ŞAH VE MAT. Satrancın ilk kez M.S. 570 yıllarında Hindistan'da oynandığını biliyoruz. Bunu nerden biliyoruz?

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ŞAH VE MAT. Satrancın ilk kez M.S. 570 yıllarında Hindistan'da oynandığını biliyoruz. Bunu nerden biliyoruz?"

Transkript

1 ŞAH VE MAT Satrancın ilk kez M.S. 570 yıllarında Hindistan'da oynandığını biliyoruz. Bunu nerden biliyoruz? O tarihlerde yazılmış olan pek çok evrakta satranç oyunundan söz ediliyor. Daha önce Çin'de de bu oyunun oynandığı rivayet ediliyorsa da, her şeyi kaydeden Çin kayıtlarında satrançtan söz edilmediği için biz yine de satrancın başlangıcı olarak yıllarını ve Hindistan'ı alıyoruz. Rivayet olunur ki bunu bulan Brahman rahibi Şah'a bir ders vermek istemiş ve satranç oyununu şaha göstermiş "Sen ne kadar önemli bir insan olursan ol, adamların, vezirlerin, askerlerin olmadan hiçbir işe yaramazsın, hiçbir önemli iş yapamazsın" demek istemiş Şah durumdan memnun görünmüş, "Peki, oyunu ve dersini beğendim. Dile benden ne dilersen" demiş. "Bir matematik sohbetinde satranç nerede işin içine giriyor?" diyorsanız işte burada giriyor: Rahip bu olay üzerine Şah'ın alması gereken dersi hâlâ almadığını düşünerek "Bir miktar buğday istiyorum" demiş. "Sana bulduğum bu oyunun birinci karesi için bir buğday istiyorum, ikinci karesi için iki buğday istiyorum. Üçüncü karesi için dört buğday istiyorum. Böylece her karede, bir önceki karede aldığım buğdayın iki misli buğday istiyorum. Sadece bu kadarcık buğday istiyorum" demiş. Şah, kendisi gibi yüce ve kudretli bir şahtan isteye isteye üç beş tane buğday isteyen bu rahibin, küstahlığa varan alçak gönüllülüğüne sinirlenmiş ve ona bir ders vermek istemiş. "Hesaplayın. Hak ettiğinden bir tane fazla buğday vermeyin" demiş. İNCE HESAP Hesaplamaya başlayınca ilk kareler kolay gitmiş. Birinci kareye bir buğday, ikinci kareye iki buğday, üçüncü kareye dört buğday... Ancak 10. kareye gelindiğinde toplam 1023 buğday vermeleri gerekiyor. Bu yaklaşık bir avuç buğdaya karşılık gelir; ben sizin için saydım. Hesabın hep böyle gideceğini, rahibe hep böyle üç beş buğday vereceklerini zannediyorlardı. Zaten 15. karede yalnızca 1.5 kilo buğday vereceklerdi. 25. kareye gelince vermeleri gereken buğdayın 1.5 ton olduğunu görmüşler ama fazla heyecanlanmamışlar. Oysa 31. kareye gelince bu işin şakası olmadığını anlamaya başlamışlar, çünkü vermeleri gereken buğday 92 tonmuş. Yine hesaplamaya devam etmişler. 49. kareye geldikleri zaman 24 milyon ton buğday vermeleri gerekiyor. Bu ise bugünkü Türkiye'nin bir yıllık buğday üretiminden daha fazla. 54. kareye geldiklerinde ise 771 milyon ton buğday vermeleri gerekiyor toplam olarak. Bu da dünyamızın bugünkü ölçülere göre bir buçuk yıllık buğday üretimi. "Madem başladık hesaplara, devam edelim" deyip bitirmişler. 64. kare de tamamlandığında bugünkü ölçülerle dünyanın 1500 yıllık buğday üretimini rahibe vermeleri gerektiği ortaya çıkmış. ( ) Bu upuzun ifadelerle anlattığımız sayının matematik dilindeki ifadesiyse kısa ve basit: = = Tam olarak 18 kentrilyon 446 katrilyon 774 trilyon 73 milyar 709 milyon 551 bin 615 tane buğday. Sizce rahibe olan borcumuzu ne zaman ödeyebiliriz? ( ) Matematiğin Aydınlık Dünyası,Sinan SERTÖZ. TÜBİTAK Popüler Bilim Kitapları Baskı

2 Yukarıdaki okuma parçasında rahip birinci kareye 1,ikinci kareye x,üçüncü kareye x 2,dördüncü kareye x 3,yani her bir kareye bir önceki karenin x katı kadar buğday isteseydi n. karede sizce son durum nasıl olurdu? Buğdayın toplamını nasıl ifade edebiliriz? Burada hikâyeye uygun bir küme yazmanız istenseydi aşağıdaki A kümesi buna uygun olur muydu, arkadaşlarınızla tartışınız. A={1,x,x 2,x 3,,x n, } = { x n n N } Buna göre A kümesini göz önüne alarak aşağıdaki noktalı yerleri uygun şekilde doldurunuz. x 4.A, 5 x..a, x 6 1 A,.A, x..a, x x8..a x 1 A, x 100.A, 1.A, x 5.A, x 1000.A, 3 6 x.a Öğretmen Herkes bu kümenin elemanlarından en çok 4 elemanı, istediği şekilde seçsin Bu istekten sonra öğrencilerden bazılarının seçimleri şöyle olmuştur: Barış 1, x, x 2, x 3 elemanlarını, Sevgi x, x 5, x 7 elemanlarını, Özge 1, x 2, x 4, x 6 elemanlarını, Deniz x 8 elemanını, İdensu 1, x, x 2, x 3 elemanlarını, İbrahim hiç birini (çünkü derste maalesef uyuyor) Bu durumda 1 elemanı 3 kişi tarafından, x elemanı 3 kişi tarafından, x 2 elemanı 3 kişi tarafından, x 3 elemanı...tarafından, x 4 elemanı hiç kimse tarafından, x 5..., x 6..., x 7..., x 8... seçilmiştir. Bu elemanları toplarsak x 8 + x 7 + x 6 + x x x x x ifadesini elde ederiz. 2

3 A kümesi yukarıdaki gibi tanımlanan üretici küme olsun. IR gerçek sayılar kümesi ve A kümesini kullanarak yeni bir küme oluşturalım. Bu kümenin elemanları çokterimli ifadelerden oluşsun ve aşağıdaki koşullar sağlansın. i) A kümesinin elemanları gerçek sayılarla çarpılsın. ii) Elde edilen elemanlar toplansın. Örneğin; 3.x 5 2.x x x 7 Sizde yukarıda verilen koşullara uygun benzer çokterimli ifadeler yazınız. A = {1, x, x 2, x 3,, x n, } = { x n n N} kümesinin elemanları ve gerçek sayılar kümesi tarafından üretilen ifadelere bir bilinmeyenli gerçek katsayılı POLİNOM (çokterimli) denir. A={1,x,x 2,x 3,,x n, } = { x n n N} üretici kümesi verilsin. Aşağıda verilen örneği inceleyerek verilen ifadelerin polinom olup olmadıklarını açıklayarak yazınız. Çok terimli İfade Polinom olup olmadığı Neden? 3.x x + 4 Polinomdur x in kuvvetleri doğal sayı katsayıları gerçek sayıdır. 5x 6 2.x 2 + x Polinom değildir. x 1 ifadesinde 1 IN 5x 3 3.x 4 Polinomdur. 1 x x 4 1+ x 1 + x 2 + x x in kuvvetleri doğal sayı katsayıları... sayıdır. x in kuvvetleri... 3 x 5 5 3

4 Aşağıda verilen tablodaki örneği inceleyerek noktalı yerleri uygun biçimde doldurunuz. Polinom en büyük dereceli en büyük dereceli x e bağlı olmayan terim terimin katsayısı terim 3.x 2 2.x x x 3 2.x x x x x x 2 5.x x x 3 +2.x Bir polinomun en büyük dereceli terimin derecesine o polinomun derecesi denir. Bir polinomun en büyük dereceli terimin katsayısına o polinomun başkatsayısı denir. Bir polinomun x e bağlı olmayan terimine o polinomun sabit terimi denir. 4

5 Derecesi 4, sabit terimi 8 olan bir polinom örneği yazalım. P(x) = 3.x 4 7.x x + 8 Sizde derecesi ve sabit terimi verilen birer polinom örneği yazınız. Derecesi Sabit terimi P(x) Derecesi sıfır olan polinomlara sabit polinom denir. Sabit polinom yazarken sabit sayıyı sıfır seçebilir miyiz?...seçebiliriz. O zaman bu polinomun tüm terimleri 0 olur mu?...(neden?) Bu polinoma bir ad vermek istenirse ne ad verirdiniz?... Sabit polinomun derecesinin sıfır olduğunu biliyoruz. Acaba tüm terimleri sıfır olan polinomun derecesi için ne söyleyebiliriz? Sıfır polinomunun derecesi sıfırdır diyebilir miyiz? Neden? i) P(x) = (2a b)x 4 + (b + 4).x 2 + (a + c).x + c polinomunun sabit polinom olmasını istersek polinomun katsayılarında verilen a,b,c gerçek sayıları kaç olmalıdır? a =.. b = 4 c =.. ii) Q(x) = (a + 2)x 3 + (b 3.a).x 2 + (a + 2c).x + c 2d polinomun katsayılarında verilen a,b,c,d sizce kaç olmalıdır? polinomunun sıfır polinom olmasını istersek, a =.. b = 4 c =.. d =.. iii) R(x) = a.x 10 + (2b 4).x b+ a polinomunun sabit polinom olmasını istersek, polinomun katsayılarında verilen a ve b için a + b kaç olmalıdır? iv) H(x) = (a b)x 5 + (b 3.a + 4).x 2 + (a + 2c).x + c 2d istersek, polinomun katsayılarında verilen a,b,c,d kaç olmalıdır? a =.. b =.. c =.. d =.. polinomunun sıfır polinom olmasını 5

6 Polinom x 3 lü terimin katsayısı x 2 li terimin katsayısı x li terimin katsayısı sabit terim P(x) = 2.x 3 4x 2 +(b+2c)x+2 2 b + 2.c 2 Q(x) = (a 1)x 3 +(a+b)x 2 + x+ d (a 1) Yukarıdaki tabloda verilen iki polinomun, aynı dereceden terimlerinin katsayıları eşittir. Buna göre a, b, c, d sayılarının değerleri sırasıyla kaç olmalıdır? P(x) ile Q(x) polinomlarının aynı dereceli katsayıları eşitse bu polinomlara denk polinomlar (yada eşit polinomlar) denir ve P(x) Q(x) ile gösterilip P(x) denktir (ya da eşittir) Q(x) diye okunur. i) P(x) = (2a b)x 4 + (b + 4).x 2 + (a + c).x + c polinomu ile Q(x) = 5x 4 x 2 + (2a + 3c).x + d 1 birbirine denk iki polinom olduğuna göre a, b, c, d sayıları kaç olmalıdır? a =... b =... c =... d =... ii) R(x) = (a 2)x 3 + (b +3.a).x 2 + (a 2c).x + d polinomu ile B(x) = 6x 3 + cx + a b polinomu veriliyor. R(x) ile B(x) polinomları eşit olduğuna göre a, b, c, d sayıları kaç olmalıdır? a =... b =... c =... d =... iii) H(x) = a.x 10 + (2b 4).x b + c polinomu ile K(x) = (a 8).x polinomu veriliyor. H(x) K(x) olduğuna göre a, b, c sayıları kaç olmalıdır? a =... b =... c =... iv) P(x) = x 4 (a + b).x 3 + x 2 x Q(x) = (c 1)x 4 (b + 1).x 2 x R(x) = x 4 d.x 3 + x 2 x + e + 3 polinomları veriliyor. P(x) R(x) ve P(x) Q(x) olduğuna göre a =... b =... c =... d =... e =... P(x) R(x) ve P(x) Q(x) ise, R(x) Q(x) diyebilir miyiz? 6

7 Merve ye düğününde 3 yüzük, 5 bilezik, 2 takı seti ve 110 YTL takılmıştır. Bileziklerin fiyatı yüzüklerin fiyatının karesi, takı setinin fiyatı ise yüzüklerin fiyatının kübü fiyattadır. Merve ye takılan hediyelerin fiyatını yüzüklerin fiyatına bağlı olarak veren bir polinom yazınız. Yüzüklerin fiyatı 5 lira olduğunda kaç liralık takı takılmıştır? P(x) = 2x 3 + 5x 2 + 3x + 10 polinomu için P(2) ve P( 2) değerlerini hesaplayınız. Aşağıda verilen polinomların katsayılar toplamını ve sabit terimini bulalım. 1. P(x) = 4.x 3 5.x x 2 P(x) polinomunun katsayılarını yazalım Terim Katsayı x 3 4 x 2 ( 5) x 6 1 ( 2) Katsayılar toplamı = 4 + ( 5) ( 2) = 10 7 = 3 Sabit terim = 2 2. Q(x) = 7.x 4 +2.x 2 3.x + 9 Katsayılar toplamı = ( 3) + 9 = 18 3 = 15 Sabit terimi = 9 7

8 3. H(x) = 2.x 5 7.x x 5 Katsayılar toplamı = =... Sabit terimi = R(x) = 5x x x 2 2 Katsayılar toplamı = =... Sabit terimi = Aşağıda verilen polinomlar için uygun yerleri doldurunuz. Polinom P(x) P(1) P(0) P(x) = 4.x 3 5.x x P(x) = 7.x 4 +2.x 2 3.x P(x) = 2.x 5 7.x x Katsayılar Toplamı Sabit Terim P(x) = 5x x x 2 2 P(x) = 2 1 P(x) = 2 1.x

9 1. Aşağıda verilen ifadelerin polinom olup olmadıklarını noktalı yerlere açıklayarak yazınız. a) P(x) = 3.x b) P(x) = x c) P(x) = x 3 x 2... d) P(x) = x e) P(x) = x x 2. Aşağıda verilen polinomların derecelerini, katsayılar toplamını ve sabit terimini noktalı yerlere yazınız. P(x) derecesi katsayılar toplamı sabit terim x x x 20 x x x 5 x 7 + x x x Yukarıda verilen kartonun köşelerinden şekildeki gibi bir x x kenarının uzunluğu x birim olan kareler kesilip atılıyor. Buna göre aşağıda istenenleri x e bağlı ifade ediniz. 10 cm a) Kalan karton parçasının alanı x x 20 cm x x b) Kalan karton parçasının çevresi. Elde ettiğiniz ifadelerin polinom olduğunu söyleyebilir miyiz? b şıkkında elde ettiğiniz ifade...polinomdur denebilir mi? 4. P(x + 1) = 2.x 3 4.x polinomu veriliyor. Buna göre aşağıdakileri bulunuz. a. P(2) =... b. P(x+1) in katsayılar toplamı =... c. P(1) =... d. P(x) in katsayılar toplamı =... e. P(x) in sabit terimi =... f. P(0) =... g. P(x+1) in sabit terimi =... 9

10 POLİNOMLARDA İŞLEMLER Bir okulun A,B,C şubelerinde ki öğrencilerin sayıları sırasıyla A(x) = 3.x x 1, B(x) = x x x + 2, C(x) = x 4 x 2 olsun. 1. Bu okuldaki toplam öğrenci sayısına P(x) dersek P(x) i bulmaya çalışalım. P(x) = A(x) + B(x) + C(x) =(3.x x 1)+ (x x x + 2)+(x 4 x 2 ) P(x) = x 4 + x x 2 + 9x + 1 toplam öğrenci sayısını verir. 2. A ve B şubelerindeki toplam öğrenci sayısını da siz bulunuz. Q(x) = A(x)+ B(x) = = C şubesindeki öğrenci sayısı B şubesindeki öğrenci sayısından kaç fazla olduğunu bulmaya çalışalım. R(x) = C(x) B(x) = (x 4 x 2 ) (x x x + 2) = x 4 x 2 x 3 2.x 2 5.x 2 = R(x) = x 4 x 3 3.x 2 5.x 2 olur. 4. A ve B şubesindeki toplam öğrenci sayısı C şubesindeki öğrenci sayısından kaç fazla olduğunu da siz bulunuz. H(x) = A(x) + B(x) C(x) = (...) + (...) (...) =... 10

11 P(x) = 2x 3 4.x x 2 Q(x) = x x 2 2.x 7 R(x) = x x + 3 Polinomları veriliyor. Buna göre aşağıdaki işlemleri yapınız. 1) P(x) + Q(x) + R(x) =...=... 2) P(x) Q(x) + R(x) =...=... 3) P(x) Q(x) R(x) =...=... 4) 2.P(x) + Q(x) =...=... 5) P(x) + 3.Q(x) 5.R(x) =...=... Armada dershanesinde hazırlık sınıflarının sayısı P(x) = 2x ve her bir sınıftaki öğrenci sayısı Q(x) = x polinomlarıyla modellenmiştir. Buna göre Armada dershanesindeki toplam öğrenci sayısını nasıl bulabiliriz? Bu soruyu cevaplamadan önce sayısal değer alarak problemi nasıl çözebileceğimizi inceleyelim. Örneğin x = 16 için P(16) = 32 sınıf ve her bir sınıfta Q(16) = 16 öğrenci olacağından toplam öğrenci sayısı P(16).Q(16) = = 512 diyebiliriz. Şimdi problemimize geri dönersek P(x) = 2x sınıf sayısı ve her bir sınıfta Q(x) = x öğrenci olacağından P(x). Q(x) = 2.x.x = 2.x 2. olur. 11

12 1.Aşağıda verilen polinomların çarpımlarını noktalı yere yazınız. P(x) Q(x) P(x).Q(x) x 2 x 4 x 2.x 4 = x 2+4 = x 6 x 3 x x 3.x = 2x 2 3x 4 2x 2.3x 4 = 1 2 x4 6x 8... x 2 5.x 7 P(x) Q(x) P(x).Q(x) 3.x 3 2.x 5. x 7 4.x 2. 2 x 3 2.x 5. 3.x 2. 3.x5 7.x 2.x 2. Mert in P(x) = x + 1 tane gömleği ve Q(x) = x tane pantolonu vardır. Mert her gün farklı bir kıyafet giymek istiyor. Buna göre en çok kaç gün farklı kıyafet giyebilir? probleminin çözümünü x e bağlı ifade etmeye çalışalım. Önce sayısal bir değer vererek problemin sayısal çözümünü bulalım. Örneğin x = 3 için P(3) = = 4 tane gömleği ve Q(3) = 3 tane pantolonu olduğundan P(3).Q(3) = 4. 3 = 12 değişik kıyafet giyebilir. Her gün farklı kıyafet giyeceğinden 12 gün farklı giyinebilir. (Çözümü yaparken toplama yerine çarpmayı seçtiğimizi fark ettiniz mi?) Şimdi probleme geri dönelim ve çözümü veren x e bağlı polinomu bulalım. T(x) =P(x). Q(x) = (x + 1).x = x.x + x = x 2 + x Böylece T(x) polinomu T(x) = x 2 + x olur. T(3) değerini hesaplayarak P(3).Q(3) ile karşılaştırınız. Nasıl bir sonuç buldunuz? 12

13 2. Bir çiftçi (3x+2) çocuğunun her birine (2x 2 +x) dönüm tarla dağıttığında kendine (x+1) dönüm kaldığını görüyor. Buna göre çiftçinin başlangıçta kaç dönüm tarlası olduğunu bulmak istersek yapacağımız işlem: P(x)= (3x+2).(2x 2 +x) + (x+1) P(x)= 6x 3 + 7x 2 + 3x + 1 Burada yaptığımız işlem size bildiğiniz bir eşitliği hatırlatıyor mu? Peki birlikte hatırlayalım. Evet hatırlamaya çalıştığımız bölme eşitliğiydi. Yukarıdaki etkinliğe dönecek olursak, 6x 3 + 7x 2 + 3x + 1 = (3x + 2) (2x 2 + x) + x + 1 eşitliğini bölme işlemi şeklinde görelim x+7x+3x x + 4x 2 3x + 3x x + 2x x+1 3x+2 2 2x+x Yaptığımız bölme işleminde bölünen, bölen,bölüm, kalan birer polinom mudur? 3. Her gün (x 2 +3x) lira biriktiren Can ın toplam kaç günün sonunda (2x 5 + x 4 + 2x 2 + x) lirası olur? Burada gün sayısını bulmak için yapmamız gereken işlem...dir. 4. Her gün eşit miktarda soru çözen Barış (x 3 +1) gün sonunda (x 6 +x 5 +x 3 +x 2 ) tane soru çözmüştür. Buna göre, Barış ın bir günde çözdüğü soru miktarı ne kadardır? Burada, Barış ın bir günde çözdüğü soru miktarını bulmak için yapılması gereken işlem... dir. Yukarıda yaptığımız işlemlerde...,...,..., kalan birer polinom mudur? Yanıtımız polinom ise bunların dereceleri arasında nasıl bir bağlantı kurabiliriz? 13

14 5. Aşağıdaki tabloda bırakılan boş yerleri uygun biçimde doldurunuz. Polinomlar der[(p(x)] der[(q(x)] der[(p(x)+q(x)] der[(p(x) Q(x)] P(x) = x 3 x Q(x) = 2x 2 + 3x 3 P(x) = x 4 + x 3 Q(x) = x 3 x P(x) = x 2 + x 1 Q(x) = x 2 x 2 P(x) = x 5 x Q(x) = x 4 + 2x 3 x Aşağıdaki tabloda bırakılan boş yerleri uygun biçimde doldurunuz. Polinomlar der[(p(x)] der[(q(x)] der[(p(x).q(x)] der(p(x 2 )) der(q 3 (x)) P(x) = x 2 3x Q(x) = x + 1 P(x) = x 3 x 2 Q(x) = x 2 + x P(x) = x 4 + x 2 x Q(x) = x 2 x + 1 P(x) = x Q(x) = x Aşağıdaki tabloda bırakılan boş yerleri uygun biçimde doldurunuz. Bölünen polinom: B(x) P(x) Bölen polinom: Q(x) K(x) d[p(x)] d[q(x)] d[b(x)] d[k(x)] x +4x x+1 B(x) 12x 2 8x K(x) 3 2 3x +2x 1 x +1 K(x) B(x) 4 4x +2x 2 +5x x 3 x K(x) B(x) 14

15 8. Polinomlarda yaptığımız işlemlere göre aşağıdaki sonuçları belirleyelim. d[p(x)] = a d[q(x)] = b a > b olsun. d[p(x)+q(x)] =... d[p(x)-q(x)] =... d[p(x).q(x)] =... d P ( x ) Q( x) =... d [P(x n )]=... d [Q m (x)]= D x+2 C x+1 Kenar uzunlukları (x+1) birim ve (x+2) birim olan dikdörtgen biçimindeki bir kartonu, bir kenarı (x 1) birim olan karelere ayırıyoruz. Geriye kalan parça kaç birim karedir? x 1 A x 1 B Yukarıdaki problemlerin çözümünde kalan alanı bulmak için yapılacak işlemin ne olacağını düşününüz Yukarıdaki işlemlerin sonucunda elde ettiğiniz sonuç aşağıdaki eşitlik olabilir mi? P(x) = x 2 + 3x + 2 = (x 1).(x+4) + 6 yani kalan 6 dır diyoruz. P(1)=... 15

16 1. P(x) = x 3 x polinomunun (x 2) ile bölümünden kalanı bölme işlemi yaparak bulunuz. Bulduğunuz sonucu P(x) polinomunda x yerine 2 yazarak elde ettiğiniz sonuçla karşılaştırınız. 2. P(x) = 4x 2 + 6x 3 polinomunun (2x+1) ile bölümünden kalanı bölme işlemi yaparak bulunuz. Bulduğunuz soncu P(x) polinomunda x yerine 1 yazarak elde ettiğiniz sonuçla karşılaştırınız. 2 Bölünen Bölen Bölme eşitliği Kalan x +x x x+1 2x +x x=(x+1)(2x x) x 4x+6 x 2 3x 4x+6= x 6 x 2 x 6= Yukarıda yaptığımız çalışmalarda da görüldüğü gibi P(x) polinomunun (x a) ile bölümünden elde edilen kalanı bulmak için, uzun uzun bölme işlemi yapmak yerine: P(x) polinomunda x yerine... yazılır ve P(...) bize kalanı verir. P(...)=0 ise (x a), P(x) polinomunun bir çarpanıdır. 16

17 P(x) = x + 1 Q(x) = x 1 R(x) = 2.x P(x), Q(x) ve R(x) polinomları için aşağıdaki çarpım polinomlarını bulunuz. a) P(x).R(x) =.. b) Q(x).R(x)= c) P(x).Q(x)=. 1. Bir geziye katılan öğrenci sayısı x 4 2x 3 + 2x 2 + x 1 kadardır. Bu öğrencileri öğrenci sayısı (x 2 +1) olan gruplara ayırdığımızda kalan öğrenci sayısını bulalım. Yapılması gereken toplam öğrenci sayısını, bir gruptaki öğrenci sayısına bölmek olacaktır x +1 x 2x +2x +x 1 Bölüm=B(x) Kalan=K(x) x 2x +2x +x 1=(x +1).B(x)+3x 2 Kalan Bir önceki etkinlikte ve yaptığımız çalışmalarda bölme işlemi yapmadan da kalanı bulabileceğimizi görmüştük. Aynı çalışmayı burada da yapabilir miyiz?daha önce böleni sıfırlamıştık ve polinomda yerine yazmıştık. Burada x 2 +1= 0 ise x 2 = 1 i yerine yazacağız x 4 2x 3 + 2x 2 + x 1 = (x 2 +1).B(x) + K(x) (x 2 ) 2 2.x 2.x + 2x 2 + x 1 = (x 2 +1).(B(x) + K(x) ( 1) 2 2( 1) x + 2( 1) + x 1 = ( 1+1).B(x) + K(x) 1 + 2x 2 + x 1 = 0 + K(x) 3x 2 = K(x) 2. Emre nin 2x 9 4x 6 + x tane kalemi vardır. Kalemlerini (x 3 2) şerli gruplara ayırdığında geriye kaç tane kalem kalır?... Yukarıdaki işlemlerin sonucunda elde ettiğiniz sonuç aşağıdaki eşitlikle aynı mı? 2x 9 4x 6 + x = (x 3 2). B(x) + 5 Aynı kalanı yine bölme işlemi yapmadan bulmaya çalışalım. 2.(x 3 ) 3 4(x 3 ) 2 + x = (x 3 2). B(x) + K(x) 2.(2) 3 4(2) = (2 2). B(x) + K(x) 5 = K(x) 17

18 Yukarıdaki çalışmalarda da görüldüğü gibi, bir P(x) polinomunun (x n a) şeklinde bir polinom ile bölümünden kalanı bulmak için, P(x) polinomu (x n ) in kuvvetleri biçiminde düzenlenir ve x n yerine... yazılır. 1. Bir torbadaki ceviz sayısı P(x) = x 4 x 3 + ax b polinomu ile ifade ediliyor. Torbadaki cevizler (x 1) li ve (x+2) li paketlere ayrıldığında geriye hiç ceviz kalmıyor. Buna göre P(x) polinomunun katsayıları toplamını bulunuz. Cevizler paketlendiğinde geriye hiç ceviz kalmıyorsa torbadaki ceviz sayısı, paketlerdeki ceviz sayısı (x 1) e ve (x+2) ye bölünüyor diyebilir miyiz? 2. Ali nin haftalık harçlığı P(x) = x 3 + 3x 2 + ax + b polinomu ile ifade ediliyor. Ali her gün eşit miktarda (x 2 x 2) lira harcayarak parasının bir haftada bitiriyor. Buna göre a.b çarpımını birlikte bulalım. Ali nin harçlığını ifade eden P(x) polinomu günlük harcama miktarı olan (x 2 x 2) ifadesine tam bölünür. x 2 x 2 = (x+1).(x 2) şeklinde yazabildiğimize göre P(x) polinomu bu durumda x 2 x 2 nin çarpanları olan (x+1) ve (x 2) ye de tam olarak bölünür diyebiliriz. O halde P( 1) = 0 ve P(2) = 0 dır. P(x) = x 3 + 3x 2 + ax + b P( 1) = a+b = 0 a b = 2 P(2) = a + b = 0 2a + b = 20 a =... b =... a.b =... 18

19 Armada dershanesindeki öğrencileri (x+2) li gruplara ayırdığımızda geriye 3 öğrenci, (x+1) li gruplara ayırdığımızda geriye 5 öğrenci kalıyor. Buna göre (x+2).(x+1) li gruplara ayırdığımızda kalan öğrenci sayısını bulalım. Armada dershanesindeki öğrenci sayısını veren polinom P(x) olsun. P(x) i (x+2) ye böldüğümüzde kalan 3, (x+1)e böldüğümüzde kalan 5 veriliyor. P( 2) = 3 P( 1)= 5 Burada P(x) in (x+2).(x+1) çarpımına yani 2. dereceden bir polinoma bölünmesi istendiğine göre kalanı en fazla birinci dereceden olabilir. Bu durumda P(x) = (x+2).(x+1).b(x) + ax + b P( 2) = 0 2a + b = 3 2a + b = 3 P( 1) = 0 a + b = 5 a + b = 5 a = 2 b = 7 bulunur. K(x) = ax + b K(x) = 2x

Polinomlar. Rüstem YILMAZ

Polinomlar. Rüstem YILMAZ Polinomlar Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 matematikklinigi@gmail.com 26 Aralık 2016 0.1 Tanımı a, b, c, d reel sayılar ve n N olmak üzere, P (x) = ax n + bx n 1 + + cx + d ifadesine reel katsayılı ve bir

Detaylı

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek...

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek... POLİNOMLAR n N, a n, a n 1, a n 2,a 1,a 0 R ve a n 0 olmak üzere, a n x n +a n 1 x n 1 +a n 2 x n 2 +...+a 1 x+a 0 ifadesine x in bir polinomu denir ve genellikle bu ifade P(x),Q(x) gibi bir ifadeye eşitlenerek

Detaylı

POLİNOMLARIN TANIMI. ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: KONU: POLİNOMLAR NUMARASI: SINIFI:

POLİNOMLARIN TANIMI.  ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: KONU: POLİNOMLAR NUMARASI: SINIFI: ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: Dersin Adı POLİNOMLARIN TANIMI 1. Aşağıdaki fonksiyonlardan polinom belirtir? I. Dersin Konusu 1 5. P x x n 1 7 x 4 n 5 ifadesi bir polinom belirttiğine göre, bu polinomun derecesi

Detaylı

Örnek...4 : P(x) = 3x + 2 ve Q(x)= x 2 +4x -3 polinomları için a) P(x). Q(x) b)x.p(x) 2.Q(x) işlem lerini ya pınız.

Örnek...4 : P(x) = 3x + 2 ve Q(x)= x 2 +4x -3 polinomları için a) P(x). Q(x) b)x.p(x) 2.Q(x) işlem lerini ya pınız. POLİNOMLARDA Polinomlarda To plama ve Çıkarma P(x) ve Q(x) iki polinom olsun. P(x) + Q(x) veya P(x) Q(x) işlemi yapılırken eşit dereceli terimlerin katsayıları işlemine göre toplanır veya çıkarılır. Örnek...1

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere,

TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere, MATEMAT K TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere, 0 1 2 3 n P(x) = a x n a x n 1... a x 3 a x 2 a x n n 1 3 2 1 a ifadesine reel katsay l POL NOM denir. 0 a, a, a,..., a say lar na KATSAYILAR,

Detaylı

ünite12 POLİNOMLAR Polinomlar

ünite12 POLİNOMLAR Polinomlar ünite1 POOM = 1 Polinomlar 0 1 1. şağıdakilerden hangileri bir polinom değildir?. x 4 + 3. x 3 3x 5 +. x 6 1 V. x 4 1 + V. 5x 1 8 POOM POOM 5. P(x) = (a )x + (b + 3)x + ab 1 polinomu sabit bir polinom

Detaylı

10 SINIF MATEMATİK. Polinomlar Çarpanlara Ayırma İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

10 SINIF MATEMATİK. Polinomlar Çarpanlara Ayırma İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler 10 SINIF MATEMATİK Polinomlar Çarpanlara Ayırma İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da yavrularının öğreniminin tamamlanması

Detaylı

POLİNOMLAR. Polinomlar. Konu Kavrama Çalışması

POLİNOMLAR. Polinomlar. Konu Kavrama Çalışması POLİNOMLAR Polinomlar f: A B biçiminde tanımlanmış f(x) fonksiyonunda, A kümesi tanım kümesi ve B kümesi değer kümesidir. Fonksiyonlarda, fonksiyonu tanımsız yapan değerler tanım kümesinde yer alamaz.

Detaylı

Mustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü

Mustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü * Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org 0. Sınıf M AT E M AT İ K Mehmet ŞAHİN www.mehmetsahinkitaplari.org M.E.B Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı nın 0..009 tarih ve 4 sayılı kararı ve 00-0 öğretim yılından itibaren uygulanacak programa göre

Detaylı

1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r?

1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r? 1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin bu say s nda Polinomlar konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. Bu konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

5. P(x). Q(x) polinomunun derecesi 9, P(x) Q(x) 7. P(x) = (3m 1)x 3 4x 2 (n + 1) x+ k ve. Q(x) = 17x 3

5. P(x). Q(x) polinomunun derecesi 9, P(x) Q(x) 7. P(x) = (3m 1)x 3 4x 2 (n + 1) x+ k ve. Q(x) = 17x 3 , 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Polinomlar TEST I 1. Aşağıdakilerden hangisi bir polinomdur? A) = 4 x5 4x 4 5 + 7 x 4 5.. polinomunun derecesi 9, polinomunun derecesi 5 olduğuna

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

POLİNOMLAR Test I m P x 3 2x x 4x. P x x 5 II. III. A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9

POLİNOMLAR Test I m P x 3 2x x 4x. P x x 5 II. III. A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9 POLİNOMLAR Test -. I. P x x 5 II. III. P x x P x ifadelerinden hangileri polinom belirtir? 6. P x x x x 7 polinomunun katsayılar toplamı A) B) C) D) 0 E) 9 A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III

Detaylı

KONU: Polinomlarda Bölme İşlemi. 6. P x x x 1

KONU: Polinomlarda Bölme İşlemi. 6. P x x x 1 ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Polinomlarda Bölme İşlemi Dersin Konusu 1. Px 4 x x polinomunun x 1 ile bölümünden kalan A) 0 B) 1 C) D) 4 E) 6. Px x x 1 polinomunun x + 1 ile

Detaylı

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNTE: RASYONEL SAYILAR ONU: Rasyonel Sayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE SORULAR VE ÇÖZÜMLER. işleminin sonucu B) D) ki rasyonel sayının farkını bulmak için çıkan terimin toplama işlemine göre tersi alınarak

Detaylı

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm

Detaylı

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik 1. Ünite: Geometriden Olasılığa 1. Bölüm: Yansıyan ve Dönen Şekiller, Fraktallar Yansıma, Öteleme, Dönme Fraktallar 2. Bölüm: Üslü Sayılar Tam

Detaylı

KONU: ÇARPANLARA AYIRMA TARİH: YER:LAB.4 _PC5

KONU: ÇARPANLARA AYIRMA TARİH: YER:LAB.4 _PC5 KONU: ÇARPANLARA AYIRMA TARİH:29.11.2011 YER:LAB.4 _PC5 İçindekiler KONU HAKKINDA GENEL BİLGİ :...3 A.ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA :...3 B.GRUPLANDIRARAK ÇARPANLARA AYIRMA:...3 C.İKİ KARE FARKI OLAN İFADELERİN

Detaylı

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır?

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır? MATE 106 SOSYAL BİLİMLER İÇİN TEMEL ANALİZ Ad-Soyad No Uygun cevabı bulunuz. 1)A = πr2 formülü r yarıçaplı çemberin A alanını vermektedir. Bir masa örtüsü A alanına sahipse, yarıçapını A'nın bir fonksiyonu

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

MATEMATİK ÜSLÜ SAYILAR. Tam Sayıların Tam Sayı Kuvveti. Üslü sayı, bir sayının kendisi ile tekrarlı çarpımıdır.

MATEMATİK ÜSLÜ SAYILAR. Tam Sayıların Tam Sayı Kuvveti. Üslü sayı, bir sayının kendisi ile tekrarlı çarpımıdır. Kazanım Tam sayıların tam sayı kuvvetlerini belirler. MATEMATİK KAZANIM FÖYÜ- Tam Sayıların Tam Sayı Kuvveti.Adım..Adım...Adım Yanda verilen örüntünüyü 6.Adıma kadar ilerletiniz. HATIRLA Üslü sayı, bir

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25 İçindekiler RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER. Çözümlü Sorular............................. 2.2 Sorular................................... 5 2 TEK - TERİMLİ veçok-terimli İFADELER 7 2. Çözümlü Sorular.............................

Detaylı

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10. MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 10. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR KOMİSYON

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 10. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR KOMİSYON ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 0. SINIF DERS KİTAI YAZARLAR KOMİSYON DEVLET KİTAPLARI İKİNCİ ASKI..., 0 MİLLİ EĞİTİM AKANLIĞI YAYINLARI...: 5659 DERS KİTAPLARI DİZİSİ...: 54.?.Y.000.470 Her hakkı saklıdır ve Milli

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

KILAVUZ SORU ÇÖZÜMLERİ Matematik

KILAVUZ SORU ÇÖZÜMLERİ Matematik 9. Çarpanlar ve Katlar b Dikdörtgenin alanı 4 cm olduğuna göre, kısa ve uzun kenarının çarpımı 4 cm 'dir. a. b = 4 a 6. Asal Çarpanlar A B C D E Yukarıda verilen asal çarpanlara ayırma işleminin son satırında

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Rasyonel Fonksiyonlar 5 Bibliography 35 Inde 39 Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme

Detaylı

POLÝNOMLAR TEST / Aþaðýdakilerden hangisi polinom fonksiyonu deðildir?

POLÝNOMLAR TEST / Aþaðýdakilerden hangisi polinom fonksiyonu deðildir? POLÝNOMLAR TEST / 1 1. Bir fonksiyonun polinom belirtmesi için, deðiþkenlerin kuvveti doðal sayý olmalýdýr. Buna göre, aþaðýdakilerden hangisi bir polinomdur? 5. m 4 8 m 1 P(x) = x + 2.x + 2 ifadesi bir

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

ÇARPANLAR ve KATLAR. Uygulama-1. Asal Sayılar. Pozitif Bir Tam Sayının Çarpanlarını Bulma. Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) bulunuz.

ÇARPANLAR ve KATLAR. Uygulama-1. Asal Sayılar. Pozitif Bir Tam Sayının Çarpanlarını Bulma. Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) bulunuz. Asal Sayılar Sadece kendisine ve sayısına bölünebilen 'den büyük tam sayılara asal sayı denir. En küçük asal sayı 2'dir ÇARPANLAR ve KATLAR Uygulama- Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) 36=

Detaylı

10. SINIF MATEMATİK FONKSİYONLARDA İŞLEMLER-2

10. SINIF MATEMATİK FONKSİYONLARDA İŞLEMLER-2 . SINIF MTEMTİK FONKSİYONLRD İŞLEMLER- ÇKEY NDOLU LİSESİ MTEMTİK ÖLÜMÜ . ÜNİTE.. FONKSİYONLRD DÖRT İŞLEM Neler öğreneceksiniz? Fonksiyonlarda dört işlem yani toplama çıkarma, çarpma ve bölmeyi öğreneceksiniz.

Detaylı

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini

Detaylı

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz. MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA A S A L Ç A R P A N L A R A A Y I R M A T a n ı m : Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, asal çarpanlarına ayırma denir. 0 sayısını asal çarpanlarına

Detaylı

MATEMATİK Fasikül 1 KONU ANLATIMLI FASİKÜL SET ÖLÇEN SIRA SENDE UYGULAMALARI ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR

MATEMATİK Fasikül 1 KONU ANLATIMLI FASİKÜL SET ÖLÇEN SIRA SENDE UYGULAMALARI ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR ATU MATEMATİK Fasikül 1 KONU ANLATIMLI FASİKÜL SET ZENGİN İÇERİKLİ ÖZGÜN KONU ANLATIMI ÖLÇEN SIRA SENDE UYGULAMALARI ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR BİLGİ KONTROLÜ ODAKLI KARMA SORULAR PEKİŞTİREN BÖLÜMLERİ AKILLI

Detaylı

Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler

Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; temel özdeşlikleri ve binom açılımını, birinci ve ikinci dereceden denklem çözümlerini

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 10. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 10. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 0. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI POLİNOMLAR ÇARPANLARA AYIRMA İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER V ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 0. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI 0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

Atatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar

Atatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 01 MATEMATİK 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1. RAKAM Sayıların yazılmasında kullanılan sembollere rakam denir. Onluk

Detaylı

8. SINIF MATEMATİK ÜSLÜ İFADELER

8. SINIF MATEMATİK ÜSLÜ İFADELER . SINIF MATEMATİK ÜSLÜ İFADELER... Tam sayıların, tam sayı kuvvetlerini hesaplar, üslü ifade şeklinde yazar....... a.a.a.a...a a n HATIRLATMA KÖŞESİ- n HATIRLATMA KÖŞESİ- Her sayının sıfırıncı kuvveti

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA 00 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. + + 5 0 + + + 0 40 toplamının sonucu kaçtır? A) 5 B) C) D) E) + 4. a,b,c Z olmak üzere, a + b + c 7 = 6 ise, a.b.c kaçtır? A) 6 B) 8 C) D) 6 E) 8 y.

Detaylı

MATEMATİK 1 - FÖY İZLEME TESTLERİ. ÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar. 4. a.b + a b 10 = x ve y farklı birer pozitif tam sayı,

MATEMATİK 1 - FÖY İZLEME TESTLERİ. ÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar. 4. a.b + a b 10 = x ve y farklı birer pozitif tam sayı, MATEMATİK - FÖY İZLEME TESTLERİ 0/U UYGULAMA ÜNİTE : TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar. x, y, z birer rakam ve x < y < 6 < z olmak üzere, x + 3y z ifadesinin en büyük değeri A) B) 3 C) 6 D) 0 E) 9 4. a.b

Detaylı

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI 9 Eylül- Eylül 0-07 TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 0. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Veri, Sayma ve Sayma. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. Sıralama

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

7. ( ) ( ) ( ) A)11 B)12 C)13 D)14 E)15 8. ( ) çarpanı A) 2 B) 1 C) 0 D)1 E) 2 A)1 B) 2 C)3 D) 4 E)5 10. ( ) (B) A) 9 B)10 C)11 D)12 E)13 11.

7. ( ) ( ) ( ) A)11 B)12 C)13 D)14 E)15 8. ( ) çarpanı A) 2 B) 1 C) 0 D)1 E) 2 A)1 B) 2 C)3 D) 4 E)5 10. ( ) (B) A) 9 B)10 C)11 D)12 E)13 11. 1. POLİNOMLAR 6 ( + + 6 ) ( + + ) çarpımında lü terimin katsayısı A)16 B)18 C) 0 D) E) 6. P( ) polinomunun 6 + ile bölümünden elde edilen bölüm ve kalan P in derecesi en polinomları eşit olmaktadır. (

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

8.SINIF CEBirsel ifadeler

8.SINIF CEBirsel ifadeler KAZANIM : 8.2.1.1. Basit cebirsel ifadeleri anlar ve farklı biçimlerde yazar. Hatırlatma 2 + 4y - 5 ifadesi bir cebirsel ifadedir ve değişkenler ve y dir. Cebirsel İfade: İçinde bir veya birden fazla bilinmeyen

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak

Detaylı

MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA

MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA 3. Ondalık Sayılarda İşlemler: Toplama - Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama-çıkarma

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 0-0 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 0.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI EYLÜL EKİM. Gerçek katsayılı ve tek değişkenli polinomu kavram olarak örneklerle açıklar, polinomun derecesini,

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

1995 ÖSS. 6. Toplamları 621 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 16, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı kaçtır?

1995 ÖSS. 6. Toplamları 621 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 16, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı kaçtır? 99 ÖSS.. 0, 0, 0,44. işleminin sonucu A) 0, B) 0,4 C) D) 4 E) 0 6. Toplamları 6 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 6, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı A) 70 B) 7 C) 80

Detaylı

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının

Detaylı

Konu Anlatımı Açık Uçlu Sorular Çoktan Seçmeli Sorular Doğru Yanlış Soruları Boşluk Doldurmalı Sorular Çıkmış Sorular

Konu Anlatımı Açık Uçlu Sorular Çoktan Seçmeli Sorular Doğru Yanlış Soruları Boşluk Doldurmalı Sorular Çıkmış Sorular Maths@bi 8 3.BÖLÜM Kareköklü Sayılar Konu Anlatımı Açık Uçlu Sorular Çoktan Seçmeli Sorular Doğru Yanlış Soruları Boşluk Doldurmalı Sorular Çıkmış Sorular Kerime ASKER-Abdullah ASKER Matematik Öğretmeni

Detaylı

Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir.

Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir. 1 B)ÇARPANLARA AYIRMA VE ÖZDEŞLİKLER: Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir. Çarpanlara Ayırma Yöntemleri: 1)Ortak Çarpan Parantezine Alma:

Detaylı

ÇARPANLAR VE KATLAR ÖĞRENİYORUM

ÇARPANLAR VE KATLAR ÖĞRENİYORUM ÖĞRENİYORUM Bir pozitif tam sayıyı birden fazla pozitif tam sayının çarpımı şeklinde yazarken kullandığımız her bir sayıya o sayının çarpanı denir. Örnek: nin çarpanları,, 3, 4, 6 ve dir. UYGULUYORUM Verilmeyen

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

AYT 2018 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ. ai i İçler dışlar çarpımı yapalım. 1 ai i a i 1 ai ai i. 1 ai ai 1 ai ai 0 2ai a 0 olmalıdır.

AYT 2018 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ. ai i İçler dışlar çarpımı yapalım. 1 ai i a i 1 ai ai i. 1 ai ai 1 ai ai 0 2ai a 0 olmalıdır. AYT 08 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ ai i İçler dışlar çarpımı yapalım. ai ai i ai ai aii ai ai ai ai 0 ai a 0 olmalıdır. Cevap : E 8 in asal çarpanları ve 3 tür. 8.3 3 40 ın asal çarpanları ve 5 tir. 40.5 İkisinde

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama KURAL: Bir sayının belli bir sayıda yan yana çarpımının kolay yoldan gösterimine üslü sayılar denir. Örneğin 5 sayısının

Detaylı

ÖSYM M TEMEL MATEMATİK TESTİ YGS / MAT. Diğer sayfaya geçiniz. 1. Bu testte 40 soru vardır.

ÖSYM M TEMEL MATEMATİK TESTİ YGS / MAT. Diğer sayfaya geçiniz. 1. Bu testte 40 soru vardır. TEMEL MATEMATİK TESTİ 2011 - YGS / MAT M9991.01001 1. Bu testte 40 soru vardır. 1. 2. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. işleminin sonucu kaçtır?

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım 2007 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. Bir sayının 0,02 ile çarpılmasıyla elde edilen sonuç, aynı sayının aşağıdakilerden

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir. TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız.

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız. KÜME KAVRAMI Küme matematiğin tanımsız bir kavramıdır. Ancak kümeyi, iyi tanımlanmış kavram veya nesneler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi

Detaylı

4.2.1 Sayma Sistemleri

4.2.1 Sayma Sistemleri . Taban Aritmetiği.. Sayma Sistemleri a. 9 Etkinlik. a. gün; kaç yıl, kaç ay, kaç hafta, kaç gündür? ( yıl gün, ay 0 gün sayılacaktır.) b. 7 saniye; kaç saat, kaç dakika, kaç saniyedir? c. 7 kg fındık

Detaylı

MERKEZİ ORTAK SINAV KAZANDIRAN MATEMATİK FÖYÜ

MERKEZİ ORTAK SINAV KAZANDIRAN MATEMATİK FÖYÜ MERKEZİ ORTAK SINAV KAZANDIRAN MATEMATİK FÖYÜ ÖRNEK: 18 sayısının pozitif çarpanları nelerdir? Çarpımları 18 olan sayılar arayalım. 18 = 1. 18 18 =. 9 18 =. 6 Her doğal sayı iki doğal sayının çarpımı şeklinde

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal I / 10 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal I / 10 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal I / 10 Mayıs 2009 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. ( 2 1). 2+ 1 1 2 1 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2 C) 4 D) 2 2 E)

Detaylı

Temel Matematik. 1. saat. Hadi başlayalımmm...

Temel Matematik. 1. saat. Hadi başlayalımmm... saatte Temel Matematik 1. saat Hadi başlayalımmm... DOĞAL SAYILARLA İŞLEMLER Üslü sayılar b ve n birer doğal sayı olmak üzere aaa..... a 14444244443 = an = b ntane üslü niceliğinde a ya taban, a nın kaç

Detaylı

Tam Kare Sayıların Karekökleri - Çalışma Kağıdı Ortaokul Matematik Kafası Kerim Hoca ile 64 arasında kaç tane tam sayı vardır?

Tam Kare Sayıların Karekökleri - Çalışma Kağıdı Ortaokul Matematik Kafası Kerim Hoca ile 64 arasında kaç tane tam sayı vardır? 8.Sınıf Matematik Yayın No : 8- / Kazanım : 8.1.3.. KAREKÖKLÜ İFADELER Tam Kare Sayıların Karekökleri - Çalışma Kağıdı + 3 1 Alıştırmalar 3. Aşağıdaki eşitliklerde x in alabileceği değerleri bulunuz. 1.

Detaylı

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14. 1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım 2007 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. Bir sayının 0,02 ile çarpılmasıyla elde edilen sonuç, aynı sayının aşağıdakilerden

Detaylı

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,, BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı n doğal sayı olmak üzere, (x+y) n ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar; (x+y) n ifadesi 1. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar

Detaylı