Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER"

Transkript

1 MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa, bu iki ifadeye özdeştir denir. Örneğin y ifadesi ile ( y)( + y) ifadesini ele alalım. İkinci ifadedeki çarpma işlemini yaptığımızda birinci ifadeyi elde ederiz. Bu nedenle, y için ; y = ( y)( + y) yazabiliriz bu eşitlik, ve y nin her değeri için doğru olduğundan, bir özdeşliktir. Bazı Önemli Özdeşlikler : - ( + y) = + y + y - ( + y) = + y + y +y - ( y) = y +y 4- ( y) = y + y y 5- y = ( y)( + y) 6- y = ( y)( + y + y ) 7- + y = ( + y)( y + y ) 8- ( + y + z) = + y + z + (y +z +yz) Örnek : + y = 8 ve y = 0 ise + y kaçtır? Çözüm : ( + y) = + y + y 8 = + y y = 44 bulunur Örnek : Çözüm : = ise ( + ) ( ) = + = 9 + kaçtır? = 9

2 ( + ) = + + = + = bulunur. Örnek : + y = y = 4 ise + y değeri kaçtır? Çözüm : ( + y) = + y +y +y ( + y) = + y + y( +y) 4 = + y y = = 6 bulunur.. DENKLEMLER 9 = ( )( + ) ve + = + 7 eşitliklerini ele alalım. Bu eşitliklerden birincisi için sağlandığından bir özdeşliktir. İkinci eşitlik ise, sadece = için doğrudur. Bu eşitlikte yerine den farklı hangi sayıyı yazarsak yazalım eşitlik doğru olmaz. Böyle eşitliklere, yani içerisinde bilinmeyen içeren ve bilinmeyenlerin özel değerleri için gerçeklenen eşitliklere denklem denir. Bilinmeyenlerin denklemi sağlayan değerlerine denklemin kökleri, köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir. Bir tek bilinmeyen içeren denklemlere bir bilinmeyenli denklemler, iki bilinmeyen içeren denklemlere iki bilinmeyenli denklemler, benzer şekilde n tane bilinmeyen içeren denklemlere de, n bilinmeyenli denklemler denir. Örneğin + 4 = 9 denklemi bir bilinmeyenli, + y + y = 8 denklemi iki bilinmeyenli, 4y + 5z = 4 denklemi ise üç bilinmeyenli denklemlerdir. Tanım : a, b ve a 0 olmak üzere a + b = 0 şeklindeki eşitliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu denklemde e bilinmeyen, a ve b ye de denklemin katsayıları denir. 40

3 a + b = 0 denklemini çözmek için şu yol izlenir. a + b = 0 a = -b. a 0 b b olduğundan = elde edilir. O halde a + b = 0 denkleminin çözümü ve a a b çözüm kümesi Ç = { } dır. a Örnek : 7 = 0 denklemini çözünüz? Çözüm : -7 = 0 = = Ç. K. = { } bulunur. Örnek : 5 = 0 denklemini çözünüz? 0 Çözüm : 5 = 0 = = 0 Ç.K. = { 0 } bulunur. 5 Örnek : - + = +7 denklemini çözünüz? Çözüm : - = 7 - = 6 = - Ç.K.= {-} bulunur. Örnek : ( ) + = + 4 denklemini çözünüz? Çözüm : + = + 4 = = olup bu mümkün değildir. O halde Ç.K.= bulunur. Örnek : + = + 5 denklemini çözünüz? 4

4 Çözüm : + = + ( ) ( + ) 5 () ( ) + ( + ) = = 5 = 6 = Ç.K.= {} bulunur. Örnek : + + = + + m denkleminin köklerinden biri ise m kaçtır? Çözüm : Denklemin köklerinden biri ise = değeri denklemi sağlar = + m + m = 4 +m = -4 m = -7 bulunur. Tanım : abc,, ve a,b 0 olmak üzere a +by +c =0 şeklindeki eşitliklere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir. Tanım : a +by +c = 0 Şeklindeki birden fazla iki bilinmeyenli Denklemden oluşan sisteme d +ey +f = 0 iki Bilinmeyenli denklem sistemi denir. Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesinin bulunmasına dair birçok yöntem vardır. Şimdi bunlardan bazılarını verelim. YOK ETME METODU Verilen denklemlerin katsayıları, değişkenlerden birinin yok edilmesini sağlayacak şekilde düzenlendikten sonra taraf tarafa toplama yada çıkarma işlemleri yapılarak sonuca gidilir. 4

5 Örnek : y = + y= 7 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : Bu iki denklemi taraf tarafa toplayalım. y = + +y = 7 4 = 0 =5 bulunur. = 5 değerini birinci denklemde yerine yazarsak 5 y = y = bulunur. O halde Ç.K.={(5,)} bulunur. YERİNE KOYMA METODU Verilen denklemlerin birinden, değişkenlerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılarak sonuca gidilir. Örnek : +5y = 5 8 y = 8 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : İkinci denklemde y değişkenini çeker, birinci denklemde yerine yazarsak, y = (8 8) = = 5 = 5 bulunur. = 5 değerini y de yerine yazarsak y = = olup Ç.K.={(5,)} bulunur. KARŞILAŞTIRMA METODU Verilen denklemlerin her ikisinden de aynı değişken çekilir. Denklemlerin diğer tarafları eşitlenerek sonuca gidilir. 4

6 Örnek : +y =7 4y= denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : Her iki denklemden değişkeni çekilirse ; = 7 y = +4y 7 y = +4y 5y = 5 y = =6 Ç.K.={(6,)} Tanım : a,b,c ve a 0 olmak üzere a +b +c =0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. Denklemi sağlayan reel sayılarına denklemin kökleri, tüm köklerin oluşturduğu kümeye de denklemin çözüm kümesi denir. a +b +c = 0 denkleminde =b 4ac ifadesine denklemin diskriminantı denir. için aşağıda üç durum söz konusudur. ) >0 ise denklemin birbirinden farklı iki reel kökü vardır. Bu kökler ; b + b =, = olup denklemin çözüm kümesi Ç.K.={, } dir. a a ) =0 ise denklemin eşit iki reel kökü vardır. Bu kökler ; b = = dir. Denklemin bu köküne çift katlı kök denir. Ç.K.={ } a ) <0 ise denklemin reel kökü yoktur. Ç.K.= Örnek : 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? 44

7 Çözüm : 4 = 0 = b 4ac = (-4) - 4 (-) = = 00 > 0 b + = = a ( 4) + 00 =7, b = a ( 4) 00 = = Ç.K.={7,-} bulunur. Örnek : + +5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : = b 4ac = -4 5 = -9 < 0 olduğundan denklemin reel sayılar kümesinde çözümü yoktur. Ç.K.= Örnek : + = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : =b 4ac = 4 4 = 0 olup b = = = = ÇK.. = {} bulunur. a a +b +c =0 Denkleminin Çarpanlara Ayrılması ) a = ise +b +c =0 olur. Burada b = +, c = ise + b +c = +( + ) + = 0 olur. 45

8 Örnek : Aşağıdaki ikinci derece denklemlerini çarpanlara ayıralım. ) ) ) = (+)(+5) = (-)(-) = (+4)(-) ) a ise a +b +c =0 denkleminde a= m n, b=mp +nq, c= pq ise a +b +c= mn +(mp +nq) +pq = (m +q)(n +p) olur. m n q p Örnek : Aşağıdaki ikinci derece denklemlerini çarpanlara ayıralım. ) ) = (5 +)( +) = ( +)( ).. YÜKSEK DERECEDEN BAZI DENKLEMLER a,b,c,d,e olmak üzere, a +b +c +d =0 şeklindeki denklemlere. dereceden, a 4 +b +c +d +e =0 şeklindeki denklemlere de 4. dereceden e göre düzenlenmiş denklemler denir. Bu tip denklemlerin çoğu.derece denklemlere indirgenerek çözülebilir. Örnek : 4 4 =0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? 46

9 Çözüm : = t diyelim ( t 0) O halde yukarıdaki denklem t t 4 =0 ikinci derece denklemine dönüşür. Bu denklem t ye göre düzenlenmiştir. (t-4)(t-) = 0 olup t =4 ve t =- dir. t =4 ise =4 = ± bulunur. t = - ise =- olup gerçek kök yoktur. O halde denklemin Ç.K.={-,} Örnek : + = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : + = 0 + =0 0 + = 0 olur. =b 4ac =00 4= 96 >0 -b + -b - = = a a = 5 6 = 5 6 ÇK.. = {5+ 6,5 6} bulunur. + Örnek : + = 7 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : + = 7 denkleminin her iki tarafının karesini alalım + =(-7) + = = denklemi çözülürse = ve =4 bulunur. Bu köklerden = denklemi sağlar. Fakat =4 denklemi sağlamaz. O halde Ç.K. ={} bulunur. Örnek : 5 +6 =0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : ( 5 +6) =0 buradan ; =0 ve 5 +6 = 0 denklemleri yazılır = = (-)(-) =0 =, = O halde Ç.K.= {0,,} bulunur. 47

10 . EŞİTSİZLİKLER.. BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER Tanım : a,b ve a 0 olmak üzere a +b>0, a +b 0, a +b<0, a +b 0 şekindeki ifadelere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir. Eşitsizliği çözmek için a +b ifadesinin işaret tablosundan faydalanarak eşitsizliği sağlayan aralık bulunur. b a + b = 0 = a b - a + a +b a'nin isaretinin tersi a'nin isaretinin aynisi b Bu tablonun anlamı a +b ifadesinde yerine a dan küçük bir sayı yazılırsa bu ifade b a ile ters işaretli, dan büyük bir sayı yazılırsa a ile aynı işaretli olur, a ab yazılırsa bu ifadenin değeri 0 olur demektir. Örnek : 4 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : I.yol : Ç.K.=(-,] II.yol : 4 =0 4 = = Ç.K.=(-,+] 48

11 + Örnek : 0 + eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : Bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için pay ve paydanın ayrı ayrı işaretlerini inceledikten sonra bölümün işaretini inceleyeceğiz. + =0 ise = - ve - + =0 ise = olduğundan bu ifadenin işareti aşağıdaki tablodaki gibidir. + Burada = için tanımlı olmadığından = çözüm kümesine dahil değildir. + Ç.K.= (-,-] (,+ ) dır... İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER Tanım : a,b,c, a 0 olmak üzere a +b + >0, a +b +c 0, a +b +c <0, a +b +c 0 şeklindeki ifadelere ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir. Eşitsizliği çözmek için a +b +c ifadenin işaret tablosundan faydalanarak eşitsizliği sağlayan aralık bulunur. a +b +c ifadesinin işaret tablosunun oluşturulmasında üç durum vardır. I.Durum : > 0 ise a +b +c ifadesinin farklı iki kökü vardır. Bunlar ve olsun ( < ) 49

12 II.Durum : =0 ise a +b +c ifadesinin eşit iki kökü vardır. III.Durum : <0 ise a +b +c ifadesinin reel kökü yoktur. Örnek : + <5 eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm : + <5 + 5 <0 eşitsizliği elde edilir. + 5 = = (+7)(-5) = -7, = < çözüm Ç.K.= (-7,5) 50

13 Örnek : - + <0 eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz Çözüm : - + <0 - + >0 eşitsizliği elde edilir. - + =0 = >0 + + çözüm Ç.K.= {} Örnek : 0 eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz Çözüm : 0 = ( )( + +) şeklinde yazıp her çarpanın işaretini ayrı ayrı inceledikten sonra çarpımın işaretini inceleyeceğiz. =0 ise =, + + =0 denkleminin reel kökleri yoktur çözüm Ç.K.= (-,] 5

14 6 Örnek : 0 eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz 6 Çözüm : 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım. Burada da pay ve paydanın ayrı ayrı işareti incelendikten sonra kesirin işaretini inceleyeceğiz. 6 =0 ise = ve = -, =0 ( ) =0 ise =0, =+, = Burada = -, = ve = 0 paydayı sıfır yaptığı için çözüm kümesine dahil edilmemiştir. Ç.K.=[-,-) (0,) [,+ ) dır Örnek : + 0eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz + 5 Çözüm : eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım

15 Burada pay ve paydanın ayrı ayrı işareti incelendikten sonra kesirin işaretini inceleyeceğiz. + = 0 ise = ve + 5= 0 ise = 5 Burada =-5 paydayı sıfır yaptığı için çözüm kümesine dahil edilmemiştir. Ç.K =, 5) Tanım : Birden fazla eşitsizliğin bir araya gelmesiyle oluşturulan sisteme eşitsizlik sistemi denir. Eşitsizlik sistemini çözmek için ayrı ayrı işaret tablosu düzenlenerek ortak çözüm bulunur. Örnek : >0 Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : 6 =0 =-4, =4 7 =0 = Burada = değeri 7 >0 ifadesinin kökü olup çözüme dahil değildir Ç.K.=(,4 ] 5

16 Örnek : -5< >0 Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : 5 =0 = =0 =-, = =0 =-, = = - değeri 4 6 >0 eşitsizliğinin kökü olup çözüme dahil edilmemiştir..4. MUTLAK DEĞER İÇEREN EŞİTSİZLİKLER Ç.K.= [ -,-) abc,,, a 0, c> 0 olmak üzere a + b c şeklindeki eşitsizliğin çözümü a + b c c a+ b c olup, eşitsizlik siteminin çözümü olarak bulunur. a + b c a + b c şeklindeki eşitsizliğin çözümü ise a + b c ve a + b c eşitsizliklerinin çözüm kümelerinin birleşimi olarak alınır. 54

17 Örnek: > 5 eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: < 5 ve > 5 < < ve > 8 > 4 Bu durumda ÇK.. = (, ) ( 4, + ) bulunur. Örnek: 4 7 eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Bu durumda ÇK.. =, bulunur. Örnek : Çözüm : 6 < eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir? < < ( ) 5 < 5< < 6 < 0 4< < 6 < < 8 ÇK.. = (, + 8) 8 + Örnek : + 5 eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir? Çözüm : + 5 veya + 5 veya ( ).. =,, + ÇK + 55

18 ALIŞTIRMALAR ) Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz? a) (0,5) (0,5) + (0,5) + = (0,065) + b) ( + ) 5 = (0,000) 5 c) ( ) = d) 000 ( 6 ) = ( + ) : + e) = 5 : f) = g) = 6 4 h) 0,0 + 0, 0,6 = 0 ı) 8 = 0 i) 4 5 = 0 j) = ) Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm aralığını bulunuz? a) + 5 b) < + 5 c) ( )( + 6) < 0 4 d) >

19 e) < + 8 ) Aşağıdaki eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerini bulunuz? a) 0 4 > 0 b) + > 0 4 > 0 c) 6 +5 > < 0 d) + < 0 + > 0 4)Aşağıdaki denklemleri çözünüz a) b) c) d) e) f) g) h) ı) ( 6 ) 5( 6 ) = ( 5) ( 5) = ( 5) ( 5) = 4 ( ) ( ) + + = ( + ) ( + + ) = ( 6) ( ) 88 + = ( + 7 8) ( + 7 ) 6 = = + + = + 57

20 i) j) k) 9 + 8= = = 0 4 l) = 0 TEST. Aşağıdaki (, y) ikililerinden hangisi +y = - y eşitliğini sağlar? A) (, 0) B) (0, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ). + = ( - 4) + 5 denklemini sağlayan değeri nedir? A) B) 5 C) 7 D) 8 E). ( + )( 5) = (-)(+) denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {-} B){} C) φ 5 D) - E) = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {} B) {-} C) {0} D) {} E) {-} 5. + = + A) D) 4 4 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? B) C) 4 4 E) 58

21 = + 9 denkleminin çözümü nedir? A) = - B) = - C) = 0 D) = E) = = + + denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) - D) - E) 8. + = + denkleminin çözüm kümesi nedir? A) {} B) φ C){-} D){0} E) R 9. sayısı aşağıdakilerden hangisinin kökü değildir? A) = 0 C) = 4 E) ( + ) = 0 B) - D) = 0 = 0 0. = 0 denkleminin kaç tane gerçel kökü vardır? A) 4 B) C) D) E) = 0 denkleminin gerçek köklerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A){-, + } B) φ D){, 4} E){-4, + 4} C){0, 4}. Aşağıdakilerden hangisi, kökleri ve -4 olan ikinci dereceden bir denklemdir? A) C) E) + 8 = = = 0 B) D) 8 = = 0 59

22 . Kökleri - ve 4olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) C) E) 8 = = = 0 B) D) 8 + = = 0 4. Aşağıdakilerden hangisi, çözüm kümesi {-, 0, } olan denklemlerden biri olabilir? A) C) E) + = 0 4 = = 0 B) D) = = eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir? A) [7, ) D)[, - 5] B)[, 7] E)[-, 5] C)[, ] eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A)[-, 6] D)[, 4] B)[-, ] E)[6, ) C)[0, ] eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdaki aralıklardan hangisidir? A) [-, ] B) [-, ] C) [-, ] D) [-, 9] E) [4, 5] 8. = + denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {,, } B) φ D){} E){0} C){0, } = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {} B) {4} C) {4, } D) {0,} E) {, 5, 6} 60

23 = denkleminin kökleri hakkında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur? A) C) = 0 = 0, = E) Kökleri yoktur. B) D) = 0, =, = 5 =. 5 = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) φ D) R B){, 4} E) (0, ) C)[-4, 4]. 5 < eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir? A) (-, 8) D) (-8,8) B)[8, ) E) R C)[8, ) eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir A) (-, ] D)[, ) B)[-, ] E) (-, ) C)[-, 4) eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) [-, ] B) (-, ] C) [, ) D)[0,] E)φ eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir? A)[4, ) D) (-, ) B) (-, 4] E) (-, 4) C) (-, ) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? A)[-,] D) (-, - ) B)[-, ] E) (-, - ] [, ) C) (-,) 6

24 = 4 denkleminin çözüm kümesi nedir? A)φ D){} B){, - } E){0} C){-} 8. ( + ) ( ) = 4 denkleminin çözüm kümesi nedir? A) {- } B) { 4} 4 C) 5 8 D) 5 E) 4 9. ( 4) + ( 6) = ( 8) denklemini sağlayan değeri nedir? 6 A) - B) - C) 0 D) 4 E) 6

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi... İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

DENKLEM SİSTEMLERİ. ifadesinde a sayısı bilinmeyenin katsayısı ve b ise sabit sayıdır.

DENKLEM SİSTEMLERİ. ifadesinde a sayısı bilinmeyenin katsayısı ve b ise sabit sayıdır. DENKLEM SİSTEMLERİ 1) BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER: a,bϵ R ve olmak üzere; şeklindeki denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu tür denklemlerde sadece bir bilinmeyen

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

Doğrusal Denklem Sistemlerini Cebirsel Yöntemlerle Çözme. 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira

Doğrusal Denklem Sistemlerini Cebirsel Yöntemlerle Çözme. 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira 1 16 soruluk bir testte 5 ve 10 puanlık sorular bulunmaktadır. Soruların tamamı doğru cevaplandığında 100 puan alındığına göre testte

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere 2. ÜNİTE. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere 2. ÜNİTE. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR - 1-2 ÜNİTE İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR ÖĞRENME ALANI CEBİR İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere Şeklindeki açık önermelere, ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler

Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; temel özdeşlikleri ve binom açılımını, birinci ve ikinci dereceden denklem çözümlerini

Detaylı

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1 II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -. 5 {, 5} {, 5} { 5, } {, 5} {, 5} 5. 5 {,, } {,, } {,, } {,, } {,, }.. 5 7 7 5 5,, 5 5, 5 5, 5 5, 6. 7. 5 95 { 5,, } {,, 5} { 5,, 9} {,, 5} { 9,, 5} 6 66 {, } {,, } {,,

Detaylı

Köklü Sayılar ,1+ 0,1+ 1, 6= m 10 ise m kaçtır? ( 8 5 ) 2x 3. + a =? (4)

Köklü Sayılar ,1+ 0,1+ 1, 6= m 10 ise m kaçtır? ( 8 5 ) 2x 3. + a =? (4) Köklü Sayılar.,+ 0,+, 6= m 0 ise m kaçtır ( 8 5 ). a= ise a + a (). : :... = 8 0 0... eşitliğini sağlayan değeri nedir (). 99.0+.6+ (75) 5. + : + 8 7 8 () 6. > 0 ve = olduğuna göre ( ) + a+ b 7. a, b R

Detaylı

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır.

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır. KÜMELER Kümelerin birleşimi (A B ): Kümelerin bütün elemanlarından oluşur. Kümelerin kesişimi (A B): Kümelerin ortak elemanlarından oluşur. Kümelerin Farkı (A \ B ) veya (A - B ): Birinci kümede olup ikinci

Detaylı

MUTLAK DEĞER Test -1

MUTLAK DEĞER Test -1 MUTLAK DEĞER Test -. < x < olduğuna göre, x x ifadesinin eşiti aşağıdakilerden 7 B) 7 x C) x 7 D) x 7 E) 7 x 5. y < 0 < x olduğuna göre, y x x y x y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden xy B) xy C) xy D) xy

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14. 1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

a = b ifadesine kareköklü ifade denir.

a = b ifadesine kareköklü ifade denir. KAREKÖKLÜ SAYILAR Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır. Karesi

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde

Detaylı

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak

Detaylı

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1 BİR İŞLEMLİ SİSTEMLER Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1.1 İŞLEMLER Bir kümeden kendisine tanımlı olan her fonksiyona birli işlem denir. Örneğin Z

Detaylı

TRİGONOMETRİK DENKLEMLER

TRİGONOMETRİK DENKLEMLER TRİGONOMETRİK DENKLEMLER Daha önceden Sin + Cos = 1 ifadesinin R için gerçekleştiğini biliyoruz. Bu tür eşitliklere Özdeşlik adını verdiğimizi biliyorsunuz. Fakat ; Sin = 0 ve tan = 0 gibi eşitlikler R

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

EŞĐTSĐZLĐKLER MATEMATĐK ĐM. Eşitsizlikler YILLAR /LYS. 14) Özel olarak. x >x ÖZELLĐKLER.

EŞĐTSĐZLĐKLER MATEMATĐK ĐM. Eşitsizlikler YILLAR /LYS. 14) Özel olarak. x >x ÖZELLĐKLER. YILLAR 00 00 00 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - / - /LYS EŞĐTSĐZLĐKLER =y,,, y,,, < y y,,, > y,,, y (tarif et ) ÖZELLĐKLER ) > veya < 0

Detaylı

SAYILAR ( ) MATEMATİK KAF01 RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. Sayıları ifade etmeye yarayan

SAYILAR ( ) MATEMATİK KAF01 RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. Sayıları ifade etmeye yarayan SAYILAR RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI MATEMATİK KAF01 TEMEL KAVRAM 01 Sayıları ifade etmeye yarayan { 0,1,, 3, i i i,9} kümesindeki semollere onluk sayma düzeninde rakam denir. N =... kümesinin elemanlarına

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri 8 www.matematikportali.com Konu Özetleri İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri Birinci Dereceden İ ki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri İki Bilinmeyenli Denklemler (Doğrusal denklem sistemleri) a, b, c R ve

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik 1. Ünite: Geometriden Olasılığa 1. Bölüm: Yansıyan ve Dönen Şekiller, Fraktallar Yansıma, Öteleme, Dönme Fraktallar 2. Bölüm: Üslü Sayılar Tam

Detaylı

ÜSLÜ İFADELER Test -1

ÜSLÜ İFADELER Test -1 ÜSLÜ İFADELER Test - 6. işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?. işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? 7 B) C) D) E) B) C) D) E) 7. 6 B) 8 C) D) 8 E) 6 6. işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =?

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =? TANIM MUTLAK DEĞER Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z ise x y x z z y =? Bir x reel sayısına karşılık gelen noktanın sayı doğrusunda 0 (sıf ır) a olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve x şeklinde

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif tamsayılar

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-I Artan ve Azalan Fonksiyonlar Fonksiyonların Maksimum ve Minimumu Birinci Türev Testi İkinci Türev Testi Türevin Geometrik Yorumu Türevin Fiziksel Yorumu MATEMATİK-1

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1 SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10. MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

2. Dereceden Denklemler

2. Dereceden Denklemler . Dereceden Denklemler Yazım hataları olabilir. Tam olarak tashih edilmemiştir. Hataları osmanekiz000@gmail.com mail adresine bildirilseniz makbule geçer.. a + b + 5c = c(a + b) ise a b =? C: 9. ( 4) (

Detaylı

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu 016-017 Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları 1) 3. [15 3(8: )] 9 =? a) 16 b) 14 c) 0 d) 14 e) 16 6)

Detaylı

Soru Konu Doğru Yanlış Boş

Soru Konu Doğru Yanlış Boş YGS - MATEMATİK DENEME- A Soru Konu Doğru Yanlış Boş Mutlak Değerin Sayıya Eşitliği % % Sayılar Akıl Yürütme % % Okek Dikdörtgen Birleştirme % % Kesirlerin Okeki % % Obeb Problemleri % % Obeb Denklemi

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI 4 II MATEMATİK YARIŞMASI I AŞAMA SORULARI 4? 4 4 A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? 5 A) B) C) - D) E) - 8 4 x x

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki

Detaylı

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları 2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4

Detaylı

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon İçindekiler Cebir 1. Fonksiyonlar....... 1.1 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi...... 1.1.1 Fonksiyon.. 1.1. Görüntü Kümesi... 1.1.3 Eşit Fonksiyonlar. 1.1.4 Fonksiyonun Gösterimi. 1.1.4.1 Liste

Detaylı

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden

Detaylı

EŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir?

EŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir? 1. 36 x A) [- 6, ] B) [- 6, 6 ] C) [, 36] D) [, 36 ] E) [- 36, ] 5. x + 4x + 4 > A) (, ) B) - } C) D) R E) R - {- } 6. x + 8x + 16. x x 8 < aşağıdalerden hangisidir? A) (- 4, ) B) (-, ) C) (- 4, ) A) {

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı

Detaylı

8.SINIF CEBirsel ifadeler

8.SINIF CEBirsel ifadeler KAZANIM : 8.2.1.1. Basit cebirsel ifadeleri anlar ve farklı biçimlerde yazar. Hatırlatma 2 + 4y - 5 ifadesi bir cebirsel ifadedir ve değişkenler ve y dir. Cebirsel İfade: İçinde bir veya birden fazla bilinmeyen

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c 0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade

Detaylı

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674 kapak sayfası İÇİNDEKİLER. ÜNİTE DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Gerçek Sayılar... 4 Doğal Sayılarda İşlemler... 4 Tam Sayılar... 4 Rasyonel Sayılar... 5 İrrasyonel Sayılar... 5 Gerçek (Reel) Sayılar... 6 9 Konu

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 0-0 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 0.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI EYLÜL EKİM. Gerçek katsayılı ve tek değişkenli polinomu kavram olarak örneklerle açıklar, polinomun derecesini,

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3): ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4 Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)

Detaylı

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR 2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR KONULAR 1. RASYONEL SAYILAR 2. Kesir Çeşitleri 3. Kesirlerin Sadeleştirilmesi 4. Rasyonel Sayılarda Sıralama 5. Rasyonel Sayılarda İşlemler 6. ÜSLÜ İFADE 7. Üssün

Detaylı

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde 1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve

Detaylı

Cebir Notları. Birinci Derecen Denklemler TEST I. Gökhan DEMĐR, x

Cebir Notları. Birinci Derecen Denklemler TEST I. Gökhan DEMĐR, x MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Birinci Derecen Denklemler TEST I. 7 [ [ ( )] ] + 6 = ( ) + denkleminin kökü 6. + 7 = 0 denkleminin köklerinin toplamı A) B)

Detaylı

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe)

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) Merak uyandıran konulardan birisi olan fonksiyonel denklemlerle ilgili Türkçe kaynakların az oluşundan dolayı, matematik

Detaylı

EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ

EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ 0 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. SAYILAR Z{,-,-,-,0,,,, } Z - {,-,-,-} negatif tam sayılar kümesi {0} (elemanı 0 olan bir küme) Z + {,,,,n,n+, } pozitif

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,

Detaylı

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir. TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7 YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS ÖYS LĐMĐT Tanım : Bir x0 A = [ a,b ] alalım, f: A R ye veya f: A - { x 0 } R ye bir fonksiyon olsun. Terimleri A - { x 0 } kümesine ait ve x

Detaylı

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr ASAL SAYILAR ve kendisinden aşka pozitif öleni olmayan den üyük doğal sayılara asal sayı denir.,, 5, 7,,, 7, 9, sayıları irer asal sayıdır. En küçük asal sayı dir. den aşka çift asal sayı yoktur. den aşka

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNTE: RASYONEL SAYILAR ONU: Rasyonel Sayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE SORULAR VE ÇÖZÜMLER. işleminin sonucu B) D) ki rasyonel sayının farkını bulmak için çıkan terimin toplama işlemine göre tersi alınarak

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun

Detaylı

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org 0. Sınıf M AT E M AT İ K Mehmet ŞAHİN www.mehmetsahinkitaplari.org M.E.B Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı nın 0..009 tarih ve 4 sayılı kararı ve 00-0 öğretim yılından itibaren uygulanacak programa göre

Detaylı