Dört Bacaklı Robotlar için Önizlemeli Kontrol ile Sıfır Moment Noktası Tabanlı Yürüme Yörüngesi Sentezi

Transkript

1 Dört Baalı Robotlar için Önizlemeli Kontrol ile Sıfır Moment Notası abanlı Yürüme Yörüngesi Sentezi Kaan Can Fidan, unç Abaş, Şefi Emre Esimez, Selim Özel, Ömer Kemal Ada, Özge Drama, Mert Konuoğlu, Güneş Yılmaz, Kemalettin Erbatur Mühendisli ve Doğa Bilimleri Faültesi, Meatroni Mühendisliği Programı Sabanı Üniversitesi, İstanbul sabaniuniv.edu Özetçe Baaları üzerinde hareet eden robotların engel aşma onusunda önemli avantajları söz onusudur. Özellile dört baalı robotların değişen arazi apıları üzerinde birço ugulamaları düşünülmetedir. Bu çalışmada, dört baalı bir robotun düz zemin üzerinde hızlı ol almasına öneli tırıs türü ilerleme üzerinde durulmatadır. Sıfır Moment Notası (SMN) aralılı riterine ve Doğrusal ers Saraç Modeli ne (DSM) daalı bir ürüme referansı sentez öntemi sunulmatadır. ırıs ilerleme için bir SMN referans örüngesi önerilmiş, bu örüngeden, önizlemeli ontrol alaşımı ile Robot Ağırlı Merezi (RAM) için bir referans örünge elde edilmiştir. Oluşturulan ağırlı merezi örüngesi ters inemati öntemi ile baa elemlerinin onum referanslarının hesaplanmasında ullanılmıştır. Önerilen referans sentezi öntemi, 6 serbestli dereeli bir robot modeli ile üç boutlu ve tam dinamili bir simülason ortamında denenmiştir. Simülason sonuçları sunulan alaşımın başarılı olduğunu göstermetedir.. Giriş Dört baalı robotlar, arama-urtarma, ü taşıma, insan için zararlı ortamlarda görev alma gibi işlevlerde birtaım avantajlara sahiplerdir. Mobil robotların hareet onusunda ısıtlı aldığı engebeli ve sarp arazilerde daha ola hareet edebilirler. İi baalı insansı robotlara nazaran dengeleri daha gürbüzdür. Bu avantajların anında dört baalı robotların hızlı ve dengeli bir şeilde hareeti önemli bir ontrol problemidir. Yürüüş çeşitli şeillerde gerçeleştirlebilir []. Yürüüş şeli; baaların salınım sıralaması, salınım zamanlaması, deste safhası süreleri ve salınım safhası süreleri ile tanımlanır. Dört baalı anlılarda gözlemlenen ürüüş şeilleri emeleme (rawl), tırıs (trot), rahvan (pae), eşin (anter) ve dört nala (gallop) gidiştir. Genellile aplumbağalarda gözlemlenen emeleme ürüüş şelinde hareet bouna üç baatan deste alınması denge ararlılığını sağlamatadır. Emeleme ürüüş şelinde sırasıla; sol ön, sağ ara, sağ ön, sol ara baalar hareet etmetedir. ırıs ürüüş şeli deve ve at başta olma üzere birço dört baalı anlıda gözlemlenmetedir. Bu ürüüş şelinde çapraz baalar anı anda hareet etmetedir. []. ırısa ço benzeen rahvan ürüüş şelinde ise anı taraftai baalar birlite hareet etmetedir. Bu ürüüş şeli ertenele ve semenderde gözlemlenmetedir. Eşin ve dört nala gidiş atlarda görülen hızlı ilerleme şeilleridir. Robotlar için tırıs ürüüş bir ço araştırmaa onu olmuştur [2-7]. ırıs, anı hızda gerçeleşen rahvandan daha dengelidir. Stati bir ürüüş olan emelemeden hızlıdır ve daha hızlı ürüüş şeillerine geçişte de bir ara şeil niteliği taşımatadır. Baalar üzerinde ilerleme için dengeli referans örüngeleri oluşturulmasında SMN ararlılı riteri agın şeilde ullanılmıştır. Bu riterin başlıa ullanım alanı ii baalı robotların referans sentezidir [8-3]. Dört baalı robotlar için de SMN riterinin ullanıldığı çalışmalar bildirilmiştir [3-7,4-8]. SMN ararlılı riteri, dengeli bir ürüüş için SMN nin ere değen aalar tarafından oluşturulan deste poligonun içinde olması geretiğini ifade eder. Ço serbestli dereeli robotlar için SMN denlemleri olalıla elde edilebilmetedir. Ana bu denlemlerler birço onum, hız ve ivme değişenini içerdilerinden dolaı referans örünge sentezinde ullanılmaları zordur. Bu sebeple, birço çalışmadai referans sentezinde ço serbestli dereeli robot modellerinin değil, basitleştirilmiş modellerin ullanımına gidilmiştir. DSM bu şeilde alın bir modeldir. Referans sentezine aa basma notalarının atanması ile başlanır. Bu notalarla uum içindei bir SMN referans örüngesinin oluşturulması bir sonrai aşamadır. Bu örüngenin ve DSM nin ullanımı ile RAM için bir referans örüngesi oluşturulur. Aa onum referansları ile RAM arasında bir ters inemati probleminin çözümü ile robot elemi onum referanslarına ulaşılır. Bu referansları taip eden bağımsız esen onum ontrolörlerinin uvvet ve önelim ontrolörleri ile destelenmeleri, birço çalışmada ana ontrol apısını oluşturmuştur [9,3,9,2]. SMN referans örüngesinden RAM örüngesi elde edilmesi için çeşitli çözüm öntemleri önerilmiştir. Laplae transformu ugulaması [9,2], Fourier dizini ullanımı [2,3,2] ve önizlemeli ontrol [9,22] bu öntemlerdendir. Önizlemeli ontrol SMN referanslarının çevrimiçi değiştirilmesine izin verdiğinden bu öntemler arasında en başarılı olanı olara abul edilmetedir. Bununla birlite önizlemeli ontrolün iiden ço baalı robotların ürüme referansı sentezinde ullanımı agınlaşmamıştır.

2 Şeil : Beş adımlı bir tırıs ilerlemenin aa basma onumları. Daireler aaları temsil etmetedir. Ön sağ aa, ön sol aa 2, ara sağ aa 3 ve ara sol aa 4 raamı ile numaralandırılmıştır. ve düna oordinat sistemini tanımlaan esenlerdir. Şeil 2: Şeil de gösterilen beş adımlı tırıs ilerlemee arşılı gelen SMN referans olu. SMN referansı ere basan çapraz aaların arasında oluşan hat üzerinde ilerlemetedir. Kesili çizgi ere basan aaların oluşturduğu hattı, notalı esili çizgi ise bir sonrai evrede ere basaa aaların hattını göstermetedir.

3 Asteris isimli altı baalı robot endisine özel uvarlanma ürüüşü aparen ağırlı merezi örüngesini oluşturma için önizlemeli ontrol ullanmatadır [7]. [8] dört baalı bir robotun çapraz baa deste safhalarında SMN riteri ve önizlemeli ontrolün düşü ilerleme hızlarında ullanıldığını rapor etmetedir. Bu bildiride, dört baalı bir robotun düz zemin üzerinde tırıs şelindei ilerlemesi için aa onum referansları ve dengeli bir SMN referans örüngesi önerilmete, DSM ve önizlemeli ontrolün ullanımı ile bu SMN örüngesinden RAM örüngesi oluşturmatadır. Aalar ve RAM arasında ters inemati problemlerinin çözümü ile elde edilen elem onum referansları bağımsız esen PID ontrolörlerin ullanımı ile izlenmetedir. Önerilen referans sentez sistemi ve ontrol apısı dört baalı ve 6 elemli bir robot modeli üzerinde üç boutlu ve tam dinamili simülason çalışmaları ile test edilmiştir.bildiri şu şeilde apılandırılmıştır: 2. Bölüm de tırıs ürüüş için önerilen SMN refreans örüngesinin hesaplanması anlatılmıştır, DSM nin özetlenmesi ve hesaplanan SMN örüngesinden önizlemeli ontrol ullanılara RAM örüngesi hesaplanması 3. Bölüm de ele alınmıştır. 4. Bölüm de, simülason sonuçlarına arılmıştır. Sonuçlar 5. Bölüm de sunulmatadır. 2. SMN Referans Yörüngesi Bu bildiride er düzlemine sabit bir düna oordinat sisteminin önü ürüüş önü olara abul edilmetedir. önü ürüüş önüne ditir ve z eseni die olara uarıı göstermetedir. Robot gövdesine sabitlenmiş bir diğer oordinat sisteminin esenleri düna oordinat sistemi ile anı önelimdedir. Yürüme başlangıında gövde oordinat sisteminin düna oordinat sisteminin tam üzerinde belli bir üselite olduğu varsaılmıştır. SMN örüngesinin oluşturulması için önelile aa basma erlerinin ve zamanlamalarının belirlenmesi gereir. Öndei ii aağın önü oordinatlarının ürüüşe başlamadan öne anı olduğu abulü ile aa basma onumları atanmıştır. Yürüüş bitiminde de öndei aaların önü oordinatlarının birbirine eşit olduğu abul edilmiştir. Anı abuller ara aalar için de apılmıştır. Son adım hariç her adımın bitiminde ön aalardan biri diğerinin bir adım bou önünde olaatır. Son adımda, geride alan ön aa diğerinin önü oordinatına getirilere durdurulur. Bu adımlama prensibi ara aalar için de geçerlidir. Adım bou için B sembolü ullanılmatadır. Solda bulunan aaların önü onum referansları birbirine eşit ve sabittir. A, bu sabit referans için ullanılan semboldür. Sağ andai aaların onum referansı A dır. Şeil beş adımlı bir ürüüş için aa basma notalarını göstermetedir. ırıs ürüüşte çapraz aalar anı anda ilerie doğru hareet etmetedir. İi aağın anı anda havada olması erde olan ii aa arasında çizgi şelinde bir deste hattı oluşmasını sağlar. Dengeli bir ürüüş için SMN örüngesinin bu hattın dışına çımaaa şeilde oluşturulması geremetedir. SMN in izlediği ol, havadai aaların ere basması ile oluşan eni deste hattı ile esi deste hattının esiştiği erden önünü eni deste hattını izleee şeilde değiştirere devam eder. Bu şeilde, - düzlemi üzerinde SMN in izleeeği referans ol oluşturulmuş olur (Şeil 2). Ana SMN örüngesinin tanımlanmasında bu ola e olara zamanlama bilgisine de ihtiaç vardır. Şeil 3: Şeil de gösterilen beş adımlı tırıs ilerlemee arşılı gelen SMN referansının ve omponentleri. Bu bildiride ürüüş önündei SMN omponentinin sabit bir hızla ilerlemesi önerilmetedir. Bu seçim ile elde edilen beş adımlı bir ürüüşe ait ve önü SMN referansları Şeil 3 te sunulmatadır. 3. Önizlemeli Kontrol ile RAM Referans Yörüngesi Hesaplanması SMN riteri bir ço robot araştırmasında ullanılmış ve abul görmüş bir metoddur [8]. DSM modeli robotun tüm dinamilerini içermeen, olduça basitleştirilmiş bir modeldir. DSM ullanılması ararlı referansların elde edilme işlemini alınlaştırabilir. DSM nde robotun gövdesinin, RAM da onsantre olmuş notasal bir ütle olduğu varsaılır. Bu nota erde hareet etmeen (amaan) bir notaa ütlesiz bir çubu ile bağlıdır. Bu ütlesiz çubu deste baağının idealleştirilmiş bir modelidir. Salınan baalar da ütlesiz varsaılmatadır. Şeil 4 DSM ni göstermetedir. Şeilde = ( ) notasal ütlenin oordinatlarıdır. DSM nde z z nin sabit olduğu abul edilmetedir. z i sabit abul edere ve önündei RAM denlemlerinin birbirine bağlılığı ortadan aldırılır. Ortaa çıan RAM denlemleri aşağıdai gibidir: p = ( z & () p = ( z g) & (2) Yuarıdai denlemde, g erçeimi sabiti ve z notasal ütlenin hareetinin sınırlandırılmış olduğu düzlemin üseliğidir. p ve p SMN oordinatlarıdır. () dei sonuç Şeil 5 üzerinde tor eşitliği azara bulunabilir. Verilen bir SMN örüngesinden RAM referans örüngesinin hesaplanması önemli bir problemdir. [9] bu problemi önizlemeli ontrol öntemi ile çözmei önermetedir. Bu çözüm için aşağıdai sistem tanımı ullanılmatadır.

4 d & + u dt = & (3) && && p [ ][ ] = z g & & (4) Bu sistemdei ontrol girişi u, RAM ivmelenmesinin zamana göre il türevidir. Sistemin çıışı önündei SMN onumudur. Kontrol girişi ullanılara öneden elde edilen (Bölüm 2) SMN referansı izlenmetedir. Sonuç olara sistem, SMN referansının izlenmesini sağlaaa RAM örüngesini hesaplamatadır. Sistemin ontrol öntemi uarıda da belirtildiği gibi önizlemeli ontroldür. Bu ontrol sisteminin ugulanması için öne (3-4) ün arı zamanda ifade edilmesi gereir: = A + Bu p = C (5) + [ ( ) & ( ) & ( ] = ) u = u ( ) p = (6) p ( ) A = [ 6 ] B 2 = C = [ z g] (7) Burada bit arı zaman endesidir. örneleme periodudur. (5-7) dei sistem tanımı, sadee durum değişeni vetörünü = [ ( ) & ( ) & ( ) ] ve sistem çıışını p = p ( ) olara değiştirme suretile önü SMN ve RAM ilişisini içeren bir tanıma dönüştürülebilir. Hesaplamalar ve önleri için birbirinden bağımsız olara arı arı apılır. Önizlemeli ontrolün lasi ontrol öntemlerinden farı çıışlarını oluştururen N L döngü ileridei referans değerlerine baması ve bu aralıta bir performans göstergesini (PG) minimize edee optimal ontrol girişini hesaplamasıdır. Optimal ontrol girişinin oluşturulabilmesi için Rosenthal ve omizua tarafından arı sistemler için bir öntem [23] geliştirilmiştir. Bu öntem Kataama tarafından [24] tamamlanmıştır. Aşağıdai performans göstergesi ve bu göstergeden ontrol girişi oluşturma metodu [24] da detalı bir şeilde anlatılmıştır. Kesili sistemi ontrol edee olan u fonsionunun optimizasonu aşağıdai PG araılığu ile gerçeleştirlmetedir. i= 2 { Q e( i) + ( i) Q ( i) + R u ( i } 2 J = ) (8) e ref Bu PG de e( i) = p i p i sistem çıışının referansı taip etme hatasıdır. = durumların değişimini gösteren bir vetör ve u = u u girişin değişimini gösteren bir vetördür. Qe ve R sıfırdan büü salar değerlerdir (ço giriş ve çıışlı sistemlerde bu değerler matri olaatır) ve Q 3 3 pozitif tanımlı, simetri, bir matristir. (8) dai PG i minimize edee optimal giriş, her örneleme anında N L döngü ileri baan bir önizlemeli ontrol metodu düşünüldüğünde şu şeildedir [9,24]: u = G i i= N L ref e( ) G ( ) G ( j) p ( + j) (9) j= Burada G i, G ve G p ( j) atsaıları, Q e, Q, R ve (5) tei sistem parametrelerinden hesaplanan önizlemeli ontrol azançları olara tanımlanmıştır. Şeil 6 da görüldüğü gibi önizleme ontrol azanı G p ( j).6 sanieden sonra sıfıra ço aındır. Dolaısıla [9] da da değinildiği üzere N L i.6 olara seçme ugundur. Anlatılan önizlemeli ontrol metodu ile sistemin SMN i, tanımlanan SMN referansını taip edeetir. Bu süreç bouna oluşan sistem durumları vetörünün pozison elemanının adedilmesi ile RAM referans örüngesi elde edilmetedir. Şeil 7 de 5 adımlı bir tırıs ürümee ait SMN referansını ve önizlemeli ontrol ile bu referanslardan hesaplanan RAM referansını göstermetedir. Şeil 4: Doğrusal ters saraç modeli Şeil-5: or eşitliği şeması ( - z düzlemi için) Şeil 6: Önizlemeli ontrol azanı G p ( j) grafiği ( =. s, z =.64 m, p Q e =, 6 Q =, R = )

5 Şeil 7: Şeil de gösterilen beş adımlı tırıs ilerlemee arşılı gelen SMN ve RAM (esili eğri) referans örüngeleri. 4. Simülason Sonuçları Bu bildiride bahsi geçen dört baalı robotun her bir baağında dört serbestli dereesi bulunmatadır. Şeil 8 de görüldüğü gibi, robotun alçasında ii, dizinde ve bileğinde birer serbestli dereesi bulunmatadır. Bağlantı uzunluları ve dört baalı robotun bağ uzunluları ve ağırlıları ablo de verilmiştir. Simülasonlar bu robot üzerinde 2. ve 3. Bölümlerde anlatılan tenilerle elde edilen RAM referanslarıla gerçeleştirilmiştir. Yürüme önündei aa onum referansları referansları, Şeil de gösterilen aa basma notaları arasında uzun adımlarda u süreli ve ısa adımlarda süreli enterpolasonlarla elde edilmiştir. Bu enterpolasonlarda sinüsoidal fonsionlar ullanılmıştır. Aaların erden almaları ve inmeleri için z önünde ine sinüsoidal aa onum referansları ullanılmıştır. Elem onum referansları, RAM ve aa artezen onum referansları arasında ters inemati problemlerinin çözülmesi olula elde edilmiştir. Şeil 9 da animason ortamından bir görünüm sunulmuştur. Simülasonda zemin teması uarlanabilir ezalandırma temelli bir öntem ile sağlanmıştır. [25], simülason algoritmasının ve zemin teması modellemesinin detalarını içermetedir. Referans oluşturmada ullanılan değişenler ablo 2 de gösterilmiştir. Şeil, adımlı bir tırıs ürüüş simülasonu sırasında adedilen robot gövdesi uvarlama ve unuslama açılarını sunmatadır. Bu açıların genlileri ararlı bir ürüüş gerçeleştiğini göstermetedir. ablo : Simulason Modeli Parametreleri Bağ Boutlar(BEY) [m] Kütle[g] Gövde Ulu Baldır Bile Şeil 8: Elem erleşimi Şeil 9: Animason ortamı ablo 2: Referans Sentez Parametreleri Sembo anım Değer Kısa adım süresi.25 s u Uzun adım süresi,5 s A önü aa basma onumu.25 m B Adım uzunluğu.6 m h s Adım üseliği.8 m Şeil : adımlı bir tırıs simulasonu sırasında adedilen gövde uvarlanma ve unuslama açıları

6 5. Sonuçlar Bu bildiride dört baalı bir robotun tırıs şelinde ilerleişi için ararlı bir sıfır moment notası örüngesi oluşturulmuştur. Robotun sıfır moment notası ile ağırlı merezi arasındai ilişi DSM ile modellenmiştir. Robotun ağırlı merezi örüngesini oluşturma için, sıfır moment notası örüngesine önizlemeli ontrol ugulanmıştır. Robotun her bir eleminin örüngesi ağırlı merezi örüngesi ile aa onumreferansları arasında ters inemati çözülmesi ile elde edilmiştir. Önerilen SMN tabanlı referans ile dört baalı bir robotun ürüme simülasonu apılmıştır. Simüle edilen robot, 6 m li adımlarla dengeli bir tırıs ilerlemesi sergilemiştir. Simülason sonuçları, oluşturulan SMN örüngesinin denelerde ullanımını motive etmetedir. 6. Kanaça [] S. Hirose, Y. Fuuda, K. Yoneda, A. Nagaubo, H. suagoshi ve K. Ariawa, et al. Quadruped Waling Robots at oo Institude of ehnolog. IEEE Robotis and Automation Magazine, s:4-4, 29. [2] S. Hirose, K. Yoneda, R. Furua, ve. aagi, Dnami and stati fusion gait of a quadruped waling vehile, In Pro. of IEEE/RSJ Int. Conf. on Intelligent Robots and Sstems 89, s:99-24, 989. [3] K. Yoneda, H. Iiama ve S Hirose, Intermittent rot Gait of a Quadruped Waling Mahine Dnami Stabilit Control of an Omnidiretional Wal In Pro. Int. Conf. on Robotis and Automation, s:32-37, 996. [4] K. Yoneda ve S. Hirose, Dnami and stati fusion gait of a quadruped waling vehile on a winding path, Advaned Robotis, s:25-36, 994. [5] R. Kurazume, K. Yoneda ve S. Hirose Feedforward and feedba dnami trot gait ontrol for quadruped waling vehile, Autonomous Robots, Cilt: 2, No: 2, s:57-72, 22. [6] H. aeuhi, Real ime Optimization for Robot Control using Reeding Horizon Control with Equal Constraint, Journal of Robotis Sstems, Cilt: 2, s:3-3, 23. [7] H. Osumi, S. Kamia, H. Kato, K. Umeda, R. Ueda ve. Arai, ime optimal ontrol for quadruped waling robots, IEEE International Conferene on Robotis and Automation, s:2-8, 26. [8] M. Vuobratovi, B. Borova, D. Surla, and D. Stoi, Biped Loomotion: Dnamis, Stabilit and Appliation. Berlin, German: Springer-Verlag, 99 [9] S. Kajita, F. Kahehiro, K. Kaneo, K. Fujiwara, K. Harada, K. Yooi ve H. Hiruawa, Biped Waling Pattern Generation using Preview Control of the Zero- Moment-Point,, Proeedings of IEEE International Conferene on Robotis and Automation, Cilt:2, s:62-626, 23. [] K. Sorao,. Muraami ve K. Ohnishi, A Unified Approah to ZMP and Gravit Center Control in Biped Dnami Stable Waling, Proeedings of IEEE ASME Int. Conf. Adv Intelligent Mehatronis, CD-Rom,987. [] J.H.Par, ve Y.K. Rhee, ZMP rajetor Generation for Redued run Motions of Biped Robots Pro. IEEE IRSJ Int. Conf Intelligent Robots and Sstems, IROS 98 s:9-95, 998. [2] K. Erbatur ve O. Kurt, Natural ZMP trajetories for Biped Robot Referene Generation, IEEE ransations on Industrial Eletronis, Cilt: 56, No: 3, 29. [3] E. asiran, M. Yilmaz, O. Koa, U. Seven ve K.Erbatur, rajetor Generation with Natural ZMP Referenes for the Biped Waling Robot SURALP, IEEE International Conferene on Robotis and Aut. s: , 2. [4] H. aeuhi, Development of MEL HORSE, IEEE International Conferene on Robotis and Automation s:365 37, 2. [5] W. Pengfei, H. Bo ve S. Lining, Waling researh on multi-motion mode quadruped bioni robot based on moving ZMP, IEEE International Conferene on Mehatronis & Automation, Cilt:4, s:935-94, 25. [6] M. Kalarishnan, J. Buhli, P. Pastor, M. Mistr ve S. Shaal, Fast, robust quadruped loomotion over hallenging terrain, IEEE International Conferene on Robotis and Automation, s: , 2. [7] C. heeravithaangura,. aubo, K. Ohara, Y. Mae ve. Arai, Dnami Rolling-wal Motion b Limb Mehanism Robot ASERISK, IEEE International Conferene on Mehatronis and Automation, s: , 29. [8] K. Bl, A. Sholni, S. Prentie, N. Ro ve R. edra, Reliable Dnami Motions for a Stiff Quadruped, Springer ras in Advaned Robotis, Cilt:54, s:39-328, 29 [9] J. Y. Kim, I. W. Par, J. H. Oh, Waling Control Algorithm of Biped Humanoid Robot on Uneven and Inlined Floor, J Intell Robot Sst (27) 48: , Januar 27 [2] K. Erbatur, U. Seven, E. asiran, Ö. Koa, M. Yilmaz, G. Kızıltas, M. Ünel, A. Sabanovi, A. Onat, "SURALP: A New Full-Bod Humanoid Robot Platform", IEEE/RSJ International Conferene on Intelligent Robots and Sstems, IROS 29, St. Louis, MO, USA, Eim 29. [2] [4] Y. Choi, B. J. You, and S. R. Oh, On the stabilit of indiret ZMP ontroller for biped robot sstems, Pro. of Int. Conf. on Intelligent Robots and Sstems, pp: , vol.2, Sendal, Japan, June 24. [22] B. Verrelst, O. Stasse, K. Yooi, B. Vanderborght, Dnamiall Stepping Over Obstales b the Humanoid Robot HRP-2, Pro. IEEE/RAS International Conferene on Humanoid Robots, Cenova-Itala, Aralı 26 [23] M. omizua, Rosenthal, D.E, On the Optimal Digital State Vetor Feedba Controller with Integral and Preview Ations, rans. of the ASME, J. of Dn. Ss. Meas. Contr.,, pp.72-78, 979. [24]. Kataama, Ohi,., Inoue,. and Kato,., Design of an Optimal Controller for a Disrete ime Sstem Subjet to Previewable Demand, Int. J. Control, Vol.4, No.3, pp , 985. [25] K. Erbatur, A. Kawamura, A New Penalt Based Contat Modeling and Dnamis Simulation Method as Applied to Biped Waling Robots, CD Pro. FIRA World Congress 23,Vienna, Austria