İstatistik I Ders Notları

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "İstatistik I Ders Notları"

Transkript

1 İstatistik I Ders Notları Sürekli Rassal Değişkenler Hüseyin Taştan Kasım 2, 26 İçindekiler Sürekli Rassal Değişkenlerin Özellikleri 2 2 Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu 2 Birikimli Olasılık Fonksiyonu 6 4 Beklenen Değer ve Varyans 5 Ortak Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu 2 6 Marjinal Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu 4 7 Bağımsızlık 5 8 Koşullu Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu 6 9 Birikimli Ortak Olasılık Fonksiyonu 6 Yrd. Doç. Dr., Yıldız Teknik Üniversitesi, İktisat Bölümü. Mail: Hüseyin Taştan İktisat Bölümü Yıldız Teknik Üniversitesi Yıldız Kampüsü, Beşiktaş, İstanbul Turkey Web-site: tastan/index.html c 25-6, Hüseyin Taştan

2 Sürekli Rassal Değişkenlerin Özellikleri Bir sürekli (continuous) rassal değişken reel sayılar doğrusu üzerinde herhangi bir değeri alabilir. Buna göre bir X rassal değişkeninin alabileceği değerler sadece tam sayıları değil gibi noktadan sonraki dijitleri keyfi olarak (sonsuz uzunlukta) yazılabilen sayıları da kapsar. Reel sayıların özellikleri gereği birbirine ne kadar yakın olursa olsun iki reel sayı arasında sonsuz sayıda rasyonel ve irrasyonel sayı bulunur. Öyleyse X sürekli rassal değişkeni sonsuz sayıda değerden birini alabilir ve herhangi bir reel sayıya eşit olma olasılığı sıfırdır. Kesikli rassal değişkenlerden farklı olarak, sürekli rassal değişkenlerin bir değere eşit olma olasılıkları değil, belli bir aralık içine düşme olasılıkları hesaplanır. Konuyu daha iyi kavramak için şöyle bir örnek düşünelim. X rassal değişkeni aynı özelliklere sahip mp çalarların oluşturduğu anakütleden rassal olarak seçilen birinin fiyatı olsun. Fiyatın (X) belli bir aralıkta, örneğin 85.75YTL ile YTL arasında, alabileceği değerler belirlidir. Teknik olarak bunların teker teker sıralanması (bir kesikli rassal değişken gibi) mümkündür. Ancak, kesikli rassal değişkenler için geliştirilen yöntemler, X in alabileceği değerler çok sayıda olduğundan, uygulanabilir değildir. Bir başka örnek daha verebiliriz. Belli bir kentte yerleşik hanehalkları arasında rassal olarak 2 tanesini seçtiğimizi düşünelim. X ilgili hanehalkının toplam yıllık geliri olsun. Fiyat örneğinde olduğu gibi, gelir düzeyi de belli bir aralıkta herhangi bir değeri alabilir. Ancak, X in tam olarak belli bir değere, örneğin YTL ye eşit olma olasılığı sıfır kabul edilebilir. Gelirin belli bir aralıkta, örneğin 6YTL ile 7YTL arasında olma olasılığından bahsedebiliriz. İktisadi değişkenlerin önemli bir kısmı sürekli rassal değişken kategorisine girer. Örnekleri çoğaltmak mümkündür: IMKB endeksinin belli bir gündeki kapanış değeri, belli bir aydaki fiyatlar genel düzeyi (e.g., TÜFE), yılın ilk üç aylık döneminde gerçekleşen ihracat tutarı vb. 2 Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu X sürekli rassal değişkeni için tanım gereği P (X = x) = olduğunu ve olasılıkların ancak belli bir aralık için hesaplanabileceğini öğrendik. Kesikli rassal değişkenler için geliştirdiğimiz yöntemleri bürekli rassal değişkenlerin dağılım özelliklerini incelemekte kullanamayız. 2

3 X sürekli bir rassal değişken ve x bu değişkenin alabileceği herhangi bir değer olsun (bu noktada reel sayılar doğrusu X in örneklem uzayı olarak kabul edilebilir). X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu (oyf, probability density function, pdf) ya da kısaca yoğunluk fonksiyonu, f(x), aşağıdaki özellikleri taşıyan bir fonksiyondur:. 2. f(x), < x < P ( < X < ) = + f(x)dx = Birinci özelliğe göre X in alabileceği tüm değerler için yoğunluk fonksiyonu değerleri, tıpkı kesikli ressal değişkenler için olasılık fonksiyonu değerleri gibi, negatif olamaz. İkinci özellik alt ve üst sınırları X in değerler aralığı olan integralin e eşit olduğunu söylemektedir. Başka bir deyişle, f(x) eğrisinin altında kalan alan bire eşittir (bkz. Şekil ). a < b olmak üzere, a ve b, < a < b < özelliğini sağlayan herhangi iki reel sayı ise, X in bu değerler arasında kalma olasılığı alt sınırı a, üst sınırı b olan belirli integralin değerine eşittir. Yani, X in a ile b arasında olma olasılığı f(x) in altında kalan ve sınırları a ile b tarafından belirlenmiş bölgenin alanına eşittir. P (a < X < b) = b a f(x)dx Tekil noktaların olasılıkları sıfır kabul edilebileceğinden P (a < X < b) = P (a X b) yazılabilir. Şekil de bu alan belirtilmiştir. Örnek 2. Uniform (Tekdüze) Dağılım için oyf: Bir torbaya üzerinde dan 9 a kadar rakamlar olan toplar koyduğumuzu ve rassal olarak bir tanesini çektiğimizi düşünelim. Çektiğimiz rakam dan sonraki ilk basamaktaki sayı olsun. Örneğin çektiğimiz topun üzerinde 8 rakamı varsa bulduğumuz rakam.8 olacaktır. Çektiğimiz topu yerine koyalım ve tekrar bir sayı çekelim. Bu da sıfırdan sonraki ikinci dijit olsun. Örneğin.84. Benzer şekilde daha sonra çekeceğimiz sayılarda sırayla sıfırdan sonraki basamaklarda yerlerini alsınlar, örneğin , vb. Bu deneyi çok sayıda tekrarlarsak ile arasında bir rassal sayı elde ederiz. Bu rassal değişkene X diyelim. Bu deneyin örneklem uzayı ile arasındaki tüm reel sayılar kümesidir, yani x [, ].

4 f(x) P(a<X<b) = b a f(x)dx a b x Şekil : Bir olasılık yoğunluk fonksiyonu Bu deneyde tanımlanan X rassal değişkeninin sürekli olduğu açıktır. Şu olasılığı bulmak istediğimizi düşünelim P ( X x) =? Bunu bulmak için sıfırdan sonra sadece iki basamak seçtiğimizi düşünelim, mesela x =.5. İlgilendiğimiz olasılık P ( X.5) =? dır. X in.5 den küçük ya da eşit olma olasılıyla ilgilendiğimize göre öncelikle deneyin örneklem uzayındaki noktaları belirlememiz gerekir. Örneklem uzayında (çekebileceğimiz tüm sayılar kümesi). dan.99 a kadar nokta (rakam) vardır. İlk çektiğimiz sayı ten küçük ise (, ya da 2) ikinci çektiğimiz sayının bir önemi olmaz çünkü sayı.5 den küçük olacaktır. Bunu yapmanın toplam = farklı yolu vardır. İlk basamaktaki rakam olduğunda ise.5 e eşit ya da daha küçük bir sayı elde etmenin toplam 6 = 6 yolu vardır. Öyleyse X x olayı toplam + 6 = 6 farklı yoldan gerçekleşebilir, dolayısıyla ilgilendimiz olasılık P ( X.5) = 6/ =.6 dır. Benzer biçimde 5 rakam çektiğimizde ilgili olasılık P ( X.5847) =.5848, rakam çektiğimizde ise P ( X ) = olur. Basamak sayısı sonsuza giderken x ile P ( X x) arasındaki fark kapanır ve limitte bu fark sıfır olur. Öyleyse P ( X x) = x yazılabilir. 4

5 Şimdi X in herhangi iki sayı arasında kalma olasılığını bulmaya çalışalım: P (a X b) =?. Örnek olarak P (.5 X.75) olasılığını bulalım. Yukarıda olduğu gibi yerine konarak farklı sayı seçilebilir..5 e eşit ya da büyük ve.75 e eşit ya da küçük sayılar toplam 4 farklı şekilde seçilebilir, öyleyse P (.5 X.75) =.4 olur ( = 4). Sıfırdan sonraki dijit sayısı arttıkça bu olasılık [a, b] doğru parçasının uzunluğuna eşit olur: P (a X b) = b a. Bu sonuç doğru parçasının kendi sınırlarını içerip içermemesinden bağımsızdır. Şu yazılabilir: P (a X b) = P (a < X b) = P (a X < b) = P (a < X < b) = b a Bu deneyden elde edilen X rassal değişkeninin oyf nu nasıl bulabiliriz? Olasılık yoğunluk fonksiyonunun özelliklerini kullanarak bulmaya çalışalım. f(x) olmalı ve bu aralıkta integral bire eşit olmalı. Yani f(x)dx = Öncelikle her x [, ] için Bunun yanı sıra yukarıda tartıştığımız aralık olasılıkları koşulu da sağlanmalıdır: P (a < X < b) = b a f(x)dx = b a Bu özellikleri sağlayan fonksiyona [, ] aralığında tanımlı uniform ya da tekdüze dağılım denir (kısaca, X U(, )). Uniform dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle yazılabilir:, < x < ise;, değilse. Bunun oyf olma koşullarını sağladığı açıktır. Genel olarak [a, b] aralığında tanımlı uniform dağılıma uyan X rassal değişkeninin, X U(a, b), olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle olur:, a < x < b ise; b a, değilse. Olasılık yoğunluk fonksiyonlarının şeklinden dolayı uniform dağılıma dikdörtgensel dağılım da denir (Feller, 966, An Introduction to Probability Theory and its Applications, II. cilt, s. 2) 5

6 f(x) F(x) b a a b x a b x Şekil 2: Bir uniform rassal değişkenin yoğunluk ve birikimli olasılık fonksiyonları Birikimli Olasılık Fonksiyonu X sürekli rassal değişkeninin birikimli olasılık fonksiyonu (ya da dağılım fonksiyonu), F (x), X in, alabileceği herhangi bir değer olan x i aşmama olasılığını x in bir fonksiyonu olarak verir: F (x) = P (X x) = x f(t)dt Kesikli rassal değişkenler için x j x için tüm olasılıkları toplayarak birikimli olasılıkları buluyorduk. Sürekli rassal değişkenler için de benzer şekilde yukarıdaki integrali değerleyerek birikimli olasılıkları elde edebiliriz. Yoğunluk fonksiyonundan farklı olarak F (x) bize bir olasılık verdiği için her zaman ile arasında bir değer alır. Birikimli olasılık fonksiyonu (bof) ile olasılık yoğunluk fonksiyonu (oyf) arasındaki ilişki şöyledir: df (x) dx Yani, oyf, bof nun birinci türevidir. Birikimli olasılık fonksiyonunun özellikleri şunlardır:. F () =, F (+ ) = 6

7 2. P (a < X < b) = F (b) F (a) = b a f(x)dx f(x) F(+ ) F(b) = F(b) F(a) F() = F(a) b a f(x)dx = F(b) F(a) a b x Şekil : Olasılık yoğunluk fonksiyonu ve birikimli olasılıklar Birinci özelliğe göre F (x), x in azalmayan bir fonksiyonudur. x x 2 olmak üzere F (x ) F (x 2 ). İkinci özelliği daha yakından incelemek için X değer aralığını aşağıdaki gibi parçalara ayırıp olasılık kurallarını kullanarak P ( < X < + ) = P ( < X < a) + P (a < X < b) + P (b < X < + ) yazalım. Olasılık yoğunluk fonksiyonu kullanılarak bu olasılıklar f(x)dx = a f(x)dx + b f(x)dx + a b şeklinde yazılabilir. Birikimli olasılık fonksiyonu kullanılarak + f(x)dx F (+ ) F () = [F (a) F ()] + P (a < X < b) + [F (+ ) F (b)] yazılabileceği açıktır. Bof özelliklerini kullanarak = F (a) + P (a < X < b) + F (b) 7

8 yazabiliriz Buradan da P (a < X < b) = F (b) F (a) olur (Bkz. Şekil ). Örnek. Uniform (Tekdüze) Dağılım için bof: Örnek 2. de [, ] aralığında uniform dağılıma uyan X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmuştuk. Şimdi yine X U(, ) için birikimli olasılık fonksiyonunu bulalım. Aslında Örnek 2. de uniform dağılım için bof bulunmuştu, yani P ( X x) = x olduğunu göstermiştik. Öyleyse X için bof şöyle yazılabilir:, x < için; F (x) = x, x için;, x > için. Şimdi herhangi bir [a, b] aralığında tanımlı bir uniform dağılım için bof nu bulalım. Bof nun tanımından hareketle F (x) = P (X x) x = a b a dt x t = b a a = x a b a, a x b aralığı için yazılabilir. Öyleyse X U(a, b) nin bof nu şöyle olur:, x < a için; F (x) = x a, a x b için; b a, x > b için. Örnek.2 Aşağıda verilen fonksiyonu düşünelim. e x, < x < ise;, değilse. (a) Bunun bir oyf olduğunu gösterin. (b) Bu fonksiyunun grafiğini çizin ve X > olasılığı ile ilgili alanı işaretleyin. 8

9 (c) P (X > ) olasılığını hesaplayın. (d) Birikimli olasılık fonksiyonunu bulun. CEVAP: (a) Sorunun ilk bölümünde bu fonksiyonun bir oyf olup olmadığını göstermemiz istenmektedir. Olasılık yoğunluk fonksiyonları özelliklerini sağlayıp sağlamadığına bakalım: (a) (i) İlk olarak, f(x) koşulunun < x < aralığındaki her x değeri için sağlandığı açıktır. (b) (ii) Ayrıca, x in değerler aralığında oyf nin integralinin olması gerekir. e x dx = e x = e ( e ) = + = e = lim x e x = olarak düşünülmelidir. Bu koşul da sağlandığına göre fonksiyon bir oyf dir. (b) Şekil 4 bu oyf nin grafiğini göstermektedir. P (X > ) olasılığı grafikte gösterilmiştir. (c) P (X > ) = e x dx = e x = e.6787 (d) F (x) = x e t dt = e t x = e x + e = e x 9

10 Buradan birikimli olasılık fonksiyonu, x < ; F (x) = e x, < x <. olarak bulunur. Bu bof nun grafiği Şekil 4 de çizilmiştir. ( x ) oyf: f( x) =e x F ( x ) bof: f( x) = e x P( X > ) = e x dx x x Şekil 4: e x in oyf ve bof si 4 Beklenen Değer ve Varyans Olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) olan, < x < aralığında tanımlı bir X sürekli rassal değişkeninin beklenen değeri E(X) µ X = xf(x)dx

11 dir. Bu tanımda E(X) ile µ X arasındaki denklik özelliğine dikkat edilmelidir. E(X), X in anakütlesindeki merkezi ifade etmektedir. Bunun örneklem ortalaması ile karıştırılmaması gerekir. Anakütlenin yoğunluk fonksiyonu bilinen bir rassal değişkenin beklenen değeri, eğer varsa, bulunabilir. değeri Bu tanım X in herhangi bir fonksiyonu için, g(x), genelleştirilebilir. g(x) in beklenen olarak yazılır. E (g(x)) = g(x)f(x)dx Örnek 4. Şimdi daha önceden oyf ve bof nu bulduğumuz X U(, ) değişkeninin beklenen değerini bulalım. Olasılık yoğunluk fonksiyonunun, < x < ise;, değilse. olduğunu biliyoruz. Beklenen değerin tanımını kullanarak E(X) = xdx = 2 bulunur. Benzer şekilde X U(a, b) nin beklenen değeri olur. b x E(X) = a b a dx [ ] b 2 a 2 = b a 2 (b a)(b + a) = 2(b a) = a + b 2 Şimdi X U(a, b) rassal değişkeni için tanımlanan g(x) = x 2 fonksiyonunun beklenen değerini bulalım. b E[g(x)] = x 2 a b a = b a (b a) = (b a)(b2 + ab + a 2 ) (b a) = a2 + ab + b 2 = E[X 2 ].

12 X sürekli rassal değişkeninin varyansı X in beklenen değerinden (ya da anakütle ortalamasından) farkının karesinin beklenen değerine eşittir. Yani g(x) = (x E(X)) 2 = (x µ X ) 2 olarak tanımladığımızı düşünürsek X in varyansı olarak yazılır. V ar(x) = σ 2 X = (x E(X)) 2 f(x)dx İntegral özellikleri kullanılarak V ar(x) aşağıdaki gibi yazılabilir: V ar(x) = E [ (X E(X)) 2] = = = (x E(X)) 2 f(x)dx x 2 f(x)dx + (E(X)) 2 f(x)dx 2E(X) ( x 2 f(x)dx = E(X 2 ) (E(X)) 2 xf(x)dx ) 2 Burada f(x)dx = ve xf(x)dx = E(X) özelliklerini kullandık. xf(x)dx Örnek 4.2 X U(a, b) için beklenen değeri bulmuştuk. Şimdi yukarıdaki ilişkiyi kullanarak varyansını bulalım. V ar(x) = E[(X E(X)) 2 ] = E(X 2 ) [E(X)] 2 = (a2 + ab + b 2 ) (b a)2 = 2 (a + b)2 4 5 Ortak Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu X ve Y sürekli iki rassal değişken olsun. Bunların ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu (ooyf), f(x, y), aşağıdaki özellikleri sağlayan bir fonksiyondur:. f(x, y), < x <, < y < için, 2. f(x, y)dxdy =. X ve Y sürekli rassal değişkenlerinin (a < X < b, c < Y < d) ile tanımlanan bölgenin içinde olma olasılıkları P (a < X < b, c < Y < d) = ile bulunur. 2 d b c a f(x, y)dxdy

13 Birinci özelliğe göre yoğunluk fonksiyonunun değerleri negatif olamaz. İkinci özellik rassal değişken çiftinin tanım aralığında integralin bire eşit olduğunu belirtmektedir. Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu ile tanımlanan yüzeyin altında kalan hacmin bire eşit olması gerekir. Üçüncü özellik bu yüzey altında tanımlanan herhangi bir bölgenin olasılığının, bu düzlem parçasıyla fonksiyonun yüzeyi arasında kalan hacmine eşit olduğunu belirtmektedir. f(x,y) y.5.5 x Şekil 5: f(x, y) = xye (x2 +y 2), x >, y >, için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu Örnek 5. Aşağıda verilen iki değişkenli fonksiyonun bir ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu olmasını sağlayacak k sabit sayısını bulun. Elde ettiğiniz ooyf nu kullanarak P ( < X < 2, < Y < 2) olasılığını bulun. k(x + y), < x <, < y < 2 ise; f(x, y) =, değilse. Öncelikle f(x, y) > koşulunun sağlanabilmesi için k > olmalı. İkinci koşuldan

14 hareketle 2 k(x + y)dxdy = 2 ( ) = k 2 + y dy = k = k = ( ) 2 y + y2 2 2 k = bulunur. Öyleyse ooyf f(x, y) = (x + y), < x <, < y < 2 ise;, değilse. olarak yazılabilir. İstenen olasılık ooyf nun altındaki hacim olarak bulunur: P ( < X < 2 ) 2, < Y < 2 2 = (x + y) dxdy = 2 ( 8 + ) 2 y dy = ( ) 8 y + y2 2 4 = Marjinal Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu İki değişkenli bir ortak olasılık yoğunluk fonksiyonundan hareketle marjinal (tekil ya da yanal) olasılık yoğunluk fonksiyonları aşağıdaki gibi bulunur: f(y) = f(x, y)dy f(x, y)dx Örnek 6. Örnek 5. deki ooyf nu kullanarak X ve Y rassal değişkenlerinin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulalım. 2 (x + y)dy = ) (xy + y2 2 2 = 2 (x + ) 4

15 Böylelikle X için moyf nu şöyle yazılır: 2(x + ), < x < ise;, degilse. Benzer şekilde Y nin moyf nu g(y) = (y + ), < y < 2 ise; 2, degilse. olur. Alıştırma olarak bu fonksiyonların moyf özelliklerini taşıdıklarını gösteriniz. 7 Bağımsızlık Eğer ortak olasılık yoğunluk fonksiyonları f(x, y) = f(x) g(y) olarak yazılabiliyorsa X ve Y rassal değişkenleri istatistik bakımından bağımsızdır denir. Genel olarak X, X 2,..., X n rassal değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu marjinal yoğunluk fonksiyonlarının çarpımı olarak yazılabiliyorsa f(x, x 2,..., x n ) = f (x ) f 2 (x 2 ),..., f n (x n ) n = f j (x j ) j= bu rassal değişkenler birbirinden bağımsızdır denir. Bu özellik kullanılarak Maksimum Olabilirlik (Maximum Likelihood) tahmin edicileri türetilebilmektedir. Bu konuya İstatistik II dersinde Tahmin Yöntemleri başlığı altında değineceğiz. Örnek 7. Örnek 6. deki ortak oyf ve marjinal oyf nı kullanarak X ve Y nin bağımsız olup olmadığını bulalım. f(x)g(x) = 2 (x + ) (y + 2 ) f(x, y) olduğundan X ve Y rassal değişkenleri bağımsız değildir. 5

16 Örnek 7.2 Aşağıda verilen ooyf nu kullanarak moyf nı bularak bağımsız olup olmadıklarına karar verelim. f(x, y) = Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları Buradan, < x < 4, < y < 4 ise; 9, degilse. g(y) = dy = 9 dx = f(x, y) = 9 = f(x)g(y) = ( ) ( ) koşulu sağlandığı için X ve Y rassal değişkenleri bağımsızdır. 8 Koşullu Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu A ve B herhangi iki olay olsun. Hatırlarsak A verilmişken B nin koşullu olasılığı aşağıdaki gibi bulunabiliyordu: P (B A) = P (A B) P (A) Benzer şekilde Y = y verilmişken X in koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x y) = f(x, y) g(y) ile bulunur. 9 Birikimli Ortak Olasılık Fonksiyonu F (x, x 2,..., x k ) = F (x, y) = y xk xk x f(t, s)dtds x... f(t, t 2,..., t k )dt dt 2,..., dt k 6

17 Alıştırmalar Aşağıdaki fonksiyon veriliyor. k(x + ), < x < 2 (a) Bunun bir oyf olmasını sağlayan k sabitini bulun. (b) Bulduğunuz oyf nu kullanarak X in beklenen değerini ve varyansını bulun. (c) bof, F (x) i bulun. (d) bof nu kullanarak P ( < X < ) olasılığını bulun x olmak üzere x veriliyor. (a) Bunun bir oyf olduğunu gösterin. (b) F (x) i bulun. (c) P ( X > ) olasılığını bulun. 2 (d) E(X) i bulun. İktisat bölümü öğrencilerinin evlerinden okula gelme süreleri dakika ile 45 dakika arasında uniform dağılıma uymaktadır. Buna göre, rassal seçilmiş bir öğrencinin yolda geçirdiği sürenin (a) 2 dk dan az (b) 2 dk ile dk arasında (c) dk dan fazla olma olasılıklarını bulun. 4 X in oyf nun aşağıdaki gibi olduğunu düşünelim: x, < x < 2 ise; 2, değilse. (a) P (X < t) = 2 (b) P (X < t) = 4 olmasını sağlayan t sayısını bulun. olmasını sağlayan t sayısını bulun. 5 X rassal değişkeni [ 2, 2] aralığında uniform dağılmaktadır. (a) P ( < X < ) olasılığını bulun. 7

18 (b) P (X < t) =.5 olabilmesi için t ne olmalıdır? 6 X rassal değişkeninin oyf nu aşağıdaki gibidir: ( 2 x2 ), < x < ise;, değilse. (a) Bunun bir oyf olduğunu gösterin. (b) Şu olasılıkları bulun: P (X > 2 ), P ( 4 < X < 4 ), P (X < 4 ) 8

İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ

İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ GÖZDEN GEÇİRİLMESİ Hüseyin Taştan Yıldız Teknik Üniversitesi, İktisat Bölümü, email: tastan@yildiz.edu.tr YTÜ-İktisat İstatistik

Detaylı

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Detaylı

Olasılık ve Dağılım Teorisi Kavramlarının Gözden Geçirilmesi

Olasılık ve Dağılım Teorisi Kavramlarının Gözden Geçirilmesi İSTATİSTİK I: Olasılık ve Dağılım Teorisi Kavramlarının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü 22 Eylül 2012 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 1 İstatistik

Detaylı

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Rastgele değişken kavramı Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler İki boyutlu rastgele değişkenler Beklenen değer Varyans Örnek uzaydaki her elemanı bir sayıyla

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix C: İstatistiksel Çıkarsama Doç.

Detaylı

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

Herhangi bir rastgele değişken için kümülatif dağılım fonksiyonu/cumulative distribution function (KDF/CDF) şu şekilde tanımlanır.

Herhangi bir rastgele değişken için kümülatif dağılım fonksiyonu/cumulative distribution function (KDF/CDF) şu şekilde tanımlanır. Kümülatif Dağılım Fonksiyonları Herhangi bir rastgele değişken için kümülatif dağılım fonksiyonu/cumulative distribution function (KDF/CDF) şu şekilde tanımlanır. F X (x) = P (X x) = x f X(x ) dx Sürekli

Detaylı

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran Matematik Ders Notları Doç. Dr. Murat Donduran Mart 18, 28 2 İçindekiler 1 Tanımlı Integral Uygulamaları 5 1.1 Olasılık.............................. 5 3 4 İÇINDEKILER Bölüm 1 Tanımlı Integral Uygulamaları

Detaylı

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION):

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION): YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmini I 1 ARALIK TAHMİNİ INTERVAL ESTIMATION): Nokta tahmininde ilgilenilen anakütle parametresine ilişkin örneklem bilgisinden hareketle tek bir sayı üretilir. Bir nokta

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

altında ilerde ele alınacaktır.

altında ilerde ele alınacaktır. YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmin Yöntemleri 1 NOKTA TAHMİN YÖNTEMLERİ Şimdiye kadar verilmiş tahmin edicilerin sonlu örneklem ve asimptotik özelliklerini inceledik. Acaba bilinmeyen anakütle parametrelerini

Detaylı

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım 2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI 2.1. Tanım Regresyon analizi, bir değişkenin başka bir veya daha fazla değişkene olan bağımlılığını inceler. Amaç, bağımlı değişkenin kitle ortalamasını, açıklayıcı

Detaylı

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2 Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S

Detaylı

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Birden Fazla RDnin Bileşik Olasılık Fonksiyonları

Birden Fazla RDnin Bileşik Olasılık Fonksiyonları Birden Fazla RDnin Bileşik Olasılık Fonksiyonları Birden fazla x 1, x 2,..., x n gibi RDlerimiz olsun. Bunların bileşik olasılık fonksiyonları kesikli ve rastgele RDler için sırasıyla şu şekilde tanımlanır

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6

Detaylı

Yapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. ( ) ( ) ( ) ( )

Yapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. ( ) ( ) ( ) ( ) İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK Rassal bir deneme yapılmakta ve farklı iki olay ile ilgilenilmektedir. A 1, A 2,,A i olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır. B 1, B 2,,B j olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır.

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz...

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... 1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... CABİR VURAL BAHAR 2006 Açıklamalar

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

Ders 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay

Ders 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 48 Bölüm 5 Ders 05 Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1 Aşağıda verilen soru işaretlerinin yerine gelmesi gereken değerleri

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

2016 YILI AKTÜERLİK SINAVLARI: İSTATİSTİK OLASILIK

2016 YILI AKTÜERLİK SINAVLARI: İSTATİSTİK OLASILIK Soru 1 X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu x x, x> f ( x) = 0, dy. 1 werilmiş ve Y = rassal değişkeni tanımlamış ise, Y değişkenin 0< 1 X 1 y için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R

IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R Geçen Ders Envanter yonetımı: Gazetecı problemı Rastsal Rakamlar Üret Talebi hesapla Geliri hesapla Toplam maliyeti hesapla Günlük ve aylık

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Ch. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik Özellikleri

Detaylı

İNTEGRAL İŞLEMLER LEMLERİ

İNTEGRAL İŞLEMLER LEMLERİ İKTİSADİ DİNAMİKLİK K VE İNTEGRAL İŞLEMLER LEMLERİ 2 İktisat biliminde dinamiklik kavramı, değişkenlerin değişim süreçlerini, dengeye geliş ya da uzaklaşmalarını içeren bir analiz tipidir. Daha önce karşılaştırmalı

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

Rastgele Süreçler. Rastgele süreç konsepti (Ensemble) Örnek Fonksiyonlar. deney. Zaman (sürekli veya kesikli) Ensemble.

Rastgele Süreçler. Rastgele süreç konsepti (Ensemble) Örnek Fonksiyonlar. deney. Zaman (sürekli veya kesikli) Ensemble. 1 Rastgele Süreçler Olasılık taması Rastgele Deney Çıktı Örnek Uzay, S (s) Zamanın Fonksiy onu (t, s) Olayları Tanımla Rastgele süreç konsepti (Ensemble) deney (t,s 1 ) 1 t Örnek Fonksiyonlar (t,s ) t

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM

KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM Eğer X kesikli rassal değişkeninin alabileceği değerler (,,..., ) eşit olasılığa sahip ise, kesikli düzgün dağılım söz konusudur. p(x) =, X=,,..., şeklinde gösterilir. Bir kutuda

Detaylı

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin

Detaylı

İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi

İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi Anlamlı Basamaklar Konusu ve Olasılık Ekonometri 1 Konu 1 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial

Detaylı

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2 OPTIMIZASYON.... Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu.... Türev...3.. Bir noktadaki türevin değeri...4.. Maksimum için Birinci Derece Koşulu...4.3. İkinci Derece Koşulu...5.4. Türev Kuralları...5

Detaylı

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 3. TAHMİN 3.1. En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 En Küçük Kareler (EKK) yöntemi, regresyon çözümlemesinde en yaygın olarak kullanılan, daha sonra ele alınacak bazı varsayımlar altında çok aranan istatistiki

Detaylı

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME SORU 1: Bir hasar sıklığı dağılımının rassal değişken olan ortalaması (0,8) aralığında tekdüze dağılmaktadır. Hasar sıklığı dağılımının Poisson karma dağılıma uyduğu bilindiğine göre 1 ya da daha fazla

Detaylı

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL ELEKTRİKSEL POTANSİYEL Elektriksel Potansiyel Enerji Elektriksel potansiyel enerji kavramına geçmeden önce Fizik-1 dersinizde görmüş olduğunuz iş, potansiyel enerji ve enerjinin korunumu kavramları ile

Detaylı

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01 Ortak Varyans ve İstatistiksel Bağımsızlık Bir rassal değişken çifti istatistiksel olarak bağımsız ise aralarındaki ortak varyansın değeri 0 dır. Ancak ortak varyans değerinin 0 olması, iki rassal değişkenin

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

H 0 : θ = θ 0 Bu sıfır hipotezi şunu ifade eder: Anakütle parametresi θ belirli bir θ 0

H 0 : θ = θ 0 Bu sıfır hipotezi şunu ifade eder: Anakütle parametresi θ belirli bir θ 0 YTÜ-İktisat İstatistik II Hipotez Testi 1 HİPOTEZ TESTİ: AMAÇ: Örneklem bilgisinden hareketle anakütleye ilişkin olarak kurulan bir hipotezin (önsavın) geçerliliğinin test edilmesi Genel notasyon: anakütleye

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Örnekleme Planlar ve Dağılımları Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım İncelenen olayın ait olduğu anakütlenin bütünüyle dikkate alınması zaman, para, ekipman ve bunun gibi nedenlerden dolayı

Detaylı

Rastgele değişken nedir?

Rastgele değişken nedir? Rastgele değişken nedir? Şİmdiye kadar hep, kümelerden ve bu kümelerin alt kümelerinden (yani olaylar)dan bahsettik Bu kümelerin elemanları sayısal olmak zorunda değildi. Örneğin, yazı tura, kız erkek

Detaylı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB00 Analiz I 3 Aralık 03 Final Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Taatlar: Sınav süresi 0 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz.

Detaylı

İçindekiler. Ön Söz... xiii

İçindekiler. Ön Söz... xiii İçindekiler Ön Söz.................................................... xiii Bölüm 1 İstatistiğe Giriş....................................... 1 1.1 Giriş......................................................1

Detaylı

DERS İÇERİKLERİ, KAZANIMLAR, DERSLER ARASI İLİŞKİ Çizelge 2.

DERS İÇERİKLERİ, KAZANIMLAR, DERSLER ARASI İLİŞKİ Çizelge 2. DERS İÇERİKLERİ, KAZANIMLAR, DERSLER ARASI İLİŞKİ Çizelge 2. Kategoriler Alt kategoriler Ders içerikleri Kazanımlar Dersler arası ilişki I. Analiz I.1. Fonksiyonlar I.1.1. Fonksiyonlara ait bazı önemli

Detaylı

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Olasılık ve İstatistik Hatırlatma

Olasılık ve İstatistik Hatırlatma Olasılık ve İstatistik Hatırlatma BSM 445 Kuyruk Teorisi Güz 014 Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık Bir olayın olasılığı bize ne anlatır? Verilen bir olasılığın manası nedir? Örnek: Tavlada düşeş atma olasılığı

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BEKLENEN DEĞER. X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BEKLENEN DEĞER. X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = BEKLENEN DEĞER Belli bir malzeme taşınan kolilerin ağırlıkları

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 1/ 172 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası)

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

Dr. Mehmet AKSARAYLI

Dr. Mehmet AKSARAYLI Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

IE 303T Sistem Benzetimi

IE 303T Sistem Benzetimi IE 303T Sistem Benzetimi 1 L E C T U R E 5 : O L A S I L I K T E K R A R 2 Review of the Last Lecture Random Variables Beklenen Değer ve Varyans Moment Kesikli Dağılımlar Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN

Detaylı

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

SÜREKLİ( CONTINUOUS) OLASILIK

SÜREKLİ( CONTINUOUS) OLASILIK SÜREKLİ( CONTINUOUS) OLASILIK DAĞILIMLARI Sürekli bir random değişken (a,b) aralığındaki her değeri alabiliyorsa bu değişkene ait olasılık dağılım fonksiyonunun grafiğinde eğri altında kalan alan bize

Detaylı

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi 1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN Ders No:5 RASSAL DEĞIŞKEN ÜRETIMI Bu bölümde oldukça yaygın bir biçimde kullanılan sürekli ve kesikli dağılımlardan örneklem alma prosedürleri

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9

EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9 EME 3105 1 Girdi Analizi Prosedürü SİSTEM SİMÜLASYONU Modellenecek sistemi (prosesi) dokümante et Veri toplamak için bir plan geliştir Veri topla Verilerin grafiksel ve istatistiksel analizini yap Girdi

Detaylı