( ) ( ) VEKTÖRLER. a.b = ab cosθ a b = ab sinθ. a.b = a b + a b + a b i i = 1

Transkript

1 VEKTÖLE.b b cos b b si i j zk.b b b b i i z z b α β Uzı küese kbuk şekide tımsk, koodit,, φ; siidiik kbuk şekide tımsk d koodit, φ, z ou. Po Koodit Sistemi b b cosα siα bcosα bsiα Ske çpımı değişme özeiği vdı (komüttivdi)..b b..b b b b cosα cosβ si α siβ b cos( α β) ( ) k k k ( ) k k k ()( ) 6 ( ) f(k) ( k ) k k k f(k) f(k) ; f(k)... (k ) k ( k k k ) ( k ) k k k k ( ) k ( ) S ( ) S k k k

2 ; ( ) ( ) (k ) k k k k k k k ( ) ( )( ) S ; 6S; 6 k k Bi çubuk ım; N çok büük omk üzee, uzuuğudki çubuğu N sıd pç böeim. m K.M. m m... m m m... m N N N m m ; N N m (... N) N ( ) m m... mn N N(N ) m N K.M. m m N N Çubuğu eemsizik mometii de ı ou izeeek bubiiiz. m N(N )(N ) m m( ) m( )... m(n ) m( ) (... N ) N N 6 m NN( N)N( N) m N N 6 Şu kdki çıkımımızd ske çpım kudık. Vektöe çpımı kuk ee ede edebiiiz ve sı ugumd vektöe çpımı kubiiiz? i j zk b b i b j b k z b b (i i) b (i j) b z(i k) b ( j i) b ( j j) b z(j k) zb (k i) zb (k j) zb z(k k) (bz zb )i (zb b z )j (b b )k i i j j k k i j (j i) k j k (k j) i k i (i k) j Vektöe çpımı değişme özeiği oktu. b b

3 Mtis Detemit Öek: Bi dekem sistemi ee k detemitıı bucğımız mtisee biimeeei buım. 5 9; 9; X Mtis Detemit Am Yoı. Yo:. ve. stıı mtisi tı zız. ( ). Yo:. metebede te. metebe mtis zbiiiz. (Aı şekide 4X4 bi mtisi de 4 te X mtis şekide zmk mümküdü.) ( ) ( ) ( ) Bu ou kuk b çpımıı soucuu eide hespbiiiz. i j k z z z ( ) i ( ) j ( ) k b b z b b z b b b b b z ( b b )i ( b b )j ( b b )k z z z z Göüdüğü gibi ı souc uştık.

4 4 İteg k bi küei hcmii bubiiiz. Buu pmk içi küei sosuz küçükükte kıığı o diskee bömeiiz. Bu diskede hehgi biii ıı itegii dığımızd küei hcmie uşcğız. π 4 π( )d π π π ( ) ( ) π İtegi sıııı değiştieek küei sdece bi kısmıı hcmii bummız d mümkü. Şekideki tı kısmı hcmi şğıdki itegi hespk buubii. ( h) π( )d Şimdi ise iteg k eipsi ıı bucğız. Eips dekemi; b Eipsi içide kıığı d o bi pç ım. Şekide gösteie bögee göe iteg ıp 4 ie çptığımızd tüm eipsi ı uşmış ouuz. b / 4b d İteg m metodu: siz d coszdz si α cos α cosα si α Ypı döüşüm soucud itegi sııı d değişti. Ι 4b π/ cos zdz cos z cos z π/ π/ z si z Ι 4b πb 4

5 5 Tüev tımı A B B f() B f( ) f() f '() t v t Küçük çı kşımıı kuk si foksiouu tüevii buım. si cos si( ) si cos cos si si cos Ske Çpım Ugumsı cos si ve zm bğı foksio osu. ɺ ɺ cos siɺ ɺ ɺ si cosɺ d d d d d d d i d şekide zbiiiz. ok ıçptı ve oktd okt değişi. () ɺ ɺ cos si ɺ ɺ cos siɺ () ɺ ɺ si cos ɺ ɺ cos siɺ v ɺ ɺ ɺ ɺ Bu gee fomüde k ıçpı sbit oduğu koşud çıs hızı ɺ oduğuu göebiiiz. Buduğumuz hız bieşeeii tüevii k d ivmei bubiiiz. ɺ ɺ ɺ ɺɺ vɺ ɺɺ ɺɺ cos ɺ si ɺ si cos si ɺ ɺ ɺ ɺɺ vɺ ɺɺ ɺɺ si ɺ cos ɺ cos si cos ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ cos ɺ si cos si ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ si ɺ cos si cos

6 6 ( b c d) ( b c d)( b c d) b c d b b bc bd c bc c cd d bd cd d b c d b c d bc bd cd ɺɺ cos 4ɺ si ɺ cos ɺ si ɺɺ 4 ɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺɺ ɺ ɺɺ 4 ɺɺɺ si cos ɺɺ cos ɺɺ si cos 4ɺ si cos 4ɺ si si cos ɺɺ si 4ɺ cos ɺ si ɺ cos ɺɺ 4 4ɺɺ ɺ si cos ɺ ɺɺ si ɺ ɺɺ si cos ɺɺ 4ɺ si cos ɺ 4ɺ cos ɺɺɺ si cos ɺ ɺɺ ɺɺ 4ɺ ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ ɺ 4ɺ ɺɺɺ 4 ɺɺ 4ɺ ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ ɺ 4 ɺ ɺɺɺ ( ɺɺ ɺ ) (ɺɺ ɺɺ ) ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺ 4 e e e e cos si si cos v ve v e v e (ɺ cos si ɺ )cos (ɺ si cos ɺ ) si ɺ v ɺ e e e ɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺ ɺɺ ( ɺɺ cos ɺ si cos si )( si ) ( ɺɺ si ɺ cos si cos )cos ɺɺ si cos ɺ si ɺ si cos ɺ si ɺɺ ɺɺ si cos ɺ cos ɺ si cos ɺ cos ɺɺ ɺɺ ɺɺ

7 7 - - O K Eektik dipo bibii-de uzkıkt buu ve - okts ükede ibetti. Eektik dipoü mekezii bşgıç oktsı O o bi koodit sistemide buuduğuu fz edeim. Bu dipode çok uzk bi K oktsıd (>>) med gee eektik ı koc buubii. ( uzkığı O oktsı ie K oktsı sıdki uzkıktı. cos ; cos U 4 πε 4 πε 4 πε 4 cos cos πε cos cos ise ( ) ; ( ) cos p cos p cos p p U cos cos 4πε 4πε 4πε 4πε 4πε 4 πε ( ) / ; Dipo mometi: p U U U E ; E i j d E / / ( ) ( ) / ( ) p p p ( ) 4πε / ( ) 4πε ( ) 4πε ( ) p p si cos p si cos 4πε 4πε 4πε 5/ 5 ( ) p p p ( ) E ( ) ( ) / 5/ 4πε 5/ 4πε 4 πε ( ) p si cos p si cos 4πε 4πε 5 p p E E E si 4 cos 4 si cos 9 si cos si 4 cos 5 si cos πε 4πε p p p 4πε 4πε 4πε 4 (si cos ) cos si cos cos (cos si ) cos p E 4πε pcos U 4πε E U p cos U p si ; E 4πε 4πε

8 8 Mtisei Çpımı b b b c c c b b b c c c b b b c c c c b b b İk mtisi stı eemıı ikici mtisi sütu eemı sı çpıp topdığımızd çpım mtisi. stı. sütu eemıı ede etmiş ouuz. sicosφ sisiφ z cos d d si cosφ cos cosφd si siφdφ d d si siφ cos siφd si cosφdφ dz d cos sid d si cosφ cos cosφ si siφ d d si siφ cos siφ si cosφ d dz cos si dφ dddz ve dddφ fkı koodit sistemeideki biim hcimei vemektedi. Aıdki iişkii bubimek içi ise ede ettiğimiz X mtisi detemitıı bummız geekmektedi. si cosφ cos cosφ si siφ si siφ cos siφ si cosφ cos si si cosφ cos cosφ si siφ si siφ cos siφ si cosφ Detemit m metodud gösteidiği gibi öceike ik iki stı mtisi tı zıı. si si φ sicos cos φ ( sicos si φ si cos φ) si (si φ cos φ ) sicos (cos φ si φ) si sicos si (si cos ) si

9 9 Aı ou izeeek kteze kooditıd zı biim ie küese kooditdki biim sıdki iişkii bubiiiz. cos si d d cos sid d d si cosd d cos si d d si cos d cos si Kteze koodit sistemi ie küese koodit sıdki bğıtıı bi iteg ugumsı ie öekediebiiiz. Ι e d? ( ) Ι e d e d e dd dd dd Yptığımız döüşüme soucud itegi sııı d değişti. π e dd π e d d d z z z π e dz e (e e ) ( ) π π π π Soucu kekökü o π dığımız itegi soucuu vei.

10 Öek 4. m kütei bi gezege M kütei bi çekim mekezi etfıd ıçpı öüge üzeide heket etmektedi. M M g γ γ Bu öüge üzeide çekim ı g mesfesideki öüge içi g öüge üzeide gezegee etki ede kuvvet mv γ Mm he hgi bşk öüge içi d dekem m mv II -mg() çıs mometum kouumu kuu mv mv ve küçük spm içi zıbii. Bud ivme içi v v v v.. v v - v ok buuu. Öek: Eğik tış heketi p bi memii ve de eğik tış heketi sısıd öügede biz spmış bi memii heket dekemeii iceeeim. gt vtcos ; vt si ; t v cos g g v si ; t ( t ) v cos v cos v Şimdi memii öügede biz spmış oduğu duumu iceeeim: g t( ) ( t ( )) v Küçük çı kşımı; si( ) sicos si cos si cos cos (t ) t( ) cos( ) cos cos si si cos si cos ( t ) t (t )( t ) t ( t ) ( ) t ( t ); ( ) t t ( ) (t ( t )) t t ( t ) ( ( t )) t t ( t ) g g v v t ( t ) ( t ) ( t ( t ) ) g v ( t ) ( t ( t ) ) v F gt

11 İteg kuk geometik şekiei eemsizik mometeii bubiiiz. Çubuk içi J Küe içi J π π m m m d ; dm d M ( si ) sidddφ M 4 5 π T m T T O m m T T T m T T Sütümesiz t düzem üzeide bi eşke üçgei köşeeide buu cisimei küteei m, m ve m ok veiio. Bu cisime uzuuğudki ipee bibieie bğı oup sistemi küte mekezi etfıd çıs hızı ie dömektedie. İpedeki geime kuvveteii buuuz. Koodit sistemii şeki mekezide ok ım. mii mi m m m Mekezci ivme ie vektöeii öei zıt omsı edeie eksi işeti komuştu. e e T T T e T e T T m Bu dekemei diğe köşee içi de ı şekide zmk sistem ie igii ei bi bigi vemez. m m m m m m m T m m T ( ) m m m T m T T T T m m m m T T m m

12 Öek: d siz? d cos zdz cos zdz cos zdz Ι z si z cosz Ι csi Öek: d tz? dz d cos z dz dz cos zdz dsi z dt Ι cos z cos z si z cos z si z cos z si z t cos z cosz t t t t t si z dt dt dt [( t) ( t)] ( t)( t) ( t)( t) ( t)( t) t si z ( ) ( ) Soucu doğu oup omdığıı koto etmek içi tüevi ıbii.

13 Öek: Yt tışt öüge bouc otm hızı buım. d d d ; vt; t d v gt g g H p ; p ; t v g v d p d d 4p d p z pd dz d dz z p He iki tfı itegii ım. Buu içi bzı döüşüme pmmız geeki. z t dz d cos d si d si cos d d d t cos cos cos cos cos cos z t döüşümüü itegi çözmede dımcı omdığı göüüo. Bu edee kısmi iteg metodu bşvucğız. UdV UV VdU z z p d dz z z z z dz z z dz z z z z z dz dz dz dz dz z dz z z z z z dz z z z z dz ( ) ( ) dz z dz dz z z z z z z z z d p 4p p 4p 4p t H g Buduğumuz uzuuğu zm böeek otm hızı bumuş ouuz.

14 4 Öek: Ykısk mecekte cisim ie göütü sıdki miimum uzkık edi? f f ; ; b b f b f f f f b f d f( f) f f d ( f) ( f) ( f) f ; f ± f; f Kökede biii f omsıı fizikse bi mı oktu ve o koşud sıfı çıkmktdı. Böece, cisim ie geçek göütü sıdki miimum uzkığı 4f oduğu soucu vıdı. g m G F Öek: Yıçpı o dieektik içi boş bi küei içide ükei o iki okts cisim buumktdı. Yükede biisi küei e t oktsıd sbiteştiimişti. Kütesi m o diğe ük ise küei içide sütümesiz ok heket edebimektedi. Yükü dege duumuu bumk içi teğetse ve om kooditı kubiiiz. Teğet eksee göe kuvvete eşit ve zıt öü omıdı. mgsi Fcos ; F 4πε () ; si cos mgsi cos 4πε si Bu dekemi iki te çözümü vdı,i iki te dege duumu mevcuttu. cos ; 8 ; si ; si πε mg

15 C C 5 C UU si t İde bi kodstöe tetif potsie fk ugudığıd depo edie ük k kım CUCU sit Ι d dtcu costcu si( π -t)ι si( π -t); Ι U C ou. Bu duumd k kım ie ugu tetif geiim sıd π kd fz fkı ouşu. Bu duumd X C C dieç boutud oup kpsits dieci ok biii. L UU si t Ι - İde bi seeoide tetif potsie fk ugudığı ikici Kichoff ssıd d -L dt Ι U sit k kım U cos t L U L si( π t)ι si( π t); Ι U L ou. Akım ve ugu tetif geiim sıd - π kd fz fkı ouşu. Bu duumd X L L dieç boutud oup idükts dieci ok biii. C UU si t Ι C Ι L Ι ϕ Ι ezists ve kodstö pe ok bğdıkıd k kım bibiie dik odukı içi devede k kım Ι C Ι Ι U ou. Bu duumd U Z C devei eşdeğe dieci ou. Ak kım ie ugu tetif geiim sıdki fz fkı U Z Ι cosϕ Ι U Z C ok buuu.

16 6 L UU si t Ι C Ι L L L Z ϕ Ι Ι ezists ve idükts pe ok bğdıkıd k kım bibiie dik odukı içi devede k kım Ι L Ι Ι U ou. Bu duumd L U L L devei eşdeğe dieci ou. Ak kım ie ugu tetif geiim sıdki fz fkı U Z L Ι cosϕ Ι U L Z ok buuu. Düz bi tede k kım metik ı buım. Tede h uzkt bi okt ee ım. Bu oktd z uzkt buu d uzuuktki kım geçie bi te pçsı seçeim. çısı eie β9 - d Ι h β dβ z β β db çısı ie çışmk dh vtjı ou. db z µ Ιd si h cosβ 4πz ; dszdβ; d ds cosβ Bud db µ Ι cosβdβ 4πh ok buuu. İtege edesek π µ Ι B cos β d β µ Ι(siβ si β ) 4πh 4πh π ok buuu. π π µ Ι

17 7 TAYLO SEİLEİ f() c c ( ) c ( ) c ( )... f( ) c 4 f '() c c ( ) c ( ) 4c ( )... f( ) c f ''() c.c ( ) 4.c ( )... 4 c f ''()! c f '''()! () c f ()! Öek: f() si() Foksiou tüeveii dki değeeii iceiouz öceike. si (si )' cos (si)'' si (si)''' cos ıv (si ) si v (si ) cos vı (si ) si vıı (si ) cos vııı (si ) si f ''( ) f() c f '( )( ) ( )...! si si (si)' (si )''...! 5 7 f()...! 5! 7! Aı şekide cos içi de bi sei bubiiiz: 4 6 cos...! 4! 6! Buduğumuz soucu siüs foksiouu tüevi oduğuu göüouz. (si )' cos (cos )' si

18 8 Öek: i e cos isi oduğuu gösteeim. i i (e )' ie i i i i i i ıv 4 i i v 5 i i vı 6 i (e )'' i e i vıı 7 i i vııı 8 i (e )''' i e i (e ) i e (e ) i e i (e ) i e (e ) i e i (e ) i e i e f() i i i i! 4! 5! 6! 7! 8! ee ve s kısımı ıım f()... i 4! 6! 8!! 5! 7! cos si i e cos isi Öek: ( ) ( )( ) ( )...!! ( )( ) ( )( ) z ( z)( z z z... z )

19 9 S * ot K h A B O * S' L b O Öek: Eğiik ıçpı ve o iki küese üze sıd kııcıık idisi o sdm bi mdde buuuo. Yıçpı o üzede uzkıkt okts ışık kğı buumktdı. Bu kğı göütüsü ıçpı o üzede b uzkıkt buumktdı. Otmı kııcıık idisi ot ok veiio. Femt pesibii kuk S oktsıd çık ışı S' oktsıd odkmktdı. S oktsıd çık iki fkı ışıı optik oı eşit omıdı. ot (SKKS') ot SA( ) ot BS' Bud SA cisim ie mecek sıdki uzk-ık, BS'b mecek ie göütü sıdki uzkık, d meceği kıığı, h meceği optik eksei üzeideki üksekiği ok veimişti. SK h ( ) ;KS' (b ( ) h ) (b ) - h - h ; - h - h Optik odki fomüeie budukımızı kodukt so ot h -... b h ede edii. Mecek fomüüde ; b f - f ot ok buuu. m m m Öek: Yt ve sütümesiz ms üzeide uzuuğu o ıtk bi ipi uçıd ükei ve küteei o iki okts cisim buumktdı. İp üzeide kütesi m ve ükü o okts bi cisim sebestçe heket edebimektedi. Eeji kouumu ssıd mv W 4πε ( ) 4πε ( ) mv 4πε ( ) mv 4πε mv 4 4πε 4πε ede edii. Kuvvet içi m 4 πε ( ) - 4 πε ( ) - πε πε 4πε 4πε 4πε zbiiiz. Bud cismi titeşim çıs feksı ve titeşim peiodu 4 4πε m ; Tπ 4πε m ok buuu.

20 g L F f O M K Öek: Yıçpı o çık bi siidii içide cıv buumktdı. Siidi mekezde geçe düşe eksee göe çıs hızı ie dödüümektedi. Bu duumd sıvıı e üst tbksıd ı he hgi küçük bi pç etki ede kuvvete tepki kuvveti ve ğıık kuvvetidi. Nsim ; Ncosmg; tg g d d Sıvıı şeki itegsod so g ok buuu. Bu bi pbodü. Mksimum ükseme de ou. mk g Femt pesibie göe gödeie ışık içi KMMFLOOF, KM (f - ) KMf; 4f zbiiiz. Bud ı odk uzkığı ok buuu. g f S 4 Öek: Kııcıık idisi,5 o ve şekide gösteidiği gibi şekiediimiş bi cm cismi so tftki eğiik ıçpı, sğ tftki eğiik ıçpı ve iki mekez sıdki uzkık 4 ok veiio. So uçt,5 uzkıkt buu bi cismi göütüsü, biici kıım üzei içi - ; b,5,5- ; b -,5 b ok buuu. (-) işeti göütüü ik kıım üzeii so tfıd oduğuu göstemektedi. İkici kıım üzeie göe uzkık 48 ok zıbii. İkici kıım üzei içi b - - ;,5 8 b -,5 - ; b 6 ok buuu. So göütü ikici kıım üzeide sğ doğu 6 uzkıktdı.

21 H s Öek: Yüksekiği H ve tb ıçpı s o, içi hv dou sdm bi siidii üksekiği çpı göe çok büüktü. Siidi tm otsıd geçe düşe ekse etfıd çıs hızı ie dömektedi. Siidii üst tbıd küçük bi deik buumktdı. Siidideki hvı kııcıık idisi hvı öz kütesie bğı ok ξρ şekide değişmektedi. Bud ξ<< o bi sbitti. Gz sbiti, hvı mo kütesi µ, hvı sıckığı T ve om tmosfe bsıcı P ok veiio. Siidii tıd pe ışık demeti vee ve siidii ıçpıd küçük ıçpı disk şekide bi ışık kğı buumktdı. Siidide kd ukı eksee dik ok bi t ek koumuştu. ve d ıçpı siidiik bi kbuk içide buu hv içi [P(d)-P()]πHdm ρπh d; dpρ µ P dp µ d d; ρ ; T P T ; P P µ T zbiiiz. Bsıcı z değiştiğii göz öüde buuduusk bsıç PP e µ T ok zıbii. Hvı özkütesi ρρ µ T ou. Hvı kııcıık idisi ise P µ T P ρ µ T µ P ; ρ T ξµ P ξρ T ξp µ T ξµ P ; T ξp ; µ T ok buuu. H f Bu duumd δ d Aı kııkt bi otmı kııcıık idisi eksede uzkşk ts bu optik sistem bi ıksk mecek gibi dvm bş. Bibiie çok kı d uzkıkt buu iki ışı H mesfeside ouş optik o fkı δ(d)h-()hhd()hd ou. Aıc hvı kııcıık idisi çok küçük oduğu içi ouş ıksk meceği odk uzkığı f>>h ou. Bu d şeki geometisi-de doı çısıı küçük çı oduğu mı gemektedi. δ si tg; d f zbiiiz. Bud optik sistemi odk uzkığı ok buuu. f H

22 Öek: Keı ikizke dik bi pizmı tbı pe ok iki fkı dg boud ouş bi ışık demeti düşmektedi. Pizmı tbı ı zmd tmme sıtıcı bi üzedi. He ışık içi pizmı kııcıık idisi ve ( <<) ok veiio. Pizmd kıııp çık iki ışı sıdki uzkığı bubiiiz. 45 β h Veie dik ikizke pizm ikici özdeş bi pizm ive edesek ede edie optik sistemdeki ışm tek pizmı tbıd sımsı ie sğ ışmı ı-dı. Kıım ssıı si45 ; siβ ; siβ cosβ si45 ; si(β- β) si( β β) ( ) cos(β- β) ( ) ( ) ok zbiiiz. Küp şekideki pizmı içideki iki ışıı bibiide uzkşm miktı tgβ-tg(β- β) ( ) ou. Bu ifdei dh sde he getiebiiiz ( ) - ( 4 ) ( ) ( ) Bu ifdei kuk küp içideki ışm miktı ( ) ok zıbii. Küpte çıktıkt so iki ışı sıdki uzkık h cos45 ( ) ok buuu.