Bölüm 1: Sayý Sistemleri

Transkript

1 ölüm 1: Sayý Sistemleri. Giriþ: Dijital elektroniði anlayabilmek için temel matematik iþlemlerini ve sayý sistemlerini bilmek gerekir.. Temel ilgiler 1. Lojik (Mantýk) Öne sürülen düþüncelere göre karar vermeye mantýk denir. Elektrikli ve elektronik devrelerde iki olasýlýk söz konusudur. Yani üretece baðlý lâmba anahtar kapalýyken yanar anahtar açýkken ise söner. Devre anlatýmý yapýlýrken kolay anlamayý saðlamak için anahtarýn kapalý olmasýna 1, açýk olmasýna ise 0 denir. Lâmbanýn yanma durumu H (high), sönük hâli ise L (low) ile de gösterilebilir. 2. nalog (Örneksel) Sinyal nalog büyüklükler minimum ile maksimum arasýnda çok çeþitli seviyelerde olabilir. Þekil 1.1-a'da verilen sinyal incelendiðinde, sürekli olarak deðiþik deðerlerin söz konusu olduðu görülür. Ev ve iþ yerlerinde kullanýlan C enerji analog sinyale örnek olarak verilebilir. 3. Dijital Sinyal Dijital özellikli sinyaller sadece 0 volt ve maksimum volt deðerlerini alýr. Yani dijital sinyallerde iki durum söz konusudur. Þekil 1.1- b'de verilen sinyal incelendiðinde gerilimin '0' ya da '1' olmak üzere iki durumunun olduðu, ara deðerlerin olmadýðý anlaþýlýr. Dijital (sayýsal) temelli elektronik devreler tamamen dijital sinyallerle çalýþýrlar. Dijital elektrik sinyalleri adým adým deðiþir. una zýplayarak deðiþme de denilebilir. u devrelerde kullanýlan elektrik sinyalinin 0'dan 1'e deðiþimi pozitif yönde ise buna 'pozitif lojik', anî deðiþim negatif yönde ise buna 'negatif lojik' denir. Þekil 1.2 ve þekil 1.3'e bakýnýz. Þekil 1.1: nalog ve dijital sinyaller Resim 1.1: Dijital elektronik temelli devrelere sahip çeþitli aygýtlar U (V) I () t (s) Þekil 1.2: Pozitif lojik sinyal U (V) I () t (s) Þekil 1.3: Negatif lojik sinyal 4. Dijital Elektronik Devreleri Yarý iletkenlerin ucuzlamasý, üretim tekniklerinin hýzlanmasý sonucu günlük yaþamda ve iþyerlerinde kullanýlan cihazlarýn büyük bir bölümü dijital elektronik devreli olarak üretilmeye baþlamýþtýr. 1

2 Dijital devreler hassas çalýþtýðý, az yer kapladýðý, az güç harcadýðý için tercih edilmektedir. ilgisayar, yazar kasa, barkod (çizgi kod) okuyucu, saat, telefon vb. gibi cihazlarýn devrelerinin büyük bir bölümü dijital esaslýdýr. Temel elektronik ve endüstriyel elektronik kitaplarýnda açýklanan konularý iyi anlayan bir teknik eleman, dijital elektronik sistemleri öðrenmede pek zorluk çekmez. 5. nalog ve Dijital Devrelerin Geliþimi 1950'li yýllardan sonra geliþmeye baþlayan elektronik bilim dalýnda ilk zamanlar devrelerin çoðu analog esaslýydý. 1970'li yýllardan sonra ise dijital devreler yaygýnlaþmaya baþladý. entegre (chip) plastik kýlýf entegreden ayaklara baðlantý 6. Dijital Elektroniðin çentik Yaygýnlaþmasýnýn azý Nedenleri (oyuk) küçük -Devre tasarýmý daha kolaydýr. nokta -ilgi (data) saklamak kolaydýr. -irden çok devreyi birbirine baðlamak mümkündür. -Gürültüden (parazitik sinyaller) etkilenme oranlarý düþüktür. 1 numaralý ayak metal ayaklar Þekil 1.4: Entegrenin yapýsýnýn basit olarak gösterilmesi 7. ilgisayar Çaðýmýzýn en yararlý aygýtlarýndan olan bilgisayar, dijital elektronik devrelerin birleþiminden oluþmaktadýr. Savunma, ticaret, eðlence, ulaþým, iletiþim, üretim vb. gibi alanlarda bilgisayar olmadan hýzlý ve verimli çalýþma olanaðý yoktur. 8. ilgisayarlarýn Geliþimi Ýlk bilgisayarlar tamamen mekanik yapýlýydý yýlýnda mekanik sistem býrakýldý ve elektrik motorlarýyla hareket ettirilen diferansiyel analiz sistemine geçildi. 1940'lý yýllarda yarý iletken maddeler (germanyum, silisyum) bulundu. dý geçen iki yarý iletken ve çeþitli katký maddeleri kullanýlarak doðrultmaç diyodu, zener diyod, led diyod, transistör, FET, MOSFET, tristör, triyak vb. gibi devre elemanlarý üretildi. rdýndan bu elemanlar çok küçük boyutlu gövdeler içinde birleþtirilerek entegreler (tümleþik devre, yonga, chip) yapýldý. 9. Dijital Temelli ilgisayarlarýn na Elemanlarý Dijital yapýlý bilgisayarlar dört temel birimden oluþur. unlar; giriþ, iþlem, kontrol ve çýkýþ birimleridir. a. Giriþ Elemanlarý: Klâvye, fare, kamera, tarayýcý, mikrofon, faks/modem vb. b. Çýkýþ Elemanlarý: Yazýcý, çizici, ekran, hoparlör, faks/modem vb. C. Sayý Sistemleri Dijital elektronik devrelerin tasarým, üretim ve onarým süreçlerini anlayabilmek için matematik kurallarýný ve sayýlarý bilmek þarttýr. u bölümde dijital devrelerde kullanýlan sayý sistemleri hakkýnda temel bilgiler verilecektir. 1. Onlu (Desimal, 10 Tabanlý, Decimal) Sayý Sistemi Günlük yaþamda kullandýðýmýz sayý sistemi 10 tabanýna göredir. Yani bu sistemde

3 sayýlarý mevcuttur. urada verilen 0 ile 9 arasýndaki sayýlarýn her biri 'digit' olarak adlandýrýlmaktadýr. Not: Digit sözcüðünün Türkçe karþýlýðý sayýdýr. Onlu sayý sistemi çizelge 1.1'de görüldüðü gibi konumsal bir sistemdir. Yani bir rakam bulunduðu konuma (basamaða) göre deðiþik büyüklükte sayýlarý temsil eder. basamak basamak basamak basamak Çizelge 1.1: Onlu sayý sisteminde basamaklarýn konum aðýrlýklarý Örneðin 55 sayýsýný ele alalým: urada iki adet 5 onlu sayýsý kullanýlmýþtýr. u rakamlardan saðdaki 5, 5 sayýsýný, soldaki 5 ise 50 sayýsýný temsil etmektedir. u açýklamaya göre, ayný rakam yer aldýðý basamaða göre farklý sayýlarý ifade etmektedir. aþka bir deyiþle konumsal sayý sisteminde her konumun bir aðýrlýðý vardýr. Onlu sayý sisteminde konum tabaný 10, konum aðýrlýklarý ise en saðdaki basamaktan itibaren, 10 0, 10 1, 10 2, 10 3, þeklindedir. Onlu sayý sisteminde rakamlarýn bulunduðu konumda temsil ettikleri sayý, basamaðýn konum aðýrlýðýyla çarpýlarak bulunur. Daha sonra bütün rakamlarýn temsil ettiði sayýlar toplanarak sonuç elde edilir. Yukarýda verilen bilgiler ýþýðýnda 125 sayýsýný inceleyelim. En saðdaki 5 sayýsý 1. basamaktadýr. u basamaðýn konum aðýrlýðý 10 0 =1 dir. 5 sayýsý konum aðýrlýðýyla çarpýlýr ve 5 rakamý bulunur. Ýkinci basamakta bulunan 2 sayýsý bu sayýnýn konum aðýrlýðý olan 10 1 ile çarpýlýr ve 20 sayýsý bulunur. Üçüncü basamakta bulunan 1 sayýsý bu sayýnýn konum aðýrlýðý olan 10 2 ile çarpýlýr ve 100 sayýsý bulunur. 125 sayýsýnýn konum aðýrlýklarýyla çarpýlarak bulunan 5, 20 ve 100 rakamlarý toplandýðý zaman 125 sayýsý elde edilir. Örnek: sayýsýný konum aðýrlýklarýný göstererek ifade ediniz. Çözüm: = = = 265 a. Onlu Sayýlarda Toplama b. Onlu Sayýlarda Çýkarma Ek ilgi Kimi bilim tarihçileri 10 tabanýna göre olan sayý sisteminin çýkýþ nedenini insanoðlunun 10 parmaklý olmasýna baðlarlar. unlarýn yaklaþýmýna göre insanoðlu sayma iþlemini parmaklarýný kullanarak öðrenmiþtir. Eðer insanýn iki parmaðý olsaydý bugün belki de 10 tabanlý sayý sistemi kullanýlmayýp iki tabanlý sayýlar kullanýlacaktý. 2. Ýkili (inary, 2 Tabanlý) Sayý Sistemi Ýkili sayý sisteminde sadece 2 sembol kullanýlýr. unlar 0 ve 1'dir. Ýkili sayýlarda da çizelge 1.2'de görüldüðü gibi her basamaðýn konumsal bir deðeri söz konusudur. 3

4 ÇÝzelge 1.2: Ýkili sayý sisteminde basamaklarýn konum aðýrlýklarý a. Ýkili Sayýnýn Onlu Sayýya Çevrilmesi Tabaný 2 olan ikili sayýlarýn onlu deðerini bulabilmek için basamaklar saðdan sola doðru 2 0, 2 1, 2 2, 2 3, sayýlarýyla çarpýlýr. Çarpým sonucu bulunan deðerler toplanarak ikili sayýnýn onlu karþýlýðý belirlenir. Örnek: ikili sayýsýný onlu sayýya çeviriniz. Çözüm: = = 5 10 Örnek: ikili sayýsýný onlu sayýya çeviriniz. Çözüm: = = 7 10 Örnek: ikili sayýsýný onlu sayýya çeviriniz. Çözüm: = = b. Onlu Sayýnýn Ýkili Sayýya Çevrilmesi Onlu sayýlar ikili sayýya çevrilirken 2'ye bölme yöntemi kullanýlýr. Not: MSD: Ýlk yazýlan sayý LSD: En son yazýlan sayý c. Kesirli Onlu Sayýnýn Ýkili Sayýya Çevrilmesi Kesirli onlu sayý ikili sayýya çevrilirken sayýnýn tam ve kesirli kýsmý ayrý ayrý ele alýnýr. Çözüm yapýlýrken tam sayý 2'ye bölünerek, kesirli sayý ise 2 ile çarpýlarak ikili sayý bulunur. 4

5 0, onlu sayýsýný ikili sayýya çeviriniz. MSD 0,375x2 =0,75 0,75x2 =1,5 0,5x2 =1,0 LSD Çözüm yönteminin açýklanmasý Kesirli sayý 2 ile çarpýlýr. ulunan sayýnýn tam bölümü alýnýr. (u, 1 ya da 0 olabilir.) Kesirli kýsým ise yeniden 2 ile çarpýlýr. Sonucun tam sayý kýsmý alýnýp kesirli kýsým yeniden 2 ile çarpýlýr. Yapýlan çarpma iþlemlerinin sonucu 1,0 çýktýðý anda iþleme son verilir. d. Kesirli Ýkili Sayýnýn Onlu Sayýya Çevrilmesi Örnek: 101,01 2 ikili sayýsýný onlu sayýya çeviriniz. Çözüm: 101,01 2 = = (1/2) + 1.(1/4) = = (0,5) + 1.(0,25) = ,25 = 5,25 10 Örnek: 0, ikili sayýsýný onlu sayýya çeviriniz. Çözüm: 0, = = 1.(1/2) +0.(1/4) + 1.(1/8) +1.(1/16) = = 1.0, , , ,0625 = 0, , ,0625 = = 0, e. Ýkili Sayýlarda Dört Ýþlem Ýkili sayý sisteminde 0 ve 1 sayýlarý vardýr. unlarýn dört iþleminde ikili sayýlarýn dört iþleminde kullanýlan kurallar geçerlidir: I. Ýkili Sayýlarda Toplama Ýkili sayýlarýn toplanmasýnda geçerli kurallar: = 0, = 1, = 1, = 10 þeklindedir. urada dikkat edilmesi gereken tek iþlem 1+1 = 10'dýr. Ýki tane 1'i toplayýp 1+1 = 2 diye yazamayýz. u iþlem yapýlýrken 1+1 = 0 elde 1 denir. Elde sözcüðü Ýngilizce'de caryy ile ifade edildiðinden lojik devre anlatýmlarýnda elde deðeri C harfiyle gösterilir. Örnekler: II. Ýkili Sayýlarda Çýkarma Ýkili sayýlarýn çýkarmasýnda geçerli olan kurallar: 0-0 = 0, 1-0 = 1, 1-1 = 0, 0-1 = 1 þeklindedir. Not: 0-1 = 1 iþleminde soldaki sütundan 1 alýnýr ve bu iþlemin yapýldýðý sütuna 2 olarak aktarýlýr. Örnekler:

6 III. Ýkili Sayýlarda Çarpma Ýkili sayýlarýn çarpýlmasýnda geçerli olan kurallar: 0 x 0 = 0, 0 x 1 = 0, 1 x 0 = 0, 1 x 1 = 1 þeklindedir. IV. Ýkili Sayýlarda ölme Ýkili sayýlarýn bölünmesinde geçerli olan kurallar: 0/0 = 0, 0/1 = 0, 1/ 0 = 0, 1/1 = 1 þeklindedir. Örnekler: Örnek: Ýkili sayýlarýn bölme iþleminde, bölünenden bölenin çýkarýlmasý iþlemine, sonuç '0' çýkýncaya kadar devam edilir. Yanda verilen örnekte 1001 sayýsýnýn 11 sayýsýna bölünmesi açýklanmýþtýr. f. Ýkili Sayýlarýn Tamamlayýcýlarý (Two's Complement) Mikroiþlemciler, bilgisayarlar ve PLC aygýtlarý 2'ye tümleyen (tamamlayan) olarak adlandýrýlan bir yöntem kullanýrlar. u yöntemi kullanarak yapýlan hesaplama iþlemlerinde daha sade bir donaným (devre) kullanýlýr. Ýkili sayýlarýn çýkarma iþlemlerinde, çýkan sayýnýn tamamlayýcýsýný bulmakla, çýkarma iþleminin sonucuna ulaþýlabilir. Ýki çeþit tamamlayýcý vardýr. unlar, 1 tamamlayýcýsý ve 2 tamamlayýcýsýdýr. Herhangi bir N sayýsýnýn 1 tamamlayýcýsý bulunurken verilen sayýda, 0'ýn yerine 1, 1'in yerine 0 yazýlýr. 2 tamamlayýcýsý bulunurken daha önce bulunan 1 tamamlayýcýsýna 1 eklenir. N = 1010 ikili sayýsýnýn 2'ye tamamlayýcýsýný (tümleyenini) bulunuz. ir sayýnýn 2'ye tümleyenini bulmanýn yararýný bir örnek üzerinde açýklayalým. a) 1111 ikili sayýsýndan 111 ikili sayýsýný klâsik çýkarma kurallarýný uygulayarak çýkarýnýz. b) 1111 ikili sayýsýndan 111 sayýsýný çýkarma iþlemini 2'ye tümleyen sayý yöntemini kullanarak yapýnýz. Görüldüðü gibi klâsik çýkarma yöntemi kullanýlarak 1000 sonucu kolayca bulunmuþtur. yný iþlem 2'ye tümleyen yöntemiyle yapýlmak istenirse, þu kurallara uyulur: Çözüm: a Çýkarýlan sayýyla çýkan sayýnýn basamaklarý eþit hâle getirilir. -Çýkan sayýnýn 2'ye tümleyeni bulunur. -Çýkarýlan sayý ile son bulunan sayý toplanýr. -Sonuç olarak bulunan sayýnýn basamak sayýsý iþlem yapýlan sayýlardan fazla çýkmýþsa en soldaki sayý atýlýr (yok sayýlýr). 6

7 b) Yukarýda verilen dört kurallardan hareket ederek 1111 sayýsýndan 111 sayýsýný çýkarmayý 2'ye tümleyen yöntemiyle yapalým. Önce 111 sayýsýnýn soluna 0 eklenerek bu sayý da dört basamaklý hâle getirilir. Sonra 0111 sayýsýnýn 2'ye tümleyeni bulunur sayýsýnýn 1'e tümleyeni 1000'dýr sayýsýnýn 2'ye tümleyeni ise 1001'dir. Daha sonra 1111 sayýsýyla 1001 sayýsý toplanýr. Toplamanýn sonucunda bulunan sayýsý beþ basamaklý olduðu için sayýsýndaki en büyük basamak (sol baþtaki) atýlýr. En soldaki basamak atýlýnca 1111 ve 1001 sayýsýnýn farký olan 1000 sayýsý belirlenmiþ olur. Yapýlan açýklamalarda görüldüðü gibi a ve b þýklarýnda yapýlan iki çözüm yönteminde de ayný sonuç bulunmaktadýr. Örnekte b þýkkýnda açýklanan ikinci yöntem biraz karmaþýktýr. ncak ikinci yöntemin bir faydasý vardýr. Þöyle ki; toplama yapmak üzere tasarlanmýþ dijital bir devre ile 2'ye tümleyen kuralý uygulanarak çýkarma da yapýlabilmektedir. g. Ýkili Sayýlarýn Pozitif ya da Negatif Olarak Gösteriliþi Ýkili sayýlar dijital elektronik devrelerde (+) ve (-) olarak gösterilirken en soldaki (baþtaki) rakam kullanýlýr. En soldaki rakam 0 ise (+) iþaretini, 1 ise (-) iþaretini gösterir. Ýþaret biti (bit: binary digit, ikili sayý) olarak fazladan kullanýlan bu bit, ikili sayýlarýn iþaretli olarak gösterilmesinde kullanýlýr = = -13 Negatif sayýlarýn gösterilmesinde üç yöntem kullanýlmaktadýr: I. Gerçek üyüklükte Gösterme Daha önce açýklandýðý gibi 1 sayýsý (-) iþaretini gösterir = -29 olduðu halde, = +29 deðerini gösterir. II. 1'in Tersi Olarak Gösterme Dijital elektronikte 1'in tersi alýnarak toplama ve çýkarma iþlemlerini yapmak çok kolaylýk saðlamaktadýr. yrýca bu yöntem kullanýlarak dijital devre daha basit olarak düzenlenebilmektedir. Ýkili sayýlar 1'in tersi olarak gösterilirken, bu sayýdaki 1'lerin yerine 0, 0'larýn yerine 1 yazýlýr. Rakamlarýn tersleri alýnýr. En soldaki bit (en büyük deðerli bit) 1 ise, bu sayý negatif, 0 ise sayý pozitiftir sayýsýnýn 1'in tersi þeklinde yazýlýþý: 'dýr. (normal gösterim) (1'in tersi olarak gösterim) -157 (normal gösterim) (1'in tersi olarak gösterim) III. 2'nin Tersi ile Gösterme Önce ikili sayýda 1'in tersi alýnýr. Sonra en küçük deðerli rakama 1 eklenir. u yöntemde bir 7

8 sayýnýn en büyük deðerli (en soldaki bit) biti iþaret biti iþlemi yapar. En soldaki bit 1 ise, bu sayý negatiftir. u bit 0 ise sayý pozitiftir = 'in tersi = 'nin tersi = Sayýnýn karþýlýðý = Sekizli (Oktal, 8 Tabanlý, Octal) Sayý Sistemi Sekizli sayýlar bazý PLC'lerin ve bilgisayarlarýn (IM7090, DECPDP-8 vb.) programlanmasýnda kullanýlmaktadýr. u sayý sisteminde 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sembolleri kullanýlýr. Sekizli sayýlarda basamaklarýn konum aðýrlýklarý en saðdan itibaren 8 0, 8 1, 8 2, 8 3, þeklindedir. a. Onlu Sayýnýn Sekizli Sayýya Çevrilmesi Onlu bir sayý sekizli sayýya çevrilirken 8'e bölme yöntemi kullanýlýr onlu sayýsýný Çözüm: 217 : 8 = 27 Kalan 1 sekizli sayýya çeviriniz. 27 : 8 = 3 kalan 3 : 8 = 0 Kalan 1 b. Sekizli Sayýnýn Onlu Sayýya Çevrilmesi Sekiz tabanlý bir sayý on tabanlý sayýya çevrilirken saðdan itibaren her basamaktaki rakam 8'in kuvvetleriyle çarpýlýr sekizli sayýsýný onlu sayýya çevriniz. Çözüm: 36 8 = = = sekizli sayýsýný onlu sayýya çevriniz. Çözüm: 67 8 = = = sekizli sayýsýný onlu sayýya çevriniz. Çözüm: = = = c. Ýkili Sayýnýn Sekizli Sayýya Çevrilmesi Ýkili sayý sistemine ait bir sayý sekizli sayýya çevrilirken, ikili sayý saðdan sola doðru üçerli kümelere ayrýlýr. En soldaki kümede bulunan bitlerin sayýsý üçten az ise sola doðru 0 eklenerek üçe tamamlama yapýlýr ikili sayýsýný sekizli sayýya çevriniz. Çözüm: Önce üçerli kümeler oluþturulur Daha sonra her kümenin onlu karþýlýðý yazýlýr u yönteme göre, ikili sayýsýnýn sekizli karþýlýðý dir. 8

9 d. Sekizli Sayýnýn Ýkili Sayýya Çevrilmesi Sekizli sayý sistemine ait bir sayý ikili sayýya çevrilirken, her bir basamaktaki sayýnýn karþýlýðý olan ikili sayý 3 bitlik gruplar þeklinde yazýlýr. Gruplar hâlinde yazýlan sayýlar bir araya getirildiðinde ise ikili sayý elde edilmiþ olur sekizli sayýsýný ikili sayýya çeviriniz. Çözüm: 6 = 110, 7 = = 011 Sonuç: Onaltýlý (Heksadesimal, 16 Tabanlý, Hexadecimal) Sayý Sistemi Onaltýlý sayý sisteminin tabaný 16'dýr. u sayý sisteminde 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,, C, D, E, F sembolleri kullanýlýr. Onaltýlý sayýlarda basamaklarýn konum aðýrlýklarý en saðdan itibaren 16 0, 16 1, 16 2, 16 3, þeklindedir. Onaltýlý sayýlar mikroiþlemci temelli dijital elektronik devrelerde (IM sistem 370, Honeywell 200, RC Spectra 70 vb. gibi) yaygýn olarak kullanýlmaktadýr. a. Onaltýlý Sayýnýn Onlu Sayýya Çevrilmesi u iþlem yapýlýrken onaltýlý sayýnýn basmaklarý 16'nýn kuvvetleriyle çarpýlýr onaltýlý sayýsýný onlu sayýya çeviriniz. Çözüm: = = = onaltýlý sayýsýný onlu sayýya çeviriniz. Çözüm: = = = FF 16 onaltýlý sayýsýný onlu sayýya çeviriniz. Çözüm: F F.16 0 = = = b. Onlu Sayýnýn Onaltýlý Sayýya Çevrilmesi Onlu sayýlar onaltýlý sayýsa çevrilirken 16'ya bölme yöntemi uygulanýr. 8E 16 yazým sýrasý yazým sýrasý c. Onaltýlý Sayýnýn Ýkili Sayýya Çevrilmesi Onaltýlý sayý ikili sayýya çevrilirken, her basamaktaki sayýnýn karþýlýðý olan ikili sayý 4 bit þeklinde yazýlýr. 4 bitlik gruplar bir araya getirilerek ikili sayý bulunur. 5D1D69 16 onaltýlý sayýsýný ikili sayýya çeviriniz. 9

10 Çözüm: 5 = 0101, D = 1100, 1 = 0001, D = 1100, 6 = 0110, 9 = D1D69 16 = d. Ýkili Sayýnýn Onaltýlý Sayýya Çevrilmesi Ýkili sayý dörderli gruplara ayrýlýr. Her grupdaki sayýlarýn onaltýlý karþýlýklarý yazýlýr. Gruplandýrma iþlemine en saðdan baþlanýr ve en sondaki gruba 0 eklenerek dört bite tamamlanýr. Gruplardaki sayýlarýn karþýlýklarý olan sayýlar yazýlýnca, onaltýlý sayý bulunmuþ olur ikili sayýsýný onaltýlý sayýya çeviriniz. Çözüm: 1011 =, 1101 = D, 1100 = C, 0011 = 3, 1101 = D Sonuç: DC3D 16 e. Onaltýlý Sayýlarda Toplama + 5 F f. Onaltýlý Sayýlarda Çýkarma C4 C E 9E 6F9-8 66E g. Onaltýlý Sayýlarda Çarpma x x 52 E6 x23f 24D6 h. Onaltýlý Sayýlarda ölme D azý Onlu Sayýlarýn Ýkili ve Onaltýlý Karþýlýklarý D H D H D H 0 = 0000 = 0 11 = 1011 = 16 = = 10 1 = 0001 = 1 12 = 1100 = C 17 = = 12 2 = 0010 = 2 13 = 1101 = D 18 = = 13 3 = 0011 = 3 14 = 1110 = E 25 = = = 1010 = 15 = 1111 = F 30 = = 1E 5. Dijital Verilerle Ýlgili Temel Kavramlar a. it 0 ve 1'den oluþan sayý. Ýkili sayý sisteminde sayýlarýn her bir basamaðý bit olarak adlandýrýlýr. Örneðin 101 üç bitlik bir sayýdýr. it sözcüðü binary digit kelimelerinin kýsaltýlmasýyla türetilmiþtir. Ýkili sayý sisteminde ifade edilen sayýlarda en saðdaki bit, LS (least significant bit, en az aðýrlýklý bit), en soldaki bit ise MS (most significant bit, en çok aðýrlýklý bit) olarak adlandýrýlýr. b. yte (ayt) Sekiz bitten oluþan ikili sayýya bayt denir. Yani 1 bayt = 8 bit denilebilir. 1 baytlýk sayý örneði: Not: 1 bayt, dört bitlik iki gruba ayrýldýðýnda her gruba nibble (nibýl) adý verilir. 10

11 c. Kilobyte (Kilobayt), Megabyte (Megabayt) ve Gigabyte (Gigabayt) Kavramlarý yte birimi çok küçük bir deðer olduðundan uygulamada baytýn 1024 katý kilobayt, katý megabayt ve katý gigabayt daha çok kullanýlýr. d. ellek Kelimesi (Memory Word) it ve baytlardan oluþan grup. Kelime büyüklüðü 4 ile 64 bit arasýnda olabilir. e. Kapasite elirli bir bellek elemanýna (entegre, disket, CD-ROM, sabit disk, DVD-ROM vb.) kaç bit saklanabileceðini belirtir. Örneðin 4096x20 ifadesi, bellek ünitesinin kapasitesinin bit olduðunu belirtir. urada ilk sayý (4096) kelime sayýsýný, ikinci sayý (20) her kelimedeki bit sayýsýný (yani kelime büyüklüðünü) bildirir. ellek kapasitesi belirtilirken 1 k kýsaltmasý kullanýlýr. 1 k, 1024 biti ifade eder. una göre 4kx20 ifadesinden belleðin kapasitesinin 4096x20 olduðu anlaþýlýr. f. Karakter Sayýlarý yazmada kullanýlan 0-9 arasý sayý, 'dan Z'ye kadar harfler ve elli kadar olan çeþitli karaktere (+, -,?,!, /, (, ), [, ], %, &, #, \ * vb.) bu ad verilir. D. Kodlama ve Kodlar Kodlama; görülebilen, okunabilen yazý, sayý ve iþaretlerin deðiþtirilmesidir. Deðiþtirme iþlemi çeþitli yöntemlerle yapýlabilir. Karmaþýk yapýlý dijital devreler ve bilgisayarlarýn büyük bir bölümü ikili sayýlarý kullanarak iþlem yapar. Ýþlemler yapýlýrken ikili sayýlar çeþitli deðiþimlere uðratýlýr. Ýþte belli kurallara baðlý kalýnarak yapýlan iþlemlere kodlama denir. 1. Desimal Ýçin inary Kodlamasý (CD, 8421 Kodu) En basit kodlama sistemidir. u kodlamada 0 ile 9 arasý sayýlar dört adet 0, 1 ikili sayýsýyla ifade edilir. Rakamlarýn dýþýndaki karakterler ise 6 bitlik ikili sayý gruplarýyla gösterilir. CD kodlama sisteminde onlu sayýdaki her rakam, ayrý ayrý ikili sayý kodlarý hâlinde gösterilir. Örneðin 638 onlu sayýsýný CD koduyla þöyle gösterebiliriz: 6 = 0110, 3 = 0011, 8 = 1000 Sonuç:. Örnekte görüldüðü gibi her Çizelge 1.3: 0-9 arasý onlu onlu sayý için 4 bitlik ikili sayý kodu yeterlidir. ncak sayýlarýn CD koduyla yazýlýþý karakterler için 4 bit yeterli deðildir. Çünkü karakter sayýsý yaklaþýk 50 olduðundan hepsini kodlayabilmek için en az 6 bit gereklidir. 141 onlu sayýsýný a) Ýkili sayý koduyla, b) CD koduyla gösteriniz. Çözüm: a) b)

12 a) 8 ve 7 onlu sayýlarýný toplayýnýz. b) Toplamanýn sonucunu CD koduyla ifade ediniz. Çözüm: a) Onlu toplama: 8+7 = 15. Ýkili toplama: = 1111 b) 1111 ikili sayýsýnýn CD koduyla gösteriliþi: Oktal Kodu (Sekizli Kod) u kodlama sisteminde sekizli sayýlar, 3 bitlik ikili sayýlarla ifade edilir. Oktal kodunda dijital bilgiler bilgisayara 24 bitlik bir dizi hâlinde uygulanýr. Diziliþin þekli: Oktal kodunun kullanýldýðý PDP-8 sisteminde kapasite 12 bittir. öyle bir sisteme aþaðýdaki gibi 4 sekizli sayý uygulanabilir Herhangi bir sekizli sayýnýn kodlanmasý aþaðýdaki örnekte açýklanmýþtýr onlu sayýsýný oktal koduyla gösteriniz. Çözüm: 1 = 001, 7 = 111, 6 = 110, 3 = = Heksadesimal Kodu (Onaltýlý Kodu) u kodlama oktal koduna benzer. Tek fark, her karakter için 4 bit kullanýlmasýdýr. IM 370 sisteminde 8 bitli bir giriþ grubu kullanýlýr. Örneðin; gibi. u sayýlarýn onaltýlý karþýlýklarý ise þöyledir: 1010 =, 0001 = 1 Sonuç: 1 7 onaltýlý sayýsýný ikili sayý formu ile kodlayýnýz. Çözüm: = 1011, 7 = 0111 Sonuç: IM 1130 sistemi 16 bitlik bir belleðe sahiptir. öyle bir sistemde uygulanabilecek ikili sayý 16 bitlik olabilir. Örneðin, gibi. u onaltýlý sayýnýn deðerini okuyabilmek için 4 bitlik gruplar hâlinde sýralamamýz gerekir. Ýkili sayýyý bu kurala göre yazacak olursak: olur. 4. Gray (Grey) Kodu u kodlama sütun taramasý esasýna göre çalýþan cihazlarda (optik okuyucu vb.) yaygýn olarak kullanýlmaktadýr. Gray kodunda da 1 ve 0 bitleri kullanýlýr. u yöntemde bir bilgiden diðer bir bilgiye geçerken sadece bir hânede deðiþiklik olur. u sayede rakam deðiþimi az olduðundan hata oraný da çok az olmaktadýr. Örneðin 0101 sayýsýndan 0110 sayýsýna geçerken iki hânede deðiþiklik olmaktadýr. u iki deðeri optik yönteme göre çalýþan dijital elektronik yapýlý bir devrenin okuduðunu varsayarsak hatalý okuma olabilir. Þöyle ki; eðer birinci hânedeki deðiþikli ikinci hânedeki deðiþiklikten önce gerçekleþirse kýsa bir süre için optik sensör 0100 sayýsýný okur. u da 4 sayýsýna karþýlýk geldiðinden devre yanlýþ yargýlara (sonuçlara) varabilir. ncak CD kodundaki sayýlar gray koduna çevrilerek optik sensöre okutulursa, bir sayýdan diðer bir sayýya geçerken yalnýzca bir hânede deðiþim olduðundan hata olasýlýðý en az deðere 12

13 indirilmiþ olur. Ýkili sayý kodlarýyla gray kodlarýnýn birbirine çevrilmesinde benzerlik ve toplama yöntemleri kullanýlýr. a. enzerlik Yöntemi Kullanýlarak Yapýlan Ýkili Kodlu-Gray Kodlu Sayý Çevrimleri I. Ýkili Kodlu Sayýnýn Gray Kodlu Sayýya Çevrilmesi Ýþlem yapýlýrken: -En soldaki ikili sayý rakamý gray kodunun ilk rakamý olarak yazýlýr. -Ýkili sayýnýn en soldaki birinci ve ikinci rakamlarý birbirinin benzeriyse, ikinci gray rakamý olarak 0, eðer rakamlar farklý ise, ikinci gray rakamý olarak 1 yazýlýr. (þaðýdaki örneðe bakýnýz.) -Ýkinci ve üçüncü binary sayý rakamý benzer ise üçüncü gray rakamý olarak 0, farklý ise 1 yazýlýr. yný iþleme diðer rakamlar için de devam edilir ikili sayýsýný gray koduna çeviriniz. Çözüm: II. Gray Kodlu Sayýnýn Ýkili Kodlu Sayýya Çevrilmesi Ýþlem yapýlýrken: -En soldaki gray kodu rakamý, birinci ikili sayý rakamý olarak yazýlýr. -Ýkinci gray rakamý 0 ise, ikinci ikili sayý rakamý ilk ikili sayý rakamýnýn aynýsý yazýlýr. Gray rakamý 1 ise, ikinci ikili rakamý ilk ikili sayý rakamýnýn tersi olur. yný iþlem diðer basamaklardaki sayýlara da uygulanýr gray kodlu sayýyý ikili sayý koduna çeviriniz. Çözüm: b. Toplama Yöntemi Kullanýlarak Yapýlan Ýkili Kodlu-Gray Kodlu Sayý Çevrimleri u yöntemin anlaþýlabilmesi için, 0+0 = 0, 0+1 = 1, 1+0 = 1, 1+1 = 0 (elde kullanýlmýyor) þeklindeki toplama kurallarýnýn akýlda tutulmasý gerekir. I. Ýkili Kodlu Sayýnýn Gray Kodlu Sayýya Çevrilmesi Ýþlem yapýlýrken: -En soldaki ikili sayý rakamý gray kodunun ilk rakamý olarak yazýlýr. -Ýkili sayýnýn ikinci rakamýyla üçüncü rakamý toplanýr ve sonuç ikinci gray rakamý olarak yazýlýr. -Ýkili sayýnýn ikinci rakamýyla üçünücü rakamý toplanýr ve üçüncü gray rakamý olarak yazýlýr. yný iþlem kalan diðer basamaklarda da yapýlýr. (14. sayfadaki örneðe bakýnýz.) 13

14 ikili kodlu sayýyý gray koduna çeviriniz. Çözüm: II. Gray Kodlu Sayýnýn Ýkili Kodlu Sayýya Çevrilmesi Ýþlem yapýlýrken: -En soldaki gray kodu rakamý ikili sayýnýn ilk rakamý olarak yazýlýr. -Gray kodunun ikinci rakamý aþaðýya indirilen ikili sayýnýn ilk rakamýyla toplanýr ve ikili sayýnýn ikinci rakamý bulunmuþ olur. -Gray kodunun üçüncü rakamýyla bulunan ikili sayýnýn ikinci rakamý toplanýr ve ikili sayýnýn üçüncü rakamý bulunmuþ olur. yný iþlem kalan rakamlara da uygulanýr gray kodlu sayýyý ikili sayý koduna çeviriniz. Çözüm: Parity (Hata ulma, Hata Düzeltme) Kodu Dijital yapýlý devrelerde hatalar çoðunlukla devreler arasýnda bilgi (data) transferi yapýlýrken oluþur. Yani gönderilen bilgi yerine ulaþtýðýnda deðiþmiþ olabilir. Ýþte bu tip gönderme hatalarýnýn önlenmesi için gönderilen bilgiye parity biti eþlik ettirilir. Parity kodunun çalýþma ilkesi þöyledir: Gönderilen bilgideki 1'lerin tek ya da çift sayýda olup olmadýklarý kontrol edilir ve karþý tarafa parity biti yardýmýyla bildirilir. ilgiyi alan taraf yine ayný þekilde bilgideki 1'lerin tek ya da çift sayýda olup olmadýðýný kontrol eder. Eðer gönderilen bilgideki 1'lerin durumuyla alýnan bilgideki durumu birbirini tutuyorsa gönderme sýrasýnda bir hata oluþmamýþ demektir. azý devrelerde gönderilen bilgideki 1'lerin çift sayýda olup olmadýðý kontrol edilir ve buna çift parity (even parity) adý verilir. azý devrelerde ise 1'lerin tek sayýda olup olmadýðý kontrol edilir ve buna da tek parity (odd parity) adý verilir. Parity biti ile hata bulma yönteminde ancak 1 bit seviyesinde hata belirlemesi yapýlabilir. Yani bilginin gönderilmesi anýnda birden çok bit deðiþikliðe uðramýþsa hata tesbiti yapýlamaz. Þekil 1.5'te verilen blok þemada görüldüðü gibi, gönderilmek istenen bilgi, bir parity bit üretecine uygulanýr. Data'daki 1'lerin tek ya da çift oluþuna göre uygun parity biti üretilir. u parity biti gönderilmek istenen 4 bitlik bilgi ile birlikte alýcý tarafa gönderilir. Karþý tarafta bilgideki bitlerin durumu tekrar kontrol edilir ve parity bitinin durumuyla karþýlaþtýrýlýr. Herhangi bir yanlýþlýk yoksa tesbit edilen durumla parity bitinin iþaret ettiði durum birbirine uygun olacaktýr. Eðer bilgiler birbirini tutmuyorsa hata var demektir. u hata çeþitli dijital devreler tarafýndan düzeltilir. 14

15 data gönderici devre C D C D data alýcý devre parity bit üreteci parity biti data gönderme hattý hata bulma devresi hata alarmý Þekil 1.5: Parity biti kullanýlarak hata kontrolünün yapýlýþýna iliþkin blok þema Çift parity yönteminde gönderilen bilgideki 1'ler çift sayýdaysa parity biti olarak 0 üretilip karþý tarafa gönderilir. Yanda verilen çizelge 1.4'te dört basamaklý binary datalarýn çift parity sistemine göre kodlanmasý görülmektedir. Çizelge 1.4'te ilk satýrdaki bilgide 2 adet 1 vardýr. Yani 1'ler çift sayýdadýr. u nedenle parity bit üreteç devresi 0 üreterek alýcý devreye gönderir. Çizelge 1.4'te ikinci satýrdaki bilgide 1 adet 1 vardýr. Yani 1 sayýsý tekdir. u nedenle parity bit üreteç devresi 1 üreterek alýcý devreye gönderir. Tek parity sisteminde ise yukarýda açýklanan hususlardan farklý olarak 1'lerin miktarý tek sayýyla ifade ediliyorsa parity biti olarak 0, tersi durumdaysa parity biti olarak 1 üretilerek alýcý tarafa gönderilir. Onlu sayý ÇÝzelge Üç Fazlalýklý Kod (Excess Three Code, Excess 3, Ýlave 3 Kodu) Üç fazlalýklý kodlama CD koduna çok benzer. Tek fark, kodlanacak onlu sayýya çizelge 1.5'te görüldüðü gibi önce 3 eklenir. Sonra kodlama yapýlýr. u kodlama sistemi sadece 0-9 arasýndaki desimal sayýlarda kullanýlýr. Desimal 4 sayýsýný üç fazlalýklý koda çeviriniz. ÇÝzelge 1.5 Çözüm: 4 sayýsýna önce 3 ekleyip 7'yi buluruz. Sonra 7 sayýsýný 4 bitlik ikili koduna çeviririz. 4+3 = 7 Sonuç: 7 = 0111 Onlu 9 sayýsýný üç fazlalýklý koda çeviriniz. Çözüm: 9 sayýsýna önce 3 ekleyip 12'yi buluruz. Sonra 12 sayýsýný 4 bitlik ikili koduna çeviririz. 9+3 = 12 1 = 0001, 2 = 0010 Ýlave 3 koduna göre yazýlýþ: 1 = = 0101 Sonuç: Yanda verilen çizelge 1.5'te 0-9 arasý onlu sayýlarýn dört bitlik ikili sayý ve 4 bitlik 3 ilave kodlu ikili sayý olarak yazýlýþý verilmiþtir. 15

16 7. lfasayýsal (lfanümerik) Kodlar Ýkili sayýlar kullanýlarak alfabedeki bütün harfleri, noktalama iþaretlerini ve özel karakterleri kodlamak mümkündür. lfasayýsal iþaretlerin kodlanmasýnda SCII (merican Standard Code for Information Interchange) ve ECDIC (Extendedinary Coded Decimal Interchange Code) kodlamalarý kullanýlmaktadýr. a. SCII Karakter Kodu lfanümerik karakterlerin kodlanmasýnda birliði saðlamak üzere geliþtirilmiþtir. SCII sözcüðü, merican Standard Code for Information Interchange cümlesinin kýsaltýlmýþ hâlidir. u kodlama daha çok bilgisayarlarda bilgi giriþ ve çýkýþ devrelerinde kullanýlýr. ilgisayarlarýn klâvye, yazýcý, ekran gibi giriþ çýkýþ birimleri SCII kodlarýný kullanýr. SCII kodu klâvyedeki karakterlerle programlama dilleri arasýnda aracýlýk yapar. u kodlamada tüm karakterler 7 bit uzunluðunda ikili sayýlarla ifade edilir. Yanda verilen çizelge 1.6'da görüldüðü gibi harfinin SCII kodu ' ', harfinin SCII kodu ise ' 'dýr. Öte yandan, harfinin heksadesimal karþýlýðý 41, harfinin heksadesimal karþýlýðý ise 42'dir. azý ifadelerin SCII kodlarý ÇÝzelge 1.6 azý ECDIC kodlarý ÇÝzelge 1.7 b. ECDIC Kodu ECDIC sözcüðü "extended binary coded decimal interchange code" sözcüklerinin baþ harflerinden türetilmiþtir. u kodlama geliþmiþ bilgisayar devrelerinde kullanýlýr. Kodlamada karakterler 8 bitlik ikili sayýlardan oluþur. 16

17 Sorular 1. nalog ve dijital sinyal kavramlarýný açýklayýnýz. 2. ilgisayarýn giriþ ve çýkýþ birimlerini yazýnýz ikili sayýsýný onlu sayýya çeviriniz onlu sayýsýný ikili sayýya çeviriniz. 5. 0,75 onlu sayýsýný ikili sayýya çeviriniz ,01 ikili sayýsýný onlu sayýya çeviriniz ve 110 ikili sayýlarýný toplayýnýz ikili sayýsýný 11 ikili sayýsýna bölünüz onlu sayýsýný CD koduna göre yazýnýz ile 110 ikili sayýlarýný toplayýnýz onlu sayýsýný sekizli sayýya çeviriniz ikili sayýsýný sekizli sayýya çeviriniz onaltýlý sayýsýný onlu sayýya çeviriniz onaltýlý sayýsýný onlu sayýya çeviriniz. 15. it ve byte (bayt) sözcüklerinin anlamlarýný yazýnýz. 17

18 . Giriþ. Temel ilgiler 1. Lojik (Mantýk) 2. nalog Sinyal 3. Dijital Sinyal 4. Dijital Elektronik Devreleri 5. nalog ve Dijital Devrelerin Geliþimi 6. Dijital Elektroniðin Yaygýnlaþmasýnýn azý Nedenleri 7. ilgisayar 8. ilgisayarlarýn Geliþimi 9. Dijital Temelli ilgisayarlarýn na Elemanlarý a. Giriþ Elemanlarý b. Çýkýþ Elemanlarý C. Sayý Sistemleri 1. Onluk (Desimal, 10 Tabanlý, Decimal) Sayý Sistemi a. Onluk Sayýlarda Toplama b. Onluk Sayýlarda Çýkarma 2. Ýkilik (inary, 2 Tabanlý, Ýkili) Sayý Sistemi a. Ýkilik Sayýnýn Onluk Sayýya Çevrilmesi b. Onluk Sayýnýn Ýkilik Sayýya Çevrilmesi c. Kesirli Onluk Sayýnýn Ýkilik Sayýya Çevrilmesi d. Kesirli Ýkilik Sayýnýn Onluk Sayýya Çevrilmesi e. Ýkilik Sayýlarda Dört Ýþlem I. Ýkilik Sayýlarda Toplama II. Ýkilik Sayýlarda Çýkarma III. Ýkilik Sayýlarda Çarpma IV. Ýkilik Sayýlarda ölme f. Ýkilik Sayýlarýn Tamamlayýcýlarý (Two's Complement) g. Ýkilik Sayýlarýn Pozitif ya da Negatif Olarak Gösteriliþi I. Gerçek üyüklükte Gösterme II. 1'in Tersi Olarak Gösterme III. 2'nin Tersi ile Gösterme 3. Sekizlik (Oktal, 8 Tabanlý, Octal) Sayý Sistemi a. Onluk Sayýnýn Sekizlik Sayýya Çevrilmesi b. Sekizlik Sayýnýn Onluk Sayýya Çevrilmesi c. Ýkilik Sayýnýn Sekizlik Sayýya Çevrilmesi d. Sekizlik Sayýnýn Ýkilik Sayýya Çevrilmesi 4. Onaltýlýk (Heksadesimal, 16 Tabanlý, Onaltýlý, Hexadecimal) Sayý Sistemi a. Onaltýlýk Sayýnýn Onluk Sayýya Çevrilmesi b. Onluk Sayýnýn Onaltýlýk Sayýya Çevrilmesi

19 c. Onaltýlýk Sayýnýn Ýkilik Sayýya Çevrilmesi d. Ýkilik Sayýnýn Onaltýlýk Sayýya Çevrilmesi e. Onaltýlýk Sayýlarda Toplama f. Onaltýlýk Sayýlarda Çýkarma g. Onaltýlýk Sayýlarda Çarpma h. Onaltýlýk Sayýlarda ölme 5. Dijital Verilerle Ýlgili Temel Kavramlar a. it b. yte (ayt) c. Kilobyte (Kilobayt), Megabyte (Megabayt) ve Gigabyte (Gigabayt) Kavramlarý d. ellek Kelimesi (Memory Word) e. Kapasite d. Karakter D. Kodlama ve Kodlar 1. Onluk Ýçin Ýkilik Kodlamasý (CD, 8421 Kodu) 2. Oktal Kodu (Sekizlik Kod) 3. Heksadesimal Kodu (Onaltýlýk Kod) 4. Gray (Grey) Kodu a. enzerlik Yöntemi Kullanýlarak Yapýlan inary Kodlu-Gray Kodlu Sayý Çevrimleri I. inary Kodlu Sayýnýn Gray Kodlu Sayýya Çevrilmesi II. Gray Kodlu Sayýnýn inary Kodlu Sayýya Çevrilmesi b. Toplama Yöntemi Kullanýlarak Yapýlan inary Kodlu-Gray Kodlu Sayý Çevrimleri I. inary Kodlu Sayýnýn Gray Kodlu Sayýya Çevrilmesi II. Gray Kodlu Sayýnýn inary Kodlu Sayýya Çevrilmesi 5. Parity (Hata ulma, Hata Düzeltme) Kodu 6. Üç Fazlalýklý Kod (Excess Three Code, Excess 3, Ýlave 3 Kodu) 7. lfasayýsal (lfanümerik) Kodlar a. SCII Karakter Kodu b. ECDIC Kodu Sorular

20