2. BÖLÜM: TEKNOLOJİ ve MALİYET

Transkript

1 Mikroiktisat Ders Notları Nazım K. Ekinci 1 2. BÖLÜM: TEKNOLOJİ ve MALİYET Bu bölümde üretici diyeceğimiz karar biriminin teknolojik kısıtlarını ortaya koyacağız. Teknolojik kısıdı genel olarak tanımladıktan sonra teknolojik kısıtları bir üretim fonksiyonu ile göstererek bu fonksiyonların özelliklerini ele alacağız. Sonra teknoloji ile maliyet ilişkisini göreceğiz. 2.1 Üretim Olanakları Kümesi ve Üretim Fonksiyonu Üretim belirli bir dönem içinde girdi diyeceğimiz bazı mal ve hizmetlerin belirli oran ve biçimlerde kullanılması ile çıktı diyeceğimiz başka bir malın belirli bir miktarının üretilmesidir. Bunu şematik olarak: Girdiler... [P]... Çıktı olarak gösterebiliriz. Burada [P] üretim süreci demek olup çıktının üretilmesi için gerekli teknolojik ve sosyal örgütlenmeyi ifade eder. Örneğin (un, su, ısı) kullanarak ekmek bilinen tarihin hemen her döneminde üretilmiştir. Ama ekmeğin evde odun ısısıyla tandırda üretilmesi ile modern fırınlarda elektrik enerjisi ve ücretli emek kullanılarak üretilmesi farklı teknolojik ve sosyal örgütlenmeler ifade eder. Biz burada [P] sürecinin ifade ettiği örgütlenmeyi veri alarak girdiler ve çıktı arasındaki ilişkiyi ele alacağız. Girdileri (x 1, x ı, x 3,..., x n) gibi bir vektörle, çıktıyı Q ile gösterirsek, süreci (x 1, x ı, x 3,..., x n)... [P]... Q olarak gösterebiliriz. Girdiler ve çıktı bir dönem itibariyle ölçülen akım değişkenlerdir. Burada x i bir i girdisinin dönem içinde kullanılan miktarını, Q ise dönem içinde ilgili malın çıktısının miktarını gösterir. Örneğin, (1 ton/ay un, 1 ton/ay su, 1000 kw/ay elektrik, 5 işçi/ay)... [P] ekmek/ay şeması bir ay boyunca ilgili miktarlarda girdiler kullanıldığında 1500 ekmek üretilebileceğini söylemektedir. Döneme ve girdilerin birimine ilişkin bir karışıklık olmadığı sürece üretim sürecini kısaca (1, 1, 1000, 5)... [P] olarak yazabiliriz. Genel olarak teknikler (Q, x 1, x 2, x 3,..., x n) biçiminde gösterilir. Bu gösterimde negatif olanlar girdi, pozitif olanlar çıktıdır. Buna göre son örnekteki tekniği (1500, 1, 1, 1000, 5) olarak yazabiliriz. Bunun gibi teknolojik olarak mümkün olan girdi çıktı bileşimlerine yapılabilir teknik diyeceğiz. Benzer şekilde (2000, 1.5, 1.5, 1300, 5) yapılabilir bir teknik ise (bir ay boyunca) 1.5 ton un, 1.5 ton su, 1300 kw elektrik ve 5 işçi kullanarak 2000 ekmek üretilebilmek mümkündür. Her teknik yapılabilir değildir. Örneğin, diyelim, (3000, 1.5, 1.5, 2000, 5) yapılabilir değilse (bir ay boyunca) 1.5 ton un, 1.5 ton su, 2000 kw elektrik ve 5 işçi kullanarak 3000 ekmek üretilemeyecek demektir. Buradan, Y = Üretim Olanakları Kümesi = {(Q, x 1, x 2, x 3,..., x n) yapılabilir tekniktir} tanımlaması yapıyoruz. Üretim olanakları kümesi üreticilerin tabi olduğu teknolojik kısıtı gösterir. Bu küme içinde yer almayan teknikler kullanılamaz. Şimdi x o = (x 1o, x 2o, x 3o,..., x no) bir girdi bileşimi (vektörü) olmak üzere (Q o, x o ) yapılabilir bir teknik olsun. Eğer Q o miktarını x o = (x 1o, x 2o, x 3o,..., x no) girdi miktarlarından daha az girdi kullanarak; ya da x o girdi miktarları ile daha fazla çıktı üreten teknikler yoksa (Q o, x o ) etkin bir tekniktir diyeceğiz. Örneğin, (Q o, x o) = (1, 1, 1) ve (Q o, x 1) = (1, 1, 0.9) teknikleri yapılabilir ise, (1, 1, 1) etkin bir teknik değildir. Çünkü bir birim çıktıyı en az bir girdiden daha az (burada ikinci girdiden 1 yerine 0.9 birim) kullanarak üretmek mümkündür. Benzer şekilde yapılabilir bir (Q 2, x 1) = (1.1, 1, 0.9) tekniği var ise (Q o, x 1) = (1, 1, 0.9) tekniği de etkin değildir. Çünkü aynı girdi miktarları ile

2 2 daha çok üretmek mümkündür. Genel olarak bir (Q o, x o ) etkin değilse, (Q 1, x 1 ) (Q o, x o ) olacak şekilde (Q 1, x 1) yapılabilir tekniği var demektir. Özetle: Yapılabilir bir üretim tekniği etkin ise, tekniğin ifade ettiği çıktı miktarını tekniğin ifade ettiği girdi miktarlarından daha az girdi kullanarak üretmek; ya da tekniğin ifade ettiği girdi miktarları ile tekniğin ifade ettiği çıktı miktarından daha fazlasını üretmek mümkün değildir diyebiliriz. Buradan Y* = {(Q, x 1, x ı, x 3,..., x n) etkin tekniktir} etkin teknikler kümesi tanımlaması yapabiliriz. Etkin teknikler kümesi içinde her teknik için tekniğin ifade ettiği girdi bileşimine bir ve yalnız bir çıktı miktarı karşılık geleceğine göre (neden!) Y* üzerinde Q = F(x 1, x ı, x 3,..., x n) üretim fonksiyonunu tanımlayabiliriz. Buna göre üretim fonksiyonu bize her girdi bileşimi için üretilebilecek maksimum çıktı miktarını gösterir. Son örnekte (1.1, 1, 0.9) etkin bir teknik ise 1.1 = F(1, 0.9) olur. Özetlersek: Üretim fonksiyonu etkin teknikler için tanımlanan ve üretimin tabi olduğu teknolojik kısıtları ifade eden bir ilişkidir ve her girdi bileşimi için üretilebilecek maksimum miktarı gösterir. 2.2 Tek Girdili Üretim Fonksiyonları İktisadi analizde en basit düzeyde üretimin tek bir girdi ile yapıldığı durum ele alınır. Emek her üretim sürecinde yer alacağına göre, tek girdili fonksiyonu, L homojen emek miktarını göstermek üzere Q = F(L) olarak yazabiliriz. Burada emek girdisinin homojen olduğu varsayımının kısıtlayıcılığına dikkat ediniz. İki mühendis, üç tornacı ve beş düz işçinin yer aldığı bir süreçte 10 kişi çalışıyor olmakla birlikte, üretim fonksiyonunda yer alacak şekilde homojen bir L miktarı tanımlamanın zorluğu açıktır. Biz burada bu zorluğun aşıldığını varsayarak L değişkeninin saat/dönem birimiyle ölçülebilir olduğunu düşüneceğiz. Buna göre L =100 ise, diyelim, haftada 100 saat emek girdisi kullanan bir süreç söz konusudur. F(L) fonksiyonu bize her L miktarına karşı gelen maksimum çıktı miktarını gösterir. Tipik bir F(L) fonksiyonu Şekil 2.1 de gösterilmiştir. Fonksiyon L = 0 için Q = 0 değerini alır, yani girdi kullanmadan üretim yapılamaz. Öte yandan, L o gibi bir girdi düzeyinde üretilebilecek en yüksek çıktı miktarı Q o dir. Şimdi üretim teorisinin en sık kullanılan iki kavramını tanımlayacağız. Öncelikle emeğin ortalama ürününü (ya da ortalama verimliliğini), AP L = Q L olarak, yani birim emek başına düşen çıktı miktarı olarak, tanımlıyoruz. Buradan Q = AP LL olacağı açıktır. Şekil 2.1'de L o girdi kullanım düzeyinde ortalama verimlilik OA doğrusunun eğimidir. Dikkat edilirse daha yüksek (düşük) girdi kullanım düzeyinde OA daha yatık (dik) olacaktır: Şekil 2.1 de gösterilen içbükey üretim fonksiyonunun azalan ortalama üretkenlik özelliği vardır: girdi kullanımı arttıkça bir birim emeğe düşen çıktı azalır. İkincisi, emeğin marjinal ürününü (üretkenliğini) (MP L) MP L = Q L olarak, yani girdi miktarında meydana gelecek marjinal bir değişikliğin yaratacağı çıktı değişmesi

3 Mikroiktisat Ders Notları Nazım K. Ekinci 3 olarak, tanımlıyoruz. Burada ΔL girdi miktarındaki marjinal değişiklik, ΔQ ise buna karşı gelen çıktı değişimidir. Buna göre, ΔQ = MP LΔL olur. Burada MP L pozitiftir: girdide (marjinal) bir artış çıktıyı arttırır. temel varsayımını yapıyoruz. Marjinal ürünün üretim fonksiyonunun eğimi olduğu açıktır. Buna göre Şekil 2.1 de L o noktasında emeğin marjinal ürünü fonksiyona o noktada teğet olan DC doğrusunun eğimidir. Şeklin incelenmesinden görüleceği gibi L o noktasının sağında (solunda) bir noktada teğet doğrunun eğimi daha yatık (dik) olacaktır. Öyleyse Şekil 2.1'de gösterilen içbükey üretim fonksiyonunun azalan marjinal ürün özelliği vardır. Öte yandan Şekil 2.1'de OA doğrusu teğet DC doğrusundan daha dik olduğuna göre Şekil 2.1'de gösterilen içbükey üretim fonksiyonu için AP L > MP L dir. Q Qo D A C F(L) O Lo Şekil 2.1 İçbükey Üretim Fonksiyonu L İçbükey üretim fonksiyonu için marjinal ve ortalama ürün fonksiyonları Şekil 2.2'de gösterilmiştir. MPL, MP AP L Şekil 2.2 İçbükey Üretim Fonksiyonu için Ortalama ve Marjinal Ürün Eğrileri

4 4 Tek girdili üretim fonksiyonlarının doğrusal (Şekil 2.3) ya da dışbükey (Şekil 2.4) olduğu durumlar olabilir. Doğrusal tek değişkenli üretim fonksiyonu Q = al, a > 0, biçiminde yazılabilir. Bu fonksiyon için AP L = a = MP L olacağı açıktır: doğrusal üretim fonksiyonları için ortalama ve marjinal ürünler biri birine eşit ve sabittir (Şekil 2.3). Q MP L, AP L F(L) a MP L = AP L Şekil 2.3 Doğrusal Üretim Fonksiyonu L L Öte yandan Tek değişkenli dışbükey bir üretim fonksiyonu için MP L > AP L ve artan marjinal ve ortalama ürün özelliği olacaktır (Şekil 2.4). Q MP L, AP L MP L F(L) AP L a L L Şekil 2.4 Dışbükey Üretim Fonksiyonu Örnek 2.1 a) İçbükey bir üretim fonksiyonuna örnek olarak Q = L a, 0 < a < 1 fonksiyonunu verebiliriz. Buradan AP L = Q/L = L a 1 MP L = al a 1 elde ederiz (MP L yi üretim fonksiyonunun L ye göre türevini alarak hesapladığımıza dikkat ediniz). Burada a < 1 olduğuna göre MP L ve AP L azalan fonksiyonlardır ve MP L < AP L olur.

5 Mikroiktisat Ders Notları Nazım K. Ekinci 5 2. Dışbükey bir üretim fonksiyonuna örnek olarak Q = L a, a > 1 fonksiyonunu verebiliriz. Buradan AP L = Q/L = L a 1 MP L = al a 1 elde ederiz (MP L yi üretim fonksiyonunun L ye göre türevini alarak hesapladığımıza dikkat ediniz). Burada a > 1 olduğuna göre MP L ve AP L artan fonksiyonlardır ve MP L > AP L olur. İktisat ders kitaplarında marjinal ve ortalama ürün eğrileri genellikle Şekil 2.5 te olduğu gibi U- biçimli (ya da çan) eğrileri biçiminde gösterilir. Yukarıdaki açıklamalarımızdan bu eğrilere karşı gelen teknolojinin L < L* olduğu sürece dışbükey olduğunu (çünkü bu aralıkta MP L > AP L dir), girdi kullanımı tam olarak L* olduğunda doğrusallaştığını (çünkü bu noktada MP L = AP L dir) ve L > L* için ise fonksiyonunun içbükey olduğunu (çünkü bu aralıkta MP L < AP L dir) çıkarabiliriz. MPL, APL L* Buna göre başlangıçta marjinal ve ortalama verimlilik artıyor olsa bile sonunda marjinal ve nihayet ortalama ürün azalmaya başlayacaktır. Bu da iktisadi analizde nihai olarak azalan verimler yasası olarak bilinir. Son olarak MP L eğrisinin AP L eğrisini eğrinin tepe noktasında, yani AP L nin maksimum değeri aldığı noktada kestiğini belirterek bu bölümü kapatıyoruz. Çünkü herhangi bir ortalama, marjinal ortalamadan büyükse artar, marjinal ortalamadan küçükse azalır (beş kişilik bir sınıfta öğrencilerin ortalama ağırlığı 80 kg iken sınıfa katılan altıncı (marjinal) öğrencinin ağırlığı 80 kg dan fazlaysa yeni ortalama ağırlık artar, azsa azalır). Dolayısı ile MP L > AP L olduğu sürece ortalama artıyor, MP L < AP L olduğunda ise azalıyor olacaktır. Öyleyse, ortalama artıştan azalışa geçtiğinde en yüksek değere ulaşmış ve MP L = AP L olmalıdır Maliyet MPL Bütün karar alma problemleri son tahlilde kazanç/fayda ile maliyetin karşılaştırılmasına dayanır. Maliyet kavramını bu açıdan ele alırsak fırsat maliyeti kavramına geliriz. Muhasebe anlamında maliyet doğrudan yapılan ödemeler, tarihi maliyet üzerinden yapılan amortisman hesaplamaları gibi muhasebe kayıtlarını içerir. Örneğin yanında iki işçi çalıştıran bir torna usta/patronu bir ay boyunca 50 TL işyeri kirası, 20 TL elektrik faturası ve işçilerine 200 TL ücret ödüyorsa, bu işletmenin aylık 1 Daha formel olarak AP = Q/L nin L ye göre türevi (MP L Q)/L 2 = (MP AP)/L olduğuna göre MP > AP iken türevin pozitif, MP < AP iken negatif olduğu görülür. APL Şekil 2.5. U-Biçimli MP ve AP Eğrileri L

6 6 maliyetini 270 TL olarak hesaplayacaktır. Buna torna makinesi için, yasal olarak kabul edilmiş uygun bir yöntemle, makinenin tarihi maliyeti üzerinden hesaplanan aylık amortisman maliyetini (30 TL diyelim) de ekleyerek 300 TL rakamına ulaşılır. Bu şekilde hesaplanan maliyet vergi hesaplamaları için kabul edilebilir olmakla birlikte, iktisadi analiz için yetersizdir. Diyelim ustamız aylık 400 TL ciro yapmaktadır. Vergi matrahı açısından 100 TL gelir beyan edecektir ve varsayalım ki bu miktar vergiden muaftır. Buna göre ustanın aylık net geliri 100 TL olur. Çalıştırdığı işçiye ayda 100 TL öderken kendisi usta olarak çalışmasına ve torna makinesinin sahibi olmasına karşılık 100 TL kazanmaktadır. Bu iyi bir ticaret midir? Neden? İşte iktisadi maliyet kavramı bu tür sorulara cevap olabilecek ve buna bağlı karar alabilmeye, yani seçim yapabilmeye, temel oluşturacak bir kavram olmalıdır. İktisadi maliyet karar almaya esas olacak bir hesaplama olmalıdır. Ustanın bu soruyu doğru cevaplayabilmesi için Bu işi yapmazsam yerine ne yapabilirim? sorusunu sorması, yani alternatifler cinsinden düşünmesi gerekir. Vazgeçilen alternatifler cinsinden maliyete fırsat maliyeti diyoruz. Usta için makul bir alternatifin torna makinesini satıp parasını faiz kazandıran bir varlıkta değerlendirmek, kendisi de başka bir işyerinde tornacı olarak çalışmak olduğunu düşünelim. Usta torna makinesini 10 yıl önce TL ye almış olabilir. Ama bugün itibariyle yapacağı hesapta faiz kazandıran varlığa yatırabileceği miktar makinenin bugünkü değeridir. Diyelim makinesi bugün 5000 TL eder. Varsayalım ki bu miktar ayda 50 TL faiz kazandırabilir. Gene varsayalım ki usta tornacı olarak ayda 150 TL maaşla hemen iş bulabilir. Buna göre ustanın torna makinesinin sahibi olmasının fırsat maliyeti 50 TL, tornacı olarak kendi işinde çalışmasının fırsat maliyeti ise 150 TL dir. 2 Kısaca, usta işini tasfiye ederse ayda 200 TL net gelir elde edebilecektir. Bu doğrudan ödenen bir miktar olmamakla birlikte ustanın en iyi alternatif kullanımda elde edebileceği miktardır ve iktisadi maliyet hesaplamasında yer almalıdır. Sürdürdüğümüz örnek Tablo 6.1'de özetlenmiştir. Tabloda izafi kalemler gerçekleşen ödemeleri değil, ustanın elindeki varlıkların en iyi alternatif kullanımda kazanabileceği miktarları gösterir. İzafi ücret gideri satırını ustanın hemen güvenceli bir iş bulabileceği varsayımıyla doldurduk. Eğer iş piyasasında durum bir torna ustasının güvenceli bir iş bulmasına müsait değilse, yani usta işini tasfiye edince işsiz kalacaksa, ustanın kendi işinde çalışmasının iktisadi ya da alternatif maliyeti sıfırdır. Bu durumda izafi ücret giderleri de sıfır olacaktır. Benzer şekilde 10 yıllık bir torna makinesi ikinci el piyasada ancak hurda fiyatına satılabiliyorsa, izafi faiz (kira) gideri de sıfır olabilir. İzafi kira gideri işletmenin sermaye mallarının en iyi alternatif kullanımda kazanabileceği miktardır. Yukarıda örneği kurarken bunu sermaye mallarının bugünkü değerleri üzerinden kazanabilecekleri faiz gibi düşündük. Aslında söz konusu olan sermaye mallarının kira bedelidir. Usta şöyle de düşünebilirdi: Torna makinesini kiralamış olsam (ya da ben makinemi başkasına kiraya versem) aylık maliyeti ne olurdu? Makineyi satmakla elde edilecek faiz geliri ve kiralamak yoluyla elde edilecek gelirlerinin aslında aynı şeyler olacağını, ya da en azından birlikte hareket edeceğini, düşünebiliriz (eğer kira gelirleri çok düşükse, makinenin ikinci el satış fiyatı ve kazanabileceği faiz de düşük olurdu). 2 Kendi patronu olmanın da (bunun sağladığı görece yüksek iş güvencesi ile birlikte) bir değeri vardır ve iktisadi maliyetin bir parçasıdır. Bu örnekte ustanın kendi işinde çalışmasının maliyeti ayda 150 TL eksi kendi patronu olmaya atfedilen öznel değer olmalıdır ama bunu ihmal ediyoruz.

7 Mikroiktisat Ders Notları Nazım K. Ekinci 7 Tablo 6.1 Muhasebe Maliyeti İktisadi Maliyet Ücretler 200 Ücretler 200 Kira 50 Kira 50 Girdiler 20 Girdiler 20 Amortisman 30 İzafi Kira Giderleri 50 İzafi Ücret Giderleri 150 TOPLAM (A) 300 TOPLAM (A) 470 HASILA (B) 400 HASILA (B) 400 Kâr/Zarar (B A) 100 Kâr/Zarar (B A) 70 Özetlersek: Bir girdinin iktisadi maliyeti girdinin en iyi alternatif kullanımında elde edeceği getiriye, yani girdinin fırsat maliyetine eşittir. Bunu eşdeğer olarak bir girdinin iktisadi maliyeti girdiyi mevcut kullanımında tutmak için gerekli ödemedir diye de ifade edebiliriz. Bu iki ifade eşdeğerdir çünkü girdi bir alternatif kullanımda mevcut kullanımından fazla kazanabiliyorsa, uzun süreyle mevcut kullanımında tutulamazdı. Fırsat maliyeti kavramı temel bir kavramdır çünkü iktisadi kararlar fırsat maliyeti üzerinden alınır. Örneğin, tüketici teorisinde önemini vurguladığımız göreli fiyat, p x/p y, x malının y malı cinsinden fırsat maliyetidir. Tüketicinin kaynağı parasal geliridir ve bunu x malı almak için kullandığında vazgeçtiği en iyi alternatif kullanımı y malı almaktır. Fırsat maliyeti ancak alternatifler dolayısı ile de seçme olanağı varsa tanımlıdır. Buradan hareketle kavramla ilgili şu temel prensipleri sıralayabiliriz: Alternatifi olmayan bir işlemin fırsat maliyeti sıfırdır. Dolayısı ile kaçınılamayan bir maliyet fırsat maliyeti ya da iktisadi maliyet anlamında maliyet değildir. Çünkü bir maliyetten kaçınamama ancak alternatifsizlikten olabilir. Alternatifi olan her maliyet kaçınılabilirdir. A ve B gibi iki seçenek arasında seçim yaparken bu seçimden etkilenmeyen bir maliyet varsa bu maliyet A ve B arasındaki seçimi etkilememelidir. Çünkü karardan etkilenmeyen bir maliyet (ilgili karar çerçevesinde) kaçınılmazdır ve iktisadi, yani karara esas olan, bir maliyet değildir. Usta işyerini kapatıp kapatmama kararıyla torna makinesini on yıl önce TL ye almış olduğu gerçeğinden kaçınamaz. Dolayısı ile de işyerini kapatıp kapatmama kararı da bu gerçekten etkilenmemelidir. Gelinen aşamada makine 5000 TL eder ve bunun mevcut kullanımındaki maliyeti, makineyi satmak ya da kiraya vermek yoluyla, kaçınılabilirdir. Verilecek karar da zaten mevcut kullanımındaki maliyetten kaçınıp kaçınmama (işyerine devam edip etmeme) kararıdır. Kaçınılamayan maliyetlere batık maliyet diyoruz. Batık maliyet geçmişte alınan kararların sonucudur ve cari kararlar geçmişe, yani kaçınılamayana, değil, ileriye dönük olarak bugün itibariyle var olan alternatiflerin değerlendirilmesiyle alınır. 2.4 Tek Girdili Üretim ve Maliyet Fonksiyonu İktisat teorisinin temel problemlerinden birisi maliyet minimizasyonu problemidir. Çünkü herhangi bir karar alma probleminde o karardan kaynaklanan maliyetleri en düşük düzeye indirmedikçe kazanılacak bir şey kalmadı diyemeyiz. Problem esas itibariyle bir kısıtlı optimizasyon problemidir ve çok genel bir şekilde ifade edilebilir. Buna göre problem bir faaliyeti belirli bir düzeyde tutacak şekilde en düşük maliyetli yolu bulmaktır. Örneğin bir okul binasında sınıflarda ortalama sıcaklığı 20 o C de tutmak için kalorifer sistemini gün içinde en düşük maliyetle hangi aralıklarla, kaç derecede

8 8 çalıştırılacağı problemi, bir maliyet problemidir. Bu problemde kısıt ortalama ısının 20 o C olması, amaç bunu en düşük maliyetle yapacak şekilde sistemi çalıştırmanın alternatifleri arasında seçim yapmaktır. Tek girdili durumda Q = F(L) olduğuna göre maliyet kullanılan girdinin fırsat maliyetidir. L girdisinin birim kira bedeli ya da (nominal) ücreti w TL olsun. L kadar girdi kullanmanın maliyeti wl olur. Burada L girdisi içinde firmanın sahibinin işgücü de hesaba katılır. Firma sahibi kendi mesaisi için doğrudan ödeme yapmayacaktır. Ama fırsat maliyeti prensibi gereği kendi emeğine de en az başkalarına ödediği kadar ücret ödediğini düşüneceğiz. Kısaca göre firma açısından L girdisinin fırsat maliyeti nominal ücrettir ve doğrudan ödeme yapılsın yapılmasın kullanılan toplam girdi miktarı hesaba katılmalıdır. Problemi bu şekilde tanımlamakla üretim sürecinde başka girdi kullanılmadığını ya da daha doğrusu kullanılan başka girdilerin maliyetlerinin fırsat maliyeti oluşturmadığını varsaymış oluyoruz. Bunu anlamı da varsa başka girdilerin maliyetlerinin bu problemde kaçınılamayacak maliyet olduğudur. Bu belirlemeyle maliyet problemi Q o kadar çıktıyı en ucuz üretme yolunu bulmaktır. Bunu da Min L wl k.a. F(L) = Q o olarak yazacağız: öyle bir girdi kullanımı seç ki Q o çıktısını üretmenin maliyeti en az olsun. Tek girdili durumda problemin çözümü gayet basittir. Tek girdili üretim fonksiyonu ile bir miktarı üreten tek bir etkin teknik olabilir. Örneğin, Şekil 2.1'de Q o miktarını etkin olarak üreten tek girdi miktarı L o dır. Açıktır ki bir Q miktarını üreten tek etkin yol aynı zamanda en ucuz yoldur. Dolayısı ile problemin çözümü L* üretilecek olan çıktıya bağlıdır ve bunu L*(Q) olarak gösterebiliriz. Öyleyse maliyet fonksiyonu C(w, Q) = wl*(q) olur. Burada anlatılmak isteneni en kolay doğrusal üretim fonksiyonu, Q = al (a > 0), ile gösterebiliriz. Buna göre, veri bir Q miktarını üretmenin tek etkin yolu L* = L(Q) = Q/a kadar girdi kullanmaktır. Öyleyse doğrusal teknoloji ile bir Q çıktısını üretmenin maliyeti C(w, Q) = wl* = (w/a)q olur. Bir Q çıktısını üretmenin en ucuz yolu kullanıldığında oluşan maliyeti gösteren C(w, Q) fonksiyonuna maliyet fonksiyonu denir. Buna göre maliyet ne kadar üretim yapılacağına ve girdi fiyatlarına bağlıdır. Girdi fiyatı veri iken Q miktarı C(w, Q) maliyetinden daha ucuz üretilemez. Maliyet fonksiyonu genellikle maliyet çıktı düzleminde gösterilir. Doğrusal üretim durumunda elde ettiğimiz maliyet fonksiyonu Şekil 2.6 de gösterilmiştir. C(w o, Q) fonksiyonu ücret w o düzeyinde sabitken maliyet ile çıktı arasındaki ilişkiyi gösterir. Üretim yapmamanın maliyeti sıfırdır (Q = 0 C = 0). Doğrusal üretim fonksiyonuna karşı gelen maliyet fonksiyonu çıktıda doğrusaldır. Çıktı Q o düzeyinden Q 1 düzeyine artınca maliyet C(w o, Q) maliyet fonksiyonu üzerinde aynı oranda artar (C o dan C 1 e). Maliyet fonksiyonu girdi fiyatı arttığında sola yukarıya döner (kayar), yani her çıktı düzeyinde maliyet artar. Örneğin, girdi fiyatı w o iken Q o üretmenin maliyeti C o, w 1 > w o girdi fiyatında ise C o 1 olur.

9 Mikroiktisat Ders Notları Nazım K. Ekinci 9 C C = C(Q, w1) = (w1/a)q Co 1 C = C(Q, wo) = (wo/a)q C1 Co Qo Q1 Q Şekil 2.6 Doğrusal Üretim ile Maliyet Fonksiyonu: Maliyet çıktıda doğrusal ve girdi fiyatlarıyla artıyor. Bu basit çerçeveden elde ettiğimiz sonuçlar teknolojik olanaklar ile maliyet arasında doğrudan bir ilişki olduğuna işaret ediyor. Bu ilişkiyi genellemek için önce Ortalama (birim) maliyet = AC = C Q Marjinal maliyet = MC = Q L kavramlarını tanımlıyoruz. Ortalama maliyet birim maliyettir. Marjinal maliyet ise üretimde marjinal bir artışın (ΔQ) yol açacağı maliyet artışını (ΔC) gösterir. Buna göre, C = AC Q (maliyet = ortalama maliyet çıktı) ΔC = MCΔQ (maliyette değişme = marjinal maliyet çıktıda değişme) olacaktır. Şimdi, ortalama ve marjinal maliyet ile ortalama ve marjinal ürün kavramları arasında bir ilişki kurabilirsek maliyet teknoloji ilişkisini de kurabiliriz. Ortalama Maliyet Ortalama Üretkenlik İlişkisi Önce, AP L = Q/L ve C = wl olduğuna göre C L w C wl w ya da Q Q AP L AC = C Q = w AP L sonucunu elde ederiz. Buna göre ortalama üretkenlik artıyorsa ortalama maliyet azalır ortalama üretkenlik sabitse ortalama maliyet sabittir ortalama üretkenlik azalıyorsa ortalama maliyet artar.

10 10 Marjinal Maliyet Marjinal Üretkenlik İlişkisi Firma (ΔL) kadar daha fazla girdi kullanırsa maliyeti ΔC = w.δl, çıktıyı ΔQ = MP L.ΔL kadar arttırır. O halde, MC = C Q = w L MP L L = w MP L olur. Öyleyse marjinal üretkenlik artıyorsa marjinal maliyet azalır marjinal üretkenlik sabitse marjinal maliyet sabittir marjinal üretkenlik azalıyorsa marjinal maliyet artar. Bu ilişkileri teknoloji bölümünde elde ettiğimiz sonuçlarla birleştirirsek C(w, Q) maliyet fonksiyonu için maliyet ile çıktı arasındaki ilişkiyi genel olarak ifade edebiliriz: içbükey teknoloji (MP L < AP L) dışbükey maliyet fonksiyonu (MC > AC) doğrusal teknoloji (MP L = AP L) doğrusal maliyet fonksiyonu (MC = AC) dışbükey teknoloji (MP L > AP L) içbükey maliyet fonksiyonu (MC < AC). Aşağıda bu durumlar için örnekler verilmiştir (Örnek 2.2). U biçimli MP ve AP eğrilerine (Şekil 2.5) karşılık gelen U biçimli ortalama ve marjinal maliyet eğrileri Şekil. 2.7 de gösterilmiştir. Buna göre MC < AC olduğu sürece AC azalmakta ve AC nin minimum (AP L nin maksimum) olduğu noktada MC = AC, sonrasında ise MC > AC dir ve AC artar. MC, AC MC AC Q* Q Şekil 2.7 U Biçimli MC ve AC Eğrileri Özetlersek: Maliyet çıktının artan fonksiyonudur, yani daha çok üretmenin maliyeti, aynı girdi fiyatında, daha fazladır. Üretim fonksiyonu doğrusal, içbükey veya dışbükey ise, maliyet fonksiyonu çıktıda, sırasıyla, doğrusal, dışbükey ve içbükeydir.

11 Mikroiktisat Ders Notları Nazım K. Ekinci 11 Girdi fiyatı arttığında maliyet her çıktı düzeyinde artar ki bunu da maliyet fonksiyonunun sola yukarıya kayması (dönmesi) ile gösteriyoruz (Şekil 2.6). Girdi fiyatlarında bir artış MC ve AC eğrilerini de yukarıya kaydıracaktır. Dolayısı ile daha yüksek girdi fiyatında marjinal ve ortalama (birim) maliyet her çıktı düzeyinde daha yüksek olur. Örnek Q = L 0.5 içbükey üretim fonksiyonu ile veri bir Q o üretmenin maliyet problemi Min L wl k.a. L 0.5 = Q o olur. Burada Q miktarını üretmenin tek etkin yolu L* = Q o 2 olduğuna göre minimum maliyet C = wl* = wq o 2 olur. Buradan genel maliyet fonksiyonu C(w, Q) = wq 2 elde edilir. Bu maliyet fonksiyonunun çıktıda dışbükey olduğuna dikkat ediniz. Bu örnekte ortalama ve marjinal maliyet fonksiyonlarını AC = C/Q = wq 2 /Q = wq MC = maliyet fonksiyonunun eğimi (Q ya göre türevi) = 2wQ olarak hesaplarız. Buna göre her düzeyde MC > AC dir. 2. Q = L 2 dışbükey üretim fonksiyonu ile veri bir Q miktarını üretmenin tek etkin yolu L* = Q 0.5 olacaktır. O halde maliyet fonksiyonu C(w, Q) = wq 0.5 olur. Bu maliyet fonksiyonu içbükeydir. Buradan AC = C/Q = wq 0.5 /Q = w/q 0.5 MC = maliyet fonksiyonunun eğimi = 0.5w/Q elde edilir. MC fonksiyonunu C(w, Q) fonksiyonunun Q ya göre türevini alarak hesapladığımıza dikkat ediniz. Buna göre MC < AC dir. 3. C(w, Q) = 1.5Q 3 6Q Q maliyet fonksiyonunu ele alalım. Buradan, AC = C/Q = 1.5Q 2 6Q + 10 MC = 4.5Q 2 12Q + 10 (maliyet fonksiyonunun Q ya göre türevi) buluruz. Q = 2 için AC = 4 ve MC = 4 olur. Q < 2 için AC > MC; Q > 2 içinse AC < MC olacaktır (Şekil. 2.7). Farklı Q değerleri için MC ve AC eğrilerini bir şekil üzerinde gösteriniz. 2.5 İki Girdili Üretim Fonksiyonları ve Marjinal İkame Oranı İki girdili üretim fonksiyonları homojen emek girdisi L ye ek olarak gene homojen ve bölünebilir bir sermaye girdisi (K) için Q = F(K, L) olarak yazılır. Burada belirtmek gerekir ki homojen ve bölünebilir bir K değişkeni tanımlamak emek girdisi için olduğundan daha sorunlu bir işlemdir. Bu soyutlamayı bazı temel sonuçların elde

12 12 edilmesini sağlayan kolaylaştırıcı bir varsayım olarak kabul etmek gerekecektir. Dikkat edilmesi gereken diğer bir husus ise K değişkeninin stok olarak ölçülen bir değişken olduğudur. Bir firmanın sermaye stoku firmanın değişik sermaye mallarından (bina, ambar, farklı makine ve teçhizat v.b.) oluşan stokunun değeri olarak tanımlanır (zaten bir K değişkeni tanımlamanın zorluğu da bu değerlemenin nasıl yapılacağına ilişkindir). Öte yandan, üretim fonksiyonunda sermayenin bir dönem için hizmetleri önemlidir. Nasıl 10 işçinin bir ay çalışmasını 2400 saat/ay ( ) olarak akım bir değişken olarak hesaba katıyorsak, örneğin bir torna makinesini da ayda 240 saat torna makinesi kullanımı olarak düşünmemiz gerekir. Bu husus maliyet konusuna gelindiğinde daha açıklık kazanacaktır. Dolayısı ile üretim fonksiyonunda K stok değişkeni ancak stok miktarı ile bunun yarattığı akım arasında sabit bir ilişki olduğu zımni varsayımıyla yer alabilir. Şimdi, üretim fonksiyonu etkin teknikleri içerdiğine göre her girdi kullanımına bir çıktı miktarı karşılık gelir. Ama farklı girdi kullanımları aynı çıktıyı üretebilir. Yani (K o, L o) ve (K 1, L 1) iki farklı girdi kullanımı olmak üzere Q o = F(K o, L o) ve Q o = F(K 1, L 1) olabilir. Aynı çıktıyı üretebilen farklı etkin teknikler varsa ikame olanağı doğar. Aynı çıktı miktarını üretebilen etkin girdi bileşenlerini gösteren eğriye eşürün eğrisi denir. Tipik bir eşürün eğrisi (Q o) Şekil. 2.8'da gösterilmiştir. Eşürün eğrisinin merkeze göre dışbükey olarak kabul edildiğine dikkat ediniz. Q o eşürün eğrisi üzerinde etkin (Q o, K, L) teknikleri yer alır. Buna göre Q o eşürün eğrisi üzerindeki A noktasındaki (K o, L o) girdi sepeti de, B noktasındaki (K 1, L 1) girdi sepeti de etkin tekniklerdir. Farklı iki etkin girdi kullanımı aynı çıktıyı üretiyorsa, girdilerden birini daha fazla kullanan teknik, diğerini daha az kullanıyor (K o > K 1 ise L o < L 1) olmalıdır. Dolayısı ile eşürün eğrisi negatif eğimlidir. Şekilde ayrıca Q 1 eşürün eğrisi de gösterilmiştir. Q 1 eşürün eğrisi her iki girdiyi de fazla kullanan tekniklere, dolayısı ile de daha fazla çıktı düzeyine karşı gelir. Böylece iki girdili üretim fonksiyonunu sağa/yukarıya hareket ettikçe daha yüksek çıktı düzeylerine karşı gelen eşürün eğrilerinden oluşan bir eşürün paftası ile gösterilir. K Ko A Q1 B Qo O Lo L Şekil. 2.8 Eşürün Eğrisi ve Faktör Yoğunluğu

13 Mikroiktisat Ders Notları Nazım K. Ekinci 13 Bir tekniğin sermaye yoğunluğunu K/L oranı ile tanımlıyoruz. A noktasındaki tekniğin sermaye yoğunluğu OA, B noktasındaki tekniğin sermaye yoğunluğu OB doğrusunun eğimidir. Buna göre A noktasındaki teknik, B noktasındakine göre, daha sermaye yoğun bir teknik; ya da B notasındaki teknik, A noktasındakine göre, daha emek yoğun bir tekniktir diyebiliriz. Genel olarak eşürün eğrisi üzerinde A noktasından başlayarak sağa aşağıya hareket ettiğimizde daha fazla emek, daha az sermaye kullanan (emek yoğun) tekniklere geçiş yapılır. Benzer şekilde A noktasından başlayarak eğri üzerinde sola yukarıya hareket ettiğimizde daha fazla sermaye, daha az emek kullanan (sermaye yoğun) tekniklere geçilir. Görüldüğü gibi aynı eşürün eğrisi üzerinde bir teknikten diğerine geçerek girdilerden birini daha az, diğerini daha çok kullanmak suretiyle girdiler arasında ikame yapmak olanaklıdır. Bu ikamenin yapılabildiği orana da marjinal teknik ikame oranı (MRTS) diyoruz: MRTS KL (L yerine K ikame etme oranı) aynı miktarda çıktı üretebilmek üzere vazgeçilen her (marjinal) birim L girdisi için kullanılması gereken K girdisi miktarını gösterir. Buna göre MRTS, diyelim 2 ise, (marjinal) bir birim daha fazla (az) L girdisi kullanıldığında 2 (marjinal) birim daha az (fazla) K girdisi kullanılırsa çıktı miktarı aynı kalır. MRTS nin tüketici teorisinde tanımladığımız MRS ile kavramsal olarak özdeş olduğu açıktır. MRS nasıl aynı fayda düzeyini sağlayan farklı mal sepetlerinin kümesi olan kayıtsızlık eğrisinin mutlak değerce eğimi ise, MRTS de aynı çıktı miktarını üretebilen farklı girdi sepetlerinin kümesi olan eşürün eğrisinin mutlak değerce eğimidir. Öyleyse Şekil. 2.8'da eşürün eğrisi üzerinde A noktasında MRTS eğriye o noktada teğet olan doğrunun eğiminin mutlak değeridir. Dikkat edilirse eşürün eğrisi üzerinde sağa/aşağıya hareket edildikçe emek yoğun bir tekniklere geçilir ve eğim mutlak değerce azalır. Tersine eşürün eğrisi üzerinde sola/yukarıya hareket edildikçe sermaye yoğun bir tekniklere geçilir ve eğim mutlak değerce artar. Bu özellik tüketici teorisinde olduğu gibi eşürün eğrisinin merkeze göre dışbükey olduğu kabulünden kaynaklanır: (Azalan MRTS prensibi) Eşürün eğrisi üzerinde K/L oranı azalıp (artıp) emek (sermaye) yoğun tekniklere geçildikçe MRTS azalır (artar). Şekil. 2.8'da eşürün eğrisi aralarında yumuşak geçiş yapılabilen sonsuz sayıda tekniği yani çok rahat ikame olanaklarını ifade eder ve eğri üzerinde hareket ettikçe (K/L) ve MRTS birlikte aynı yönde değişir. Buradan hareketle ikame olanaklarının bir ölçüsü olarak ikame esnekliği (σ) tanımlıyoruz: σ % (K/L) % MRTS Buna göre ikame esnekliği (K/L) oranındaki (sermaye yoğunluğu) yüzde değişmenin, MRTS deki yüzde değişmeye oranıdır. İkame esnekliği sıfır ile sonsuz arasında değerler alabilir: σ = 0 ise ikame olanağı yok demektir, σ arttıkça ikame olanakları artacaktır. a) Sabit Katsayılı Üretim Fonksiyonu Örnek 2.3 Bu üretim fonksiyonu Q = min[k/a, L/b]; a, b > 0 biçiminde yazılır ve bir (K, L) girdi bileşimi için çıktı K/a ve L/b den küçük olanına eşittir demektedir. Örneğin, a = 2, b = 2.5 ise, (K, L) = (2, 5) girdi bileşeni Q = min[2/2, 5/2.5] = min[1, 2] =

14 14 1 üretim yapar. Benzer şekilde (2, 2.5) girdi bileşeni de Q = 1 birim üretim yapar. Öyleyse (1, 2, 5) etkin bir teknik değildir. Aslında sabit katsayılı üretim fonksiyonu ile belirli bir çıktı üretmenin sadece bir etkin yolu vardır. Bir Q o için K o = aq o ve L o = bq o olacak şekilde (K o, L o) girdi bileşeni tek etkin tekniktir. Örneğin, a = 0.5, b = 2 ise, Q = 1 birim üretebilmek için K = aq = 0.5; L = bq = 2 olmalıdır. Herhangi bir girdiden daha az kullanarak, diğerinden çok fazla kullanılsa da, Q = 1 üretilemez. Dolayısı ile bu teknoloji için MRTS tanımsızdır. Q = min[k/a, L/b] üretim fonksiyonu Şekil. 2.9 de gösterilmiştir. Q o için eşürün eğrisi tek bir noktadan (K o, L o) = (aq o, bq o) oluştuğuna göre Şekil. 2.9'de Q o için tek bir etkin teknik vardır ve bu da A noktasıdır. Benzer şekilde Q 1 için eşürün eğrisi (K 1, L 1) = (aq 1, bq 1) olmak üzere B noktasıdır. Öyleyse bu fonksiyon için sermaye yoğunluğu K/L = a/b olmak üzere her üretim düzeyinde sabittir. Dolayısı ile de bu teknoloji için ikame esnekliği sıfırdır, çünkü etkin teknik kullanıldığı sürece K/L oranı hiç değişmeyecektir. K K 1 = aq 1 B K o = aq o O A L o = bq o L 1 = bq 1 L Şekil. 2.9 Sabit Katsayılı Üretim Fonksiyonu b) Cobb-Douglas Üretim Fonksiyonu Bu fonksiyon genel olarak Q = AK a L b ; A, a, b > 0 olarak yazılır. Bu fonksiyon için MRTS KL = b b K L olduğunu aşağıda göstereceğiz. Buradan Cobb-Douglas üretim fonksiyonları için σ = 1 olacağı anlaşılır (MRTS = sabit (K/L) olduğuna göre (K/L) ile MRTS aynı oranda değişir). Buna göre Cobb-Douglas fonksiyonları Şekil. 2.8'daki gibi düzgün dışbükey eşürün eğrileri yaratırlar ve kolay ikame olanakları ifade ederler. c) Doğrusal Üretim Fonksiyonu Bu fonksiyonlar genel olarak Q = ak + bl; a, b > 0

15 Mikroiktisat Ders Notları Nazım K. Ekinci 15 olarak ifade edilirler. Buna göre L girdisini ΔL kadar arttırırsak çıktı ΔQ = bδl kadar artar. O halde çıktının sabit kalması, yani aynı eşürün eğrisi üzerinde kalınması, için K ne kadar azalmalıdır? K da ΔK kadar bir değişmenin çıktıya etkisi ΔQ = bδk olduğuna göre, çıktıdaki toplam değişme ΔQ = aδk + bδl = 0 olacak şekilde ΔK = (b/a)δl olmalıdır. Öyleyse bu teknoloji için eşürün eğrileri doğrusaldır ve MRTS = b/a (eşürün eğrisinin eğiminin mutlak değeri) olur. Buna göre MRTS hep aynı kalırken K/L oranı sıfırdan sonsuza değişebilir. Bu da ikame esnekliği sonsuz olur, yani iki girdi (b/a) oranında istenilen şekilde ikame edilebilir, demektir. Son olarak iki girdili durumda marjinal üretkenliğin tanımına gelirsek bir girdinin marjinal ürününü, diğer girdinin kullanım miktarı sabitken, girdinin kullanımında marjinal bir artışın çıktıya etkisi olarak tanımlıyoruz: Emeğin Marjinal Ürünü: MP L = Q (K sabitken) L Emeğin Marjinal Ürünü: MP K = Q (L sabitken) K Burada daha önce sözü edilen ölçme sorunları nedeniyle, özellikle, sermayenin marjinal ürünü kavramının çok sorunlu olduğunu belirtmeliyiz. Aslında yapacağımız analizler için marjinal ürün kavramına ihtiyaç ta yoktur. Marjinal ikame oranını bu kavramlardan bağımsız olarak tanımlayabildik ve bu da birçok amaç için yeterlidir. Ancak yaygın olarak kullanılıyor olmaları, bazı hesaplamaları ve anlatımı kolaylaştırmaları nedeniyle biz de bu kavramları kullanacağız. İlk olarak tanım gereği marjinal ürünün üretim fonksiyonunun ilgili girdiye göre kısmi türevi olduğuna dikkat ediniz. Standart varsayım olarak Her iki marjinal ürünün pozitiftir (MP L > 0 ve MP K > 0). Azalan verimler yasası her iki girdi için de geçerlidir. Buna göre her bir girdi için marjinal ürün eğrisi tek değişkenli üretim fonksiyonunda içbükey durumda olduğu gibi (Şekil 2.2) her düzeyde pozitif değerler alır ve negatif eğimlidir. Şimdi, L ve K girdilerinde marjinal bir değişmenin çıktıya etkileri, sırasıyla, ΔQ = MP LΔL ve ΔQ = MP KΔK olduğuna göre her iki girdide eşanlı bir değişmenin çıktıda yol açacağı toplam değişme ΔQ = MP LΔL + MP KΔK olacaktır. Bir eşürün eğrisi üzerinde ΔQ = 0, yani Q sabittir dolayısı ile MRS tanımlarken yaptığımız gibi, eşürün eğrisinin eğimi K = MP L L Q sabit MP K olur. Buradan, MRTS KL = MP L MP K olarak hesaplanır. MP L ve MP K > 0 olduğuna göre MRTS de, olması gerektiği gibi, pozitif bir sayıdır. a) Sabit Katsayılı Üretim Fonksiyonu Örnek 2.4 Bu fonksiyon için MP L = 0 = MP K olur. Çünkü Şekil. 2.9'de A noktasından başlayarak, diyelim, L sabitken K arttığında C gibi bir noktaya gelinir ve bu ΔQ = 0 demektir. Buna göre bu fonksiyon için,

16 16 daha önce de belirtildiği gibi, MRTS tanımsızdır. b) Cobb-Douglas Üretim Fonksiyonu Q = AK a L b ; A, a, b > 0 fonksiyonunun L ve K ya göre kısmi türevleri, sırasıyla, MP L ve MP K olacaktır. Buna göre, MP K = AaK a-1 L b MP L = AbK a L b-1 olur. Buradan, bir önceki örnekte belirtildiği üzere, olarak hesaplanır. MRTS = MP L = AbKa L b 1 MP k AaK a 1 y b = b K a L c) Doğrusal Üretim Fonksiyonu Bu fonksiyonlar genel olarak Q = ak + bl; a, b > 0 olduğuna göre, gene ilgili değişkene göre kısmi türev alarak: MP L = b ve MP K = a bulunur. Buna göre, daha önce bulduğumuz gibi, MRTS = b/a olur. 2.6 Ölçeğe Göre Getiri Q = F(K, L) üretim fonksiyonunda K ve L girdileri aynı oranda değiştiğinde üretimin ölçeği değişmiş olur. Ölçek değiştiğinde çıktının ölçeğe oranla nasıl değiştiğine üretim fonksiyonunun ölçeğe göre getiri özelliği diyeceğiz. Örneğin 100 m 2 kapalı alanda iki makine ve beş işçiyle çalışan bir işyerinde kapalı alanı, makine ve işçi sayısını, aynı nitelikte makine ve işçiler olmak üzere, iki katına çıkarırsak üretim ölçeğini iki katına çıkarmış oluruz. Eğer bütün girdiler 100 m 2 kapalı alanda iki makine ve beş işçiden ibaretse, ölçeği iki katına çıkarmak suretiyle çıktıyı da iki katına çıkarmış oluruz ki buna ölçeğe göre sabit getiri diyeceğiz. Öte yandan, diyelim ki 100 m 2 kapalı alanda iki makine ve beş işçi bir yönetici gözetiminde çalışmaktadır. Gene varsayalım ki aynı yöneticinin 200 m 2 kapalı alanda dört makine ve on işçiyi gözetmesi mümkündür. Yönetici dışındaki girdileri iki katına çıkarınca da çıktının iki katına çıkmasını bekleriz ve ölçeğe göre artan getiri söz konusu olur. Çünkü bütün girdileri iki katına çıkarmadan (yönetici hizmetleri aynı kalıyor) çıktıyı iki katına çıkarmak mümkün olmuştur. Son olarak üretim sürecinin niteliği gereği 200 m 2 kapalı alanda dört makine ve on işçinin ancak üç yönetici gözetiminde çalışabileceğini düşünelim. Buna göre çıktıyı iki katına çıkarmak için bir girdiyi iki katından fazla arttırmak gerekir ve ölçeğe göre azalan getiri söz konusudur.

17 Mikroiktisat Ders Notları Nazım K. Ekinci 17 K K/L sabit tk o B K o A Q 1 = t k Q o L o tl o Şekil Homojen Üretim Fonksiyonu: Girdiler t oranında artınca, çıktı t k oranında Q o L Bu açıklamalardan anlaşılacağı gibi ölçeğe göre getiri özelliği üretim sürecine giren bütün girdilerin hesaba katılması ile değerlendirilebilir. Bizim Q = F(K, L) üretim fonksiyonumuzda toplulaştırılmış iki girdi söz konusu olduğundan fonksiyonun ölçeğe göre getiri özellikleri homojenlik özelliği cinsinden ifade edilebilir ve bu da önemli analitik kolaylık sağlar. Buna göre, bir t > 0 için F(tK, tl) = t k F(K, L) oluyorsa üretim fonksiyonu (K, L) girdilerinde k-ıncı dereceden homojendir denir. Öyleyse, eğer üretim fonksiyonu k-ıncı dereceden homojen ise k < 1 için F(K, L) Ölçeğe Göre Azalan Getiri k = 1 için F(K, L) Ölçeğe Göre Sabit Getiri k > 1 için F(K, L) Ölçeğe Göre Artan Getiri özelliğini haizdir. Şekil. 2.10'de homojen bir üretim fonksiyonunun eşürün paftası gösterilmiştir. A noktasında (K o, L o) girdi kullanımıyla Q o miktarı üretildiğini varsayalım. Her iki girdi bir t > 1 oranında artınca (tk o, tl o) girdi kullanımıyla t k Q o çıktı düzeyine karşı gelen eşürün eğrisi üzerine gelinir. Dikkat edilirse ölçek değişikliği kullanılan tekniklerin sermaye yoğunluğunu etkilemez. Buradan homojen üretim fonksiyonlarının ileride kullanacağımız önemli bir özelliğini gösteriyoruz. Homojen fonksiyonların temel bir özelliği eşürün eğrilerinin, sırasıyla, A ve B noktalarındaki eğimlerinin ve dolayısıyla da bu noktalardaki marjinal ikame oranlarının aynı olduğudur. Bunu en kolay Cobb-Douglas üretim fonksiyonuyla gösterebiliriz. Bu tür fonksiyonlar için K MRTS= b olduğunu biliyoruz. Dolayısı ile Şekil. 2.10'de Qo eşürün eğrisi üzerinde A noktasında a L MRTS A = (b/a)(k o/l o); t k Q o eşürün eğrisi üzerinde B noktasında MRTS B = (b/a)(tk o/tl o) = MRTS A olur. Homojen üretim fonksiyonları için MRTS ölçekten bağımsızdır: K/L oranı sabit olduğu sürece MRTS her ölçekte aynıdır.

18 18 Örnek 2.5 a) Sabit Katsayılı Üretim Fonksiyonu Bu üretim fonksiyonunun genel olarak Q = min[k/a, L/b]; a, b > 0 biçiminde yazıldığını gördük. Şimdi, fonksiyonda bütün girdileri bir t > 0 ile çarparsak, yani ölçeği t katına çıkarırsak, min[tk/a, tl/b] = min{t[k/a, L/b]} = tmin[k/a, L/b] olacaktır. Öyleyse fonksiyon girdilerde birinci dereceden homojendir ve ölçeğe göre sabit getiri özelliğini haizdir. Örneğin, a = 1, b = 2 için K = 5, L = 5 ise Q = min[5/1, 5/2] = min[5, 2.5] = 2.5 olur. K = 10, L = 10 koyarsak, yani t = 2 olmak üzere ölçeği iki katına çıkarırsak, Q = min[10/1, 10/ı] = min[10, 5] = 5 olur. Böylece ölçeği iki katına çıkarmakla çıktıyı da iki katına çıkarmış oluyoruz. b) Cobb-Douglas Üretim Fonksiyonu Genel bir Cobb-Douglas Q = AK a L b ; A, a, b > 0 üretim fonksiyonunda bütün girdileri bir t > 0 ile çarparsak, yani ölçeği t katına çıkarırsak, A(tK) a (tl) b = A(t a K a )(t b L b ) = t a+b (AK a L b ) olur ki bu da fonksiyon k = (a + b) inci dereceden homojendir demektir. Öyleyse, Cobb-Douglas üretim fonksiyonu a + b < 1 için Ölçeğe Göre Azalan Getiri a + b = 1 için Ölçeğe Göre Sabit Getiri a + b > 1 için Ölçeğe Göre Artan Getiri özelliğini haizdir. c) Doğrusal Üretim Fonksiyonu Bu tür fonksiyonların birinci dereceden homojen ve dolayısıyla da ölçeğe göre sabit getiri özelliğini haiz olduğunu göstermeyi okuyucuya bırakıyoruz. Burada dikkat edilmesi gereken husus ölçeğe göre getiri ile tek bir girdide azalan getiriler özelliklerinin farklı ve çelişmeyen özellikler olduğudur. Ölçeğe göre sabit, hatta artan, getiri varken, bir girdide azalan getiriler özelliği olabilir. Çünkü bir girdinin marjinal ve ortalama üretkenliği diğer girdi sabitken hesaplanırken, ölçeğe göre getiri bütün girdilerin aynı oranda değişmesine bağlıdır. Bunu Cobb-Douglas üretim fonksiyonu kullanarak gösterebiliriz. Q = K 0.5 L 0.5 fonksiyonu ölçeğe göre sabit getirili iken K = 4 düzeyinde, diyelim sabit ise, fonksiyon Q = 2L 0.5 halini alır ve L değişkeninde azalan getiriler olduğu açıktır.

19 Mikroiktisat Ders Notları 2.7 İki Girdili Üretim ve Maliyet Fonksiyonu Nazım K. Ekinci 19 Q = F(K, L) üretim fonksiyonu çerçevesinde maliyeti hesaplanması gereken iki girdi olduğunu görüyoruz. Firma sahibinin de mesaisini içerecek şekilde hesaplanan L girdisinin maliyeti daha önce olduğu gibi nominal ücrettir. K girdisinin firmaya maliyeti ise birim sermayenin nominal kira maliyetidir. İşletme kendi sahip olduğu sermaye malları için doğrudan ödeme yapmayacak olmakla birlikte L girdisi için olduğu gibi fırsat maliyeti prensibi gereği bu girdiye de kimin olduğundan bağımsız olarak birim kullanım için bir kira ödendiğini düşüneceğiz. İki girdili Q = F(K, L) durumunda maliyet problemi Min K, L wl + rk k.a. F(K, L) = Q olur. Burada, w = birim işgücüne ödenen nominal ücret r = birim sermaye kullanımının nominal kira bedeli olmaktadır. Amaç fonksiyonu (wl + rk) belirli bir girdi kullanmanın veri olan girdi fiyatları ile hesaplanan (fırsat) maliyetini gösterir. Öyle bir girdi kullanımı (K, L) seçilsin ki Q çıktısını üretilebilmenin en ucuz (minimum maliyetli) yolu olsun. Problemin amaç fonksiyonunu ise C = wl + rk eşmaliyet eğrileri ile göstereceğiz. Veri bir C o maliyeti ile kiralanabilen girdi miktarları Şekil te C o eşmaliyet eğrisi üzerinde maliyeti C o = wl + rk olan girdi bileşimleridir. Buna göre eşmaliyet eğrisi tüketicinin bütçe doğrusu gibi maliyeti sabit olan girdi (mal) bileşimlerini gösterir. Örneğin, C o = 30 TL, w = 2 TL/saat ve r = 3 TL/saat ise, Şekil te C o eşmaliyet eğrisi üzerinde 30 = 2L + 3K eşitliği sağlanır ve 6 birim L ile 6 birim K kiralanabilir (iki farklı bileşim de siz bulunuz). Eşmaliyet eğrisinin eğiminin (mutlak değerce) göreli girdi fiyatı w/r olduğu açıktır. Bir eşmaliyet eğrisi üzerindeki bütün girdi bileşimlerinin maliyeti aynıdır. Eğri maliyet aynı kalmak üzere girdiler arasında ikame olanaklarını gösterir. Eşmaliyet eğrisinin eğimi ( w/r) dir. Eğim girdiler arasında ikamenin hangi oranda yapılacağını gösterir. K 10 6 C1 Co eğim = w/r 6 15 L Şekil Eşmaliyet Eğrileri Örneğin Şekil teki C o eşmaliyet eğrisinin eğimi (mutlak değerce) 2/3 olduğundan, bir birim L

20 20 girdisi yerine 2/3 birim K girdisi kiralanabilir demektir. Doğal olarak girdi fiyatlarında bir değişme eşmaliyet eğrisinin eğimini ve konumunu değiştirecektir. Öte yandan maliyet arttıkça eşmaliyet eğrileri sağa-yukarıya kayacaktır. Şekil te C 1 > C o olduğu için C 1 eşmaliyet üzerindeki girdi bileşimleri C o eşmaliyet eğrisine göre her girdiden daha fazla içerir. K C2 C* A Co K* E L* B Q L Şekil Maliyet Problemi Maliyet problemi Şekil te gösterilmiştir. Problemin kısıdı Q eşürün eğrisidir. Şekilde gösterilen bütün eşmaliyet eğrileri aynı eğime sahiptir. C o gibi bir maliyetle Q miktarı üretilemez, çünkü C o ile kiralanabilecek girdi bileşimleri Q eşürün eğrisi üzerinde değildir. Q miktarını üretecek girdi bileşimleri (A ve B noktalarında olduğu gibi) eşürün eğrisi üzerinde olmalıdır. Dolayısı ile C 2 maliyeti ile Q üretmek mümkündür. Ama C 2 minimum maliyet değildir. Çünkü C* daha düşük bir maliyete karşı gelir ve bu maliyetle kiralanabilecek E girdi bileşimi Q eşürün eğrisi üzerindedir. E noktasında eşmaliyet eğrisi eşürün eğrisine teğettir. Bu nedenle eşmaliyet eğrisi daha aşağı kaydırılamaz, çünkü bu noktadan sonraki eşmaliyet eğrileri Q çıktı düzeyine karşı gelen eşürün eğrisini kesmez, yani daha düşük maliyetle kullanılabilecek girdi bileşimleri Q çıktı düzeyini üretemez. O halde çözüm eşmaliyet ve eşürün eğrilerinin teğet olduğu w/r = MRTS olan, noktadadır. Bu noktada L* ve K* girdi miktarları kullanılır ve minimum maliyet C* = wl* + rk* olur. Kısaca, beklenmesi gerektiği gibi, maliyet problemi marjinal teknik ikame oranının göreli (girdi) fiyatına eşit olduğu noktada çözülür. Örneğin, w = 10TL/saat, r = 5 TL/saat ise, w/r = 2 olur. Şimdi, diyelim eşürün eğrisi üzerinde bir noktada MRTS = 1 olsun. O halde, çıktıyı sabit tutmak için marjinal bir birim L yerine bir marjinal birim K kullanmak yeterlidir. Ama bu yapılırsa maliyet düşer, çünkü bir birim L den vazgeçince maliyet 10 TL azalır, ama 1 birim fazla K kullanılırsa maliyet

21 Mikroiktisat Ders Notları Nazım K. Ekinci 21 sadece 5 TL artar. Dolayısı ile Şekil te B noktasında olduğu gibi w/r > MRTS iken çıktıyı daha fazla K kullanarak üretmek maliyeti azaltır. Aksine MRTS = 2.5 > w/r olsun (örneğin Şekil te A noktası). Bu durumda (marjinal) bir birim dah fazla L kullanılırsa maliyet azalır. Çünkü, MRTS = 2.5 olduğundan aynı eşürün eğrisi üzerinde kalmak için 2.5 (marjinal) birim daha az K kullanmak gerekir. Öyleyse değişiklik sonunda maliyet 2.5 TL düşer. Dengede w/r = MRTS olduğunda marjinal bir değişiklik maliyeti de çıktıyı da etkilemez, yani kazanılacak bir şey, daha doğrusu kaçınılacak maliyet, kalmamıştır. 3 Özetlersek: Maliyet Probleminin çözümü eşmaliyet eğrisinin Q = F(K, L) kısıt eşürün eğrisine teğet olduğu MRTS = w/r Q = F(K, L) koşullarının sağlandığı durumdur. Örnek 2.6 Q = K 0.5 L 0.4 üretim fonksiyonu ile çalışan bir firma Q = 8 birim üretim yapmayı planlamaktadır. Girdi fiyatları w = 1, r = 2 olarak verilmektedir. Firmanın optimum, yani en düşük maliyetli, girdi kullanımını hesaplayalım. Maliyet probleminin çözüm koşullarını yazarsak: (1) MRTS = w/r = 0.5 (2) Q = 8 = K 0.5 L 0.4 olacaktır. Bu iki denklemi kullanarak K* ve L* optimum girdi kullanımı hesaplayabiliriz. Örnek 2.4 ten Cobb-Douglas üretim fonksiyonu için MRTS = (b/a)(k/l) = (4/5)(K/L) olacağını biliyoruz. Öyleyse, (1) koşulundan K/L = (5/4)0.5 = ya da K* = 0.625L* olacağını buluruz. Bunu (2) koşulunda yerine koyarsak: 8 = (0.625L*) 0.5 (L*) 0.4 = (0.625) 0.5 (L*) 0.9 bulunur ki bu da L* = demektir. Buradan K* = 8.18 bulunur. Buna göre veri teknoloji ile w = 1, r = 2 fiyatlarıyla Q = 8 birim üretmenin minimum maliyeti C* = L* + 2K* = TL dir. Aşağıdaki açıklamalara temel oluşturmak açısından bu örneği aynı teknoloji ve fiyatlarla Q = 10 için tekrarlayınız. Girdi kullanımları ve maliyet nasıl değişir? Şimdi bu örneği aynı teknoloji ile ama w = 1.5, r = 2 fiyatları ile Q = 8 için tekrarlayınız. Girdi kullanımları ve maliyet nasıl değişir? 3 Bu sonucu analitik olarak tüketici dengesini bulurken kullandığımız marjinalist prensip ile de görebiliriz. Q eşürün eğrisi üzerinde bir noktadan başlayarak L girdisini ΔL kadar arttırdığımızı düşünelim. Kısıda uymak için aynı eşürün eğrisi üzerinde kalmak gerektiğine göre, K girdisi, MRTS nin tanımı gereği, ΔK = MRTSΔL kadar azalmalıdır. Bu değişikliğin maliyete etkisi ΔC = wδl + rδk = wδl r MRTS ΔL yani ΔC = rδl{w/r MRTS) olacaktır. Dolayısı ile w/r MRTS olduğu sürece girdiler arasında ikame yaparak kaçınılacak maliyet var demektir.

22 22 KUTU 2.1 Maliyet Problemi ve Marjinal Maliyet Maliyet probleminin çözümüne biraz farklı bir yaklaşımla bakmak faydalı olacaktır. Şekil te Q eşürün eğrisi üzerinde bir noktadan başlayarak, K sabitken, L girdisinde ΔL kadar marjinal bir artış yaptığımızı düşünelim. Bu durumda maliyet ΔC = wδl kadar, çıktı ΔQ = MP LΔL kadar artardı. O halde, bu değişikliğin marjinal maliyeti MC(L) = ΔC/ΔQ = w/mp L olur. Bu sonucun tek girdili durumda ulaşılan sonuçla aynı olduğuna dikkat ediniz. Gene aynı noktadan başlayarak, L sabitken, K girdisinde ΔK kadar marjinal bir artış yaptığımızı düşünelim. Bu durumda maliyet ΔC = rδk kadar, çıktı ΔQ = MP KΔK kadar artardı. O halde, bu değişikliğin marjinal maliyeti MC(K) = ΔC/ΔQ = r/mp K olurdu. Şimdi, MRTS = MP L/MP K olduğuna göre, denge koşulunu w/r = MP L/MP K olarak yazıp düzenlersek w/mp L = r/mp K olur. Buna göre dengede MC = MC(L) = MC(K) olmalıdır. Yani denge durumunda her iki girdiden kaynaklanan marjinal maliyet aynı olmalıdır ki ikame olanakları kullanılarak kaçınılacak bir maliyet kalmamış olsun. Aksine, diyelim, MC(L) < MC(K) olsaydı Şekil te A noktasındaki gibi daha fazla L daha az K kullanmak maliyeti azaltır. Şekil te B noktasında olduğu gibi MC(L) > MC(K) yani w/r > MRTS ise daha fazla K kullanmak maliyeti azaltır. 2.7 Maliyet Fonksiyonun Özellikleri Şekil te E dengesinde Q üretmenin minimum maliyeti girdi fiyatlarının ve çıktının fonksiyonu olmak üzere (Maliyet Fonksiyonu) C(w, r, Q) = wl* + rk* ile gösterilir, yani maliyet üretilen miktarın ve girdi fiyatlarının fonksiyonudur. Maliyet Çıktı İlişkisi İlk olarak maliyetin çıktı ile olan ilişkisini ele alarak Girdi fiyatları sabitken daha fazla üretmenin maliyeti daha fazladır, yani maliyet fonksiyonu çıktının artan bir fonksiyonudur ( C/ Q > 0) sonucunu görebiliriz. Çünkü, daha fazla üretmek için en azından bir girdiyi daha fazla kullanmak gerekir (neden!) ve maliyet artar. Şekil te üretilmesi gereken çıktı artarsa yeni kısıt Q eşürün eğrisinin sağ üstünde bir eşürün eğrisi olur. Dolayısı ile maliyet probleminin çözümünde eşmaliyet eğrisini yukarıya sağa (paralel) kaydırmak suretiyle yeni eşürün eğrisine teğet olduğu noktaya gelinir (bunu şekil üzerinde gerekli eklemeleri yaparak gösteriniz). Ama eşmaliyet eğrisinin sağa yukarıya