Matematik 8 Ders Notu

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Matematik 8 Ders Notu"

Transkript

1 T.C. M LLÎ E T M BAKANLI I AÇIK Ö RET M OKULLARI (AÇIK Ö RET M L SES - MESLEK AÇIK Ö RET M L SES ) Matematik 8 Ders Notu Haz rlayan Ayhan ÖZDEM R ANKARA 4

2 Copyright MEB Her hakk sakl d r ve Millî E itim Bakanl na aittir. Tümü ya da bölümleri izin al nmadan hiçbir flekilde ço alt lamaz, bas lamaz ve da t lamaz. Resimleyen Grafik Tasar m Dizgi : Hatice DEM RER Ozan AKORAL Bülent DURSUN : Süleyman B LG N : Nazmi KEP R Havva ÖZKAN Münevver KARABACAK

3

4

5

6

7 SUNU E itim kavram yaflam boyu süren çok önemli bir etkinliktir. E itim süreci ilk ça lardan beri sürekli olarak geliflim göstermektedir. Teknolojinin geliflim göstermesiyle birlikte, yeni bilgi ve iletiflim teknolojileri e itim sürecinde h zla kullan lmaya bafllanm flt r. Günümüzde pek çok problemin çözümünde e itimin etkin bir flekilde kullan lmas gereklidir. Pek çok çaba ve çözümün içinde, biliflim teknolojisi geleneksel araçlar aras ndan s yr larak öne ç kmaktad r. Öne ç kan bu teknolojiyle birlikte geliflen ve önemini giderek art ran yöntemlerden birisi de yer, zaman ve yafl s n rlamas olmayan uzaktan e itimdir. Uzaktan e itim yolu ile e itim görmekte oldu unuz Aç kö retim Lisesi nde, Genel Müdürlük olarak sizlere sundu umuz hizmetlerden birisi de ders notu mahiyetindeki kitaplar m zd r. Uzaktan e itim ilkelerine uygun olarak haz rlanan bu ders materyali lise müfredat programlar na uygun olarak haz rlanmaktad r. Haz rlanan bu ders notlar m z, müfredat programlar nda meydana gelen de iflikliklere paralel olarak yenilenmekte ve güncellefltirilmektedir. Bu ders notundan yararlanacak olan ö rencilerimize baflar lar diliyor, ders notlar n n haz rlanmas nda eme i geçen tüm Genel Müdürlü ümüz çal flanlar na teflekkür ediyorum.

8 Ç NDEK LER ÜN TE I TÜREV Türev Soldan türev, sa dan türev Türev kurallar Ters fonksiyonun türevi Bileflke Fonksiyonun Türevi Kapal fonksiyonun türevi Ard fl k türevler Trigonometrik fonksiyonlar n türevi Ters trigonometrik fonksiyonlar n türevi Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar n Türevi Türevin limit sorular nda uygulanmas Birinci dereceden al nan türevin geometrik yorumu Türevin fiziksel anlam Özel tan ml fonksiyonlar n türevi Türevin uygulamalar kinci türevin geometrik anlam Maksimum ve minimum problemleri Fonksiyonlarda Asimptot Bulma Grafik çizimleri Örnekler Özet De erlendirme Testi De erlendirme testinin çözümleri

9 ÜN TE II NTEGRAL ntegral ntegral alma yöntemleri Basit fonksiyonlar n integralleri ve örnekler Rasyonel ifadelerin integrali Trigonometrik de iflken de ifltirme kural E ri alt nda kalan bölgenin alan Belirli integral ki e ri ile s n rlanan bölgenin alan Örnekler Dönel cisimlerin hacimlerinin bulunmas Özet De erlendirme Testi De erlendirme testinin çözümleri () ÜN TE III MATR SLER Matrisler ki matrisin eflitli i Toplama ifllemi Matrislerde toplama iflleminin özelikleri Matrislerde skalarla çarpma ifllemi ve özelikleri Matrislerde çarpma ifllemi Çarpma ifllemine göre birim matris Kare matris Matrislerde çarpma iflleminin özelikleri

10 Kare matrisin kuvvetleri Bir matrisin çarpma ifllemine göre tersi Matrislerde transpoz (Devrik) ifllemi Matrislerde transpoz (Devrik) iflleminin özelikleri Örnekler Determinantlar Sarrus kural Determinantlar n özelikleri Lineer Dönüflümler Örnekler Özet De erlendirme Testi De erlendirme Testinin Çözümleri () SÖZLÜK flaretler KAYNAKÇA

11 ÜN TE I TÜREV Türev Soldan türev, sa dan türev Türev kurallar Ters fonksiyonun türevi Bileflke fonksiyonun türevi Parametrik fonksiyonlarda türev Kapal fonksiyonun türevi Ard fl k türevler Trigonometrik fonksiyonlar n türevi Ters trigonometrik fonksiyonlar n türevi Loraritma ve üstel fonksiyonlar n türevi Türevin limit sorular na uygulan fl L Hospital kural. dereceden al nan türevin geometrik yorumu. (te etin e imi, normalin denklemi) Türevin fiziksel anlam (H z ivme) Özel tan ml fonksiyonlar n türevi Türevin uygulamalar kinci türevin geometrik anlam Maksimum ve minumum problemleri Fonksiyonlarda asimptot bulma Grafik çizimleri Örnekler

12 BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde); * Türevin tan m n ve gösteriliflini ö renecek, * Bir noktada türev almay ö renecek, * Sa dan ve soldan türevleri kavrayacak, * Türev kurallar n kavray p, örnek çözecek, * Ters ve kapal fonksiyonlar n türevlerini almay ö renecek, * Bileflke fonksiyonun türevini almay ö renecek, * Parametrik fonksiyonlarda türev almay ö renecek * Ard fl k türev almay ö renecek, * Trigonometrik fonksiyonlar n türevlerini almay ö renecek, * Ters trigonometrik fonksiyonlar n türevlerini almay ö renecek, * Logaritma ve üstel fonksiyonlar n türevlerini almay ö renecek, * L Hospital kural n kavray p limit problemlerinde belirsizli indeki durumlar için türevi kullanacak,, * Te etin e imini ve normalin denklemini türev yard m yla bulmay ö renecek, * H z ve ivme problemlerinde türevden yararlanmay ö renecek, * Özel tan ml fonksiyonlar n türevlerini almay ö renecek, * Her türevlenebilen fonksiyon sürekli mi yoksa aksi de do ru mu sorular n n cevab n bulacak, * Ekstremum de erin ne oldu unu ö renecek, fonksiyonlar n ekstremum de erini bulacak, * Fonksiyonun yerel maksimum veyerel minimum noktalar bulmay ö renecek, * Rolle ve ortalama de er teoreminin türevde ne ifle yarad n ö renip, bu teoremler sayesinde ilgili sorular çözmeyi ö renecek, * kinci türevin geometrik anlam n kavrayacak, niçin ikinci türev gerekli sorusunun cevab n bulacak, * Maximum ve minimum problemleri için türevin gereklili ini anlayacak, * Fonksiyonlar n asimptotlar n bulmay ö renecek, * Çeflitli fonksiyonlar n grafik çizimlerini yapabileceksiniz. BU BÖLÜMÜ NASIL ÇALIfiMALIYIZ? * Türev konusundan önce, fonksiyon, limit ve süreklilik konular n iyi ö reniniz. * Tan mlar dikkatli okuyunuz. * Verilen formülleri ezberleyiniz. Ezberledi iniz formüllere yönelik örnekler çözünüz. * Çözülen örnekleri yazarak çal fl n z. Sonra kendiniz çözmeyi deneyiniz. * Çözemezseniz mutlaka hatan z bulunuz, tekrar çözmeye çal fl n z. * Bölüm sonundaki de erlendirme sorular n araflt rarak çözünüz.

13 ÜN TE I. TÜREV a, b R olmak üzere, f: a,b R fonksiyonunda; x (a,b) ve MATEMAT K 8 f(x) - f x lim xx x - x R ise bu limite, f fonksiyonunun x noktas ndaki türevi denir ve df dx x ya da f x ile gösterilir. f (x) - f x Öyleyse, f x = lim xx d r. Di er bir ifade ile, x - x h R - olmak üzere, x = x + h yaz l rsa lim xx f (x) - f x x - x = lim h fx + h - fx h f x = lim h fx + h - f (x ) h olur. oldu undan, Örnek: f: R R, f(x) = x fonksiyonunun x noktas ndaki türevini, türev tan m n kullanarak bulunuz. Çözüm f(x) =x f(x ) =x f (x ) = lim xx f(x) - f(x) x - x = x lim - x xx = lim x - x xx = lim (x + x ) = x xx olur. x - x x + x x - x Türevi dy dx, y, f (x ) gibi ifadelerden biriyle gösterece iz.

14 SOLDAN TÜREV, SA DAN TÜREV f : A R fonksiyonunda x A olmak üzere lim x x - f(x) - f(x ) x - x R limitine, f fonksiyonun x noktas ndaki soldan türevi denir ve bu türev f (x - ) ile gösterilir. lim x x + f(x) - f(x ) x - x R limitine, f fonksiyonun x noktas ndaki sa dan türevi denir ve bu türeve f (x + ) ile gösterilir. Bir fonksiyonun, x noktas nda türevli olabilmesi için, x noktas ndaki sa dan ve soldan türevleri eflit olmas gerekir. Örnek: f : RR, f(x) = x- fonksiyonun x = noktas ndaki sa dan ve soldan türevini, türev tan m n kullanarak bulunuz. Çözüm : f ( - ) = f ( + ) = lim x - lim x + f(x) - f( - ) x - - = f(x) - f( + ) x - + = lim x - lim x + x - - x - x - - x - = = -(x - ) x - = - (x - ) x - = f(x) fonksiyonunun x = noktas nda limiti yoktur. Limiti olmayan fonksiyonun türevi de olmayaca ndan x = noktas nda türevi yoktur. f ve g türevlenebilen iki fonksiyon olsun. TÜREV KURALLARI. C R, f(x) = C ise f (x) = yani, sabitin türevi her zaman s f rd r. Örnek : Afla daki fonksiyonlar n türevlerini bulunuz. a) f(x) = b) f(x) = -5 c) f(x) = 4

15 Çözüm a) f (x) = b) f (x) = c) f (x) = MATEMAT K 8 ) f(x) = x n, n R olsun. f (x) = n. x n- olarak yaz l r. Örnek : a) f(x) =x b) f(x) = x c) f(x) = x Çözüm a) f(x) =. x - = x = x b) f(x) = x = x f(x) = x - = x- = x c) f(x) =. x- =x Çarp m n Türevi ) (f. g) = f. g + g f Örnek : Afla daki fonksiyonlar n türevini bulunuz. a) f(x) = x. (x + ) b) f(x) = x. ( - x ) 5

16 Çözüm a) f (x) = (x) (x + ) + (x). (x + ) =. (x + ) + x. (x) =x + + 4x = 6x + b) f (x) = (x ). ( - x ) + (x ). ( - x ) = (x). ( - x ) + x ( -x ) =x - x 4 - x 4 = x - 5x 4 4) (f n ) = n. f n-. f Örnek : Afla daki fonksiyonlar n türevini bulunuz. a) f(x) = (x -) b) f(x) = (x - x) 5 Çözüm a) f (x) =. (x -) -. (x -) = (x -). () = 6 (x-) b) f (x) = 5. (x - x) 4. (x - x) = 5. (x - x) 4. (x - ) Bu tip sorularda ö renciler parantez içinin türevini almay unutuyorlar, dikkat ediniz. 5) (f + g) = f + g (f - g) = f - g Örnek : Afla daki fonksiyonlar n türevini bulunuz. a) f(x) = x - 4x + 5 b) f(x) =x - x - x 6

17 Çözüm a) f (x) = 6x - 8x b) f(x) =x -. x - = x - x - MATEMAT K 8 Bölümün Türevi 6) f g = f. g - f. g g Örnek : Afla daki fonksiyonlar n türevini bulunuz. a) f(x) = x - x + b) f(x) = x - x + (g) Çözüm a) f (x) = (x - ). (x + ) - (x - ). (x + ) (x + ) =. (x + ) - (x - ). () (x + ) = x + - x + (x + ) = (x + ) b) f(x) = (x - ) (x + ) - (x - ). (x + ) (x + ) = x (x + ) - (x - ) () (x + ) = 4x + 6x - x + (x + ) = x + 6x + (x + ) 7) n f f = n n. f n- (Formül a) ( f = f f (Formül b) Örnek : Afla daki fonksiyonlar n türevini bulunuz. a) f(x) = x b) f(x) = x c) f(x) = (x - ) 7

18 Çözüm : a) I. yol a) f(x) = x = x = x - = x - = = x x II. yol formül b den a) f(x) = x f(x) = x. x = x b) I. yol b) f(x) = x =x f (x) = x - = x = x II. yol formül b den b) f(x) = (x ) x = x x x = x x = x c) I. yol c) f(x) = (x - ) = (x - ) f(x) = (x - ) - (x - ) = (x - ) - (x) = x. (x - ) II. yol n = formül a dan, (x f (x) = - ) = x. (x - )-. (x - ) Yukar daki formül a ve b ayn ifadelerdir. Formül b, formül a n n özel hâlidir. Ancak ö renciye tavsiyemiz formülsüz türev alma yoludur. 8

19 TERS FONKS YONUN TÜREV MATEMAT K 8 AR, BR f: AB fonksiyonu bire bir örten olsun. f fonksiyonu x A noktas nda türevli ve f (x ) ise, f - : BA fonksiyonuda x n f alt ndaki görüntüsü olan y noktas nda türevlidir ve (f - ) (y ) = f (x ) f (x ) fleklinde gösterilir. Yukar daki tan mdan anlafl laca üzere, tan m ve de er kümesindeki belirli aral klara göre fonksiyonun tersi mevcut olur. Örnek : f:r ( -4, + ) f(x) = y = x - 4 fonksiyonu veriliyor. (f - ) (x) nedir? Çözüm : I. yol : Fonksiyon : ve örten oldu undan önce tersini alal m, sonra da ifadeyi türevleyelim. Yani; y = x - 4 x = y - 4 x + 4 = y x + 4 = y = f - (x) f - (x) = x + 4 oldu undan türevi, f - (x) = (x + 4) = (x + 4)-. (x + 4) = x + 4 II. yol : Yukar daki formüle göre; y = x - 4 x = y + 4 f - (y ) = f (x ) f - (y) = x = y + 4 f - (x) = olur. x + 4 oldu undan, 9

20 B LEfiKE FONKS YONUN TÜREV y = f(u) u = g(x) oldu unu kabul edelim. y = f [g(x)] = (fog) (x) olarak söylenir. (fog) (x) fonksiyonun türevi (fog) (x) = f [g(x)]. g (x) fleklinde hesaplan r. Örnek : f, g : R R f(x) = x + 5, g(x) = x - 5 ise (fog) (x) de erini bulal m. Çözüm : I. yol : (fog) (x) = f [g(x)]. g (x) =(x) o [x - 5]. =(x - 5). =(6x - ). = 8x - II. yol : Fonksiyonun bileflkesi al n r, sonra türevlenir. (fog) (x) = f [g(x)] = (x-5) + 5 = 9x - x + (fog) (x) = 8x - PARAMETR K FONKS YONLARDA TÜREV t parametre (de iflken) olmak üzere, parametrik fonksiyonlardan birinci türev x = f(t ) ve y = g(t) ise dy dx = dy dt dx dt = dy dt. dt dx

21 Parametrik fonksiyonlar n ikinci mertebeden türevi ise y = f(x) fonksiyonu, y = f(t) ve x = g(t) fleklinde x ve y parametrik fonksiyonlarla ifade edildi inde her zaman y yi x türünden ifade edemedi imizden, art arda türev alma yöntemini uygulayamay z. Bu durumda afla daki kural kullan r z. dy dx = z = y t x t diyelim d y dx = dz dx = z t x t Örnek : x = t y = t - t ise dy dx =? Çözüm : y nin x e göre türevi direkt olarak al namaz. Çünkü, x t ye ba l ; y de t ye ba l d r. dy dx = dy dt dx dt = (t - t ) ( t ) = - t t = t ( - t) = x ( - x ) dir. Örnek : y = t + ve x = t + t için d y de erini bulal m. dx Çözüm : dy dx = t t+ = z olsun. d y dx = z t = x t t t+ t +t =. (t+) - t. () t+ t+ = 4 t+

22 KAPALI FONKS YONUN TÜREV F(x,y) = fleklindeki ba nt lara kapal fonksiyon denir. Türevi hesaplan rken birkaç yola baflvurulabilir. Bunlar; ) E er, y yaln z b rak labiliniyorsa, türev al n r. dy ) F(x,y)= ba nt s nda her terimi x e ve y ye göre hesaplanarak y = bulunur. dx ) y = -F x formülünden yararlan l r. Burada F x, F(x,y) ba nt s n n x'e göre türevi F y (y sabit) F y, F(x,y) ba nt s n n y ye göre türevi (x sabit) Örnek : x y + xy - x + y - 5 = ba nt s ile verilen fonksiyonun türevini bulal m. Çözüm F(x,y) = x y + xy - x + y - 5 = F x F y Buna göre, y = - F x =y x + y - (x e göre türev, y sabit) =x y + x + (y ye göre türev, x sabit) F y olarak bulunur. = - y x + y - x y + x + Örnek : x y - xy - 5x + = kapal ifadesinde y = dy dx bulunuz. Çözüm : x y +x y. y - y - xy y - 5 = x yy - xy y = -x y +y + 5 y(x y - xy ) = -x y +y + 5 y = -x y +y + 5 x y - xy y - F x ile bu örnek çözülebilir. F y

23 x y y ye göre türevi al nd nda x yy oluyor. Ancak, x y, x e göre türevi al nd nda x y oluyor. x yaz lm yor. Kapal ifadelerde türev al n rken, örne in; xy = y + xy = xy = -y y = -y dir. x MATEMAT K 8 f: AR, xy = f(x) fonksiyonunun ARDIfiIK TÜREVLER. mertebeden türevi y = f (x) = df(x) dx. mertebeden türevi y =f (x) = d f(x) dx = d dx ya da Üçüncü mertebeden türevi y = d y dx = d dx dy dx df(x) dx y =f (x) = d f(x) dx = d dx n. mertebeden türevi y (n) =f (n) (x) = dn f(x) dx n = d dx d dx dy dx d f(x) dx d n- f(x) dx n- demek, önce y nin x e göre türevi al, bulunan sonucuda x e göre türevle. Örnek : f: R -{} R f(x) = x fonksiyonunun dördüncü mertebeden türevi

24 Çözüm f(x) = x - f (x) = -x - f (x) = x - f (x) =-6x -4 f v (x) = 4x -5 = 4 x 5 TR GONOMETR K FONKS YONLARIN TÜREV ) y = Sin f(x) ise y = f (x). Cos f(x) Örnek : y = Sin x ise y = x Cos x ) y = Cos f(x) ise y = -f (x) Sin f(x) Örnek : y = Cos (x -) ise y = -(x - ) Cos (x -) = -4x. Cos (x -) ) y = tan f(x) ise y = f (x). [ + tan f(x)] = f (x) Sec f(x) Örnek : y = tan x ise y = 6x [ + tan x ] = 6x Sec x 4) y = Cot f(x) ise y = -f (x). [ + Cot f(x)]= -f (x). Cosec f(x) Örnek : y = Cot (x 4 -) ise y = -(x 4 -) Cosec (x 4 -) = -x Cosec (x 4 - ) 5) y = [Sin f(x)] n ise y = n. [Sin f(x)] n-. [Sin f(x)] Örnek : y = Sin x ise y =? y = Sin x = (Sin x) oldu undan, y = Sin x. (Sin x) = Sin x. Cos x =. Sin x. Cos x = Sin 6x 4

25 6) y = [Cos f(x)] n ise y = n [Cos f(x)] n-. [Cos f(x)] Örnek : y = Cos x ise MATEMAT K 8 y = (Cos x ) ise y =. (Cos x ) -. (Cos x ) = (Cos x ). (-x Sin x ) = -6x Cos x. Sin x 7) y = [tan f(x)] n ise y = n [tan f(x)] n-. [tan f(x)] Örnek : y = tan x ise y = tan x. (tan x) = ( tan x). Sec x = 6 tan x. Sec x 8) y = [Cot f(x)] n ise y = n. [Cot f(x)] n-. [Cot f(x)] Örnek : y = Cot 4 x ise y = [Cot x ] 4 = 4. [Cot x ]. [Cot x ] = 4. [Cot x ]. [-x Cosec x ] = -8x Cot x. Cosec x TERS TR GONOMETR K FONKS YONLARIN TÜREV ) y=arcsinx Fonksiyonu Arcsin f(x) = Sin - f(x) dir. y = Arcsin x x = Sin y - y - x (Arcsin x) = - x genel olarak, Arcsin f(x) = f (x) - f(x) Örnek : y = Arcsin x dy dx = x - x 4 ise dy dx =? 5

26 ) y= Arccosx Fonksiyonu Arccos f(x) = Cos - f(x) y = Arccos x x = Cos y y π, - x Örnek : y=arccos (x+) ise dy dx =? dy dx = - -(x+) (Arccos x) = - x genel olarak, Arccos f(x) = ) y=arctanx Fonksiyonu -f (x) - f(x) Arc tan f(x) = tan - f(x) y = Arc tan f(x) x = tan y - < y <, - <x < (Arc tan x) = genel olarak, + x Arc tan f(x) f (x) = + f(x) Örnek : y = Arc tan (x -) ise dy dx =? dy dx = (x - ) + (x - = 6x ) + (x - ) 4) y=arccotx Fonksiyonu Arccot f(x) = Cot - f(x) y = Arccot f(x) x = Cot y < y < π, - < x < + (Arccot x) = - + x genel olarak, Arccot f(x) = -f (x) + f(x) 6

27 y=sec f(x) ve y=cosec f(x) fonksiyonlar n türevleri, bölme kural ndan ç kart l r. Sec f(x) = Cos f(x) ve Cosec f(x) = Sin f(x) oldu undan MATEMAT K 8 Örne in : y = Sec x y = Cos x y = () Cos x -. (Cos x) (Cos x) =. Cos x - (-Sin x) Cosx = Sin x Cosx Örnek : y = Arccot x ise dy dx =? dy dx = -( x) - + ( = x x) + x = - ( x). ( + x) LOGAR TMA VE ÜSTEL FONKS YONLARIN TÜREV y = Log e x = lnx x = e y dir. n N + olmak üzere, lim x+ ( + n )n = e =,78... dir. ) ln f(x) = f (x) f(x) Örnek : y = (lnx) ise y = lnx ise ) a R + ve a olmak üzere log a f(x) = lna. f (x) f(x) dy dx = x dy dx = (x ) x = x x = x Örnek : y = log x dy ise dx = ln. (x ) = x x x ln = xln Örnek : y = log 5 (Sin x dy ) ise dx =? Çözüm : ln 5. (Sin x ) Sin x = x Cos x ln 5. Sin x = x ln 5. Cot x 7

28 Üslü fonksiyonlar n türevi ) e f(x) = f (x) e f(x) Örnek : y = e Sin x dy ise dx =? dy dx = (Sin x) esin x = Cos x. e Sin x ) a R + ve a olmak üzere, a f(x) = f (x). a f(x) Ln a Örnek : y = x ise dy dx =? Çözüm : dy dx = (x ). x. Ln = 6x. x. Ln ) f(x) > ve y = f(x) g(x) ise, dy = y. g(x). Ln f(x) dx Örnek : y = x Cos x ise y =? Çözüm : y =x Cos x. Cos x. Ln x = x Cos x -Sin x. Ln x + x (Cos x) 8

29 fiimdiye kadar türev alma kurallar n ö rendik. Afla daki tabloda ilgili türev alma kural ve örnekleri verilmifltir. nceleyiniz. SORU f(x) = ise f(x) =? LG L FORMÜL f (x) = C, C R ise f (x) = f (x) = ÇÖZÜM f(x) =x ise f(x)=? f(x) =x n ise f(x) =nx n- f(x) = x f(x) =x.cos x ise f(x)=? f(x) = x Sin x f(x) =x, g(x) = x- ise (gof) (x) =? x = t, y = t -, dy dx =? x y + y + x = dy dx =? y = x 4 ise y v (x) =? y = Sin (Cos x) ise y =? y = Cos (ln x) ise y =? y = tan 5x ise y =? y = Cot 5x ise y =? f(x) = u. v ise f(x) = u. v + uv f(x) = u v ise f(x) =uv - uv u (gof) (x) = g f(x). f(x) dy dx = dy dt dx dt Kapal fonksiyonun türevine bak. n. mertebeden türeve bak y = Sin f(x) ise y = f(x). Cos f(x) y = Cos f(x) ise y = -f(x) Sin f(x) y = ln g(x) ise y = g (x) g(x) y = tan f(x) ise y =f(x). Sec f(x) y = Cot f(x) ise y = -f(x)cosec f(x) f(x) = (x) Cos x + (x) (Cos x) = Cos x - x Sin x (x) Sin x - x. (Sin x) f(x) = Sin x = Sin x - x Cos x Sin x (gof) (x) = x dy dx = t = t = x xy+x y +yy+ = y = - xy+ x +y y = 4x y = 4x y = x y v = 4 y = (Cos x)cos (Cos x) = -Sin x. Cos (Cos x) y = -(lnx) Sin lnx = - x y = 5 Sec 5x y = -x Cosec 5x Sin (lnx) y = arc Sin (Cos x) ise y =? y = arc Sin f (x) ise y = f(x) - f(x) y = (Cos x) -Cos x = -Sin x -Cos x y = arc Cos (ln x) y =arc Cos f(x) ise y = -f(x) - f(x) y = -(Ln x) = -(Ln x) - x -(Ln x) y = arc tan x y = arc Cot x y= + f(x) y = - + f(x) y = +4x y = - +9x 9

30 SORU LG L FORMÜL ÇÖZÜM y = ln (x + ) ise y =? y = log x ise y =? y = e Sin x + Cos x ise y =? y = x +x ise y =? y = ln f(x) ise y = f(x) f(x) y = log a f(x) ise y = ln a. f(x) f(x) y = e f(x) ise y = f(x) e f(x) a R + ve a olmak üzere y = a f(x) ise y = f(x).a f(x). Lna y = (x +) x + = x x + y =. x Ln x = Ln x = x Ln y = (Sin x + Cos x) esin x + Cos x = (Cos x - Sin x) esin x + Cos x y = (x + x). x +x. ln = (x + ). x +x. ln y = x Sin x ise y =? y = f(x) > ise y = f(x) g(x) y = y. g(x). Ln f(x) y =x Sin x. Sin x. Lnx = x Sin x. Cos x Lnx + x Sin x L HOSP TAL KURALI TÜREV N L M T SORULARINA UYGULANMASI f(x) E er lim xx g(x) limitinde ya da lim xx f(x) g(x) = lim f (x) xx g(x) olur. belirsizli i varsa, Limit hesaplan rken ya da sonucu bulunursa pay ve paydan n türevi al n r. E er yine ya da sonucu bulunursa yine pay ve paydan n türevi al n r. Sonuç bir reel say ç kana dek ifllem devam ettirilir. Örnek : lim x x - x - =? Çözüm : - - = belirsiz. O hâlde, pay ve paydan n türevini alal m. lim x x = lim x =. = x

31 Örnek : x lim Cos x - Sin x =? MATEMAT K 8 Cos Çözüm : - Sin lim x = - = (Cos x) ( - Sin x) = lim -Sin x x -Cos x = lim Sin x x belirsiz. Pay ve paydan n türevini alal m. Yani, Sin Cos x = Cos = Tan = Örnek : lim x+ e x - x =? Çözüm : e - = belirsiz. Pay ve paydan n türevini alal m. lim e x x+ x = e+. = Yine pay ve paydan n türevini alal m. lim e x x = e = + = + B R NC DERECEDEN ALINAN TÜREV N GEOMETR K YORUMU Bir Fonksiyon Grafi inin Bir Noktas ndaki Te etinin E imi f: [a, b] R fonksiyonu, x (a,b) olmak üzere x noktas nda türevlenebilir fonksiyon ise; f fonksiyonun grafi inin (x,f(x )) noktas ndaki te etinin e imi, m t = f (x ) olarak hesaplan r. Te etin denklemi ise, y - f(x ) = f (x ). (x-x ) olur. Te ete (x, f(x )) noktas nda dik olan do ruya, f fonksiyonun grafi inin (x, f(x )) noktas ndaki normali denir. Öyleyse (x, f(x )) noktasn daki normalin e imi, M N = - f (x ) olarak hesaplan r. Normalin denklemi ise, olur. y-f(x ) = - f (x ) (x - x )

32 Örnek : 8y = x - x + 6 e risinin (, ) noktas ndaki te et ve normal denklemlerin bulunuz. Bu e rinin hangi noktas nda te etinin e imi 9 ye eflittir. Hangi noktadaki te et x eksenine paraleldir? Çözüm : y = x - x + 6 oldu undan e im, 8 O hâlde, x = için te etin e imi,. - 8 dy dx = x - 8 = - dir. y - f(x ) = f(x ) (x - x ) y - = - (x - ) y - = - x, x f(x ) y + x = 4 bulunur. Normal, te ete dik oldu undan, Normalin denklemi; M N = - idi. O hâlde, f(x ) M N = - - = y - f(x ) = f(x ) (x - x ) oldu undan, y - =. (x - ) buradan x - y + 6 = denklemi bulunur. x - 8 = 9 oldu u zaman, 6x - 4 = 7 6x = 96 x = 6 x = ±4 olur.

33 Bu de erleri 8y = x - x + 6 denkleminde yerine koyal m. x = -4 için 8y = (-4) - (-4) + 6 8y = y =, (-4, ) x = 4 için 8y = (4) - (4) + 6 8y = y = y = 4, (4,4) MATEMAT K 8 O hâlde, (-4, ) ve (4, 4) noktalar nda e im 9 dir. E im s f r oldu u yani, x - = oldu u zaman x = ± dir. O hâlde, x = ± oldu u zaman x eksenine paralel olacakt r. Bu x = ± de erlerini 8y = x - x + 6 denkleminde yerine koyarsak, x = - için 8y = (-) - (-) + 6 8y = y = y = 4 x = için 8y = () - () + 6 8y = y = O hâlde, (, ) ve (-, 4 ) noktalar nda te et x eksenine paraleldir. Örnek : f(x) = x + kx + 8 fonksiyonun e risine, apsisi x = - olan noktas ndan çizilen te et, x ekseni ile pozitif yönde 5 lik aç yapt na göre k =?

34 Çözüm : x = - noktas ndaki te etin e imi f (-) dir. f(x) = x + kx + 8 f (x) = x + k f (-) = - + k (I) Çizilen te et, x ekseni ile pozitif yönde 5 lik aç yap yorsa m = Tan 5, Tan 5 = - oldu undan m = -. Bu de eri (I) de yerine yazarsak; m = - + k - = - + k k = olarak bulunur. Örnek : f(x) = x + kx + x fonksiyon e risinin, apsisi x = olan noktas ndaki te etin denklemi y + x + = oldu una göre k nedir? Çözüm : f(x) = x + kx + x f (x) = x + kx + f () = + k + Bulunan bir de er, f(x) fonksiyonunda x = noktas ndan çizilen te etin e imidir. Yani, f () = m = 4 + k Bu te etin denklemi y + x + = y = -x - (e im y = ax + b e im m = a) O hâlde e im - = m oldu undan, f () = m = 4 + k = - k = -5 k = -5 olarak bulunur. 4

35 TÜREV N F Z KSEL ANLAMI Bir hareketlinin gitti i yol s = f(t) denklemi ile belli oldu una göre a) Hareketlinin t an ndaki h z MATEMAT K 8 V t = ds dt = f(t) b) Hareketlinin t an ndaki ivmesi a t = dv dt = v(t) = f(t) olur. Örnek : Hareket denklemi s = olan hareketlinin harekete bafllad andan t - t 6 sa-niye sonraki h z n ve ivmesini bulunuz. (Bu denklemde uzunluk metre, zaman saniye ile veriliyor.) Çözüm H z, v(t) = f (t) = t - v(6) = 6 - = 5 m/sn vmesi, a t = f (t) = f (6) = m/sn Örnek : a R olmak üzere, yol-zaman denklemi s(t)=at olan bir hareketlinin harekete bafllad ktan sonra saniye sonraki h z 4 m/sn oldu una göre bu hareketlinin 6. saniyedeki ald ivmeyi bulal m. Çözüm : s(t) = 6 at ivme = s(t) = at s() = 4a = 4 =.. 6 a = =7 m/sn ÖZEL TANIMLI FONKS YONLARIN TÜREV ) Parçal Fonksiyonlar n Türevi f(x) = g(x), x < a h(x), x a ise ise f(x) = g(x), x < a h(x), x a ise ise Ancak bu fonksiyonlar n x = x noktas ndan türevli olabilmesi için sa dan ve soldan türevlerinin eflit olmas gerekir. 5

36 Örnek : f (x) = x -, x < ise x, x ise x = noktas ndaki türevini bulunuz. Çözüm : x < için f (x) = 6x öyleyse, f ( - ) = 6. = x için f (x) = - x öyleyse, f (+ ) = oldu undan, x = noktas nda fonksiyonun türevi yoktur. ) Mutlak De er Fonksiyonu Mutlak de er fonksiyonun türevi al n rken mutlak de erin tan m na dikkat edilir. Yani; f(x) = f(x), f(x) ise -f (x), f(x) < ise Örnek : f(x) = x - 6x + 5 ise f (4) =?, f () =?, f () =? Çözüm. yol : Önce fonksiyonu parçal fonksiyon hâline getirelim. x - 6x + 5 = x (x - 5) (x - ) = x - 6x x = 5, x = f(x) = x - 6x + 5, x ise -x + 6x - 5, < x < 5 ise x - 6x + 5, x 5 ise 6

37 Bu durumda, MATEMAT K 8 f (x) = x - 6, x ise -x + 6, < x < 5 ise x - 6, x 5 ise f (4) = = - f () =. - 6 = 4 x = noktas kritik nokta oldu undan, f ( - ) =. - 6 = -4 f ( + ) = -. () + 6 = 4 x = noktas nda türev yok. II. yol : y= f(x) türevi y = f (x). f(x) f(x) Bu durumda, f (x) = (x x -6x+5). -6x+5 x -6x+5 x f (x) = (x-6). -6x+5 x -6x+5 Örne in x=4 için x -6x+5 < oldu undan x -6x+5 = - x -6x+5 dolay s yla x -6x+5 x -6x+5 = - f (4) = (.4-6). (-) = - x -6x+5 = (x-5) (x-) oldu undan x= ve x=5 noktalara kritik nokta. O hâlde bu noktalarda türev yok. 7

38 Tam K s m Fonksiyonun Türevi E er, x de eri tam k sm n içini tamsay yapm yorsa türev vard r ve türevi s f rd r. Örnek : f(x) = [ x ] f () =? f =? Çözüm : f () = [. ] = 6 f = [. ]= [ f(x) = f = türevi yoktur. ] türev vard r. flaret Fonksiyonun Türevi flaret fonksiyonun içini s f r yapan x de erleri için türev yoktur. x de eri iflaret fonksiyonun içini s f r yapm yorsa türevi vard r ve türevi s f rd r. Örnek : f(x) = Sgn (x + ) ise f. + = f (x) = TÜREV N UYGULAMALARI Türevlenebilirlik ve Süreklilik Teorem : f : [a,b] R fonksiyonu x (a,b) noktas nda türevlenebilir ise (f (x ) R), f fonksiyonu x noktas nda süreklidir. Bu teoremin karfl t do ru de ildir. Örnek : f(x) = x- fonksiyonu x = noktas nda sürekli midir? Türevli midir? 8

39 Çözüm : f(x) = x - = x -, x ise -x +, x < ise lim (x - ) = x + lim (-x + ) = x - f() = - = lim f(x) = f() oldu undan süreklidir. x Ancak, x = noktas nda türevli de ildir. Çünkü, f (x) = +, x ise -, x < ise x = kritik nokta oldu u için, f ( + ) = + f ( - ) = - f ( + ) f ( - ) O hâlde, x = x noktas nda sürekli fonksiyon x = x noktas nda türevlenemeyebilir. Sonuç : f:[a,b] R fonksiyonu x (a,b) noktas nda süreksiz ise f fonksiyonu x noktas nda türevlenemez. f : [a, b] R bir fonksiyonu sürekliyse, [a, b] aral nda fonksiyonun ald maksimum ve minimum de erlere fonksiyonun ekstremum de erleri denir. Teorem : f:[a,b] R fonksiyonu sürekli ve her x (a,b) için türevi olan bir fonksiyon olsun. a) E er her x (a,b) için f (x) ise f fonksiyonu monoton azalan, f (x) < ise azalan fonksiyondur. b) E er her x (a,b) için f (x) ise f fonksiyonu monoton artan, f (x) > ise artan fonksiyondur. 9

40 Örnek : - f(x) = x - fonksiyonunun [, ] aral ndaki ekstremum de erlerini inceleyiniz. f (x) = dir. f (x) > fonksiyon artand r. min f(x)= f() =. - = - dür. max f(x)= f() =. - = dir.. f(x) = (x - ) - fonksiyonunun [, 4] aral nda ekstremum de erlerini hesaplay n z. f (x) = (x - ) fonksiyonu [, ) aral nda azalan (, 4] aral nda artand r. f() = ( - ) - = - dir. f(4) = (4 - ) - = 8 dir. f(x) in [,4] aral ndaki minimum de eridir. f(x) in [,4] aral ndaki maksimum de eridir. Yerel Maksimum, Yerel Minimum f(x) fonksiyonu bir (x -, x + ) aral içinde en küçük de erini x noktas nda al yorsa fonksiyonun x noktas nda yerel minimumu vard r. En büyük de erini x noktas nda al yorsa fonksiyonun x noktas nda yerel maksimumu vard r. Yerel minimum veya maksimumun varl için bir > say s n n bulunmas yeterlidir. Bir fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktalar na fonksiyonun ektremum noktalar denir.

41 Örnek : f(x) = -x + 8x - 5 fonksiyonunun [, 7] aral nda sürekli ve türevli oldu u biliniyor. Fonksiyonun maksimum ve minimum de erlerini bulunuz. f(x) = -x + 8x - 5 = - (x-4) + MATEMAT K 8 Teorem : f: a,b R fonksiyonu sürekli ve her x (a,b) için türevi olan bir fonksiyon olsun. E er x (a,b) noktas f fonksiyonunun bir yerel ektremum noktas ise f (x )= Max f(4) = dir. Min f() = -5 dir. fiekilde x = 4 noktas nda bir maksimuma sahip oldu undan f (x) = -x + 8 f (4) = = = d r. Örnek : f(x) = x + fonksiyonu [, ] aral nda sürekli, (, ) aral nda türevlidir. Fakat fonksiyon bu aral k içinde hiçbir noktada türevi s f r de ildir. Çünkü (, ) aral nda fonksiyon ekstremuma sahip de ildir. Teorem : (Rolle Teoremi) f(x), [a, b] de sürekli, (a, b) de türevli bir fonksiyon olsun. f(a) = f(b) ise, bu fonksiyonun türevi (a, b) aral nda en az bir x noktas nda s f r de erini al r. Örnek : f(x) = x + 4x + olsun. x (-5, ) için f (x ) = Rolle teoremini kullanarak gösterelim.

42 Çözüm : f(-5) = (-5) + 4(-5) + = 8; f() = = 8 oldu undan x (-5,) için f (x ) = olur. f (x) = x + 4 = x = - (-5, ) ve f (-) = = d r. Örnek : f(x) = x - [ x ] fonksiyonuna [, 4] aral nda Rolle Teoremi kullan lamad n gösterelim. Çözüm : f() = - [ () ] = - =, f(4) = 4 - [ (4) ] = 4-4 = Fonksiyon (, 4) te türevlidir. Fakat fonksiyon (, 4) te sürekli olmas na ra men [, 4] de sürekli de ildir. lim f(x) = lim x - [ 4 ] = lim (x - ) = x4 - x4 - x4 - lim f(x) = lim x - [ 4 ] = lim (x - 4) = x4 + x4 + x4 + Fonksiyon x = 4 noktas nda sürekli de ildir. Fonksiyona bu aral kta Rolle Teoremi uygulanamaz. Teorem : (Ortalama De er Teoremi) f(x) fonksiyonu [a, b] de sürekli ve (a, b) de türevli ise x (a, b) için f (x ) = f(b) - f(a) b - a d r. Örnek : - y = x - x - 7 fonksiyonunda [,4] aral nda ortalama de er teoremini uygulayal m.

43 Çözüm : f(x) fonksiyonu (-, ) aral nda sürekli ve türevlidir. f() = = -5 f(4) = = f(4) - f() f(x ) = = + 5 = = 9 f (x ) = 4x - = 9 ise 4x = x = tür. (, 4) olur. MATEMAT K 8 Örnek : - f(x) = Sin (πx) teoremini uygulay n z. + x fonksiyonuna [-, ] aral nda ortalama de er f(a) = f(-) = Sin (-π) + - = -Sin π - = - = - f(b) = f() = Sin (π) + = + = f (x ) = f(b) - f(a) b - a = f() - f(-) - (-) f (x ) = π Cos π x + = = + 5 Cos π x = = 5 x 5 = Cos π + π k = Cos π x π x = π + k π x = + k k = -, -, -,, x = - = - 5, x = - = -, x = - = -, x 4 = + =, x 5 = + = de erleri elde edilir. x,x, x, x 4,x 5 vard r. (-, ) aral nda ortalama de er teoremini sa layan befl tane nokta Ortalama De er Teoreminin Geometrik Anlam f(x) in iki noktas A ( a, f(a)) ve B(b, f(b)) olsun. f(b) - f(a), AB do rusunun e imidir. x (a, b) için b - a f(b) - f(a) f (x ) = demek, f(x) e risine A ile B aras ndaki en az bir x noktas ndan AB ye paralel bir te et b - a çizilebilir.

44 Örnek : f(x) = 9 - x yar m çemberinde A(, ), B (, ) verilsin. E ri üzerindeki bir noktadan AB do rusuna paralel bir te et çizmek mümkün müdür? Öyleyse, te etin denklemini yaz n z. f(x) = 9 - x y +x = 9 AB do rusuna paralel te etin de me noktas n n apsisi (, ) aral nda ortalama de erini ald noktad r. f(x) fonksiyonu [, ] de sürekli ve (, ) de türevli oldu undan Ortalama De er Teoremini uygulayabiliriz. 4

45 f() = ve f() = f (x) = f() - f() - = - - = - f (x) = -x 9 - x - x = x 9 - x = x 9 - x =x x = 9 x = 9 x = ± MATEMAT K 8 - (, ) (, ) x = y = dir. Çizilen te etin e imi AB do rusunun e imine eflit olup m = - dir. y - y = m (x - x ) y - = - x - y = -x + bulunur. ÖRNEKLER Örnek - y = e (x-) fonksiyonuna (, 4) da Rolle Teoremini uygulay n z. Çözüm : f(x) fonksiyonu [, 4] aral nda sürekli, (, 4) aral nda türevlidir. f() =e (-) =e (-) =e = e f(4) =e (4-) =e () =e = e f() = f(4) oldu undan Rolle Teoremi gerçeklenir. f (x) = (x - ).e (x-) = (e (x-) = olamaz), (x - ) = x = (, 4) için f () = d r. Örnek : - f(x) = x + 7x + fonksiyonuna (, 7) aral nda Ortalama De er Teoremini uygulay n z. Çözüm : f() = = f(7) = = f(7) - f() f (x) = = - = = 5 f (x) = x + 7 = 5 x = 8 x = 4 (, 7) için Örnek : - f(x) = x + 6x fonksiyonuna (, 4) aral nda Ortalama De er Teoremini uygulay n z. Çözüm : f() = + 6. = 8 + = f(4) = = = 88 f (x) = f(4) - f() 4 - = 88 - = 4 5

46 f (x) =x + 6 = 4 x = 8 x = 8 x = ± 7 = ± 7, x = 7 (, 4), x = - 7 (, 4) dür. Örnek : 4- f(x) = ax + bx + c fonksiyonunun (p, q) aral nda Ortalama De er Teoremini sa layan x de erinin x = p + q oldu unu gösteriniz. Çözüm : f(p) = ap + bp + c f(q) = aq + bq + c f (x) = f(q) - f(p) q - p = a(q - p ) + b(q - p) q - p f (x) = ax + b = a (q + p) + b x = q + p = a(q + p) + b bulunur. K NC TÜREV N GEOMETR K ANLAMI f: [a, b] R fonksiyonu sürekli, türevi olan bir fonksiyon olsun. E er fonksiyonun grafi i üzerinde al nan her hangi iki noktay birlefltiren kirifl daima grafi in üzerinde kal yorsa, f fonksiyonuna yukar bükey veya konveks e er kirifl daima grafi in alt nda kal yorsa f fonksiyonuna afla bükey veya konkav denir. 6 fiekilde f fonksiyonu (a, c) aral nda yukar bükey (c, b) aral nda afla bükeydir.

47 MATEMAT K 8 a) f (x ) = ve f (x ) < ise f fonksiyonu x noktas nda f(x ) yerel maksimum de erini al r. b) f (x ) = ve f (x ) > ise f fonksiyonu x noktas nda f(x ) yerel minimum de erini al r. E rinin konvekslikten konkavl a veya konkavl ktan konveksli e geçti i noktaya dönüm noktas denir. E rilik konvekslikten konkavl a E rilik konkavl ktan konveksli e geçmektedir. x=x D.N. d r. geçmektedir. x=x D.N. d r. kinci türevin pozitif oldu u aral kta f(x) in grafi inde e rilik yukar ya do ru veya konvekstir. kinci türevin negatif oldu u aral kta f(x) in grafi inde e rilik afla ya do ru veya konkavd r. Konveks Konkav 7

48 Örnekler : - y = (x - ) + fonksiyonunun x = noktas nda minimum de erini ald n gösteriniz. Çözüm : y = (x - ); y = (x - ) = x = f (x) = > oldu undan yerel minimum vard r. - f(x) = x + x - fonksiyonunun x = - de maksimum veya minimumunun bulunup, bulunmad n araflt r n z. Çözüm : f = x + ; f (x) = x + = x = - f (x) = > oldu undan yerel minimum vard r. - f(x) = -(x - ) 4 fonksiyonunun x = de dönüm noktas n n bulunup bulunmad n araflt r n z. Çözüm : f (x) = -4 (x - ) ; f (x) = -4 (x - ) = x =, f (x) = -(x - ) f () = - ( - ) = f(x) in x = de dönüm noktas vard r. 4- f(x) = x - 7x - x + fonksiyonunun konkav ve konveks oldu u bölgeleri bulunuz. Çözüm : f (x) = x - 4x - f(x) = 6x - 4 f(x) = 6x - 4 = x = 7 x f(x) - + Konkav Konveks D.N. 8

49 5- f(x) = x + x - fonksiyonunun ekstremum noktalar n bulunuz. Çözüm : f (x) = x + 6x ; f (x) = x + 6x = x(x + ) = x =, x = - f() = -, f(-) = (-) + (-) - = = -9 + = f (x) = 6x + 6 f () = = 6 > oldu undan x= da minimum de erini al r. MATEMAT K 8 al r. f (-) = 6. (-) + 6 = = -6 < oldu undan x=- de maksimum de erini x y y - max. - + min. 6- f(x) = x + 6x - 4 fonksiyonunun eksrtemum noktalar n maksimum ve minimum de erini bulunuz. Çözüm : f (x) = x + x; f (x) = x(x + 4) = x =, x = -4 y = -4, y = 8 f (x) = 6x + f () = > oldu undan x= da minimum de erini al r. f (-4) = - < oldu undan x=-4 te maksimum de erini al r. x y y max. min. 9

50 MAKS MUM VE M N MUM PROBLEMLER NE A T ÖRNEKLER Örnekler : - Çarp mlar olan pozitif iki say n n toplam n n minimum olmas için bu iki say ne olmal d r? Çözüm : Say lara x, z dersek x. z = y = x + z dir. x. z = x = z dir. y = x + x olur. y = - x dir. y = x - = x = x =, x = - say lar pozitif olaca ndan x = dir. x. z = den z = dir. y = x + z y = + = olarak bulunur. y= x - x ise y = x x = için y = = > oldu undan minimum olur. - Toplamlar iki ve çarp mlar maksimum olan pozitif iki say y bulunuz. Çözüm : Say lar: x ve z olsun. x + z = ve y = z. x maksimum olmal d r. z = - x y = x( - x) = -x + x y = -x + -(x - ) = x = dir. x + z = z = dir. y =. = bulunur. y = - < d r. x = için maksimumu vard r. 4

51 - x + y = 4 çemberi içine bir dikdörtgen yerlefltirilmek isteniyor. Dikdörtgenin çevresinin maksimum olmas için dikdörtgenin kenar uzunluklar ne olmal d r? Çözüm : Çemberde böyle bir dikdörtgenin köflegenleri merkezden geçer. x + y = r r = 4 r = dir. DAB dik üçgeninde Pisagor Teoremi x + y = 4 x + y = 6 Çevresi : z = (x + y) dir. y = 6 - x olur. z = x x z = - x 6 - x z = x 6 - x = x = 6 - x 6 - x =x x = 6 x = 8 x = y = 6-8 = 8 = dir. Maksimum çevre : z = (x + y) = + = 8 dir. 4- AB = AC olan bir üçgende BC = a d r. A köflesinden a kenar na indirilen dikme 4a d r. Bu üçgenin içine bir dikdörtgen yerlefltiriliyor. Bu dikdörtgenin alan n n maksimum olmas için kenarlar ne olmal d r, a cinsinden bulunuz. 4

52 Çözüm : AB = AC, BC = a ve AH = 4a Dikdörtgenin kenar uzunluklar na x ve y diyelim. AGK ~ ABH dir. x a = 4a - y 4a x = a - y 4 S = x. y = a - y y. y = ay S = ay - y ds 4 dy = S (y) = a y = a - y ds = y = a ve x = a - a dy 4 = a - a = a y = a, x = a olmal d r. S(y) = - < oldu undan x = a, y = a için S alan maksimum olur. 5- Yar çap 4 olan küre içine yerlefltirilen maksimum hacimli dönel silindirin hacmini bulunuz. Çözüm : 4

53 AH = y, x + y = 6 d r. OH = x olsun. OAH dik üçgeninde Pisagor ba nt s ndan Silindirin hacmi : V = y. (x) V =. (6 - x ). x V = 6. x - x V = x - x V(x) = - 6x = x = 6 = 6 x = ± 4-4 y = 4. al nmaz x = 4 dür. V =... 4 = 56 9 tür. y = 6-6 = y = 4 bulunur. V(x) = -x V 4 4 = = -6 < oldu undan hacim maksimum olur. FONKS YONLARDA AS MPTOT BULMA y=f(x) fonksiyonunun grafi i üzerindeki de iflken bir p(x,y) noktas alal m. E er, e rinin en az bir kolu sonsuza uzan yorsa ve p noktas n n d do rusuna veya c e risine olan uzakl s f ra yaklafl yorsa, al nan d do rusuna veya c e risine, y=f(x) fonksiyonun asimptotu denir. Afla daki flekillerde yukar daki tan m aç k olarak görülmektedir. d do rusu y=f(x)in do ru asimptotudur c e risi y=f(x) e risinin e ri asimptotudur 4

54 Düfley Asimptotun Bulunmas y= p(x) fleklindeki rasyonel fonksiyonlarda, Q(x)= denkleminin x=a kökü için Q(x) p(a) oluyorsa, denklemi x=a olan do ruya bu fonksiyonun düfley asimtotu denir. Örnek : f(x)= x+ x- fonksiyonunun düfley asimptotunu bulal m. Çözüm : x - = x =,. + = oldu undan x = do rusu düfley asimptotdur. Yatay Asimptotun Bulunmas y=f(x) fonksiyonu için, lim f(x)=b R veya lim f(x)=b R ise, x+ x- denklemi y=b olan do ruya, y=f(x) fonksiyonun yatay asimptotu denir. Örnek : f(x) = 5x +4x- fonksiyonunun yatay asimptotunu bulal m. x +x+ Çözüm : lim x+ 5x +4x- x +x+ = 5 lim 5x +4x- x +x+ = 5 x- o hâlde y= 5 olan do ru f(x) fonksiyonun yatay asimptotudur. Örnek : f(x) = x + fonksiyonun yatay asimptotunun olup olmad n araflt ral m. x- Çözüm : lim x+ lim x- x + = + R x- x + = - R x- f(x) fonksiyonunun yatay asimptotu yoktur. 44

55 E ik ve E ri Asimptotlar n Bulunmas MATEMAT K 8 Bir y = f(x) fonksiyonu için lim f(x) = oluyorsa, fonksiyonun e ik veya e ri x asimptotu vard r. Rasyonel fonksiyonlarda e ik veya e ri asimptotu bulmak için pay paydaya bölünür. Bulunan bölüm, fonksiyonun e ik veya e ri asimptotudur. E er, bölüm birinci dereceden polinom fonksiyonu ise e ik, en az ikinci dereceden polinom fonksiyonu ise e ri asimptotudur. Örnek : f(x) = x +x- x+ fonksiyonunun e ik asimptotunu bulal m. Çözüm : lim x x +x- x+ = - x + x - x+ + - x + - x x+ +x - x +x- x+ = x+ - 4 x x Burada, g(x) = x+ birinci dereceden oldu u için g(x) e ik asimptotdur. Örnek : f(x) = x +x -5 x+ olmad n belirleyiniz. fonksiyonunun e ik ya da e ri asimptotunun var olup 45

56 Çözüm : lim x +x -5 x+ x = x + x - 5 x+ + x x x +x x x x x -5 x +x -5 x+ =x +x - x+5 x+ Burada g(x) = x +x ikinci dereceden oldu u için g(x) e ri asimptot vard r. Örnekler : - f(x) = x - x - fonksiyonunun asimptotlar n bulunuz. a) lim f(x) = lim x- x± x± x - = yatay asimptotdur. b) x - = x = düfley asimptotdur. -f(x) = (x - ) x - fonksiyonunun asimptotlar n bulunuz. a) y = lim x± f(x) = lim x± (x - ) x - = yatay asimptotu yoktur. b) x - = x = düfley asimptotdur. c) (x - ) x - = x - 5x x - y = x - 5x + 7 fonksiyonun e ri asimptotudur. 46

57 GRAF K Ç Z MLER Bir fonksiyonun grafi ini çizerken yap lacak ifllemler:. Fonksiyonun tan m aral bulunur.. lim f(x) hesaplan r. x±. Varsa asimptotlar bulunur. 4. Varsa eksenlerin kesti i noktalar bulunur. 5. Ekstremum noktalar bulunur. 6. Bulunan de erler bir tabloda gösterilir. 7. Tablodan yararlan larak grafik çizilir. Polinom Fonksiyonlar n Grafi i Örnekler: - y = x 4 - x + fonksiyonunun de iflimini inceleyiniz, grafi ini çiziniz. Çözüm ) Fonksiyon (-, + ) tan ml d r. (Çünkü polinom fonksiyondur.) ) lim x ± f(x) = + dur. ) Asimptot yoktur. 4) x = için y = y = için x 4 - x + = (x - ) = x - = x = x = ± 5) y = 4x - 4x 4x - 4x = x(4x - 4) = x = ve 4x - 4 = x = x =, x = - dir. fiimdi. türevi al p, s f ra eflitleyelim. 47

58 6) x y y + + min. max. min. Tablonun Okunmas : Fonksiyon (-,+ ) bölgesinden gelerek (-,) noktas n u rar ve (,) noktas na ulafl r. Buradan (,) noktas ndan k vr larak (,) do ru ilerler. Grafik; - y = x + x - x - fonksiyonunun de iflimini inceleyiniz. Grafi ini çiziniz. Çözüm ) Fonksiyon (-, + ) aral nda tan ml d r. ) lim x ± f(x) = ± dur. ) Asimptot yoktur. 4) x = için y = - y = için x + x - x - = x (x + ) -(x + ) = (x + ) (x - ) = x = -, x = - x = 48

59 5) y =x + 4x - y = için x + 4x - = x, = -4 ± y = f(x ) = = -4 ± 7 6 = - ± 7 =k, y = f(x ) = f x = - - 7,x = =k 6) x y y - k - + k Tablonun Okunmas : (-,- ) dan bafllayan fonksiyon (-,) noktas ndan geçer ve -- 7,k noktas nda maksimum de erini ald ktan sonra (-,) noktas na u rar. Fonksiyon (,-) noktalar na u rad ktan sonra -+ 7,k noktas nda minimum de erini al r ve (,) noktas na u rayarak (, ) yönüne do ru ilerler. 7) 49

60 rrasyonel Fonksiyonlar n Grafi i y = ax + bx + c biçimindeki bir fonksiyonun grafi i çizilirken afla daki durumlar dikkate al nmal d r. a) ax + bx + c eflitsizli inin çözüm bölgesi fonksiyonun tan m kümesidir. b) a > ise y= + - a x + b e ik asimptot a a < ise e ik asimtot yok. c) y = dan yerel ekstremum noktalar bulunur. Örnekler : - y = x - x+ fonksiyonunun grafi ini çizelim. ) x - x x(x - ) x(x - ) = x =, x = x - + x x x(x-) fonksiyon tan ms z Tan m kümesi :(-, ] [, ) dur. ) lim x ± x - x+ = lim x - x + = ± x ± ) y = ax ± bx + c formundaki bir fonksiyonun asimptotu y = x ± b a formundad r. y = x - x+ y = x - + y = x - + = x + y = - x - + = - x + 7 do rular fonksiyonun e ik asimptotlar d r. 5

61 4) x = için y = y = için MATEMAT K 8 f() = ; f() = dir. 5) f (x) = y = x -. x - x f(x) = x - = x = tan m bölgeleri d fl nda kal r. x > için f (x) > d r. x = ve x = için f (x) tan ms zd r. 6) x - + y y + + TANIMSIZ Tablonun Okunmas : Fonksiyon (,) aral nda tan ms z. x=- dan bafllayarak y=+ do ru (-,] aral nda e ri çizerek ilerler. x=+ dan bafllayarak y=+ do ru (,+) aral nda e ri çizerek ilerler. Bu arada y= -x + 7 ve y= x + asimptotlar n dikkate almak gerekir. 7) 5

62 - y = -x + 4x - fonksiyonunun de iflimini inceleyiniz, grafi ini çiziniz. Çözüm : ) y = -x + 4x - = - (x - ) = -(x-). (x-) -(x - ) - (x - ) = (x - ) = x - = ± x =, x = x - + -(x - ) x f(x) fonksiyon tan ms z fonksiyon tan ms z x Tan m aral : [, ] dür. ) Tan m bölgesi s n rl oldu undan lim f(x) hesaplanamaz. x ± ) Tan m bölgesi s n rl oldu undan asimptot yoktur. (a < oldu undan) 4) x = için y = d r. x = için y = d r. x = için y = dir. 5) f (x) = -x x + 4x - f (x) = -x +4 = x = dir. (x= için y= dir) 6) x - + y y + 5

63 Tablonun Okunmas : x= ve x= do rular aras nda s n rl d r. Çünkü tan m kümesi, x idi. x= için y= noktas e rinin maksimum noktas d r. 7) TANIMSIZ TANIMSIZ Rasyonel Fonksiyonlar n Grafikleri - y = x - x + ) x + = x = dir. f : (-, -) ( -, +) R fonksiyonunun grafi ini çiziniz. x + x - Tan m kümesi : R - - (-, -) (-, +) ) y = x lim ± f(x) = lim x - = dir. Yani y = do rusu yatay asimptotdur. x ± x + ) x = - de düfley asimptot vard r. (Düfley asimtot payday s f r yapan de er) 4) x = için y = - 5) y = için x = dir. y =. (x + ) -. (x - ) (x + ) = x - x + = (x+) > x - = x = 5

64 6) x y y y = (x - ) (x - ) x - fonksiyonunun de iflimini inceleyiniz, grafi ini çiziniz. ) x - = x = de fonksiyon tan ms zd r. Tan m kümesi : R - {} ) Asimptotlar: lim f(x)= (x - ) (x - ) lim = ± x ± x ± x - (x - ) (x - ) y = = x - x + = x + x - x - x - y = x do rusu e ik asimptotdur. Tabloda gösterilmez. x - x + ± x ± x x - x x - = x = do rusu düfley asimptotdur. ) x = için y = - y = için x =, x = dir. 54

65 . (x - ) + (x - ) (x - ) -. ( x - ) (x - ) 4) y = (x-) = x - 6x + 7 (x-) ; y = x - 6x + 7 = x, = ± = ± x = +, x = - y 6, y, 5) x y y - -, max. min. 6) - y = (x - ) x - fonksiyonunun de iflimini inceleyiniz, grafi ini çiziniz. ) x - = x = de fonksiyon tan ms zd r. f : R - {} R ) lim f(x) = (x - ) lim = x ± x ± x - 55

66 ) x - = x = de düfley asimptot vard r. x - 6x + x - 8 x - x - 6x + x x ±x -5x + x ± 5x ± 5x 7x x ± -7 - (x - ) x - =x - 5x x - y = x - 5x + 7 e ri asimptotdur. y = (x - 5 ) + 4 parabol e ridir. x - x - 5x + 7 E ri asimptot 4) x = için y = 8 y = için (x - ) = x = dir. 5) y = (x - ). (x - ) -. (x - ) (x-) y = için (x - ) (x - ) - (x - ) (x - ) (x - ) = (x - ) = x =, x =, y= x-. (x-) x- y =, y = 7 4, 6) x - + y y min. D.N. 56

67 Tablonun Okunmas : x=-, y=+ bafllayan fonksiyon (,8) noktas na u rayarak, 7 4 noktas nda minimum de eri ald ktan sonra (-,+) do ru ilerler. Sonra fonksiyon ( +,-) dan gelerek (,) dönüm noktas ndan k vr larak (,) do ru ilerler. Bu arada tabloda olmayan x= düfley asimptodu ve y= x - 5 grafikte unutmamak gerekir. + 4 MATEMAT K 8 e ri asimptodu 7) 4- y = x4 x - fonksiyonunun de iflimini inceleyiniz, grafi ini çiziniz. Çözüm ) x - = x = ± x =, x = - dir. f : R - -, R ) lim f(x) x± = lim x 4 x = x± - ) x =, x = - de düfley asimptotu vard r. x 4 x - =x + + x - y = x + fonksiyonunun e ri asimptotudur. 4) x = için y = d r. y = için x = d r. 57

68 y = 4x. (x - ) - x. x 4 = 4x5-4x - x 5 = x (x - ) 5) (x - ) (x - ) (x - ) y = x (x - ) = x =, x =, x = - y =, y = 4, y = 4 6) - x y y ) 5- y = x fonksiyonunun de iflimini inceleyiniz, grafi ini çiziniz. x - Çözüm ) x - = x = x =, x = - noktalar nda fonksiyon tan ms zd r. f : R -{, -} R 58

69 ) y = lim f(x) = lim x x - = d r. x - ekseni yatay asimptotttur. x ± x ± x - = x =, x = - de düfley asimptot vard r. ) x = y = ve y = için x = d r. 4) y = (x - ) - 4x = -x - (x - ) (x - ) = -(x + ) (x - ) y = -(x + ) = x + = x = - Reel kök yoktur. y < d r. 5) x y y ) 59

70 Trigonometrik Fonksiyonlar n Grafikleri Trigonometrik fonksiyonlar n grafikleri çizilirken afla daki durumlar dikkate al n r: a) Önce periyod bulunur. Periyod geniflli inde bir aral kta de iflim incelenip grafik çizilir. Öbür periyod geniflli inde ard fl k aral klarla ilk çizilen grafik tekrarlan r. b) Fonksiyon kesirli ise düfley asimtot bulunur. c) Eksenleri kesti i noktalar bulunur. d) Türev al n r. Yerel ekstramum noktalar hesaplan r. e) De iflim tablosu yap larak grafik çizilir. Trigonometrik denklemlerin çözüm kümelerini bulmay ö renmeden grafik çizmeye geçmeyin. - y = + Cos x in grafi ini çiziniz. ) Cos x in periyodu = O hâlde,, aral nda grafi ini çizmek yeterlidir. ) Aral k s n rl oldu u için asimptot hesaplanmaz. ) Eksenler kesti i noktalar. x = için f() = + Cos. = + = x = π için f(π) = + Cos π = + = y = için + Cos x = Cos x = - Cos x = Cos (π + kπ) x = π + kπ, k = için x = 4) f (x) = - Sin x; f (x) = - Sin x = Sin x = Sin x = Sin (kπ) x = kπ ise x = k k = için x =, k = için x =, k = için x = π 6

71 5) x π y - + y MATEMAT K 8 6) - y = Sin x - fonksiyonunun grafi ini çiziniz. Sin x + Sin x - periyodu = = =T Sin x + periyodu = = =T ) Fonksiyonun periyodu (T, T ) ekok = π Grafi i [, π] aras nda çizmek yeterlidir. ) Sin x + = Sin x = - Sin x = - = Sin ( + 6 ) = Sin ( 7 6 ) Ç = x x = k v x = ( - 7 ) + k, k z 6 k = için x = 7 6 x = 6 x = - 6 = p - 6 = 6 ve x = 7 da düfley asimptot vard r. 6 6

72 ) x = için y = - y = için Sin x - = Sin x = Sin x = Sin x = dir. 4) y = x = π için y = - x = π için y = - dir. Cos x. ( Sin x + ) - Cos x. (Sin x - ) ( Sin x + ) = Cos x ( Sin x + ) y = Cos x = Cos x = Cos x = Cos + k x = + k dir. k = için x =,k = için x = y =, y = dir. O hâlde, ve, noktalarında maksimum ve minimum vardır. 5) x π π y y max. min. Tablonun Okunmas : (,) noktas ndan bafllayan fonksiyon, maksimum noktas na u rayarak (,-) noktas ndan geçer ve x= 7 6 düfley asimptoduna yaklafl r. Sonra 7 6, + dan bafllayan fonksiyon (x=7 6 düfley asimptodun pozitif yönünden) x= 6 x= 6, minimum noktas ndan geçerek, + do ru yaklafl r. Burada 6 düfley asimptotdur. Daha sonra, - bölgesinden bafllayan fonksiyon 6, düfley asimptodu da negatif yönde te et çizerek (, -) noktas ndan geçerek e ri çizer. 6

BU BÖLÜMÜ NASIL ÇALIfiMALIYIZ?

BU BÖLÜMÜ NASIL ÇALIfiMALIYIZ? ÜN TE I TÜREV Türev Soldan türev, sa dan türev Türev kurallar Ters fonksiyonun türevi Bileflke fonksiyonun türevi Parametrik fonksiyonlarda türev Kapal fonksiyonun türevi Ard fl k türevler Trigonometrik

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

ÜN TE III L NEER CEB R

ÜN TE III L NEER CEB R ÜN TE III L NEER CEB R MATR SLER Matrisin ki matrisin eflitli i Toplama ifllemi ve özellikleri Matrislerde skalarla çarpma ifllemi ve özellikleri Matrislerde çarpma ifllemi Çarpma ifllemine göre birim

Detaylı

ÜN TE I FONKS YONLAR

ÜN TE I FONKS YONLAR ÜN TE I FONKS YONLAR Fonksiyonlarla lgili Temel Kavramlar Eflit Fonksiyonlar Fonksiyon Türleri Birim Fonksiyon Sabit Fonksiyon Fonksiyonlar n Bileflkesi Bir Fonksiyonun Tersi Fonksiyonlarda fllemler Fonksiyonlar

Detaylı

MATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre,

MATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre, MTMT K TST KKT! + u testte 80 soru vard r. + u test için ar lan cevaplama süresi 5 dakikad r. + evaplar n z, cevap ka d n n Matematik Testi için ar lan k sma iflaretleiniz.. a, b, c pozitif reel sa lard

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

MATEMAT K 6 ÜN TE II NTEGRAL

MATEMAT K 6 ÜN TE II NTEGRAL ÜN TE II NTEGRAL ntegralin tan m ntegral alma yöntemleri Basit fonksiyonlar n integralleri Rasyonel ifadelerin integrali Trigonometrik de iflken de ifltirme E ri alt nda kalan bölgenin alan Belirli integral

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE V KÜRE

GEOMETR 7 ÜN TE V KÜRE ÜN TE V KÜRE 1. KÜRE a. Tan m b. Bir Kürenin Belirli Olmas c. Bir Küre ile Bir Düzlemin Ara Kesiti 2. KÜREN N ALANI 3. KÜREN N HACM 4. KÜREDE ÖZEL PARÇALAR a. Küre Kufla I. Tan m II. Küre Kufla n n Alan

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

1. Hafta Uygulama Soruları

1. Hafta Uygulama Soruları . Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında

Detaylı

SORULAR. 1. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim. 1 n sin. lim. q 1 x 1+x

SORULAR. 1. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim. 1 n sin. lim. q 1 x 1+x SOULA. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim! lim sin(t )dt sin 4 np n! i= n sin i n. q + arcsin belirli integralini hesalay n z. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. 3. 4

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R

GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R ÜN TE III S L ND R 1. S L ND R K YÜZEY VE TANIMLAR 2. S L ND R a. Tan m b. Silindirin Özelikleri 3. DA RESEL S L ND R N ALANI a. Dik Dairesel Silindirin Alan I. Dik Dairesel Silindirin Yanal Alan II. Dik

Detaylı

MAT MATEMATİK I DERSİ

MAT MATEMATİK I DERSİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital

Detaylı

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3 Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =

Detaylı

MAT MATEMATİK I DERSİ

MAT MATEMATİK I DERSİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4.

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4. 04 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsayısı kaçtır? 4 lü terimin. ifadesinin değeri kaçtır? 4. yy y 4y y olduğuna göre, + y toplamının değeri kaçtır?

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar Matematik ünyas, 2005 Yaz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar 1. Maliyeti üzerinden yüzde 25 kârla sat lan bir mal n sat fl fiyat ndan yüzde onluk bir

Detaylı

Mat Matematik II / Calculus II

Mat Matematik II / Calculus II Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar Soru. S f rdan farkl bir a say s için sonsuz ondal klarla oluflan ifadesinin de eri nedir? ise, Soru 2. 0 < < 0 olmak

Detaylı

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır? . SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

TÜREVİN ANLAMI Bu Konumuzda türevin fiziksel, geometrik anlamını ve Ekstremum olayını anlatacağız. İyi Çalışmalar... A. TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMI Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı, fonksiyonu ile

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

TÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun.

TÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. Maksimum ve Minimum Değerler Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. TÜREVİN UYGULAMALARI D içindeki her x elemanı için f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında mutlak maksimumumu vardır.

Detaylı

MATEMAT IK-I (SORULAR)

MATEMAT IK-I (SORULAR) Part I MATEMAT IK-I (SORULAR) SAYILAR. irrasyonel midir?. 7 say s n n irrasyonel oldu¼gunu gösteriniz. (Gauss Teoremini kullan n z.) 3. + 3 say s n n irrasyonel oldu¼gunu gösteriniz. (Gauss Teoremini kullan

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MTEMT K TEST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MTEMT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 1. 1 3 1 3 1 2 1 2. 5 + 7 iflleminin sonucu

Detaylı

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYIN KURULU Hazırlayanlar Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK

Detaylı

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr.

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin TİN MATEMATİK I DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin

Detaylı

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1 . ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında

Detaylı

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31 SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.

Detaylı

BÖLÜM 1. stanbul Kültür Üniversitesi. Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram. ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir.

BÖLÜM 1. stanbul Kültür Üniversitesi. Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram. ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir. BÖLÜM 1 0, Q 1. f() = 1, R/Q, Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir. Buna göre a³a da verilen tanm bölgeleri altnda görüntü cümlelerini

Detaylı

2010 oldu¼gundan x 2 = 2010 ve

2010 oldu¼gundan x 2 = 2010 ve ) 444400 say s ndaki rakamlar n yerleri de¼giştirilerek 7 basamakl kaç farkl say yaz labilir? Çözüm : Bu rakamlar n bütün farkl 7 li dizilişlerinin say s 7! olacakt r. Bu dizilişlerin 4!! soldan ilk rakam

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur.

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur. Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri x, x. f(x) x ise fonksiyonu için,, x olduğuna göre, a b kaçtır? lim + x f ( x) a ve lim x f ( x) b A) B) C) D) E) Çözüm x x için

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE IV KON

GEOMETR 7 ÜN TE IV KON ÜN TE IV KON 1. KON K YÜZEY VE TANIMLAR 2. KON a. Tan m b. Dik Dairesel Koni I. Tan mlar II. Dik Dairesel Koninin Özelikleri III. Dönel Koni c. E ik Dairesel Koni 3. D K DA RESEL KON N N ALANI 4. DA RESEL

Detaylı

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek

Detaylı

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol Artan ve Azalan Fonksiyonlar Tanım: a,b aralığında tanımlı bir onksiyonu verilsin., a,b ve için, ise onksiyonu a,b aralığında artan, ise

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL

ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL 1. DO RULARIN D KL 2. B R DO RUNUN B R DÜZLEME D KL a. Tan m b. Düzlemde Bir Do ru Parças n n Orta Dikme Do rusu c. Bir Do runun Bir Düzleme Dikli ine Ait

Detaylı

LYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

Ç NDEK LER. Bölüm 4: Üslü Say lar...44 Üslü fadeler...44 Al t rmalar...47 Test Sorular...49

Ç NDEK LER. Bölüm 4: Üslü Say lar...44 Üslü fadeler...44 Al t rmalar...47 Test Sorular...49 Ç NDEK LER Bölüm1: Say Sistemleri...1 Say Sistemi...2 Desimal (Onluk) Say Sistemi...2 Say Basamaklar ve Taban...4 Binary ( kilik) Say Sistemi...4 Oktal (Sekizlik) Say Sistemi...7 Heksadesimal (Onalt l

Detaylı

ÜN TE I. KON KLER N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE I. KON KLER N ANAL T K NCELENMES ÜN TE I. KON KLER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi. EL PS I. Tan mlar II. Elipsin eksenleri ve özel noktalar a. Asal eksen b. Yedek eksen c. Merkezil elips d. Elipsin köfleleri e. Elipsin odak noktalar f.

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MATEMAT K TEST KKAT! + Bu bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 2 4. 4. 0,5 2. iflleminin sonucu

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 Bireysel Yar flma Soru ve Çözümleri

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 Bireysel Yar flma Soru ve Çözümleri o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 ireysel Yar flma Soru ve Çözümleri olamayaca ndan (çünkü bir kareköke eflit), y = 1/2 bulunur. olay s yla = y 2 = 1/4. 2a + 4b = 6a 3b oldu

Detaylı

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi. ÇEMBER N DENKLEM 3. MERKEZLER R J NDE, EKSENLER ÜZER NDE V E YA EKSENLERE T E E T LAN ÇEMBERLER N DENKLEM 4. ÇEMBER N GENEL DENKLEM 5. VER LEN ÜÇ NKTADAN

Detaylı

Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometrik Fonksiyonlar Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik

Detaylı

Ard fl k Say lar n Toplam

Ard fl k Say lar n Toplam Ard fl k Say lar n Toplam B u yaz da say sözcü ünü, 1, 2, 3, 4, 5 gibi, pozitif tamsay lar için kullanaca z. Konumuz ard fl k say lar n toplam. 7 ve 8 gibi, ya da 7, 8 ve 9 gibi ardarda gelen say lara

Detaylı

Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 21, 25, 27, 28, 29, 30, 33-b.

Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 21, 25, 27, 28, 29, 30, 33-b. Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir:,,,, 5, 6, 7, 9,,, 5, 7, 8, 9,, -b. MAT -MATEMATİK (- GÜZ DÖNEMİ) FİNAL ÇALIŞMA SORULARI. Tabanı a büyük eksenli, b küçük eksenli elips ile sınırlanan

Detaylı

MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM

MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam

Detaylı

F Z K 3 ÜN TE II HAREKET

F Z K 3 ÜN TE II HAREKET ÜN TE II HAREKET 1. Bir Do ru Üzerinde Konum ve Yer De ifltirme 2. Düzgün Hareket 3. Ortalama H z ve Anî H z 4. Ortalama vme ve Anî vme 5. Sabit vmeli Hareket ÖZET Ö REND KLER M Z PEK fit REL M DE ERLEND

Detaylı

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik

Detaylı

Y ll k Plan MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI

Y ll k Plan MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI 9 SINIF : 8 LEND R LM fi Y I L L I K P L A N ÖRÜNTÜ VE SÜSLEMELER. Do ru, çokgen ve çember modellerinden örüntüler infla eder, çizer

Detaylı

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz. ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE II P RAM T

GEOMETR 7 ÜN TE II P RAM T ÜN TE II P RAM T 1. P RAM TLER N TANIMI. DÜZGÜN P RAM T a. Tan m b. Düzgün Piramidin Özelikleri. P RAM D N ALANI a. Düzgün Olmayan Piramidin Alan b. Düzgün Piramidin Alan 4. P RAM D N HACM 5. DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ

Detaylı

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x.

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x. - TÜREV KAVRAMI - TÜREV KAVRAMI 7 iadesinin türevini alınız. Çözüm lim lim 7 7 lim 7 7 lim lim onksionunun türevini alınız. Tanım onksionunda değişkeni artımını alırken de kadar artsın. oranının giderken

Detaylı

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI FEN LİSESİ 12.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 12.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI FEN LİSESİ 12.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 12.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU 08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI FEN LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

fonksiyonu, her x 6= 1 reel say s için tan ml d r. (x 1)(x+1) = = x + 1 yaz labilir. Bu da; f (x) = L

fonksiyonu, her x 6= 1 reel say s için tan ml d r. (x 1)(x+1) = = x + 1 yaz labilir. Bu da; f (x) = L Limit Bu bölümde, matematik analizde temel bir görevi olan it kavram incelenecektir. Analizdeki bir çok problemin çözümünde it kavram na gereksinim duyulmaktad r. Bunlardan baz lar ; bir noktada bir e¼griye

Detaylı

1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r?

1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r? 1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin bu say s nda Polinomlar konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. Bu konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü

Detaylı

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar 9. 7 = 3.3.3, 07 = 3.3.3 007 = 3.3.3, 0007 = 3.3.3,... Yukar daki örüntüye göre, afla daki say lar n hangisi 81'in kat d r? A) 00 007 B) 0 000 007 C) 000 000 007 D) 00 000 000 007 13. Ard fl k 5 pozitif

Detaylı

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56 , 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Türev TEST I 7. f() = sin cos fonksionunun. f()= sin( + )cos( ) için f'() nin eşiti nedir? A) B) C) 0 D) E) için erel minimum değeri nedir? A) B)

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere,

TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere, MATEMAT K TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere, 0 1 2 3 n P(x) = a x n a x n 1... a x 3 a x 2 a x n n 1 3 2 1 a ifadesine reel katsay l POL NOM denir. 0 a, a, a,..., a say lar na KATSAYILAR,

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1

(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1 0 RE IDÜ TEOR IS I Tan m. f fonksiyonu z 0 noktas nda ayr k singülerli¼ge sahip olsun. Bu durumda f fonksiyonu 0 < jz z 0 j < " bölgesinde X X f(z) = a n (z z 0 ) n b n + (z z 0 ) n Laurent seri aç l m

Detaylı

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ 11. SINIF ONU ANAIMI 2. ÜNİE: UVVE ve HAREE 3. onu OR, AÇISA MOMENUM ve DENGE EİNİ ve ES ÇÖZÜMERİ 2 2. Ünite 3. onu ork, Aç sal Momentum ve Denge A n n Yan tlar 1. Çubuk dengede oldu una göre noktas na

Detaylı

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1...

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1... İçindekiler. Türev......... Türev kavramı.. 00. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 00. Alıştırmalar.... 005. Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan türevi..... 006.4 Bir fonksiyonun bir noktadaki

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

ÖSS MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ

ÖSS MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ ÖSS MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ GRAFİK ÇİZİMİ Bir fonksiyonun denklemi verilip grafiği istendiğinde aşağıdaki yolu izlemeliyiz. ) Fonksiyonun en geniş tanım kümesi bulunur. ) ± için fonksiyonun limiti bulunur.

Detaylı

Sevdi im Birkaç Soru

Sevdi im Birkaç Soru Sevdi im Birkaç Soru M atematikte öyle sorular vard r ki, yan t bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan -saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman y llar sonra- yan t n çok basit oldu u anlafl l r.

Detaylı

ÜÇGEN LE LG L TEMEL KAVRAMLAR

ÜÇGEN LE LG L TEMEL KAVRAMLAR III. ÖLÜM ÜÇGN L LG L TML KVRMLR Tan m (Çokgen) : n > olmak üzere, bir düzlemde 1,, 3,..., n gibi birbirinden farkl, herhangi üçü do rusal olmayan n nokta verilsin. Uç noktalar d fl nda kesiflmeyen [ 1

Detaylı

Sağ Taraf Fonksiyonu İle İlgili Özel Çözüm Örnekleri(rezonans durumlar)

Sağ Taraf Fonksiyonu İle İlgili Özel Çözüm Örnekleri(rezonans durumlar) 3.1.2.1. Sağ Taraf Fonksiyonu İle İlgili Özel Çözüm Örnekleri(rezonans durumlar) ÖRNEK: y + 4.y + 4.y = 5.sin2x diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulalım: Homojen kısmın çözümü: y + 4.y + 4.y = 0

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan; . Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş

Detaylı

ege yayıncılık Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 49 1. Afla daki fonksiyonlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir?

ege yayıncılık Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 49 1. Afla daki fonksiyonlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir? Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 9. Afla daki fonksionlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir? 5. Afla daki fonksionlardan hangisi A(,) noktas ndan geçer? A) f() = B) f() = f() = + f() =. f()

Detaylı

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 97 975 976 977 978 980 98 98 98 98 985 986 987 988 989 990 99 99 99 99 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 5 6 6 5

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TML MTMT K TST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TML MTMT K TST " bölümüne iflaretleyiniz.. + : flleminin sonucu kaçt r? 4. ört do al say afla

Detaylı

Ders Çözümler: 9.2 Alıştırmalar Prof.Dr.Haydar Eş. 2. Prof.Dr.Timur Karaçay /1a: Kritik noktalar:

Ders Çözümler: 9.2 Alıştırmalar Prof.Dr.Haydar Eş. 2. Prof.Dr.Timur Karaçay /1a: Kritik noktalar: 100 Bölüm 9 Ders 09 9.1 Çözümler: 1. Prof.Dr.Haydar Eş 2. Prof.Dr.Timur Karaçay 9.2 Alıştırmalar 9 1. 215 /1a: Kritik noktalar: f (x) = 3x 2 + 6x = 0 = x 1 = 0, x 2 = 2 Yerel max değer: ( 2,1) Yerel min

Detaylı

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI ANADOLU LİSESİ 12.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 12.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI ANADOLU LİSESİ 12.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 12.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU 08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI ANADOLU LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

say s kaç basamakl d r? 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. Di er 4 noktadan. 3. n do al say olmak üzere;

say s kaç basamakl d r? 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. Di er 4 noktadan. 3. n do al say olmak üzere; . 7 8 say s kaç basamakl d r? ) 2 B) 0 ) 9 ) 8 E) 7 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. i er 4 noktadan hiçbiri bu do ru üzerinde bulunmamaktad r ve bu 4 noktadan herhangi

Detaylı

Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama

Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama Ç karma ve Kare Alma Alt nda Kapal Kümeler Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r; bir baflka deyiflle, iki do al say y toplarsak ya da çarparsak

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

12. SINIF. Ağırlık (%) SAYILAR VE CEBİR ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Üstel Fonksiyon 1 8 4

12. SINIF. Ağırlık (%) SAYILAR VE CEBİR ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Üstel Fonksiyon 1 8 4 12. SINIF No Konular Kazanım Sayısı Ders Saati Ağırlık (%) 12.1. ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR 6 36 17 12.1.1. Üstel Fonksiyon 1 8 4 12.1.2. Logaritma Fonksiyonu 3 18 8 12.1.3 Üstel, Logaritmik Denklemler

Detaylı

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB00 Analiz I 3 Aralık 03 Final Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Taatlar: Sınav süresi 0 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz.

Detaylı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada

Detaylı