ÖLÇME BĐLGĐSĐ. Ders Notları. Yrd. Doç.Dr. Orhan KURT. KOCAELĐ ÜNĐVERSĐTESĐ Yayın No: 428

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ÖLÇME BĐLGĐSĐ. Ders Notları. Yrd. Doç.Dr. Orhan KURT. KOCAELĐ ÜNĐVERSĐTESĐ Yayın No: 428"

Transkript

1 Ölçme ilgisi Ders Notlr KOELĐ ÜNĐVERĐTEĐ Yyın No: 48 ÖNÖZ Jeodezi ve Fotogrmetri Mühendisliği uzmnlık lnının nbilim Dllrındn birisi oln Ölçme Tekniği; temel ölçü letleri, bu letler ile gerçekleştirilen ölçme yöntemlerini ve bu letler ile elde edilen ölçülerin değerlendirilmesi konulrını kpsmktdır. Ölçme ilgisi yd Topogrfy dersleri ltınd Ölçme Tekniği n ilim dlının konulrı tmmı yd bir bölümü işlenmektedir. Küçük lnlrı kpsyn çlışmlrd düzlem geometri, bir kenti kpsyn çlışmlrd küresel geometri, bir bölgeyi (birkç kenti) yd bir ülkeyi kpsyn çlışmlrd elipsoit geometrisinden yrrlnılır. 006 yılındn beri sım Kocbıyık Meslek Yüksekokulu Đnşt ölümü, Đnşt Teknolojileri nde Ölçme ilgisi ve güncellenmiş dıyl Topogrfy dersinden bşrılı oln öğrencilerin, temel ölçme ve değerlendirme tekniklerini kullnbilmesi ön görülmüştür. u bğlmd, öğrencilerin; ÖLÇME ĐLGĐĐ Ders Notlrı Temel trigonometrik bğıntılrı ve temel üçgen çözümlerini kullnbilmesi, Temel ödevleri kullnbilmesi, Uygulmd kullnıln koordint ve yükseklik bilgilerini kvrmsı, Yty konum belirleme yöntemlerini (prizmtik lım, kutupsl lım) kullnbilmesi, Düşey konum belirleme yöntemlerini (geometrik, trigonometrik, brometrik) kullnbilmesi ln ve hcim hesplrı ypbilmesi, mçlnmktdır. Ders notlrının gözden geçirilmesi ve sım KOIYIK Meslek Yüksekokulu nd ders notu olrk bstırılmsı konulrınd beni cesretlendiren ve yrdımlrını esirgemeyen Đnşt Teknolojileri ölüm şknı Yrd.Doç Dr. Önder EKĐNĐ ye sonsuz teşekkürlerimi sunrım. Öğrencilerimize ve meslektşlrımız yrrlı olmsı en büyük dileğimdir. Yrd. Doç.Dr. Orhn KURT Orhn KURT 0 KOELĐ ÜNĐVERĐTEĐ Mühendislik Fkültesi Hrit Mühendisliği ölümü Öğretim Üyesi 0 Koceli / 60

2 Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr Đçindekiler 0. Giriş ÖNÖZ... Đçindekiler Giriş...4. Noktlrın Đşretlenmesi Geçici Đşretler Klıcı Đşretler.... Konum elirlemede Kullnıln Ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri..... Uzunluk Kvrmı ve Uzunluklrın Ölçülmesi:..... çı Kvrmı ve çılrın Ölçülmesi: Yükseklik Kvrmı ve Yüksekliklerin Ölçülmesi Yty Konum ilgilerinin Elde Edilmesi Yty Konum ilgileri rsındki dönüşümler: Yn Nokt (Prizmtik lım) Hesbı : Kutupsl lım Düşey Konum ilgilerinin Elde Edilmesi Kullnıln let-ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri Geometrik Nivelmn: Trigonometrik Nivelmn: rometrik Yükseklik Ölçüsü: Yüzey Nivelmnı ln Hesplrı Düzgün Geometrik Şekillerin lnlrı Çokgenlerde ln Hesplrı: Hcim Hesplrı Plnkote (Kotlu Pln) Çıkrılmsı Üç oyutlu Konum ilgilerinin Elde Edilmesi Kullnıln let-ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri Kynklr...37 Ek. Trigonometri...38 Ek. Temel ödevler...39 Ek 3. rzi Uygulmsı Örnekleri...40 Ek 4. Hftlık Ödevler...57 Konum belirleme üç n bölüme yrılır.. Yty konum belirleme: u yöntemde; noktlr rsı yty bğıl ilişkiler yty çı ve yty kenr ölçülerinden elde edilir. Yeni noktlrın mutlk konumlrı, yty referns sisteminde mutlk konumlrı bilinen dynk noktlrı ile sğlnır.. Düşey konum belirleme : u yöntemde; noktlr rsı düşey bğıl ilişkiler yükseklik frkı, düşey çı - yty kenr y d düşey çı - eğik kenr ölçülerinden elde edilir. Yeni noktlrın yükseklikleri, yükseklik referns sisteminde mutlk yükseklikleri bilinen dynk noktlrı ile sğlnır. 3. Üç boyutlu konum belirleme: Üç boyutlu konum belirmede noktlr rsı bğıl ilişkiler eğik uzunluklr, düşey çılr ve yty çılr elde edilir. u işlem iki frklı şekilde gerçekleştirilebilir. irincisi üç boyutlu konum bilgilerinin yrı yrı düşünülerek elde edildiği yöntemlerdir (yty+düşey). Đkincisi ise üç boyutlu bğıl konumlrın ynı nd belirlenebileceği bir referns sistemin ile sğlnır. ğıl ilişkiler belirlendikten sonr noktlrın konumlrı referns sistemindeki konumlrı bilinen dynk noktlrı ile sğlnır. Dönel elipsoit: üyük yrı ekseni ve küçük yrı çpı b yrıçplı bir elipsin eksenleri biri etrfınd döndürülmesi ile elde edilen Geoit: Krlrın ltınd devm ettiği düşünülen durgun deniz yüzeyinin oluşturduğu yüzeye verilen ddır. u yüzeyin biçimini, büyük çoğunlukl Dünyyı oluşturn frklı yoğunluktki kitlerin dğılımı ve dünynın kendi ekseni etrfınd dönmesi oluşmktdır. Pürüzsüz bir pttese benzeyen Geoit yklşık olrk /300 ornınd bsıklığı oln bir dönel elipsoide benzemektedir. Dtum: Kelime nlmı bşlngıç yeri y d referns noktsı nlmın gelen dtum; jeodezi kullnıln ölçme sistemlerine göre iki n bölüme yrılır. Yty dtum düşey dtum. Düşey dtum: Düşey dtum Geoittir. Mühendislik projelerindeki yükseklikler bu dtum göre belirlenir. Yty dtum: Düşey dtum oln Geoit üzerinde yty konum belirlemek çok güçtür. unun yerine Geoidi iyi temsil eden, mtemtik yüzeyi koly tnımlnn ve üzerinde mtemtik modellemelerin dh koly kurulduğu bir dönel elipsoit seçilir. Yty dtum belirleme, bu dönel elipsoidin yere uygun bir şekilde yerleştirilmesi işlemidir (Şekil-) Tblo. Dünyd yygın olrk kullnıln Dönel Elipsoit prmetreleri (GP:Globl Positioning ystem) Elipsoit (m) b (m) çıklm Hyford (ED50) Europe Dtum 950, Uluslr rsı elipsoit GR Geodedic Referns ystem 980, D WG World Geodedic ystem 884, GP essel lmnyd Kullnılır Krssowsky Doğu loku Ülkelerinde Kulnılır UTM (Universl Trnsversl Merktor) Projeksiyonu: Uygulmd kullnıln yty koordintlr bu projeksiyon göre hesplnırlr. UTM projeksiyonı benzerlik korum özelliği oln ytık konumlu silindirik projeksiyon türüdür. Dönel elipsoit (yklşık Geoit yd deniz yüzeyi) üzerine indirgenen ölçüler yd mutlk konum bilgileri, bir düzlem yüzey oln projeksiyon yüzeyine ktrılırlr. X,Y,Z Krtezyen koordintlr ϕ, λ, h Jeodezik (elipsoidl koordintlr) koordintlr x, y UTM (Universl Trnsversl Merctor) Projeksiyon koordintlrı H Ortometrik yükseklik (Geoit ten oln yükseklik) h Elipsoit yüksekliği (Referns Elipsoidinden oln yükseklik) N Geoit yükseklikleri (ondilsyonlrı, dlglnmlrı) 3 / 60 4 / 60

3 Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr Not : Uygulmd (x,y,h) konum bilgileri kullnılır. X Greenwich Geoit H = h + N (X,Y,Z) (ϕ,λ,h) (x,y,h) (x,y,h) (ϕ,λ,h) (X,Y,Z) Şekil. Krtezyen koordintlr (X, Y, Z) ile elipsoidl koordintlr (ϕ, λ, h) ve UTM projeksiyon koordintlrı (x, y) rsındki ilişki. (*) ; * ın projeksiyonu nlmınd kullnılmıştır. Z ekseni: Yerin dönme eksenine prlel XY düzlemi: Greenwich meridyen düzlemine prlel Y ekseni: ğ el koordint sistemini tmmlyck şekilde XY düzlemine dik : Ekvtordki yrıçp b: yerin dönme eksenindeki yrı çp. ) (X,Y,Z) (ϕ,λ,h) Dönüşüm Yinelemeli y d doğrudn olmk üzere iki çözüm yöntemi kullnılır. şğıd doğrudn çözüm bğıntılrı verilmiştir. Yinelemeli çözüm için (Hofmn-Wellenhof vd., 997; eeber, 993; Leick, 999) kynklrındn yrrlnılbilir. e= b e = b N = cos ϕ+ b sin ϕ = ( e) esin ϕ 3 Z+ e b sin t Y ϕ= rctn 3 λ= rctn cos t X b) (ϕ,λ,h) (X,Y,Z) Dönüşüm N = = cos ϕ+ b sin ϕ b Z λ i λ 0 Y i h i ϕ i ( e) esin N i Ekvtor ϕ b M= ( e) 3/ p = X + Y esin ϕ p h = cosϕ b X = (N+ h) cosϕ cosλ Y = (N+ h) cosϕ sinλ Z= ( N+ h) sinϕ P i H i Z i X i Y x (Kuzey) x i (λ 0 ) y i //x γ (λ i ) Z t = rctn p b (P i ) (ϕ i ) Ekvtor cos ϕ+ b sin ϕ y (Doğu) c) (ϕ,λ) (x,y) Dönüşüm L = λ-λ 0 t = tnϕ η = ( b )(cosϕ/b) N = /b/(+η) / n = ( b)/(+b) b = (+b)( / + n /8 + n 4 /8 ) b = 3n / + 9n 3 /6 3n 5 /3 b 3 = 5n / 6 5n 4 / 3 b 4 = 35n 3 / n 5 / 56 b 5 = 35n 4 / 5 x = b ( ϕ + b sin(ϕ) + b 3 sin(4ϕ) + b 4 sin(6ϕ) + b 5 sin(8ϕ) ) + (L cosϕ) t N / + (L cosϕ) 4 ( 5 t + 9η + 4η ) / 4 + (L cosϕ) 6 ( 6 58t + t η - 330t η ) / 70 + (L cosϕ) 8 ( 385 3t + 543t 4 t 6 ) / y = N L cosϕ + (L cosϕ) 3 ( t + η ) / 6 + (L cosϕ) 5 ( 5 8t + t 4 + 4η 58t η ) / 0 + (L cosϕ) 7 ( 6 479t + 79t 4 t 6 ) / d) (x,y) (ϕ,λ) Dönüşüm n = ( b) / ( + b) b = (+b)( / + n /8 + n 4 /8 ) b = 3/ η 7/3 η /5 η 5 b 3 = /6 η 55/3 η 4 b 4 = 5/96 n /8 η 5 b 5 = 097/5 η 4 ϕ 0 = x/b + b sin(x/b ) + b 3 sin(4x/b ) + b 4 sin(6x/b ) + b 5 sin(8x/b ) t = tnϕ 0 η = ( b )(cosϕ 0 /b) N = /b/(+η) / ϕ = ϕ 0 + t(y/n) ( η )/ + t(y/n) 4 ( 5 + 3t + 6η 6t η 3η 9t η )/4 + t(y/n) 6 ( 6 90t - 45t 4 07η + 6t η + 45t 4 η )/70 + t(y/n) 8 ( t t t 6 )/ λ = λ 0 + y / (N cosϕ 0 ) + (y/n) 3 ( t η)/(6cosϕ 0 ) + (y/n) 5 ( 5 + 8t + 4t 4 + 6η + 8t η )/(0cosϕ 0 ) + (y/n) 7 ( 6 66t 30t 4 70t 6 )/(5040cosϕ 0 ) / 60 6 / 60

4 Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr Ülkemizde kullnıln dtum türleri. (http://www.hgk.mil.tr/urunler/jeodezikurunler.sp) ĐNĐ ŞEKLĐ DEDĐ ÖZELLĐKLERĐ Türkiye Ulusl Temel Nirengi ğı Noktlrı Türkiye Ulusl Düşey Kontrol (TUDK) ğı Noktlrı (Nivelmn ) Türkiye Ulusl Deniz eviyesi Đzleme istemi (TUDE) Türkiye Ulusl Temel GP ğı (TUTG) Noktlrı Türkiye Ulusl bit GP Đstsyonlrı ğı (TUG) Türkiye Temel Grvite ğı (TTG) Noktlrı Tmmlnn Plnlnn Fl 9 Plnlnn det I inci Derece,33 det II nci Derece, üncü Derece ve üncü Derece nokt ihtiv etmektedir. 307 det I ve I inci Derece nirengi noktsınd stronomi ölçüsü ypılmıştır. 997 det I inci Derece ve 654 det II nci Derece nokt ihtiv etmektedir. Đskenderun,Erdemli,ntly II, odrum II, Mentes/Izmir, Erdek, Mrmr Ereglisi, Đgned, msr, inop nd Trbzon II siteleri tmmlndı. Türkiye geneline 5-70 km rlıklr ile homojen olrk dğılmış, her noktsınd 3 boyutlu konum ve hızlrı belirli oln 594 noktdn oluşn ğdır. Türkiye genelinde dğılmış noktlrd 365 gün 4 st kesintisiz olrk jeodezik ve jeodinmik mçlr doğrultusund uydu bilgileri toplyn sbit GP istsyonlrındn oluşn bir ğdır.. 55 det I inci Derece, 3 det mutlk grvite, 3940 det II nci Derece ve 650 det sıklştırm noktsı ihtiv etmektedir TNIMLR (http://www.hgk.mil.tr/urunler/jeodezikurunler.sp) Jeodezi : Yeryuvrının şekil, boyut ve grvite lnı ile zmn bğlı değişimlerinin üç boyutlu bir koordint sisteminde tnımlnmsını mçlyn bir bilim dlıdır. Jeoid : Durgun okynus yüzeyi ile özdeş oln ve krlrın ltınd d devm eden eşpotnsiyelli bir yüzeydir. Jeoid Yüksekliği : ir noktdn geçen çekül eğrisinin jeoidi kestiği nokt ile kullnıln elipsoid rsındki yükseklik frkıdır. Diğer bir ifde ile elipsoid yüksekliği ile ortometrik yükseklik rsındki frktır. Grvite : Yeryüzündeki bir cismi etkileyen; yerçekimi kuvveti ve yerin dönmesinden kynklnn merkezkç kuvvetlerinin bileşkesidir. Ortometrik Yükseklik : ir noktnın çekül eğrisi boyunc jeoide oln uzklığın o noktnın ortometrik yüksekliği denir. Nivelmn : Noktlr rsındki yükseklik frkının ölçme yöntemidir. GP : D vunm Diresi (DoD) trfındn işletilen; dünynın her hngi bir yerinde konum, hız ve zmn belirleyen, 4 (+3 yedek) uydudn oluşn bir rdyo nvigsyon uydu sistemidir. Jeodezik GP uygulmsı; GP verilerinden, fz ve kod bilgileri kullnılrk en z iki jeodezik lıcı ile toplnn verilerden nokt koordintı ve koordint frklrı belirlenir. DGP (Difernsiyel GP) : GP ölçülerine çeşitli etkenlerden kynklnn htlrı gidermek için Difernsiyel GP düzeltmesi uygulnrk ypıln konumlm türüdür. Ülke Temel Jeodezik ğlrı : Ülkemizin bütününü kpsyn, yeryüzüne uygun rlılrl işretlenen, konumlrı ve grvite değeri bilinen noktlrın oluşturduğu ğlrdır. Ülkemizde TUTG, TUG, TUDK, TTG, TUDE, Mnyetik ğ ve TUD-54 mevcut olup bunlr şğıd çıklnmktdır. TUTG (Türkiye Ulusl Temel GP ğı) : WG-84 koordint sisteminde, zmn noktsınd, her noktsınd enlem, boylm, elipsoid yüksekliği, ortometrik yükseklik ve jeoid yüksekliği bilinen,5-70 km. rlıklı 594 noktdn oluşn ğdır. TUG (Türkiye Ulusl bit GP Đststsyonlrı ğı) : Jeodezik ve jeodinmik mçlrl kullnmk ve Difernsiyel GP (DGP) hizmeti sunmk için, sürekli GP verisi toplyn, Türkiye geneline dğılmış sbit GP noktlrındn oluşn bir ğdır. TUDK (Türkiye Ulusl Düşey Kontrol (Nivelmn) ğı) : Ülke boyutund kryollrı boyunc - km. rlıklrl işretlenen ve ortometrik yükseklikleri bilinen noktlrın oluşturduğu ğdır. TTG (Türkiye Temel Grvite ğı) : Jeodezik, jeofizik ve jeodinmik mçlı çlışmlrd kullnıln, yüksek doğrulukl grvite değeri bilinen, ülke genelinde 6658 noktdn oluşn ğdır. TUDE (Türkiye Ulusl Deniz eviyesi Đzleme istemi) : Düşey Kontrol ğının bşlngıcını (Düşey Dtum) belirlemek mcıyl işletilen veri merkezi ve mreogrf istsyonundn oluşn ğdır. Mnyetik ğı : Ülke boyutund km. rlıklı işretlenen ve mnyetik ln prmetreleri ile zmnl değişiminin bilindiği noktlrdn oluşn ğdır. Yty Kontrol (Nirengi) ğı (Türkiye Ulusl Dtumu-954 (TUD-54) ) : Ülke bütününü kpsyn, yeryüzüne 5-40 km. rlıklrl işretlenen, çı ve kenr ölçüleri ile enlem ve boylmlrı hesplnn noktlrın oluşturduğu ğdır. Türkiye Ulusl Mnyetik ğı Noktlrı det seküler nokt ve 000 det sıklştırm noktsı ihtiv etmektedir. 7 / 60 8 / 60

5 Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr. Noktlrın Đşretlenmesi Çlışm bölgesinde lımı yd pliksyonu ypılck oln bölgede rzi çlışmlrı sırsınd kullnılck oln nokt işretleme türleridir. Geçici ve klıcı olmk üzere iki türlü işretleme ypılır (Şekil-4,5). Đstikşf: lımın en uygun şekilde gerçekleştirilebilmesi, sbit noktlrın lımı ypılck noktlrı ve birbirlerini iyi görebilmeleri için rzide dolşılrk önceden sbit nokt yerlerinin belirlenmesi işlemine denir. özgelimi; Nirengi Đstikşfı, Poligon Đstikşfı yd Rs Đstikşfı. Knv: bit noktlrın birbirlerine göre konumlrını ve ölçme plnı gösteren krokilere denir. özgelimi; Nirengi Knvsı, Poligon Knvsı yd Rs Knvsı (Şekil-3). N N N P. P.5 P.6 P. P. Rs. P. P.0 P.7 N3 N0 N N P.4 P. P.3 P.9 P.4 P.8 P.3 P. Rs. Şekil 3. Nirengi, Poligon ve Rs(Referns eviyesi) Knvlrı... Geçici Đşretler Jlon : rzide noktlrın geçici olrk işretlenmesinde, doğrultuy girme, dik inme ve dik çıkm işlemlerinde kullnıln, vey 3 m uzunluğund, 3-4cm çpınd bir ucund demir çrık bulunn, fırınlnmış ğç yd demir borudn ypılmış bsit bir lettir (Şekil-4). Jlon ehpsı : Jlonun geçebileceği demir bir çembere bğlnmış üç yktn oluşn 70-80cm boyund bir düzenektir (Şekil-4b). () (b) (c) (d) Şekil-. 3 o Dilimlik UTM Prokseyonund pft bölümlemesi ve isimlendirmesi. (Hzırlyn: Erdinç Örsn ÜNL). Şekil 4. Jlon, jlon sehpsı, çekül ve fiş. 9 / 60 0 / 60

6 Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr Çekül (Şkul) : ir ipe sılmış lt ucu sivri bir ğırlıktn ibrettir. Çekül srkıtıldığınd ipin doğrultusunun ğırlığın sivri ucundn geçmesi gerekir (Şekil-4c). Fiş : ir ucu hlk şeklinde kıvrılmış ipe sılmış lt ucu sivri bir ğırlıktn ibrettir (Şekil-4d)... Klıcı Đşretler Demir Çivi yd oru : 0-0cm uzunluğund -3cm klınlığınd dire kesitli demir çiviler yd borulrdır. Genellikle meskun lnlrd yd sert zeminlerde (sflt, beton,..vb.) kullnıln zemin tesisleridir. kör poligonlrın işretlenmesinde ve küçük bölgesel çlışmlrd kullnılır (Şekil-5,5b). Tht kzık : 0-5cm uzunluğund 3-5cm klınlığınd kre kesitli hşp kzık. Kzığın toprk üstünde kln bölümünde krenin köşegenlerinin kesişim ine çivi çkılrk kullnıln zemin tesisidir. Genellikle kör poligonlrın işretlenmesinde ve küçük bölgesel çlışmlrd kullnılır (Şekil-5c). eton Zemin : 30-70cm uzunluğund dr kısmı 0-30cm ve geniş kısmı 30-40cm rsınd değişen büyük çoğunlu toprk ltınd kln beton zemin tesisleridir. Genellikle meskun olmyn lnlrd yd yumuşk zeminlerde kullnıln zemin tesisleridir. Nirengi, Rs ve poligon noktlrının işretlenmesinde kullnılırlr (Şekil-5d). Pilye : 0-40cm'si zemin dışınd kln, genişliği 30-40cm rsınd değişen ve yerinde inş edilen beton zemin tesisleridir. Genellikle meskun olmyn lnlrd yd yumuşk zeminlerde kullnıln zemin tesisleridir. Nirengi noktlrının işretlenmesinde kullnılırlr (Şekil-5e). Rs Duvr Tesisi: Genellikle resmi bin, cmi duvrı yd okul duvrlrın tkıln tesislerdir. Yklşık 5-7cm klınlığınd 0-5cm uzunluğunddır. Rs noktlrı işretlenmesinde kullnılırlr (Şekil-5f).. Konum elirlemede Kullnıln Ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri.. Uzunluk Kvrmı ve Uzunluklrın Ölçülmesi: ÇŞM (Çelik Şerit Metre) EUÖ (Elektronik Uzunluk Ölçer) Optik (bz ltlrı ve yty çı yrdımıyl) ) ÇŞM: Uygun bir kuvvetle (genellikle ~0kg) gerdirilen ÇŞM yty düzleme prlel hle getirilerek uzunluk okunmsı ile elde edilir. Uzun mesfelerde ÇŞM doğrultuy sokulduktn sonr, bsmklı ölçme yöntemine göre prç prç uzunluklrın toplmı sonucu elde edilir (Şekil 6). Şekil 6. Çelik Şerit Metre ile yty uzunlulrın elde edilmesi. b) Optik:Genellikle bir bz ltsının (m) iki ucu gerçekleştirilen yty doğrultu gözlemleri elde edilir (Şekil 7). z ltsı yty konumlu yd düşey konumlu (klsik tkeometrik lımd) olbilir. = r - r tg = b c = + b +c b den = cotg olur. b=m lınırs = cotg m olur. b b b r r Şekil 7. Optik uzunluk ölçüsü. b () (b) (c) (d) (e) (f) Şekil 5. Demir çivi, demir boru, ğç kzık ve beton zemin, pilye, Rs duvr tesisi. {Poligon: eton, boru, demir çivi ve ğç kzık, Nireng : Pilye, zemin tesisi, Rs(Referns eviyesi): Zemin tesisi, duvr çivisi } / 60 c) EUÖ: Elektronik tkeometre ile yty doğrultulr (r), eğik uzunluklr (E) ve düşey çılr (Z) doğrudn ölçülebilen büyüklüklerdir. Yty uzunluklr (), eğik uzunluklr (e) ve bu eğik uzunluklr it düşey çı (Z) ölçüleri ile elde edilirler (Şekil 8). E cosz Z = E sinz E Şekil 8. Elektronik Tekeometre ile yty ve düşey uzunlulrın elde edilmesi. Z = E sinz E E cosz / 60

7 Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr.. çı Kvrmı ve çılrın Ölçülmesi: b) Teodolitlerin genel ypısı ve eksenleri ) çı kvrmı Yty doğrultu ve düşey çı ölçülerinde kullnıln letlere teodolit denir. Çekül eğrisi:yerçekimi ve merkez kç kuvvetinin etkisiyle oluşn, bulunduğu noktd Geoide dik oln ve uzntısı ğırlık merkezinden geçen çekül doğrultusudur. Çekül eğrisi, ölçme sistemlerimiz ile fiziksel yeryüzü rsınd ilişki kurbildiğimiz tek olgudur (Şekil-9). şucu (Zenit) : Çekül eğrisini dış uzy uznn doğrultusu (Şekil-9). yk ucu (Ndir): Çekül eğrisinin yerin merkezine uznn doğrultusu (Şekil-9). DÜŞEY ÇI DĐREĐ FENKLJ M sl eksen Y Yöneltme y d Nişn (Kolimsyon) ekseni Yty çı ( i =r i -r 0 ): let kuruln noktnın yty düzleminde ölçülen çılrdır. Yty çı doğrudn ölçülmez. Đki doğrultunun frkı ile st ibresi yönünde elde edilen çıdır (Şekil-9). Düşey çı (ş ucu çısı) ( Z ): Duruln ve bkıln noktyı içinde bulundurn ve yty düzleme dik düşey düzlemde bulunn düşey çı, bşucu noktsı ile dürbünün yöneltme ekseni rsındki çıdır. Doğrudn ölçülebilen bir çıdır (Şekil-9). P DÜRÜN Y ĐLĐNDĐRĐK DÜZEÇ D Yty (muylu) ekseni M Düzeç ekseni D Yty Eksen Düzlemi Z Z γ δ r Üç yklr YTY ÇI DĐREĐ Şekil 0. Teodolitin temel ypısı ve n eksenleri. r Şekil 9. Doğrudn ölçülebilen ve doğrudn ölçülemeyen çı türleri ( :Çekül doğrultusu). Eğim çısı ( δ=π/ Z ): Düşey çı ile ynı düzlemde bulunn ve π/ Z bğıntısı ile hesplybileceğimiz eğim çısı, düşey düzlemde yer lır. Doğrudn ölçülebilir yd düşey çılrdn elde edilebilir(şekil-9). Uzy çı ( γ ): Üç boyutlu uzydki iki doğrultu rsındki çıdır. Doğrudn ölçülemeyen uzy çı bileşenleri oln yty ve düşey çı rcılığı ile hesplnbilir (Şekil-9). Doğrudn Ölçülebilen büyüklükler Z i (i=,) r i (i=,) δ i (i=,) : Düşey çı: Teodolitler ile ölçülürler : Yty doğrultu: Teodolitler ile ölçülürler : Eğim çılrı (i=,): Klizimetre ile ölçülürler Đlk ölçülerin doğrusl fonksiyonlrı ile türetilebilen büyüklükler = r r : Yty çı: iki yty doğrultu frkı δ i = π/ Z i (i=,) : Eğim çılrı: (i=,) Klizimetre ile ölçülürler γ : Uzy çı: Üç boyutlu uzyd iki doğrultunu kesişimi ile elde edilen çı cosγ = cosz cosz + sinz sinz cos Küresel trigonometride kenr kosinüs teoreminden δ P ir Teodolitin doğru olrk çlışbilmesi için gerekli oln eksen koşullrı ve eksen htlrının giderilmesi: ) DD : Düzeç eksen htsı: Düzeç ekseni sl eksene dik olmlı: Ölçe yöntem ile giderilemez, let kullnılmdn önce bu ht giderilmelidir. u htyı gidermek için; letin silindirik düzeci düzeçlenir ve let sl eksen etrfınd 00 g döndürülür. ilindirik düzeç kymış ise lette düzeç eksen htsı vr demektir. Htnın yrısı üç yk vidlrındn diğer yrısı ise silindirik düzeç yr vidsındn giderilir. Düzeç eksen htsı kontrolü tekrrlnır. Ht vr ise yukrıdki işlemleler silindirik düzeç htsı giderilene kdr tekrrlnır. ) MM : Yöneltme eksen htsı (Yty Kolimsyon): Yty eksen sl eksene dik olmlı, letin üretimi sırsınd fbrikd giderilmelidir. 3) YY MM : Yty eksen htsı (Düşey Kolimsyon): Yöneltme ekseni yty eksene dik olmlı, dürbünün her iki durumund ypıln ölçüler ile giderilir. c) Dürbünler - Mercekler Ykınsk mercekler Irksk mercekler - üyütme - Görüş lnı 3 / 60 4 / 60

8 Ölçme ilgisi Ders Notlr d) Düzeçler - ilindirik düzeçler ilindirik düzecin duyrığı ilindirik düzeç htsı ve giderilmesi - Küresel düzeçler e) Teodolitlerde eksen htlrı ve giderilmesi - Yty kolimsyon - Düşey kolimsyon - Đndeks Htsı çı okum yeteneklerine Göre Teodolitlere Verilen Genel Đsimler T (Tkeometreler): Dety ve yrıntı nokt ölçümlerinde kullnıln; doğrultu ve düşey çı ölçülerini virgülden sonr. y d 3. bsmğ kdr doğrudn okuybilen letlerdir. ) Optik uzunluk ölçüsü b) Okum düzenleri c) Tkeometre ölçüsü ve hesbı T: Tmmlyıcı, yrdımcı (Üçüncü, dördüncü ve dizi) nirengi ve poligon ölçümlerinde kullnıln; doğrultu ve düşey çı ölçülerini virgülden sonr 4. bsmğ kdr doğrudn okuybilen letlerdir. ) Okum düzenleri b) Yty-düşey çı ölçüsü ve hesbı: T3: n (birinci ve ikinci derece) nirengi ölçümlerinde kullnıln; dürbün büyütmesi oldukç iyi oln, doğrultu ve düşey çı ölçülerini virgülden sonr 5. bsmğ kdr doğrudn okuybilen letlerdir. ) Okum düzenleri b) çı ölçüsü ve hesbı T4 (Evrensel teodolit): stronomik ölçümlerde kullnıln; dürbün büyütmesi oldukç iyi oln, doğrultu ve düşey çı ölçülerini virgülden sonr 5. bsmğ kdr doğrudn okuybilen letlerdir. Jiroskop: Genel ypısı teodolitlere benzeyen üzerine eklenen jiroskop dı verilen donnım yrdımı ile gözlemciyi kendi coğrfi meridyenine sokmy yryn ve böylece gözlemcinin ölçtüğü kenrın mnyetik kuzeyle yptığı çıyı doğrudn ölçebilmeyi sğlyn letlerdir. ) Yty çı Ölçme Yöntemleri:.) ir Tm Dizi (ilsile) çı Ölçme Yöntemi: u çı ölçme yönteminde kç dizi gözlem ypılck ise bşlngıç doğrultulrı 00 g /n (n:dizi syısı) kdr kydırılır. Örneğin 5 dizi ypılck oln bir çı ölçüsünde 00 g /5=40 g her bir dizi bşlngıçlrı rsındki frk yklşık 40 g olmlıdır. şlngıç doğrultulrı ~0., ~40., ~80., ~0., ~60. şeklinde lınır. u seçimin htsı bölümleme htsını zltmk ve bir önceki çı okumlrındn etkilenmemek için ypılır. let birinci doğrultuy yönlendirilir. t ibresi yönünde ikinci, üçüncü ve sonuncu noktlr doğrultu okumlrı ypılır. let ikinci durum lınrk; son noktdn st ibresinin tersi yönünde hreket edilerek birinci nokty ulşılır. öylece bir tm dizi tmmlnmış olur. 5 dizi ölçülecek is bu işlem beş kez ynı şekilde tekrrlnır. u ölçme yöntemi sonund; letin yty-düşey kolimsyon, bölümleme ve sürüklenme htlrının etkileri ölçülerden rındırılmış y d zltılmış olur. Ölçme ilgisi Ders Notlr Uygulm : Đki tm dizi yty çı ölçüsü ve hesbı. n= olduğundn iki tm dizinin bşlngıç doğrultulrı rsındki frk 00 g / ~ 00 g olur. =r r =4.08 g β=r 3 r = g Tm dizi yty çı ölçüsü ve hesbı tblosu. Dizi Doğrultulr (g) No DN N (I+II) ıfır Ortlm I. Durum II.Durum Đndirgeme (g) ) Đki Yrım Dizi (ilsile) çı Ölçme Yöntemi: u çı ölçme yönteminde birinci dizinin ilk yrımı herhngi bir bşlngıç doğrultusu ile bşlr ve tm dizi çı ölçüsünün birinci yrımın (I. durumun) benzer şekilde st ibresi yönünde son nokty kdr oln bütün doğrultulr ölçülür. let ikinci durum lınır, birinci ölçümün etkisinde klmmk için bşlngıç doğrultusu birkç grd(gon) kydırılır. Tekrr birinci noktdn bşlnrk st ibresi yönünde son nokty kdr oln bütün doğrultulr ölçülür. öylece iki yrım dizi (= tm dizi) yty çı ölçümü gerçekleştirilmiş demektir. enzer şekilde yrım dizi ölçü syılrı rtırılrk hesplnn doğrultu ve çılrın güvenirlikleri rtırılbilir. u ölçme yöntemi sonund; letin yty-düşey kolimsyon rındırılmış y d zltılmış olur. Uygulm : ir önceki uygulmnın şekline göre (DN: ve N:, ve 3 ) dört yrım (iki tm) dizi yty çı ölçüsü ve hesbı. =r r =4.08 g β=r 3 r = g 4 yrım (= tm dizi) yty çı ölçüsü ve hesbı tblosu. Dizi Doğrultu (g) ıfır Đndirgeme No DN N (I+II) Ortlm I. Durum II.Durum I.Durum II.Durum (g) r3 3 β r3 r β r r r 5 / 60 6 / 60

9 Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr b)düşey çı Ölçüsü Hesbı:.3. Yükseklik Kvrmı ve Yüksekliklerin Ölçülmesi Düşey çılr; ister elektronik ister meknik olsun teodolitlerin düşey çı direlerinden okunur. Teodolitten kynklnn ve düşey çılr doğrudn etki ypn en önemli ht kynğı gösterge htsıdır. Gösterge Htsı ve Giderilmesi: Đndeks htsı letin düşey çı diresinin 0 nın letin sl ekseniyle çkışmmsındn kynklnır. u htyı gidermek için iki durumd çı ölçüsü ypılır. Đndeks htsı olmyn bir lette her iki durumd ölçülen çılrın toplmı 400 g olmlıdır. Düşey çı ölçebilen her tür lette frklı büyüklükte olmk üzere bu hty rstlnır. ynı nokty her iki durumd ölçülen çılrın toplmı 400 g dn frkının yrısı indeks htsının ölçü ht sınırlrı içerisindeki değerini verir (Şekil-). 300 g Z I +ε Z I 0 g 0 g Z II +ε Z II 300 g Jeodezide kullnıln yükseklikler, referns sitemleri ve bunlrın rsındki ilişkiler Şekil- de gösterilmiştir. H h N g, i Ortometrik yükseklik (Geoit den oln yükseklik) Elipsoit yüksekliği (Referns Elipsoidinden oln yükseklik) Geoit yükseklikleri (ondilsyonlrı, dlglnmlrı) Geri ve ileri okumlr H = h N Jeodezi biliminde yükseklik bilgileri üç şekilde belirlenir ve bu yükseklik ölçüleri incelikleri ile birlikte şğıd verilmiştir. Geometrik nivelmn ( ±mm ~ ±cm ) Trigonometrik nivelmn ( ±cm ~ ±dm ) rometrik nivelmn ( ±m ~ ±3m ) 00 g 00 g Nivelmn düzlemi 00 g 00 g Şekil. Düşey çı gösterge htsı (ε). Z I ve Z II Ölçülen I. ve II. durum düşey çılrı. Z I +ε ve Z II +ε Đndeks htsı giderilmiş I. ve II. durum düşey çılrı. Şekilden (Z I +ε)+(z II +ε)=400 g olduğu kolyc görülmektedir. Ölçülen büyüklükler eşitliğin bir trfın toplnır ve eşitlik düzenlenirse indeks htsı şğıdki bğıntı ile hesplnır. g 400 (ZI + ZII ) ε = Düşey çı indeks htsı Yeryüzü Geoit Referns Elipsoidi h g H N Şekil. Ortometrik ( H k ), elipsoit ( h k ), geoit ( N k ) yükseklikleri ( k =, ) ve ölçülebilen büyüklük ( H=g i ). H h i H N Uygulm 3: Đki tm dizi düşey çı ölçüsü ve hesbı. Z Noktlr rsı yükseklik frkı nivelmn düzleminden yrrlnrk şğıdki gibi ölçülür. Nokt yükseklikleri ise yüksekliği bilinen noktlrdn ve ölçülen yükseklik frklrındn yrrlnrk hesplnır. H = H H = g i H = H + H Tm dizi düşey çı ölçü ve hesbı tblosu. Nivelmn düzlemi Geometrik nivelmnd Trigonometrik nivelmnd : H + g = H + i : g ve i doğrudn ölçülür. : g = + cotg Z = + E cos Z hesplnır ve i doğrudn ölçülür. Dizi No DN N letin Durumu I II I II Z I (g) Z II (g) ε(g) Z I +ε (g) Z II +ε (g) Ortlm Z(g) / 60 8 / 60

10 Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr 3. Yty Konum ilgilerinin Elde Edilmesi ϕ, λ : Referns elipsoidi üzerindeki koordintlr, x, y : Projeksiyon (hrit) düzlemindeki koordintlr. Geçerli konum bilgileri oln bu bilgiler dilim numrsı ile kullnılır. Dilim numrsı dilim ort meridyeni ile nılır. UTM projeksiyon koordintlrı 3 ve 6 derecelik dilimlere yrılrk gerçekleştirilir. Koceli nin λ 0 =3 o lik dilim ort meridyeni değeri 30 o (Mühendislik projelerinde). Koceli nin λ 0 =6 o lik dilim ort meridyeni değeri 7 o (/5000 ölçekli hritlrd). 3.. Yty Konum ilgileri rsındki dönüşümler: Dilim ort meridyenin boylmı (λ 0 ), referns elipsoit prmetreleri (,b), jeodezik enlem, boylm (ϕ, λ) ve projekisyon koordintlrı (x,y) olmk üzere; yty konum bilgileri rsındki dönüşümler Giriş bölümünde verilen bğıntılrl sğlnır. ( λ 0,,b, ϕ, λ ) ( λ 0,,b, x, y ) Noktlr rsı yty ilişkiler yty uzunluk ve yty çı ölçüleri ile gerçekleştirilir. 3.. Yn Nokt (Prizmtik lım) Hesbı : Verilenler (y, x ) (y, x ) Ölçülenler s i h i x s cos() Noktsının koordintlrı Noktsının koordintlrı Dik yk uzunluğu Dik boy uzunluğu (gidiş yönünün sol trfı için ( h) lınır s cos() s sin() s h h () h cos() s sin() s () 0.00 x x y y h sin() h cos() () y h sin() Şekil 3.Yn nokt hesbı. s Tblo. Yn nokt hesbı. Çözüm Ölçü yönünün sğdki noktlr için Ölçü yönünün solundki noktlr için y = y + s sin() + h cos() y = y + s sin() h cos() x = x + s cos() h sin() x = x + s cos() + h sin() y i = y + sin() s i + cos() h i y i = y + sin() s i + cos() ( h i ) x i = x + cos() s i sin() h i x i = x + cos() s i sin() ( h i ) y k= =sin()= y x x k= β=cos()= s s FĐN : Verilen koordintlr göre sdece dik yklrını düzelten yn nokt hesbı y y x x x x y = k = b = β = c = k = d = β = y s s y i = y + s i + b h i y i = y + s i + b ( h i ) x i = x + c s i d h i x i = x + c s i d ( h i ) ENZERLĐK:Verilen koordintlr göre dik yk ve dik boylrını düzelten yn nokt hesbı y y x = k = x b = k β = s s y i = y + s i + b h i x i = x + b s i h i y i = y + s i + b ( h i ) x i = x + b s i ( h i ) Tblo 3. Prizmtik (dik y d ortogonl) lımd yd yn nokt hesbınd ENZERLĐK hesp tblosu. =(y y )/s b=(x x )/s y i = y + s i +b h i x i = x +b s i h i NN s i (m) h i (m) (m) (m) y x s 0.00 y b x b s h y x s h y x L L L L L n s n h n y n x n Uygulm 4: ve nokt koordintlrı, ynd verilen ölçü krokisindeki dik yk (s i ) ve dik boy (h i ) ölçülerinden yrrlnrk,, 3 nolu noktlrın koordintlrını FĐN ve ENZERLĐK le göre hesplyınız. FĐN: = 60.03m y i = y + s i + b h i x i = x + c s i - d h i = b= c= 0.38 d= NN s i (m) h i (m) y i (m) x i (m) / 60 0 / 60

11 Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr ENZERLĐK: y i = y + * s i + b * h i x i = x + b * s i - * h i = = b= 0.38 NN s i (m) h i (m) y i (m) x i (m) Ödev : ve nokt koordintlrı, ynd verilen ölçü krokisindeki dik yk (s i ) ve dik boy (h i ) ölçülerinden yrrlnrk,, 3 nolu noktlrın koordintlrını benzerliğe göre hesplyınız. = ds= s = = b= NN s i (m) h i (m) y i (m) x i (m) Kutupsl lım Verilenler (y, x ) (y, x ) Ölçülenler r i e i Z i Şekil-4 Noktsının koordintlrı Noktsının koordintlrı Şekil-4 Yty doğrultulr Eğik uzunluklr Düşey çılr n r n () 0 n r 0 r r n Şekil 4. Kutupsl lım ölçüsü. Çözüm i =r i r 0 (i)= i +() i =e i sinz i y i =y + i sin(i) x i =x + i cos(i) Tblo-4 şlngıçtn oln yty çılr noktsındn i noktsın çıklık çısı Yty uzunluklr i noktsının y i koordintı i noktsının x i koordintı Tblo 4. Kutupsl lımd hesp tblosu. DN N r i [g] i [g] (i) [g] i y i x i r 0 0 () 0 y x r () y x r () y x L L L L L L L n r n n (n) n y n x n / 60 / 60

12 Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr Uygulm 5: şğıd verilenlerden yrrlnrk ve noktlrı rsındki uzunluğu (x) bulunuz. ve x kenrı prlel olup olmdığını kontrol ediniz.. Yol: üçgeninde kosinüs teoreminden yrrlnrk çözüm. = = 5.0 g x = + cos =60.89m. Yol: x =x =0 ve doğrusu x ekseni kbul edilirse, i çılrı çıklık çılrı olur. ve nolu noktlrın koordintlrı; y i = i sin i x i = i cos i bğıntılrındn hesplnır. DN N i (g) (i)(g) i (m) y i (m) x i (m) y y = x= (y y) + (x x) = 60.88m ( ) = rctg = g x x () () olduğundn x kenrı kenrın prlel değildir. Uygulm 6: Verilenlerden yrrlnrk ve noktlrı rsındki uzunluğu hesplyınız. Verilenler: NN y i (m) x i (m) DN N i (g) i (m) Đstenen: x=? Çözüm: DN N i (g) i (m) i (g) emt (g) y i (m) x i (m) y) + (x x) = x= (y = 7.8m x=? i (g) x i (m) x=? 4. Düşey Konum ilgilerinin Elde Edilmesi Jeodezide kullnıln yükseklikler, referns sitemleri ve bunlrın rsındki ilişkiler Şekil- de gösterilmiştir. 4.. Kullnıln let-ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri Noktdn nokty yükseklik tşım işlemine nivelmn denir. Uygulmd üç frklı yükseklik tşım yöntemi kullnılır. u ölçme yöntemleri duyrlıklrı ile birlikte şğıd verilmiştir. ) Geometrik Nivelmn (±mm ~ ±cm): Nivo-mir donnımı kullnılrk noktlr rsı ortometrik yükseklik frklrı elde edilir. Duyrlı yükseklik bilgisine ihtiyç duyuln mühendislik projelerinde kullnılır. b) Trigonometrik Nivelmn (±cm ~ ±dm): çı ve uzunluk ölçülerinden yrrlnrk trigonometrik bğıntılrl elipsoit yükseklik frklrı elde edilir. u yöntemin, genellikle duyrlığının (inceliğinin) yeterli görüldüğü mühendislik projelerinde y d geometrik nivelmn ile erişilemeyen dğlık bölgelerde vb. kullnılır. b) rometrik Nivelmn (±m ~ ±3m): Yükseklik ile bsıncın düşmesi ilkesinden yrrlnılrk noktlrın denizden oln yükseklikleri hesplnır. Genellikle çok kb yükseklik bilgisi elde etme işlemlerinde kullnılır. Genellikle proje hzırlık şmlrınd kb yükseklik bilgisi elde etmek için kullnılır. 4.. Geometrik Nivelmn: Geometrik nivelmn işlemi nivolrl gerçekleştirilir. Nivolrın genel ypısı ve eksenleri şğıdki Şekil de, gösterilmiştir. Eksen Koşullrı: Şekil 5. ir nivonun genel ypısı ve eksenleri ( :sl eksen, YY :Yöneltme ekseni, DD :Düzeç ekseni, KK :Küresel Düzeç ekseni). DD. YY 3. // KK 4. Kıllr şebekesinin yty kılı nivonun yty düzlemine prlel olmlı. Nivolrd yöneltme ekseninin (YY ) sl eksene ( ) dikliğini sğlyn düzeneğe kompnstör denir. u tür nivolr kompnstörlü nivolr denir ve bu nivolrd silindirik düzeç bulunmz. Uygulmd bu tür nivolr yygın olrk kulnılır. Trihsel gelişim çısındn nivo çeşitleri şğıdki gibi sırlnbilir. bit dürbünlü nivolr Fenkljlı nivolr Tersinir Nivolr Kompstörlü nivolr. D Y K K D' Y' 3 / 60 4 / 60

13 Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr Geometrik Nivelmn Ölçü ve Hesbı: Geometrik nivelmnın genel ypısı, ölçüsü, hesbı ve hesp kontrolleri şğıdki Şekil-6 ve Tblo-5 de gösterilmiştir. Şekil 6. Geometrik nivelmn. Tblo-5 Nivelmn ölçü ve hesp çizelgesi. NĐVELMN ÖLÇÜÜ VE HEI Şehir vey Ksb dı: Koceli / Hereke yf No : Đstsyon No. Okumlr r (mm) Uzklıklr G O Đ G Đ (mm) ± Kot (m) g H g i H =g -i H =H + H o H =g -o H =H + H D g 3 i H D =g -i H D =o -i H D =H + H D H D =H + H D E i 3 H DE =g 3 -i 3 H E =H D + H DE Σg Σo Σi Σ H = H E H E Σi H H E H E Uygulm 6: 55.70m kotlu Rs noktsındn bşlyn ve mir okum değerleri şğıd verilen geometrik nivelmn değerlerini nivelmn krnesine işleyiniz ve gerekli hesplmyı (kotlmyı) ypınız. Çözüm: g i g o i g 3 3 i Rs Đstsyon r Okumlr G Đ Kot No. Uzklıklr G O Đ Rs D D E D 4.3. Trigonometrik Nivelmn: Trigonometrik yükseklik ölçüsü; düşey çı, yty yd eğik uzunluklr ölçülerek ypılır. Trigonometrik yükseklik ölçüsü bğıntılrı; düşey çı/yty uzklık ve düşey çı/eğik uzunluk ölçüleri için yrı rı çıkrılmıştır. Trigonometrik nivelmn, trigonometrik yükseklik ölçüsünün rdışık ypıln hlidir. Şekil 7. Trigonometrik yükseklik ölçüsü. şğıdki lt bşlıklrd elde edilen bğıntılrın son terimleri dışındkiler Şekil-7 den kolyc türetilebilir. on terim; yerin küreselliğinin ve refrksyon (ışığın tmosferde kırılmsı ve düz bir yol izlemesi) htsının toplm etkisi bğıntılr doğrudn eklenmiştir. yrıntılı bilgi için kynklr bölümünde verilen Ölçme ilgisi kitplrındn yrrlnılbilir. Düşey çı ve yty mesfe (Teodolit ve ÇŞM) : Kıs kenrlı noktlr rsınd kullnılır (0-500m), 300m den sonr küresellik ve refrksiyon etkisi kesinlikle göz önünde bulundurulmlıdır. Yty uzklık ve noktlrının yty koordintlrındn d hesplnbilir. H = H + + cotgz i + = H + + tn Z i + k R k R u bğıntıd geçen R ölçme bölgesine it Guss eğrilik yrıçpı ve k refrksyon ktsyısıdır. Ülkemizde refrksyon ktsyısı k = /8 = 0.5 ve Guss eğrilik yrıçpı yerine R=6370km lınbilir. (Düşey çı ve eğik uzunluk (Elektronik Tkeometre): H = H + + E cosz i + k (E sinz) R Uygulm 8: Yüksekliği bilinen bir noktsındn noktsın yükseklik tşımk mcı ile şğıdki düşey çı gözlemleri gerçekleştirilmiş, bu ölçüler let ve işret yükseklikleri ile birlikte şğıdki tblod sunulmuştur. Yty konum bilgileri ve noktsının yüksekliği de verildiğine göre; Verilenler Ölçülenler NN y i (m) x i (m) H i (m) DN N E cosz H Z ? E sinz E (=.55) i H (i=0.00) Z I (g) Z II (g) / 60 6 / 60

14 Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr ) Đndeks htsını (ε) hesplyrk, indeks htsı giderilmiş düşey çılrı, b) Refrksyon ve küresellik düzeltmelerinin toplm etkisini (k=0.5 ve R=6370km lınız), c) noktsının yüksekliğini, d) Đndeks htsı, refrksyon ve küresellik etkileri göz rdı edilseydi noktsının yüksekliğinde ypılck oln ht miktrını, e) ve noktlrı rsındki uzy uzunluğu, hesplyınız. Çözüm: y ) + (x x ) = (y =55.5m 400 (Z Z ) ) ε = I + II = g DN N Z I (g) Z I +ε(g) E Z II (g) ε(g) Z II +ε(g) ε D g ρ g 00 = ~ g π E = = 55.55m sin Z δ = g E = = 0.06m Đndeks htsının yüksekliğe etkisi. ρε b) δ = = (0.555km)*(55.5m) = 0.0m 740km 740km δ H 4.5. Yüzey Nivelmnı Genellikle hcim hesplrı y d plnkote (kotlu pln) ypımı sırsınd rziye dğılmış oln noktlrın yüksekliklerinin ölçülmesi ve hesplnmsı işlemine yüzey nivelmnı denir (Şekil-8). Genellikle geometrik nivelmn yöntemi kullnıln bu yöntem, diğer yükseklik belirleme yöntemleriyle de gerçekleştirilebilir. let kurulduktn sonr yüksekliği bilinen bir nokty (Rs) bkılrk geri okum (g) ypılır. Rs noktsının yüksekliğine geri okumsı eklenerek nivelmn düzlemi yüksekliği (gözleme düzlemi yüksekliği, let yüksekliği) bulunur (Tblo-6). Tblo 6. Yüzey nivelmn ölçüsü ve hesp tblosu. NĐVELMN ÖLÇÜÜ VE HEI Şehir vey Ksb dı: Koceli / Hereke yf No : Okumlr G Đ Đstsyon r (mm) (mm) Kot No. Uzklıklr G O Đ ± (m) Rs g H GD =H Rs +g H Rs o (Göz.Düz.) H =H GD o o H =H GD o o 3 H =H GD o 3 D i H D =H GD i Σg Σ(o+i) 4*H GD ΣH 4*H GD Σ(o+i) Diğer noktlrın yükseklikleri bu noktlr ypıln ort (r) (o) okumlr ile belirlenir. let kldırılmdn önce okunn son okum ileri (i) okum olrk kydedilir. on okum bilinen bir nokty bkılrk ypılırs nivelmn düzleminin yüksekliği tekrr belirlenerek kontrolü ypılmış olur. c) H = H + + i + δ = = 7.49m tn(z+ε) H = H + + tn(z) δ = H H = 0.06m d) dh = δ + δ = 0.06m + 0.0m = 0.04m i + δ = = 7.55m y ) + (x x ) + (H H ) e) D= ( y = + (H H ) =55.57m g Rs H Rs x o H o HRs+g D i o rometrik Yükseklik Ölçüsü: ir noktnın denizden yüksekliği (H); brometre ile mmhg biriminde ölçülen bsınç () ve o cinsinden ölçülen ısı (t) değerine göre düzenlenmiş oln şğıdki bğıntı ile metre birimli olrk hesplnır. H = 8464 ( t ) (log760 log ) metre Uygulm 9: o sıcklıkt mmhg bsınç değeri okunn noktnın yüksekliğini hesplyınız. H = 8464*( * ) (log760 log748.5 ) = 38m y Referns Düzlemi Şekil 8. Yüzey nivelmn ölçüsü. 7 / 60 8 / 60

15 Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr Uygulm: Yukrıdki şekilde verilen yüzey nivelmnın d şğıdki okumlr ypılmıştır.,, ve D noktlrının yüksekliklerini hesplyınız. NĐVELMN ÖLÇÜÜ VE HEI Şehir vey Ksb dı: Koceli / Hereke yf No : Đstsyon No. r Uzklıklr Okumlr (mm) G O Đ G Đ (mm) ± Kot (m) Rs (Göz.Düz.) D Σg= 36 Σ(o+i)= *H GD=4*67.50 ΣH= *H GD Σ(o+i)= ln Hesplrı Düzgün olmyn şekillerin lnlrı, ln bğıntılrı bilinen düzgün şekillere bölünerek gerçekleştirilir. 5. Düzgün Geometrik Şekillerin lnlrı ) Herhngi ir Üçgenin lnı Herhngi bir üçgen için ln hesplm bğıntılrının yygın olrk kullnılnlrının birkç tnesi şğıdki tblod verilmiştir. Dh yrıntılı bilgi için (Şerbetçi ve tsoy, 994) kynğındn yrrlnılbilir. Herhngi bir üçgenin tnımlybilmek için biri kenr olmk koşulu ile en z üç elemn ihtiyç vrdır. Özel üçgenler herhngi üçgenin koşullu özel durumlrı olduğundn, koşul syısı kdr bilinmeyen zlır. Örneğin ikizkenr ve dik üçgende bilinmeyen syısı biri kenr olmk koşulu ile iki, eşkenr üçgende ise bilinmeyen syısı bir kenrdır. Herhngi bir üçgen için verilen bğıntılr özel durumlr içinde geçerlidir. γ R b r h β c 36 Şekil 9. Herhngi bir üçgenin, içine ve dışın çizilebilen çemberler. Rs Tblo 7. Herhngi bir üçgende ln bğıntılrı D Verilenler ln (F) Verilenler ln (F), h h, β, γ b, h b b hb b,, γ c, h c, b, γ c, hc c,, β b sinγ, b, c, R (cotβ+ cotγ) b (cot+ cotγ) c (cot+ cotβ) b c 4 R, c, β b, c, c sinβ, β, γ, R R sin sinβ sinγ, b, c u (u ) (u b) (u c) b c sin Heron ğıntısı u = + b + c b) Herhngi ir Dörtgenin lnı Herhngi bir dörgen için ln hesplm bğıntılrının yygın olrk kullnılnlrının birkç tnesi şğıdki tblod verilmiştir. Dh yrıntılı bilgi için (Şerbetçi ve tsoy, 994) kynğındn yrrlnılbilir. 9 / / 60

16 Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr δ b m c ω n β γ d 5. Çokgenlerde ln Hesplrı: Düzgün olmyn şekillerin lnlrı, ln bğıntılrı bilinen düzgün şekillere bölünerek gerçekleştirilir. Eğrisel lnlr, bu lnı iyi tnımlyn düzgün şekillere bölünerek hesplnır. ) Düzgün Şekillere ölerek ln Hesplrı: Uygulm 0: şğıdki prizmtik lım krokisindeki DEFGH çokgeninin lnı, prizmtik lım ölçülerine uygun oln ymuk ve üçgen lnlrının toplmlrı y d frklrı şeklinde elde edilir. Verilenler: Prizmtik ölçü krokisi. Şekil 0. Herhngi bir dörtgende ölçülebilen büyüklükler. Tblo 8. Herhngi bir dörtgende ln bğıntılrı Verilenler ln (F) Y=8.00 m, n, ω, b, c, d, ω, b, d,, β, c,, β, γ, δ m n sinω ( b +d c ) tnω 4 { b sin + d sinβ b d sin(+β) } c + cot+ cotβ cotγ+ cotδ D E F c) Direnin lnı X=3.03 R yrıçplı direnin lnı: F = π R çısın ile oluşn dire diliminin lnı. R 0.30 H G g F = 400 g o π R = 400 o π R = ) R Çözüm: 0.3/ = (3.9-x)/x x = = 3.03m x/(.6-x) =.5/0 x = = 8.00m y d X = ( h G *s H + h H *s G )/( h G + h H ) = 3.03 m Y = ( h D *s + h *s D )/( h + h D ) = 8.00 m F= 0.3*3.90+( )*.7+( )*3.9+(34+0)* * *.5+(.5+35)*9.70+(35+45)*3.5+(45+)*3..03* F = m F = m 3 / 60 3 / 60

17 Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr b) Koordintlrl ln Hesbı: lnı bulunck şekil, düzgün şekillerin lnlrındn yrrlnrk belirlenir. Düzgün şekillerin ln bğıntılrı koordintlrl ilişkilendirilerek, düzenlenirse Guss ve ross yöntemlerinin ln bğıntılrın ulşılır. Guss Yöntemi: u yöntemde koordint sistemindeki noktlrdn oluşn kplı poligonlrdn oluşn ln ymuk lnlrının toplmı ve frkı şeklinde düşünülerek şğıdki bğıntılr uygulnır (Şekil-). y F y x x x 3 x x x x 3 x x 3 3 y 3 NN x y x y x y 3 x 3 y 3 x y x y Şekil. Ymuk lnlrındn yrrlnrk Guss ln Hesbı. F = (,, x, x ) + (, 3, x 3, x ) (, 3, x 3, x ) =(y +y )(x x )/+(y +y 3 )(x 3 x )/ (y +y 3 )(x 3 x )/ F =(y +y )(x x ) + (y +y 3 )(x 3 x ) (y +y 3 )(x 3 x ) Eşitliğin sğ trfı çılıp düzenlenirse şğıdki Guss ln formülüne ulşılır. NN x y x y x y 3 x 3 y 3 x y x y F = y (x x 3 ) + y (x 3 x ) + y 3 (x x ) = x (y y 3 ) + x (y 3 y ) + x 3 (y y ) ross Yöntemi: Guss ln Hesp bğıntılrı uygun şekilde düzenlenirse ross yöntemi ile ln hesbın ulşılır. urd ross yönteminin (ve Guss yönteminin) bşk bir yoldn elde edilişi gösterilecektir. Uygulm : şğıdki dikdörtgenin lnını Guss ve ross yöntemine göre hesplyınız. ) Guss Yöntemi ile ln Hesbı F = 4(0-5)+4(0-5)+(5-0)+(5-0) = = 0m F = 0m F = 5(4-)+0(-4)+0(-4)+5(4-) = = 0m F = -0m b) ross Yöntemi ile ln Hesbı F = (5*4+5*4+0*+0*)-(*5+4*0+4*0+*5) = ( )-( ) = (80) -(00) = -0 F = -0m 4 (5,4) (0,4) (5,) (0,) D 5 0 NN x y NN x y D 0 D NN x y D 0 5 y y F NN x y x y x y 3 x 3 y 3 x y x x 3 Şekil. Dikdörtgen ve üçgen lnlrındn yrrlnrk ross ln Hesbı. F = (,,,) (,,) (,,3) (,3,) F =(y y )(x 3 x ) (y y )(x x )/ (y y 3 )(x 3 x )/ (y 3 y )(x 3 x )/ Eşitliğin sğ trfı çılıp düzenlenirse şğıdki ross ln formülüne ulşılır. 3 F = (y x + y x 3 + y 3 x ) ( x y + x y 3 + x 3 y ) = Σy k x k+ Σx k y k+ Not: Guss ve ross yöntemleriyle ln hesplnırken, koordintlrın sırlnmsın dikkt edilmelidir. ir noktdn bşlyrk herhngi bir yöne doğru lnı çevreleyen hiç bir noktyı tlmdn ynı noktnın d düşülmelidir. ynı nokt koordintlrı tekrr yzılmlıdır. Uygulm : Prizmtik ölçü krokisi ile lımı ypıln prselin lnını ross yöntemine göre hesplyınız. Σy i x i+ = m Σx i y i+ = m F = Σy i x i+ + Σx i y i+ = m F = m NN s h D E F G H Ödev : Prizmtik ölçü krokisi ile lımı ypıln prselin lnını Guss yöntemine göre hesplnmsı. 33 / / 60

18 Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr 6. Hcim Hesplrı 6.. Plnkote (Kotlu Pln) Çıkrılmsı Dolgu yd yrm hcmini belirlemek için hesplnmsı gereken noktlrın yty koordintlrı herhngi bir yöntemle belirlenir. Yükseklikler ile duyrlı çlışmlr için geometrik nivelmn ile belirlenir. Yty koordintlr ile tbn lnı belirlenir. Noktlrın hesplnn yüksekliklerin ortlmsı lınır. Yükseklik ortlmsı ile tbn lnı çrpılrk referns yüksekliğe göre hcim belirlenmiş olur. u hesplm biçimi ortlm bir hcim değeri verir. Uygulm hcim hesbınd kullnıln en yygın yöntemlerden biriside; genellikle *m lnlrdn oluşn krelj ğının köşe noktlrın ypıln yükseklik ölçmeler ile hcim hesplm ilkesine dynn plnkote y d kotlu pln lım işlemidir. E E D D x H H G F H G F y Şekil 3. rzinin uygun üçgenlere bölünmesi. urd dikkt edilmesi gereken seçilen noktlrın rzinin krkteristik ypısını yeterince ynsıtck şekilde seçilmelidir. Dh sonr noktlr rzinin topoğrfik yüzeyini en iyi şekilde ynsıtck biçimde üçgenlere yrılır (Şekil-3). Üçgenlerin tbn lnlrı yty konum bilgilerinden hesplnır ve üçgeni oluşturn noktlrın yüksekliklerinin ortlmsının lınır. Tbnlrı üçgen oln prizmlrın hcimleri yrı yrı üçgen lnlrı ve yükseklik ortlmlrı ile çrpılrk bulunur. Toplm hcim üçgen prizmlrın toplmıdır. Đki dolgu y d iki kzı rsındki hcim, frklı zmnlrd ölçülen ve belirli bir referns göre yukrıdki şekilde hesplnn iki hcmin frkı ile bulunur. Uygulm : Şekildeki noktlr yüzey nivelmnı ypılmış ve yükseklikleri hesplnrk şğıdki tblod prizmtik lım değerleri ile birlikte şğıdki tblod verilmiştir. 50 referns kotun göre oluşn hcmi hesplyınız. Çözüm : Yklşık Çözüm. N NN s h H H D E F G H Referns Düzlemi F = m Hort = m Href = m Hort = 4.78 Hcim = F*Hort = m 3 Çözüm : rzinin krkteristik özelliğine göre çözüm. N Üçgen lnı[m ] Hort Hcim[m 3 ] H D DH DEF DFH FGH Toplm x y Şekil 3. Plnkote Çıkrılmsı. Hcim hesbı tbn lnı m oln dikdörtgen prizmlrın hcimleri toplmı şeklinde gerçekleştirilir. Frklı zmnd gerçekleştirilen iki plnkote lımı ile yrm y d dolgu hcimleri de frk lınrk bulunur (Şekil) 7. Üç oyutlu Konum ilgilerinin Elde Edilmesi Konum ilgileri rsındki Dönüşümler (X,Y,Z) WG84 (ϕ,λ) WG84 (x,y) WG84 ve H=h WG84-N WG84 (x,y) WG84 (x,y) ED50 h WG84 H TUDK TUDK: Türkiye Ulusl Düşey Konum ğı 7.. Kullnıln let-ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri Yersel ölçülerle (yty çı, düşey doğrultu ve eğik uzunluk ölçüleri yrdımı ile) GP (Globl Positioning ystem) { (X,Y,Z) WG84 ve ( X, Y, Z) WG84 } LR (telite Lser Rnging) { (X,Y,Z) ITRF ve ( X, Y, Z) ITRF } VLI (Very Long se Interferometer) { (X,Y,Z) ITRF ve ( X, Y, Z) ITRF } H 35 / / 60

19 Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr 8. Kynklr ydın, Ö. (978), Jeodezide Elektronik Uzunluk Ölçüsü ve Ölçme letleri, ĐDMM. ydın, Ö. (984), Ölçme ilgisi I, YTÜ, MF, Đstnbul. nger, G. ve Şen, K. (994), yısl Nivolr (Digitl Levels), MMF, Fk. Yy. No: 994/8, Trbzon, 994. onford, (), Geodesy Hofmnn-Wellenhof,., Lichtenegger, H. nd ollins, J. (997), Globl Positioning ystem, Theory nd Prctice, Fourth Edition, IN Irvine, W. (988), urveying for onstruction, Third Edition, McGRW-HILL ook ompny, London. Koç, Đ., (998), Ölçme ilgisi I, YTÜ, Đnşt Fk., Đstnbul, 998. Leick,. (999), GP tellite urveying econd Edition, IN Ormn, M., Özen, H. Ve Öksüzoğlu, H. (978) Ölçme ilgisi ( Topoğrfy), ME, Devlet Kitplrı, nkr, 978. Orhn KURT (006) pliksyon, Ders Notlrı, KOÜ, Đhsniye MYO, Koceli. Özbenli, E. ve Tüdeş, T., (986) Ölçme ilgisi Prtik Jeodezi, KTÜ, MMF, Trbzon, 986. Rüeger, J.M., (989), Electronic Distnce Mesurements, Third Totlly Revised Edition, pringer-werlg, Newyork. eeber, G. (), tellite Geodesy, ongu,., (98), Ölçme ilgisi, ilt, nkr, 98. Şen, K. (995), Teodolit ve Nivolr Kullnımlrı ve Eksen Htlrının Düzeltilmesi, Ders Notlrı, KTÜ, MMF, Ders Notlrı No: 43, Trbzon. Muzffer ŞERETÇĐ ve Veysel TOY (994), Jeodezik Hesp, Đkinci skı, KTÜ, MMF, Genel Yyın No:53, Fkülte Yyın No: 44, Trbzon. User, F. (986), Temel Fizik, Dlglr, Geometrik ve Fizik Optik, Demsn Kitpçılık.Ş., Đstbbul. Uzel, T. (), çı Okumsınd Çkıştırm Düzeni çı ölüm Htlrının Konyrolu Modern Dürbünler, YTÜ, FE. Ek. Trigonometri b cos = sin = co cos cot g= = = = b sin sin b sin sin tg = = = cos cos = + b tg +β=00 g +β=00 g 0 g tg sin=cosβ sin=sinβ cos= cosβ tg=cotgβ tg= tgβ sin cotg= cotgβ sin( )= sin cos( )=cos 300 cos + sin = g sin( ±β) = sin cosβ± cos sinβ 00 g cos( ±β) = cos cosβm sin sinβ sin = ( cos ) cos = (+ cos ) cos + cos sin = cos = 00 g +β β +β β sin + sinβ= sin cos cos + cosβ= cos cos +β β +β β sin sinβ= cos sin cos cosβ= sin sin inüs Teoremi Kosinüs Teoremi b c = b + c bc cos = = = R b = + c c cosβ sin sinβ sinγ c = + b b cosγ b c I. Öklid Teoremi (=π/) II. Öklid Teoremi (=π/) h b = p c h = p q γ p=b cosγ q=c cosβ = q β Tnjnt Teoremi Projeksiyon Teoremi (Neper ğıntısı) R + β tg + b = b cosγ + c cosβ = b β tg Tles ğıntısı Çemberde Temel ksiyomlr çı dönüşümleri Grd Derece Rdyn = = g o π g o g 00 o 80 ρ = ρ = π π E E = = D E DE D E g ρ E Grd= Rdyn Derece= ρ Rdyn D o cos = β = γ ϕ=00 g β = cos R ϕ b= sin cotg γ R 37 / / 60

20 Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr Ek. Temel ödevler Herhngi bir koordint sisteminde, koordint hesplrınd krşılşıln dört temel ödev şğıd verilmiştir.. temel ödev : Koordint tşım. Verilenler Đstenenler Çözüm (y, x) (y,x) y = y + sin() (), x = x + cos(). temel ödev : Kenr ve semt hesplm. Verilenler Đstenenler Çözüm y (y, x) () () = rctn x y x (y, x) ( ) ( ) = y y + x x 3. temel ödev : Đki kenr rsındki çıyı hesplm. Verilenler Đstenenler Çözüm y (y, x) () = rctn x y (y, x) () = rctn x y x y x (y, x) = () () x x x cos() y sin() () y y y x x y Ek 3. rzi Uygulmsı Örnekleri rzi Uygulmsı : / irinci Öğretim Yty çı rzi ölçümleri ve ölçü krokisi. DN N I II I ıfır II ıfır (I+II)/ çıklm T in Köşesi Prtonel Vinç Trfo T in Köşesi Prtonel Vinç Trfo Elk in Köşesi Prtonel Vinç Trfo 3 4. temel ödev : emt tşım. Verilenler Đstenenler Çözüm Koşul () () () = () + β + π () + β π β () = () + β π () + β π () β () 4 çıklık çısının ölgelere Göre Đncelenmesi ölge I II III IV ( y) ( x) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) çıklık çısı I II + π III + π IV + π ( ) ( + ) ( ) ( ) x IV I sin I III II cosi ( + ) ( + ) ( + ) ( ) y T Elktrnk T Güzel ntlr Şekil irim çemberde bölgelere göre k sin k = rctn ( k=i, II, III, VI ). cos k 39 / / 60

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS)

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS) ÇMR ÖSS SRULRI 1., ve noktlrı merkezli çember üzerinde m( ) = m( ) =. ir dik üçgeni için, = cm ve = 4 cm olrk veriliyor. Merkezi, yrıçpı [] oln bir çember, üçgenin kenrını ve noktlrınd kesiyor. un göre,

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

Harita Dik Koordinat Sistemi

Harita Dik Koordinat Sistemi Hrit Dik Koordint Sistemi Noktlrın ir düzlem içinde irirlerine göre konumlrını elirlemek için, iririni dik çı ltınd kesen iki doğru kullnılır. Bun dik koordint sistemi denir. + X (sis) Açı üyütme Yönü

Detaylı

İntegral Uygulamaları

İntegral Uygulamaları İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim

Detaylı

Çevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf

Çevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf Çevre ve Aln İlköğretim 6. Sınıf Çevre Merhb,ilk olrk seninle birlikte evin çevresini bulmy çlışlım Kırmızı çizgiler evin çevre uzunluğunu verir. Çevre Şimdi sır futbol shsınd Çevre Şimdi,Keloğlnın Pmuk

Detaylı

Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2015-2016 Güz Dönemi

Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2015-2016 Güz Dönemi Andolu Üniversitesi Mühendislik Fkültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Plnlmsı 2015-2016 Güz Dönemi 2 Tesis (fcility) Tesis : Belli bir iş için kurulmuş ypı Tesis etmek :

Detaylı

ÜÇGENDE ALAN. Alan(ABC)= 1 2. (taban x yükseklik)

ÜÇGENDE ALAN. Alan(ABC)= 1 2. (taban x yükseklik) ÜÇGN LN Üçgende ln Şekilde verilen üçgeninde,, üçgenin köşeleri, [], [], [] üçgenin kenrlrıdır. c b üçgeninin kenrlrı dlndırılırken, her kenr krşısınd bulunn köşenin hrfi ile isimlendirilir. üçgeninin

Detaylı

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler

Detaylı

G E O M E T R İ. Dar Açılı Üçgen. denir. < 90, < 90, < 90 = lik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. > 90

G E O M E T R İ. Dar Açılı Üçgen. denir. < 90, < 90, < 90 = lik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. > 90 G O M T R İ. ÖLÜM Üçgende çılr. ÜÇGN oğrusl olmyn üç noktyı birleştiren doğru prçlrının birleşim kümesine üçgen denir. ış çı ış çı ış çı. ÇILRIN GÖR ÜÇG N ÇŞİTLR İ r çılı Üçgen Üç çının ölçüsü de 90 den

Detaylı

4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise;

4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise; 4- SAYISAL İNTEGRAL c ϵ R olmk üzere F() onksiyonunun türevi () ise ( F () = () ); Z ` A d F ` c eşitliğindeki F()+c idesine, () onksiyonunun elirsiz integrli denir. () onksiyonu [,] R için sürekli ise;

Detaylı

(, ) ( ) [ ] [ ] ve [ ] [ ] ( ) ( ) ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ÖZELLİKLER. A. Kosinüs Teoremi: Herhangi bir ABC

(, ) ( ) [ ] [ ] ve [ ] [ ] ( ) ( ) ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ÖZELLİKLER. A. Kosinüs Teoremi: Herhangi bir ABC ÜÇGNLR TRİGONOMTRİK ÖZLLİKLR. Kosinüs Teoremi: Herhngi ir üçgeninin, kenr uzunluklrı,, ise; = +... os = +... os = +... os İspt: Şekilde görüldüğü üçgeni, köşesi ile orijin, kenrı ile ekseni ile çkışk şekilde

Detaylı

Trigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız.

Trigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız. Isınm Hreketleri şğıd verilenleri inceleyiniz. Yönlü çı: Trigonometrik irim Çember: Merkezi orjin, yrıçpı br oln çemberdir. O + yön éo Pozitif yönlü (Stin tersi) O yön éo Negtif yönlü (St yönü) O y x Denklemi:

Detaylı

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57 99 ÖYS. si oln si kçtır? A) 9 B) 8 C) D) 6 E) 5 6. Bir nın yşı, iki çocuğunun yşlrı toplmındn üyüktür. yıl sonr nın yşı, çocuklrının yşlrı toplmının ktı olcğın göre ugün kç yşınddır? A) 5 B) 5 C) 55 D)

Detaylı

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7 ÖYS. 0,00 0,00 k 0,00 olduğun göre, k kçtır? 6. Bir ust günde çift ykkbı, bir klf ise günde çift ykkbı ypmktdır. İkisi birlikte, 8 çift ykkbıyı kç günde yprlr? 0 C) 0 D) 0 C) D). (0 ) ( 0) işleminin

Detaylı

ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır.

ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır. LYS- MTEMTİK MTEMTİK TESTİ. u testte Mtemtik lnın it toplm 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için yrıln kısmın işretleyiniz.. = 5! +! olduğun göre,! syısının türünden eşiti şğıdkilerden

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? 986 ÖSS. (0,78+0,8).(0,3+0,7) Yukrıdki işlemin sonucu nedir? B) C) 0, D) 0, E) 0,0. doğl syısı 4 ile bölünebildiğine göre şğıdkilerden hngisi tek syı olbilir? Yukrıdki çrpm işleminde her nokt bir rkmın

Detaylı

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır?

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır? 988 ÖYS. Toplmlrı 4 oln gerçel iki syıdn üyüğü küçüğüne ölündüğünde ölüm 4, kln dir. Küçük syı kçtır? A) 56 B) 5 C) 48 D) 44 E) 40. 0,5 6 devirli (peryodik) ondlık syısı şğıdkilerden hngisine eşittir?

Detaylı

7.SINIF: ÇOKGENLER ÇOKGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç veya daha fazla noktanın birleşmesiyle oluşan kapalı geometrik şekillere çokgen denir.

7.SINIF: ÇOKGENLER ÇOKGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç veya daha fazla noktanın birleşmesiyle oluşan kapalı geometrik şekillere çokgen denir. 7.SINIF: ÇOKGNLR oğrusl olmyn üç vey dh fzl noktnın birleşmesiyle oluşn kplı geometrik şekillere çokgen denir. n kenrlı bir çokgenin bir dış çısının ölçüsü 360/n dir. n kenrlı bir çokgenin bir iç çısının

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI ., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8

Detaylı

çizilen doğru boyunca birim vektörü göstermektedir. q kaynak yükünün konum vektörü r ve Q deneme E( r) = 1 q

çizilen doğru boyunca birim vektörü göstermektedir. q kaynak yükünün konum vektörü r ve Q deneme E( r) = 1 q Elektrosttik(Özet) Coulomb Yssı Noktsl bir q yükünün kendisinden r kdr uzktki bir Q yüküne uyguldığı kuvvet, şğıdki Coulomb yssı ile ifde edilir: F = 1 qq ˆr (1) r2 burd boşluğun elektriksel geçirgenlik

Detaylı

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Üç bsmklı bir doğl syısının ktı, iki bsmklı bir y doğl syısın eşittir. 7 Bun göre, y doğl syısı en z kç olbilir? A) B) C) 8 D) E) Çözüm y 7 7y (, en küçük bsmklı,

Detaylı

BİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4.

BİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4. IV. HTTİN TTIŞ MTEMTİK YRIŞMSI u test 30 sorudn oluşmktdır. İREYSEL YRIŞM SORULRI 1. 4 3 + 1 4. 3 3 + = + 1 + 1 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir? ) 5 3 ) ) 3 D) 13 3 ) { 0 } ) { 1} ) { }

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

Mobil Test Sonuç Sistemi. Nasıl Kullanılır?

Mobil Test Sonuç Sistemi. Nasıl Kullanılır? Mobil Test Sonuç Sistemi Nsıl ullnılır? Tkdim Sevgili Öğrenciler ve eğerli Öğretmenler, ğitimin temeli okullrd tılır. İyi bir okul eğitiminden geçmemiş birinin hytt bşrılı olmsı beklenemez. Hedefe ulşmks

Detaylı

11. BÖLÜM. Paralelkenar ve Eşkenar Dörtgen A. PARALELKENAR B. PARALELKENARIN ÖZEL LİKLERİ ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK

11. BÖLÜM. Paralelkenar ve Eşkenar Dörtgen A. PARALELKENAR B. PARALELKENARIN ÖZEL LİKLERİ ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK G O M T R İ www.kdemivizyon.com.tr. ÖÜM Prlelkenr ve şkenr örtgen. PRNR rşılıklı kenrlrı prlel oln dörtgenlere prlelkenr denir. [] // [] [] // [] = =. PRNRIN ÖZ İRİ. rşılıklı çılr eş ve rdışık çılr ütünlerdir.

Detaylı

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR

Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR Vektörler zr rd.doç.dr.nevin MAHİR ÜNİTE 3 Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Düzlemde vektör kvrmını öğrenecek, İki vektörün eşitliği, toplmı, doğrusl bğımlılığı ile bir vektörün bir gerçel syı ile çrpımı,

Detaylı

ÜÇGENĠN ĠÇĠNDEKĠ GĠZEMLĠ ALTIGEN

ÜÇGENĠN ĠÇĠNDEKĠ GĠZEMLĠ ALTIGEN ÖZEL EGE ORTAOKULU ÜÇGENĠN ĠÇĠNDEKĠ GĠZEMLĠ ALTIGEN HAZIRLAYAN ÖĞRENCĠLER: Olçr ÇOBAN Sevinç SAYAR DANIġMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL AÇIKSÖZ ĠZMĠR 2014 ĠÇĠNDEKĠLER 1. PROJENĠN AMACI... 2 2. GĠRĠġ... 2 3.

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

ORTĐK ÜÇGEN ve EŞ ÖZELLĐKLĐ NOKTALAR

ORTĐK ÜÇGEN ve EŞ ÖZELLĐKLĐ NOKTALAR ORTÖĞRETĐM ÖĞRENĐLERĐ RSI RŞTIRM ROJELERĐ YRIŞMSI (2008 2009) ORTĐK ÜÇGEN ve EŞ ÖZELLĐKLĐ NOKTLR rojeyi Hzırlyn Öğrencilerin dı Soydı : Sinem ÇKIR Sınıf ve Şuesi : 11- dı Soydı : Fund ERDĐ Sınıf ve Şuesi

Detaylı

Işığın Yansıması ve Düzlem Ayna Çözümleri

Işığın Yansıması ve Düzlem Ayna Çözümleri 2 şığın Ynsımsı ve Düzlem Ayn Çözümleri 1 Test 1 1. 38 38 52 52 Ynsıyn ışının yüzeyin normli ile yptığı çıy ynsım çısı denir. Bu durumd ynsım çısı şekilde gösterildiği gibi 38 dir. 4. şıklı cisminin ve

Detaylı

ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI

ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI ÜÇGN ÇI-NR ĞINTILRI ir üçgende üük çı krşısınd üük kenr, küçük çı krşısınd küçük kenr ulunur. 3 Şekildeki verilere göre, en uzun kenr şğıdkilerden hngisidir? 3 3 üçgeninde, kenrlr rsınd > > ğıntısı vrs,

Detaylı

1. Değişkenler ve Eğriler: Matematiksel Hatırlatma

1. Değişkenler ve Eğriler: Matematiksel Hatırlatma DERS NOTU 01 Son Hli Değildir, tslktır: Ekleme ve Düzenlemeler Ypılck BİR SOSYAL BİLİM OLARAK İKTİSAT VE TEMEL KAVRAMLAR 1 Bugünki dersin işleniş plnı: 1. Değişkenler ve Eğriler: Mtemtiksel Htırltm...

Detaylı

Kartografik Tasarım Üretim Seminer 1. www.iobildirici.com. iobildirici@yahoo.com

Kartografik Tasarım Üretim Seminer 1. www.iobildirici.com. iobildirici@yahoo.com Krtogrik Tsrım Üretim Seminer ANALOG HARİTALARDAN MEKANSAL VERİ KAZANIMI: DATUM, PROJEKSİYON, KOORDİNAT SİSTEMLERİ, SAYISALLAŞTIRMA Pro.Dr. İ.Öztuğ BİLDİRİCİ Selçuk Üniversitesi Mühendislik-Mimrlık Fkültesi

Detaylı

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü, 005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.

Detaylı

MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ

MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ MÜHENDİSLİK MEKNİĞİ DİNMİK MDDESEL NOKTLRIN DİNMİĞİ DİNMİK MDDESEL NOKTLRIN DİNMİĞİ İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ - Konum, Hız e İme - Newton Knunlrı 2. MDDESEL NOKTLRIN KİNEMTİĞİ - Doğrusl Hreket - Düzlemde Eğrisel

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...2 : DÜZGÜN BEŞGEN DÜZGÜN BEŞGEN ÖZELLİK 3 TANIM VE ÖZELLİKLERİ ÖZELLİK 1 ÖZELLİK 2. A Köşe. köşeleri A, B, C, D ve E dir, β θ

Örnek...1 : Örnek...2 : DÜZGÜN BEŞGEN DÜZGÜN BEŞGEN ÖZELLİK 3 TANIM VE ÖZELLİKLERİ ÖZELLİK 1 ÖZELLİK 2. A Köşe. köşeleri A, B, C, D ve E dir, β θ ÜZGÜN ŞGN ( ÜZGÜN ŞGN TNII, ÖZİRİ ĞRNİRR ) ÜZGÜN ŞGN ÖZİ 3 TNI V ÖZİRİ enr syısı 5 oln düzgün çokgene öşe düzgün beşgen denir. üzgün beşgenin; köşeleri,,, ve dir, kenrlrı [], [], β θ [], [] ve [] dır,

Detaylı

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Ferdinnd P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Ders Notu: Hri ACAR İstnbul Teknik Üniveristesi Tel: 85 1 46 / 116 E-mil: crh@itu.edu.tr Web: http://tls.cc.itu.edu.tr/~crh

Detaylı

1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır?

1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır? 987 ÖSS. Yukrıdki çıkrm işlemine göre, K+L+M toplmı şğıdkilerden hngisine dim eşittir? A) M B) L C) K M K 5. 4 işleminin sonucu kçtır? A) 0 B) C) 5 4 5. Aşğıdki toplm işleminde her hrf sıfırın dışınd fklı

Detaylı

Vektör - Kuvvet. Test 1 in Çözümleri 5. A) B) C) I. grubun oyunu kazanabilmesi için F 1. kuvvetinin F 2

Vektör - Kuvvet. Test 1 in Çözümleri 5. A) B) C) I. grubun oyunu kazanabilmesi için F 1. kuvvetinin F 2 7 Vektör - uvvet 1 Test 1 in Çözümleri 5. A) B) C) 1. 1 2 I. grubun oyunu kznbilmesi için 1 kuvvetinin 2 den büyük olmsı gerekir. A seçeneğinde her iki grubun uyguldığı kuvvetler eşittir. + + + D) E) 2.

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VEKTÖRLER. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. YÖNLÜ

Detaylı

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:

Detaylı

B - GERĐLĐM TRAFOLARI:

B - GERĐLĐM TRAFOLARI: ve Seg.Korum_Hldun üyükdor onrım süresinin dh uzun olmsı yrıc rnın izole edilmesini gerektirmesi; rızlnmsı hlinde r tdiltını d gerektireilmesi, v. nedenlerle, özel durumlr dışınd tercih edilmezler. - GERĐLĐM

Detaylı

UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-1

UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-1 UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-. A(,, ) ve B(,, ) noktlrı rsındki uklık kç birimdir? 6. A e e e B e e e AB vektörü ile nı doğrultud ıt öndeki birim vektör şğıdkilerden ( e e e ). A(, b, ) B(,, ) noktlrı ve U

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal II / 27 Kasım Matematik Sorularının Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal II / 27 Kasım Matematik Sorularının Çözümleri Akdemik Personel ve Lisnsüstü Eğitimi Giriş Sınvı ALES / Sonbhr / Syısl II / 7 Ksım 0 Mtemtik Sorulrının Çözümleri. Bölüm şeklindeki kreköklü ifdenin pydsını krekökten kurtrmk için py ve pydyı, pydnın

Detaylı

DOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu

DOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu OĞRU ÇILR Temel Kvrmlr ve oğrud çılr Nokt: Nokt geometrinin en temel terimidir. ni, boyu vey yüksekliği yoktur. İnce uçlu bir klemin kğıt üzerinde bırktığı iz olrk düşünebilirsiniz. oğru: üz, klınlığı

Detaylı

TEST 16-1 KONU DÜZLEM AYNA. Çözümlerİ ÇÖZÜMLERİ

TEST 16-1 KONU DÜZLEM AYNA. Çözümlerİ ÇÖZÜMLERİ OU 6 Ü Çözümler. TST 6-,7 ÇÖÜR,6 5. Bir cismin görüntüsünün nerede görüneceğini bkn kişinin bulunduğu yer belirlemez. nin görüntüsü nolu noktd olduğu için her iki gözlemci ynı yerde görür. V 3,5 6. 7 kez

Detaylı

YGS-LYS GEOMETRİ ÖZET ÇÖZÜMLERİ TEST 1

YGS-LYS GEOMETRİ ÖZET ÇÖZÜMLERİ TEST 1 YGS-YS GOMTRİ ÖZT ÇÖZÜMRİ TST 1 1. 1. y 1 1 + 1 1ʺ 1 1ʹ 17 0ʹ 1 1ʹ ʹ + ʹ 1ʺ ʹ + ʹ 1ʺ 7 0ʹ 1ʺ 0 0ʹ 1ʺ bulunur. 1 y < + 1 y dir. y < 7 + 1 < 7 0 < < 1 in en büyü tm syı değeri 17 in en üçü tm syı değeri

Detaylı

1992 ÖYS. 1. Bir öğrenci, harçlığının 7. liralık otobüs biletinden 20 adet almıştır. Buna göre öğrencinin harçlığı kaç liradır?

1992 ÖYS. 1. Bir öğrenci, harçlığının 7. liralık otobüs biletinden 20 adet almıştır. Buna göre öğrencinin harçlığı kaç liradır? 99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000 6. Bir lstik çekilip uztıldığınd

Detaylı

DENEY 3: EŞDEĞER DİRENÇ, VOLTAJ VE AKIM ÖLÇÜMÜ

DENEY 3: EŞDEĞER DİRENÇ, VOLTAJ VE AKIM ÖLÇÜMÜ A. DENEYĠN AMACI : Direnç devrelerinde eşdeğer direnç ölçümü ypmk. Multimetre ile voltj ve kım ölçümü ypmk. Ohm knununu sit ve prtik devrelerde nlmy çlışmk. B. KULLANILACAK AAÇ VE MALZEMELE : 1. DC güç

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel

Detaylı

η= 1 kn c noktasında iken A mesnedinin mesnet tepkisi (VA)

η= 1 kn c noktasında iken A mesnedinin mesnet tepkisi (VA) ölüm Đzosttik-Hipersttik-Elstik Şekil Değiştirme TESİR ÇİZGİSİ ÖRNEKLERİ Ypı sistemlerinin mruz kldığı temel yükler sit ve hreketli yüklerdir. Sit yükler için çözümler önceki konulrd ypılmıştır. Hreketli

Detaylı

1982 ÖSS =3p olduğuna göre p kaçtır? A) 79 B) 119 C) 237 E) A) 60 B) 90 C) 120 D) 150 E) 160

1982 ÖSS =3p olduğuna göre p kaçtır? A) 79 B) 119 C) 237 E) A) 60 B) 90 C) 120 D) 150 E) 160 8 ÖSS. Bir çiftlikte 800 koun 00 inek ve 600 mnd vrdır. Bu hvnlrın tümü bir dire grfikle gösterilirse ineklerle ilgili dilimin merkez çısı kç derece olur? A) 60 B) 0 C) 0 D) 0 E) 60 6. 0 - =p olduğun göre

Detaylı

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : Örnek...4 : a 3 DÜZGÜN ALTIGEN DÜZGÜN ALTIGEN TANIM VE ÖZELLİKLERİ. ABCDEF düzgün

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : Örnek...4 : a 3 DÜZGÜN ALTIGEN DÜZGÜN ALTIGEN TANIM VE ÖZELLİKLERİ. ABCDEF düzgün ÜZGÜN TIGN ( ÜZGÜN TIGN TNIMI, ÖZİİ V NI ĞNİM ) ÜZGÜN TIGN Örnek...2 : TNIM V ÖZİİ enr syısı 6 oln çok - gene lt ıgen denir. ltıgeni için [], [] ve [] köşegenlerinin kesim noktsı oln noktsı dü zgün ltıge

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. SINIF TEST SORULARI. + işleminin sonucu kçtır? 5 5 A) 0 B) 0 C) 0 7 D) 0 9 E). y = x x + prbolünün y = x doğrusun en ykın noktsının koordintlrı toplmı

Detaylı

Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü TOPOGRAFYA (HRT3351) Yrd. Doç. Dr. Ercenk ATA

Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü TOPOGRAFYA (HRT3351) Yrd. Doç. Dr. Ercenk ATA Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü 4. HAFTA KOORDİNAT SİSTEMLERİ VE HARİTA PROJEKSİYONLARI Coğrafi Koordinat Sistemi Yeryüzü üzerindeki bir noktanın konumunun enlem

Detaylı

MALTA HAÇI MEKANİZMASININ KİNEMATİĞİ ÜZERİNE

MALTA HAÇI MEKANİZMASININ KİNEMATİĞİ ÜZERİNE MALTA HAÇI MEKANİZMASININ KİNEMATİĞİ ÜZERİNE Yrdımcı Doçent Doktor Yılmz YÜKSEL 1. GİRİŞ Tekstil Mklnlrmd hmmddeyi mmul mdde hline getirirken çoğu kere bir çok teknik iş belirli bir sıry göre rdrd ypılmktdır.

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ PEDAL DÖRTGENLERİNDE GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER

ÖZEL EGE LİSESİ PEDAL DÖRTGENLERİNDE GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER ÖZEL EGE LİEİ PEDAL DÖRTGENLERİNDE GEOMETRİK EŞİTİZLİKLER HAZIRLAYAN ÖĞRENCİLER: Güneş BAŞKE Zeynep EZER DANIŞMAN ÖĞRETMEN: ereny ŞEN İZMİR 06 İçindekiler yf. Giriş.... Amç.... Ön Bilgiler...... 3. Yöntem....

Detaylı

KIVIRMA İŞLEMİNİN ŞEKİL ve BOYUTLARI

KIVIRMA İŞLEMİNİN ŞEKİL ve BOYUTLARI 2011 Şut KIVIRMA İŞEMİNİN ŞEKİ ve BOYUTARI Hzırlyn: Adnn YIMAZ AÇINIM DEĞERERİ 50-21 DİKKAT: İyi niyet, ütün dikkt ve çm krşın ynlışlr olilir. Bu nedenle onucu orumluluk verecek ynlışlıklr için, hiçir

Detaylı

İÇİNDEKİLER ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06

İÇİNDEKİLER ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06 PROBLEMLER İÇİNDEKİLER Syf No Test No ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06 SAYI PROBLEMLERİ... 299-314... 01-08 YAŞ PROBLEMLERİ...

Detaylı

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖETLİ ÇÖÜMLÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Limit Kvrmı ve Grfik Sorulrı... Limitle İlgili Bzı Özellikler...7 Genişletilmiş Reel Sılrd Limit... Bileşke Fonksionun Limiti...

Detaylı

Çekül Doğrultusu. Elipsoit Normali. y zü. Referans Yüzeyi (Elipsoit/Küre)

Çekül Doğrultusu. Elipsoit Normali. y zü. Referans Yüzeyi (Elipsoit/Küre) 053/063 Yeryüzü ve Hrit Yeryüzünün şekli Küre? Pisgor felsefi olrk (MÖ 6.YY), Aristo gözlemlere dynrk (MÖ 4.YY) yerin küresel olduğu sonucun vrmışlrdır. Ertoshenes yerin çevresini ilk kez hesplmıştır (MÖ

Detaylı

İntegralin Uygulamaları

İntegralin Uygulamaları Bölüm İntegrlin Uygulmlrı. Aln f ve g, [, b] rlığındki her x için f(x) g(x) eşitsizliğini sğlyn sürekli fonksiyonlr olmk üzere y = f(x), y = g(x) eğrileri, x = ve x = b düşey doğrulrı rsındki S bölgesini

Detaylı

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir?

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir? 98 ÜYS Sorulrı. r top kumşın önce, sonr d klnın ü 5 stılıor. Gere 6 m kumş kldığın göre, kumşın tümü kç metredr? ) 7 ) 65 ) 6 ) 55 ) 5 4. r şekln, u brm uzunluğun göre ln ölçüsü, v brm uzunluğun göre ln

Detaylı

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2) 009 - ÖSS / MT- MTEMTİK TESTİ (Mt ). u testte sırsıl, Mtemtik ( 8) Geometri (9 7) nlitik Geometri (8 0) lnlrın it 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için rıln kısmın işretleiniz..

Detaylı

YÜKSEKLİK ÖLÇÜMÜ. Ölçme Bilgisi Ders Notları

YÜKSEKLİK ÖLÇÜMÜ. Ölçme Bilgisi Ders Notları YÜKSEKLİK ÖLÇÜMÜ Yeryüzündeki herhangi bir noktanın sakin deniz yüzeyi üzerinde (geoitten itibaren) çekül doğrultusundaki en kısa mesafesine yükseklik denir. Yükseklik ölçümü; belirli noktalar arasındaki

Detaylı

ÜNİTE - 9 GEOMETRİK CİSİMLER

ÜNİTE - 9 GEOMETRİK CİSİMLER ÜNİ - 9 GMRİK İSİMLR KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ RİZMLR Q ve Q birbirine prlel iki düzlem olsun. iri, diğeri Q düzlemindeki birbirine eş iki çokgenin köşeleri krşılıklı olrk birleştirilirse elde edilen

Detaylı

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ]

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ] 3. BÖLÜM 2 v r = M m v r 2 2 = 22 M m2 v r n n 2n = M mn MTRİSLER gibi n tne vektörün oluşturduğu, r r r = v v v [ L ] 2 n şeklindeki sırlnışın mtris denir. 2 nlitik Geometriden Biliyoruz ki : Mtris 2

Detaylı

TEST 17-1 KONU KÜRESEL AYNALAR. Çözümlerİ ÇÖZÜMLERİ 6. K Çukur aynada cisim merkezin dışında ise görüntü

TEST 17-1 KONU KÜRESEL AYNALAR. Çözümlerİ ÇÖZÜMLERİ 6. K Çukur aynada cisim merkezin dışında ise görüntü OU 17 ÜRS R - - - - Çözümler S 17-1 ÇÖÜR 5. α 1. - - - - ve ynlış çizilmiş olup doğru çizimleri yukrıd verilmiştir.. sü ise doğru çizilmiştir. Cevp: Odk nin sğınddır. den çizilen doğru normldir. Bundn

Detaylı

Ünite Planı Şablonu. Öğretmenin. Fatma BAĞATARHAN Yunus Emre Anadolu Lisesi. Ġnönü Mahallesi. Bingöl. Adı, Soyadı. Okulunun Adı

Ünite Planı Şablonu. Öğretmenin. Fatma BAĞATARHAN Yunus Emre Anadolu Lisesi. Ġnönü Mahallesi. Bingöl. Adı, Soyadı. Okulunun Adı Intel Öğretmen Progrmı Ünite Plnı Şlonu Öğretmenin Adı, Soydı Okulunun Adı Okulunun Bulunduğu Mhlle Okulun Bulunduğu Ġl Ftm BAĞATARHAN Yunus Emre Andolu Lisesi Ġnönü Mhllesi Bingöl Ünit Bilgisi Ünite Bşlığı

Detaylı

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir.

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir. LOGARİTMA I. Üstl Fonksiyonlr v Logritmik Fonksiyonlr şitliğini sğlyn dğrini bulmk için ypıln işlm üs lm işlmi dnir. ( =... = 8) y şitliğini sğlyn y dğrini bulmk için ypıln işlm üslü dnklmi çözm dnir.

Detaylı

İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ. Balıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi İnşaat Müh. Bölümü Balıkesir, TÜRKİYE THEOREM OF WORK INFLUENCE LINE

İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ. Balıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi İnşaat Müh. Bölümü Balıkesir, TÜRKİYE THEOREM OF WORK INFLUENCE LINE BAÜ Fen Bil. Enst. Dergisi (006).8. İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ Scit OĞUZ, Perihn (Krkulk) EFE Blıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimrlık Fkültesi İnşt Müh. Bölümü Blıkesir, TÜRKİYE ÖZET Bu çlışmd İş Etki Çizgisi

Detaylı

1.Hafta. Statik ve temel prensipler. Kuvvet. Moment. Statik-Mukavemet MEKANİK

1.Hafta. Statik ve temel prensipler. Kuvvet. Moment. Statik-Mukavemet MEKANİK Ders Notlrı 1.hft 1.Hft Sttik ve temel prensipler Kuvvet Moment MEKNİK Kuvvetlerin etkisi ltınd kln cisimlerin denge ve hreket şrtlrını nltn ve inceleyen bilim dlıdır. Meknikte incelenen cisimler Rijit

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek

Detaylı

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ LYS 06 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ 6.. 5. 5. ( ) 8 6 65 buluruz. 5. 5 5 Doğru Cevp: C Şıkkı 8 7 ()... 9 buluruz. Doğru Cevp : D Şıkkı 9 8 8 9 8 9 8 9 9 9 9 9 8 buluruz. 8 8 8 8 8 Doğru Cevp : A Şıkkı (n )! (n

Detaylı

KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MATEMATİK

KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MATEMATİK MTEMTİK KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MTEMTİK EDİTÖR Turgut MEŞE YZR İdris DOĞN ütün hklrı Editör Yyınlrın ittir. Yyınevinin izni olmksızın, kitbın tümünün vey bir kısmının bsımı, çoğltılmsı ve dğıtımı

Detaylı

Cevap D. 6. x = 3, y = 7, z = 9 olduğundan x + y < y ve. Cevap C. 7. x ile y aralarında asal olduğundan x 2 ile y sayıları da. Cevap A.

Cevap D. 6. x = 3, y = 7, z = 9 olduğundan x + y < y ve. Cevap C. 7. x ile y aralarında asal olduğundan x 2 ile y sayıları da. Cevap A. eneme - / Mt MTEMTİK ENEMESİ. c - m. c - m -.., bulunur. y. 7, + 7 y + + 00 y + + + y + +, y lınr ı.. ^ - h. ^ + h. ^ + h ^ - h. ^ + h - & & bulunur.. ΩΩΩΩΔφφφ ΩΩφφ ΩΩΔφ 0 evp. ise ^ h ^h 7 ise ^ 7h b

Detaylı

1992 ÖYS A) 0,22 B) 0,24 C) 0,27 D) 0,30 E) 0, Bir havuza açılan iki musluktan, birincisi havuzun tamamını a saatte, ikincisi havuzun

1992 ÖYS A) 0,22 B) 0,24 C) 0,27 D) 0,30 E) 0, Bir havuza açılan iki musluktan, birincisi havuzun tamamını a saatte, ikincisi havuzun 99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000. Bir stıcı, elindeki mlın önce

Detaylı

DENEY 2 Wheatstone Köprüsü

DENEY 2 Wheatstone Köprüsü 0-05 Güz ULUDĞ ÜNİESİTESİ MÜHENDİSLİK FKÜLTESİ ELEKTİK-ELEKTONİK MÜHENDİSLİĞİ ÖLÜMÜ EEM0 Elektrik Devreleri Lorturı I 0-05 DENEY Whetstone Köprüsü Deneyi Ypnın Değerlendirme dı Soydı : Deney Sonuçlrı (0/00)

Detaylı

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0)

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0) BÖLÜM TRİGONOMETRİ.. TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR... BİRİM ÇEMBER Tnım : Merkezi orijin ve yrıçpı birim oln çembere trigonometrik çember vey birim çember denir. Trigonometrik çemberin denklemi + y dir.yni

Detaylı

G E O M E T R İ ÖRNEK. AB = 8 br. BC = x br ÇÖZÜM. Cevap C dir. ÖRNEK. [AF] [BF] [AF açıortay BE = EC EF = 1 br AB = 7 br

G E O M E T R İ  ÖRNEK. AB = 8 br. BC = x br ÇÖZÜM. Cevap C dir. ÖRNEK. [AF] [BF] [AF açıortay BE = EC EF = 1 br AB = 7 br G O M T R İ www.kemivizyon.om.tr 3. ÖLÜM Üçgene çı Kenr ğıntılrı 1. < < + < < + < < + ir üçgene ir kenr uzunluğu, iğer iki kenr uzunluklrının toplmınn küçük; mutlk frkınn üyüktür. ÖRNK m() m() m() = r

Detaylı

ARABA BENZERİ GEZGİN ROBOTUN OTOMATİK PARK ETMESİ İÇİN BİR YÖNTEM

ARABA BENZERİ GEZGİN ROBOTUN OTOMATİK PARK ETMESİ İÇİN BİR YÖNTEM ARABA BENZERİ GEZGİN ROBOTUN OTOMATİK PARK ETMESİ İÇİN BİR YÖNTEM Burk Uzkent Osmn Prlktun Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü Eskişehir Osmngzi Üniversitesi, Eskişehir uzkent.burk@gmil.com oprlk@ogu.edu.tr

Detaylı

2 olur. ADI: SOYADI: DERS: MATEMATĐK KONU: KESĐK PĐRAMĐT KONU ANLATIMI HAZIRLAYAN: ÖMER ASKERDEN

2 olur. ADI: SOYADI: DERS: MATEMATĐK KONU: KESĐK PĐRAMĐT KONU ANLATIMI HAZIRLAYAN: ÖMER ASKERDEN 1)KESĐK PĐRAMĐT: Bir pirmit, tbn prlel bir düzlem ile kesildiğinde, tbn düzlemi ile kesit üzei rsınd kln kısım kesik pirmit denir. KESĐK PĐRAMĐDĐN YANAL YÜZ ALANI: Bir düzgün kesik pirmidin nl lnı, lt

Detaylı

Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu

Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu Fonksionlr Konu Özeti. Köklü fonksionlrın en geniş tnım kümesi: f( f( n f( g( fonksionun en geniş tnım kümesi, g( koşulunu sğln noktlr kümesidir. f( f( n f( g( tüm reel sılrd tnımlıdır. fonksionu g( in

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı.,, z rdışık pozitif tmsılr ve z olmk üzere; z olduğun göre, kçtır? C). olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir? C) 8 6., b, c Z olmk üzere; b c bc c b olduğun göre,,

Detaylı

KONİKLER KONİKLER...318-357. Sayfa No. r=a A O A. Asal çember. x 2 + y 2 = a 2

KONİKLER KONİKLER...318-357. Sayfa No. r=a A O A. Asal çember. x 2 + y 2 = a 2 Sf No.........................................................8-7 Prol....................................................................... 9 - Etkinlikler.....................................................................

Detaylı

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır?

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır? RAKAM Syılrı ifde etmek için kullndığımız 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 sembollerine rkm denir. Örnek... :, b ve c birbirlerinden frklı birer rkmdır..b+9.b c en çok kçtır? DOĞAL SAYILAR N={0,,2,3...,n,...} kümesine

Detaylı

Ölçme Bilgisi Jeofizik Mühendisliği Bölümü

Ölçme Bilgisi Jeofizik Mühendisliği Bölümü Ölçme Bilgisi Jeofizik Mühendisliği Bölümü Yrd. Doç. Dr. H. Ebru ÇOLAK ecolak@ktu.edu.tr Karadeniz Teknik Üniversitesi, GISLab Trabzon www.gislab.ktu.edu.tr/kadro/ecolak DÜŞEY MESAFELERİN YÜKSEKLİKLERİN

Detaylı

(bbb) üç basamaklı sayılardır. x ile y arasında kaç tane asal sayı vardır? A)0 B)1 C) 2 D) 3 E) x, y, z reel sayılar olmak üzere, ifadesinin

(bbb) üç basamaklı sayılardır. x ile y arasında kaç tane asal sayı vardır? A)0 B)1 C) 2 D) 3 E) x, y, z reel sayılar olmak üzere, ifadesinin 4 () ve (bb) iki bsmklı syılr, () ve 1 x=15! +1 y=15!+16 olmk üzere, (bbb) üç bsmklı syılrdır x ile y rsınd kç tne sl syı vrdır? A)0 B)1 C) D) 3 E) 4 b + bb + bbb = 6 olduğun göre, b çrpımı en çok kçtır?

Detaylı

Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207. Temel Elektronik-I. Doç. Dr. Hüseyin Sarı

Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207. Temel Elektronik-I. Doç. Dr. Hüseyin Sarı Ankr Üniversitesi Mühendislik Fkültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207 Temel ElektronikI Doç. Dr. Hüseyin Srı 2. Bölüm: Dirençli Devreler İçerik Temel Yslrın Doğrudn Uygulnışı Kynk Gösterimi ve Dönüşümü

Detaylı

DRC. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. c m. m m. y Cevap A. Cevap D 21, 25, = = =. 21.

DRC. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. c m. m m. y Cevap A. Cevap D 21, 25, = = =. 21. Deneme - / Mt MATMATİK DNMSİ. - + -. 0,.., f -, 0, p. 0,. c- m.,,. ^- h.. 7. ^- h 7 - ulunur. +. c m olur.. + + ulunur. ( ) c m + c m. cc m m. c m.. ulunur. evp evp. Sekiz smklı herhngi ir özel syı cdefgh

Detaylı

DENEY 6. İki Kapılı Devreler

DENEY 6. İki Kapılı Devreler 004 hr ULUDĞ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FKÜLTESİ ELEKTRİKELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ ÖLÜMÜ ELN04 Elektrik Devreleri Lorturı II 004 hr DENEY 6 İki Kpılı Devreler Deneyi Ypnın Değerlendirme dı Soydı : Ön Hzırlık

Detaylı

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır. LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m...... n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ;

Detaylı

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7.

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7. MC. + + +.. Rsyonel Syılr TEST I sonsuz kesrinin eşiti kçtır? A) B) C) D) E) 4 www.mtemtikclu.com, 006 Ceir Notlrı. 8. Gökhn DEMĐR, gdemir@yhoo.com.tr 0;0 0;0008 = 0; x ise x kçtır? A) 0,0 B) 0,000 C)

Detaylı

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER Belirli bir kurl göre düzenli bir şekilde tekrr eden şekil vey syı dizisine örüntü denir. ÖRNEK: Aşğıdki syı dizilerinin kurlını bulunuz. 9, 16, 23, 30, 37 5, 10, 15, 20 bir syı

Detaylı

Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre

Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre Jeodezi 7 1 Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre Elipsoid yüzeyinin küçük parçalarında oluşan küçük üçgenlerin (kenarları 50-60 km den küçük) hesaplanmasında klasik jeodezide

Detaylı

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1)

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1) ÖSS MT-1 / 008 MTMTİK 1 TSTİ (Mt 1) 1. u testte 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik 1 Testi için yrıln kısmın işretleyiniz. 1. 1 + 4 1 ( ) 4. syısı b 0 ) b syısının kç ktıdır? ) b ) b işleminin

Detaylı

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ ESKİŞEHİR OSMNGZİ ÜNİVERSİESİ Müendislik Mimrlık Fkültesi İnşt Müendisliği Bölümü E-Post: ogu.met.topu@gmil.om We: ttp://mmf.ogu.edu.tr/topu Bilgisyr Destekli Nümerik nliz Ders notlrı met OPÇU n>m 8 8..

Detaylı