Filo araç al m nda karar aac ve deerleme a kullan m

Transkript

1 statistikçiler Dergisi 3 (00) statistikçiler Dergisi Filo araç al m nda karar aac ve deerleme a kullan m enay Lezki Anadolu Üniversitesi ktisadi ve dari Bilimler Fakültesi Yunusemre Kampüsü, Eskiehir slezki@anadolu.edu.tr Fikret Er Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Yunusemre Kampüsü, Eskiehir fer@anadolu.edu.tr Özet Bu çal man n amac, grafiksel karar verme tekniklerinden olan Karar Aac ve Deerleme A n n bir lojistik iletmesinin filo araç temini karar nda uygulanmas d r. Her iki teknik yard m yla firman n en iyi karar vermesi ve bu karar n karar paydalar na aç klanmas için yard mc araç olarak karar aac ve deerleme a yakla mlar n n kullan m n n faydalar gösterilmitir. Anahtar sözcükler: Karar a!ac, De!erleme a!, Filo alm. Abstract he usage of decision tree and valuation network to fleet purchasing he main purpose of this study to pass information about of graphical decision techniques that can be used in business decisions namely Decision ree and Valuation Network and to investigate the applicability of the techniques to vehicle purchasing behaviour of a logistics firm. In this context, it is also tried to show weak and strong sides of the two graphical decision techniques. Keywords: Decision tree, valuation network, fleet pruchasing.. Giri Bilimsel karar verme sürecinde, karar problemlerinin modellenmesi ve çözümü için geleneksel çözüm yakla m sonuç matrisinin kullan lmas d r. Bununla birlikte birden fazla karar n verilmesini gerektiren ard k karar problemlerinde, sonuç matrisi yetersiz olabileceinden, grafiksel karar verme yakla mlar tercih edilebilir. Karar Aac teknii karar problemlerinin modellenmesi ve çözümü amac yla kullan lan geleneksel grafiksel tekniktir. Karar Aac, karar probleminin tüm ayr nt lar n grafik üzerinde gösterir. Problemin grafiksel modelinin oluturulmas n n ard ndan karar aac kendine özgü teknii ile çözülür. Dier bir geleneksel grafiksel teknik Etki Diyagram d r. Karar problemlerinin grafiksel gösterimi için önerilen ve üzerinde çal malar sürdürülen daha yeni teknikler ise Deerleme A, Ard k Karar Diyagram ve Ard k Deerleme A olarak s ralanabilir. Deerleme A n n temelini oluturan çal malar Deerleme abanl Sistemler Bal alt nda ilk kez 99 ve 993 y llar nda Shenoy taraf ndan gerçekletirilmitir. 996 y l nda yine Shenoy taraf ndan yap lan bir çal ma ile Deerleme A teknii gelitirilmitir. Bu çal man n amac, ard k karar problemlerinde kullan lan grafiksel tekniklerden Karar Aac ve daha az bilinen ve üzerinde çal malar sürdürülen yeni bir grafiksel yakla m olan Deerleme A n n genel özelliklerini aktarmak ve bir lojistik iletmesinin filo araç temini karar nda uygulanabilirliini arat rmakt r. Literatürde filo al m çal malar nda karar aac ve etki diyagram kullan m yayg n deildir. Dolay s yla makalenin çözüm bölümünde problemin çözümünün tüm ayr nt lar na yer verilmitir.

2 . Lezki, F. Er / statistikçiler Dergisi 3 (00) Karar aac$ Karar Aac, olas tüm eylem seçeneklerini, bu eylem seçeneklerine etkisi olabilecek tüm olas faktörleri ve tüm bu faktörlere dayanan her bir olas sonucu, verilere bal olarak deerlendiren, çizgi, kare, daire gibi geometrik semboller kullan m yoluyla karar vericiye problemi anlamada kolayl k salayan grafiksel bir teknik olarak tan mlanabilir [6]. Karar Aac, grafik gösterimi ile problemin tüm yönlerini ayr nt l olarak ortaya koymaktad r. Herhangi bir karar problemi için kullan labilen Karar Aac teknii özellikle birden fazla karar n ard k olarak verilmesini gerektiren ard k karar problemlerinin gösterimi ve çözümünde çok kullan l d r []. Karar problemlerinde söz konusu olan dier bir özellik problemin simetrik ya da asimetrik yap da olmas d r. Karar problemlerinin karar aac gösteriminde, balang ç düümünden biti düümüne uzanan her bir yol senaryo olarak adland r l r. Karar ve ans düümlerinin ard kl tüm senaryolarda ayn olduklar nda karar problemi simetriktir. Buna kar n karar aac nda yer alan farkl senaryolarda karar ve ans düümlerinin ard kl farkl l k gösteriyorsa problem asimetrik karar problemidir [3]. ekil de verilen Karar Aac A ve B ile gösterilen iki farkl karar n ard k olarak al nd çok aamal bir karar problemine ilikindir. ekilde, her senaryoda yer alan düümlerin ard kl ayn olmad ndan asimetrik bir karar problemi olduu da gözlenebilmektedir. Herhangi bir karar problemine ilikin karar aac gösteriminin tamamlanmas n n ard ndan, her bir biti deeri, ans ve karar düümlerinin beklenen deerlerinin hesaplanmas ile çözülebilir [4,5]. %ekil. Ard k (çok aamal ) asimetrik karar problemine ilikin karar aac

3 . Lezki, F. Er / statistikçiler Dergisi 3 (00) Deerleme a$ De!erleme A!, karar problemlerinin gösterimi ve çözümü için Shenoy taraf ndan önerilen grafiksel bir tekniktir. Deerleme A tekniinde problemin modellenmesi grafiksel, ba!mllk ve saysal olmak üzere üç ayr düzeyde belirlenir. Grafiksel ve ba ml l k düzeylerinde sembolik ve nitel bilgi yer al rken say sal düzeyde nicel bilgi yer al r [9]. Grafiksel düzey, problemin De!erleme A! ad verilen bir grafik yard m yla gösterilmesidir. Deerleme A oluturulurken temel olarak de!iken ve de!erleme düümü olmak üzere iki tip düüm kullan l r. Buna ek olarak de!ikenler karar ya da ans deikeni ve de!erlemeler de gösterge, olaslk ya da fayda deerlemeleri olarak s n fland r l r. Bu nedenle bir Deerleme A nda karar, ans, gösterge, olas l k veya fayda olmak üzere be farkl tip düüm kullan l r []. Karar deikenini temsil eden karar dü!ümü grafiksel düzeyde kare (ya da dikdörtgen) ile gösterilir. 0ans dü!ümü rassal deikenleri temsil eder ve daire ile gösterilir. Bir deikenin deerler kümesi deikenin çerçevesi olarak adland r l r. Karar ve ans deikenlerinin çerçeveleri ba ml l k düzeyinde belirlenir. Karar ve ans deikenlerinin birleik çerçevelerine ilikin nitel k s tlamalar olan gösterge deerlemeleri Deerleme A nda gösterge dü!ümleriyle temsil edilir. Gösterge düümü s n rlar çift çizgili üçgen ile gösterilir. Grafikte yönsüz dorularla gösterge düümüne dorudan birletirilen dier düümlere ilikin deikenler kümesi, gösterge deerlemelerinin tan m kümesini oluturur. Problemdeki asimetriyi göstermek için kullan lan gösterge deerlemesi Deerleme A gösteriminin ba ml l k düzeyinde belirlenir [9]. Fayda deerlemeleri birleik fayda fonksiyonunun faktörlerini temsil eder ve Deerleme A nda düzgün dörtgen biçimindeki fayda dü!ümleri ile temsil edilir. Bir fayda düümüne bir doru yard m yla balant l k l nan deikenler kümesi fayda deerlemesinin tan m kümesini oluturur [3]. Olas l k deerlemeleri, problemdeki ans deikenlerinin birleik olas l k da l mlar n n çarp msal faktörlerini gösterir ve üçgen biçimli olaslk dü!ümleri ile temsil edilir. Bir olas l k deerlemesi ile dorudan birletirilen tüm deikenler kümesi, olas l k deerlemesinin tan m kümesini oluturur. Olas l k deerlemesi koullu ise bu durum olas l k deerlemesine ilikin düümden ilgili deikenlere doru yönlendirilmi dorular ile belirtilir. Deerleme A nda olas l k deerlemelerinin ayr nt lar say sal düzeyde belirlenir. Deerleme A n n grafiksel düzeyinde, karar ve ans düüm çiftleri aras nda yönlendirilmi yaylar yer almaktad r. Yönlendirilmi bu yaylar bilgi kstlarn temsil etmek için kullan l r. Bir baka ifadeyle, karar vericinin hangi noktada neyi bildii karar ve ans deikenleri aras ndaki yönlü yaylar ( ) ile belirtilir. R nin bir ans deikeni ve D nin de bir karar deikeni olduu varsay ld nda R D yay, karar vericinin D nin çerçevesi içinden bir alternatifi seçtiinde, R nin gerçek deerini biliyor olmas anlam ndad r. D R yay ise, karar vericinin D nin çerçevesi içinden bir alternatifi seçtiinde, R nin gerçek deerini bilmiyor olmas gerçeini yans t r []. Ba$ml$l$k düzeyi de grafiksel düzey gibi sadece nitel (ya da sembolik) bilgi içerir. Yukar da da belirtildii gibi her X deikeninin alabilecei deerler deikene ilikin çerçeveyi oluturur. üm deikenlerin sonlu say da çerçeveye sahip olduu varsay l r. Bir karar deikeninin çerçevesi, karar verici için mümkün alternatiflerden oluur [7]. Bir ans deikeninin çerçevesi ans deikeninin alabilecei tüm deerlerdir. Bir problemde gösterge deerlemelerini kullanarak, deikenlerin altkümesi için etkin çerçeve tan mlan r. s için etkin çerçeve, s için çerçevenin bir alt kümesidir. Çözüm tekniinin, hesaplama etkinlii k smen, bütün çerçeveler üzerinde çal mak yerine etkin çerçeveler üzerinde çal man n sonucunda ortaya ç kmaktad r [9]. Grafiklerdeki daire, kare, düzgün dörtgen gibi elemanlar kastetmek üzere kullan lm t r.

4 . Lezki, F. Er / statistikçiler Dergisi 3 (00) s nin deikenlerin bir alt kümesi olduu varsay ld nda s için etkin çerçeve izleyen iki ad m ile tan mlan r: Birinci ad mda, s deki bir deikeni kapsayan tan m kümesi içindeki gösterge deerlemeleri birletirilir. Bkinci ad mda, s içinde olmayan deikenleri ç karma amac yla birletirme sonuçlar marjinalize edilir [8]. Olas l k ve fayda deerlemelerindeki tüm say sal bilgi yaln zca etkin çerçeveler için tan mlan r. Ayr ca, çözüm aamas nda, tüm say sal hesaplamalar etkin çerçeveler üzerinde gerçekletirilir. Say$sal düzeyde, fayda ve olas l k deerlemelerinin ayr nt lar belirlenmektedir. D, tüm karar deikenleri kümesi ve R, tüm ans deikenleri kümesini göstermek üzere; = D R tüm deikenler kümesini temsil etmek için kullan lmaktad r. u olduu varsay ld nda u için fayda deerlemesi olan v, R gerçek say lar kümesi olmak üzere v : u R biçiminde bir fonksiyondur []. v nin deerleri faydalard r. Eer v, u için bir fayda deerlemesi ise, u, v nin tanm kümesidir. C = {{ D},{ R},{ v},{ }, } biçiminde gösterilebilen kanonik Deerleme A, karar deikeni D, ans deikeni R, fayda deerlemesi v, olas l k deerlemesi ve bilgi k s tlar ndan (öncelik ilikilerini gösteren oklardan ( )) oluur [7]. Karar deikeninin sonlu çerçevesi W D, ans deikeninin sonlu çerçevesi ise WR olarak gösterilir. {, RDiçin } bir fayda deerlemesi v iken,, {D} bilindiinde {R} için bir koullu olas l kt r ve D R olarak gösterilen bir öncelik ilikisi mevcuttur. Kanonik bir Deerleme A na ve buna kar l k gelen bir Karar Aac na ekil de yer verilmitir. D v R D d d n... R R r r m r r m d, r ) (... ( d, rm ) d n, r ) (... v d, r ) ( v( d, rm ) v d n, r ) ( v( d, m) ( d n, rm ) n r %ekil. Kanonik deerleme a ve kar l olan karar aac gösterimi Kanonik Deerleme A nda W D nin elemanlar alternatifler (seçenekler), W R nin elemanlar ise doal durumlard r. {D} bilindiinde {R} için bir koullu olas l k olan, {R} için olas l k da l m ailesidir ve her alternatif için d dir. Dier bir ifadeyle ans deikeni R nin olas l k da l m, karar verici WD

5 . Lezki, F. Er / statistikçiler Dergisi 3 (00) taraf ndan seçilen d alternatifi üzerinde koulludur. D = d bilindiinde, (, rd ) olas l, R = r nin koullu olas l olarak yorumlanabilir. Bu nedenle {D} bilindiinde {R} için bir koullu olas l k olan, { D} ( d) =, tüm d WD için biçimindedir. v fayda deerlemesi, koullu fayda fonksiyonudur. Karar verici d alternatifini seçerse ve doal durum r hakimse karar verici için fayda v( d, r) olur. D R biçimindeki öncelik ilikisinde (H) iareti doal durumun gerçek deerinin yaln zca karar vericinin bir alternatifi seçmesinin ard ndan ortaya ç kaca n ifade etmektedir [7]. Karar problemlerinin Deerleme A gösterimlerinin çözümünde füzyon algoritmas kullan l r []. Bu amaçla gerçekletirilen tüm hesaplamalar yaln zca etkin çerçeveler üzerinde gerçekletirilmektedir. Bir gösterge deerlemesi, deerleri 0 ya da olan bir fonksiyon olarak ele al nd nda, gösterge deerlemelerinin marjinalizasyonu silinen deikenlerin çerçevesi üzerinde Boolean toplamaya ve gösterge deerlemelerinin birleimi Boolean çarpmaya eittir. Marjinallerin hesaplanmas ndaki Boolean toplama ve Boolean çarpma, bölgesel hesaplamaya izin vermektedir. Bu nedenle etkin çerçeveleri bulmak için bölgesel hesaplama kullan labilir. Etkin çerçevelerin hesaplama ilemi Deerleme A çözüm süreci boyunca yap l r. Bu hesaplama, olas l k ve fayda deerlemelerinin say sal ayr nt lar belirlenmeden önce de yap labilir. 4. Uygulama 4.. Karar problemi Bir lojistik firmas araç filosunun bir bölümünü yenileme durumundad r (icari kayg lardan dolay lojistik firmas isminin çal mada kullan lmas n istememitir). Bu amaçla karar n bilimsel destek yard m yla vermek istemektedir. Blk aamada mevcut filo içindeki araç çeitlilii incelenip ihtiyac n hafif ticari araç kategorisinde younlat saptanm t r. Öte yandan firma yeni araçlar n eldeki genel araç portföyüne uygun olmas n istemektedir. Dahas, araçlar kasas z al p firmaya özgü ta mac l k standartlar n n salanmas amac yla araç kasalar n n firma bünyesinde yap lmas eilimindedir. Bu nedenle asi biçiminde tan mlanan araçlardan edinme firman n önceliinde bulunmaktad r. Geçmi deneyimlere ilikin kay tlar incelendiinde asi araçlar n iki farkl tedarikçi firma taraf ndan salanabildii görülmütür. Bu bilgilerden hareketle kurulan iletiim sonras nda söz konusu iki tedarikçiden yaln zca birinin asi seçenei konusunda destek verebilecei ortaya ç km t r. Böylelikle mevcut filo içinde yer alan araçlardan yaln zca birinden (D) marka (model)den araç temin edilebilecei belirlenmitir. Dier yandan son y llarda lojistik sektöründe küçük paket gönderim hacminin artt da bilinmektedir. Bu gerçekten hareketle firma yetkilileri, mevcut filo içinde yer almayan küçük boyutlu araç temini fikrini de göz önünde bulundurmaktad r. Ama bu tip araç filolar nda mevcut olmad ndan böylesi bir arac zaman içinde deneyip arac n ar za eiinin kendilerince kabul edilebilir olduunu görmek istemektedir. Bu amaçla piyasa arat rmas yap l p deneme kullan m na ücretsiz izin veren bir tedarikçi bulunmutur. Bu tedarikçiden edinilen araç (F olarak adland r ls n) performans km boyunca izlenmi, gerekli bak mlar gerçekletirilmi ve bunlar kaydedilmitir. Araç temini ilemi (F) modelinin km lik test süresinin bitimine kadar ertelenmitir. Deneme kullan m sonunda, filo içi asi ve filo d küçük araç aras nda tercih yap lmas aamas na gelinmitir. Bu noktada, firman n araç bak m sorumlusu deneme arac na ilikin verilerin tek bir araca yönelik olduu gerekçesiyle genellemenin sal kl olamayaca n savunup en az ndan arac n daha denenmesini önermise de bu öneri tedarikçi firma taraf ndan kabul görmemitir. Firma yetkililerinin probleme ilikin olarak elde ettikleri istatistikler izleyen kesimde verilmitir.

6 . Lezki, F. Er / statistikçiler Dergisi 3 (00) a) Geçmi kay tlara göre filo içi (D) nin ar za olas l klar, Day, D de ar za yok, Dav, D de ar za var olmak üzere, P(Day) = 0,86, P(Dav) = 0,4 deerlerine sahiptir. b) Filo d (F) ye ilikin ar za olas l klar ; b) Denenen bir araç için (F) nin ar za olas l klar, Fay, Fka ve Fba s ras yla F de ar za yok, F de küçük ar za ve F de büyük ar za durumlar n göstermek üzere, P(Fay) = 0,68, P(Fka) = 0,0, P(Fba) = 0, olarak bulunmutur. b) (F) yi pazarlayan firma test araçlar n n ar za yapma olas l klar n ay, ka ve ba s ras yla est sonucunda ar za yok, est sonucunda küçük ar za var ve est sonucunda büyük ar za var durumlar n göstermek üzere, P(ay) = 0,80, P(ka) = 0,5, P(ba) = 0,05 olarak vermitir. Yukar da s ralanan bu istatistiklere ek olarak, firma bak m atölyesi yetkilisi (F)nin.bir arac için test yapma karar vermeleri halinde, örnek araban n istatistiklerinden yola ç karak yeni test sonuçlar n n olabilirliklerini P(ka Fay) = 0,5, P(ay Fay) = 0,85, P(ba Fka) = 0,4, P(ka Fka) = 0,60, P(ay Fka) = 0,6, P(ba Fba) = 0,85, P(ka Fba) = 0,0, P(ay Fba) = 0,05 olarak belirtmitir. Öte yandan test sürecinde büyük ar za ortaya ç kt nda (F) marka arac n filoya kat l m gerçekletirilmeyecektir. (D) ve (F) marka araçlar n genel özellikleri farkl olduundan lojistik firma yetkililerinin araç fiyatlar n kar lat rma yoluyla sal kl bir çözüme ulamalar mümkün deildir. Bu nedenle, fayda fonksiyonunun araç fiyat ndan daha çok memnuniyet konusu üzerinde younlamas n n ak lc olaca görüü a rl k kazanm t r. Bu görü dorultusunda lojistik firmas, araç edinmeden bekledii kazanc en yüksek memnuniyet olarak benimsemitir. Bu amaçla bak m atölyesi yetkilileri (D) ve (F) marka araçlar n memnuniyeti için 0 ile 00 aras nda deien bir ölçek gelitirmitir. Buna göre belirlenen fayda fonksiyonu bileenleri ve bunlar n (D) ve (F) araçlar için memnuniyet deerleri Çizelge de verilmitir. Çizelge. Fayda fonksiyonu bileenlerine kar l k gelen fayda deerleri MEMNUNBYE (FAYDA) DEOERLERB (D) (F) Renk Seçimi Lastik kullan m 0 85 Byi niyet garantisi Özel araç al m indirimi 0 80 Y ll k vergi 0 00 Km ba na bak m asi seçenei 00 0 Yak t maliyeti 5 75 Ek kasa yap m 0 00 Çizelge den memnuniyet artt kça kazanc n da artt düünülerek 00 e yak n, memnuniyet azald kça kazanc n düecei varsay m ile 0 a yak n bir deerin atanm olduu görülmektedir. Ar za durumlar n n memnuniyet derecesini negatif yönde etkiledii kabul edilerek, 0 ile 00 aras nda deien ölçek ar za durumlar için negatif yönde kullan lm t r. Buna göre firma bak m atölyesi yetkilileri (D) için ar za durumunun memnuniyet derecesinin 50 birim düüreceini, (F) için küçük ar za durumunun memnuniyet derecesini 40 birim, büyük ar za durumunun ise 75 birim düüreceini belirtmilerdir. Son olarak ikinci bir test arac n n ücretsiz olarak verilmemesi ve test yapma karar verildiinde araç al m için beklenen sürenin uzamas gerekçelerinden dolay test yapma karar n n fayda deeri üzerinde 00 birim negatif etki yarataca kabul edilmitir.

7 . Lezki, F. Er / statistikçiler Dergisi 3 (00) Bu verilerden hareketle lojistik firmas faydas n en yüksek k lmak amac yla, test arac al p almama (test yapma\test yapmama) ve hangi marka araç almas gerektiine karar vermek durumundad r. Bzleyen kesimde, ard k iki karar n söz konusu olduu bu problem, çal mada ele al nan grafiksel teknikler yard m yla çözülmü ve en yüksek fayday salayacak karar alternatifleri belirlenmitir. Say sal hesaplamalar için Microsoft Excel program ndan yararlan lm ve bu hesaplamalar çizelgeler biçiminde çözüm sürecine eklenmitir. 4.. Problemin karar a!ac çözümü Lojistik firmas n n araç temini karar, Karar Aac yard m yla al nmak istendiinde problem öncelikle Karar Aac ile gösterilip daha sonra çözülecektir Problemin karar a!ac gösterimi (D) ve (F) marka araçlar n ar za yapma olas l klar, F arac için test yap lmas durumunda est sonuçlar n n olas l klar, Excel program nda Çizelge de verilen biçimde düzenlenmitir. F arac için test yap lmas durumunda ek bilgi elde edileceinden, test yap ld ktan sonra F marka araca ilikin olas l klar Bayes kural kullan larak yeniden hesaplanm ve hesaplama sonucunda elde edilen olas l k deerleri de Çizelge de verilmitir. Çizelge. Balang ç ve Bayes olas l klar Bayes olas l klar n hesaplanmas nda P( x) i = k i= P( x ) P( ) i P( x ) P( ) formülü kullan lm t r [0]. j i j Problemde fayda fonksiyonuna ilikin olarak verilen bilgilerden yola ç k larak Karar Aac n n biti noktalar nda yer alan fayda deerleri hesaplanm ve Çizelge 3 te verilen biçimde tablolat r lm t r.

8 . Lezki, F. Er / statistikçiler Dergisi 3 (00) Çizelge 3 ün sol sütununda, fayda fonksiyonunun bileenlerine kar l k gelen deerler toplanarak (F) ve (D) için toplam fayda deerleri bulunmutur. Sa sütunda ise araçlardaki ar za durumuna göre net fayda deerleri hesaplanm t r. Çizelge 3. Fayda deerleri çizelgesi Net fayda deerlerinin (ya da Karar Aac ndaki sonuçlar n) hesaplanmas sonras probleme ilikin Karar Aac ekil 3 te verilen biçimde ortaya ç km t r Problemin karar a!ac çözümü Problemin çözümünde öncelikle, biti noktalar ndan geriye doru beklenen deerler hesaplan l r. Bu amaçla ekil 3 te verilen Karar Aac nda bir ans düümüne balanan biti dallar için beklenen deerler; her bir ans dal n n sonucu ile bunlara kar l k gelen olas l klar n n çarp mlar n n toplam biçiminde hesaplanm t r. Blgili ans düümleri ekil 4 te verildii biçimde harfler ile temsil edildiinde her bir ans düümünün beklenen deeri aa daki eitlikler yard m yla hesaplanm t r. Böylelikle problemin Karar Aac çözümü tamamlanm olmaktad r. En yüksek beklenen fayda 703 olarak bulunmu ve bu fayday salayan kararlar test yapmamak ve F markas$n$ almak biçiminde belirlenmitir. Çözüm sürecinde en iyi olarak belirlenmi karar dallar ekil 3 de verilen biçimde kal n olarak vurgulanm t r.

9 . Lezki, F. Er / statistikçiler Dergisi 3 (00) %ekil 3. Problemin karar aac çözümü 4.3. Problemin de!erleme a! gösterimi Problemin Deerleme A çözümünde problem öncelikle Deerleme A ile gösterilip daha sonra çözülmütür. Problemin Deerleme A ile gösterimi grafiksel, ba ml l k ve say sal olmak üzere üç düzey biçiminde düzenlenmektedir. Grafiksel düzeyde problem De!erleme A! ad verilen bir grafik yard m yla betimlenmektedir. Araç edinme problemine ilikin Deerleme A ekil 4 de verilmitir.

10 . Lezki, F. Er / statistikçiler Dergisi 3 (00) < R = K F D v 3 v v %ekil 4. Problemin deerleme a ile gösterimi ekil 4 de yer alan Deerleme A ndaki düümlerin temsil ettii deiken ve deerlemeler izleyen k s mda aç klanm t r: Karar düümleri: Grafikte, karar deikenlerini temsil etmek üzere K ve ile gösterilen iki karar düümü bulunmaktad r. K: est karar n : Marka karar n temsil etmektedir. ans düümleri: ekil 4 de verilen Deerleme A nda rassal deikenleri temsil etmek üzere,, F ve D ile temsil edilen üç ans düümü yer almaktad r. : estin olas sonuçlar n F: F marka arac n olas ar za durumlar n D: D marka arac n olas ar za durumlar n temsil etmektedir. Bilindii gibi deikenlerin farkl durumlarda alaca deerler çerçeve olarak adland r lmakta ve grafik üzerinde gösterilmeyip bir sonraki inceleme düzeyi olan ba ml l kta belirlenmektedir. Gösterge düümleri: Grafikte gösterge deerlemelerini temsil eden ve biçiminde iki gösterge düümü bulunmaktad r. Yönsüz dorularla gösterge düümüne dorudan birletirilen düümler, gösterge

11 . Lezki, F. Er / statistikçiler Dergisi 3 (00) deerlemelerinin tan m kümesini oluturduundan ekil 4 den izlenebildii gibi düümünün tan m kümesi { K,, } iken gösterge düümünün tan m kümesi {, F} dir. Gösterge düümleri karar ve ans deikenlerinin birleik çerçevelerine ilikin nitel k s tlamalar temsil ettiklerinden, gösterge de!erlemesinin temsil etti!i nitel kstlama: est sonuçlar yaln zca est yap ls n karar verildiinde elde edilebilir ve düümündeki seçenekler K düümündeki seçeneklere ve test sonuçlar na bal d r. gösterge de!erlemesinin temsil etti!i nitel kstlama: F marka araçta gerçekte ar za yok iken, test sonucunun büyük ar za olmas olas l 0 d r. Olaslk düümleri: Problemdeki ans deikenlerinin olas l k da l mlar n göstermektedir. ekil 4 de, ve ile temsil edilen üç olas l k düümü bulunmaktad r. Olas l k düümlerinden ans düümlerine çizilen dorular olas l k düümlerinin tan m kümelerini belirtmektedir. Söz konusu dorular n yönlü olmas n n olas l n koullu olduunu gösterdii de bilinmektedir. ekil 4 de deikenler ile olas l k düümleri aras na çizilen tüm dorular yönsüz olduundan ilgili olas l klar n koullu olas l k olmad klar aç kt r. olas l k düümünün tan m kümesinin {, F}, olas l k düümünün tan m kümesinin { F} ve olas l k düümünün tan m kümesinin { D} olduu ekil 4 den anla lmaktad r. Fayda düümleri: Deerleme A nda fayda deerlemelerini temsil eden v, v ve v3 biçiminde üç fayda düümü yer almaktad r. v in tan m kümesi {, D}, v nin tan m kümesi {, F} ve v 3 ün tan m kümesi { K} d r. Bilgi kstlar: Karar ve ans düüm çiftleri aras ndaki yönlü yaylar bilgi k s tlar olarak karar vericinin hangi noktada neyi bildiini yans tt na göre K yay, karar vericinin K n n çerçevesinden bir alternatif seçtiinde nin gerçek deerini bilmediini gösterir. yay ise, karar vericinin çerçevesi içinden bir alternatif seçtiinde nin gerçek deerini biliyor olaca n göstermektedir. Deerleme A ndaki dier karar ve ans düümleri aras ndaki yönlü yaylar da benzer ekilde yorumlan r. Bilindii gibi, bilgi k s tlar çözüm aamas boyunca silinecek deikenlerin silinme s ras n n belirlenmesinde de kullan lmaktad r. Daha önce de belirtildii gibi, karar düümünden ans düümüne yönlendirilmi bir yol var ise ans düümü karar düümünden önce silinmelidir. ersine ans düümünden karar düümüne yönlendirilmi yol var olduunda karar düümü ans düümünden önce silinmelidir. Ba ml l k düzeyinde tüm deikenlerin çerçeveleri ile gösterge deerlemelerinin ayr nt lar belirlenmektedir. Olas l k ve fayda deerlemelerindeki tüm say sal bilgi yaln zca etkin çerçeveler için tan mlanaca ndan ve çözüm aamas nda tüm say sal hesaplamalar etkin çerçeveler üzerinde gerçekletirileceinden ba ml l k düzeyinde deikenlerin etkin çerçeveleri belirlenecektir. Buna göre karar ve ans deikenlerinin etkin çerçeveleri; K karar düümü için, ~t: test yapmama karar, t: test yapma karar olmak üzere K = {~ t,t} ; karar düümü için, h: hiçbir araç almama karar, d: D marka araç alma karar, f : F marka araç alma karar

12 . Lezki, F. Er / statistikçiler Dergisi 3 (00) olmak üzere = {h,d,f} ; ans düümü için, sy: est sonucunun elde edilmemesi durumu ba: est sonucunda büyük ar za gözlenmesi durumu ka: est sonucunda küçük ar za gözlenmesi durumu ay: est sonucunda ar za gözlenmeme (ar za yok) durumu olmak üzere = {sy,ba,ka,ay} ; F ans düümü için, Fay: F marka araç al nd nda, arac n ar za yapmama durumu Fka: F marka araç al nd nda, arac n küçük ar za yapma durumu Fba: F marka araç al nd nda, arac n büyük ar za yapma durumu olmak üzere F = {Fay,Fka,Fba} ; D ans düümü için, Day: D marka araç al nd nda, arac n ar za yapmama durumu Dav: D marka araç al nd nda, arac n ar za yapma durumu olmak üzere D = {Day,Dav} biçimdedir. Gösterge deerlemelerinin ayr nt lar ; için = {(~ t,sy,h),(~ t,sy,d),(~ t,sy,f),(t,ba,h),(t,ba,d),(t,ka,h),(t,ka,d),(t,ka,f), (t,ay,h),(t,ay,d),(t,ay,f)}; ve için = {(Fay,sy),(Fay,ka), (Fay,ay),(Fka,sy),(Fka,ba),(Fka,ka), (Fka,ay),(Fba,sy), olar (Fba,ba),(Fba,ka), (Fba,ay)} ak belirlenir. gösterge deerlemesinin test yap lmas ve test sonucunda büyük ar za olmas durumunda F marka arac n al nmayaca koulunun problemde yaratt asimetriyi yans tmak üzere (t, ba, f) durumunu içermedii görülmektedir. gösterge deerlemesi ise F marka araçta gerçekte ar za yok iken, test sonucunun büyük ar za olmas olas l n n 0 olduunu yans tmak üzere (Fay, ba) durumunu içermemektedir.

13 . Lezki, F. Er / statistikçiler Dergisi 3 (00) Son olarak say sal düzeyde fayda ve olas l k deerlemelerinin say sal ayr nt lar belirlenmektedir. Problemde yer alan fayda deerlemelerine ilikin ayr nt lar Çizelge 4 te olas l k deerlemelerine ilikin ayr nt lar ise Çizelge 5 te verilmitir. Çizelge 4. Deerleme a fayda deerlemeleri çizelgesi Çizelge 5. Deerleme a olas l k deerlemeleri çizelgesi 4.4. Problemin de!erleme a! çözümü Deerleme A n n çözümünde kullan lan füzyon algoritmas nda bir deiken, deikenle ilgili tüm deerleme (fayda, olas l k, gösterge) kümeleri üzerinde füzyon (eritme) ileminin uygulanmas ile silinmektedir. Daha önceden belirtildii biçimde tüm hesaplamalar etkin çerçeve üzerinde gerçekletirilmektedir.

14 . Lezki, F. Er / statistikçiler Dergisi 3 (00) Bilgi k s tlar na göre, ekil 4 de verilen Deerleme A ndaki deikenlerin silinme s ras D, F,, ve K biçimindedir. Problemdeki karar ve ans deikenleri ile ilgili füzyon ilemleri aa da verilmitir. D düümü ile ilgili füzyon: Blk olarak,, v, v,( v ),, } deerlemeleri içinden D düümü ile ilgili olan deerlemeler eritilecektir. Bu amaçla { 3 e özde olduu için FusD = {,, v, v, v3,,, } = {,, v, v3,( v ),, } olarak yaz l r. v 4, ( v ) verilmektedir. y göstermek üzere, D düümü ile ilgili füzyon sonucu grafiksel olarak ekil 5 de < R K F v 3 v 4 v %ekil 5. D Düümü ile ilgili füzyon ilemi sonras deerleme a Füzyon ilemine ilikin say sal hesaplamalar ise Çizelge 6 dan izlenebilir. Çizelge 6. D Düümü ile ilgili füzyon ileminin say sal hesaplamalar

15 . Lezki, F. Er / statistikçiler Dergisi 3 (00) F düümü ile ilgili füzyon: {,, v, v3, v4,, } deerlemeleri içinden F düümü ile ilgili olan deerlemeler eritilecektir. Füzyon formülü, {,} FusF = {,, v, v3, v4,, } = {, v3, v4,( v ( ) /( ) ),( ) } olarak yaz l r. {,} v 5, ( v ( ) /( ) ) yi, ', ( ) yi göstermek üzere, F düümü ile ilgili füzyonun sonucu grafiksel olarak ekil 6 da verildii gibidir. ' K v 3 v 5 v 4 %ekil 6. F Düümü ile ilgili füzyon ilemi sonras deerleme a ' = ( ) olduundan v {,} 5 ( v ( ) / ') = olarak yaz l r. F düümü ile ilgili füzyon ilemine ilikin say sal hesaplamalar Çizelge 7 ve Çizelge 8 de verilmitir. Çizelge 7. F Düümü ile ilgili füzyon ileminin say sal hesaplamalar ()

16 . Lezki, F. Er / statistikçiler Dergisi 3 (00) Çizelge 8. F Düümü ile ilgili füzyon ileminin say sal hesaplamalar () üm hesaplamalar n etkin çerçeveler üzerinde gerçekletirildiinden, düümüne ilikin füzyon öncesinde {,, F} nin etkin çerçevesinin belirlenmesi gerekmektedir. {,, F} nin etkin {,} çerçevesi olarak hesaplan r. Etkin çerçeve üzerinde çal man n yarar, = ba, = f, F = Fay vb. gibi mümkün olmayan senaryolar için fayda hesaplamas yap lmamas biçiminde özetlenebilir. düümü ile ilgili füzyon: {, v3, v4, v5, '} deerlemeleri içinden düümü ile ilgili olan deerlemeler eritilecektir. düümü ile ilgili füzyon Fus {K,} = {, v, v, v,'} = {( ), v,( v v ), '} biçiminde formüle edilir ve için karar fonksiyonunun gösterge deerlemesi hesaplanmas s ras nda bulunmutur. ile gösterilir. deeri ( v {} 4 v5 ) nin

17 . Lezki, F. Er / statistikçiler Dergisi 3 (00) {K,} v 6, ( v 4 v5) yi ve ' { ) y göstermek üzere, düümü ile ilgili füzyon sonucu grafiksel olarak ekil 7 de verildii gibidir. ' ' K v 3 v 6 %ekil 7. Düümü ile ilgili füzyon ilemi sonras deerleme a düümü ile ilgili füzyon ilemine ilikin say sal hesaplamalar da Çizelge 9 da verilmitir. Çizelge 9. Düümü ile ilgili füzyon ileminin say sal hesaplamalar ' ilikin hesaplamalar sembolik olarak izleyen biçimde gösterilebilir. için karar fonksiyonunun etkin çerçevesi, = {(sy,d), (ba, d), (ka, d), (ay,f)} biçimindedir. daha önce tan mlanmakla birlikte, n n etkin çerçevesi,

18 . Lezki, F. Er / statistikçiler Dergisi 3 (00) {(~ t, sy,d), (t, ba, d), (t, ka, d), (t, ay,f)} olarak yaz l r. = Son olarak nin etkin çerçevesi, {K,} ' = ( ) ' = {(~ t, sy), (t,ba), (t, ka), (t, ay)} biçimindedir. düümü ile ilgili füzyon: {', v3, v6,'} deerlemeleri içinden düümü ile ilgili olan deerlemeler eritilir. ek ans düümü olarak kald için füzyon formülü, Fus K = {', v, v,'} = { v (' ' v ) } olarak yaz l r K v 7, (' ' v6 ) y göstermek üzere, düümü ile ilgili füzyon sonucu grafiksel olarak ekil 8 de verildii gibidir. K v 3 v 7 %ekil 8. Düümü ile ilgili füzyon ilemi sonras deerleme a düümü ile ilgili füzyon ilemine ilikin say sal hesaplamalar Çizelge 0 da verilmitir. Çizelge 0. Düümü ile Blgili Füzyon Bleminin Say sal Hesaplamalar K düümü ile ilgili füzyon: K düümü ile ilgili olan { v, v 3 7} deerlemeleri eritilir. K bir karar düümü olduu için füzyon formülü, FusK = {( 3 vvolarak 7 ) } yaz l r. v 8, ( v3 v7) verildii gibidir. yi göstermek üzere, K düümü ile ilgili füzyon sonucu grafiksel olarak ekil 9 da

19 . Lezki, F. Er / statistikçiler Dergisi 3 (00) v 8 %ekil 9. K Düümü ile ilgili füzyon ilemi sonras deerleme a K düümü ile ilgili füzyon ilemine ilikin say sal hesaplamalar Çizelge de verilmitir. Çizelge. K Düümü ile ilgili füzyon ileminin say sal hesaplamalar karar düümü için Çizelge 9 ve K karar düümü için Çizelge incelendiinde optimal politikan n test yapmamak (~t), ve F marka arac$ almak (f) biçiminde olduu görülmektedir. Bu politika uyguland nda elde edilecek fayda deeri 703 olarak ortaya ç kacakt r. 5. Sonuç Karar teorisinde, karar problemlerinin modellenmesi ve çözümü için geleneksel çözüm yakla m sonuç matrisinin kullan lmas d r. Bununla birlikte birden fazla karar n ard k olarak verilmesini gerektiren karar problemlerinde, sonuç matrisi yetersiz kald ndan bunun yerine grafiksel karar verme yakla mlar tercih edilmektedir. Bu çal mada, grafiksel karar tekniklerinden Karar A!ac ve daha az bilinen ve üzerinde çal malar sürdürülen yeni bir grafiksel yakla m olan De!erleme A!n n genel özellikleri aktar lm ve her iki teknik, bir lojistik iletmesinin filo araç temini karar nda uygulanm t r. Uygulama bölümünde verilen problemin modelleme ve çözüm sürecinden izlenebildii gibi, Karar Aac bir karar probleminin yap s n tüm ayr nt lar yla ve kronolojik olarak göstermektedir. Bu aç dan karar probleminin anla lmas n ve çözümünü kolaylat rmaktad r. Asimetrik yap l problemlerde, asimetriyi göstermek için dorudan senaryolar kulland ndan, modele yapay durumlar ve deikenler eklenmesine gerek kalmamaktad r. Bir deiken senaryo ile ilgili deilse, Karar Aac gösterimi bu deikeni içermeyecektir. Yukar da s ralanan güçlü yanlar na kar n karar problemindeki deiken say s artt nda, buna bal olarak Karar Aac n n boyutunun da büyüyecei ve Karar Aac gösteriminin karma klaaca aç kt r. Karar Aac n n boyutu büyüdüünde, bu olumsuzluu ortadan kald rma amac yla ortak senaryolar birletirme ilemi uygulanabilse de, bu ilemin kolayl kla gerçekletirilemeyecei göz önünde bulundurulmal d r. Çünkü bu ilem, birlememi aac n tamam n oluturmay ve sonras nda tekrarlanan alt aaçlar n belirlenerek birletirilmesini gerektirmektedir. Bu da Karar Aac gösteriminin temel darboaz olarak kabul edilip, Karar Aac tekniini küçük karar problemlerinin gösterimi için kullanmakla s n rland r r. Problemde yer alan baz olas l klar n yeniden hesaplanabilmesine olanak salayan ek bilgi olduunda, olas l klar Karar Aac oluturulmadan önce Bayes kural ile yeniden hesaplan r. Olas l klar üzerinde bu ekilde ön ilem yap lmas, ayr bir hesaplama gayreti gerektirir. Dier yandan Deerleme A, problemin gösterimi için karar aac ndan daha öz bir grafik kullanmakta ve deikenler aras ndaki ba ml l k ilikilerine olas l k modelinde yer vermektedir. Karar Aac nda olduu

20 . Lezki, F. Er / statistikçiler Dergisi 3 (00) gibi olas l klar için ön ilem yap lmas gerekmez, her olas l k modeli dorudan gösterilebilir. Olas l k modelinin dorudan gösterimi için sadece her bir ans deikenine ilikin birleik olas l k da l m n n faktörlere ayr lmas gereklidir. Problemdeki asimetri gösterge deerlemeleri yard m yla yans t l r. Gösterge deerlemeleri asimetriyi parça parça ve tekrarlama olmaks z n yans tmaktad r. Gösterge deerlemeleri ayn zamanda etkin çerçevelerin tan mlanmas nda da kullan l r ve etkin çerçeve, ilgili olduu deikenlere ilikin tüm asimetri bilgisini içerir. Bu özellik, gösterimi basitletirme katk s salamaktad r. üm hesaplamalar n etkin çerçeveler üzerinde gerçekletirilmesi ise çözüm tekniini daha da etkin k lmaktad r. Problem simetrik olduunda Karar Aac n n çözüm tekniinden de daha etkin olacakt r. Ancak problem asimetrik olduunda çözüm aamas nda asimetriyi yans tabilmek için yapay durumlar kullanma ihtiyac ortaya ç kmaktad r. Öte yandan Deerleme A nda koullu olas l klar kolay anla labilir deildir. Fazla düüm içermesi deiken say s artt kça buna bal olas l k ve gösterge düümlerini de artt rabileceinden gösterimin anla lmas n da güçletirebilir. e ekkür Bu çal mada kullan lan istatistik verilerin derlenmesinde görülerini ve veri tabanlar n bizimle paylaan, bizleri tesislerinde misafir eden, ancak ticari kayg lardan dolay isimlerinin makale de yer almas n istemeyen, üniversite sanayi ibirliini her aamada destekleyen ve lojistik irketi ve yöneticilerine yazarlar olarak teekkür ederiz. Kaynaklar [] S.C. Albright, W.L. Winston, C. Zappe, 006, Data Analysis&Decision Making, hird Edition, homson South-Western, USA, 3. [] C. Bielza, P.P. Shenoy, 999, A Comparison of graphical techniques for asymmetric decision problems, Management Science, 45/, [3] R. Demirer, P.P. Shenoy, 006, Sequential valuation networks for asymmetric decision problems, European Journal of Operational Research, 69/, [4] G.Gordon, I.Pressman, 983, Quantitative Decision-Making For Business, Second Edition, Prentice Hall International,Inc., USA, 0-. [5] F.V. Jensen, 00, Bayesian Networks and Decision Graphs, Springer, USA, -8. [6] H.K. Sezen, 004, Yöneylem Aratrmas, Ekin Kitabevi, Bursa, 4-5. [7] P.P. Shenoy, 99, Valuation-based systems for bayesian decision analysis, Operations Research, 40/3, [8] P.P.Shenoy, 997, Binary join trees for computing marginals in the Shenoy-Shafer architecture, International Journal of Approximate Reasoning, 7/-3, [9] P.P. Shenoy, 000, Valuation network representation and solution of asymmetric decision problems, European Journal of Operational Research,, [0] A.F. Yüzer, 996, Olaslk ve statistik, Anadolu Üniversitesi Yay nlar, 4. [] (Eriim tarihi: ). [] (Eriim tarihi: ).