Grassmann Uzaylarının Geometrisi

Transkript

1 Grassmann Uzaylarının Geometrisi İzzet Coşkun University of Illinois at Chicago 5 Ağustos, 2010

2 V nin n-boyutlu bir vektörler uzayı olduğunu varsayalım.

3 V nin n-boyutlu bir vektörler uzayı olduğunu varsayalım. Grassmann uzayı G(k, n), V nin k-boyutlu alt vektör uzaylarını parametre eden uzaydır.

4 V nin n-boyutlu bir vektörler uzayı olduğunu varsayalım. Grassmann uzayı G(k, n), V nin k-boyutlu alt vektör uzaylarını parametre eden uzaydır. Örneğin, G(2, 4) 4-boyutlu bir vektörler uzayının 2-boyutlu alt uzaylarını parametre eder. İzdüşümsel geometride, G(2, 4) ü 3-boyutlu izdüşümsel düzlemdeki doğruları parametre eden uzay olarak da düşünebiliriz.

5 Q nun, V -üzerinde dejenere olmayan bir bilineer form olduğunu varsayalım.

6 Q nun, V -üzerinde dejenere olmayan bir bilineer form olduğunu varsayalım. Kompleks sayılar üzerinde Q yu olarak alabiliriz. x x x 2 n

7 Q nun, V -üzerinde dejenere olmayan bir bilineer form olduğunu varsayalım. Kompleks sayılar üzerinde Q yu olarak alabiliriz. x x x 2 n Eğer V nin bir alt uzayı U için Q U = 0 ise, U ya V nin Q-izotropik alt uzayı denir.

8 Q nun, V -üzerinde dejenere olmayan bir bilineer form olduğunu varsayalım. Kompleks sayılar üzerinde Q yu olarak alabiliriz. x x x 2 n Eğer V nin bir alt uzayı U için Q U = 0 ise, U ya V nin Q-izotropik alt uzayı denir. Ortogonal Grassmann uzayı OG(k, n), V nin Q-izotropik k-boyutlu alt vektör uzaylarını parametre eden uzaydır.

9 Grassmann uzayları, cebirsel geometri, kombinatorik ve temsiller teorisinde çok önemli bir rol oynar.

10 Grassmann uzayları, cebirsel geometri, kombinatorik ve temsiller teorisinde çok önemli bir rol oynar. oluşturur. 0 < a 1 < < a k n bir dizi pozitif tam sayı olsun. bir bayrak olsun. 0 F 1 F 2 F n = V

11 Grassmann uzayları, cebirsel geometri, kombinatorik ve temsiller teorisinde çok önemli bir rol oynar. oluşturur. 0 < a 1 < < a k n bir dizi pozitif tam sayı olsun. bir bayrak olsun. 0 F 1 F 2 F n = V σ a1,...,a k Schubert sınıfı {U G(k, n) dim(u F ai ) i} Schubert uzayının kohomoloji sınıfıdır.

12 Grassmann uzayları, cebirsel geometri, kombinatorik ve temsiller teorisinde çok önemli bir rol oynar. oluşturur. 0 < a 1 < < a k n bir dizi pozitif tam sayı olsun. bir bayrak olsun. 0 F 1 F 2 F n = V σ a1,...,a k Schubert sınıfı {U G(k, n) dim(u F ai ) i} Schubert uzayının kohomoloji sınıfıdır. Schubert sınıfları G(k, n) nin kohomolojisinin ayrıcalıklı bir tabanını oluşturur.

13 İki Schubert sınıfının çarpımı Schubert sınıflarının toplamı olarak yazılabilir. σ a σ b = k c a,b σ c

14 İki Schubert sınıfının çarpımı Schubert sınıflarının toplamı olarak yazılabilir. σ a σ b = ka,b c σ c ka,b c katsayıları doğal sayılardır ve bunlara Littlewood-Richardson katsayıları denir.

15 İki Schubert sınıfının çarpımı Schubert sınıflarının toplamı olarak yazılabilir. σ a σ b = ka,b c σ c ka,b c katsayıları doğal sayılardır ve bunlara Littlewood-Richardson katsayıları denir. Bu katsayılar temsiller teorisinde de önemli bir rol oynar. V 1 ve V 2 GL(n) in indirgenemez iki temsili olsun. Bu temsillerin tensör çarpımlarındaki indirgenemez temsillerin katsayıları da Littlewood-Richardson katsayıları tarafından verilir.

16 Schubert sınıfları OG(k, n) nin kohomolojisinin de ayrıcalıklı bir tabanını oluşturur.

17 Schubert sınıfları OG(k, n) nin kohomolojisinin de ayrıcalıklı bir tabanını oluşturur. 0 < a 1 < a 2 < < a s n/2 ve (n 1)/2 b s+1 > > b k 0 iki tam sayı dizisi olsun. Tüm i, j indeksleri için a i b j +1 olduğunu varsayalım.

18 Schubert sınıfları OG(k, n) nin kohomolojisinin de ayrıcalıklı bir tabanını oluşturur. 0 < a 1 < a 2 < < a s n/2 ve (n 1)/2 b s+1 > > b k 0 iki tam sayı dizisi olsun. Tüm i, j indeksleri için a i b j +1 olduğunu varsayalım. F a1 F a2 F as F b s+1 F b k bir Q-izotropic bayrak olsun.

19 Schubert sınıfları OG(k, n) nin kohomolojisinin de ayrıcalıklı bir tabanını oluşturur. 0 < a 1 < a 2 < < a s n/2 ve (n 1)/2 b s+1 > > b k 0 iki tam sayı dizisi olsun. Tüm i, j indeksleri için a i b j +1 olduğunu varsayalım. F a1 F a2 F as F b s+1 F b k bir Q-izotropic bayrak olsun. Schubert sınıfı σ b s+1,...,b k a 1,...,a s {U OG(k, n) dim(u F ai ) i, dim(u F b j ) j} Schubert uzayının kohomoloji sınıfıdır.

20 Bugün, cebirsel geometri, kombinatorik ve temsiller teorisinin kesiştiği bir başka problemden bahsetmek istiyorum.

21 Bugün, cebirsel geometri, kombinatorik ve temsiller teorisinin kesiştiği bir başka problemden bahsetmek istiyorum. Doğal olarak i : OG(k, n) G(k, n)

22 Bugün, cebirsel geometri, kombinatorik ve temsiller teorisinin kesiştiği bir başka problemden bahsetmek istiyorum. Doğal olarak i : OG(k, n) G(k, n) i : H (G(k, n), Z) H (OG(k, n), Z)

23 Bugün, cebirsel geometri, kombinatorik ve temsiller teorisinin kesiştiği bir başka problemden bahsetmek istiyorum. Doğal olarak i : OG(k, n) G(k, n) i : H (G(k, n), Z) H (OG(k, n), Z) Kohomolojideki i fonksiyonunu hesaplmaya geometrik dallanma problemi diyebiliriz.

24 Bugün, cebirsel geometri, kombinatorik ve temsiller teorisinin kesiştiği bir başka problemden bahsetmek istiyorum. Doğal olarak i : OG(k, n) G(k, n) i : H (G(k, n), Z) H (OG(k, n), Z) Kohomolojideki i fonksiyonunu hesaplmaya geometrik dallanma problemi diyebiliriz. Daha somut olarak, i (σ λ )= c a,b λ σb a geometrik dallanma problemi c a,b λ eşdeğerdir. katsayılarını hesaplamaya

25 Bu problemin temsiller teorisindeki karşılığını şöyle açıklayabiliriz. G nin bir grup olduğunu varsayalım. H nin G nin bir alt grubu olduğunu varsayalım. VG nin indirgenemez bir temsilini ifade etsin. V nin H ye kısıtlaması, H nin indirgenemez bileşenlerine ayrıştırılabilir: V H = c i V i.

26 Bu problemin temsiller teorisindeki karşılığını şöyle açıklayabiliriz. G nin bir grup olduğunu varsayalım. H nin G nin bir alt grubu olduğunu varsayalım. VG nin indirgenemez bir temsilini ifade etsin. V nin H ye kısıtlaması, H nin indirgenemez bileşenlerine ayrıştırılabilir: V H = c i V i. c i katsayılarını hesaplamaya temsiller teorisinde dallanma problemi denir.

27 Bu problemin temsiller teorisindeki karşılığını şöyle açıklayabiliriz. G nin bir grup olduğunu varsayalım. H nin G nin bir alt grubu olduğunu varsayalım. VG nin indirgenemez bir temsilini ifade etsin. V nin H ye kısıtlaması, H nin indirgenemez bileşenlerine ayrıştırılabilir: V H = c i V i. c i katsayılarını hesaplamaya temsiller teorisinde dallanma problemi denir. G = SL(n) ve H = SO(n) olarak alındığında, Berenstein ve Sajmar ın teoremi geometrik dallanma problemi ile temsiller teorisindeki dallanma probleminin arasındaki yakın ilgiyi açıklar.

28 4 Temel Kural

29 4 Temel Kural d r + 3, yoksa Q indirgenebilir.

30 d r + 3, yoksa Q indirgenebilir. Eğer Q r 1 d 1 Q r 2 d 2, d 1 + r 1 d 2 + r 2. r 4 Temel Kural

31 4 Temel Kural d r + 3, yoksa Q indirgenebilir. Eğer Q r 1 d Q r 2 d, d 1 + r 1 d 2 + r Qd r üzerinde bulunan en büyük boyutlu lineer düzlemin boyutu en fazla r + d r 2 olabilir. j boyutlu lineer bir düzlem, Q nun singüler uzamını en az j d r 2 boyutlu bir düzlemde keser.

32 4 Temel Kural d r + 3, yoksa Q indirgenebilir. Eğer Q r 1 d Q r 2 d, d 1 + r 1 d 2 + r Qd r üzerinde bulunan en büyük boyutlu lineer düzlemin boyutu en fazla r + d r 2 olabilir. j boyutlu lineer bir düzlem, Q nun singüler uzamını en az j d r 2 boyutlu bir düzlemde keser. Eğer j boyutlu bir düzlem Q nun singüler uzamını m boyutlu bir düzlemde kesiyorsa, Gauss fonksiyonunun görüntüsünün boyutu en fazla j m 1 dir.

33 L n1 L n2 L ns Q r k s d k s Q r 1 d 1 bir dizi izotropik lineer uzay ve bilineer form olsun. 4 temel kural doğrultusunda şunları varsayalım:

34 L n1 L n2 L ns Q r k s d k s Q r 1 d 1 bir dizi izotropik lineer uzay ve bilineer form olsun. 4 temel kural doğrultusunda şunları varsayalım: 4 temel kural doğrultusunda şunları varsayalım: 1 d k s r k s +3

35 L n1 L n2 L ns Q r k s d k s Q r 1 d 1 bir dizi izotropik lineer uzay ve bilineer form olsun. 4 temel kural doğrultusunda şunları varsayalım: 4 temel kural doğrultusunda şunları varsayalım: 1 d k s r k s +3 2 d i+1 + r i+1 d i + r i n

36 L n1 L n2 L ns Q r k s d k s Q r 1 d 1 bir dizi izotropik lineer uzay ve bilineer form olsun. 4 temel kural doğrultusunda şunları varsayalım: 4 temel kural doğrultusunda şunları varsayalım: 1 d k s r k s +3 2 d i+1 + r i+1 d i + r i n 3 x i k i +1 d i r i 2

37 L n1 L n2 L ns Q r k s d k s Q r 1 d 1 bir dizi izotropik lineer uzay ve bilineer form olsun. 4 temel kural doğrultusunda şunları varsayalım: 4 temel kural doğrultusunda şunları varsayalım: 1 d k s r k s +3 2 d i+1 + r i+1 d i + r i n 3 x i k i +1 d i r i 2 4 n j r i +1

38 Kısıtlama uzayları V (L, Q ) := {U OG(k, n) dim(u L nj )=j, dim(u Q r i d i ) k i +1, dim(u Q r i,sing d i ) x i }

39 Kısıtlama uzayları Örnekler: V (L, Q ) := {U OG(k, n) dim(u L nj )=j, i dim(u Q r i d i ) k i +1, dim(u Q r i,sing d i ) x i } } Eğer her i için d i + r i = n ise, OG(k, n) deki Schubert uzaylarını elde ederiz. i

40 Kısıtlama uzayları Örnekler: V (L, Q ) := {U OG(k, n) dim(u L nj )=j, i dim(u Q r i d i ) k i +1, dim(u Q r i,sing d i ) x i } } Eğer her i için d i + r i = n ise, OG(k, n) deki Schubert uzaylarını elde ederiz. Eğer s = 0 ve her i için r i = 0 ise, G(k, n) nin Schubert uzaylarının OG(k, n) ye kısıtlamasını elde ederiz. i

41 Ana teorem, bir kısıtlama uzayının kohomoloji sınıfını, daha basit kısıtlama uzaylarının kohomoloji sınıflarının toplamı olarak ifade eder.

42 Ana teorem, bir kısıtlama uzayının kohomoloji sınıfını, daha basit kısıtlama uzaylarının kohomoloji sınıflarının toplamı olarak ifade eder. Böylece her kısıtlama uzayının kohomoloji sınıfı Schubert sınıflarının toplamı olarak ifade edilmiş olur.

43 V (Q 0 3) OG(1, 4)

44 V (Q 0 3) OG(1, 4)

45 V (Q 0 3) OG(1, 4)

46 V (Q 0 3) OG(1, 4)

47 V (Q 0 3) OG(1, 4) [V (Q 0 3)] = [V (L 2 )] + [V (L 2)]

48 V (L 2 Q 0 4) OG(2, 5)

49 V (L 2 Q 0 4) OG(2, 5)

50 V (L 2 Q 0 4) OG(2, 5)

51 V (L 2 Q 0 4) OG(2, 5) [V (L 2 Q 0 4)] = [V (L 1 Q 1 4)]

52 V (L 2 Q 0 6) OG(2, 7)

53 V (L 2 Q 0 6) OG(2, 7)

54 V (L 2 Q 0 6) OG(2, 7) [V (L 2 Q 0 6)] = [V (L 1 Q 1 6)] + [V (L 2 Q 2 5)]

55 Ek Neticeler Desale ve Ramanan ın bir teoremi, cinsi g hipereliptik eğriler üzerindeki tekil determinantlı rank-2 vektör demetlerini parametre eden moduli uzaylarını OG(g 1, 2g + 2) nin bir alt kümesi olarak ifade eder. Ana teorem bu uzayların kohomoloji sınıfını hesaplamamızı sağlar.

56 Ek Neticeler Desale ve Ramanan ın bir teoremi, cinsi g hipereliptik eğriler üzerindeki tekil determinantlı rank-2 vektör demetlerini parametre eden moduli uzaylarını OG(g 1, 2g + 2) nin bir alt kümesi olarak ifade eder. Ana teorem bu uzayların kohomoloji sınıfını hesaplamamızı sağlar. Eğer n bir tek sayı ise, ana teorem aynı zamanda ortogonal Grassmann uzaylarındaki Schubert sınıflarını kısıtlama uzayları cinsinden yazmamızı sağlar. Böylece OG(k, n) nin kohomolojisini hesaplamamız mümkündür.

57 Ek Neticeler Desale ve Ramanan ın bir teoremi, cinsi g hipereliptik eğriler üzerindeki tekil determinantlı rank-2 vektör demetlerini parametre eden moduli uzaylarını OG(g 1, 2g + 2) nin bir alt kümesi olarak ifade eder. Ana teorem bu uzayların kohomoloji sınıfını hesaplamamızı sağlar. Eğer n bir tek sayı ise, ana teorem aynı zamanda ortogonal Grassmann uzaylarındaki Schubert sınıflarını kısıtlama uzayları cinsinden yazmamızı sağlar. Böylece OG(k, n) nin kohomolojisini hesaplamamız mümkündür. Bu neticeler ortogonal bayrak uzaylarına genellenebilir.

58 İlginiz için teşekkürler