BÖLÜM 2 Biçimsel Dillerin Matematiksel Temelleri
|
|
- Özlem Niazi
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 BÖLÜM 2 Biçimsel Dillerin Matematiksel Temelleri 2.1 Kümeleri tümevarım yolu ile tanımlama E tanımlanacak küme olsun: Taban: Yapı taşı elemanları kümesi veya taban B ile gösterilsin. Bu kümenin içindeki elemanlardan hareketle diğer elemanlar türetilebiliyorsa, bu elemanlara yapı taşı elemanları denir. Örnek olarak Alfabe bir dil kümesinin yapı taşı elemanları kümesidir. Kurallar: Bir kümenin içindeki elemanlardan hareketle yeni elemanları türetmenin kurallarıdır. Bir dil, alfabeden belli kurallar neticesinde türetilmiş kelimeler topluluğudur (kümesidir). = { f 1, f 2,..., f n } f i f i : E x E x E x.. x E E x 1, x 2,.., x p E f i (x 1, x 2,..., x p ) = x E (X yeni eleman) Kapanış: (E) = E E kümesi, taban elemanları ve sadece kurallar uygulanması sonucu oluşan elemanlardan başka bir elemanı olmayan kümedir. Tüme varımla gösterilim: B 0 = B B 1 = (B 0 ) B 0 (kurallar B 0 a uygulanır.) B 2 = (B 1 ) B 1... B i+1 = B i (B i ) = B i = E (kapanış). i sayısı sonlu olabileceği gibi sonsuza da gidebilir. Elemanın yüksekliği: H(x) = min{ i x B i }. Elemanın ilk defa kaçıncı sırada elde edildiğini gösterir. Kelimenin uzunluğudur. Çift sayılar: i) 0 E ii) n E => (n + 2) E iii) Bu kuralın uygulanması ile elde edilenler dışında hiç bir sayı çift sayı değildir. 2.2 Alfabe ve diller Tanımlar: Alfabe: Sonlu, boş olmayan simgeler veya karakterler kümesi. Sözcük: nın sonlu bir dizisi veya katarı. Sözcük uzunluğu: Sözcükteki simge sayısı. Boş sözcük: Uzunluğu sıfır olan sözcük. Λ veya e ile gösterilir. Sözcük bitiştirme: x = a 1 a 2...a n y = b 1 b 2...b m => xy = a 1 a 2..a n b 1 b 2...b m (x&y)
2 Sözcük bitiştirme işleminin etkisiz elemanı Λ dir. x = Λ => xy = y y = Λ => xy = x Boş katar ve birleşme özelliği (asosiyativite) gösteren bitiştirme işlemi (konkatenasyon) ile alfabe üzerinde oluşturulmuş sözcükler kümesi * bir monoiddir. Bundan sonra aşağıda verilmiş olan kümeler bilgisayar biliminde sıklıkla kullanılır. Katar Tersi ya da ters katar (ing: Reverse of a string) (baba) R = abab; (ana) R = ana Ters katar tanımı (tüme varım ile) 1. w = 0 => w R = w = Λ ; w, w sözcüğünün karakter sayısını gösterir. 2. w = n + 1 ve u R mevcut olduğunu var sayalım. u = n, (w ve u) katarlar, n R n uzunlukta bir katar verilmiştir ve bunun tersi u R dur. w = ua a Σ => w R = au R w = 1 => w = Λa, w R = aλ = w w = 2 => w = ua (u = b), w R = au R = au = ab w = 3 => w = ua, u = cb, w R = au R = abc (wx) R = x R.w R x = n, w = m m N Tanıt: x = 0 => x = Λ n = x = 0 için (wx) R = (wλ) R = w R = Λw R = Λ R w R = x R w R Varsayım: x n => (wx) R = x R w R x = n + 1 için tanıt x = ua u = n a Σ x R = au R (tanım) (wx) R = (w(ua)) R = ((wu)a) R = a(wu) R = a(u R w R ) = au R w R = x R w R (atlı karınca ) = (karınca) R (atlı) R Tanımlar: + (boş olmayan sözcüklerin kümesi) kümesi: ( alfabesi üzerinde) i) a => a + (taban) (Σ nın her elemanı Σ + nın da elemanıdır.) ii) (x + Λ a ) => ax + (Σ nın her elemanı Σ + nın da elemanıdır. Bitiştirme işlemi, a bitiştir x) iii) i) ve ii) nin sonlu uygulamaları dışında elde edilemeyen hiç bir eleman + nın elemanı olamaz.
3 = { a, b} => + = { a, b, aa, ba, ab, bb, aaa, aab,...}. Σ + içinde boş katar yoktur. Boş katara sözcük uzayının sıfır elemanı gibi bakabiliriz. * kümesi: ( alfabesi üzerinde) i) Λ * ii) x * a => ax * iii) i) ve ii) nin sonlu uygulamaları dışında elde edilemeyen hiç bir eleman * nın elemanı olamaz. = { a, b} => * = { Λ, a, b, aa, ba, ab, bb, aaa, aab,...} = {0, 1} => * = { Λ, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001,... } (x *) (n N) ise x n nin tanımı (Bir katarın n inci kuvvetinin tanımı) i) x 0 = Λ (bitiştirmenin etkisizi olduğu böyle tanımlanmıştır) ii) x n+1 = x n..x = (x n & x) Örnek 1: = {a, b} x = ab x 0 = Λ, x 1 = ab, x 2 = abab, x 3 = ababab Örnek 2: { a n b n n 0 } yanda belirtilen kümeyi tanımlar: { Λ, ab, aabb, aaabbb,... } sonlu bir alfabe olsun. üzerinde bir dil, * ın bir alt kümesidir. Σ* dan bir alt küme seçmenin kuralları ilerideki bölümlerde gramer olarak işlenecektir. { a n b m n, m N }, { a, b } üzerinde bir dildir. Bu dilde b ler a ların önüne geçemiyor. Bu dilde sade a lar ve b ler olabilir. Örneğin ba sözcüğü bu dile ait değildir. (Çarpım Diller) A ve B, üzerinde diller ise A.B küme çarpımı yeni bir dil oluşturur. AB = { xy x A y B } AB = { z z = xy x A y B } = { a, b } A = { Λ, a, ab }, B = { a, bb } diller olsun. AB = { a, bb, aa, abb, aba, abbb}, burada a terimi (Λa) den gelmektedir. BA = { a, aa, aab, bb, bba, bbab } İki çarpım dilin elemanlarının hepsinin aynı olmadığı görülmektedir.. Teoremler: boş dili (not: tek elemanı Λ olan dil değildir); A, B, C, D aynı alfabesinin farklı dillerini göstersin. Buna göre: 1) A = A =. ( boş dildir, boş katar değildir).
4 Tanıtlar: 2) A{Λ} = {Λ}A = A 3) (AB)C = A(BC) 4) (A B) (C D) => AC BD 5) A(B C) = AB AC 6) (B C)A = BA CA 7) A(B C) AB AC 8) (B C)A BA CA 1) A = {xy xa y}, y önermesi her zaman yanlıştır, buna göre x, y için xa ve y önermesini sağlayan xy yoktur. Hiç bir x, y şartı sağlamadığına göre A =. Benzer bir tanıt A = için de kullanılabilir. 4) Bu teoremin tanıtı doğrudandır. Farz edelim ki A B C D, ve z de AC kümesinin rasgele bir elemanı olsun. Bu durumda z = xy olur ki burada x A ve y C. A B ve C D olduğundan, x in B ye, y nin de D ye ait oldukları (x B, y D) sonucu çıkar. Buna göre z = xy BD olur. z, AC nin rasgele bir elemanı olduğundan AC BD sonucu ispatlanmış olur. 7) A(B C) AB AC teoreminin ispatı: A(B C) ise z (z = xy x A y B C) yazılabilir. Buradan x A y B x A y C olur. İlerlersek xy (AB AC). Şu halde z (za(b C) => z AB AC AB AC A(B C) her zaman doğru olamayacağına ilişkin karşı örnek: A = { a n n N } B = { a n b n n N } C = { b n n N } kümelerini ele alırsak, örneğin z=a 5 b 2 değerinde olan bir eleman hem AB, hem de AC ye aittir, yani z AB AC dir. Oysa z A(B C) doğru değildir, zira B C = {} dir: z = a 5 b 2 = a 3 a 2 b 2 olsun z AB AC z A( B C ) çünkü B C = {Λ} A n : A üzerinde bir dil olsun. i) A 0 = { Λ } ii) A n+1 = A n A; nn = { a, b}, A = { Λ, a, ab} A 1 = A A 2 = {Λ, a, ab, aa, aab, aba, abab } Teoremler: A ve B, üzerinde tanımlanmış diller ise: 1) A m A n = A m+n 2) (A m ) n = A mn 3) A B => A n B n..
5 Tanıtlar: Tanıt 1: Bunun için 1.tümevarım yöntemini kullanılabilir. n = 1 için A m A 1 = A m+1 bulunur. Bu eşitlik yukarıdaki tanımdan gelmektedir. n için doğru kabul eder ve n + 1 için doğruluğunu gösterirsek A m A n+1 = A m A n A 1. Dil bitiştirmenin asosiyatiflik özelliği uyarınca A m (A n A 1 ) yerine (A m A n )A 1 yazılabilir. Buradan A m+n A 1 bulunur ki bu da tanıtın yapıldığını gösterir. Tanıt 2: Aynı yöntem kullanılırsa, n = 1 için doğruluğun sağlanması açıktır. A m = A m. n için doğru kabul edilirse, n + 1 için: (A m ) n+1 = (A m ) n (A m ) 1 = A mn + m = A m(n+1) ispat yapılmıştır. Tanıt 3: A 2 = A x A, B 2 = B x B birer dildir. A B => x A => x B n = 2 için: A 2 = { xy x A y A} xy A 2 => xy B 2 => A 2 B 2 n = n + 1 için: n için doğru kabul edilir ve n + 1 için de aynı şekilde tanıtlanır. Pozitif kapanış: A + = A n = A A 2 n=1 Yıldız kapanışı (Kleen Yıldızı veya Kleen Kapanışı): A* = A n = A 0 A Boş katarı da içine alan kümedir. n=0 A ve B, üzerinde tanımlı iki dil ve n N olsun. Bu durumda aşağıdaki bağıntılar geçerlidir: 1. A* = {Λ} A +. Tanımın kendinden gelmektedir. 2. A n A*, n 0 için. Aynı şekilde 3. A n A +, n 1 için. Aynı şekilde 4. A AB*. Tanıt: A 0 B* => A AB* 5. A B*A. İspatı açıktır. 6. A B => A* B*. A B => A n B n teoreminden gelmektedir. Bütün n ler için doğru ise, bütün n lerin bileşimi için de doğrudur. 7. A B => A + B + 8. AA* = A*A = A + 9. Λ A A + = A* 10. (A*)* = A*A* = A* 11. (A*) + = (A + )* = A* 12. A*A + = A + A* = A (A*B*)* = (A B)* = (A* B*)*. Bu teoremi düzenli ifadelerin yalınlaştırılmasında kullanacağız.
6 Tanıt 8: AA* = A + => A(A 0 A 1.) = A A 2 = A + Tanıt 9: Λ A => A {Λ} = A A A 0 = A A + = A { A n } = A 0 A { } = A* n = 2 Tanıt 9 ters yön: A A 2. = A 0 A ise A 0 A A 2 Bu içindelik iki şekilde yorumlanabilir: i) Λ A => A 0 A ii) Λ A => i, Λ A i, i (N + - 1) HAlbuki Λ A => x A i ( x i) Oysa Λ = 0 => Λ A i i 2. Tezatla karşılaşıldığından ii) şıkkı doğru olamaz. Buna göre i) şıkkı gösterilmek istenendir. Tanıt 13: (A*B*)* = (A B)* Birinci yön: A A B B A B A* (A B)* B* (A B)* A*B* (A B)* (A B)* A*B* (A B)* (A*B*)* ((A B)*)* = (A B)* İkinci yön: A A* A*B* B B* A*B*. Bu ifadeleri A* ve B* içinde Λ olduğu için yazabiliyoruz. A B A*B* => (A B) * (A*B*)*. (A*B * )* (A B)* ve (A B)* (A*B*)* olduğuna göre eşitlik doğrudur. A ve B, * üzerinde tanımlanmış alt kümeler ve Λ A olsun X = AX B denkleminin tek çözümü X = A*B dir. Tanıt: I) X = A*B bir çözümdür. {Λ}B = B özelliğini göz önüne alarak A*B = AA*B B = A + B B = (A + {Λ }) B = A*B II) X, denklemin bir çözümü olsun X = A*B olduğunun tanıtlanması için: X A*B ve X A*B ayrı ayrı tanıtlanacaktır.
7 a) X A*B nın tanıtı: İlk aşamada (X A n B) olduğunu 1.tüme varım yöntemi ile tanıtlayalım. n = 0, A n = A 0 = {Λ} => A 0 B = B Öte yandan X = AX B => X AX X B X B ve A 0 B = B => X A 0 B Varsayım: X A n B X AX => X A (A n B), X A n+1 B Şu halde n, ( X A n B ) ve öte yandan A*B = i A i B olduğundan sonuç olarak: X A*B bulunmuş olur. b) İkinci aşamada X A*B 2.tümevarım yöntemi kullanılarak tanıtlanacaktır. Bunun için herhangi bir n değerinden daha küçük n ler için tanıtlanacak ifadenin doğru olduğu kabul edilip n için doğruluğu ispat edilir. x( x X => x A*B ) x in uzunluğu n olsun. Burada n rasgele bir uzunluktur. 2.tümevarım hipotezine göre uzunluğu n den kısa her zincir için tanıtlanmak istenenin doğru yani w{ w < x => w X => w A*B } varsayımına göre tanıtı yapacağız. Açıklık getirmek için A*B de en kısa katarın uzunluğu, B nin en kısa katarının uzunluğuna eşit olduğuna dikkat çekilebilir. Tanıtın birinci kısmından X in en kısa katarı için bu söylem geçerlidir. ( X = AX B x X) => (x AX v x B) i) x B => x A*B ii) x AX => x = yz y A z X Λ A => y 0 y 0 => z < x Eğer x, B nin en küçük katarının uzunluğuna eşitse, z < x yoktur yani x B olmadığından ii) şıkkı doğru olamaz. Hipoteze göre: z < x z X => z A*B Şu halde: x = yz AA*B Yani x A + B A*B olur. Bu durumda tanıt bitmiştir. 2.3 Bağıntılar ve kapanış Bağıntılar: Bağıntılar bir yapıyı karakterize eder. Önceki bölümde kümeleri incelemiştik. Bu bölümde kümelerin elemanları arasındaki küme içi bağıntılar ile temsil edilen bazı basit yapı formlarını inceleyeceğiz. Bağıntılar bilgisayar biliminin temel kavramlarından biridir. Bileşik bir veri yapısı, dizi, liste, ağaç gibi, bir veri nesneleri kümesini bağıntılar aracılığı ile bir arada göstermek amacıyla kullanılır. Bağıntılar ayrıca program yapısı, algoritma analizi gibi konularda da önemli bir rol oynar. Küme içi bağıntılar: B = A kaynak ile hedef aynı R A X A => M kare matris
8 Graf: Koşut bağlı yay bulunmaz. Yönlendirilmiştir. Tek çevre olabilir. Küme içi bağıntının kuvvetleri: bağıntısının (n N) n inci kuvveti n ile gösterilir ve tümevarım ile tanımlanır. i) 0 = {(x,x) x A} ii) n+1 = n n N (tanıt tüme varım ile öğrenci tarafından yapılacaktır) m n = m+n (n, m N) ( m ) n = mn (n, m N) -p = ( -1 ) p = ( p ) -1 Özellik: <x, y> n => grafta x ile y bağlı ve aralarında n uzunlukta en az bir dolaşı mevcut. A = {a, b, c, d} elemanlarından oluşan bir küme olsun. α n, uzunluğu n olan bağıntıları göstersin. Buna göre: 0 : a b c d : a b c d 2 : a b c d 3 : a b c d 4 : a b c d Şekil 2.1 Bağıntının kuvvetlerinin açık gösterimi 2 = 4 4 = 2 = 3 5 = 3 6 = 4 = 2 2n+1 = 3 2n = Şekil 2.2 Bağıntının kuvvetleri grafı A, n elemanlı bir sonlu küme ise ve, A üzerinde bir bağıntı ise [0 (2 n ) 2 ] kapalı aralığında s = t eşitliğini sağlayan en az bir (s, t) çifti bulunur.
9 Tanıt: A x A Card (A x A) = n 2, Card P(A x A) = (2 n ) 2 Şu halde A üzerinde (2 n ) 2 den fazla birbirinden farklı bağıntı kurulamaz. Buna göre: 0, 1, 2,..., ( 2n ) 2 bağıntılarının sayısı (2 n ) 2 +1 dir. Şu halde bunlardan en az ikisi birbirinin aynısıdır., A kümesi üzerinde tanımlanmış bir bağıntı ise ve s = t (s<t ve p= t-s olmak üzere) a) s+k = t+k ; k 0 b) s+kp+i = s+i ; k > 0 i (0 < i < p) c) = {, 1, 2,..., t-1 } olduğuna göre q{ q q 0 q N} a) ve b) şıklarını tümevarım ile siz tanıtlayınız. c) şıkkının tanıtı: q < t ise q tanım uyarınca q t ise b şıkkına göre q = s + kp + i (i < p) olmak üzere yazılabilir. Buna göre q = s+i i < p => s + i < t => q Bağıntılar üzerinde kapanış işlemleri (Closure Operations): Bir bağıntının kapanışı: Bir bağıntıdan yeni bağıntı türetme yollarından biri. Düğümler ve ayrıtlar ile bir graf, bir haberleşme ağını temsil etsin. Bu grafa ilişkin bağıntı lokal bir bağıntıdır. Bu yerel (local) bağıntıdan giderek birbiri ile arasında haberleşme yolu olan düğümleri bulma işlemi ise daha global bir bağıntı şeklidir. Bu bağıntıya 1. bağıntının kapanışı diyoruz. A üzerinde tanımlanmış bir küme içi bağıntı nın yansımalı kapanışı ( ) ise aşağıdaki koşullar sağlanır: i) yansımalı bir bağıntıdır. ii) iii) yansımalı bağıntı => A üzerinde tanımlanmış bir küme içi bağıntı nın bakışlı kapanışı ( ) ise aşağıdaki koşullar sağlanır: iv) bakışlı bir bağıntıdır. v) vi) bakışlı bağıntı => A üzerinde tanımlanmış bir küme içi bağıntı nın geçişli kapanışı ( ) ise aşağıdaki koşullar sağlanır: vii) geçişli bir bağıntıdır. viii) ix) geçişli bağıntı =>
10 Buna göre () dan ( ) ünü elde etmek için () ya A da gerekli ve yalnız gerekli sıralı çiftleri eklemek yeterlidir. r() ya yansımalı (reflexive) kapanış bağıntısı, s() ya bakışlı (symmetric) kapanış bağıntısı, t() ya da geçişli (transitive) kapanış bağıntısı denir. yansımalı ise => r() =. bakışlı ise => s() =. geçişli ise => t() =. E herhangi bir A kümesinde tanımlanan eşitlik bağıntısı (birim bağıntı) olsun. E = { <x, x> x A}, R A x A (E = R 0 ) r() = R E (yönlü grafta her düğüme bir tek çevre eklenebilir) a) r(r(<)) = R() (<: dar sıra bağıntısı, : genel sıra bağıntısı olarak isimlendirilir.) b) r(e) = E c) r(r()) = A x A evrensel bağıntı Not: r(r()) = E Boş bağıntının yansımalı kapayanı eşitliktir. bakışlı ise => = -1 s() = -1 Yönlü grafta her yaya bir ters yay eklemek demektir. s(r(<)) = R(#) s(r()) = A x A s(e) = E s(r()) = R() Geçişli Kapanış: D, bağıntısının grafı olsun. t() nün grafı (D ) sü D nin yol olan her iki düğümü arasına bir yay konularak elde edilir. (D) x x x x (D ) x x x x, A da bir küme içi ikili bağıntı ise
11 t() = i = Tanıt: t() i ve i t() ayrı ayrı tanıtlanmalıdır. a) Öncelikle: i t() olduğunu, diğer bir deyişle; <a, b> α n+1 => <a, b> t(α) olduğunu tanıtlayalım. Tüme varım yöntemi kullanılacaktır. Tanım gereği t() Varsayım gereği: n t() İspatlanacak bölüm: <a, b> n+1 için c, <a, c> α n <c, b> α <a, c> t() (<a, c> α n ve α n t(α) olduğundan dolayı) <c, b> t() (<c, b> α, α t(α) olduğundan dolayı) <a, b> t() (t() nın geçiş özelliği) => n+1 t() => i ( i t()) => i t() İkinci olarak: t() i olduğunu ispatlayalım i geçişli bir bağıntı mıdır? <a, b>, <b, c> bu bağıntıdan iki sıralı bir çift olsun. <a, b> s ve (b, c) t. <a, c> s+t olacaktır. <a, c> i dir. Şu halde i geçişlidir. Tanıma göre t(), yı içine alan tüm geçişli bağıntıların içinde yer alır. (sırada en küçüğü ya da en önde gelenidir) t() i bulunur. a) b = a+1 a, b I bağıntısı verilsin. Bu bağıntının geçişli kapanışı R(<) bağıntısıdır.
12 b), A tam sayı kümesi üzerinde R(<) bağıntısı olsun. A kümesinin R(<) a göre sıralama (sort işlemi) A da R(<) = t( ) olacak şekilde en küçük ( ) bağıntısını bulmak demektir. Eğer nın tanımlandığı A sonlu ise (2 n ) 2 t() = i olduğunu biliyoruz. t(α) yı oluşturma yöntemini veren teorem., n elemanlı A kümesi üzerinde tanımlanıyorsa n t() = i n k ( k>0 k i ) göstermek yetiyor. <x, y> k => nın D yönlendirilmiş grafında x ile y arasında bir dolaşı mevcuttur anlamını taşır (Dolaşıda düğüm ve ayrıtlardan istenildiği kadar geçilebilir. Yolda her düğümden ancak bir kere geçilebilir. Gezide düğümden istenildiği kadar, ayrıtlardan bir kere geçilebilir.). <x, y> k ifadesi, x ten y ye gitmek için k adım atıldığı anlamına gelir. Bu dolaşıda tüm çevreleri kaldırırsak iki düğüm arasında bir yol elde ederiz. <x, y> i burada 0 < i n arasında bir değerdir. i = n ancak x ve y düğümlerinin aynı olduğu ve yolun tüm düğümlerden geçtiği durumda olabilir. Teoremler: a) yansımalı ise s() ve t() da yansımalıdır. b) bakışlı ise, r() ve t() da bakışlıdır. c) geçişli ise, r() da geçişlidir. Ancak s() geçişli olmayabilir. a) nın tanıtı: yansımalı ise = E ( ) dır. s() = E ( ) E -1 ( ) -1 = E ( ) ( ) -1 = E r( ) n t() = (E ) i ve E = E = E n = E olduğuna göre = E () ( ) 2... ( ) n yansımalı bir bağıntıdır. Teoremler: a) rs() = sr() b) rt() = tr() c) ts() st() Tanıtlar: a) sr(r) = s(r E) = (R E) (R E) -1 = R E R -1 E -1 oysa E E -1 = E R R -1 = s(r) sr(r) = (R R -1 ) E = s(r) E = rs(r) yansıma
13 b) tr(r) = t(r E) rt(r) = t(r) E E birim bağıntı ER = RE E n = E n (R E) n = E R tr(r) = t(r E) = R E (R E) 2... (R E) n... = E R R 2... R n... = E t(r)... = rt(r) c) R 1 R 2 => s(r 1 ) s(r 2 ) t(r 1 ) t(r 2 ) s(r) R olduğuna göre ts(r) t(r) st(r) st(r) s(r) bakışlı ise t(s(r)) de bakışlıdır. Şu halde st(s(r)) = ts(r) => ts(r) st(r) bulunmuş olur., A üzerinde bir bağıntı ise + = t() ve * = tr() olarak gösterilir. Bağıntıların + ve * işlemleri formel dillerde, hesap modellerinde ve derleyici tasarımında kullanılır. P = { P 1, P 2,..., P n } bir program kitaplığında program ve alt programlar kümesi olsun. Bu kümede P i => P j ikili bağıntısı P i program P j yi çağırır anlamında kullanılsın. Bu durumda => + bağıntısı bir programın icrası sırasında çağrılan bir tüm alt programları kümesini ortaya çıkarmaya yarar. Örneğin (P i => + P j ) P i nin icrası sırasında P j çağrılır demektir. Oysa =>* bir programın yürütülmesi sırasında herhangi bir anda etkin olacak olan program ya da alt programlar kümesini ortaya çıkarmaya yarar. P i =>* P j, P i nin icrası sırasında P j uyarılıyorsa i (P i =>* P i ) her zaman doğrudur ancak P i => + P i ise => P i rekürsiftir (kendi kendini çağırıyordur).
MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri
DetaylıLeyla Bugay Doktora Nisan, 2011
ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904
Detaylı1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
Detaylı13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
DetaylıKARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR
KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR 2012-2013 Karakter Dizgisi Karakter Dizgisi Üzerine İşlemler Altdizgi Tanım 3.1.1: Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string)
DetaylıTanım Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string) X kümesindeki. boş karakter dizgisi (null string) denir ve l ile gösterilir.
BÖLÜM 3 Karakter Dizgileriil i Tanım 3.1.1 Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string) X kümesindeki öğelerden oluşan bir sonlu dizidir. Hiç bir öğesi olmayan bir karakter dizgisine boş karakter
DetaylıİÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48
İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri
DetaylıTemel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b
Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 İyi Sıralama 5 Bibliography 13 1 İyi Sıralama Well Ordering İyi sıralama kavramı, doğal sayıların
Detaylı1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)
Detaylı8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar
8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde
Detaylıolsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)
Detaylı8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR
8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: ve iki grup ve f : G H bir fonksiyon
Detaylıab H bulunur. Şu halde önceki önermenin i) koşulu da sağlanır ve H G bulunur.
3.ALT GRUPLAR HG, Tanım 3.. (G, ) bir grup ve nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer (H, ) bir grup ise H ye G nin bir alt grubu denir ve H G ile gösterilir. Not 3.. a)(h, ), (G, ) grubunun alt grubu
DetaylıBu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.
Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel
DetaylıBu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz.
1 BİR İŞLEMLİ SİSTEMLER Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1.1 İŞLEMLER Bir kümeden kendisine tanımlı olan her fonksiyona birli işlem denir. Örneğin Z
DetaylıMATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni
Detaylı15. Bağıntılara Devam:
15. Bağıntılara Devam: Yerel Bağıntılardan Örnekler: Doğal sayılar kümesi üzerinde bir küçüğüdür (< 1 ) bağıntısı: < 1 {(x, x+1) x N} {(0,1), (1, 2), } a< 1 b yazıldığında, a doğal sayılarda bir küçüktür
Detaylısayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye
KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile
DetaylıBMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1
BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Kümeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Kümeler Kümeler Ayrık Matematiğin en temel konularından biridir Sayma problemleri için önemli Programlama dillerinin
DetaylıCebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona
, 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
Detaylı10.Konu Tam sayıların inşası
10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir
Detaylı1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR
1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR Bu bölümde ilk olarak Matematikte çok önemli bir yere sahip olan Bağıntı kavramnı verip daha sonra ise Fonksiyon tanımı verip genel özelliklerini inceleyeceğiz. Tanım 1 A B
DetaylıSAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR
1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği
Detaylı{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde
1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve
DetaylıÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler
DetaylıMATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 4.KONU Latisler, Boole Cebri 1. Kısmi sıralı kümeler 2. Hasse Diyagramı 3. Infimum, Supremum 4. Latis (Kafes Lattice) 5. Latis (Kafes) Yapıları ve Özellikleri
Detaylı10. DİREKT ÇARPIMLAR
10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü
Detaylı6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016
6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği
DetaylıİKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden
Detaylı(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.
BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı
DetaylıLineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler
Lineer Cebir Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Bölüm 1 - Lineer Eşitlikler 1.1. Lineer Eşitliklerin Tanımı x 1, x 2,..., x
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi
Detaylı12.Konu Rasyonel sayılar
12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama
DetaylıCEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
ÖABT CEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT CEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi
DetaylıTanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. boş olmayan bir küme olsun. ile den üzerine bire-bir fonksiyonlar kümesini
DetaylıBÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14
İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi
DetaylıLeyla Bugay Haziran, 2012
Sonlu Tekil Dönüşüm Yarıgruplarının Doğuray Kümeleri ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Haziran, 2012 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup terimi ilk olarak 1904 yılında Monsieur l
Detaylı8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR
8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
DetaylıHESAP. (kesiklik var; süreklilik örnekleniyor) Hesap sürecinin zaman ekseninde geçtiği durumlar
HESAP Hesap soyut bir süreçtir. Bu çarpıcı ifade üzerine bazıları, hesaplayıcı dediğimiz somut makinelerde cereyan eden somut süreçlerin nasıl olup da hesap sayılmayacağını sorgulayabilirler. Bunun basit
Detaylı! " # $ % & '( ) *' ' +, -. / $ 2 (.- 3( 3 4. (
!"#$ %& '()*' ' +,-. / 0 100$ 2 (.-3( 34.( ,-. '45 45 6#5 6+ 6"#0" '7086 $ $ 89 44" :#! ;{0, 1, 2, 3,..., 9}, L * olarak tanımlı olsun ve sadece 2 ye veya 3 e bölünebilen ve önünde 0 olmayan pozitif sayılara
DetaylıL İ S E S İ MATEMATİK. Kümeler. Üzerine Kısa Çalışmalar
MTEMTİK T T Ü R K N D O L U L İ S E S İ M T E M T İ K Üzerine Kısa Çalışmalar KONY \ SELÇUKLU 017 MTEMTİK KÜMELER (CÜMLELER).1 Küme (Cümle) Kavramı Matematiğin dili mantıktır., matematiğin kendisini anlatabilmesini
Detaylı1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1
1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,
DetaylıÖrnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. w w w. m a t b a z. c o m ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER
Terim: Bir bilim dalı içerisinde konuşma dilinden farklı anlamı olan sözcüklerden her birine o bilim dalının bir terimi denir. Önermeler belirtilirler. p,q,r,s gibi harflerle Örneğin açı bir geometri terimi,
DetaylıKÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT
KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,
DetaylıKafes Yapıları. Hatırlatma
Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).
DetaylıŞimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak
10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.
DetaylıSOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.
SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan
DetaylıMustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü
* Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q
Detaylıiçin doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.
11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar
DetaylıFORMEL DİLLER VE SOYUT MAKİNALAR. Hafta 1
FORMEL DİLLER VE SOYUT MAKİNALAR Hafta 1 DİL VE FORMEL DİL KAVRAMLARI Dil, insanların karmaşık iletişim sistemlerini edinme ve kullanma becerisidir. Bir dilin formel olabilmesi için bazı niteliklerinin
DetaylıOtomata Teorisi (BİL 2114)
Otomata Teorisi (BİL 2114) Fırat İsmailoğlu Hafta 6: Pumping Lemma İçerikten Bağımsız Diller (1. Bölüm) 1 Hafta 6 Plan 1. Olmayana Ergi Yöntemi 2. Güvercin Yuvası Prensibi 3. Pumping Lemma 4. İçerikten
Detaylıiçin Örnek 7.1. simetri grubunu göz önüne alalım. Şu halde dür. Şimdi kalan sınıflarını göz önüne alalım. Eğer ve olarak alırsak işlemini kullanarak
7. Bölüm Grupları olmak üzere grubunu nasıl inşa ettiğimizi hatırlayalım. grubunun alt grubu grubu tüm olacak şekilde tüm sınıflardan oluşmuştur. Sınıfların toplamını ile, yani ile tanımlamıştık. Şimdi
DetaylıDeğişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.
1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya
Detaylı2. SİMETRİK GRUPLAR. Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. X boş olmayan bir küme olsun. S X ile X den X e tüm birebir örten fonksiyonlar
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Denklik Bağıntıları 5 Bibliography 13 1 Denklik Bağıntıları 1 1denklik 1.1 Eşitlik Günlük
DetaylıBuna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.
TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }
Detaylıİç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
DetaylıLisans. Cebirsel Yapı
Lisans Ayrık Matematik Cebirsel Yapılar H. Turgut Uyar Ayşegül Gençata Yayımlı Emre Harmancı 2001-2012 You are free: to Share to copy, distribute and transmit the work to Remix to adapt the work c 2001-2012
DetaylıLineer Denklem Sistemleri
Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin
Detaylı1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI
Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,
DetaylıTEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.
TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
DetaylıSORU 1: Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde. ÇÖZÜM 1: B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) = 0 gerçeklenir.
2.4 Lebesgue Dış Ölçüsü ve Lebesgue Ölçüsü SORU : Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde G R kümesinin varlığınıgösteriniz? ÇÖZÜM : B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) =
Detaylı1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler
. ÜNİTE: MANTIK . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir.
DetaylıAYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ
AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a
Detaylı8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye
DetaylıKPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1
SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
DetaylıAkademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal I / 9 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri
Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal I / 9 Mayıs 010 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. 0,3 1 + 0,5 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,1 B) 0,9 C) 1 D) 1,1 E) 10,1
DetaylıAB yönlü doğru parçası belirtilmiş olur. Doğrultusu, uzunluğu ve yönünden söz edilebilir.
HAZİNE-1 HAZİNE-2 Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir. Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.
DetaylıFONKSİYONLAR. Örnek: (2x-2,y-3)=(10,-3) olduğuna göre x ve y sayılarını bulunuz.
1 FONKSİYONLAR Sıralı İkili: A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, aa ve bb iken (a, b) ifadesine bir sıralı ikili denir. Burada a ya, sıralı ikilinin birinci bileşeni, b ye de ikinci bileşeni denir.
Detaylı0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c
0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade
DetaylıYENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK
YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel
DetaylıÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR
MATEMATİK ÜNİTE : TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar ADF 0 RAKAM Sayı oluşturmak için kullanılan sembollere... denir. 0 luk sayma düzenindeki rakamlar 0,,,... 8 ve 9 olup 0 tanedir. örnek a, b, c sıfırdan
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
DetaylıOtomata Teorisi (BIL 2114)
Otomata Teorisi (BIL 2114) Hafta 1: Amaç ve Genel Kavramlar bas kapa aç bas 1 Hafta 1 Plan 1. İletişim ve Ders Bilgisi 2. Otomata Teorisi Genel Bakış 3. Hedeflenen Kazanımlar 4. Matematiksel Nosyonlar
DetaylıKüme Temel Kavramları
Kümeler Kümeler Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa
DetaylıDers 8: Konikler - Doğrularla kesişim
Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu
DetaylıKÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT
KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,
DetaylıAtatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar
Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 01 MATEMATİK 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1. RAKAM Sayıların yazılmasında kullanılan sembollere rakam denir. Onluk
DetaylıTAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,
TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.
DetaylıGrup Homomorfizmaları ve
Bölüm 7 Grup Homomorfizmaları ve İzomorfizmalar Bu bölümde verilen gruplar arasında grup işlemlerini koruyan fonksiyonları ele alacağız. Bu fonksiyonlar yardımıyla verilen grupların cebirsel yapılarının
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Rasyonel Fonksiyonlar 5 Bibliography 35 Inde 39 Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme
Detaylı9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme
Detaylı9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı
9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,
DetaylıOlasılık Kuramı ve İstatistik. Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları
Olasılık Kuramı ve İstatistik Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları OLASILIK Olasılık teorisi, raslantı ya da kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Raslantı
DetaylıÜNİTE 11 ÜNİTE 9 MATEMATİK. Kümeler. 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler. 9. Sınıf Matematik
ÜNİTE 11 ÜNİTE Kümeler 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler 9 MATEMATİK 1. ÜNİTEDE HEDEFLENEN KAZANIMLAR 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR Kazanım 9.1.1.1: Küme kavramını
DetaylıAlgoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 2 Veri Modelleri. Mustafa Kemal Üniversitesi
Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 2 Veri Modelleri Veri modelleri, veriler arasında ilişkisel ve sırasal düzeni gösteren kavramsal tanımlardır. Her program en azından bir veri modeline dayanır. Uygun
Detaylı140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c
138. a ve b gerçel sayılardır. a < a, 6a b 5= 0 b ne olabilir? (11) 4 5 8 11 1 139. < 0 olmak üzere, 4 3. =? ( 3 ) a 1 140. < a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9,4,7 3,
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Operatörler 5 Bibliography 19 Index 23 1 Operatörler İşlemler 1.1 Operatör Nedir? İlkokulden
DetaylıA { x 3 x 9, x } kümesinin eleman sayısı A { x : x 1 3,x } kümesinin eleman sayısı KÜMELER
KÜMELER Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış bir listesidir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine kümenin elemanı denir. Kümeler genellikle A, B, C,... gibi büyük harflerle gösterilir. x nesnesi A kümesinin
Detaylıp sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?
07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin
DetaylıT.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının
DetaylıT.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının
Detaylı1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)
.DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli
DetaylıNİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4
NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P
Detaylı