Baml deikenin simetrik bulank say olmas durumunda parametre tahmini

Transkript

1 statstkçler Dergs 3 (00) 54-6 statstkçler Dergs Baml dekenn smetrk bulank say olmas durumunda arametre tahmn Kamle anl Kula Ah Evran Ünverstes, Matematk Bölümü, 4000, Krehr, ürkye sanl004@hotmal.com ürkan Erbay Dalklç Karadenz eknk Ünverstes, $statstk ve Blgsayar Blmler Bölümü, 6080, rabzon, ürkye tedalklc@gmal.com Ayen Aaydn Ankara Ünverstes, $statstk Bölümü, 0600-ando+an, Ankara, ürkye aaaydn@scence.ankara.edu.tr Özet Bu çalmada, baml dekenn smetrk bulank say olmas durumunda, regresyon modelnn arametrelernn tahmn edlmes çn, bulank çkarsama sstemne dayal uyarlamal an (ANFIS) kullanld br algortma ve bulank robust regresyon a dayal br algortma ele alnarak arametre tahmn yalmtr. Bulank robust regresyon ve ANFIS n kullanld algortmadan elde sonuçlar Dmond (988) tarafndan önerlen yöntemden elde edlen sonuçlar le karlatrlmtr. Anahtar sözcükler: Smetrk bulank say, Bulank robust regresyon, ANFIS. Abstract Parameter estmaton n the case of symmetrc fuzzy number deendent varable In ths study, we wll use two algorthms for a regresson arameter s estmaton. Based on ANFIS and fuzzy robust regresson model, n cases where deendent varables s a symmetrcal fuzzy number. Results taken from the fuzzy robust regresson are based on ANFIS and are comared wth the Damond method. Keywords: Symmetrcal fuzzy number, fuzzy robust regresson, ANFIS.. Gr! Regresyon analz k ya da daha çok deken arsndak fonksyonel yay belrlemekte kullanlan br yöntemdr. Mühendslk, byoloj, ekonom, letme vb. ek çok alanda yaygn olarak kullanlmaktadr (Kao ve Chyu, 003). Br baml ve bamsz deken arasndak fonksyonel ya = j j + j= y x e =,,..., n j =,,..., () olarak tanmlanr. Burada y, nc gözlem çn baml deken deer, x, x,..., x, bamsz deken deer, e rassal hata mktar ve,,..., regresyon katsaylardr. Etlk () de tanmlanan regresyon model matrs gösterm le

2 K.. Kula v.d. / statstkçler Dergs 3 (00) Y = X + ya da y x.. x 0 e.. y x x e. = yn xn xn en dr. Burada Y ; nx boyutlu baml deken çn gözlemlern vektörü, X ; [nx(m+)] boyutlu bamsz dekenlere lkn matrs, ; [(m+)x] boyutlu regresyon katsaylarnn vektörü ve ; (nx) boyutlu hata vektörüdür. Bulank regresyon çözümlemes klask regresyon çözümlemesnn bulank genlemes olarak düünüleblr. Çetl alanlarda yaygn olarak çallm ve uygulanmtr. Genel olarak bulank regresyon çözümlemes k gruta tolanr. Bunlardan brncs anaka vd. (98) nn dorusal rogramlama yaklamna, kncs se Damond (988) tarafndan önerlen klask regresyon çözümlemesnn br genlemes olan bulank en küçük kareler yaklamna dayanr. Bulank regresyon çözümlemes lgl ek çok çalma lteratürde yer almaktadr. anaka (987) model sklkla kesn saylar ürett çn Celmns (987) tarafndan eletrlmtr. Daha sonra anaka vd (98) tarafndan ler sürülen en küçükleme roblemnn ölçek baml olduunu Jo zsef (99) ler sürmütür. Celmns (987) n eletrsne karlk anaka ve Ishbuch (99) etkleml bulank katsaylar elde etmek çn br yöntem geltrmlerdr (Redden ve Woddall, 996). Bu yöntemn aykr deerlere güçlü br eklde duyarl olduu, vernn çerd kesn blgy göz ard ett ve snrsz çözüm ürett Redden ve Woddall (996) tarafndan gösterlmtr. Watada ve Yabuuch (994), aykr deer tarafndan etklenmeyen br bulank robust regresyon model önermlerdr. Otmzasyon roblemn çözmek çn genetk algortma kullanlmtr. Chang ve Lee (996) aykr deer olmas durumu çn üyelk dereceleryle arlklandrma yaan ve karar verc le etkleme dayanan genelletrlm bulank arlklandrlm en küçük kareler yöntemn ler sürmülerdr. Yang ve Ko (997) bast dorusal regresyonda arlklandrlm bulank en küçük kareler çözümlemes çn ynelemel algortmay geltrmlerdr. Bu algortma k aamaldr. Hlk olarak gözlemlern snf üyelklern veren bulank snflama yöntem seçlr, daha sonra üyelklern bu deerler arlklar olarak kullanlr. Bulank regresyon çözümlemesnde arlklandrlm bulank en küçük kareler br otmzasyon roblem olarak düünülmütür. Ishbuch ve Ne (00) smetrk üçgensel bulank katsayl dorusal modeller çn bulank regresyon yöntemn önermlerdr. Kao ve Chyu (003) çalmalarnda klask regresyonda skça kullanlan en küçük kareler yöntemn bulank regresyon katsaylarn belrlemek üzere uyarlamlardr. Yang ve Lu (003) etkleml bulank dorusal regresyon modeller çn bulank en küçük kareler algortmasn önermlerdr. Bu algortma bast regresyon çn aykr deere kar robusttr. D Urso (003) kesn veya bulank grdler ve kesn veya bulank çktlar le bulank regresyon modeller önermtr. Hong ve Hwang (004) Damond un modeln çok dekenl bulank regresyon modeller olarak genelletrmlerdr. Cho ve Buckley (007) verde aykr deer olmas durumunda en küçük mutlak sama yöntem le arametre tahmn yamlardr. Chuang vd. (009) aykr deer çn agak-sugeno- Kang bulank modelne dayanan melez bulank robust regresyon yaklamn ler sürmülerdr. Bu yaklamda kümeleme analzn kullanmlardr. Bulank regresyon model baml ve bamsz dekenlern koullarna göre 4 gruta tolanablr: ) Grd ve çkt verlernn her ksnn de kesn (non-fuzzy) say olmas durumu, ) Grd dekennn kesn, çkt dekennn bulank say olmas durumu, ) Hem grd hem de çkt dekennn bulank say olmas durumu, v) Parametrelern bulank say olmas durumu (Cho ve Buckley, 008).

3 K.. Kula v.d. / statstkçler Dergs 3 (00) Bulan$k regresyon Grd dekenlernn kesn say, çkt dekennn bulank say olmas durumu, baka br fade le gözlemlenm verler ( ~ y, x,..., xn ) =,,..., n le gösterlr. LR t bulank saylar le lglenldnde Y ~ = ( m l,, u) bçmnde gösterlr. Burada m merkez, l sol yaylmay ve u se sa yaylmay LR göstermektedr. Bulank regresyon model, ~ ~ ~ ~ Y = A + A x A x,,,...,, 0 = n bçmnde tanmlanr. Burada x j kesn say, Y ~ ~ = ( y, L, R ) ve A ( ) = a, L, R üçgensel bulank saylardr. LR t bulank sayda L = R se smetrk üçgensel bulank say olarak fade edlr (Coa vd. 006). Genel olarak bulank regresyon modellernn çözümlemes k kategorde tolanr. Bunlardan brncs anaka vd (98) nn dorusal rogramlama yaklamdr. anaka model, Mn n = = J c x ( ) ( ) ( ) ( ) Kst x + h c x y + h e x + h c x y + h e 0 h< c 0 bçmnde tanmlanr. Burada h karar verc tarafndan belrlenen ek düzeydr. anaka vd (98) modelnde bamsz deken x kesn (crs) say, baml deken merkez y, yaylmas e olan bulank say ( Y = ( y, e) ), arametreler merkez a j, yaylmas c j olan ve A= ( aj, cj) olarak tanmlanan bulank saydr (Redden and Woddall 996). Bulank regresyon çözümlemesnn kncs se bulank en küçük kareler yaklamna dayanr. Dmond (988) bulank en küçük kareler yaklamn önermtr. Dmond (988) bamsz deken x n kesn say ve baml deken Y = ( y,, ) nn smetrk üçgensel bulank say olmas durumda bulank regresyon modeln, Y = A+ xb () olarak tanmlamtr. Burada A= ( a,, ) ve B = (, b, ) smetrk üçgensel bulank arametrelerdr. () etlndek arametre tahmnlern yaablmek çn en küçük kareler otmzasyon roblem, Mnmum r( A, B) = d( A + x B, Y ) bçmndedr. Burada d( A+ x B, Y ) = ( a+ bx x y + ) + ( a+ bx + + x y ) + ( a+ bx y ) olarak tanmlanr (Chang and Lee 996, Damond 988).

4 K.. Kula v.d. / statstkçler Dergs 3 (00) Algortmalar 3.. Parametre tahmn çn ANFIS e dayal br algortma ANFIS, bulank regresyon analz çn, çkarsama sstemnn leyne mkan veren br yadr. Uyarlamal a; çok tabakal, ler beslemel br snr adr. Her snr grd snyaller üzernde özel fonksyonlar gösterr. Regresyon fonksyonuna y br yaklam elde etmek çn kullanlan, snrlere ve balantlara sah uyarlamal a be tabakadan oluur (Goger 993, Dalklç ve Aaydn 009). Brnc tabakadak her snr dlsel deerl grdye dayanan br üyelk fonksyonu üretr yan çkts üyelk L fonksyonudur. Hknc tabakadak snrler; grd snyallerne bal w (L=,...,6) arlklarn çkartrlar. Üçüncü tabaka, knc tabakadan gelen çkt snyallernn br normalzasyon levn çerr. Dördüncü tabakadak her snr alt modellerden brn üretr; Y L L L L L L snr Y = c0 + cx + cx cx eklnde tanmlanr. Son olarak benc tabaka, dördüncü tabakadan gelen tüm çktlarn tolamdr (James ve Donalt, 999). Regresyon modellerne at tahmn setnn elde edlmes sürec k öneml admdan olumaktadr. Bunlardan brncs, verlern geld snf karakterze eden önsel arametre setnn belrlenmes ve bu arametrelern süreç çnde güncellenmes, kncs se sonsal arametre setnn tahmn edlmesdr. ANFIS le regresyon modellernn arametrelernn belrlenmes sürec, bamsz dekenlern snf ya da düzey saylarnn ve önsel arametrelern belrlenmes le balar. ANFIS le regresyon modellernde arametre tahmnne lkn algortma; Adm : Bamsz dekenlere at ver kümesne lkn otmal snf saylar belrlenr. Adm : Önsel arametreler belrlenr. Yaylmlar, grd dekenlernn deer ald arala ve dekenlern düzey saylarna göre belrlenr. Merkez arametreler de dekenlern deer ald arala ve düzey saysna baldr ve max( X) mn( X) v = mn( X) + *( ) ( c ) =,..., (3) le belrlenr. L Adm 3: w arlklar bamsz dekenn at olduu dalm alesne dar üyelk fonksyonlarndan yararlanlarak hesalanr. Üyelk fonksyonlar normal dalm fonksyonu olarak düünüldüünde, x v h µ F ( x ) ex h = h (4) bçmnde tanmlanr. Adm 4: Bamsz dekenlern kesn, baml dekenn bulank saylardan olutuu durumda, sonsal arametre set bulank saylar olarak elde edlr. Sonsal arametre setnn satanmas çn, ( Z = B B) B Y (5) etl kullanlr. Burada, B le arlklandrlm [((+)*m )*n] boyutlu ver matrs, Y baml deken deerlernden oluan (n*) boyutlu vektör ve Z sonsal arametrelere lkn

5 K.. Kula v.d. / statstkçler Dergs 3 (00) Z = a,..., a, a,..., a, a,..., a (6) m m m 0 0 bçmnde tanmlanan [(+)*m ] boyutlu vektördür. L L L L L Adm 5: Sonsal arametre set kullanlarak, Y = c0 + cx + cx cx bçmnde fade edlen regresyon modeller oluturulur. n Adm 6: Modele lkn hata = ( Y Yˆ ) bçmnde hesalanr. Eer n (7) k= < se sürece son verlr. Eer k k / se Adm7 ye geçlr. Adm 7: Adm de belrlenen merkez önsel arametreler, v = v ± t le güncellenr. ' Adm 8: En küçük hatay veren önsel arametreler ve bu arametrelere lkn modellerden elde edlen tahmn çkt olarak alnr. 3.. Bulank robust regresyon çn algortma x n kesn say ve Y = ( y,, ) nn smetrk üçgensel bulank say olmas durumda bulank çok dekenl regresyon model ~ ~ Y = A ~ + A x ~ A,,,..., 0 x = n olsun. Bu durumda otmzasyon roblem ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( A, A A..., A ) d( A + A x... A x, Y ), P : Mn r,, = ~ ~ olarak tanmlanr. Burada A = (,, ), ( b, ) 0 a smetrk üçgensel bulank arametreler olmak üzere d ~ ~ ~ ~ ( A + A x A x, Y ) = ( a + b x b x y ) 0 + +, A =,,..., A ( b,, ) ( a + b x b x x x... x y + ) ( a + b x b x + + x + x x y ) ~ = bçmnde tanmlanan dr. P roblemnn a, b ya göre ve,,, ya göre türev aln sfra etlendnde normal denklem sstemler elde edlr. Bu sstem çözüldüünde elde edlen tahmn edcler yardmyla bulanan tahmnler le bulank regresyon model yazlr. Bulank robust regresyon le arametre tahmnne lkn algortma: Adm : x n kesn say ve Y = ( y,, ) smetrk üçgensel bulank say olmas durumda balangç bulank tahmn regresyon model P roblemnden bulunur. (8)

6 K.. Kula v.d. / statstkçler Dergs 3 (00) Adm : Merkezler çn tahmn deerler ( y ˆ ) ve artklar ( r ) belrlenr. hesalanr. OM ndeksne göre artklar Adm 3: Artklarn mutlak deerlerne göre medyan belrlenr ve D ( abs( r )),,...,, = = abs( r ) medan n uzakl hesalanr. Adm 4: Uzaklklara bal olarak üyelk fonksyonu µ! b abs( r) b a 0 abs( r) a, () r = a < abs() r d. d, < b, (9) bçmnde tanmlanr. Burada; dr. a = medan b = max ( D ), ( D ) + d. d = medan r medan ( r ) / , Adm 5: Etlk (9) da tanmlanan üyelk fonksyonu le üyelk dereceler belrlenr ve arlk matrs oluturulur. Arlk matrs, köegen elemanlar üyelklerden oluan dagonal matrstr. Elde edlen arlk matrs yardmyla arlklandrlm bulank en küçük kareler tahmnler bulunur. k + k Adm 6: Eer ˆ ˆ < se durulur. Aks durumda Adm ye gdlr. Burada ˆ tahmn edlen regresyon model arametreler, k yneleme says ve > 0 olmak üzere çok küçük br saydr( Kula ve Aaydn, 008). 4. Uygulama Uygulamada kullanlan ver set Cheng ve Lee (999) den alnmtr. Smetrk bulank saylardan oluan baml dekenn yer ald ver setnde k bamsz deken ve 30 gözlem bulunmaktadr. Ver set Çzelge de, yöntemlere lkn tahmnler ve artklar Çzelge de verlmtr. Algortmalarn çözümü çn MALAB da yazlan rogramlar kullanlmtr.

7 K.. Kula v.d. / statstkçler Dergs 3 (00) x Çzelge. Ver set x ~ y (, ) y x x ~ y (, ) y (4.990,.480) (4.8490,.0) (5.560,.340) (4.9940,.480) (3.750, 0.890) (4.8370,.090) (5.040,.600) (5.760,.390) (5.3840,.3460) (4.3790,.0950) (4.080,.050) (4.8870,.0) (5.670,.90) (3.380, ) (5.0330,.580) (4.730,.0680) (5.600,.900) (5.300,.380) (5.0360,.590) (4.7550,.890) (6.0470,.50) (5.630,.90) (5.4090,.350) (5.0750,.690) (5.380,.3300) (5.0350,.590) (4.9040,.60) (5.00,.530) (4.8630,.60) (4.860,.070) Bulank robust regresyon, ANFIS e dayal algortma ve Damond yöntem çn elde edlen model tahmnler srasyla etlk (0, ve ) de verlmtr. Y FRR = (4.9,.306) + (0.004, 0.006) X + (0.0070, 0.007) X (0) Y Y Y Y ANN ANN ANN 3 ANN 4 = (5.74,.933) (0.0367, ) X = (6.764,.693) + (0.7, 0.03) X = (5.470,.363) + (0.05, ) X = (.4836,0.647) + (0.485, 0.038) X (0.75, ) X (0.093, 0.086) X + (0.00, 0.030) X + (0.408, 0.0) X () Y DIM = (4.933,.33) + (0.0039,0.000) X + ( 0.009, 0,007) X () Ver kümes çn artk analz yalm 5, 4 ve. gözlemlern aykr gözlem olduu görülmütür. Bulank robust regresyon çözümlemes le her br gözlem arlklandrlarak modele etk yamtr, elde edlen model tahmn kullanlarak tahmnler ve artklar hesalanmtr. Yöntemler çn hata etlk 7 den elde edlmtr. Çzelge den FRR çn artklar ncelendnde aykr deerler çn artklarn büyük ancak der gözlemler çn küçük olduu görülmektedr. Böylece yöntemn aykr deer dndak gözlemler çn uyumu ydr. ANFIS te se etlk (0) da verlen regresyon modellernn arlkl ortalamalarndan elde edlen tahmn deerlerne dayanarak belrlenen artk deerler hesalanmtr. ANFIS te balangçta gözlemler kümelend ve sonuçta arlklandrlm artklar elde edld çn artklar küçük ve hata krterne göre de en küçük hata elde edlmtr. Damond yöntemnde se hatann FRR ye göre küçük olmasnn neden aykr gözlemlere FRR ye göre daha küçük artk deer vermesndendr. FRR ve Damond yöntemler çn 5, 4 ve. gözlemlern artklar göz önünde bulundurulmadnda FRR çn hata bulunurken Damond çn olarak bulunmutur. Buda bze FRR le elde edlen modeln aykr deerler dndak gözlemler çn uyumunun y olduunu göstermektedr.

8 K.. Kula v.d. / statstkçler Dergs 3 (00)

9 K.. Kula v.d. / statstkçler Dergs 3 (00) Kaynaklar [] P.. Chang, E.S. Lee, 996 A generalzed fuzzy weghted least-squares regresson. Fuzzy Sets and Systems, 8, [] A. Celmns, 987, Least squares model fttng to fuzzy vector data, Fuzzy Sets and Systems,, [3] C.B. Cheng, E.S. Lee, 999, Alyng Fuzzy Adatve Network to Fuzzy Regresson Analyss, An Internatonal Journal Comuters & Mathematcs Wth Alcatons, 38,3 40. [4] S.H. Cho, J.J. Buckley,008, Fuzzy regresson usng least absolute devaton estmators, Soft Comut,, [5] C.C. Chuang, J.. Jeng, C.W. ao,009, Hybrd robust aroach for SK fuzzy modelng wth outlers, Exert Systems wth Alcatons, 36, [6] R. Coa, P. D Ursob, P. Gordana, and A. Santorob,006, Least squares estmaton of a lnear regresson model wth LR fuzzy resonse, Comutatonal Statstcs & Data Analyss, 5, [7] P. Dmond,988, Fuzzy least squares, Informaton Scence, 46,4-57 [8] P. D Urso, 003, Lnear regresson analyss for fuzzy/crs nut and fuzzy/crs outut, Comutatonal Statstcs & Data Analyss, 4, [9] D.. Erbay, A. Aaydn, 009, A Fuzzy Adatve Network Aroach to Parameter Estmaton n case Where Indeendent Varables Come From Exonental Dstrbuton, Journal of Comutatonal and Aled Mathematcs, 33, [0] D.H. Hong, Hwang, C.,004, Extended fuzzy regresson model usng regularzaton method, Informaton Scence, 64, [] H. Ishbuch, M. Ne, 00, Fuzzy Regresson usng Asymmetrc Fuzzy Coeffcents and Fuzzed Neural Networks, Fuzzy Sets and Systems, 9, [] D. James, W. Donalt, 999, Fuzzy Number Neural Networks, Fuzzy Sets and Systems,08, [3] S. Jozsef, 99, On the e_ect of lnear data transformaton n the ossblstc fuzzy lnear regresson, Fuzzy Sets and Systems,45, [4] J. Jyh-Shng Roger, 993, ANFIS: Adatve-Network-Based Fuzzy Inference System, IEEE ransacton on Systems, Man and Cybernetcs, 3(3), [5] C. Kao, CL. Chyu,003, Least-squares estmates n fuzzy regresson analyss. Eur. J. Oeratonal Res,48, [6] K.S. Kula, A. Aaydn, 008, Fuzzy Robust Regresson Analyss Based on the Rankng of Fuzzy Sets, Internatonal Journal of Uncertanty, Fuzzness and Knowledge-Based Systems, 6, [7] D.. Redden, W.H. Woddall,996, Further examnaton of fuzzy lnear regresson, Fuzzy Sets and Systems 79, 03-. [8] H. anaka, S. Uejma, K. Asa, 98, Lnear regresson analyss wth fuzzy model. IEEE rans. Systems Man Cybernet,, [9] H. anaka, I. Ishbuch, 99, Identfcaton of ossblty lnear systems by quadratc membersh functons of fuzzy arameters, Fuzzy Sets and Systems, 4, [0] H. anaka, 987, Fuzzy data analyss by ossblstc lnear models, Fuzzy Sets and Systems, 4, [] M.S. Yang, H.H. Lu, 003, Fuzzy least squares algorthms for nteractve fuzzy lnear regresson models. Fuzzy Sets and Systems, 35, [] M.S. Yang, C.H. Ko, 997, On cluster-wse fuzzy regresson analyss. IEE ransacton on Systems, Man and Cybernetcs Part B: Cybernetcs, 7, -3. [3] J. Watada, Y. Yabuuch,994, Fuzzy robust regresson analyss. Fuzzy/IEEE 94, herd IEEE Internatonal Conference on Fuzzy Systems, -7.