İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN"

Transkript

1 İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız. R n, P n (R), M nxn uzaylarında bir vektörün uzunluğu ve iki vektör arasındaki açı kavramlarını öğreneceksiniz. İki vektörün ortogonal olmasını, Bir kümenin ortogonal ve ortonormal olmasını, Sonlu boyutlu bir vektör uzayının Gram-Schmidt yöntemi ile daima bir ortonormal tabanının bulunabileceğini öğreneceksiniz. İçindekiler Giriş 7 Vektörlerin Ortogonalliği, Ortonormal Vektör Kümeleri 7 Değerlendirme Soruları 33

2 Çalışma Önerileri Vektör uzayları ünitesini yeniden gözden geçiriniz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

3 İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI 7. Giriş R ve R 3 vektör uzaylarında bir vektörün uzunluğu, iki vektör arasındaki açı kavramlarını ve bu kavramların bu uzaylara kazandırdığı kimi önemli özellikleri Analitik Geometri derslerinden biliyorsunuz. Eğer sadece R ve R 3 uzayındaki vektörleri incelemiş olsaydık orada verilen uzunluk ve açı tanımları yeterli olurdu. Fakat daha önce gördüğümüz P n (R) vektör uzayındaki iki polinom arasındaki açıdan veya M mxn vektör uzayındaki bir matrisin uzunluğundan söz edilebilir mi? Daha genel olarak, herhangi bir vektör uzayına bu kavramlar genelleştirilebilir mi? Bu tür sorulara yanıt verebilmek için bir vektör uzayı içinde iç çarpım kavramını tanımlıyacağız... İç Çarpım Uzayları V bir vektör uzayı olsun. x, y V için < x, y > ile gösterilen ve aşağıdaki koşulları sağlayan <, > : V x V R, (x, y) < x, y > fonksiyonuna V üzerinde bir iç çarpım V ye de iç çarpım uzayı denir. Bu iç çarpım uzayı (V, <, >) ile gösterilir. (i) Her x, y V için < x, y > = < y, x > (ii) Her x, y, z V için < x, y + z> = < x, y > + < x, z > (iii) Her x, y V, c R için < cx, y > = c< x, y > = < x, cy > iv) Her x V için < x, x > ; < x, x > = x =.. Örnek R n de iç çarpım: x, y R için x = (x, x,..., x n ), y = (y, y,..., y n ) olsun. x ve y vektörlerinin iç çarpımı < x, y > = x y + x y x n y n biçiminde tanımlanır. Bu tanımın iç çarpımın tüm koşullarını sağladığı kolayca doğrulanabilir. Aşağıdaki teorem ile n = 3 için kanıt verilmektedir. R n ne bu iç çarpımla öklid uzayı adı verilir..3. Teorem R 3 içindeki x = ( x, x, x 3 ), y = ( y, y, y 3 ) vektörleri için < x, y > = x y + x y + x 3 y 3 bir iç çarpımdır. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

4 8 İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI Kanıt < x, y > nin bir iç çarpım olduğunu göstermek için iç çarpım tanımındaki i-iv koşullarının sağlandığını göstermeliyiz. (i) < x, y > = x y + x y + x 3 y 3 = y x + y x + y 3 x 3 = < y, x > (ii) < x, y + z > = < ( x, x, x 3 ), ( y + z, y + z, y 3 + z 3 ) > = x ( y + z ) + x ( y + z ) + x 3 ( y 3 + z 3 ) = x y + x z + x y + x z + x 3 y 3 + x 3 z 3 = x y + x y + x 3 y 3 + x z + x z + x 3 z 3 = < x, y > + < x, z > iii) < cx, y > = < ( cx, cx, cx 3 ), ( y, y, y 3 ) > = cx y + cx y + cx 3 y 3 = c( x y + x y + x 3 y 3 ) = c < x, y > iv) < x, x > = < ( x, x, x 3 ), ( x, x, x 3 ) > = x + x x 3 Böyle bir toplamın sıfır olması her terimin ayrı ayrı sıfır olmasıyla sağlanacağından x = x = x 3 = dır. < x, x > = x = Böylece R 3 de < x, y > = x y + x y + x 3 y 3 bir iç çarpım olduğu kanıtlanmış olur..4. Örnek R 3 teki x = (, -3, ), y = (, 5, -6) vektörlerinin iç çarpımını hesaplayınız. Çözüm < x, y > = x y + x y + x 3 y 3 =. + (-3).5 + (.(-6) = = -9 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

5 İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI 9.5. Örnek P n (R) de iç çarpım: P n (R), derecesi n veya n den küçük olan polinomların uzayında iç çarpım; p(x), q(x) P n (R) için < p(x), q(x) > = p(x). q(x) dx biçiminde tanımlanır. Bu tanımın iç çarpım koşullarını sağladığını kolayca doğrulayabilirsiniz..6. Örnek P (R) de p(x) = 3x + x + 5, q(x) = x + vektörlerinin iç çarpımlarını hesaplayınız. Çözüm < p(x), q(x) > = < 3x + x + 5, x + > = (3x + x + 5). (x + ) dx = (3x 3 + 5x + 7x + 5) dx = 3 4 x x3 + 7 x + 5x.7. Örnek M nxn uzayında iç çarpım: A, B M nxn, A = (a ij ) nxn, B = (b ij ) nxn olmak üzere n < A, B > = i = n j = a ij b ij = = 3 biçiminde tanımlanır. Bu tanımın iç çarpım koşullarını sağladığının gösterilmesini alıştırma olarak bırakıyoruz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

6 İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI.8. Örnek M x de A = 3 4, B = -3 vektörlerinin iç çarpımlarını hesaplayınız. < A, B > = i = j = a ij b ij = i = a i b i + a i b i buna göre, = (-3) = -7 bulunur. = a b + a b + a b + a b.9. Tanım A = (a ij ) nxn matrisi verilsin. a a a n A = a a a n a n a n a nn A matrisinin köşegeni üzerindeki sayıların toplamı olan a + a a nn sayısına A matrisinin izi denir iz (A) = a + a a nn = biçiminde gösterilir. n i = M nxn vektör uzayındaki A, B M nxn için iç çarpım a ii < A, B > = iz ( AB t n ) = i n a ij b ij j dir. Çünkü AB t çarpımında köşegen üzerindeki elemanların toplamı iz (A B t n ) = i dir. Buradan, n j = t a ij b ij ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

7 İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI iz ( AB t n ) = i n j t a ij b ij n = i n a ij b ij j = < A, B > elde edilir..8 Örnekteki A = hesaplayalım. 3 4, B = -3 matrislerinin iz iç çarpımını < A, B > = iz ( AB t ) AB t = = iz ( AB t ) = - 9 = -7 = < A, B > bulunur... Tanım V bir iç çarpım uzayı, x V olsun. x vektörünün uzunluğu x = < x, x > biçiminde tanımlanan bir sayıdır... Örnek R 3 deki x = (, 3, 5) vektörünün uzunluğunu hesaplayınız. x = < (, 3, 5), (, 3, 5) > = = 35.. Örnek P (R) deki p(x) = x + vektörünün uzunluğunu hesaplayınız. x = < (x + ), (x + ) > = (x + ) dx = (x 4 + x + ) dx = 5 x5 + 3 x3 + x) = = 8 5 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

8 İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI.3. Teorem Cauchy - Schwarz Eşitsizliği V bir iç çarpım uzayı, x, y V olsun. dir. < x, y > x y Burada sol taraf bir gerçel sayının salt değerini, sağ taraf ise vektörlerin uzunlukları çarpımını verir. Kanıt x = olması durumunda < x, y > = x y = olduğundan eşitsizlik sağlanır. x olsun. Keyfi bir r R, r için < rx + y, rx + y > değerini alalım. < rx + y, rx + y > = < rx, rx + y > + < y, rx + y > tanımdan = < rx, rx > + < rx, y > + < y, rx > + < y, y > = r < x, x > + r < x, y > + r < x, y > + < y, y > = r < x, x > + r < x, y > + < y, y > olur. Burada a = < x, x >, b = < x, y >, c = < y, y > ile gösterirsek p (r) = ar + br + c r ye göre ikinci dereceden polinom elde edilir. Bu polinomun bir parabol denklemi olduğuna dikkat ediniz. p (r) = ar + br + c polinomunun r nin her değeri için ar + br + c olması için aşağıdaki iki koşuldan birinin sağlanması gerekir. (i) ar + br + c = ın gerçel köklerinin olmaması yani olması, b - 4ac < ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

9 İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI 3 y r (ii) ar + br + c = ın iki katlı gerçel kökünün olmasıdır. y r Uyarı: Eğer ar + br + c = ın r ve r gibi farklı iki kökü olsaydı, a > olduğu için r ve r kökleri arasında p(r) < olurdu. O halde b - 4ac olmalıdır. Buradan b - 4ac 4 < x, y > 4 < x, x > < y, y > < x, y > < x, x > < y, y > ve böylece < x, y > x y eşitsizliği elde edilir..4. Örnek P n (R) de p(x) ve q(x) vektörleri için Cauch-Schwarz eşitsizliği < p(x), q(x) > = p(x), q(x) dx p (x) dx q (x) dx = p(x) q(x) dir. Bu eşitsizliği AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

10 4 İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI p(x) = x + ve q(x) = x - x - vektörleri için doğrulayalım: (x + ) (x - x - ) dx x + dx x - x - dx işlemler yapılırsa, x 6-4x 4 - x 3 + 4x + 4x + dx x x + dx eşitsizliğin doğruluğu sağlanır. x 4 - x 3 - x + x + dx.5. Teorem Üçgen Eşitsizliği V bir iç çarpım uzayı, x, y V olsun. x + y x + y dir. Kanıt x + y = < x + y, x + y > = < x, x + y > + < y, x + y > = < x, x > + < x, y > + < y, x > + < y, y > = < x, x > + < x, y > + < y, y > x + x y + y = ( x + y ) x + y ( x + y ) olur. Her iki tarafın pozitif karekökü alınırsa x + y x + y bulunur. Bu eşitsizlik adını bir üçgenin bir kenarının uzunluğunun diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük oluşundan almaktadır. Çünkü düzlemde kenarları x, y, x + y vektörleri olan bir üçgende x + y nin uzunluğu x ve y nin uzunlukları toplamından küçüktür. x + y y x ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

11 İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI 5.6. Tanım V bir iç çarpım uzayı olsun. x, y V, x, y olmak üzere bu iki vektör arasındaki açı cos θ = < x, y > x y eşitliği ile tanımlanır. θ π Cauchy - Schwarz eşitsizliğinden < x, y > x y < x, y > x y buradan böylece - < x, y > x y - cos θ olur. Buna göre herhangi bir çarpım uzayında sıfır olmayan iki vektör arasında yukarıdaki biçimde tanımlanan θ açısı anlamlıdır. () eşitliğinden < x, y > = x y cos θ yazabiliriz. Bu eşitlik R ve R 3 deki x ve y vektörlerinin iç çarpımıdır. Böylece cos θ = < x, y > x y şeklinde ifade ettiğimiz açı kavramını herhangi bir iç çarpım uzayına genişletmiş olduk..7. Örnek R 3 deki x = (,, ), y = (,, ) vektörleri arasındaki açıyı bulunuz. Çözüm cos θ = < (,, ), (,, ) > = cos θ = AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

12 6 İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI buradan θ = π 4 = 45 bulunur..8. Örnek R (R) deki p(x) = + x, q(x) = x vektörleri arasındaki açıyı bulunuz. Çözüm < p(x), q(x) > cos θ = p(x) q(x) cos θ = < + x, x > < + x, + x > < x, x > cos θ = x + x dx + x dx x dx = = cos θ = 5 7 olur..9. Örnek M x vektör uzayındaki A = arasındaki açıyı bulunuz. -, B = - 3 vektörleri Çözüm AB t = = i z AB t = = - 4 i z AA t = i z i z BB t = i z olarak bulunur cos θ = = = 6 = 4 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

13 İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI 7. Vektörlerin Ortogonalliği, Ortonormal Vektör Kümeleri (Gram-Schmidt ortonormalleştirme yöntemi).. Tanım V iç çarpım ve x, y V olsun. Eğer < x, y > = ise x ve y ye ortogonal (dik) vektörler denir. İki vektör arasındaki açı, cos θ = < x, y > x y ifadesinde cos θ = ise x, y ortogonal vektörler, cos θ = ± yani < x, y > = ± x y ise x ve y vektörleri paralel vektörlerdir... Örnek R de x = (, 3), y = (- 3, ) vektörleri için < x, y > = < (, 3), (- 3, ) > =. (- 3) + 3. = olduğundan vektörler ortogonaldir..3. Tanım V bir iç çarpım uzayı. E V olsun. E içindeki farklı her vektör çifti ortogonal ise E ye ortogonal vektör kümesi denir. Ayrıca ortogonal E kümesindeki her vektörün uzunluğu ise E ye ortonormal bir küme denir..4. Örnek R 3 teki x = (,, 3), x = (,, ), x 3 = (- 3,, ) vektörlerinin ortogonal olduğunu gösteriniz. Ayrıca ortonormal kümeyi bulunuz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

14 8 İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI Çözüm < x, x > = < (,, 3), (,, ) > = < x, x 3 > = < (,, 3), (- 3,, ) > = < x, x 3 > = < (,, ), (- 3,, ) > = O halde x, x, x 3 vektörleri ortogonal vektörlerdir. { (x = (,, 3), x = (,, ), x 3 = (- 3,, ) } kümesi de ortogonal kümedir. x, x, x 3 vektörlerinin birim vektörlerini bulalım. x = < x, x > = <,, 3,,, 3 > = = x =,, 3 =,, 3 x ni birim vektörüdür. Benzer şekilde, x =,, =,,, x 3 ' = - 3,, = - 3,, birim vektörlerdir.,, 3,,,, - 3,, kümesi ortonormal bir kümedir.5. Teorem V n boyutlu iç çarpım uzayı olsun. V de sıfırdan farklı ortogonal vektörlerin E = { x, x,..., x n } kümesi lineer bağımsızdır. Kanıt E = { x, x,..., x n } V içinde ortogonal bir küme olsun. < x i, x j > = i j i, j =,,..., n dır. Şimdi c x + c x c n x n = ise, i n için < x i, > olduğundan ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

15 İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI 9 = < x i, c x + c x c n x n > = c < x i, x > + c < x i, x >... + c i < x i, x i > + c n < x i, x n >, = c. + c c i < x i, x i > c n. = c i < x i, x i > elde edilir. x i olduğu için c i =, i =,,..., n. Buna göre E kümesi lineer bağımsızdır. Sonuç Sonlu boyutlu V iç çarpım uzayında ortonormal bir küme lineer bağımsızdır..6. Tanım V, n boyutlu bir vektör uzayı olsun. V de sıfırdan farklı x, x,..., x n vektörleri ortogonal ise bu vektörlerin kümesi V için bir ortogonal tabandır. Eğer x, x,..., x n vektörleri ortonormal ise bu vektörlerin kümesi V için bir ortonormal tabandır..7. Örnek E = { (,, 5), (-,, ), (,, ) } vektör kümesi R 3 ün ortogonal bir tabanı mıdır? Çözüm Bir vektör uzayı için ortogonal taban olması demek tabandaki vektörlerin ortogonal olması demektir. E = { (,, 5), (-,, ), (,, ) } kümesi R 3 için bir tabandır (R 3 te lineer bağımsız üç vektör). Bu tabanın ortogonal olup olmadığını araştıralım: < (,, 5), (-,, ) > =. (-) = olduğu için E kümesi R 3 ün bir ortogonal tabanı değildir..8. Örnek E = { x, + x } kümesi P (R) nin ortogonal bir tabanı mıdır? AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

16 3 İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI E kümesi P (R) için bir tabandır. Ortogonal taban olması için E nin ortogonal bir küme olması gerekir yani < x, + x > = olmalıdır. < x, + x > = x + x dx = x + x dx = x + 3 x3 = 5 6 olduğundan E kümesi P (R) nin ortogonal bir tabanı değildir..9. Teorem V, n boyutlu bir iç çarpım uzayı olsun. V nin bir E = { x, x,..., x n } tabanı ortonormal bir tabana dönüştürülebilir. Kanıt Teoremin kanıtını vermeyeceğiz. Uygulamasını yapacağız. Sonlu boyutlu V vektör uzayının, herhangi bir tabanından yararlanarak bir ortonormal tabanını bulmak için izlenen yönteme Gram - Schmidt ortonormalleştirme yöntemi denir. E = { x, x,..., x n } kümesi V nin herhangi bir tabanı ise E kümesini, Gram - Schmidt ortonormalleştirme yöntemini kullanarak V için ortonormal bir taban bulalım: E = { x, x,..., x n } V nin bir tabanı olmak üzere i) y = x alalım. ii) y n = x n - < x n, y > < y, y > y - < x n, y > < y, y > y < x n, y n - > < y n -, y n - > y n - formülünden sırasıyla y, y 3,..., y n vektörleri bulunur. { y, y,..., y n } kümesi V nin ortogonal bir tabanıdır. iii) y, y,..., y n vektörlerinin birim vektörleri sırasıyla z, z,..., z n ise S = { z, z,..., z n } kümesi V nin bir ortonormal tabanıdır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

17 İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI 3.. Örnek Gram-Schmidt ortonormalleştirme yöntemiyle R 3 için bir ortonormal taban bulunuz. Çözüm R 3 ün herhangi bir tabanını alalım: E = { (,, ), (,, ), (,, 3) } kümesi R 3 için bir tabandır (Kontrol ediniz). y = x = (,, ) alalım. y = x - < x, y > < y, y > y < (,, ), (,, ) > = (,, ) - < (,, ), (,, ) > (,, ) y = (,, ) - 3 (,, ) = (, -, ) 3 y 3 = x 3 - < x 3, y > < y, y > y - < x 3, y > < y, y > y < (,, 3), (,, ) > = (,, 3) - < (,, ), (,, ) > = (,, 3) (,, ) - (, -, ) (,, ) - < (,, 3), (, -, ) > < (, -, ), (, -, ) > (, -, ) = (,, 3) - (,, ) -, -, = -, - +, = -,, Böylece, (,, ), (, -, ), -,, kümesi R 3 için ortogonal bir tabandır. Bu tabanın bir ortonormal taban olması için her vektörün birim vektörü bulunur. 3 (,, ), (, -, ), 6 -,, vektörleri sırasıyla (,, ), (, -, ), -,, vektörlerinin birim vektörleridir. Dolayısıyla 3, 3, 3,, -,, - 6, 6, 6 kümesi R 3 için bir ortonormal tabandır. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

18 3 İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI Siz de Gram-Schmidt ortonormalleştirme yöntemi ile P (R) için bir ortonormal taban bulunuz... Örnek P (R) nin {, + x} tabanını kullanarak P (R) için bir ortonormal taban bulunuz. Çözüm {, + x} kümesi P (R) nin bir tabanı olduğuna göre y = x = alalım. y = x - < x, y > < y, y > y = + x - < + x, > <, > ( + x) dx = + x - dx = + x - 5 = + x - 5 = - + x, - + x kümesi ortogonal bir tabandır. - + x vektörünün birim vektörünü bulalım. - + x = < - + x, - + x > = - + x dx = = - + x = x, x kümesi ortonormal bir tabandır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

19 İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI 33 Değerlendirme Soruları. R 4 deki (, 4, 5, -3) vektörünün uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir? A. 7 B. 6 C. 5 D. 7 E.. P (R) de tanımlı iç çarpıma göre p(x) = x + 3x vektörünün uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir? A. 47 B. 3 C. D. E M x de tanımlı iç çarpımına göre vektörünün uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir? 3 4 A. B. C. 3 D. 4 E R 3 deki (, 3, 5) (-, 4, 7) vektörleri arasındaki açının kosinüsü aşağıdakilerden hangisidir? A. 4 B. C D. 46 E P (R) de tanımlı iç çarpıma göre p(x) =, q(x) = + x vektörleri arasındaki açının kosünüsü aşağıdakilerden hangisidir? A. 5 B C. D. 5 E AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

20 34 İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI 6. Aşağıdaki kümelerden hangisi ortogonaldir? A. { (,, ), (, -, ), (,, -) } B. { (,, ), (3, 4, 5), (,, )} C. { (,, -), (, -, ), (,, ) } D. { (,, 3), (,, 3), (,, )} E. { (,, ), (,,), (,, ) (,, ) } 7. P (R) de aşağıdaki kümelerden hangisi ortogonaldir? A. {, 3, + x + x } B. {, x, x, x + n } C. {, D. - x, 3 - x } {, x -, x - x + 6 E. {, x } 8. R 3 nin V = { (x, y, z) x + y + z =, x, y, z R } alt uzayının ortogonal tabanı aşağıdakilerden hangisidir? A. B. { (,, -), (, -, ) }, -,, -,, C. { (,, ), (,, ) } D. { (,, ), (,, ) } E., 3, 4, (,, ) 9. R için aşağıdakilerden hangisi bir ortonormal tabandır? A. { (, ), (, ) } B. { (, ), (, ) } C. { (, ), (, ) } D. { (, ), (, 3) } E. { (-4, 5), (, ), (-, ) } Değerlendirme Sorularının Yanıtları. C. A 3. C 4. E 5. A 6. A 7. D 8. B 9. B ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer 11.Gram-Schmidt metodu 11.1. Ortonormal baz 11.1.Teorem: { }, V Öklid uzayı için bir ortonormal baz olsun. Bu durumda olmak üzere. 1.Ö.: { }, de bir ortonormal baz olsun. Burada. vektörünü S deki vektörlerin

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 3 Araliık 7 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: : Bitiş Saati: 3:4 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 8 Ocak 28 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 4: Bitiş Saati: 5:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1.

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1. Ders: MAT6 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri. A = matrisi bulunuz.. A = a b c d e f ve B = ÇALIŞMA SORULARI- olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X matrisi satır basamak hale getirildiğinde en fazla

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

Matrisler ve matris işlemleri

Matrisler ve matris işlemleri 2.Konu Matrisler ve matris işlemleri Kaynaklar: 1.Uygulamalı lineer cebir. 7.baskıdan çeviri.bernhard Kollman, David R.Hill/çev.Ed. Ömer Akın, Palma Yayıncılık, 2002 2.Lineer Cebir. Feyzi Başar.Surat Universite

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun

Detaylı

3. BÖLÜM MATRİSLER 1

3. BÖLÜM MATRİSLER 1 3. BÖLÜM MATRİSLER 1 2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v Matris A a a a a a a a a a 11 12

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 3 Araliık 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 2: Bitiş Saati: 3:4 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı 6 Kasım 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 3: Bitiş Saati: 4: Toplam Süre: 6 Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN LİNEER CEBİR Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN 1.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER LİNEER EŞİTLİKLER 1.1. LİNEER EŞİTLİKLERİN TANIMI x 1, x 2,...,

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14. 1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Detaylı

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2) ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi 1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi Euclidean R uzayının tabanının B = {(a, b) : a, b R} olduğunu biliyoruz. Demek ki bu uzayda belirleyiçi unsur açık aralıklar. Her açık aralık (a, b) için, olmak üzere, d

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometrik Fonksiyonlar Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik

Detaylı

POLİNOMLARIN TANIMI. ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: KONU: POLİNOMLAR NUMARASI: SINIFI:

POLİNOMLARIN TANIMI.  ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: KONU: POLİNOMLAR NUMARASI: SINIFI: ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: Dersin Adı POLİNOMLARIN TANIMI 1. Aşağıdaki fonksiyonlardan polinom belirtir? I. Dersin Konusu 1 5. P x x n 1 7 x 4 n 5 ifadesi bir polinom belirttiğine göre, bu polinomun derecesi

Detaylı

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ BÖLÜM - KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR - KARMAŞIK SAYILAR VE ÖELLİKLERİ ax + bx +c ikinci derece denkleminin < iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz. Örneğin x + denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

Polinomlar. Rüstem YILMAZ

Polinomlar. Rüstem YILMAZ Polinomlar Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 matematikklinigi@gmail.com 26 Aralık 2016 0.1 Tanımı a, b, c, d reel sayılar ve n N olmak üzere, P (x) = ax n + bx n 1 + + cx + d ifadesine reel katsayılı ve bir

Detaylı

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 ) 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x

Detaylı

Ayrık Fourier Dönüşümü

Ayrık Fourier Dönüşümü Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 1/ 172 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası)

Detaylı

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 589 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Lineer Cebir Yazar: Yrd.Doç.Dr. Nezahat ÇETİN Öğr.Grv.Dr. Nevin ORHUN Editör: Prof.Dr. Orhan

Detaylı

Ç NDEK LER II. C LT KONULAR Sayfa Öz De er Öz Vektör.. 2. Lineer Cebir ve Sistem Analizi...

Ç NDEK LER II. C LT KONULAR Sayfa Öz De er Öz Vektör.. 2. Lineer Cebir ve Sistem Analizi... ÇNDEKLER II. CLT KONULAR 1. Öz Deer Öz Vektör.. 1 Kare Matrisin Öz Deeri ve Öz Vektörleri... 21 Matrisin Karakteristik Denklemi : Cayley Hamilton Teoremi.. 26 Öz Deer - Öz Vektör ve Lineer Transformasyon

Detaylı

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir. Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1.

7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1. Bölüm 7 Karmaşık Sayılar Karmaşık sayılar gerçel sayıların genişlemesiyle elde edilen daha büyük bir kümedier. Genişleme şu gereksemeden doğmuştur: x 2 = +1 denklemimin çözümü +1, 1 sayılarıdır ve R içindedir.

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler

Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; temel özdeşlikleri ve binom açılımını, birinci ve ikinci dereceden denklem çözümlerini

Detaylı

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ 1

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

1. BÖLÜM VEKTÖRLER 1

1. BÖLÜM VEKTÖRLER 1 1. BÖLÜM VEKTÖRLER 1 Tanım:Matematik, istatistik, mekanik, gibi çeşitli bilim dallarında znlk, alan, hacim, yoğnlk, kütle, elektriksel yük, gibi büyüklükler, cebirsel krallara göre ifade edilirler. B tür

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı 9 Kasım 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 3: Bitiş Saati: 4:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

Önsöz. Mustafa Özdemir Antalya 2016

Önsöz. Mustafa Özdemir Antalya 2016 Önsöz Bu kitap üniversitelerimizin Mühendislik Fakültelerinde, Doğrusal Cebir veya Lineer Cebir adıyla okutulan lisans dersine yardımcı bir kaynak olması amacıyla hazırlanmıştır. Konular, teorik anlatımdan

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

LİNEER CEBİR ve MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI (MEH111) Dersi Final Sınavı 1.Ö

LİNEER CEBİR ve MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI (MEH111) Dersi Final Sınavı 1.Ö LİNEER CEBİR ve MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI (MEH) Dersi Final Sınavı.Ö. 02.0.207 Ad Soyad : (25p) 2(25p) 3(25p) 4(25p) Toplam Numara : İmza : Kitap ve notlar kapalıdır. Yalnızca kalem, silgi, sınav kağıdı

Detaylı

PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma

PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir oktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma PROJEİ AMACI: Bu projede herhangi bir koniğin üzerindeki veya dışındaki bir noktadan

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ VE ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER. Matrisler - Determinant Lineer Denklem Sistemleri - Vektörler Uzayda Doğru Denklemi - Uzayda Düzlem Denklemi

ANALİTİK GEOMETRİ VE ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER. Matrisler - Determinant Lineer Denklem Sistemleri - Vektörler Uzayda Doğru Denklemi - Uzayda Düzlem Denklemi ANALİTİK GEOMETRİ VE ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER Matrisler - Determinant Lineer Denklem Sistemleri - Vektörler Uzayda Doğru Denklemi - Uzayda Düzlem Denklemi Kutupsal Koordinat Sistemi - Konikler Koordinat Dönüşümleri

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70

Detaylı

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır? . f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )

Detaylı

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Detaylı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1 Ders 11: Örnekler 11.1 Kulplarla inşalar Bu bölümde kulpları birbirine yapıştırıp tanıdık manifoldlar elde edeceğiz. Artık bu son ders. Özellikle dersin ikinci bölümünde son meyveleri toplamak adına koşarak

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. Üç basamaklı doğal saılardan kaç tanesi, 8 ve ile tam bölünür? 8 9. ile in geometrik ortası z dir. ( z). ( z ). z aşağıdakilerden hangisidir?. 9 ifadesinin cinsinden değeri

Detaylı

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

VEKTÖRLER. DOĞRU PARÇASI: Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir.

VEKTÖRLER. DOĞRU PARÇASI: Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir. VEKTÖRLER DOĞRU PRÇSI: Doğrunun ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [B] DOĞRU PRÇSI denir. Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.

Detaylı