ELN 3401 Mühendislik Olasılığı

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ELN 3401 Mühendislik Olasılığı"

Transkript

1 ELN 40 Mühedslk Olasılığı Tucay ERTŞ Ders Notları- ELN40 Mühedslk Olasılığı Kullaıla Ders Ktabı: D.. Bertsekas ad J.N. Tstskls, Itroducto to robablty,. Baskı, thea Scetfc, 00. Z. eebles, Jr., robablty, Radom Varables ad Radom Sgal rcples,. Baskı, McGraw-Hll, 99. Ders Yardımcısı: Yok Ders macı Olasılığı temel kavramlarıı ve buları mühedslk uygulamalarıı alamak. Ders Hedef Ders tamamlaması le geel olarak aşağıdak becerler kazaacaksıız: Br deey örek uzayıı ve lgl olaylarıı belrlemek, olaylara aksyomlara uygu bçmde olasılık atamak. Koşullu olasılıkları hesap etmek, deey sorası olasılıkları hesaplamada Bayes Kuralıı kullamak. Rasgele değşkelere lşk temel kavramları alamak. Olay olasılıklarıı ve beklee değerler hesaplamada olasılık yoğuluklarıı beceryle kullamak. Koşullu yoğulukları ve koşullu bekletler hesaplamak. Rasgele değşkeler foksyolarıı beklee değerler ve olasılık yoğuluklarıı hesaplamak. Rasgele süreçlere lşk temel kavramları alamak. Durağa rastgele süreçler ve Gauss rasgele süreçler taımak ve özellkler belrlemek. Durağa süreçler özlt ve güç spektrumuu hesaplamak. Grş br rasgele süreç ola doğrusal zamala değşmeye sstemler çıkışıı karakterze etmek. ELN40 Mühedslk Olasılığı -

2 Ders rogramı ELN40 Mühedslk Olasılığı Hafta Yer Zama İçerk Ödevler Y05 YLab Y05 YLab Y05 YLab Y05 YLab Y05 YLab Y05 YLab Çarşamba Olasılığa grş. Örek uzayı ve olaylar. Olasılık ksyomları. Olasılık hesabı, 08:45 7:00 :0 9:0 koşullu olasılık ve bağımsızlık. Brleşk deeyler ve Beroull deemeler. Çarşamba Rasgele değşkeler. Bazı öeml rasgele değşkeler. Br rasgele değşke 08:45 7:00 foksyoları ve beklet. :0 9:0 Çarşamba Br rasgele değşke br foksyouu dağılımı. Brde fazla rasgele 08:45 7:00 :0 9:0 değşkelere grş. Çarşamba Koşullu dağılımlar ve koşullu beklet. Rasgele değşkeler toplamı ve 08:45 7:00 Merkez Lmt Teorem. Bekletler ve ortak değştler. Brde fazla rasgele :0 9:0 değşke foksyoları. Çarşamba 08:45 7:00 :0 9:0 Çarşamba 08:45 7:00 :0 9:0 Rastsal Süreçler. rasıav Haftası Doğrusal Sstemler Rasgele syallere cevabı, problemler,. arasıav ELN40 Mühedslk Olasılığı Değerledrme Döemç Sıavı - %50 Döemsou Sıavı %50 Derse Devam Derse devam esastır. %70 Devam alamaya öğrecler devamsız sayılır. Derste bulumaya öğrecler, yapıla duyurularda doğa sorumlukları kedlere attr. Ders teret sayfasıı her zama kotrol edz. ELN40 Mühedslk Olasılığı -

3 Bölüm I Örek Uzayı ve Olasılık Olasılık Modeller Koşullu Olasılık Olasılığı ksyomları Toplam Olasılık ve Bayes Kuralı Bağımsızlık Sayma Olasılık Olasılık kullaışlı br kavram olarak, değşk şekllerde yorumlaması mümküdür. şağıdak kouşmayı zleyelm. Br hasta hastaeye alıır ve kedse muhtemele hayatıı kurtaracak br laç verlr. Hemşre le hasta yakıı arasıda geçe br kouşmayı celeyelm. Hasta Yakıı: Hemşre haım, bu lacı şe yarama olasılığı edr? Hemşre: Umarım şe yarar, soucu yarı görürüz. Hasta Yakıı: Evet, ama buu olasılığı edr? Hemşre: Bu hastada hastaya değşr. Soucu görmek ç beklemelyz. Hasta Yakıı: Tamam ama, ayı koumdak 00 hasta ç buu kaç kez şe yaramasıı beklersz? Hemşre : Sze söyledm, her hasta farklıdır. Bazılarıa y gelr bazılarıa gelmez. Hasta Yakıı: O zama söyley baa, eğer y gelp gelmeyeceğ kousuda bahse grmez gerekseyd, hags seçerdz? Hemşre : İy geleceğ. Hasta Yakıı : ek, o zama y gelrse $ kazamaya, gelmezse $ kaybetmeye var mısıız? Hemşre : : Hasta mısı kardeşm!!!! Be boş yere meşgul etme ELN40 Mühedslk Olasılığı -

4 Olasılık Kouşmada, hasta yakıı soucu belrsz br durumu tartışmak ç olasılık kavramlarıı kullamakta ve olası souç hakkıda daha fazla blg sahb olmaya çalışmaktadır. İlk yaklaşım olasılığı olma sıklığı frekas, ya yeterl sayıda bezer durum çdek başarı yüzdes, olarak taımlamaktır. Bu taım geellkle doğaldır. Mesela: Hlesz br paraı yazı veya tura gelme olasılığı %50 dr. Ya, zamaı yarısıda. Hemşre, bu termler csde tartışmak stememes de doğal karşılaablr. cak, ya bu laç bu hastaede veya hemşre hayatıda lk defa kullaılsaydı o zama e olurdu? Frekas yorumuu uygu olduğu brçok durum olmasıa rağme, olmadığı durumlarda vardır. Mesela: İk farklı beste ayı kş tarafıda besteleme olasılığı %90 olarak dda edlse, bu br alam taşır acak frekas csde değl. Çükü olay br kerede yapıla br ştr. Bu daha çok kşsel br kaıdır. Kşsel kaıları e azıda blmsel br değer yoktur deleblr. cak, dğer tarafta, salar belrszlk durumlarıda seçmler yapmaktadır. Kouşmada, aslıda hasta yakııı yaptığı hemşre kşsel kaısıda dolaylı olarak br souç çıkarmaktır. Olasılık Kouşmada, hemşre bre-br bahs kabul etmek steseyd, hasta yakıı lacı y gelme olasılığıı e az %50 olacağı gb br souç çıkarablrd. Eğer, kyebr bahs kabul etseyd, bu y gelme olasılığıı e azıda / olableceğe şaret ederd. Nede Olasılık Kuramıı Öğreyoruz? Çükü olasılık kuramı: Belrszlk durumlarıı etkl br şeklde modeller. Belrszlk altıda karar vermemze yarar. Karar verme sürec: Ver topla, olayı modelle, souç çıkar, karar ver. Bu bölümümü aa hedef, belrszlğ olasılık modeller le taımlamaktır. Buu ç öce bazı kavramları hatırlayalım. ELN40 Mühedslk Olasılığı -

5 Kümeler Olasılık, küme operasyolarıı yoğu br şeklde kullamakta olduğuda, lgl otasyo ve termolojde bahsetmek yararlı olacaktır. Küme: yı türde eseler elemaları bütüüdür. S { x, x, K, x }, x S, x S, Zar atmaı mümkü çıktılarıı kümes {,,, 4, 5, 6} Yazı-Tura atmaı mümkü çıktılarıı kümes {Y, T} Küme bell br özellğ sağlaya x ler bütüü şeklde de olablr. S { x 0 x }, S { k k / br tam sayıdır } sayılamaz sosuz sayılablr sosuz Küme elemaları solu veya sosuz sayıda olablr. Kümeler S Ω T S T Ω T S Ω S IT S UT c S IT T S Ω T S T U Ω S T U Ω T S, c S yrık artto ELN40 Mühedslk Olasılığı -

6 Küme ebr S T T S S T U S T S U S S S Ω Ω S T U S T U S T U S T S U S S S Ω S Φ U S I S I S U S DeMorga Kuralı Olasılık Modeller Belrsz durumları matematksel taımıdır. şağıdak bleşelerde oluşur. Deey: Çıktıları rastgele ola br süreçtr. Örek Uzayı: Br deey mümkü bütü çıktılarıı kümesdr. Olay: Örek uzayıı br alt kümesdr. Olasılık Yasası: Br olayı gerçekleşmese lşk [0,] arasıda br ümerk değer atamasıdır. Deey B olayı olayı Olasılık Yasası Örek Uzayı B Olaylar Olasılık Model temel bleşeler ELN40 Mühedslk Olasılığı -

7 Olasılık Modeller rdışıl Modeller, 4 zar atışıı örek uzayı,,,4,. atış Başlagıç,,,4, 4. atış 4,,,4 4, 4, 4, 4,4 Olasılık ksyomları Olasılık Modeller aşağıdak aksyomları sağlamalıdır. oztflk: Herhag br olay ç 0 Toplamsallık: Eğer k olay ayrık seler, buları olasılıkları ç + veya geel olarak L + +L Normalzasyo: Bütü örek uzayıı olasılığı bre eşttr. Ω Ω Ω φ Ω + φ φ 0 ELN40 Mühedslk Olasılığı -

8 Olasılık Kuralı yrık olasılık kuralı: Eğer örek uzayı solu sayıda mümkü çıktıda meydaa gelyorsa, olasılık kuralı, tek elemalı olayları olasılıkları le fade edlr. Ya, özel olarak, br { s, s, L, s} olayıı olasılığı, ou elemalarıı olasılıkları toplamıa eşttr. yrık uform olasılık kuralı: Eğer örek uzayı, eşt olasılıklı mümkü çıktılarda oluşuyorsa, herhag br olayıı olasılığı, ' ı elema sayısı Örek olarak, dört yüzlü br çft zar atma deey düşüelm. Olasılık Kuralı yrık T Başlagıç Y Y T T 4 Y T,T T,Y Y,T Y,Y Dört yüzlü hlesz br zar k kez atılmaktadır. Deey örek uzayıı k farklı gösterm 4 4 { E az br gelmes } { İk zarı da ayı gelmes } Başlagıç 4,,,,4,,,,4,,,,4 4, 4, 4, 4,4 4 ELN40 Mühedslk Olasılığı -

9 Olasılık Kuralı yrık Hlesz br para le, arka arkaya kez yazı tura atma deey örek uzayı, Ω { TTT, TTY, TYT, TYY, YTT, YTY, YYT, YYY } { TTY, TYT YTT } tışlarda sadece ks tura gelme olayı,, Her br deey soucuu eşt olasılıklı olduğuu kabul edersek { TTY } + { TYT } + { YTT } / 8 + / 8 + / 8 / 8 Olasılık Kuralı yrık Her br çıktıı olasılığı eşt ve /6 dır. Olasılık, olayı elemalarıı sayısıı toplam çıktı sayısıa oraıdır. 4. atış zar atışıı örek uzayı 4. atış Olay: {İlk atış kcse eşt}. Olasılık4/6 Olay: {tışlarda e az br4}. Olasılık7/6 {Toplamlarıı çft sayı olması}, / {Toplamlarıı tek sayı olması}, / ELN40 Mühedslk Olasılığı -

10 Olasılık Kuralı Sürekl Romeo ve Julet belrl br saatte buluşacaklardır. Bütü geckmeler eşt olasılıklı olmak üzere, her br e fazla 0 la saat arasıda br geckme le buluşma yere varacaklardır. İlk gele 5 dakka bekleyecek, dğer gelmemşse buluşma yerde ayrılacaktır. İks buluşma olasılığı edr? Örek uzayı şekldek brm alalı kare üzerdek bütü oktalardır. Her br oktaı eşt olasılıklı kabulü le, şekl üzerdek herhag br ala o bölge olasılığı olacaktır. Kurula bu olasılık yasası, üç aksyom le de tutarlıdır. Buluşma saat y /4 M 0 /4 x Şekldek mor ala çft buluşmama olasılığı olacaktır. Bu da, M { x, y x y / 4, 0 x, 0 y } / 4 / 4 7 /6 Olasılık Kurallarıı Özellkler, B, ve olaylar olsular If Bse, B + B B + B + B + B Bularda geellemeler de yapılablr. c c c ELN40 Mühedslk Olasılığı -

11 Koşullu Olasılık Koşullu olasılık, örek uzayıı belrl br kısmıı kapsaya br olay meydaa geldkte sora dğer br olayı olma olasılığı şeklde taımlaır. B Ω B olayı verldğde meydaa geldkte sora, olayıı koşullu olasılığı şeklde gösterlr. İlgl bazı örekler vermek gerekrse: rdışık k zarı atılması deeyde, gele sayıları toplamıı 9 olduğu bldğde, lk zarı 6 olma olasılığı edr? Radar ekraıda br okta tespt edldğde, buu br uçağa at olma olasılığı edr? Görüldüğü gb problem, gerçekleşe br olayı blgs le, dğer olma olasılığıı bulumasıdır. Şmd amacımız, olasılık aksyomlarıı sağlaya, ye br olasılık yasasıı oluşturmaktır. Koşullu Olasılık Bütü çıktıları eşt olasılıklı ola br zar atma deey düşüelm. Deey soucuu çft sayı olduğu söyledğde, acaba atıla sayıı 6 olma olasılığı edr? Ya: souç 6 souç çft sayı? Bütü deey çıktılarıı eşt olasılıklı olması durumuda, B' elema sayısı B' elema sayısı {6} B {,4,6} / B B 6 4 B 5 Ω Geelleştrlrse, > 0, ELN40 Mühedslk Olasılığı -

12 Koşullu Olasılık Ω Ω ve B > 0 ayrık Koşullu olasılıklar, olasılık yasalarıı bütü geel özellkler geçerl olduğu br olasılık yasası oluştururlar. + + Koşullu Olasılık B B olduğuda Koşullu olasılık, ye örek uzayı B üzerde ye br olasılık yasası olarak da düşüüleblr. Hlesz br para le, arka arkaya kez yazı tura atılıyor. ve B olayları, {Tura ı Yazı da fazla gelmes } B{İlk atışı Tura gelmes} se her br deey soucuu eşt olasılıklı olduğu kabulü le? Ω { TTT, TTY, TYT, TYY, YTT, YTY, YYT, YYY }, { TTT, TTY, TYT TYY } B, 4 / 8 / 8 B { TTT, TTY, TYT } / 8 / 4 4 / 8 B y ye örek uzayımız kabul edersek, kısaca / 4 buluur. ELN40 Mühedslk Olasılığı -

13 Koşullu Olasılık 6 mümkü soucu eşt olasılıklı olduğu kabulü le, hlesz dört yüzlü br zar kez atılıyor. X ve Y olayları,. ve. atışları temsl etsler. ve B olayları, { max X, Y m}, B { m X, Y } se m,,,4 ç? 4 İkc atış Y B / 5, / 5 0 m veya 4 ç m ç m ç 4 Brc atış X Koşullu Olasılık le Modelleme rdışıl karakter ola deeyler ç olasılık modeller oluştururke, öcelkle koşullu olasılıkları belrleyp bular le de koşulsuz olasılıkları hesaplamak geellkle daha uygu olmaktadır. Belrl br bölgede br uçak mevcut ke, 0.99 olasılık le br radar ou yakalayarak br alarm syal, uçak mevcut değl ke de 0. olasılıkla Yalış larm syal üretmektedr. Br uçağı bölgede buluma olasılığıı 0.05 olduğuu farz edelm. Uçak bulumaması ve Yalış larm olasılığı edr? Uçak buluması ve ıskalama olasılığı edr? { Uçak var} B { Radar alarm syal üretr} B { Uçak yok} { Radar alarm syal üretmez} ELN40 Mühedslk Olasılığı -

14 ELN40 Mühedslk Olasılığı - Koşullu Olasılık le Modelleme , B B yok alarm uçak var B alarm yalış uçak yok, Uçak var Uçak yok Yalış alarm Iskalama 0.99 B 0.0 B 0.0 B 0.90 B Çarpım Kuralı Sadece ve sadece bell olayları ardışık olarak meydaa gelmes le oluşa br olayıı, ya, olma olasılığı L L L L L L Sadece k olay ç formül, koşullu olasılığı taımıa döüşür.

15 Çarpım Kuralı 5lk skambl destesde üç kart çeklmektedr desteye ger bırakmada. Her br adımda kala kartları çeklme olasılıklarıı eşt olduğu kabul edlrse, çekle kartlarda hçbr kupa olmama olasılığı edr? Smetr dolayısı le her kart üçlüsüü de çeklme olasılıkları eşt olacaktır. Karışık br yötem, kupa olmaya mümkü kart üçlüler sayıp buu toplam kart üçlüler sayısıa bölmektr. slıda, çarpım kuralıı kullaılması le problem daha bast br şeklde çözüleblr. {. kart kupa değldr},, 9 / 5 8/ 5 7 / Toplam Olasılık Teorem Br çok olayı olasılığıı arçala-yut yötemyle hesaplamak mümküdür.,, L, olayları örek uzayıı uygu br şeklde bölümüş brbrde ayrık parçaları olmak üzere ve > 0 şartı le br B olayıı olasılığı aşağıdak şeklde yazılablr. B Ω 5 B LL + LL+ B + LL+ B B ELN40 Mühedslk Olasılığı -

16 Toplam Olasılık Teorem Br satraç turuvasıa katılıyorsuuz. Oyucuları yarısıa karşı kazama olasılığıız 0. Tp oyucu Oyucuları ¼ üe karşı kazama olasılığıız 0.4 Tp oyucu Oyucuları kala ¼ üe karşı kazama olasılığıız 0.5 Tp oyucu Rastgele seçlmş br rakp le oyuyorsuuz. Kazama olasılığıız edr? Tp ola br rakp le oyama olayıı, B de kazama olayıı temsl ets B 0. B 0.4 B B Bayes Kuralı,, L, olayları örek uzayıı uygu br şeklde bölümüş brbrde ayrık parçalarıdır. > 0 ve > 0 şartı le, B k B B k k Bayes kuralı geellkle souç çıkarmak ç kullaılır. Öreğ gözlee br etk brde fazla sebeb olablr. Etk gözledğde, buu hag sebepte kayakladığı soucuu çıkarma şleme uygulaablr. Satraç oyuua döecek olursak: Öreğ, kazadığımızı varsayalım. Tp oyucu le oyamış olma olasılığımız edr? Bayes kuralıı kullaırsak, B B + B + B ELN40 Mühedslk Olasılığı -

17 Bağımsızlık Olması durumuda, B de bağımsızdır der. Ya br olayı olma olasılığı, br dğer olup olmamasıa bağlı değl se bu olaylar brbrde bağımsız olaylardır. Burada, Bağımsızlığı örek uzayı yoluyla alaşılması kşy yalışa sevk edeblr. İlk akla gele yaygı görüş şudur: İk olay ayrık se, brbrde bağımsızdır. Bu görüş aslıda yalıştır. yrık oldukları halde kesşmler boş küme k olay bağımlı olablr. Bağımsızlık Dört yüzlü br zarı ardışık olarak defa atıldığı br deey düşüelm, öyle k bütü deey çıktı olasılıkları /6 olsu. {Brc atışı olması} B{İk atışı toplamlarıı 5 olması} durumuda ve B olayları bağımsız mıdır? {,,,,,,,4}, B {,4,,,,,4,} k atışı soucu,4 /6 ' ı elema sayısı 4 /6 toplam çıktı sayısı B elema sayısı 4 /6 toplam çıktı sayısı /6 olduğuda ve B bağımsızdır ELN40 Mühedslk Olasılığı -

18 Bağımsızlık Br öcek öreğ aşağıdak olaylar ç düşüelm. {Brc atışı olması} B{İk atışı toplamlarıı olması} durumuda ve B olayları bağımsız mıdır? {,,,,,,,4}, B {,,,} k atışı soucu, /6 ' ı elema sayısı 4 /6 toplam çıktı sayısı B elema sayısı /6 toplam çıktı sayısı / olduğuda ve B bağımlıdır. B olayı kc zarı veya 4 olamayacağı hakkıda blg vermektedr! Sadece toplamları 5 olması durumuda bağımsızlık vardır. Bağımsızlık X ve Y brc ve kc atışı temsl etmek üzere, { max X, Y } B { m X, Y } olayları bağımsız mıdır? k atışı soucu, /6 ı elema sayısı /6 toplam çıktı sayısı B elema sayısı 5/6 toplam çıktı sayısı 5/ 56 olduğuda ve B bağımlıdır. slıda, k atışı mmumu ayı zamada maksmumu hakkıda da blg taşıdığıda k olayı bağımlı oldukları matıksal olarak belldr. Mesela, mmum se maksmum olamaz. ELN40 Mühedslk Olasılığı -

19 Koşullu Bağımsızlık B B B B B B B B B Dört mümkü durumu eşt olasılıklı olduğu, k hlesz para atma deey düşüelm. H { Brc atış TUR} H { İkc atıştur} D { İk souç farklı} H ve H koşulsuz olarak bağımsızdır, fakat koşullu olarak bağımlıdır. H D /, H D /, H H D 0 H H D H D H D Koşullu Bağımsızlık Br kırmızı dğer mav rekl olmak üzere k tae para vardır. Br taes ½olasılıkla rastgele seçlp arda arda k defa atılsı. Herhag br atışta, 0.99 olasılıkla mav ola TUR kırmızı ola se YZI gelmektedr yalı. B { Mav paraı seçlmes} H {. atışı TUR gelmes} ara seçldkte sora, H ve H olayları brbrde bağımsızdır. Mav paraı seçlmş olduğuu farz edersek B olayı H H H H Dğer tarafta, H ve H olayları brbrde bağımsız değldr. Çükü, dyelm br para atıldı ve TUR geld. Bu bze mav paraı atılmış olacağıı ve dolayısı le de sorak atışı da tekrar TUR gelmes gerektğ düşüdürür. Toplam olasılık teorem kullaarak, H H + B H B, H / H H H H + B H B H B / H H H H ELN40 Mühedslk Olasılığı -

20 Bağımsızlık İk olay ve B brbrde bağımsız se, Eşdeğer olarak, > 0 ç, le B bağımsız se, le B de bağımsızdır. Eğer le B, verldğde koşullu olarak bağımsız se, >0 > 0 olmak üzere, B B Eğer ek olarak, B > 0, B Bağımsızlık, koşullu bağımsızlığı, koşullu bağımsızlık da bağımsızlığı gerektrmez. Koşullama bağımsızlığı etkler! İkde Fazla Olayı Bağımsızlığı,,..., olayları bağımsızdır, eğer {,,..., } herhag br alt kümes S ç I S S Öreğ,,, sağlaması gerekr. gb üç olayı bağımsız olablmes ç dört durumu Çfter bağımsızlık Not: İlk üç bağımsızlık dördücüyü, dördücü de dğerler garatlemez! ELN40 Mühedslk Olasılığı -

21 İkde Fazla Olayı Bağımsızlığı Çfter bağımsızlık, tam bağımsızlık alamıa gelmez. Brbrde bağımsız k hlesz para atışıı düşüelm. H {. atışı TUR gelmes}, H {. atışı TUR gelmes} D { İk atışı soucu farklı} Taımda H ve H olayları bağımsızdır. Dğer üç durum ç, H D / 4 D H D H / H le D bağımsız H D / 4 D H D H / H H D 0 H H D H le D bağımsız H, H, D bağımsız değl İkde Fazla Olayı Bağımsızlığı bağımsızlık ç yeterl değldr. Brbrde bağımsız k hlesz zar atışıı düşüelm. Üç olay sırasıyla {. atış,, veya }, B {. atış, 4, veya 5}, { İk zarı toplamı 9} B 6 4 B 6 6 ELN40 Mühedslk Olasılığı -

22 Beroull Deemeler Br deey bezer fakat brbrde bağımsız adımlar çereblr. İk hlesz zar atışıı düşüelm. Özel olarak, her br adımda sadece k mümkü souç söz kousu se Yazı-Tura, deeye Beroull deemeler adı verlr. Brbrde bağımsız defa yazı-tura atılsı. Her br atış ç TUR gelme olasılığı p YZI gelme olasılığı se -p olsu. k adet TUR dolayısı le de -k adet YZI çere herhag br deey çıktısıı olasılığı k k p p bütü k 0,..., ç doğru. yrıca çde k adet TUR bulua uzuluklu deey çıktılarıı sayısı da!, k 0,,..., Bom katsayıları 0! k k! k! Dolayısı le, adet deemede k adet TUR gelme olasılığı pk, k k p k p p Bom olasılıkları k Beroull Deemeler Bom olasılıkları toplamı dr. Ya, p k p k 0 k k p k ç deey celeyelm. p p p p p p p p p p p p p p TTT p TTY p p TYT p p TYY p p YTT p p YTY p p YYT p p YYY p 0 Sıfır TUR Br TUR İk TUR Üç TUR p p+ p p + p + p ELN40 Mühedslk Olasılığı -

23 Beroull Deemeler Grade of Servce Hzmet Dereces Br teret hzmet sağlayıcı, adet müşterye hzmet vermek ç c adet modem kurmuştur. Herhag br zamada, her br müşter dğerlerde bağımsız olarak bağlatı steme olasılığı p dr. Bağlatı steye müşter sayısıı modem sayısıda fazla olma olasılığı edr? Yapılması gereke eşzamalı olarak bağlamak steye müşter sayısıı c de fazla olma olasılığıı bulmaktır. Bu da, k c+ p k k p k 00, p0., c5 ç servs dışı kalma olasılığı Sayma Sayma presp olarak kolay görümese rağme, çoğu durumlarda zordur. Sayma saatı, kombatork alaıı büyük br bölümüü şgal etmektedr. Bu derste, saymaı temel prespler ele alıarak, olasılık modellerde sıkça karşılaşıla durumlara uygulaacaktır. Brc kısmıı mümkü çıktıları a, a,..., a m ve kc kısmıı mümkü çıktıları b, b,..., b ola k kısımlı br deey düşüelm. İk adımlı deey mümkü çıktıları se m adet a, b j,,..., m, j,..., sıralı çftlerdr. Buu r adımlı br deeye geellersek, mümkü souçları toplam sayısı... olacaktır. r 4 durumu ç souçları gösterrsek, r ELN40 Mühedslk Olasılığı -

24 Sayma r 4-4 dım dım dım dım 4 Telefo Numaralarıı Sayısı Sayma Br telefo umarası 7 rakamlıdır. Fakat, lk rakam 0 veya olamaz. Kaç tae telefo umarası vardır? Durum, her adımıda dğerlerde bağımsız olarak br rakamı seçldğ 7 adımlı br deey olarak ele alıablr. Telefo umaralarıı sayısı, lk adımda 8 seçeekl, dğer adımlarda se 0 seçeekl mümkü deey souçlarıı toplam sayısıdır. Dolayısı le cevap, adet -Elemalı Br Küme lt Kümeler Sayısı lt küme seçm, -elemalı br küme elemalarıı sırasıyla alt küme elemaı olarak seçlp seçlmeyeceğe karar verldğ bary seçm ardışık br süreç olarak düşüüleblr. Dolayısı le alt küme sayısı, { s, s,..., s } 6 adet ELN40 Mühedslk Olasılığı -

25 ermutasyo -adet elemada k-aded sıralama gözeterek seçm çere br sayma türüdür. Ya -elemalı br dzde kaç farklı k-elemalı dz seçeblrz? Bu dzler sayısıa, -elemalı br dz k-elemalı permutasyou der. L k + k L! L k k L k! Özel olarak k se, mümkü dz sayısıa sadece permutasyoları der.! 6 harf çde seçerek kaç farklı 4 harfl kelme üretleblr? roblem, 6 harf 4-lü permutasyolarıı sayısıı saymaktır. Öyleyse cevap,! 6! k!! adet klask, adet rock ve adet halk müzğ Dler vardır. yı tür Dler ardışık olarak sıralamış olmak kaydıyla, Dler kaç değşk şeklde sıralaablrler?!!!! Kombasyo -adet elemada k-aded sıralama gözetmede seçm çere br sayma türüdür. Örek olarak,, B,, D harfler -l permutasyoları B,, D, B, B, BD,, B, D, D, DB, D ke kombasyoları B,, D, B, BD, D k! k k! k! Görüldüğü gb permutasyoları sayısı kombasyoları sayısıı k! katıdır. ELN40 Mühedslk Olasılığı -

26 ELN40 Mühedslk Olasılığı - yrık arçalama -elemalı br küme ve toplamları ola poztf,,., r sayıları verlyor. Kümey her br elema sayısı ola r adet ayrık alt kümeye ayırmak styoruz. Bu şlem acaba kaç değşk şeklde yapılablr? Multomal katsayı r r L L!!!!!!!!! r r r r L LL!!!! r LL r,,, L L

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu Br KANUN ve Br TEOREM Büyük Türkçe Sözlük kau Đg. law Doğa olaylarıı oluş edeler ortaya koya ve gelecektek olayları öcede kestrme olaağı vere bağıtı; Newto kauu, Kepler kauları. (BSTS / Gökblm Termler

Detaylı

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS BEKLEE DEĞER VE VARYAS.1. İadel ve adesz öreklemede tüm mümkü örekler.. Beklee değer.3. Varyas.4. İk değşke ortak dağılımı.5. İstatstksel bağımsızlık.6. Tesadüf değşkeler doğrusal kombasyolarıı beklee

Detaylı

Đst201 Đstatistik Teorisi I

Đst201 Đstatistik Teorisi I Đst20 Đstatstk Teors I DERSĐN TÜRÜ Zorulu DERSĐN DÖNEMĐ Yaz DERSĐN KREDĐSĐ Ulusal Kred: (4, 0, 0 ) 4 KTS: 7 DERSĐN VERĐLDĐĞĐ Bölüm: Đstatstk 200/20 Öğretm Yılı DERSĐN MCI Đstatstğ matematksel temeller

Detaylı

Polinom İnterpolasyonu

Polinom İnterpolasyonu Polom İterpolasyou (Ara Değer Bulma Br foksyou solu sayıdak, K, R oktalarıda aldığı f (, f (,, f ( değerler bls (foksyou keds blmyor. Bu oktalarda geçe. derecede br tek, P a + a + a + + a (... polumu vardır

Detaylı

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR Ölçme, her deeysel blm temel oluşturur. Fzk blmde de teorler sıaması ç çeştl deeyler tasarlaır ve bu deeyler sırasıda çok çeştl ölçümler yapılır. Br fzksel celğ

Detaylı

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi Regresyo ve Korelasyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo aalz, aralarıda sebep-souç lşks bulua k veya daha fazla değşke arasıdak lşky belrlemek ve bu lşky kullaarak o kou le lgl tahmler (estmato)

Detaylı

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması . Ders ĐSTATĐSTĐKTE SĐMÜLASYON Tahm Edcler ve Test Đstatstkler Smülasyo le Karşılaştırılması Đstatstk rasgelelk olgusu çere olay süreç ve sstemler modellemesde özellkle bu modellerde souç çıkarmada ve

Detaylı

dir. Bir başka deyişle bir olayın olasılığı, uygun sonuçların sayısının örnek uzaydaki tüm sonuçların sayısına oranıdır.

dir. Bir başka deyişle bir olayın olasılığı, uygun sonuçların sayısının örnek uzaydaki tüm sonuçların sayısına oranıdır. BÖLÜM 3 OLASILIK HESABI 3.. Br Olayın Olasılığı Tanım 3... Br olayın brbrnden ayrık ve ortaya çıkma şansı eşt n mümkün sonucundan m tanes br A olayına uygun se, A olayının P(A) le gösterlen olasılığı P(A)

Detaylı

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları Hatırlatma: ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı ve 7. Ders Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları : Ω ω R ( ω) foksiyou Borel ölçülebilir, yai B B içi { ω Ω : ( ω) B } U oluyorsa foksiyoua bir Rasgele Değişke deir.

Detaylı

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlee ver düzeleerek çzelgelerle, graklerle suulması çoğu kez yeterl olmaz. Geel durumu yasıtacak br takım ölçülere gereksm vardır. Bu ölçüler verler yalızca özlü br bçmde belrtmekle

Detaylı

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Taımlayıcı İstatstkler MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F..B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl aksarayl@deu.edu.tr Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler)

Detaylı

5.1 Olasılık Tarihi. 5.2. Temel Olasılık Kavramları

5.1 Olasılık Tarihi. 5.2. Temel Olasılık Kavramları 5 OLSILIK 5.. Olasılık Tarh 5.. Temel Olasılık Kavramları 5.3. Deeysel Olasılık 5.4. Temel olasılık Teoremler 5.5. Olasılığı Tolaablrlk Kuralı: 5.6. Olasılığı çarım kuralı: 5.7. Değl ağıtısı: 5.8. Koşullu

Detaylı

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir.

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir. Bölüm 2 Matrsler aım 2.1 F br csm, m, brer doğal sayı olsu. a F ( 1,.., m; j 1,..., ) olmak üzere, a11... a1 fadese m satır sütuda oluşa (veya m tpde) br F matrs der. am 1... a m Böyle br matrs daha sade

Detaylı

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 03.05.013 ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 1 Nede Örekleme? Öreklemde çalışmak ktlede çalışmakta daha kolaydır. Ktle üzerde çalışmak çok daha masraflı olablr. Çoğu durumda tüm ktleye ulaşmak

Detaylı

BÖLÜM 2 OLASILIK TEORİSİ

BÖLÜM 2 OLASILIK TEORİSİ BÖLÜM OLSILIK TEORİSİ İstatstksel araştırmaları temel koularıda br souu öede kes olarak blmeye bazı şasa bağlı olayları (deemeler) olası tüm mümkü souçlarıı hag sıklıkla ortaya çıktığıı belrleyeblmektr.

Detaylı

1. GAZLARIN DAVRANI I

1. GAZLARIN DAVRANI I . GZLRIN DRNI I İdeal Gazlar ç: lm 0 RT İdeal gazlar ç: RT Hacm() basıçla() değşk sıcaklıklarda değşm ekl.. de gösterlmştr. T >T 8 T T T 3 asıç T 4 T T 5 T 7 T 8 Molar Hacm ekl.. Gerçek br gazı değşk sıcaklıklardak

Detaylı

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Ders 2: üme Teorisi, Örek Uzay, Permütasyolar ve ombiasyolar üme avramı üme İşlemleri Deey, Örek Uzay, Örek Nokta ve Olay avramları Örek Noktaları Sayma Permütasyolar ombiasyolar Parçalamalar (Partitio)

Detaylı

Sayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç

Sayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç Sayısal Türev Sayısal İtegrasyo İterpolasyo Ekstrapolasyo Bölüm Üç Bölüm III 8 III-. Pvot Noktaları Br ( ) oksyouu değer, geellkle ekse üzerdek ayrık oktalarda belrler. Bu oktalara pvot oktaları der. Bu

Detaylı

Parametrik Olmayan İstatistik Çözümlü Sorular - 2

Parametrik Olmayan İstatistik Çözümlü Sorular - 2 Parametrk Olmaya İstatstk Çözümlü Sorular - Soru Böbrek hastalarıa at Kreat (KRT) değerlere lşk br araştırma yapılmak stemektedr. Buu ç rasgele seçle hastaya at Kreat değerler aşağıdak gb elde edlmştr

Detaylı

denklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy

denklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy Ders Sorumlusu: Doç. Dr. Necp ŞİMŞEK Problem. deklem sağlaya tüm kompleks sayılarıı buluu. Çöüm deklem şeklde yaablr. Bu so y kompleks sayıları ç y yaalım. Bu taktrde deklemde, baı y ( ) y elde edlr. Burada

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Taımlayıcı İstatstkler br değerler dzs statstksel olarak geel özellkler taımlaya ölçülerdr Taımlayıcı İstatstkler Yer Göstere Ölçüler Yaygılık Ölçüler Yer Göstere Ölçüler Br dağılımı

Detaylı

HĐPERSTATĐK SĐSTEMLER

HĐPERSTATĐK SĐSTEMLER HĐPERSTATĐK SĐSTELER Taım: Bütü kest zorları, şekldeğştrmeler ve yerdeğştrmeler belrlemes ç dege deklemler yeterl olmadığı sstemlere hperstatk sstemler der. Hperstatk sstemler hesabı ç, a) Dege deklemlere,

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Dinamik Programlama. Örnek 3: Tıbbi Müdahale Ekiplerinin Ülkelere Dağıtımı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Dinamik Programlama. Örnek 3: Tıbbi Müdahale Ekiplerinin Ülkelere Dağıtımı YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Hafta Determstk Damk Programlama (devam) Damk Programlama Geçe derste küçük ölçekl problemler damk programlamayla yelemel olarak asıl çözüldüğüü gördük. Bu derste, öreklere devam

Detaylı

Sürekli Olasılık Dağılım (Birikimli- Kümülatif)Fonksiyonu. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK

Sürekli Olasılık Dağılım (Birikimli- Kümülatif)Fonksiyonu. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK Sürekl Olasılık Dağılım Brkml- KümülatFonksyonu Yrd. Doç. Dr. Tjen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr Sürekl olasılık onksyonları X değşken - ;+ aralığında tanımlanmış br sürekl rassal değşken olsun. Aşağıdak

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2 Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

=... 29 İÇİNDEKİLER. E(X) = k... 22. 3.5. Pascal (Negatif Binom) Dağılımı... 22 1. 3.6. Hipergeometrik Dağılım... 22. N y= ... 24

=... 29 İÇİNDEKİLER. E(X) = k... 22. 3.5. Pascal (Negatif Binom) Dağılımı... 22 1. 3.6. Hipergeometrik Dağılım... 22. N y= ... 24 İÇİNDEKİLER SİMGE LİSTESİ... KISALTMA LİSTESİ... v ÇİZELGE LİSTESİ... v ŞEKİL LİSTESİ... v ÖNSÖZ... v ÖZET... x ABSTRACT... x GİRİŞ... BÖLÜM : OLASILIK DAĞILIMLARI VE OLASILIK YOĞUNLUKLARI... BÖLÜM : OLASILIK

Detaylı

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması İk ver set yapısıı karşılaştırılması Dağılım: 6,6,6 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: 6 td. apma: 0 Dağılım: 0,6,1 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: çoklu mod td: apma: 6 Amaç: Görüe Ötese Bakablmek Verler değşkelk durumuu

Detaylı

YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarihli ve 25391 sayılı Resmi Gazete'de yayımlanmıştır.) BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayanak

YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarihli ve 25391 sayılı Resmi Gazete'de yayımlanmıştır.) BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayanak YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarhl ve 25391 sayılı Resm Gazete'de yayımlamıştır.) Amaç BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayaak Madde 1 Bu Yöetmelğ amacı, 4857 sayılı İş Kauuu 53 ücü maddes

Detaylı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

Giriş. Değişkenlik Ölçüleri İSTATİSTİK I. Ders 5 Değişkenlik ve Asimetri Ölçüleri. Değişkenlik. X i ve Y i aşağıdaki gibi iki seri verilmiş olsun:

Giriş. Değişkenlik Ölçüleri İSTATİSTİK I. Ders 5 Değişkenlik ve Asimetri Ölçüleri. Değişkenlik. X i ve Y i aşağıdaki gibi iki seri verilmiş olsun: Grş İSTATİSTİK I Ders Değşkelk ve Asmetr Ölçüler Ortalamalar, serler karşılaştırılmasıda her zama yeterl ölçüler değldr. Ayı ortalamayı sahp serler arklı dağılım göstereblrler. Bu edele serler karşılaştırılmasıda,

Detaylı

Önceki bölümde özetlenen Taylor metodlarında yerel kesme hata mertebesinin yüksek oluşu istenilen bir özelliktir. Diğer taraftan

Önceki bölümde özetlenen Taylor metodlarında yerel kesme hata mertebesinin yüksek oluşu istenilen bir özelliktir. Diğer taraftan III.5.RUNGE-KUTTA METODLARI Öcek bölümde özelee Talor meodlarıda erel kesme aa merebes üksek oluşu sele br özellkr. Dğer araa ürevler buluma ve esaplaması pek çok problem ç karmaşık ve zama alıcı olduğuda

Detaylı

Bir Alışveriş Merkezinde Hizmet Sektörü Đçin En Kısa Yol Problemi ile Bir Çözüm

Bir Alışveriş Merkezinde Hizmet Sektörü Đçin En Kısa Yol Problemi ile Bir Çözüm Br Alışverş Merkezde Hzmet Sektörü Đç E Kısa Yol Problem le Br Çözüm Pıar Düdar, Mehmet Al Balcı, Zeyep Örs Yorgacıoğlu Ege Üverstes, Matematk Bölümü, Đzmr Yaşar Üverstes, Matematk Bölümü, Đzmr par.dudar@ege.edu.tr,

Detaylı

6. Uygulama. dx < olduğunda ( )

6. Uygulama. dx < olduğunda ( ) . Uygulama Hatırlatma: Rasgele Değşelerde Belee Değer Kavramı br rasgele değşe ve g : R R br osyo olma üzere, ) esl ve g ) ) < olduğuda D ) sürel ve g ) ) d < olduğuda g belee değer der. c R ve br doğal

Detaylı

Değişkenler Arasındaki İlişkiler Regresyon ve Korelasyon. Dr. Musa KILIÇ

Değişkenler Arasındaki İlişkiler Regresyon ve Korelasyon. Dr. Musa KILIÇ Değşkeler Arasıdak İlşkler Regresyo ve Korelasyo Dr. Musa KILIÇ http://ks.deu.edu.tr/musa.klc 1. Grş Buda öcek bölümlerde celedğmz koular, br tek değşke ç yorumlamalar yapmaya yöelk statstk yötemler üzerde

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ BULANIK KÜMELER. Mehmet Şahin Gaziantep Üniversitesi, Matematik Bölümü, 27310, Gaziantep

GENELLEŞTİRİLMİŞ BULANIK KÜMELER. Mehmet Şahin Gaziantep Üniversitesi, Matematik Bölümü, 27310, Gaziantep GENEEŞTİRİMİŞ UANIK KÜMEER Mehme Şah Gazaep Üverses, Maemak ölümü, 27310, Gazaep ÖZET: u çalışmada öcelkle P ( br al ale olarak buludura bulaık kümeler GF ales br halka olarak yapıladırılmaka ve bu yapıı

Detaylı

Temel Yapılar: Kümeler, Fonksiyonlar, Diziler ve Toplamlar

Temel Yapılar: Kümeler, Fonksiyonlar, Diziler ve Toplamlar Temel Yapılar: Kümeler, Fokyolar, Dzler ve Toplamlar CSC-9 yrık Yapılar Kotat uch - LSU Kümeler Küme, eeler düzez toparlamaıdır İglz alabedek el harler: V { a, e,, o, u} a V bv küçük pozt tek ayılar: Küme

Detaylı

5.1 Olasılık Tarihi Temel Olasılık Kavramları

5.1 Olasılık Tarihi Temel Olasılık Kavramları 5 OLSILIK 5.. Olasılık Tarh 5.. Temel Olasılık Kavramları 5.3. Deeysel Olasılık 5.4. Temel olasılık Teoremler 5.5. Koşullu (Şartlı Olasılık 5.6. ayes Teorem 5.7. ağımsızlık: 5.8. Olasılık Foksyoları 5.8..

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

TABAKALI ŞANS ÖRNEKLEME

TABAKALI ŞANS ÖRNEKLEME 6 TABAKAI ŞA ÖREKEME 6.. Populasyo ortalaması ve populasyo toplamıı tam 6.. Populasyo ortalamasıı ve toplamıı varyası 6... Populasyo ortalamasıı varyası 6... Populasyo toplamıı varyası 6..3. Ortalama ve

Detaylı

ĐÇI DEKILER 1. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR 1

ĐÇI DEKILER 1. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR 1 ĐÇI DEKILER Sayfa. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR.. Grş.. Đstatstk.3. Populasyo.4. Örek.5. Brm.6. Parametre.7. Değşke 3.8. Ver ve Ver Tpler 3.9. Toplama Sembolü 4 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 6. VERĐLERĐ

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık

Detaylı

(DERS NOTLARI) Hazırlayan: Prof.Dr. Orhan ÇAKIR. Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü

(DERS NOTLARI) Hazırlayan: Prof.Dr. Orhan ÇAKIR. Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü FİZ433 FİZİKTE BİLGİSAYAR UYGULAMALARI DERS NOTLARI Hazırlaya: Pro.Dr. Orha ÇAKIR Akara Üverstes, Fe Fakültes, Fzk Bölümü Akara, 7! İÇİNDEKİLER. LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI I/II. LİNEER

Detaylı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler (Descriptive Statistics) Dr. Musa KILIÇ

Tanımlayıcı İstatistikler (Descriptive Statistics) Dr. Musa KILIÇ Taımlayıcı İstatstkler (Descrptve Statstcs) Dr. Musa KILIÇ TANIMLAYICI ÖRNEK İSTATİSTİKLERİ YER ÖLÇÜLERİ (Frekas dağılışıı abss eksedek durumuu belrtr.) DEĞİŞİM ÖLÇÜLERİ ( Frekas dağılışıı şekl belrtr.).

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

Mühendislikte Olasılık, İstatistik, Risk ve Güvenilirlik Altay Gündüz. Mühendisler için İstatistik Prof. Dr. Mehmetçik Bayazıt, Prof. Dr.

Mühendislikte Olasılık, İstatistik, Risk ve Güvenilirlik Altay Gündüz. Mühendisler için İstatistik Prof. Dr. Mehmetçik Bayazıt, Prof. Dr. İSTATİSTİK DERSİ (BAÜ Müh-Mm Fakültes Dr. Bau Yağcı KAYNAKLAR Mühedslkte Olasılık, İstatstk, Rsk ve Güvelrlk Altay Güdüz Blgsayar (Ecel Destekl Uygulamalı İstatstk Pro. Dr. Mustaa Akkurt Mühedsler ç İstatstk

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl@deu.edu.tr Taımlayıcı İstatstkler Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler) Duyarlı Ortalamalar

Detaylı

Olasılık, Rastgele Değişkenler ve İstatistik

Olasılık, Rastgele Değişkenler ve İstatistik Olasılık, Rastgele Değşkeler ve İstatstk Dr. Caht Karakuş Eseyurt Üverstes İçdekler. İSTATİSTİK... 5.. Merkez Eğlm Ölçümler... 5. Olasılık... 5.. Olasılıklarda toplama ve çarpma kuralları... 8.. Koşullu

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

KUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör.

KUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör. İ.T.Ü. aka akültes ekak Aa Blm Dalı STATİK - Bölüm KUVVET SİSTELEİ KUVVET Vektörel büyüklük - Kuvvet büyüklüğü - Kuvvet doğrultusu - Kuvvet uygulama oktası - Kuvvet yöü S = (,,..., ) = + +... + = Serbest

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde fazla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla veya ayrıca örek verlerde hareketle frekas dağılışlarıı sayısal olarak düzeleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlede

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri uyruk Teorisi Ders Notları: Bazı uyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@akara.edu.tr 10 ASIM 2017 11. HAFTA 6 Çok kaallı, solu N kapasiteli, kuyruk sistemi M/M//N/ Birimleri sisteme gelişleri arasıdaki

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde azla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla ve ayrıca örek verlerde hareket le rekas dağılışlarıı sayısal olarak özetleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlerde

Detaylı

BAYES KURAMI. Dr. Cahit Karakuş

BAYES KURAMI. Dr. Cahit Karakuş BAYES KURAMI Dr. Cahit Karakuş Deney, Olay, Sonuç Küme Klasik olasılık Bayes teoremi Permütasyon, Kombinasyon Rasgele Değişken; Sürekli olasılık dağılımı Kesikli - Süreksiz olasılık dağılımı Stokastik

Detaylı

İSTATİSTİK. Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER Arş.Gör. Özkan GÖRGÜLÜ

İSTATİSTİK. Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER Arş.Gör. Özkan GÖRGÜLÜ İSTATİSTİK Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER Arş.Gör. Özka GÖRGÜLÜ Tavsye Edle Kayak Ktaplar Her öğrec keds tuttuğu düzel otlar.. Akar, M. ve S. Şahler, (997). İstatstk. Ç.Ü. Zraat Fakültes Geel Yayı No: 74, Ders

Detaylı

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine Geelleşrlmş Oralama Foksyou ve Bazı Öeml Eşszlkler Öğrem Üzere Gabl ADİLOV, Gülek TINAZTEPE & Serap KEALİ * Öze Armek oralama, Geomerk oralama, Harmok oralama, Kuvadrak oralama ve bular arasıdak lşk vere

Detaylı

FİNANSAL YÖNETİM. Finansal Yönetim Örnek Sorular Güz 2015. Yrd. Doç. Dr. Rüstem Barış Yeşilay 1. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek

FİNANSAL YÖNETİM. Finansal Yönetim Örnek Sorular Güz 2015. Yrd. Doç. Dr. Rüstem Barış Yeşilay 1. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek Fasal Yöetm Örek lar Güz 2015 Güz 2015 Fasal Yöetm Örek lar 2 Örek FİNNSL YÖNETİM ÖRNEKLER 1000 TL %10 fazde kaç yıl süreyle yatırıldığıda 1600 TL olur? =1000 TL, FV=1600 TL, =0.1 FV (1 ) FV 1600 (1 )

Detaylı

Đki Oyun Yaz Dnemi 22 Haziran 2011, Çarşamba Đst201 Đstatistik Teorisi Dersin konusu: Olasılık Hesabı

Đki Oyun Yaz Dnemi 22 Haziran 2011, Çarşamba Đst201 Đstatistik Teorisi Dersin konusu: Olasılık Hesabı Đki Oyu Yaz Demi 22 Hazira 20, Çarşamba Đst20 Đstatistik Teorisi Dersi kousu: Olasılık Hesabı - Çocuklar, Đstatistik Teorisi bir tarafa, istatistikçileri işi rasgelelik ortamıda hesap yapmaktır. Şöyle

Detaylı

{ 1 3 5} UYGULAMA-2 OLASILIK HESABI { } i, i = 1, 2,, n elemanına aşağıdaki özelliklere sahip bir p. her bir ω. sayısı karşılık getirilsin.

{ 1 3 5} UYGULAMA-2 OLASILIK HESABI { } i, i = 1, 2,, n elemanına aşağıdaki özelliklere sahip bir p. her bir ω. sayısı karşılık getirilsin. UYGULAMA- OLASILIK HESABI Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω { ω, ω,, ω }, U olmak üzere, Ω ı her bir ω i, i,,, elemaıa aşağıdaki özelliklere sahip bir p i sayısı karşılık getirilsi. ) p 0, i,,...,

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER 5.. İk Boyutlu Rasgele Değşkenler Br deney yapıldığında, aynı deneyle lgl brçok rasgele değşkenn aynı andak durumunu düşünmek gerekeblr. Böyle durumlarda

Detaylı

OLASILIK. ihtimali Seçeneği durumu. Bir zar atma olayı. Basit kesirdir. Tüm durum. Sonuçlardan biri Çıktılardan biri. Diğer sayfaya geçiniz

OLASILIK. ihtimali Seçeneği durumu. Bir zar atma olayı. Basit kesirdir. Tüm durum. Sonuçlardan biri Çıktılardan biri. Diğer sayfaya geçiniz OLASILIK ihtimali Seçeneği durumu Bir zar atma olayı Basit kesirdir. Tüm durum Sonuçlardan biri Çıktılardan biri 1 Soruyu DİKKATLİ OKU, soruyu ANLA, basit örnek kur. Cevabı işaretlemeden öce tekrar soruyu

Detaylı

Açık Artırma Teorisi Üzerine Bir Çalışma

Açık Artırma Teorisi Üzerine Bir Çalışma Kocael Üerstes Sosyal Blmler Esttüsü Dergs (4) 27 / 2 : 5-77 Açık Artırma Teors Üzere Br Çalışma Şeket Alper Koç Özet: Bu çalışmada haleler üzere teork r araştırma yapılacaktır. Belrl arsayımlar altıda

Detaylı

Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI

Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI Doç. Dr. Mehmet AKSARALI www.mehmetaksarayl İstatstksel araştırmalarda k yada daha çok değşke arasıdak lşk celemes ç e çok kullaıla yötemlerde brs regresyo aalzdr. Değşkeler arasıdak lşk matematksel br

Detaylı

RANKI 2 OLAN SERBEST LIE CEBİRLERİNİN OTOMORFİZM GRUPLARININ SUNUMLARI 1 Reports Of Free Groups Otomorfizm Rank 2 Lie Algebras

RANKI 2 OLAN SERBEST LIE CEBİRLERİNİN OTOMORFİZM GRUPLARININ SUNUMLARI 1 Reports Of Free Groups Otomorfizm Rank 2 Lie Algebras RANKI OLAN SERBEST LIE CEBİRLERİNİN OTOMORFİZM GRUPLARININ SUNUMLARI Reports Of Free Groups Otomorfzm Rak Le Algebras Özge ÖZTEKİN Matematk Aa Blm Dalı Name EKİCİ Matematk Aa Blm Dalı ÖZET Bu çalışmada,

Detaylı

Zaman Skalasında Box-Cox Regresyon Yöntemi

Zaman Skalasında Box-Cox Regresyon Yöntemi Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:7, Sayı:, Yıl:0, ss.57-70. Zama Skalasıda Bo-Co Regresyo Yötem Atlla Özur İŞÇİ Sbel PAŞALI GÖKTAŞ ATMACA 3 M. Nyaz ÇANKAYA 4 Özet Hata term

Detaylı

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit Karadez Te Üverstes Blgsayar Mühedslğ Bölümü 5-6 Güz Yarıyılı Sayısal Çözümleme Ara Sıav Soruları Tarh: Kasım 5 Perşembe Süre: daa. f ( ( + a e fosyouu sabt otası olmadığı bldğe göre, a 'ı alableceğ e

Detaylı

Kİ-KARE TESTLERİ A) Kİ-KARE DAĞILIMI VE ÖZELLİKLERİ

Kİ-KARE TESTLERİ A) Kİ-KARE DAĞILIMI VE ÖZELLİKLERİ Kİ-KAR TSTLRİ A) Kİ-KAR DAĞILIMI V ÖZLLİKLRİ Örnekleme yoluyla elde edlen rakamların, anakütle rakamlarına uygun olup olmadığı; br başka fadeyle gözlenen değerlern teork( beklenen) değerlere uygunluk gösterp

Detaylı

Tarihli Mühendislik ekonomisi final sınavı. Sınav süresince görevlilere soru sormayın. Başarılar dilerim.

Tarihli Mühendislik ekonomisi final sınavı. Sınav süresince görevlilere soru sormayın. Başarılar dilerim. 6..27 Tarhl Mühedslk ekooms fal sıavı Süre 9 dakka Sıav Saat: Sıav süresce görevllere soru sormayı. Başarılar dlerm. D: SOYD: ÖĞRENCİ NO: İMZ: Tek ödemel akümüle değer faktörü Tek ödemel gücel değer faktörü

Detaylı

10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları

10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları 10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter OLASILIK Altın Kalem Yayınları KOŞULLU OLASILIK Bas t olayların olma olasılıklarını 9. sınıf matemat k konularında şlem şt k. Ş md yapacağımız se daha karmaşık olayların

Detaylı

KONTROL KARTLARI 1)DEĞİŞKENLER İÇİN KONTROL KARTLARI

KONTROL KARTLARI 1)DEĞİŞKENLER İÇİN KONTROL KARTLARI 1 KONTOL KATLAI 1)DEĞİŞKENLE İÇİN KONTOL KATLAI Ölçe,gözle veya deey yolu le elde edle verler değşke(ölçüleblr-sürekl) ve özellk (sayılablr-keskl) olak üzere başlıca k gruba ayrılır. Değşke verler belrl

Detaylı

OLASILIK. Bölüm 4. Temel Tanımlar ve Kavramlar-I. Olasılık

OLASILIK. Bölüm 4. Temel Tanımlar ve Kavramlar-I. Olasılık ölüm 4 Olasılık OLSILIK opulasyon hakkında blg sahb olmak amacı le alınan örneklerden elde edlen blgler bre br doğru olmayıp heps mutlaka br hata payı taşımaktadır. u hata payının ortaya çıkmasının sebeb

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

6. NORMAL ALT GRUPLAR

6. NORMAL ALT GRUPLAR 6. ORMAL ALT GRUPLAR G br grup ve olsun. 5. Bölümden çn eştlğnn her zaman doğru olamayacağını blyoruz. Fakat bu özellğ sağlayan gruplar, grup teorsnde öneml rol oynamaktadır. Bu bölümde bu tür grupları

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi İKT351 Ekonometri I, Ara Sınavı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi İKT351 Ekonometri I, Ara Sınavı TOBB Ekoom ve Tekoloj Üverstes İKT351 Ekoometr I, Ara Sıavı Öğr.Gör.: Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ad, Soyad: Açıklamalar: Bu sıav toplam 100 pua değerde 4 soruda oluşmaktadır. Sıav süres 90 dakkadır ve

Detaylı

Kİ-KARE TESTLERİ. şeklinde karesi alındığında, Z i. değerlerinin dağılımı ki-kare dağılımına dönüşür.

Kİ-KARE TESTLERİ. şeklinde karesi alındığında, Z i. değerlerinin dağılımı ki-kare dağılımına dönüşür. Kİ-KARE TESTLERİ A) Kİ-KARE DAĞILIMI VE ÖZELLİKLERİ Örnekleme yoluyla elde edlen rakamların, anakütle rakamlarına uygun olup olmadığı; br başka fadeyle gözlenen değerlern teork( beklenen) değerlere uygunluk

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde azla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla ve ayrıca örek verlerde hareket le rekas dağılışlarıı sayısal olarak özetleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlerde

Detaylı

Kİ KARE ANALİZİ. Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI Ki-Kare Analizleri

Kİ KARE ANALİZİ. Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI  Ki-Kare Analizleri Kİ KAR ANALİZİ 1 Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI www.mehmetaksarayl K-Kare Analzler OLAY 1: Genelde br statstk sınıfında, öğrenclern %60 ının devamlı, %30 unun bazen, %10 unun se çok az derse geldkler düşünülmektedr.

Detaylı

SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLERLE SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ PROF. DR. MEHMET ERDOĞAN Beyket Üverstes Fe-Edebyat Fakültes Matematk-Blgsayar Bölümü YRD. DOÇ. DR. GÜLŞEN YILMAZ Beyket Üverstes Fe-Edebyat Fakültes

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

Matematik olarak normal dağılım fonksiyonu. 1 exp X 2

Matematik olarak normal dağılım fonksiyonu. 1 exp X 2 Matematk olarak ormal dağılım foksyou f ( ) ep ( ) Şeklde fade edlr. Burada μ artmetk ortalama, σ se stadart sapma değer gösterr ve dağılım foksyou N(μ, σ) otasyou le gösterlr. Bu deklem geometrk görütüsü

Detaylı

TRAFİK SİMÜLASYON TEKNİKLERİ

TRAFİK SİMÜLASYON TEKNİKLERİ TRAFİK SİMÜLASYON TEKNİKLERİ 2. HAFTA Doç. Dr. Haka GÜLER (2015-2016) 1. TRAFİK AKIM PARAMETRELERİ Üç öeml rafk akım parameres vardır: Hacm veya akım oraı, Hız, Yoğuluk. 2. KESİNTİSİZ AKIM HACİM E AKIM

Detaylı

EME 3117 SİSTEM SIMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9

EME 3117 SİSTEM SIMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9 ..7 EME 37 Girdi Aalizi Prosedürü SİSTEM SIMÜLASYONU Modelleecek sistemi (prosesi) dokümate et Veri toplamak içi bir pla geliştir Veri topla Verileri grafiksel ve istatistiksel aalizii yap Girdi Aalizi-II

Detaylı

Olasılık Kuramı ve İstatistik. Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları

Olasılık Kuramı ve İstatistik. Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları Olasılık Kuramı ve İstatistik Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları OLASILIK Olasılık teorisi, raslantı ya da kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Raslantı

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

x A şeklinde gösterilir. Aksi durum ise x A olarak

x A şeklinde gösterilir. Aksi durum ise x A olarak BÖLÜM I OLSILIK Küme teorisi, matematiği geliştirilmesi ve öğretimide gittikçe daha fazla yararlaıla koularda biridir. yrıca olasılıkla ilgili birici bölümü temel aracıdır. Bu kısımda amaç, olasılık kousuda

Detaylı