L 22. U 23 = 2 U 23 = 4 L 33 = 24 değerleri bulunur. L. y = b ifadesine göre y vektörü, ileri süpürme ile y 1 y 2 y 3 = y 1 = 3 y 2 = 2 y 3 = 0.0 bulunur. Bu değerlerle U. x = y ifadesinden geri süpürme ile çözüm vektörü, 28

29 x 1 x 2 x 3 = x 1 = 1 x 2 = 2 x 3 = 0.0 elde edilir. 29

30 İTERATİF (DOLAYLI) YÖNTEMLER Direkt yöntemlerde bulunan değerler doğrudan doğruya çözüm vektörüdür. Dolaylı yöntemlerde ise tahmini çözüm değerleri kabul edilerek çözüme başlanmakta ardışık hesaplamalarla adım adım doğru çözüm değerlerine yaklaşılmaktadır. Bu ardışık hesaplamaların her birine iterasyon denir. İteratif yöntemlerde, tahmini ilk değerlerden başlayarak ardışık hesaplamalarla gerçek çözüm değerine yaklaşmaya yakınsama uzaklaşmaya ise ıraksama denir. Jacobi Yöntemi(Basit, Tek Adımlı İterasyon) Gauss-Seidel Yöntemi (Çok Adımlı İterasyon) Rölaksasyon Yöntemi (SOR) 30

31 Jacobi Yöntemi(Basit, Tek Adımlı İterasyon) Lineer denklem sistemi a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + a 3n x n = b a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x 3 + a nn x n = b n 31

32 formunda verilmiş olsun. Bu yöntemde uygulanması gereken adımlar şunlardır. 1) Köşegen elemanlar mutlak değerce en büyük olacak şekilde satırlar yer değiştirilir. 2) Sırayla her denklemden bir bilinmeyen çekilir. x 1 = 1 a 11. (b 1 a 12. x 2 a 13. x 3.. a 1n. x n ) x 2 = 1 a 22. (b 2 a 21. x 1 a 23. x 3.. a 2n. x n ).. x n = 1 a nn. (b n a n1. x 1 a n2. x 2.. a n,n 1. x n 1 ) 32

33 3) x 1, x 2,, x n için ilk tahmin değerleri seçilir. Seçilen bu tahmin değerleri bütün denklemlerin sağ taraflarında yerlerine yazılarak yeni x i değerleri bulunur. 4) Bulunan x i değerleri tekrar sırayla denklemlerin sağ taraflarında yerlerine yazılarak daha yeni x i sayıları hesaplanır. 5) Bu işlemler k defa tekrarlandığında (k. iterasyon sonunda) genel ifadeler şu şekilde yazılabilir. x 1 (k+1) = 1 a 11. (b 1 a 12. x 2 (k) a 13. x 3 (k). a 1n. x n (k) ) x 2 (k+1) = 1 a 22. (b 2 a 21. x 1 (k) a 23. x 3 (k). a 2n. x n (k) ) x (k+1) n = 1 (k) (k) (k). (b a n a n1. x 1 an2. x 2. an,n 1. x n 1) nn 33

34 Burada k üssü aynı zamanda x i değerlerinin kaç defa yenilendiğini de ifade etmektedir. 6) Bu şekilde ardışık hesaplamalara (iterasyona) tolerans değer (TD) sağlanıncaya kadar, yani x i (k+1) xi (k) TD (i = 1,2,, n) oluncaya kadar devam edilir. 7) Tolerans değer sağlandığında, son bulunan x i değerleri yaklaşık çözüm vektörüdür. 34

35 Gauss-Seidel Yöntemi (Çok Adımlı İterasyon) Jacobi yöntemine oldukça benzerdir. Tek farkı; bulunan x i değerinin hemen sonraki denklemde yerine konmasıdır. Bu yöntemde uygulanması gereken adımlar şunlardır: 1) Köşegen elemanlar mutlak değerce en büyük olacak şekilde satırlar yer değiştirilir. 2) Her denklemden bir bilinmeyen çekilir. 3) x 2, x 3,.., x n için ilk tahmin değerleri seçilir. Seçilen bu tahmini değerler birinci denklemde yazılarak x 1 ve sonra diğer x i değerleri hesaplanır. Bu hesaplamaların her defasında denklemlerin sağ taraflarına x i lerin bilinen son değerleri yazılır. 35

36 4) Bu işlemler k defa tekrar edilir. k. iterasyona ait genel ifadeler aşağıdaki şekilde yazılabilir. x 1 (k+1) = 1 a 11. (b 1 a 12. x 2 (k) a 13. x 3 (k). a 1n. x n (k) ) x 2 (k+1) = 1 a 22. (b 2 a 21. x 1 (k) a 23. x 3 (k). a 2n. x n (k) ) x 3 (k+1) = 1 a 33. (b 3 a 31. x 1 (k+1) a32. x 2 (k). a3n. x n (k) ) x (k+1) n = 1 (k) (k) (k). (b a n a n1. x 1 an2. x 2. an,n 1. x n 1) nn 36

37 Görüldüğü gibi Jacobi iterasyonundan farklı olarak herhangi bir x değerinin hesaplanmasında, biliniyorsa (k+1). Değerler, bilinmiyorsa k. değerler kullanılmaktadır. Burada ayrı ayrı yazılan n denklem kısaca indis notasyonu kullanılarak tek bir denklem olarak da yazılabilir. x i (k+1) = 1 a ii. (b i i 1 j =1 a ij. x j (k+1) a ij. x j (k) ) 6) İterasyon tolerans değeri sağlanıncaya kadar, yani n j =i+1 (i = 1,2,., n) x i (k+1) xi (k) TD (i = 1,2,, n) 37

38 (k+1) oluncaya kadar devam edilir. Son bulunan x i değerleri ( x i ) çözüm vektörüdür. Rölaksasyon Yöntemi (SOR) Gauss-Seidel yönteminden türetilebilen bir yöntemdir. Gauss-Seidel yönteminin genel iterasyon formülüne aynı terimi ekleyip çıkartırsak: i 1 x i (k+1) = 1 a ii. b i a ij. x j (k+1) a ij. x j (k) j =1 n j =i+1 + x i (k) x i (k) şeklindeki ifadeyi elde ederiz. Bunu biraz sadeleştirirsek : 38

39 i 1 = x i (k) + 1 a ii. b i a ij. x j (k+1) a ij. x j (k) j =1 n j =i+1 + a ii x i (k) i 1 = x i (k) + 1 a ii. b i a ij. x j (k+1) a ij. x j (k) j =1 n j =1 Bu ifadenin sağ tarafındaki ikinci terimi, x i değerini düzelten bir değer (R) olarak düşünürsek x i (k+1) = x i (k) + R yazabiliriz. Rölaksasyon yönteminde R değerinin tamamını ilave etmek yerine R nin belli bir ε oranının ilave edilmesi ile yakınsamanın hızlandırılması mümkün olabilmektedir. Bu durumda rölaksasyon yönteminin genel ifadesini 39

40 i 1 x i (k+1) = x i (k) + ε a ii. b i a ij. x j (k+1) a ij. x j (k) j =1 n j =1 şeklinde yazabiliriz. Buradaki ε rölaksasyon katsayısı olup değerine bağlı olarak 1 < ε < 2 : Aşırı(kuvvetli) rölaksasyon(sor) ε = 1 : Gauss-Seidel 0 < ε < 1 : Zayıf rölaksasyon denir. Rölaksasyon katsayısının en iyi değeri denklem sistemine bağlı olup hesaplanması zordur. Çoğu zaman deneme yanılma ile tahmin edilmesi yoluna gidilir. Rölaksasyon yöntemine nokta iterasyonu da denir. 40

41 Yakınsama Şartı: İteratif yöntemlerden biriyle çözüm elde edilebilmesi için lineer denklem sistemi yakınsama şartını sağlayacak özellikte olmalıdır. Yakınsama kriteri de denilen bu şart değişik şekillerde ifade edilmekle beraber en fazla kullanılan formu n a ii > a ij (i n) j=1 j 1 denklemi ile verilir. 41

42 Örnek 3.7: Aşağıdaki denklem sistemini TD = 10 4 alarak çözünüz. x x 2 + 2x 3 = 13 2x 1 + x x 3 = 13 10x 1 + 2x 2 + x 3 = 13 Çözüm: a) Jacobi yöntemi ile çözüm : i) Pivotlamadan ii) Pivotlayarak x 1 = 13 10x 2 2x 3 x 2 = 13 2x 1 10x 3 x 3 = 13 10x 1 2x 2 x 1 = x 2 0.1x 3 x 2 = x 1 0.2x 3 x 3 = x 1 0.1x 2 42

43 i) Pivotlamadan İterasyon x 1 x 2 x ıraksama 43

44 ii) Pivotlayarak İterasyon x 1 x 2 x yakınsama 44

45 Yukarıdaki çözüm tablosundan da anlaşılabileceği gibi pivotlama yapılmadığı durumda yakınsama kriteri sağlanmamakta, dolayısıyla alınan ilk tahmin değerleri iterasyon süresince hızlı bir şekilde artarak sonsuza gitmekte yani ıraksama olmaktadır. Bunun aksine pivotlama yapıldığında köşegen eleman diğer satır elemanları mutlak değerleri toplamından büyük olmakta, iterasyon süresince hesaplanan x değerleri gerçek çözüm değeri olan 1 değerine yaklaşmaktadır. Gerçek çözüm değerine ne kadar yaklaşılacağı verilen tolerans değeriyle belirlenir. Yine burada tekrarlamak gerekir ki tolerans değeri bütün x değerleri için sağlanıncaya kadar bütün x ler için iterasyona devam edilir. 45

46 b) Gauss-Seidel yöntemi ile çözüm (Pivotlayarak) : İterasyon x 1 x 2 x Burada Gauss-Seidel yöntemi Jacobi yöntemine göre daha kısa sürede sonuç vermektedir. 46

47 Örnek 3.8: Aşağıdaki denklem sistemini Gauss-Seidel ve Rölaksasyon yöntemleri ile çözünüz. 8x 1 + x 2 x 3 = 8 2x 1 + x 2 + 9x 3 = 12 x 1 7x 2 + 2x 3 = 4 Çözüm: a) Gauss-Seidel yöntemi ile çözüm : Denklem sistemin pivotlayarak yöntemi uygulayalım. Başlangıç değerleri sıfır alındığında aşağıdaki tablo değerleri elde edilir. 47

48 x 1 = (8 x 2 + x 3 )/8 x 2 = (4 + x 1 + 2x 3 )/7 x 3 = (12 2x 1 x 2 )/9 İterasyon x 1 x 2 x

49 b) Rölaksasyon yöntemi ile çözüm : Denklem sistemini pivotlayarak rölaksasyon yöntemine göre düzenleyelim. Başlangıç değerlerini sıfır alarak farklı rölaksasyon parametreleri için elde edilen değerler aşağıdaki tabloda verilmiştir. Tablodan da görüleceği gibi zayıf rölaksasyonda iterasyon sayısı Gauss-Seidel e göre daha az olmakta, kuvvetli rölaksasyonda (SOR) iterasyon sayısı artmaktadır. Bu durum denklem sisteminin karakterine ve denklem sayısına bağlı olarak değişir. x 1 = x 1 + ω(8 8x 1 x 2 + x 3 )/8 x 2 = x 2 + ω(4 7x 2 + x 1 + 2x 3 )/7 x 3 = x 3 + ω(12 2x 1 x 2 9x 3 )/9 49

50 İterasyon x 1 x 2 x 3 İterasyon x 1 x 2 x

51 DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜLEBİLİRLİĞİ Çözümün Varlığı ve Tekliği Denklem sayısı: n Bilinmeyen sayısı: m olsun 1) n>m ise denklemlerden m tanesi çözülür. Çözülmeyen diğer denklemler bulunan sonucu sağlıyorsa, sonuç doğrudur. 2) n<m ise sonsuz çözüm vardır. (m-n) tane bilinmeyen kabul edilir. Diğerleri çözümden bulunur. 3) n=m ise denklemlerin lineer bağımsız olması halinde çözüm vardır ve tektir, eğer denklemler lineer bağımlı ise sonsuz çözüm vardır. 51

52 Homojen Denklem Sistemleri b = 0 olan sistemlere denir (Ax = 0). Bu sistemlerde x = 0 daima bir çözümdür (Trivial çözüm). Sıfırdan farklı bir çözüm olması için det(a)=0 olmalı yani denklemler lineer bağımlı olmalıdır. Kötü Şartlanmış Denklem Sistemleri Nadir de olsa, bazı denklem sistemleri, çözümün varlığı ve tekliği şartlarını sağlasa bile çözümün bulunmasında problemle karşılaşılabilir. Katsayılar matrisinin tekil bir matrise çok yakın olması, bir başka ifadeyle katsayılar matrisinin determinantının sıfıra yakın olması böyle bir durum ortaya çıkarır. Kötü şartlanmış denklem sistemi olarak adlandırılan bu denklem sistemleri çok hassas olup katsayılar matrisinde olabilecek küçük değişiklikler sonuçları büyük oranda değiştirir. 52

53 Örnek 3.9: Aşağıdaki iki bilinmeyenli denklem sistemi verilmiş olsun. 2.62x + 0.8y = x + 1.4y = 6 Çözüm: Verilen denklem sistemi çözüldüğünde bulunacak x=1 ve y=1 değerleri doğru çözümdür. Ancak denklem sistemindeki birinci katsayı çok küçük bir hatayla 2.63 olarak yazılmış olsa 2.63x + 0.8y = x + 1.4y = 6 aynı yöntemle bulunacak çözüm, gerçek değerlerden çok farklı olan x=-6 ve y=24 değerleridir. Katsayılar matrisindeki çok küçük bir değişikliğin sonuçları bu kadar fazla değiştirmesi sistemin kötü şartlanmış olduğunu gösterir. 53

54 Örnek 3.10: Şekilde gösterilen seri bağlı dört tane yay-kütle sistemi F=2000 N luk kuvvet etkisinde dengededir. Kuvvetlerin dengesinden aşağıdaki denklem sistemi elde edilmiştir. x 4 x 3 x 2 x 1 F k 4 k 3 k 2 k 1 k 2 x 2 x 1 = k 1 x 1 k 3 x 3 x 2 = k 2 (x 2 x 1 ) k 4 x 4 x 3 = k 3 (x 3 x 2 ) F = k 4 (x 4 x 3 ) 54

55 Yay katsayıları k 1, k 2, k 3 ve k 4 sırası ile 1000, ve 2000 N/m olduğuna göre x değerlerini herhangi bir yöntemle hesaplayınız. Çözüm: Denklemler düzenlenip sayısal değerler yerine konursa 1500x 1 500x 2 = 0 500x x x 3 = 0 750x x x 4 = x x 4 = 2000 denklem sistemi oluşur. Matris formunda x 1 x 2 x 3 x 4 =

56 Yazılırsa katsayılar matrisinin tridiagonal olduğu görülür. Bu sistemin çözümünde bütün yöntemler kullanılabilir. Burada bir örnek olması açısından Thomas algoritması uygulanacaktır. Bu algoritmaya göre (Eşt.3.26) e ve f dizilerinin yeni değerleri f 1 = 3 olmak üzere e 2 = e 2 f 1 = 10 3 = f 2 = f 2 e 2 g 1 = 25x = e 3 = f 3 = e 4 = f 4 = b 1 = 0 olmak üzere yeni sağ taraf vektörü, (Eşt.3.27a) ya göre b 2 = b 2 e 2 b 1 = = 0 b 3 = 0 ve b 4 = 1 Bulunur. Çözüm vektörü Eşt.(3.27b) ye göre hesaplanabilir: 56

57 x 4 = b 4 f 4 = = ve x 3 = b 3 g 3 x 4 = x 2 = 6 x 1 = 1 57

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir. Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 4- LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Matematikte veya hidrolik, dinamik, mekanik, elektrik

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

DENKLEM DÜZENEKLERI 1

DENKLEM DÜZENEKLERI 1 DENKLEM DÜZENEKLERI 1 Dizey kuramının önemli bir kullanım alanı doğrusal denklem düzeneklerinin çözümüdür. 2.1. Doğrusal düzenekler Doğrusal denklem düzeneği (n denklem n bilinmeyen) a 11 x 1 + a 12 x

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu

Detaylı

HATA VE HATA KAYNAKLARI...

HATA VE HATA KAYNAKLARI... İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ... 1 1.1 Giriş... 1 1.2 Sayısal Analizin İlgi Alanı... 2 1.3 Mühendislik Problemlerinin Çözümü ve Sayısal Analiz... 2 1.4 Sayısal Analizde Bilgisayarın Önemi... 7 1.5 Sayısal Çözümün

Detaylı

10. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

10. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. . HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 2- İTERATİF YÖNTEMLER Doğrusal denklem sistemlerinin çözümünde

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER

SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER Bir elastik ortamın gerilme probleminin Airy gerilme fonksiyonu ile formüle edilebilen halini göz önüne alalım. Problem matematiksel olarak bölgede biharmonik denklemi sağlayan

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR. UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ LİNEER CEBİR DERSİ 0 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.İNAN ÜNAL www.inanunal.com UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ

Detaylı

HARMONİK DENKLEM. Burada göz önüne alınacak problem Dirichlet problemidir; yani fonksiyonun sınırda kendisinin verilmesi halidir. 2 2 (15.

HARMONİK DENKLEM. Burada göz önüne alınacak problem Dirichlet problemidir; yani fonksiyonun sınırda kendisinin verilmesi halidir. 2 2 (15. HARMONİK DENKLEM Harmonik denklemin sağ tarafının sıfır olması haline Laplace, sağ tarafının sıfır olmaması haline de Possion denklemi adı verilir. Possion ve Laplace denklemi, kısaca harmonik denklem

Detaylı

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN LİNEER CEBİR Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN 1.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER LİNEER EŞİTLİKLER 1.1. LİNEER EŞİTLİKLERİN TANIMI x 1, x 2,...,

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem 3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü 3.2.1. Primal Simpleks Yöntem Grafik çözüm yönteminde gördüğümüz gibi optimal çözüm noktası, her zaman uygun çözüm alanının bir köşe noktası ya da uç noktası

Detaylı

3. BÖLÜM MATRİSLER 1

3. BÖLÜM MATRİSLER 1 3. BÖLÜM MATRİSLER 1 2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v Matris A a a a a a a a a a 11 12

Detaylı

Ayrık Fourier Dönüşümü

Ayrık Fourier Dönüşümü Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I

EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I Prof. Dr. Selçuk YILDIRIM Siirt Üniversitesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Kaynak (Ders Kitabı): Fundamentals of Electric Circuits Charles K. Alexander Matthew N.O. Sadiku

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

Nazım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları ax 1 + bx 2 = α cx 1 + dx 2 =

Nazım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları ax 1 + bx 2 = α cx 1 + dx 2 = Naım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları 0.6. DOĞRUSL DENKLEM SİSTEMLERİ ax + bx = α cx + dx = gibi bir doğrusal denklem sistemini, x ve y bilinmeyenler olmak üere, çömeyi hepimi biliyoru. ma probleme

Detaylı

MATRİSLER. Şekil 1 =A6:B7+D6:E7

MATRİSLER. Şekil 1 =A6:B7+D6:E7 MATRİSLER Bir A matrisi mxn adet gerçel veya sanal elemanların sıralı koleksiyonudur. Bu koleksiyon m satır ve n sütun ile düzenlenir. A(mxn) notasyonu matrisin m satırlı n sütunlu olduğunu gösterir ve

Detaylı

.:: BÖLÜM I ::. MATRİS ve DETERMİNANT

.:: BÖLÜM I ::. MATRİS ve DETERMİNANT SAKARYA ÜNİVERSİTESİ İŞLETME FAKÜLTESİ İŞLETME BÖLÜMÜ.:: BÖLÜM I ::. MATRİS ve DETERMİNANT Halil İbrahim CEBECİ BÖLÜM I 1. Matris Cebirine Giriş MATRİS VE DETERMİNANT Sayıların, değişkenlerin veya parametrelerin

Detaylı

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi... İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...

Detaylı

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2) ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

36. Basit kuvvet metodu

36. Basit kuvvet metodu 36. Basit kuvvet metodu Basit kuvvet metodu hakkında çok kısa bilgi verilecektir. Basit kuvvet metodunda hiperstatik bilinmeyenlerinin hesaplanmasına, dolayısıyla buna ait denklem sisteminin kurulmasına

Detaylı

Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler

Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler 4.Konu Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler 1. Elementer matrisler 2. Ters matrisi bulmak 3. Denk matrisler 1.Elementer matrisler 1.Tanım: tipinde Tip I., Tip II. veya Tip III. te olan

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

6. Sistemin toplam potansiyeli, rijitlik matrisi ve kurulması

6. Sistemin toplam potansiyeli, rijitlik matrisi ve kurulması 6 Sistemin toplam potansiyeli, rijitlik matrisi ve kurulması 6 Sistemin noktalarında süreklilik koşulu : Her elemanın düğüm noktası aynı zamanda sistemin de düğüm noktası olduğundan, sistemin noktaları

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss

Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss Jordan Yöntemi ve Uygulaması Performans Ölçümü 2 Bu çalışmada,

Detaylı

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

DİFERANSİYEL DENKLEMLER-2

DİFERANSİYEL DENKLEMLER-2 DİFERANSİYEL DENKLEMLER- SINIR DEĞER ve ÖZDEĞER PROBLEMLERİ Bu bölümde adi diferansiyel denklemlerde sınır ve özdeğer problemleri ( n) ( n1) incelenecektir. F( y, y,..., y, x) 0 şeklinde verilen bir diferansiyel

Detaylı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

FONKSİYONLARIN TABLO ŞEKLİNDE HESAPLANMASI

FONKSİYONLARIN TABLO ŞEKLİNDE HESAPLANMASI FONKSİYONLARIN TABLO ŞEKLİNDE HESAPLANMASI Bu kısımda bir fonksiyon değerlerinin tablo şeklinde hesaplanması incelenecektir. İncelenecek fonksiyon y=f(x) şeklinde bir değişenli veya z=f(x,y) şeklinde iki

Detaylı

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

YAPI STATİĞİ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN

YAPI STATİĞİ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN YAPI STATİĞİ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN Yapı Sistemleri: İzostatik (Statikçe Belirli) Sistemler : Bir sistemin tüm kesit tesirlerini (iç kuvvetlerini) ve mesnet reaksiyonlarını

Detaylı

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi 6 7. DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ Diferensiyel denklemlerin sayısal integrasyonunda kullanılabilecek bir çok yöntem vardır. Tecrübeler dördüncü mertebe (Runge-Kutta) yönteminin hemen hemen

Detaylı

2.3. MATRİSLER Matris Tanımlama

2.3. MATRİSLER Matris Tanımlama 2.3. MATRİSLER 2.3.1. Matris Tanımlama Matrisler girilirken köşeli parantez kullanılarak ( [ ] ) ve aşağıdaki yollardan biri kullanılarak girilir: 1. Elemanları bir tam liste olarak girmek Buna göre matris

Detaylı

Açı Yöntemi. 1 ql 8. Açı yöntemi olarak adlandırılan denklemlerin oluşturulmasında aşağıda gösterilen işaret kabulü yapılmaktadır.

Açı Yöntemi. 1 ql 8. Açı yöntemi olarak adlandırılan denklemlerin oluşturulmasında aşağıda gösterilen işaret kabulü yapılmaktadır. çı Yöntemi Kuvvet ve -oment yöntemlerinde, ilave denklemleri zorlamaların sistem üzerinde oluşturduğu deformasyonların sistemde oluşturulan suni serbestliklerden dolayı oluşan deformasyonlardan ne kadar

Detaylı

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler

Detaylı

STATİK KUVVET ANALİZİ (2.HAFTA)

STATİK KUVVET ANALİZİ (2.HAFTA) STATİK KUVVET ANALİZİ (2.HAFTA) Mekanik sistemler üzerindeki kuvvetler denge halindeyse sistem hareket etmeyecektir. Sistemin denge hali için gerekli kuvvetlerin hesaplanması statik hesaplamalarla yapılır.

Detaylı

Bekleme Hattı Teorisi

Bekleme Hattı Teorisi Bekleme Hattı Teorisi Sürekli Parametreli Markov Zincirleri Tanım 1. * +, durum uzayı * +olan sürekli parametreli bir süreç olsun. Aşağıdaki özellik geçerli olduğunda bu sürece sürekli parametreli Markov

Detaylı

25. KARARLILIK KAPALI ÇEVRİM SİSTEMLERİNİN KARARLILIK İNCELENMESİ

25. KARARLILIK KAPALI ÇEVRİM SİSTEMLERİNİN KARARLILIK İNCELENMESİ 25. KARARLILIK KAPALI ÇEVRİM SİSTEMLERİNİN KARARLILIK İNCELENMESİ a-) Routh Hurwitz Kararlılık Ölçütü b-) Kök Yer Eğrileri Yöntemi c-) Nyquist Yöntemi d-) Bode Yöntemi 1 2 3 4 a) Routh Hurwitz Kararlılık

Detaylı

Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi

Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ekonometri 2 Ders Notları Sürüm 2,0 (Ekim 2011) Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike 3.0

Detaylı

11. Sunum: İki Kapılı Devreler. Kaynak: Temel Mühendislik Devre Analizi, J. David IRWIN-R. Mark NELMS, Nobel Akademik Yayıncılık

11. Sunum: İki Kapılı Devreler. Kaynak: Temel Mühendislik Devre Analizi, J. David IRWIN-R. Mark NELMS, Nobel Akademik Yayıncılık 11. Sunum: İki Kapılı Devreler Kaynak: Temel Mühendislik Devre Analizi, J. David IRWIN-R. Mark NELMS, Nobel Akademik Yayıncılık 1 Giriş İki kapılı devreler giriş akımları ve gerilimleri ve çıkış akımları

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (4. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (4. Hafta) KAFES SİSTEMLER STATİK (4. Hafta) Düz eksenden oluşan çubukların birbiriyle birleştirilmesiyle elde edilen sistemlere kafes sistemler denir. Çubukların birleştiği noktalara düğüm noktaları adı verilir.

Detaylı

Prof.Dr.İhsan HALİFEOĞLU

Prof.Dr.İhsan HALİFEOĞLU Prof.Dr.İhsan HALİFEOĞLU Örnek: Aşağıda 100 yetişkine ilişkin kolesterol değerlerini sınıflandırılarak aritmetik ortalamasını bulunuz (sınıf aralığını 20 alınız). 2 x A fb C 229.5 n 40 20 100 221.5 3 Örnek:.

Detaylı

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen

Detaylı

2. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

2. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 2. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 HATA Sayısal yöntemler analitik çözümlerden farklı olarak

Detaylı

İktisadi Analiz Ders Notu: Doğrusal Üretim Modelleri ve Sraffa Sistemi

İktisadi Analiz Ders Notu: Doğrusal Üretim Modelleri ve Sraffa Sistemi N. K. Ekinci Ekim 2015 İktisadi Analiz Ders Notu: Doğrusal Üretim Modelleri ve Sraffa Sistemi 1. Tek Sektörlü Ekonomide Gelir Dağılımı Tek mal (buğday) üreten bir ekonomi ele alalım. 1 birim buğday üretimi

Detaylı

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların

Detaylı

dir. Fonksiyonun (a,b) aralığında integrali ise, her aralıkta alınan integral değerlerini toplanarak, aşağıda verilen şekilde elde edilir.

dir. Fonksiyonun (a,b) aralığında integrali ise, her aralıkta alınan integral değerlerini toplanarak, aşağıda verilen şekilde elde edilir. SAYISAL İNTEGRASYON TEK KATLI İNTEGRASYON Sayısal integrasyon çok geniş bir konudur. Burada problemli olmayan (genelde integrantın tekilliği olmayan, fazla salınım yapmayan, yaklaşım problemi bulunmayan)

Detaylı

MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI

MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI DERS NOTLARI 1 Önceki derslerimizde pek çok geçişten sonra n-adım geçiş olasılıklarının

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

GENETEK. Güç Sistemlerinde Kısa Devre Analizi Eğitimi. Güç, Enerji, Elektrik Sistemleri Özel Eğitim ve Danışmanlık San. Tic. Ltd. Şti.

GENETEK. Güç Sistemlerinde Kısa Devre Analizi Eğitimi. Güç, Enerji, Elektrik Sistemleri Özel Eğitim ve Danışmanlık San. Tic. Ltd. Şti. GENETEK Güç, Enerji, Elektrik Sistemleri Özel Eğitim ve Danışmanlık San. Tic. Ltd. Şti. Güç Sistemlerinde Kısa Devre Analizi Eğitimi Yeniköy Merkez Mh. KOÜ Teknopark No:83 C-13, 41275, Başiskele/KOCAELİ

Detaylı

Tanım 2.1. Bir kare matrisin determinantı, o matrisi bir sayıya eşleyen fonksiyondur.

Tanım 2.1. Bir kare matrisin determinantı, o matrisi bir sayıya eşleyen fonksiyondur. Bölüm 2 Determinantlar Tanım 2.1. Bir kare matrisin determinantı, o matrisi bir sayıya eşleyen fonksiyondur. Söz konusu fonksiyonun değerine o matrisin determinantı denilir. A bir kare matris ise, determinantı

Detaylı

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim : (264) Sayısal Analiz. Giriş.

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim :  (264) Sayısal Analiz. Giriş. Okut. Yüksel YURTAY İletişim : Sayısal Analiz yyurtay@sakarya.edu.tr www.cs.sakarya.edu.tr/yyurtay (264) 295 58 99 Giriş 1 Amaç : Mühendislik problemlerinin bilgisayar ortamında çözümünü mümkün kılacak

Detaylı

BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI

BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI tasarım BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI Nihat GEMALMAYAN, Hüseyin ĐNCEÇAM Gazi Üniversitesi, Makina Mühendisliği Bölümü GĐRĐŞ Đlk bisikletlerde fren sistemi

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

Algoritma ve Akış Diyagramları

Algoritma ve Akış Diyagramları Algoritma ve Akış Diyagramları Bir problemin çözümüne ulaşabilmek için izlenecek ardışık mantık ve işlem dizisine ALGORİTMA, algoritmanın çizimsel gösterimine ise AKIŞ DİYAGRAMI adı verilir 1 Akış diyagramları

Detaylı

SİMPLEKS ALGORİTMASI Yapay değişken kullanımı

SİMPLEKS ALGORİTMASI Yapay değişken kullanımı Fen Bilimleri Enstitüsü Endüstri Mühendisliği Anabilim Dalı ENM53 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler SİMPLEKS ALGORİTMASI Yapay değişken kullanımı Hazırlayan: Doç. Dr. Nil ARAS, 6 AÇIKLAMA Bu sununun

Detaylı

Makine Mühendisliği İçin Elektrik-Elektronik Bilgisi. Ders Notu-3 Doğru Akım Devreleri Hazırlayan: Yrd. Doç. Dr. Ahmet DUMLU

Makine Mühendisliği İçin Elektrik-Elektronik Bilgisi. Ders Notu-3 Doğru Akım Devreleri Hazırlayan: Yrd. Doç. Dr. Ahmet DUMLU Makine Mühendisliği İçin Elektrik-Elektronik Bilgisi Ders Notu-3 Doğru Akım Devreleri Hazırlayan: Yrd. Doç. Dr. Ahmet DUMLU ELEKTROMOTOR KUVVETİ Kapalı bir devrede sabit bir akımın oluşturulabilmesi için

Detaylı

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların

Detaylı

Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi

Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Bölüm 1 Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi 1.1 Dizeylere İlişkin Temel Kavramlar 1.1.1 Tanımlar Dizey cebiri kullanmaksızın k değişkenli bir bağlanım modeliyle uğraşmak son derece karmaşık bir iştir. Burada,

Detaylı

MATRİSEL ÇÖZÜM TABLOLARIYLA DUYARLILIK ANALİZİ

MATRİSEL ÇÖZÜM TABLOLARIYLA DUYARLILIK ANALİZİ SİMPLEKS TABLONUN YORUMU MATRİSEL ÇÖZÜM TABLOLARIYLA DUYARLILIK ANALİZİ Şu ana kadar verilen bir DP probleminin çözümünü ve çözüm şartlarını inceledik. Eğer orijinal modelin parametrelerinde bazı değişiklikler

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde

Detaylı

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTIRMA MODELİNİN TANIMI Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELEKTRONİK DEVRELER LABORATUARI

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELEKTRONİK DEVRELER LABORATUARI SAKARYA ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELEKTRONİK DEVRELER LABORATUARI DENEYİ YAPTIRAN: DENEYİN ADI: DENEY NO: DENEYİ YAPANIN ADI ve SOYADI: SINIFI: OKUL NO: DENEY GRUP NO:

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

Matrisler ve matris işlemleri

Matrisler ve matris işlemleri 2.Konu Matrisler ve matris işlemleri Kaynaklar: 1.Uygulamalı lineer cebir. 7.baskıdan çeviri.bernhard Kollman, David R.Hill/çev.Ed. Ömer Akın, Palma Yayıncılık, 2002 2.Lineer Cebir. Feyzi Başar.Surat Universite

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı