KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER"

Transkript

1 ORTAÖĞRETİM ÖĞRENCİLERİ ARASI ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI (01 013) KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER Fatih KORKUSUZ Şehit Fazıl Yıldırım Anadolu Lisesi Eskişehir Kadir Erdem KARACA Haı Ahmet Kanatlı Anadolu Lisesi Eskişehir Osman EKİZ Danışman Öğretmen ESKİŞEHİR 013 1

2 ÖZET Kenar uzunlukları ile alanı tam sayı olan üçgenlere heron üçgenleri denir. Heron üçgenlerinin özelliklerinin inelenmesi sırasında ortaya çıkan çoğu problem sayılar teorisini ilgilendiren problemlerdir. Bu alan geometri ile sayılar teorisinin iç içe olduğu bir çalışma alanıdır. Tarih boyuna bir çok matematikçi heron üçgenleri üzerine çalışmalar yapmıştır. Biz bu çalışmada kenarları geometrik dizi oluşturan tam sayı kenarlı üçgenlerin elde edilebilmesi için gerekli şartları ortaya koyduk. Bir parametreye bağlı olarak bu tip üçgenleri üretmeye çalıştık. Bu üçgenlerin açıortay, kenar ortay, yükseklik ve alan bağıntıları bulunup rasyonel değer alıp alamayaakları üzerinde durulmuştur. Ayrıa bu üçgenlerin iç açıları için alt ve üst sınırlar bulunmaya çalışılmıştır.

3 İÇİNDEKİLER Özet İçindekiler 3 1. Kaynak Araştırması. Ön Bilgiler 3. Geometrik Orta Üçgenleri Primitif Geometrik Orta Üçgeni ve Üreteçleri Bazı Primitif Geometrik Orta Üçgenleri 1. Primitif Geometrik Orta üçgeninde Açıortay, Kenarortay ve Yükseklik Bağıntıları 1.1. PGO Üçgeninin Kenarortay Uzunlukları 1.. PGO Üçgeninin Açıortay Bağıntıları PGO Üçgeninde Yükseklik Bağıntıları 17.. PGO Üçgeninde Alan Bağıntısı PGO Üçgeninin Açıları Arasındaki Bağıntılar PGO Üçgeninin Alanının Alabileeği En Büyük Değer 1 5. k Geometrik Orta Üçgeni 1 6. Sonuçlar ve Tartışma 7. Kaynaklar 3

4 1. KAYNAK ARAŞTIRMASI Heron üçgenleri ve bunun özel bir ailesi olan Pisagor üçgenleri üzerine Sierpinski, Rosen, Guy, Beauregard ve Suryanarayan, Buhholz ve MaDougall, Sastry, Zelator, Kramer, Lua gibi matematikçiler çeşitli çalışmalar yapmıştır. Eşen (010) ve Darıyeri (006) çalışmalarında heron üçgenleri üzerinde yapılan çalışmaların kronolojik sıralaması hakkında bilgi vermiştir. Buhholz ve MaDougall (1999), kenarları geometrik ve aritmetik dizi biçiminde olan rasyonel alanlı üçgenler ve kirişler dörtgenleri üzerinde çalışmıştır. Kenarları aritmetik olan üçgenlerin sonsuz bir ailesi için tam bir karakterizasyon verilmiştir ve ayrıa geometrik diziden oluşan kenarlara sahip hiçbir üçgenin olamayaağı gösterilmiştir.(eşen, 010) Yapılan çalışmalar inelendiğinde kenarları aritmetik dizi oluşturan heron üçgenleri üzerine kapsamlı araştırmalar yapılmıştır. Fakat kenarları geometrik ve harmonik dizi oluşturan üçgenler üzerine yapılan araştırmalar ise az sayıdadır. Bunun bir sebebi bu şekildeki üçgenlerinin alanlarının tam sayı olmamasıdır. Çünkü, Buhholz ve MaDougall (1999), kenarları geometrik diziden oluşan kenarlara sahip bir üçgenin heron üçgeni olamayaağını göstermiştir.. ÖN BİLGİLER Bu bölümde daha sonraki bölümlerde kullanılaak tanım ve teoremler verilmiştir. Tanım.1. a ve b iki tamsayı ve a 0 olsun. b = a. olaak şekilde bir tamsayısı varsa a, b yi böler veya b, a ile bölünür deriz ve bu durumu a b şeklinde ifade ederiz. (Erdoğan&Yılmaz, 008)

5 Tanım.. b ve iki tamsayı olsun. Eğer bir a 0 tamsayısı için a b ve a koşulları gerçekleniyor ise a ya, b ve tamsayılarının bir ortak böleni denir. Bir b 0 tamsayısının bölenleri sonlu sayıdadır. O halde b ve den en az birisi sıfırdan farklı ise bu iki tamsayının ortak bölenlerinin sayısı sonludur. (Erdoğan&Yılmaz, 008) Tanım.3. b ve, en az birisi sıfırdan farklı iki tamsayı olsun. i) d b, d ii) a b, a a d iii) d 0 koşullarına uyan bir d tamsayısına b ve tamsayılarının en büyük ortak böleni (e.b.o.b.) denir ve (b,) şeklinde gösterilir. (Erdoğan&Yılmaz, 008) Tanım.. (a,b) 1 ise a ve b tamsayılarına aralarında asaldır deriz. (Erdoğan&Yılmaz, 008) Tanım.5. p 1 tamsayısı verilsin. Eğer p nin ±1 ve ± p den başka böleni yoksa p tamsayısı bir asal sayıdır deriz. Asal olmayan bir tamsayıya bileşik sayı diyeeğiz. (Erdoğan&Yılmaz, 008) Tanım.6. ( p, p + ) seklindeki asal sayı çiftlerine asal sayı ikizi, ( p, p +, p + 6) asal sayılarına asal sayı üçüzü, ( p, p +, p + 6, p + 8) seklindeki asal sayılara da asal sayı dördüzü adı verilir. (Erdoğan&Yılmaz, 008) Tanım.7. a, b, m ; m 0 tam sayıları verilsin. Eğer m a b) ise a, b ye m modülüne göre kongrüent dir denir ve a b (modm) şeklinde gösterilir. (Erdoğan&Yılmaz, 008) Tanım.8. Her m 0 tamsayısını, m yi geçmeyen ve m ile aralarında asal olan tamsayıların sayısına eşleyen fonksiyona Euler in -fonksiyonu adı verilir ve m nin resmi (m) ile gösterilir. (Erdoğan&Yılmaz, 008) 5

6 Tanım.9. Bir tam sayının karesi şeklinde ifade edilebilen sayılara tam kare sayılar denir. Teorem.1. mn, 1 ve mn tam kare ise m ve n de tam karedir. Teorem.. a tek tam sayı ise 1mod a 0mod olur. a ve a çift tam sayı ise Teorem.3. x xy y z denkleminin negatif olmayan tamsayılardaki tüm çözümleri k (Andreesu&Andria, 00) Z olmak üzere x, yz, k,0, k, 0, kk, üçlüleridir. Teorem.. x xy y z denkleminin negatif olmayan tamsayılardaki tüm çözümleri k Z olmak üzere x, yz, k,0, k, 0, kk,, kkk,, üçlüleridir. (Andreesu&Andria, 00) Teorem.5. x çift tam sayı ise x 0 mod16 ve x tek tam sayı ise x 1 9mod16 ve x çift tam sayı ise x 0mod16 ve x tek tam sayı ise x 1mod16 Tanım.10. Üç açısı da dar açı olan üçgene dar açılı üçgen, bir açısı dik olan üçgene dik açılı üçgen, bir açısı geniş olan üçgene geniş açılı üçgen denir. (Küpeli, 010) Tanım.11. Kenar uzunlukları birbirinden farklı olan üçgene çeşitkenar üçgen, herhangi iki kenar uzunluğu eşit olan üçgene ikizkenar üçgen, üç kenar uzunluğu da birbirine eşit olan üçgene eşkenar üçgen denir. (Küpeli, 010) Tanım.1. Üçgenin bir köşesini karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına üçgenin o kenarına ait kenarortayı denir. Üçgenin bir köşesindeki 6

7 açısını iki eş parçaya ayıran ışının, köşe ile karşı kenar arasında kalan parçasına, üçgenin o köşesine ait açıortayı denir. Üçgenin bir köşesinden karşı kenara veya bu kenarın uzantısına dik olarak çizilen doğru parçasına üçgenin bu kenarına ait yüksekliği denir. (Küpeli, 010) Teorem.6. [Üçgen Eşitsizliği]. Bir üçgende bir kenar uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür. (Küpeli, 010) Teorem.7. [Kenarortay Teoremi]. Bir ABC üçgeninde BC kenarına ait kenarortay uzunluğu V a olmak üzere A a Va b dir. (Küpeli, 010) V a V a = b + - a B // D // C Teorem.8. [Açıortay Teoremi]. Kenar uzunlukları ab,, olan ABC üçgeninin A açısına ait açıortayı AD ve AD na A olsun. Bu durumda; m(bad) = m(cad) B D C i) AB BD ii) na AB AC BD DC iii) AC DC a BD ve b DC ab b bağıntıları mevuttur. 7

8 sayısına altın oran denir ve genellikle sembolü ile göste- Tanım rilir. Tanım.1. a 1, a, a 3 reel sayı dizisinin aritmetik dizi olması için gerek ve yeter şart a a1 a olmasıdır. a1, a, a 3 reel sayı dizisinin geometrik dizi olması için gerek ve yeter şart a a1 a olmasıdır. a1, a, a 3 reel sayı dizisinin harmonik dizi olması için gerek ve yeter şart (Zelator, K., 008) 1 1 1,, a a a 1 3 dizisinin aritmetik diz olmasıdır. Teorem.9. [Kosinüs Teoremi]. Bir ABC üçgeninde A a b bosa b os b a a B os dir. (Gürlü, 003) a b ab C B a C Tanım.15. Kenar uzunlukları ile alanı tam sayı olan üçgene heron üçgenini denir. (Kramer&Lua, 000) ab Teorem.10. Kenar uzunlukları a, b, ve yarı çevre uzunluğu da u olan bir ABC üçgeninin alanı A(ABC) ise AABC uu au bu dir. (Gürlü, 003) 8

9 3. GEOMETRİK ORTA ÜÇGENLERİ 3.1. Primitif Geometrik Orta Üçgeni ve Üreteçleri Tanım ab,, pozitif tam sayılar olmak üzere kenar uzunlukları ab,, olan ABC üçgeninde ab bağıntısı var ise bu üçgene geometrik orta üçgeni denir. Eğer a ile b aralarında asal ise üçgene primitif geometrik orta üçgeni denir. Kısaa P.G.O şeklinde ifade edilir. C a b = ab B A Biz ilk olarak geometrik orta üçgeni olma şartlarını ortaya koymaya çalışalım. Genelliği bozmadan a b kabul edelim. ab, d olsun. O halde aralarında asal a 1 ve b 1 pozitif tam sayıları için a da1 ve b db1 olur. Bu durumda ab d ab 1 1 olur. Son denklemin sol tarafı tam kare olduğundan sağ tarafı da tam kare olmalıdır. Teorem.1 den a1 p ve b1 q olaak şekilde aralarında asal pozitif p, q tam sayıları vardır. d p q dpq, a dp ve b dq olmalıdır. Bu durumda a, b, dp, dq, dpq üçlüsü elde edilir. a, b, dp, dq, dpq ile ab,, p, q, pq belirttiği üçgenler benzerdir. O yüzden ab,, p, q, pq üçlülerinin üçlüsünün belirttiği 9

10 üçgen primitif geometrik orta üçgeni olur. Burada pq, ikilisine PGO üçgeninin üreteçleri denir. Sonuç p, q aralarında asal pozitif iki tam sayı olmak üzere bir P.G.O üçgeninin uzunlukları p, q, pq formunda olmalıdır. C p q B pq A Şimdi p, q, pq üçlüsünün hangi hallerde üçgen eşitsizliğini sağladığına bakalım. p, q, pq üçlüsünün bir üçgen belirtebilmesi için üçgen eşitsizliğini sağlaması gerekir. Bu durumda i) ii) b a pqq p ab p q pq iii) a b p pq q eşitsizliklerinin aynı anda sağlanması gerekir. i) Eğer pqq p pqq p pq p q olup p q olduğundan bu eşitsizlik daima doğrudur. ii - iii) Eğer ab p q pq olmalıdır. Bu eşitsizlik daima doğru değildir. Bu durumda seçilen her aralarında asal p, q pozitif tam sayıları ile P.G.O üçgeni elde edemeyiz. Şimdi p q pq eşitsizliğini sağlayan p, q tam sayıları arasındaki ilişkiyi bulalım. 10

11 p q olduğundan p q pq p pqq 0 olur. Son eşitsizliğin her iki yanını q ile bölersek p p 1 0 q q p olup t 1 q için t t 1 eşitsizliği elde edilir. 1 5 t t t 1 5 t t olur. t 1 olduğundan 1 5 p t 1 q olur. Eğer p q olursa ab,, p, p, p olup kenar uzunlukları 1 olan eşkenar üçgenin benzeri olan üçgenler elde edilir. Bundan sonra p q şartını sağlayan PGO üçgenleri üzerinde duralım. Bu durumda aşağıdaki sonuu elde ederiz. Sonuç 3.1.., altın oran ve p q olmak üzere, aralarında asal pozitif p, q tam p sayılarının PGO üçgeni belirtebilmesi için 1 eşitsizliğinin sağlanması q gerekir. Bu durumda p a 51 a q b b olmalıdır. O halde PGO üçgeni olan ABC üçgeninin kenarları arasında eşitsizliği mevuttur. a b 3.. Bazı Primitif Geometrik Orta üçgenleri. Verilen herhangi bir pozitif q tam sayısı yardımıyla PGO üçgenleri elde edilebilir. 11

12 q 51 1 p q p a p b pq q p yok yok yok yok 1 p p p p p p p p Tablo 1 Tabloda verilen bir q tam sayısı için kaç tane ab,, üçlüsü elde edilebileeğine dair bazı örnekler verilmiştir. 1

13 51 Sonuç Verilen bir q tam sayısı için q dan büyük q dan küçük q ile aralarında asal sayıların sayısı kadar ab,, üçlüsü elde edilebilmektedir. Fakat q ya bağlı bir formül elde edilmemiştir. Sonuç 3... PGO üçgeninin üreteçleri olan pq, ikilisi asal sayı ikilisi olabilmektedir. Bu duruma dair örnekler tablo 1 de mevuttur. Bu ikililerin sonlu mu, 51 sonsuz mu olduğunu ise q asal olmak üzere q ile q arasında daima bir asal olup olmadığı ile ilgilidir. Bu aralıkta daima asal sayı olup olmadığı ile ilgili bir bilgiye ulaşamadık. Şimdi PGO üçgeninin üreteçleri olan pq, ikilisi ikiz asallardan oluşabilir mi? Sorusuna evap arayalım. Eğer pq, ikilisi ikiz asallar ise p q olup 1 eşitsizliğinden q 51 q q q q q olmalıdır. Bu durumda 3 q olur. Sonuç q, 3 ten büyük bir asal ise ise q, q ikiz asal ikilisi bir PGO üreteidir. 13

14 . PRİMİTİF GEOMETRİK ORTA ÜÇGENİNDE AÇIORTAY, KENAR ORTAY VE YÜKSEKLİK BAĞINTILARI. 1. PGO Üçgeninin Kenarortay Uzunlukları Burada önelikle üçgenin kenarortay uzunlukları p ve q parametrelerine bağlı olarak elde edileek ardından kenarortay uzunluklarının rasyonel olup olamayaağı sorusuna evap aranaaktır. Kenarortay Teoreminden; V a b p q V p q V p q p q V p q p q olur. Benzer şekilde V q p q p a ve V p p q q b bağıntıları elde edilebilir. Şimdi kenarortay uzunluklarının rasyonel olup olamayaağına bakalım. V ifadesinin bir rasyonel sayı belirtmesi için p q p q ifadesi tam kare olmalıdır. O halde p q p q x olaak şekilde bir x tam sayısının olması gerekir. p ile q aralarında asal olduğundan ikisi de tek veya biri tek biri çift olmalıdır. i) p ile q tek sayılar olsun. Bu durumda Teorem.5 den p q 1mod16 p 1 9mod16 ve q 1 9mod16 olup q p 19mod16 olur. Bu durumda p q p q mod16 (*) olur., 1

15 Diğer taraftan p ile q tek olduğundan x de tek olmalıdır. Bu x 1 9mod16 olaaktır. Bu ise (*) ile çelişir. O halde p q p q tam kare olamaz. ii) p ile q dan biri tek biri çift olsun. Simetriden dolayı p tek q çift olsun. Teo- rem.5 den pq 0 mod16 olup p q p q 1mod16 0,1, 9 mod16 x olması ile çelişir. O halde alamaz. olur. V hiçbir zaman rasyonel değer Şimdi V a ve V b rasyonel olup olmayaağına bakalım. p ile q aralarında asal olduğundan ikisi de tek veya biri tek biri çift olmalıdır. i) p ile q tek sayılar olsun. Bu durumda Teorem.5 den p q 1mod q p q p 1 3 mod olur. Bu durumda Teorem.5 den q p q p tam kare olamaz. ii) p ile q dan biri tek biri çift olsun. Simetriden dolayı p tek q çift olsun. Bu du- rumda Teorem.5 den p 1mod ve 0mod q p q p 1 3 mod q olur. Bu durumda Teorem.5 den q p q p tam kare olamaz. O halde V a rasyonel değer alamaz. Benzer şekilde V nin de rasyonel değer alamayaağı gösterilebilir. Sonuç.1.1. Bir PGO üçgeninin kenar ortay uzunlukları rasyonel olamaz... PGO Üçgeninin Açıortay Bağıntıları Burada önelikle üçgenin açıortay uzunlukları p ve q parametrelerine bağlı olarak elde edileek ardından açıortay uzunluklarının rasyonel olup olamayaağı sorusuna evap aranaaktır. 15

16 Açıortay teoreminden; pq pq p q p q C 1 n p q p q p q p q p q p q olduğundan olmalıdır. pq nc p q p q p q p q p q pq p q (*) n C nin rasyonel olması için p q p q ifadesi tam kare olmalıdır. Bu ise Teorem.3 den dolayı mümkün değildir. Diğer taraftan üçgen eşitsizliğinden p q pq p q p q p q 3p q p q p q p q p q p q pq olur. p q ab (*) dan n Ha, b C pq ab olur. Açıortay teoreminden; 5 3 pq p q pq p A n pq pq q pq pq pq pq olduğundan n A pq q pq p q pq p p q pq q pq p q pq p p q olur. Benzer şekilde n B pq p pq q p pq q p q 16

17 bağıntıları elde edilir. n A nın rasyonel olabilmesi için pq q pq p q pq p ifadesi tam kare olmalıdır. p ile q aralarında asal olduğundan pq, q pq p ve q pq p ifadeleri aralarında asal olur. Bu durumda bu ifadelerin her biri Teorem.1 den dolayı tam kare olmalıdır. Di- ğer taraftan Teorem.3 den q pq p ifadesinin tam kare olmasını sağlayan pozitif p, q ikilisi yoktur. Dolayısı ile n A rasyonel olamaz. Benzer şekilde n B de rasyonel olamaz. Sonuç..1. ABC üçgeni P.G.O üçgeni ise n C rasyonel değer alamaz ve n C uzunluğu a ile b nin harmonik ortasından küçüktür. Ayrıa n A ve n B de rasyonel değer alamaz..3. PGO Üçgeninde Yükseklik Bağıntıları ABC, PGO üçgeni olsun. C den AB ye inilen dikme ayağı D ve BD AD pq x olsun. C x, p q B x D pq-x A CA AD CB BD p x q pq x p x q p q pqx x p q p q x olur. pq h CB x olduğundan h p q p q p pq 17

18 h p q p q p q p q p q pq p q p q 3p q p q olduğundan pq p q p q 3p q p q pq bağıntısını elde ederiz. h nin rasyonel olabilmesi için p q p q 3p q p q ifadesi tam kare olmalıdır. Önelikle p q p q ile 3p q p q ifadelerinin aralarında asal olduğunu gösterelim. p ile q aralarında asal olduğundan ikisi de tek ya da biri tek diğeri çift olmalıdır. Her iki durumda da p q p q ifadesi tek olaaktır. p q p q ile 3p q p q ifadelerinin en büyük ortak bölenine d diyelim. Bu durumda d tek olmalıdır. 3p q p q p q p q p q p q p q p q ifadesi d ile bölünmelidir. olduğundan p q p q ifadesi d ile bölündüğünden d p q olmalıdır. d tek olduğundan d p q olup p ile q aralarında asal olduğundan d p yada dq olmalıdır. d p ise d p q p q olduğundan dq olmalıdır. p ile q aralarında asal olduğundan d 1 olur. Bu durumda p q p q ile p q p q 3p q p q 3p q p q aralarında asal olmalıdır. O halde ifadesinin tam kare olması için p q p q ile 3p q p q tam kare olmalıdır. Diğer taraftan Teorem.3 den p q p q tam kare olamaz. Bu durumda h rasyonel olamaz. Sonuç.3.1. ABC, P.G.O üçgeni ise h rasyonel değer alamaz. 18

19 .. PGO Üçgeninde Alan Bağıntısı Buhholz & MaDougall (1999) çalışmasında tam sayı kenarlı ve kenarları geometrik dizi oluşturan üçgenlerin alan formülünü heron formülünü kullanarak bulmuş ve alanın rasyonel olamayaağını göstermişlerdir. Biz ise yukarıda bulduğumuz yükseklik bağıntısı yardımıyla alan bağıntısını bulup Buhholz & MaDougall ile aynı sonua ulaştık. Şimdi alan bağıntısını elde edelim. Üçgenin alanı S olmak üzere; 3 h pq p q p q p q p q S olduğundan pq S p q p q 3p q p q olur. Teorem.3 den P.G.O üçgeninin alanı da rasyonel olamaz. Kenar uzunlukları tam sayı olan üçgenin alanı irrasyonel olduğundan hiçbir yüksekliği rasyonel olamaz. Sonuç..1. ABC, PGO üçgeni ise yükseklikleri ve alanı irrasyoneldir..5. PGO Üçgeninin Açıları Arasındaki Bağıntılar Bu bölümde P.G.O üçgeninin açıları için alt ve üst sınırlar elde edilmeye çalışıldı. Ayrıa üçgenin dar veya geniş açılı olabilmesini sağlayan p, q değerleri bulunmaya çalışıldı. Kosinüs teoreminden a b osc ab p q p q osc pq 19

20 p, q için osc p q pq p q 3p q pq p q 3 osc..(1) olur. pq p q p q p q pq p q 3 3 olup (1) den pq 1 osc olmalıdır. Bu durumda 0 mc 60 olur. Sonuç ab şartını sağlayan P.G.O, ABC üçgeninde mc 60 eşitsizliği mevuttur. ABC üçgeninin eşkenar olması durumunda eşitlik durumu elde edilir. Kosinüs teoreminden q q p p os A olur. 3 pq Eğer A açısı geniş ise os A 0 q q p p pq 3 0 q p q p 0 q p 5p 0 q p 5p q p 5 p q 5 p p q 51 p 5 1 q p olmalıdır. Bu durumda 5 1 b a 51 b a bağıntısı olmalıdır. Sonuç.5.. ABC, PGO üçgeni olmak üzere; 0 mb b a 0

21 0 mb ba b eşitsizlikleri mevuttur..6. PGO Üçgeninin Alanının Alabileeği En Büyük Değer p q p q 3p q p q S olduğunu bulmuştuk. p q x y 3y x y alırsak AABC olur. x y3y x x xy 3y (*) dir. Diğer taraftan p q p q olduğundan x y olur. x y y p q x ve x y y x y y 3y x xy 3y 3y olur. (*) dan için eşitlik durumu elde edilir. x y3yx 3 S olur. p q 3 Sonuç.6.1. ABC, PGO üçgeni ise S eşitsizliği mevuttur. Eşitlik olması için üçgenin eşkenar olması gerekir. 5. k GEOMETRİK ORTA ÜÇGENİ Bu bölümde geometrik orta üçgeninin bir çeşit genelleşmesi olan k Geometrik orta üçgenini tanımlayıp kenarları arasındaki ilişkiyi vereeğiz. Tanım 5.1. p, q aralarında asal pozitif tam sayılar ve k Z olmak üzere bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları p, q, kpqolan üçgene k geometrik orta üçgeni denir. Şimdi bu üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi elde edelim. 1

22 Genelliği bozmadan p q kabul edelim. Üçgen eşitsizliğinden i) p q kpq p q olmalıdır. Bu durumda p q olduğundan p q kpq p kpqq 0 ve 0 p kpq q eşitsizlik sitemini çözmeliyiz. Bu eşitsizliklerin her iki tarafı q ile bölünürse p p k 1 0 q q ve p p 0 k 1 q q p p k 1 0 q q olur. p k k 1 q p p 0 k 1 q q k k p olur. Bu iki eşitsizlik birleştirilirse q k k p k k eşitsizliği elde edilir. q Sonuç 5.1. ABC üçgeninin k geometrik orta üçgeni olabilmesi için k k p k k eşitsizliğinin sağlanması gerekir. q 6. Sonuçlar ve Tartışma Tarih boyuna çeşitli matematikçiler heron üçgenleri hakkında kapsamlı çalışmalar yapmışlardır. Heron üçgenlerinin bir alt gurubu olan aritmetik üçgenler hakkında da epey çalışma mevuttur. Anak kenarları tam sayı ve kenar uzunlukları geometrik dizi olan üçgenler heron üçgeni olmadığından hakkında fazla bir çalışma yapılmamıştır. Biz ise çalışmamızda bu üçgenlerin özelliklerini ele aldık. Tek bir parametre yardımıyla bu üçgenlerin elde edilebileeğini gösterdik. Fakat elde edilebileek üçgen sayısını formüle edemedik. Bu tip üçgenlerin kenar uzunlukları, yar-

23 dımı eleman uzunlukları ve açıları arasında bağıntılar elde edilmiş ayrıa yardımı eleman uzunlukları ile alanın rasyonel değer alamayaağı gösterilmiştir. Son olarak bu üçgenlerin bir genellemesi olan k geometrik orta üçgeni kavramı verilmiş ve bu üçgenin kenarları arasındaki ilişki elde edilmiştir. 3

24 7. KAYNAKLAR [1] Andreesu, T., Andria, D., 00, An Introdution to Diophantine Equations, GIL Publishing House p [] Buhholz, R. H. and MaDougall, J. A., 1999, Heron Quadrilaterals with Sides in Arithmeti Progression, Bull. Aus. Math. So., p [3] Darıyeri, M. 006., Heron Üçgenlerinin Bazı özellikleri Üzerine Bir Araştırma, Basılmamış Yüksek Lisans Tezi [] Erdoğan, M., Yılmaz, G., 008, Çözümlü problemlerle Soyut Cebir ve Sayılar Teorisi, Beykent Üniversitesi Yayınları [5] Eşen, T., 010, Açıları ve Kenarları Aritmetik, Geometrik ve Harmonik Dizi Oluşturan Üçgenler ile x 3y z Diophantine Denklemi Arasındaki İlişkiler Üzerine Bir Araştırma, Basılmamış yüksek lisans tezi [6] Gürlü, Ö., 003, Meraklısına Geometri, Zambak Yayınları [7] Kramer, A. V., Lua, F., 000, Some Remarks on Heron Triangles, Ata. Aad.Paed. Agriensis, Setio Mathematiae 7, p [8] Küpeli, S. 010., 100 Yılın Olimpiyat Sorularıyla Geometri, Altın nokta Yayınevi, İzmir [9] Zelator, K., 008, Triangle Angles and Sides in Progression and the Diophantine Equation x 3y z, arxiv: (pdf).

ÜÇGEN VE KENARLARI ARASINDA BAĞINTILAR

ÜÇGEN VE KENARLARI ARASINDA BAĞINTILAR ÜÇGEN VE KENARLARI ARASINDA BAĞINTILAR 1. Bir üçgende ölçüsü büyük olan açının karşısındaki kenar uzunluğu, ölçüsü küçük olan açının karşısındaki kenar uzunluğundan daha büyüktür. ABC üçgeninde m(a) >

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

İç bükey Dış bükey çokgen

İç bükey Dış bükey çokgen Çokgen Çokgensel bölge İç bükey Dış bükey çokgen Köşeleri: Kenarları: İç açıları: Dış açıları: Köşegenleri: Çokgenin temel elemanları Kenar Köşegen ilişkisi Bir köşe belirleyiniz ve belirlediğiniz köşeden

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

ÜÇGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir. AB] [AC] [BC] = ABC dir.

ÜÇGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir. AB] [AC] [BC] = ABC dir. ÜÇGENDE AÇILAR Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir. AB] [AC] [BC] = ABC dir. Burada; A, B, C noktaları üçgenin köşeleri, [AB], [AC], [BC] doğru parçaları

Detaylı

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar. azanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 80, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği. azanım

Detaylı

Türkiye Ulusal Matematik Olimpiyatları DENEME SINAVI. 4. Deneme

Türkiye Ulusal Matematik Olimpiyatları DENEME SINAVI. 4. Deneme Türkiye Ulusal Matematik Olimpiyatları Birinci Aşama Zor Deneme Sınavı 11 Haziran 2016 DENEME SINAVI 4. Deneme Soru Sayısı: 32 Sınav Süresi: 210 dakika Başarılar Dileriz... Page 1 of 9 DENEME SINAVI (4.

Detaylı

7 Mayıs 2006 Pazar,

7 Mayıs 2006 Pazar, TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 14. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2006 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 7 Mayıs 2006 Pazar, 13.00-15.30

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme

Detaylı

5. ÜNİTE AÇILAR, ÜÇGENLER VE MESLEKİ UYGULAMALARI

5. ÜNİTE AÇILAR, ÜÇGENLER VE MESLEKİ UYGULAMALARI 5. ÜNİTE ÇILR, ÜÇGENLER VE MESLEKİ UYGULMLRI açılar KONULR 1. çı, çı Türleri ve Mesleki Uygulamaları 2. Tümler ve ütünler çılar ÜÇGENLER 1. Üçgene it Temel ilgiler 2. Üçgen Türleri 3. Üçgenin Yardımcı

Detaylı

Singapur Matematik Olimpiyatı Soruları

Singapur Matematik Olimpiyatı Soruları Singapur Matematik Olimpiyatı Soruları 1.) 1, 1, 1,., 1 sayıları tahtaya yazılıyor. Burak x ve y gibi iki sayı seçip bunları siliyor ve 1 2 3 2010 x+y+xy sayısını yazıyor. Burak bu işleme tahtada tek sayı

Detaylı

çemberi ile O Çemberlerin birbirine göre durumlarını inceleyelim. İlk durumda alalım. olduğu takdirde O2K1

çemberi ile O Çemberlerin birbirine göre durumlarını inceleyelim. İlk durumda alalım. olduğu takdirde O2K1 . merkezli R yarıçaplı Ç çemberi ile merkezli R yarıçaplı ve noktasından geçen Ç çemberi veriliyor. Ç üzerinde, T Ç K T Ç, ve K K T K olacak şekilde bir T noktası alınıyor. Buna göre, uzunluklarından birinin

Detaylı

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9 OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.

Detaylı

29 Nisan 2007 Pazar,

29 Nisan 2007 Pazar, TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI SINAVLA İLGİLİ UYARILAR: 15. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2007 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü

Detaylı

E.Ö.Y TEKİRDAĞ S.B LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Alt Öğrenme Alanı

E.Ö.Y TEKİRDAĞ S.B LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Alt Öğrenme Alanı A ELÜL 9 Eylül Eylül Eylül 0 Eylül 0-07 E.Ö. TEKİRDAĞ S.B LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK İ ILLIK PLANI Temel Kavramlar Temel Kavramlar Temel Kavramlar Temel Kavramlar. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri

Detaylı

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da

Detaylı

a) BP = P H olmalıdır. b) BP = 2 P H olmalıdır. c) P H = 2 BP olmalıdır. d) Böyle bir P noktası yoktur. e) Hiçbiri

a) BP = P H olmalıdır. b) BP = 2 P H olmalıdır. c) P H = 2 BP olmalıdır. d) Böyle bir P noktası yoktur. e) Hiçbiri TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 7. ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI SINAVI - 00 Birinci Bölüm Soru kitapçığı türü A 1. Bir ikizkenar

Detaylı

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005 TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 005 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 1. AB = olmak üzere, A

Detaylı

ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme

ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme ÇÖZÜMLER. a b ve b a a b, a, b a b a b ve b c a c olduğundan a b ve c d ise a c b d olmayabilir. ve 5., ve olduğundan sonsuz çözüm vardır...9.9

Detaylı

TAKSİ DÜZLEMİNDE FINSLER-HADWIGER EŞİTSİZLİĞİ

TAKSİ DÜZLEMİNDE FINSLER-HADWIGER EŞİTSİZLİĞİ ÖZEL EGE LİSESİ KSİ DÜZLEMİNDE FINSLER-HDWIGER EŞİSİZLİĞİ HZIRLYN ÖĞRENCİ: Eray ÖZER DNIŞMN ÖĞREMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 0 İÇİNDEKİLER. PROJENİN MCI... GİRİŞ............. YÖNEM.... 4. ÖN BİLGİLER..... 4

Detaylı

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak

Detaylı

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Koordinatlar DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994. Matematik Soruları ve Çözümleri = 43. olduğuna göre a kaçtır?

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994. Matematik Soruları ve Çözümleri = 43. olduğuna göre a kaçtır? Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994 Matematik Soruları ve Çözümleri 4.10 +.10 1. 4 10 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,4 B) 4, C) 4 D) 40 E) 400 Çözüm 1 4.10 +.10 4 10 4 4.10 +.10 10 1+ 1 = 4 4 (40+

Detaylı

DEVREK ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Alt Öğrenme Alanı

DEVREK ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Alt Öğrenme Alanı ELÜL TRİH/SÜRE HFT Eylül 0Eylül Eylül 7 Eylül STİ LNI 0-0 DEVREK NDOLU LİSESİ 9. SINIF MTEMTİK İ ILLIK PLNI lt de Temel Kavramlar de Temel Kavramlar de Temel Kavramlar de Temel Kavramlar de de de de. Küme

Detaylı

7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR

7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR 7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR KONULAR 1. DOĞRUDA AÇILAR 2. Açı 3. Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler 4. Açı Ölçü Birimleri 5. Ölçülerine Göre Açılar 6. Açıortay 7. Tümler Açı 8. Bütünler Açı 9. Ters

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

Özel Kasımoğlu Coşkun Fen Lisesi

Özel Kasımoğlu Coşkun Fen Lisesi 4.04.0 tarihinde Okan Üniversitesi Matematik Bölümü tarafından düzenlenen Liselerarası Matematik Yarışması na aşağıda listelenen on iki lise katıldı. Özel Kasımoğlu Coşkun Fen Lisesi Habire Yahşi Anadolu

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

ÖZEL YUNUS GÜNER FEN ve ANADOLU LĐSESĐ MATEMATĐK OLĐMPĐYATI KTS 1

ÖZEL YUNUS GÜNER FEN ve ANADOLU LĐSESĐ MATEMATĐK OLĐMPĐYATI KTS 1 ÖZEL YUNUS GÜNER FEN ve ANADOLU LĐSESĐ MATEMATĐK OLĐMPĐYATI KTS 1 Süre: 150 dakika ÖĞRENCĐNĐN ADI SOYADI: SINAVLA ĐLGĐLĐ UYARILAR: Bu sınav çoktan seçmeli 36 sorudan oluşmaktadır. Her sorunun sadece bir

Detaylı

I F L. IĞDIR FEN LİSESİ MÜDÜRLÜĞÜ 2010 YILI 8. SINIFLAR I. MATEMATİK OLİMPİYAT YARIŞMASI Soru kitapçığı türü A 15 Mayıs 2010 Cumartesi,

I F L. IĞDIR FEN LİSESİ MÜDÜRLÜĞÜ 2010 YILI 8. SINIFLAR I. MATEMATİK OLİMPİYAT YARIŞMASI Soru kitapçığı türü A 15 Mayıs 2010 Cumartesi, I F L IĞDIR FEN LİSESİ MÜDÜRLÜĞÜ 2010 YILI 8. SINIFLAR I. MATEMATİK OLİMPİYAT YARIŞMASI Soru kitapçığı türü A 15 Mayıs 2010 Cumartesi, 10.00-12.30 ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI T.C. KİMLİK NO OKULU / SINIFI SALON

Detaylı

2016 UOMO 1. Aşama. A) 15 B) 17 C) 19 D) 21 E) 23 Çözüm. Denklemi düzenleyelim:

2016 UOMO 1. Aşama. A) 15 B) 17 C) 19 D) 21 E) 23 Çözüm. Denklemi düzenleyelim: 016 UOMO 1. Aşama 1. Bir ABC üçgeninde BE ve CD kenarortayları birbirine dik ve BE = 18, CD = 7 ise AF kenarortayının uzunluğu kaçtır? A) 43 B) C) 45 D) 3 E) 4 Çözüm. Üçgenin ağırlık merkezi G olmak üzere,

Detaylı

Ö.S.S. 1994. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ = 43. olduğuna göre a kaçtır?

Ö.S.S. 1994. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ = 43. olduğuna göre a kaçtır? Ö.S.S. 1994 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 4.10 1. 4 10 +.10 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,4 B) 4, C) 4 D) 40 E) 400 Çözüm 1 4.10 +.10 4 10 4 4.10 +.10 10 1+ 1 4 4 (40+ ).10 10 4 4 4 (98² 98²) 00.9.

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. Problem 5. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan c Copyright Titu Andreescu and Jonathan Kane

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. Problem 5. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan c Copyright Titu Andreescu and Jonathan Kane PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 İLKÖĞRETİM - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Andreescu and Jonathan Kane Çeviri Sibel Kılıçarslan CANSU ve Fatih Kürşat CANSU Problem 1 Eğer 125 + n + 135 + 2n

Detaylı

TEST: 6. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi

TEST: 6. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi TEST: 6 5. 1. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12 2. 6. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 7x+5y=35 B) 7x-5y=35

Detaylı

1. Bir ayrıtının uzunluğu 1 olan küpler üst üste konularak tüm alanı A olan bir kare dik prizma yapılırsa, A sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

1. Bir ayrıtının uzunluğu 1 olan küpler üst üste konularak tüm alanı A olan bir kare dik prizma yapılırsa, A sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? 1. Bir ayrıtının uzunluğu 1 olan küpler üst üste konularak tüm alanı A olan bir kare dik prizma yapılırsa, A sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? a) 12 b) 16 c) 26 d) 36 e) 44 2. Aşağıdakilerden hangisi

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

1. Hem % 15 i, hem de % 33 ü tam sayı olan en küçük pozitif sayı nedir? c)

1. Hem % 15 i, hem de % 33 ü tam sayı olan en küçük pozitif sayı nedir? c) TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 10. ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI SINAVI - 2005 Soru kitapçığı türü A 1. Hem % 15 i, hem de % 33

Detaylı

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4

Detaylı

16. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI

16. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 16. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2008 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 27 Nisan 2008 Pazar, 13.00-15.30

Detaylı

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1 II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -. 5 {, 5} {, 5} { 5, } {, 5} {, 5} 5. 5 {,, } {,, } {,, } {,, } {,, }.. 5 7 7 5 5,, 5 5, 5 5, 5 5, 6. 7. 5 95 { 5,, } {,, 5} { 5,, 9} {,, 5} { 9,, 5} 6 66 {, } {,, } {,,

Detaylı

SERĠMYA 2011 - IX. ULUSAL ĠLKÖĞRETĠM MATEMATĠK OLĠMPĠYATI. 9. Ulusal. serimya. İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI.

SERĠMYA 2011 - IX. ULUSAL ĠLKÖĞRETĠM MATEMATĠK OLĠMPĠYATI. 9. Ulusal. serimya. İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI. Sayfa1 9. Ulusal serimya İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 2011 Sayfa2 1. Bir ABCD konveks dörtgeninde AD 10 cm ise AB CB? m( Dˆ ) 90, ( ˆ) 150 0 0 m C ve m Aˆ m Bˆ ( ) ( ) olarak

Detaylı

TEST 1. ABCD bir dörtgen AF = FB DE = EC AD = BC D E C. ABC bir üçgen. m(abc) = 20. m(bcd) = 10. m(acd) = 50. m(afe) = 80.

TEST 1. ABCD bir dörtgen AF = FB DE = EC AD = BC D E C. ABC bir üçgen. m(abc) = 20. m(bcd) = 10. m(acd) = 50. m(afe) = 80. 11 ÖLÜM SİZİN İÇİN SÇTİLR LRİMİZ 1 80 0 bir dörtgen = = = m() = 80 m() = 0 Verilenlere göre, açısının ölçüsü kaç derecedir? 0 10 0 bir üçgen m() = 0 m() = 10 m() = 0 Yukarıda verilenlere göre, oranı kaçtır?

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır.

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır. SAYILAR TEORİSİ 1 Bölünebilme Bölme Algoritması: Her a ve b 0 tam sayıları için a = qb + r ve 0 r < b olacak şekilde q ve r tam sayıları tek türlü belirlenebilir. r sayısı a nın b ile bölümünden elde edilen

Detaylı

MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE DEVLET OLGUNLUK SINAVI. Testin Çözme Süresi: 180 dakika ADAY ÝÇÝN AÇIKLAMALAR - YÖNERGE DEVLET SINAV MERKEZÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ

MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE DEVLET OLGUNLUK SINAVI. Testin Çözme Süresi: 180 dakika ADAY ÝÇÝN AÇIKLAMALAR - YÖNERGE DEVLET SINAV MERKEZÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ BURAYA YAPIÞTIR DEVLET OLGUNLUK SINAVI DEVLET SINAV MERKEZÝ MATEMATÝK - TEMEL SEVÝYE MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE Testin Çözme Süresi: 180 dakika Haziran, 2009 yýlý BÝRÝNCÝ deðerlendiricinin þifresi

Detaylı

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ales 2015 tarzına en yakın dört bin soru EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

2. Dereceden Denklemler

2. Dereceden Denklemler . Dereceden Denklemler Yazım hataları olabilir. Tam olarak tashih edilmemiştir. Hataları osmanekiz000@gmail.com mail adresine bildirilseniz makbule geçer.. a + b + 5c = c(a + b) ise a b =? C: 9. ( 4) (

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI 6. SINIF 5. SINIF TÜM KONULARI 1.ÜNİTE: Geometrik Şekiller 1) Verileri Düzenleme, Çokgenler ve Süsleme 2) Dörtgenler 3)

Detaylı

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI 4 II MATEMATİK YARIŞMASI I AŞAMA SORULARI 4? 4 4 A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? 5 A) B) C) - D) E) - 8 4 x x

Detaylı

PROJEYİ HAZIRLAYANLAR YUSUFHAN BAŞER BERKE SERTEL NAİLE ÇOLAK

PROJEYİ HAZIRLAYANLAR YUSUFHAN BAŞER BERKE SERTEL NAİLE ÇOLAK KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI: ÜÇGENİN ELEMANLARI ARASINDAKİ SİMETRİK FONKSİYONLAR PROJEYİ HAZIRLAYANLAR YUSUFHAN BAŞER BERKE SERTEL OKUL ADI VE ADRESİ ÖZEL KÜLTÜR FEN LİSESİ Ataköy 9.-10. Kısım, 34156

Detaylı

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-I ÇERÇEVE PROGRAMI. :Kesikkapı Mah. Atatürk Cad.No.79 Fethiye /MUĞLA

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-I ÇERÇEVE PROGRAMI. :Kesikkapı Mah. Atatürk Cad.No.79 Fethiye /MUĞLA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-I ÇERÇEVE PROGRAMI 1.KURUMUN ADI 2.KURUMUN ADRESİ 3.KURUCUNUN ADI :Tercih Özel Öğretim Kursu :Kesikkapı Mah. Atatürk Cad.No.79 Fethiye /MUĞLA : ARTI ÖZEL EĞİTİM ÖĞRETİM Danışmanlık

Detaylı

4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder.

4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder. LENDİRME ŞEMASI ÜNİTE Üslü 1. Bir tam sayının negatif kuvvetini belirler ve rasyonel sayı olarak ifade eder.. Ondalık kesirlerin veya rasyonel sayıların kendileriyle tekrarlı çarpımını üslü sayı olarak

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

olmak üzere C noktasının A noktasına uzaklığı ile AB nin orta dikmesine olan uzaklığının oranının α değerinden bağımsız olduğunu gösteriniz.

olmak üzere C noktasının A noktasına uzaklığı ile AB nin orta dikmesine olan uzaklığının oranının α değerinden bağımsız olduğunu gösteriniz. GOMTRİ 05/0/0. bir üçgen m() =, m() = 90 +, = 5 br, = 7 br, olduğuna göre = x kaç br dir? 5 m 9 0 m 9 0 5 90+ 7 x Çözüm: den ye çıkılan dikmenin doğrusunu kestiği nokta olsun. bir dik üçgen ve bir ikizkenar

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF TEST SORULARI . a 6 b a b 8 ifadesinin açılımında b çarpanının bulunmadığı terim aşağıdakilerden hangisidir?. Bir toplulukta en az iki kişinin yılın aynı ayı ve haftanın aynı gününde doğduğu kesin bilindiğine göre,

Detaylı

Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: A Kümesinden B nin Farkı: A Kümesinden B ye Fonksiyon: Açı: Açık Önerme: Açıortay: Açısal Bölge: Aksiyom:

Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: A Kümesinden B nin Farkı: A Kümesinden B ye Fonksiyon: Açı: Açık Önerme: Açıortay: Açısal Bölge: Aksiyom: Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: Birinci bileşeni A dan, ikinci bileşeni B den alınarak elde edilen ikililerin kümesidir. A Kümesinden B nin Farkı: A kümesinin B kümesi ile ortak olmayan elemanlarından

Detaylı

ise, yazılı olarak çözmeniz gereken 3 problemden oluşmakta olup, süresi 75 dakikadır. Elinizdeki

ise, yazılı olarak çözmeniz gereken 3 problemden oluşmakta olup, süresi 75 dakikadır. Elinizdeki TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 11. ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI SINAVI - 2006 Birinci Bölüm Soru kitapçığı türü A SINAV TARİHİ

Detaylı

a.c = 48 3a + 2b c = 37 ise, a nın alacağı en küçük değer kaçtır?

a.c = 48 3a + 2b c = 37 ise, a nın alacağı en küçük değer kaçtır? . a,b,c birbirinden farklı tamsayılar ve a sıfırdan. a, b, c R olmak üzere farklı olmak üzere, a.b = 0 c

Detaylı

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır.

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır. 0.1 GRUPLAR Tanım 1 A kümesi boştan farklıolmak üzere işlemine göre aşağıdaki koşulları gerçekliyorsa (A, ) ikilisine bir Grup denir. 1. kapalılık özelliğine sahiptir, yani her x, y A için x y A olur.

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon İçindekiler Cebir 1. Fonksiyonlar....... 1.1 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi...... 1.1.1 Fonksiyon.. 1.1. Görüntü Kümesi... 1.1.3 Eşit Fonksiyonlar. 1.1.4 Fonksiyonun Gösterimi. 1.1.4.1 Liste

Detaylı

16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A

16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATLARI BİRİNCİ AŞAMA SORULARI A A A A A A A SINAV TARİHİ VESAATİ:16 NİSAN 2011 - Cumartesi 10.00-12.30 Bu sınav 25 sorudan oluşmaktadır vesınav

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI

9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI 9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI KONULAR DİK ÜÇGENLERDE METRİK BAĞINTILAR 1. Pythagoras (Pisagor) Bağıntısı. Euclides (öklit) Bağıntısı 3. Pisagor ve öklit Bağıntıları ile İlgili Problemler

Detaylı

Olimpiyat Eğitimi CANSU DENEME SINAVI

Olimpiyat Eğitimi CANSU DENEME SINAVI TUSİ Ortaöğretim Öğretmenleri için Olimpiyat Eğitimi CANSU DENEME SINAVI 15.11.2013-29.11.2013 2 1. Bir x sayısı x = 1 1 + x eşitliğini sağlamaktadır. x 1 x hangisidir? in en basit hali aşağıdakilerden

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

Nesbitt Eşitsizliğine Farklı Bir Bakış

Nesbitt Eşitsizliğine Farklı Bir Bakış ÖZEL DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ V. MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI Nesbitt Eşitsizliğine Farklı Bir Bakış Muhammed Osman Çorbalı Danışman Öğretmen: Yüksel Demir PROJE RAPORU 2014 PROJENİN AMACI:

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

GEOMETRİ SORU BANKASI KİTABI

GEOMETRİ SORU BANKASI KİTABI LİSE ÖĞRENCİLERİNİN ÜNİVERSİTE SINAVLARINA HAZIRLANMALARI İÇİN GEOMETRİ SORU BANKASI KİTABI HAZIRLAYAN Erol GEDİKLİ Matematik Öğretmeni SUNUŞ Sevgili öğrenciler! Bu kitap; hazırlandığınız üniversite sınavlarında,

Detaylı

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA 00 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. + + 5 0 + + + 0 40 toplamının sonucu kaçtır? A) 5 B) C) D) E) + 4. a,b,c Z olmak üzere, a + b + c 7 = 6 ise, a.b.c kaçtır? A) 6 B) 8 C) D) 6 E) 8 y.

Detaylı

EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE

EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE Ay 2016 2017 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE Hafta ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI KAZANIMLAR EYLÜL 3 4 Sayılar ve İşlemler Çarpanlar

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

AÇILAR / TEST-1. B, C, E doğrusal = 50 E C. A, B, L doğrusal = 100 = 30 = 40 C 60 D

AÇILAR / TEST-1. B, C, E doğrusal = 50 E C. A, B, L doğrusal = 100 = 30 = 40 C 60 D ÇIR / TST-1 P = [P] m( P ) = //,, doğrusal m( ) = 30 // m( ) m( ) = = 30 d3 // d3 // d4 m( ) = Verilenlere göre, + + ) 250 ) 260 ) 270 ) 280 ) 300 Verilenlere göre, m( ) ) 25 ) 30 ) 35 ) 40 ) 50 10 Verilenlere

Detaylı

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA - 4 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. 4? 4 4. A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 8 C) D)

Detaylı

SAYILAR TEORÝSÝNE GÝRÝÞ

SAYILAR TEORÝSÝNE GÝRÝÞ OLÝMPÝK MATEMATÝK SERÝSÝ MATEMATÝK OLÝMPÝYATLARINA HAZIRLIK ÝÇÝN MERAKLISINA SAYILAR TEORÝSÝNE GÝRÝÞ ÖMER GÜRLÜ ALTIN NOKTA YAYINEVÝ ÝZMÝR - 2013 Copyright Altýn Nokta Basým Yayýn Daðýtým Biliþim ISBN

Detaylı

TEMEL MATEMATİĞE GİRİŞ - Matematik Kültürü - 5

TEMEL MATEMATİĞE GİRİŞ - Matematik Kültürü - 5 1 14 ve 1 sayılarına tam bölünebilen üç basamaklı kaç farklı doğal sayı vardır? x = 14.a = 1b x= ekok(14, 1 ).k, (k pozitif tamsayı) x = 4.k x in üç basamaklı değerleri istendiğinden k =, 4, 5, 6, 7,,

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =?

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =? TANIM MUTLAK DEĞER Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z ise x y x z z y =? Bir x reel sayısına karşılık gelen noktanın sayı doğrusunda 0 (sıf ır) a olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve x şeklinde

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi YGS MATEMATĠK DENEMESĠ-1 Muharrem ġahġn TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi Eyüp Kamil YEġĠLYURT Gökhan KEÇECĠ Saygın DĠNÇER Mustafa YAĞCI Ġ:K Ve TMÖZ üyesi 14 100 matematik ve geometri sevdalısı

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI 3 201412-1

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI 3 201412-1 Ortak Akıl YGS MATEMATİK DENEME SINAVI 011-1 Ortak Akıl Adem ÇİL Ayhan YANAĞLIBAŞ Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN Kadir ALTINTAŞ Köksal YİĞİT

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 5 (460 sayfa) ANALİZ CEBİR 2 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler 2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE ÖĞRENME Ay Hafta D.Saati ALANI EYLÜL 2 Geometri 2 3 Geometri 2 Geometri 2 Olasılıkve ALT

Detaylı

BÖLÜM IV. olsa r s(mod p) bulunur ki, bu mümkün değildir. Ayrıca bu sayı takımındaki hiçbir sayı p tarafından bölünmez.

BÖLÜM IV. olsa r s(mod p) bulunur ki, bu mümkün değildir. Ayrıca bu sayı takımındaki hiçbir sayı p tarafından bölünmez. BÖLÜM IV (KÜÇÜK FERMAT VE WİLSON TEOREMLERİ Teorem 4. (Fermat Teoremi F a olan bir asal sayı olsun. Bu durumda a (mod İsat: a sayısının a a a K ( a gibi ilk ( katından oluşan sayı takımını gözönüne alalım.

Detaylı

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde ALES 2017 EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Eğitimde 30. yıl Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve Sayısal Soru

Detaylı

LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA (YGS ve LYS NA) HAZIRLIK İÇİN

LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA (YGS ve LYS NA) HAZIRLIK İÇİN LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA (YGS ve LYS NA) HAZIRLIK İÇİN Konu Anlatımlı Örnek Çözümlü Test Çözümlü Test Sorulu Karma Testli GEOMETRİ 1 Hazırlayan Erol GEDİKLİ Matematik

Detaylı

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ MATEMATİK YARIŞMASI

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ MATEMATİK YARIŞMASI DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ MATEMATİK YARIŞMASI PROJENİN ADI: EULERİN PEDAL ÜÇGEN FORMÜLÜNÜ KULLANARAK PEDAL DÖRTGENLER İÇİN YENİ BİR FORMÜL GELİŞTİRME MEVKOLEJİ ÖZEL BASINKÖY ANADOLU LİSESİ DANIŞMAN:ELİF

Detaylı

c

c XIV. Ulusal (LİSE) Matemat ık Ol ımp ıyatı 2009 Sorular ve Çözümler ı c www.sbelian.wordpress.com sbelianwordpress@gmail.com Tübitak Bilim Adamı Yetiştirme grubu tarafından her yıl Lise öğrencilerinin

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI 6 6 4 4 1. sin x cos x sin x cos x sin x ifadesinin eşiti kaçtır? A) B) 1 ) 0 D) 1 E). 1 1 4arctan arctan 5 9 işleminin sonucu kaçtır? A) B) 4 8 ) 6 D) E) 4 4. cos x cos y 4 4 sin x sin y 4 4 ifadesi tanımlı

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı