UNIVERSAL TRANSVERSE MERCATOR VE LAMBERT'in AÇI KORUYAN (KONFORM) PROJEKSÝYONU HAKKINDA ELEÞTÝREL BÝR DERLEME

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "UNIVERSAL TRANSVERSE MERCATOR VE LAMBERT'in AÇI KORUYAN (KONFORM) PROJEKSÝYONU HAKKINDA ELEÞTÝREL BÝR DERLEME"

Transkript

1 MTA Dergisi, 134, 41-58, 2007 UNIVERSAL TRANSVERSE MERCATOR VE LAMBERT'in AÇI KORUYAN (KONFORM) PROJEKSÝYONU HAKKINDA ELEÞTÝREL BÝR DERLEME Cemal GÖÇMEN * ÖZ.- Bu yazý; harita projeksiyonlarý hakkýnda bilgi vermek, bu projeksiyonlarý kullanýrken nelere dikkat etmemiz gerektiðini göstermek için hazýrlanmýþtýr. Yazýda harita projeksiyonlarýnýn tümü anlatýlmamýþ, çalýþmalarýmýzda en çok kullandýðýmýz iki projeksiyon sistemi olan; Universal Transverse Mercator ve Lambert'in açý koruyan (Konform) projeksiyonlarýndan bahsedilmiþtir. Yazýda derece-utm dönüþüm programlarýnda dönüþümün yapýlmasý için gereken, dilim orta meridyeni belirlenmesinin önemi vurgulanarak, komþu ülkelerin Lambert Projeksiyonunda çizilmiþ haritalarýnýn, neden bizim Lambert Projeksiyon Sisteminde çizilmiþ haritalarýmýzla çakýþmadýðý incelenmiþtir. Makalede ayrýca harita projeksiyonlarýnda kullanýlan matematiksel modellerden söz edilmiþ ve insanlarýn eski çaðlarda dünyanýn þekli ve boyutlarý ile ilgili meraklarý ve neler yaptýklarý, tarihsel geliþim baþlýðý altýnda anlatýlmýþtýr. Anahtar kelimeler: Dünyanýn þekli, UTM projeksiyonu, Lambert projeksiyonu. GÝRÝÞ Haritalar, yer bilimcilerin aldýklarý ölçüleri, örnekleri, yer ile ilgili yaptýklarý her türlü çalýþmalarý düzlem üzerinde gösterebilmek için kullandýklarý bir metottur. Bu yazýnýn amacý sürekli kullandýðýmýz haritalar hakkýnda detay bilgi vermek ve komþu ülkelerde Lambert projeksiyonunda çizilmiþ haritalarýn ülkemiz Lambert projeksiyonunda çizilmiþ haritalarla çakýþmama nedenlerini irdelemektedir. Bu konu uzun mesafeli jeofizik araþtýrmalar için önem taþýmaktadýr. Eratosthenes ölçme iþlemini, Asuvan (Syene) ile Ýskenderiye kentleri arasýnda yapmýþtýr. Asuvan kentinin yengeç dönencesine yakýn olmasý nedeniyle, 21 Haziranda güneþ ýþýnlarý buraya dik gelmektedir. Eratosthenes'e göre güneþ, öðle vakti ýþýnlarýn tam dik olduðu durumda, Ýskenderiye'de çekül doðrultusu ile 7 12' lýk bir açý yapmaktadýr (Þekil 1). Tarihsel geliþim Dünyanýn þekli ve boyutlarý ilk kez Eski Yunan'da gündeme gelmiþ ve sferoidal (küreye benzer) dünya kavramý yine ilk kez Pythagoras (M.Ö ) tarafýndan ortaya atýlmýþtýr. Dünyayý dikdörtgen, düzlem, silindir þeklinde tarif e- den çað dýþý diðer görüþler karþýsýnda, Pythagoras'ýn Sferoidal dünya kavramý o dönem Yunan' da en çok desteklenen kavram olmuþtur. Dünyanýn boyutlarýnýn ölçülmesi ve hesaplanmasý ilk kez Eratosthenes (M.Ö ) tarafýndan yapýlmýþtýr. Þekil 1- Eratosthenes'e göre güneþ, öðle vakti ýþýnlarýn tam dik olduðu durumda, Ýskenderiye'de çekül doðrultusu ile 7 12' lýk bir açý yapmaktadýr. * Maden Tetkik ve Arama Genel Müdürlüðü, Jeofizik Etütleri Dairesi, Ankara

2 42 Cemal GÖÇMEN Bu 7 12' lýk açý, 360 olan tam daireye oranlýðýnda, Ýskenderiye ile Asuvan kentleri arasýndaki dairenin yay parçasý, bir tam dairenin 1/50 si kadar olur. Asuvan ile Ýskenderiye arasý zamanýn ölçü birimi olan "stadya" cinsinden ölçülmüþ ve 5000 stadya bulunmuþtur. (Asuvan ve Ýskenderiye kentleri arasýnda 3 lik boylam farký olmasýna karþýn bu iki kent o dönem ayný meridyen üzerinde biliniyordu) Dünyanýn çevresi: X 50= stadya olarak hesaplanmýþtýr. 1 stadya 185 metre olduðuna göre, Eratosthenes dünya çevresini metre hesaplamýþtýr. Birçok hataya raðmen, dünyanýn çevresinin hesaplanmasýnýn þaþýrtýcý þekilde doðruya yakýn olduðu görülmektedir (örneðin bu iki kent arasý 4530 stadya, iki kentin boylam farký 3, hata oraný %14) (Bilgin 1974, Köktürk, 2004 a b). Jeodezi 15. ve 16. yüzyýllarda Galileo'nun (M.S ) sferoidal dünya kavramýný desteklemesine ve Christopher Columbus'un (M.S ) bunu kanýtlamaya çalýþmasýna kadar, Hýristiyanlýðýn koyu tutuculuðu altýnda dünyanýn düz olduðu teorilerinin desteklenmesi ile oldukça geriye gitmiþtir. Bu sýralarda, Arap, Türk ve Ýranlý alim ve seyyahlar tarafýndan Doðu Aleminde çalýþmalar yapýlmýþ ve bu birikim Rönesans' la birlikte batýya aktarýlmýþtýr. Ýslam Aleminde ibadet için kýbleye dönülmesi, namaz vakti ve dini günlerin saptanmasý, deðiþik yer ve konumlarda coðrafi enlem ve boylamýn bilinmesini gerektirdiðinden, matematiksel coðrafya ve astronomi geliþme olanaðý bulmuþtur. Araplar Eratosthenes'in yapmýþ olduðu meridyen ölçümünün doðruluðunu kontrol etmek için, M.S. 832 yýlýnda Abbasi Halifesi Me'mun döneminde Sincan Ovasýnda, kutup yýldýzýnýn ufuk üzerindeki yükseliminin 1 fark ettiði iki noktayý tespit ederek, aralarýndaki mesafeyi ölçüp, yerküre hesabý yapmýþlar, 1 lik yayýn uzunluðunu 67.7 mil ölçerek buradan da meridyen yayýnýn km. yi bulduðunu hesaplamýþlardýr. Bu arada Piri Reis ( ) Akdeniz'e ait en kapsamlý ve iyi bir deniz kýlavuzu olan "Kitabül Bahriye" adlý kitabýný yayýnlamýþtýr yýlýnda tamamladýðý haritasýný da zamanýn hükümdarý olan Yavuz Sultan Selim'e 1517 yýlýnda Mýsýr'da kendisi sunmuþtur. Piri Reisin önemi deðiþik ölçeklerde yapýlmýþ haritalarý ayný ölçeðe getirmesidir (Köktürk, 2004 a b). 17. yüzyýlda teknolojik geliþmelerle birlikte yapýlan ölçümler sonucu dünyanýn þeklinin temelde küre olduðu, kutupsal yarýçapýn, ekvatoral yarýçapa göre çok az kýsa veya uzun olduðu kabul edildi, fakat hangi yarýçapýn daha uzun olduðu tartýþmalara neden oldu ( Bilgin, 1974). Cassini (M.S ) adýndaki Fransýz, kuzey-güney yayýný ölçmeyi baþardý ve dünyanýn þeklinin "oval dönel elipsoit" (kutupsal yarýçapýn büyük olduðu elipsoit) olduðu tezini savundu. Ýngiltere tarafýnda ise; Channel, Newton (M.S ) ve Huygens (M.S ) teorik çalýþmalar yaptýlar ve dünyanýn þeklinin "basýk dönel elipsoit" (ekvatoral yarýçapýn büyük olduðu elipsoit) olduðunu iddia ettiler yýlýnda Fransýz Bilimler Akademisi Peru ve Lapland'a giderek, meridyen boyunca, yayýn bir derecelik uzunluðunu ölçtü ve bu uzunluðu kutba yakýn bir yerde ölçülen bir derecelik yayýn uzunluðu ile karþýlaþtýrarak dünyanýn þeklinin yaklaþýk olarak "basýk dönel elipsoit" olduðunu ispatladý. (Hoar, 1982) DÜNYANIN ÞEKLÝ Dünyanýn boyutlarý, þekli ve üzerindeki konum gündeme geldiðinde; þu yüzey modellerinden söz edilir: 1. Fiziksel Yeryüzü 2. Elipsoit (Sferoit) 3. Geoid 4. Küre 5. Düzlem

3 AÇI KORUYAN (KONFORM) PROJEKSÝYONU HAKKINDA ELEÞTÝREL BÝR DERLEME 43 Fiziksel yeryüzü Topoðrafya da denilen, arazi engebeleridir. Yeryüzünün gerçek fiziksel modelidir. Elipsoit Elips küçük ekseni etrafýnda döndürülürse, meydana gelen þekle dönel elipsoit denir. Elipsoit ve Sferoit ayni anlama gelen ve birbirlerinin yerine kullanýlabilen sözcüklerdir. Elips çok çeþitli þekilde tarif edilebilir fakat genelde jeodezik anlamda yarý büyük ekseni ve basýklýðý ile tanýmlanýr. Basýklýk (f), büyük yarý eksen (a) ve küçük yarý eksen (b) ile hesaplanýr (Hoar, 1982). Þekil 2- Bakýþ çizgisi (eþit yükseklikteki noktalar) düz bir çizgi þeklinde olacaktýr. Geoid Bilindiði gibi fiziksel yeryüzü okyanuslarda düzgün bir yüzey, (kabul edilebilir düzlükte) karada ise daðlar ile vadiler ile arasýnda büyük yükseklik farklarý olan bir þekildir. Bu nedenle dünyanýn þekline bir isim vermek mümkün deðildir, bu þekil ancak matematiksel bir modelle tanýmlanabilir. Ortalama deniz yüzeyinin üstündeki topoðrafyayý kaldýrýrsak, herhangi bir noktadan bütün yönlere baktýðýmýzda, kýsa mesafede bakýþ çizgisi (eþit yükseklikteki noktalar) düz bir çizgi þeklinde olacaktýr. Uzak mesafelere baktýðýmýzda ise; bakýþ çizgisi, eþit yükseklikteki noktalardan meydana geldiði için eðri olacaktýr (Þekil 2). Yeryüzünü kenarlarý olmayan, kapalý bir þekil olarak düþünürsek; bakýþ çizgileri, her bakýþ noktasýnda deðiþik yönlere doðru olacaktýr (Þekil 3). Bakýþ noktalarýný sonsuz sayýya çýkartýrsak elde edilecek þekil, bize dünyanýn þeklini verecektir. Bu þekle GEOID denir. Bakýþ çizgisi, gözlem noktalarýnda, yer çekimi ivmesi yönüne (çekül doðrultusu) diktir. Geoid yer çekimi ivmesine baðlýdýr ve ortalama deniz yüzeyinin yerini tutan, eþ potansiyel bir yüzey olarak tarif edilir. Þekil 3- Bakýþ noktalarýný sonsuz sayýya çýkartýrsak elde edilecek þekil, bize dünyanýn þeklini verecektir. Geoid okyanus yüzeyine tam olarak uymaz, çünkü dalgalar, met-cezir ve suyun bir yerden baþka bir yere akmasý gözlem noktalarýnýn deðiþik seviyelerde olmasýna neden olacaktýr. Geoid eþ potansiyel bir yüzey olduðundan, geoid üzerindeki herhangi bir noktada, gravite potansiyeli ayný ve gravite yönü, geoide diktir (Þekil 4). Dünya yüzeyinin kanal þebekesi ile kaplý olduðunu düþünelim. Bu kanallarda okyanuslardaki suyun, dünyanýn çekiminden etkilenmediðini, herhangi bir akýntý etkisi veya met-cezir kuvvetinin olmadýðýný, suyun kanallarda serbestçe dolaþtýðýný varsayalým. Bu su yüzeyinin kanallarda meydana getirdiði þekil, Geoidin þeklini verecektir.

4 44 Cemal GÖÇMEN Referans sistem Dünya yüzeyindeki mesafe, yön gibi parametrelerin hesaplanmasý için, matematiksel bir referansa ihtiyacýmýz vardýr. Seçilecek en uygun referans ise; dönel (oblate) elipsoit tir, bu da bize göreceli olarak ilk aþamada geoide uygunluðu saðlar. Þekil 4- Geoid eþ potansiyel bir yüzey olarak tanýmlandýðý için, deðiþik gravite potansiyeline sahip çeþitli eþ potansiyel yüzeyler elde edilebilir. Jeodezik hesaplamalardan önce, mutlaka referans elipsoidi ile geoid arasýndaki farklýlýðýn bilinmesi ve düzeltilmesi gerekir (Þekil 6). Geoid eþ potansiyel bir yüzey olarak tanýmlandýðý için, deðiþik gravite potansiyeline sahip çeþitli eþ potansiyel yüzeyler elde edilebilir. Bu nedenle geoid, ortalama deniz yüzeyinden geçen eþ potansiyel yüzey olarak tanýmlanýr. Eðer dünya ayný yoðunluktaki kütlelerden meydana gelmiþ olsaydý ve topoðrafya olmasaydý, geoid; dönel (oblate) elipsoit olacaktý ve dünyanýn merkezi ile elipsoidin merkezi çakýþacaktý. Fakat bu böyle deðildir. (Þekil 5) Geoid kütle yoðunluk azalýmý olduðu yerlerde çukur, artýmý olduðu yerlerde tümsektir. Bu etki, elipsoitte ortalama ± 100 metrelik bir ondülasyona neden olur ki; buna da "geoid yüksekliðindeki geoid ondülasyonu" denir (Hoar, 1982). Þekil 6- Referans Elipsoidi ile Geoid arasýndaki farklýlýk Eðer referans elipsoidi mümkün olduðunca geoide uygun seçilirse, bu düzeltmeler ya çok küçük olur veya ihmal edilebilir düzeye iner. Bu nedenle bazý ülkeler veya ülkeler grubu kendilerine uygun deðiþik referans elipsoidi seçerler (Þekil 7). Þekil 5- Geoid kütle yoðunluk azalýmý olduðu yerlerde çukur, artýmý olduðu yerlerde tümsektir. Þekil 7- Bazý ülkeler veya ülkeler grubu kendilerine uygun deðiþik referans elipsoidi seçerler.

5 AÇI KORUYAN (KONFORM) PROJEKSÝYONU HAKKINDA ELEÞTÝREL BÝR DERLEME 45 Topoðrafya, Geoid ve Elipsoit arasýndaki iliþki þekil 8 de gösterilmektedir Hayford Elipsoidi, 7 Ekim 1924 yýlýnda Madrit'te toplanan Uluslararasý Jeodezi ve Jeofizik Birliði (IUGG) kongresinde Uluslararasý Elipsoit olarak kabul edilmiþtir (Bilgin, 1974). Türkiye ve birçok batý ülkesi Hayford Elipsoidini ulusal haritalar için kullanmaktadýrlar. Çizelge 1 de çeþitli elipsoit boyutlarý verilmiþtir (Koçak, 1999). DÜNYA ÝÇÝN YAKLAÞIK YÜZEYLER Dünyanýn tamamýnýn veya bir kýsmýnýn haritasýnýn yapýmý amacýyla seçilen referans yüzeyinin elipsoit alýnmasý, elipsoit geometrisinden kaynaklanan karmaþýk hesaplamalarý gerektirir. Þekil 8- Topoðrafya, Geoid ve Elipsoit arasýndaki iliþki

6 46 Cemal GÖÇMEN Çizelge 1- Çeþitli elipsoit boyutlarý Bir ülkenin haritasýnýn yapýmýnda bu tür hesaplamalarýn yapýlmasý zorunludur, ancak küçük ölçekli harita yapýmý veya dünya üzerinde küçük alanlarýn haritalarýnýn yapýmýnda, iþlemin basitleþtirilmesi için referans yüzeyi elipsoit yerine küre alýnabilir. Seçilecek kürenin yarýçapý çeþitli varsayýmlara göre dünya için önceden belirlenmiþ elipsoidin boyutlarýna baðlý olarak hesaplanýr. Yani: V e : Referans Elipsoidinin Hacmi V k : Seçilen Kürenin Hacmi hacimleri eþlenir ve gereken iþlemler yapýlýrsa: 1) Kürenin yarýçapý; referans elipsoidinin yarýçaplarý kullanýlarak aþaðýdaki formülle hesaplanýr. olarak elde edilir. a b : büyük yarý eksen : küçük yarý eksen Enternasyonal elipsoit için r 1 = m olarak hesaplanýr. 2) Seçilen kürenin hacmi referans elipsoidinin hacmine eþit olduðu kabul edilir. Enternasyonal elipsoit için r 2 = m. olarak hesaplanýr. 3) Referans elipsoidinin alaný, seçilecek kürenin alanýna denk olmasý koþulu kabul edilerek, kürenin yarýçapý hesaplanabilir. Diðer bir deyiþle, elipsoidin küre üzerine alan koruyan projeksiyonu yapýldýðý varsayýmý ile küre için bir yarýçap hesaplanabilir.

7 AÇI KORUYAN (KONFORM) PROJEKSÝYONU HAKKINDA ELEÞTÝREL BÝR DERLEME 47 : ise; eðrilik yarýçapýnýn hesaplandýðý elipsoit noktasýnýn enlemidir. olduðuna göre e : birinci eksantrisite adýný alýr ve baðýntýsý elde edilir. Enternasyonal elipsoit için r 3 = m. olarak hesaplanýr. 4) Referans elipsoidinin küre üzerine konform projeksiyonu yapýlarak bir küre elde edilir. Böyle bir kürenin yarýçapý; baðýntýsý ile hesaplanýr. formülü ile hesaplanýr. Enternasyonal elipsoit için e 2 = 0, dir. Enternasyonal elipsoit boyutlarý kullanýlarak Türkiye enlemleri için hesaplanan Gauss Küresi yarýçaplarý çizelge-2 de verilmiþtir (Koçak,1999). Çizelge 2- Türkiye enlemleri için hesaplanan Gauss Küresi yarýçaplarý Bu þekilde hesaplanan küreye "GAUSS KÜ- RESÝ" denir. Gauss Küresinin yarýçapý ilgili noktanýn enlem deðerine baðlýdýr. Bir bölgenin haritasýnýn yapýmýnda bölgenin ortasýndan geçen enlem deðeri kullanýlarak yarýçapýn hesaplanmasý gerekir. Elipsoit her noktasýnda, doðrultuya da baðlý olarak farklý eðriliðe sahip bir yüzeydir. Bu eðriliklerin ikisi jeodezik çalýþmalarda temel eðrilik olarak kullanýlýr. Bunlardan bir tanesi meridyen yönündeki eðrilik yarýçapý olup, M ile gösterilir, diðeri ise; meridyene dik yöndeki eðrilik yarýçapý olup bu da N ile gösterilir. M ve N eðrilik yarýçaplarý: formülleri ile hesaplanýr. KONUM (PARALEL, MERÝDYEN, ENLEM VE BOYLAM) Bir noktanýn yeryüzü üzerindeki konumunu belirlemek amacýyla dünya yüzeyini kaplayan bir koordinat aðý oluþturulmuþtur. Coðrafi koordinat sistemi denilen bu AÐ, paralel ve meridyen çizgilerinden oluþur. Paralel ve meridyenler kesiþtikleri noktalarda birbirine diktir. Bu að sistemine "Coðrafi Koordinat Aðý" denir (Þekil 9). Bir noktadan geçen, paralel dairenin ekvatora olan açýsal uzaklýðýna o noktanýn enlemi ( ), meridyen düzlemi ile baþlangýç meridyen düzlemi arasýnda kalan açýya ise o noktanýn boylamý ( ) denir (Þekil 10).

8 48 Cemal GÖÇMEN Þekil 9- Coðrafi koordinat aðý Þekil 10-Açýsal uzaklýklar Elipsoit veya Küre üzerindeki P noktasýnýn enlemi ( ), P deki normalin ekvator düzlemi ile yaptýðý açýdýr. P noktasýndan geçen meridyen ile baþlangýç meridyeni arasýndaki ( ) açýsý da, P noktasýnýn boylamýdýr (Þekil 11). Enlem ( ), ekvatorda sýfýrdýr ( =0 ) kutuplara doðru artar ve kutuplarda maksimum deðerine ulaþýr ( =90 ). 90 ý kuzeyde, 90 ý da güneyde olmak üzere 180 tanedir. Boylam ( ), Greenwich de ( =0 ) dýr ve 180 i batýda 180 i de doðuda olmak üzere 360 tanedir. Þekil 11- Elipsoit veya küre üzerindeki P noktasýnýn enlem ve boylamý HARÝTA PROJEKSÝYONLARI Küre veya elipsoit yüzeyini düz bir yüzey üzerine sistematik bir þekilde aktarma metotlarýna Harita Projeksiyonu denir. Yeryuvarýnýn topografik yüzeyindeki doðal ve yapay her türlü özelliklerinin bir haritaya aktarýlabilmesi için yeryüzü bilgileri önce yeryüzü için kabul edilmiþ olan elipsoit veya küre gibi bir referans yüzeyine indirgenir, daha sonra bu bilgiler bir harita düzlemine taþýnýr. Elipsoit veya küre gibi yüzeyler doðrudan doðruya düzleme açýlamazlar. Bu nedenle referans yüzeyine indirgenmiþ yeryüzü bilgileri matematiksel ya da geometrik metotlarla ya doðrudan

9 AÇI KORUYAN (KONFORM) PROJEKSÝYONU HAKKINDA ELEÞTÝREL BÝR DERLEME 49 doðruya, ya da düzleme açýlabilen silindir ve koni gibi ara yüzeylere aktarýlýrlar. Bu iþleme matematik kartografyada harita projeksiyonu denir. Harita projeksiyonunda yaratýlan düzlem ya da düzleme dönüþtürülebilen koni, silindir gibi yardýmcý yüzeylere projeksiyon yüzeyi denir (Koçak, 1999) Elipsoit veya küre yüzeyinin yýrtýlmadan ya da gerilip buruþmadan, dolayýsý ile üzerindeki þekillerin özellikleri bozulmadan düz bir yüzey (düzlem) haline getirilmesi olanaksýzdýr. Bu nedenle yer yüzünün bir düzlemde gösterilmesi halinde, olacak olan bozulmalarýn bilinmesi ve en aza indirilmesi gerekir. Ýþte projeksiyonlar da bu nedenle ortaya çýkmýþtýr. PROJEKSÝYONLARDAKÝ BOZULMALAR Yer yüzünün bir düzleme aktarýlmasýnda, yani haritasýnýn yapýlmasýnda, yeryüzü üzerinde bulunan noktalarýn birbirlerine göre konumlarý deðiþtiði gibi, uzunluklar, yüzeyler ve açýlar da genel olarak bozulmaya (deformasyona) uðrarlar. Projeksiyon denklemleri kurulurken, açý koruma, alan koruma ya da belirli yöndeki uzunluklarýn korunmasý saðlanabilse de, bu korumalarýn tek bir projeksiyonda bir araya getirilmesi olanaklý deðildir. Bu nedenle projeksiyonlarda, hangi bozulmanýn olduðu belirtilmelidir. Eðer bu eðriler paralel ve meridyen yaylarýysa; k paralel daire yönündeki, h meridyen yönündeki deformasyonlarý gösterir. oraný da referans yüzeyindeki ds 1 parametre eðrisi ile herhangi bir açý yapan ds kenarýnýn u- zunluk deformasyonunu gösterir (Koçak, 1999). Çeþitli projeksiyonlarýn bazý unsurlarýný anlatabilmek için alýþýk olunmayan terimlerin kullanýlmasý zorunlu olmuþtur. Projeksiyon iþleminin iki aþamalý olduðu düþünülürse terimlerin anlaþýlmasý daha kolay olur. 1. Yer yuvarýnýn verilen bir ölçü veya ölçek teki küre veya elipsoide küçültülmesi, 2. Projeksiyon sisteminin bu küre veya elip soide uygulanmasý Bu þekilde haritanýn ölçekleri ile kürenin ölçekleri arasýnda bir karþýlaþtýrma mümkün olur. Projeksiyonlarý açýklamak için bazý terimler kullanýlmaktadýr. Aþaðýda bu terimler ve açýklamalarý verilmiþtir. Referans yüzeyindeki ds kenarý, df alaný ve açýsý projeksiyon yüzeyine aktarýldýklarýnda, ds, df ve deðerlerini almýþlarsa; bunlarýn referans yüzeyindeki deðerleriyle karþýlaþtýrýlmalarý sýrasýyla, uzunluk, alan ve açý deformasyonlarýný tanýmlar (Þekil 12) Aþaðýdaki oranlar parametre eðrilerinin uzunluk deformasyonlarýný gösterir. Þekil 12-Projeksiyonlardaki bozulmalar

10 50 Cemal GÖÇMEN Projeksiyonlarýn açýklamasýnda kullanýlan bazý terimler 1) Uzunluk koruma (Equivalence).- Bu ö- zelliði taþýyan projeksiyonlarda uzunluklar projeksiyonun her tarafýnda eþittir. Bu durumda ne boyutta olursa olsun, projeksiyon üzerinde bütün alanlar orantýlý olarak görünür. 2) Açý Koruma (Conformality).- Bu özelliði taþýyan projeksiyonlarda uzunluklar projeksiyonun her tarafýnda eþittir, fakat noktalar arasýnda deðiþir. Böylece noktalar arasýndaki açýlar doðru olarak gösterilmiþ olur. 3) Düzlük (Azimuthality).- Bu özelliði taþýyan projeksiyonlarda, yeryüzünde A dan B ye uzanan herhangi bir düz çizgi ile A daki meridyen arasýndaki açý, küre üstünde A daki bir meridyenle A noktasý ile B noktasý arasýndaki açýnýn ayný olarak gösterilir. 4) Ölçek.- Harita üstünde herhangi bir yöndeki mesafenin, küre üstünde ayný yöndeki mesafeye oranýdýr. Bunlar ayný olduðu zaman, ölçeðin doðru veya gerçeðe uygun olduðu söylenir. Ayný olmadýðý takdirde deðiþiklik, 1.0 rakamý birim olarak alýnýr ve 1.0 dan büyük veya küçük olduðu þeklinde ifade edilir. 7) Orta meridyeni.- Haritayý veya projeksiyonu eþit parçalara ayýran meridyendir. Birçok projeksiyonda bu düz bir çizgi olup bu çizginin iki tarafýnda kalan parçalar birbirine simetriktir (Mersinlioðlu, 1973). Projeksiyonlar genel olarak iki ana grupta toplanabilir 1. Geometrik projeksiyonlar 2. Matematiksel projeksiyonlar Geometrik projeksiyonlar.- Bu tip projeksiyonlarda perspektif esaslar göz önünde tutulur. Bir bakýþ noktasýna göre yeryüzü üzerindeki noktalar projeksiyon yüzeyi üzerine iz düþürülür. Matematiksel Projeksiyonlar.- Bu projeksiyonlarda bir takým matematiksel iþlemlerle, yer yüzünün þekli düzleme aktarýlýr. Bugün haritacýlýkta bu tür projeksiyonlar kullanýlmaktadýr. Projeksiyon yüzeyinin koni, silindir ya da düzlem olarak alýnmasýna göre; projeksiyonlar da; Silindirik, Konik ya da Düzlemsel (Azimütal) Projeksiyonlar adýný alýrlar (Þekil 13). 5) Alan koruma.- Harita üstündeki alanlarýn, küre üstündeki alanlara oranýdýr. Çeþitli yerler arasýndaki alan oraný, gerçeðe uygun veya doðru alan ölçeði, yine bir birim olarak kabul edilir ve 1.0 dýr. 6) Standart paraleller.- Projeksiyon üstündeki büyük veya küçük daireler olup, bunlarýn etrafýnda, düzenli bir alan ölçeði vardýr. Projeksiyonlarýn sýnýflandýrýlmasýnda, kürenin yüzeyi dikkate alýnarak tam ölçeði gösteren çizgiler, yer yüzü koordinat sisteminin paralel veya meridyenleri ile gösterilir. Bunun için bunlara standart paraleller veya standart meridyenler denir. Bununla beraber, standart çizgilerin yeryüzü koordinat sistemine uymasý þart deðildir. Þekil 13- Silindirik, konik ve düzlemsel projeksiyonlarýn gösterimi Yer yüzü ekseni ile projeksiyon yüzeyine ait eksenin üst üste çakýþmasý halinde, projeksiyona; "Normal (Kutupsal) Konumlu Projeksiyon", projeksiyon yüzeyine ait eksenin yeryüzü ekseni

11 AÇI KORUYAN (KONFORM) PROJEKSÝYONU HAKKINDA ELEÞTÝREL BÝR DERLEME 51 ile herhangi bir açý yapmasý haline; "Eðik Konumlu Projeksiyon" ve projeksiyon yüzeyine ait eksenin ekvator düzlemi içinde kalmasý haline ise; "Ekvatoral (Transversal) Konumlu Projeksiyon" denir (Þekil 14) (Erden, 1982). UNIVERSAL TRANSVERSE MERCATOR (UTM) PROJEKSÝYONU UTM Projeksiyonu, Gauss-Krüger projeksiyonuna dayanan, silindire uyarlanmýþ ekvatoral konumlu elipsoit formda bir haritalama referans sistemidir. Bu projeksiyon Gauss Krüger Projeksiyonu esas alýnarak geliþtirilmiþtir. Elipsoidal formda ilk olarak ünlü matematikçi Carl Friedrich Gauss ( ) tarafýndan 1822 yýlýnda analiz edilmiþtir ve daha sonra L. Krüger tarafýndan 1912 ve 1919 yýllarýndaki çalýþmalarýnda elipsoit üzerinde hesaplama olanaðý veren formülleri yayýnlanmýþtýr (Bilgin, 1974). Bu nedenle özellikle Avrupa'da, Gauss konform projeksiyonu veya Gauss-Krüger projeksiyonu olarak da anýlýr. UTM sistemi ise bu projeksiyon temeline dayanan özel coðrafi pafta aðý ile tüm dünyanýn büyük ölçekli askeri haritalarýnýn yapýmý için 1947 yýlýnda Amerika Birleþik Devletleri silahlý kuvvetleri tarafýndan tasarýmlanmýþtýr. Þekil 14- Normal, eðik ve ekvatoral konumlu projeksiyonlar

12 52 Cemal GÖÇMEN Bu projeksiyonda ana daire, meridyen ile üst üste çakýþýr. Silindir, dünyadan belli belirsiz daha küçüktür. Orta Meridyene eþit uzaklýkta ve paralel iki boylam, silindiri keser (Þekil 15). Þekil 16- UTM projeksiyonunda dilimler Þekil 15- UTM projeksiyonunun gösterimi Universal Transverse Mercator Projeksiyonunda (UTM), boylamlar arasý 6 olan dilimler kullanýr. (3 lik dilimler kullanýlsa da çok yaygýn deðidir) Dilimlerin baþlangýç boylamý; 180 batý boylamýdýr. Dilimler 1 den baþlayarak numaralandýrýlýr ve doðuya doðru artarak gider. Silindir orta meridyen boyunca dünyaya teðettir. Böylece her dilimin 3 saðý ve 3 solu ayný dilim içinde yer alýr. Projeksiyonun dilim numarasý (DN) biliniyorsa o dilimin orta meridyeni (DOM), orta meridyen biliniyorsa da dilim numarasý hesaplanabilir (Þekil 16) (Erden, 1982). Yukarýdaki formülü kullanýrsak; Türkiye topraklarý 27, 33, 39 ve 45 dilim orta meridyenleri ile tanýmlý, 35, 36, 37 ve 38 numaralý dilimlerde yer almaktadýr. Orta meridyenden uzaklaþtýkça, boylamlar arasýndaki mesafe artar ve yeryüzü þeklinde bozulma baþlar. Þekil bozulmasýný önlemek için, doðu-batý doðrultusundaki bozulma oraný, kuzeygüney yönüne de uygulanýr ve bu þekilde yer yüzü þekli korunmuþ olur. Projeksiyonda seçilen silindirin yarýçapý, þekildeki bozulmayý minimuma indirecek þekilde seçilir. UTM projeksiyonunda uzunluk deformasyonunu dengeli küçük deðerler arasýnda tutmak amacý ile koordinat deðerleri bir m "ölçek faktörü" ile çarpýlarak kullanýlýr. Eðer silindiri düzleme aktarýrsak; grid ve gratiküller arasýndaki iliþki, þekil 17 deki gibi olur, boylamlar ve enlemler birbirlerini dik açý ile keser. Orta Meridyen, düz bir çizgi halinde, ona yakýn meridyenler, düz bir çizgiye yakýn fakat hafifçe Orta meridyene doðru konkav, paraleller ise en yakýn kutba doðru konkav bir þekilde olacaktýr (Hoar, 1982). UTM projeksiyon dik koordinatlarý, dilim orta meridyeni ile ekvatorun kesim noktasýný orijin kabul eden eksen sisteminde doðuya doðru artacak þekilde y, kuzey yönünde artacak þekilde x deðerleri ile tanýmlanýr. Projeksiyon dik koordinatlarý: olmak üzere ( dilim orta meridyeni)

13 AÇI KORUYAN (KONFORM) PROJEKSÝYONU HAKKINDA ELEÞTÝREL BÝR DERLEME 53 þeklinde tanýmlanýr (Uçar ve diðerleri, 2004). UTM projeksiyonunda deðerler Orta Meridyene göre hesaplandýðýndan, dönüþüm yapýlýrken DOM' in doðru verilmesi gerekir. Enlem ekvatordan olan uzaklýðý, boylam ise DOM den olan u- zaklýðý verir. DOM' in batýsýnda kalan deðerler eksi olacaðýndan, bundan kurtulmak için y deðerlerine kuzey yarý küre için m. eklenir ve SAÐA (False Easting) adýný alýr. x deðeri kuzey yarý elipsoitte aynen alýnýr ve YUKARI (Northing) deðer ismi ile tanýmlanýr. Güney yarý küre için ise x deðerlerine m eklenir. Aþaðýda çizelge-3 de enlem sabit tutulmuþ sadece boylamlar deðiþtirilmiþ ve her boylamýn kendi diliminde hesaplanmýþ deðerleri, çizelge-4 de ise; yine enlem sabit tutulmuþ fakat 27 orta meridyenine göre hesaplanmýþ deðerler görülmektedir. Çizelge 3- Kendi diliminde hesaplanmýþ deðerler Þekil 17- UTM projeksiyonunda grid ve gratiküller Çizelge 4-27 Orta Meridyene göre hesaplanmýþ deðerler þeklinde verilmektedir. Formüllerde geçen deðiþkenler, referans elipsoidine baðlý olarak hesaplanacak jeodezik büyüklüklerdir. Bu büyüklükler

14 54 Cemal GÖÇMEN UTM projeksiyonu, doðu-batý doðrultusunda kabul edilebilir bozulma limitleri içerisinde yani kuzey yarýkürede 84, güney yarýkürede 80 enlemleri arasýnda kullanýlabilir. Kutup bölgelerinde, "Polar Stereographic Projection" kullanýlýr. Þekil 18 de bozulmayý göstermek için deðiþik orta meridyenlere göre çizilmiþ Türkiye Haritalarý verilmiþtir. Universal Transverse Mercator Projeksiyonunda o Dilim geniþliði 6 dir (3 dilimlerde kullanýlabilir). o Boylamlarýn hesaplanmasýnda baþlangýç orta meridyendir. o False Easting kuzey yarý küre için m dir. o False Northing güney yarý küre için m dir. o Enlemlerin hesaplanmasýnda baþlangýç ekvatordur. o Birim metredir. o Ölçek faktörü = dýr (3 lik dilim kullanýlýrsa 1 dir). o Dilimlerin baþlangýcý 180 W W meridyenleridir. o Dilim numaralarý 1 den baþlar o Dilimler 174 E-180 E meridyenlerinde biter. o Son dilim numarasý 60 dýr. o 84 N ve 80 S enlemleri arasýnda kullanýlýr. LAMBERT KONFORMAL KONÝK (LCC) PROJEKSÝYONU Konformal konik projeksiyonlar, ilk defa Johann Heinrich Lambert ( ) tarafýndan 1772 yýlýnda ortaya atýldý ve Lambert Konformal Konik Projeksiyonu adýný aldý. Lambert, hiperbolik fonksiyonlarý bulan ve bilimsel olarak harita projeksiyonlarýna uygulayan ilk kiþidir. Þekil 18- Bozulmayý göstermek için deðiþik orta meridyenlere göre çizilmiþ Türkiye Haritalarý

15 AÇI KORUYAN (KONFORM) PROJEKSÝYONU HAKKINDA ELEÞTÝREL BÝR DERLEME 55 Genel olarak konik projeksiyonlar, þekil 19 daki gibi gösterilir. Koninin ekseni enlemlere diktir. Koni düzleme açýlýrsa daire parçasý þeklinde olur. Þekil 21- Ýki standart paralelli konik projeksiyon Þekil 19- Koninin düzleme açýlýmý Lambert Projeksiyonunda meridyenler O noktasýnda birleþen düz çizgiler Enlemler ise; ortak merkezli daireler þeklindedir. Harita, Orta meridyen ve iki standart paralel ile gösterilir (Þekil 20). KL mesafesi: formülü ile bulunur. d : Standart paraleller arasýnda kalan enlem farkýnýn bütün bir daireye (360 ) olan oraný olarak ifade edilir. R : Kürenin yarý çapý Daha sonra K ve L noktalarýndan, AB ye dik olarak KK' ve LL' doðrularý çizilir. Çizilen bu doðrularýn uzunluklarý: Þekil 20- Lambert Projeksiyonunda enlem ve boylamlarýn gösterimi Ýki standart paralelli olan bu konik projeksiyon, trigonometrik metotla çizilir. Önce dikey bir doðrultu alýnýr. Bundan sonra, küre üzerinde bu iki standart paralel arasýndaki mesafeyi veren ve bu paraleller arasýnda kalan yaya karþýlýk gelen açýklýkta K ve L noktalarý tespit edilir (Þekil 21). formülleri ile bulunur. Daha sonra L' ve K' noktalarý birleþtirilir ve bu doðru AB yi kesecek þekilde uzatýlýr. Bu þekilde kesim noktasý O bulunur. Böylece, ve standart paralellerinin çizilecekleri OK ve OL yarýçaplarý bulunmuþ olur. Diðer paraleller ise seçilen standart paraleller arasýndaki farka bölünerek bulunur.

16 56 Cemal GÖÇMEN Meridyenlerin çiziminde ise alt paralel üzerinde, merkezi meridyenden itibaren kiriþ mesafesi tespit edilir ve buna göre de meridyenler çizilir (Þekil 22). R = Dünyanýn yarýçapý Þekil 22- Lambert Projeksiyonunda Meridyenler Bunun için: Burada: r = formülü kullanýlýr. kiriþin çizildiði paralelin yarý çapýdýr. n = olup sabit bir sayýdýr. = merkezi meridyenden itibaren boylam derecesidir. Lambert projeksiyonunda, haritasý yapýlacak bölgenin yaklaþýk olarak ortasýndan geçen, Orta Paralel (OP) ve Orta (veya Referans) Meridyen (OM) kullanýlarak koordinat deðerleri bulunur. Þeklinde formüle edilmektedir (Synder, 1987). Lambert Konformal Konik Projeksiyonun çiziminde paraleller ve meridyenler arasýndaki mesafelerin tayini için ya hesap yapýlýr veya hazýr tablolardan yararlanýlýr. Koniyi düzleme aktarýrsak; grid ve gratiküller arasýndaki iliþki, þekil 23 de gösterildiði gibi olacaktýr. Lambert Konformal Konik Projeksiyonunda, kuzey-güney yönünde kabul edilebilir bozulma limitli, doðu-batý yönünde limitsizdir. Çizelge-5 de Lambert Projeksiyonuna dönüþtürülmüþ deðerler, þekil 24 de ise Orta Meridyen = 35 ve Orta Enlem = 39 alýnarak çizilmiþ Türkiye Haritasý görülmektedir. Lambert konformal konik projeksiyonunda: Burada: o DOM ve iki standart paralel ile tanýmlanýr. o Birim metredir. o Enlem ve boylamlar merkezi enlem ve boylama göre hesaplanýr. o E - W Yönünde bozulma oraný yoktur.

17 AÇI KORUYAN (KONFORM) PROJEKSÝYONU HAKKINDA ELEÞTÝREL BÝR DERLEME 57 Þekil 23- Lambert Projeksiyonunda grid ve gratiküller arasýndaki iliþki o Paraleller eþit olmayan aralýklarla konsantrik daireler þeklindedir. o Meridyenler eþit aralýklý daireler þeklindedir. o Paralel ve meridyenler birbirlerini dik keser Çizelge 5- Lambert Projeksiyonuna dönüþtürülmüþ deðerler Þekil 24- OP=35 ve OE=39 alýnarak çizilmiþ Türkiye haritasý SONUÇLAR VE ÖNERÝLER Harita çalýþmalarýmýzda en çok kullandýðýmýz iki projeksiyon sisteminden söz edilirken, bu iki projeksiyonun sisteminin farklýlýklarýnýn gösterilmesi amaçlanmýþtýr. Kapalý bir geometrik þekil olan dünyamýzý düzleme aktarýrken, bozulma kaçýnýlmaz olduðundan, harita çizimlerimizde kullanma amacýmýza göre projeksiyon seçmemiz gerektiði vurgulanmaya çalýþýlmýþtýr. Türkiye gibi doðu-batý doðrultusunda uzanan ülkelerde, ülkenin haritasýnýn bir bütün olarak çizilmesinde UTM projeksiyonu kullanýldýðýnda þeklin nasýl bozulduðu ve ayrýca UTM projeksiyonunda, farklý dilimlerde, farklý enlem ve boylam deðerlerinin ayný olduðu gösterilerek haritalamada DOM' nin veya DN' nýn belirtilmesinin gerekliliði vurgulanmaktadýr. Lambert Projeksiyonunda ise deðerler merkezi enlem ve boylama göre hesaplandýðýndan çizilen haritalarda merkezi enlem ve boylamýn belirtilmesi gerekmektedir. Komþu ülkelerin

18 58 Cemal GÖÇMEN Lambert Projeksiyonunda çizilmiþ haritalarýnýn bizim ayný projeksiyonda çizilmiþ haritalarýmýzla arasýnda uyumsuzluk varsa bu merkezi enlem ve boylam farklýlýklarýndan kaynaklanmaktadýr. KATKI BELÝRTME Þekillerin bir kýsmýnýn JPEG formatýna dönüþtürülmesinde yardým eden; Zuhal Aslantürk'e, Nisa Ensari'ye yine þekil çiziminde yardýmcý olan Aytekin Ayva'ya, her zaman desteðini gördüðüm Doç Dr. M. Emin Ayhan'a teþekkür ederim. DEÐÝNÝLEN BELGELER Yayýna verildiði tarih, 5 Haziran 2006 Bilgin, T., Genel Kartografya. Ýstanbul Üniver sitesi Yayýn No: 1898, Ýstanbul Erden, F., Jeofizik uygulamalarda topoðrafik ölçmeler ve harita projeksiyonlarý. Maden Tetkik Arama Enst. Jeofizik Dairesi hizmet içi eðitim kurs notlarý, Ankara Hoar, G. J., Satellite Surveying: theary, geodesy, map projection, applications, equipment, operations. Torrance, Calif.: Magnavox Advanced Products and Systems Co. Koçak, E., Harita Projeksiyonlarý. Zonguldak Karaelmes Üniversitesi Basýmevi, Zonguldak. Köktürk, E., 2004 a. Haritacýlýðýn 5000 yýllýk yürüyüþü, I. Böl. HKM Jeodezi, Jeoinformasyon ve Arazi Yönetimi Dergisi, 90,32-45.,2004 b. Haritacýlýðýn 5000 yýllýk yürüyüþü, II. Böl. HKM Jeodezi, Jeoinformasyon ve Arazi Yönetimi Dergisi, 91, Synder, P. J., Map Projections: A Working Manual. U.S. Geological Survey, Professional Paper Uçar, D., Ýpbüker, C. ve Bildirici, Ý.Ö., Matematiksel Kartografya: Harita Projeksiyonlarý Teorisi ve Uygulama. Atlas Yayýn, Ýstanbul.

ULUSAL STANDART TOPOGRAFİK HARİTA PROJEKSİYONLARI

ULUSAL STANDART TOPOGRAFİK HARİTA PROJEKSİYONLARI ULUSAL STANDART TOPOGRAFİK HARİTA PROJEKSİYONLARI Doç.Dr. Türkay GÖKGÖZ http://www.yarbis.yildiz.edu.tr/gokgoz İnşaat Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü Kartografya Anabilim Dalı BÜYÜK ÖLÇEKLİ HARİTA

Detaylı

31.10.2014. CEV 361 CBS ve UA. Koordinat ve Projeksiyon Sistemleri. Öğr. Gör. Özgür ZEYDAN http://cevre.beun.edu.tr/zeydan/ Yerin Şekli

31.10.2014. CEV 361 CBS ve UA. Koordinat ve Projeksiyon Sistemleri. Öğr. Gör. Özgür ZEYDAN http://cevre.beun.edu.tr/zeydan/ Yerin Şekli CEV 361 CBS ve UA Koordinat ve Projeksiyon Sistemleri Öğr. Gör. Özgür ZEYDAN http://cevre.beun.edu.tr/zeydan/ Yerin Şekli 1 Yerin Şekli Ekvator çapı: 12756 km Kuzey kutuptan güney kutuba çap: 12714 km

Detaylı

JDF 242 JEODEZİK ÖLÇMELER 2. HAFTA DERS SUNUSU. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin KEMALDERE

JDF 242 JEODEZİK ÖLÇMELER 2. HAFTA DERS SUNUSU. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin KEMALDERE JDF 242 JEODEZİK ÖLÇMELER 2. HAFTA DERS SUNUSU Yrd. Doç. Dr. Hüseyin KEMALDERE 3 boyutlu uzayda Jeoit Z Y X Dünyaya en uygun elipsoid modeli ve yer merkezli dik koordinat sistemi Ülkemizde 2005

Detaylı

Harita Projeksiyonları

Harita Projeksiyonları Harita Projeksiyonları Bölüm Prof.Dr. İ. Öztuğ BİLDİRİCİ Amaç ve Kapsam Harita projeksiyonlarının amacı, yeryüzü için tanımlanmış bir referans yüzeyi üzerinde belli bir koordinat sistemine göre tanımlı

Detaylı

Coğrafi Bilgi Sistemlerine Giriş. Ünite4- Harita Projeksiyonları

Coğrafi Bilgi Sistemlerine Giriş. Ünite4- Harita Projeksiyonları Coğrafi Bilgi Sistemlerine Giriş Ünite4- Harita Projeksiyonları İçerik Projeksiyon sistemleri Projeksiyon koordinat sistemleri Projeksiyon bozulmaları Silindirik projeksiyonlar Azimutal projeksiyonlar

Detaylı

Datum. Doç. Dr. Saffet ERDOĞAN 1

Datum. Doç. Dr. Saffet ERDOĞAN 1 Datum Farklı datumlar haritalanacak yeryüzü bölümüne bağlı olarak geoide göre değişik elipsoid oryantasyonları (referans elipsoid) kullanırlar. Amaç seçilen elipsoide göre en doğru koordinatlama yapmaktadır.

Detaylı

CBS. Projeksiyon. CBS Projeksiyon. Prof.Dr. Emin Zeki BAŞKENT. Karadeniz Teknik Üniversitesi Orman Fakültesi 2010, EZB

CBS. Projeksiyon. CBS Projeksiyon. Prof.Dr. Emin Zeki BAŞKENT. Karadeniz Teknik Üniversitesi Orman Fakültesi 2010, EZB Prof.Dr. Emin Zeki BAŞKENT Karadeniz Teknik Üniversitesi Orman Fakültesi Elipsoid şeklindeki dünyanın bir düzlem üzerine indirilmesi ve koordinatlarının matematiksel dönüşümleridir. Harita üç şekilde projeksiyonu

Detaylı

Uygulamada Gauss-Kruger Projeksiyonu

Uygulamada Gauss-Kruger Projeksiyonu JEODEZİ12 1 Uygulamada Gauss-Kruger Projeksiyonu Gauss-Kruger Projeksiyonunda uzunluk deformasyonu, noktanın X ekseni olarak alınan ve uzunluğu unluğu koruyan koordinat başlangıç meridyenine uzaklığının

Detaylı

TEST. 8 Ünite Sonu Testi m/s kaç km/h'tir? A) 72 B) 144 C) 216 D) 288 K 25 6 L 30 5 M 20 7

TEST. 8 Ünite Sonu Testi m/s kaç km/h'tir? A) 72 B) 144 C) 216 D) 288 K 25 6 L 30 5 M 20 7 TEST 8 Ünite Sonu Testi 1. 40 m/s kaç km/h'tir? A) 72 B) 144 C) 216 D) 288 2. A noktasýndan harekete baþlayan üç atletten Sema I yolunu, Esra II yolunu, Duygu ise III yolunu kullanarak eþit sürede B noktasýna

Detaylı

HRT 105 HARİTA MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ

HRT 105 HARİTA MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ HRT 105 HARİTA MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ Temel Haritacılık Konuları_Ders# 5 Yrd.Doç.Dr. H.Ebru ÇOLAK KTÜ. Mühendislik Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü TEMEL HARİTA BİLGİLERİ JEODEZİ Yeryuvarının şekil,

Detaylı

Harita Projeksiyonları

Harita Projeksiyonları Özellikler Harita Projeksiyonları Bölüm 3: Silindirik Projeksiyonlar İzdüşüm yüzeyi, küreyi saran ya da kesen bir silindir seçilir. Silindirik projeksiyonlar genellikle normal konumda ekvator bölgesinde

Detaylı

3. FASÝKÜL 1. FASÝKÜL 4. FASÝKÜL 2. FASÝKÜL 5. FASÝKÜL. 3. ÜNÝTE: ÇIKARMA ÝÞLEMÝ, AÇILAR VE ÞEKÝLLER Çýkarma Ýþlemi Zihinden Çýkarma

3. FASÝKÜL 1. FASÝKÜL 4. FASÝKÜL 2. FASÝKÜL 5. FASÝKÜL. 3. ÜNÝTE: ÇIKARMA ÝÞLEMÝ, AÇILAR VE ÞEKÝLLER Çýkarma Ýþlemi Zihinden Çýkarma Ýçindekiler 1. FASÝKÜL 1. ÜNÝTE: ÞEKÝLLER VE SAYILAR Nokta Düzlem ve Düzlemsel Þekiller Geometrik Cisimlerin Yüzleri ve Yüzeyleri Tablo ve Þekil Grafiði Üç Basamaklý Doðal Sayýlar Sayýlarý Karþýlaþtýrma

Detaylı

TOPOĞRAFYA Temel Ödevler / Poligonasyon

TOPOĞRAFYA Temel Ödevler / Poligonasyon TOPOĞRAFYA Temel Ödevler / Poligonasyon Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ ÇEVRE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF 264/270 TOPOĞRAFYA DERSİ NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz http://jeodezi.karaelmas.edu.tr/linkler/akademik/marangoz/marangoz.htm

Detaylı

4. f(x) = x 3 3ax 2 + 2x 1 fonksiyonunda f ý (x) in < x < için f(x) azalan bir fonksiyon olduðuna

4. f(x) = x 3 3ax 2 + 2x 1 fonksiyonunda f ý (x) in < x < için f(x) azalan bir fonksiyon olduðuna Artan - Azalan Fonksionlar Ma. Min. ve Dönüm Noktalarý ÖSYM SORULARI. Aþaðýdaki fonksionlardan hangisi daima artandýr? A) + = B) = C) = ( ) + D) = E) = + (97). f() = a + fonksionunda f ý () in erel (baðýl)

Detaylı

JEODEZİ DATUM KOORDİNAT SİSTEMLERİ HARİTA PROJEKSİYONLARI

JEODEZİ DATUM KOORDİNAT SİSTEMLERİ HARİTA PROJEKSİYONLARI JEODEZİ DATUM KOORDİAT SİSTEMLERİ HARİTA PROJEKSİYOLARI Yer yüzeyi eredeyim? Deniz Elipsoid Geoid BÜ KRDAE JEODEZİ AABİLİM DALI Jeodezi; Yeryuvarının şekil, boyut, ve gravite alanı ile zamana bağlı değişimlerinin

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2017

Kanguru Matematik Türkiye 2017 4 puanlýk sorular 1. Dünyanýn en büyük dairesel pizzasý 128 parçaya bölünecektir. Her bir kesim tam bir çap olacaðýna göre kaç tane kesim yapmak gerekmektedir? A) 7 B) 64 C) 127 D) 128 E) 256 2. Ali'nin

Detaylı

ÇEMBERÝN ANALÝTÝÐÝ - I

ÇEMBERÝN ANALÝTÝÐÝ - I YGS-LYS GEOMETRÝ Konu Anlatýmý ÇEMBERÝN ANALÝTÝÐÝ - I 1. Çember Denklemi: Analitik düzlemde merkezi M(a, b) ve yarýçapý r birim olan çemberin denklemi, (x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2 (x - a) 2 + y 2 = r 2

Detaylı

HARİTA. Harita,yeryüzünün bütününü yada bir parçasını tam tepeden görünüşe göre ve belli oranlarda küçültülmüş olarak gösteren çizimlerdir.

HARİTA. Harita,yeryüzünün bütününü yada bir parçasını tam tepeden görünüşe göre ve belli oranlarda küçültülmüş olarak gösteren çizimlerdir. HARİTA BİLGİSİ HARİTA Harita,yeryüzünün bütününü yada bir parçasını tam tepeden görünüşe göre ve belli oranlarda küçültülmüş olarak gösteren çizimlerdir. ÇEŞİTLİ ÖLÇEKLİ HARİTALARIN NUMARALANMA SİSTEMİ

Detaylı

Harita Projeksiyonları

Harita Projeksiyonları Harita Projeksiyonları Bölüm : Azimutal Projeksiyonlar Prof.Dr. İ. Öztuğ BİLDİRİCİ Azimutal Projeksiyonlar Projeksiyon yüzeyi düzlemdir. Normal, transversal ve eğik konumlu olarak uygulanan azimutal projeksiyonlar,

Detaylı

Kuzey Kutbu. Yerin dönme ekseni

Kuzey Kutbu. Yerin dönme ekseni 1205321/1206321 Türkiye de Topoğrafik Harita Yapımı Ölçek Büyük Ölçekli Haritalar 1:1000,1:5000 2005 tarihli BÖHHBYY ne göre değişik kamu kurumlarınca üretilirler. Datum: GRS80 Projeksiyon: Transverse

Detaylı

Kareli kaðýda çizilmiþ olan. ABC üçgenin BC kenarýna ait yüksekliði kaç birimdir?

Kareli kaðýda çizilmiþ olan. ABC üçgenin BC kenarýna ait yüksekliði kaç birimdir? 8. SINI ÜÇGN YRII NR TTi YÜSÝ üçgenin köþesinden kenarýna ait dikme inþa ediniz. yný iþlemi köþesinden kenarýna ve köþesinden kenarýna da uygulayýnýz. areli kaðýda çizilmiþ olan üçgenin kenarýna ait yüksekliði

Detaylı

EÞÝTSÝZLÝKLER. I. ve II. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eþitsizlik. Polinomlarýn Çarpýmý ve Bölümü Bulunan Eþitsizlik

EÞÝTSÝZLÝKLER. I. ve II. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eþitsizlik. Polinomlarýn Çarpýmý ve Bölümü Bulunan Eþitsizlik l l l EÞÝTSÝZLÝKLER I. ve II. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eþitsizlik Polinomlarýn Çarpýmý ve Bölümü Bulunan Eþitsizlik Çift ve Tek Katlý Kök, Üslü ve Mutlak Deðerlik Eþitsizlik l Alýþtýrma 1 l Eþitsizlik

Detaylı

NOKTA DOÐRU. Doðru; üzerindeki iki nokta ile ya da kenarýna yazýlan küçük bir harf ile gösterilir. okunur. AB, AB veya "d" ile gösterilir.

NOKTA DOÐRU. Doðru; üzerindeki iki nokta ile ya da kenarýna yazýlan küçük bir harf ile gösterilir. okunur. AB, AB veya d ile gösterilir. bilgi NOKT DOÐRU Yollardaki þeritler, tren raylarý, iki duvarýn kesiþimi, elektrik telleri vb. doðru modelleridir. Doðru, sonsuz tane noktadan oluþtuðu için baþlangýç ve bitiþ noktasý yoktur. Gösterimi

Detaylı

3. Tabloya göre aþaðýdaki grafiklerden hangi- si çizilemez?

3. Tabloya göre aþaðýdaki grafiklerden hangi- si çizilemez? 5. SINIF COÞMY SORULRI 1. 1. BÖLÜM DÝKKT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. Kazan Bardak Tam dolu kazandan 5 bardak su alýndýðýnda kazanýn 'si boþalmaktadýr. 1 12 Kazanýn

Detaylı

Haritası yapılan bölge (dilim) Orta meridyen λ. Kuzey Kutbu. Güney Kutbu. Transversal silindir (projeksiyon yüzeyi) Yerin dönme ekseni

Haritası yapılan bölge (dilim) Orta meridyen λ. Kuzey Kutbu. Güney Kutbu. Transversal silindir (projeksiyon yüzeyi) Yerin dönme ekseni 1205321/1206321 Türkiye de Topografik Harita Yapımı Ölçek Büyük Ölçekli Haritalar 1:1000,1:5000 2005 tarihli BÖHHBYY ne göre değişik kamu kurumlarınca üretilirler. Datum: GRS80 Projeksiyon: Transverse

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2015

Kanguru Matematik Türkiye 2015 3 puanlýk sorular 1. Hangi þeklin tam olarak yarýsý karalanmýþtýr? A) B) C) D) 2 Þekilde görüldüðü gibi þemsiyemin üzerinde KANGAROO yazýyor. Aþaðýdakilerden hangisi benim þemsiyenin görüntüsü deðildir?

Detaylı

Geometriye Y olculuk. E Kare, Dikdörtgen ve Üçgen E Açýlar E Açýlarý Ölçme E E E E E. Çevremizdeki Geometri. Geometrik Þekilleri Ýnceleyelim

Geometriye Y olculuk. E Kare, Dikdörtgen ve Üçgen E Açýlar E Açýlarý Ölçme E E E E E. Çevremizdeki Geometri. Geometrik Þekilleri Ýnceleyelim Matematik 1. Fasikül ÜNÝTE 1 Geometriye Yolculuk ... ÜNÝTE 1 Geometriye Y olculuk Çevremizdeki Geometri E Kare, Dikdörtgen ve Üçgen E Açýlar E Açýlarý Ölçme Geometrik Þekilleri Ýnceleyelim E E E E E Üçgenler

Detaylı

BÖLÜM 3: MATEMATİKSEL KARTOGRAFYA - TANIMLAR

BÖLÜM 3: MATEMATİKSEL KARTOGRAFYA - TANIMLAR BÖLÜM 3: MATEMATİKEL KARTOGRAFYA - TANIMLAR Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 3 İÇİNDEKİLER 3. Bir Haritanın Matematiksel Çatısı... 3-3 3.. Ölçek. 3-3 3... Kesir ölçek 3-3 3... Grafik ölçek.. 3-4

Detaylı

Genel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu

Genel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu JEODEZİ9 1 Genel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu u ve v Gauss parametrelerine bağlı olarak r r ( u, v) yer vektörü ile verilmiş bir Ω yüzeyinin, u*, v* Gauss parametreleri ile verilmiş

Detaylı

Datum: Herhangi bir noktanın yatay ve düşey konumunu tanımlamak için başlangıç alınan referans yüzeyidir.

Datum: Herhangi bir noktanın yatay ve düşey konumunu tanımlamak için başlangıç alınan referans yüzeyidir. İçindekiler Projeksiyon ve Dönüşümleri... 1 Dünyanın Şekli ve Referans Yüzeyler... 1 1. Projelsiyon Nedir?... 1 2. Koordinat Sistemleri... 1 3. Coğrafi Koordinat Sistemleri... 2 4. Projeksiyon Koordinat

Detaylı

Yönergeyi dikkatlice oku. Gözden hiçbir þeyi kaçýrmamaya dikkat et. Þifrenin birini testin iþaretlenen yerine ( Adayýn Þifresi ), diðer þifreyi de

Yönergeyi dikkatlice oku. Gözden hiçbir þeyi kaçýrmamaya dikkat et. Þifrenin birini testin iþaretlenen yerine ( Adayýn Þifresi ), diðer þifreyi de ADAYIN ÞÝFRESÝ Eðitimi Geliþtirme Dairesi DENEME DEVLET OLGUNLUK SINAVI ÖÐRENCÝLERÝN BÝLGÝ VE BECERÝLERÝNÝ DEÐERLENDÝRME SEKTÖRÜ Öðrencilerin Bilgi Ve Becerilerini Deðerlendirme Sektörü BÝRÝNCÝ deðerlendiricinin

Detaylı

BÜYÜK ÖLÇEKLİ HARİTA YAPIMINDA STEREOGRAFİK ÇİFT PROJEKSİYONUN UYGULANIŞI

BÜYÜK ÖLÇEKLİ HARİTA YAPIMINDA STEREOGRAFİK ÇİFT PROJEKSİYONUN UYGULANIŞI 36 İNCELEME - ARAŞTIRMA BÜYÜK ÖLÇEKLİ HARİTA YAPIMINDA STEREOGRAFİK ÇİFT PROJEKSİYONUN UYGULANIŞI Erdal KOÇAIC*^ ÖZET Büyük ölçekli harita yapımında G İ R İŞ uygulanabilen "Stereografik çift Stereografik

Detaylı

GEOMETRÝK ÞEKÝLLER. üçgen. bilgi

GEOMETRÝK ÞEKÝLLER. üçgen. bilgi bilgi GEOMETRÝK ÞEKÝLLER Tacýn ve basket potasýnýn þekilleri arasýnda nasýl bir benzerlik veya fark vardýr? Tacýn þeklinde bir açýklýk varken, basket potasýnýn þekli tamamen kapalýdýr. Buradan þekillerin

Detaylı

DENEME Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir.

DENEME Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir. 1. Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir. 1. 3 2x +1 = 27 olduðuna göre, x kaçtýr? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 4. Yukarýda

Detaylı

Projeksiyon Kavramı. Meridyenler ve paraleller eşitliklere göre düzleme aktarılır. 1) m : harita üzerinde paralelleri çizen yarıçap

Projeksiyon Kavramı. Meridyenler ve paraleller eşitliklere göre düzleme aktarılır. 1) m : harita üzerinde paralelleri çizen yarıçap Projeksiyon Kavramı Meridyenler ve paraleller eşitliklere göre düzleme aktarılır. 1) m : harita üzerinde paralelleri çizen yarıçap ) α: harita üzerinde meridyenler arasındaki açıyı ifade eder. m = α =

Detaylı

1. Böleni 13 olan bir bölme iþleminde kalanlarýn

1. Böleni 13 olan bir bölme iþleminde kalanlarýn 4. SINIF COÞMAYA SORULARI 1. BÖLÜM 3. DÝKKAT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 1. Böleni 13 olan bir bölme iþleminde kalanlarýn toplamý kaçtýr? A) 83 B) 78 C) 91 D) 87

Detaylı

Jeodezi

Jeodezi 1 Jeodezi 5 2 Jeodezik Eğri Elipsoid Üstünde Düşey Kesitler Elipsoid yüzünde P 1 noktasındaki normalle P 2 noktasından geçen düşey düzlem, P 2 deki yüzey normalini içermez ve aynı şekilde P 2 de yüzey

Detaylı

HARİTA DAİRESİ BAŞKANLIĞI. İSTANBUL TKBM HİZMET İÇİ EĞİTİM Temel Jeodezi ve GNSS

HARİTA DAİRESİ BAŞKANLIĞI. İSTANBUL TKBM HİZMET İÇİ EĞİTİM Temel Jeodezi ve GNSS HİZMET İÇİ EĞİTİM MART 2015 İSTANBUL TAPU VE KADASTRO II.BÖLGE MÜDÜRLÜĞÜ SUNUM PLANI 1- Jeodezi 2- Koordinat sistemleri 3- GNSS 3 JEODEZİ Jeodezi; Yeryuvarının şekil, boyut, ve gravite alanı ile zamana

Detaylı

T.C. MİLLİ SAVUNMA BAKANLIĞI HARİTA GENEL KOMUTANLIĞI HARİTA YÜKSEK TEKNİK OKULU KOMUTANLIĞI ANKARA

T.C. MİLLİ SAVUNMA BAKANLIĞI HARİTA GENEL KOMUTANLIĞI HARİTA YÜKSEK TEKNİK OKULU KOMUTANLIĞI ANKARA T.C. MİLLİ SAVUNMA BAKANLIĞI HARİTA GENEL KOMUTANLIĞI HARİTA YÜKSEK TEKNİK OKULU KOMUTANLIĞI ANKARA ÇİFT STANDART DAİRELİ KONFORM LAMBERT PROJEKSİYONUNDA TÜRKİYE HARİTASININ YAPILMASI Hrt. Tğm. Soner ÖZDEMİR

Detaylı

LYS - 1 GEOMETRÝ TESTÝ

LYS - 1 GEOMETRÝ TESTÝ LYS - 1 GMTRÝ TSTÝ ÝKKT : 1. u testte toplam 3 soru vardýr. 2. evaplamaa istediðiniz sorudan baþlaabilirsiniz. 3. evaplarýnýzý, cevap kaðýdýnýn Geometri Testi için arýlan kýsmýna iþaretleiniz.. Safalar

Detaylı

1. BÖLÜM. 4. Bilgi: Bir üçgende, iki kenarýn uzunluklarý toplamý üçüncü kenardan büyük, farký ise üçüncü kenardan küçüktür.

1. BÖLÜM. 4. Bilgi: Bir üçgende, iki kenarýn uzunluklarý toplamý üçüncü kenardan büyük, farký ise üçüncü kenardan küçüktür. 8. SINIF COÞMY SORULRI 1. ÖLÜM DÝKKT! u bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 3. 1. 1 1 1 1 1 1 D E F 1 1 1 C 1 ir kenarý 1 birim olan 24 küçük kareden oluþan þekilde alaný 1 birimkareden

Detaylı

4. 5. x x = 200!

4. 5. x x = 200! 8. SINIF COÞMY SORULRI 1. ÖLÜM 3. DÝKKT! u bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 1. adým (2) 2. adým (4) 1. x bir tam sayý ve 4 3 x 1 7 5 x eþitsizliðinin doðru olmasý için x yerine

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No. MATEMATÝK - II KARMAÞIK SAYILAR - II MF TM LYS 3 Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar

Detaylı

DENEME Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir.

DENEME Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir. 1. Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir. 1. a, b, c birbirinden farklý rakamlardýr. 2a + 3b - 4c ifadesinin alabileceði

Detaylı

Firmamýz mühendisliðinde imalatýný yaptýðýmýz endüstriyel tip mikro dozaj sistemleri ile Kimya,Maden,Gýda... gibi sektörlerde kullanýlan hafif, orta

Firmamýz mühendisliðinde imalatýný yaptýðýmýz endüstriyel tip mikro dozaj sistemleri ile Kimya,Maden,Gýda... gibi sektörlerde kullanýlan hafif, orta Mikro Dozaj Firmamýz mühendisliðinde imalatýný yaptýðýmýz endüstriyel tip mikro dozaj sistemleri ile Kimya,Maden,Gýda... gibi sektörlerde kullanýlan hafif, orta ve aðýr hizmet tipi modellerimizle Türk

Detaylı

Üçgenler Geometrik Cisimler Dönüþüm Geometrisi Örüntü ve Süslemeler Ýz Düþümü

Üçgenler Geometrik Cisimler Dönüþüm Geometrisi Örüntü ve Süslemeler Ýz Düþümü Üçgenler Geometrik isimler önüþüm Geometrisi Örüntü ve Süslemeler Ýz üþümü 119 120 Üçgenler Üçgenler 4 cm 2 cm 2 cm Yukarýdaki çubuklarýn uzunluklarý 4 cm, 2 cm ve 2 cm dir. u üç çubuðun uç noktalarýný

Detaylı

KÜRESEL VE ELİPSOİDAL KOORDİNATLARIN KARŞİLAŞTİRİLMASİ

KÜRESEL VE ELİPSOİDAL KOORDİNATLARIN KARŞİLAŞTİRİLMASİ KÜRESEL VE ELİPSOİDAL KOORDİNATLARIN KARŞİLAŞTİRİLMASİ Doç. Dr. İsmail Hakkı GÜNEŞ İstanbul Teknik Üniversitesi ÖZET Küresel ve Elipsoidal koordinatların.karşılaştırılması amacı ile bir noktasında astronomik

Detaylı

Geometri Çalýþma Kitabý

Geometri Çalýþma Kitabý LYS GMTRÝ ÇLIÞM ÝTI LYS Geometri Çalýþma itabý opyright Sürat asým Reklamcýlýk ve ðitim raçlarý San. Tic. Þ u kitabýn tamamýnýn ya da bir kýsmýnýn, kitabý yayýmlayan þirketin önceden izni olmaksýzýn elektronik,

Detaylı

Meridyenler ve paraleller eşitliklere göre düzleme aktarılır. 1) m : harita üzerinde paralelleri çizen yarıçap. Gerçek Projeksiyon

Meridyenler ve paraleller eşitliklere göre düzleme aktarılır. 1) m : harita üzerinde paralelleri çizen yarıçap. Gerçek Projeksiyon PROJEKSİYON KAVRAMI Meridyenler ve paraleller eşitliklere göre düzleme aktarılır. 1) m : harita üzerinde paralelleri çizen yarıçap ) α: harita üzerinde meridyenler arasındaki açıyı ifade eder. m = α =

Detaylı

3. HARİTA PROJEKSİYONLARI

3. HARİTA PROJEKSİYONLARI 3. HARİTA PROJEKSİYONLARI Projeksiyon, fiziksel yeryüzünün geometrik bir yüzey üzerine izdüşürülmesidir. Yerküre nin tamamı veya bir bölümü harita üzerine aktarılırken projeksiyon sistemleri kullanılır.

Detaylı

KAPSAM 1. GİRİŞ SORGULAMALAR (ALIŞTIRMALAR) 2.YERKÜRE VE KOORDİNATLAR SİSTEMİ. 2.1 Yerkürenin Şekli. 2.2 Koordinatlar Sistemi

KAPSAM 1. GİRİŞ SORGULAMALAR (ALIŞTIRMALAR) 2.YERKÜRE VE KOORDİNATLAR SİSTEMİ. 2.1 Yerkürenin Şekli. 2.2 Koordinatlar Sistemi KAPSAM 1. GİRİŞ SORGULAMALAR (ALIŞTIRMALAR) 2.YERKÜRE VE KOORDİNATLAR SİSTEMİ 2.1 Yerkürenin Şekli 2.2 Koordinatlar Sistemi 2.2.1 Coğrafi Koordinat Sistemi 2.2.2 Kartezyen Koordinat Sistemi 3. HARİTA PROJEKSİYONLARI

Detaylı

HARİTA BİLGİSİ, KOORDİNAT SİSTEMLERİ, 1/25000 ÖLÇEKLİ HARİTALARIN TANITIMI VE KULLANMA TEKNİKLERİ İLE TOPRAK HARİTALARININ YAPILMASI

HARİTA BİLGİSİ, KOORDİNAT SİSTEMLERİ, 1/25000 ÖLÇEKLİ HARİTALARIN TANITIMI VE KULLANMA TEKNİKLERİ İLE TOPRAK HARİTALARININ YAPILMASI HARİTA BİLGİSİ, KOORDİNAT SİSTEMLERİ, 1/25000 ÖLÇEKLİ HARİTALARIN TANITIMI VE KULLANMA TEKNİKLERİ İLE TOPRAK HARİTALARININ YAPILMASI HARİTA Harita,yeryüzünün bütününü yada bir parçasını tam tepeden görünüşe

Detaylı

BÖLÜM 3 FONKSÝYONLARIN LÝMÝTÝ. ~ Limitlerin Tanýmý ve Özellikleri. ~ Alýþtýrmalar 1. ~ Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Limitleri

BÖLÜM 3 FONKSÝYONLARIN LÝMÝTÝ. ~ Limitlerin Tanýmý ve Özellikleri. ~ Alýþtýrmalar 1. ~ Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Limitleri BÖLÜM FONKSÝYONLARIN LÝMÝTÝ Limitlerin Tanýmý ve Özellikleri Alýþtýrmalar Özel Tanýmlý Fonksionlarýn Limitleri (Saðdan ve Soldan Limitler) Alýþtýrmalar Trigonometrik Fonksionlarýn Limitleri Alýþtýrmalar

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2017

Kanguru Matematik Türkiye 2017 4 puanlýk sorular 1. Küçük bir salyangoz, 10m yüksekliðinde bir telefon direðine týrmanmaktadýr. Gündüzleri 3m týrmanabilmekte ama geceleri 1m geri kaymaktadýr. Salyangozun direðin tepesine týrmanmasý

Detaylı

Doða ve Ýnsan DOÐA VE ÝNSAN. Coðrafyanýn Tanýmý ve Bölümleri. Coðrafyanýn incelediði doðal olaylar. Coðrafyanýn incelediði beþeri olaylar

Doða ve Ýnsan DOÐA VE ÝNSAN. Coðrafyanýn Tanýmý ve Bölümleri. Coðrafyanýn incelediði doðal olaylar. Coðrafyanýn incelediði beþeri olaylar Doða ve Ýnsan DOÐA VE ÝNSAN Doða ile insan sürekli etkileþim halindedir. Doða insanlarýn beslenmesinde, giyinmesinde ve barýnmasýnda etkilidir. Doðal koþullardan dolayý Sibirya daki insanlar kürklere sarýlmýþken

Detaylı

3. Çarpýmlarý 24 olan iki sayýnýn toplamý 10 ise, oranlarý kaçtýr? AA 2 1 1 2 1. BÖLÜM

3. Çarpýmlarý 24 olan iki sayýnýn toplamý 10 ise, oranlarý kaçtýr? AA 2 1 1 2 1. BÖLÜM 7. SINIF COÞMAYA SORULARI 1. BÖLÜM DÝKKAT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 3. Çarpýmlarý 24 olan iki sayýnýn toplamý 10 ise, oranlarý kaçtýr? 2 1 1 2 A) B) C) D) 3 2 3

Detaylı

ÇEVREMÝZDEKÝ GEOMETRÝ

ÇEVREMÝZDEKÝ GEOMETRÝ ÇEVREMÝZDEÝ GEOMETRÝ çýlarý Ýsimlendirme þaðýdaki masa üzerindeki açýlarý gösterelim: çýlar, köþesine yazýlan büyük harfle isimlendirilirler. çý ^ veya sembollerinden biri kullanýlarak gösterilir. Yukarýda

Detaylı

Uygun Harita Projeksiyonu Seçiminde Bazı Temel Esaslar. The Basic Principals in Choosing Appropriate Map Projection

Uygun Harita Projeksiyonu Seçiminde Bazı Temel Esaslar. The Basic Principals in Choosing Appropriate Map Projection Harita Teknolojileri Elektronik Dergisi Cilt: 1, No: 2, 2009 (31-42) Electronic Journal of Map Technologies Vol: 1, No: 2, 2009 (31-42) TEKNOLOJİK ARAŞTIRMALAR www.teknolojikarastirmalar.com e-issn: 1309-3983

Detaylı

Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre

Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre Jeodezi 7 1 Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre Elipsoid yüzeyinin küçük parçalarında oluşan küçük üçgenlerin (kenarları 50-60 km den küçük) hesaplanmasında klasik jeodezide

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2015

Kanguru Matematik Türkiye 2015 3 puanlýk sorular 1. Aþaðýdaki þekillerden hangisi bu dört þeklin hepsinde yoktur? A) B) C) D) 2. Yandaki resimde kaç üçgen vardýr? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 3. Yan taraftaki þekildeki yapboz evin eksik parçasýný

Detaylı

PARALEL VE MERİDYENLER

PARALEL VE MERİDYENLER PARALEL VE MERİDYENLER Nasıl ki şehirdeki bir evi bulabilmek için mahalle, cadde, sokak ve ev numarası gibi unsurlara ihtiyaç varsa Yerküre üzerindeki herhangi bir yeri bulabilmek için de hayalî çizgilere

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2017

Kanguru Matematik Türkiye 2017 4 puanlýk sorular 1. Bir dik ikizkenar ABC üçgeni, BC = AB = birim olacak þekilde veriliyor. Üçgenin C köþesini merkez kabul ederek çizilen ve yarýçapý birim olan bir yay, hipotenüsü D noktasýnda, üçgenin

Detaylı

AVRASYA ÜNİVERSİTESİ

AVRASYA ÜNİVERSİTESİ Ders Tanıtım Formu Dersin Adı Öğretim Dili MATEMATİK JEODEZİ Türkçe Dersin Verildiği Düzey Ön Lisans ( ) Lisans (x) Yüksek Lisans( ) Doktora( ) Eğitim Öğretim Sistemi Örgün Öğretim (x) Uzaktan Öğretim(

Detaylı

Mart 2010 Otel Piyasasý Antalya Ýstanbul Gayrimenkul Deðerleme ve Danýþmanlýk A.Þ. Büyükdere Cad. Kervan Geçmez Sok. No:5 K:2 Mecidiyeköy Ýstanbul - Türkiye Tel: +90.212.273.15.16 Faks: +90.212.355.07.28

Detaylı

Ünite4 - Harita Projeksiyonları

Ünite4 - Harita Projeksiyonları Uzaktan Algılamaya Giriş Ünite4 - Harita Projeksiyonları UA Verisi ve Harita Projeksiyonları Uzaktan Algılama ile elde edilen görüntü verileri coğrafi koordinatlar ile gelmektedir. Bu veriler her hücrenin

Detaylı

Ý Ç Ý N D E K Ý L E R

Ý Ç Ý N D E K Ý L E R ÝÇÝNDEKÝLER A. BÝRÝNCÝ ÜNÝTE: ÞEKÝLLER VE SAYILAR Nokta...9 Düzlem...10 Geometrik Cisimler ve Modelleri...12 Geometrik Cisimler ve Yüzeyleri...14 Haftanýn Testi...16 Veri Toplama - Þekil Grafiði...18 Tablo...20

Detaylı

TOPOĞRAFYA. Ölçme Bilgisinin Konusu

TOPOĞRAFYA. Ölçme Bilgisinin Konusu TOPOĞRAFYA Topoğrafya, bir arazi yüzeyinin tabii veya suni ayrıntılarının meydana getirdiği şekil. Bu şeklin kâğıt üzerinde harita ve tablo şeklinde gösterilmesiyle ilgili ölçme, hesap ve çizim işlerinin

Detaylı

Geometri Çalýþma Kitabý

Geometri Çalýþma Kitabý YGS GMTRÝ ÇLIÞM ÝTI YGS Geometri Çalýþma itabý opyright Sürat asým Reklamcýlýk ve ðitim raçlarý San. Tic. Þ u kitabýn tamamýnýn ya da bir kýsmýnýn, kitabý yayýmlayan þirketin önceden izni olmaksýzýn elektronik,

Detaylı

ÇED ve Planlama Genel Müdürlüğü Veri Tabanı (ÇED Veri Tabanı)

ÇED ve Planlama Genel Müdürlüğü Veri Tabanı (ÇED Veri Tabanı) ÇED ve Planlama Genel Müdürlüğü Veri Tabanı (ÇED Veri Tabanı) 1 GÜNDEM 1. Amacı 2. Veri Tabanı Kapsamı 3. Özellikleri 4. Uygulama 2 1-Amacı Mekansal (haritalanabilir) Bilgilerin Yönetimi Sağlamak (CBS)

Detaylı

PID Kontrol Formu. Oransal Bant. Proses Deðeri Zaman

PID Kontrol Formu. Oransal Bant. Proses Deðeri Zaman PID Kontrol Formu PID kontrol formu endüstride sýkça kullanýlan bir proses kontrol yöntemidir. PID kontrol algoritmasýnýn çalýþma fonksiyonu, kontrol edilen prosesten belirli aralýklarla geri besleme almak

Detaylı

Simge Özer Pýnarbaþý

Simge Özer Pýnarbaþý Simge Özer Pýnarbaþý 1963 yýlýnda Ýstanbul da doðdu. Ortaöðrenimini Kadýköy Kýz Lisesi nde tamamladý. 1984 yýlýnda Ýstanbul Üniversitesi Edebiyat Fakültesi Arkeoloji ve Sanat Tarihi Bölümü nü bitirdi.

Detaylı

5. 2x 2 4x + 16 ifadesinde kaç terim vardýr? 6. 4y 3 16y + 18 ifadesinin terimlerin katsayýlarý

5. 2x 2 4x + 16 ifadesinde kaç terim vardýr? 6. 4y 3 16y + 18 ifadesinin terimlerin katsayýlarý CEBÝRSEL ÝFADELER ve DENKLEM ÇÖZME Test -. x 4 için x 7 ifadesinin deðeri kaçtýr? A) B) C) 9 D). x 4x ifadesinde kaç terim vardýr? A) B) C) D) 4. 4y y 8 ifadesinin terimlerin katsayýlarý toplamý kaçtýr?.

Detaylı

4. a ve b, 7 den küçük pozitif tam sayý olduðuna göre, 2 a a b. 5. 16 x+1 = 3

4. a ve b, 7 den küçük pozitif tam sayý olduðuna göre, 2 a a b. 5. 16 x+1 = 3 LYS ÜNÝVSÝT HAZILIK ÖZ-D-BÝ YAYINLAI MATMATÝK DNM SINAVI A Soru saýsý: 5 Yanýtlama süresi: 75 dakika Bu testle ilgili anýtlarýnýzý optik formdaki Matematik bölümüne iþaretleiniz. Doðru anýtlarýnýzýn saýsýndan

Detaylı

DÜNYA NIN ŞEKLİ VE HAREKETLERİ

DÜNYA NIN ŞEKLİ VE HAREKETLERİ DÜNYA NIN ŞEKLİ VE HAREKETLERİ YERKÜRE NİN ŞEKLİ Bilim ve teknolojik seviyeye bağlı olarak, İlk Çağ da Dünya mızın şekli, değişik biçimlerde tahmin ediliyordu. Dünya nın çevresi günümüzden yaklaşık 2.200

Detaylı

Harita Projeksiyonları

Harita Projeksiyonları Aziutal rojeksiyonlar Harita rojeksiyonları Bölü : Aziutal rojeksiyonlar Doç.Dr. İ. Öztuğ BİLDİRİCİ rojeksiyon yüzeyi düzledir. Noral, transversal ve eğik konulu olarak uygulanan aziutal projeksiyonlar,

Detaylı

KİTABIN REHBERLİK PLANLAMASI. Bölümler. Bölümlere Ait Konu Kavrama Testleri KONU KAVRAMA TESTİ DOĞA VE İNSAN 1 TEST - 1

KİTABIN REHBERLİK PLANLAMASI. Bölümler. Bölümlere Ait Konu Kavrama Testleri KONU KAVRAMA TESTİ DOĞA VE İNSAN 1 TEST - 1 Sunum ve Sistematik SUNUM Sayın Eğitimciler, Sevgili Öğrenciler, ilindiği gibi gerek YGS, gerekse LYS de programlar, sistem ve soru formatları sürekli değişmektedir. Öğrenciler her yıl sürpriz olabilecek

Detaylı

ÝÇÝNDEKÝLER 1. ÜNÝTE 2. ÜNÝTE

ÝÇÝNDEKÝLER 1. ÜNÝTE 2. ÜNÝTE ÝÇÝNDEKÝLER. ÜNÝTE ÇEVREMÝZDEKÝ GEOMETRÝ... Açýlarý Ýsimlendirme... Açýlarý Ölçme... Açý Çeþitleri... Üçgen Çeþitleri... 7 Üçgenlerin iç Açýlarýnýn Ölçüleri Toplamý... 9 Ölçme ve Deðerlendirme... Kazaným

Detaylı

PANEL RADYATÖRLERÝ MV 21 geprüfte Sicherheit

PANEL RADYATÖRLERÝ MV 21 geprüfte Sicherheit MV 1 geprüfte Sicherheit Teknik Katalog PANEL RADYATÖRLERÝ EN 44 ISO 9001:000 T S E BAG UV PRODUCTO CONFORME A NORMAS Épitésügyi Minóségellenórzó Intézet GÝRÝÞ Bu katalog genelinde siz sayýn müþterilerimize,

Detaylı

ünite1 1. Aþaðýdaki kavram ve gösterimi çiftlerinden hangisi doðrudur? A. ýþýn, B. doðru parçasý, d C. nokta, A D. doðru,

ünite1 1. Aþaðýdaki kavram ve gösterimi çiftlerinden hangisi doðrudur? A. ýþýn, B. doðru parçasý, d C. nokta, A D. doðru, ünite1 Geometri Matematik E 1 3. 1. þaðýdaki kavram ve gösterimi çiftlerinden hangisi doðrudur?. ýþýn, B B. doðru parçasý, d. nokta,. doðru, B Y erilen açýnýn gösterimi aþaðýdakilerden hangisi olabilir?.

Detaylı

ORMAN VE SU İŞLERİ BAKANLIĞI Su Yönetimi Genel Müdürlüğü Taşkın ve Kuraklık Yönetimi Planlaması Dairesi Başkanlığı. Temel Harita Bilgisi

ORMAN VE SU İŞLERİ BAKANLIĞI Su Yönetimi Genel Müdürlüğü Taşkın ve Kuraklık Yönetimi Planlaması Dairesi Başkanlığı. Temel Harita Bilgisi ORMAN VE SU İŞLERİ BAKANLIĞI Su Yönetimi Genel Müdürlüğü Taşkın ve Kuraklık Yönetimi Planlaması Dairesi Başkanlığı Temel Harita Bilgisi Harita, yeryüzünün ölçeklendirilmiş ve düzleme aktarılmış bir sunumudur.

Detaylı

ÖLÇME BİLGİSİ. Ders Programı ÖLÇME BİLGİSİ ÖLÇME BİLGİSİ. Tanım. ÖLÇME BİLGİSİ Tanım. Tanım

ÖLÇME BİLGİSİ. Ders Programı ÖLÇME BİLGİSİ ÖLÇME BİLGİSİ. Tanım. ÖLÇME BİLGİSİ Tanım. Tanım ÖLÇME BİLGİSİ Dersin Amacı Öğretim Üyeleri Ders Programı Sınav Sistemi Ders Devam DOÇ. DR. HAKAN BÜYÜKCANGAZ Bahar 2012 Ders Programı 1. Ölçme Bilgisi tanım, kapsamı, tarihçesi 2. Ölçme Bilgisinde kullanılan

Detaylı

2 - Konuþmayý Yazýya Dökme

2 - Konuþmayý Yazýya Dökme - 1 8 Konuþmayý Yazýya Dökme El yazýnýn yerini alacak bir aygýt düþü XIX. yüzyýlý boyunca çok kiþiyi meþgul etmiþtir. Deðiþik tasarým örnekleri görülmekle beraber, daktilo dediðimiz aygýtýn satýlabilir

Detaylı

Coğrafi Bilgi Sistemlerine Giriş. Ünite 3 - Coğrafi Konumlandırma

Coğrafi Bilgi Sistemlerine Giriş. Ünite 3 - Coğrafi Konumlandırma Coğrafi Bilgi Sistemlerine Giriş Ünite 3 - Coğrafi Konumlandırma İçerik Giriş Yerkürenin matematiksel modeli Yerküre üzerinde haritalanacak bölgenin matematiksel modeli (datum) GİRİŞ Yeryüzündeki bir mekanın

Detaylı

ÖLÇME BİLGİSİ. PDF created with FinePrint pdffactory trial version http://www.fineprint.com. Tanım

ÖLÇME BİLGİSİ. PDF created with FinePrint pdffactory trial version http://www.fineprint.com. Tanım ÖLÇME BİLGİSİ Dersin Amacı Öğretim Üyeleri Ders Programı Sınav Sistemi Ders Devam YRD. DOÇ. DR. HAKAN BÜYÜKCANGAZ ÖĞR.GÖR.DR. ERKAN YASLIOĞLU Ders Programı 1. Ölçme Bilgisi tanım, kapsamı, tarihçesi. 2.

Detaylı

Aþaðýdaki tablodaki sayýlarýn deðerlerini bulunuz. Deðeri 0 veya 1 olan sayýlarýn bulunduðu kutularý boyayýnýz. b. ( 3) 4, 3 2, ( 3) 3, ( 3) 0

Aþaðýdaki tablodaki sayýlarýn deðerlerini bulunuz. Deðeri 0 veya 1 olan sayýlarýn bulunduðu kutularý boyayýnýz. b. ( 3) 4, 3 2, ( 3) 3, ( 3) 0 Tam Sayýlarýn Kuvveti Sýfýr hariç her sayýnýn sýfýrýncý kuvveti e eþittir. n 0 = (n 0) Sýfýrýn (sýfýr hariç) her kuvvetinin deðeri 0 dýr. 0 n = 0 (n 0) Bir sayýnýn birinci kuvveti her zaman kendisine eþittir.

Detaylı

Matematik ve Türkçe Örnek Soru Çözümleri Matematik Testi Örnek Soru Çözümleri 1 Aþaðýdaki saatlerden hangisinin akrep ve yelkovaný bir dar açý oluþturur? ) ) ) ) 11 12 1 11 12 1 11 12 1 10 2 10 2 10 2

Detaylı

Harita Projeksiyonları

Harita Projeksiyonları Harita Projeksiyonları Bölüm 4: Konik Projeksiyonlar Doç.Dr. İ. Öztuğ BİLDİRİCİ Koni en genel projeksiyon yüzeyidir. Koninin yüksekliği sıfır alınırsa düzlem, sonsuz alınırsa silindir elde edilir. Genel

Detaylı

Depo Modüllerin Montajý Öncelikle depolarýmýzý nerelere koyabileceðimizi iyi bilmemiz gerekir.depolarýmýzý kesinlikle binalarýmýzda statik açýdan uygun olamayan yerlere koymamalýyýz. Çatýlar ve balkonlarla

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II ÝREY DERSHNELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS NLTIM FÖYÜ DERSHNELERÝ Konu Ders dý ölüm Sýnav DF No. MTEMTÝK - II PRL - IV MF TM LYS1 12 Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr. dý

Detaylı

AÇILAR. Baþlangýç noktalarý ortak ve doðrusal olmayan iki ýþýnýn oluþturduðu þekle açý denir. Bir A açýsý, ëa veya

AÇILAR. Baþlangýç noktalarý ortak ve doðrusal olmayan iki ýþýnýn oluþturduðu þekle açý denir. Bir A açýsý, ëa veya çýlar ÇI aþlangýç noktalarý ortak ve doðrusal olmayan iki ýþýnýn oluþturduðu þekle açý denir. ir açýsý, ë veya þeklinde gösterilir. [ [ Isýn, köþe [ [= é ukarýdaki açý, açýsý, açýsý veya açýsý þeklinde

Detaylı

GÜNEY YARIM KÜRESİ İÇİN ŞEKİL

GÜNEY YARIM KÜRESİ İÇİN ŞEKİL GÜNEY YARIM KÜRESİ İÇİN ŞEKİL Bu şekilde, gözlemcinin zeniti bundan önceki şekillerdeki gibi yerleştirilir. Bu halde gök ufku şekildeki gibi olur. Güney yarım kürede Q güney kutbu ufkun üzerindedir. O

Detaylı

TEKNİK RESİM. Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi. Perspektifler-2

TEKNİK RESİM. Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi. Perspektifler-2 TEKNİK RESİM 2010 Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi Perspektifler-2 2/25 Perspektifler-2 Perspektifler-2 Perspektif Çeşitleri Dimetrik Perspektif Trimetrik Perspektif Eğik Perspektif

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2017

Kanguru Matematik Türkiye 2017 3 puanlýk sorular. Aþaðýdaki þekilde her kutudaki sayý altýndaki iki kutuda bulunan sayýlarýn toplamýna eþittir. Soru iþaretinin bulunduðu kutudaki sayý kaçtýr? 2039 2020? 207 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Doðruda Açýlar Üçgende Açýlar Açý - Kenar Baðýntýlarý Dik Üçgen ve Öklit Baðýntýlarý Ýkizkenar ve Eþkenar Üçgen Üçgende Alan

Doðruda Açýlar Üçgende Açýlar Açý - Kenar Baðýntýlarý Dik Üçgen ve Öklit Baðýntýlarý Ýkizkenar ve Eþkenar Üçgen Üçgende Alan Ödev Tarihi :... Ödev Kontrol Tarihi :... Kontrol den :... LYS GOMTRİ Ödev Kitapçığı 1 (M-TM) oðruda çýlar Üçgende çýlar çý - Kenar aðýntýlarý ik Üçgen ve Öklit aðýntýlarý Ýkizkenar ve þkenar Üçgen Üçgende

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2015

Kanguru Matematik Türkiye 2015 3 puanlýk sorular 1. Ayla 1997 ve kardeþi Cemile 2001 yýlýnda doðmuþtur. Bu iki kýz kardeþin yaþlarý farký için aþaðýdakilerden hangisi her zaman doðrudur? A) 4 yýldan azdýr B) en az 4 yýldýr C) tam 4

Detaylı

LYS 1 ÖZ-DE-BÝR YAYINLARI MATEMATÝK DENEME SINAVI 1 MA = a 4, 3 b Bazý M pozitif gerçek sayýlarý için, 5M = M 5 ve. 6.

LYS 1 ÖZ-DE-BÝR YAYINLARI MATEMATÝK DENEME SINAVI 1 MA = a 4, 3 b Bazý M pozitif gerçek sayýlarý için, 5M = M 5 ve. 6. LYS ÜNÝVERSÝTE HAZIRLIK ÖZ-DE-BÝR YAYINLARI MATEMATÝK DENEME SINAVI A Soru saýsý: 0 Yanýtlama süresi: dakika Bu testle ilgili anýtlarýnýzý optik formdaki Matematik bölümüne iþaretleiniz. Doðru anýtlarýnýzýn

Detaylı

Test. Yerküre nin Şekli ve Hareketleri BÖLÜM 4

Test. Yerküre nin Şekli ve Hareketleri BÖLÜM 4 Yerküre nin Şekli ve Hareketleri 1. Dünya ile ilgili aşağıda verilen bilgilerden yanlış olan hangisidir? A) Dünya, ekseni etrafındaki bir turluk dönüş hareketini 24 saatte tamamlar. B) Dünya ekseni etrafındaki

Detaylı

FLASH ile Kayan Menüler

FLASH ile Kayan Menüler FLASH ile Kayan Menüler Eðer sayfanýza koyacaðýnýz linklerin sayýsý az ise, deðiºik efektler kullanýlabilir. En çok tercih edilen menülerden birisi de, kayan menülerdir. Projemiz, menülerin yeraldýðý fotoðraflarý,

Detaylı

***Yapılan bir çizimin harita özelliğini gösterebilmesi için çizimin belirli bir ölçek dahilinde yapılması gerekir.

***Yapılan bir çizimin harita özelliğini gösterebilmesi için çizimin belirli bir ölçek dahilinde yapılması gerekir. HARİTA BİLGİSİ Harita Kuşbakışı görünümün Ölçekli Düzleme aktarılmasıdır. ***Yapılan bir çizimin harita özelliğini gösterebilmesi için çizimin belirli bir ölçek dahilinde yapılması gerekir. Kroki Kuşbakışı

Detaylı