Geometri Notları Mustafa YAĞCI, Elips

Transkript

1 1 Geometri Notlrı Mustf YĞCI, gimustf@hoo.om Elips Koniğin genel tnımını htırlrk erse şllım: Düzleme ir noktsı ve en geçmeen ir oğrusu veriliğine, noktsın uzklığının oğrusun uzklığın ornı pozitif ir sit oln noktlrın geometrik erine konik enioru. u ornı e ile gösterioruk. İşte u e sısı (, 1) rlığınn seçilirse u noktlrın geometrik eri ir elips oluor. Şimi u tnım göre klım elips nsıl ir şekilmiş? Tnım söleniği gii; ir noktsı ve en geçmeen ir oğrusu çizelim. Şimi e uzklığı e uzklığının e ktı oln noktlrı işretleeeğiz. nlm ve nltm kollığı çısınn e i şimilik 1 llım. e nin 1 olmsı, öle noktlrı ul ki 1 = olsun, ni = olsun emektir. Şimi en e ir ik inirelim. Dikme ğın T ielim. oluğunn üstteki şekile verilen 1 noktsı ulunur. u ikme üzerine şk ir noktsı ulunmz m u ikmenin uzntısın vr mıır? k k 1 T oğrusu üzerine = T olk şekile ir noktsı lınırs = olğınn e rnn noktlrn iriir. Htt T üzerine şk noktsı olmğını keşfein. Şu hle elipsin geçtiği iki noktı ulmuş oluk. k 4 n n m m k k 1 k 6 7 Şimi e göz krrıl, 4,, 6, 7 noktlrını ullım. 4 T 1 k 1 k T 6 7 u ikme üzerine verilen şrtı sğln ir noktsı rnırs, 1 = 1 Üst şekilen e görülüğü üzere, elips, ovlimsi ir şekle shipmiş. Çemerin iki rı kutunn irz sık hli gii ir şe. Ytık urn ir umurt emein m. Çünkü umurtnın tek simetri ekseni vrır, hluki elipsin tne. 7

2 Mustf YĞCI Elips eşitliğine kvuştuk. ve Q noktlrı rstgele seçiliğinen slın şunu knıtlmış oluk: ' ' 1 Yine üst şekilen göreileeğiniz üzere, k şeklini çıkrttığımız elips 1 eksenine göre simetrik oluğunn, noktsı ve oğrusu rımıl ulunn noktlrın noktsı ve oğrusu rımıl ulunileeğini frk einiz. İşte u üzen elipsin tne oğı ve tne oğrultmn oğrusu vrır. Elipsin En Önemli Özelliği Elipsin irzn vereeğimiz ir özelliği, o kr önemliir ki, çoğu knkt u özelliği elipsin tnımı olrk görmek e mümkünür. ve oklı, u oklr it oğrultmnlrı sırsıl ve oln rstgele ir elips çizelim. u elipsin üzerine ine rstgele iki frklı ve Q noktlrı llım. en ve oğrulrın inen ikme klrı sırsıl M ve N, Q en u oğrulr inen ikme klrıs sırsıl R ve S olsun. N S ' ' u e eu O Elipsin tnım gereğine N = u ise = eu, M = v ise = ev, QS = ise Q = e, QR = z ise Q = ez olğını ilioruz. Diğer nn NSRM örtgeninin ir ikörtgen oluğu ort. O hle NM = SR olmsı gerektiğinen u + v = + z zılilir. Şimi u eşitliğin her iki nını e ile çrplım: eu + ev = e + ez olğınn + = Q + Q ez Q ev z v M R Elips üzerine lınn herhngi iki noktnın oklr oln uzklıklrının toplmı iririne eşittir. slın u teorem şun özeştir: Elips üzerine lınn ir noktnın elipsin oklrın oln uzklıklrı toplmı ir sittir. şğıki orum, u önemli teoremin klınız er etmesine rımı olktır: ve noktlrınki ireklerin gevşek ir iple irirlerine ğlnıklrını hl ein. ' Şimi elinize ir çuuk lıp u ipi gerin. ' Şimi e ip gergin klmk kıl çuuğu hreket ettirin. Çuuğun uunun nsıl hreket ettiğini gözlemlein. ' Çuuk ukrki şekile nokt nokt olrk gösterilmiş ir eğri çizeektir. İşte u eğri elipstir. Çuuk hngi konum olurs olsun ip gergin oluğunn çuuğun ulunuğu noktnın ireklere uzklıklrı toplmı ipin ou krır. E ipin uzunluğu sit oluğunn çuuğun geçtiği noktlrın ireğin ikiliği noktlr uzklıklrı toplmının sit oluğunu nlrız. Ok kelimesinin İngilizesi fous oluğunn genele oklr ve ie gösterilir. unn sonr iz e öle pğız. 71

3 Mustf YĞCI Elips Elipsin Merkezi ve Merkezil Elips Şimi unun neenini çıkllım: [ ] oğru prçsının ort noktsın elipsin merkezi enir. Genele O ile gösterilir. ir elips, merkezi nlitik üzlemin orijinile çkışk şekile nlitik üzleme çizilirse u elipse merkezil elips enir. ' ' O ' - ' - O Elipsin eksenleri kestiği noktlr elipsin köşeleri enir. Yukrki elipsin köşeleri (, ) (, ) (, ) (, ) noktlrıır. Oklrı (, ) (, ) noktlrıır. Oklrın üzerine ulunuğu [ ] oğru prçsın elipsin sl ekseni, [ ] oğru prçsın elipsin eek ekseni enir. - - sl Eksen Mjör Eksen - üük Eksen Yeek Eksen Minör Eksen Küçük Eksen sl eksene mjör eksen ve üük eksen, eek eksene e minör eksen ve küçük eksen e enir. sl eksenin önemi, h çok uzunluğun tr. Hni emiştik, elips üzerineki herhngi ir noktnın elipsin oklrın oln uzklıklrının toplmı ir sittir, işte o sit sl eksenin uzunluğuur ni üstteki gösterime göre ır. Teorem, elips üzerineki herhngi ir nokt için sğlnığınn noktsı için e sğlnmlıır. Şu urum + toplmı rığımız siti vereektir. = = + oluğunn + = oluğu knıtlnmış olur. Merkezil Elipsin Denklemi Şimi hep irlikte ir merkezil elipsin enkleminin nsıl ir şe oluğunu ulğız. ve noktlrı orijine göre simetrik oluklrınn noktsının koorintlrın (, ) ersek, noktsının koorintlrı (, ) olur. u noktlr uzklıklrı toplmı r oln noktlrın geometrik er enklemini ulğız. (, ) '(, ) (, ) Elips üzerineki herhngi ir noktnın koorintlrını (, ) olrk llım. u noktnın oklr oln uzklıklrı toplmı r olmsı gerektiğinen ( + ) + + ( ) + = ni = eşitliği sğlnmlıır. İşlem kollığı çısınn + + = m ielim. m+ + m = 7

4 Mustf YĞCI Elips Şimi her iki nın kresini llım. m+ + m + m+ m = 4 m+ m+ m+ m+ m = 4 m = m+ m = m 4 ( m+ )( m ) = 4 4 m+ m 4 m 4 = 4 4 m+ m 4 4 = 4 4m 4 = m Şimi m erine gerçek eğerini tekrr zıp üzenleelim. = 4 ( ) + = 4 ( ) + = ( ) Şimi eşitliğin her iki nını ( ) e ölelim. Eğer ir merkezil elipsin oklrı ekseni üzerine eğil e ekseni üzerinese, enklemi ine olur fkt u sefer = + eşitliği sğlnır. Zir u sefer ipin ou eğil, olmktır Genel olrk; > ise oklr ekseni üzerine, > ise oklr ekseni üzerine ieiliriz. lıştırmlr. şğıki tlo oş ırkıln kutulrı grfiğe krk olurunuz. Sonu ulştık m ufk ir hmle h klı. ' ' ' Denklemi Elipsin köşeleri (, ), '(, ) (, ), (, ) noktsını elipsin en üst köşesi olrk lırsk ikizkenr üçgen olğınn = = r olur. Diğer nn O = O = r oluğunn O = = olur. Şu urum elips enklemi hlini lır. sl eksen uzunluğu: Yeek eksen uzunluğu: Oklr rsı uzklık: ' ' 1 17 Elipsin oklrı (, ), '(, ) + ' Denklemi Elipsin köşeleri (, ), '(, ) Uzun lfın kıssı: nin psın eksenini kestiği noktlrın psislerinin kresini, nin psın eksenini kestiği noktlrın orintlrının kresini zıp toplıp 1 e eşitlioruz. sl eksen uzunluğu: Yeek eksen uzunluğu: Oklr rsı uzklık: (, ), (, ) Elipsin oklrı (, ), '(, ) + ' 7

5 Mustf YĞCI Elips 1 ' ' 8 sl eksen uzunluğu: Yeek eksen uzunluğu: Oklr rsı uzklık: Denklemi Elipsin köşeleri (, ), '(, ) (, ), (, ) Elipsin oklrı (, ), '(, ) + ' Örnek. 4 + = 1 elipsinin oklr rsı uzklığı kç irimir? Çözüm: Önelikle eşitliğin her iki nını 1 e ölerek enklemi iliğimiz formt getirelim: 4 olğınn nlıoruz ki = ve = miş. u eğerler + = enklemine erlerine zılırs = 1 ulunğınn = 1 olur. O hle oklr rsı uzklık = 1 olrk ulunur. ' ' + ' sl eksen uzunluğu Yeek eksen uzunluğu Oklr rsı uzklık Elipsin köşeleri (, ), '(, ) (, ), (, ) Elipsin oklrı (, ), '(, ) Denklemi: Örnek. (, 4 ) ve Q (6, ) noktlrınn geçen merkezil elipsin sl eksen uzunluğu kç irimir? Çözüm: Merkezi elipsin enklemi olsun. Üzerinen geçtiği sölenen noktlrın enkle- mi sğlmsını ekleelim. O hle ' ' + ' ' ' + ' 6 1 sl eksen uzunluğu Yeek eksen uzunluğu Oklr rsı uzklık Elipsin köşeleri (, ), '(, ) (, ), (, ) Elipsin oklrı (, ), '(, ) Denklemi: sl eksen uzunluğu Yeek eksen uzunluğu Oklr rsı uzklık Elipsin köşeleri (, ), '(, ) (, ), (, ) Elipsin oklrı (, ), '(, ) Denklemi: 9 + = = 1 eşitlikleri irlikte sğlnmlıır. Üstteki eşitliğin 4 ktınn lttki eşitlik çıkrtılırs = 6 ulunur. u eğer e eşitliklerin herhngi irine erine zılırs = 81 ulunur. Şu urum = 9 olğınn sl eksen uzunluğu = 18 irimir. Örnek. (8, ) ve ( 8, ) noktlrın uzklıklrı toplmı r oln noktlrın geometrik er enklemi şğıkileren hngisiir? Çözüm: Verilmiş frklı iki nokt uzklıklrı toplmı sit oln noktlr kümesinin elips oluğunu ilmekteiz. Demek ki ve noktlrı u elipsin oklrıır. Yni = 8 miş. Diğer nn ipin uzunluğu = r olrk veriliğinen = 1 çıkr. + = enkleminen e = 6 ulunğı için geometrik er enklemi 1 6 olmlıır. 74

6 Mustf YĞCI Elips Elipsin Doğrultmnlrı ve Dışmerkezliği Merkezil ir elipsin enklemini uluk, şimi sır u elipsin oğrultmnlrının enklemi ile ışmerkezliğini ulm geli. Elipsin tnımı gereğine, elips üzerineki her noktnın ir oğın oln uzklığının o oğ it oğrultmn oln uzklığın orn sittir. Şu hle elips üzerine iki frklı ve Q noktsı lıp u ornlrı eşitleelim. ve Q noktlrını lele lırsk işimiz zorlşır. u üzen u noktlrı köşeleren seçmekte f vr. Öne = olsun. D' ' -t - ' D - t - oğın it oğrultmn = t oğrusu ielim. Tnım gereği e = = = D D t olur. Şimi e Q = olsun. Yine tnım gereği Q e = = = QL L t olur. Şu urum u e eğerleri iririne eşittir. = t t t t = t t = t = emek ki elipsin oğrultmnlrının enklemleri = imiş. Şimi e e i (ışmerkezliği) ullım. e = = =. t u eğer elipsin çemeren rılış ereesini gösterir. Elips; sitken = oluğun çemer olur, = oluğun oğru prçsı olur. Yni e nin küçülmesi elipsi klınlştırır, üümesi elipsi ineltir! t L Örnek. 9 + = 9 elipsinin oğrultmnlrının rsınki uzklık kç irimir? Çözüm: Önelikle eşitliğin her iki nını 9 e ölerek enklemi iliğimiz formt getirelim: 1 6 olğınn nlıoruz ki = 1 ve = 6 mış. u eğerler + = enklemine erlerine zılırs = 64 ulunğınn = 8 olur. Diğer nn oğrultmnlr rsı uzklık t olup 1 t = = = 1, 8 oluğunn t = olrk ulunur. Örnek. (4, ) oğın it oğrultmnının enklemi 4 = oln merkezil elipsin ışmerkezliği kçtır? Çözüm: Oğın koorintlrınn = 4 oluğunu, oğrultmn enkleminen e t = = 4 oluğunn olı = oluğunu nlıoruz. Şu urum 4 e = = olrk ulunur. Örnek. Dışmerkezliği, ve oğın it oğrultmnının enklemi = 1 oln merkezil elipsin eek eksen uzunluğu kç irimir? Çözüm: Dışmerkezliği veren formül oln 1 e = = eşitliğinen = oluğunu nlıoruz. Diğer nn 4 t = 4 1 = = = oluğunn olı = oluğunu nlıoruz. O hle = 6 olup + = enklemine erlerine zılırs = 6 9 = 7 ulunğınn = olur. Yeek eksen uzunluğu ni 6 olur. 7

7 Mustf YĞCI Elips Elipsin rmetresi (Ltus Retum) Elipsin, çıkrığımız enkleminen e nlşılğı üzere, elirleneilmesi için iririnen ğımsız en z iki ilgie ihtiç uulur. See oklrını ilmekle ir elips elirlenemeeeği gii see ışmerkezliğile e elirlenemez. Şimi unlrın nın ir e elipsin klınlığını (şişkinliğini) nltn üç ilgi h vereeğiz. Oklrın irinen geçen ve sl eksene ik oln kirişin uzunluğun elipsin prmetresi enir. Tüm knklr ltus retum olrk geçer. Genele p ile gösterilir. Yrısın semi-ltus retum enir. klım ir merkezil elips için u sı kç eşitmiş. - '(, ) (, ) - (, ) oğınn çıkn ikmenin elipsi kestiği nokt ielim. Elipsin prmetresine p ersek p = oluğu şikr. Diğer nn ' + = oluğunu ilioruz. O hle p ' = olur. ' = eşitliğini kullnrk ' ik üçgenine isgor teoremi zlım. p p ( ) + = p p 4 + = 4 p+ 4 4 p = 4 4 p = 4 p = Elipsin Oksl rmetresi ir elipsin herhngi ir oğının o oğ it oğrultmn oğrusun uzklığın elipsin oksl prmetresi enir. İngilize si fol prmeter olrk ilinir. Genele l ile gösterilir. D l t Yukrki şekilen e görüleeği üzere, oksl prmetrenin eğeri D olup D = l = t = = = formülüle hesplnır. Not: ir elipsin ışmerkezliğini h öneen e = ğıntısıl vermiştik. Şimi prmetreleri insinen e vereiliriz: p p e = = = = l l oluğunn rım prmetrenin (semi-ltus retum) oksl prmetree ölümünün e ışmerkezliği veriğini görmüş oluoruz. ir şk eişle; şğı resmeiliği üzere hem hem e θ p ' ' α D l ğıntısı geçerliir. e = sinθ e = tn α 76

8 Mustf YĞCI Elips Elipsin sıklık Ornı nen prmetre ve oksl prmetre gii, elipsin şişkinliğini nltn ir eğer h vrır. Diğerlerine göre pek önem tşımz. Şimi onu verelim: üük eksen uzunluğu ile küçük eksen uzunluğu frkının üük eksen uzunluğun ornı elipsin sıklığı ie ilinir. Yni elipsin sıklığı, q = = = 1 sısıır. ' ' Doğrultmn Denklemleri Dışmerkezliği rmetresi Oksl prmetresi sıklık ornı Doğrultmn Denklemleri lıştırmlr. şğıki tlo oş ırkıln kutulrı grfiğe krk olurunuz. ' ' Dışmerkezliği rmetresi Oksl prmetresi ' ' Doğrultmn Denklemleri Dışmerkezliği sıklık ornı Doğrultmn Denklemleri Oksl prmetresi rmetresi sıklık ornı Doğrultmn Denklemleri ' 6 ' + ' =1 Dışmerkezliği rmetresi Oksl prmetresi sıklık ornı ' ' Oksl prmetresi 1 ' ' Oksl prmetresi Dışmerkezliği rmetresi sıklık ornı Doğrultmn Denklemleri Dışmerkezliği rmetresi sıklık ornı Örnek. 9 + = elipsinin prmetresini, oksl prmetresini ve sıklık ornını ullım. Çözüm: Önelikle eşitliğin her iki nını e ölerek enklemi iliğimiz formt getirelim: 9 olğınn nlıoruz ki = ve = müş. u eğerler + = enklemine erlerine zılırs = 16 ulunğınn = 4 olur. O hle p = =, l = = = ve q = = 4 olrk ulunur. 77

9 Mustf YĞCI Elips Yrım Elips Denklemleri elipsini oluşturn lrının nen çemere oluğu gii rı rı enklemleri vrır. Örneğin, ukrki enklemi = 1 ie, rınn 1 = ie üzenlersek grfikte hiçir eğişiklik olmz. kt, 1 = eniği n grfik rtık ir elips çizmez. Çizer e tm ir elips olmz, rım elipstir unun grfiği. Çünkü u enkleme ler hiçir zmn negtif olmz. Yni merkezil ir elipsin üst rısının enklemiir u. enzer şekile 1 = eşitliğini sğln eğerleri e hiçir zmn pozitif olmz. u üzen u enklem e merkezil ir elipsin lt rısının enklemiir. Eğer elips enklemini = 1 ni şekline üzenleip = 1 =± 1 eşitliği ele eilir ki, + ve ifelerinin irinin seçimile u enklem e ir tm elipsin eğil ir rım elipsin enklemi olur. m u sefer üst-lt rım elipslerinin eğil e sğ-sol rım elipslerinin! Çünkü = 1 eşitliğini sğln eğerleri hiçir zmn negtif olmz. u üzen grfik ukrki gii olur. enzer şekile = 1 eşitliğini sğln eğerleri hiçir zmn pozitif olmz. u üzen grfik ukrki gii olur. Her ğıntı grfiği gii, elips ve rım elips grfikleri e öteleneilir, önürüleilir. Eğer grfik irim sğ krs erine, sol krs erine +, ukrı krs erine, şğı krs erine + zrız. Tii önürme olının ugulmsı u kr sit eğil ie o kısmı konunun sonun sklık. Merk ein irz! 78

10 MY GEO KONİKLER TEST 1 Mustf YĞCI Elipsin merkezi, oklrı, eksenleri CCEC 1. Oklrı (, ) ve (, 6) oln elipsin merkezinin koorintlrı hngi şıkt verilmiştir? ) (, ) ) (1, ) C) (1, 4) D) ( 1, 4) E) (1, 8). Oklrınn iri ( 4, ), köşelerinen iri e (, ) oln merkezil elips üzerine ir noktsı lınıor. noktsının elipsin oklrın oln uzklıklrı toplmı kç r ir? -4 ) 7 ) 9 C) 1 D) 1 E) 14. Mjör ekseninin ou 1 r, minör ekseninin ou 6 r oln merkezil elipsin enklemi şğıkileren hngisiir? ) ) C) D) E) ( 4, ) ve (4, ) noktlrın uzklıklrı toplmı 1 r oln noktlrın geometrik er enklemi şğıkileren hngisiir?. 16 elipsi üzerineki ir noktnın oklr uzklıklrı toplmı kç irimir? ) ) C) D) E) ) ) 16 C) 1 D) E) = 8 enklemli elipsin oklrının rsınki uzklık kç irimir? ) 11 ) 1 C) 4 D) 1 E) Ynki elipsin lt ve üst köşelerile ok noktlrının elirttiği örtgenin çevresi r ve lnı 1 r ir. un göre elipsin enklemi şğıkileren hngisi olilir? ) ) C) D) E)

11 MY GEO KONİKLER TEST 16 Mustf YĞCI Elipsin merkezi, oklrı, eksenleri EC 1. Ok noktlrı ve, enklemi e 9 oln nki elipsin üzerine ir noktsı lını- ' or. un göre üçgensel ölgesinin lnı şğıkileren hngisi olmz? ) 9 ) 1 C) 11 D) 1 E) 1 4. Denklemi 4 oln nki elipsin oklrıl üst köşesinin elirttiği geniş çının ölçüsü α ir. un göre α kçtır? ) 1 ) 1 C) 1 D) 1 E) 16 α. Ok noktlrı ve oln nki merkezil elipsin köşeleri şekile görülüğü üzere,, C ve D noktlrıır. = r O = r oluğun göre D = kç r ir? ) 6 ) 7 C) 8 D) 9 E) 1 D O ' C. üük eksen köşeleri (, ), (,) oln ve D( 4, 1/) noktsınn geçen merkezil elipsin enklemi şğıkileren hngisiir? ) C) D) + =1 E) + =1 1 + = 1 ). Oklrınn irinin orijine uzklığı r, elipse en kın uzklığı 1 r oln merkezil elipsin enklemi şğıkileren hngisiir? ) ) C) D) E) Şekileki merkezil elipsin enklemi = 144 ise Ç( ) eğeri şğıkileren hngisiir? ) 8+ 7 ) 6+ 7 C) 1 D) 6 E) 4 ' 8

12 MY GEO KONİKLER TEST 17 Mustf YĞCI Elipsin merkezi, oklrı, eksenleri CCDED ( 4, ) ve (4, ) noktlrın oln uzklıklrı toplmı 1 irim oln noktlrın geometrik er enklemi şğıkileren hngisiir? Şekile ve noktlrı elipsinin oklrıır. Ç( ) eğeri şğıkileren hngisiir? ' ) ) C) D) E) ) 8 ) C) 6 D) 4 E) 44. ve ir elipsin ok noktlrıır. ( 8, ) ve (8, ) noktlrın uzklıklrının toplmı 4 irim oln elipsin enklemi şğıkileren hngisiir? ) ) C) D) E) eksenini sl eksen kul een ve sl eksen uzunluğu 1 irim, eek eksen uzunluğu 8 irim oln elipsin oklr rsı uzklığı kç irimir? ) 6 ) 6 C) D) 4 E) 6. Yeek ekseni ekseni oln merkezil elipste M( 1, ) ve N(, 1) noktlrı irer köşe koorintıır. un göre u elipsin oklrınn irisinin koorintlrı şğıkileren hngisiir? ) (, ) ) (, 9) C) (, ) D) (9, ) E) (, ). şğıki enklemleren hngisi sl eksen uzunluğu 8 irim ve oklr rsı uzklığı 18 irim oln elipse ittir? ) ) C) D) E) Oklrınn irisinin koorintlrı (,) oln merkezil elips (, 4) noktsınn geçmekteir. un göre u elipsin sl eksen uzunluğu kç irimir? ) 6 ) 1 C) 1 D) 1 E) 18 81

13 MY GEO KONİKLER TEST 18 Mustf YĞCI Tm ve Yrım Elips Denklemleri DEE 1. (,1) ve ( 1, ) noktlrınn geçen merkezil elipsin enklemi şğıkileren hngisiir? ) + = 1 ) + = 1 C) + = 1 D) + = 1 E) + =. Çemer için şğıkileren hngisi söleneilir?. Denklemi 9 + = T oln elipsin üst köşesi oln T noktsınn elipse çizilen teğet, enklemi 1 6 oln elipsi ve Q noktlrın kesmekteir. un göre Q kç irimir? ) 18 ) 1 C) 16 D) 8 E) 1 Q ) Dış merkezliği 1 oln elipstir. ) Doğrultmnı ekseni oln elipstir. C) Doğrultmnı ekseni oln elipstir. D) Oklrı çkışık oln elipstir. E) sıklık ornı 1 oln elipstir.. Ok noktlrı ve, enklemi e 9 oln nki elipste noktsınn eksenine çıkıln ikme, elipsi noktsın kesmekteir. un göre kç irimir? ' 6. Yn grfiği verilen rım elipsin oklrınn iri (, ) noktsınır. O hle rım 6 4 elipsin enklemi şğıkileren hngisiir? 4 ) = 4 ) = 4 C) = 4 D) = E) = 1 ) 1 ) 6 C) 7 D) 8 E) 9 4. Denklemi oln 9 elipsin sğ köşesi oln noktsınn eksenine çıkıln ikme, enklemi oln elipsi noktsın kesmekteir. 1 6 un göre kç irimir? ) ) 1 C) 4 D) E) 7. Yn grfiği verilen rım elipsin enklemi şğıkileren hngisiir? 4 4 ) = 1 16 ) = 1 16 C) = 1 16 D) = E) =

14 MY GEO KONİKLER TEST 19 Mustf YĞCI Elipsin rmetresi, Doğrultmnlrı, Dışmerkezliği DDDC elipsinin prmetresi kç irimir? ) 1 ) C) D) 1 E) 1. 1 elipsinin oklrının irinen geçen en kıs kiriş ile en uzun kirişin olrının toplmı kç irimir? ) 4 ) C) 6 D) 7 E) = 144 elipsinin prmetresi kçtır? ) ) 7 C) 4 D) 9 E) 6. + = 8 elipsinin oğrultmnlrınn iri şğıkileren hngisiir? ) = 4 ) = C) = D) = E) = 4. 9 elipsinin ış merkezliği kçtır? 7. Oklrınn irisi (4, ) oln elipsin oğrultmnlrınn irinin enklemi = 9 ise ış merkezliği kçtır? ) 1 ) C) 4 D) 4 E) ) ) 4 C) D) 1 E) elipsinin oklrının irinen geçen en kıs kirişin ou kç r ir? elipsinin ir oğının oğrultmnlrn irine uzklığı kç irim olilir? ) 4 ) C) 6 D) 7 E) 8 ) 64 ) 61 C) 19 D) 47 E) 1 8

15 MY GEO KONİKLER TEST 16 Mustf YĞCI Elipsin rmetresi, Doğrultmnlrı, Dışmerkezliği DED 1. 9 elipsinin oğrultmnlrının enklemleri hngi şıkt verilmiştir? ) =± ) 4 D) =± E) 9 =± C) =± 6 9 =± 6 4. Ok noktlrı ekseni üzerine ve üük eksen uzunluğu 1 irim oln merkezil ir elipsin, oklrının irinen üük eksene çizilen ik kirişin uzunluğu 8 irimir. u elipsin enklemi şğıkileren hngisiir? ) ) C) D) E) Denklemi + 4 = 64 oln elipsin oğrultmn enklemlerinen iri şğıkileren hngisi olilir?. = 4 oğrusun uzklığı, (, ) noktsın uzklığının iki ktın eşit oln noktlrın geometrik erinin enklemi şğıkileren hngisiir? ) 16 = ) D) 8 = C) 4 = E) = 8 4 = ) ) C) ( + 4) ( + 4) D) E) Konumu ilinmeen ir elipsin sl eksen uzunluğunun r, eek eksen uzunluğunun 14 r oluğu ilinmekteir. un göre u elipsin ış merkezliği kçtır? ) 6 76 ) 4 C) 76 6 D) 7 4 E) 7 6. Yn sğ köşesi (8, ) ve 6 üst köşesi (, 6) oln ir merkezil elips ve u noktlrki teğetleri ve eksenlerle oluşturulmuş ir ikörtgen ulunmktır. 8 Dikörtgenin köşegeninin elips içine kln kısmının ou kç r ir? ) 4 ) 4 C) D) E) 6 84

16 MY GEO KONİKLER TEST 161 Mustf YĞCI Elipsin rmetresi, Doğrultmnlrı, Dışmerkezliği CEC 1. O merkezli, ve oklı nki elipste oğrultmnlrn iriir. nin psisi 4, sğ köşenin psisi 6, nin eksenini kestiği noktnın psisi e k ir. un göre k kçtır? ' ) 7 ) 8 C) 9 D) 1 E) 1 O 4 6 k 4. O merkezli nki elipste, ' ve D' oklrın it 6 oğrultmnlr sırsıl ve ' O oğrulrıır. D = irim = irim = 6 irim oluğun göre D kç irimir? D ) 1 ) 11 C) 1 D) 1 E) 1. O merkezli, ve oklı nki elipste oğrultmnlrn iriir. C C ' m(c) = 4 oluğun göre D ornı kçtır? ) 1 ) C) O C 4 o D D) E). O merkezli nki elipste, ve D' oklrın it oğrultmnlr sırsıl ve oğrulrıır. D = 1 irim = 6 irim L = irim ' oluğun göre K = kç irimir? 1 ' 6 ) 4 ) C) 6 D) 7 E) 8 O L D K. O merkezli, ve oklı nki elipste oğrultmnlrn iriir. noktsı elips üzerine olup ' KD ir O ikörtgenir. = 1 irim D = 1 irim oluğun göre kç irimir? 1 1 D K 6. O merkezli nki elipste, ' ve oklrın it 4,8 oğrultmnlr sırsıl ve ' O oğrulrıır. D Uzunluklr şekile veriliği giise D kç irimir? D ) ) C) 4 D) E) 6 ) 9 ) 1,8 C) 11 D) 1 E) 1 8