YENÝ SINAV SÝSTEMÝNE ve YENÝ LÝSE PROGRAMINA UYGUNDUR. Muharrem DUÞ

Transkript

1 YNÝ SINV SÝSTMÝN ve YNÝ LÝS PROGRMIN UYGUNUR Muharrem UÞ

2 SRÝ : MPS opyright Karekök ðitim asým Yayým Tur.Ltd. Þti. Sertifika No: 098 ISN: u kitabýn ve sistemin her hakký saklýdýr. Tüm haklarý Karekök ðitim asým Yayým Þirketine aittir. Kýsmen de olsa alýntý yapýlamaz. Metin, biçim ve sorular yayýmlayan þirketin izni olmaksýzýn elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayýt sistemiyle çoðaltýlamaz, yayýmlanamaz. izgi Karekök Özel aský NSÝL MTILIK Sertifika No: 606 Yakuplu / ÝSTNUL (0) Genel aðýtým Karekök Özel Misbah Muhayyeþ Sokak No: Kadýköy / ÝSTNUL Tel : (06) Yirminci asým, Temmuz 0

3 ÖN SÖZ u çalýþmada amacým; lise düzeyindeki matematik konularýný, temelden baþlayarak adým adým öðretmek ve üniversite giriþ sýnavýna hazýrlanan öðrencilerin etkin alýþtýrma yapmasýný saðlamaktýr. unu baþarmak için, alýþýlagelmiþin dýþýnda bir tarz kullandým. u yeni yaklaþýma MOÜLR PÝRMÝT SÝSTMÝ adýný uygun gördüm. Modüler Piramit Sistemi yle lise düzeyindeki tüm matematik konularý, taþlarla bir piramit oluþturuluyormuþ gibi anlatýlacaktýr. Sistem, konu ve amaçlarýn baðýmsýz öðrenilebilmesine olanak saðladýðýndan, MOÜLR sözcüðü bu yaklaþýmýn adýnda yer almýþtýr. ir serinin üçüncü kitabý olan bu çalýþmayla sistemi yakýndan tanýyacaksýnýz. u kitap hazýrlanýrken lise müfredatý dikkatle incelenmiþ, sýnýrlarý belirlenmiþtir. Üniversiteye giriþ sýnavý sorularý; konu daðýlýmý, soru tipi ve seviyesi, öðrenciden istenen yaklaþým tarzlarý göz önüne alýnarak analiz edilmiþtir. u tespit ve analizden sonra deðiþik kaynaklarýn desteði ve uzman öðreticinin düþünce ve yaklaþýmlarýnýn somut bir sistem haline getirilmesiyle bu kitap oluþturulmuþtur. Öðretmen ve öðrencilerimizden gelen yoðun istek sonucu MOÜLR PÝRMÝT SÝSTMÝ yle yeni bir kitap serisi oluþturduk. izik, kimya, coðrafya ve Türkçe gibi farklý branþlara da uyarladýðýmýz kitaplarla sizleri buluþturmaya devam edeceðiz. u kitabýn yazýmýnda desteðini gördüðüm Saadet Çakýr, bru kþi, Hüseyin uðdayoðlu, Levent rgene, Iþýl Çimen, Murat Kalelioðlu, Ömer Pamuk, Ýzzettin Gülþen'e; sevgili öðrencilerim li Kerim Çatalkaya, gemen Öner, hmet Karalar, li Tunç Tuncel, Iþýl Necef, lican Karalar ve tüm öðrencilerime; dizgisinde titiz çalýþmalarýndan dolayý Ýbrahim them Kaya ve Yalçýn emirpolat a teþekkür ediyorum. eðerli öðretmenlerimize ve sevgili öðrencilerimize yararlý olmasý dileðiyle... Muharrem UÞ

4 ÝÇÝNKÝLR Modüler Piramit Sistemi Çarpanlara yýrma Özdeþlikler Polinomlar Ýkinci ereceden enklemler Üçüncü ereceden enklemler Parabol þitsizlikler Trigonometri Trigonometri Trigonometri Trigonometri Karma Testler evap nahtarlarý... 8

5 MOÜLR PÝRMÝT SÝSTMÝ Modüler Piramit Sistemi nde pratik yöntem ile teorik yöntem örtüþmüþtür. Genellikle uygulamaya geçirilemeyen ve ihmal edilen amaç ve davranýþlar sorular ile ifade edilmiþtir. u baðlamda Modüler Piramit Sistemi nde her KÖÞTÞI bir davranýþýn soru biçiminde yazýlmasýdýr. Köþetaþý, bir piramitin köþesindeki taþ gibi düþünülmüþtür. u taþ belirlenmiþ olan yere konulduktan sonra ayný sýraya ait taþlar kolayca yerleþtirilebilecektir. Köþetaþý, ÇIKLMLI ÇÖZÜM ile anlatýldýktan sonra verilen 6 alýþtýrma sorusu kolayca çözülebilecektir. Köþetaþlarýna karþýlýk gelen MÇLR, konunun baþýnda verilmiþtir. öylece konuya ait içindekiler bölümü de oluþturuldu. Kitabýn sayfalarý düzenli biçimde kullanýldý. Her sayfaya bir köþetaþý, ü ve 6 alýþtýrma sorusu yazýldý. KÖÞTÞLRI numaralandýrýlarak sayfanýn baþýna yerleþtirilmiþtir. Köþetaþlarý uzman öðreticinin düþünce ve yaklaþýmlarýnýn noktasal somutlaþtýrýlmasýdýr. ikkatle incelendiðinde köþetaþlarýnýn arasýndaki eytiþim fark edilecektir. Köþetaþlarý arasýndaki bað, temelden yukarýya, kolaydan zora doðru seviyelendirilerek kurulup, gönderimlerle güçlendirildi. Köþetaþlarýnýn baðýmsýz öðrenilebilmesi için çözümler açýklamalý yapýldý. ÇIKLMLI ÇÖZÜM bölümünde öðrenciden istenen tepki köþetaþýnýn hemen ardýndan verilmektedir. Sezgiye dayalý öðrenmeye destek olmasý amacýyla çözümü destekleyici ispat, teorem ve alternatif çözümler de bu bölümde verilmektedir. ir konunun bu bölümlerinde anlatýlanlarýn toplamý, herhangi bir konu anlatýmlý kitabýn açýklamalarý toplamýndan fazladýr. u da ezberci bir yaklaþýma uzak durulmak istenmesindendir.

6 LIÞTIRM SORULRI bölümünden sonra verildi. u sorularla köþetaþýnýn öðrencide oluþturduðu edimsel koþullanmayý pekiþtirmek amaçlandý. TRM TSTÝ, her konunun sonunda köþetaþlarý ile birebir iliþkili olarak verildi. ir konudaki köþetaþý sayýsý ile tarama testinin soru sayýsý birbirine eþittir. Tarama testindeki n. soru, konunun n. köþetaþýnýn benzeridir. u testte olumsuz tepki alýnan sorunun numarasýndan, besleme yapýlmasý (tekrar edilmesi) gereken köþetaþý anlaþýlacaktýr. elirli bir seviyeye ulaþmýþ öðrencilerle yapýlan çalýþmalarda, önce tarama testi uygulanarak zaman kazanýlabilir. u uygulama sonucunda, çözülemeyen sorular hemen köþetaþlarýndan çalýþýlarak öðrenilebilir. KONU TSTLRÝ, selesinden tutularak yol aldýrýlan acemi bisiklet sürücüsünün selesinin býrakýldýðý testlerdir. Herhangi bir soru kitabýnda bulunabilecek sorular içermektedir. ÖSYS SORULRI, öðrencinin hedefi olan bu sorularý görmesini saðlayan testtir. u sorular öðrenci tarafýndan tekrar tekrar çözülebilir. maçlar Köþetaþý çýklamalý Çözüm Tarama Testi lýþtýrma Sorularý Konu Testi Konu Testi ÖSYS Sorularý 6

7 bölüm numarasý.7. bölümün 7. köþetaþý Tarama testinin 7. sorusu ile 7. köþetaþý benzerdir. Tarama testindeki 7. soru çözülemediðinde 7. köþetaþýna dönülür. bölümün (konunun) adý Her KÖÞTÞI bir davranýþýn soru biçiminde yazýlmasýdýr. Köþetaþlarý oluþturulurken lise müfredatý dikkatle incelenmiþ, sýnýrlarý belirlenmiþtir. Üniversiteye giriþ sýnavý sorularý; konu daðýlýmý, soru tipi ve seviyesi, öðrenciden istenen yaklaþým tarzlarý göz önüne alýnarak analiz edilmiþtir. Köþetaþlarýný özümseyerek çözen bir öðrencinin sýnavda çýkmýþ ve çýkabilecek sorularý çözebileceði kanaatindeyiz. Köþetaþlarý uzman öðreticinin düþünce ve yaklaþýmlarýnýn somut bir dizin haline getirilmesidir. ÇIKLMLI ÇÖZÜM kýsmýnda öðrenciden istenen tepki köþetaþýnýn hemen ardýndan verilmektedir. Sezgiye dayalý öðrenmeye destek olmasý amacýyla çözümü destekleyici ispat, teorem ve alternatif çözümler de bu bölümde verilmektedir. ir bölümün (konunun) bu kýsýmlarýnda anlatýlanlarýn toplamý, herhangi bir konu anlatýmlý kitabýn açýklamalarý toplamýndan fazladýr. u da ezberci bir yaklaþýma uzak durulmak istenmesindendir. RTIK! ÇÖZMK ÝSTÝM, M ÇÖZMÝM KÝ! deyip test çözmeyi býrakmak yok!! karekök u kýsýmdaki sorular köþetaþýnýn benzerleridir. çýklamalý çözüm kýsmýnda da hem anlatým hem de çözüm yapýldýðýndan YUKRI K veee SORUYU ÇÖZ!! 7 cevap anahtarý

8 TRM TSTÝ KONU TSTÝ ir konudaki köþetaþlarýnýn sayýsý kadar soru içerir. Her köþetaþýndan sýrasýyla birer soru vardýr. Tarama testindeki n. soru, konunun n. köþetaþýnýn benzeridir. u testte olumsuz tepki alýnan sorunun numarasýndan, besleme yapýlmasý (tekrar edilmesi) gereken köþetaþý anlaþýlacaktýr. elirli bir seviyeye ulaþmýþ öðrencilerle yapýlan çalýþmalarda, önce tarama testi uygulanarak zaman kazanýlabilir. u uygulama sonucunda, çözülemeyen sorular hemen köþetaþlarýndan çalýþýlarak öðrenilebilir. ershanelerde verilen yaprak testlerin benzeridir.moülr PÝRMÝT SÝST- MÝ nde uzun bir çalýþmadan sonra bu testler verilir. Selesinden tutularak yol aldýrýlan acemi bisiklet binicisinin selesinin býrakýldýðý testlerdir. Herhangi bir soru kitabýnda bulunabilecek sorular içermektedir. ÖSYS SORULRI Öðrencinin, hedefi olan ÖSYS sorularýný görmesini saðlayan testtir. u sorular öðrenci tarafýndan tekrar tekrar çözülebilir.

9 Ö L Ü M 9 Çarpanlara yýrma KÖÞTÞI MÇLR. Ortak çarpan parantezine alma. ir terimin tamamý parantez dýþýna alýnýrken yerine yazabilme. Gruplandýrýlmýþ ifadeleri ortak çarpan parantezine alma. ( ) ve (+) parantezine alma. Gruplandýrarak çarpanlara ayýrma 6. Gruplandýrarak çarpanlara ayýrma ve sadeleþtirme yapma 7. Verilen ifadede çarpmanýn toplama ve çýkarma üzerine daðýlma özelliðini kullanma ve yeniden gruplandýrma 8. aþkatsayýsý olan ikinci dereceden üç terimlinin çarpanlarýna ayrýlmasý 9. aþkatsayýsý e eþit olmayan ikinci dereceden üç terimlinin çarpanlarýna ayrýlmasý 0. Karýþýk biçimde verilen ikinci dereceden üç terimlinin çarpanlarýna ayrýlmasý. Ýkinci dereceden üç terimlinin çarpanlarýnýn deðerini bulma ve iki bilinmeyenli denklem çözümü yaparak bilinmeyenleri bulma. Karýþýk yapýdaki ikinci dereceden üç terimliyi çarpanlara ayýrma ve gruplandýrýlabileceðini farketme. Sadeleþebildiði bilinen ifadelerde istenen deðeri bulma. Ýkinci dereceden üç terimliye dönüþebilen ifadeleri çarpanlara ayýrma. Verilen ifadeyi ikinci dereceden üç terimliye dönüþebilir duruma getirme ve ikinci dereceden üç terimliye dönüþtürme 6. Verilen ifadenin içindeki ikinci dereceden üç terimliyi fark etme ve grup yaparak çarpanlara ayýrma 7. a + by + cy + d + ey + f biçimindeki bir ifade için özel bir yöntem 8. Çoktan seçmeli sadeleþtirme sorularýnda deðer verme yöntemini kullanabilme 9. Çoktan seçmeli çarpanlara ayýrma sorularýnda deðer verme yöntemini kullanabilme 0. Harfli ifadelerde O ve OKK bulma

10 9. çarpanlara ayýrma ab a b a b ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi nedir? a.( + y) biçimindeki çarpma iþlemini yapmak için çarpmanýn toplama üzerine daðýlma özelliði kullanýlýr. una göre, a.( + y) = a + ay dir. Yapýlan bu daðýlma iþlemlerinin tersini yapmaya ORTK ÇRPN PRNTZÝN LM denir. a + ay = a( + y) Örneðin; y + y y = y ( + y y) a a = a ( a) y y = y ( y) a b b a ab a b Þimdi köþetaþýnýn çözümünü yapabiliriz. ab a b a b ab b a b a b g H ab I K emek ki ifadenin sadeleþtirilmiþ biçimi ab dir.. yy y ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) y ) y ) y ) y. a a ab b ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) a ) a b ) ) ab a. a aa a a ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) ) a ) a + ). y y y y y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) y ) y ). n n m m n m ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? m m m ) ) ) ) ) m m m m n 6. 8 ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 7 0

11 9. çarpanlara ayýrma 9 y + 6y y ifadesinin çarpanlarýna ayrýlmýþ biçimi nedir?. de anlatýldýðý gibi çözülecek olan bu köþetaþýnda önemli nokta vardýr. unlardan birincisi: 9 =. ve 6 =. gibi sayýlarýn çarpanlarýna ayrýlmasýdýr. Ýkincisi : a( + y ) = a + ay a iþleminin tersi yapýlýrken, yani a + ay a ifadesi ortak çarpan parantezine alýnýrken son terim olan a nýn öðrenci tarafýndan yutulmasýdýr. a + ay a = a ( + y ) dir, sondaki unutulmamalýdýr. Soruda : 9 y + 6y y =. y +.y y = y ( + y ). a a a a ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) ) a ) a ) a. HG I KJ HG a a a a a a a I KJ ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? a a a ) ) ) ) ) a a a a a. y ay + y ifadesinin a + ifadesine oraný aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) a ) ) y. m m n n m m ifadesinin en sade biçimi nedir? ) m n ) m n ) m n ) m n ) n m. y ( + ) y ( + ) + y ( + ) ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisi deðildir? ) ) ) y ) + ) 6. y olduðuna göre, ( y) ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 6 ) ) 6 ) 8 ) 0

12 b g e j 9. ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi nedir? çarpanlara ayýrma b g e j bgb g b g b g ac + bc = c (a + b) ( - ) + ( - ) = ( - ) ( + ). c h e j ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) + ) ) + ) +. e j c h ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) + ) + ) +.. c h c h 7 ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) + 7 ) 7 + ) 7 + ) + 7 ) c0h e j ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) + ) ) + ) + ). 6. e j c h c h c h ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) + ) ) + e j e j 7 olduðuna göre, kaçtýr? ) ) ) ) )

13 b g y y byg by g + y z ifadesi, artý parantezine alýnarak ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi nedir? + ( + y z) biçiminde ya da eksi parantezine alýnarak ( y + z) biçiminde yazýlabilir. undan dolayý b y g n R S T b y, nçiftise b g n g n y, ntekise 9. b g y y b yg b y g b y g b y g y y y y b yg b yg b y gb y g y y y y y b g b g b g b g b gb g çarpanlara ayýrma. c h y y y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) y + ) y ) y. (a b) (b a) ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a + b ) a + b + ) a b ) a + b ) a b.. y y ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) y + ) + c y ) ) h c y y y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? h. iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. ( ) ( ) ( ) ( + ) + ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) y ) + y ) + y ) ) + ) + ) ) +

14 a + by + ay + b ifadesinin çarpanlara ayrýlmýþ biçimi nedir? 9. çarpanlara ayýrma Soruda verilen ifadede terim var, ancak terimlerin hepsinde varolan bir deðiþken yok. u durumda ifade gruba ayrýlabilir. a deðiþkeninin bulunduðu terimler (a + ay) birinci grup, b deðiþkeninin bulunduðu terimler (b + by) ikinci grup olabilir. una göre, a + by + ay + b = (a + ay) + (b + by) = a( + y) + b( + y) = ( + y) (a + b) u þekilde çarpanlara ayýrmaya GRUPLNIRM yöntemi denir.. a + a ab b ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a + b ) a + b ) a b ) a + ) a +. a (a + b) = 6 b (a + b) = 9 olduðuna göre, a + b toplamýnýn pozitif deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. ab b a + b ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a b ) a b ) a + ) b ) a. a = y + b = olduðuna göre, ay + ab y b ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 8 ) 0 ) ) 8 ) ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? 6. ade bde + af + bg ag bf ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a b ) f + g ) de + f ) ) ) + ) ab + f ) a + d + e ) ) +

15 ab b a ab a b 9.6 ifadesinin en sade biçimi nedir? çarpanlara ayýrma ab b a ab a b e ab b j e a abj a b bba bga ba bg ba bgbb a g a b a b Hatýrlatma : b a. a a ab b a b ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir?. y ) a ) a + ) a + b ) a ) a + b olduðuna göre, ifadesinin ve y türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) y + y ) y + ) + y ) y + ) y +.. a b a b 7 a b olduðuna göre, kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 8 y y 6 y y y 6 y iþleminin sonucu kaçtýr? ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ) 6 0 olduðuna göre, kaçtýr? ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

16 e j e j a a a olduðuna göre, in a türünden eþiti nedir? çarpanlara ayýrma u soruda dikkat edilecek nokta kesrin payýdýr. Önce daðýtýlýr, sonra gruplandýrýlýr. a ( _ ) - (a _ ) = a _ a _ a + = (a a ) + ( a + ) = a ( a) + ( a) = ( a) (a + ) Yerine yazýlýrsa: b agba g 0 a 0 a a. b (a ) (b a) ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a b ) a b ) a + b ) a ) b. a + b y b (a + y) ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a b ) b ) a ) a + ) ab. b(8 + a) (a + 6b ) ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) b ) + a ) a b ) ) a b. y (a + b ) + ab ( + y ) ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a + by ) a + b ) + y ) a + y ) a + b. e j e j y a b ab y ay b ifadesinin sadeleþtirilmiþ þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ab y ) ay + b ) a b ) a by ) y 6 6. c ab a b h a ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ab ) a + b ) b ) b + ) a + b

17 9.8 çarpanlara ayýrma Ýkinci dereceden üç terimli olan 7 + ifadesinin çarpanlarýný bulunuz. ( + a) ( + b) = + b + a + ab = + (a + b) + ab elde edilen II. dereceden üç terimlinin çarpanlarýnýn ( + a) ve ( + b) olduðu açýktýr. una göre; ifadesi de benzer þekilde çarpanlara ayrýlabilir. Çarpýmlarý, toplamlarý 0 (çünkü orta terim yok) olan sayýlar ve olduðundan = ( ) ( + ) _ 7 + toplamlarý çarpýmlarý ifadesinde çarpýmlarý, toplamlarý 7 olan iki sayý bulunur. u sayýlar ve tür. u yüzden ve bu ifadenin çarpanlarýdýr. kz. (.0). 6 ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ). 6 olduðuna göre, kaçtýr? ) ) ) ) ). 6 ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ). 6 ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ). :c h 0 ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ) ifadesinin en sade biçimi nedir? ) ) ) ) + ) 7

18 9.9 çarpanlara ayýrma Ýkinci dereceden üç terimli olan 6 0 ifadesinin çarpanlarýný bulunuz. (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd = ac + (ad + bc) + bd una göre, aþaðýdaki gibi bir yöntem geliþtirilebilir. çarpýmlarý U Vçarpýmlarý 0 oklar yönünde çarpma yapýlýrsa bu çarpýmlarýn toplamý = olur ki bu da ortadaki terimi veriyor. u durumda 6 0 = ( + ) ( ) tir. (kz. (.)) R S T W ifadesinden çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) + ) ) ) + ) 7 6 ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) + ) ) = 0 denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? RS T RS T U V W U V W ) 7 ) 6, ) ), ) R S T,. (6 ) ( 9) 6 7 ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisi deðildir? UV W RS T RS T, 6 6 7, U V W U V W. : 7 ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) 6. ) ) + 8 ) ) ) ) + ) ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) +

19 y y y : y 9.0 ifadesinin en sade biçimi nedir? çarpanlara ayýrma y y y : y bygb yg y y b g + y y y +y y + 6y = y. 6 + y 6y ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) y ) + y ) y ) + y. (a ) + (a ) ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) a ) a + ) a + ) a +. a ab b a b ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir?. 6 ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? HG I KJ ) a + b ) a + b ) a b ) ) ) ) a b ) a + b ) + ). (a ) (a ) (b ) + (b ) ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a + b ) a b + ) a b + ) a + b + ) a b + (Ýpucu : a =, b = y olsun) 6. (a + ) (a + ) (b ) (b ) ifadesinin çarpanlarýna ayrýlmýþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) (a b + ) (a + b + ) ) (a + b) (a + b ) ) (a + b ) (a b + ) ) (a b) (a b + ) ) (a + b + ) (a + b ) 9

20 9. çarpanlara ayýrma y + y = y = olduðuna göre, + y ifadesinin deðeri kaçtýr? y + y = + y y = ( + y) ( y) = ( y = olduðundan) + y = y y U V W denklem sisteminin çözümü yapýlýrsa (kz. (.)) = ve y = bulunur. + y = 9. y y = y = olduðuna göre, y farký kaçtýr? ) ) ) ) ). y = 7 + y = olduðuna göre, y 0y ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 8 ) 6 ) 6 ) 6. y y = 0 y = 7 olduðuna göre, + y toplamý kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). + 7y + 6y = 77 + y = olduðuna göre, y çarpýmý kaçtýr? ) ) 6 ) ) ) 8 0. = + y y = olduðuna göre, y nin deðeri aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) ) ) ) ) 6. y = y = olduðuna göre, + y ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 6 ) 8 ) 0 )

21 b a a a g 9. ifadesinin en sade biçimi nedir? çarpanlara ayýrma Yukarýdaki ifadenin payý çarpanlarýna (.9) da anlatýldýðý gibi ayrýlýr. a + (a ) + a + a = (a ) olduðundan O.K a ba g b gba g a a U SORU (.7) KÝ GÝÝ ÇÖZÜLÝLÝR: a + (a ) = a + a = (a + a) + ( ) = a( + ) ( + ) = ( + ) (a ) Ýfadede yerine yazýlýrsa; c hc h a a. c y y 6 y ifadesinin en sade biçimi nedir? h. c ab a b h b ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) + y ) ) a ) a + ) b ) + ) y ) b + ) a + b. ab + (a b) ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) a ) b ) b + ) a + b. c h a ab b 7 b olduðuna göre, a çarpýmýnýn deðeri kaçtýr? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9. c akb a k b kb h ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ab ) ab ) ab + ) ab k ) ab + 6. c a b ab h 7 6 ifadesinin en sade þekli olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr? ) 6 ) 8 ) 9 ) 0 )

22 b 7 m m g 9. ifadesi sadeleþebildiðine göre, m kaçtýr? çarpanlara ayýrma u soruyu (.0) da anlatýldýðý gibi çözmek mümkün, ancak sýkýntýlýdýr. Yeni bir bakýþ açýsý bulacaðýz. u ifade sadeleþebilir olduðuna göre, payýn çarpanlarýndan biri paydadaki tür. undan dolayý ifadesini sýfýr yapan deðeri + (7 m) m ifadesini de sýfýr yapar. = 0 = ÝRZ ÐÝÞÝKLÝK KTLIM! m n ifadesinin en sade þekli na göre, m + n toplamý kaçtýr? nin + + m ifadesinin olduðu + in + n + ifadesinin çarpaný olduðu açýk týr. = için + (7 m) m = 0 = 0 = için + + m = (7 m) m = 0 m = m = m = 6 + = 0 = için n + = 0 u yüzden m + n = dir. n =. m ifadesi sadeleþebildiðine göre, m kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). 7 m 6 ifadesi sadeleþebildiðine göre, m nin alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr? ) ) 6 ) 8 ) 0 ). m m ifadesi sadeleþebildiðine göre, m kaçtýr? ) ) ) ) ). n 8 p ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi n + p toplamý kaçtýr? olduðuna göre, ) 6 ) ) ) 8 ). c m m h ifadesi sadeleþebildiðine göre, m nin alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr? 6. m n n ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi m.n çarpýmý kaçtýr? olduðuna göre, ) ) ) ) ) 6 ) ) ) ) 0 )

23 9. çarpanlara ayýrma þaðýdakilerden hangisi ( ) 8( ) + ifadesinin bir çarpaný deðildir? ) ) + ) ) + ). dereceden olan bu ifade. dereceden bir ifadeye dönüþtürülebilir. = t olsun t 8t + = (t ) (t 6) = ( ) ( 6) = ( ) ( + ) ( ) ( + ) Görüldüðü gibi bu ifadenin bir çarpaný deðildir.. 6 denkleminin kökler toplamý kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). (a + a) (a + a) + ifadesinin bir çarpaný aþaðýdakilerden hangisi deðildir? ) a ) a ) a + ) a + ) a +. 6 ifadesinin en sade biçimi nedir? ) ) ) ) ) 6. HG 6 I KJ HG 6 I KJ 0 denkleminin köklerinin toplamý kaçtýr? ) 6 ) ) ) 0 ).. + = 0 denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) {0, } ) {, } ) {0, } ) {, } ) {0, } ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) + ) + ) ) + 9

24 9. çarpanlara ayýrma þaðýdakilerden hangisi ( ) ifadesinin çarpanlarýndan biri deðildir? ) ) + ) ) ) + Ýkinci dereceden üç terimliye dönüþtürülebilen bir ifadedir. u tip sorularda karesi olan ifadesi kendisinin sað tarafýndaki terimlerden elde edilmeye çalýþýlýr. ( ) + ( + 6) 8 = ( ) ( ) 8 = t olsun t t 8 = (t ) (t + ) t yerine yazýlýrsa ( ) ( + ) = ( ) ( + ) ( ) ( ) una göre, + bu ifadenin çarpaný deðildir.. ( ) + + ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisi deðildir? ) ) + ) + ) ). ( ) 7 ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisi deðildir? ) ) ) ) + ) +. ( ) ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisi deðildir? ) + ) + ) ) ). ( + ) 7 + ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisi deðildir? ) ) ) + ) + ). ( + ) ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisi deðildir? ) ) ) ) + ) + 6. ( + ) 7. + ifadesinin çarpanlarýndan biri deðildir? ) ) ) + ) + ) +

25 a ab a b ab 9.6 ifadesinin en sade biçimi nedir? çarpanlara ayýrma Paydaki II. dereceden üç terimliyi farkedip gruplandýrmak gerekiyor. a ab + a + b = (a + a ) + ( ab + b) = (a + ) (a ) b (a ) = (a ) (a + b) Yerine yazýlýrsa: a ab a b ab bagbab g a ab. a ab a b 6 a ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) a + b ) a b + ) a + b ) a b +. : y 9 y 9 y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) ) a b. y + y + ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) y + ) y +. y y 9 + 8y 6 ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) y ) y + ) y +. ) + y ) + ) a ab a b a : a ab a a a ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) a + ) a ) a + ) ) + 6. y + y + y ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) y + ) + y ) + y +

26 y + y + + 7y ifadesini çarpanlarýna ayýrýnýz. 9.7 çarpanlara ayýrma II. dereceden bu ifadenin çarpanlara ayrýlmasý için aþaðýdaki gibi kolay ve özel bir yöntem vardýr. y + y + + 7y + y y + Önce +, sonra y + 7y +y + y + = 6y + y = 7y çarpanlarýna ayrýlýr. Sabit terim nin çarpanlarý olan ve + nin yöntem uygulanýrken yer deðiþtirmediðine dikkat edilmeli. y + y + + 7y = ( + y ) ( y + ). y + y ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) y + ) + y + ) y ) y + ) + y +. y y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) y + ) + y ) + y ) y + ) + y. y y + + y 6 ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) y + ) y + ) y + ) y +. y y + + 7y 6 ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) y + ) + y ) y + ) y + ) y y y y y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) y + ) y + ) + y ) + y ) y + a b ab b ab olduðuna göre, a + b toplamýnýn deðeri kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 7

27 y y y y y 9.8 ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) + ) ) y u köþetaþýnda, çoktan seçmeli SLÞTÝRM sorularýnda kullanýlabilecek deðer verme yöntemi anlatýlacaktýr. Çarpanlara ayýrma yöntemlerini bilmeyen öðrenci bu yöntem ile sonuca ulaþabilir. Verilen ifadedeki deðiþkenlere rastgele birer deðer verilir. Örneðin bu soru için = 0 ve y = olsun. u deðerleri, verilen ifadede ve seçeneklerde yerine koyalým: y y y y y çarpanlara ayýrma ) = 0 ) = ) + = ) = ) y = ifadenin deðeri seçeneðinde çýktýðýndan cevap seçeneðindeki ifadedir. ðer, seçeneklerden ikisi ya da daha fazlasý ifadenin deðerine eþit çýksaydý, deðiþkenlere verilen deðerler deðiþtirilip bunlar arasýnda da eleme yapýlýrdý.. y y y y ifadesinin sadeleþtirilmiþ þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) y ) + y. : ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) + ) ) ) y +.. y y ifadesinin sadeleþtirilmiþ þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) ) ) + ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) + ) ) : 6 ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) + ) y y : y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) + ) +

28 9.9 çarpanlara ayýrma þaðýdakilerden hangisi y + y + y + ifadesinin çarpanlarýndan biridir? ) y ) + y ) y + ) y + ) + ir önceki köþetaþýnda anlatýlan yöntem çarpanlarýn istendiði sorularda da uygulanabilir. eðiþkenlere rastgele deðer verilir. u deðerler ifadede ve seçeneklerde yazýlýr. Ýfadede çýkan sayýnýn çarpaný (böleni) seçeneklerde mutlaka çýkacaktýr. oðru cevap bu seçenektir. ncak iki ya da daha çok seçenekte bölen çýktýðýnda deðiþkenlere verilen deðerler deðiþtirilerek bu seçenekler arasýnda eleme yapýlýr. = ve y = için sorudaki ifadenin deðeri = 9 olur. ) ) 6 ) ) 8 ) Seçeneklerde sadece deki, ifadenin deðeri olan 9 un böleni olduðundan cevap dir.. y + + y ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) + ) ) ) y + ) + y. + y + y ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) y + ) + y + ) y + ) + y ) ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) + ) ) + ) +. e ef e + 9f ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) e ) e + ) e + f. a ay + b by ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) e f ) + f 6. abe + cde + abf + cdf ge gf ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a b ) a + ) a + b ) + y ) y 8 ) e f ) e + f ) a + b ) b + d g ) ab + cd

29 9.0 çarpanlara ayýrma = a =a a = a + 8a + 6 ifadelerinin OKK i ve O i nedir? Polinomlarýn O ve OKK i, sayýlarýn O ve OKK i gibi bulunur. Önce çarpanlarýna ayrýlýr. Ortak çarpanlarýn küçük üslüleri O i verir. Ortak çarpanlarýn büyük üslüleri ile ortak olmayan çarpanlar da OKK i verir. =a = (a ) = (a ) (a + ) =a a = (a + ) (a ) = a + 8a + 6 = (a + a + ) = (a + ) (a + ) O(,, ) = (a + ) OKK(,, ) = (a ) (a + ) (a ) (a + ). a = +, b = +, c = ifadelerinden O i aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ( ) ) ( + ) ) +. a = +, b = olduðuna göre, OKK(a,b) O(a,b) oraný nedir? ) ) + ) + ) + ). a =, b = + ifadelerinin OKK i aþaðýdakilerden hangisidir?. a =, b =, c = ) ( ) ( + ) ) ( ) ( ) ifadelerinin OKK i nedir? ) ( + ) ) ( + ) ( ) ( + ) ) + ) ) ( + ). a =, b = ifadelerinin O i aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) + ) + ) 9 ) ) ) 6. a = +, b = ifadelerinin O i nedir? ) ) ) ) + )

30 TRM TSTÝ çarpanlara ayýrma. y yy y y y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? 6. a b ) ) y ) y ) ) y olduðuna göre, 0 0 ifadesinin a ve b türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ab + b ) ab + a ) ab + a ) ab + b ) 6ab. ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 8 ) ) 6 ) 7. e j e j a 6 a 0 a olduðuna göre, a çarpýmý kaçtýr? ) ) ) ) 7 ). e j e j 8 olduðuna göre, kaçtýr? 7 9 ) ) ) ) ) ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? 9 9 ) ) ) ) ). c c h h a b ab b a a b ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) a b a b a b ) ) a b a b 9. 6 : ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) + ) + ) ). a 6a ab + b ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a + b ) a + b ) a + ) a b ) b y y y y y y c ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) y ) y ) y h

31 . + y y = + y = 6 olduðuna göre, + y toplamý kaçtýr? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 6. çarpanlara ayýrma a aab6b a a : a aba a a ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi nedir? ) a ) b ) ) ) ab. c h a a a olduðuna göre, kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 7 7. y y 8y y ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) + y + ) y + ) y ) + y + ) y +. c m m h ifadesi sadeleþebildiðine göre, m nin alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr? ) ) ) 6 ) ) 7 8. ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ). þaðýdakilerden hangisi ( ) ( ) ifadesinin çarpanlarýndan biri deðildir? ) ) + ) ) + ) 6 9. y + y y + y ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) y ) ) y ) y. þaðýdakilerden hangisi ( ) + 8 ifadesinin çarpanlarýndan biri deðildir? 0. = = + = ifadelerinin O i nedir? ) ) + ) ) ) + ) ) ) + ) + )

32 KONU TSTÝ çarpanlara ayýrma. ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ) 6. ( ) + ( ) ifadesinin bir çarpaný aþaðýdakilerden hangisi deðildir? ) ) + ) ) ) 6. a ab b b olduðuna göre, a çarpýmýnýn deðeri kaçtýr? ) 6 ) ) ) ) = 0 denkleminin köklerinin çarpýmý kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). b a ab y b ay ab ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? b b a ) ) ) y b a y b y a b ) ) b y a y 8. c a 6 a a h ifadesinin sadeleþtirilmiþ þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) + ) ) +. : iþleminin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 9. denklemini saðlayan deðeri kaçtýr? ) ) 0 ) 8 ) 6 ). b a ab : b b b ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) a + b ) + b ) b ) + a ) a 0., y, z birer reel sayýdýr. y iþleminde her sayý ile çarpýlýrsa iþleminin z sonucu nasýl deðiþir? ) eðiþmez ) katýna çýkar ) artar ) katýna çýkar ) 0 artar

33 çarpanlara ayýrma. ab a b ab : ab ab ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ab ) a 6. acd bcd + aef bef ak + bk ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a + b ) c + f k ) a + b k ) cd + ef k ) cd ab + k. c h c h c h ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 7. a0 ifadesinin sadeleþtirilmiþ þekli 8 b olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr? ) ) 7 ) 0 ) ). a b ab a b 0 a b olduðuna göre, a nýn b türünden eþiti nedir? ) b ) b ) b + ) b ) b + 8. m m ifadesi sadeleþebildiðine göre, m nin alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr? ) 8 ) 9 ) 0 ) ). y y y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) + ) y ) y + 9. a a a olduðuna göre, kaçtýr? ) ) ) ) ). a = b = + c = olduðuna göre, OKK(a,b,c) O(a,b,c) oraný nedir? ) ) ) + ) ) 0. y y y 6 y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) y + ) y + ) + y ) y + ) y +

34 KONU TSTÝ çarpanlara ayýrma. y y y y ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? 6. ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) y ) ) y ) y ) 0, ) 0, ) 0,7 ) ),. a a b b a ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? b a ab b a ) ) ) ) ) 7. a aa a aa ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? a a a ) ) ) a a a a a ) ) a a. + y + + y. y = 0 olduðuna göre, kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) 8. 6a a a a a ifadesinin sadeleþtirilmiþ þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) a ) a. ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 9. m kesiri sadeleþebildiðine göre, m nin alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). a ab abab ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? a b a ) ) ) a ) a ) a b a b b b b 0. y olduðuna göre, (a y) y (a ) ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) y ) a ) + y ) a

35 . c h ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? çarpanlara ayýrma 6. ( ) = 0 denkleminin reel köklerinin toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 ) ) + ) ) ) 7. = +. y y y y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) = + 6 polinomlarýnýn O i aþaðýdakilerden hangisidir? ) + ) ) ) ) ) + ) + y. y 7 y 6 y olduðuna göre, kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 8. y y y y y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) + y ) y + ) y ) + y ) y. y y y 6 y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) y + ) + y ) + y + ) y + ) + y 9. a b b a a b ab ab ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) ab ) ab ) ). m n ifadesinin en sade þekli m + n toplamý kaçtýr? olduðuna göre, ) 6 ) ) 0 ) ) = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? R S T U V W ) ) {, } ) {, }, R S T U V W R S T ) ),, U V W

36 ÖSYS SORULRI çarpanlara ayýrma. m 6 ( )( ) kesirinde m pozitif bir tamsayýdýr. u kesrin sadeleþtirilebilir bir kesir olduðu bilindiðine göre, sadeleþmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) 6 6..y çarpýmýnda her çarpana eklenirse çarpým ne kadar büyür? ) + y + ) ( + y + ) ) + y ) ) (ÖSS 8) 9 ) ) 7. (a b) (c a) + (a c) (a b) 8 (ÖYS 8) ifadesinin çarpanlara ayrýlmýþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) (a b) (c a) (c b) ) (a b) (a c) (c + b) ) (a b) (a + c) (b c) ) (a + b) (c a) (c b) 7. a a a iþleminin sonucu nedir? ) a ) a ) ) a + ) a (ÖSS 8) ) (a + b) (a c) (b + c) (ÖYS 8) 8. ab (a b) a. a a a a ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) ) ) a + ) a a (ÖSS 8) ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) (a b) ) b ) a + a ) ab ) b (ÖYS 87). a a 9 a a ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? a ) a ) ) a ) ) a + a (ÖYS 8). ( + ) ( ) çarpýmý yapýldýðýnda in katsayýsý kaç olur? ) ) ) ) ) 9 (ÖSS 8) 9. a b, b Z b olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi a nýn bir çarpanýdýr? ) b ) b + ) b ) + b ) b 0. (a ) (b y) + y (y b) y ( a) (ÖSS 9) ifadesinin kýsaltýlmýþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ab ) y ) y ) a ) by (ÖSS 9) 6

37 . a ba a b a ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) b a ) a b ) a + b ) a ) a + (ÖSS 9) 6. çarpanlara ayýrma ab b y ay a ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) b ) y ) y b (ÖSS 96). 0 : iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) ) ) ) (ÖYS 9) 7. [(0 ) ( 0)] [(9 0) (0 )] iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) ) ) 9 ) 6 (ÖYS 97). a = b olduðuna göre, a 8ab nin deðeri kaçtýr? 8b ab ) ) ) ) ) 6 (ÖSS 9) 8. a 6a a 6a : a a a a ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) a ) ) a ) a (ÖYS 97). ab a b a b b ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) a b ) a ) a b ) b a ) b (ÖSS 9) 9. a b 8 9 olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr? ) 0 ) ) ) 6 ) 8 (ÖSS 00). m bir gerçel sayý olmak üzere, (m ) m (m ) m (7 m) (p m) eþitliðini saðlayan p deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 0. a bc ac b a b ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) a b c ) a b + c ) a + b + c ) a b c ) a + b + c (ÖSS 00) (ÖSS 9) 7

38 . olmak üzere, + y + y + + = 0 olduðuna göre, ile y arasýndaki baðýntý aþaðýdakilerden hangisidir? ) + y = 0 ) y = 0 ) + y = 0 ) y = 0 ) + y = 0 (ÖSS 00). olduðuna göre, kaçtýr? y çarpanlara ayýrma y y ifadesinin deðeri ) 6 ) ) ) ) (ÖSS 008 II). b b a a a ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? 6. a a a a ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) a ) a ) a ) a + (ÖSS 009 I) ) a ) b ) + a ) + b ) a b (ÖSS 00) 7. a a a a a a a ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir?. a a b b b a b a a b )a )a ) )a+ )a + (LYS 0) ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) b ) a + b ) ) (ÖSS 00) 8. ( y) y y y olduðuna göre, y farký kaçtýr? ) ) ) ) ) (LYS 0). ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) y y : y y y ) y ) y ) y ) y (ÖSS 008 II) 8 9. (y z) z(y ) y z yz ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) y ) z y y ) y ) y z y z z (LYS 0)

39 Ö L Ü M 0 Özdeþlikler KÖÞTÞI MÇLR. a b = (a b) (a + b) özdeþliðinden yararlanarak çarpanlara ayýrma. Parantezli ifadelerde a b = (a b) (a + b) özdeþliðinden yararlanma ve çarpanlara ayýrma. a b = (a b) (a + b) özdeþliðinden yararlanarak reel sayýlarda iþlem yapma. azý köklü ifadelerin eþleniðini bulurken a b = (a b) (a + b) özdeþliðinden yararlanýldýðýný farketme ve köklü sayýlarda iþlem yapma. Kareleri farký verilen tamsayýlarýn deðerini a b = (a b) (a + b) özelliðinden yararlanarak bulma 6. a b = (a b) (a + b) özdeþliðini geometri sorularýnda uygulama 7. a b = (a b) (a + ab + b ) [Ýki küp farký] a + b = (a + b) (a ab + b ) [Ýki tüp toplamý] özdeþliklerinden yararlanarak çarpanlara ayýrma 8. Ýki küp farký ve Ýki küp toplamý özdeþliklerinden yararlanarak sadeleþtirme yapma 9. Ýki küp farký ve Ýki küp toplamý özdeþliklerinden yararlanarak reel sayýlarda iþlem yapma 0. n y n = ( y) ( n + n y y n ) n + y n = ( + y) ( n n y y n ), n tek iken özdeþliklerden yararlanarak iþlem yapma. Tam kare ifadelerin açýlýmlarýný yazabilme, açýlýmlarý verilen tam kare ifadeleri yazabilme. Ýki ya da daha fazla eþitlik üzerinde iþlemler yaparak tam kare ifadeyi elde etme. Tam kare ifade yardýmýyla bazý köklü sayýlarýn deðerini bulma. Tam kare ifadeleri tanýyabilme, gruplandýrabilme, iki kare farký özdeþliðinin bir terimi yaparak sadeleþtirme yapma

40 . Ýki ya da daha çok tam kare içeren ifadeleri tam karelerin toplamý biçiminde yazma, bu toplamýn sýfýra eþit olmasý durumunda her bir tam kareyi sýfýra eþitleme 6. Ýki ya da daha çok tam kare içeren ifadeleri tam karelerin toplamý biçiminde yazma, bu toplamýn en küçük deðerini bulma 7. Ýkinci dereceden üç terimliyi tam kareye dönüþtürme ve en küçük ya da en büyük deðerini bulma 8. Onyedinci köþetaþýný problemlere uyarlama ve çözme 9. Tam kare açýlýmýný bazý geometri sorularýnýn çözümünde uygulama 0. Tam kare açýlýmý yardýmýyla yüksek dereceden ifadelerin derecelerini düþürme ve deðerini hesaplama. Terim ekleyip çýkararak çarpanlara ayýrma. erecesi den büyük olan parantez açýlýmlarýný (binom açýlýmlarý) yazabilme. Parantez açýlýmlarý yardýmýyla bazý ifadelerin deðerini hesaplama. Ýki ya da daha fazla ifadenin üzerinde iþlemler yaparak parantez açýlýmýný elde edebilme. Parantez açýlýmýna dönüþebilen ifadelerin deðerini, verilen deðiþken deðerleri için hesaplayabilme 6. a + b = (a + b) ab özdeþliðinden yararlanarak deðer hesaplama 7. a + b = (a b) + ab özdeþliðinden yararlanarak deðer hesaplama 8. (a + b) = (a b) + ab özdeþliðinden yararlanarak deðer hesaplama 9. a + b = (a + b) ab (a + b) özdeþliðinden yararlanarak deðer hesaplama 0. Yukarýdaki dört özdeþlik yardýmýyla deðer hesaplama. a b = (a b) + ab (a b) özdeþliðinden yararlanarak deðer hesaplama. Yukarýdaki köþetaþlarýnda, verilen ifadelerin üzerinde deðiþiklik yapýlabileceðini fark etme ve bu ifadeleri uygun hale getirme. Yukarýdaki köþetaþlarýnda verilen ve deðeri istenen ifadeler üzerinde yapýlacak deðiþikliði farketme. (a + b + c) = a + b + c + (ab + ac + bc) özdeþliðinden yararlanarak deðer bulma

41 0. özdeþlikler 9 6y ifadesinin çarpanlarýna ayrýlmýþ þekli nedir? a b = (a b) (a + b) özdeþliðine iki kare farký denir. u eþitlik a ve b nin her reel(gerçel) sayý deðeri için saðlandýðýndan özdeþlik adý verilir. u özdeþliðe göre; y = ( y) ( + y) = ( ) ( + ) = e je j 9 y = ( y) ( + y) = ( ) ( + ) = e je j Köþetaþýnda verilen ifade; = ( ) ( + ) = ( ) ( + ) ( + ) 6 y 6 = ( y ) ( + y ) 9 6y = () (y) = ( y) ( + y). y + + y = olduðuna göre, y ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ). HG I KJ HG 9 a b : a b ab I KJ ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) a b ) a b ) a + b ) a b ) 6ab.. HG ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) ) a ) ) a + a a HG a a a I J HG K I KJ HG 6 : J olduðuna göre, kaçtýr? a I KJ ) ) ) ) ) 6 I KJ. a (b + ) + ab = 0 6. olduðuna göre, b nin a türünden eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) a + ) a a ) ) a a a 7 olduðuna göre, kaçtýr? ) ) ) ) ) 6

42 0. özdeþlikler (a b + c) (a + b c) ifadesinin çarpanlarýna ayrýlmýþ þekli nedir? y = ( y) ( + y) özdeþliði kullanýlacaktýr. = a b + c, y = a + b c olsun. (a b + c) (a + b c) = [(a b + c) (a + b c)] [(a b + c) + (a + b c)] = [a b + c a b + c] [a b + c + a + b c] = (c b) (a) = a (c b). c h c h a b a b ab ifadesinin sadeleþtirilmiþ þekli nedir?. c h c h y z y z y z ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) a + b ) ) ) ) ) ) (a b) ).. c h c h : ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) + ) ) + c h a b 7 a b olduðuna göre, a b deðeri kaçtýr? ) ) ) 6 ) 8 ) 9. þaðýdakilerden hangisi (a + b) (a c ) (a + c) (a b ) ifadesinin çarpanlarýndan biri deðildir? ) a + b ) a + c ) b + c ) b c ) a c 6. a + b = c h c h a b a7b 0 b a olduðuna göre, a kaçtýr? ) ) ) 6 ) 8 ) 0

43 e j olduðuna göre, kaçtýr? özdeþlikler azý iþlemlerde özdeþliklerden yararlanmak kolaylýk saðlar. Ýki kare farký iþlemde açýkça görülüyor. una göre; e b gb g j b g iþleminin sonucu kaçtýr? ) 00 ) 00 ) 0 ) 60 ) 00. c h c h c0,h c0,h,0,99 iþleminin sonucu kaçtýr? ) 0, ) 0, ) 0, ) ),. 9 = k olduðuna göre, k kaçtýr? ) 0 ) ) 6 ) 9 ). HG KJ 7 iþleminin sonucu kaçtýr? I HG ) 7 ) ) ) ) I KJ. Ýki ardýþýk doðal sayýnýn kareleri farký olduðuna göre, küçük olan sayý kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. () () = ().k olduðuna göre, k kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 7

44 a ve b olduðuna göre, a b toplamý kaçtýr? 0. özdeþlikler Köklü sayýlarda anlatýlan eþlenik kavramý özdeþliklere dayanýr. (a b) (a + b) = a b e je j e j e j una göre, b a a a a b ( b) ( a) e je j. iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) ) ) ). a olduðuna göre, a(a + ) (a + ) çarpýmýnýn sonucu kaçtýr? ) ) ) ) ). e yj e yj e 8 8 yj e 8 8 yj ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) + y ) y ). a a 7 olduðuna göre, a a 7 ifadesinin deðeri kaçtýr? (Ýpucu : Ýstenen deðere deyip taraf tarafa çarpma yapýnýz.) ) 6 ) 9 ) ) 8 ) 7 ) + y ) y 6. a b. olduðuna göre, ( ) ( + ) ( + ) ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) olduðuna göre, (a b ) ifadesinin sayýsal deðeri kaçtýr? ) 6 ) ) ) 9 )

45 a ve b pozitif tamsayýlar 0. özdeþlikler a b = 7 olduðuna göre, a + b toplamýnýn deðeri kaçtýr? u tip sorularda a ve b pozitif tamsayý gibi öncüller vardýr. a ve b tamsayý ise, a b ve a + b ifadeleri de tamsayýdýr. a b = 7 (a b) (a + b) = 7 u aþamada hangi iki tamsayýnýn çarpýmý 7 dir? sorusu sorulur. ðer a b = ve a + b = 7 olursa eþitlik saðlanacaktýr. una göre, a b = a + b = 7 denklem sistemi çözülürse, a = 9 ve b = 8 bulunur. a + b = =. ve y pozitif tamsayýlar y = olduðuna göre, y çarpýmýnýn deðeri kaçtýr? ) 7 ) 8 ) 96 ) 0 ). a, b Z + a b = a b olduðuna göre, a b ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 7 ) 9 ) ). a ve b pozitif tamsayýlar a b = olduðuna göre, a b farkýnýn deðeri kaçtýr? ) ) 7 ) 9 ) ) 7. a ve b birer tamsayýdýr., y, z pozitif tamsayýlardýr. (y + z) = olduðuna göre, y + z ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 0 ) ) 6 ) 6. y = 7 a b = olduðuna göre, a + b nin alabileceði kaç farklý tamsayý deðeri vardýr? ) ) ) ) ) 6 y = 6 olduðuna göre, + y toplamý kaçtýr? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9

46 O köþetaþý O O 0.6 O merkezli iki çemberin büyüðünün yarýçapý a birim, küçüðünün yarýçapý b birimdir. Çemberlerin çevreleri toplamý 6 birim, a b = birim olduðuna göre, taralý alan kaç birimkaredir? özdeþlikler Çevreleri toplamý: a + b = 6 (a + b) = 6 a + b = 8 Taralý alan: a b ÝRNÝN LNI ve ÇVRSÝ O lan = r Çevre = r r O = (a b ) = (a b) (a + b) =..8 = 6 birimkare. ve GH birer kare Karelerin çevreleri toplamý 6 cm Taralý alan cm Yukarýda verilenlere göre, y farký kaç cm dir? ) ) ) ) ) 6. ikizkenar dik üçgen [] [] () = 0 cm II + II = 0 cm Yukarýda verilenlere göre, II = kaç cm dir? ) ) ) 6 ) 7, ) 8. Þekilde merkezleri O noktasý olan iki çember verilmiþtir. [], T noktasýnda içteki çembere teðettir. II = 8 cm Yukarýda verilenlere göre, taralý alan kaç cm dir? ) 8 ) ) 6 ) ) 6. [] [] II = 6 cm II = 60 cm Yukarýda verilenlere göre, II = kaç cm dir? ) 9 ) ) 7 ) ). ve G kare IGI = 7 cm Taralý alan = cm Yukarýda verilenlere göre, II kaç cm dir? ) ), ) 6 ) 6, ) 7 6. üçgeninde [H] [] Yukarýda verilenlere göre, kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 6

47 0.7 özdeþlikler a 6 b 6 ifadesini çarpanlarýna ayýrýnýz. a b = (a b) (a + ab + b ) a + b = (a + b) (a ab + b ) özdeþliklerine iki küp farký veya toplamý denir. u özdeþliklere göre; = ( ) ( + + ) 8 + = ( + ) ( + ) Ýspat yapalým mý?! a + b = a ab + ab + b (ab eklenip çýkarýldý.) 7 8 = ( ) ( ) HG I HG K J e je j 9 6 I K J = (a ab ) + (ab + b ) = a(a b ) + b (a + b) = a(a b) (a + b) + b (a + b) = (a + b) [a(a b) + b ] = (a + b) [a ab + b ] Köþetaþýnda verilen ifade üç özdeþliði de içeriyor: a 6 b 6 = (a ) (b ) = (a b ) (a + b ) = (a b) (a + ab + b ) (a + b) (a ab + b ). ifadesinin sadeleþtirilmiþ þekli nedir? ) ) ) + ) ). 8 + y = 6 y + y = olduðuna göre, + y ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. 7 olduðuna göre, kaçtýr? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9. a a b b a b ab ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) ab ) a b ) a b ) a + b. a b = a + ab + b = olduðuna göre, a b farkýnýn deðeri kaçtýr? ) 8 ) ) 8 ) 6 ) 8 ) ab 6. þaðýdakilerden hangisi a 6 6 ifadesinin bir çarpaný deðildir? ) a ) a + ) a + a + ) a a + ) a + a + 7

48 HG y y : y y I KJ y 0.8 ifadesinin en sade þekli nedir? özdeþlikler (. 7) deki özdeþlikleri sadeleþtirme sorularýnda kullanacaðýz: HG y y : y y KJ b yge y y j : y y b gb g y y y y y y y y y y y y y y I y y HG I KJ y. a a : a a a ifadesinin sadeleþtirilmiþ þekli aþaðýdakilerden hangisidir?. HG a a a : : a a a a ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi nedir? I KJ c h ) ) a + ) ) ) a a a ) a ) a + ) a ) a + ) a. a a a : a a a 8 ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) a ) a ) a + ) a. HG y y y y y : y y y ifadesinin en sade þekli nedir? ) ) y ) ) y ) y I KJ. HG I KJ y y y : y y ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) ) y ) y 8 6. HG I KJ a b a 8b b b : a a b a ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) a ) b ) a b ) a + b

49 0.9 özdeþlikler iþleminin sonucu kaçtýr? (.7) deki özdeþlikler sayý iþlemleri yapýlýrken de kullanýlabilir: b007 ge j 006 e j iþleminin sonucu kaçtýr?. HG I KJ : iþleminin sonucu kaçtýr? ) 6 ) 0 ) 6 ) 6 ) 66 ) 00 ) 999 ) 00 ) 000 ) iþleminin sonucu kaçtýr? : iþleminin sonucu kaçtýr? ) 9999 ) 00 ) 999 ) 0 ) ) ) ) 999 ) 00 ) iþleminin sonucu kaçtýr? 6. 6 a 6 a a olduðuna göre, a nýn pozitif deðeri kaçtýr? ) 00 ) 999 ) 09 ) 00 ) 998 ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 9

50 y olduðuna göre, y kaçtýr? a n + b n = (a + b) (a n a n b + a n b... + b n ), n tek iken a n b n = (a b) (a n + a n b + a n b b n ) Yukarýdaki özdeþliklere göre; a b = (a b) (a + a b + ab + b ) + = ( + ) ( + + ) özdeþlikler + = ( + ) ( + ) a = (a ) (a + ) y 7 b y 7 y 7 8 y g H HG I HG 7 K J 6 Köþetaþýna bakýlýrsa: I K I K J ÝSPT YPMK ÝÇÝN YR MÝ KLI?! a n b n = a n + a n b a n b + a n b a n b +... b n (terim eklenip çýkarýldý.) = a(a n + a n b b n ) b (a n + a n b b n ) = (a b) (a n + a n b b n ). 9 olduðuna göre, kaçtýr?. 7 olduðuna göre, kaçtýr? ) 9 ) 8 ) 7 ) 6 ) 7 ) ) ) 8 ) ). olduðuna göre, ( y) ( + y + y + y ) ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 0 ) ) ) ). olduðuna göre, L NM ve y O QP ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 00 ) ) 0 ) 80 ) 00. olduðuna göre, 6. HG I HG KJ 8 6 iþleminin sonucu kaçtýr? ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) I KJ 0

51 (a b) tam karesinin açýlýmý nedir? 0. özdeþlikler (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b ifadelerine TM KR denir. þitliklerin saðýndaki ifadeler de açýlýmlarýdýr. Yukarýda verilenlere göre, ( ) = + ( + ) = ( + y) = + y + 9y I HG K J una göre, (a b) = a ab + b YNI ZMN ÇILIMLRI VRÝLN TM KR ÝLR YZILÝLMLÝ: = ( ) HG HG I KJ I KJ a a a ÝSPT (a + b) = (a + b) (a + b) (çarpma iþlemi yapýlýr) = a + ab + ab + b = a + ab + b (a b) = (a b) (a b) (çarpma iþlemi yapýlýr) = a ab ab + b = a ab + b. ( y) ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) 6y + y ) + y + 9y ) + 6y + 9y ) 6y + 9y ) y + y. c yh y y ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) + y ). 0 + ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( + ). e 6j e 6j iþleminin sonucu aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ). y y olduðuna göre, 7 y y oraný kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 6. HG y y I KJ y y ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? y y ) ) ) ) ) y y y y y y

52 6y = y + y = 0. olduðuna göre, y farkýnýn pozitif deðeri kaçtýr? özdeþlikler Tam kare açýlýmlar, parça parça verildiðinde tanýmak ve biraraya getirebilmek gerekir. irinci eþitliðin her iki tarafý ile bölünürse; + _ y = 6 y + y = _ y + y = 9 ( _ y) = 9 _ y = 7. a ab = ab b = 0 olduðuna göre, a b nin pozitif deðeri kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 7. a + b = 6 olduðuna göre, (a b) (a b) (a b) + (a b) ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 8 ) 6 ) ) ) 6. a + ab = b + ab = 8 olduðuna göre, a + b toplamýnýn pozitif deðeri kaçtýr?. ) ) ) 6 ) 7 ) 9. a ab b = 9 a ab + b = olduðuna göre, a b ifadesinin pozitif deðeri kaçtýr? ) 7 ) 8 ) 9 ) ) 6. HG y y I KJ ifadesinin deðerinin hesaplanabilmesi için aþaðýdakilerden hangisinin deðeri bilinmelidir? ) y ) ) y ) + y ) y iþleminin sonucu kaçtýr? : HG y y 7 8 ) ) ) ) ) 8 9 I KJ

53 0. özdeþlikler ifadesinin deðeri kaçtýr? Köklü sayýlarda benzeri bir yöntemle çözülen bir sorunun tam kareye uyarlanmasý görülecektir. = 67 olsun. una göre; b g b g sayýsýnýn türünden yazýlmadýðýna dikkat edilmelidir ifadesinin deðeri kaçtýr? ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 990 ) 996 ) 999 ) 00 ) ) ) ) ) ) ifadesinin deðeri kaçtýr? ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 0 ) 0 ) 60 ) 80 ) 00 ) 8 ) 9 ) 96 ) 00 ) ifadesinin deðeri kaçtýr? ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 9 ) ) 6 ) 9 ) ) 999 ) 000 ) 00 ) 00 ) 00

54 a b b a b a b 0. ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi nedir? özdeþlikler u köþetaþýnda en uygun gruplandýrmayý yapabilmek gerekiyor. Þu ana kadar öðrendiklerimizin tamamýný kapsayan bir sorudur. e a b b e a b j b a bg e (gruplandýrma yapýldý.) a b b a b e a b j ba bg ba bgba bgba bg ba bgba b g a b a b a b a b b gb g j j b g. y y y y olduðuna göre, y farký kaçtýr? ) ) ) ) ). y y olduðuna göre, y farký kaçtýr? ) 9 ) ) ) ) 7. + y + y + + y ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) + y + ) y. a b b ab olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr? ) 0 ) ) ) ) 6. ) + y + y y y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? 6. ) + y + ) + y ) y + ) y + ) y a b b a ab b olduðuna göre, a b ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) 0 ) )

55 a, b, c R olmak üzere, 0. özdeþlikler a + b + c a + b 8c + = 0 olduðuna göre, a + b c ifadesinin deðeri kaçtýr? Negatif olamayan ifadelerin toplamýnýn sýfýra eþit olabilmesi için her birinin sýfýra eþit olmasý gerekir. kz. (. ) a + b + c a + b 8c + = 0 (a a + ) + (b + b + ) + (c 8c + 6) = 0 (a ) + (b + ) + (c ) =0 a = 0 b + = 0 c = 0 a = b = c = una göre, a + b c = = 7., y R + y + + y + = 0 olduðuna göre, + y toplamý kaçtýr? ) ) ) ) )., y, z R + y + z + y + = 0 olduðuna göre, + y z ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) )., y, z R + y + z + 6y + 8z + 9 = 0 olduðuna göre, + y + z toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ). a, b, c R a + b + c = 0a b + c 0 olduðuna göre, a + b + c toplamý kaçtýr? ) 9 ) 8 ) 7 ) 6 )., y R + y + 0y + = 0 olduðuna göre, y + y ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 6 ) 8 ) 0 ) ) 6. a + b a + 6b = olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr? ) ) ) 0 ) )