KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER
|
|
- Pinar Çimen
- 8 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 ORTAÖĞRETİM ÖĞRENCİLERİ ARASI ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI (01 013) KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER Fatih KORKUSUZ Şehit Fazıl Yıldırım Anadolu Lisesi Eskişehir Kadir Erdem KARACA Haı Ahmet Kanatlı Anadolu Lisesi Eskişehir Osman EKİZ Danışman Öğretmen ESKİŞEHİR 013 1
2 ÖZET Kenar uzunlukları ile alanı tam sayı olan üçgenlere heron üçgenleri denir. Heron üçgenlerinin özelliklerinin inelenmesi sırasında ortaya çıkan çoğu problem sayılar teorisini ilgilendiren problemlerdir. Bu alan geometri ile sayılar teorisinin iç içe olduğu bir çalışma alanıdır. Tarih boyuna bir çok matematikçi heron üçgenleri üzerine çalışmalar yapmıştır. Biz bu çalışmada kenarları geometrik dizi oluşturan tam sayı kenarlı üçgenlerin elde edilebilmesi için gerekli şartları ortaya koyduk. Bir parametreye bağlı olarak bu tip üçgenleri üretmeye çalıştık. Bu üçgenlerin açıortay, kenar ortay, yükseklik ve alan bağıntıları bulunup rasyonel değer alıp alamayaakları üzerinde durulmuştur. Ayrıa bu üçgenlerin iç açıları için alt ve üst sınırlar bulunmaya çalışılmıştır.
3 İÇİNDEKİLER Özet İçindekiler 3 1. Kaynak Araştırması. Ön Bilgiler 3. Geometrik Orta Üçgenleri Primitif Geometrik Orta Üçgeni ve Üreteçleri Bazı Primitif Geometrik Orta Üçgenleri 1. Primitif Geometrik Orta üçgeninde Açıortay, Kenarortay ve Yükseklik Bağıntıları 1.1. PGO Üçgeninin Kenarortay Uzunlukları 1.. PGO Üçgeninin Açıortay Bağıntıları PGO Üçgeninde Yükseklik Bağıntıları 17.. PGO Üçgeninde Alan Bağıntısı PGO Üçgeninin Açıları Arasındaki Bağıntılar PGO Üçgeninin Alanının Alabileeği En Büyük Değer 1 5. k Geometrik Orta Üçgeni 1 6. Sonuçlar ve Tartışma 7. Kaynaklar 3
4 1. KAYNAK ARAŞTIRMASI Heron üçgenleri ve bunun özel bir ailesi olan Pisagor üçgenleri üzerine Sierpinski, Rosen, Guy, Beauregard ve Suryanarayan, Buhholz ve MaDougall, Sastry, Zelator, Kramer, Lua gibi matematikçiler çeşitli çalışmalar yapmıştır. Eşen (010) ve Darıyeri (006) çalışmalarında heron üçgenleri üzerinde yapılan çalışmaların kronolojik sıralaması hakkında bilgi vermiştir. Buhholz ve MaDougall (1999), kenarları geometrik ve aritmetik dizi biçiminde olan rasyonel alanlı üçgenler ve kirişler dörtgenleri üzerinde çalışmıştır. Kenarları aritmetik olan üçgenlerin sonsuz bir ailesi için tam bir karakterizasyon verilmiştir ve ayrıa geometrik diziden oluşan kenarlara sahip hiçbir üçgenin olamayaağı gösterilmiştir.(eşen, 010) Yapılan çalışmalar inelendiğinde kenarları aritmetik dizi oluşturan heron üçgenleri üzerine kapsamlı araştırmalar yapılmıştır. Fakat kenarları geometrik ve harmonik dizi oluşturan üçgenler üzerine yapılan araştırmalar ise az sayıdadır. Bunun bir sebebi bu şekildeki üçgenlerinin alanlarının tam sayı olmamasıdır. Çünkü, Buhholz ve MaDougall (1999), kenarları geometrik diziden oluşan kenarlara sahip bir üçgenin heron üçgeni olamayaağını göstermiştir.. ÖN BİLGİLER Bu bölümde daha sonraki bölümlerde kullanılaak tanım ve teoremler verilmiştir. Tanım.1. a ve b iki tamsayı ve a 0 olsun. b = a. olaak şekilde bir tamsayısı varsa a, b yi böler veya b, a ile bölünür deriz ve bu durumu a b şeklinde ifade ederiz. (Erdoğan&Yılmaz, 008)
5 Tanım.. b ve iki tamsayı olsun. Eğer bir a 0 tamsayısı için a b ve a koşulları gerçekleniyor ise a ya, b ve tamsayılarının bir ortak böleni denir. Bir b 0 tamsayısının bölenleri sonlu sayıdadır. O halde b ve den en az birisi sıfırdan farklı ise bu iki tamsayının ortak bölenlerinin sayısı sonludur. (Erdoğan&Yılmaz, 008) Tanım.3. b ve, en az birisi sıfırdan farklı iki tamsayı olsun. i) d b, d ii) a b, a a d iii) d 0 koşullarına uyan bir d tamsayısına b ve tamsayılarının en büyük ortak böleni (e.b.o.b.) denir ve (b,) şeklinde gösterilir. (Erdoğan&Yılmaz, 008) Tanım.. (a,b) 1 ise a ve b tamsayılarına aralarında asaldır deriz. (Erdoğan&Yılmaz, 008) Tanım.5. p 1 tamsayısı verilsin. Eğer p nin ±1 ve ± p den başka böleni yoksa p tamsayısı bir asal sayıdır deriz. Asal olmayan bir tamsayıya bileşik sayı diyeeğiz. (Erdoğan&Yılmaz, 008) Tanım.6. ( p, p + ) seklindeki asal sayı çiftlerine asal sayı ikizi, ( p, p +, p + 6) asal sayılarına asal sayı üçüzü, ( p, p +, p + 6, p + 8) seklindeki asal sayılara da asal sayı dördüzü adı verilir. (Erdoğan&Yılmaz, 008) Tanım.7. a, b, m ; m 0 tam sayıları verilsin. Eğer m a b) ise a, b ye m modülüne göre kongrüent dir denir ve a b (modm) şeklinde gösterilir. (Erdoğan&Yılmaz, 008) Tanım.8. Her m 0 tamsayısını, m yi geçmeyen ve m ile aralarında asal olan tamsayıların sayısına eşleyen fonksiyona Euler in -fonksiyonu adı verilir ve m nin resmi (m) ile gösterilir. (Erdoğan&Yılmaz, 008) 5
6 Tanım.9. Bir tam sayının karesi şeklinde ifade edilebilen sayılara tam kare sayılar denir. Teorem.1. mn, 1 ve mn tam kare ise m ve n de tam karedir. Teorem.. a tek tam sayı ise 1mod a 0mod olur. a ve a çift tam sayı ise Teorem.3. x xy y z denkleminin negatif olmayan tamsayılardaki tüm çözümleri k (Andreesu&Andria, 00) Z olmak üzere x, yz, k,0, k, 0, kk, üçlüleridir. Teorem.. x xy y z denkleminin negatif olmayan tamsayılardaki tüm çözümleri k Z olmak üzere x, yz, k,0, k, 0, kk,, kkk,, üçlüleridir. (Andreesu&Andria, 00) Teorem.5. x çift tam sayı ise x 0 mod16 ve x tek tam sayı ise x 1 9mod16 ve x çift tam sayı ise x 0mod16 ve x tek tam sayı ise x 1mod16 Tanım.10. Üç açısı da dar açı olan üçgene dar açılı üçgen, bir açısı dik olan üçgene dik açılı üçgen, bir açısı geniş olan üçgene geniş açılı üçgen denir. (Küpeli, 010) Tanım.11. Kenar uzunlukları birbirinden farklı olan üçgene çeşitkenar üçgen, herhangi iki kenar uzunluğu eşit olan üçgene ikizkenar üçgen, üç kenar uzunluğu da birbirine eşit olan üçgene eşkenar üçgen denir. (Küpeli, 010) Tanım.1. Üçgenin bir köşesini karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına üçgenin o kenarına ait kenarortayı denir. Üçgenin bir köşesindeki 6
7 açısını iki eş parçaya ayıran ışının, köşe ile karşı kenar arasında kalan parçasına, üçgenin o köşesine ait açıortayı denir. Üçgenin bir köşesinden karşı kenara veya bu kenarın uzantısına dik olarak çizilen doğru parçasına üçgenin bu kenarına ait yüksekliği denir. (Küpeli, 010) Teorem.6. [Üçgen Eşitsizliği]. Bir üçgende bir kenar uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür. (Küpeli, 010) Teorem.7. [Kenarortay Teoremi]. Bir ABC üçgeninde BC kenarına ait kenarortay uzunluğu V a olmak üzere A a Va b dir. (Küpeli, 010) V a V a = b + - a B // D // C Teorem.8. [Açıortay Teoremi]. Kenar uzunlukları ab,, olan ABC üçgeninin A açısına ait açıortayı AD ve AD na A olsun. Bu durumda; m(bad) = m(cad) B D C i) AB BD ii) na AB AC BD DC iii) AC DC a BD ve b DC ab b bağıntıları mevuttur. 7
8 sayısına altın oran denir ve genellikle sembolü ile göste- Tanım rilir. Tanım.1. a 1, a, a 3 reel sayı dizisinin aritmetik dizi olması için gerek ve yeter şart a a1 a olmasıdır. a1, a, a 3 reel sayı dizisinin geometrik dizi olması için gerek ve yeter şart a a1 a olmasıdır. a1, a, a 3 reel sayı dizisinin harmonik dizi olması için gerek ve yeter şart (Zelator, K., 008) 1 1 1,, a a a 1 3 dizisinin aritmetik diz olmasıdır. Teorem.9. [Kosinüs Teoremi]. Bir ABC üçgeninde A a b bosa b os b a a B os dir. (Gürlü, 003) a b ab C B a C Tanım.15. Kenar uzunlukları ile alanı tam sayı olan üçgene heron üçgenini denir. (Kramer&Lua, 000) ab Teorem.10. Kenar uzunlukları a, b, ve yarı çevre uzunluğu da u olan bir ABC üçgeninin alanı A(ABC) ise AABC uu au bu dir. (Gürlü, 003) 8
9 3. GEOMETRİK ORTA ÜÇGENLERİ 3.1. Primitif Geometrik Orta Üçgeni ve Üreteçleri Tanım ab,, pozitif tam sayılar olmak üzere kenar uzunlukları ab,, olan ABC üçgeninde ab bağıntısı var ise bu üçgene geometrik orta üçgeni denir. Eğer a ile b aralarında asal ise üçgene primitif geometrik orta üçgeni denir. Kısaa P.G.O şeklinde ifade edilir. C a b = ab B A Biz ilk olarak geometrik orta üçgeni olma şartlarını ortaya koymaya çalışalım. Genelliği bozmadan a b kabul edelim. ab, d olsun. O halde aralarında asal a 1 ve b 1 pozitif tam sayıları için a da1 ve b db1 olur. Bu durumda ab d ab 1 1 olur. Son denklemin sol tarafı tam kare olduğundan sağ tarafı da tam kare olmalıdır. Teorem.1 den a1 p ve b1 q olaak şekilde aralarında asal pozitif p, q tam sayıları vardır. d p q dpq, a dp ve b dq olmalıdır. Bu durumda a, b, dp, dq, dpq üçlüsü elde edilir. a, b, dp, dq, dpq ile ab,, p, q, pq belirttiği üçgenler benzerdir. O yüzden ab,, p, q, pq üçlülerinin üçlüsünün belirttiği 9
10 üçgen primitif geometrik orta üçgeni olur. Burada pq, ikilisine PGO üçgeninin üreteçleri denir. Sonuç p, q aralarında asal pozitif iki tam sayı olmak üzere bir P.G.O üçgeninin uzunlukları p, q, pq formunda olmalıdır. C p q B pq A Şimdi p, q, pq üçlüsünün hangi hallerde üçgen eşitsizliğini sağladığına bakalım. p, q, pq üçlüsünün bir üçgen belirtebilmesi için üçgen eşitsizliğini sağlaması gerekir. Bu durumda i) ii) b a pqq p ab p q pq iii) a b p pq q eşitsizliklerinin aynı anda sağlanması gerekir. i) Eğer pqq p pqq p pq p q olup p q olduğundan bu eşitsizlik daima doğrudur. ii - iii) Eğer ab p q pq olmalıdır. Bu eşitsizlik daima doğru değildir. Bu durumda seçilen her aralarında asal p, q pozitif tam sayıları ile P.G.O üçgeni elde edemeyiz. Şimdi p q pq eşitsizliğini sağlayan p, q tam sayıları arasındaki ilişkiyi bulalım. 10
11 p q olduğundan p q pq p pqq 0 olur. Son eşitsizliğin her iki yanını q ile bölersek p p 1 0 q q p olup t 1 q için t t 1 eşitsizliği elde edilir. 1 5 t t t 1 5 t t olur. t 1 olduğundan 1 5 p t 1 q olur. Eğer p q olursa ab,, p, p, p olup kenar uzunlukları 1 olan eşkenar üçgenin benzeri olan üçgenler elde edilir. Bundan sonra p q şartını sağlayan PGO üçgenleri üzerinde duralım. Bu durumda aşağıdaki sonuu elde ederiz. Sonuç 3.1.., altın oran ve p q olmak üzere, aralarında asal pozitif p, q tam p sayılarının PGO üçgeni belirtebilmesi için 1 eşitsizliğinin sağlanması q gerekir. Bu durumda p a 51 a q b b olmalıdır. O halde PGO üçgeni olan ABC üçgeninin kenarları arasında eşitsizliği mevuttur. a b 3.. Bazı Primitif Geometrik Orta üçgenleri. Verilen herhangi bir pozitif q tam sayısı yardımıyla PGO üçgenleri elde edilebilir. 11
12 q 51 1 p q p a p b pq q p yok yok yok yok 1 p p p p p p p p Tablo 1 Tabloda verilen bir q tam sayısı için kaç tane ab,, üçlüsü elde edilebileeğine dair bazı örnekler verilmiştir. 1
13 51 Sonuç Verilen bir q tam sayısı için q dan büyük q dan küçük q ile aralarında asal sayıların sayısı kadar ab,, üçlüsü elde edilebilmektedir. Fakat q ya bağlı bir formül elde edilmemiştir. Sonuç 3... PGO üçgeninin üreteçleri olan pq, ikilisi asal sayı ikilisi olabilmektedir. Bu duruma dair örnekler tablo 1 de mevuttur. Bu ikililerin sonlu mu, 51 sonsuz mu olduğunu ise q asal olmak üzere q ile q arasında daima bir asal olup olmadığı ile ilgilidir. Bu aralıkta daima asal sayı olup olmadığı ile ilgili bir bilgiye ulaşamadık. Şimdi PGO üçgeninin üreteçleri olan pq, ikilisi ikiz asallardan oluşabilir mi? Sorusuna evap arayalım. Eğer pq, ikilisi ikiz asallar ise p q olup 1 eşitsizliğinden q 51 q q q q q olmalıdır. Bu durumda 3 q olur. Sonuç q, 3 ten büyük bir asal ise ise q, q ikiz asal ikilisi bir PGO üreteidir. 13
14 . PRİMİTİF GEOMETRİK ORTA ÜÇGENİNDE AÇIORTAY, KENAR ORTAY VE YÜKSEKLİK BAĞINTILARI. 1. PGO Üçgeninin Kenarortay Uzunlukları Burada önelikle üçgenin kenarortay uzunlukları p ve q parametrelerine bağlı olarak elde edileek ardından kenarortay uzunluklarının rasyonel olup olamayaağı sorusuna evap aranaaktır. Kenarortay Teoreminden; V a b p q V p q V p q p q V p q p q olur. Benzer şekilde V q p q p a ve V p p q q b bağıntıları elde edilebilir. Şimdi kenarortay uzunluklarının rasyonel olup olamayaağına bakalım. V ifadesinin bir rasyonel sayı belirtmesi için p q p q ifadesi tam kare olmalıdır. O halde p q p q x olaak şekilde bir x tam sayısının olması gerekir. p ile q aralarında asal olduğundan ikisi de tek veya biri tek biri çift olmalıdır. i) p ile q tek sayılar olsun. Bu durumda Teorem.5 den p q 1mod16 p 1 9mod16 ve q 1 9mod16 olup q p 19mod16 olur. Bu durumda p q p q mod16 (*) olur., 1
15 Diğer taraftan p ile q tek olduğundan x de tek olmalıdır. Bu x 1 9mod16 olaaktır. Bu ise (*) ile çelişir. O halde p q p q tam kare olamaz. ii) p ile q dan biri tek biri çift olsun. Simetriden dolayı p tek q çift olsun. Teo- rem.5 den pq 0 mod16 olup p q p q 1mod16 0,1, 9 mod16 x olması ile çelişir. O halde alamaz. olur. V hiçbir zaman rasyonel değer Şimdi V a ve V b rasyonel olup olmayaağına bakalım. p ile q aralarında asal olduğundan ikisi de tek veya biri tek biri çift olmalıdır. i) p ile q tek sayılar olsun. Bu durumda Teorem.5 den p q 1mod q p q p 1 3 mod olur. Bu durumda Teorem.5 den q p q p tam kare olamaz. ii) p ile q dan biri tek biri çift olsun. Simetriden dolayı p tek q çift olsun. Bu du- rumda Teorem.5 den p 1mod ve 0mod q p q p 1 3 mod q olur. Bu durumda Teorem.5 den q p q p tam kare olamaz. O halde V a rasyonel değer alamaz. Benzer şekilde V nin de rasyonel değer alamayaağı gösterilebilir. Sonuç.1.1. Bir PGO üçgeninin kenar ortay uzunlukları rasyonel olamaz... PGO Üçgeninin Açıortay Bağıntıları Burada önelikle üçgenin açıortay uzunlukları p ve q parametrelerine bağlı olarak elde edileek ardından açıortay uzunluklarının rasyonel olup olamayaağı sorusuna evap aranaaktır. 15
16 Açıortay teoreminden; pq pq p q p q C 1 n p q p q p q p q p q p q olduğundan olmalıdır. pq nc p q p q p q p q p q pq p q (*) n C nin rasyonel olması için p q p q ifadesi tam kare olmalıdır. Bu ise Teorem.3 den dolayı mümkün değildir. Diğer taraftan üçgen eşitsizliğinden p q pq p q p q p q 3p q p q p q p q p q p q pq olur. p q ab (*) dan n Ha, b C pq ab olur. Açıortay teoreminden; 5 3 pq p q pq p A n pq pq q pq pq pq pq olduğundan n A pq q pq p q pq p p q pq q pq p q pq p p q olur. Benzer şekilde n B pq p pq q p pq q p q 16
17 bağıntıları elde edilir. n A nın rasyonel olabilmesi için pq q pq p q pq p ifadesi tam kare olmalıdır. p ile q aralarında asal olduğundan pq, q pq p ve q pq p ifadeleri aralarında asal olur. Bu durumda bu ifadelerin her biri Teorem.1 den dolayı tam kare olmalıdır. Di- ğer taraftan Teorem.3 den q pq p ifadesinin tam kare olmasını sağlayan pozitif p, q ikilisi yoktur. Dolayısı ile n A rasyonel olamaz. Benzer şekilde n B de rasyonel olamaz. Sonuç..1. ABC üçgeni P.G.O üçgeni ise n C rasyonel değer alamaz ve n C uzunluğu a ile b nin harmonik ortasından küçüktür. Ayrıa n A ve n B de rasyonel değer alamaz..3. PGO Üçgeninde Yükseklik Bağıntıları ABC, PGO üçgeni olsun. C den AB ye inilen dikme ayağı D ve BD AD pq x olsun. C x, p q B x D pq-x A CA AD CB BD p x q pq x p x q p q pqx x p q p q x olur. pq h CB x olduğundan h p q p q p pq 17
18 h p q p q p q p q p q pq p q p q 3p q p q olduğundan pq p q p q 3p q p q pq bağıntısını elde ederiz. h nin rasyonel olabilmesi için p q p q 3p q p q ifadesi tam kare olmalıdır. Önelikle p q p q ile 3p q p q ifadelerinin aralarında asal olduğunu gösterelim. p ile q aralarında asal olduğundan ikisi de tek ya da biri tek diğeri çift olmalıdır. Her iki durumda da p q p q ifadesi tek olaaktır. p q p q ile 3p q p q ifadelerinin en büyük ortak bölenine d diyelim. Bu durumda d tek olmalıdır. 3p q p q p q p q p q p q p q p q ifadesi d ile bölünmelidir. olduğundan p q p q ifadesi d ile bölündüğünden d p q olmalıdır. d tek olduğundan d p q olup p ile q aralarında asal olduğundan d p yada dq olmalıdır. d p ise d p q p q olduğundan dq olmalıdır. p ile q aralarında asal olduğundan d 1 olur. Bu durumda p q p q ile p q p q 3p q p q 3p q p q aralarında asal olmalıdır. O halde ifadesinin tam kare olması için p q p q ile 3p q p q tam kare olmalıdır. Diğer taraftan Teorem.3 den p q p q tam kare olamaz. Bu durumda h rasyonel olamaz. Sonuç.3.1. ABC, P.G.O üçgeni ise h rasyonel değer alamaz. 18
19 .. PGO Üçgeninde Alan Bağıntısı Buhholz & MaDougall (1999) çalışmasında tam sayı kenarlı ve kenarları geometrik dizi oluşturan üçgenlerin alan formülünü heron formülünü kullanarak bulmuş ve alanın rasyonel olamayaağını göstermişlerdir. Biz ise yukarıda bulduğumuz yükseklik bağıntısı yardımıyla alan bağıntısını bulup Buhholz & MaDougall ile aynı sonua ulaştık. Şimdi alan bağıntısını elde edelim. Üçgenin alanı S olmak üzere; 3 h pq p q p q p q p q S olduğundan pq S p q p q 3p q p q olur. Teorem.3 den P.G.O üçgeninin alanı da rasyonel olamaz. Kenar uzunlukları tam sayı olan üçgenin alanı irrasyonel olduğundan hiçbir yüksekliği rasyonel olamaz. Sonuç..1. ABC, PGO üçgeni ise yükseklikleri ve alanı irrasyoneldir..5. PGO Üçgeninin Açıları Arasındaki Bağıntılar Bu bölümde P.G.O üçgeninin açıları için alt ve üst sınırlar elde edilmeye çalışıldı. Ayrıa üçgenin dar veya geniş açılı olabilmesini sağlayan p, q değerleri bulunmaya çalışıldı. Kosinüs teoreminden a b osc ab p q p q osc pq 19
20 p, q için osc p q pq p q 3p q pq p q 3 osc..(1) olur. pq p q p q p q pq p q 3 3 olup (1) den pq 1 osc olmalıdır. Bu durumda 0 mc 60 olur. Sonuç ab şartını sağlayan P.G.O, ABC üçgeninde mc 60 eşitsizliği mevuttur. ABC üçgeninin eşkenar olması durumunda eşitlik durumu elde edilir. Kosinüs teoreminden q q p p os A olur. 3 pq Eğer A açısı geniş ise os A 0 q q p p pq 3 0 q p q p 0 q p 5p 0 q p 5p q p 5 p q 5 p p q 51 p 5 1 q p olmalıdır. Bu durumda 5 1 b a 51 b a bağıntısı olmalıdır. Sonuç.5.. ABC, PGO üçgeni olmak üzere; 0 mb b a 0
21 0 mb ba b eşitsizlikleri mevuttur..6. PGO Üçgeninin Alanının Alabileeği En Büyük Değer p q p q 3p q p q S olduğunu bulmuştuk. p q x y 3y x y alırsak AABC olur. x y3y x x xy 3y (*) dir. Diğer taraftan p q p q olduğundan x y olur. x y y p q x ve x y y x y y 3y x xy 3y 3y olur. (*) dan için eşitlik durumu elde edilir. x y3yx 3 S olur. p q 3 Sonuç.6.1. ABC, PGO üçgeni ise S eşitsizliği mevuttur. Eşitlik olması için üçgenin eşkenar olması gerekir. 5. k GEOMETRİK ORTA ÜÇGENİ Bu bölümde geometrik orta üçgeninin bir çeşit genelleşmesi olan k Geometrik orta üçgenini tanımlayıp kenarları arasındaki ilişkiyi vereeğiz. Tanım 5.1. p, q aralarında asal pozitif tam sayılar ve k Z olmak üzere bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları p, q, kpqolan üçgene k geometrik orta üçgeni denir. Şimdi bu üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi elde edelim. 1
22 Genelliği bozmadan p q kabul edelim. Üçgen eşitsizliğinden i) p q kpq p q olmalıdır. Bu durumda p q olduğundan p q kpq p kpqq 0 ve 0 p kpq q eşitsizlik sitemini çözmeliyiz. Bu eşitsizliklerin her iki tarafı q ile bölünürse p p k 1 0 q q ve p p 0 k 1 q q p p k 1 0 q q olur. p k k 1 q p p 0 k 1 q q k k p olur. Bu iki eşitsizlik birleştirilirse q k k p k k eşitsizliği elde edilir. q Sonuç 5.1. ABC üçgeninin k geometrik orta üçgeni olabilmesi için k k p k k eşitsizliğinin sağlanması gerekir. q 6. Sonuçlar ve Tartışma Tarih boyuna çeşitli matematikçiler heron üçgenleri hakkında kapsamlı çalışmalar yapmışlardır. Heron üçgenlerinin bir alt gurubu olan aritmetik üçgenler hakkında da epey çalışma mevuttur. Anak kenarları tam sayı ve kenar uzunlukları geometrik dizi olan üçgenler heron üçgeni olmadığından hakkında fazla bir çalışma yapılmamıştır. Biz ise çalışmamızda bu üçgenlerin özelliklerini ele aldık. Tek bir parametre yardımıyla bu üçgenlerin elde edilebileeğini gösterdik. Fakat elde edilebileek üçgen sayısını formüle edemedik. Bu tip üçgenlerin kenar uzunlukları, yar-
23 dımı eleman uzunlukları ve açıları arasında bağıntılar elde edilmiş ayrıa yardımı eleman uzunlukları ile alanın rasyonel değer alamayaağı gösterilmiştir. Son olarak bu üçgenlerin bir genellemesi olan k geometrik orta üçgeni kavramı verilmiş ve bu üçgenin kenarları arasındaki ilişki elde edilmiştir. 3
24 7. KAYNAKLAR [1] Andreesu, T., Andria, D., 00, An Introdution to Diophantine Equations, GIL Publishing House p [] Buhholz, R. H. and MaDougall, J. A., 1999, Heron Quadrilaterals with Sides in Arithmeti Progression, Bull. Aus. Math. So., p [3] Darıyeri, M. 006., Heron Üçgenlerinin Bazı özellikleri Üzerine Bir Araştırma, Basılmamış Yüksek Lisans Tezi [] Erdoğan, M., Yılmaz, G., 008, Çözümlü problemlerle Soyut Cebir ve Sayılar Teorisi, Beykent Üniversitesi Yayınları [5] Eşen, T., 010, Açıları ve Kenarları Aritmetik, Geometrik ve Harmonik Dizi Oluşturan Üçgenler ile x 3y z Diophantine Denklemi Arasındaki İlişkiler Üzerine Bir Araştırma, Basılmamış yüksek lisans tezi [6] Gürlü, Ö., 003, Meraklısına Geometri, Zambak Yayınları [7] Kramer, A. V., Lua, F., 000, Some Remarks on Heron Triangles, Ata. Aad.Paed. Agriensis, Setio Mathematiae 7, p [8] Küpeli, S. 010., 100 Yılın Olimpiyat Sorularıyla Geometri, Altın nokta Yayınevi, İzmir [9] Zelator, K., 008, Triangle Angles and Sides in Progression and the Diophantine Equation x 3y z, arxiv: (pdf).
NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4
NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P
DetaylıULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI DENEMESİ ( ŞUBAT 2010 )
ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI DENEMESİ ( ŞUBAT 010 ) 1) Dar açılı ABC üçgeninde BB 1 ve CC 1 yükseklikleri H noktasında kesişiyor. CH = C H, BH = B H ise BAC açısını bulunuz. 1 1 A)0 0 B)45 0 C) arccos
DetaylıÜÇGEN VE KENARLARI ARASINDA BAĞINTILAR
ÜÇGEN VE KENARLARI ARASINDA BAĞINTILAR 1. Bir üçgende ölçüsü büyük olan açının karşısındaki kenar uzunluğu, ölçüsü küçük olan açının karşısındaki kenar uzunluğundan daha büyüktür. ABC üçgeninde m(a) >
DetaylıEVVET ARKADAŞLAR HOŞGELDİNİZ BU DERSİMİZDE ÜÇGENLER VE ÖZELLİKLERİNE GÖZ ATACAĞIZ.
DERS : GEOMETRİ KONU : ÜÇGEN EVVET ARKADAŞLAR HOŞGELDİNİZ BU DERSİMİZDE ÜÇGENLER VE ÖZELLİKLERİNE GÖZ ATACAĞIZ. AMAN SIKILMAYIN NOT BİRAZ UZUN DA :-) Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının
Detaylıp sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?
07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin
DetaylıOlimpiyat Eğitimi TUĞBA DENEME SINAVI
TUSİ Ortaöğretim Öğretmenleri için Olimpiyat Eğitimi TUĞBA DENEME SINAVI 10.01.2014-17.01.2014 2 1. Tuğba üç test yapar. İlkinde, 25 sorudan %60 ını, ikinci de 30 sorudan ve %70 ini ve son olarak 45 sorudan
Detaylıİç bükey Dış bükey çokgen
Çokgen Çokgensel bölge İç bükey Dış bükey çokgen Köşeleri: Kenarları: İç açıları: Dış açıları: Köşegenleri: Çokgenin temel elemanları Kenar Köşegen ilişkisi Bir köşe belirleyiniz ve belirlediğiniz köşeden
DetaylıXII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı
XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)
DetaylıVI. OLİMPİYAT SINAVI SORULAR
SORULAR 1. N sayısı 1998 basamaklı ve tüm basamakları 1 olan bir doğal sayıdır. Buna göre N sayısının virgülden sonraki 1000. basamağı kaçtır? A)0 B)1 C)3 D)6 E) Hiçbiri. n Z olmak üzere, n sayısı n sayısına
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
DetaylıÜÇGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir. AB] [AC] [BC] = ABC dir.
ÜÇGENDE AÇILAR Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir. AB] [AC] [BC] = ABC dir. Burada; A, B, C noktaları üçgenin köşeleri, [AB], [AC], [BC] doğru parçaları
Detaylı2000 Birinci Aşama Sınav Soruları
2000 irinci şama Sınav Soruları Lise 1 Soruları 1 369 sayısı bir kaç ardışık doğal sayının toplamı olarak kaç farklı biçimde yazılabilir? )2 )3 )4 )5 )7 2 ve sayıları 2000 sayısının pozitif bölenleri olmak
DetaylıTAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,
TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.
DetaylıSivas Fen Lisesi Ortaokul 2. Matematik Olimpiyatı Sınavı A A) 55 B) 50 C) 45 D) 40 E) 35
Sivas Fen Lisesi Ortaokul 2. Matematik Olimpiyatı Sınavı A 1. ABC üçgeninde BF BD, EC CD olacak şekilde AC kenarı üzerinde E noktası, o BC m(ba C) 70 ise m(fd E) kaç derecedir? AB kenarı üzerinde F noktası,
DetaylıTürkiye Ulusal Matematik Olimpiyatları DENEME SINAVI. 4. Deneme
Türkiye Ulusal Matematik Olimpiyatları Birinci Aşama Zor Deneme Sınavı 11 Haziran 2016 DENEME SINAVI 4. Deneme Soru Sayısı: 32 Sınav Süresi: 210 dakika Başarılar Dileriz... Page 1 of 9 DENEME SINAVI (4.
DetaylıÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT
ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar. azanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 80, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği. azanım
DetaylıHERON ÜÇGENLERĠNĠN ĠÇ VE DIġ TEĞET ÇEMBERLERĠNĠN YARIÇAPLARI ĠLE x 2y z DĠOPHANTĠNE DENKLEMĠ ARASINDAKĠ ĠLĠġKĠ ÜZERĠNE BĠR ARAġTIRMA
T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ EĞĠTĠM BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ ĠLKÖĞRETĠM ANABĠLĠM DALI MATEMATĠK EĞĠTĠMĠ PROGRAMI HERON ÜÇGENLERĠNĠN ĠÇ VE DIġ TEĞET ÇEMBERLERĠNĠN YARIÇAPLARI ĠLE x y z DĠOPHANTĠNE DENKLEMĠ ARASINDAKĠ
DetaylıDİK ÜÇGEN. şekilde, m(a) = 90. [BC] kenarı hipotenüs. [AB] ve [AC] kenarları. dik kenarlardır. P İSAGOR BAĞINTISI
DİK ÜÇGEN Bir açısının ölçüsü 90 olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90 nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır. şekilde,
Detaylı7 Mayıs 2006 Pazar,
TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 14. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2006 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 7 Mayıs 2006 Pazar, 13.00-15.30
DetaylıTemel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b
Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri
DetaylıCahit Arf Matematik Günleri 10
Cahit Arf Matematik Günleri 0. Aşama Sınavı 9 Mart 0 Süre: 3 saat. Eğer n, den büyük bir tamsayı ise n 4 + 4 n sayısının asal olamayacağını gösteriniz.. Çözüm: Eğer n çiftse n 4 +4 n ifadesi de çift ve
DetaylıA) 1 B) 10 C) 100 D) 1000 E) Sonsuz. öğrencinin sinemaya tam bir kez birlikte gidecek şekilde ayarlanabilmesi aşağıdaki n
İLMO 008. Aşama Sınavı Soru Kitapçığı - A. 009 009 009 + +... + n toplamı hiçbir n doğal sayısı için aşağıdakilerden hangisiyle bölünemez? A) B) n C) n+ D) n+ E). ( x!)( y!) = z! eşitliğini sağlayan (x,
DetaylıULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI DENEMESİ( OCAK 2010)
ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI DENEMESİ( OCAK 2010) 1) Bir ABC dik üçgeninde B açısı diktir. AB kenarı üzerinde alınan bir D noktası için m( BCD) m( DCA) dır. BC kenarı üzerinde alınan bir E noktası için
Detaylı9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme
DetaylıÖğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Nisan 99 Matematik Soruları ve Çözümleri. Bir sayının inin fazlası, aynı sayıya eşittir. Bu sayı kaçtır? A) B) 0 C) D) 0 E) Çözüm Sayı olsun.. + +. Bir sınıftaki toplam öğrenci
Detaylı11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler
11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler
DetaylıTemel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.
Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal
Detaylıçemberi ile O Çemberlerin birbirine göre durumlarını inceleyelim. İlk durumda alalım. olduğu takdirde O2K1
. merkezli R yarıçaplı Ç çemberi ile merkezli R yarıçaplı ve noktasından geçen Ç çemberi veriliyor. Ç üzerinde, T Ç K T Ç, ve K K T K olacak şekilde bir T noktası alınıyor. Buna göre, uzunluklarından birinin
Detaylı29 Nisan 2007 Pazar,
TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI SINAVLA İLGİLİ UYARILAR: 15. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2007 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü
Detaylı5. ÜNİTE AÇILAR, ÜÇGENLER VE MESLEKİ UYGULAMALARI
5. ÜNİTE ÇILR, ÜÇGENLER VE MESLEKİ UYGULMLRI açılar KONULR 1. çı, çı Türleri ve Mesleki Uygulamaları 2. Tümler ve ütünler çılar ÜÇGENLER 1. Üçgene it Temel ilgiler 2. Üçgen Türleri 3. Üçgenin Yardımcı
DetaylıİSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ BİLİM OLİMPİYATLARI 2018 SINAVI
ÖGRENCİNİN ADI SOYADI : T.C. KİMLİK NO : OKULU / SINIFI : SINAVA GİRDİĞİ İLÇE: SINAVLAİLGİLİUYARILAR: İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ BİLİM OLİMPİYATLARI 018 SINAVI Kategori: Matematik 7-8 Soru Kitapçık
DetaylıTEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84
N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde
DetaylıSingapur Matematik Olimpiyatı Soruları
Singapur Matematik Olimpiyatı Soruları 1.) 1, 1, 1,., 1 sayıları tahtaya yazılıyor. Burak x ve y gibi iki sayı seçip bunları siliyor ve 1 2 3 2010 x+y+xy sayısını yazıyor. Burak bu işleme tahtada tek sayı
DetaylıDik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.
ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da
Detaylı140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c
138. a ve b gerçel sayılardır. a < a, 6a b 5= 0 b ne olabilir? (11) 4 5 8 11 1 139. < 0 olmak üzere, 4 3. =? ( 3 ) a 1 140. < a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9,4,7 3,
DetaylıOLİMPİK GEOMETRİ ALTIN NOKTA YAYINEVİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK ÖMER GÜRLÜ KONU ANLATIMLI - ÖRNEK ÇÖZÜMLÜ
OLİMPİK GEOMETRİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK KONU ANLATIMLI - ÖRNEK ÇÖZÜMLÜ ÖMER GÜRLÜ ALTIN NOKTA YAYINEVİ İZMİR - 2014 İÇİNDEKİLER 1. TEMEL ÇİZİMLER... 7 2. ÜÇGENLER... 21 (Üçgende Açılar, Üçgende
DetaylıSevdiğim Birkaç Soru
Sevdiğim Birkaç Soru Matematikte öyle sorular vardır ki, yanıtı bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman yıllar sonra yanıtın çok basit olduğu anlaşılır. Bir
Detaylıa) BP = P H olmalıdır. b) BP = 2 P H olmalıdır. c) P H = 2 BP olmalıdır. d) Böyle bir P noktası yoktur. e) Hiçbiri
TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 7. ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI SINAVI - 00 Birinci Bölüm Soru kitapçığı türü A 1. Bir ikizkenar
DetaylıOKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9
OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.
DetaylıSAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR
1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği
DetaylıE.Ö.Y TEKİRDAĞ S.B LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Alt Öğrenme Alanı
A ELÜL 9 Eylül Eylül Eylül 0 Eylül 0-07 E.Ö. TEKİRDAĞ S.B LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK İ ILLIK PLANI Temel Kavramlar Temel Kavramlar Temel Kavramlar Temel Kavramlar. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri
Detaylıx13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005
TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 005 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 1. AB = olmak üzere, A
Detaylı1. Analitik düzlemde P(-4,3) noktasının eksenlerden ve O başlangıç noktasından uzaklığı kaç birimdir?
HAZİNE- HAZİNE-2 O başlangıç noktasında dik kesişen iki sayı ekseninin oluşturduğu sisteme koordinat sistemi denir. Bir noktanın x-eksenindeki dik izdüşümüne karşılık gelen x sayısına noktanın apsis i
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI
0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;
Detaylı26 Nisan 2009 Pazar,
TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 17. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2009 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 26 Nisan 2009 Pazar, 13.00-15.30
DetaylıDOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ
Koordinatlar DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen
DetaylıLYS 2016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ
LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ Dikdörtgenin içinde köşegeni çizerek alanı iki eşit parçaya ayırabiliriz. 7 / 36 BED üçgeni ile DEC üçgeninin alanlarının oranı, tabanları arasındaki orana eşittir. Buna göre;
Detaylı1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)
.DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli
Detaylı7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR
7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR KONULAR 1. DOĞRUDA AÇILAR 2. Açı 3. Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler 4. Açı Ölçü Birimleri 5. Ölçülerine Göre Açılar 6. Açıortay 7. Tümler Açı 8. Bütünler Açı 9. Ters
Detaylı[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;
. Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş
DetaylıTAKSİ DÜZLEMİNDE FINSLER-HADWIGER EŞİTSİZLİĞİ
ÖZEL EGE LİSESİ KSİ DÜZLEMİNDE FINSLER-HDWIGER EŞİSİZLİĞİ HZIRLYN ÖĞRENCİ: Eray ÖZER DNIŞMN ÖĞREMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 0 İÇİNDEKİLER. PROJENİN MCI... GİRİŞ............. YÖNEM.... 4. ÖN BİLGİLER..... 4
DetaylıT. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları
T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu 016-017 Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları 1) 3. [15 3(8: )] 9 =? a) 16 b) 14 c) 0 d) 14 e) 16 6)
DetaylıKPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA
KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak
DetaylıÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme
ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme ÇÖZÜMLER. a b ve b a a b, a, b a b a b ve b c a c olduğundan a b ve c d ise a c b d olmayabilir. ve 5., ve olduğundan sonsuz çözüm vardır...9.9
DetaylıÖZEL YUNUS GÜNER FEN ve ANADOLU LĐSESĐ MATEMATĐK OLĐMPĐYATI KTS 1
ÖZEL YUNUS GÜNER FEN ve ANADOLU LĐSESĐ MATEMATĐK OLĐMPĐYATI KTS 1 Süre: 150 dakika ÖĞRENCĐNĐN ADI SOYADI: SINAVLA ĐLGĐLĐ UYARILAR: Bu sınav çoktan seçmeli 36 sorudan oluşmaktadır. Her sorunun sadece bir
Detaylı14. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI EKİP FİNAL SORULARI
14. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI EKİP FİNAL SORULARI - 008 SORU -1 1 0.7 0.1 0.48 = 0.018 0.8 0. eşitliğini sağlayan sayısı kaçtır? [ 0.15] SORU - c d d c a b 4 c d b b a ifadesinin i i sayısal ldeğeri
DetaylıÖzel Kasımoğlu Coşkun Fen Lisesi
4.04.0 tarihinde Okan Üniversitesi Matematik Bölümü tarafından düzenlenen Liselerarası Matematik Yarışması na aşağıda listelenen on iki lise katıldı. Özel Kasımoğlu Coşkun Fen Lisesi Habire Yahşi Anadolu
Detaylı{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde
1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve
DetaylıMustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi
2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman
DetaylıÖğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994. Matematik Soruları ve Çözümleri = 43. olduğuna göre a kaçtır?
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994 Matematik Soruları ve Çözümleri 4.10 +.10 1. 4 10 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,4 B) 4, C) 4 D) 40 E) 400 Çözüm 1 4.10 +.10 4 10 4 4.10 +.10 10 1+ 1 = 4 4 (40+
Detaylıdeneme onlineolimpiyat.wordpress.com
1.) toplamı kaça eşittir? A)hiçbiri B) C)3/217 D)9/217 E) 1/217 2.) 250 kişinin katıldığı bir tenis turnuvasında eleme usulü ile maçlar yapııyor. Yani ikişerli eşleşmelerde maçı kaybeden eleniyor.üst tura
DetaylıOLİMPİYAT DENEMESİ 2
OLİMPİYAT DENEMESİ 2 1.)Dış bükey ABCD dörtgeninde = =, m(a)=,m(c)= ise nin yarısı kaçtır? A) 2 B) C) D) E) 2.) Bir mağazada Ocak ayında satılan ayakkabı sayısı bir tamkaredir.şubat ayında satılan ayakkabı
Detaylısayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1
TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.
DetaylıTEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar
TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c
DetaylıDEVREK ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Alt Öğrenme Alanı
ELÜL TRİH/SÜRE HFT Eylül 0Eylül Eylül 7 Eylül STİ LNI 0-0 DEVREK NDOLU LİSESİ 9. SINIF MTEMTİK İ ILLIK PLNI lt de Temel Kavramlar de Temel Kavramlar de Temel Kavramlar de Temel Kavramlar de de de de. Küme
DetaylıÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)
DetaylıAtatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar
Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 01 MATEMATİK 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1. RAKAM Sayıların yazılmasında kullanılan sembollere rakam denir. Onluk
Detaylı1. Hem % 15 i, hem de % 33 ü tam sayı olan en küçük pozitif sayı nedir? c)
TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 10. ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI SINAVI - 2005 Soru kitapçığı türü A 1. Hem % 15 i, hem de % 33
DetaylıIX. Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı
IX. Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı B 1. Bir su tankerinin tam doluyken toplam ağırlığı x ton; yarı yarıya doluyken toplam ağırlığı y ton ise, boş tankerin ağırlığı kaç tondur? a) 2x 2y b) 2y x
Detaylı1. Bir ayrıtının uzunluğu 1 olan küpler üst üste konularak tüm alanı A olan bir kare dik prizma yapılırsa, A sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
1. Bir ayrıtının uzunluğu 1 olan küpler üst üste konularak tüm alanı A olan bir kare dik prizma yapılırsa, A sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? a) 12 b) 16 c) 26 d) 36 e) 44 2. Aşağıdakilerden hangisi
DetaylıI F L. IĞDIR FEN LİSESİ MÜDÜRLÜĞÜ 2010 YILI 8. SINIFLAR I. MATEMATİK OLİMPİYAT YARIŞMASI Soru kitapçığı türü A 15 Mayıs 2010 Cumartesi,
I F L IĞDIR FEN LİSESİ MÜDÜRLÜĞÜ 2010 YILI 8. SINIFLAR I. MATEMATİK OLİMPİYAT YARIŞMASI Soru kitapçığı türü A 15 Mayıs 2010 Cumartesi, 10.00-12.30 ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI T.C. KİMLİK NO OKULU / SINIFI SALON
DetaylıSORU BANKASI. kpss MATEMATİK GEOMETRİ SORU. Lise ve Ön Lisans. Önce biz sorduk. Güncellenmiş Yeni Baskı. Tamamı Çözümlü.
Önce biz sorduk kpss 2 0 1 8 120 Soruda 85 SORU Güncellenmiş Yeni Baskı Genel Yetenek Genel Kültür Lise ve Ön Lisans MATEMATİK GEOMETRİ Tamamı Çözümlü SORU BANKASI Editör Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker
DetaylıGeometri Notları. Heron Formülü ve Üçgenleri
www.mustafayagci.com, 005 Geometri Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Bu yazımızda üçgensel bölgelerin alanını hesaplamak için günümüze kadar bulunmuş 110 farklı formülden en ilgi çekicisine
DetaylıProblem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. Problem 5. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan c Copyright Titu Andreescu and Jonathan Kane
PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 İLKÖĞRETİM - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Andreescu and Jonathan Kane Çeviri Sibel Kılıçarslan CANSU ve Fatih Kürşat CANSU Problem 1 Eğer 125 + n + 135 + 2n
DetaylıSİVAS FEN LİSESİ. Soru Kitapçığı Türü. 25 Nisan 2015 Cumartesi, 9:30 12:30
SİVAS FEN LİSESİ SİVAS İL MERKEZİ ORTAOKUL 1. MATEMATİK OLİMPİYATI SINAVI 015 ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI : T.C. KİMLİK NO : OKUL / SINIFI : SINAVLA İLGİLİ UYARILAR: Soru Kitapçığı Türü A 5 Nisan 015 Cumartesi,
DetaylıBu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.
Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel
Detaylı2016 UOMO 1. Aşama. A) 15 B) 17 C) 19 D) 21 E) 23 Çözüm. Denklemi düzenleyelim:
016 UOMO 1. Aşama 1. Bir ABC üçgeninde BE ve CD kenarortayları birbirine dik ve BE = 18, CD = 7 ise AF kenarortayının uzunluğu kaçtır? A) 43 B) C) 45 D) 3 E) 4 Çözüm. Üçgenin ağırlık merkezi G olmak üzere,
Detaylı23. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI SORULARI A A A A A A A
KDENİZ ÜNİVERSİTESİ 23. ULUSL NTLY MTEMTİK OLİMPİYTI SORULRI DI SOYDI :... OKUL... ŞEHİR :...SINIF :... İMZ :... SINV TRİHİ VESTİ:29 Nisan 2018 - Pazar 10.00-12.30 Bu sınav 25 sorudan oluşmaktadır vesınav
Detaylı1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler
ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...
DetaylıSERĠMYA 2011 - IX. ULUSAL ĠLKÖĞRETĠM MATEMATĠK OLĠMPĠYATI. 9. Ulusal. serimya. İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI.
Sayfa1 9. Ulusal serimya İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 2011 Sayfa2 1. Bir ABCD konveks dörtgeninde AD 10 cm ise AB CB? m( Dˆ ) 90, ( ˆ) 150 0 0 m C ve m Aˆ m Bˆ ( ) ( ) olarak
DetaylıTEST: 6. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi
TEST: 6 5. 1. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12 2. 6. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 7x+5y=35 B) 7x-5y=35
DetaylıMustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü
* Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q
DetaylıİÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel
Detaylı12-B. Polinomlar - 1 TEST. olduğuna göre P(x - 2, y + 4) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? olduğuna göre A B kaçtır? A) 78 B) 73 C) 62 D 58 E) 33
-B TEST Polinomlar -. Py _, i= y- y + 5y- olduğuna göre P( -, y + ) polinomunun katsayılar toplamı. - 6 = A - 5 + - + B - olduğuna göre A B 78 B) 7 6 D 58 E) B) D) - E) -. -a- b = _ + -5i_ -ci eşitliğine
Detaylı2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK
2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının
DetaylıÖ.S.S. 1994. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ = 43. olduğuna göre a kaçtır?
Ö.S.S. 1994 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 4.10 1. 4 10 +.10 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,4 B) 4, C) 4 D) 40 E) 400 Çözüm 1 4.10 +.10 4 10 4 4.10 +.10 10 1+ 1 4 4 (40+ ).10 10 4 4 4 (98² 98²) 00.9.
DetaylıAsal Çarpanlara Ayırma / EBOB-EKOK ORTAK DERSLER MATEMATİK. Prof. Dr. Emin KASAP
3 Asal Çarpanlara Ayırma / EBOB-EKOK ORTAK DERSLER MATEMATİK Prof Dr Emin KASAP 1 Ünite: 5 ASAL ÇARPANLARA AYIRMA / EBOB - EKOK Prof Dr Emin KASAP İçindekiler 51 ASAL ÇARPANLARA AYIRMa 3 511 Asal Sayılar
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
Detaylı1998 ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI B IR INC I AŞAMA SORULARI
1998 ULUSL NTLY MTEMT IK OL IMP IYTI IR INC I ŞM SORULRI Lise 1- S nav Sorular 1. T = 1! +! + 3! + ::: + 1997! + 1998! toplam n n son iki basama¼g ndaki rakamlar n toplam kaçt r? ) 13 ) 9 C) 6 D) E) Hiçbiri.
Detaylı1998 ÖSS A) 30 B) 27 C) 18 D) 9 E) 5 A) 8000 B) 7800 C) 7500 D) 7200 E) 7000
998 ÖSS. Rakamları sıfırdan farklı, beş basamaklı bir sayının yüzler ve binler basamağındaki rakamlar yer değiştirildiğinde elde edilen yeni sayı ile eski sayı arasındaki fark en çok kaç olabilir? 6. ve
DetaylıVEKTÖRLER. DOĞRU PARÇASI: Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir.
VEKTÖRLER DOĞRU PRÇSI: Doğrunun ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [B] DOĞRU PRÇSI denir. Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.
DetaylıCEVAP ANAHTARI 1-B 2-C 3-C 4-C 5-B 6-E 7-D 8-E 9-C 10-E 11-E 12-A 13-A 1-A 2-D 3-C 4-D 5-D 6-B 7-D 8-B 9-D 10-E 11-D 12-C
1. BÖLÜM: AÇISAL KAVRAMLAR VE DOĞRUDA AÇILAR 1-B 2-C 3-C 4-C 5-B 6-E 7-D 8-E 9-C 10-E 11-E 12-A 13-A 1-E 2-A 3-E 4-C 5-C 6-C 7-D 8-D 9-D 10-E 11-B 12-C 2. BÖLÜM: ÜÇGENDE AÇILAR 1-A 2-D 3-C 4-D 5-D 6-B
DetaylıPROJEYİ HAZIRLAYANLAR YUSUFHAN BAŞER BERKE SERTEL NAİLE ÇOLAK
KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI: ÜÇGENİN ELEMANLARI ARASINDAKİ SİMETRİK FONKSİYONLAR PROJEYİ HAZIRLAYANLAR YUSUFHAN BAŞER BERKE SERTEL OKUL ADI VE ADRESİ ÖZEL KÜLTÜR FEN LİSESİ Ataköy 9.-10. Kısım, 34156
DetaylıFERMAT VE EULER TEOREMLERİ
FERMAT VE EULER TEOREMLERİ 1. 8 103 sayısı 13 e bölündüğünde elde edilen kalanı bulunuz. Çözüm: Fermat teoreminden 8 12 1 (mod 13) 8 103 (8 12 ) 8 8 7 8 7 2 21 2 9 2 4 2 4 2 3 3 2 5 (mod 13). 2. 3 619
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI
ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI 6. SINIF 5. SINIF TÜM KONULARI 1.ÜNİTE: Geometrik Şekiller 1) Verileri Düzenleme, Çokgenler ve Süsleme 2) Dörtgenler 3)
DetaylıASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1
ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4
Detaylıise, yazılı olarak çözmeniz gereken 3 problemden oluşmakta olup, süresi 75 dakikadır. Elinizdeki
TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 11. ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI SINAVI - 2006 Birinci Bölüm Soru kitapçığı türü A SINAV TARİHİ
Detaylı16. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI
TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 16. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2008 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 27 Nisan 2008 Pazar, 13.00-15.30
DetaylıII. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1
II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -. 5 {, 5} {, 5} { 5, } {, 5} {, 5} 5. 5 {,, } {,, } {,, } {,, } {,, }.. 5 7 7 5 5,, 5 5, 5 5, 5 5, 6. 7. 5 95 { 5,, } {,, 5} { 5,, 9} {,, 5} { 9,, 5} 6 66 {, } {,, } {,,
Detaylı16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATLARI BİRİNCİ AŞAMA SORULARI A A A A A A A SINAV TARİHİ VESAATİ:16 NİSAN 2011 - Cumartesi 10.00-12.30 Bu sınav 25 sorudan oluşmaktadır vesınav
Detaylı