yaz labilir. Bu yaz l m da x reel say s na z nin reel k sm ; y reel say s na da z nin sanal k sm denir ve

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "yaz labilir. Bu yaz l m da x reel say s na z nin reel k sm ; y reel say s na da z nin sanal k sm denir ve"

Transkript

1 Komplex say lar reel say lar n (x; y) s ral ikilileri şeklinde düşünülebilirler. x reel say s s n reel eksen üerindeki (x; 0) noktas şeklinde düşünürsek kompleks say lar kümesinin reel say lar kümesini kapsad ¼g n görürü. (0; y) şeklindeki kompleks say lar y ekseni üerindeki say lara karş l k gelir ve bu say lara s rf imajiner (pure imaginary) say lar denir. Böylece y eksenine imajiner yada sanal eksen denir. Genel olarak bir (x; y) karmaş k say s ile gösterilir. Böylece = (x; y) () ya labilir. Bu ya l m da x reel say s na nin reel k sm ; y reel say s na da nin sanal k sm denir ve Re = x; Im = y () şeklinde ya l r. = (x ; y ) ve = (x ; y ) karmaş k say lar ayn reel ve sanal k s mlara sahipse eşittir denir. Böylece, = olmas için gerek ve yeter şart bunlar n karmaş k dülemde veya düleminde ayn noktaya karş l k gelmeleridir. = (x ; y ) ve = (x ; y ) karmaş k say lar n n toplam ve çarp m aşa¼g daki gibi tan mlan r. (x ; y ) + (x ; y ) = (x + x ; y + y ) (3) (x ; y ) (x ; y ) = (x x y y ; x y + y x ) : (4) (3) ve (4) denklemlerinde y = y = 0 al n rsa (x ; 0) + (x ; 0) = (x + x ; 0) (x ; 0) (x ; 0) = (x x ; 0) elde edilirki bu da karmaş k say sisteminin reel say sisteminin do¼gal bir genişlemesi oldu¼gunu gösterir. herhangi bir = (x; y) karmaş k say s = (x; 0) + (0; y) şeklinde ya labilir ve aç kça (0; ) (y; 0) = (0; y) dir. Böylece = (x; 0) + (0; ) (y; 0) elde edilir. Bir reel say y x yada (x; 0) olarak düşünürsek ve i ile (0; ) s rf imajiner say s n gösterirsek = x + iy (5) olur. =, 3 = vs. olaca¼g ndan i = ii = (0; ) (0; ) = ( ; 0) yada i = (6)

2 elde edilir. Bu durumda (5) ifadesini kulanarak (3) ve (4) tan mlar (x + iy ) + (x + iy ) = x + x + i (y + y ) (7) (x + iy ) (x + iy ) = x x y y + i (x y + y x ) : (8) şeklinde olur. Dikkat edilecek olursa bu denklemlerin sol tara ar ndaki terimler sadece reel say lardan oluşuyormuş gibi çarpma ve toplama işlemi yap l p i yi ile de¼giştirerek elde edilmiştir.. EB IRSEL ÖELL IKLER Karmaş k say larda toplma ve çarpman n çeşitli öellikleri reel say lardaki ile ayn d r. Şimdi bu cebirsel öelliklerden ba lar n verelim. + = +, = de¼gişme öelli¼gi () ( + ) + 3 = + ( + 3 ), ( ) 3 = ( 3 ) birleşme öelli¼gi() ( + ) = + da¼g lma öell¼gi. (3) Bu öellilerin ispatlar. bölümdeki gibi tan mlanan karmaş k say lar n toplam ve çarp m ndan yararlanarak yap labilir. Örne¼gin, = (x ; y ) ve = (x ; y ) dersek + = (x ; y ) + (x ; y ) = (x + x ; y + y ) = (x + x ; y + y ) = (x ; y ) + (x ; y ) = + şeklinde () in ispat n yapm ş oluru. Di¼ger öellikler de bener şekilde ispatlanabilir. Çarpman n de¼gişme öelli¼ginden iy = yi oldu¼gundan = x + iy yerine = x + yi yaabiliri. Çarpma ve toplaman n birleşme öell¼ginden de 3 ve ifadeleri reel say larda oldu¼gu gibi parantee gerek olmadan iyi tan ml d r. Reel say lar için olan 0 = (0; 0) toplam sabiti ve = (; 0) çarp m sabiti tüm karmaş k say sistemine tatbik edilebilir. Yani, her karmaş k say s için + 0 = ve : = (4) olur. Üstelik bu öelliklere sahip 0 ve den başka karmaş k say yoktur (Gösterini.). Her = (x; y) karmaş k say s n n + ( ) = 0 denklemini sa¼glayan = ( x; y) (5)

3 şeklinde bir toplamaya göre tersi mevcuttur. Üstelik (x; y) + (u; v) = (0; 0) ) u = x; v = y olaca¼g ndan verilen herhangi bir karmaş k say s n n toplamaya göre tersi bir tektir. (5) denklemini = x iy şeklinde de yaabiliri. Toplamaya göre tersler ç karmay tan mlamada kullan l r: Böylece = (x ; y ) ve = (x ; y ) dersek, = + ( ) : (6) = (x x ; y y ) = x x + i (y y ) : (7) olur. S f rdan farkl herhangi bir = (x; y) karmaş k say s için = olacak şekilde bir say s vard r. nin çarpmaya göre tersi dedi¼gimi bu say s n bulmak için (x; y) (u; v) = (; 0) denklemini sa¼glayan u ve v say lar n x ve y cinsinden bulmal y. olup buradan (x; y) (u; v) = (0; ), xu yv = ; yu + xv = 0 u = x x + y ; v = y x + y buluru. Böylece = (x; y) karmaş k say s n n çarpmaya göre tersi x = (u; v) = x + y ; y x + y ( 6= 0) (8) olur. = 0 karmaş k say s n n çarpmaya göre tersi tan ml de¼gildir. Çünkü, = 0 demek x + y = 0 demektir ki (8) ifadesinde buna müsade yoktur. Şimdi şunu söyleyebiliri: 6= 0 ve = 0 ) = 0 d r. Çünkü 6= 0 oldu¼gundan mevcuttur. Buradan = : = = ( ) = 0: (9) Yani, herhangi iki ; karmaş k say lar için = 0 ise ya ya yada her ikisi birden s f rd r. Başka bir ifadeyle = 0 ) = 0 _ = 0 6= 0 ^ 6= 0 ) 6= 0 d r. Karmaş k say larda bölme aşa¼g daki gibi tan mlan r: = ( 6= 0) : (0) 3

4 = (x ; y ) ve = (x ; y ) dersek, (0) ve (8) den = : () x y = (x ; y ) x + ; y x + y x x + y y = x + ; y x x y y x + y x x + y y y x x y = x + + i y x + ( 6= 0) y () ifadesini hat rlamak or oldu¼gundan bu ifadeyi = (x + iy ) (x iy ) (x + iy ) (x iy ) = (x + iy ) (x iy ) (x + iy ) (x iy ) = x x + y y + i (y x x y ) x + y = x x + y y x + y + i (y x x y ) x + y () şeklinde de elde edebiliri. (0) da = al rsak = = ( 6= 0) elde edilir. Yani, herhangi bir karmaş k say s için olur. Bu bie (0) denklemini = ( 6= 0) = ( 6= 0) şeklinde yamam sa¼glar. Di¼ger yandan ( ) = = ( 6= 0; 6= 0) oldu¼gunu gö önüne al rsak elde ederi. Böylece de ( ) = = ( ) = = ( 6= 0; 6= 0) oldu¼gunu göstermiş oluru. Bir başka kullan şl ödeşli¼gimide 3 4 = 3 4 (3 6= 0; 4 6= 0) 4

5 şeklindedir. Örnek 3i + i = = ( 3i) ( + i) = 5 i :5 + i 5 + i 5 + i (5 i) (5 + i) = 5 + i 6 = i 3 MODUL VE EŞLEN IKLER Her bir = x+iy karmaş k say s na orijinden karmaş k dülemde yi temsil eden (x; y) noktas na yönlendirilmiş bir do¼gru parças veya vektör karş l k getirmek mümkündür. Asl nda ye ço¼gu ke noktas veya vektörü deri. Aşa¼g da = x + iy noktas ve = + i noktalar nokta ve yar çap vektörleri olarak gösterilmiştir. Karmaş k say lar n toplam tan m ndan = x + iy ve = x + iy karmaş k say lar n n toplam (x + x ; y + y ) noktas na ve ayn amanda bunoktan n koordinatlar n bileşen kabul eden vektöre karş l k gelir. Böylece + vektörel olarak aşa¼g da şekilde oldu¼gu gibi gösterilebilir. vektörlerinin fark aşa¼g daki şekilde gösterildi¼gi gibi ve vektörlerinin +( ) toplamlar na 5

6 karş l k gelir. ; herhangi iki karmaş k say olsun. = 3 çarp m gene bir vektörle temsil edilen bir karmaş k say olup 3 ü temsil eden vektör ve yi temsil eden vektörle ayn dülemdedir. Aç kça çarp m ne skaler çarp m nede temel vektör analideki vektör çarp m d r. Karmaş k say lar n vektörel gösterimi reel say lar n mutlak de¼gerleri kavram n karmaş k düleme genişletmede faydal d r. = x + iy karmaş k say s n n modülü yada mutlak de¼geri negatif olmayan p x + y say s ile tan mlan r ve jj ile gösterilir. Yani, jj = p x + y () dir. Geometrik olarak jj reel say s (x; y) noktas ile orijin aras ndaki uakl k veya yi temsil eden vektörün uunlu¼gudur. y = 0 al n rsa olay reel say lardaki mutlak de¼ger kavram na indirgenmiş olur. ve nin her ikisi de reel olmad ¼g 6

7 sürece < eşitsili¼gi anlams d r. Bu da Karmaş k say larda reel say lardaki anlamda küçüklük büyüklük kavram n n olmad ¼g n gösterir. j j < j j ise noktas n n orijine noktas ndan daha yak n oldu¼gunu anlam ndad r. Örnek j 3 + ij = p 3 ve j + 4ij = p 7 oldu¼gundan 3 + i noktas orijine + 4i noktas ndan daha yak nd r. = x + iy ve = x + iy karmaş k say lar aras ndaki uakl k j j dir. Çünkü j j reel say s yi temsil eden vektörün boyudur. Alternatif olarak = (x + iy ) (x + iy ) = (x x ) + i (y y ) ifadesine () deki tan m uygulanarak q j j = (x x ) + (y y ) elde ederekte bunu görebiliri. 0 merkeli R yar çapl çember üerinde bulunan karmaş k say lar j 0 j = R denklemini sa¼glarlar ve tersine j 0 j = R denklemi 0 merkeli R yar çapl çember üerinde bulunan karmaş k say lar belirtir. Bu noktalar n kümesine k saca j 0 j = R diyece¼gi. Örnek j belirtir. + 3ij = denklemi 0 = (; 3) merkeli R = yar çapl çemberi () tan m ndan jj, Re = x ve Im = y say lar jj = (Re ) + (Im ) () denklemi ile birbirine ba¼gl d r. Böylece Re jre j jj ve Im jim j jj (3) olur. Bir = x+iy karmaş k say s n n karmaş k eşleni¼gi yada k saca eşleni¼gi x iy karmaş k say s olarak tan mlan r ve ile gösterilir. Yani, = x iy dir. say s (x; y) noktas ile temsil edilir ki bu nokta da (x; y) noktas n n reel eksene göre yans mas (simetri¼gi) d r. Her için = ve jj = jj dir. fig 4 = x + iy ve = x + iy ise + = (x + x ) + i (y + y ) (5) = (x + x ) i (y + y ) = (x iy ) + (x iy ) = + 7

8 olur. Bener olarak = (6) = (7) = ( 6= 0) (8) oldu¼gu gösterilebilir. Bir = x + iy karmaş k say s ve bunun = x ve = iy olaca¼g ndan Re = + ; Im = i iy eşleni¼gi için + = x olur. = x+iy karmaş k say s n n eşleni¼gini modülüne ba¼glayan önemli bir ödeşlik = jj = x + y (0) dir. Böylece ve karmaş k say lar için = = j j Örnek 3 +3i i = +3i +i i +i = 5+5i = + i. j ij (0) dan yararlanarak eşlenikten yararlanarak modullerin di¼ger ba öellikleri elde edilebilir. Mesela, d r. () öelli¼gini aşa¼g daki şekilde gösterebiliri: (9) j j = j j j j () = j j ( 6= 0) () j j j j = = ( ) ( ) = j j j j olup modul asla negatif olamayaca¼g ndan her iki taraf n karekökü al narak eşitlik elde edilir. () öelli¼gi de bener şekilde ispatlanabilir. 4 ÜÇGEN EŞ ITS IL I ¼G I Eşlenik ve modülün öelliklerinden ve kompleks say lar için bir üst s n r veren j + j j j + j j () üçgen eşitsili¼gini cebirsel olarak elde edebiliri. Eşitlik ancak, ve 0 ayn 8

9 do¼gru üerinde oldu¼gu¼gu aman geçerlidir. Şimdi bu cebirsel türetmeyi yapal m. j + j = ( + ) ( + ) = ( + ) ( + ) = = = + Re ( ) + j j + j j + j j { } j jj j = j j + j j j j + j j = (j j + j j) olup her iki taraf n karekökü al n rsa elde edilmiş olur. Üçgen eşitsili¼gini kullanarak j + j j j + j j j j = j( + ) j j + j + j j ) j j j j j + j j j = j( + ) j j + j + j j ) j j j j j + j elde ederi buradan da jj j j jj j + j () önemli eşitsili¼gini ç kar r. () ve () de yerine yaarsak gene çok kullan şl olan eşitsilikleri elde edmiş oluru. j j j j + j j (3) jj j j jj j j (4) Örnek. E¼ger bir noktas jj = çemberi üerinde ise jj = jj 3 + = 3 ve 3 3 jj = jj 3 jj = olur. Üçgen eşitsili¼gi tümevar mla sonlu say da terim içeren toplamlara j + + ::: + n j j j + j j + ::: + j n j (5) şeklinde genişletilebilir. (i) n = için () eşitsili¼gi elde edilip (5) do¼grudur. 9

10 (ii) n = m için (5) do¼gru olsun. (iii) j( + + ::: + m ) + m+ j j + + ::: + m j + j m+ j olur ki bu da (5) in her n için do¼gru oldu¼gunu gösterir. j j + j j + ::: + j m j + j m+ j Örnek E¼ger orijin merkeli yar çapl çemberin iç taraf nda bir nokta ise jj < dir ve dir jj jj + jj + = 5 5 POLAR KOORD INATLAR VE EULER FORMÜLÜ S f rdan farkl bir = x + y karmaş k say s na karş l k gelen (x; y) noktas n n kutupsal koordinatlar r ve olsun. x = r cos ve y = r sin oldu¼gundan kutupsal formda = r (cos + i sin ) () şeklinde ya labilir. E¼ger = 0 ise koordinat tan ms d r. Kompleks analide r say s için olan yar çap vektörünün uunlu¼gudur ve negatif olama. Yani, jj = r dir. reel say s bir yar çap vektörü olarak temsil edildi¼ginde nin poitif x ekseni ile yapt ¼g radyan cinsinden ölçülen aç y temsil eder. alculusta oldu¼gu gibi negatif de¼gerleri de içeren sonsu say da de¼gere sahip olabilir. Bu de¼gerler nin tam katlar ile de¼gişir ve tan = y x denklemi ile belirlenebilir. Tabii burada yi içine alan dörtte birlik bölge belirtilmelidir. n n her bir de¼gerine nin bir argüman (argümenti) ad verilir ve bu şekildeki tüm de¼gerlerin kümesi arg ile gösterilir. arg nin esas de¼geri (principal value) < öelli¼gindeki bir tek de¼geridir vearg ile gösterilir. arg = Arg + n (n = 0; ; ; :::) () oldu¼gunu not edelim. Üstelik bir negatif reel say ise Arg nin de¼geri de¼gil 0

11 dir. 3 Örnek i karmaş k say s üçüncü bölgededir ve esas argümenti 4 dür. Yani, Arg ( i) = 3 4 olup arg ( i) = 3 + n (n = 0; ; ; :::) 4 şeklindedir. n n herhangi bir de¼geri için e i = cos + i sin (3) denklemine Euler formülü denir. (3) kullan larak () deki kutupsal gösterimi = re i (4) şeklinde üstel formda ya labilir. Ileride e i sembolünün seçimine tekrar de¼ginilecektir.

12 Örnek i karmaş k say s n n kutupsal gösterimi i = p e i( 3 4 ) (5) şeklindedir. e i( ) = e i oldu¼gundan i = p e i 3 4 de yaabiliri. i nin i = p e i( 3 4 +n) (n = 0; ; ; :::) (6) şeklinde sonsu say da üstel gösterimi mevcuttur. tanesi n = 0 a karş l k gelenidir. (5) bunlardan sadece bir Şimdi orjin merkeli r yar çapl çember üerindeki = re i noktas n gö önüne alal m. artt kça ler çember üerinde saat yönünün tersinde hareket eder. Öel olarak de¼geri kadar artt ¼g nda ilk baştaki noktaya geri geliri; de¼geri kadar aald ¼g nda da gene ilk baştaki noktaya döneri. Bu yüden = r e i = = r e i, r = r ^ = + n (n = 0; ; ; :::) r = oldu¼gunda geometrik Euler formülüne başvurulmaks n e i =, e i = i, ve e 4 = oldu¼gunu görmek kolayd r. r = R al rsak = R e i (0 ) (7) denklemi orjin merkeli R yar çapl jj = R çemberinin parametrik gösterimidir. parametresi 0 aral ¼g nda = 0 dan itibaren artt kça poitif reel

13 eksenden başlar ve saat yönünün tersinde çemberi bir ke dolan r. Daha genel olarak 0 merkeli R yar çapl j 0 j = R çemberinin parametrik gösterimi = 0 + R e i (0 ) (8) dir. Bu vektörel olarak aşa¼g daki şekilden görülebilir. 6 ÜSTEL FORMDA ÇARPMA VE BÖLME Basit trigonometri bilgilerimi e i n n alculustaki üstel fonksiyonun bilinen tpplamsal öelliklere sahip oldu¼gunu gösterir: e i e i = (cos + i sin ) (cos + i sin ) = cos cos sin sin + i (sin cos + cos sin ) = cos ( + ) + i sin ( + ) = e i(+) : Böylece = r e i ve = r e i ise çarp m üstel formda = r e i r e i = r r e i(+) () 3

14 dir. Üstelik, = r r ei e i e i e i = r r ei( ) e i0 = r r e i( ) () dir. = e i0 oldu¼guna göre s f rdan farkl bir = re i karmaş k say n n tersi () ifadesi kullan larak = = r e i (3) olur. Reel say lardaki kurallar uygulayarak elde edilebilen bir başka önemli kural da n = r n e in (n = 0; ; ; :::) (4) dir. Tümevar mla bu görelim: (i) n = için = re i d r. (ii) n = m için n = r n e im olsun (iii) n = m + için m+ = m = re i r m e im = r m+ e i(m+) olup do¼grudur. (4) ifadesi n = 0 oldu¼gunda da 0 = olarak do¼grudur. n = ; ; :::olmas durumlar nda da n i nin çarpmaya göre tersi terimleri cinsinden n = m m = n = ; ; ::: yaarak tan mlar. Böylece (4) her poitif say için do¼gru oldu¼gundan ve (3) deki nin kutupsal formu kullan larak n = m ) ei( = r m e im( ) = r elde edilir. Böylece (4) ifadesi her tamsay için do¼gru olur. (4) ifadesinde r = al n p Euler formülü kullan larak n e i( n)( ) = r n e in (n = ; ; :::) r n = e i n = e in (n = 0; ; ; :::) (5) elde ederi. (5) de Euler formülü kullan larak (cos + i sin ) n = (cos n + i sin n) (n = 0; ; ; :::) (6) formülünü elde ederi. (6) formülü de Moivre formülü olarak bilinir. (4) ifadesi karteyen formdaki karmaş k say lar n kuvvetlerini hesaplama da da kullan şl d r. Örnek p 3 + i karteyen formda bir karmaş k say d r. olur. p i = e i=6 7 = 7 e i7=6 = 6 e i e i=6 p = i 4

15 Şimdi Şimdi çarp mlar n argümentleri ile ilgili önemli bir durumu verelim. arg ( ) = arg + arg (7) dir. Bunun yorumu şudur: bu üç argümentten ikisi belirtildi¼ginde üçüncüsünün (7) denklemini sa¼glayan bir de¼geri vard r. Şimdi ispat yapal m. arg in herhangi bir de¼geri ise arg nin herhangi bir de¼geri olsun. Bu durumda () ifadesi + nin arg ( ) nin bir de¼geri oldu¼gunu söyler. Di¼ger yandan e¼ger arg ( ) ve arg in de¼gerleri belirlenirse bu de¼gerler ve arg ( ) = ( + ) + n (n = 0; ; ; :::) arg = + n (n = 0; ; ; :::) ifadelerinde yer alan n ve n nin öel seçimlerine karş l k gelir. ( + ) + n = + + n + n n = + n + [ + (n n ) ] ya labilece¼ginden arg = + (n n ) seçilirse (7) denklemi sa¼glanm ş olur. arg ( ) ve arg belirtildi¼ginde bener şekilde ispat yap labilir. (7) ifedesi baen arg n Arg ile de¼giştirildi¼gi yerlerde do¼grudur. Ama aşa¼g daki örnekten görülebilece¼gi gibi bu her aman do¼gru de¼gildir. Örnek = ve = i olsun. Arg ( ) = Arg ( i) = fakat Arg + Arg = + = 3 dir: Bununla birlikte arg ve arg de¼gerlerini ve al p arg ( ) de¼gerini de 3 seçersek (7) sa¼glanm ş olur. Yani her aman Arg ( ) = Arg + Arg olma. (7) ye beneyen başka bir ifade de arg = arg arg (8) dir. Bunu da şöyle ispatlar : arg = arg = arg + arg = arg arg : Bu ispatta () ifadesini kulland k. 7 KARMAŞIK SAYILARIN KÖKLER I = re i karmaş k say s n n n: kuvveti olan n = r n e in (n = ; 3; :::) ifadesi s f rdan farkl bir 0 = r 0 e i0 karmaş k say s n n n: kökünü bulmada şöyle kullan l r: 5

16 0 karmaş k say s n n n: kökü n = 0 veya r n e in = r 0 e i0 olacak şekildeki = re i say s d r. r in = r 0 e i0, r n = r 0 ^ n = 0 + k (k = ; :::) oldu¼gundan dir. Sonuç olarak r = np r 0 ^ = 0 + k n = 0 n + k n (k = ; :::) = np r 0 e i( 0 n + k n ) (k = ; :::) say lar 0 n n: kökleridir. Bu kökler 0 n argümenti ile başlayarak jj = np r 0 çemberi üerinde n eşit uakl klarla yerleşirler. k = ; ; :::; n için tüm farkl kökler elde edilir ve k = n; n + ; ::: de¼gerleri için gene ayn kökler tekrarlan r durur. Farkl kökleri c k = k = ; ; :::; n ile gösterirsek c k = np r 0 e i( 0 n + k n ) (k = ; ; :::n ) () olur. p n r 0 say s n tane kökü temsil eden yar çap vektörlerinin uunlu¼gudur. Ilk kök olan c 0 n argümenti 0 n d r. n = oldu¼gunda iki farkl kök jj = np r 0 çemberinin bir çap n n iki uç noktas nda bulunur ve ikinci kök c 0 d r. n 3 iken bu kökler jj = np r 0 çemberinin içine yerleştirilen n kenarl dügün çokgenin köşelerinde bulunur. n 0 ile 0 n n:köklerinin kümesini gösterelim. 0 bir poitif r 0 reel say s ise np r 0 ayn amanda poitif bir köktür. () ifadesinde kullan lan 0 de¼geri arg nin esas de¼geri ise ( < 0 ) c 0 say s na esas kök (principal root) denir. Böylece 0 bir poitif reel say ise bunun esas kökü np r 0 say s d r. Son olarak () ifadesini hat rlaman n en kola yolu n tane kök oldu¼gunu hat rda tutarak aşa¼g daki şekilde 0 en genel üstel formda ya p reel say lardaki kesirli üs kurallar n uygulamakt r: 0 = r 0 e i(0+k) (k = ; :::) h n 0 = r 0 e i(0+k)i n = np r 0 e i( 0 +k n ) Sonuçta hat rlayaca¼g m formül = np r 0 e i( 0 n + k n ) (k = 0; ; ; :::; n ) : n 0 = np r 0 e i( 0 n + k n ) (k = 0; ; ; :::; n ) dür. 6

17 Örnek Birimin ( in) n: köklerini belirleyelim. Yukar daki formülde 0 = alaca¼g. p n n = e i( 0 n + k n ) (k = 0; ; ; :::; n ) şeklindedir. n = oldu¼gunda bu kökler dir. n 3 ise kökler jj = çemberi içine çiilen dügün çokgenin köşelerinde bulunur. Tabiiki bir köşe = (k = 0)esas köküne karş l k gelir. dersek w n = e i n w k n = e i k n (k = 0; ; ; :::; n ) olur. Böylece birimin yukar da buldu¼gumu farkl n: kökleri lerdir. ; w n; w n; :::; w n n Son olarak, e¼ger c s f rdan farkl bir 0 karmaş k say s n n herhangi öel bir n: kökü ise 0 n n: köklerinin kümesi c; cw n ; cw n; :::; cw n n şeklinde ya labilir. Bunu görelim: c s f rdan farkl bir 0 karmaş k say s n n k = 0 a karş l k gelen kökü ise c = np r 0 e i n cw n = np r 0 e i n e i n = n p r 0 e i( n + n ) cwn = np r 0 e i n e i k n = = n p r 0 e i( n + n ) cwn n = np r 0 e i n e i (n ) n = np r 0 e i( (n ) n + n ) : Bunun böyle olmas n n nedeni herhengi s f rdan farkl bir karmaş k say ile w n nin çarp m bu say n n argümentini n kadar art rmas ndand r. Örnek ( 8i) 3 ün bütün de¼gerlerini yada ayn şey demek olan 8i nin üç tane olan küb köklerini bulal m. 8i = 8e i( +k) (k = ; :::) ( 8i) 3 = e i( 6 + k 3 ) = ck (k = 0; ; ) 7

18 olup c k kökleri jj = içine çiilen eşkenar üçgenin köşelerinde c 0 = e i( 6 ) = cos i sin = p 3 i 6 6 esas kökü ile başlay p birbirlerinden 3 radyan aral klarla yerleşir. c = i ve c = p 3 i dir. Tabiiki bu kökler w 3 = e 3 olmak üere c 0 ; c 0 w 3 ; c 0 w 3 şeklinde ya labilir. 8 KARMAŞIK DÜLEMDE BÖLGELER Bu bölümde karmaş k say kümeleri yada düleminde noktalarla ve bunlar n birbirlerine yak nl ¼g ile ilgilenece¼gi. Temel arac m verilen bir 0 noktas n n j 0 j < " koşulunu sa¼glayan noktalar ndan oluşan " komsuluk kavram olacakt r. Bu koşulu sa¼glayan noktalar tabiiki 0 merkeli " yar çapl çemberin iç taraf ndaki 8

19 (üstündekiler de¼gil) noktalardan oluşur. 0 < j 0 j < " koşulunu sa¼glayan noktalar ndan oluşan kümeye 0 n delinmiş " komsulugu deri. 0 n delinmiş " komsulugu kümesine 0 n kendisi dahil de¼gildir. Karmaş k say lardan oluşan bir küme S ve 0 S olsun. E¼ger 0 n tamamen S içinde (sadece S nin noktalar n kapsayan) kalan bir " komsulugu bulunabiliyorsa 0 a S nin bir iç noktas d r denir; e¼ger 0 n tamamen S d ş nda (S nin hiç bir noktas n kapsamayan) kalan bir " komsulugu bulunabiliyorsa 0 a S nin bir d ş noktas d r denir. Bu yüden e¼ger 0 n her komşulu¼gu hem S nin içinde hemde S nin içinde olmayan noktalar bulunduruyorsa 0 a S nin bir s n r noktas d r denir. S nin tüm s n r noktalar n n kümesine S nin s n r denir. Örne¼gin, jj < ve jj kümelerinin her ikisininde s n r jj = çemberidir. Hiç bir s n r noktas n kapsamayan küme aç kt r. Bir küme aç kt r,kümenin her noktas bir iç noktad r. Bir küme tüm s n r noktalar n kaps yorsa kapal d r. Dolay s ile bir S kümesinin kapan ş S nin noktalar ve S nin s n r noktalar ndan oluşan kapal bir kümedir. (3) deki kümelerden ilki aç k ikincisi hem ilkinin hemde kendisinin kapan ş d r. Ba kümeler ne aç k nede kapal d r. Bir kümenin aç k olmamas için kümede bir s n r noktas olmal d r; ve e¼ger bir küme kapal d¼gilse küme taraf ndan kapsanmayan bir s n r noktas olmal d r. 0 < jj halka tipli diski ne aç k ne 9

20 de kapal d r. Bununla birlikte tüm karmaş k say lar kümesi hiç s n r noktas olmad ¼g ndan hem aç k hem de kapal d r. Bir S kümesi içindeki her ve nokta çifti sonlu say da uçuca eklenen do¼gru parçalar ndan oluşan ve tamamen S çinde kalan bir poligonsal hatla birleştirilebiliyorsa bu kümeye ba¼glant l d r denir. jj < aç k kümesi ba¼glant l d r. < jj < öelli¼gindeki noktalar n n kümesi (ingilicesi annulus) hem aç k hem de ba¼glant l d r. Ba¼glant l ve aç k kümelere domain denir. Bir domain ba s n r noktalar n bulundursa veya hiçbir s n r noktas n bulundurmasa veya hepsini bulundursa bu domain e bölge denir. Bir S kümesinin her noktas bir çemberin iç taraf nda b rak labiliyorsa bu kümeye s n rl d r denir. Yani, S s{n{rl{d{r, 9R 3 S ) jj < R (3) deki kümelerin ikiside s n rl d r. Mesela ikisi de jj = çemberi içine al nabilir. Bir 0 noktas n n her delinmiş komşulu¼gunda S nin en a bir eleman n kaps yorsa 0 noktas na S kümesinin bir y ¼g lma noktas (accumulation point) denir. Böylece bir S kümesi kapal ise tüm y ¼g lma noktalar bu S kümesinin eleman d r. Çünkü bir tane y ¼g lma noktas kümenin eleman olmasa bu s n r noktas olurdu ve bu da kapal kümelerin s n r noktalar n bulundurmalar ile çelişirdi. Bunun terside do¼grudur. Yani, bir S kümesinin tüm y ¼g lma noktalar 0

21 gene S kümesinin bir eleman ise S kümesi kapal d r. (Gösterini.) Böylece herhangi bir küme için şu teoremi yaabiliri Küme kapal d r, tüm y ¼g lma noktalar kümenin eleman d r. Aç kça bir 0 noktas n n S kümesinin hiçbir noktas n bulundurmayan bir delinmiş komşulu¼gu bulunabiliyorsa 0 S nin bir y ¼g lma noktas de¼gildir. ANAL IT IK FONKS IYONLAR 9 B IR KARMAŞIK DE ¼G IŞKENL I FONKS IYON S bir karmaş k say kümesi olsun. S nin her bir eleman n bir w karmaş k say s eşleyen kurala S üerinde tan mlanm ş bir fonksiyon denir. w say s na nin f alt ndaki görüntüsü denir ve f () ile dösterilir. Fonksiyonun iyi tan ml olmas için tan m kümesinin ve kural n n belirtilmesi gereklidir. Tan m kümesi belirtilmedi¼ginde mümkün olan en geniş küme al n r. Mesela sadece fonksiyonu denmişse tan m kümesi olarak dülemdeki s f rdan farkl bütün noktalar n kümesi anlaş l r. w = u + iv f nin = x + iy noktas ndaki de¼geri olsun. Bu durumda f (x + iy) = u + iv dir. u ve v reel say lar n n her ikiside x ve y reel de¼gişkenlerine ba¼gl d r ve f () x ve y reel de¼gişkenli reel de¼gerli iki tane u ve v fonksiyonlar cinsinden f () = u (x; y) + iv (x; y) () şeklinde ifade edilebilir. x ve y yerine r ve polar (kutupsal) koordinatlar kullan lm şsa = re i ve w = u + iv olmak üere f re i = u + iv olur. Bu durumda da yaabiliri. f () = u (r; ) + iv (r; ) () Örnek f () = ise f (x + iy) = (x + iy) = (x + iy) = x y + ixy dir. Böylece u (x; y) = x y ve v (x; y) = xy olur. Kutupsal koordinatlar kullan l rsa f re i = re i = r e i = r cos + ir sin

22 olup, d r. u (r; ) = r cos ve v (r; ) = r sin E¼ger () ve () denklemlerinde v = 0 ise f () de¼geri reeldir. Mesela, f () = jj = x y + i0 fonksiyonu bir kompleks de¼gişkenli reel de¼gerli bir fonksiyondur. n say s 0 veya poitif tamsay ise ve a 0 ; a ; :::; a n (a n 6= 0) ler kampleks sabitlerse p () = a 0 + a + a + ::: + a n n fonksiyonu n: dereceden bir polinomdur. Burada sonlu say da terimin topland ¼g na ve p () nin tan m kümesinin tüm dülemi oldu¼guna dikkat edelim. Polinomlar n p() q() bölümlerine rasyonel fonksiyon denir ve q () 6= 0 oldu¼gu yerlerde tan ml d r. Polinomlar ve rasyonel fonksiyonlar bir kompleks de¼gişkenli fonksiyonlar n temel fakat önemli bir s n f n oluşturur. Fonksiyon kavram n n bir genelleştirmesi tan m kümesindeki bir eleman na birden fala de¼ger karş l k getiren bir kurald r. Bunlar reel de¼gişkenli fonksiyonlarda oldu¼gu gibi çok de¼gerli fonksiyonlard r. Çok de¼gerli fonksiyonlar çal ş l rken her noktaya karş l k mümkün olan de¼gerlerden sistematik şekilde sadece bir tanesi al n r ve çok de¼gerli bir fonksiyondan tek de¼gerli bir fonksiyon elde edilmiş olur. Mesela, = re i herhangi belli bir kompleks say olsun. 7. konudan biliyoruki = p +k re i( ) (k = 0; ) olur. = re i say s n n iki kökünden bir tanesi k = 0 için c 0 = p re i ve k = için c 0 = p re i olur (kökler p r yar çapl çemberin bir çap n n iki uç noktas ). Yani, = p re i dir. Burada arg nin esas de¼geri ( < ) dir. Fakat p r nin sadece poitif de¼gerini seçersek ve f () = p re i (r > 0; < < ) yaarsak bu (tek de¼gerli fonksiyonun belirtilen bölgede iyi tan ml oldu¼gunu görürü. 0 say s 0 n tek karekökü oldu¼gundan f (0) = 0 yaarsak f fonksiyonu = ş n (negatif reel eksen) hariç tüm kompleks dülemde iyi tan ml d r. 0 DÖNÜŞÜMLER Bir reel de¼gişkenli reel de¼gerli fonksiyonlar ço¼gu aman gra kleri çiilerek gösterilir fakat w = f () fonksiyonunun böyle uygun bir gra ksek gösterimi mevcut de¼gildir. Çünkü ve w say lar bir do¼gru üerinde de¼gil bir dülem üerinde yerleşmişlerdir. Bununla birlikte = (x; y) ve bunlara karş l k gelen w = (u; v) noktalar göstererek fonksiyon hakk nda ba bilgiler gösterilebilir. Bu genelde ayr ayr ve w dülemleri çiilerek yap l r. Bu şekilde düşünüldü¼günde f fonksiyonuna bir resmediş (mapping) veya dönüşüm (transformation) denir. Fonksiyonunun tan m kümesi S ise bunun

23 içindeki bir noktas n n görüntüsü w = f () noktas d r. T S ise T içindeki tüm noktalar n görüntülerinin kümesine T kümesinin görüntüsü denir. Tüm S tan m kümesinin görüntüsüne de f nin menili (range of f) denir. w noktas n n f alt ndaki ters görüntüsü f nin tan m kümesindeki f () = w koşulunu sa¼glayan noktalar n n kümesidir. Bir noktan n ters görüntüsü bir tek nokta, bir çok nokta olabilir veya hiç bir nokta olmayabilir. Son durum tabiki w nun f nin menili d ş mda olmas ile mümkündür. Öteleme, döndürme, yans ma gibi terimler belli dönüşümlerin bask n geometrik karakteristiklerini aç klamada kulan l r. Böyle durumlarda ve w dülemlerini almak uygundur. Örne¼gin = x + iy olmak üere w = + = x + + iy dönüşümü her noktas n n bir birim sa¼ga ötelenmesi olarak düşünülebilir. i = e i oldu¼gundan = re i olmak üere w = i = re i(+ ) dönüşümü s f rdan farkl her noktas na karş l k gelen yar çap vektörünü orjin etraf nda saat yönünün tersinde 90 o döndürür; ve w = = x iy dönüşümü de her = x + iy noktas n reel eksene göre simetri¼gine dönüştürür. Dönüşümler hakk nda daha fala bilgi e¼griler ve bölgelerin görüntülerini çierek sergilenir. Fonksiyonlar n dönüşüm olarak geometrik yorumlar kapsaml olarak ileride verilecektir. Örnek. Bir önceki bölümden w = fonksiyonu xy düleminden uv dülemine u (x; y) = x y ve v (x; y) = xy () dönüşümü olarak düşünülebilir. Dönüşümün bu şekli öellikle belli hiperbollerin görüntülerini bulmada kullan şl d r. Örne¼gin, bir x y = c (c > 0) hiperbolünün her branş bire-bir olarak u = c dikey do¼grusu üerine resmedilir. (x; y) hiperbolün iki branş ndan her hangi bir tanesi üerinde oldu¼gu aman () den u = c dir. Öel olarak (x; y) hiperbolün sa¼gdaki branş üerinde ise () denklemlerinden v = xy ) x = v y u = v y = c ) v = y p y y + ( < y < ) olup görüntü karmaş k say lar (u; v) = c ; +y p y + ( < y < ) olacakt r. (x; y) hiperbolün sa¼gdaki branş üerinde yukar do¼gru hareket ederken bunlar n (u; v) görüntüleri u = c do¼grusu üerinde yukar do¼gru hareket edecektir. Bener şekilde (x; y) hiperbolün soldaki branş üerinde aşa¼g do¼gru 3

24 hareket ederken bunlar n (u; v) = c ; y p y + ( < y < ) görüntüleri u = c do¼grusu üerinde yukar do¼gru hareket edecektir. Ödev. xy = c (c > 0) hiperbolünün w = dönüşümü alt ndaki görüntüsünü bulunu. Ödev. xy = c (c > 0) hiperbolünün w = dönüşümü alt ndaki görüntüsünü bulunu. Örnek. 0 x ; y 0 dikey şeridinin w = dönüşümü alt ndaki görüntüsünün g 5 te gösterildi¼gi gibi kapal yar parabolik bölge oldu¼gunu göstermek için () i kullanaca¼g. 0 < x < iken (x ; y) noktas y ler y = 0 dan artt kça bir L dikey yar do¼grusunda yukar do¼gru hareket eder. () kullan larak uv düleminde buna karş l k gelen görüntü u = x y ve v = x y (0 y < ) () parametrik gösterimine sahip olacakt r. Birinci denklemden y = x u çekilip denkleminde yerine ya l rsa v = x y ) v = 4x y v = 4x x u = 4x u x elde edilir. Tepe noktas (h; k) da oda¼g do¼grultman n solunda olan genel parabol denklemi (v k) = 4 {} a (u h) (h;k) n{n odaga uakl{g{ olup buna göre biim parabolümüün tepe noktas x ; 0 ve odak tepeye x uakl ¼g nda ve tepenin solunda; yani odak orjindedir. Yani, (v 0) = 4 x u x {} a 4

25 dir. () deki ikinci denklemden y artt kça v de 0 dan itibaren artaca¼g ndan 0 < x < olmak üere (x ; y) noktas herhangi bir L do¼grusu üerinde x ekseninden başlayarak yukar ya do¼gru hareket ettikçe bu noktan n görüntüsü u dan başlayarak yukar ya do¼gru L 0 üstyar parabolünü tarar. L do¼grular den başlayan do¼gruya yaklaşt kça bunlar n görüntüleri u ekseni üerinde den başlayan parabole do¼gru yaklaş r ve sonunda x =, y 0 üst yar do¼grusunun görüntüsü v = 4 (u ) parabolünün üstyar s olur. x = 0, y 0 üst yar do¼grusunun görüntüsünü de şöyle buluru: bu do¼gru üerindeki herhangi bir (0; y) ; (y 0) noktas n n görüntüsü uv düleminde y ; 0 noktas d r. Böylece bir nokta orjinden başlayarak x = 0, y 0 üst yar do¼grusu üerinde yukar hareket ettikçe bunun görüntüsü u ekseni boyunca orjinden sola do¼gru hareket eder. Aç kça, xy düleminde üst yar do¼grular sola do¼gru gittikçe bunlar n uv düleminde görüntüleri olan yar paraboller gittikçe u 0; v = 0 yar do¼grusuna dönüşecektir. uv dülemindeki yar parabolük bölgedeki her nokta 0 x ; y 0 kapal şeridindeki bir tek noktan n görüntüsüdür. Dolay s ile bu iki kapal bölgelerin noktalar aras nda birebir bir eşleme vard r diyebiliri. Örnek 3. = re i olmak üere w = = r e i 5

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için,

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için, Ritz Yöntemi Kullan larak Integral Operatörlerin Özde¼gerlerinin Yaklaş k Hesab Yüksel SOYKAN, Erkan TAŞDEM IR, Melih GÖCEN Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 6700

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 5 7! SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL 1 / 23 1 Say sal Türev ve Richardson

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

Belirsiz Integraller. 1.1 Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral. 1.1.1 Temel Tan mlar ve Sonuc. lar

Belirsiz Integraller. 1.1 Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral. 1.1.1 Temel Tan mlar ve Sonuc. lar Ic. indekiler Belirsiz Integraller 3. Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral................ 3.. Temel Tan mlar ve Sonuc.lar............... 3. Temel Integral Alma Yöntemleri................ 0.. De giṣken

Detaylı

FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular

FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular Ad ve Soyad : Numaras : FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular 30.11.2007 1. Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) (X; kk) bir normlu uzay ve M bunun

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ

İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ Deneyde dolu alan tarama dönüşümünün nasıl yapıldığı anlatılacaktır. Dolu alan tarama

Detaylı

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ 11. SINIF ONU ANAIMI 2. ÜNİE: UVVE ve HAREE 3. onu OR, AÇISA MOMENUM ve DENGE EİNİ ve ES ÇÖZÜMERİ 2 2. Ünite 3. onu ork, Aç sal Momentum ve Denge A n n Yan tlar 1. Çubuk dengede oldu una göre noktas na

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

20. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI SORULARI A A A A A A A

20. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI SORULARI A A A A A A A KDEN IZ ÜN IVERS ITES I 20. ULUSL NTLY MTEMT IK OL IMP IYTI SORULRI DI SOYDI :...CEP TEL :... OKUL...ŞEH IR :... SINIF :...Ö ¼GRETMEN :... eposta :... IMZ :... SINV TR IH I VE ST I : 3 May s 2015 - Pazar

Detaylı

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14. 1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Detaylı

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin 1 Yrd. Doç. Dr. Erhan PİŞKİN ÇÖZÜMLÜ YÜKSEK MATEMATİK PROBLEMLERİ 1 ISBN 978-605-318-249-8 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28) TEMEL KAVRAMLAR 6. a ve b birer do al say r. a b = 19 oldu una göre, a + b toplam (YANIT: 8) 1. ( 4) ( 1) 6 1 i leminin sonucu (YANIT: ). ( 6) ( 3) ( 4) ( 17) ( 5) :( 11) leminin sonucu (YANIT: 38) 7.

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4.

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4. 04 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsayısı kaçtır? 4 lü terimin. ifadesinin değeri kaçtır? 4. yy y 4y y olduğuna göre, + y toplamının değeri kaçtır?

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir. Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş

2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş 2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş Kuvvet: Şiddet (P), doğrultu (θ) ve uygulama noktası (A) ile karakterize edilen ve bir cismin diğerine uyguladığı itme veya çekme olarak tanımlanabilir. Bu parametrelerden

Detaylı

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr.

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin TİN MATEMATİK I DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin

Detaylı

θ x Örnek...1 : Örnek...2 : KARMAŞIK SAYILAR 3 Alıştırmalar KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ 1) z = 1 + i 2) z = 1 i

θ x Örnek...1 : Örnek...2 : KARMAŞIK SAYILAR 3 Alıştırmalar KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ 1) z = 1 + i 2) z = 1 i KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ z = a + bi y karmaşık sayısının kartezyen bi koordinatları z=(a, b) dir. Ya da görüntüsü A noktasıdır. A Alıştırmalar Karmaş ık sa yıs ın ın kutupsal

Detaylı

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler BÖLÜM 4. OPERATÖRLER 4.1 Giriş Turbo Pascal programlama dilinde de diğer programlama dillerinde olduğu gibi operatörler, yapılan işlem türüne göre aritmetik, mantıksal ve karşılaştırma operatörleri olmak

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin

Detaylı

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Fizik 8.01 Ödev # 10 Güz, 1999 ÇÖZÜMLER Dru Renner dru@mit.edu 8 Aralık 1999 Saat: 09.54 Problem 10.1 (a) Bir F kuvveti ile çekiyoruz (her iki ip ile). O

Detaylı

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1 Ders 11: Örnekler 11.1 Kulplarla inşalar Bu bölümde kulpları birbirine yapıştırıp tanıdık manifoldlar elde edeceğiz. Artık bu son ders. Özellikle dersin ikinci bölümünde son meyveleri toplamak adına koşarak

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

MAT216 TOPOLOJ IYE G IR IŞ DERS NOTLARI by Mehmet K rdar

MAT216 TOPOLOJ IYE G IR IŞ DERS NOTLARI by Mehmet K rdar MAT216 TOPOLOJ IYE G IR IŞ DERS NOTLARI by Mehmet K rdar Içindekiler 1. Topolojinin Tan m, Ilk Örnekler, Aç k ve Kapal Kümeler 2. Topolojilerin Karş laşt r lmas ve Alt Uzay 3. Baz ve Alt Baz 4. Metrik

Detaylı

Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi

Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Ders Notları Dr. Serkan Aksoy 2016 http://www.gyte.edu.tr/dosya/102/~saksoy/ana.html 1 Gelecek önerileri için, lütfen Dr. Serkan Aksoy (saksoy@gyte.edu.tr) ile

Detaylı

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 015-01 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI SÜRE: MANTIK(30) ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER(18) 1. Önermeyi, önermenin

Detaylı

EK III POTANSİYELİN TANIMLANMASI

EK III POTANSİYELİN TANIMLANMASI EK III POTANSİYELİN TANIMLANMASI İki vektörün basamaklı (kademeli) çarpımı: Büyüklükte A ve B olan iki vektörünü ele alalım Bunların T= A.B cosθ çarpımı, tanımlama gereğince basamaklıdır. Bu vektörlerden

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir B irçok yaz mda olas l k sorusu sordum. Bu yaz mda soru sormayaca m, sadece olas l n matematiksel tan m n verece im. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 say lar aras

Detaylı

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI 1-60) Dört çocuk, Ahmet, Ferit, Berk ve Mehmet koşu yarışı yapıyorlar. Yarışma sonucunda, Ahmet, "Ben birinci ve sonuncu

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta) AĞIRLIK MERKEZİ STATİK (2. Hafta) Ağırlık merkezi: Bir cismi oluşturan herbir parçaya etki eden yerçeki kuvvetlerinin bileşkesinin cismin üzerinden geçtiği noktaya Ağırlık Merkezi denir. Şekil. Ağırlık

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI

11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI 11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI Programın öğrencilerde geliştirmeyi hedeflediği becerilerle 11. sınıf matematik öğretim programı ilişkisi Modelleme/Problem çözme Matematiksel Süreç

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ÜSTEL İNTEGRAL FONKSİYONLARIN. Çağla CAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2012

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ÜSTEL İNTEGRAL FONKSİYONLARIN. Çağla CAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2012 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEİ ÜSTEL İNTEGRAL FONKSİYONLARIN DÜGÜN YAKINSAKLIĞI Çağla CAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 0 Her hakkı saklıdır ÖET Yüksek Lisans Tezi ÜSTEL

Detaylı

Basit Kafes Sistemler

Basit Kafes Sistemler YAPISAL ANALİZ 1 Basit Kafes Sistemler Kafes sistemler uç noktalarından birleştirilmiş narin elemanlardan oluşan yapılardır. Bu narin elemanlar, yapısal sistemlerde sıklıkla kullanılan ahşap gergi elemanları

Detaylı

Kuadratik Yüzeyler Uzayda İkinci Dereceden Yüzeyler

Kuadratik Yüzeyler Uzayda İkinci Dereceden Yüzeyler İÇİNDEKİLER Kuadratik Yüeler Uada İkinci Dereceden Yüeler 1 0.1. Elipsoid 2 0.2. Hiperboloid 4 0.2.1. Tek Kanatlı Hiperboloid 4 0.2.2. Çift Kanatlı Hiperboloid 4 0.3. Paraboloid 5 0.3.1. Eliptik Paraboloid

Detaylı

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI. : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI. : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI 1.KURUMUN ADI 2.KURUMUN ADRESİ 3.KURUCUNUN ADI :Tercih Özel Öğretim Kursu : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA : ARTI ÖZEL EĞİTİM ÖĞRETİM

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

Saymak San ld Kadar Kolay De ildir

Saymak San ld Kadar Kolay De ildir Saymak San ld Kadar Kolay De ildir B ir matematikçinin bir zamanlar dedi i gibi, saymas n bilenler ve bilmeyenler olmak üzere üç tür insan vard r Bakal m siz hangi türdensiniz? Örne in bir odada bulunan

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-V ÇERÇEVE PROGRAMI. 3. KURUCUNUN ADI :ARTI ÖZEL EĞİTİM ÖĞRETİM Danışmanlık Turizm Hizmetleri Ticaret İth. İhr. Ltd. Şti.

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-V ÇERÇEVE PROGRAMI. 3. KURUCUNUN ADI :ARTI ÖZEL EĞİTİM ÖĞRETİM Danışmanlık Turizm Hizmetleri Ticaret İth. İhr. Ltd. Şti. ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-V ÇERÇEVE PROGRAMI 1. KURUMUN ADI : Tercih Özel Öğretim Kursu 2. KURUMUN ADRESİ : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA 3. KURUCUNUN ADI :ARTI ÖZEL EĞİTİM ÖĞRETİM

Detaylı

ÖLÜM 3 DENGE, İR KUVVETİN MOMENTİ 3.1 ir Kuvvetin Momenti elirli bir doğrultu ve şiddete sahip bir kuvvetin, bir cisim üzerine etkisi, kuvvetin etki çizgisine bağlıdır. Şekil.3.1 de F 1 kuvveti cismi sağa

Detaylı

Üst Üçgensel Matrisler

Üst Üçgensel Matrisler Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer

Detaylı

G D S 4 2013 MART. Sınıf Ders Ünite Kazanım. 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 1. Türkçedeki seslerin özelliklerini açıklar.

G D S 4 2013 MART. Sınıf Ders Ünite Kazanım. 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 1. Türkçedeki seslerin özelliklerini açıklar. G D S 4 2013 MART Sınıf Ders Ünite Kazanım 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 1. Türkçedeki seslerin ni açıklar. 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 2. Türkçedeki ses uyumlarının

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,

Detaylı

ıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir.

ıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir. 1-RASYONEL SAYILAR VE ÖZELLĐKLERĐ A)Rasyonel Sayılar:Birbirine denk olan kesirlerin meydana getirdiği her kümeye rasyonel sayı denir.rasyonel sayıların meydana getirdiği kümelere rasyonel sayılar kümesi

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur?

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur? 3.1 Koordinat sistemleri 3.2 Kartezyen koordinatlar 3.3 Vektörler 3.4 Vektörlerin bileşenleri 3.5 Vektörlerin toplanması 3.6 Vektörlerin çıkarılması 37Bii 3.7 Birim vektör 3 VEKTÖRLER Pilot uçağın kokpit

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket Bölüm-4 İki Boyutta Hareket Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Konu İçeriği 4-1 Yer değiştirme, Hız ve İvme Vektörleri 4-2 Sabit İvmeli İki Boyutlu Hareket 4-3 Eğik Atış Hareketi 4-4 Bağıl Hız ve Bağıl İvme

Detaylı

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir: Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır.

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır. -A Adı Soadı kulu Sınıfı LYS- MATEMATİK TESTİ Bu Testte; Toplam Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 7 dakikadır. Süre bitiminde Matematik Testi sınav kitapçığınızı gözetmeninize verip Geometri Testi

Detaylı

TOBB-ETU, Iktisat Bölümü Macroeconomics II (IKT 234) HW II (Ozan Eksi)

TOBB-ETU, Iktisat Bölümü Macroeconomics II (IKT 234) HW II (Ozan Eksi) TOBB-ETU, Iktisat Bölümü Macroeconomics II (IKT 234) HW II (Ozan Eksi) Mankiw 12-3: Iş yöneticileri/iş adamlar ve politika yap c lar ço¼gu zaman Amerikan Endüstrisinin rekabet edilebilirli¼gi (Amerikan

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70

Detaylı

4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder.

4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder. LENDİRME ŞEMASI ÜNİTE Üslü 1. Bir tam sayının negatif kuvvetini belirler ve rasyonel sayı olarak ifade eder.. Ondalık kesirlerin veya rasyonel sayıların kendileriyle tekrarlı çarpımını üslü sayı olarak

Detaylı

Fizik ve Ölçme. Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır

Fizik ve Ölçme. Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır Fizik ve Ölçme Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır Fizik kanunları temel büyüklükler(nicelikler) cinsinden ifade edilir. Mekanikte üç temel büyüklük vardır; bunlar uzunluk(l), zaman(t)

Detaylı