10. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "10. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ"

Transkript

1 SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni

2 1.ÜNİTE: POLİNOMLAR n doğal sayı ve katsayılar gerçek sayıyı göstermek üzere, P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n a 1 x + a 0 ifadesine n. dereceden gerçek katsayılı polinom (çok terimli) denir. a n x n, a n-1 x n-1, a n-2 x n-2,..., a 1 x, a 0 den her birine terim denir. a 0, a 1,..., a n, a n+1,... sayılarına polinomun kat sayıları, a 0 sayısına polinomun sabit terimi denir. Bir terimde x in üssüne o terimin derecesi, kat sayısı sıfırdan farklı olan en büyük dereceli terimin derecesine polinomun derecesi, bu terimin kat sayısına da polinomun baş kat sayısı denir. Bu polinomda: a n : Polinomun başkatsayısıdır. a 0 : Polinomun sabit terimidir. n: Polinomun derecesidir; der[p(x)] = n biçiminde gösterilir. Bir P(x) polinomunda, 1. Sabit terim P(0) 2. Katsayılar toplamı P(1) 3. Çift dereceli katsayılar toplamı 4. Tek dereceli katsayılar toplamı dir. SABİT POLİNOM VE SIFIR POLİNOMU Sabit terimi dışında bütün katsayıları 0 olan polinoma sabit polinom denir. Sabit polinomun derecesi 0 dır. Sabit polinomda değişken bulunmaz. Sabit terimi dahil, bütün katsayıları 0 olan polinoma sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi yoktur. İKİ POLİNOMUN EŞİTLİĞİ P(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x a n 1 x n 1 +a n x n ve Q(x)=b 0 +b 1 x+b 2 x b m 1 x m 1 +b m x m polinomları için, P(x) = Q(x) m = n ve a 0 = b 0, a 1 = b 1,..., a n = b m olmalıdır. Bir polinomda, değişkenlerin yerine 0 yazılıp hesaplanarak sabit terimi bulunur. Bir polinomda, değişkenlerin yerine 1 yazılıp hesaplanarak katsayılar toplamı bulunur. POLİNOM KÜMESİNDE İŞLEMLER Polinomlarda toplama işlemi yapılırken aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanır, aynı dereceli terime katsayı olarak yazılır. Polinomlarda çıkarma işlemi yapılırken aynı dereceli terimlerin katsayılarının farkı alınır, aynı dereceli terime katsayı olarak yazılır. Dereceleri farklı olan iki polinomun toplamının ve farkının derecesi büyük olan polinomun derecesine eşittir. der[p(x) ] = m, der[q(x)] = n olmak üzere, der[ P(x) ± Q(x) ] = m, (m>n ise) POLİNOMLARIN TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE ÖZELLİKLERİ 1. Kapalılık Özelliği P(x) ve Q(x) birer polinom iken P(x)+Q(x)=(a 0 +b 0 )+(a 1 +b 1 )x...+(a n +b n )x n +... iki polinomun toplamı da polinom olduğu için polinomlar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır. 2. Değişme Özelliği P(x)+Q(x)=(a 0 +b 0 )+(a 1 +b 1 )x+...+(a n +b n )x n +... Q(x)+P(x)=(b 0 +a 0 )+(b 1 +a 1 )x+...+(b n +a n )x n +... eşitliklerinden, P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x) olduğu görülür. Bu durumda polinomlar kümesinin toplama işlemine göre değişme özelliği vardır. 3. Birleşme Özelliği [P(x)+Q(x)]+R(x)=[(a 0 +b 0 )+c 0 ]+[(a 1 +b 1 )+c] x+...+[(a n +b n )+c n ]x n +... P(x)+[Q(x)+R(x)]=[a 0 +(b 0 +c 0 )]+[a 1 +(b 1 +c 1 ) ]x+...+[ a n +(b n +c n )]x n +... eşitliklerinden [P(x)+Q(x)]+R(x)=P(x)+[Q(x)+R(x)] olduğu görülür. Bu durumda polinomlar kümesinin toplama işlemine göre birleşme özelliği vardır. 4. Birim Eleman P(x)+T(x) = (a 0 +a 1 x +...+a n x n +...) +0=a 0 +a 1 x +...+a n x n +...= P(x) 1

3 T(x)+P(x)=P(x)+T(x)= P(x) olduğundan T(x) =0 polinomu toplama işleminin birim elemanıdır. 5. Ters Eleman P(x)+[ P(x)]=(a 0 +a 1 x a n x n +... )+( a 0 a 1 x... a n x n...) =(a 0 a 0 ) + ( a 1 a 1 )x (a n a n ) x n = 0 P(x) + [ P(x)] = [ P(x)] + P(x) = 0 olduğundan P(x) polinomu, P(x) polinomunun toplama işlemine göre tersidir. POLİNOMLARDA ÇARPMA İŞLEMİ P(x). Q(x) polinomu, P(x) polinomunun her terimi Q(x) polinomunun her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak elde edilen terimlerin toplamıdır. İki polinomun çarpımının derecesi bu iki polinomun dereceleri toplamına eşittir. der[p(x) ] = m, der[q(x)] = n olmak üzere, der[p(x).q(x)] = m + n POLİNOMLARIN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE ÖZELLİKLERİ 1. Kapalılık Özelliği : P(x) ve Q(x) birer polinom iken, P(x).Q(x) çarpımı da bir polinom olduğundan polinomlar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır. 2. Değişme Özelliği Q(x). R(x) = R(x). Q(x) olduğundan polinomlar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır. 3. Birleşme Özelliği [ P(x). Q(x) ]. R(x) = P (x). [ Q(x). R(x) ] olduğundan polinomlar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. 4. Dağılma Özelliği P(x). [ R(x) + H(x) ] = P(x). R(x) + P(x). H(x) P(x). [ R(x) H(x) ] = P(x). R(x) P(x). H(x) olduğundan polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. 5. Etkisiz Eleman P(x). H(x) = P(x) işlemlerinden görüldüğü üzere, 2 H(x) = 1 polinomu, polinomlar kümesinde çarpma işleminin etkisiz elemanıdır. 6. Yutan Eleman P(x). T(x) = ( x + 3 ). 0 = 0 Q(x). T(x) = ( x2 + x ). 0 = 0 olduğundan T(x) = 0 polinomu, polinomlar kümesinde çarpma işleminin yutan elemanıdır. POLİNOMLARDA BÖLME İŞLEMİ P(x) polinomunu sıfır polinomdan farklı bir Q(x) polinomuna böldüğümüzde bölüm polinomu B(x), kalan polinomu da K(x) iken, P(x)=A(x).B(x)+K(x) ve der[k(x)]<der[a(x)] dir. P(x) polinomuna bölünen, Q(x) polinomuna bölen, B(x) polinomuna bölüm, K(x) polinomuna kalan denir. Eğer K(x) = 0 ise P(x) polinomu, Q(x) polinomuna tam bölünüyor denir. (Kalansız bölme) Polinomlarda bölme işleminin yapılabilmesi için bölünenin derecesi bölenden küçük olmamalıdır. İki polinomun bölümünün derecesi paydaki polinomun derecesinden paydadaki polinomun derecesinin farkıdır. bu iki polinomun dereceleri toplamına eşittir. BÖLMENİN YAPILIŞI Bölme işlemi yapılırken aşağıdaki sıranın izlenmesi uygundur. 1. Bölünen ile bölen, x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır. 2. Bölünenin soldan ilk terimi (en büyük üslü terim), bölenin soldan ilk terimine bölünür. 3. Elde edilen bölüm, bölenin bütün terimleri ile çarpılarak aynı dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölünenin altına yazılır. 4. Bu çarpım bölünenden çıkarılır. 5. Geri kalan, terimler farkın yanına yazılır. 6. Bulunan polinom için yukarıdaki işlemler sıra ile uygulanır. 7. Kalanın derecesi, bölenin derecesinden küçük olana kadar işleme devam edilir.

4 Polinomların Derecesi İle İlgili Özellikler der[p(x) ] = m, der[q(x)] = n olmak üzere, 1. der[ P(x) ± Q(x) ] = m, (m>n ise) 2. der[p(x).q(x)] = m + n 3. [ ]= m n, (m > n) 4. der[p(x a )] = m.a, (a N) 5. der[p(a.x)] = m, (a R) 6. der[p(q(x))] = m.n olur. P(x) POLİNOMUNUN Q(x) POLİNOMUNA BÖLÜMÜNDEN KALANI BULMA 1. P(x) POLİNOMUNUN ax + b İLE BÖLÜMÜNDEN KALANI BULMA P(x) polinomunun ax + b polinomu ile bölümünden kalanı bulmak için, P(x) = (ax + b) B(x) + K eşitliği yazılır. Bu eşitlikte ax + b = 0 ise değeri için, değeri elde edilir. Burada, bölen polinom birinci dereceden bir polinom olduğundan kalan polinomun sabit polinomdur. 2. P(x) POLİNOMUNUN x n a İLE BÖLÜMÜNDEN KALANI BULMA P(x) polinomunun (x n a) ile bölümünden kalanı bulmak için, P(x) = (x n a). B(x) + K (x) eşitliğinde x n a = 0 için x n = a değeri yerine yazılarak K(x) kalan polinomu bulunur. 3. BİR P(x) POLİNOMUNUN (x a), (x b) VE (x a).(x b) İLE AYRI AYRI BÖLÜMÜNDEN KALANLAR ARASINDAKİ İLİŞKİ Bir P(x) polinomunun (x a) ve (x b) ile bölümünden kalanlar sırasıyla P(a) ve P(b) olmak üzere, P(x) polinomunun (x a). (x b) ile bölümünden kalan en fazla birinci dereceden K(x) = mx + n polinomu olur. P(x) = (x a). (x b) B(x) + mx + n eşitliğinde kalan polinomun katsayıları, P(a) = m. a + n, P(b) = m. b + n eşitliklerinden m ve n bulunarak K(x) = mx + n polinomu elde edilir. ÇARPANLARA AYIRMA En az birinci dereceden iki polinomun çarpımı biçiminde yazılamayan polinomlara indirgenemeyen polinom denir. Başkatsayısı 1 olan ve indirgenemeyen polinomlara da asal polinomlar denir. ÇARPANLARA AYIRMA YÖNTEMLERİ 1. ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA YÖNTEMİ Bir polinom ortak çarpan parantezine alınırken öncelikle her bir terimin ortak çarpanı bulunur. Bu ortak çarpan ile terimlerin diğer çarpanlarının toplamı çarpım olarak yazılır. 2. GRUPLANDIRARAK ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA YÖNTEMİ En az 4 terimi verilen bir polinomu gruplandırarak çarpanlara ayırmak için, bu polinomun terimleri iki veya daha fazla terimden oluşan gruplara ayrılır. Daha sonra her bir grup ortak çarpan parantezine alınır. Buna gruplandırarak ortak çarpan parantezine alma yöntemi denir. 3. x 2 +bx+c ve ax 2 +bx+c BİÇİMİNDEKİ POLİNOMLARIN ÇARPANLARINA AYRILMASI a=1, b=m+n ve c=m.n ise, mx + nx = x(m+n) olduğundan x 2 + bx + c = (x+m).(x+n) biçiminde çarpanlarına ayrılır. a 1 iken a = m. n, c = p. q ve b = m. q + n. p mqx + npx = x(mq+np) olduğundan, ax 2 + bx + c = (mx+p).(nx+q) biçiminde çarpanlarına ayrılır. 3

5 4. ÖZDEŞLİKLERDEN YARARLANARAK ÇARPANLARA AYIRMA Çarpanlara ayırmada sık kullanılan özdeşliklerden bazıları aşağıdaki gibidir: Tam kare özdeşlikleri, (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, (a+b+c) 2 = a 2 + b 2 +c 2 + 2(ab+ac+bc) dir. İki kare farkı özdeşliği, a 2 b 2 = (a b) (a+b) dir. (a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 tür. İki terimin küplerinin toplamı: a 3 + b 3 = (a+b) (a 2 ab+b 2 ), iki terimin küplerinin farkı: a 3 b 3 = (a b) (a 2 +ab+b 2 ) dir. 5. TERİM EKLEYEREK VEYA ÇIKARARAK ÇARPANLARA AYIRMA ÖRNEK: x 3 + 3x 2 + 3x 7 ifadesini çarpanlarına ayıralım. ÇÖZÜM: (x+1) 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1 olduğunu hatırlayarak x 3 + 3x 2 + 3x 7 ifadesine 1 ekleyip 1 çıkaralım. x 3 + 3x 2 + 3x = (x+1) 3 8 = (x+1) 3 23 = (x+1 2) ((x+1) 2 +2(x+1)+4) = (x 1) (x 2 +4x+7) olur. 6. x n y n ve x n + y n (n N ve n 2) BİÇİMİNDEKİ POLİNOMLARIN ÇARPANLARINA AYRILMASI n doğal sayı olmak üzere, x n y n = (x y).(x n 1 + x n 2 y + x n 3 y y n 1 ) dir. n tek doğal sayı olmak üzere, x n + y n = (x + y).(x n 1 x n 2 y + x n 3y 2...+y n 1 ) dir. 7. DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME YÖNTEMİYLE ÇARPANLARA AYIRMA Bir harfli ifadede bulunan benzer terimler, yeni bir harfle gösterilerek ifade daha sade hâle getirilip çarpanlarına ayrılabilir. Bu yönteme değişken değiştirme yöntemi denir. İKİ YA DA DAHA ÇOK POLİNOMUN ORTAK BÖLENLERİNİN EN BÜYÜĞÜ (OBEB) VE ORTAK KATLARININ EN KÜÇÜĞÜ (OKEK) Sıfırdan farklı en az iki polinom verilsin. 1. Bu polinomların hepsine tam bölünebilen en küçük dereceli polinoma, bu polinomların ortak katlarının en küçüğü (okek'i) denir. 2. Bu polinomların hepsini tam bölen ve büyük dereceli polinoma, bu polinomların ortak bölenlerinin en büyüğü (obeb'i) denir. 3. Bu polinomların sabit polinom dışında ortak bölenleri yoksa, bu polinomlara, aralarında asal polinomlar denir. Polinomlarda obeb-okek bulunurken, polinomlar önce asal çarpanlarına ayrılır. OBEB'i bulmak için yalnız ortak asal çarpanların en küçük üslüleri çarpılır. OKEK'İ bulurken ortak asal çarpanların en büyük üslüleri ile ortak olmayanlar çarpılır. RASYONEL İFADELER VE DENKLEMLER Paydası sıfır polinomundan farklı, pay ve paydası polinom olan kesirli ifadelere rasyonel ifadeler denir. RASYONEL İFADELERİN SADELEŞTİRİLMESİ rasyonel ifadesinde pay ve paydanın P(x) ve Q(x) in OBEB ine bölünmesine sadeleştirme denir. Rasyonel ifadelerde dört işlem yapmak için rasyonel sayılarla yapılan işlemlerden faydalanabilirsiniz. Rasyonel ifadelerde toplama ve çıkarma yapılırken, varsa önce sadeleştirme yapılır, sonra Paydaların OKEK'i bulunarak paydaları eşitlenir ve işleme devam edilir. RASYONEL DENKLEMLER P(x) derecesi sıfırdan farklı polinom olmak üzere P(x) = 0 şeklindeki denkleme polinom denklem denir. rasyonel denklemlerinin çözümü P(x) = 0 ve Q(x) 0 koşullarına bağlıdır. Paydayı sıfır yapan değerler çözüm kümesinin elemanı olamazlar. 4

6 RASYONEL İFADENİN BASİT RASYONEL İFADELERİN TOPLAMI OLARAK YAZILMASI Paydası indirgenemeyen ve farklı çarpan bulundurmayan, payının derecesi paydanın derecesinden küçük olan rasyonel ifadelere basit kesir denir. Paydasının derecesi, payının derecesinden büyük ve paydası çarpanlarına ayrılabilen her rasyonel ifade, basit rasyonel ifadelerin toplamı şeklinde yazılabilir. Bir rasyonel ifade, paydasının çarpan sayısı kadar, basit rasyonel ifadenin toplamı biçiminde yazılır. A. P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden küçük ise; 1. Paydanın çarpanları (ax + b) gibi birinci dereceden polinomlardan oluşuyorsa, UYARI: biçiminde yazılır. biçimine dönüştürülebilen ifadelerin A ve B sabitlerini bulmada aşağıdaki yol izlenir. A yı bulalım: i. A nın paydasındaki x a nın kökü bulunur. x a=0 x=a ii. iii. ifadesinden x a atılır. ifadesinde x yerine a yazılır. dir. B yi bulalım: i. B nin paydasındaki x b nin kökü bulunur. x b=0 x=b ii. iii. ifadesinden x b atılır. ifadesinde x yerine a yazılır. dir. anlatımı ve yazılımı zor gibi görülebilecek bu yol, esasında polinomların eşitliği kullanılarak bulunmuştur. 2. Paydanın çarpanlar arasında (ax + b) n biçiminde bir çarpan varsa, biçiminde yazılır. 3. Paydanın çarpanlar arasında, çarpanlara ayrılamayan (ax 2 + bx + c) gibi üç terimli varsa, toplamı oluşturan ifadelerin arasında, basit rasyonel ifadesi bulunur. B. P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden büyük ya da eşit ise, P(x), Q(x) 'e bölünerek B(x) bölümü ve K(x) kalanı bulunur. Böylece sonra eşitliği yazılır. Daha rasyonel ifadesi, basit rasyonel ifadelerin toplamı biçiminde yazılır. 2.ÜNİTE: İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER EŞİTSİZLİKLER VE FONKSİYONLAR İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN KÖKLERİ VE ÇÖZÜM KÜMESİ a, b, c R ve a 0 olmak üzere ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki açık önermelere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi doğrulayan (eğer varsa) x reel sayılarına denklemin kökleri ve köklerin oluşturduğu kümeye de denklemin çözüm kümesi denir. Denklemin kökü yoksa çözüm kümesi Ø dir. a, b, c reel sayılarına ise denklemin kat sayıları denir. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMİN ÇÖZÜMÜ 1) Çarpanlarına Ayırarak Denklem Çözme f(x).g(x) = 0 f(x) = 0 g(x) = 0 dır. a=1, b=m+n ve c=m.n ise, mx + nx = x(m+n) olduğundan x 2 + bx + c = (x+m)(x+n) biçiminde çarpanlarına ayrılır. (x+m).(x+n) = 0 { olduğundan çözüm kümesi { m, n} olur. 5

7 a 1 iken a=m.n, c=p.q ve b= m.q+n.p mqx + npx = x(mq+np) olduğundan, ax 2 + bx + c = (mx+p).(nx+q) biçiminde çarpanlarına ayrılır. (mx+p).(nx+q) = 0 { olduğundan çözüm kümesi { } olur. 2) Diskriminantı ( Δ yı) Bularak Denklem Çözme İkinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem ax 2 + bx + c = 0 olsun. Δ = b 2 4ac olmak üzere, denklemin kökleri dır. i) Δ < 0 ise denklemin reel kökü yoktur. Çözüm kümesi, Ø dir. ii) Δ = 0 ise denklemin eşit (çakışık) iki kökü vardır. Bu durumda denklem bir tam karedir. Çözüm kümesi bir elemanlıdır. iii) Δ > 0 ise denklemin farklı iki reel kökü vardır. Çözüm kümesi iki elemanlıdır. İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR ax 2 +bx+c = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. Denklemin kökleri ile a, b, c katsayıları arasında, 1) x 1 + x 2 = 2) x 1.x 2 = 3) x 1 x 2 = 4) x x 2 2 = 5) x x 2 3 = bağıntıları vardır. KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMİ KURMA Çözüm kümesi {x 1,x 2 } olan ikinci dereceden denklem modeli, x 2 (x 1 +x 2 ).x + x 1.x 2 = 0 biçimindedir. x 1 + x 2 = T ve x 1.x 2 = Ç yazılırsa x 2 T.x + Ç = 0 bulunur. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ BİR DENKLEME DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLERİN ÇÖZÜM KÜMELERİNİN BULUNMASI 1) Polinomların Çarpımı veya Bölümü Biçiminde Verilen Denklemler. P(x).Q(x) = 0 P(x) = 0 Q(x) = 0 P(x) = 0 Q(x) 0 Örnek: x 3 + 2x 2 3x = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm: x 3 + 2x 2 3x = 0 x.(x 2 + 2x 3) = 0 x 1 = 0 x 2 + 2x 3 = 0 x 1 = 0 (x + 3)(x 1) = 0 x 1 = 0 x 2 = 3 x 3 = 1 olur. O halde, Ç = { 3, 0, 1} dir. Örnek: denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm: x 2 5x + 6 = 0 ve x dır. x 2 5x + 6 = 0 (x 3)(x 2) = 0 x = 3 x = 2 dir. Bu değerlerden x = 2 paydayı sıfır yaptığından çözüm kümesine alınamaz. O halde Ç = {3} tür. 2) Değişken Değiştirilerek Çözülebilen Denklemler İkinci dereceden daha büyük dereceli olan bazı denklemlerin çözüm kümesini bulmak için yardımcı değişken kullanılarak, ikinci dereceye dönüştürüp çözeriz. Örnek: x 4 5x = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm Verilen denklemde x 2 = t alınırsa, x 4 5x = 0 (x 2 ) 2 5x = 0 t 2 5t + 4 = 0 (t 4).(t 1) = 0 t 1 = 4 t 2 = 1 dir. t 1 = 4 x 2 = 4 x = ±2 t 2 = 1 x 2 = 1 x = ±1 bulunur. O halde, Ç = { 2, 1, 1, 2} dir. 6

8 3) Köklü Denklemler Kök içinde bilinmeyen bulunan denklemlere köklü denklemler denir. Bu tür denklemler, = g(x) biçimine getirilir ve eşitliğin her iki yanının n. kuvveti alınarak kökten kurtarılır. Elde edilen yeni denklem çözülerek kökler bulunur. Fakat kökün derecesi çift ise bulunan köklerin verilen ilk denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilir. Sağlamayan kökler çözüm kümesine alınmaz. 4) Mutlak Değerli Denklemler x R için x 0 ve { dır. Tanımı kullanılarak mutlak değerler kaldırılır. f(x) = g(x) denkleminde bulunan kökler sadece kök adayıdır. Köklerin verilen ilk denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilir. 5) Üslü Denklemler Üslü denklemleri çözerken aşağıdaki kurallara uyulur. a) a R { 1, 0, 1}, için a f(x) = a g(x) f(x) = g(x) dir. b) a f(x) = 1 denkleminde, i) f(x) = 0 dır. (a 0 ise) ii) f(x) = 1 dir. (n R ise) iii) f(x) = 1 dir. (n çift ise) c) n Z + için, f(x) n = g(x) n { x 1 + x 2 + x 3 = x 1.x 2.x 3 = x 1.x 2 + x 1.x 3 + x 2.x 3 = EŞİTSİZLİKLER a, b, c R ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c > 0 ax 2 + bx + c 0 ax 2 + bx + c < 0 ax 2 + bx + c 0 biçiminde ifade edilen eşitsizliklerin her birine, ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir. Eşitsizlik çözümlerinde aşağıdaki yol izlenir. 1) Eşitsizlik çözümlerinde içler dışlar çarpımı veya sadeleştirme yapılamaz. 2) A(x), B(x), C(x) polinomlarının ayrı ayrı kökleri bulunur ve bulunan kökler eşitsizlik tablosunda küçükten büyüğe doğru sıralanır. 3) En büyük dereceli terimlerin işaretleri çarpımı olan eşitsizlik işareti bulunur. 4) Eşitsizlik tablosunda en büyük kökün sağına eşitsizliğin işareti yazılır. 5) Her bir kökte işaret değiştirilerek sola doğru gelinir. 6) Çift katlı köklerde işaret değiştirilmez. 7) Paydanın kökleri hiçbir zaman çözüm kümesine alınmaz. BİRİNCİ VEYA İKİNCİ DERECEDEN EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Birden fazla eşitsizliğin oluşturduğu sisteme, eşitsizlik sistemi denir. Eşitsizlik sistemindeki her eşitsizliğin çözüm aralığı ayrı ayrı bulunur. Bulunan aralıkların kesişim kümesi eşitsizlik sisteminin çözüm kümesidir. İKİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMLERİ a, b, c, d, e, f R ve a, b, c sayılarından en az ikisi sıfırdan farklı olmak üzere, ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0 biçimindeki denklemlere ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir. Bu denklemi sağlayan (x, y) reel sayı ikililerinin kümesine de denklemin çözüm kümesi denir. Üçüncü Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a, b, c, d R ve a 0 olmak üzere, ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x 1, x 2, x 3 olsun. 7

9 İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ BİR DENKLEMİN KÖKLERİNİN VARLIĞI VE İŞARETİNİN İNCELENMESİ ax 2 +bx+c = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 olsun. Δ = b 2 4ac olmak üzere, bu denklemin çözüm kümesini bulmadan, köklerinin işareti ile ilgili aşağıdaki yorumları yapabiliriz. Δ < 0 Δ = 0 Eşit iki kök vardır. Δ > 0 Farklı iki kök vardır. Denklemin reel kökü yoktur. x 1 +x 2 > 0 0 < x 1 = x 2 Eşit iki pozitif kök vardır. x 1 +x 2 = 0 x 1 = x 2 = 0 Kökler sıfırdır. x 1 +x 2 < 0 x 1 = x 2 < 0 Eşit iki negatif kök vardır. x x 1.x 2 > 0 1 +x 2 > 0 0 < x 1 < x 2 Pozitif iki kök vardır. Kökler aynı x işaretlidir. 1 +x 2 < 0 x 1 < x 2 < 0 Negatif iki kök vardır. x 1.x 2 = 0 Köklerden biri sıfırdır. x 1.x 2 < 0 Kökler zıt işaretlidir. x 1 +x 2 > 0 0 = x 1 < x 2 Küçük kök sıfırdır. x 1 +x 2 < 0 x 1 < x 2 = 0 Büyük kök sıfırdır. x 1 +x 2 > 0 x 1 < 0 < x 2 ve x 1 < x 2 x 1 +x 2 = 0 x 1 < 0 < x 2 ve x 1 = x 2 y = f(x) = ax 2 + bx + c Fonksiyonunun Grafiği f: R R, f(x) = ax 2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini (parabol) çizebilmek için aşağıdaki işlemler yapılmalıdır. 1) Parabolün kollarının yönü tespit edilir. a > 0 ise kolları yukarı doğrudur. a < 0 ise kolları aşağı doğrudur. 2) Parabolün tepe noktası bulunur. y = ax 2 + bx + c parabolünün tepe noktası T(r, k) olmak üzere, k = f(r) = dır. 3) Parabolün eksenleri kestiği noktalar bulunur. a) x = 0 f(0) = c olup parabol y eksenini (0, c) noktasında keser. ve Δ > 0, a > 0 Δ > 0, a < 0 b) y = 0 ax 2 + bx + c = 0 olur. Burada, i. Δ < 0 ise parabol x eksenini kesmez. x 1 +x 2 < 0 x 1 < 0 < x 2 ve x 1 > x 2 İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR a, b, c R ve a 0 olmak üzere f: R R, f(x) = ax 2 + bx + c biçiminde tanımlanan f fonksiyonlarına ikinci dereceden bir bilinmeyenli fonksiyonlar denir. Bu fonksiyonların grafiklerine ise parabol adı verilir. Parabolün en büyük ya da en küçük değerini aldığı noktaya parabolün tepe noktası denir ve T(r, k) ile gösterilir. f(x) = ax 2 + bx + c parabolünün simetri ekseninin denklemi x=r dir. a > 0 a < 0 ii. Δ = 0 ise parabol x eksenine teğettir. a > 0 a < 0 iii. Δ > 0 ise parabol x eksenini farklı iki noktada keser. 8

10 a > 0 a < 0 a < 0 için f(x) in alacağı en büyük değeri de k dır. Bulunan bu noktalar birleştirilirse parabol çizilmiş olur. y = f(x) = ax 2 Fonksiyonunun Grafiği a > 0 ise parabolün kolları yukarı doğru olup, tepe noktası orjindir. UYARI: a, b, c R ve a 0 olmak üzere f: R R, f(x) = ax 2 + bx + c fonksiyonu x R için i) Daima pozitif ise (f(x)>0) Δ<0 ve a>0 a < 0 ise parabolün kolları aşağıya doğru olup, tepe noktası orjindir. ii) Daima negatif ise (f(x)<0) Δ<0 ve a<0 y = ax 2 + c Fonksiyonunu Grafiği y = ax 2 fonksiyonunun grafiğini y ekseni üzerinde c kadar kaydırırsak y = ax 2 + c fonksiyonunun grafiğini elde ederiz. O halde, y = ax 2 + c fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası T(0, c) dir. olmalıdır. Grafiği Verilen Bir Parabolün Denklemini Bulma 1) Tepe noktası T(r,k) olan ve başka bir noktası bilinen parabolün denklemini yazmak için f(x) = a.(x r) 2 + k formülünden yararlanılır. UYARI: a, b, c R ve a 0 olmak üzere f: R R, f(x) = ax 2 + bx + c fonksiyonun tepe noktası T(r, k) olmak üzere; a > 0 için f(x) in alacağı en küçük değeri k dır. 2) x eksenini kestiği noktaları A(x 1,0) ve B(x 2,0) olan, ayrıca başka bir noktası bilinen parabolün denklemini yazmak için f(x) = a.(x x 1 ).(x x 2 ) formülünden yararlanılır. 9

11 2) Δ = 0 ise, doğru, parabole teğettir. İkinci Dereceden Bir Denklemin Köklerinin k R Sayısı ile Karşılaştırılması. k R, f(x) = ax 2 + bx + c, Δ = b 2 4ac ve olmak üzere; 1) k sayısı kökler arasında (x 1 < k < x 2 ) ise a.f(k) < 0 olmalıdır. (Ayrıca Δ > 0 incelemeye gerek yoktur.) 3) Δ < 0 ise, doğru ile parabolün ortak noktası yoktur. Yani kesişmezler. a > 0, f(k) < 0 a < 0, f(k) >0 2) k sayısı her iki kökten küçük (k < x 1 < x 2 ) ise Δ > 0, a.f(k) > 0 ve k < r olmalıdır. 3) k sayısı her iki kökten büyük (x 1 < x 2 < k) ise Δ > 0, a.f(k) > 0 ve k > r olmalıdır. İKİ BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİK VE EŞİTSİZLİK SİSTEMİNİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN GRAFİK ÜZERİNDE GÖSTERİLMESİ Bir eşitsizliği sağlayan bütün noktaların koordinat düzleminde işaretlenmesiyle oluşan şekil, bu eşitsizliğin grafiğidir. y < mx + n ve y > mx + n eşitsizlikleri, y = mx + n doğrusunun düzlemde ayırdığı farklı iki yarı düzlemi gösterir. Eşitsizliklerin çözüm kümesini analitik düzlemde göstermek için önce y = mx + n doğrusu çizilir. Bu doğru üzerinde olmayan herhangi bir nokta seçilir. Seçilen bu nokta eşitsizliği sağlıyorsa noktanın bulunduğu yarı düzlem, sağlamıyorsa diğer yarı düzlem eşitsizliğin çözüm kümesi olarak taranır. y mx + n veya y ax + b eşitsizliklerin grafiği çizilirken y = ax + b doğrusu da çözüme dahil edilir. y > ax 2 + bx + c ve y < ax 2 + bx + c eşitsizliklerinin grafikleri çizilirken de y = ax2 + bx + c parabolü çizilerek yukarıdaki yöntem uygulanır. BİR PARABOL İLE BİR DOĞRUNUN DURUMU y = ax 2 + bx + c parabolü ile y = mx + n doğrusunun denklemleri ortak çözülürse, ax 2 + bx + c = mx + n ax 2 + (b m)x + c n = 0 olur. Δ ortak çözüm denklemine ait olmak üzere; 1) Δ > 0 ise, doğru, parabolü farklı iki noktada keser. 10

12 3.ÜNİTE: TRİGONOMETRİ DİK ÜÇGENDE DAR AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI tanx 0 1 tanımsız cotx tanımsız 1 0 Tavsiye: Trigonometrik değerleri ezberlerken aşağıdaki ifadelere dikkat etmekte fayda vardır. kosinüs değerinde kosinüs ko ile pay değeri olan komşu dik kenar uzunluğu da ko ile başlıyor. Kotanjantta da benzer ifade var. Ayrıca tanjant değeri kotanjantın pay ve paydasının yer değişmiş hali. 30 0, 45 0, 60 0 LİK AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI Yukarıdaki üçgenlerden yararlanılarak aşağıdaki tablo oluşturulur. TÜMLER AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI ARASINDAKİ İLİŞKİ Birbirini tümler iki açıdan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne; birinin tanjantı, diğerinin kotanjantına eşittir. Bu durum aşağıdaki gibi gösterilir. x + y = 90 ise sinx = cosy ve tanx = coty dir. BİR DAR AÇININ TRİGONOMETRİK ORANLARINDAN BİRİ BELLİ İKEN DİĞER TRİGONOMETRİK ORANLARINI BULMA Bir dar açının trigonometrik oranı belli iken diğer trigonometrik oranları bulabilmek için dik üçgenden ve Pisagor teoreminden yararlanılır. Örnek: 0 < x< 90 0 olmak üzere ise cosx değerini bulalım. Çözüm: Önce yardımıyla ABC dik üçgenini çizelim. ABC dik üçgeninde pisagor bağıntısı yardımıyla, AC 2 = AB 2 + BC 2 25 = 4+ BC 2 = BC Bu durumda bulunur. x sinx 0 1 cosx

13 YÖNLÜ AÇILAR Başlangıç noktaları ortak olan iki ışının birleşimi açı, açıyı oluşturan ışınların her biri de açının kenarlarıdır. Açıyı, kenarlarının yazılış sırasına göre iki değişik biçimde yönlendiririz. Derece AÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİ Yukarıdaki şekillerin birincisinde başlangıç kenarından bitim kenarına saat yönünün tersi yönde (pozitif yön), ikincisinde ise saat yönü ile aynı yönde (negatif yön) gidilmiştir. YÖNLÜ YAYLAR Bir çemberin 360 ta 1 ini gören merkez açının ölçüsü 1 derecedir. Derece ( ) simgesi ile gösterilir. 1 nın 60 ta biri 1 dakikadır. (1') 1' nın 60 ta biri 1 saniyedir. (1'') Radyan Şekilde O merkezli çember ile AOB açısının kesişimi AB yayıdır. AB yayının yönü olarak LOK açısının yönü alınırsa AB yayı pozitif yönlü bir yay olur. A noktası bu yayın başlangıç noktası, B noktası da bitim noktasıdır. BİRİM ÇEMBER Merkezi başlangıç noktası ve yarıçapının uzunluğu 1 birim olan çembere birim çember denir. K(x, y) birim çember üzerinde bir nokta olmak üzere; OTK dik üçgeninde, OT 2 + KT 2 = OK 2 x 2 + y 2 = 1 olur. x 2 + y 2 = 1 bağıntısı birim çemberin denklemidir. Bir çemberde, yarıçap uzunluğundaki bir yayı gören merkez açının ölçüsü 1 radyandır. 1 radyan yaklaşık olarak 57.3 dir. Bir çember yayının ölçüsü 2π radyandır. Açı Ölçü Birimlerinin Birbirine Dönüştürülmesi Bir çember yayının ölçüsü 360 derece veya 2π radyan olduğundan dir. BİR AÇININ ESAS ÖLÇÜSÜ Birim çember üzerinde bitim kenarları aynı olan açılardan ölçüsü [0, 360) veya [0, 2π) aralığında olan açıya bu açının esas ölçüsü denir. Bir açının esas ölçüsü bulunurken aşağıdaki yollar izlenir. 1) Derece cinsinden verilen negatif yönlü açılarda, açının mutlak değeri 360 ye bölünür; kalan 360 den çıkarılarak esas ölçü bulunur. 2) Radyan cinsinden verilen açılarda açının içerisinden 2π nin katları atılır. Geriye kalan esas ölçüdür. 3) Radyan cinsinden verilen negatif yönlü açıların esas ölçüsü bulunurken, verilen açı pozitif yönlü açı gibi düşünülerek esas ölçü bulunur. Bulunan değer 2π den çıkarılır. 4) nin esas ölçüsü aşağıdaki yolla da bulunabilir, a sayısı b nin 2 katma bölünür. 12

14 5) Kalan π nin kat sayısı olarak paya yazılır payda aynen yazılır. 6) a nin b nin 2 katma bölümünden kalan k ise nin esas ölçüsü dir. SEKANT VE KOSEKANT FONKSİYONLARI TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR SİNÜS VE KOSİNÜS FONKSİYONLARI x açısının değişen değerlerine göre birim çember üzerindeki bitim noktasının apsisi cos x, ordinatı sin x olarak ifade edilir. x gerçek sayısını cos x e dönüştüren fonksiyona kosinüs fonksiyonu denir. cos: R [ 1, 1], f(x) = cos x biçiminde gösterilir. x gerçek sayısını sin x e dönüştüren fonksiyona sinüs fonksiyonu denir. sin: R [-1, 1], f(x) = sin x biçiminde gösterilir. Yani x R olmak üzere sinüs ve kosinüs fonksiyonları 1 cosx 1 ve 1 sinx 1 aralıklarında değerler alır. TANJANT VE KOTANJANT FONKSİYONLARI sec: R { } R, fonksiyonuna sekant fonksiyonu, cosec: R {kπ, k Z} R, fonksiyonuna kosekant fonksiyonu denir. NOT: Trigonometride bazı anlatımları daha kolay yapabilmek için kullanacağımız kolcu kavramını açıklayalım. sinüs ile kosinüs, tanjant ile kotanjant ve sekant ile kosekant birbirlerinin kolcularıdır. TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLER Bir açının trigonometrik değeri, tümleyeninin kolcusunun trigonometrik değerine eşittir. sinα = cos(90 α) tanα = cot(90 α) secα = cosec(90 α) TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN BİRİM ÇEMBERİN BÖLGELERİNDEKİ İŞARETLERİ x ekseni kosinüs ekseni, y ekseni sinüs ekseni olduğundan, birim çemberin herhangi bir bölgesinde bulunan bir açının kosinüsü ile sinüsünün işareti o bölgedeki bir noktanın apsis ve ordinatının işareti ile aynıdır. Tanjant ve kotanjantın işaretleri de o bölgedeki sinüs ve kosinüsün işaretlerinin oranından bulunur. Birim çembere A (1, 0) noktasında teğet olan doğruya tanjant ekseni denir. tan: R { } R eşleyen fonksiyona tanjant fonksiyonu denir. Birim çembere B(0,1) noktasında teğet olan doğruya kotanjant ekseni denir. cot: R { kπ, k Z } R eşleyen fonksiyonuna kotanjant fonksiyonu denir. 13

15 Geniş Açıların Trigonometrik Oranlarını Bulmak II. Bölge Biçem1: (180 α) Biçem2: (90 + α) 90 0 I. Bölge Biçem1: (α) Biçem2: (90 α) BİR AÇININ TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR ALTINDAKİ GÖRÜNTÜSÜNÜ TRİGONOMETRİK DEĞER TABLOSUNDA BULMA TRİGONOMETRİK DEĞERLER TABLOSU III. Bölge IV. Bölge Biçem1: (180 + α) Biçem2: (270 α) Biçem1: (360 α) Biçem2: (270 + α) Geniş açıların trigonometrik değerleri bulunurken yukarıdaki tablodan yararlanarak aşağıdaki adımlar izlenir. 1) Trigonometrik değeri istenen açının hangi bölgede olduğu bulunur. 2) Bulunan bölgede istenen trigonometrik fonksiyonun işareti bulunur. 3) Açı bulunduğu bölgedeki biçeme göre yazılarak α açısı bulunur. 4) Biçem1 de trigonometrik fonksiyon değişmez. Biçem2 de trigonometrik fonksiyon kolcusu ile değiştirilir. 5) İşareti yazılıp trigonometrik oran bulunur. Trigonometrik cetvelde ölçüleri tam sayı olarak verilen 0 den 90 ye kadar olan açıların derece cinsinden trigonometrik oranlarını gösteren tablo verilmiştir. Trigonometrik cetveli incelediğinizde aynı satırdaki iki açının ölçüleri toplamı 90 dir. Trigonometrik fonksiyonlar ilk ve son satırda iki kez yazılmıştır. Ölçüleri 0 den 45 ye kadar olan açılar için üst satırdaki trigonometrik fonksiyonlar; ölçüleri 45 den 90 ye kadar olan açılar için de en son satırdaki trigonometrik fonksiyonlar alınmıştır. Böylece 0 den 45 ye kadar olan açıların trigonometrik oranları üstten aşağıya; 45 den 90 ye kadar olan açıların trigonometrik oranları aşağıdan yukarıya doğru kullanılır. 14

16 TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN PERİYOTLARI f: A R fonksiyonunda, x A için f(x + T) = f(x) olacak şekilde sıfırdan farklı bir T gerçek sayısı varsa f ye periyodik fonksiyon, T nin en küçük pozitif değerine ise bu fonksiyonun periyodu denir. a, b R ve m N + olmak üzere, 1) f(x) = sin m (ax + b) ve g(x) = cos m (ax + b) fonksiyonlarının periyodu, Sinüs Fonksiyonunun Grafiği Sinüs fonksiyonunun grafiği {(x, sinx) : x R} kümesine analitik düzlemde karşılık gelen noktalar kümesidir. f(x) = sinx fonksiyonunun periyodu 2π olduğundan grafiğini [0, 2π) aralığında çizip 2π periyotlarla tekrarlarız. { 2) f(x) = tan m (ax + b) ve g(x) = cot m (ax + b) fonksiyonlarının periyodu, dır. f(x) ve g(x) periyodik fonksiyonlar olmak üzere, f(x) ± g(x) fonksiyonu eğer periyodik ise esas periyodu f(x) ve g(x) fonksiyonlarının esas periyotlarının e.k.o.k. una eşittir. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ Kosinüs Fonksiyonunun Grafiği Kosinüs fonksiyonunun grafiği {(x, cosx) : x R} kümesine analitik düzlemde karşılık gelen noktalar kümesidir. f(x) = cosx fonksiyonunun esas periyodu 2π olduğundan [0, 2π) aralığında çizilecek grafik 2π periyotlarla tekrarlanır. Tanjant Fonksiyonunun Grafiği Tanjant fonksiyonunun grafiği {(x, tanx) : x R, k Z} kümesine analitik düzlemde karşılık gelen noktalar kümesidir. f(x) = tanx fonksiyonunun esas periyodu π olduğundan, grafiği [0, π] aralığında çizilip, π periyotlarla tekrarlanır. Tablodaki bilgileri analitik düzlemde aşağıdaki gibi ifade ederiz. 15

17 Kotanjant Fonksiyonunun Grafiği Kotanjant fonksiyonun grafiği {(x, cotx) : x R, x kπ, k Z} kümesine analitik düzlemde karşılık gelen noktalar kümesidir. f(x) = cotx fonksiyonunun esas periyodu π olduğundan grafiği (0, π) aralığında çizilip π periyotlarla tekrarlanır. Arccos (Arkkosinüs) Fonksiyonu Kosinüs fonksiyonu [0, π] aralığında bire bir ve örtendir. Dolayısıyla bu aralıkta f(x) = cosx fonksiyonunun tersi yine bir fonksiyondur. f: [ 0, π] [ 1, 1], f(x) = cosx olmak üzere, f 1 : [ 1, 1] [0, π], f 1 (x) = arccosx y = arccosx x = cosy TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olabilmesi için, bu fonksiyonun bire bir ve örten olması gerekir. Trigonometrik fonksiyonlar R den R ye bire bir ve örten olmadıklarından R den R ye trigonometrik fonksiyonların tersleri fonksiyon olmaz. Bu nedenle bu fonksiyonların bire bir ve örten olduğu reel sayı aralıkları seçerek bu aralıklarda ters fonksiyonlarını tanımlayacağız. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının tersleri arcsin, arccos, arctan, arccot biçiminde yazılır. Arcsin (Arksinüs) Fonksiyonu Sinüs fonksiyonunun bire bir ve örten olduğu aralıklardan biri olan [ ] aralığını seçersek Arctan (Arktanjant) Fonksiyonu f: R, f(x) = tanx fonksiyonu bire bir ve örten olduğundan, f 1 : R, f 1 (x) = arctanx tir. y = arctanx x = tany f: [ ] [ 1, 1], f(x) = sinx fonksiyonu bire bir ve örten olur. Bu fonksiyonun ters fonksiyonu sin 1 x veya arcsinx biçiminde gösterilir. arcsin : [ 1, 1] [ ], f 1 (x) = arcsinx y = arcsinx x = siny 16

18 Arccot (Arkkotanjant) Fonksiyonu f: (0, π) R, f(x) = cotx fonksiyonu bire bir ve örten olduğundan f 1 : R (0, π), f 1 (x) = arccotx dir. y = arccotx x = coty ÜÇGENİN ALANI ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR 1) Sinüs Alan Teoremi: Bir üçgende iki kenar uzunluğu ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımının yarısı üçgenin alanını verir. 2) Kenar uzunlukları a, b, c olan bir ABC üçgeninde olmak üzere dir. 3) Kenar uzunlukları a, b, c olan bir ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı R ise dir. Kosinüs teoremi: Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları a, b, c ve bu kenarlara ait açılar A, B, C olmak üzere a 2 = b 2 + c 2 2bc.cosA b 2 = a 2 + c 2 2ac.cosB c 2 = a 2 + b 2 2ab.cosC dir. TOPLAM VE FARK FORMÜLLERİ Kosinüs teoremi yardımıyla İki kenar uzunluğu ile bu kenarlar arasındaki açısı verilen üçgenin üçüncü kenar uzunluğunu Üç kenar uzunluğu bilinen üçgenin açılarının ölçülerini bulabiliriz. Sinüs Teoremi: Herhangi bir ABC üçgeninde, çevrel çemberin yarıçapı R olmak üzere dir. İKİ YAYIN TOPLAM VE FARKLARININ TRİGONOMETRİK ORANLARI 1) sin(a + b) = sin a.cos b + cos a.sin b 2) sin(a b) = sin a.cos b cos a.sin b 3) cos(a + b) = cos a.cos b sin a.sin b 4) cos(a b) = cos a.cos b + sin a.sin b 5) 6) 7) 8) YARIM AÇI FORMÜLLERİ 1) sin2x = 2sinx.cosx 2) cos2x = cos 2 x sin 2 x = 1 2sin 2 x = 2cos 2 x 1 3) 4) 17

19 DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ a, b R olmak üzere, 1) sin a + sin b 2) sin a sin b 3) cos a + cos b 4) cos a cos b UYARI: dir. TERS DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ a, b R olmak üzere, 1) cosa.cosb =.[cos(a + b) + cos(a b)] 2) sina.cosb =.[sin(a + b) + sin(a b)] 3) sina.sinb =.[cos(a + b) cos(a b)] TRİGONOMETRİK DENKLEMLER sinx = a, cosx = a, tanx = a, cotx = a BİÇİMİNDEKİ TRİGONOMETRİK DENKLEMLER 1) sinx = sin α denkleminin çözüm kümesi, Ç = {x x 1 = α k x 2 = α k, k Z} sin (f(x)) = sin (g(x)) denklemin çözüm kümesi ise Ç={x f(x) = g(x) k f(x) = g(x) k, k Z} dir. 3) tanx = tan α ve cotx = cot α denklemlerinin çözüm kümesi, Ç = {x x = α k, k Z} tan (f(x)) = tan (g(x)) ve cot (f(x)) = cot(g(x)) denklemlerinin çözüm kümesi ise, Ç = {x f(x) = g(x) k, k Z} dir. a.cos x + b.sin x = c BİÇİMİNDEKİ TRİGONOMETRİK DENKLEMLER a, b, c R olmak üzere, a.cosx + b.sinx = c biçimindeki denklemlere doğrusal denklem denir. Bu tür denklemler cos x +.sin x = şeklinde düzenlenip = tan α değeri yerine yazıldıktan sonra çözüm kümesi bulunur. UYARI: f(x) = a.sinx ± b.cosx ise f(x) in en küçük değeri: en büyük değeri: dir. TRİGONOMETRİK EŞİTSİZLİKLER sinx > a veya sinx < a Eşitsizliği 2) cosx = cos α denkleminin çözüm kümesi, Ç = {x x 1 = α k x 2 = α k, k Z} cos(f(x)) = cos(g(x)) denkleminin çözüm kümesi ise Ç = {x f(x) = g(x) k f(x) = g(x) k, k Z} dir. sinx > a eşitsizliğinde i) 1 a 1 Ç = (α, π α) ii) a > 1 Ç = Ø iii) a < 1 Ç = R 18

20 sinx < a eşitsizliğinde i) 1 a 1 Ç = [0, π) (π α, 2π) ii) a > 1 Ç = R iii) a < 1 Ç = Ø cosx > a veya cosx < a Eşitsizliği tanx < a eşitsizliğinin çözüm kümesi, veya Ç = [0, π) dir. cotx > a veya cotx < a Eşitsizliği cosx > a eşitsizliğinde, i) 1 a 1 Ç = ( α, α) veya Ç = [0, α) (2π α, 2π] ii) a > 1 Ç = Ø iii) a < 1 Ç = R cotx > a eşitsizliğinin çözüm kümesi, Ç = (0, α) (π, π + α) dır. cosx < a eşitsizliğinde, i) 1 a 1 Ç = (α, 2π α) ii) a > 1 Ç = R iii) a < 1 Ç = Ø cotx < a eşitsizliğinin çözüm kümesi, Ç = (α, π) (π + α, 2π) dir. tanx > a veya tanx < a Eşitsizliği tanx > a eşitsizliğinin çözüm kümesi, olur. 19

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI

Detaylı

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 0-0 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 0.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI EYLÜL EKİM. Gerçek katsayılı ve tek değişkenli polinomu kavram olarak örneklerle açıklar, polinomun derecesini,

Detaylı

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14. 1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometrik Fonksiyonlar Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3 Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde

Detaylı

Sayfa No. Test No İÇİNDEKİLER TRİGONOMETRİ

Sayfa No. Test No İÇİNDEKİLER TRİGONOMETRİ TRİGONOMETRİ İÇİNDEKİLER Sayfa No Test No YÖNLÜ AÇI VE YÖNLÜ YAY KAVRAMI -AÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİ...00-00.... BİRİM ÇEMBER...00-00.... BİR AÇININ ESAS ÖLÇÜSÜ...00-00.... BİR AÇININ TRİGONOMETRİK ORANLARININ

Detaylı

Polinomlar. Rüstem YILMAZ

Polinomlar. Rüstem YILMAZ Polinomlar Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 matematikklinigi@gmail.com 26 Aralık 2016 0.1 Tanımı a, b, c, d reel sayılar ve n N olmak üzere, P (x) = ax n + bx n 1 + + cx + d ifadesine reel katsayılı ve bir

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik 1. Ünite: Geometriden Olasılığa 1. Bölüm: Yansıyan ve Dönen Şekiller, Fraktallar Yansıma, Öteleme, Dönme Fraktallar 2. Bölüm: Üslü Sayılar Tam

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

DERS: MATEMATİK I MAT101(04)

DERS: MATEMATİK I MAT101(04) DERS: MATEMATİK I MAT0(0) ÜNİTE: FONKSİYONLAR KONU:. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR Öncelikle açı ölçü birimlerine göz atalım: Bilindiği gibi bir tam açının ölçüsü 0 derecedir. Diğer bir açı ölçü birimi de

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

Örnek...4 : P(x) = 3x + 2 ve Q(x)= x 2 +4x -3 polinomları için a) P(x). Q(x) b)x.p(x) 2.Q(x) işlem lerini ya pınız.

Örnek...4 : P(x) = 3x + 2 ve Q(x)= x 2 +4x -3 polinomları için a) P(x). Q(x) b)x.p(x) 2.Q(x) işlem lerini ya pınız. POLİNOMLARDA Polinomlarda To plama ve Çıkarma P(x) ve Q(x) iki polinom olsun. P(x) + Q(x) veya P(x) Q(x) işlemi yapılırken eşit dereceli terimlerin katsayıları işlemine göre toplanır veya çıkarılır. Örnek...1

Detaylı

Cebir Notları. Trigonometri TEST I. 37π 'ün esas ölçüsü kaçtır? Gökhan DEMĐR,

Cebir Notları. Trigonometri TEST I. 37π 'ün esas ölçüsü kaçtır? Gökhan DEMĐR, , 00 M ebir Notları Gökhan EMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Trigonometri. TEST I π 'ün esas ölçüsü kaçtır? ) p ) p ) p ) π p. tanθ = ) ) olduğuna göre, sinθ değeri kaçtır? ) ). 0 'nin esas ölçüsü kaçtır?. θ

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNTE: RASYONEL SAYILAR ONU: Rasyonel Sayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE SORULAR VE ÇÖZÜMLER. işleminin sonucu B) D) ki rasyonel sayının farkını bulmak için çıkan terimin toplama işlemine göre tersi alınarak

Detaylı

8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR 8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR KONULAR 1. TRİGONOMETRİ 2. Açı 3. Yönlü Açı 4. Yönlü Yaylar 5. Birim Çember 6. Açı Ölçü Birimleri 7. Derece 8. Radyan 9. Grad 10. Esas Ölçü 11. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

Detaylı

Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir.

Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir. 1 B)ÇARPANLARA AYIRMA VE ÖZDEŞLİKLER: Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir. Çarpanlara Ayırma Yöntemleri: 1)Ortak Çarpan Parantezine Alma:

Detaylı

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Koordinatlar DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek...

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek... POLİNOMLAR n N, a n, a n 1, a n 2,a 1,a 0 R ve a n 0 olmak üzere, a n x n +a n 1 x n 1 +a n 2 x n 2 +...+a 1 x+a 0 ifadesine x in bir polinomu denir ve genellikle bu ifade P(x),Q(x) gibi bir ifadeye eşitlenerek

Detaylı

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7 YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS ÖYS LĐMĐT Tanım : Bir x0 A = [ a,b ] alalım, f: A R ye veya f: A - { x 0 } R ye bir fonksiyon olsun. Terimleri A - { x 0 } kümesine ait ve x

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 10. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR KOMİSYON

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 10. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR KOMİSYON ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 0. SINIF DERS KİTAI YAZARLAR KOMİSYON DEVLET KİTAPLARI İKİNCİ ASKI..., 0 MİLLİ EĞİTİM AKANLIĞI YAYINLARI...: 5659 DERS KİTAPLARI DİZİSİ...: 54.?.Y.000.470 Her hakkı saklıdır ve Milli

Detaylı

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org 0. Sınıf M AT E M AT İ K Mehmet ŞAHİN www.mehmetsahinkitaplari.org M.E.B Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı nın 0..009 tarih ve 4 sayılı kararı ve 00-0 öğretim yılından itibaren uygulanacak programa göre

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

Ç NDEK LER. Bölüm 4: Üslü Say lar...44 Üslü fadeler...44 Al t rmalar...47 Test Sorular...49

Ç NDEK LER. Bölüm 4: Üslü Say lar...44 Üslü fadeler...44 Al t rmalar...47 Test Sorular...49 Ç NDEK LER Bölüm1: Say Sistemleri...1 Say Sistemi...2 Desimal (Onluk) Say Sistemi...2 Say Basamaklar ve Taban...4 Binary ( kilik) Say Sistemi...4 Oktal (Sekizlik) Say Sistemi...7 Heksadesimal (Onalt l

Detaylı

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi... İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...

Detaylı

11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI

11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI 11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI Programın öğrencilerde geliştirmeyi hedeflediği becerilerle 11. sınıf matematik öğretim programı ilişkisi Modelleme/Problem çözme Matematiksel Süreç

Detaylı

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYIN KURULU Hazırlayanlar Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE

EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE Ay 2016 2017 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE Hafta ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI KAZANIMLAR EYLÜL 3 4 Sayılar ve İşlemler Çarpanlar

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25 İçindekiler RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER. Çözümlü Sorular............................. 2.2 Sorular................................... 5 2 TEK - TERİMLİ veçok-terimli İFADELER 7 2. Çözümlü Sorular.............................

Detaylı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)

Detaylı

POLİNOMLAR. Polinomlar. Konu Kavrama Çalışması

POLİNOMLAR. Polinomlar. Konu Kavrama Çalışması POLİNOMLAR Polinomlar f: A B biçiminde tanımlanmış f(x) fonksiyonunda, A kümesi tanım kümesi ve B kümesi değer kümesidir. Fonksiyonlarda, fonksiyonu tanımsız yapan değerler tanım kümesinde yer alamaz.

Detaylı

TRİGONOMETRİK DENKLEMLER

TRİGONOMETRİK DENKLEMLER TRİGONOMETRİK DENKLEMLER Daha önceden Sin + Cos = 1 ifadesinin R için gerçekleştiğini biliyoruz. Bu tür eşitliklere Özdeşlik adını verdiğimizi biliyorsunuz. Fakat ; Sin = 0 ve tan = 0 gibi eşitlikler R

Detaylı

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1 . ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında

Detaylı

TRİGONOMETRİ Test -1

TRİGONOMETRİ Test -1 TRİGONOMETRİ Test -. y. y K O O. nalitik düzlemde verilen O merkezli birim çemberde hangi noktanın koordinatları (0, ) dir? (O noktası orijindir.) O y [OK] açıortay olmak üzere, nalitik düzlemde verilen

Detaylı

ÖRNEK 3712 nin esas ölçüsünü bulunuz. ÇÖZÜM esas ölçüsü 112 olur. ÖRNEK ÇÖZÜM cos 1, 1 sin 1

ÖRNEK 3712 nin esas ölçüsünü bulunuz. ÇÖZÜM esas ölçüsü 112 olur. ÖRNEK ÇÖZÜM cos 1, 1 sin 1 MTEMTİK TRİGONOMETRİ - I irim Çember II III sin I IV 0 nin esas ölçüsünü bulunuz 0 00 0 00 + olduğundan, esas ölçüsü olur I ölge (0 < < II ölge ( ) < < ) III ölge ( < < IV ölge ( ) < < ) sin tan cot +

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA

MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA 3. Ondalık Sayılarda İşlemler: Toplama - Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama-çıkarma

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması

Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması Projenin Adı: Trigonometrik Oranlar için Pratik Yöntemler Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması GİRİŞ: Matematiksel işlemlerde, lazım olduğunda,

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

SİDRE 2000 ORTAOKULU EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN

SİDRE 2000 ORTAOKULU EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN E Y L Ü L ÜNİTE SİDRE 000 ORTAOKULU 06-07 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN 9.09.06/.09.06 6.09.06/0.09.06 Çarpanlar ve Katlar Çarpanlar ve Katlar 8... Verilen

Detaylı

POLİNOMLARIN TANIMI. ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: KONU: POLİNOMLAR NUMARASI: SINIFI:

POLİNOMLARIN TANIMI.  ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: KONU: POLİNOMLAR NUMARASI: SINIFI: ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: Dersin Adı POLİNOMLARIN TANIMI 1. Aşağıdaki fonksiyonlardan polinom belirtir? I. Dersin Konusu 1 5. P x x n 1 7 x 4 n 5 ifadesi bir polinom belirttiğine göre, bu polinomun derecesi

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme

Detaylı

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI 9 Eylül- Eylül 0-07 TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 0. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Veri, Sayma ve Sayma. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. Sıralama

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 16 Haziran Matematik Soruları Ve Çözümleri

Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 16 Haziran Matematik Soruları Ve Çözümleri Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 6 Haziran 99 Matematik Soruları Ve Çözümleri. 0,80+ (0,+ ).0, işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) Çözüm I. Yol 0,80+ (0,+ ).0, 80 00 + ( 0 + ). 80 + ( + ). 00 0 80

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r?

1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r? 1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin bu say s nda Polinomlar konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. Bu konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü

Detaylı

4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder.

4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder. LENDİRME ŞEMASI ÜNİTE Üslü 1. Bir tam sayının negatif kuvvetini belirler ve rasyonel sayı olarak ifade eder.. Ondalık kesirlerin veya rasyonel sayıların kendileriyle tekrarlı çarpımını üslü sayı olarak

Detaylı

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur.

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur. Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri x, x. f(x) x ise fonksiyonu için,, x olduğuna göre, a b kaçtır? lim + x f ( x) a ve lim x f ( x) b A) B) C) D) E) Çözüm x x için

Detaylı

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3): ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4 Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1.

7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1. Bölüm 7 Karmaşık Sayılar Karmaşık sayılar gerçel sayıların genişlemesiyle elde edilen daha büyük bir kümedier. Genişleme şu gereksemeden doğmuştur: x 2 = +1 denklemimin çözümü +1, 1 sayılarıdır ve R içindedir.

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere 2. ÜNİTE. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere 2. ÜNİTE. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR - 1-2 ÜNİTE İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR ÖĞRENME ALANI CEBİR İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere Şeklindeki açık önermelere, ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Trigonometri 5 Bibliography 61 1 Trigonometri 1.1 Yönlü Açılar Açı nedir? Açı hakkında neler

Detaylı

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

10. SINIF MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI

10. SINIF MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI Programın öğrencilerde geliştirmeyi hedeflediği becerilerle 10. sınıf matematik öğretim programı ilişkisi; Modelleme/Problem çözme Matematiksel Süreç Becerileri

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama KURAL: Bir sayının belli bir sayıda yan yana çarpımının kolay yoldan gösterimine üslü sayılar denir. Örneğin 5 sayısının

Detaylı

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9 OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.

Detaylı

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674 kapak sayfası İÇİNDEKİLER. ÜNİTE DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Gerçek Sayılar... 4 Doğal Sayılarda İşlemler... 4 Tam Sayılar... 4 Rasyonel Sayılar... 5 İrrasyonel Sayılar... 5 Gerçek (Reel) Sayılar... 6 9 Konu

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

Trigonometri Yönlü Açılar

Trigonometri Yönlü Açılar 1018 Bölüm 40 Trigonometri 40.1 Yönlü Açılar Açı nedir? Açı hakkında neler biliyoruz? Hatırlamaya çalışalım. Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının meydana getirdiği düzlemsel şekle açı, bu ışınlara

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz. MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA A S A L Ç A R P A N L A R A A Y I R M A T a n ı m : Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, asal çarpanlarına ayırma denir. 0 sayısını asal çarpanlarına

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan; . Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş

Detaylı

1986 ÖYS. 3 b. 2 b C) a= 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 D) 8 E)

1986 ÖYS. 3 b. 2 b C) a= 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 D) 8 E) ÖYS. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? 0. Aşağıdaki şekilde ABCD bir yamuk ve AECD bir paralel kenardır.. Aşağıdaki şekilde EAB ve FBC eşkenar üçgendir. AECD nin alanı cm Buna göre CEB üçgeninin

Detaylı

1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4)

1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4) HAZİNE-1 Düzlemde sabit M(a,b) noktasından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, M merkezli R yarıçaplı çemberdir. HAZİNE-2 O(0,0) merkezli, R yarıçaplı çemberin denklemi; x 2 +y 2 =R 2 dir.

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm

Detaylı