Sınıf Öğretmeni Adaylarının Kullandıkları Sayı Duyusu Stratejilerinin Belirlenmesi

Transkript

1 Kuram ve Uygulamada Eğitim Bilimleri Educational Sciences: Theory & Practice - 13(3) Eğitim Danışmanlığı ve Araştırmaları İletişim Hizmetleri Tic. Ltd. Şti. DOI: /estp Sınıf Öğretmeni Adaylarının Kullandıkları Sayı Duyusu Stratejilerinin Belirlenmesi Sare ŞENGÜL a Marmara Üniversitesi Öz Bu çalışmanın amacı sınıf öğretmenliği son sınıfında okuyan öğretmen adaylarının sayı duyusunu içeren temel sorularda kullandıkları stratejileri belirlemektir. Yeni matematik programında sayı duyusunun temel bileşenlerinden olan tahmin stratejileri, işlemsel tahmin stratejileri, yuvarlama ve zihinden işlem yapma gibi birçok stratejiye eski programa oranla daha çok vurgu yapılmıştır. Acaba bu programı uygulayacak sınıf öğretmeni adaylarının sayı duyusu gerektiren problemler çözerken hangi stratejileri kullanmaktadırlar? sorusu çerçevesinde bu çalışmanın yapılmasına gerek duyulmuştur. Çalışma İstanbul ili sınırları içinde yer alan bir devlet üniversitesinin İlköğretim Sınıf Öğretmenliği Anabilim Dalı nın son sınıfında okuyan 133 öğretmen adayının katılımıyla gerçekleştirilmiştir. Ölçme aracı olarak sayı duyusunun beş farklı bileşenine ait sorulardan oluşan Sayı Duyusu Testi kullanılmıştır. Elde edilen bulgular nitel ve nicel analiz yöntemleri kullanılarak analiz edilmiştir. Araştırmanın sonucunda sınıf öğretmeni adaylarının sayı duyularının oldukça düşük olduğu saptanmıştır. Çözüm yolları incelendiğinde sayı duyusunun her bileşeninde sınıf öğretmeni adaylarının sayı duyusundan çok kural temelli stratejileri tercih ettikleri görülmüştür. Bu bulgu öğretmen adaylarının sayı duyusu stratejileri yerine yazılı yöntemleri kullandığını gösteren önceki çalışmalarla tutarlılık göstermektedir. Araştırma bulguları doğrultusunda öğretmen adaylarının sayı duyusu konusundaki bilgilerini ve kullanımlarını artırmak için bazı önlemlerin alınması gerektiği vurgulanarak gelecek çalışmalar için önerilerde bulunulmuştur. Anahtar Kelimeler Sayı Duyusu Temelli Strateji, Kısmen Sayı Duyusu Temelli Strateji, Kural Temelli Strateji, Tahmin Etme, Sınıf Öğretmen Adayları. Bir öğrenciye 4.5 x 1. 2 çarpımı sorulduğu zaman öğrenci ondalıklı sayıları çarpıp virgüllere dikkat ederek 54.0 cevabını verecektir (Reys ve ark., 1991, s. 3). Amerika da 13 yaşındaki öğrencilere 12/13 ve 7/8 toplamını tahmin edin diye sorulduğu zaman 1, 2, 19, 21 ve Bilmiyorum şıklarından öğrencilerin % 50 si 19 veya 21 cevabını vermişlerdir (Carpenter, Corbitt, Kepner, Lindquist ve Reys, 1980). Yine 8. sınıf öğrencilerine 2/5 ve 3/5 kesirleri arasında ne kadar kesir vardır? sorusuna öğrencilerin % 46 hiç yoktur cevabını vermişlerdir (McIntosh, Reys ve Reys, 1992). Ülkemizdeki bir ilköğretim okulunun 4. ve 5.sınıf öğrencilerine 750: 0.98 ise sonuç 750 den büyük mü, eşit mi veya küçük mü olur? sorusuna 4.sınıf öğrencilerinin %74, 5.sınıf öğrencilerinin de %70 doğru cevap verememişlerdir. Doğru cevap verenlerin çoğunluğu ise işlem yaparak cevaplamışlardır. Genelde öğrenciler bölme işlemi küçültür gibi bir genellemeden hareketle sonucun 750 den küçük olacağını düşünmüşlerdir (Şengül ve Gürel, 2003). Sayı duyusu eksikliğini yansıtan böyle birçok örnek söz konusudur. Öğrencilerin bu gibi sorulara verdikleri cevaplar öğrencilerin sayıları anlamlandırma, işlemlerin sayılar üzerindeki etkisini anlama ve tahmin etme seviyelerini ortaya koymaktadır. a Dr. Sare ŞENGÜL ilköğretim matematik eğitimi alanında doçenttir. Çalışma alanları arasında matematik eğitimi, matematik tutumu ve kaygısı, anlamanın gelişimi, kavramsal öğrenme, kavram karikatürleri, karikatürlerle ve oyunlarla matematik öğretimi, dramatizasyon, sayı duyusu, üst biliş ve diferensiyel denklemler gibi konular yer almaktadır. İletişim: Marmara Üniversitesi, Atatürk Eğitim Fakültesi, İlköğretim Bölümü, Matematik Öğretmenliği A.B.D. Göztepe, İstanbul. Elektronik posta: zsengul@marmara.edu.tr Tel: /311.

2 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Sayı Duyusu Nedir? Sayı duyusu üzerine yapılan çalışmalarda sayı duyusunun tatmin edici bir tanımı verilmemesine rağmen ne olabileceği hakkında temel karakteristik özellikler tanımlanmaya çalışılmıştır. Hope a (1989) göre sayı duyusu en genel tanımı ile sayıların çeşitli kullanım alanları hakkında mantıklı tahminler yapabilme, aritmetik hataları fark edebilme, en etkili hesaplama yolunu seçebilme ve sayı örüntülerini fark edebilme hissidir. Greeno (1991) ise sayı duyusunu esnek düşünme, hesaplamada tahmin becerisi ve sayısal miktarlar hakkındaki çıkarım ile muhakeme yeteneği olarak tanımlamıştır. Schneider ve Thompson ın (2000) belirttiğine göre iyi bir sayı duyusuna sahip bir öğrenci sayılar hakkında esnek düşünebilme, sayıların anlamlarını ve sayısal ilişkileri anlamakta başarılıdırlar. Sayı duyusu ayrıca işlemler için geliştirilen faydalı stratejileri ve matematiksel yargılara varmak için kullanılan esnek düşünebilme kabiliyeti ve yatkınlığını içerir (Reys ve Yang, 1998; Reys ve ark., 1999). Sayı duyusunun gelişmesi matematik eğitiminde önemlidir. Matematik Öğretmenleri Ulusal Konseyi okul matematiğinin prensipleri ve standartlarında şunu belirtmişlerdir. Sayı duyusu matematikteki temel fikirlerden birisi olup sayı duyusu gelişmiş olan öğrenciler; sayıları, sayıları temsil yollarını, sayılar arasındaki ilişkileri ve sayı sistemlerini anlar; işlemlerin anlamını ve birbirleriyle ilişkili olduklarını anlar; akıcı bir şekilde hesaplama ve uygun tahminler yapar (National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 2000, s. 32). Sayı Duyusu Bileşenleri Sayı duyusu, sayılar, işlemler ve bunlar arasındaki ilişkileri içeren karmaşık bir süreç olup bu konuda matematik eğitimcileri, bilişsel psikologlar, araştırmacılar, öğretmenler ve matematik müfredatı geliştiricileri arasında birçok tartışmalar yapılmıştır (Howden, 1989; Greeno, 1991; Markovits ve Sowder, 1994; McIntosh ve ark., 1992; NCTM, 1989, 2000; Reys, 1994; Reys ve Yang, 1998; Sowder, 1992b; Yang, 2002a, 2002b). Bu tartışmalar sonucunda sayı duyusunun psikolojik temelleri sağlanmış (Case ve Sowder, 1990); teorik yapısı önerilmiş (Greeno; McIntosh ve ark., 1992); özellikleri tanımlanmış (Howden; Reys) ve sayı duyusunun gerekli bileşenleri belirlenmeye (Sowder, 1992a; Yang, Hsu ve Huang, 2004) çalışılmıştır. Araştırmada Reys ve arkadaşlarının (1999) altı bileşenli olarak belirlemeye çalıştıkları sayı duyusu bileşenlerinden beş tanesi göz önüne alındığı için burada yalnızca bu sınıflamaya yer verilmiştir. Belirtilen araştırmada altıncı bileşen olarak alınan sayıların eş gösterimlerini anlama ve kullanma bileşeni bu araştırmada Eşdeğer ifadeleri kullanma ve anlama bileşeni içerisinde değerlendirildiği için ayrı bir bileşen olarak alınmamıştır. Göz önüne alınan diğer bileşenler ise şunlardır. Sayıların anlam ve büyüklüklerini anlama: Bu beceri sayıların göreceli büyüklüğünü fark edebilmeyi belirtir. Örneğin; 2 5 kesrinin 1 kesri ile 2 karşılaştırılması istendiği zaman bunun nasıl yapılabileceğini bilme bu becerinin bir göstergesidir (Behr, Wachsmuth, Post ve Lesh, 1984; Cramer, Post ve delmas, 2002 ). İşlemlerin sayılar üzerindeki etkisini anlama: Bu bileşen hesaplama durumlarında bir sayının veya işlemin değeri değiştiği zaman sonucun nasıl değişeceğini fark etme becerisi ile ilgilidir. Örneğin; 3.91x 0.95 sorulduğu zaman 0.95 ifadesinin 1 den küçük olduğu için sonucun 3.91 den daha küçük olabileceğini tahmin edebilme. Yani, çarpma işleminin daima sayıları büyütmeyeceği ve bölme işleminin sayıları daima küçültmeyeceğini hissedebilmeyi ifade eder (Graeber ve Tirosh, 1990; Greer, 1987; McIntosh ve ark., 1992). Eşdeğer ifadeleri kullanma ve anlama: Sayıların eşdeğerlerini bilme ve gerektiğinde bunu kullanabilme beceridir. Örneğin; m sayısının hangi sayı ile çarpımı 0.25 ile bölümüyle aynı sonucu verir? sorusuna cevap verebilme gibi. Zihinden hesaplama ve hesaplamada esneklik: Bireysel olarak yazılı hesaplama yapmaksızın problem çözebilme ve sonucun uygunluğunu sorgulamak için tahmin etme, zihinden işlem yapabilmeyi vurgular (McIntosh ve ark., 1992; Sowder, 1992a). Örneğin; x = işleminde ondalıklı basamağın yerini tahmin etmesi istendiği zaman kâğıt ve kaleme bağlı olmaksızın sonucu bulabilme. Burada (yaklaşık 1/4) ile 600 çarparak sonucun yaklaşık 150 olacağını ve dolayısıyla cevabın olduğuna karar verebilme söz konusudur. Ölçüm referansları (Benchmarks): Bu beceri farklı durumlara uygun olabilecek referans noktalarını belirleme ve kullanmayı içermektedir (McIntosh ve ark., 1992). Örneğin, 1 1/2, 1/3 ve 1/4 sabit noktaları referans nokta alınarak kesirlerin ve ondalıklı sayıların sıralanmasını veya kendi boyunu referans alarak bir futbol sahasının uzunluğunun tahmin edebilme gibi. 1952

3 ŞENGÜL / Sınıf Öğretmeni Adaylarının Kullandıkları Sayı Duyusu Stratejilerinin Belirlenmesi Sayı Duyusu ile İlgili Yapılan Araştırmalar Son 20 yıldır giderek artan bir ilgiyle sayı duyusunun gelişimi üzerine çalışmalar yapılmaktadır. Reys e (1994) göre sayı duyusu bir düşünme yolu olup bütün yönleriyle matematiğin öğretilmesi ve öğrenilmesinde yer almalıdır. Sayı duyusunun gelişen önemine bağlı olarak uluslararası yapılan çalışmalarda öğrencilerin sayı duyularının gelişimine yardım etmek matematik eğitiminin önemli bir görevi olarak kabul edilmektedir (Anghileri, 2000; Australian Education Council [AEC], 1991; Cockcroft, 1982; Japanese Ministry of Education, 1989; Kilpatrick, Swafford ve Findell, 2001; Mullis, Martin, Gonzalez ve Chrostowski, 2004; NCTM, 1989, 2000; National Research Council, 1989; Reys ve ark., 1999). İlgili literatür incelendiğinde hem uluslararası hem de ülkemizdeki yapılan çalışmalar ilköğretim düzeyindeki öğrencilerin ve öğretmen adaylarının sayı duyularının zayıf olduğunu göstermektedir. Bu konuda yapılan çalışmalar aşağıda sunulmuştur. McIntosh ve arkadaşları (1992) sayı duyusu için en detaylı sınıflandırmayı yapmışlardır. Bu sınıflamada sayı duyusu için bir kavramsal çerçeve oluşturmuştur. Çalışmada oluşturulan kavramsal çerçeve; sayı duyusunun bileşenlerini açıklayan, organize eden ve birbirleriyle ilişkilerini kuran bir yapı sağlamaktadır. Araştırmacılar sayı duyusunu; sayılar, işlemler ve sayılar ile işlemlerin uygulamaları olmak üzere üç ana bileşende incelenmiştir. Oluşturulan kavramsal çerçevede sayı duyusuna ait ana bileşenlerin belirlenmesinin yanı sıra sayı duyusunun bileşenleri ve alt bileşenleri belirlenmiş ve bu bileşenler üç temaya göre organize edilmiştir. McIntosh ve arkadaşları (1992) iyi derecede sayı duyusu olan bir kişinin; sayılar, işlemler ve üretilen sonuçlar hakkında düşünmekte olduğunu ve derinlemesine inceleme yaptığını belirtmektedirler. Reys ve arkadaşlarının (1999) Amerika, Tayvan, Avustralya ve İsveç deki 8-14 yaş grubu öğrencilerin sayı duyuları nı inceledikleri araştırmalarında öncelikle bu konuda yapılan çalışmalar referans alınarak sayı duyusunu altı bileşenli olarak tanımlamışlardır. Bu bileşenler çalışmada göz önüne alınan bileşenlerle birlikte sayıların eşdeğer gösterimlerini anlamayı içermektedir. Öğrencilere testin tamamı için 30 dakika süre verilmiştir. Araştırmanın sonucunda her bir bileşen altında öğrenci başarıları değerlendirilmiş ve ülkeler arasında öğrencilerin sayı duyusu problemlerindeki başarılarının farklılık gösterdiği ve dört ülkede de sayı duyusu problemlerindeki başarılarının düşük olarak belirlenmiştir. Araştırmacılar bu sonucun okullardaki matematik müfredatının işleme dayalı hesaplamalara ağırlık vermesinin sonucu olduğunu belirtmektedirler. Yang ın (2005) Tayvan daki 6. sınıf öğrencilerin sayı duyularını incelediği araştırmasında başarılı öğrencilerin sayı duyusunu, düşük ve orta dereceli öğrencilerden daha fazla kullandıkları ancak kullanma sıklığının düşük olduğu vurgulanılmaktadır. Orta ve düşük seviyeli öğrencilerle yapılan mülakat sorularına cevap verirken kural tabanlı metotları kullanmaya meyilli oldukları ya da cevapları açıklayamadıkları belirlenmiştir. Araştırmada kâğıt kalem kullanmaya olan yatkınlığın öğrencilerin sayı duyusu gelişimlerini ve standart yazılı algoritma üzerindeki aşırı vurgulamanında çocuklarda sayı duyusu gelişimini engellemekle kalmayıp aynı zamanda onların düşünme ve muhakeme yeteneklerinin gelişimini engellediği belirtilmektedir. Kayhan Altay ın (2010) yapmış olduğu doktora çalışmasında ilköğretim ikici kademe öğrencilerinin sayı duyularının sınıf düzeyi, cinsiyet ve sayı duyusu bileşenlerine göre nasıl değiştiği incelenmiştir. 584 ikinci kademe öğrencisi ile yürütülen çalışmada öğrencilere sayı duyusunun bileşenlerini içeren bir test uygulanmıştır. Çalışma sonucunca öğrencilerin sayı duyularının oldukça düşük olduğu ve öğrencilerin genellikle standart hesaplamaları yapmayı tercih ettiği ortaya çıkmıştır. Reys ve Yang ın (1998) yaptıkları çalışmalarında Tayvanlı 6. ve 8. sınıf öğrencilerinin aritmetik başarısı ve sayı duyusu arasındaki ilişkileri incelenmiştir. 234 öğrenci üzerinde yapılan çalışmada Tayvanlı öğrencilerin yazılı hesaplamalarda sayı duyusuna göre çok farklı düzeylerde başarı göstermişlerdir. Öğrenciler kâğıt-kalemle yapılan hesaplamalarda çok başarılı olmuş ancak benzer problemleri sayı duyusuna dayalı yaklaşımla çözerken aynı düzeyde başarı gösterememişlerdir. Harç ın (2010), yüksek lisans tezinde 6.sınıf öğrencilerinin sayı duyusu bileşenleri ve sayı duyusu ile matematik başarısı arasındaki ilişkisi incelemiştir. Çalışma bulgularına göre öğrencilerin sayı duyularının çok düşük olduğu, matematik başarıları yüksek olan öğrencilerin diğer öğrencilere göre sayı duyusu yönünden daha iyi olduklarını ifade edilmektedir. Sulak ın (2008) yaptığı araştırmasında sınıf öğretmeni adaylarının kullandıkları tahmin stratejilerini incelemiştir. Bu araştırma da tahmin stratejileri uygun bir şekilde kullanıldığında öğretmen adaylarının başarılarının arttığı, strateji bilmenin daha ince hesap yapmaya fayda sağladığı, sonuçları daha iyi tahmin etmeye katkısı olduğu belirtilmektedir. Tsao (2005) yaptığı araştırmasında sınıf öğretmen adaylarının sayı duyusu problemlerini çözerken kullandıkları bilişsel süreci incelemiştir. Bu amaçla 1953

4 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Yang (1997) tarafından geliştirilen 25 soruluk sayı duyusu testi kullanılmıştır. Sayı duyusu testine göre en yüksek puan alan yüzde 10 ile en düşük puan alan yüzde 10 luk kısımdaki öğretmen adayları ile mülakatlar yapılmıştır. Sayı duyusu düşük olan öğretmen adayları en çok bölüm kesirleri ile ilgili olan sayı duyusu problemlerinde zorlanmışlardır. Aynı zamanda bu gruptaki öğretmen adaylarının yüksek sayı duyusuna sahip öğretmen adaylarına göre sayı duyusu odaklı yöntemler yerine daha çok standart yazılı metotlar ve kural odaklı çözüm yolları kullandıkları belirtilmektedir. Sayı duyusu yüksek öğretmen adaylarının daha çok sayı duyusunu kullandıkları ve özellikle sayı duyusu bileşenlerinden referans noktası kullanımı, sayılarla verilen problemleri parçalayarak veya birleştirerek yeniden düzenleme ile işlemleri esnek bir biçimde cevaplama konusunda daha başarılı oldukları vurgulanmaktadır. Yang (2007) tarafından yapılan araştırmada öğretmen adaylarının sayı duyusu ile ilgili sorularda kullandıkları stratejiler incelenmiştir. Bu amaçla, 5 matematik eğitiminde, 5 yabancı dil eğitiminde diğer 5 tanesi de sınıf öğretmenliği bölümünde okuyan toplam 15 Tayvanlı öğretmen adayı ile görüşmeler yapılmıştır. Çalışma bulguları sonucunda görüşme yapılan öğretmen adaylarının ancak üçte birinin sayı büyüklüğünü fark edebilme ve referans noktasını kullanabildiklerini, üçte ikisinin ise problemlerin çözümünde genellikle yazılı hesap yapma işlemlerini tercih ettiklerini belirlenmiştir. Yang, öğretmen adaylarının tümünün başka bir yol bilmedikleri için iki kesri karşılaştırırlarken yazılı teknikleri kullandıklarını vurgulamaktadır. Bu sonucun öğretmen adaylarının sayı duyusu becerilerinin düşük olduğunun bir göstergesi olduğu ifade edilmektedir. Yang, Reys ve Reys (2009) çalışmalarında 280 tane Tayvanlı sınıf öğretmen adaylarının gerçek yaşam problem çözümlerinde kullandıkları stratejileri incelemişlerdir. Çalışmanın sonucunda öğretmen adaylarının beşte birinin, kıyaslama (referans) noktası kullanımı ve sayı büyüklüklerini farkına varma gibi sayı duyusu stratejilerini kullandıkları tespit edilmiştir. Ayrıca, öğretmen adaylarının çoğunlukla kural temelli stratejileri tercih ettikleri belirlenmiştir. Yazarlar öğretmen adaylarının sayı duyularının oldukça düşük olduğunu belirterek, sınıf öğretmen adaylarının sayı duyusu bilgilerini ve kullanımlarını artırmak için bazı önlemlerin alınması gerektiğini vurgulamışlardır. Yapılan çalışmalar göz önüne alındığında hem öğrencilerin hem de sınıf öğretmen adaylarının sayı duyusu düzeylerinin düşük olduğu görülmektedir. Bu sonucun birçok sebebi olabilir. Bunun için genelde yazılı hesaplamaya dayalı işlemlerin yanı sıra matematik kitaplarındaki sayı duyusunu geliştirmeye yönelik problem ve etkinliklerin eksikliği gösterilebilir. Ayrıca, öğretmenlerin sayı duyusu bilgilerinin de etkisi önemlidir (Yang ve ark., 2009). Sınıf öğretmenlerinin ve sınıf öğretmeni adaylarının matematiksel anlayışını inceleyen bazı araştırmaların sonuçlarına göre de matematik konusunda zayıf olan öğretmenler matematiksel kuralları yanlış uygulayabilmekte ve matematiksel kavramları doğru anlamlandırmakta zorlanmaktadırlar. Öğrencilerin sayı duyularını geliştirebilmesinde en önemli yere sahip olan sınıf öğretmenlerinin bu konudaki profillerinin belirlenmesi ülkemiz içinde oldukça önem taşımaktadır. Bu nedenle öğrencilere ilk temel matematik eğitimini verecek sınıf öğretmeni adaylarını geleceğe hazırlamakla sorumlu olan eğitimciler onların müfredatlarını oluşturmak için hangi becerilere sahip oldukları ve nerelerde eksiklileri bulunduğunu bilmelidirler. Eğer onlara eğitimleri esnasında veya hizmet içi kurslarda sahip olduğu algılar ve yanlış anlamalarının farkına varmaları sağlanırsa daha sonraki öğretmenlik performansları muhtemel daha güçlü olacaktır. Matematik Müfredatı ve Sayı Duyusu Ülkemizde yapılan çalışmaların yanı sıra kullanılan ilköğretim matematik müfredatı incelendiğinde sayı duyusunun kavram olarak programda yer almadığı görülmektedir. Fakat sayı duyusunun içermiş olduğu zihinden işlem, tahmin etme gibi beceriler programda bulunmaktadır. Örneğin tahmin etme, esnek düşünme ve zihinden işlem yapma gibi becerilerin etkin kullanılması programın genel amaçları içerisinde yer almaktadır (MEB, 2009). Bu amaçla birlikte sayı duyusunun önemi vurgulanmış olmasına rağmen sayı duyusunu oluşturma anlamında programda yeterli kazanım ya da etkinliklere gerektiği kadar yer verilmemiştir (Umay, Akkuş ve Paksu, 2006). İlköğretim birinci kademe matematik programı incelendiği zaman 350 kazanımdan 1. sınıfta 2, 2.sınıfta 8, 3.sınıfta 8, 4.sınıfta 14 ve 5. sınıfta 12 olmak üzere toplam 44 tanesi sayı duyusu kavramı ile ilgili olduğu görülmektedir (MEB, 2009). Yeni matematik müfredatında sayıların anlamını bilme ve onları sıralama, eşdeğer ifadeler oluşturma, tahmin stratejileri, işlemsel tahmin stratejileri, yuvarlama, zihinden işlem yapma ve ölçüm referansları kullanarak bir büyüklüğü tahmin etme gibi birçok stratejiye eski müfredata oranla daha çok vurgu yapıldığı görülmektedir. Eğitim fakültesi sınıf öğretmenliği programı kapsamında verilen 1954

5 ŞENGÜL / Sınıf Öğretmeni Adaylarının Kullandıkları Sayı Duyusu Stratejilerinin Belirlenmesi matematik ders içeriklerinde sayı duyusu kavramı doğrudan yer almamaktadır. Fakat sınıf öğretmenliği lisans programının V. ve VI. yarıyıllarında okutulan Matematik Öğretimi I ve II ders içeriklerinde ilköğretim programındaki kazanımların öğretimi ve bu kazanımlara ait uygun örnek etkinliklerin tasarlanmasına yer verilmektedir. Sınıf Öğretmeni Adayları İçin Konu Bilgisinin Önemi Son yıllarda yapılan birçok çalışma öğretmen adaylarının üniversiteden önce ve üniversitede gördüğü matematik derslerinden getirdiği anlamaların ilköğretim düzeyinde neyi ve nasıl öğretecekleri üzerinde önemli etkisi olduğunu vurgulamaktadır (Ball, 1996; Bobis, 2004; Ma, 1999; Schifter, 1999; Shulman, 1987; Tirosh, 2000). Bu sebeple, öğretmen adaylarının güçlü bir alan bilgisi ile donanımlı olarak hizmet öncesinde hazırlanmaları, kullanacağı öğretim yaklaşımları, stratejileri ve öğrenciler ile olan etkileşimi açısından önem taşımaktadır. Örneğin, öğretmen adayları kavram yanılgılarına ve kısıtlı bir alan bilgisine sahip olduklarında bunu kendi öğrencilerine aktarabilirler (Ball ve McDiarmid, 1990). Bu durum, öğretilmek istenen kavram veya konuyu uygun yollar ile sunmaları, açıklamalarda bulunmaları ve tartışma yapmalarını kısıtlamaktadır (Even ve Tirosh, 1995). Zaten yapılan çalışmalar da öğretmen adaylarının matematiksel anlamalarının ilköğretim düzeyinde öğretim yapabilmeleri için yetersiz olduğunu göstermiştir (Ball, 1990a, 1990b; Even, 1993; Ma; Tirosh; Toluk-Uçar, 2009). Ball (1990a) etkili matematik öğretimi için öğretmen eğitiminde alan bilgisine yoğunlaşılması gerektiğini vurgulamaktadır. Çünkü öğrencilere öğretilmesi gereken bilginin öğrenciler tarafından öğrenilen bilgi konumuna geçmesinde en önemli etkenlerden birisi öğretmenin alan bilgisidir. NCTM de (2000) vurgulanmaktadır ki Etkili öğretim matematik anlamayı ve bilmeyi gerektirir (s. 17). Dolayısıyla, bir öğretmen matematik hakkında kendisini yeterli bir bilgiye sahip olduğuna inanırsa öğrencinin o konuda hakkında yanılgılarının neler olacağını bilip, onların düşünme yolları hakkında öngörülerde bulunabilir (Ma, 1999; Shulman, 1987). Çalışmanın Önemi ve Amacı Sayı duyusu ile ilgili yapılan tanımlamalar ve sayı duyusu bileşenleri göz önüne alındığında sayı duyusu gelişmiş öğrencilerin zihinden hesaplama ve tahmin etme becerilerinin yanı sıra bir niceliğin olası farklı gösterimleri arasında esnek şekilde geçiş yaparak problem çözümlerinin sonuçlarının günlük hayattaki tutarlılığını değerlendirebilmesi beklenmektedir. Yani her durumda, öğrenciler, zihinden hesaplama yaparak tahmin edebilmeli, esnek düşünme yollarıyla bir sorunun çözümü için yeni stratejiler seçebilmeli ve sayıların çoklu gösterimlerini kullanabilmelidir. Matematik eğitim müfredatının genel amaçlarına bakıldığında zihinsel hesaplama becerilerinin geliştirilmesi esas kabul edilmektedir (NCTM, 1989). Ülkemizde de 2005 yılından itibaren yeniden yapılandırılan ilköğretim 1-5 matematik müfredatının genel amaçlarına bakıldığında öğrencilere; 1) tahmin etme ve zihinden işlem yapma becerilerini etkin kullanabilme; 2) problem çözme stratejileri geliştirebilecek ve bunları günlük hayattaki problemlerin çözümünde kullanabilme; 3) matematiksel problemleri çözme süreci içinde kendi matematiksel düşünce ve akıl yürütmelerini ifade edebilme becerilerinin kazandırılması hedeflenmektedir. Charles ve Lester (1984) sayı duyusunun bileşenlerinden olan zihinsel matematik hesaplamalarıyla yapılan matematik çalışmalarının, okullarda bir ders olarak gösterilen matematiğin, gerçek hayatla ilişkilendirilmesinde bir aşama görevi görebileceğini ifade etmektedirler. Çünkü günlük hayatta, yetişkin insanlar kesin hesaplardan daha çok yaklaşık tahmini hesapları kullanmaktadırlar (Bell, 1974). Örneğin; 1) bir yıldızın ışığının dünyaya ulaşma hızının hesaplanması veya gözle görülemeyecek kadar küçük bir biyolojik canlının küçüklüğünün ifadesinde kullanılan sayıların anlamlandırılması, 2) haritaların çiziminde kullanılan ölçeklerin ifade ettiği gerçek büyüklüklerinin algılanması, 3) insanların gitmeleri gereken bir yere kaç saatte gidebilecekleri süreyi veya uygulanan indirim sonrası bir ürünün yaklaşık kaça mal olacağını hesaplama vb, birçok günlük hayat olayları esnek düşünebilme, sayıların anlamını bilme, sayıların eşdeğer gösterimlerini bilmeyi gerektirmektedir. Bu becerilerin sayı duyusunun gelişimi ile doğrudan ilgili olduğu söylenebilir. Dolayısıyla günlük yaşantımızda anahtar rol oynayan sayı duyusunun ilköğretimin ilk yıllarından itibaren öğrencilere kazandırılması önem taşımaktadır (AEC, 1991; Markovits ve Sowder, 1994; McIntosh, Reys ve Reys, 1997; National Research Council, 2002; NCTM, 2000). Öğrencilere sayı duyusunu kazandırabilme ve bunu geliştirebilmek öncelikli olarak öğretmenlerin sayı duyusu bilgisine sahip olmalarıyla mümkün olacaktır. Bu nedenle özellikle ilköğretimin ilk kademesinde öğretmenlik yapacak olan aday sınıf öğretmenlerinin bu konudaki durumlarının ortaya konması gelecek nesillerin yetiştirilmesinde önceden alınması gereken önlemleri belirlemede yardımcı olacaktır. 1955

6 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Yukarıda ifade edilenler göz önüne alındığı zaman böyle bir çalışma yapılmasının nedenleri olarak; 1) sayı duyusunun belirtilen önemi, 2) yapılan araştırmalarda görüldüğü üzere öğrencilere paralel olarak sınıf öğretmen adaylarının da sayı duyularının düşük olması, 3) ülkemizdeki eski matematik müfredatına göre yeni matematik müfredatında sayı duyusunun temel bileşenlerine daha fazla yer verilmesi, 4) sınıf öğretmeni adaylarının ilköğretim matematik programı kapsamında yer verilen kavramları öğretebilecek ve uygun etkinlikler tasarlayabilecek yetkinlikte olmalarının beklenmesi ve 5) sayı duyusu ile ilgili olarak uluslararası alanda bu konuda birçok çalışma bulunmasına rağmen (Markovits ve Sowder, 1994; McIntosh, Reys, Reys, Bana ve Farrel, 1997; Reys ve ark., 1999; Reys ve Yang, 1998; Van den Heuvel-Paanhuizen, 1996, 2001; Verschaffel, Greer ve DeCorte, 2007; Yang, 2005) ülkemizdeki çalışmaların yok denecek kadar az olması (Harç, 2010; Kayhan Altay, 2010) gösterilebilir. Belirtilen nedenlerden dolayı öğrencilere sayı duyusunu kazandırmada en etkin rolü oynayacak ve yeni matematik müfredatını uygulayacak sınıf öğretmeni adaylarının sayı duyusu gerektiren problemler çözerken hangi stratejileri kullanmaktadırlar? sorusu çerçevesinde bu çalışmanın yapılmasına gerek duyulmuştur. Bu nedenle araştırmanın amacı İlköğretim bölümü sınıf öğretmenliği anabilim dalı 4.sınıfında okuyan sınıf öğretmeni adaylarının sayı duyusu gerektiren problemler çözerken hangi stratejileri tercih ettiklerini belirlemektir. Yöntem Bu çalışmada, nitel araştırma metodolojisinin desenlerinden biri olan, bir ya da birkaç özel durumu derinlemesine inceleyerek analiz edilmesini sağlayan durum çalışması (case study) yöntemi kullanılmıştır. Durum çalışması desenlerinden bütüncül tek durum deseninin kullanıldığı araştırmada sınıf öğretmen adaylarının her bir sayı duyusu bileşenine ait sorularda tercih ettikleri çözüm stratejileri derinlemesine incelenerek, mevcut durum araştırılmaya çalışılmıştır. Araştırmada sınıf öğretmen adaylarının her bir sayı duyusu bileşenine ait soru ve çözümlerinde tercih ettikleri stratejiler, elde edilen verilerden alıntılar yapılarak kanıtlar sunulmuş ve bu yolla geçerliği sağlanmıştır; güvenirlik ise araştırmada takip edilen aşamaların ayrıntılı bir biçimde açıklanmasıyla elde edilmiştir. Durum çalışmalarında kullanılan veri toplama tekniklerinden biri dokümanlardır. Araştırmada kullanılan Sayı Duyusu Test indeki [SDT] problem çözümleri ve çözümlerde tercih edilen stratejilere neden gereksinim duyduklarını açıklayan öğretmen adaylarının yazılı belgeleri doküman niteliği taşımaktadır. Çalışma Grubu Araştırma, İstanbul ili sınırları içinde yer alan bir devlet üniversitesinin İlköğretim Bölümü Sınıf Öğretmenliği Anabilim Dalı nın son sınıfında okuyan 133 öğretmen adayının katılımıyla gerçekleştirilmiştir. Çalışma grubu belirlenirken amaçlı örnekleme yöntemlerinden ölçüt örnekleme kullanılmıştır. Yapılan araştırmaya katılacak sınıf öğretmen adaylarının seçiminde sınıf öğretmenliği anabilim dalının 1. sınıfının ilk I. ve II. dönemlerinde sırasıyla Temel Matematik I (2 Kredi) ve Temel Matematik II (2 Kredi); 3. sınıfın V. ve VI. yarıyıllarında Matematik Öğretimi I (3 Kredi) ve Matematik Öğretimi II (3 Kredi) derslerini almış olmaları temel ölçüt olarak belirlenmiştir. Bu ölçüte göre seçilen 133 sınıf öğretmen adaylarının 78 i bayan (%58.6) ve 55 i ise erkektir (%41.4). Veri Toplama Aracı Bu çalışmada veri toplama aracı olarak ilgili alınyazında tartışılan sayı duyusu bileşenlerine ait problemlerden alınarak oluşturulan ölçme aracı, açık uçlu ve çoktan seçmeli tipinde toplam 20 sorudan oluşmaktadır. Sayı duyusu testinde Reys ve arkadaşları (1999), tarafından oluşturulan sayı duyusunun beş temel bileşenine ait sorular yer almaktadır. SDT deki soruların seçiminde (Harç, 2010; Reys ve ark., 1999; Tsao, 2005; Yang ve ark., 2009) çalışmalarından yararlanılmıştır. Ölçme aracındaki maddeler için uygulama öncesinde iki sayı duyusu üzerinde çalışma yapmış ve iki de matematik eğitimcisi olan öğretim üyelerinin görüşlerine başvurulmuştur. İlk olarak kapsam geçerliğini saptamak üzere uzmanlara ölçme aracındaki soruların ilgili alınyazında tanımlanan değişik tipteki sayı duyusu bileşenlerini temsil edip etmediği sorulmuştur. Ayrıca uzmanlar ölçme aracındaki maddelerin iyi ifade edilip edilmemesi, zorluk dereceleri, yanlış yorumlamalara meydan verip vermemesi ve ölçmek istediği şeyi ne derecede ölçtüğünü incelemişlerdir. Bunun yanı sıra daha büyük bir çalışmadaki katılımcıların genel akademik altyapılarıyla kıyaslanabilecek yedi sınıf öğretmen adayı ile maddelerin açıklığı, uygun olup olmaması ve verilen test zamanının uygunluğunu garantilemek için pilot bir çalışma yapılmıştır. Uzmanların görüşleri ve pilot çalışma sonucunda gerekli düzenlemeler yapılarak 1956

7 ŞENGÜL / Sınıf Öğretmeni Adaylarının Kullandıkları Sayı Duyusu Stratejilerinin Belirlenmesi teste son hâli verilmiştir. Testin güvenirliği için Kuder-Richardson 20 katsayısına bakılmıştır. Testin güvenirliği 0.87 olarak bulunmuştur. Süreç Öncelikle SDT her katılımcıya sorulara verdikleri cevapların nedenlerini rahatça açıklayabilmeleri için yeteri kadar boşluk bırakılarak her sayfada iki soru olacak şekilde tasarlanmıştır. Son hali verilen SDT uygulamaya katılan 133 katılımcı 60 ve 73 kişi olacak şekilde ayrı gruplara ayrılarak iki farklı oturumda 60 dakika süre ile uygulanmıştır. Testten önce, araştırmacı tarafından test esnasında izlenmesi gereken talimatlar okunmuştur. Özellikle takip edilmesi istenilen talimatlar şunlardır. i) Soruların cevaplarının tam sonuç bulunması amacıyla yazılı olarak hesaplanmayıp ya tahmin edilerek veya zihinden işlem yapılarak bulunması, ii) Cevap verilen sorular için mutlaka onların bu cevaba nasıl vardıklarını kısaca açıklamaları, iii) Katılımcıların her soruya üç dakika ayırmaları ve birinci sayfadaki sorulara cevap verilmeden diğer soruların çözülmesine geçilmeyeceği belirtilmiştir. Araştırmacı tarafından testin sonuna kadar uygulama süreci adım adım izlenerek mümkün olduğunca yazılı algoritma yerine soruların tahmin edilerek cevaplandırılması ve birinci sayfadaki sorulara cevap verilmeden diğer sayfaya geçilmemesi noktasında uyarılarda bulunulmuştur. Böylece bütün katılımcıların her soruya eşit zaman ayırarak cevap verme fırsatı garanti edilmiştir. Verilerin Analizi Araştırmadan elde edilen verilen yüzde ve frekans bazında nicel olarak, betimsel analiz ve doküman incelemesi yöntemiyle nitel olarak analiz edilmiştir. Araştırmada, doküman incelemesi yöntemiyle sınıf öğretmen adaylarının her bir sayı duyusu bileşenlerine ait sorulara verdikleri cevaplar ve bu sonuca onları ulaştıran nedenler hakkında ifade ettikleri yazılı açıklamalarının içerik analizi yapılmıştır. Araştırma örnekleminin büyük olması ve SDT yer alan bütün sayı duyusu bileşenlerine ait her bir soru için içerik analizinin yapılması kabarık bir bilgi sunmaktadır. Ayrıca bütün soruların katılımcılar tarafından istenilen düzeyde açıklanmadığı da göz önüne alınarak SDT yer alan ve her bir sayı duyusu bileşenine ait birer soru olmak üzere beş soru üzerinden içerik analizinin yapılması uygun görülmüştür. Burada elde edilen veriler, içerik analizi tekniklerinden biri olan kategorisel analiz tekniği ile çözümlenmiştir. Kategorisel analiz belirli bir mesajın önce birimlere bölünmesini, ardından bu birimlerin belirli kriterlere göre kategoriler halinde gruplandırılmasını ifade eder (Bilgin, 2006). Bu nedenle araştırmacı ve iki sayı duyusu üzerine çalışan öğretim üyesi tarafından katılımcıların her bir sayı duyusu bileşenine ait soruya verdikleri cevaplar önce matematiksel açıdan doğru, yanlış ve cevapsız olmak üzere üç kategoride değerlendirilmiştir. Daha sonra doğru ve yanlış verilen cevaplarda literatürdeki kodlamalarda göz önünde bulundurularak kendi içlerinde sayı duyusu temelli [SDT], kısmen sayı duyusu temelli [KSDT], kural temelli [KT] ve açıklaması olmayan veya belirsiz cevaplar [AOBC] olmak üzere dört kategoride sınıflandırılmıştır. Bu kategoriler şöyledir. 1. Sayı duyusu temelli strateji; sayıların anlamı bilme, sayıların göreceliği büyüklüğünü bilme, referans noktası kullanma, sayıların işlemler üzerindeki etkilerini bilme, sonucu tahmin etme ve uygunluğunu değerlendirebilmeyi içermektedir. 2. Kısmen sayı duyusu temelli strateji; sayı duyusu temelli stratejilerin yanı sıra kâğıt kalem algoritması veya kural temelli stratejilerin birlikte kullanılması durumunu kapsamaktadır. Örneğin; sayıları karşılaştırırken 1 ve 0.5 noktalarını referans noktası olarak kullanırken 8/15 sayısının 0.5 ten büyük olduğuna karar verme durumunda ondalıklı sayıya dönüştürme gereği hissetme ve bunu gerektiğinde kağıt kalem algoritması kullanarak yapma. 3. Kural temelli strateji; bir kuralın uygulanması veya işleme dayalı sonuç elde etmeyi içermektedir. Örneğin; İki kesrin bölümünde birinci kesir aynen alınarak ikinci kesir ters çevrilip çarpılır. gibi. 4. Açıklaması olmayan veya belirsiz cevaplar; cevap verilmemesi veya yapılan açıklamanın istenilen durumu yansıtmaması halini belirtmektedir. Örneğin; 7/3, 1 ye daha yakın. Çünkü kolay bir soru gibi. Araştırmacı ve iki öğretim üyesinin değerlendirmelerindeki görüş birliği Miles ve Huberman ın (1994) belirttiği şu formülle hesaplanmıştır: Uzlaşma Yüzdesi=[Görüş Birliği / (Görüş Birliği + Görüş Ayrılığı)] x 100. Bu hesaplama sonucu uzlaşma yüzdesi 92 olarak bulunmuş ve belirlenen kategorilerin tutarlı olduğu sonucuna ulaşılmıştır. Uzlaşma sağlanamayan sorular tam bir sınıflama uzlaşması sağlanana kadar tekrar incelenmiş ve üzerinde tartışılmıştır. Katılımcıların verileri belirtilen şekilde kodlandıktan sonra yüzde ve frekans bazında nicel olarak değerlendirilmiştir. Bununla birlikte bulgularda katılımcıların soru çözümlerindeki tercih ettikleri stratejileri tercih etme nedenleri hakkında yaptıkları açıklamalardan doğrudan alıntılar yapılarak örnek cümlelere yer verilmiştir. 1957

8 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Bulgular Bu kısımda sınıf öğretmen adaylarının sayı duyusu bileşenlerine verdikleri cevaplar öncelikle doğru ve yanlış sonrada yukarıda ifade edildiği üzere kodlanarak kategorilere ayrılmıştır. Çalışma kapsamda elde edilen bulgular sayı duyu bileşenine ait her bir soru bazında aşağıda sunulmaktadır. 2) 7/13 daha yakındır. Parça bütün ilişkisinden yola çıkarsak 8 parçanın 3 ü yerine, 13 parçanın 7 si daha yakındır [6 kişi ]. Diğerleri ise kesirlerin paydalarını eşitleyerek ortak payda bulma yolunu seçmişlerdir. Örnek (bkz. Şekil 2) Bir öğretmen adayı ise Sayıların Anlam ve Büyüklüklerini Anlama Bileşenine Ait 3/8 mi yoksa 7/13 mü 1/2 ye daha yakındır? Neden bu cevabı verdiğinizi açıklayınız Sorusu Kapsamında Elde Edilen Bulgular Sayıların anlam ve büyüklüklerini anlama bileşenine ait 1. soruda sınıf öğretmen adaylarından işlem yapmadan 3/8 ve 7/13sayılarının 1/2 ye yakınlığını pay paydanın yarısına, payda payın iki katına veya yarıma ne kadar yakınsa verilen kesir 1/2 ye o kadar yakın olacağını tahmin etmeleri istenmektedir. Sayı duyusunun birinci bileşenine ait olan bu soruyu öğretmen adaylarının %77.44 ü (133 kişiden 103 ü) doğru cevap vermiştir. Bu öğretmen adaylarından otuz yedi si cevaplarını açıklarken kesirleri pay ve payda arasındaki ilişkiye göre karşılaştırmayı tercih etmişlerdir. Sınıf öğretmeni adaylarının verdikleri cevaplar örneklendirilirse; 1) 7/13 daha yakındır. Pay, paydanın yarısı veya yarısına yakınsa 1/2 ye daha yakın olur [16 kişi]. 2) 7/13 yakındır. Çünkü 1/2 yarım demektir. 7/13 de yarımdan biraz azdır [13 kişi]. 3) 3/8 yarısından az, 7/13 yarısından çok. Bu nedenle 7/13 yakındır [8 kişi]. şeklindedir. Bu cevaplar sayı duyusu temelli olarak kodlanmıştır. Otuz dört sınıf öğretmen adayı ise işleme dayalı kâğıt kalem algoritması kullanarak soruyu cevaplandırmışlardır. Bu algoritmaya dayalı çözümler kural temelli strateji olarak kabul edilmiştir. Bu stratejiyi tercih edenlere örnek olarak sınıf öğretmen adayı Ahmet in cevabı verilebilir (bkz. Şekil 1). Şekil 1. Ahmet in İşlem Kağıdı Bu kapsamda cevap veren on üç öğretmen adayı parça bütün ilişkisi kurmuştur. Örnek olarak aşağıdaki açıklamalar verilebilir. 1) 7/13 kesrinde payda daha fazla parçaya bölünüp yarısından daha fazla parçası alındığı için bu kesir 1/2 kesrine yakındır [7 kişi]. Şekil 2. Çağla nın İşlem Kâğıdı Çünkü aradaki fark azdır şeklinde açıklamada bulunmuştur. Bu cevapların hepsi kural temelli strateji kategorisinde değerlendirilmiştir. Soruyu doğru cevaplayan beş öğretmen adayı da verilen kesirlerin yarıma ulaşması için gerekli olan eksik parçaları belirleyerek cevap vermişlerdir. Öğretmen adayları bu eksik parçaları hesaplarken kesirleri ondalıklı sayıya dönüştürme gereği hissetmişler ve bazıları bunu kâğıt kalem algoritmasına kullanarak hesaplamışlardır. Örnek olarak Doğan adlı öğretmen adayının cevabı verilebilir (bkz. Şekil 3). Bu yöndeki cevaplarda kısmen sayı duyusu bileşeni olarak kodlanmıştır Şekil 3. Doğan ın İşlem Kağıdı Yirmi yedi öğretmen adayı ise doğru cevap vermelerine rağmen ya açıklama yapmamış veya açıklaması anlaşılamamıştır. Öğretmen adaylarının % ü (22 kişi) yanlış cevap vermiştir. Altı tanesi kesirleri ondalıklı sayılara çevirerek karşılaştırmayı tercih etmiştir. Kesirlerde işlem yapmadan cevap vermekte zorlanan öğretmen adayları sayıları ondalıklı sayı gibi daha kompleks bir yapıya dönüştürerek cevap aramayı tercih etmişlerdir. Örneğin, Selin adlı öğretmen adayının cevabı şöyledir. 3/8, 1/2 ye daha yakındır. Çünkü 3/8 yaklaşık olarak gibi bir değere karşılık gelir. 1/2 = 0.50 dir. 7/13 ise gibi bir değere karşılık gelir. 1958

9 ŞENGÜL / Sınıf Öğretmeni Adaylarının Kullandıkları Sayı Duyusu Stratejilerinin Belirlenmesi Burada bölme işleminde yapılan yanlış nedeniyle sonuç yanlış olmuştur. Bu cevaplar kısmen sayı duyusu olarak kodlanmıştır. Diğerleri ise genelde yarıma yakınlık ilişkisi kurmadan önceki bildikleri kuralları hatırlayarak veya kâğıt- kalem algoritması kullanarak payda eşitleyip cevap vermişlerdir. Öğretmen adaylarından altı tanesi bütün parça ilişkisi kurarak 3/8 daha yakındır. Çünkü ikisi de yakın değer olmasına rağmen 3/8 daha az parçaya bölünmüştür. gerekçesini öne sürerken, dört öğretmen adayı 3/8 daha yakındır. Çünkü aralarındaki fark eşit olursa pay ve paydası küçük olan daha yakın olur. şeklinde cevaplarını nedenlendirmiştir. 2 öğretmen adayı ise 3/8 daha yakındır. Payda eşitledim. 3/8 daha yakındır, İşlem yaptım öyle çıktı. açıklamasında bulunmuştur. Bu cevaplar yanlış kategorisinde kural temelli strateji olarak ele alınmıştır. Öğretmen adaylarının eğer kesrin pay ve paydası arasındaki fark eşit ise payı küçük olan büyüktür kuralını yanlış hatırlayarak soruya yanlış cevap verdikleri görülmüştür. Sayı duyusu kullanarak yanlış cevap veren öğretmen adayı bulunmamasına rağmen on öğretmen adayı yanlış cevabına bir neden yazmamıştır. Bunlardan birisi 1/2 daha yakın. Çünkü kolay bir soru cevabını vermiştir ki bu ise sorunun doğru anlaşılamadığı göstermektedir. Bu cevapta belirsiz açıklama kategorisinde değerlendirilmiştir. Ayrıca, sekiz sınıf öğretmen adayı ise İşlemle tahmin edilebilir şeklinde düşüncelerini açıklayarak soruya cevap vermemişlerdir. 2. Şekil 4. Can ın Açıklaması şeklinde açıklamışlardır ki bu cevaplar sayı duyusu olarak değerlendirilmiştir. Dört öğretmen adayı sonucu tahmin edemeyeceklerini bu nedenle ondalıklı sayıları kesirlere dönüştürerek ortak payda oluşturma yoluna gitmişlerdir. Kâğıt-kalem algoritması kullanarak cevap veren öğretmenlerin cevapları kural temelli olarak kodlanmıştır. Mehtap adlı öğretmen adayının işlem kâğıdı örnek gösterilebilir (bkz. Şekil 5). Şekil 5. Mehtap ın İşlem Kağıdı Bu öğretmen adaylarından Aylin ise verilen ifadeler yerine daha basit ifadeler alarak işlem yapmıştır. Sonucu işlemlerden sonra tahmin etmiştir. Burada öğretmen adayının yaptığı aslında işlemsel tahmindir ama bu çalışmada öncelikle kâğıt-kalem algoritması ile sonuca gittiği için çalışma kapsamında bu açıklama kural temelli algoritmaya dâhil edilmiştir (bkz. Şekil 6). Aşağıdaki sayıları büyükten küçüğe doğru sıralayınız. Neden bu cevabı verdiğinizi açıklayınız. a) 0.74 x 8.6 b) c) 0.74: 8.6 d) Sorusu Kapsamında Elde Edilen Bulgular İşlemlerin etkilerini anlama bileşenine ait olan bu soru da sınıf öğretmen adaylarından çarpmanın daima büyütüp bölmenin daima küçülten bir işlem olmayabileceğini fark etmeleri beklenmektedir. Fakat öğretmen adaylarının soruyu hiç düşünmeden mutlaka çarpma varsa işlem büyür, bölme varsa sayı ne olursa olsun küçülür ön bilgileri ile hareket ettikleri gözlenmiştir. Bunun sonucu olarak öğretmen adaylarının yalnızca %17.29 (23 kişi) bu soruyu doğru cevaplayabilmiştir. Bu öğretmen adaylarından yalnızca ikisi cevaplarını 1. a seçeneği 8.6 dan küçüktür, b seçeneği 8.6 dan büyük, c seçeneği 0 a yakın, d seçeneği negatif olduğu için b>a>c>d olur. Şekil 6. Aylin in İşlem Kağıdı On yedi öğretmen adayı da sadece doğru cevap verip açıklama yapmamıştır. Öğretmen adaylarının yarısından fazlası yani %68.42 (133 kişiden 91 kişi) soruyu yanlış cevaplandırmışlardır. En yüksek yanlış cevaplanma oranı bu soruda olmuştur. Yanlış cevap veren on öğretmen adayından dördü cevaplarını 0.74 odak nokta alınırsa d<a<b<c olur şeklinde açıklamışlardır. Bu cevap sayı duyusu olarak kabul edilirken diğer altı öğretmen adayının d negatif, b, 1 e yakın, a, 1 den büyük, c ters çevrilecek dolayısıyla a>b>c>d olur. şeklindeki açıklamaları kısmen sayı duyusu olarak kodlanmıştır. Burada öğretmen adayları (c) şıkkındaki 1959

10 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ bölme işleminde yine kesirlerde bölme algoritmasını kullanma gereği hissetmiştir. Yanlış cevap veren öğretmen adaylarından kırk tanesi de cevaplarını şu şekilde açıklamışlardır. 1. Çarpma yapınca en büyük sayıyı elde ederiz. Bölmede ise en küçüğü elde ederiz. Çarpmadan sonra toplama en büyük, çıkarma işleminde daha küçük sayı elde ederiz. 2. Aynı sayılarla yapılan işlemlerde en büyük çarpma işlemi, sonra toplama işlemi, sonra bölme işlemi, ilk sayı ikinci sayıdan küçük olduğu için en küçük çıkarma işlemi olur. Bu açıklamalar yanlış kategorisinde kural temelli strateji olarak kabul edilmiştir. Yanlış cevap veren kırk bir öğretmen adayı ise açıklamada bulunmamıştır. On dokuz öğretmen adayı da Bilemedim. Kesirli virgüllü sayıları yapamıyorum. İşlem yapmadan cevap olmadı. açıklaması ile soruyu cevaplandırmamıştır. m sayısını 0.25 e bölmek yerine kaç ile çarparsak aynı sonucu buluruz? Neden bu cevabı verdiğinizi açıklayınız (a) 1/2 (b) 2 (c) 25/100 (d) 4 Sorusu Kapsamında Elde Edilen Bulgular Sayı duyusunun 3. bileşeni olan sayıların eşdeğerini bilme bileşeni ile ilgili bu soruda 0.25 sayısının 1/4 sayısına denk olup m sayısının 1/4 kesrine bölünmesinin 4 ile çarpımına eş değer olabileceğini ön görmeyi gerektirmektedir. Öğretmen adaylarının %74.44 (133 kişiden 99 u) bu soruya doğru cevap vermişlerdir. Öğretmen adaylarından Ümit in bu soruya 0.25 çeyreği yani 1/4 ifade eder. Bir bütünde 4 tane çeyrek vardır. m de ise 4m tane çeyrek vardır şeklindeki cevabı sayı duyusu olarak alınmıştır. On üç öğretmen adayı soruyu sayı duyusu ile cevaplandırarak şu açıklamalarda bulunmuşlardır bir sayısı 4 te 1 i demektir. Dolayısıyla ha e bölmüşüz ha 4 ile çarpmışız. Sonuç her iki durumda da aynı olur Bir bütünü çeyreğe bölünce alınan sonuç 4 ile çarpmaya eşit olur. Diğer doğru cevap veren elli üç öğretmen adayı ise cevaplarını şöyle açıklamışlardır sayısı 1/4 kesrine eşittir. Rasyonel bir sayıyı bir sayıya bölmek demek ters çevirip çarpmak demektir. O halde 4 ile çarparız = 1/4 e bölme işleminde 1. sayı aynı alınıp 2. cisi ters çevrilip çarpılır. Bu yüzden 4 ile çarpılır. Bu açıklamalar kural temelli bir strateji olarak benimsenmiştir. Mevcut durumu göz önüne alırsak öğretmen adaylarının çoğunluğunun yine kâğıt -kalem algoritmasına daha fazla güvendiklerini söylenebilir. Doğru cevap veren diğer otuz üç öğretmen adayı ise açıklamada bulunmamıştır. Soruya %24.06 (133 kişiden 32 si) öğretmen adayı yanlış cevap vermiştir. Bunlardan ikisi cevaplarında 0.25 e bölmek demek 100 de 25, 4 kere olduğundan sonuçta 4 e bölmek demektir. açıklamasına yer vermişlerdir. Bu cevap sayı duyusu olarak kodlanmıştır. Diğer yirmi bir öğretmen adayı ise kesrinin 0,25 = 25 = denkliğini bilmelerine rağmen işlem üzerinde etkilerinde yanlış yapmışlardır. Örneğin; 1. Çünkü 0.25 = 25/100 tir. ( c) şıkkı doğrudur. 2. Bir sayıyı ondalıklı sayıya bölme o sayıyla aslında çarpmak demektir. (d) şıkkı doğrudur. 3. Çünkü bir kesri genişletmek /sadeleştirmek kesrin değerini değiştirmez. 25/100 kesride 1/4 de denk olur, (c) şıkkı doğrudur. açıklamalarında bulunmuşlardır. Bu açıklamayı yapan yirmi bir öğretmen adayının cevapları kural temelli kategorisinde değerlendirilmiştir. Yanlış cevap veren yedi öğretmen adayı da açıklama yapmamıştır. Kesin olarak cevaplamayan iki öğretmen adayı bir gerekçe göstermeden bilmiyorum cevabını vermişlerdir x = sayısında virgülün yeri unutulmuştur. İşlem yapmadan virgülün yerini belirleyiniz. Neden bu cevabı verdiğinizi açıklayınız. a) b) c) d) Sorusu Kapsamında Elde Edilen Bulgular Sayı duyusunun zihinden hesaplama ve hesaplamada esneklik bileşeni ait bu soruda verilen sayının yarıma yakın olma durumu düşünülerek işlem yapmadan ondalık basamağının yerinin tahmin edilmesi istenmektedir. Bu durum kural temelli bir stratejinin hemen uygulanmasından ziyade mevcut duruma göre uyarlanma yapılmasını gerektirmektedir. Çünkü soru dikkatle incelenirse sonucun sıfırla bittiği açıktır. Sınıf öğretmeni adayları bu soruda zorlanmışlardır. Öğretmen adaylarının yalnızca %11.28 i (133 ün 15 i) soruya doğru cevap vermiştir. Dört öğretmen adayı cevaplarını savunmak için referans noktaları kullanmıştır. Örneğin; yarım demektir in yarısı yaklaşık (c ) şıkkıdır. 1960

11 ŞENGÜL / Sınıf Öğretmeni Adaylarının Kullandıkları Sayı Duyusu Stratejilerinin Belirlenmesi 0.49 u 0.5 gibi düşündüm. O zaman in yarısı gibi bir değer olacak. Virgülü de ona göre yerleştirdim. Bu yaklaşımlar sayı duyusuna dayalı strateji olarak kaydedilmiştir. Üç öğretmen adayı kuralı uygulayarak şuna karar vermiştir. Çarpım dört ondalık rakamı içeriyor ve çarpan bir ondalık rakam içeriyor, bu yüzden sonuç 4+1=5 ondalık rakama sahip. Fakat 75x8 çarpımının sonucunda iki sıfır geleceği için virgül üç basamak kaymalıdır. Böylelikle cevap olur. Bu öğretmen adayları bir kurala güvenmekle beraber bu hesap için neyin mantıklı olacağı düşüncesini birleştirerek doğru cevabı bulabilmişlerdir. Böylelikle bu cevaplar kısmen sayı duyusuna dayalı olarak kabul edilmiştir. Bir öğretmen adayı ise; İlk sayıda dört basamak sonra, ikinci sayıda bir basamak sonra virgül vardır. Basamak farkından dolayı üç basamak önce virgülün yeridir. açıklaması yapmıştır ki bu cevap kural temelli olarak kaydedilmiştir. Cevabı doğru olan dört öğretmen adayı ise açıklama yapmamıştır. Yanlış cevap veren %58.65 (133 kişiden 78 i) aday öğretmenden yaklaşık sekizde biri (17 kişi) sayı duyusuna dayalı yöntemi kullanmıştır. En çok kullanılan cevaplar; sayısını yarım sayarsak diğer sayıyı ikiye bölmüş oluruz. Bu nedenle (a) şıkkıdır [4 kişi] = 0.5; 9428 = 9000 olarak düşündüğümde b şıkkı doğru göründü. Cevap dir [3 kişi]. 3. Çünkü i 1/2 ye yuvarlasam sayısının yarısı gibi bir şey çıkar. Buna en yakın seçenek (d) şıkkıdır [10 kişi]. Öğretmen adaylarından işlem yapmadan sonucu tahmin etmeleri istenmesine rağmen otuz sekiz öğretmen adayı bu yolu tercih ederek yanlış cevap vermiştir. Verilen cevaplar şöyledir. 1. Virgül den sonra toplamda kaç basamak varsa sonuçtaki sayıdan soldan başlayarak o kadar kaydırılır [8 kişi] 2. Çarpma işleminde virgülden sonraki basamak sayısı toplanır [12 kişi]. 3. Matematikte öyle bir kural öğrenmiştim. Normal işlem yaptıktan sonra kaç basamak virgül varsa sonuç o kadar kaydırılır [10 kişi]. 4. Virgülden sonraki sayıların adedi çarpan durumundaki sayıların virgülden sonraki sayı adetleri toplamı kadar olmalıdır [7 kişi]. 5. 8x4= 40 bu sıfırı da hesaba katarsak virgül 5 sayı değil, 4 sayı kayar. Böylelikle cevap [1 kişi]. Bu cevaplar ya işleme dayalı veya daha önceden bilinen bir kurala dayalı olması nedeniyle kurala dayalı strateji olarak kaydedilmiştir. Yirmi üç öğretmen adayı yanlış cevap verip açıklama yapmamışken, kırk öğretmen adayı ise işlem yapmak gerekiyor düşüncesiyle bu soruya cevap vermemişlerdir. Ali km, Ayşe 13/ 38 km, Murat 8/ 15 km, Mine 17/ 16km, Deniz km ve Betül 7/29 km yürümüşlerdir. Herhangi bir işlem yapmadan en yakından en uzağa göre yürüyenleri sıralayınız. Neden bu cevabı verdiğinizi açıklayınız Sorusu Kapsamında Elde Edilen Bulgular Sayı duyusu bileşeninin Ölçüm referansları bileşenine ait bu soruda 1, 1/2, 1/3 ve 1/4 referans nokta göz önüne alınarak kesirlerin ve ondalıklı sayıların sıralanmasını söz konusudur. Aday öğretmenlerin %25.6 sı (133 kişiden 34 ü) verilen değerleri doğru sıralamıştır. Doğru cevabı veren sınıf öğretmeni adaylarından yalnızca altı tanesi açıklamalarında referans noktalarını kullanmıştır. Referans noktalara göre cevap veren öğretmen adaylarından Müge Mine en uzağa yürümüş 1 km yi geçmiş. 2. Deniz olur, çünkü 1 km ye çok yaklaşmış; 3. Ali olur, Çünkü yarım km yürümüş 4. Ayşe dir yaklaşık 1/3 km yürümüş 5. Betül dür yaklaşık 1/4 km yürümüş. şeklinde açıklamada bulunmuştur. Bu açıklamalar sayı duyusu olarak kaydedilmiştir. Beş öğretmen adayı da 1/2ve 1/4 kesirleri yerine 1, 0.2, 0.3 ve 0.5 i referans noktalarını göz önüne alıp kâğıt-kalem algoritması kullanarak sonuca ulaşmışlardır. Burada öğretmen adayları cevapları açıklarken kâğıt-kalem algoritması kullanmasına rağmen kesirlerin ondalık basamaklı olarak eş değerlerini bilmelerinden dolayı bu cevaplar kısmen sayı duyusuna dayalı olarak kodlanmıştır. Örneğin; Şekil 7. Samet in Cevap Kağıdı 1961

12 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ On bir öğretmen adayı ise; veya Kesirlerin paydalarını eşitleyerek kesirleri sıraladım şeklinde cevap vermiş olup bütün bunlar doğru ve kurala dayalı strateji olarak kaydedilmiştir. Geriye kalan on iki öğretmen adayı ise doğru cevap vermiş olmalarına rağmen sınıflanabilecek herhangi bir açıklama yapmamıştır. Bunlar belirsiz kategorisinde değerlendirilmiştir. Öğretmen adaylarından %42 (133 kişiden 57 si) cevaplarına karar vermek için kâğıt ve kalem algoritması kullanmışlardır. Fakat hatalı hesaplama yapmaları nedeniyle yanlış cevap vermişlerdir. Bu öğretmen adaylarından on dört ünün Betül <Ayşe < Ali< Murat < Mine< Deniz. Betül en az çünkü 0.25 e karşılık gelir. Deniz ise 1 e yakın olandır. Tahmini olarak kesirleri ondalığa çevirirsek bu sonuç çıkar. şeklindeki cevapları kısmen sayı duyusu olarak kabul edilmiştir. Yirmi dört öğretmen adayı da; Pay-paydadan ne kadar küçük olursa değer o kadar küçüleceğinden Betül, Ali, Ayşe, Murat, Deniz, Mine olur. veya Pay ve payda arasındaki farklardan dolayı Deniz, Betül, Ayşe, Ali, Murat, Mine olur. şeklindeki cevaplar kurala dayalı yöntem olarak sınıflandırılmıştır. On altı öğretmen adayı ise yanlış cevap vermiş fakat açıklama yapmamıştır. Öğretmen adaylarından %31.58 (133 kişiden 42 si) çözmekte zorlanıyorum veya kesirli sayılarla aram iyi değil şeklinde açıklama yaparak soruya cevap vermemişlerdir. Tartışma Sayı duyusunun açık ve net bir şekilde tanımlanabilmesi ancak onu oluşturan bileşenlerin belirlenmesiyle mümkündür (McIntosh ve ark., 1992, s. 8). Bu nedenle verilerin analizi, ülkemizde sınıf öğretmen adaylarının sayı duyularının incelendiği bir çalışma bulunmaması ve öğretmen adaylarının problem çözümlerinde sayı duyusu bileşenlerinden hangilerini daha sıklıkla kullandıklarının belirlenmesi için öncelikle sayı duyusu ile ilgili alan yazını göz önüne alınarak her bir bileşene göre ayrı ayrı yapılmıştır. Ayrıca, soruların analizindeki kodlamalarda matematik müfredat programının yapılandırmacı görüş doğrultusunda yapılandırılması sonucu olması gereken durum ile programın uygulayıcıları olan öğretmenlerin yaklaşımları da göz önüne alınarak gerçek durumun daha iyi sunulması düşünceside göz önünde bulundurulmuştur. Sayı duyusu kazanımı formal eğitim başlamadan çok önce edinilen aşamalı ve gelişimsel bir süreçtir. Sayı duyusunun erken yaşlarda kazanımına ilişkin deliller olmasına rağmen ilerleyen yaşlar, sayı duyusunun gelişimini garanti etmemektedir. İlginçtir ki öğrencilerin teknik matematik bilgisi arttıkça sayı duyusu stratejilerini kullanmaları azalmaktadır (Kayhan, 2010). Bu durumunun düzeltilmesinde etkin rol üstlenecek olan ilk matematik eğitimini veren sınıf öğretmenleri olduğu göz önüne alınırsa sınıf öğretmenleri adaylarının eğitiminin önemli olduğu söylenebilir. Bu nedenle çalışmanın birinci amacı ülkemizde özellikle sınıf öğretmeni adaylarının sayı duyusu profillerini ortaya koymak; ikincisi ise matematiğin kalbi sayılabilecek sayı duyusunun gelişimine katkıda bulunacak öğretmen eğitimi programına bu nokta itibariyle dikkat çekmektir. Çalışma bulguları, sınıf öğretmeni adaylarının sayı duyusu bileşenlerine göre performans seviyeleri arasında büyük çeşitlilik olduğunu göstermektedir. Soru 1 deki %77.44 gibi yüksek bir doğruluk oranından soru 4 teki %11.28 gibi düşük bir doğruluk oranına geçiş söz konusudur. Bu sonuçlar Yang ve arkadaşlarının (2009) çalışmalarıyla da paralellik göstermektedir. Sınıf öğretmeni adaylarının 1. soruda %27.82 lik bir yüzde ile en yüksek sayı duyusu kullanma performansı göstermelerine rağmen işlem yapılarak tahmin edilir diyerek cevap vermemeyi tercih edenlerle birlikte öğretmen adaylarının %36 sı kural temelli strateji ile çözüme gitmeye çalışmışlardır. Testin uygulamasında yazılı hesaplama yapmadan işlemleri tahmin ederek çözmeleri istenmesine rağmen sınıf öğretmeni adaylarının kesirleri birbiri ile karşılaştırırken kesirleri ortak payda da birleştirme veya ondalıklı sayılara dönüştürmek için kâğıt-kalem algoritmasını kullanmışlardır. Sonuç itibariyle öğretmen adaylarının sorulara doğru ve yanlış cevap verme oranları göz önüne alındığında soruların büyük çoğunluğunda kural temelli stratejileri tercih ettikleri söylenebilir. Araştırmanın bu bulgusu daha önce yapılmış araştırma bulgularıyla paralellik göstermekte ve onları desteklemektedir (Reys ve Yang, 1998; Reys ve ark., 1999). Ayrıca ulaşılan bu sonuç Tsao nun (2005) ve Yang ın (2007) sınıf öğretmen adayları ile yaptıkları araştırma bulgularıyla da paralellik sergilemektedir. 1962

13 ŞENGÜL / Sınıf Öğretmeni Adaylarının Kullandıkları Sayı Duyusu Stratejilerinin Belirlenmesi Sınıf öğretmeni adaylarından 2. soruda sayıların 1 e yakınlık durumuna göre dört işlemin etkilerini gözlemleyerek sayı duyusu ile sonucu tahmin etmeleri beklenmiştir. Buna rağmen onların genelde önceki bilgilerinden hareketle çarpma büyütür, bölme küçültür kural temelli algoritma kullanarak veya kâğıt-kalem algoritmasıyla verilen bütün kesirlerde ortak payda oluşturarak sonuca ulaşmışlardır. Referans noktası kullanılarak sayı duyusu ile kolaylıkla cevap verebilecek bir soruya mantıklı bir sorgulama sürecine başvurmadan yüzeysel bir düşünmeyle ezbere dayalı bilgilerle cevap verme yolunu benimsemelerinden dolayı %68.42 gibi büyük bir oranla yanlış cevap vermişlerdir. Bu bulgu öğrencilerin işlemlerin etkilerini anlama bileşeninde çarpma büyütür, bölme küçültür genellemesi ile hareket ettiklerinin ifade edildiği (Ball, 1990b; Harç, 2010; Mack, 1995; Şengül ve Gürel, 2003) çalışmalardaki sonuç ile tamamen örtüşmektedir. 3. soruda sınıf öğretmeni adaylarından verilen işlemde sayıların eşdeğer ifadelerini bilip bilmediklerinin sorgulanmaktadır. Bu soruda öğretmen adaylarının yarısından fazlası (%55.6) yine işlem yaparak ve daha önceki bildikleri kuralları hatırlayarak çözüme gitmişlerdir. Araştırmanın bu bulgusu, Ball un (1990a) sınıf öğretmen adaylarının matematiksel anlayışlarının kurallara dayandığı ve diğer matematiksel işlemlerle ilişkisi olmadığını tespit ettiği araştırma bulgusu ile paralellik göstermektedir. Özellikle soru 2 ve soru 3 te hemen hemen soruların kural temelli stratejiler ile cevaplanması dikkat çekicidir. Yine 4. soruda esnek düşünerek problem çözebilmek için referans noktaların kullanılmasını gerektiren bu soruda iki ondalıklı sayıyı çarparken ondalığın doğru yerleştirilmesi gerekiyordu. Burada soru çok dikkatle incelenerek daha önceki ezbere bilinen bir kuralın hemen uygulanması yerine sonucun sıfırla bitmesinden dolayı mevcut duruma yeni bir uyarlamasının yapılması söz konusuydu. Fakat öğretmen adaylarından kırk tanesi işlem yapılması gerekir diye soruyu boş bırakırken otuz sekiz tanesi de kural temelli strateji kullanarak yanlış cevap vermişlerdir. Bu sonuç öğretmen adaylarının %58.6 nın problem çözümlerinde önceden bildikleri kural temelli stratejileri kullanmaya eğilimli olduklarını göstermektedir. Sınıf öğretmeni adaylarının yalnız %11.28 i soruya doğru cevap vererek en düşük performansı bu bileşende göstermişlerdir. Yang ve arkadaşlarının (2009) çalışmalarında sınıf öğretmen adaylarının ondalıklı bir kesirde virgülün yerinin belirlenmesinde yaklaşık %60 ının kural temelli stratejilerle çözüme ulaştıkları belirtilmektedir. Araştırmanın bu bulgusu belirtilen çalışma ile paralellik göstermektedir. Bu bulgu soruların cevaplanmasında referans noktalarını kullanarak zihinden hesaplamanın birçok öğrenci için doğal ve kolay bir yöntem olmadığı sonucunun ifade edildiği Reys ve arkadaşlarının (1999) çalışmaları ile de tutarlılık göstermektedir. Sınıf öğretmeni adaylarından 5. soruda ondalıklı sayılar ile kesirli sayıların bir arada verilerek sıralanması istenmiştir. Öğretmen adaylarının %31.58 si soruyu çözmekte zorlandıklarını açıklayarak cevaplamamışlardır. Doğru cevap veren sınıf öğretmen adayları ise referans noktası yerine kural temelli stratejileri kullanmışlardır. Bu stratejiyi tercih edenlerin ya kesirleri ondalıklı sayılara veya da ondalıklı sayıları kesirlere dönüştürdükleri gözlenmiştir. Yang ve arkadaşlarının (2009) çalışmalarında öğretmen adayları bu soruyu çoğunlukla kural temelli stratejiler kullanılmalarına rağmen %90 oranında doğru cevaplandırmışlardır. Çalışmamıza katılan sınıf öğretmeni adaylarının ise ancak %25 i doğru cevap vermiştir. Çalışmanın bu bulgusu daha önce yapılan araştırma bulgusu ile paralellik göstermemektedir. Bütün sorulara verilen cevaplar göz önüne alınırsa sınıf öğretmeni adaylarının yaklaşık on da biri cevaplarını açıklarken sayı duyusunun bileşenlerini (referans nokta kullanımı, tahmin etme ve sonucun tutarlılığı) kullanmışlardır. Ayrıca, soruya cevap vermeyen öğretmen adaylarının kural temelli stratejiyi kullanmadan çözülemeyeceğini ifade ettikleri de göz önüne alınırsa öğretmen adaylarının yarısından fazlası (%51.56) kural temelli stratejileri kullanmaya eğilimli olduğu açıktır. Yang ve arkadaşlarının (2009) yaptıkları araştırma sonucunda öğretmen adaylarının beşte birinin, kıyaslama (referans) noktası kullanımı ve sayı büyüklüklerini farkına varma gibi sayı duyusu stratejilerini kullanırken diğer öğretmen adaylarının kural temelli stratejileri kullandıkları belirlenmiştir. Diğer yandan, Harç (2010), Kayhan Altay (2010), Reys ve Yang (1998), Yang, Reys ve Reys (2009); Şengül ve Gürel (2003), Tsao (2005), Yang ve Reys (2002) ve Yang (2005) tarafından yapılan çalışmalarda göstermektedir ki 6., 7., ve 8. sınıf öğrencileri sayı duyusu özelliğinden daha fazla işleme dayalı hesaplama yapma ve kural temelli stratejileri kullanma eğilimlidirler. Araştırmanın ortaya koyduğu bu bulguda belirtilen araştırma bulgularını destekler niteliktedir. Ayrıca sınıf öğretmeni adayları için elde edilen sonuçlar Amerika, Avustralya, Kuveyt, İsveç, Tayvan ve ülkemizdeki öğrencilerin sayı duyularını araştırmak için yapılan çalışmalarda kullandıkları tespit edilen stratejilerle şaşırtıcı bir şekilde benzerlik göstermektedir. Sınıf öğretmen adaylarının sayı duyusunun bütün bileşenlerinde kağıt kalem algoritması ve kurala 1963

14 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ dayalı stratejileri tercih etmeleri üniversite geçmişleriyle beraber eğitim hayatlarında kendilerine sunulan öğretme yaklaşımlarının bir göstergesi olarak kabul edilebilir. Bu nedenle sınıf öğretmeni adayları için elde edilen sonucun çokta şaşırtıcı bir durum olmadığı söylenebilir. Özellikle problem çözücü bireyler yetiştirilmesinin amaçlandığı bir matematik müfredat kapsamında durum değerlendirilirse, genellikle tek bir çözüme ve kesin sonuca odaklı eğitim hayatımızın esnek düşünebilme, zihinden işlem yapma ve gerektiği durumlarda tahmini sonuçların bile sonuç hakkında bir fikir verebilmesi noktasında güven telkin etmediği söylenebilir. Sonuç ve Öneriler Sınıf öğretmeni adaylarının sayı duyusunu değerlendirmek için yapılan bu çalışma ülkemizdeki sınıf öğretmeni adaylarının bütün resmini ortaya koyamasa da gelecekte sayı duyusu yönünden gelişmiş öğrencilerin yetiştirilmesi için öğretmen eğitiminde üzerinde durulması gereken noktaların tespiti için yararlı işaretler sunmuştur. Çalışma bulguları aslında yıllarca süren eğitim hayatımız hakkında da önemli ipuçları vermektedir. Öğretmen adaylarının yoğun bir şekilde kural temelli bir yaklaşımı tercih etmeleri kendilerine bilginin sunulma şeklini de ortaya koymaktadır. Böylesi bir durumun sebebi olarak öğretmen adaylarının sürekli sınav sistemi içerisinde ve kendilerinin kesin sonucu bulmaları beklentisi içerisine sokulmasının doğal bir sonucu olduğu söylenebilir. Aslında, 2005 yılında ülkemizde gerçekleştirilen yeni yapılandırılmış matematik programında öncekine nazaran sonucu tahmin etme ve esnek düşünebilme becerilerine dayalı problem çözme süreçlerine daha fazlaca yer verilmektedir. Fakat ülkemizde son yıllarda yapılan çalışmalarda öğrencilerin hâlâ sayı duyusunu kullanma becerilerinin düşük olduğu belirtilmektedir (Harç, 2010; Kayhan Altay, 2010). Bu sürecin yansımalarının daha net görebilmesi için aynı sürecin daha uzun yıllara yayılmasının gerekli olduğu düşünülmektedir. Ekenstam a göre (1977) sayı duyusu, matematiksel kavramlar, bilgiler ve beceriler arasındaki çeşitli ilişkilerin geliştirilmesini kapsamakta ve bu yüzden ihtiyaç duyulduğunda kavramların birçoğuna aynı anda erişimini sağlamaktadır. Bu ilişkileri kavramayan ve anlamayan öğrenciler günlük hayattaki pratik sorunlarla baş etmek için birçok kuralı öğrenmek ve hatırlamak zorunda kalmaktadır. Ayrıca, standart yazılı algoritma üzerindeki aşırı vurgu yapılmasının çocukların sayı duyusu kullanımlarını engellemekle beraber akıl yürütme, tahmin etme, yorum yapma gibi önemli düşünme becerilerinin gelişmesi de engellediği belirtilmektedir (Burns, 1994; Hiebert, 1999; Kamii, Lewis ve Livingston, 1993; Reys ve Yang, 1998; Wearne ve Hiebert, 1988; Yang, 2005; Yang ve Reys, 2002). Araştırmacılar zihinsel hesabın ve tahminin gerekli olduğunu vurgulamışlardır. Leutzinger (1999) ise öğrencilere düşünme stratejilerini geliştirme imkanı veren tekrarlı uygulamalar üzerinde daha fazla zaman harcanmasını tavsiye etmiştir. Calvert ta (1999) düşünmeden veya anlamadan süreçleri uygulamanın standart kâğıt-kalem algoritmasına bağımlılığa iteceğinden dolayı Leutzinger le aynı fikri paylaşmaktadır. NCTM (1995) ise zihinsel matematik stratejileri, sayı duyusunu kullanma ve hesaplama durumlarındaki işlemlerde ezberlenmiş kurallar yerine kavramsal anlama boyutunun işe koşulmasını vurgulamaktadır. Alajmi ve Reys (2007); Reys ve arkadaşlarının (1999) ifade ettikleri ülkelerdeki çocuklar ve öğretmenler aynı sorunları paylaşıyor düşüncesinin ülkemiz içinde geçerli olduğu söylenebilir. Bu düşünceden hareketle gelecekte problem çözücü bireyler yetiştirilmesi isteniyorsa problem çözücü öğretmenlerin yetiştirilmesi esastır. Bu nedenle ilköğretimin ilk yıllarında görev alacak sınıf öğretmeni adaylarının eğitimleri bu noktada önem taşımaktadır. Eğer öğrencilerin sayı duyularının geliştirilmesi isteniyorsa o zaman sayı duyusu üzerinde öğretmen adaylarının bilgi düzeylerinin geliştirilmesi önem verilmelidir. Bu çalışma bulguları ile beraber alan yazında yer verilen araştırma sonuçları da öğretmen adaylarının kurala dayalı yazılı hesap yapma zincirlerinden kurtarılması ve sayı duyusunun önemli özelliklerini geliştirmeye yönelik öğrenme ortamlarının hazırlanması noktasında üzerinde düşünülmesi gerektiğini vurgulamaktadır. Diğer yandan sınıf öğretmeni adaylarının öğrencilerin sayı duyuları hakkındaki durumlarından haberdar edilerek öğrencilerin sayı duyusu becerileri nasıl geliştirilebilir bu konuda nasıl ders planları hazırlanıp ne tür aktivitelere yer verilmesi gerektiği hakkında deneyim kazandırılmalıdır. Ayrıca, öğretmen adaylarına zihinden işlem yapma ve tahmin etme becerilerinin uygun eğitimlerle geliştirilebildiği noktasında uygulamalı eğitimler verilerek öğretmen adaylarının sayı duyusunun, önemi ve nasıl geliştirilmesi gerektiğini anlamalarının sağlanması öğrencilerin de sayı duyularının gelişimine yardımcı olabilecektir. İleride yapılacak çalışmalar için sınıf öğretmeni adaylarının matematik öz yeterlik ve sayı duyusu bileşenlerinin kullanılma düzeyleri; öğretmen adaylarının üst biliş düzeyleri ile sayı duyusu kullanma becerileri arasındaki ilişkilerin incelenmesinin yararlı olacağı düşünülmektedir. 1964

15 Educational Sciences: Theory & Practice - 13(3) Educational Consultancy and Research Center DOI: /estp Identification of Number Sense Strategies used by Pre-service Elementary Teachers Sare ŞENGÜL a Marmara University Abstract The purpose of this study was to identify the use of number sense strategies by pre-service teachers studying at the department of elementary education. Compared to the previous one; new mathematics curriculum places more emphasis on various strategies such as estimation strategies, computational estimation strategies, rounding and mental computation, which are among the fundamental components of the number sense. The study was undertaken within the framework of the question What strategies do the pre-service teachers, who will implement this curriculum, use while solving problems requiring number sense?. 133 pre-service teachers from the Elementary Education Department in a State University in the province of Istanbul participated in this study. Number Sense Test about five different number sense components was used as a testing instrument. Findings were analyzed with qualitative and quantitative methods. At the end of the research, pre-service teachers number sense was found to be very low. When solution methods were analyzed, it was found that pre-service teachers preferred using rule based methods instead of number sense in each of the components. This finding was consistent with prior studies that show pre-service teachers preference of written methods to number sense methods. With regard to research findings, suggestions were offered for future studies by emphasizing the necessity for measures to increase pre-service teachers knowledge on number sense as well as its use. Key Words Number Sense-Based Strategies, Partial Number Sense-Based Strategies, Estimation, Pre-service Elementary Teachers. When a student is asked to do the multiplication of 4.5 x 1.2, s/he gives the answer 54.0 by multiplying decimal numbers and by paying attention to the decimal digit (Reys et al., 1991, p. 3). When a thirteen-year-old student was asked to estimate the addition of 12 3 and 7 in America, among the choices 8 of 1, 2, 19, 21 and I don t know, 50% of the students chose the alternatives of 19 or 21 (Carpenter, Corbitt, Kepner, Lindquist, & Reys, 1980). When 8th-grade students were asked the question How many fractions are there between 2 5 and 3? 46% 5 of these students answered as There is no fraction (McIntosh, Reys, & Reys, 1992). When the question If 750 is divided by 0.98, is the result larger, smaller or equal to 750? was posed to the students in Turkey, 74% of the 4th-grade students and 70% of the 5th-grade students could not give the correct answer. Most of the students who provided the correct answer did so only after performing mathematical operations. Generally, the students thought that the answer should be smaller than 750 by making a generalization about the fact that division makes numbers smaller (Şengül & Gürel, 2003). There are a Sare ŞENGÜL, Ph.D., is currently an associate professor at the Department of Elementary Education, Mathematics Education. Her research interests include mathematics education, mathematics attitude and anxiety, development of understanding, conceptual learning, concept cartoons, mathematics teaching with cartoons and games, dramatization, number sense, metacognition and differential equations. Correspondence: Assoc. Prof. Sare ŞENGÜL, Marmara University, Atatürk Faculty of Education, Department of Mathematics Education, Istanbul, Turkey. zsengul@marmara.edu.tr Phone: /311.

16 EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE many examples to the lack of number sense such as the ones stated above. Answers provided to those kinds of questions present student levels to estimate and understand the effects of mathematical operations concerning numbers and number sense. What is Number Sense? According to Reys et al. (1999) number sense refers to a person s general understanding of numbers and operations along with the ability and inclination to use this understanding in flexible ways to make mathematical judgements and to develop useful and efficient strategies for managing numerical situations. As Schneider and Thompson (2000) state a student who has a good number sense is successful in flexible thinking about numbers, understanding their meanings and the relationships among them. Development of number sense is important in mathematics education. The National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), in their Principles and Standards for School Mathematics, notes that number sense is one of the foundational ideas in mathematics in that students (1) Understand numbers, ways of representing numbers, relationships among numbers, and number system; (2) Understand meanings of operations and how they related to one another; (3) Compute fluently and make reasonable estimates (NCTM, 2000, p. 32). Number Sense Components Number sense is a complex process that includes many different compenents of numbers, operations and their reletionships and it has generated much research and discussions among mathematics educators, cognitive psychologists, researchers, teachers and mathematics curricula developers (Greeno, 1991; Hope, 1989; Howden, 1989; Markovits & Sowder, 1994; McIntosh et al., 1992, 1997; NCTM, 1989, 2000; Reys, 1994; Reys & Yang, 1998; Sowder, 1992a, 1992b; Yang, 2002a, 2002b). As a result, different psychological perspectives have been provided (Case & Sowder, 1990); theoretical frameworks of number sense have been proposed (Greeno, 1991 McIntosh et al., 1992); characteristics of number sense have been described (Howden, 1989; Reys, 1994) and essential components of number sense have been enumerated (Sowder, 1992a; Yang, Hsu, & Huang, 2004). Based on a review of the number sense literature, this study focused on number sense to include: Understanding of the meaning and size of numbers: This skill is associated with the ability to recognize the relative size of numbers. For example, when a student is asked to compare 2 5 with, 1 2 knowledge of how to do this is the indicator of this skill (Behr, Wachsmuth, Post, & Lesh, 1984; Cramer, Post, & delmas, 2002). Understanding the meaning and effect of operations: This component is related to the ability to recognize how the result will change when operations or numbers are changed in calculations (Graber & Tirosh, 1990; Greer, 1987; McIntosh et al., 1992; Tirosh, 2000). Understanding and use of equivalent expressions: It is the ability to know the equivalent numbers and using them when necessary. For example, being able to answer the question, Which product of m number gives the same result when the m number is divided by 0.25? Flexible computing and counting strategies for mental computation: Individual problem solving without resorting to written calculations and estimations in order to investigate the appropriateness of the result emphasizes the ability to do mental calculations (McIntosh et al., 1992; Sowder, 1992a). Measurement benchmarks: This skill is comprised of the ability to determine and use reference points that can vary according to situations (McIntosh et al., 1992). In the last 20 years, studies on the improvement of number sense have been carried out with increasing interest. With respect to the increased importance of number sense, it is a significant responsibility to improve students number sense in mathematics education (Alajmi & Reys, 2007; Anghileri, 2000; Australian Education Council [AEC], 1991; Cockcroft, 1982; Japanese Ministry of Education, 1989; Kilpatrick, Swafford, & Findell, 2001; Mullis, Martin, Gonzalez, & Chrostowski, 2004; NCTM, 1989, 2000; National Research Council, 1989, 2002; Reys et al., 1999; Toluk-Uçar, 2009; Umay, Akkuş, & Paksu, 2006). Both international studies and the studies carried out in Turkey in the field demonstrate that the primary school students number senses are low (Ball, 1990a, 1990b, 1996; Ball & McDiarmid, 1990; Bell, 1974; Bobis, 2004; Case & Sowder, 1990; Charles & Lester, 1984; Harç, 2010; Kayhan Altay, 2010; Markovits & Sowder, 1994; McIntosh, Reys, Reys, Bana, & Farrel, 1997; Reys et al., 1999; Reys & Yang, 1998; Sulak, 2008; Van den Heuvel-Paanhuizen, 1996, 2001; Verschaffel, Greer, & DeCorte, 2007; Yang, 2005). 1966

17 ŞENGÜL / Identification of Number Sense Strategies used by Pre-service Elementary Teachers Purpose The purpose of this study was to indicate which strategies were preferred by pre-service students studying at the department of elementary education while solving problems that require the use of number sense. Method Research Design Current study employed case study methodology, one of the qualitative research designs that thoroughly investigates and analyses one or several specific cases. Study Group Sample of the study was made up of 133 senior pre-service teachers from the department of the elementary education in a state university located in Istanbul. The participants attended BM(1) [Basic Mathematics I -2 credit hours] and BM(2) [Basic Mathematics II -2 credit hours] courses in the first and second terms respectively and completed TM(1) [Teaching Mathematics I -3 credit hours] and TM(2) [Teaching Mathematics II -3 credit hours] courses in the fifth and sixth terms. Data Collection Tools Testing instrument for data collection was selected and adapted from the literature based on the problems discussed. The number sense test (NST) included five number sense components: (1) Understanding the meaning and size of numbers; (2) Understanding the meaning and effect of operations; (3) Understanding and use of equivalent expressions; (4) Flexible computing and counting strategies for mental computation; and (5) Measurement benchmarks. These five components of number sense were also stated in Reys et al. s study (1999). The questions were selected from the studies conducted by Reys et al. (1999), Yang, Reys, and Reys (2009), Tsao (2005) [Table 1]. Procedures Each participant was given the number sense test in which each page included one item and ample space was provided to allow students to record the reasons for their answers. The test continued for 60 min. Before the test, the researcher read the rules to follow during the test. Specifically, the following directions were given: (i) Participants were told to estimate or mentally compute and not to carry out a written algorithm to find an exact answer on each item; (ii) Participants were asked to write the answer to each question and then briefly explain how they arrived at their answer; (iii) Participants were told that the time on each item was controlled (3 mins), and they should not move on to the next page without permission. Controlling the time ensured that all students would have an opportunity to respond to each question. The researcher monitored the test to control the pace and also to validate that the directions, such as not executing a written algorithm, were followed. Table 1. Number Sense Test 1. Is 3 8 or 7 13 closer to 1?Without finding an exact 2 answer, please use estimation to decide. Explain why you have chosen this answer 2. Rank the following numbers in descending order. Explain why you have chosen this answer. a) 0.74x8.6 b) c) 0.74:8.6 d) Which number gives the same result when it is multiplied by m-number instead of dividing m-number to 0.25? Explain why you have chosen this answer. a) 1 25 b) 2 c) d) 4 4. Ayşe used the calculator to compute x = , she forgot to write the decimal point. Without finding an exact answer, please use estimation to decide which of the following shows the correct location of the decimal point. Explain why you have given this answer. a) b) c) d) Ali walked km, Ayşe walked 13 km, Murat walked 15 km, Zeynep walked km, Deniz walked km, and Betül walked km. Without finding an 29 exact answer, please order the distance they walked from the farthest to the nearest. Explain why you have chosen this answer Analysis of Data Answers of the participants were examined by using qualitative and quantitative analyses (Bilgin, 2006). Participant answers and explanations were separately analyzed both by the researcher and the two subject field experts and were classified into four categories, namely; number sense based, partial number sense based, rule based and no explanation or unclear answers The researcher and the two experts agreed on the evaluation by using the formula stated in Miles and Huberman (1994): The Percentage of Agreement = [Agreement/ (Agreement + Disagreement)] x100. Percentage of the agreement was found to be 92 and it was concluded that the categories were consistent. Remaining con- 1967

18 EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE tested responses were reexamined and discussed by both raters until a mutual agreement was reacher regarding the complete categorization. Later, the answers were analyzed quantitatively in terms of percentage and frequency. Results Answers and explanations of pre-service teachers to one of the questions for each component of the number sense test and their categories are presented below % (103 participants out of 133) of pre-service teachers correctly answered the questions related to first component of the number sense. Thirty participants preferred to make comparisons between denominator and numerators while explaining their answers. Answers of pre-service teachers can be exemplified as follows: These answers were categorized under number sense based methods. 1) 7 is closer. If the numerator is half or half of the denominator, then it is closer to 1 [16 participants] ) 7 3 is closer, because 1 2 means half. 7 is a little 3 smaller than the half [13 participants]. 3) 3 8 is smaller than its half and 7 is larger than its 3 half; therefore, 7 is closer [8 participants]. 3 Twenty participants answered the question or rules by using paper and pencil algorithms based on operations. According to this algorithm, the solutions were accepted as rule based methods Thirteen participants who gave their answers in this context formed a part to whole relationship. The following explanations can be given as examples. 1) In the fraction of 7, since the denominator is 13 divided into more parts and more than half of its parts are taken, this fraction is closer to 1. [7 participants]. 2 2) 7 is closer. When the part to whole relationship 13 is taken into account, instead of 3 out of 8 parts, 7 out of 13 parts are closer [6 participants]. Others preferred finding the common denominator by equalizing the denominators. For example, it was stated as, 7 is closer. I could not be sure of 13 my answer. This is my estimation without performing an operation. One of the participants explained the answer as stated below = - = = then 7 13 is closer because the difference between them is (4) (8) (13) smaller. All of these answers were evaluated under the category of rule based methods. Five of the participants answered the question correctly by determining the missing parts necessary for the given fraction to reach half. In my opinion, 7 is closer because in order to make 1 13, you need to add 0.5 to 7 but as for fraction of based, you need to add 1 to make it 1 2. Such answers were categorized as partial number sense based methods. Twenty seven participants gave the correct answer but they did not give any explanation or their explanations could not be understood. On the other hand, 16.54% (22 participants) of the sample group gave incorrect answers. Six out of these twenty two participants preferred to compare the fractions by changing them to decimal numbers. Pre-service teachers who had difficulties in answering the fractions without performing an operation preferred to find the answer by changing the numbers into a more complex structure like decimal numbers. The pre-service teacher Selin s answer can be given as an example. 3 8 is closer to 1 2 because 3 is approximately equal 8 to a value of 0.37 but 1 7 = 0.50 and 2 13 = Her result is incorrect due to the miscalculation in the division. These answers were classified as partial number sense based method. Others generally based their answers on the rules that they have learned or on the paper-pencil algorithm to equalize the denominators without establishing the relationship of proximity to the half. While six of the pre-service teachers justified their answers by using part to whole relationship 3/8 is closer because although both of them are close values, 3/8 is divided into fewer parts; the other four teachers justified their answers as follows: 3 is closer because when the difference between 8 them is equal, the one with the smaller denominator and numerator becomes closer. 1968

19 ŞENGÜL / Identification of Number Sense Strategies used by Pre-service Elementary Teachers Two of the pre-service teachers gave the explanations below: 3 8 is closer. I equalized the denominators. or 3 8 is closer. I employed operations and this is the result. Incorrect answers stated above were classified under rule based methods. It is obvious that pre-service teachers gave wrong answers because they could not remember the rule: if the difference between a denominator and a numerator of a fraction is equal, then the one with the smaller numerator is larger. None of the pre-service teachers arrived at wrong answers by using number sense based methods. Ten pre-service teachers could not not justify their answers or their answers were categorized as unclear explanations. The answer 1/2 is closer because it is an easy question. is an example of unclear explanations. Besides, eight participants did not answer the question by stating that it can be solved only by performing an operation. In the second question related to the component of understanding the effects of operations, pre-service teachers were expected to recognize that multiplication may not be an operation that makes numbers always larger and division may not be an operation that makes numbers always smaller. However, it is observed that pre-service teachers responded without thinking and their answers were based on their prior knowledge, the operation (the result) absolutely becomes larger if there is a multiplication, and if there is a division, no matter what the figure is, the number becomes smaller. As a result, only % (23 participants) could answer the question correctly. Among pre-service teachers, only two justified their answers as stated below and these answers were accepted as number sense. 1) The choice a is smaller than 8.6; the choice b is larger than 8.6; the choice c is close to 0, and the choice is d negative. Then the result is b>a>c>d. 2) The choice d has already resulted negatively, the smallest one is the choice c ; when 0.74 is divided by 8.6, the result is something like 0; in the choice a, if we multiply 8.6 by 1, it will be 8.6. If we multiply by 0.74, it will be smaller than 8.6, in the choice b, it will be larger than 8.6. b>a>c>d. Four pre-service teachers stated that they could not predict the solution; therefore, they preferred to find the common denominators by changing decimal numbers into fractions. Answers of pre-service teachers who used paper-pencil algorithms were categorized as ruled based methods. Among pre-service teachers whose answers were categorized as rule-based methods, Aylin preferred to perform the operations by using simple expressions. Instead of using the given expressions, I used simple expressions like 1/2 and 3/2 and did the calculation. She estimated the result after the operations. What the pre-service teacher did here is an operational prediction but since she got the result by using paper-pen algorithm at first, this explanation was included in the rule based algorithm within the scope of this study. Only seventeen pre-service teachers gave correct answers but they did not provide any explanations. More than half of the pre-service teachers, 68.42% (91 participant out of 133), gave incorrect answers. Highest rate of incorrect answers was obtained for this question. Four of the ten pre-service teachers who provided incorrect answers justified their answers as; If we take 0.74 as a focal point, it will be d<a<b<c. While this answer was accepted as number sense based method, the other six teachers explanations - d is negative; b is close to 1; a is larger than 1; c will be inverted; therefore, it is a>b>c>d - were coded as partial number sense based method. Here pre-service teachers felt the need to use division algorithm at fractions. Forty respondents answering incorrectly justified their answers as follows: 1) When we multiply, we get the largest number. In the operations of divisions, we get the smallest number. After the operations of multiplications, we obtain the second largest number from additions and we get the smallest number from subtractions. 2) In the operations with the same numbers, the largest result is obtained from multiplication, then from addition, and then from division respectively. Since the first number is smaller than the second number, the smallest one is obtained in subtraction. These incorrect explanations are accepted as rule based method. Among those who gave incorrect answers, forty one respondents did not provide any explanations. Nineteen pre-service teachers did not answer the question by adding I do not know. I am not good at fractions and decimal numbers. I could not find the solution without performing an operation. To the question associated with the third component of number sense, understanding the equivalence of numbers, 74.44% (99 participants) of the pre-service teachers gave the correct answer. The following explanation of the pre-service teacher, Umit, was accepted as number sense based meth- 1969

20 EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE od means a quarter that is 1/4. In the whole, there are four quarters. In m, there are 4m quarters. Thirteen pre-service teachers who answered this question with number sense stated the following explanations: 0.25 means one fourth. Therefore, it does not matter whether we divide it by 0.25 or multiply by 4. The result will be the same in both operations. or When a whole is divided into quarters, the result you get will be equal to the one when it is multiplied by four. The other fifty three pre-service teachers answering correctly explained their answers as stated below: 1) 0.25 is equal to 1/4. Dividing a rational number by another number means inverting and then multiplying it. Therefore, we multiply it by four. 2) While dividing, 0.25 is equal to 1, the first number 4 is taken the same and the second number is inverted and multiplied. Therefore, it is multiplied by 4. 3) 0.25 = = 4 if we divide x number to 1 4 x 4x then it will be = = 4.x These explanations were accepted as rule based method. If the actual case is taken into account, it can be said that most of the pre-service teachers relied on paper and pencil algorithms. The other thirty three pre-service teachers did not provide any explanations % (32 out of 133) of the pre-service teachers gave incorrect answers to this question. Two of them gave the following explanations in their answers. 25 1) Dividin., Since 0.25 is equal to, the choice 100 c is correct. 2) Dividing a number by a decimal number means multiplying it by that number. The choice d is correct. 3) Since expending /simplifying a fraction does not change the value of the fraction, the fraction of is equal to 1 x 0.25 means that you can 4 find 25 four times in 100, as a result it being divided by 4. This answer was classified as number sense based method. Although, the other twenty one pre-service teachers knew the equivalence of the fraction, that is 0.25 = =, they had errors on the effects of the operation. For example, they stated the 4 following explanations: 1) Since 0.25 is equal to 25, the choice c is correct ) Dividing a number by a decimal number means multiplying it by that number. The choice d is correct. 3) Since expending /simplifying a fraction does not change the value of the fraction, the fraction of is equal to 1 4. Answers of these twenty one pre-service teachers who gave these explanations were evaluated under the category of rule based method. Seven pre-service teachers who gave incorrect answers did not provide any explanations. Two pre-service teachers just answered as I do not know and did not give any reasons. The fourth question related with flexible computing and counting strategies for mental computation shows that pre-service teachers had difficulties in this area. Only 11.28% (15 persons out 133) of pre-service teachers could provide the correct answer. Four pre-service teachers used reference points to justify their answers. For example; means half, half of is approximately close to the choice c or In my opinion, 0.49 can be thought to be 0.5. Then, it will be the half of the value of I placed the comma accordingly. These explanations were recorded as number based method. Three pre-service teachers decided about the location of the comma by applying the rule below: The factor has four decimal digits and the product has one decimal digit. For this reason, it has 4+1=5 decimal digits. However, since as a result of the multiplication of 75x8, there will be two zeros, the comma should be shifted three places further. Therefore, the result is Pre-service teachers found the correct solution by both relying on a rule and associating this rule with the thought of what may be logical. Therefore, these answers were accepted as partial number sense based method. One pre-service teacher provided the explanation stated below which was accepted as the rule based method. In the first number there is a comma after the four digits, in the second number it is placed after the first digit. Because of the difference in the digits (4-1 = 3), the place of comma should be before three digits. Four pre-service teachers gave correct answers but did not provide any explanations. 1970