BULANIK SAYI DİZİLERİ VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BULANIK SAYI DİZİLERİ VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI"

Transkript

1 T.C. FIRAT ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BULANIK SAYI DİZİLERİ VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI Muammed ÇINAR TEZ YÖNETİCİSİ Pof. D. Miail ET YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ELAZIĞ-2007

2 TEŞEKKÜR Bu çalışmamı azılaması süecide baa yadımcı ola bilgi ve tecübeleide e zama yaaladığım saygı değe ocam Pof. D. Miail ET e üzeimdei emeleide dolayı ço teşeü ede, saygıla suaım. Ayıca egi bilgi ve biiimide yaaladığım yüse lisas eğitimim boyuca yaımda ola, desteğii içbi zama esigemeye değeli ocalaım Yd. Doç. D. Yavuz ALTIN a ve D. Hıfsı ALTINOK a teşeü sumayı bi boç biliim. Muammed ÇINAR I

3 İÇİNDEKİLER TEŞEKKÜR...I İÇİNDEKİLER... II ŞEKİLLER LİSTESİ... III SİMGELER LİSTESİ...IV ÖZET... V ABSTRACT...VI. GENEL KAVRAMLAR..... Temel Taımla İstatistisel Yaısalı Lacuay İstatistisel Yaısalı BULANIK KÜMELER VE BULANIK SAYI DİZİLERİ Bulaı Kümele Bulaı Sayıla Bulaı Sayı Dizilei ve İstatistisel Yaısalığı Bulaı Sayı Dizileii Heme Heme Lacuay İstatistisel Yaısalığı KAYNAKLAR... 3 II

4 ŞEKİLLER LİSTESİ Şeil.. İi ümei bibiie uzalılaı... 4 Şeil 2.. (X ) bulaı sayı dizisii X 0 bulaı sayısıa yaısaması... 7 Şeil 2.2. (X ) bulaı sayı dizisii X 0 bulaı sayısıa istatistisel yaısaması... 9 Şeil 2.3. İstatistisel yaısa olmaya, aca sıılı ola bi bulaı sayı dizisi Şeil 2.4. Yaısa olmaya, aca istatistisel yaısa bi bulaı sayı dizisi... 2 III

5 SİMGELER LİSTESİ : Doğal sayıla ümesi : Reel sayıla ümesi : -boyutlu Ölid Uzay : Komples sayıla ümesi : Lacuay dizi L( ) : Bulaı sayıla ümesi A α : A bulaı ümesii α-esimi.. : eme eme e IV

6 ÖZET Yüse Lisas Tezi BULANIK SAYI DİZİLERİ VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI Muammed ÇINAR Fıat Üivesitesi Fe Bilimlei Estitüsü Matemati Aabilim Dalı 2007, Sayfa: 32 İi bölümde oluşa bu çalışmaı il bölümüde, daa soai bölümde ullaılaca ola bazı taım ve teoemle veilmiş ve istatistisel yaısalığı bazı özellilei icelemişti. İici bölümde bulaı üme, bulaı sayı ve bulaı sayı dizisi avamlaı veildite soa bulaı sayı dizileii istatistisel yaısalığı ve eme eme lacuay istatistisel yaısalığı icelemişti. Aata Kelimele: Bulaı üme, Bulaı sayı, Bulaı sayı dizisi, İstatistisel yaısalı, Lacuay dizisi V

7 ABSTRACT Maste Tesis SEQUENCES OF FUZZY NUMBERS AND THEİR STATİSTİCAL CONVERGENCE Muammed ÇINAR Fıat Uivesity Gaduate Scool of Sciece ad Tecology Depatmet of Matematics 2007, Page: 32 I te fist capte of tis tesis tat cosists of two captes, we give some fudametal defiitios ad teoems wic will be used i te ext capte ad examie some popeties of statistical covegece. I te secod capte we give te cosepts of fuzzy set, fuzzy umbe ad te sequeces of fuzzy umbe ad ivestigate tat statistical covegece ad almost lacuay statistical covegece of te sequeces of fuzzy umbe. Key Wods: Fuzzy set, Fuzzy umbe, Sequece of fuzzy umbes, Statistical covegece, Lacuay sequece, VI

8 . GENEL KAVRAMLAR.. Temel Taımla Taım... X bi üme ve K omples sayıla cismi olma üzee; + :X X X,.:K X X fosiyolaı aşağıdai özellilei sağlıyosa, X ümesie K sale cismi üzeide bi vetö uzayı (liee uzay) adı veili. He x, y, z X ve e λ, µ K içi i) x+y=y+z ii) iii) iv) (x+y)+z=x+(y+z) He x X içi x+ = x olaca şeilde bi X vadı. He bi x X içi x+(-x)= olaca şeilde bi (-x) X vadı. v) x = x vi) vii) λ(x+y)=λx+λy (λ+µ).x=λx+µx viii) λ(µx)=(λµ)x [] Taım..2. X boş olmaya bi üme olsu. He x, y, z X içi i) d(x,x) 0 ii) iii) iv) d(x,y)=0 x=y d(x,y)=d(y,x) d(x,z) d(x,y)+d(y,z) özellileie saip d: X X fosiyoua meti ve (X,d) iilisie de meti uzay dei []. Taım..3. X, K cismi üzeide bi liee uzay olsu. +.:X x x

9 döüşümü aşağıdai şatlaı sağlıyosa bu döüşüme bi om ve ( X,. ) iilisie de bi omlu uzay dei. x,y X içi N) x 0 N2) x = 0 x = N3) ax = α x (α sale) N4) x+ y x + y (N3) şatı p>0 olma üzee bi p-omlu uzay dei [2]. αx p = α x şatı ile değiştiilise bu tatide X e Taım..4. Bi (X,d) meti uzayıda e Caucy dizisi yaısa ise bu meti uzaya tam meti uzay dei [2]. Taım..5. Bi ( X,. ) omlu uzayı tam ise, yai bu uzayda alıa e Caucy dizisi bu uzayı bi otasıa yaısıyosa bu omlu uzaya Baac uzayı dei [2]. Taım..6. Komples teimli bütü x=(x ), (=,2,3 ) dizileii ümesii w ile gösteeceğiz. x=(x ), y=(y ) ve α bi sale olma üzee; x+y=(x )+(y ) ax=(ax ) şelide taımlaa işlemle altıda w bi liee uzaydı. w ı e alt uzayıa bi dizi uzayı dei [2]. Taım..7. Bi X vetö uzayıı bi Y alt ümesi veilsi. Eğe y, y 2 Y olduğuda oluyosa Y alt ümesi ovesti dei [2]. { λ ( λ ) λ 2 } M = y Y:y= y + y,0 Y Taım..8. Bi A ümesii e açı ötüsüü solu bi alt ötüsü vasa A ya ompat üme dei, A ümesi ompat ise e A açı ötüsüü solu sayıda, öeği 2

10 tae, açı ümede oluşa bi { A A : i,...,} yazılabili [3]. i = alt sııfı vadı ve A A i= i Taım..9. X bi dizi uzayı olsu. X bi Baac uzayı ve τ τ ( x ) = x ( =,2,3... ) :X, döüşümü süeli ise X e bi BK-uzayı dei [4]. Taım..0. (Miowsi Eşitsizliği) i) p ve =,2,, içi a,b 0 ise p p p p p p a + b a + b = = = eşitsizliği sağlaı []. ii) 0< p olsu. α, β K (i=,2,,) olma üzee; i i p p p α + β α + β i i i i i= i= i= Taım... (Hölde Eşitsizliği) <p,q< ve + = p q ( )( ) α, β K K =, i =,2,..., i i olma üzee olsu. p p q α. β α. β i i i i i= i= i= q eşitsizliği sağlaı []. Taım..2. (p ) esi pozitif eel sayılaı sıılı bi dizisi ve H=sup p olsu. Bu tatide D=max(,2 H- ) ve a, b olma üzee eşitsizliği sağlaı [5]. { } p p p a + b D a + b (..) 3

11 Taım..3. (Hausdoff Metiği) (X,d) bi tam meti uzay olsu. X i boş olmaya bütü ompat alt ümeleii sııfıı η(x) ile gösteelim. A,B η(x) ümelei içi A ümesii B ümesie uzalığı d(x,b)= if d(x,y) olma üzee y B d( A,B) = supd( x,b) şelide taımlaı. A ve B ümelei içi geellile d( A,B) d( B,A) dı (Şeil.). x A Şeil.. İi ümei bibileie uzalılaı Buada d(a,a)=0 olduğu açıtı. A, B, C η(x) ümelei içi d( A,B) d( A,C ) + d(c,b) bağıtısı sağlaı. Geçete, e z C otası içi x A y B x A y B x A y B [ ] d( A,B ) = supif d( x,y ) supif d( x,z ) + d( z,y ) sup d( x,z ) + if d( z, y ), z C yazılabili. Bu bağıtı sağ taaftai e ii teimde de C ümesii e z otasıı yeleştidiğimizde geçeli olduğua göe biici teimde d(x,z) uzalığıı miimum, iici teimde ise d(z,y) uzalığıı masimum yapa z otalaıı ullaısa; d( A,B) supif d( x,z ) + supif d( z,y ) = d( A,C ) + d(c,b ) x A z C z C y B buluuz. + Şimdi η(x)üzeide bi : η(x ) η(x ) { 0} A,B η (X) içi; { } fosiyouu e ( A,B ) = max d( A,B ),d( B, A ) (..2) 4

12 şelide taımlayalım. Bu fosiyo η(x) üzeide meti şatlaıı sağla. Yai bu üme fosiyou geçete bi meti olup Hausdoff metiği adıı alı [3]..2. İstatistisel Yaısalı İstatistisel yaısalı avamı Fast [6] ve Scoebeg [7] taafıda bibileide bağımsız olaa veilmişti. O zamada bei istatistisel yaısalı, falı isimle altıda Fouie aaliz, egodic teoi ve sayıla teoiside ullaılmıştı. He ii aaştımacı taafıda sıılı istatistisel yaısa bi dizii Cesao toplaabili olduğu ifade edilmişti. Daa soa istatistisel yaısalı, Fidy [8], Salat [9], Coo [0], Musalee [], Tipaty [2], Savaş [3], Fidy ve Oa [4] gibi biço matematiçi taafıda çalışılmıştı. So zamalada, uvvetli itegal toplaabilmede ve loal ompat uzayla üzeidei sıılı süeli fosiyolaı idealleii yapısıda istatistisel yaısalığı geelleştiilmesi göülmetedi. Taım.2.. K olma üzee bi K ümesii doğal yoğuluğu şelide taımlaı. Buada { } elemalaıı sayısıı göstemetedi [5]. δ(k) = lim : K { } : K ifadesi K ümesii de büyü olmaya Eğe δ (K) = 0 ise K ümesie sıfı yoğululu üme dei. Taım.2.2. Heagi bi x=(x ) dizisii teimlei bi P özelliğii sıfı yoğululu bi üme dışıda bütü la içi sağlıyosa, (x ) dizisi eme eme e içi P özelliğii sağlıyo dei... biçimide gösteili [8]. Doğal yoğulu avamıda faydalaaa istatistisel yaısalı taımı aşağıdai gibi veili. Taım.2.3. x=(x ) omples teimli bi dizi olma üzee, e ε>0 içi lim { : x L ε} = 0 veya.. içi x L < ε olaca şeilde bi L sayısı vasa x=(x ) dizisi L sayısıa istatistisel yaısatı dei ve S-limx =L veya x s L biçimide gösteili. 5

13 İstatistisel yaısa dizilei uzayı S ile gösteili. Eğe özel olaa L=0 ise x=(x ) dizisie istatistisel sıfı dizisi dei. İstatistisel yaısa sıfı dizileii ümesi S 0 ile gösteili. Bua göe; ve şelide taımlıdı. S = x= ( x ):lim { : x L ε} = 0 S = x = ( x ): lim { : x ε} = 0 0 Açıça göüleceği gibi yaısa e dizi istatistisel yaısatı. Yai limx =L ise S-limx =L di, faat buu tesi doğu değildi. Geçete, x 2, = m, m =,2,... = 0, m 2 şelide taımlamış x=(x ) dizisii göz öüe alalım. He ε>0 içi; olduğuda { ε } { } : x :x 0 lim { : x 0} lim = 0 elde edili. Bu S-limx =0 olduğu alamıa geli. Aca (x ) yaısa değildi. Diğe taafta istatistisel yaısa bi dizi sıılı olma zouda değildi. Yai ve S uzaylaı bibileii apsamazla, aca ota elemalaı vadı. Geçete x 2, = m, m =,2,... = 2, m şelide taımlaa x=(x ) dizisi içi S-limx = di, aca x di. x=(,0,,0, ) dizisi sıılıdı, aca istatistisel yaısa değildi. 6

14 Bi dizi istatistisel yaısa ise istatistisel limiti teti, yai S-limx =L, S-limx =L 2 ise L =L 2 di. Taım.2.4. Bi x=(x ) omples teimli dizisii göz öüe alalım. ε > 0 veilsi. Eğe.. içi x x < ε olaca şeilde bi N=N(ε) doğal sayısı vasa yai, N lim { : x x ε} = 0 N ise x=(x ) dizisie istatistisel Caucy dizisi dei [8]. Teoem.2.5. S-limx =a, S-limy =b ve c bi eel sayı olsu. Bu tatide i) S-limcx =ca ii) S-lim(x +y )=a+b di [6]. Bu teoeme göe istatistisel yaısa dizilei ümesi bi liee uzay olu. Teoem.2.6. Aşağıdai öemele deti. i) x dizisi istatistisel yaısatı, ii) x dizisi istatistisel Caucy dizisidi, iii).. içi x =y olaca şeilde yaısa bi y=(y ) dizisi vadı [8]..3. Lacuay İstatistisel Yaısalı Taım.3.. = ( ), pozitif tamsayılaı ata bi dizisi olsu. 0 =0 olma üzee içi = - - ise = ( ) dizisie lacuay dizi dei. = ( ) dizisi taafıda belilee aalıla I = (, ] ile gösteileceti. Lacuay dizileide x = i i= + i I x i olaa alıaca ve q = olacatı. Taım.3.2. Heagi bi = ( ) lacuay dizisi içi 7

15 lim x L = 0 I olaca şeilde bi L sayısı vasa (x ) dizisi L sayısıa uvvetli lacuay yaısatı dei ve uvvetli lacuay yaısa dizilei ümesi dı. N ile gösteili yai N = = 0 x=(x ):lim x -L I N uzayı x = sup x I omu ile bi BK-uzayıdı [6]. Lacuay istatistisel yaısalı, Fidy ve Oa [4] taafıda aşağıdai gibi taımlamıştı. Taım.3.3. = ( ) bi lacuay dizi olsu. Eğe e ε>0 içi; lim { I : x L ε} = 0 ise x=(x ) dizisi L sayısıa lacuay istatistisel yaısatı dei. Eğe x=(x ) dizisi bi L sayısıa lacuay istatistisel yaısa ise bu S - limx =L veya x L(S ) biçimide gösteili. Lacuay istatistisel yaısa dizilei uzayı S ile gösteili, yai; dı. Teoem.3.4. = ( ) S = x = ( x ): lim { I : x L ε} = 0 bi lacuay dizi olsu. Bu duumda i) x L( N ) ise x L( S ) ii) x ve x L( S ) ise x L( N ) di [4]. iii) S = N 8

16 2. BULANIK KÜMELER VE BULANIK SAYI DİZİLERİ Bu bölümü il ısmıda bulaı ümei taımıı ve bu ümei bi soai ısımda taımı yapılaca ola bulaı sayı taımıda ullaılaca bazı özellileii veeceğiz. İici ısımda bulaı sayıla aasıdai bazı cebisel işlemlede ve bu sayılaı oluştuduğu L( ) bulaı sayıla ümesii üzeide taımlaa metiği yapısıda basedeceğiz. Üçücü ısımda ise bulaı sayı dizileii ve bu dizilei istatistisel yaısalığı avamı aıda ısa bi bilgi suacağız. Bu ısımda ayıca, eel sayı dizileide taımlaa istatistisel yaısalı ve sıılılı avamlaıı bulaı sayı dizilei baımıda aşılılaıı ifade etme içi açılayıcı öele eleyeceğiz. Dödücü ısımda ise bulaı sayılaıı eme eme lacuay istatistisel yaısalığı avamıda basedeceğiz. 2.. Bulaı Kümele Bulaı ümeyi taımlamada öce bi ümei aateisti fosiyouu taımlama geei. Bi A ümesii aateisti fosiyo aşağıdai gibi taımlaı. Taım 2... X eagi bi üme ve A, X i bi alt ümesi olsu. Bu duumda şelide taımlaa f : X A, x A ise f(x) = A 0, x A ise fosiyoua A ümesii aateisti fosiyou dei. Bua göe X i bi A alt ümesii aateisti fosiyo yadımıyla şelide de taımlayabiliiz. { } A= x X : f (x) = Kaateisti fosiyou ullaaa X i eagi bi elemaıı A ümesii elemaı olup olmadığıı esi olaa alayabiliiz. Taım χ, elemalaı x ile gösteilmiş bi esele ümesi olsu. χ ümeside bi A bulaı ümesi χ dei e bi otayı [0, ] aalığıdai bi eel sayıya aşılı getie bi X A (x) aateisti fosiyou ile aateize edili [7]. A 9

17 χ dei bi A bulaı ümeside basedilie X : [ 0,] aateisti fosiyo daima mevcuttu. Bu fosiyo A χ şelide bi x A içi X ( x ) ( 0, ],x A içi X (x) = 0 biçimide taımlaabili. Bu şeilde taımlamış aateisti A fosiyoa buda soa üyeli fosiyou diyeceğiz. Üyeli fosiyou taımıda yaalaaa bi A bulaı ümesii { χ ( 0 A ]} A= x : X (x), şelide taımlayabiliiz. Buada X A (x) i değei A bulaı ümesidei x otasıı üyeli deecesii göstemetedi. Bua göe X A (x) i e yaı değei, A bulaı ümesidei x i e yüse üyeli deecesidi. Eğe A ümesi lasi alamda bi üme ise üyeli fosiyou sadece 0 ve değeleii alı. Buada X A (x)= veya X A (x)=0 olması x i A ya ait olması veya olmaması demeti. Bua göe X A (x), A ümesii bilie aateisti fosiyoua idigemiş olu. Taım Bi A bulaı ümesii omal olması içi gee ve yete şat X(x 0 )= olaca şeilde e az bi x0 χ olmasıdı. Kovesli avamı, lasi ümeledei pe ço özelli ouaca şeilde bulaı ümelee geişletilebili. Bu avam, bulaı sayı taımıı yapabilme içi geeli ola öemli özellilede biisidi. Kovesliği taımıı vemede öce A α ile gösteile A ı α-esimii şelide taımlayalım [7]. { χ α} α A x : X (x) A = Bu taımı bezei ola ve bulaı ümelede sı ullaıla Deste avamıı şu şeilde taımlayabiliiz. Taım A bi bulaı üme olsu. A ı desteği, üyeli deecesi sıfı olmaya tüm otalaı ümesidi yai dı [7]. { χ } sup p( A ) = x : X ( x ) > 0 A A 0

18 Taım χ, boyutlu boyutlu Ölid uzayı olsu. Bi A bulaı ümesii oves olması içi gee ve yete şat e α ( 0, ] içi A α olmasıdı [7]. Kovesliği diğe bi taımı ise şöyle veilebili. ümesii oves Taım Bi A bulaı ümesii oves olması içi gee ve yete şat e λ [ 0, ] ve e x,x χ içi 2 ( λ + ( λ) ) { ( ) ( )} X x x mi X x,x x A 2 A A 2 eşitsizliğii sağlamasıdı. Bu taımda X A (x) i x e bağlı bi oves fosiyo olduğu alaşılmalıdı [7] Bulaı Sayıla Bulaı sayı avamıı taımlamada öce eel aalı avamıı taımlayalım. Taım a ve b ii eel sayı olma üzee { x :a x b} şelide taımlaa eel sayı ümesie apalı bi aalı dei. A bi aalı olma üzee bu aalığı uç otalaıı A ve A ile gösteeceğiz. Yai A= A,A şelide bi gösteim ullaacağız. Ayıca bi [α, α] aalığıı a eel sayısıa aşılı getieceğiz. A ve B yuaıdai şeilde taımlamış ii aalı olma üzee eel sayıla içi taımlamış ola ve < sıalama bağıtılaıı aalıla içi aşağıdai gibi geişletebiliiz: A B A B ve A B A< B A< B ve A< B A= A,A ve B = B,B olma üzee; A,A + B,B = + + A B,A B şelide taımlaı. Bua göe ii aalığı toplamı yie bi aalıtı.

19 A ve B aalılaı aasıdai çıama işlemi de şelide taımlaı. A,A B,B = A B,A B Reel sayıla doğusu üzeidei bütü apalı ve sıılı A,A aalılaıı ümesii D ile gösteelim. Heagi A, B D içi d( A,B) = max( A B, A B ) şelide taımlamış bi d fosiyouu D üzeide bi meti taımladığı ve (D, d) i de bi tam uzay olduğu olayca gösteilebili [8]. Ayıca bağıtısı D üzeide ısmi sıalama bağıtısıdı. Taım Bi eel bulaı sayısı aşağıdai şatlaı sağlaya bi X : [ 0,] fosiyoudu. i) X omaldi, yai X(x 0 )=olaca şeilde bi x 0 mevcuttu, ii) X bulaı ovesti, yai eagi x,y ve 0 λ içi eşitsizliği sağlaı, ( λ + ( λ) ) { } X x y mi X(x),X( y) iii) X üst-yaı-süelidi, 0 iv) X = ( x : X(x) > 0) ümesii apaışı ompattı [9]. Tüm eel bulaı sayıla ümesii L( ) ile gösteeceğiz. L( ) ümeside α-esim ümelei içi bazı aitmeti işlemle şu şeilde taımlaı. ve ( ) X,Y L bulaı sayılaıı toplamı ve faı sıasıyla ( X + Y)( x) = supmi{ X ( y ),Y( z )} x= y+ z 2

20 { } ( X Y)( x) = supmi X ( y ),Y( z ) x= y z şelide taımlaı. X ve Y gibi ii bulaı sayısıı α-esim ümeleie göe toplamı ve faı ise şu şeilde taımlaı. X,Y ( ) α α α [ X ] X,X ve [ ] = α α α = L ve bulaı α-esim ümelei α [0,] içi Y Y,Y olsu. Bu tatide; [ ] α α α α α X + Y = X + Y,X + Y, [ ] α α α α α X Y = X Y,X Y, di. + Bi X bulaı sayısıı bi eel sayısıyla çapımı da [ ] α α α α α.a =,. X,X =.X,.X şelidedi. He bi eel sayı edisii aateisti fosiyouyla ifade edilebili. Ayıca bulaı sayıı taımıa göe e bi aateisti fosiyo bi bulaı sayı olu. Yai içi L( ) bulaı sayısı, x = ise ( x ) = 0, x ise şelide taımlaı. Böylece e eel sayı içi [,] = şelide bi gösteim vadı. Bu düşücede aeetle eel sayıla ümesi, L( ) bulaı sayıla ümesie gömülebili [20]. Bulaı sayıla ümesi üzeidei sıalama bağıtısı, eel aalıla aasıdai sıalama bağıtısıa bezeli göstei. X,Y L( ) içi ısmi sıalama bağıtısı şelide taımlaı [2]. [ ] α α X Y α 0, içi X Y ve X Y α α 3

21 Taım A L( ) ümesi veilsi. He X A bulaı sayısı içi X U olaca şeilde bi U bulaı sayısı vasa A ümesie üstte sıılıdı ve U bulaı sayısıa da A ümesii bi üst sııı dei. Eğe A ümesii e µ üst sııı içi U µ ise U bulaı sayısıa A ümesii e üçü üst sııı (supemumu) dei. Bi üme içi altta sıılılı ve ifimum avamlaı da beze şeilde taımlaı [22]. olma üzee L( ) üzeide Hausdoff metiği olaa bilie meti, ( L,d) şelide taımlaı. ( ) mutla değe metiğie idigei. α α α α α α ( ) = ( ) d X,Y max X Y, X Y ( ) L( ) α α ( ) = ( ) d:l d X,Y supd X,Y 0 α bi tam meti uzaydı [23]. Bu meti, üzeidei C( ), ölid uzayıı boş olmaya, ompat ve oves alt ümeleii ailesii göstesi. Bu tatide C( ) üzeide toplama ve salee çapma e A, B C( ) içi; ve e A C( ) ve λ içi A + B= { z:z = x+ y, x A ve y B } { λ } λa= z:z = x,x A şelide taımlaı. Buadai toplama ve çapma işlemlei C( ) üzeide bi liee yapı üeti. A ve B ümelei aasıdai uzalı δ ( A,B) = max{ supif a b,supif a b } b B a A a A b B 4

22 Hausdoff metiğiyle taımlaı. Buada. sembolü ile dei alışılmış Ölid omu (,δ ) gösteilmetedi. C ( ) uzayıı bi tam meti uzay olduğu bilimetedi [23]. Bi bulaı sayıı taımı aşağıdai biçimde geelleştiilebili. Taım boyutlu Ölid uzayı üzeidei bi bulaı sayı aşağıdai şatlaı sağlaya bi X : [ 0,] fosiyoudu: i) X omaldi, yai X(x 0 )= olaca şeilde e az bi x 0 mevcuttu, ii) X bulaı ovesti, yai eagi x,y ve 0 λ içi ( λ + ( λ) ) { ( ) ( )} X x y mi X x,x y eşitsizliği sağlaı, iii) X üst-yaı-süelidi iv) X 0 = { x : X ( x) > 0} ümesii apaışı ompattı. üzeidei bütü bulaı sayılaı ümesi ( ) 0 α L ile gösteili. içi X α esim ümesii göz öüe alalım. Taımıda, X α C( ) olduğu açıtı. L( ) dei toplama ve sale ile çapma X,Y L( ) olma üzee; şelide taımlaı. ve Şimdi, e bi q< içi α α α [ X + Y] = X + Y ve [ X ] α = X q q α α dq ( X,Y) = δ ( X,Y ) da 0 0 α α α ( ) d = supδ X,Y metileii taımlayalım. q s içi d q d s olma üzee α ve 5

23 ( C,d ) q olduğu açıtı. ( ) edili. ( ) = ( ) d X,Y limd X,Y q meti uzayı tamdı [24]. Buda soai ısımlada d q yeie d otasyou ullaılacatı. Açıça = içi L( ) ümeside, L( ) ve üzeide taımlı meti elde 2.3. Bulaı Sayı Dizilei ve İstatistisel Yaısalığı Taım Bulaı sayılaıı bi X = ( X ) dizisi, doğal sayıla ümeside L( ) içie taımlı bi X fosiyoudu. Bu duumda e bi pozitif tamsayısıa bi X() bulaı sayısı aşılı geli. Buda soai bölümlede X() yeie X yazacağız [25]. Taım X L 0 ( ) omşuluğu d( X,X0 ) ε q ve ε > 0 veilsi. Bua göe X 0 bulaı sayısıı ε- < olaca şeilde bütü X bulaı sayılaıı ümesidi. Bi X 0 bulaı sayısıı ε-omşuluğu K( X,ε 0 ) ile gösteili [25]. Taım X = ( X ) bi bulaı sayı dizisi olsu. He ε > 0 sayısı içi > N ie d( X,X 0) < ε olaca şeilde bi N sayısı mevcut ise (X ) dizisi yaısatı ve limiti X 0 dı dei. Bu duumda lim X = X yazılı. Eğe limx 0 mevcut değilse (X ) dizisi ıasatı dei [25]. Öe x +, x,4 ise X ( x ) = x, x 4, ise , diğe duumlada şelidei X=(X ) bulaı sayı dizisii göz öüe alalım. Bu dizii limiti [ ] [ ] x 3, x 3,4 ise X 0 ( x) = x + 5, x 4,5 ise 0, diğe duumlada 6

24 di (Şeil 2.). Tüm yaısa bulaı sayı dizileii ümesii c(f) ile gösteeceğiz. Şeil 2.. (X ) bulaı sayı dizisii X 0 bulaı sayısıa yaısaması Teoem Yaısa bi X= (X ) bulaı sayı dizisii limiti teti [25]. Teoem X= (X ) ve Y= (Y ) bulaı sayı dizileii limitlei sıasıyla X 0 ve Y 0 olsu. Bu duumda aşağıdai özellile sağlaı [25]. i) ( ) lim X + Y = X + Y ii) ( ) 0 0 lim X Y = X Y iii) ( ) 0 0 lim X.Y = X.Y 0 0 X X 0 iv) lim = Y Y 0 (Eğe bütü la içi 0 sup py ve 0 sup py ) 0 Taım He ε > 0 içi,m > N olduğuda d( X,X ) m < ε olaca şeilde pozitif bi N tamsayısı mevcutsa X= (X ) bulaı sayı dizisie bi Caucy dizisi dei [25]. Reel sayı dizileide olduğu gibi yaısa e bulaı sayı dizisi ayı zamada bulaı Caucy dizidi. Taım He sayısı içi L X U olaca şeilde L ve U bulaı saılaı mevcut ise X= (X ) bulaı sayı dizie sıılıdı dei [25]. Bütü sıılı bulaı sayı dizileii ümesii ( F ) ile gösteeceğiz. Teoem Yaısa e bulaı sayı dizisi sıılıdı [25]. 7

25 Taım Bi X= (X ) bulaı sayı dizisii ve doğal sayılaı ata bi { } dizisii göz öüe alalım. Bu duumda ( ) X dizisie ( ) X dizisii bi alt dizisi dei [25]. Teoem Yaısa bi X= (X ) bulaı sayı dizisii e alt dizisi de yaısatı ve alt dizii limiti X= (X ) dizii limiti ile ayıdı [25]. Reel sayı dizileii istatistisel ve uvvetli Cesáo yaısalığı avamlaı bibileide bağımsız olaa taımlamış ve il otaya çıtığı zamalada güümüze ada bibileide bağımsız bi şeilde ayı ayı olaa geliştiilmeleie devam edilmişti. Buula bilite bu ii taım geel yapı itibaiyle bibileie bezemete olup sıılı dizile içi detile. Reel sayı dizileide istatistisel yaısalı avamı pe ço matematiçi taafıda çalışılmıştı. Bulaı sayı dizileii istatistisel yaısalığı avamı Nuay ve Savaş [26] taafıda taımlamıştı. Daa soa Kwo [27] bulaı sayı dizileii istatistisel yaısalığı ile bulaı sayı dizileii uvvetli Cesáo yaısalığı aasıdai ilişiyi icelemişti. Taım X=(X ) bi bulaı sayısı olsu. He ε > 0 içi, lim { : d ( X,X 0) ε} = 0 olaca şeilde bi X 0 bulaı sayısı mevcut ise, yai.. içi d( X,X 0) eşitsizliğii sağlaya bi X 0 bulaı sayısı vasa X= (X ) bulaı sayı dizisi X 0 bulaı sayısıa istatistisel yaısatı dei. (X ) dizisi X 0 bulaı sayısıa istatistisel yaısa ise X X ( S 0 ( F) ) yazılı [26]. S( F) ile istatistisel yaısa bulaı sayı dizileii ümesii gösteeceğiz. Özel olaa X = 0 alıısa S 0 ( F ) yeie S0 ( ) F yazacağız. Bilidiği gibi solu bi ümei doğal yoğuluğu sıfıdı. Buda dolayı ( ) S( F) c F göebiliiz. apsaması açıtı. Bu apsamaı esi olduğuu da aşağıdai öete < ε 8

26 Öe 2.3.3: X= (X ) bulaı sayı dizisii X ( x) [ ] [ ] x, x, + x + + 2, x +,+ 2 = 0, diğe duumlada X 0 ( x) = 3 ise =,2. 3 ise olaca biçimde taımlayalım. Buada olup, e ε 0 içi [ ] [ ] x, x,2 ise X 0 ( x) = x + 3, x 2,3 ise 0, diğe duumlada { : d ( X,X ) ε} 0 { 8,27,64... } ({ ε 0 }) olduğuda δ ( ) istatistisel yaısatı. Aca { :d( X,X 0) ε} :d X,X = 0dı. Bu edele X= (X ) dizisi X 0 a dizisi X 0 a yaısa değildi (Şeil 2.2). ümesi solu olduğu içi (X ) Şeil 2.2. (X ) bulaı sayı dizisii X 0 bulaı sayısıa istatistisel yaısaması S(F) ve ( F ) uzaylaı bibileii apsamazla. Yuaıdai öete veile X=(X ) bulaı sayı dizisii göz öüe alalım. Bu dizi istatistisel yaısatı faat sıılı değildi. Şimdi de sıılı olup istatistisel yaısa olmaya bi dizi öeğii veelim. 9

27 Öe 2.3.4: [ ] [ ] x, x,2 x + 3, x 2,3 te ise 0, diğe duumlada X(x) = x 8, x [ 8,9] x + 0, x [ 9,0] çift ise 0, diğe duumlada şelide taımlaa (X ) bulaı sayı dizisi sıılıdı, aca istatistisel yaısa değildi (Şeil 2.3). Şeil 2.3. İstatistisel yaısa olmaya, aca sıılı ola bi bulaı sayı dizisi Yaısa e bulaı sayı dizisi ayı zamada em istatistisel yaısa em de sıılı olduğuda S( F) ( F) di. Hatta c( F) S( F) ( F) esidi. Buula ilgili bi öe aşağıda veilmişti: apsaması 20

28 Öe 2.3.5: X= (X ) bulaı sayı dizisii x +, x,4 ise x +, x 4, ise X(x) = , diğe duumlada X (x), 0 = 3 ise =, 2 3 şelide taımlayalım. Buada [ ] [ ] x 8, x 8,9 ise X 0 ( x) = x + 0, x 9,0 ise 0, diğe duumlada olup X= (X ) dizisi em sıılıdı, em de X 0 bulaı sayısıa istatistisel yaısatı. Aca bu dizi yaısa değildi (Şeil 2.4.) Şeil 2.4. Yaısa olmaya, aca istatistisel yaısa bi bulaı sayı dizisi Taım X= (X ) bi bulaı sayı dizisi olsu. Eğe lim d ( X,X 0) = 0 = olaca şeilde bi X 0 bulaı sayısı vasa X= (X ) bulaı dizisi X 0 bulaı sayısıa uvvetli Cesáo yaısatı dei. Kuvvetli Cesáo yaısa bulaı dizileii ümesii w(f) ile gösteeceğiz. Bi başa ifadeyle 2

29 w( F ) = X = ( X ): lim d ( X,X ) = 0, 0 = e az bi X 0 içi di. X=(X ) bulaı dizi X 0 bulaı sayısıa uvvetli Cesáo yaısa ise 0 ( ( )) X X w F yazacağız [27]. Nuay [28], = ( ) lacuay dizisii ullaaa istatistisel yaısalı avamıı aşağıdai şeilde bulaı sayı dizileie geişletti. Taım Eğe e ε > 0 içi lim { I : d ( X,X 0) ε} = 0 olaca şeilde bi X 0 bulaı sayısı vasa, X=(X ) bulaı dizisi X 0 bulaı sayısıa lacuay istatistisel yaısatı dei. Bu duumda S lim X = X yazılı. Lacuay 0 istatistisel yaısa dizilei ümesi S ( ) 0 dizilei ümesi ise S ( F) ile gösteili. F ile sıfıa Lacuay istatistisel yaısa 2.4. Bulaı Sayı Dizileii Heme Heme Lacuay İstatistisel Yaısalığı Bu ısımda bulaı sayı dizileii eme eme lacuay istatistisel yaısalığı ve uvvetli eme eme yaısalığı avamlaıı taımlayaca ve bula aasıdai ilişiyi iceleyeceğiz. Bulaı sayı dizileii beze özellilei Altıo [29] ve Altı [30] taafıda veildi. Taım = ( ) bi lacuay dizisi ve X=(X ) bulaı sayılaıı bi dizisi olsu. He ε > 0 içi lim { I : d ( X,X 0) ε} = 0 olaca şeilde bi X 0 bulaı sayısı vasa X= (X ) bulaı sayı dizisi X 0 bulaı sayısıa lacuay eme eme istatistisel yaısa dei. Bu duumda X ˆ X0( S ) veya S ˆ lim x = X yazılı. 0 Bulaı sayılaıı bütü lacuay eme eme istatistisel yaısa dizileii ümesi Ŝ ile gösteili. Özel olaa = (2 ) alıısa Ŝ yeie Ŝ yazılı. 22

30 Taım = ( ) bi lacuay dizisi ve p=(p ) pozitif eel sayılaı eagi bi dizisi olsu. Eğe p ( ) lim d X,X = I olaca şeilde bi X 0 bulaı sayısı vasa X= (X ) bulaı sayı dizisi X 0 bulaı sayısıa eme eme uvvetli lacuay yaısatı dei. Bu duumda X [, ] X0 M p yazılı. [ M, p] bulaı sayılaıı eme eme uvveti lacuay yaısa dizileii ümesii gösteme içi ullaılı. Özel olaa =(2 ) ve p = bütü içi [ M, p] yeie sıasıyla [ AC, p ] ve [ AC] yazılı. Teoem (X ) ve (Y ) ii bulaı sayı dizisi olsu. Bu tatide İspat: i) Ŝ limx = X ve c ise Ŝ limcx = cx dı. 0 0 ii) Ŝ limx = X ve Ŝ limy Y 0 0 dı [3]. Ŝ lim X + Y = X + Y = ise ( ) 0 0 i) α [0,] ve c olsu. X +i, Y +i, X 0 ve Y 0 ı α seviye ümelei sıasıyla α α α X,Y,X ve Y α olsu. + i + i 0 0 olduğuda elde edili. Buada ( cx α,cx α i 0 ) c ( X α,x α i 0 ) δ = δ + + ( ) = ( ) d cx,cx c d X,X + i 0 + i 0 ε { I : d ( cx,cx i 0) ε} I : d ( cx,cx + + i 0) c yazabiliiz. Böylece Ŝ limcx = cx dı. 0 ii) Kabul edelim i S limx = X 0 taımıda ve S limy = Y 0 olsu. δ metiğii 23

31 yazılabili. buluu. α α α α α α α α α α α α ( X Y,X Y i i 0 0 ) ( X Y,X Y i i i 0 ) ( X Y,X Y i i 0 0 ) α α α α =δ ( X,X i 0 ) +δ ( Y + Y ) δ + + δ + + +δ Miowsi eşitsizliğide Bu edele dı. Böylece ( ) ( + ) ( ) + ( ) d X,Y,X Y d X,X d Y,Y + i + i i 0 + i 0 { I :d ( X + i Y i,x + 0 Y 0) ε + + } { I :d ( X i,x 0) + d ( Y i,y 0) ε + + } ε ε I :d( X,X ) + I :d( Y,Y ) i 0 + i 0 S lim X + Y = X + Y du. 0 0 Aşağıdai souç, Teoem ü bi soucudu. Souç X ve Y ii bulaı sayı dizisi olsu. i) Eğe Ŝ limx = X ve c ise bu tatide Ŝ limcx = cx dı. 0 0 ii) Eğe Ŝ limx = X ve S limy = Y 0 0 ise ( ) Ŝ lim X + Y = X + Y dı 0 0 [3]. Teoem = ( ) bi lacuay dizi ve X= (X ) bi bulaı sayı dizisi olsu. Bu tatide i) limif q > içi [ AC,p] [ M,p] ii) limif q < içi [ M ] [ AC,p] iii) Eğe limif q limsup q < < ise [ M,P] [ AC,P] = di. İspat: i) X [ AC,p] ve limifq > olsu. 24

32 X Bu duumda e içi q +δ olaca şeilde δ > 0 mevcuttu. Bu tatide [ AC,p] yazılabili. içi p p p d ( X,X ) d( X,X i 0 i 0) d( X,X + = + i 0) + I = = p p d ( X,X i 0) d ( X,X + + i 0) = = = + δ = olduğuda, ve elde edili. δ δ = p ( + i 0) ve d( X,X ) + i 0 d X,X içi sıfıa düzgü yaısa (i ye göe düzgü). Böylece X [ M,p] ii) Kabul edelim i şeilde B > 0 vadı. X [ M,p] Bu tatide; A = d X,X <ε = p teimleii e iisi de di. limsupq < olsu. Bua göe e içi q < B olaca ve ε > 0 veilsi. p ( + ) e j R içi olaca şeilde R > 0 sayısı vadı. j i 0 j Ij He j=,2, içi A j < K olaca şeilde K > 0 buluabili. sayısı > R olma üzee < şatıı sağlayaca şeilde alısı. Bu tatide p p p d( X,X ) d( X,X ) d( X,X + i 0 + i 0 = ) + i 0 = = I p p d( X,X i 0)... d( X,X + i 0) + I2 I p d ( X + i,x 0) I = 25

33 2 2 d X i,x 0 + I2 ( ) ( ) ( ) ( ) R R... d X,X R R i 0 + IR + + ( ) ( ) p... d X,X i 0 + I = A + A A 2 R R 2 R R+ R + A A R+ R R R supa supa K B j + j < +ε j j R p p elde edili. = ie - olduğuda i ye düzgü olaa ( ) p d X,X 0 + i 0 buluu. Teoem = ( ) lacuay dizisi ve X = (X ) bi bulaı sayı dizisi olsu. Bu tatide 0 < =fp p sup p = H olma üzee X X M,p x x S i) 0[ ] 0( ) ii) X ( F) ve X X ( S ) X [ M,P] 0 iii) X ( F) ise S = [ M,p] [3] dı. İspat: i) ε > 0 ve X X [ M,p] olsu. Bua göe i ye göe düzgü olaa 0 26

34 d( X,X ) = d( X,X ) + d( X,X ) p p p + i 0 + i 0 + i 0 I I I dx ( + i,x0) ε dx ( + i,x0) <ε p d ( X, X i 0) + I dx ( + i,x0) ε yazılabili. Böylece X X 0( Sˆ ) ( ) I dx ( + i,x0) ε ε p mi ε, ε H ( ) I dx ( + i,x0) ε I : d X,X mi, { ( + i 0) } ε ε ε dı. ii) Kabul edelim i X ( F) ve X X 0( S ) H dı. X ( F) d X,X T olaca şeilde sabit bi T > 0 vadı. Veile ε > 0 içi + i 0 p d( X,X ) = d( X,X ) I olu. Böylece X [ M,p] 0 + i 0 + i 0 I dx ( + i,x0) ε di. iii) i ve ii de elde edili. I dx ( + i,x0) ε ( ) p + d( X,X + i 0) p max T,T + ε olduğuda H İ I I dx ( + i,x0) ε dx ( + i,x 0 ) ε max T,T I : d X,X ε H ( ) { ( + i 0) } H ( ) + max ε, ε Teoem = ( ) bi lacuay dizi ve X = (X ) bi bulaı sayı dizisi olsu. bu tatide limsup q < ise S ˆ S ˆ, i) 27

35 ii) limif q > ise S ˆ ˆ S iii) < limif q limsup q < ise S ˆ = S ˆ [3] dı. İspat: i) Eğe limsup q < ise e içi q < T olaca şeilde bi T > 0 vadı. Kabul edelim i X X 0( Sˆ ) ve e bi i içi { ( + ) } N = I :d X,X ε olsu. Bu tatide i i 0 N 0 <ε () olaca şeilde bi 0 vadı. { } = olsu ve i 0 M max N tadide e bi i içi; < olaca şeilde seçelim. Bu { :d( X,X i 0) ε} { :d ( X,X + + i 0) ε} { N N... N N... N i 2i 0i ( ) } 0 + i i = M N( 0 ) i N M N i + sup 0 { } 0 + > 0 M 0 + ε 0 M +ε 0 q M +ε 0 K elde edili. Bu da ispatı tamamla. 28

36 ii) Kabul edelim i limif q > olsu. Bu duumda yeteice büyü le içi δ q +δ olaca şeilde bi δ>0 vadı. = - - olduğuda elde edili. +δ 0 ( ˆ ) X X S olsu. Bu tatide e i ve ε > 0 içi dı. Böylece S ˆ ˆ buluu. S iii) (i) ve (ii) de elde edili. Teoem p q dı. { :d ( X i,x 0) ε + } { I :d ( X i,x 0) ε + } δ I :d X,X ε +δ { ( + i 0) } < ve ( q /p ) sıılı olsu. Bu tatide [ M,q] [ M,p] İspat: X= ( X ) [ M,q] olsu. He içi w d i ( X,X + + i 0) diyelim. Bu tatide e içi olaca şeilde seçilsi ( u,i) ve (,i) [3] q p = ve λ = q 0< λ olu. λ sayısı e içi 0<λ λ v dizileii aşağıdai gibi taımlayalım: w içi u = w ve v = 0 i,,i,i i, w < içi u = 0 ve v = w,i i, i, i, He içi w = u + w,i,i,i w = u + v λ λ λ,i,i,i olu. Buada da λ λ u u w ve v v buluu. Bu edele λ,i,i,i,i,i 29

37 λ ( ) ( ) λ λ =,i,i I I v U λ λ λ ( (,v,i) ) ( ) λ ( ) λ λ I I v =,i I v v +,i,i v,i I I I λ böylece ( ) Bua göe X [ M,p] elde edili. Teoem [ ] ( ) olma üzee [ AC, p] = ( m, p) [3]. λ p AC, p = X (X ) : sup d X,0, = < + i,i,0 p { ( ) } (m,p) = X = (X ):sup d X,0 < i+ p İspat: t = d( X,0) = d( X,0) alalım. Bu duumda ve elde edili. i + i = = i+ ( ) p sup d X,0 i+ sup t sup sup i d X,0,i =+ i λ p p ( ) (2) = = ( ) i,i i+,i i p+ i sup t sup t = sup d X,0 (3) (2) ve (3) de [ AC, p] = ( m, p) elde edili. 30

Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Doç.D. Suat ŞAHİNLE Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Olasılık: Eşit saşla meydaa gele tae olayda A taesi A olayı olsu. Bu duumda A olayıı meydaa gelme olasılığı;

Detaylı

ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK

ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK ÖABT ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK DENEME SINAVI ÇÖZÜMLERİ ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ DENEME SINAVI / çözümlei. DENEME. Veile öemelede yalız III kesi olaak doğudu. Bu edele doğu cevap seçeeği B di..

Detaylı

RADYAL EPİTÜREVLERİN BAZI ÖZELLİKLERİ ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA

RADYAL EPİTÜREVLERİN BAZI ÖZELLİKLERİ ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA ISSN:306-3 e-joual of New Wold Scieces Academ 009 Volume: 4 Numbe: 4 Aticle Numbe: 3A006 PHSIAL SIENES eceived: abua 009 Accepted: Septembe 009 Seies : 3A ISSN : 308-7304 009 www.ewwsa.com Goca İceoğlu

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK

İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK Kostadi Teçevski Aeta Gatsovska Naditsa İvaovska Yovaka Teçeva Smileski İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK DÖRT YILLIK MESLEKİ OKULLARA AİT SINIF IV İKTİSAT - HUKUK MESLEĞİ EKONOMİ TEKNİSYENİ Deetleyele: D. Bilyaa

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

MEKANİK TİTREŞİMLER. (Dynamics of Machinery, Farazdak Haideri, 2007)

MEKANİK TİTREŞİMLER. (Dynamics of Machinery, Farazdak Haideri, 2007) MEKANİK TİTREŞİMLER TİTREŞİM ÖLÇÜMÜ: Titeşim ölçümü oldukça kapsamlı bi koudu ve mekaik, elektik ve elektoik bilgisi içeiklidi. Titeşim ölçümleide titeşim geliği (ye değiştime-displacemet, hız-velocity

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

Kutu Poblemlei (Tekalı Kombiasyo) c) faklı dağıtılabili! Özdeş üç kutuya pay, pay, pay dağıtımı yapılısa; pay ala kutuu diğeleiyle ola özdeşliği bozul

Kutu Poblemlei (Tekalı Kombiasyo) c) faklı dağıtılabili! Özdeş üç kutuya pay, pay, pay dağıtımı yapılısa; pay ala kutuu diğeleiyle ola özdeşliği bozul Kutu Poblemlei (Tekalı Kombiasyo) KUTU PROBLEMLERİ Bu kouyu öekle üzeide iceleyeek geellemele elde edelim Öek a) faklı ese, kutuya pay, kutuya pay ve kutuya pay olacak şekilde kaç faklı dağıtılabili? b)

Detaylı

2. İLETİM İLE ISI TRANSFERİNE GİRİŞ

2. İLETİM İLE ISI TRANSFERİNE GİRİŞ üm aı alaı of. D. Büle Yeşilaa a aii. İisi çoğalılama.. İEİM İE ISI RANSFERİNE GİRİŞ. Isı ileimi deei e delemi Şeil. de göseile a üei allmış silidii bi çubua, falı A, Δ e Δ değelei ullaılaa apıla deele

Detaylı

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI FİBONACCİ SAYILARI VE ÜÇGENSEL GRAFLAR

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI FİBONACCİ SAYILARI VE ÜÇGENSEL GRAFLAR T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI İBONACCİ SAYILARI VE ÜÇGENSEL GRALAR YÜKSEK LİSANS TEZİ HURİYE KORKMAZ BALIKESİR, OCAK - 06 T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

v = ise v ye spacelike vektör,

v = ise v ye spacelike vektör, D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi,

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde SAYILAR DÜNYASINDA GEZİNTİLER H. Turgay Kaptaoğlu Bu yazıda deri teorilere imede sayıları çoğulula da tamsayıları ilgiç özellileride bahsedeceğiz. Bu özellileri hiçbiri yei değil; yüzyıllar, hatta biyıllar

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CEBİRSEL RICCATI DENKLEMLERİNİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ A.BURCU ÖZYURT SERİM

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CEBİRSEL RICCATI DENKLEMLERİNİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ A.BURCU ÖZYURT SERİM TC YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CEBİRSEL RICCATI DENKLEMLERİNİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ ABURCU ÖZYURT SERİM DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN PROF DR MUSTAFA BAYRAM İSTANBUL,

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P.

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P. 0..006 MAT3 AYRIK MATEMATİK ARASINAV SORULARI Numarası :..................................... Adı Soyadı :...................................... F,. Fiboacci sayısıı gösterme üzere, ( 0 P.) (a) F + = F

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

5 ÖABT / MTL ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG. 678 ( sin + cos )( sin- cos )( sin+ cos ) lim sin- cos " = lim ( sin+ cos ) = bulunu. ". # # I = sin d = sin sin d sin = u sin d = dv du = sin : cos

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

NÜKLEER FİZİĞİN BORSAYA UYGULANMASI: OPSİYON FİYATLARININ MESH FREE YÖNTEM ile MODELLENMESİ

NÜKLEER FİZİĞİN BORSAYA UYGULANMASI: OPSİYON FİYATLARININ MESH FREE YÖNTEM ile MODELLENMESİ NÜKLEER FİZİĞİN BORAYA UYGULANMAI: OPİYON FİYATLARININ MEH FREE YÖNTEM ile MODELLENMEİ M. Bilge KOÇ ve İsmail BOZTOUN Eciyes Üi. Fe-Ed. Fak. Fizik Bölümü 38039 Kaysei ÖZET Bu çalışmada eoik üklee fiziği

Detaylı

BÖLÜM 2 D YOT MODELLER

BÖLÜM 2 D YOT MODELLER BÖLÜM YOT MOELLER.1. Bi diyodu liee olmaya davaıı lei yöde kutulamı bi joksiyouu akım-geilim kaakteistii gei bi bölgede ekil-.1 deki gibi üstel bi deiim göstei. cak, geek küçük geekse büyük akımlaa dou

Detaylı

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b)

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b) Bağıtı YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - - - BAĞINTI ÖZELLĐKLER: SIRALI ĐKĐLĐ: (a,) şeklideki ifadeye ir sıralı ikili yada kısaca ikili deir (a,) sıralı ikiliside a ya irici

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları LYS LYS MATEMATİK Soulaı. LYS 5. LYS ( + a ) = 8 < < olmak üzee, olduğuna öe, a kaçtı? I. A) D) II. + III. (.) ifadeleinden hanileinin değei neatifti? A) Yalnız I Yalnız II Yalnız III D) I ve III II ve

Detaylı

WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI

WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI VII. Ulusal Temiz Eerji Sempozyumu, UTES 008 7-9 Aralı 008, İstabul WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI Seyit Ahmet AKDAĞ, Öder GÜLER İstabul Tei Üiversitesi, Eerji

Detaylı

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU.

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU. T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisas Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU Elif SERİN Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr.Abdullah SÖNMEZOĞLU Yozgat 202

Detaylı

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım Normal Dağılımlı Bir Yığı a İlişi İstatistisel Çıarım Bir üretici edi ürüleride, piyasadai 3,5 cm li vidalarda yalıca boyları 3,4 cm ile 3,7 cm aralığıda olaları ullaabilmetedir. Üretici, piyasadai bu

Detaylı

r r r r

r r r r 997 ÖYS. + 0,00 0,00 = k 0,00 olduğuna göe, k kaçtı? B) C). [(0 ) + ( 0) ] [(9 0) (0 ) ] işleminin sonucu kaçtı? B) C) 9 6. Bi a doğal sayısının ile bölündüğünde bölüm b, kalan ; b sayısı ile bölündüğünde

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR

4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR 4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR Tım 4.1. M, bi G gubuu bi lt kümei olu. M yi kpy, G i bütü lt guplıı keitie M i üettiği (doğuduğu) lt gup dei ve M ile göteili. M i elemlı d M gubuu üeteçlei (doğuylı) dei. Öeme

Detaylı

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz;

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz; Öre A. Bezer pe 40 güç ayağıı dayama süreler aşağıda gbdr. Geşlelmş reas ablosu oluşuruuz;, 4,7 3, 3,4 3,3 3, 3,9 4, 3,4 4, 3,8 3,7 3,6 3,8 3,7 3,0,,6 3, 3,,6,9 3, 3,0 3,3 4,3 3, 4, 4,6 3, 3,3 4,4 3,9,9

Detaylı

Elektrik&Elektronik Müh. Böl. İşaret İşleme Uygulamaları Deney 2

Elektrik&Elektronik Müh. Böl. İşaret İşleme Uygulamaları Deney 2 Ayrı Sistemler Eletri&Eletroi Mü. Böl. İşaret İşleme Uygulamaları Deey 2 Prof. Dr. Aydı Aa Dr. Erol Öe Baatti Karaaya Koray Sistemleri Özellileri 1. Doğrusallı Liearity: y a ay Ölçeleme scalig, a armaşı

Detaylı

Fresnel Denklemleri. 2008 HSarı 1

Fresnel Denklemleri. 2008 HSarı 1 Feel Deklemle 8 HSaı 1 De İçeğ Aa Yüzeyde Mawell Deklemle Feel şlkle Yaıma Kıılma 8 HSaı Kayak(la Oc ugee Hech, Alfed Zajac Addo-Weley,199 Kuaum leko-diamğ (KDİ, Rchad Feyma, (Çev. Ömü Akyuz, NAR Yayılaı,

Detaylı

MUTLAK DEĞER Test -1

MUTLAK DEĞER Test -1 MUTLAK DEĞER Test -. < x < olduğuna göre, x x ifadesinin eşiti aşağıdakilerden 7 B) 7 x C) x 7 D) x 7 E) 7 x 5. y < 0 < x olduğuna göre, y x x y x y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden xy B) xy C) xy D) xy

Detaylı

D( 4 6 % ) "5 2 ( 0* % 09 ) "5 2

D( 4 6 % ) 5 2 ( 0* % 09 ) 5 2 3 BÖLÜM KAALI SİSEMLEDE EMODİNAMİĞİN I KANUNU I Yasaya giriş Birii bölümde eerjii edilide var veya yo edilemeyeeği vurgulamış, sadee biçim değiştirebileeği belirtilmişti Bu ile deeysel souçlara dayaır

Detaylı

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748 ISBN - 978-605-563-60-4 Sertifia No: 748 GENEL KOORDİNATÖR: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR REDAKTE: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR SERDAR DEMİRCİ SABRİ ŞENTÜRK Basm Yeri: EVOS BASIM - ANKARA Bu itab tüm basm ve yay halar

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

ÇİN KALAN TEOREMİ. Chinese Remainder Theorem A.KILIÇ & V.SERT Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

ÇİN KALAN TEOREMİ. Chinese Remainder Theorem A.KILIÇ & V.SERT Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ Chiese Remaider Theorem A.KILIÇ & V.SERT 2012 Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ İçidekiler Sayfa o Semboller 2 Ösöz 3 Öbilgiler 4 Geel Halkalar içi Çi Kala Teoremi 7 Çi Kala Teoremii Tamsayılar Halkasıa

Detaylı

TG 3 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK

TG 3 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ 9 Mat TG ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun testlein tamamının

Detaylı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları Hatırlatma: ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı ve 7. Ders Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları : Ω ω R ( ω) foksiyou Borel ölçülebilir, yai B B içi { ω Ω : ( ω) B } U oluyorsa foksiyoua bir Rasgele Değişke deir.

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

Yalıtımlı Duvarlarda Isı Geçişinin Kararlı Periyodik Durum için Analizi

Yalıtımlı Duvarlarda Isı Geçişinin Kararlı Periyodik Durum için Analizi Fırat Üiv. Fe ve Müh. Bil. Der. Sciece a Eg. J of Fırat Uiv. 8 (), 3-3, 006 8 (), 3-3, 006 Yalıtımlı Duvarlara Isı Geçişii Kararlı Periyoi Durum içi Aalizi Meral ÖZEL ve Kâzım PIHILI Fırat Üiversitesi

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura

Detaylı

İLLERİN GELİŞMİŞLİK DÜZEYİNİ ETKİLEYEN FAKTÖRLERİN PATH ANALİZİ VE KÜMELEME ANALİZİ İLE İNCELENMESİ

İLLERİN GELİŞMİŞLİK DÜZEYİNİ ETKİLEYEN FAKTÖRLERİN PATH ANALİZİ VE KÜMELEME ANALİZİ İLE İNCELENMESİ İLLERİN GELİŞMİŞLİK DÜZEYİNİ ETKİLEYEN FAKTÖRLERİN ATH ANALİZİ VE KÜMELEME ANALİZİ İLE İNCELENMESİ Zeliha Kagısız Osmangazi Ünivesitesi, İtisadi ve İdai Bilimle Faültesi, İşletme Bölümü, Saısal Yöntemle

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK YGS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI CEVAP ANAHTARI RASYONEL SAYILAR ONDALIK SAYILAR ÖRNEKLER (Sayfa -) 6 ) ) ) 6) ; ; ) 0) ) ; 8 ) ) ) 0 ) 6 0 0 8) 0 ) 0) 6 ) 8 ) 8 8) ) ; 6

Detaylı

YX = b X +b X +b X X. YX = b X +b X X +b X. katsayıları elde edilir. İlk olarak denklem1 ve denklem2 yi ele alalım ve b

YX = b X +b X +b X X. YX = b X +b X X +b X. katsayıları elde edilir. İlk olarak denklem1 ve denklem2 yi ele alalım ve b Kadelen Bisküvi şiketinin on şehideki eklam statejisi Radyo-TV ve Gazete eklamı olaak iki şekilde geçekleşmişti. Bu şehiledeki satış, Radyo-TV ve Gazete eklam veilei izleyen tabloda veilmişti. Şehi No

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1 . ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CATALAN SAYILARI VE CATALAN MATRİSLERİ. Hikmet Turan EKİCİ YÜKSEK LİSANS TEZİ

T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CATALAN SAYILARI VE CATALAN MATRİSLERİ. Hikmet Turan EKİCİ YÜKSEK LİSANS TEZİ T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CATALAN SAYILARI VE CATALAN MATRİSLERİ Himet Tura EKİCİ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN Dr. Şerife BÜYÜKKÖSE KIRŞEHİR 013 i FEN BİLİMLERİ

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

İspatlarıyla Türev Alma Kuralları

İspatlarıyla Türev Alma Kuralları İspalarıyla Türev Ala Kuralları Muarre Şai dy f( ) f() y f() y f () li d 0. f() a (a R) ise f ()? f( ) f() a a f () li li 0 0 f () 0 5. f() ise f ()? f () li 0 ( ) ( ) f () li 0 ( ) f () li li 0 ( ) 0.

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 2

LYS MATEMATİK DENEME - 2 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

BLAST A C G T T A A A C T C G G C I I I I I I I I I A C T T T A A G C C A A G C

BLAST A C G T T A A A C T C G G C I I I I I I I I I A C T T T A A G C C A A G C BLS Öcei erste; DN izilerie,,g, bazlarıı izilişi, RN izilerie,,g,u bazlarıı izilişi ve protei izilerie amio asitleri izilişi baımıa, orta bir alfabe ile yazılmış izileri hizalaması üzerie urulu. Hizalamış

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

BAZI CENTRO-POLYHEDRAL GRUPLARIN PELL UZUNLUKLARI. G of the group G A by generated the

BAZI CENTRO-POLYHEDRAL GRUPLARIN PELL UZUNLUKLARI. G of the group G A by generated the BAZI CENTRO-OLYHEDRAL GRULARIN ELL UZUNLUKLARI Ömür DEVECİ 1, Hasa ÖZTÜRK 1 1 Kafkas Üiversitesi, Fe Edebiyat Fakültesi-36100/Kars e-mail: odeveci36@hotmail.com Abstract I [13], Deveci ad Karaduma defied

Detaylı

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir?

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir? ÖRNEK 1 : A= {1,,}, B={1,,5,7}kümeleri veriliyor. A da B ye taımlaa aşağıdaki bağıtılarda hagisi foksiyo değildir? A) {(1,), (,5), (,7)} B) {(1,), (1,5), (,1)} C) {(1,1), (,1), (,1)} D) {(1,5), (,1), (,7)}

Detaylı

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel

Detaylı

ATOM MODELLER THOMSON ATOM MODEL. -parçacığının sapma açısı, ( ) ; tan θ = k. q α.q ç 1. 2 2.E k b

ATOM MODELLER THOMSON ATOM MODEL. -parçacığının sapma açısı, ( ) ; tan θ = k. q α.q ç 1. 2 2.E k b ATOM MODLLR THOMSON ATOM MODL TOR ; Bu modele göe atom yaklaşık 10 10 mete çaplı bi küe şeklidedi. Pozitif yükle bu küe içie düzgü olaak Dağıtılmıştı. Negatif yüklü elektola ise küe içide atomu leyecek

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

VEKTÖRLER 1. BÖLÜM. Vektörel Büyüklüğün Matematiksel Tanımı : u = AB yada u ile gösterilir.

VEKTÖRLER 1. BÖLÜM. Vektörel Büyüklüğün Matematiksel Tanımı : u = AB yada u ile gösterilir. . BÖLÜM VEKTÖRLER Tanım:Matematik, istatistik, mekanik, gibi çeşitli bilim dallaında znlk, alan, hacim, yoğnlk, kütle, elektiksel yük, gibi büyüklükle, cebisel kallaa göe ifade edilile. B tü çoklklaa Skale

Detaylı

ZnX (X=S, Se, Te) FOTONİK KRİSTALLERİNİN ÖZFREKANS KONTURLARI * Eigenfrequency Contours of ZnX (X=S, Se, Te) Photonic Crystals

ZnX (X=S, Se, Te) FOTONİK KRİSTALLERİNİN ÖZFREKANS KONTURLARI * Eigenfrequency Contours of ZnX (X=S, Se, Te) Photonic Crystals Ç.Ü Fen e Mühendislik Bilimlei Deisi Yıl:0 Cilt:8-3 ZnX (X=S, Se, Te) FOTONİK KRİSTALLERİNİN ÖZFREKANS KONTURLARI * Eienfequency Contous of ZnX (X=S, Se, Te) Photonic Cystals Utku ERDİVEN, Fizik Anabilim

Detaylı

3. EŞPOTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ AMAÇ. Bir çift elektrot tarafından oluşturulan elektrik alan ve eş potansiyel çizgilerini görmek.

3. EŞPOTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ AMAÇ. Bir çift elektrot tarafından oluşturulan elektrik alan ve eş potansiyel çizgilerini görmek. 3. EŞPOTNSİYEL VE ELEKTRİK LN ÇİZGİLERİ MÇ i çift elektot taafından oluştuulan elektik alan ve eş potansiyel çizgileini gömek. RÇLR Güç kaynağı Galvanomete Elektot (iki adet) Pob (iki adet) İletken sıvı

Detaylı

TG 8 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 8 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN İLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖAT İLKÖĞRETİM MATEMATİK u testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun, testlein tamamının veya bi

Detaylı

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir. Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak

Detaylı

Faiz oranının rastlantı değişkeni olması durumunda tam hayat ve dönem sigortaları

Faiz oranının rastlantı değişkeni olması durumunda tam hayat ve dönem sigortaları wwwsascleog İsasçle Degs 009-8 İsasçle Degs Fa oaıı aslaı değşe olması duumuda am haya ve döem sgoalaı sa Saıcı Haceee Üveses Fe Faüles İsas Bölümü eelago@haceeeedu Cea dem Haceee Üveses Fe Faüles üeya

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,

Detaylı

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler 3. Ders Parametre Tahmii Tahmi Edicilerde Araa Özellikler Gerçek düyada rasgelelik olgusu içere bir özellik ile ilgili ölçme işlemie karş l k gele X rasgele de¼gişkeii olas l k (yo¼guluk) foksiyou, F ff(;

Detaylı

tanımlanabilir. Bu nedenle olasılık konusu küme teorisini bir araç olarak kullanmaktadır.

tanımlanabilir. Bu nedenle olasılık konusu küme teorisini bir araç olarak kullanmaktadır. . OLASILIK TEORİSİ İstatistisel araştırmaları temel oularıda biri soucu öcede esi olara bilimeye bazı şasa bağlı olayları (deemeleri) olası tüm mümü souçlarıı hagi sılıla ortaya çıtığıı belirleyebilmetir.

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

BÖLÜM 2 GAUSS KANUNU

BÖLÜM 2 GAUSS KANUNU BÖLÜM GAUSS KANUNU.1. ELEKTRİK AKISI Elektik akısı, bi yüzeyden geçen elektik alan çizgileinin sayısının bi ölçüsüdü. Kapalı yüzey içinde net bi yük bulunduğunda, yüzeyden geçen alan çizgileinin net sayısı

Detaylı

Dr. AKIN PALA. Damızlık Değeri, genotipik değer, allel frekansları. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı

Dr. AKIN PALA. Damızlık Değeri, genotipik değer, allel frekansları. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı Damızlık Değeri, geotipik değer, allel frekasları Aki Pala, aki@comu.edu.tr ttp://members.comu.edu.tr/aki/ Damızlık değeri esabı µ Ökkeş =800 gr gülük calı ağırlık Sürü A Sürü µ Döller µ 500gr 700 DD esabı

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kullanılan Temel Matematiksel Fonksiyonlar:

Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kullanılan Temel Matematiksel Fonksiyonlar: Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kllanılan Temel Matematiksel Fonksiyonla: Unit Step fonksiyon, Implse fonksiyon: Unit Step Fonksiyon: Tanim: Unit Step fonksiyon aşağıdaki gibi iki şekilde tanımlanabili

Detaylı

VOLTERRA-WİENER SERİSİ KULLANILARAK OPTİK GERİBESLEMELİ YARIİLETKEN LAZER DİYODUN ANALİZİ

VOLTERRA-WİENER SERİSİ KULLANILARAK OPTİK GERİBESLEMELİ YARIİLETKEN LAZER DİYODUN ANALİZİ PAMUKKALE ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K FAKÜLTESİ YIL PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE CİLT MÜHENDİ SLİ K B İ L İ MLERİ DERGİ S İ SAYI JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES SAYFA : 998 : 4 : -2 : 675-683

Detaylı

PEANO UZAYLARI VE HAHN-MAZURKIEWICZ TEOREMİ ÜZERİNE

PEANO UZAYLARI VE HAHN-MAZURKIEWICZ TEOREMİ ÜZERİNE SAÜ Fe Edebiyat Dergisi (-) Z.GÜNEY ve M.ÖZKOÇ PEANO UZAYLAR VE HAHN-MAZURKEWCZ TEOREMİ ÜZERİNE Zekeriya GÜNEY, Murad ÖZKOÇ Muğla Üiversitesi Eğitim Fakültesi Ortaöğretim Fe ve Matematik Alalar Eğitimi

Detaylı

Explanation: Number of bracelets made with 2 blue, 2 identical red and n identical black beads.

Explanation: Number of bracelets made with 2 blue, 2 identical red and n identical black beads. http://oeis.org/a - (,,) Origial wor by Ata Aydi Uslu Hamdi Gota Ozmeese.. Explaatio: Number of bracelets made with blue, idetical red ad idetical blac beads. Usage: Chemistry: CROSSRES: A85 A989 A989

Detaylı

Basit Makineler. Test 1 in Çözümleri

Basit Makineler. Test 1 in Çözümleri Basit Makinele BASİ MAİNELER est in Çözümlei. Şekil üzeindeki bilgilee göe dinamomete değeini göstei. Cevap D di.. Makaa ve palanga sistemleinde kuvvetten kazanç sayısı kada yoldan kayıp vadı. uvvet kazancı

Detaylı

TOPLAM SEMBOLÜ TÜMEVARIM n=n(n+1) n-1= n

TOPLAM SEMBOLÜ TÜMEVARIM n=n(n+1) n-1= n TÜMEVARIM Mtemtite ulldığımız pe ço ispt yötemi vrdır.bu yötemlerde biride tümevrım yötemidir. P() bir çı öerme öermeyi doğru yp e üçü doğl syı, P() öermesii doğrulu ümesi N olsu B.P() olduğu gösterilir.yi

Detaylı

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA TRİGONOMETRİK YAKLAŞIM

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA TRİGONOMETRİK YAKLAŞIM T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA TRİGONOMETRİK YAKLAŞIM YÜKSEK LİSANS TEZİ AHMET HAMDİ AVŞAR BALIKESİR, HAZİRAN - 2016 T.C. BALIKESİR

Detaylı

ISO 45001. M. Görkem Erdoğan. Bu sunuya ve konunun pdf dosyasına www.gorkemerdogan.com adresinden erişilebilir.

ISO 45001. M. Görkem Erdoğan. Bu sunuya ve konunun pdf dosyasına www.gorkemerdogan.com adresinden erişilebilir. ISO 45001 M. Gör Erğa Bu suuya ve ouu pdf syasıa adreside işilebilir. 1 Giriş ISO 45001 e Nede İhtiyaç Duyuldu? Farlılılar Souç 2 Giriş ILO ya göre, h yıl 2.2 milyo çalışa iş azası veya mesle hastalığıda

Detaylı

C) 2 2 2 2H c. D) v = v + 2uv + 2u ; tanθ= C) v 0 =10 3 m/s; tanθ= 2 3

C) 2 2 2 2H c. D) v = v + 2uv + 2u ; tanθ= C) v 0 =10 3 m/s; tanθ= 2 3 . Bi uça sesten ızı oaa, H yüseiğinde üstüüzden uçaen ta tepeizden geçtiten τ süe sona sesini duyabiiyouz. es ızı c ise uçağın ızını buunuz. H c τ H c τ H c τ H c τ H c τ tenis oeti u o v tenis topu. Kütesi

Detaylı

YENİ BİR BORÇ ÖDEME MODELİ A NEW LOAN AMORTIZATION MODEL

YENİ BİR BORÇ ÖDEME MODELİ A NEW LOAN AMORTIZATION MODEL Süleyma Demel Üvestes Sosyal Blmle Esttüsü DegsYıl: 203/, Sayı:7 Joal of Süleyma Demel Uvesty Isttte of Socal ScecesYea: 203/, Nme:7 YENİ Bİ BOÇ ÖDEME MODELİ ÖZET Allah EOĞLU Bakala taafıa e çok kllaıla

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

TEST ljçbztïm/erf/ Sl/alama,BasitEçitsizlikler. Dojrucevap HB'seçenejidir. Dojru cevap 'IC'seçenej idir. Doj rucevap $;C'seçenejidir.

TEST ljçbztïm/erf/ Sl/alama,BasitEçitsizlikler. Dojrucevap HB'seçenejidir. Dojru cevap 'IC'seçenej idir. Doj rucevap $;C'seçenejidir. öss Matematik -/Slralama,BasitEsitsizlikler Sl/alama,BasitEçitsizlikler TEST ljçbztïm/erf/ - 0, - 0,0 - O,2 a b c esitlijininhertarafl- 00iIeçarpllrsa, 0 20 a b c eçitlijieldeedilir.bueyitlikte a= 0 seçilirse,

Detaylı

İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı

İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı Meral SÜER * ve Sedat İLHAN * Batman Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü,7060 Batman, Türkiye Dicle Üniversitesi,

Detaylı