Toplama nın Yedinci Kitabı nda Öklid in Porizmalar ı İçin 38 Lemmadan İlk 19 Lemma TASLAK

Transkript

1 Toplama nın Yedinci Kitabı nda Öklid in Porizmalar ı İçin 38 Lemmadan İlk 19 Lemma TASLAK İskenderiyeli Pappus Çeviren: David Pierce 29 Eylül 2015 Matematik Bölümü Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi

2 Bu çalışma Creative Commons Attribution-Gayriticari-ShareAlike 3.0 Unported Lisansı ile lisanslı. Lisansın bir kopyasını görebilmek için, adresini ziyaret edin ya da mektup atın: Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA. \ CC BY: David Pierce $ C dpierce@msgsu.edu.tr

3 İçindekiler Giriş 5 Pascal Teoremi Pappus Teoremi Büyüklükler ve katları Oranlar ve orantılılık Pappus çevirisi hakkında Pappus tan 19 Lemma 15 Lemma I (Önerme 127) 16 İkinci kanıtı Lemma II (Önerme 128) 18 Lemma III (Önerme 129) 20 İkinci kanıtı Lemma IV (Önerme 130) 24 Lemma V (Önerme 131) 26 Lemma VI (Önerme 132) 28 Lemma VII (Önerme 133) 30 Lemma VIII (Önerme 134) 32 3

4 İçindekiler Lemma IX (Önerme 135) 34 Lemma X (Önerme 136) 36 Lemma XI (Önerme 137) 40 Lemma XII (Önerme 138) 42 Lemma XIII (Önerme 139) 44 Lemma XIV (Önerme 140) 46 Lemma XV (Önerme 141) 48 Lemma XVI (Önerme 142) 50 Lemma XVII (Önerme 143) 52 Lemma XVIII (Önerme 144) 54 Lemma XIX (Önerme 145) 56 Ek 58 Fiiller Sözlüğü Edatlar Sözlüğü Yunan Alfabesi Kaynakça 62 Analiz Hazinesi nin içindekiler 64 4

5 Giriş Pascal Teoremi Bir altıgenin köşeleri bir koni kesitindeyse, altıgenin kenarları Şekil 1 deki gibi uzatılınca, karşı kenarların kesişim noktaları bir doğ- Şekil 1: Elipste Altıgen Teoremi 5

6 Giriş rudadır. Altıgen dışbükey olmayabilir; kenarların kendileri zaten kesişebilir. Örneğin Şekil 2 nin her şıkkında A, B, C, D, E, ve G B E H C D B F K G K H A F (a) D A E (b) C Şekil 2: Hiperbolde Altıgen Teoremi F noktaları bir hiperbolün dallarındadır, ve (sonuç olarak) G, H, ve K bir doğrudadır. Bu sonuç, Altıgen Teoremi veya Pascal Teoremi dir: 1640 yılında, 16 yaşında, Blaise Pascal bu teoremi bildirdi. (Pascal in Fransızcası, [18] kaynağındadır; İngilizce çevirisi, [15, s ] ve [17, s ] kaynaklarındadır.) Pascal Teoremi nde, iki paralel doğru sonsuzdaki noktada kesişen olarak sayılır. Örneğin Şekil 2 de, AB ve DE birbirine paralel ise, o zaman HK de onlara paraleldir. 6

7 Pappus Teoremi Pappus Teoremi Pascal Teoremi nde de iki doğru, bir koni kesiti olarak sayılır. Örneğin Şekil 2 nin (b) şıkkında, AEC ve DBF doğru olabilir. Teoremin bu durumu, Pappus Teoremi dir. Şekil 2 nin (a) şıkkında, AFD ve BEC doğru ise, teorem aşikârdır. M.S. 300 yılı civarında, Toplama (Συναγωγή, Collection) adlı eserinde İskenderiyeli Pappus, adının verileceği teoremini kanıtladı. Toplama nın sekiz kitabı vardır. Yedinci kitabı, Analiz Hazinesi (Αναλυόμενοςτόπος, Treasury of Analysis) adlı eserler için bir rehberdir. Pappus a göre [20, s ], Hazine nin içindekiler, sayfa 64 teki gibidir. Apollonius un Koni Kesitleri ve Öklid in Veriler i hariç, Hazine nin çoğu şimdi kaybolmuştur. Özel olarak Öklid in Porizmalar ı kaybolmuştur. Ama bu eserin okunmasına yardımcı olmak için, Pappus 38 lemmayı verir. Bunların ilk 19 nun çevirisi aşağıdadır. Pappus Altıgen Teoremi nin bazı durumları, Lemma VIII, XII, ve XIII tür. Pappus, bugünkü kendisinin adını alan teoremin her durumunu kanıtlamaz, ama kanıtladığı durumların kanıtları, Lemma III, X, ve XI i kullanır. Proklus a göre ([14, s. 236] veya [19, s ] kaynaklarında), porizma sözcüğünün iki anlamı vardır. Porizmanın birinci anlamı, kanıtının başka bir önermenin kanıtından kolayca çıktığı bir önermedir. Örneğin Öklid in Öğeler Kitap VII nin Önerme 2 si, birbirine asal olmayan iki sayının en büyük ortak bölenini bulma problemidir. Problemin çözümünden, sayıların her ortak böleninin en büyük ortak bölenini böldüğü porizma çıkar. Porizma sözcüğünün ikinci anlamına göre bir porizma, teorem ve problemin arasındadır. Örneğin verilen açıyı ikiye bölmek bir problemdir, ama dairenin merkezini bulmak bir porizmadır, çünkü bulunmadan önce, dairenin merkezinin var olduğu bilinir. Dört tane nokta verilirse, altı tane doğru noktaların ikisinden geçer. Bu doğruların verilen bir doğruyu nasıl kestiği, Pappus un Lemma I, II, IV, V, VI, ve VII sinin konusudur. Örneğin Şekil 3 te A, B, C, D, ve E noktaları bir doğruda olsun. 7

8 Giriş F F G A B D (a) C E A B D (b) C E F A G B H K L E C D (c) Şekil 3: Tam dörtkenarlı (a) Rasgele F noktası seçilsin, ve FA, FB, ve FC doğruları birleştirilsin. (b) AF doğrusunda rastgele G noktası seçilsin, ve GD ve GE doğruları birleştirilsin. (c) Sırasıyla FB ve FC yi H ve K de kesince, HK doğrusu birleştirilsin ve AB yi L de kessin. O zaman Pappus un gösterdiğine göre L noktası, F ve G noktalarının seçiminden bağımsızdır. Aşağıdaki lemmalarda, Pappus sık sık orantıları kullanır. Bunların kuramı şimdi özetlenecektir. 8

9 Büyüklükler ve katları Büyüklükler ve katları Öklid için eşit (ἴσος), aynı (αὐτός) değildir. İki farklı sınırlanmış doğru birbirine eşit olabilir. Eşitlik hâlâ bir denklik bağıntısıdır. Sınırlanmış bir doğrunun uzunluğu, doğrunun eşitlik sınıfı olarak tanımlanabilir. Benzer şekilde bir figürün alanı, figürün eşitlik sınıfı olarak tanımlanabilir. EğerΑΒ veγ doğru ise, genişliğiαβ nın uzunluğu olan ve yüksekliği Γ nın uzunluğu olan bir dikdörtgen inşa edilebilir, ve bu dikdörtgeni ΑΒ Γ ifadesiyle yazacağız; Pappus τὸὑπὸαβγ ( ΑΒ veγ altındaki ) ifadesini kullanıyor. Oranların soyut kuramı, Öğeler in beşinci kitabındadır. Öklid in tanımladığı her oranı, pozitif gerçel sayı olarak görebiliriz (ama tersi yanlış olabilir). BirΑΒ doğrusunun, birγ doğrusuna oranı vardır. Bu oranı olarak yazacağız; Pappus ΑΒ :Γ λόγοςὃνἔχειἡαβπρὸςτὴνγ ( ΑΒ nın Γ ya oranı, ratio that ΑΒ has to Γ ) ifadesini kullanıyor. Aynı şekilde birαβ Γ dikdörtgenin, birεζ ΗΘ dikdörtgenine oranı vardır. Bu oranı olarak yazacağız. ΑΒ Γ :ΕΖ ΗΘ 9

10 Giriş Her sınırlanmış doğru veya figür, bir büyüklüktür (τὸ μεγέθος). (Cisimler de büyüklüktürler.) Aslında Öklid, iki büyüklüğün oranını (ὁ λόγος) tanımlamaz, ama iki oranın aynılığını (ἀνάλογον) tanımlar. Tanım aşağıdaki gibidir. Bir büyüklüğün katı (πολλαπλάσιον) alınabilir. Örneğin Α bir büyüklük ise, katları Α, Α+Α, Α+Α+Α, Α+Α+Α+Α, ve sairedir. BunlarΑ,2Α,3Α, ve saire olarak yazılabilir.αgibi büyüklüktürler. AslındaΑ nın herhangi bir katı kα biçiminde yazılabilir. Buradaki k katsayısı, doğal sayıdır. Doğal sayıların oluşturduğu küme N olarak yazılabilir. (Bizim için sıfır, doğal sayı değildir.) k nın doğal sayı olduğunu göstermek için k N ifadesini yazarız; ama Öklid bunun gibi bir ifade kullanmaz. Öklid için, k ifademiz isim değil, sıfat olurdu. Aslında Öğeler in yedinci kitabındaki tanıma göre bir sayı (ὁ ἀριθμός), birimlerin (τὰ μονάδα) oluşturduğu bir çokluktur (τὸ πλῆθος). Bu tanıma göre bir kα katının kendisi bir sayıdır. Öklid için eğer Β Α ya eşit olmayan bir büyüklük ise, o zaman kα ve kβ büyüklük olarak birbirine eşit değildir, ama kat olarak birbirine eşittir, yani eşit katlardır (ἰσάκις πολλαπλασία). Oranlar ve orantılılık Herhangi Α ve Β büyüklükleri karşılaştırabilir: Α Β dan büyük veya küçük olabilir, ve (büyüklük olarak) ikisi birbirine eşit olabilir. 10

11 Oranlar ve orantılılık Sırasıyla Α >Β, Α <Β, Α =Β ifadelerini yazarız. İki büyüklüğün her biri doğru veya her biri figür ise, o zaman varsayıma göre büyüklüklerin her birinin bir katı, öteki büyüklükten büyüktür. Bu varsayıma Arşimet Aksiyomu denir, çünkü Arşimet onu yazıp kullandı [1, s. 36]; ama Arşimet ten önce Öklid onu kullandı. Öklid, M.Ö. 300 civarında çalışıyordu; Arşimet, M.Ö. 212 yılında Siraküza nın Romalılar tarafından alınmasında öldürüldü. Eğer iki büyüklük Arşimet Aksiyomunu sağlarsa, büyüklüklerin oranı vardır. Bu şekildeαveβ nın oranı vardır ancak ve ancak bir k doğal sayısı için kα >Β veα < kβ. Şimdi dört tane büyüklük alınsın. Bunlardan birincinin ve ikincinin oranı olsun; üçüncünün ve dördüncünün de oranı olsun. Büyüklüklerden birincinin ve üçüncünün herhangi eşit katı ve ikincinin ve dördüncünün herhangi eşit katı alınınca, eğer birincinin ve üçüncünün katları sırasıyla aynı zamanda (1) ya ikincinin ve dördüncünün katlarından büyük, (2) ya ikincinin ve dördüncünün katlarına eşit, (3) ya da ikincinin ve dördüncünün katlarından küçük ise, o zaman Öklid in tanımına göre birincinin ikincine oranı, üçüncünün dördüncüne oranıyla aynıdır, ve dört büyüklük orantılıdır. Aslında büyüklüklerα,β,γ, ve olsun. Eğer herhangi k ve m doğal sayıları için kα > mβ kγ > m, kα = mβ kγ = m, kα < mβ kγ < m denklikleri doğru ise, o zamanα,β,γ, ve orantılıdır, veα:βve Γ : oranları birbiriyle aynıdır. Bu durumda Α :Β::Γ: 11

12 Giriş ifadesini yazarız. Öklid ve Pappus sadece sözler kullanırlar. ÖrneğinΑΒ nınγ ya oranı,εζ ΗΘ nınκλ ΜΝ ye oranıyla aynıysa ifadesini yazacağız, ama Pappus ΑΒ :Γ ::ΕΖ ΗΘ :ΚΛ ΜΝ ὡςἡαβπρὸςἡγ, οὕτωςτὸὑπὸεζηθπρὸςτὸὑπὸκλμν yazıyor. (Pappus un metnini bulunduğumuz el yazmasında, kısaltmalar kullanılır, ama matematik kavramları değil, sadece sözcükler için [13, p. 28].) HerhangiΑ,Β,Γ, ve büyüklükleri için Α :Β::Γ: olsun. Oranların aynılığı bir denklik bağıntısı olunca Γ : ::Α:Β da doğrudur. Öğeler Kitap V e göre tersine (ἀνάπαλιν)β :Α:: :Γ, toplamayla (συνθέντι)α+β :Β::Γ+ :, çevirmeyle (ἀναστρέψαντί)α Β :Β::Γ : (burada Α >Β olmalı), izlemeyle (ἐναλλάξ)α:γ::β: (buradaα nınγ ya ve Β nın ya oranı var olmalı). Ayrıca, eğerα :Β:: :Ε veβ :Γ::Ε:Ζ ise, o zaman eşitlikten (δι ἴσου) Α :Ε::Γ:Ζ. 12

13 Oranlar ve orantılılık Daha genelde, eğerα 1,...,Α n veα 1,...,Β n büyüklükleri verilirse, ve her durumda Α k :Α k+1 ::Β k :Β k+1 ise, o zaman eşitlikten Α 1 :Α n ::Β 1 :Β n ; herhalde Öklid eşitlikten diyor çünkü çokluklar olarak A k lerin ve B k lerin sayıları birbirine eşittir. ŞimdiΑ,Β, veγdoğru olsun. O zaman Öğeler Kitap VI nın Önerme 1 ine göre Α :Β::Α Γ :Β Γ. Ayrıca, tanıma göreα : Β veβ : Γ oranlarının bileşimi (συνημμένος, συνάπτω fiilinden), Α : Γ oranıdır, ama bu tanım Öğeler de değildir. EğerΒ:Γ:: :Εise, o zamanα:γoranı,α:β ve :Ε oranlarının bileşimiyle aynıdır. Bu orantıyı Α :Γ::Α:Β & :Ε biçiminde yazacağız. Örneğin aşağıdaki Lemma I de Pappus orantısını yazıyor; bunu ὁτῆςα πρὸςτὴν Ζσυνῆται ἔκτετοῦτῆςαβπρὸςτὴνβε καὶτοῦτῆςεθπρὸςθη Α : Ζ ::ΑΒ :ΒΕ & ΕΘ :ΘΗ olarak yazacağız. Lemma III te Pappus τοῦὑπὸθεηζπρὸςτὸὑπὸθηζεσυνῆταιλόγος ἔκτετοῦὃνἔχειἡθεπρὸςτὴνεζ καὶτοῦὃνἔχειἡζηπρὸςτὴνηθ 13

14 Giriş Α Ε Β orantısını yazıyor; bunu Şekil 4: Öğeler vi.2 ΘΕ ΗΖ :ΘΗ ΖΕ ::ΘΕ :ΕΖ & ΖΗ :ΗΘ olarak yazacağız. Son olarak, Şekil 4 te, eğer ΕΒΓ ya paralel ise, o zaman Β : Α ::ΓΕ :ΕΑ; ve tersi de doğrudur. Bu sonuç, Öğeler Kitap VI nın Önerme 2 sidir. Pappus çevirisi hakkında Aşağıdaki çeviri için Hultsch un [12] edisyonunu kullandım. Sadece bittikten sonra Jones un [13] edisyonunu bulup onunla yaptığımı düzelttim. Hultsch, Toplama Kitap VII nin tüm önermelerine Arap rakamları koyar, ve oradaki Öklid in Porizmalar ı hakkındaki lemmalara Romen rakamları koyar. Yukarıda bahsettiğimiz gibi Pappus, oran ve orantılar için özel işaretler kullanmaz. Ayrıca şekillerinde tüm çizgilerin kalınlığı aynıdır. Lemmaların kanıtlarını Kanıt ve arasında yazıyorum; Pappus bunun gibi ifadeler kullanmaz. Γ 14

15 Pappus un Toplama sının Yedinci Kitabı nda Öklid in Porizmalar ı İçin 38 Lemmasından İlk 19 Lemma 15

16 Lemma I (Önerme 127) Diyagram ΑΒΓ ΕΖΗ olsun ( Εστω καταγραφὴ ἡ ΑΒΓ ΕΖΗ), ve ΑΖ :ΖΗ ::Α : Γ olsun, veθκ birleştirilmiş olsun. O zaman ΘΚ,ΑΓ ya paraleldir. Kanıt.Ζ danβ ya paralel olanζλ ilerletilmiş olsun. Dolayısıyla ΑΖ :ΖΗ ::Α : Γ olduğundan tersine ve toplamayla ve izlemeyle (ve parallellerden) Α }{{ :ΑΖ} ::ΓΑ :ΑΗ. ΒΑ :ΑΛ Böylece ΛΗ,ΒΓ ya paraleldir. Böylece (paralellerden) ΕΒ :ΒΛ :: { ΕΚ :ΚΖ ΕΘ :ΘΗ. Böylece Böylece ΕΚ :ΚΖ ::ΕΘ :ΘΗ. ΘΚ,ΑΓ ya paraleldir. 16

17 Θ Κ Λ Ε Β Α Γ Ζ Η Bileşik oranları kullanan kanıt. ΑΖ :ΖΗ ::Α : Γ olduğundan, tersine ΗΖ :ΖΑ ::Γ : Α. Toplamayla ve izlemeyle ve çevirmeyle Α : Ζ ::ΑΓ :ΓΗ. Ama böylece Α : Ζ ::ΑΒ :ΒΕ & ΕΘ :ΘΗ, ΑΒ :ΒΕ & ΕΚ :ΚΖ ::ΑΒ :ΒΕ & ΕΘ :ΘΗ. OrtakΑΒ :ΒΕ oranı kovulmuş olsun. Böylece kalan ΕΚ :ΚΖ ::ΕΘ :ΘΗ. Böylece ΘΚ,ΑΓ ya paraleldir. 17

18 Lemma II (Önerme 128) DiyagramΑΒΓ ΕΖΗΘ [olsun], veαζ Β ya paralel olsun, ve ΑΕ :ΕΖ ::ΓΗ :ΗΖ [olsun]. O zaman Θ,Κ, veζ dan [geçen çizgi] doğrudur. Kanıt. Η dan Ε boyunca ΗΛ ilerletilmiş olsun, ve birleştirilmiş olanθκλ ya uzatılmış olsun. olduğundan, izlemeyle Ayrıca ΑΕ :ΕΖ ::ΓΗ :ΗΖ ΑΕ :ΓΗ ::ΕΖ :ΖΗ. ΑΕ :ΓΗ ::ΕΘ :ΗΛ (çünkü iki doğru iki doğruya paralel, ve izlemeyle). Böylece ΕΖ :ΖΗ ::ΕΘ :ΗΛ. AyrıcaΕΘΗΛ ya paraleldir. Böylece yaniθ,κ,ζ dan. Θ,Λ,Ζ dan [geçen çizgi] doğrudur, 18

19 Β Λ Κ Θ Ζ Η Γ Ε Α 19

20 Lemma III (Önerme 129) Üç doğruαβ,γα, ve Α üzerine iki doğruθε veθ sürdürülmüş olsun. O zaman ΘΕ ΗΖ :ΘΗ ΖΕ ::ΘΒ Γ :Θ ΒΓ. Kanıt. Θ dan geçen veζγα ya paralel olanκλ ilerletilmiş olsun, ve Α veαβ bununla kesişmiş olsunκveλnoktalarında; Λ dan da geçen ve Α ya paralel olanλμ de [ilerletilmiş olsun], veεθ ile kesişmiş olsunμ de. Dolayısıyla, ΕΖ :ΖΑ ::ΕΘ :ΘΛ, ΑΖ :ΖΗ ::ΘΛ :ΘΜ (çünkü ikisi, ΘΚ : ΘΗ ile aynı, parallerden), [ve bunlar] olduğundan, böylece eşitlikten ΕΖ :ΖΗ ::ΕΘ :ΘΜ. Böylece ΘΕ ΗΖ =ΕΖ ΘΜ. 20

21 Κ Μ Θ Ε Β Ζ Α Γ Η Λ ΕΖ ΘΗ da başka rasgele bir [çarpımıdır]. Böylece ΕΘ ΗΖ :ΕΖ ΗΘ ::ΕΖ ΘΜ :ΕΖ ΗΘ ::ΘΜ :ΘΗ ::ΛΘ :ΘΚ. Aynı [şekil]de Böylece tersine ΚΘ :ΘΛ ::Θ ΒΓ ΘΒ Γ. ΛΘ :ΘΚ ::ΘΒ Γ :Θ ΒΓ. Ve ΛΘ ΘΚ ::ΕΘ ΗΖ :ΕΖ ΗΘ gösterilmiş oldu. Ve böylece ΕΘ ΗΖ :ΕΖ ΗΘ ::ΘΒ Γ :Θ ΒΓ. 21

22 Lemma III (Önerme 129) Bileşik oranları kullanan kanıt. olduğundan, böylece Ayrıca Böylece Aynı [sebep]le Ve tersine Ama oldu. Ve böylece ΘΕ ΗΖ :ΘΗ ΖΕ ::ΘΕ :ΕΖ & ΖΗ :ΗΘ, ΘΕ :ΕΖ ::ΘΑ :ΖΑ, ΖΗ :ΗΘ ::ΖΑ :ΘΚ ΘΕ ΗΖ :ΘΗ ΕΖ ::ΘΛ :ΖΑ & ΖΑ :ΘΚ. ΘΛ :ΖΑ & ΖΑ :ΘΚ ::ΘΛ :ΘΚ. ΘΕ ΗΖ :ΘΗ ΖΕ ::ΘΛ :ΘΚ. Θ ΒΓ :ΘΒ Γ ::ΘΚ :ΘΛ. ΘΒ Γ :Θ ΒΓ ::ΘΛ :ΘΚ. ΘΕ ΖΗ :ΘΗ ΖΕ ::ΘΛ :ΘΚ ΘΕ ΖΗ :ΘΗ ΖΕ ::ΘΒ Γ :Θ ΒΓ. 22

23 Κ Μ Θ Ε Β Ζ Α Γ Η Λ 23

24 Lemma IV (Önerme 130) DiyagramΑΒΓ ΕΖΗΘΚΛ [olsun], ve ΑΖ ΒΓ :ΑΒ ΓΖ ::ΑΖ Ε :Α ΕΖ olsun. O zaman Θ,Η, veζnoktalarından [geçen çizgi] doğrudur. Kanıt.ΑΖ ΒΓ :ΑΒ ΓΖ ::ΑΖ Ε :Α ΕΖ olduğundan izlemeyle } ΑΖ ΒΓ {{ :ΑΖ Ε} ::ΑΒ ΓΖ :Α ΕΖ. ΒΓ : Ε Ama (eğerκ danαζ ya paralel olanκμ ilerletilmiş ise) ΒΓ : Ε ::ΒΓ :ΚΝ & ΚΝ :ΚΜ & ΚΜ : Ε, ΑΒ ΓΖ :Α ΕΖ ::ΒΑ :Α & ΓΖ :ΖΕ. ΝΚ :ΚΜ ile aynı olan ortakβα :Α kovulmuş olsun, Böylece Böylece kalanγζ :ΖΕ ::ΒΓ :ΚΝ }{{} ΘΓ :ΚΘ & ΚΜ : Ε }{{} ΚΗ :ΗΕ. Θ,Η, veζ dan [geçen çizgi] doğrudur. Zira eğer Ε dan ΘΓ ya paralel olan ΕΞ yi ilerlersem, ve birleştirilmiş olanθηξ ye uzatılmış olursa, 24

25 Λ Κ Ν Μ Β Θ Γ Η Ξ Ε Ζ Α ΚΗ :ΗΕ ::ΚΘ :ΕΞ, ΓΘ :ΘΚ & ΘΚ :ΕΞ bileşimiθγ :ΕΞ oranıyla değiştirilir, ve ΓΖ :ΖΕ ::ΓΘ :ΕΞ. ΓΘΕΞ ye paralel olunca, böylece Θ,Ξ, veζ dan [geçen çizgi] doğrudur (zira bu apaçıktır), öyleyse ayrıca Θ,Η, veζ dan [geçen çizgi] doğrudur. 25

26 Lemma V (Önerme 131) Eğer diyagramαβγ ΕΖΗΘ ise [ve özel olarakα,η, veθ dan geçen çizgi doğru ise], Α : Γ ::ΑΒ :ΒΓ meydana gelir. Dolayısıyla Α : Γ :: ΑΒ : ΒΓ olsun. O zaman Α,Η, veθ dan [geçen çizgi] doğrudur. Kanıt. Η dan Α ya paralel olan ΚΛ ilerletilmiş olsun. Dolayısıyla olduğundan, ama olduğundan, böylece ayrıca ve Α : Γ ::ΑΒ :ΒΓ Α : Γ ::ΚΛ :ΛΗ, ΑΒ :ΒΓ ::ΚΗ :ΗΜ ΚΛ :ΛΗ ::ΚΗ :ΗΜ, kalanηλ : kalanλμ ::ΚΛ :ΛΗ ::Α : Γ. 26

27 Ε Ζ Κ Η Θ Μ Λ İzlemeyle Α Β Γ veηλα ya paraleldir. Böylece Α :ΗΛ ::Γ :ΛΜ :: Θ :ΘΛ, Α,Η, veθnoktalarından [geçen çizgi] doğrudur; zira bu apaçıktır. 27

28 Lemma VI (Önerme 132) Yine eğer diyagram [ΑΒΓ ΕΖΗ] ise, ve ΖΒΓ ya paralel ise, ΑΒ =ΒΓ meydana gelir. Dolayısıyla eşit olsun; o zaman [ ΖΒΓ ya] paraleldir. Kanıt. Olur da. Zira eğerεβ daηβ ya eşit olanβθ yı koyarsam, veαθ veθγ yı birleştirirsem, ve bundan paralelkenarαθγη meydana gelir, Α : Ε ::ΓΖ :ΖΕ (zira söylenmiş [iki oranın] her biri ΘΗ : ΗΕ oranıyla aynıdır). Öyleyse ΖΑΓ ya paraleldir. 28

29 Ε Ζ Η Α Β Γ Θ 29

30 Lemma VII (Önerme 133) Diyagram olsun, ve Β veβγ nın orta orantılısıβα olsun (τῶν Β ΒΓμέσηἀνάλογονἔστωἡΒΑ). 1 O zaman ΖΗΑΓ ya paraleldir. Kanıt. ΕΒ uzatılmış olsun, ve Α dan Ζ doğrusuna paralel olan ΑΚ ilerletilmiş olsun, veγκ birleştirilmiş olsun. Dolayısıyla olduğundan, ayrıca Böylece Dolayısıyla yine ΓΒ :ΒΑ ::ΑΒ :Β, ΑΒ :Β ::ΚΒ :ΒΘ ΓΒ :ΒΑ ::ΚΒ :ΒΘ. ΑΘΚΓ ya paraleldir. ΑΖ :ΖΕ ::ΓΗ :ΗΕ (zira her oranκθ :ΘΕ oranıyla aynıdır). Öyleyse ΖΗΑΓ ya paraleldir. 1 Yani Β :ΒΑ ::ΒΑ :ΒΓ olsun. Öğeler Önerme VI.13 üne bakın. Yunan ἡ μέση ἀνάλογον teriminin İngilizcesi mean proportional dır, örneğin lisede kullandığım geometri ders kitabında [21, s. 239]. Türkçe de Demirtaş orta orantılı kullanır [4, s. 214], ama Atatürk ortakoran kullandı [2, s. 35]. 30

31 Ε Ζ Η Θ Α Β Γ Κ 31

32 Lemma VIII (Önerme 134) Diyagram (ὁβωμίσκος küçük sunak )ΑΒΓ ΕΖΗ olsun, ve ΕΒΓ ya, veεηβζ ya, paralel olsun. O zaman Ζ daγη ya paraleldir. Kanıt.ΒΕ, Γ, veζη birleştirmiş olsun. Böylece ΒΕ üçgeni ΓΕ üçgenine eşittir. Ortak ΑΕ üçgeni eklenmiş olsun. Böylece ΑΒΕ üçgeninin tümü,γ Α üçgeninin tümüne eşittir. YineΒΖΕΗ ya paralel olduğundan ΒΖΕ üçgeniαβζ üçgenine eşittir. OrtakΑΒΖ üçgeni ayrılmış olsun. Böylece kalanαβε üçgeni, kalanαηζ üçgenine eşittir. Ama Böylece ΑΒΕ üçgeniαγ üçgenine eşittir. ΑΓ üçgeni de,αηζ üçgenine eşittir. 32

33 Ζ Η Α Ε Β Γ OrtakΑΓΗ üçgeni eklenmiş olsun. Böylece Γ Η üçgeninin tümü,γζη üçgeninin tümüne eşittir. Ve aynıγη tabanındadırlar. Böylece ΓΗ Ζ ya paraleldir. 33

34 Lemma IX (Önerme 135) ÜçgenΑΒΓ olsun, ve oradaα veαε sürdürülmüş olsun, veβγ ya paralel olanζη ilerletilmiş olsun, veζθη eğilmiş olsun, ve ΒΘ :ΘΓ :: Θ :ΘΕ olsun. O zaman ΚΛΒΓ ya paraleldir. Kanıt. Zira olduğundan, böylece ΒΘ :ΘΓ :: Θ :ΘΕ kalan BD : kalan GE :: Θ :ΘΕ. Ve böylece ayrıca İzlemeyle Ama paralellerden Β :ΕΓ ::ΖΜ :ΝΗ; ΖΜ :ΝΗ :: Θ :ΘΕ. ΖΜ : Θ ::ΝΗ :ΘΕ. ΖΜ : Θ ::ΖΚ :ΚΘ, ΗΝ :ΘΕ ::ΗΛ :ΛΘ, 34

35 Α Ζ Μ Ν Η Κ Λ Β Θ Ε Γ ve böylece ΖΚ :ΚΘ ::ΗΛ :ΛΘ. Böylece ΚΛΗΖ ya paraleldir, öyleyseγβ ya. 35

36 Lemma X (Önerme 136) İki doğruβαε ve ΑΗ üzerine,θnoktasından geçen iki doğru Θ veθε sürdürülmüş olsun, ve olsun. O zaman Θ ΒΓ : Γ ΒΘ ::ΘΗ ΖΕ :ΘΕ ΖΗ Γ,Α, veζ dan geçen [çizgi] doğrudur. Kanıt. Θ dan veγα ya paralel olanκλ ilerletilmiş olsun, ΑΒ veα ileκveλnoktalarında kesişmiş olsun, Λ danα ya paralel olanλμ ilerletilmiş olsun, ΕΘΜ ye uzatılmış olsun, Κ danαβ ya paralel olanκν ilerletilmiş olsun, ΘΝ ye uzatılmış olsun. Dolayısıyla paralellerden Θ :ΘΝ :: Γ :ΓΒ olmuş olduğundan, böylece Θ ΓΒ = Γ ΘΝ. 36

37 Μ Ν Λ Θ Κ Β Η Γ Α Ζ Ε Γ ΒΘ da başka rasgele bir [çarpımıdır]. Böylece Θ ΒΓ : Γ ΒΘ ::Γ ΘΝ : Γ ΒΘ ::ΘΝ :ΘΒ. Ama Θ ΒΓ : Γ ΒΘ ::ΘΗ ΖΕ :ΘΕ ΖΗ varsayılır, ve Ve böylece ΘΝ :ΘΒ ::ΚΘ :ΘΛ :: ΗΘ : ΘΜ (paralellerden) ::ΘΗ ΖΕ :ΘΜ ΖΕ. ΘΗ ΖΕ :ΘΕ ΖΗ ::ΘΗ ΖΕ :ΘΜ ΖΕ. Böylece ΘΕ ΖΗ =ΘΜ ΖΕ. 37

38 Lemma X (Önerme 136) Ve böylece ΘΜ :ΘΕ ::ΗΖ :ΖΕ. Toplamayla ve izlemeyle ΜΕ :ΕΗ ::ΘΕ :ΕΖ. Ama ve böylece Böylece Ama Böylece ΜΕ :ΕΗ ::ΛΕ :ΕΑ, ΛΕ :ΕΑ ::ΘΕ :ΕΖ. ΑΖ,ΚΛ ya paraleldir. ΓΑ da [ΚΛ ya paraleldir]. ΓΑΖ doğrudur. Bunun durumları, tersi olan önceden yazılmışlarınki [yani Lemma III ün durumları] gibidir. 38

39 Μ Ν Λ Θ Κ Γ Β Α Η Ζ Ε 39

40 Lemma XI (Önerme 137) Üçgen ΑΒΓ [olsun], ve Α ΒΓ ya paralel [olsun], ve sürdürülmüş olan Ε,ΒΓ ileεnoktada kesişmiş olsun. O zaman Ε ΖΗ :ΕΖ Η ::ΓΒ :ΒΕ. Kanıt. Γ dan ΑΕ a paralel olan ΓΘ ilerletilmiş olsun, ve ΑΒ Θ ya uzatılmış olsun. Dolayısıyla olduğundan, dahi Böylece ΓΑ :ΑΗ ::ΓΘ :ΖΗ, ΓΑ :ΑΗ ::Ε : Η Ε : Η ::ΘΓ :ΖΗ. ΓΘ Η =Ε ΖΗ. ΕΖ Η da başka rasgele bir [çarpımıdır]. Böylece Dolayısıyla Ε ΖΗ : Η ΕΖ ::ΓΘ Η : Η ΕΖ ::ΓΘ :ΕΖ ::ΓΒ :ΒΕ. Ε ΖΗ :ΕΖ Η ::ΓΒ :ΒΕ. Eğer Α paraleli diğer tarafa da ilerletilmiş ise, ve Ε dan Γ nın ötesine sürdürülmüş ise, aynı şey [doğrudur]. 40

41 Α Ζ Η Ε Β Γ Θ 41

42 Lemma XII (Önerme 138) Bunlar şimdi kanıtlanmış olunca, eğer ΑΒ ve Γ paralel ise, ve bunların üzerine bazı doğrularα,αζ,βγ, veβζ düşerse, veε veεγ birleştirilirse, o zaman gösterilecek. Η,Μ, veκ dan geçen [çizgi nin] doğru olduğu Kanıt. Zira ΑΖ üçgen olduğundan, ve ΑΕ Ζ ya paralel olduğundan, ve Ζ ya Γ da düşen ΕΓ sürdürülmüş olduğundan, önceden yazılmışlara göre Ζ :ΖΓ ::ΓΕ ΗΘ :ΓΗ ΘΕ meydana gelir. Yine ΓΒΖ üçgen olduğundan, ve Γ ya paralel olan ΒΕ ilerletilmiş olduğundan, ve ΓΖ ya da düşen Ε sürdürülmüş olduğundan ΓΖ :Ζ :: Ε ΛΚ : Κ ΛΕ meydana gelir. Böylece tersine meydana gelir. da oldu. Ve böylece Ζ :ΖΓ :: Κ ΛΕ : Ε ΛΚ Ζ :ΖΓ ::ΓΕ ΗΘ :ΓΗ ΘΕ ΓΕ ΗΘ :ΓΗ ΘΕ :: Κ ΛΕ : Ε ΚΛ. 42

43 Α Ε Β Θ Λ Η Μ Κ Γ Ζ Dolayısıyla iki doğruεγ veε, iki doğruγμλ ve ΜΘ ya sürdürülmüş olduğundan, ve olduğundan, böylece zira bu gösterilmiş oldu. ΓΕ ΗΘ :ΓΗ ΘΕ :: Κ ΕΛ : Ε ΛΚ Η,Μ, veκ dan [geçen çizgi] doğrudur; 43

44 Lemma XIII (Önerme 139) Ama o haldeαβ veγ paralel olmasın, amaν de kesişmiş olsun. O zaman yine Η,Μ, veκ dan geçen [çizgi] doğrudur. Kanıt. Üç doğruαν,αζ, veα üzerine aynıγnoktasından iki doğruγε veγ sürdürülmüş olduğundan, ΓΕ ΗΘ :ΓΗ :ΘΕ ::ΓΝ Ζ :Ν ΓΖ meydana gelir. Yine aynı noktasından, üç doğruβν,βγ, veβζ üzerine iki doğru Ε ve Ν sürdürülmüş olduğundan Ama ΝΓ Ζ :Ν :ΖΓ :: Κ ΕΛ : Ε ΚΛ. ΝΓ Ζ :Ν ΓΖ ::ΓΕ ΗΘ :ΓΗ ΘΕ gösterilmiş oldu. Ve dolayısıyla ΓΕ ΘΗ :ΓΗ ΘΕ :: Κ ΕΛ : Ε ΚΛ. O halde önceden yazılmışlara göre Η,Μ, veκ dan geçen [çizgi] doğrudur. 44

45 Β Ε Λ Κ Α Θ Η Μ Ν Γ Ζ 45

46 Lemma XIV (Önerme 140) ΑΒΓ ya paralel olsun, veαε veγβ sürdürülmüş olsun, ve [öyle] bir noktaβη daζ[olsun] ki [olsun]. O zaman Ε :ΕΓ ::ΓΒ ΗΖ :ΖΒ ΓΗ Α,Ζ, ve dan [geçen çizgi] doğrudur. Kanıt. danβγ ya paralel olan Θ ilerletilmiş olsun, veαεθ ya uzatılmış olsun, Θ dan Γ ya paralel olan ΘΚ [ilerletilmiş olsun], ve ΒΓ Κ ya uzatılmış olsun. Dolayısıyla olduğundan, böylece Ε :ΕΓ ::ΓΒ ΖΗ :ΖΒ ΓΗ, Ε :ΕΓ :: Θ :ΓΗ :: Θ ΒΖ :ΓΗ ΒΖ ΒΓ ΖΗ :: Θ ΒΖ. 46

47 Α Β Ζ Η Γ Ε Κ Θ Böylece orantı vardır. Böylece ayrıca Ama paralellerden ΓΒ :ΒΖ :: Θ :ΗΖ ::ΓΚ :ΗΖ ΚΒ tümü :ΒΗ tümü ::ΚΓ :ΖΗ :: Θ :ΖΗ. { ΘΑ :ΑΗ, ΚΒ :ΒΗ :: Θ :ΖΗ. Ve Θ veζη paraleldir. Böylece Α,Ζ, ve noktalarından [geçen çizgi] doğrudur. 47

48 Lemma XV (Önerme 141) Bu önceden bakılmış olunca, ΑΒ Γ ya paralel olsun, ve bunların üzerine doğrularαζ,ζβ,γε, veε düşmüş olsun, veβγ veηκ birleştirilmiş olsun. O zaman Α,Μ, ve dan [geçen çizgi] doğrudur. Kanıt. Μ birleştirilmiş olsun ve Θ ya uzatılmış olsun. Dolayısıyla ΒΓΖ üçgenininβtepe noktasındanγ ya paralel olanβε ilerletilmiş olduğundan ve Ε sürdürülmüş olduğundan, meydana gelir. Ayrıca ΓΖ :Ζ :: Ε ΚΛ :ΕΛ Κ Ε ΚΛ : Κ ΛΕ ::ΓΗ ΘΕ :ΓΕ ΗΘ (zira üç doğruγλ, Θ, veηκ üzerine aynıεnoktasından iki doğru ΕΓ veε sürdürülmüştür). Böylece Ayrıca Ζ :ΖΓ ::ΓΕ ΗΘ :ΓΗ ΘΕ. Θ,Μ, ve dan [geçen çizgi] doğrudur. Böylece önceden yazılmıştan ayrıca Α,Μ, ve dan [geçen çizgi] doğrudur. 48

49 Α Ε Β Θ Λ Η Μ Κ Γ Ζ 49

50 Lemma XVI (Önerme 142) İki doğruαβ veαγ üzerine aynıαnoktasından Β ve Ε sürdürülmüş olsun, ve bunlardaηveθnoktaları alınmış olsun, ve olsun. O zaman ΕΗ Ζ : Ε ΗΖ ::ΒΘ Γ :Β ΓΘ Α,Η, veθ dan [geçen çizgi] doğrudur. Kanıt. Η dan Β ya paralel olan ΚΛ ilerletilmiş olsun. Dolayısıyla olduğundan, ama olduğundan, ve ayrıca olduğundan, böylece ΕΗ Ζ : Ε ΖΗ ::ΒΘ Γ :Β ΓΘ ΕΗ Ζ : Ε ΗΖ ::ΗΕ :Ε & Ζ :ΖΗ ::ΚΗ :Β & Γ :ΗΛ ΒΘ Γ :Β ΓΘ ::ΘΒ :Β & Γ :ΓΘ ΚΗ :Β & Γ :ΗΛ ::ΒΘ :Β & Γ :ΓΘ. Ve ΚΗ :Β ::ΚΗ :ΒΘ & ΒΘ :Β ; 50

51 Α Ε Κ Η Λ Ζ böylece Β Θ Γ ΚΗ :ΒΘ & ΒΘ :Β & Γ :ΗΛ ::ΒΘ :Β & Γ :ΓΘ. OrtakΒΘ :Β oranı kovulmuş olsun. Böylece kalan ΚΗ :ΒΘ & Γ :ΗΛ :: Γ :ΓΘ :: Γ :ΗΛ & ΗΛ :ΘΓ. Ve yine ortak Γ :ΗΛ oranı kovulmuş olsun. Böylece kalan İzlemeyle veκλ veβγ paraleldir. Böylece ΚΗ :ΒΘ ::ΗΛ :ΘΓ. ΚΗ :ΗΛ ::ΒΘ :ΘΓ, Α,Η, veθnoktalarından [geçen çizgi] doğrudur. 51

52 Lemma XVII (Önerme 143) Ama o haldeαβ veγ paralel olmasın, amaν de kesişmiş olsun. Kanıt. Dolayısıyla aynıαnoktasından üç doğruβν,βγ, veβζ üzerine iki doğru Ε ve Ν sürdürülmüş olduğundan, Ve Ν ΓΖ :ΝΓ Ζ :: Ε ΚΛ :ΕΛ Κ. Ε ΚΛ :ΕΛ Κ ::ΕΘ ΓΗ :ΕΓ ΘΗ (zira yine üç doğruγλ, Θ, veηκ üzerine aynıεnoktasından sürdürülmüştür iki doğruεγ veε ). Ayrıca O halde önceden yazılmıştan ΕΘ ΓΗ :ΕΓ ΘΗ ::Ν ΓΖ :ΝΓ Ζ. Α,Θ, veλ dan [geçen çizgi] doğrudur. Böylece Α,Μ, veλ dan [geçen çizgi] doğrudur. 52

53 Β Ε Λ Κ Α Θ Η Μ Ν Γ Ζ 53

54 Lemma XVIII (Önerme 144) ÜçgenΑΒΓ [olsun], veβγ ya paralel olanα ilerletilmiş olsun, ve Ε veζη sürdürülmüş olsun. Ayrıca ΕΒ 2 :ΕΓ ΓΒ ::ΒΗ :ΗΓ olsun (ἔστωδὲωςτὸἀπὸεβπρὸςτὸὑπὸεγβ,οὕτωςἡβηπρὸς τὴνηγ). O zamanβ birleştirilirse, Θ,Κ,Γ dan [geçen çizgi] doğru olur. Kanıt.ΕΒ 2 :ΕΓ ΓΒ ::ΒΗ :ΗΓ olduğundan,εγ ΓΒ :ΕΒ ΒΓ ile aynı olan ortakγε :ΕΒ oranı eklenmiş olsun. Böylece eşitlikten ΕΒ 2 } :ΕΒ ΒΓ ::ΒΗ :ΗΓ & ΕΓ ΓΒ :ΕΒ ΒΓ ΕΒ :ΒΓ }{{}. ΕΓ :ΕΒ Öyleyse Önceden yazılmış lemmadan ΕΒ 2 :ΕΒ ΒΓ ::ΒΗ :ΗΓ & ΕΓ :ΕΒ ::ΕΓ ΒΗ :ΕΒ ΓΗ. ΕΒ :ΒΓ :: Ζ ΘΕ : Ε ΖΘ, 54

55 Α Ζ Θ Κ Ε Β Η Γ ve böylece ΓΕ ΒΗ :ΓΗ ΕΒ :: Ζ ΘΕ : Ε ΖΘ. Böylece Θ,Κ, veγ dan [geçen çizgi] doğrudur, zira bu, [Lemma X un] karşıt tersinin durumlarındadır. 55

56 Lemma XIX (Önerme 145) Üç doğruαβ,αγ,α üzerine birεnoktasından iki doğruεζ ve ΕΒ sürdürülmüş olsun. Ayrıca olsun. O zaman meydana gelir. ΕΖ :ΖΗ ::ΘΕ :ΘΗ ΒΕ :ΒΓ ::Ε : Γ Kanıt.Η danβε a paralel olanλκ ilerletilmiş olsun. Dolayısıyla olduğundan, ama olduğundan, böylece ayrıca İzlemeyle Ve Böylece ayrıca İzlemeyle ΕΖ :ΖΗ ::ΕΘ :ΘΗ ΕΖ :ΖΗ ::ΕΘ :ΘΗ, ΕΘ :ΘΗ :: Ε :ΗΛ ΒΕ :ΗΚ :: Ε :ΗΛ. ΕΒ :Ε ::ΚΗ :ΗΛ. ΚΗ :ΗΛ ::ΒΓ :Γ. ΒΕ :Ε ::ΒΓ :Γ. ΕΒ :ΒΓ ::Ε : Γ. 56

57 Α Ζ Κ Λ Η Θ Β Γ Ε [Diğer] durumlar da benzerdir. 57

58 Ek Fiiller Sözlüğü ἄγω ilerle= (örneğin Lemma I de: ΗχθωδιὰτοῦΖτῇΒ παράλληλος ἡ ΖΛ, Ζ dan Β ya paralel olan ΖΛ ilerletilmiş olsun ) ἀγάγω (sadece Lemma IV te: Εὰν γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ ΘΓ παράλληλον ἀγάγωτὴνεξ, EğerΕ danθγ ya paralel olanεξ ilerlersem ) διάγω sürdür= (örneğin Lemma III te:εἰςτρεῖςεὐθείαςτὰς ΑΒΓΑ Α διήχθωσανδύοεὐθεῖαιαἱθεθ, Üç doğru ΑΒ,ΓΑ, ve Α üzerine iki doğruθε veθ sürdürülmüş olsun ) ἁιρέω ἀφαιρέω ayır= (Lemma VIII) βάλλω ἐκβάλλω uzat= μεταβάλλω değiştir= γιγνόμαι ol= (doğ=, meydana gel=) γράφω προγράφω önceden yaz= δείκνυμι göster= ἀποδείκνυμι kanıtla= (Lemma XII) εἰμι ol= ἐρῶ söyle= (λέγω nun gelecek zamanı olarak kullanılır. Lemma VI da sadece: ἑκατέρων γὰρ τῶν εἰρημένων ὁ αὐτός ἐστιν τῷτῆςθηπρὸςτὴνηελόγος, zira söylenmiş [iki oranın] her biri,θη :ΗΕ oranıyla aynıdır ) 58

59 Edatlar Sözlüğü ἔχω -i ol= ζεύγνυμι birleştir= ἐπιζεύγνυμι birleştir= θεωρέω προθεωρέω önceden bak= (Sadece Lemma XV te: Τούτου προτεθεωρημένου [genitivus absolutus], Bu önceden bakılmış olunca ) κεῖμαι otur= προσκεῖμαι eklen= ὑποκεῖμαι varsayıl= κλάω eğ= (Lemma IX: κεκλάσθωἡζθη, ΖΘΗ eğilmiş olsun ) κρούω ἐκκρούω kov= λαμβάνω al= (Lemma XVI da: ἐπ αὐτῶν εἰλήφθω σημεῖα τὰ Η Θ, bunlardaηveθnoktaları alınmış olsun ) πίπτω ἐμπίπτω üzerine düş= συμπίπτω kesiş= (her zaman συμπιπτέτω [tekil] veya συμπιπτέτωσαν [çoğul], kesişmiş olsun ) τίθημι koy= (Lemma VI: ἐὰν γὰρ ἐπὶ τῆς ΕΒ θῶ τῇ ΗΒ ἴσην τὴν ΒΘ, zira eğerεβ daηβ ya eşit olanβθ yı koyarsam ) τυγχάνω rastla= (τυχόν, rasgele : aşağıya bakın) Edatlar Sözlüğü ἀλλά ama ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ τῶν da başka rasgele bir [çarpımıdır] (örneğin Lemma III e bakın) ἄρα böylece διὰ ταὐτά aynı [sebep]le γάρ zira 59

60 Ek [genitivus absolutus] -ince δέ de, ve δή o halde ἐπεί -diğinden καί de, dahi, ve, ayrıca örneğin Lemma I de: ἔστινἄραὡςἡεβπρὸςτὴνβλ, οὕτωςἐνπαραλλήλῳἡεκπρὸςτὴνκζ, καὶἡεθπρὸςτὴνθη, { ΘΑ :ΑΗ, Ama paralellerden ΚΒ : ΒΗ :: Θ :ΖΗ. κατὰ τὰ αὐτά aynı [şekil]de μέν... δέ de οὖν dolayısıyla πάλιν yine τουτέστιν yani örneğin Lemma I de: ἐστινὡςἡ ΑπρὸςτὴνΑΖ, τουτέστινἐνπαραλλήλῳὡςἡβαπρὸςτὴναλ, οὕτωςἡγαπρὸςτὴναη, ve Lemma III te: Α }{{ :ΑΖ} ::ΓΑ :ΑΗ, ΒΑ :ΑΛ 60

61 Yunan Alfabesi ὡςτὸὑπὸτῶνεθηζπρὸςτὸὑπὸεζηθ, οὕτωςτὸὑπὸεζθμπρὸςτὸὑπὸεζηθ, τουτέστιν ἡ ΘΜ πρὸς ΘΗ, τουτέστιν ἡ ΛΘ πρὸς τὴν ΘΚ, ΕΘ ΗΖ :ΕΖ ΗΘ ::ΕΖ ΘΜ :ΕΖ ΗΘ ::ΘΜ :ΘΗ ::ΛΘ :ΘΚ. ὥστε öyleyse Yunan Alfabesi Α α alfa Β β beta Γ γ gamma δ delta Ε ε epsilon ( çıplak e ) Ζ ζ zeta Η η eta Θ θ theta Ι ι iota Κ κ kappa Λ λ lambda Μ μ mü Ν ν nü Ξ ξ ksi Ο ο omikron ( küçük o ) Π π pi Ρ ρ rho Σ σ,ς sigma Τ τ tau Υ υ üpsilon Φ φ phi Χ χ khi Ψ ψ psi Ω ω omega ( büyük o ) Harfler, Yunan Font Derneği nin NeoHellenic fontundan alınır. Bu font δ =δ, Ε =Ε, ζ =ζ, Ξ = =, Ω =Ω alternatif biçimlerini sağlar. Sigmanın küçük ς biçimi sadece bir sözcüğün sonunda kullanılır. 61

62 Kaynakça [1] Archimedes. The Two Books On the Sphere and the Cylinder, volume I of The Works of Archimedes. Cambridge University Press, Cambridge, Translated into English, together with Eutocius commentaries, with commentary, and critical edition of the diagrams, by Reviel Netz. [2] Mustafa Kemal Atatürk. Geometri. Türk Dil Kurumu, Ankara, baskı. 1. baskı [3] Güler Çelgin. Eski Yunanca Türkçe Sözlük. Kabalcı, İstanbul, [4] Abdurrahman Demirtaş. Matematik Sözlüğü. Bilim Teknik Kültür Yayınları, Ankara, [5] Euclid. The Thirteen Books of Euclid s Elements. Dover Publications, New York, Translated from the text of Heiberg with introduction and commentary by Thomas L. Heath. In three volumes. Republication of the second edition of First edition [6] Euclid. Öklid in Öğeler inin 13 Kitabından Birinci Kitap. Mathematics Department, Mimar Sinan Fine Arts University, Istanbul, 4th edition, September The first of the 13 books of Euclid s Elements. Greek text, with Turkish version by Özer Öztürk & David Pierce. [7] Thomas Heath. A History of Greek Mathematics. Vol. I. From Thales to Euclid. Dover Publications Inc., New York, Corrected reprint of the 1921 original. [8] Thomas Heath. A History of Greek Mathematics. Vol. II. From Aristarchus to Diophantus. Dover Publications Inc., New York, Corrected reprint of the 1921 original. [9] Morris Kline. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press, New York, [10] Henry George Liddell and Robert Scott. A Greek-English Lexicon. Clarendon Press, Oxford, Revised and augmented throughout by Sir Henry Stuart Jones, with the assistance of Roderick McKenzie and with the cooperation of many scholars. With a revised supplement. 62

63 Kaynakça [11] James Morwood and John Taylor, editors. Pocket Oxford Classical Greek Dictionary. Oxford University Press, Oxford, [12] Pappus of Alexandria. Pappus Alexandrini Collectionis Quae Supersunt, volume II. Weidmann, Berlin, E libris manu scriptis edidit, Latina interpretatione et commentariis instruxit Fridericus Hultsch. [13] Pappus of Alexandria. Book 7 of the Collection. Part 1. Introduction, Text, and Translation. Springer Science+Business Media, New York, Edited With Translation and Commentary by Alexander Jones. [14] Proclus. A Commentary on the First Book of Euclid s Elements. Princeton Paperbacks. Princeton University Press, Princeton, NJ, Translated from the Greek and with an introduction and notes by Glenn R. Morrow. Reprint of the 1970 edition. With a foreword by Ian Mueller. [15] David Eugene Smith. A Source Book in Mathematics. 2 vols. Dover Publications Inc., New York, Unabridged republication of the first edition, 1929, published by McGraw-Hill. [16] Herbert Weir Smyth. Greek Grammar. Harvard University Press, Cambridge, Massachussets, Revised by Gordon M. Messing, Eleventh Printing. Original edition, [17] D. J. Struik, editor. A Source Book in Mathematics, Princeton Paperbacks. Princeton University Press, Princeton, NJ, Reprint of the 1969 edition. [18] Rene Taton. L «Essay pour les Coniques» de Pascal. Revue d histoire de science et de leurs applications, 8(1):1 18, article/rhs_ _1955_num_8_1_3488. [19] Ivor Thomas, editor. Selections Illustrating the History of Greek Mathematics. Vol. I. From Thales to Euclid. Number 335 in Loeb Classical Library. Harvard University Press, Cambridge, Mass., With an English translation by the editor. [20] Ivor Thomas, editor. Selections Illustrating the History of Greek Mathematics. Vol. II. From Aristarchus to Pappus. Number 362 in Loeb Classical Library. Harvard University Press, Cambridge, Mass, With an English translation by the editor. [21] Arthur W. Weeks and Jackson B. Adkins. A Course in Geometry: Plane and Solid. Ginn and Company, Lexington, Massachusetts,

64 yazar eserinin adı Yunancası İngilizcesi Öklid Veriler εδώμενα Data 1 Apollonius Oranın Kesilmesi Λόγουἀποτομή Cutting-off of a Ratio 2 Apollonius Alanın Kesilmesi Χωρίουἀποτομή Cutting-off of an Area 2 Apollonius Belirli Kesit ιωρισμένηςτομή Determinate Section 2 Apollonius Teğetler Επαφαί Tangencies 2 Öklid Porizmalar Πορίσματα Porisms 3 Apollonius Yönelmeler Νεύσεις Vergings 2 Apollonius Düzlem Yerleri Τόποιἐπιπέδοι Plane Loci 2 Apollonius Koni Kesitleri Κωνικαί Conics 8 Aristaeus Cisim Yerleri Τόποιστερεοί Solid Loci 5 Öklid Yüz Yerleri Τόποιτῶνπρὸςἐπιφανείᾳ Surface Loci 2 Eratosthenes Ortalar hakkında Περὶμεσοτήται On Means 2 Analiz Hazinesi nin içindekiler (son sütun, eserin kitap [cilt] sayısını verir)