T.C. GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJESİ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "T.C. GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJESİ"

Transkript

1 T.C. GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJESİ PROJE KONULARI Düzlük Kürelerde Düzlük Açı Silindir Ve Konilerde Düzlük Hiperbolik Düzlemlerde Düzlük HAZIRLAYAN Çiğdem KARACA ÖĞRETİM ÜYESİ Prof. Dr Baki KARLIĞA ANKARA 2006

2 BÖLÜM 1 DÜZLÜK NEDİR? TARİHÇE: BİR DÜZ DOĞRUYU NASIL ÇİZEBİLİRİZ? Pergelle bir çember çizerken, bir çember modeli ile başlamayız; bunun yerine çemberin üzerindeki noktalar çemberin merkezine sabit uzaklıktadır prensibini kullanırız. Veya Öklit in çember tanımını kullanıyoruz diyebiliriz(bakınız Ek A, Tanım 15). Peki ya,düz doğru çizimi;düz doğruyu çizecek bir alet ( pergel görevi görecek) var mıdır? Birisi düz doğru çizmek için cetvel kullanabileceğimizi söyleyebilir. Peki, cetvelin bir düz doğru olduğunu nasıl biliyoruz? Bir şeyin düzlüğünü nasıl kontrol edebiliriz? Düzlük ne demektir? Bunun hakkında biraz düşününüz. Bu Problem 1.1 in bir kısmını oluşturuyor. Öklit in üsteki tanımını kullanmayı deneyebilirsiniz. Bir kâğıt parçasını katladığımız takdirde, kat çizgisi düz doğru olacaktır bu esnada kenarların düz doğru olması gerekmemektedir. Burada düz doğru oluşturmak için ayna simetrisinden yararlanılır. Marangozlar da düzlüğe karar verirken simetriden yararlanırlar. İki tahtayı yüz yüze gelecek şekilde yerleştirirler, kenarları düzgün olarak görünene kadar rendelerler ve sonra tahtalardan birini rendelenmiş kenarlar birbiri üstüne gelecek şekilde diğerinin üstüne yerleştirirler. Bakınız Şekil 1.1. Daha sonra tahtaları ışığa doğru tutarlar. Eğer kenarlar düzgün değilse, tahtalar arasında bulunan boşluklar ışık sayesinde fark edilecektir. Düz doğrunun simetrilerini Problem 1.1 de detaylı olarak inceleyeceğiz. Şekil 1.1. Düzlüğü kontrol etmek için marangozların kullandığı yöntem Bazen, aşırı pürüzsüz düz aynaları bilerken, aşağıdaki teknik kullanılır: neredeyse düz olan üç cam parçasını alın ve 1. ile 2. parçaları arasına süngertaşı(ponza) koyun sonra birlikte bileyin. Daha sonra aynı hareketi 2. ile 3, 3. ile1. parçalar için tekrarlayın. Bu hareketi üç parçada tam düz oluncaya kadar tekrar edin.bakınız Şekil 1.2. bunun neden işe yaradığını anlıyor musunuz?

3 Şekil 1.2. Düz aynaların bilenişi Ayrıca, genel lise tanımını kullanabiliriz, iki nokta arasındaki en kısa mesafe bir düz doğrudur.. bu tanım bizi bir ipi gererek düz doğru oluşturmaya götürür. Simetri kullanımı, germe ve katlama diğer yüzeylere de uygulanabilirler, bu uygulamaları Bölüm 2,4 ve 5 te göstereceğiz. Literatürde bulunan düz doğru tanımsız bir terimdir ya da bir kürenin üzerinde bulunan düz doğrular muazzam çemberlerin yaylarıdır tanımlamaları kafamızı karıştırabilir. simetri Art/Pattern Strand dan gelir, tanımsız terim Building/Structures Strand dan gelir, en kısa mesafe tanımı Navigation/Stargazing Strand dan gelir. Ama hala tam anlamıyla düz doğru çizecek pergele benzer bir mekanizma var mıdır sorusu cevapsız kalmıştır. Bu sorunun cevabını mekanik tarihinin içinde bulacağız. Bu bizi Motion/Machines Strand a ve düzlüğün diğer bir anlamına götürecek. Şekil yy yukarı ve aşağı bıçkıhanesi 13. yy dan bu yana dairesel hareketi düzgün doğrusal harekete dönüştürmek uygulamalı mühendislik problemi olmuştur. 13. yy daki bıçkıhane eskizlerinde gördüğümüz gibi linkler(link çubukları yüzeye bağlanmış ve son kısımları perçinlenmiş) (bakınız şekil 1.3) 13. yy da kullanıldılar ve muhtemelen daha önceleri icat edildiler. Georgius Agricola( ) nın jeolojik yazıları [ME: Agricola] sadece ilk elden kaya ve mineral gözlemlerini yansıtmıyor, bunun yanında maden mühendisliğinin her açıdan gözlemlerini ve zaman içindeki pratiklerini(uygulamalarını) de yansıtıyor.

4 Onun çalışmalarında ki resimlerde su dolabının sürekli rotasyonunun, pistonun pompalamasına denk gelen ileri geri harekete dönüşmesi için kullanılan linkler rahatlıkla görülebilir.1588 de, Agostino Ramelli [ME: Ramelli] linkleri yaygın olarak kullanılmış olan, makineler hakkında bir kitap yayınlamıştır. Bu kitapların ikisi de okunabilir durumda; kaynakçaya bakınız. 18. yy sonlarında insanlar güç için buhar motorlarını kullanmaya başladılar. Oldukça yetenekli bir makine tasarımcısı olan JamesWatt ( ), buhar motorlarının verimliliklerini ve güçlerini geliştirmek için çalıştı. Buhar motorlarında, buhar basıncı pistonu düz silindir içinde aşağı iter. Watt ın problemi bu doğrusal hareketin nasıl tekerleğin dairesel hareketine dönüştürülebilineceği idi( buhar lokomotifinde olduğu gibi). Doğrusal hareketi dairesel harekete dönüştürecek bir düzgün doğru linkini tasarlamak Watt ın yıllarını aldı. Daha sonra oğluna şunları söylemiştir. Her ne kadar şöhrete rağmen endişeli olmasam da paralel hareketten,bugüne dek yaptığım diğer mekanik icatlardan daha çok gurur duymaktayım. Paralel Hareket Watt ın kendi linki için kullandığı isimdir. Bu isim 1784 teki patente dâhildir. Watt ın bu linki uygulamalı mühendislik problemine iyi bir çözümdü. Bakınız Şekil 1.4 de Watt ın linki sol üst köşede bir paralelkenar ve birleşmiş linklerdir. Şekil 1.4. Watt ın paralel hareket linkini içeren buhar motoru Lakin Watt ın linkinin sadece yaklaşık bir düz doğru oluşturacağını bilen matematikçiler Watt ınn tatmin olmadılar. Matematikçiler düzlemsel düz doğru linklerini aramaya devam etmişlerdir. Fransız subay Charles Nikolas Peaucellier ( ), ve Rus üniversite öğrencisi Lipmann I. Lipkin( ) birbirlerinden bağımsız olarak kesin düz doğru çizen link (makine bağlantısı) bulana kadar yani yıllarına kadar kesin düz doğru çizen bir link bulunamadı. Bakınız Şekil 1.5( Lipkin hakkında fazla bilgi yok. Bazı kaynaklara göre Litvanya da doğdu ve St. Petersburg taki Chebyshev de lisans üstü öğrencisiydi. Ama doktora tezini tamamlayamadan öldü. )( Bu keşif

5 hakkında daha fazla bilgi için Philip Davis in The Thread adlı kitabına bakınız [EM : Davis ], Bölüm 4). Şekil 1.5 Peaucellier ve Lipkin in düz doğru çizmek, için hazırladığı link. Şekil 1.5 deki link çalıştı çünkü ilerde Problem 16.3 te göstereceğimiz gibi, Q noktası sadece yarıçapı (s 2 d 2 )f /(g 2 f 2 )olan çemberin yayı boyunca hareket edecektir. Bu sayede geniş bir çemberin yayını, çemberin merkezini kullanmaksızın çizebiliriz. Eğer g ve f uzunlukları eşitse, P sonsuz yarıçapı olan bir çemberin yayını çizecektir. (Bu link hakkındaki diğer bir görüş için bakınız [EG: Hilbert], sayfa ). Böylece Motion/Machines Starnd dan bakınca düz doğrunun diğer bir tanımını bulduk. Düz doğru yarıçapı sonsuz olan bir çemberdir. (Yarıçapı sonsuz olan çember hakkında bilgi edinmek için Şekil 11.4 ün yanındaki metne bakınız.) PROBLEM 1.1 NEZAMAN BİR DOĞRUYU DÜZ OLARAK TANIMLARIZ? Önsözde yer alan geometri yaklaşımına uygun olarak, sizi düzlük kavramını derinlemesine inceleme konusunda teşvik edecek bir soru ile başlayalım. Sizden düzlük hakkında sayısız varsayımları kabullenmenizdense deneyimlerinize dayalı bir düzlük fikri oluşturmanızı istiyoruz. Bunu formülize etmek zor olsa da düzlük doğal bir kavramdır. a. Uygulamalı olarak bir şeyin düz olduğunu nasıl kontrol edersiniz? Düz bir şeyi nasıl oluşturursunuz? Çit kazıklarını bir düz doğru oluşturacak şekilde nasıl yerleştirirsiniz, ya da nasıl düz doğru çizersiniz? Farz edelim bunu cetvelle çizerek yaptınız, o zaman biz şunu soracağız Cetvelin düz olduğunu nasıl kontrol edebilirsiniz? İlk olarak, deneyimlerinizdeki düzlük örneklerine bir bakınız. Dışarı çıkın ve düz bir doğru boyunca yürümeyi deneyin ve sonra da eğimli bir yol boyunca; düz çizgi doğru çizmeyi deneyin ve sonra bu doğrunun düz olduğunu kontrol edin.düz doğruyu,düz olmayan doğrulardan ayıran özelliğe baktığınız için, muhtemelen şu durumu hatırlayacaksınız( çoğunlukla lise geometrisinde tanım olarak

6 bulunur): iki nokta arasındaki en kısa mesafeye düz doğru denir. Fakat iki nokta arasındaki bütün yolların uzunluklarını ölçebilir misiniz? En kısa yolu nasıl bulursunuz? İki nokta arasındaki en kısa mesafe gerçekten bir düz doğru ise, bunun tersi de doğru mudur? İki nokta arasına çizilen bir düz doğru her zaman en kısa mesafe midir? Daha sonraki bölümlerde bu sorulara döneceğiz. Bu probleme güçlü bir yaklaşım doğruları simetri açısından düşünmek olur. Diğer yüzeyleri(küreler, koniler, silindirler ve diğerleri) ele aldıkça bu yaklaşım daha da önem kazanacaktır.doğruların simetrilerinden iki tanesi aşağıdaki gibidir: Doğruda Yansıma Simetrisi, iki taraflı simetri olarak tanımlanır doğru üzerinde bir nesneyi yansıtmaktır. Şekil 1.6 Düz Doğrunun Yansıma Simetrisi Yarı Dönüş Simetrisi, doğru üzerindeki herhangi bir nokta etrafında 180 dönmektir. Şekil 1.7 Düz Doğrunun Yarı Dönüş Simetrisi Bu örneklerin her birinde doğrunun simetrisi üzerinde durmamıza rağmen, farkında olmalısınız ki simetri kendi başına doğruya ait bir özellik değildir, aksine simetri hem doğruyu hem de doğru etrafındaki uzayı içerir. Simetriler mahalli çevreyi muhafaza eder. Fark ederseniz, doğruda yansıma simetrisi, yarı dönüş simetrisi ve doğrunun etrafı simetri hareketinin birer parçasıdırlar ve aralarındaki ilişkinin tamamı harekete uygundur. Gerçekten,doğrudaki yansıma kesinlikle doğruyu hareket ettirmez, ama bulunduğu uzaylarda doğrunun her iki tarafının da aynı olduğu bir yol sergiler. Tanımlar İzometri: Açı ölçülerini ve mesafeleri muhafaza ederek yer değiştirmedir. Bir Şeklin Simetrisi: Uzaydaki bir bölgenin öyle bir izometrisidir ki şekli(veya şeklin bulunduğu bölgenin bir parçasını) kendi üzerine götürür. Bir uzayın bütün izometrilerinin öteleme, dönüşüm, yansıma ya da bunların birleşimi olduğu Problem 11.3 te gösterilecektir. b. Düz Doğrunun Simetrileri Nelerdir? Doğrunun diğer simetrileri hakkında da düşünmeye çalışınız( birkaç tane var) Bazı simetriler düz doğrular için uygun olsa da bazıları diğer eğriler için de uygun olabilirler. Hangi simetrilerin sadece

7 düz doğrulara özgü olduğunu bulunuz ve nedenini düşününüz. Bunun yanında düz doğru oluşturmak ya da doğrunun düzlüğüne karar vermek için bu simetrilerin uygulamalarını da düşününüz. c. Genelde Farklı Doğruluk Sanıları Nelerdir? Düz Doğru Tanımını Yapabilir misiniz? Düz diye adlandırdığımız şeyleri araştırınız. Düz doğruları nerelerde görürüsünüz? Neden bunlara düz dersiniz? Düz dediğimiz hem fiziksel hem de fiziksel olmayan doğruları araştırınız. Düz doğrunun simetrileri nelerdir? Bulduğunuz örneklerle ya da yukarıdaki örneklerle uyuşuyorlar mı? Düzlüğü tanımlarken doğrunun simetrilerinden herhangi birini kullanabilir miyiz? İki düzlemin kesişimi bir düz doğru mudur? Öyleyse bu neden düz doğrudur? Bize düzlük kavramını anlama da yardımcı olur mu? Elinizde ucuna taş bağlı uzun bir iple yürüdüğünüzü düşününüz. Bu taş ne zaman sizin yolunuzu takip edecektir? Neden? Bu özellik düşen bir su kayakçısını kaldırmak için kullanılır. Bot düz doğru boyunca kayakçının yanında gider ve böylece halat botun yolunu takip eder. Sonra bot belli bir açı ile kayakçının önünden döner. Çünkü bot artık düz bir yol izlemiyordur, halat düşen kayakçıya doğru hareket eder. Burada neler olur? Akılda tutulması gereken diğer bir düşünce ise düzlük lokal bir özellik olarak düşünülmelidir. Bir doğrunun tamamı düz olmadığı halde bir kısmı düz olabilir. Örneğin, bu doğru düz ise Ve sonra bu doğrunun sonuna eğri eklersek, burada olduğu gibi şimdi bu doğrunun orijinali değişmediği halde, sadece bir kısım eklendiği için bu doğrunun orijinal kısmı düz değil midir diyeceğiz? Ayrıca burada dikkat ederseniz doğru ve doğru parçası arasında bir ayrım yapmıyoruz. Genellikle diğerlerine göre daha genel bir terim olan doğru;her doğru parçası, düz ve düz olmayan doğrulara gönderme yapmaktadır. Muhtemelen düzlük hakkında birçok fikir oluşturdunuz. Şimdi yapmanız gereken, tüm bu düz olgular için ortak noktanın ne olduğunu düşünmektir. Daha fazla okumadan bu konu hakkında düşününüz, bu soruya verdiğiniz cevapların bazılarını açık olarak belirtiniz. Neden düz olduğunu anlayana kadar hiçbir cevabı kabullenmeyiniz. Hiçbir cevap önceden tayin edilemez. Bizim asla hayal edemeyeceğimiz bir şeyler bulabilirsiniz. Sonuç olarak önemli olan kendi düşüncelerinizde ısrar etmenizdir. Sayfa 25 ten başlayan bu kitap nasıl kullanılır kısmını tekrar okuyunuz.

8 ! Bu konu hakkındaki düşüncelerinizi yazarak ya da konuşarak anlatana kadar bundan sonraki bölümleri okumamalısınız. DOĞRUNUN SİMETRİLERİ Doğrusal Simetride Yansıma: Yansımayı 3 boyutlu uzayda olan tersine çevirme olarak düşünmektense, ekseni doğru olan bir ayna olarak düşünmek bizim için daha kullanışlı olacaktır. Böylelikle yansıma simetrisi fikrini kürelere kadar sürdürebiliriz. (tersine çevirme olayı kürelerde mümkün değildir.). Simetri düzlük tanımı olarak kullanılamaz çünkü yansıma simetrisini tanımlamak için düzlüğü kullanıyoruz. Aynı yaklaşım diğer simetri çeşitlerinin birçoğuna da uygulanır. Şekil 1.8 Doğrusal Simetride Yansıma Şekil açık gri üçgen, koyu gri üçgenin simetri eylemi altında oluşan görüntüsüdür. Pratik uygulama: Bir parça kâğıdı katlayarak düz doğru elde edebiliriz. Çünkü oluşan kat etrafında bir simetri oluşacaktır. Yukarıda marangozun örneğini gösterdik. Doğrusal Simetride Dik Yansıma:Doğruya dik olan herhangi bir eksen etrafındaki yansıma yine doğruyu kendi üstüne taşıyacaktır. Dikkat ederseniz, daireler de çap etrafında bu simetriye sahiptirler. Şekil 1.9 Doğusal Simetride Dik Yansıma Pratik uygulama: Ayna ile dik açı yapacak şekilde bulunan doğru parçası baktığımızda yansıma ile birlikte doğru olarak görebiliriz.ayrıca, bir düz doğruyu kendi üstüne katlayabiliriz. Yarı dönüş simetrisi: Bir doğru üzerindeki herhangi bir P noktası etrafındaki yarım devirlik rotasyon, doğrunun P noktasından önceki parçasını P noktasından sonraki parçasının üzerine taşır,

9 terside geçerlidir. Dikkat edersek; Z gibi düz olmayan doğrularda yarı dönüş simetrisine sahiptirler fakat bu simetri her noktada değildir. Şekil 1. 10: Yarı Dönüş Simetrisi Pratik uygulama: Yarı dönüş simetrisi, vidanın yivi ile tornavidanın ucu arasında oluşur.( Ama vidanın ve tornavidanın Philips- başlı olmaması gerekir, çünkü bu çeşit vida ayrıca çeyrek dönüş simetrisine sahiptir.) ve böylece torna vidanın ucunu yive daha kolay yerleştirebiliriz. Ayrıca, bu simetriyi kapı (düz duvara bağlı) açmada da görebiliriz. Kendi Simetrisi Boyunca Rigid (Katı) Hareket: Düz doğrular için bu simetriye ötelemeli simetri derz. Düz doğrunun herhangi bir parçası, doğrudan ayrılmayacak şekilde doğru boyunca hareket edebilir.bu katı hareket özelliği sadece düz doğrulara özgü değildir; daireler (dönme simetrisi) ve dairesel helisler ( vida simetrisi) de bu özelliğe sahiptirler.( bakınız şekil 1.1) Pratik uygulama: trombonların, çekmecelerin, somunların ve sürgülerin içindeki eklemleri kaydırmak, bu simetriye örnektir. Şekil 1.11 Kendi Simetrisi Boyunca Katı Hareket 3-Boyutlu Dönme Simetrisi: 3- boyutlu uzayda doğrunun kendisini eksen olarak kullanarak kendi etrafında herhangi bir açı ile döndürülmesidir.

10 Şekil Boyutlu Dönme Simetrisi Pratik uygulama: Bu simetri herhangi uzun ince bir cismin düzlüğünü kontrol etmek için kullanılabilir. Mesela, kendi ekseni etrafında hızla dönen bir çöp. Bu simetri ıstakalar, miller, toplu iğneler ve bunun gibi cisimler için kullanılır. Merkezi simetri veya nokta simetrisi: P noktasında merkezi simetri herhangi bir A noktasını, doğru üzerinde A ve P noktaları tarafından belirlenen bir noktaya gönderir. Bu noktanın P noktasına uzaklığı, A noktasının P noktasına uzaklığına eşittir. Ama bu nokta P noktasının diğer tarafında yer almaktadır. Bakınız Şekil 1.13 te 2 boyutlu ortamda merkezi simetri sonuç itibari ile yarı-dönüş simetrisinden farklı değildir, ama görüntüleri ve oluşturulmaları farklıdır. 3-boyutlu uzayda, merkezi simetri herhangi tek rotasyon veya yansımadan farklı sonuç oluşturur.(merkezi simetri birbirine dik düzlemlerde bulunan 3 yansımanın bileşkesi ile aynı sonucu verdiğini kontrol edebiliriz). 3-boyutlu uzayda merkezi simetriyi denemek için, avuç içleri birbirine dönük olacak bir şekilde ellerinizi önünüzde birleştiriniz ve sol başparmağınız sağ başparmağınızın üstünde olsun. Elleriniz şuan da avuç içleri arasında oluşmuş orta yoldaki bir noktanın civarında yaklaşık olarak merkezi bir simetri oluşturdu; bu simetri herhangi bir yansıma ya da rotasyon tarafından oluşturulamaz. Şekil 1.13 Merkezi Simetri Benzerlik ya da Kendine Benzerlik (Yarı Simetri):Düz doğrunun herhangi bir parçası(ve onun civarları) diğer bir parçasına benzemektedir.(yani aynı olabilmeleri için büyütülüp

11 küçültülebilir). Bakınız Şekil 1.14.bu simetri değildir çünkü aradaki uzaklığı koruyamamaktadır ama yarı simetri olabilir çünkü açıların ölçüsü korunmaktadır. Şekil 1.14 Benzerlik Yarı Simetri Birçok fraktalın yaptığı gibi deniz helikonlarının kabukları gibi logaritmik sarmallar yarı benzerliğe sahiptirler.(şekil 1.15 teki örneğe bakınız) Şekil 1.15 Logaritmik Spiral Açıkçası, doğruların yanı sıra diğer nesnelerde burada söz ettiğimiz simetrilerden bazılarına sahiptirler. Sizin için önemli olan kendinize böyle örnekler oluşturmanız ve bütün simetrilere sahip olan ama doğru olamayan bir nesne bulamayı denemenizdir. Bu size düzlük ve bahsedilen 7 simetri arasındaki ilişkiyi anlama konusunda yardımcı olacaktır. Şu sonuca varmalısınız; diğer eğriler ve şekiller bu simetrilerin bazılarına sahip iken sadece düz doğrular bu simetrilerin tümüne sahiptir. LOKAL (VE SONSUZ KÜÇÜK) DÜZLÜK Öncelikle, bir düz doğrunun nasıl yansıma ve yarı-dönüş simetrisine sahip olduğunu gördünüz: Doğrunun bir yanı diğeri ile aynıdır. Ama üstte de belirtildiği gibi, düzlük, bir doğru parçasının düz olup olmadığına dair yerel bir özelliktir. Bu özellik doğru parçasının yakınında ne olduğuna bağlıdır, doğrunun uzak kısımlarının ne olduğuna bağlı değildir. Böylece, simetrilerin her birinin yerel olarak uygulandığı düşünülmelidir. Bu daha sonra koni ve silindir de düzlüğü anlatırken önemli olacaktır.(bölüm 4 teki açıklamaya bakınız).şimdilik aşağıdaki gibi denenebilir.

12 Kâğıt parçasını ortadan olmayacak şekilde katladığımızda, katların iki tarafı aynı olmamasına rağmen kat çizgisi hala düzdür.(bakınız şekil 1.16) O halde, yansıma simetrisini kullanarak düzlüğü kontrol ederken, kâğıdın yanlarını rolleri nelerdir? Yansıma simetrisi oluştururken bükümün önemini düşününüz. Şekil 1.16 Yansıma Simetrisi Lokaldir Yerel özellik olarak düzlük hakkında konuştuğumuzda, bazı derece (ölçü) düşüncelerini aklınıza getirebilirsiniz. Örneğin, çok geniş bir çemberin sadece küçük bir kısmını görürseniz, bu kısım düz doğrudan farksız görünecektir. Bu durum birçok grafik programları sayesinde kolayca denenebilir. Zum merceğine sahip bir mikroskopta zum yapma deneyimini oluşturacaktır. Eğer bir eğri pürüzsüz, düzgün(türevlenebilir) ise ve bu eğrinin herhangi bir parçasına zum yaparsak er geç eğri düz doğru parçasından farksız olacaktır. Bakınız Şekil 1.17 Şekil 1.17 Sonsuz Küçük Olarak Düzlük Bazen daha standart bir terim olan türevlenebilir terimi yerine infinitezimal(sonsuz küçüklükte) terimini kullanırız.eğer bir eğrinin P noktasına yeterince zum yaptığımızda, bir I düz doğrusu varsa ve bu doğru ile eğri farksız oluyorsa, eğri P noktasında infinitezimal(sonsuz küçüklükte) olarak düzdür deriz. eğri yay uzunluğu ile parametreleştirildiği zaman, her bir noktada iyi tanımlı hız vektörüne sahip eğriye eşit olacaktır.

13 Şekil 1.18 Düzlük Ve Düzgünlük Görüntülenmeye Bağlıdır Buna karşı olarak, eğer noktanın civarında düzlük varsa, eğri o noktada yerel düzdür diyebiliriz. Fiziksel ortamda, düzgün ve yerel düz terimlerinin genel kullanımı görüntülenme derecelerine bağlıdır. Örneğin, tahta bir kemere eğri olarak görüldüğü uzaklıktan bakabiliriz; sonra kemeri yaklaştırdığımızda eğrinin birçok küçük kısa düz parçalardan oluştuğunu görürüz, fakat onu dokunacak kadar yaklaştırdığımızda, kemerin yüzeyinin düzgün dalga veya dalgacıklardan oluştuğunuzu görürüz ve mikroskopta baktığımızda çok sayıda düzgün olmayan bükülmüş lifler görürüz. Bakınız Şekil 1.18.

14 BÖLÜM 2 KÜRELERDE DÜZLÜK Dünyanın etrafında çizilen geniş dairelerin çemberi üzerinde bulunan iki düzlem arasında uzanan uzay sayısının ne kadar olduğu anlaşılabilir. Dünya üzerindeki geniş dairelerin çevresindeki iki yer arasında kaç tane uzayın bulunduğu görülecektir. Yer yüzünü ve bütün küre içindeki suyu...merkezden geçen her düzlemin yüzeyi oluşturduğunu, yani dünyanın yüzeyinde ve gökyüzünde, bütün daireler ve yüzeydeki açıları( merkez açılar ), birbirini oranlı olarak kesen dairelerin çevrelerinin kesitini matematikçiler göstermişler. -Ptolemy, Geographia (c.a 150 A.D) Kitap 1 Bölüm 2 Bu bölümde sizden istenen, Problem 1.1 de geliştirdiğimiz düzlük kavramı doğrultusunda küredeki düzlük kavramını araştırmanızdır. KÜRESEL GEOMETRİNİN ESKİ TARİHİ ANTİK Mısır da ve Babil de astrolojik amaçla ve takvim oluşturmak için (toplumsal oluşum için gerekli) gök cisimler gözlemlenmiştir. Claudius Ptolemy (c ), Almagest inde Babillerin M.Ö. 8. yy deki yıldızların geçişini ve tutulmaları hakkındaki gözlemlerini konu etmiştir. Babiller bir daireyi 360 dereceye bölme fikrini ortaya atanlardır. 360derecenin neden yıl içindeki gün sayısına yakın olduğuna dair bazı spekülasyonlar vardır; 360 ın Babillerin kullandığı altılık sisteme uygun oluşudur ve 360 daire üzerindeki 7 farklı noktanın ( Antik çağda 7 gezegen vardır; güneş, ay, Merkür, Venüs, Mars,Satürn, Jüpiter) yönlendirmeye bakmaksızın aldıkları yol sayısıdır. Ama daha da önemlisi Babiller ( su an temel olarak küresel koordinat olarak bildiğimiz) Kuzey yıldızındaki kutbu ile göksel küre( yıldızlar, güneş, ay ve gezegenlerin üzerinde ortaya çıkan hareket sonucu oluşan küreler)için koordinat sistemi geliştirmiştirler. Böylece, koordinat kullanımının 17 yy.da Dekart la çıktığını düşünmek bir yanılgıdır.

15 Şekil 2.1: Armillary küresi(1687) (içten dışa doğru) dünya, göksel küre, ekiliptik ve horizon gösteriliyor. M.Ö.4. yy da Antik Yunanlılar Babil astronomisi ile tanışmıştır. Eudoxus ( M.Ö ) astronomi için iki küre model ini geliştirmiştir. Bu modelde yıldızlar göksel küre( kuzey yıldızı, kutup etrafında günde bir dönen) üzerindeymişler gibi düşünülüyor ve güneş ekiliptik kürenin üzerinde olup, ekliptik kürenin ekvatoru, güneşin yörüngesidir ve bu Eudoxus zamanında göksel kürenin ekvatorunu 24 0 açı ile şimdilerde ise 23,5 0 açı ile kesmektedir. Ekiliptik kürenin göksel küreye temas ettiği düşünülür ve yılda bir, devrin doğu yönünde rotasyon oluşur. Kürelerin ikiside kutupları etrafında dönerler. Bakınız Şekil 2.1 Autolyus,( M.Ö ) dönen küreler üzerinde de 3. küreden bahsetmektedir, bu kürenin kutbu, gözlemcinin üzerinde bulunduğu noktadır ve ekvatorda görünebilir horizondur. Böylece, horizon ve göksel ekvator arasındaki açı,(dünyanın merkezindeki ölçü) gözlemci ve kuzey kutbu arasındaki açıya eşittir. Autolyus, belirli bir gözlemci için, göksel kürenin bazı noktalarının (yıldızlar) her zaman görülebilir, bazılarının her zaman görünemez ve bazılarının da doğar-batar olduğunu göstermiştir. Bakınız Şekil 2.1 En başlarda küresel geometriden bahseden matematiksel çalışmalar [AT: Berggren] deyince Autolycus un kitabı ve Öklid in Phaenomea sı bilinirdi. Bu kitapların ikiside belirli bir tarihte belirli bir yerdeki gün ışığının uzunluğu nedir gibi astronomik problemleri çözmek için küresel geometrideki teoremleri kullanırlar. Öklid küresel geometrideki tanımları ve önerileri kullanır. Tanıma göre büyük bir daire bir kürenin merkezinin bulunduğu düzlemle kesişimidir ve kürenin merkezde olmayan düzlemle kesişimi büyük daireye paralel olan küçük daire oluşturur. Farz edilen öneriye göre örneğin;

16 İki daire aynı büyük C dairesine paralel ama dairenin farklı yanlarında olsunlar. Sonra, bu iki daire ancak ve ancak başka büyük bir daire tarafından C nin her iki tarafında eşit yaylarla kesilirse eşit olurlar.(benzer sonuçları Bölüm 10 da da göreceğiz) daha karmaşık olan sonuçlarda vardır, bunlardan birisi küresel üçgenin iç açılarını karşılaştırma hakkındadır; bakınız [AT: Berggren, sayfa 25.] böylece, Autolycus un ve Öklid in yazılarında okuyuculara uygun küresel geometri üzerine yapılmış öncelikli işler vardır. Bithynia lı Hipparchus (M.Ö ) Babillerin küresel koordinatlarını aldı ve bunları 3 kürede ( göksel, ekliptik ve horizon ) uyguladı. Gemicilik ve Astrolojik problemlerin ( Benim horizonumdan belli yıldız ne zaman geçer) çözümleri için bir küredeki koordinatlar ile diğer küredeki koordinatlar arasındaki ilişki gereklidir. Koordinatların gerekliliğinin değişmesi ile küresel trigonometri oluştu, ve bu küresel koordinatlarla ilgili astronomik problemlerin trigonometri çalışmalarına girmesi ile oldu. Düzlem trigonometri, sistemli olarak ilk defa Hipparchus tarafından çalışıldı, ve küresel trigonometriye yardımcı olmak amacı ile geliştirdi, bunu Bölüm 20 de göreceğiz. İlk sistematik küresel geometri yazımı Theodosius un Sphnerica sıdır. (yaklaşık M.Ö. 200). Bu, çizim problemleri ve teoremler içeren 3 kitaptan oluşmaktadır. Sphaerica daki birçok önermeler dışa ait teoremler ve öklidin merkezi 3-Uzaydaki küre çizimleridir; ama 3-Uzay veya merkezini referans almayan kürelerin yüzeyi üzerine içe ait geometriyi gösteren önermelerde vardır. İçe ait ve dışa ait arasındaki farktan bölümün ilerleyen kısımlarında bahsedeceğiz. Küresel trigonometri hakkındaki daha ileri düzeydeki (gelişmiş) tez Menelaus un Küre Üzerine sidir (M.S. 100). Sadece Arapça olarak kopyası vardır. Menelaus küresel üçgeni büyük bir dairenin her biri yarım daireden küçük olan 3 yay tarafından sınırlanmış küresel yüzeyin parçası olarak tanımlamıştır. Menelaus un tezi küre yüzeyindeki geometriyi Öklid in Elementler indeki düzlem geometrisi ile analog kurarak açıklamaktadır. Ptolemy ( M.S ) İskenderiya da çalışmıştır, ve coğrafya üzerine, Geographia kitabını yazmıştır, ayrıca Mathematiki Syntaxis (Matematiksel Koleksiyonlar) adlı kitapta yazmıştır. Bu kitap Babil astrologlarının ve Yunan geometrilerinin bilgilerinin merkezi sonuçlarını içermektedir. Sonraki 1400 yıl Batı standart olarak matematiksel astronomi üzerinde çalışmaya başlamıştır. The Mathematiki Syntaxis genel olarak Almagest olarak bilinir. Bu isim Yunan isimlerinden birinden türetilmiş Arapça isminin Latincesidir. Almagest önemli bir kitap çünkü Almagest bilinen en eski küresel trigonometri çalışmasıdır, ve özel fonksiyonları, ters fonksiyonları ve devamlı olguların hesapsal çalışmalarını içermektedir. Küresel geometrinin tarihi hakkındaki diğer bilgiler kitabın uygun kısımlarında aktarılacaktır. Bu tarih hakkında daha fazla okuma (ve ön düzeyde referans) için [HI:Karlz] Bölüm 4 ve [HI: Rosenfeld] Bölüm 1 e bakınız. PROBLEM 2.1. KÜREDE DÜZ OLMA NEDİR? Problem1.1 de düzlük konusu anlamak adına bir şeyler geliştirmiştiniz, bu problemde ise sizden istenen düzlük fikrini kürede uygulamanızdır. Şunu anlamanız önemlidir; eğer kendi başınıza düzlük

17 fikrini oluşturamıyorsanız( örneğin, fikirleri kitapta derinlemesine düşünmeksizin alıyorsanız) düzlemdense, yüzeylerde düzlük kavramını inşa etmede zorlanacaksınızdır. Kendi başınıza oluşturduğunuz ve geliştirdiğiniz bireysel düzlük anlamı sizin aktif sezginizin bir parçası olacaktır. Aktif sezgi dedik çünkü kati bir değişme yöntemi içinde olur ve gelişme demektir, statik değildir. a.kendinizi bir küre etrafında sürünen bir böcek olarak hayal ediniz. ( Bu böcek ne uçsun ne de küre içine yuva yapsın) Böceğin evreni sadece yüzeydir; oradan asla ayrılmaz. Bu böcek için düz nedir? Böcek düz olarak neyi görecektir ve deneyimi ne olacaktır.problem 1.1 de konuştuğumuz düzlük özelliklerini ( simetriler)kullanınız. b.küre üzerindeki büyük dairelerinin küreye göre düz olduklarını gösteriniz ( Yani kendinizi inandırınız [ispatlayarak] ve diğerlerini inandırmak için tezler ortaya koyunuz ) ve küre üzerinde bulunup küreye göre düz olan başka daireler olmadığını gösteriniz. ÖNERİLER! Büyük daireler, kürenin merkezi etrafında bulunan düzlem ile kürenin kesişiminden oluşan dairelerdir. Örnekler, boylamlar ve dünyanın ekvatorudur. Birbirine zıt olan herhangi iki nokta kutuplar olarak düşünülebilirler, ve böylece ekvator ve boylamlar herhangi zıt iki noktaya göre büyük daireler olacaklardır. Bakınız Şekil 2.2. Şekil 2.2. Büyük Daireler Bu problemi anlamanın ilk basamağı kendinize büyük dairelerin küre üzerinde düz doğrular olduğunu ispatlamaktır. Böceğin düz olarak algılayacağı büyük çemberin ne olduğunu düşününüz. Kürenin üzerinde neler olduğuna dair daha iyi bir gösterim için, modelleri kullanmalısınız. Bu noktada stres yapmanıza gerek yoktur. Model kullanımı sonraki problemlerde önemli olacaktır, bu problemler özellikle birden fazla doğru içermektedir. Düz nediri ve niyesini anlamak için kürenin üzerini doğrularla tamamen kaplamalısınız. Portakal veya eski aşınmış deniz topu küreye benzemektedir ve

18 lastik bantlar iyi birer doğru oluştururlar. Ayrıca, kağıt şeritlerde kullanabilirsiniz. Bunları kürenin üzerine farklı eğriler oluşturacak şekilde yerleştirmeyi deneyiniz ve neler olduğuna bakınız.ayrıca küre üzerinde düz doğru oluşturup oluşturmadıklarını görmek için problem 1.1 den simetrilere bakınız. Burada önemli olan, 3 boyut katı topu düşünmek yerine bir kürenin yüzeyini düşünmektir. Her zaman böcek açısından olayın nasıl göründüğünü hayal etmeye çalışınız.böyle düşünmenin işe yaradığına dair (suda yürüyen) böceğe bakmak iyi bir örnek olacaktır. Bu böcek havuz (gölet) yüzeyinde yürür ve çevresini iki boyutlu olarak algılamaktadır. (Böcek için aşağısı yada yukarısı yoktur. Bütün dünyası iki boyutlu su düzleminden oluşur) Bu böcek su yüzeyindeki harekete ve dalgalanmaya karşı aşırı duyarlıdır, ama üsteki veya alttaki hareketler bilgisi dışındadır. Aç kuşlar ve balıklar bu avantajı kullanırlar. Küre üzerindeki düz doğrunun özelliklerini göstermek için bu tarz düşünmeye ihtiyacımız var. Bu böcek ve diğer hayvanlar hakkında daha fazla bilgi edinmek için Meşeden Manzara adlı Judith ve Herbert Kahl kitabına bakınız.[na: Kahla ve Kahl]. Tanım: Küre üzerindeki ( veya diğer yüzeyler üzerinde)özünde düz olan patikalara geodezik denir. Bu bizi dışa ait eğriye karşı geodezik eğri veya içe ait kavramına götürür. 3 boyutlu ortamda dışarıdan bakan gözlemci için, küre üzerindeki bütün patikalar hatta büyük daireler eğridir- yani dışa ait eğrilik vardır. Fakat kürenin yüzeyine bağılı olarak, doğrular belki düz olabilirler ve böylece içe ait eğrilik 0 dır. Bu bölümün son kısmına bakınız, İçe Ait Eğrilik. Bu farkı anladığınızdan ve neden bütün simetrilerin özünden veya böcek açısından çıkarıldığı anladığınızdan emin olunuz. İki boyutlu düzlemdense, diğer yüzeylerde düzgünlük deneyimlerinde zorluklarla karşılaşmanız doğaldır; 3 boyutlu nesnelere yani küreler üzerindeki eğrilere ve kürelere bakmaya başlayacaksınız. Kendinizi küre üzerinde yürüyen 2 boyutlu böcek olarak hayal etmek 3 boyutlu eğrilerin görünümü konusunda yardımcı olacaktır ve özgün olarak düzlük deneyimleri kazanmanıza yardımcı olacaktır. Aşağıdaki soruları kendinize sorunuz: Düzlemsel olmayan bir yüzeyde yürürken düz doğru üzerinde yürümek için böcek ne yapmalı? Böcek düz gittiğini nasıl kontrol edebilir? Modellerle deney yapmak burada önemli bir role sahiptir. Oluşturduğunuz modellerle çalışmak, size büyük dairelerin sadece kürenin yüzeyindeki düz doğrular olduğunu deneyerek görmeniz konusunda yardımcı olur. Bu fikri ispatlamak (kendinize), düzlemde düzlük ve kürede düzlüğün ortak elementlere sahip olduklarını anlamayı içerecektir. Büyük-daire-düzlük fikrine alıştığınız zaman, bir düzlemdeki düz doğrularda simetriyi, küredeki büyük dairelere transfer etmek için hazır olacaksınız, sonrada, diğer yüzeylerdeki geodeziklere transfer edeceksiniz. Buradaki yapmayı denediğiniz aktiviteler, büyük daireleri ve onların küre üzerindeki içe ait düzlüklerini gözlemlemenize yardımcı olurlar. Ama, kendi deneyimlerinizle gelmeniz daha iyi olur. Küre üzerine elastik bir şey geriniz. Bu büyük daire üzerine yerleşecektir, ama küre kaygan ise, küçük daire üzerine yerleşmeyecektir. Burada, elastik neredeyse en kısa yolu oluşturur, çünkü

19 gergin elastik her zaman daha kısa olacak şekilde hareket eder: bu düzlük için çok kullanışlı bir yöntemdir. Bir topu tebeşirle çizilmiş düz yolda yuvarla (veya yeni boyanmış düz bir koridor). Tebeşir (veya boya) kürenin temas doğrularını işaretleyecektir, ve büyük daire oluşturacaktır. Gerilmeyen dar katı bir şerit veya kağıt alınız ve küreyi sarınız, kırılmaksızın ya da kaymaksızın büyük daire boyunca uzanacaktır. Bu özelliğin yerel simetri ile bağlantısının nasıl olduğunu gördünüz mü? Bu bazen Şerit Test olarak bilinir (Şerit Test için [DG: Henderson] da Problem 3.4 ve 7.6 ya bakınız) Dönme veya dönmeme hissi artar. Neden büyük dairelerde dönüş yoktur ama enlemlerde vardır? Fiziksel olarak, dönüşü engellemek için, böcek sol ayağını sağ ayağı ile aynı uzaklıkta olacak şekilde hareket etmek zorundadır. Büyük olamayan dairelerde (örnek: ekvator olmayan enlemler), böcek ekvatora daha yakın yerlerde daha hızlı hareket etmek zorundadır. Aynı fikir paralel eksenlere sabitlediğimiz küçük oyuncak arabayı hareket ettirmek için de geçerli. Bu araba düz doğru üzerinde hareket edecektir. Kürede, araba büyük çember üzerinde yuvarlanır; ama diğer eğriler üzerinde yuvarlanmaz. Ayrıca, küre üzerindeki düz doğrular içe ait daireler (yüzey üzerinde verilen bir noktadan sabit uzaklıktaki yüzeydeki noktalar)- çember çevreleri doğru olan özel dairelerdir! Ekvator, 2 içe ait merkezli bir dairedir: kuzey kutbu ve güney kutbu. Gerçekte, küre üzerindeki herhangi bir daire (enlemler) 2 içe ait merkeze sahiptir. Bu aktiviteler size küre ve kürenin geodezikleri arasındaki ilişkileri görmeniz konusunda fırsat sağlayacaktır. Bu deneyimler küredeki daireler üzerindeki düz doğruların bir çok simetrisinin düzlemdeki düz doğruların simetrisi ile aynı olduğunu keşfetmeniz konusunda size yardımcı olacaktır.! Burada durmalı ve bu problem hakkındaki düşüncelerinizi ifade etmeden okumaya devam etmeliyiz. BÜYÜK DAİRELERDE SİMETRİ Kendi Simetrisine Göre Yansıma: Bu küreselliği yarım küreyi düz ayna önüne koyarak görebiliriz. Yarım küre sanal görüntüsü ile bir bütün küre oluşturur. Şekil 2.3 büyük küre g nin yansımasını göstermektedir. Kendi Simetrisine Göre Dik Yansıma: Herhangi bir büyük dairenin yansıması örten olan orijinal büyük daireye dik herhangi büyük daire almaya denir. (örnek: şekil 2.3 g )

20 Şekil 2.3 Kendi Simetrisine Göre Dik Yansıma Yarı-dönüş Simetrisi: Bir p noktasının etrafında tam bir devirin yarısı kadar dönüş yapmak p noktasının bir tarafındaki büyük daire parçası ile diğer tarafındaki büyük daire parçasının yerlerini değiştirir. Bakınız Şekil 2.4 Şekil 2.4 Yarı Dönüş Simetrisi Kendi Simetrisi Boyunca Rigid (Katı) Hareket: Büyük daireler için kürede bunun büyük daire boyunca çevirme ya da büyük dairenin kutupları etrafında rotasyon olarak tanımlayabiliriz. Kendi etrafında katı hareket etme özelliği büyük daireler için tek değildir, çünkü küre üzerindeki herhangi bir daire bu simetriye sahiptir. Bakınız, Şekil 2.5.

OPTİK Işık Nedir? Işık Kaynakları Işık Nasıl Yayılır? Tam Gölge - Yarı Gölge güneş tutulması

OPTİK Işık Nedir? Işık Kaynakları Işık Nasıl Yayılır? Tam Gölge - Yarı Gölge güneş tutulması OPTİK Işık Nedir? Işığı yaptığı davranışlarla tanırız. Işık saydam ortamlarda yayılır. Işık foton denilen taneciklerden oluşur. Fotonların belirli bir dalga boyu vardır. Bazı fiziksel olaylarda tanecik,

Detaylı

HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ

HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ Sabit kabul edilen bir noktaya göre bir cismin konumundaki değişikliğe hareket denir. Bu sabit noktaya referans noktası denir. Fizikte hareket üçe ayrılır Ötelenme Hareketi:

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

Dinamik Geometri Yazılımlarından Cabri ile Yansıma ve Öteleme Hareketlerinin Öğretimi

Dinamik Geometri Yazılımlarından Cabri ile Yansıma ve Öteleme Hareketlerinin Öğretimi Dinamik Geometri Yazılımlarından Cabri ile Yansıma ve Öteleme Hareketlerinin Öğretimi Suphi Önder BÜTÜNER KTÜ, Fatih Eğitim Fakültesi Đlköğretim Bölümü Doktora Öğrencisi, Akçaabat Atatürk Đlköğretim Okulu

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler 2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE ÖĞRENME Ay Hafta D.Saati ALANI EYLÜL 2 Geometri 2 3 Geometri 2 Geometri 2 Olasılıkve ALT

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

Küresel Aynalar Testlerinin Çözümleri. Test 1 in Çözümleri

Küresel Aynalar Testlerinin Çözümleri. Test 1 in Çözümleri üresel Aynalar estlerinin Çözümleri 1 est 1 in Çözümleri. v 1,5 1. A B A B B A ışınının ʹ olarak yansıyabilmesi için ların odak noktaları çakışık olmalıdır. Aynalar arasındaki uzaklık şekilde gösterildiği

Detaylı

EKVATORAL KOORDİNAT SİSTEMİ_devam. Serap Ak

EKVATORAL KOORDİNAT SİSTEMİ_devam. Serap Ak EKVATORAL KOORDİNAT SİSTEMİ_devam http://star-www.st-and.ac.uk/~fv/webnotes/chapter5.htm http://star-www.st-and.ac.uk/~fv/webnotes/chapter4.htm Gök küresinde bulunan önemli yıldızların ekvatoral koordinatları

Detaylı

DUVAR KAĞIDI GRUPLARI

DUVAR KAĞIDI GRUPLARI DUVAR KAĞIDI GRUPLARI Fulya Taştan Bir düzlemi (odanın zeminini, voleybol sahasını) bir çeşit karoyla kaplayabilmek için birbirinden bağımsız en azından iki yönde karoları ötelemek gerekir elbette. Bunu

Detaylı

04 Kasım 2010 TÜBİTAK ikince kademe seviyesinde Deneme Sınavı (Prof.Dr.Ventsislav Dimitrov)

04 Kasım 2010 TÜBİTAK ikince kademe seviyesinde Deneme Sınavı (Prof.Dr.Ventsislav Dimitrov) 04 Kasım 010 TÜBİTAK ikince kademe seviyesinde Deneme Sınavı (Prof.Dr.Ventsislav Dimitrov) Soru 1. Şamandıra. Genç ama yetenekli fizikçi Ali bir yaz boyunca, Karabulak köyünde misafirdi. Bir gün isimi

Detaylı

TEKNİK RESİM. Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi. Çizgiler Yazılar Ölçek

TEKNİK RESİM. Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi. Çizgiler Yazılar Ölçek TEKNİK RESİM 2010 Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi 2/21 Çizgi Tipleri Kalın Sürekli Çizgi İnce Sürekli Çizgi Kesik Orta Çizgi Noktalıİnce Çizgi Serbest Elle Çizilen Çizgi Çizgi Çizerken

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ KAZANIMLAR

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ KAZANIMLAR KASIM EKİM EYLÜL Ay Hafta D.Saat i 0 04 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE SÜRE ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI Örüntü Süslemeler si KAZANIMLAR.Doğru, çokgen

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI 6. SINIF 5. SINIF TÜM KONULARI 1.ÜNİTE: Geometrik Şekiller 1) Verileri Düzenleme, Çokgenler ve Süsleme 2) Dörtgenler 3)

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Fizik 8.01 Ödev # 8 Güz, 1999 ÇÖZÜMLER Dru Renner dru@mit.edu 14 Kasım 1999 Saat: 18.20 Problem 8.1 Bir sonraki hareket bir odağının merkezinde gezegenin

Detaylı

EŞ POTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ. 1. Zıt yükle yüklenmiş iki iletkenin oluşturduğu eş potansiyel çizgileri araştırıp bulmak.

EŞ POTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ. 1. Zıt yükle yüklenmiş iki iletkenin oluşturduğu eş potansiyel çizgileri araştırıp bulmak. EŞ POTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ AMAÇ: 1. Zıt yükle yüklenmiş iki iletkenin oluşturduğu eş potansiyel çizgileri araştırıp bulmak. 2. Bu eş potansiyel çizgileri kullanarak elektrik alan çizgilerinin

Detaylı

ÜNİTELENDİRME ŞEMASI

ÜNİTELENDİRME ŞEMASI LENDİRME ŞEMASI ÜNİTE DOĞRULAR VE AÇILAR. Aynı düzlemde olan üç doğrunun birbirine göre durumlarını belirler ve inşa eder.. Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açıların eş olanlarını ve bütünler olanlarını

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

YILDIZLARIN HAREKETLERİ

YILDIZLARIN HAREKETLERİ Öz Hareket Gezegenlerden ayırdetmek için sabit olarak isimlendirdiğimiz yıldızlar da gerçekte hareketlidirler. Bu, çeşitli yollarla anlaşılır. Bir yıldızın ve sı iki veya üç farklı tarihte çok dikkatle

Detaylı

AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ

AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ Bu konular denge problemelerinden tamamen bağımsızdır. Alanların ağırlık merkezi ve atalet momenti ismi verilen geometrik

Detaylı

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 015-01 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI SÜRE: MANTIK(30) ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER(18) 1. Önermeyi, önermenin

Detaylı

2014 - LYS TESTLERİNE YÖNELİK ALAN STRATEJİLERİ

2014 - LYS TESTLERİNE YÖNELİK ALAN STRATEJİLERİ 2014 - LYS TESTLERİNE YÖNELİK ALAN STRATEJİLERİ YGS sonrası adayları puan getirisinin daha çok olan LYS ler bekliyor. Kalan süre içinde adayların girecekleri testlere kaynaklık eden derslere sabırla çalışmaları

Detaylı

DÜNYA NIN ŞEKLİ ve BOYUTLARI

DÜNYA NIN ŞEKLİ ve BOYUTLARI 0 DÜNYA NIN ŞEKLİ ve BOYUTLARI Dünya güneşten koptuktan sonra, kendi ekseni etrafında dönerken, meydana gelen kuvvetle; ekvator kısmı şişkince, kutuplardan basık kendine özgü şeklini almıştır. Bu şekle

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta) AĞIRLIK MERKEZİ STATİK (2. Hafta) Ağırlık merkezi: Bir cismi oluşturan herbir parçaya etki eden yerçeki kuvvetlerinin bileşkesinin cismin üzerinden geçtiği noktaya Ağırlık Merkezi denir. Şekil. Ağırlık

Detaylı

MUHSİN ERTUĞRUL MESLEKİ EĞİTİM MERKEZİ TAKIDA TEKNİK RESİM SORULARI 1) Standart yazı ve rakamların basit ve sade olarak yazılması nedeni

MUHSİN ERTUĞRUL MESLEKİ EĞİTİM MERKEZİ TAKIDA TEKNİK RESİM SORULARI 1) Standart yazı ve rakamların basit ve sade olarak yazılması nedeni MUHSİN ERTUĞRUL MESLEKİ EĞİTİM MERKEZİ TAKIDA TEKNİK RESİM SORULARI 1) Standart yazı ve rakamların basit ve sade olarak yazılması nedeni aşağıdakilerden hangisidir? A) Estetik görünmesi için. B) Rahat

Detaylı

Danışman Öğretmen:Şerife Çekiç

Danışman Öğretmen:Şerife Çekiç Bartu İNCE Yiğit TUNÇEL Berkay Necmi TAMCI Yusuf Kaan UZAR Danışman Öğretmen:Şerife Çekiç TRİGONOMETRİ TANIMI Trigonometri, üçgenlerin açıları ile kenarları arasındaki bağıntıları konu edinen matematik

Detaylı

ÖZET. Basit Makineler. Basit Makine Çeşitleri BASİT MAKİNELER

ÖZET. Basit Makineler. Basit Makine Çeşitleri BASİT MAKİNELER Basit Makineler Basit Makine Nedir? Günlük hayatımızda yaptığımız işleri kolaylaştırmak için bir takım araçlar kullanırız. Bir kuvvetin yönünü, büyüklüğünü ya da bir kuvvetin hem büyüklüğünü hem de yönünü

Detaylı

MATEMATİĞİ SEVİYORUM OKUL ÖNCESİNDE MATEMATİK

MATEMATİĞİ SEVİYORUM OKUL ÖNCESİNDE MATEMATİK MATEMATİĞİ SEVİYORUM OKUL ÖNCESİNDE MATEMATİK Matematik,adını duymamış olsalar bile, herkesin yaşamlarına sızmıştır. Yaşamın herhangi bir kesitini alın, matematiğe mutlaka rastlarsınız.ben matematikten

Detaylı

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07 UZY GEMETRİ İÇİNDEKİLER Safa No Test No UZY KSİYMLRI... 001-00... 01-0 UZYD DGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 0-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-01... 0-07 PRİZMLR... 015-0... 08-1 KÜP... 05-00... 1-15 SİLİNDİR...

Detaylı

SU DALGALARINDA GİRİŞİM

SU DALGALARINDA GİRİŞİM SU DALGALARINDA GİRİŞİM Yukarıda iki kaynağın oluşturduğu dairesel su dalgalarının meydana getirdiği girişim deseni gösterilmiştir Burada kesikli çizgiler dalga çukurlarını, düz çizgiler dalga tepelerini

Detaylı

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar 1. Kazanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği.

Detaylı

KÜRESEL AYNALAR ÇUKUR AYNA. Yansıtıcı yüzeyi, küre parçasının iç yüzeyi ise çukur ayna yada içbükey ayna ( konveks ayna ) denir.

KÜRESEL AYNALAR ÇUKUR AYNA. Yansıtıcı yüzeyi, küre parçasının iç yüzeyi ise çukur ayna yada içbükey ayna ( konveks ayna ) denir. KÜRESEL AYNALAR Yansıtıcı yüzeyi küre parçası olan aynalara denir. Küresel aynalar iki şekilde incelenir. Yansıtıcı yüzeyi, küre parçasının iç yüzeyi ise çukur ayna yada içbükey ayna ( konveks ayna ) denir.eğer

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

6.12 Örnekler PROBLEMLER

6.12 Örnekler PROBLEMLER 6.1 6. 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 Çok Parçalı Taşıyıcı Sistemler Kafes Sistemler Kafes Köprüler Kafes Çatılar Tam, Eksik ve Fazla Bağlı Kafes Sistemler Kafes Sistemler İçin Çözüm Yöntemleri Kafes Sistemlerde

Detaylı

Eski çağlara dönüp baktığımızda geçmişteki gç ş insan topluluklarının yazılı, yazısız kültür miraslarında Güneş ve Ay tutulmalarının nedeni hep doğaüstü güçlerle açıklanmaya çalışılmıştır. Yapılan tasvirlerde

Detaylı

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir.

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir. PİRAMİTLER Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir. T noktası piramidin

Detaylı

Onur NURTAN. Danışman Öğretmen: Mustafa YAZAGAN. Özel Atacan Anadolu Lisesi

Onur NURTAN. Danışman Öğretmen: Mustafa YAZAGAN. Özel Atacan Anadolu Lisesi KAĞIT KATLAMA YOLUYLA KESİRLERİN BELİRLENMESİ Onur NURTAN Danışman Öğretmen: Mustafa YAZAGAN Özel Atacan Anadolu Lisesi Özet: Kare biçimindeki kağıdı tam iki eş parçaya ayıran kırışığına kağıdımızı katlayarak

Detaylı

1. Şekildeki düzlem aynaya bakan göz K, L, M noktalarından hangilerini görebilir? A-)K ve L B-)Yalnız L C-)Yalnız K D-)L ve M E-)K, L ve M

1. Şekildeki düzlem aynaya bakan göz K, L, M noktalarından hangilerini görebilir? A-)K ve L B-)Yalnız L C-)Yalnız K D-)L ve M E-)K, L ve M FİZİK DÖNEM ÖDEVİ OPTİK SORULARI 1. Şekildeki düzlem aynaya bakan göz K, L, M noktalarından hangilerini görebilir? A-)K ve L B-)Yalnız L C-)Yalnız K D-)L ve M E-)K, L ve M 2. Üstten görünüşü şekildeki

Detaylı

3. SINIF MATEMATİK 1. KİTAP

3. SINIF MATEMATİK 1. KİTAP . SINIF MATEMATİK 1. KİTAP Bu kitabın bütün hakları Hacer KÜÇÜKAYDIN a aittir. Yazarın yazılı izni olmaksızın kısmen veya tamamen alıntı yapılamaz ve çoğaltılamaz. Copyright 2015 YAZAR Ahmet KÜÇÜKAYDIN

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

EMİRDAĞ M.Z.SARI ANADOLU LİSESİ 2010-2011 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 9. SINIFLAR GEOMETRİ DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİ YILLIK PLANI

EMİRDAĞ M.Z.SARI ANADOLU LİSESİ 2010-2011 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 9. SINIFLAR GEOMETRİ DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİ YILLIK PLANI EMİRDAĞ M.Z.SARI ANADOLU LİSESİ 00-0 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 9. SINIFLAR GEOMETRİ DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİ YILLIK PLANI ÜNİTE AY HAFTA SAAT KAZANIMLAR KONULAR ÖĞRENME ÖĞRETME YÖNTEM İ KAYNAK ARAÇ VE GEREÇKLER

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

Page 1. b) Görünüşlerdeki boşluklar prizma üzerinde sırasıyla oluşturulur. Fazla çizgiler silinir, koyulaştırma yapılarak perspektif tamamlanır.

Page 1. b) Görünüşlerdeki boşluklar prizma üzerinde sırasıyla oluşturulur. Fazla çizgiler silinir, koyulaştırma yapılarak perspektif tamamlanır. TEKNİK BİLİMLER MESLEK YÜKSEKOKULU Teknik Resim İzometrik Perspektifler Küpün iz düşüm düzlemi üzerindeki döndürülme açısı eşit ise kenar uzunluklarındaki kısalma miktarı da aynı olur. Bu iz düşüme, izometrik

Detaylı

BASİT MAKİNELER. Basit makine: Kuvvetin yönünü ve büyüklüğünü değiştiren araçlara basit makine denir.

BASİT MAKİNELER. Basit makine: Kuvvetin yönünü ve büyüklüğünü değiştiren araçlara basit makine denir. BASİT MAKİNELER Bir işi yapmak için kas kuvveti kullanırız. Ancak çoğu zaman kas kuvveti bu işi yapmamıza yeterli olmaz. Bu durumda basit makinelerden yararlanırız. Kaldıraç, makara, eğik düzlem, dişli

Detaylı

Üçüncü Uluslararası Matematik ve Fen Araştırması (TIMSS) Nedir? Neyi Sorgular? Örnek Geometri Soruları ve Etkinlikler

Üçüncü Uluslararası Matematik ve Fen Araştırması (TIMSS) Nedir? Neyi Sorgular? Örnek Geometri Soruları ve Etkinlikler Üçüncü Uluslararası Matematik ve Fen Araştırması (TIMSS) Nedir? Neyi Sorgular? Örnek Geometri Soruları ve Etkinlikler Yard. Doç. Dr. Sinan Olkun Arş. Gör. Tuba Aydoğdu Abant İzzet Baysal Üniversitesi,

Detaylı

TOPOĞRAFYA Temel Ödevler / Poligonasyon

TOPOĞRAFYA Temel Ödevler / Poligonasyon TOPOĞRAFYA Temel Ödevler / Poligonasyon Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ ÇEVRE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF 264/270 TOPOĞRAFYA DERSİ NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz http://jeodezi.karaelmas.edu.tr/linkler/akademik/marangoz/marangoz.htm

Detaylı

TEKNİK RESİM DERSİ ÖĞR. GÖR. BERIVAN POLAT

TEKNİK RESİM DERSİ ÖĞR. GÖR. BERIVAN POLAT TEKNİK RESİM DERSİ ÖĞR. GÖR. BERIVAN POLAT DERS 6 Perspektif Cismin üç yüzünü gösteren, tek görünüşlü resimlerdir. Cisimlerin, gözümüzün gördüğü şekle benzer özelliklerdeki üç boyutlu (hacimsel) anlatımını

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF329 FOTOGRAMETRİ I DERSi NOTLARI

Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF329 FOTOGRAMETRİ I DERSi NOTLARI FOTOGRAMETRİ I GEOMETRİK ve MATEMATİK TEMELLER Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF329 FOTOGRAMETRİ I DERSi NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz/

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Geometride Kombinatorik 11. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Köşegenlerin Arakesiti Geometride Kombinatorik

Detaylı

GPS Nedir? Nasıl Çalışır?

GPS Nedir? Nasıl Çalışır? GPS Nedir? Nasıl Çalışır? Atalarımız kaybolmamak için çok ekstrem ölçümler kullanmak zorunda kalmışlardır. Anıtlar dikerek yerler işaretlenmiş, zahmetli haritalar çizilmiş ve gökyüzündeki yıldızların yerlerine

Detaylı

PİRAMİT, KONİ VE KÜRENİN ALANLARI

PİRAMİT, KONİ VE KÜRENİN ALANLARI PİRAMİT, KNİ VE KÜRENİN ALANLARI KAZANIMLAR Piramit kavramı Piramitin yüzey alanı Kesik piramitin yüzey alanı Düzgün dörtyüzlü kavramı Piramitin dönme simetri açısı Koni kavramı Koninin yüzey alanı Kesik

Detaylı

Genel Bilgi. İz Düşüm Düzlemleri ve Bölgeler. Yrd. Doç. Dr. Garip GENÇ Şekil: İz düşüm düzlemlerine bakış doğrultuları. Page 1.

Genel Bilgi. İz Düşüm Düzlemleri ve Bölgeler. Yrd. Doç. Dr. Garip GENÇ Şekil: İz düşüm düzlemlerine bakış doğrultuları. Page 1. TEKNİK BİLİMLER MESLEK YÜKSEKOKULU Teknik Resim Genel Bilgi Uzaydaki cisimlerin eksiksiz bir anlatımı için, ana boyutlarıyla birlikte parçanın bitmiş hallerinden ve üzerindeki işlemlerle birlikte diğer

Detaylı

ıç ındek ıler 1. Küresel geometr ı ve den ızc ıl ık 2. Küresel geometr ın ın ınşası 2.1. Küresel geometr ın ın analitik modeli 1

ıç ındek ıler 1. Küresel geometr ı ve den ızc ıl ık 2. Küresel geometr ın ın ınşası 2.1. Küresel geometr ın ın analitik modeli 1 1 orijin 1 KÜRESEL GEOMETRİ VE DENİZCİLİK Ferit Öztürk ıç ındek ıler 1. Küresel geometr ı ve den ızc ıl ık 1. Küresel geometr ın ın ınşası 1.1. Küresel geometr ın ın analitik modeli 1.. Küresel üçgen 3.

Detaylı

Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre

Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre Jeodezi 7 1 Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre Elipsoid yüzeyinin küçük parçalarında oluşan küçük üçgenlerin (kenarları 50-60 km den küçük) hesaplanmasında klasik jeodezide

Detaylı

Teknik Resim TEKNİK BİLİMLER MESLEK YÜKSEKOKULU. 3. Geometrik Çizimler. Yrd. Doç. Dr. Garip GENÇ

Teknik Resim TEKNİK BİLİMLER MESLEK YÜKSEKOKULU. 3. Geometrik Çizimler. Yrd. Doç. Dr. Garip GENÇ TEKNİK BİLİMLER MESLEK YÜKSEKOKULU Teknik Resim Genel Bilgi Teknik resimde bir şekli çizmek için çizim takımlarından faydalanılır. Çizilecek şekil üzerinde eşit bölüntüler, paralel doğrular, teğet birleşmeler,

Detaylı

Dinamik. Fatih ALİBEYOĞLU -10-

Dinamik. Fatih ALİBEYOĞLU -10- 1 Dinamik Fatih ALİBEYOĞLU -10- Giriş & Hareketler 2 Rijit cismi oluşturan çeşitli parçacıkların zaman, konum, hız ve ivmeleri arasında olan ilişkiler incelenecektir. Rijit Cisimlerin hareketleri Ötelenme(Doğrusal,

Detaylı

CELESTRON Teleskop Eğitimi

CELESTRON Teleskop Eğitimi CELESTRON Teleskop Eğitimi CELESTRON MARKASI Celestron 1960 yılında ABD'nin California eyaletinde kurulmuş olan bir firmadır. 50 yılı geçen süre zarfında teleskop, dürbün ve mikroskop konusunda Amerika

Detaylı

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Statik Denge ve Esneklik

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Statik Denge ve Esneklik 1 -Fizik I 2013-2014 Statik Denge ve Esneklik Nurdan Demirci Sankır Ofis: 364, Tel: 2924332 2 İçerik Denge Şartları Ağırlık Merkezi Statik Dengedeki Katı Cisimlere ler Katıların Esneklik Özellikleri 1

Detaylı

DENEY 1 - SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET

DENEY 1 - SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET AMAÇ: DENEY 1 - SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET Bir nesnenin sabit hızda, net kuvvetin etkisi altında olmadan, düzgün bir hat üzerinde hareket etmesini doğrulamak ve bu hızı hesaplamaktır. GENEL BİLGİLER:

Detaylı

TÜBİTAK BİDEB LİSE ÖĞRETMENLERİ FİZİK, KİMYA, BİYOLOJİ, MATEMATİK- PROJE DANIŞMANLIĞI EĞİTİMİ ÇALIŞTAYI. LİSE2 (Çalıştay 2012) MATEMATİK GRUP HYPTIA

TÜBİTAK BİDEB LİSE ÖĞRETMENLERİ FİZİK, KİMYA, BİYOLOJİ, MATEMATİK- PROJE DANIŞMANLIĞI EĞİTİMİ ÇALIŞTAYI. LİSE2 (Çalıştay 2012) MATEMATİK GRUP HYPTIA TÜBİTAK BİDEB LİSE ÖĞRETMENLERİ FİZİK, KİMYA, BİYOLOJİ, MATEMATİK- PROJE DANIŞMANLIĞI EĞİTİMİ ÇALIŞTAYI LİSE2 (Çalıştay 2012) MATEMATİK GRUP HYPTIA PROJE ADI KATLAMA YÖNTEMİ İLE EŞKENAR ÜÇGEN VEALTIGENDE

Detaylı

KİTABIN REHBERLİK PLANLAMASI. Bölümler. Bölümlere Ait Konu Kavrama Testleri KONU KAVRAMA TESTİ DOĞA VE İNSAN 1 TEST - 1

KİTABIN REHBERLİK PLANLAMASI. Bölümler. Bölümlere Ait Konu Kavrama Testleri KONU KAVRAMA TESTİ DOĞA VE İNSAN 1 TEST - 1 Sunum ve Sistematik SUNUM Sayın Eğitimciler, Sevgili Öğrenciler, ilindiği gibi gerek YGS, gerekse LYS de programlar, sistem ve soru formatları sürekli değişmektedir. Öğrenciler her yıl sürpriz olabilecek

Detaylı

LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA (YGS ve LYS NA) HAZIRLIK İÇİN

LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA (YGS ve LYS NA) HAZIRLIK İÇİN LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA (YGS ve LYS NA) HAZIRLIK İÇİN Konu Anlatımlı Örnek Çözümlü Test Çözümlü Test Sorulu Karma Testli GEOMETRİ 1 Hazırlayan Erol GEDİKLİ Matematik

Detaylı

PROJE GÖREVİ BEKLENEN BECERİLER. Problem çözme Akıl yürütme İletişim İlişkilendirme Araştırma

PROJE GÖREVİ BEKLENEN BECERİLER. Problem çözme Akıl yürütme İletişim İlişkilendirme Araştırma Doğadaki Matematik Bu görevde sizden: Arılar ve hayvanlardaki matematiksel beceriler hakkında araştırma yapmanız, peteklerin hangi geometrik şekle benzediklerinin ve bu şeklin sağladığı avantajların araştırılması,

Detaylı

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9 OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.

Detaylı

DÜŞEY MESAFELERİN (YÜKSEKLİKLERİN) ÖLÇÜLMESİ

DÜŞEY MESAFELERİN (YÜKSEKLİKLERİN) ÖLÇÜLMESİ Dr. Hasan ÖZ DÜŞEY MESAFELERİN (YÜKSEKLİKLERİN) ÖLÇÜLMESİ Noktalar arasındaki düşey mesafelerin ölçülmesine yükseklik ölçmesi ya da nivelman denir. Bir noktanın yüksekliği deniz seviyesi ile o nokta arasındaki

Detaylı

Diğer sayfaya geçiniz. 2013 - YGS / MAT TEMEL MATEMATİK TESTİ. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır?

Diğer sayfaya geçiniz. 2013 - YGS / MAT TEMEL MATEMATİK TESTİ. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? TEMEL MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. 3. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? A)

Detaylı

Adımlar: A Windows to the Universe Citizen Science Event. windows2universe.org/starcount. 29 Ekim 12 Kasım, 2010

Adımlar: A Windows to the Universe Citizen Science Event. windows2universe.org/starcount. 29 Ekim 12 Kasım, 2010 Adımlar: Nelere ihtiyacım var? Kurşun veya tükenmez kalem Kırmızı-ışık veya gece görüşü olan el feneri GPS ünitesi, İnternet erişimi ya da bölgeyi tarif eden harita Rapor formu ile birlikte çıktısı alınmış

Detaylı

BÜYÜK ÖLÇEKLİ HARİTA YAPIMINDA STEREOGRAFİK ÇİFT PROJEKSİYONUN UYGULANIŞI

BÜYÜK ÖLÇEKLİ HARİTA YAPIMINDA STEREOGRAFİK ÇİFT PROJEKSİYONUN UYGULANIŞI 36 İNCELEME - ARAŞTIRMA BÜYÜK ÖLÇEKLİ HARİTA YAPIMINDA STEREOGRAFİK ÇİFT PROJEKSİYONUN UYGULANIŞI Erdal KOÇAIC*^ ÖZET Büyük ölçekli harita yapımında G İ R İŞ uygulanabilen "Stereografik çift Stereografik

Detaylı

1.5. Doğrularla İlgili Geometrik Çizimler

1.5. Doğrularla İlgili Geometrik Çizimler 1.5. Doğrularla İlgili Geometrik Çizimler Teknik resimde bir şekli çizmek için çizim takımlarından faydalanılır. Çizilecek şeklin üzerinde eşit bölüntüler, paralel doğrular, teğet birleşmeler, çemberlerin

Detaylı

O-bOt ile Uygulamalı Deneyler

O-bOt ile Uygulamalı Deneyler O-bOt ile Uygulamalı Deneyler Deney 1: Tekerlek Çapı Gidilen Yol Đlişkisinin Bulunması 1 AMAÇ Bu deneyde, robotu hareket ettirmek için kullandığımız tekerleklerin çaplarının ve motorların dakikada attıkları

Detaylı

I 5. SINIF ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI KAZANIM I- 01 I- 02 II- 01 II- 02 II- 03

I 5. SINIF ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI KAZANIM I- 01 I- 02 II- 01 II- 02 II- 03 I 5. SINIF MATEMATİK VE İŞLEMLER 1.1. En çok dokuz basamaklı doğal sayıları okur ve yazar. 1.2. En çok dokuz basamaklı doğal sayıların bölüklerini, basamaklarını ve rakamların basamak değerlerini belirtir.

Detaylı

HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ HACETTEPE ASO 1.OSB MESLEK YÜKSEKOKULU HMK 211 CNC TORNA TEKNOLOJİSİ

HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ HACETTEPE ASO 1.OSB MESLEK YÜKSEKOKULU HMK 211 CNC TORNA TEKNOLOJİSİ HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ HACETTEPE ASO 1.OSB MESLEK YÜKSEKOKULU HMK 211 CNC TORNA TEKNOLOJİSİ Öğr. Gör. RECEP KÖKÇAN Tel: +90 312 267 30 20 http://yunus.hacettepe.edu.tr/~rkokcan/ E-mail_1: rkokcan@hacettepe.edu.tr

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Dönme Hareketinin Dinamiği

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Dönme Hareketinin Dinamiği -Fizik I 2013-2014 Dönme Hareketinin Dinamiği Nurdan Demirci Sankır Ofis: 364, Tel: 2924332 İçerik Vektörel Çarpım ve Tork Katı Cismin Yuvarlanma Hareketi Bir Parçacığın Açısal Momentumu Dönen Katı Cismin

Detaylı

Güneş Sistemi (Gezi Öncesinde)

Güneş Sistemi (Gezi Öncesinde) Güneş Sistemi (Gezi Öncesinde) ODTÜ Toplum ve Bilim Uygulama ve Araştırma Merkezi Boston, The Museum of Science tan uyarlanmıştır. Gezegen Evi 'Evrendeki Vaha' Gösterimi İçin Öğrenci Etkinliği (6. ve daha

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

ÖLÇME BİLGİSİ. PDF created with FinePrint pdffactory trial version http://www.fineprint.com. Tanım

ÖLÇME BİLGİSİ. PDF created with FinePrint pdffactory trial version http://www.fineprint.com. Tanım ÖLÇME BİLGİSİ Dersin Amacı Öğretim Üyeleri Ders Programı Sınav Sistemi Ders Devam YRD. DOÇ. DR. HAKAN BÜYÜKCANGAZ ÖĞR.GÖR.DR. ERKAN YASLIOĞLU Ders Programı 1. Ölçme Bilgisi tanım, kapsamı, tarihçesi. 2.

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

TEKNİK RESİM. Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi. Perspektifler

TEKNİK RESİM. Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi. Perspektifler TEKNİK RESİM 2010 Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi Perspektifler 2/23 Perspektifler Perspektifler-1 Perspektif Nedir? Perspektif Çeşitleri Paralel Perspektif Aksonometrik Perspektif

Detaylı

BÖLÜM 04. Çalışma Unsurları

BÖLÜM 04. Çalışma Unsurları BÖLÜM 04 Çalışma Unsurları Autodesk Inventor 2008 Tanıtma ve Kullanma Kılavuzu SAYISAL GRAFİK Çalışma Unsurları Parça ya da montaj tasarımı sırasında, örneğin bir eskiz düzlemi tanımlarken, parçanın düzlemlerinden

Detaylı

MERCEKLER. Kısacası ince kenarlı mercekler ışığı toplar, kalın kenarlı mercekler ışığı dağıtır.

MERCEKLER. Kısacası ince kenarlı mercekler ışığı toplar, kalın kenarlı mercekler ışığı dağıtır. MERCEKLER İki küresel yüzey veya bir düzlemle bir küresel yüzey arasında kalan saydam ortamlara mercek denir. Şekildeki gibi yüzeyler kesişiyorsa ince kenarlı mercek olur ki bu mercek üzerine gelen bütün

Detaylı

10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ

10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ 2012 10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1. ÜNİTE: DÜZLEM GEOMETRİDE TEMEL ELEMANLAR VE İSPAT BİÇİMLERI Temel Postulatlar İspatlanamayan ve ispatına gerek duyulmayan ancak doğru

Detaylı

31.10.2014. CEV 361 CBS ve UA. Koordinat ve Projeksiyon Sistemleri. Öğr. Gör. Özgür ZEYDAN http://cevre.beun.edu.tr/zeydan/ Yerin Şekli

31.10.2014. CEV 361 CBS ve UA. Koordinat ve Projeksiyon Sistemleri. Öğr. Gör. Özgür ZEYDAN http://cevre.beun.edu.tr/zeydan/ Yerin Şekli CEV 361 CBS ve UA Koordinat ve Projeksiyon Sistemleri Öğr. Gör. Özgür ZEYDAN http://cevre.beun.edu.tr/zeydan/ Yerin Şekli 1 Yerin Şekli Ekvator çapı: 12756 km Kuzey kutuptan güney kutuba çap: 12714 km

Detaylı

Küresel Aynalar. Yansıtıcı yüzeyi küre kapağı şeklinde olan aynalara küresel ayna denir.

Küresel Aynalar. Yansıtıcı yüzeyi küre kapağı şeklinde olan aynalara küresel ayna denir. Küresel Aynalar Yansıtıcı yüzeyi küre kapağı şeklinde olan aynalara küresel ayna denir. r F F Çukur ayna Tümsek ayna Kürenin merkezi aynanın merkezidir. f r 2 erkezden geçip aynayı simetrik iki eşit parçaya

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu,

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu, Geçen Derste Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi ΔxΔp x 2 Fourier ayrışımı Bugün φ(k) yı nasıl hesaplarız ψ(x) ve φ(k) ın yorumu: olasılık genliği ve olasılık yoğunluğu ölçüm φ ( k)veyahut

Detaylı

Manyetizma. Manyetik alan çizgileri, çizim. Manyetik malzeme türleri. Manyetik alanlar. BÖLÜM 29 Manyetik alanlar

Manyetizma. Manyetik alan çizgileri, çizim. Manyetik malzeme türleri. Manyetik alanlar. BÖLÜM 29 Manyetik alanlar ÖLÜM 29 Manyetik alanlar Manyetik alan Akım taşıyan bir iletkene etkiyen manyetik kuvvet Düzgün bir manyetik alan içerisindeki akım ilmeğine etkiyen tork Yüklü bir parçacığın düzgün bir manyetik alan içerisindeki

Detaylı

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI

Detaylı

AKM 205 BÖLÜM 3 - UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ. Doç.Dr. Ali Can Takinacı Ar.Gör. Yük. Müh. Murat Özbulut

AKM 205 BÖLÜM 3 - UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ. Doç.Dr. Ali Can Takinacı Ar.Gör. Yük. Müh. Murat Özbulut AKM 205 BÖLÜM 3 - UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ Doç.Dr. Ali Can Takinacı Ar.Gör. Yük. Müh. Murat Özbulut 1. 70 kg gelen bir bayanın 400 cm 2 toplam ayak tabanına sahip olduğunu göz önüne alınız. Bu bayan

Detaylı

3. Ünsal Tülbentçi Matematik Yarışması Mayıs 2014 8.Sınıf Sayfa 1

3. Ünsal Tülbentçi Matematik Yarışması Mayıs 2014 8.Sınıf Sayfa 1 . Alanı 36 5 olan bir ABC ikizkenar üçgeninde ==2 ise bu üçgende B den AC ye inilen dikmenin ayağının C noktasına olan uzaklığı nedir? ) 2,8) 3) 3,2 ) 3,7 ) 4, 2. Ayrıt uzunlukları 4, 0 ve 4 5 olan dikdörtgenler

Detaylı

MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE DEVLET OLGUNLUK SINAVI. Testin Çözme Süresi: 180 dakika ADAY ÝÇÝN AÇIKLAMALAR - YÖNERGE DEVLET SINAV MERKEZÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ

MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE DEVLET OLGUNLUK SINAVI. Testin Çözme Süresi: 180 dakika ADAY ÝÇÝN AÇIKLAMALAR - YÖNERGE DEVLET SINAV MERKEZÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ BURAYA YAPIÞTIR DEVLET OLGUNLUK SINAVI DEVLET SINAV MERKEZÝ MATEMATÝK - TEMEL SEVÝYE MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE Testin Çözme Süresi: 180 dakika Haziran, 2009 yýlý BÝRÝNCÝ deðerlendiricinin þifresi

Detaylı

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu)

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu) BÖLÜM I GİRİŞ 1.1 Sinyal Bir sistemin durum ve davranış bilgilerini taşıyan, bir veya daha fazla değişken ile tanımlanan bir fonksiyon olup veri işlemde dalga olarak adlandırılır. Bir dalga, genliği, dalga

Detaylı

CAEeda TM ONERA M6 KANADI NAVIER-STOKES ÇÖZÜMAĞI OLUŞTURMA VE ÖNİŞLEM. EDA Tasarım Analiz Mühendislik

CAEeda TM ONERA M6 KANADI NAVIER-STOKES ÇÖZÜMAĞI OLUŞTURMA VE ÖNİŞLEM. EDA Tasarım Analiz Mühendislik CAEeda TM ONERA M6 KANADI NAVIER-STOKES ÇÖZÜMAĞI OLUŞTURMA VE ÖNİŞLEM EDA Tasarım Analiz Mühendislik 1. Kapsam Kabuk Bölgeleri Oluşturma Çözümağındaki Elemanların Normal Yönlerini Kontrol Etme Çözümağında

Detaylı

Dişli çark mekanizmaları en geniş kullanım alanı olan, gerek iletilebilen güç gerekse ulaşılabilen çevre hızları bakımından da mekanizmalar içinde

Dişli çark mekanizmaları en geniş kullanım alanı olan, gerek iletilebilen güç gerekse ulaşılabilen çevre hızları bakımından da mekanizmalar içinde DİŞLİ ÇARKLAR Dişli çark mekanizmaları en geniş kullanım alanı olan, gerek iletilebilen güç gerekse ulaşılabilen çevre hızları bakımından da mekanizmalar içinde özel bir yeri bulunan mekanizmalardır. Mekanizmayı

Detaylı

4. SINIF FEN VE TEKNOLOJİ DERSİ II. DÖNEM GEZEGENİMİZ DÜNYA ÜNİTESİ SORU CEVAP ÇALIŞMASI

4. SINIF FEN VE TEKNOLOJİ DERSİ II. DÖNEM GEZEGENİMİZ DÜNYA ÜNİTESİ SORU CEVAP ÇALIŞMASI 4. SINIF FEN VE TEKNOLOJİ DERSİ II. DÖNEM GEZEGENİMİZ DÜNYA ÜNİTESİ SORU CEVAP ÇALIŞMASI 1. Dünya mızın şekli neye benzer? Dünyamızın şekli küreye benzer. 2. Dünya mızın şekli ile ilgili örnekler veriniz.

Detaylı

ELEKTRİK-ELEKTRONİK ÖLÇME TESİSAT GRUBU TEMRİN-1-Mikrometre ve Kumpas Kullanarak Kesit ve Çap Ölçmek

ELEKTRİK-ELEKTRONİK ÖLÇME TESİSAT GRUBU TEMRİN-1-Mikrometre ve Kumpas Kullanarak Kesit ve Çap Ölçmek ELEKTRİK-ELEKTRONİK ÖLÇME TESİSAT GRUBU TEMRİN-1-Mikrometre ve Kumpas Kullanarak Kesit ve Çap Ölçmek Amaç: Mikrometre ve kumpas kullanarak kesit ve çap ölçümünü yapabilir. Kullanılacak Malzemeler: 1. Yankeski

Detaylı

2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş

2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş 2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş Kuvvet: Şiddet (P), doğrultu (θ) ve uygulama noktası (A) ile karakterize edilen ve bir cismin diğerine uyguladığı itme veya çekme olarak tanımlanabilir. Bu parametrelerden

Detaylı

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d)

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d) Ders 10 Metindeki ilgili bölümler 1.7 Gaussiyen durum Burada, 1-d de hareket eden bir parçacığın önemli Gaussiyen durumu örneğini düşünüyoruz. Ele alış biçimimiz kitaptaki ile neredeyse aynı ama bu örnek

Detaylı

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir. Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak

Detaylı